Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα / Διάλεξη 16 / Ολοκλήρωση συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες, ολοκλήρωση ρητών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Υπολογισμός γενικευμένων ολοκληρωμάτων. Εισαγωγή στην αριθμητική ολοκλήρωση. - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ολοκλήρωση συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες, ολοκλήρωση ρητών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Υπολογισμός γενικευμένων ολοκληρωμάτων. Εισαγωγή στην αριθμητική ολοκλήρωση.: Υπόσχεσαι, κύριέ μου, να ξεκινήσουμε. Καλημέρα, καταρχήν. Ήθελα και έτσι προφορικά να σας πω αυτές τις ενημερώσεις που σας έστειλα για την προσπάθεια που κάνουν μια σειρά από φοιτητές σε πιο προχωρημένα εξάμινα, οι οποίοι δημιούργησαν ένα μικρό δίκτυο και έχουν σκοπό να κάνουν αυτό που νομίζω ότι έλειπε από το τμήμα μας. Δεν ξέρω πήγε κανένας χθες στην εκδήλωση που έγινε για το. Είχατε μάθημα, τι έγινε? Να είχαμε χειμή. Είχατε μάθημα, κρίμα. Εσείς πήγατε, είχε ενδιαφέρον, πώς σας πάνε και. Νομίζω ότι πρέπει να τη στηρίξετε και εσείς και πρέπει να τη συνεχίσετε όπως προχωράν τα χρόνια, γιατί πραγματικά αυτές οι εκδηλώσεις λείπουν από το τμήμα μας. Εντάξει. Λοιπόν, εμείς βρισκόμαστε στις τριγωνομετρικές, πώς θα χρησιμοποιήσουμε, θα βαλίσουμε ολοκληρώματα τα οποία εμπλέκουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Αυτό είναι το θέμα μας. Και ένα από τα πράγματα που πρέπει να επαναλάβετε είναι οι τριγωνομετρικές ταυτότητες. Και σας είχαμε πει ότι γνωρίζουμε και πρέπει να τις έχετε πολύ εύκολα αυτές τις τριγωνομετρικές ταυτότητες. Αυτές είναι μερικές. Μπορείτε να τις επεκτείνετε, μπορείτε να τις διαβάσετε. Μπορείτε να τις επεκτείνετε, μπορείτε να τις διαβάσετε και πιο προσεκτικά, γύριζοντας πίσω και σε ό,τι είχατε κάνει και στο Λύκειο, οι οποίες θα μας χρειαστούν σε αποδείξεις και σε ορισμένα ολοκληρώματα. Εκείνο που έχει σημασία είναι ότι άλλο ένα set ολοκληρωμάτων που θα σας είναι χρήσιμες, χωρίς να τις απομνημονεύσετε όμως, είναι οι ταυτότητες. Εάν σε αυτές τις ταυτότητες υπάρχει, μπορούν να γραφτούν και επίσης με πολλαπλασιάζοντας τα όλα με το Α, μπορούν να γραφτούν και με μια μορφή για να τις γενικεύσουμε που να είναι ΑΤ-ΑΙΘΘ και όλος το τετράγωνο, ίσον με ΑΤ-ΑΙΘΘ και όλος το τετράγωνο. Δηλαδή έχω πολλαπλασιάσει μερικές από αυτές, τις έχω φέρει σε αυτή τη μορφή, όπως και το ΑΤ-ΑΙΘΘ και όλος το τετράγωνο. Είναι ίσον με το Α, απλώς γενικεύω εκείνους που γράψαμε δίπλα όταν δεν είναι μονάδα αλλά είναι ένα συντελεστής Α, έχουν πολλαπλασιαστεί όλα με το Α και τέλος γράφω και αυτήν εδώ για να συμπληρώσουμε. Περισσότερες από αυτές τις αποδεικνύεται και δεν τις απομνημονεύεται. Ένα άλλο πράγμα που είπαμε που είναι χρήσιμο, σας είχα πει ότι πρέπει να μπορείτε να επαναλάβετε πώς θα υπολογίσουμε σχέσεις οι οποίες είναι αυτής της μορφής. Άρα ένα διάβασμα ποιοτικό θα πρέπει εσείς να μπορείτε με άνεση αν τους χρειαστείτε στο πρόχειρο να μπορείτε να αναπαράγετε μία από αυτές τις σχέσεις με ευκολία. Άλλες, σας έδωσα έναν πίνακα, είναι στο blackboard, με πάρα πολλά ολοκληρώματα έτοιμα. Ένα είδος βασικός πίνακας ολοκληρωμάτων, έχει και το βιβλίο έναν, σας έχω δώσει και εγώ έναν. Μερικά από αυτά που σας είχα παρακαλέσει σαν είδος διαβάσματος προετοιμασίας για τις εξετάσεις, να διαβάσετε αυτά τα ολοκληρώματα όχι για να τα απομνημονεύσετε. Υπάρχουν μερικά τα οποία τα ξέρετε από το λίγιο, τα αφήνετε στην άκρη. Υπάρχουν όμως και μερικά τα οποία δεν τα ξέρετε, δεν είναι δηλαδή όπως το ολοκλήρωμα του A στην X-DX, είναι αρκετά πιο σύνθετη η ολοκλήρωση και πρέπει να μπει μέσα σε μια διαδικασία με πράξεις. Άρα δηλαδή, πώς θα ολοκληρώσουμε το ολοκλήρωμα, παραδείγματος χάρη, θα σβήσω μερικά από αυτά τώρα, για να σας δείξω ότι σε αυτό το πίνακα περιλαμβάνονται μερικά ολοκληρώματα, τα οποία δεν είναι από τα παραδοσιακά, όπως το ολοκλήρωμα του 1-2X, ή του ε στην X, ή το ημήτωνο του X, ή το συνημήτωνο του X. Αυτά τα ξέρετε πάρα πολύ εύκολα. Υπάρχουν όμως και πιο σύνθετα ολοκληρώματα. Παραδείγματος χάρη, υπάρχει αυτό εδώ το ολοκλήρωμα που λέει, αυτό είναι στον πίνακα. Εγώ σας είχα πει ότι τέτοια ολοκληρώματα που είναι σε αυτό το πίνακα που σας έχω δώσει εγώ, που ανακατεύουν και τη συντέμνουσα και την τέμνουσα, είναι αυτός ο πίνακας εννοώ, αυτός ο πίνακας υπάρχει μέσα στο blackboard και μπορείτε να το κατεβάσετε και να το τυπώσετε. Τι κάνετε τώρα αυτό το πίνακα, όσα ολοκληρώματα από αυτό το πίνακα τα έχετε τα ξέρετε και δεν χρειάζεται να κάνετε τίποτα, τα αφήνετε. Όσα τα βλέπετε πολύ εύκολα με τι είναι ίσον, επίσης δεν χρειάζεται να κάνετε τίποτα. Για παράδειγμα το ολοκλήρωμα δχ τετραγωνική ρίζα του 1-χ τετράγωνο, ότι αυτό είναι ίσον με το τόξο του ημητώνου χ συν σε, αυτό το πέρα το ολοκλήρωμα θα πρέπει κατά κάποιον τρόπο όπου όλα αυτά που συνδέονται με τα τόξα του ημητώνου, του συνημητώνου, της εφαπτομένης κτλ πρέπει να μπορείτε με πολύ μεγάλη άνεση να τα αναγνωρίζετε γρήγορα. Δηλαδή αν καταλήξετε σε ένα τέτοιο ολοκλήρωμα τη γράφετε την απάντηση χωρίς απόδειξη. Αυτά όλα λοιπόν τα 22 ολοκληρώματα που υπάρχουν σε αυτό το πίνακα θέλω να τα αποδείξετε όσα δεν είναι γνωστά σας. Έτσι παραδείγμα τοις χάρη αυτό δεν ξέρω αν το έκανε κανένας αυτή τη δουλειά, αυτό εδώ πέρα μπορείτε να το αποδείξετε, είναι στον πίνακα αυτό εδώ πέρα, μπορούμε να πάρουμε αυτό σαν άσκηση και να ρωτήσω αν μπορείτε να το αποδείξετε. Προσέξτε τώρα τι κάνετε κι εσείς όπως κάνουν και οι περισσότεροι φοιτητές. Αυτά τα πράγματα που λέμε εδώ στην παράδοση να τα κάνετε στο σπίτι για λόγους που δεν έχετε χρόνο ή δεν υπάρχουν περιθώρια να γίνουν, τα αφήνετε με αποτέλεσμα να συσσορευτεί αρκετή δουλειά παραμονές των εξετάσεων. Παραμονές των εξετάσεων η συμπιεσμένη αυτή ανάγνωση ή δουλειά απάνω σε αυτά τα θέματα δεν φέρνει αποτελέσματα γιατί κάθε φορά που διαβάζω κάτι παραμονές των εξετάσεων είναι πολύ σίγουρο ότι αυτό δεν θα μείνει σε μένα. Ενώ το διάβασμα τοπιωτικό γίνεται αυτή την περίοδο. Δηλαδή κάποιος την περίοδο του διαβάσματος πρέπει να τη συνοδεύσει και με ανάλυση και λύση αυτών των ολοκληρωμάτων. Λοιπόν, θα σας ρωτήσω και πάλι. Έχει κανένας δουλέψει να υπολογίσει το ολοκλήρωμα του 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 45, 46, 47, 48, 48, 49, 50, 50, 51, 51, 52, 52, 52, 53, 52, 53, 52, 53, 52, 52, 53, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52 Ναι, μου λες την απάντηση. Λέω πως βγήκε. Αυτό είναι αν ξέρεις την απάντηση. Βέβαια το που βάλεις κατευθείαν είναι λίγο εντάξει. Άρα ο συνάδελφός σας λέει ότι ένας τρόπος είναι αυτός. Ένας άλλος τρόπος που θα άξιζε να ξέρετε είναι ότι υπάρχει, στην περίπτωση που έχουμε τέτοιες συναρτήσεις, μια αντικατάσταση την οποία είναι πολύ συνηθισμένη, είναι να θεωρήσουμε ότι το χ είναι ίσον με την εφαπτωμένη του χ. Οπότε το ν χ θα είναι ίσον με το ν χ ένα συν χ τετράγωνο. Οπότε κάνοντας μια τέτοια αντικατάσταση σε αυτήν εδώ τη σχέση μπορεί να βγει. Ο άλλος τρόπος είναι, εάν θέλεις να αποδείξεις, και οι περισσότερες έτσι γίνονται, εάν θέλεις να αποδείξεις γρήγορα, το θέμα είναι ότι εσύ δεν θα βρεθείς με αυτή τη σχέση. Δηλαδή εάν δεν τη θυμάσαι, και εδώ είναι η επιλογή σας τι θα κάνετε, εάν δεν θυμάσαι το αποτέλεσμα θα βρεθείς με αυτήν εδώ τη σχέση. Οπότε τότε δεν είναι τόσο απλό να πεις αυτό είναι η παράγωση αυτού, οπότε έτσι το αποδεικνύω, γιατί αν το αποδείξετε έτσι, δηλαδή αν πάτε με τις παραγωγήσεις να το αποδείξετε, θα πρέπει να θυμάσαι το αποτέλεσμα. Οπότε τότε φυσικά δεν χρειάζεται και απόδειξη. Καταλάβατε τι σας λέω. Άρα υπάρχει ένα προβληματάκι και εδώ καθένας έχει τους δικούς του τρόπους πώς θα οργανωθεί. Δηλαδή μου δίνουν ένα πελύπλοκο ολοκλήρωμα και εγώ καταλήγω σε μια σχέση σαν αυτή. Αν θυμάμαι την απάντηση, φυσικά τελείωσα. Και αν θέλετε βέβαια ένα διάβασμα παραμονές των εξετάσεων, θα γίνει με το να διαβάσετε αυτό το τυπολόγιο γρήγορα και να θυμάστε τα πιο χαρακτηριστικά ολοκληρώματα, να μην κάθεστε να αποδεικνύετε την ώρα των εξετάσεων. Κανένα πρόβλημα σε αυτό. Απλούστατα σας λέω ότι κάποτε θα βρεθείτε όμως όχι παραμονές των εξετάσεων του συγκεκριμένου μαθήματος, θα βρεθείτε σε μια δουλίτσα που θα κάνετε και θα πρέπει να έχετε την απάντηση. Πέστε μου. Ποιο σημαντικό τέτοιο σχέδιο έχετε να κάνετε με την αντικατάσταση? Με την αντικατάσταση? Αυτές είναι μερικές αντικατάστασεις που θα δείτε μέσα στο βιβλίο. Δεν υπάρχει σκεπτικό. Είναι με την εμπειρία. Δηλαδή, κατά κάποιον τρόπο ένας τρόπος δουλειάς, ή κάποιοι δούλεψαν, όπως έκαναν πολλές φορές, το είδατε αυτό και στο χώρο των φροντιστυρίων, για να επιταχυνθούν ορισμένες διαδικασίες, δημιούργησαν κάποιες μεθοδολογίες, τις οποίες τις ετοιμάσαν και τις έδωσαν έτοιμες και σαν ένα είδος ρέσεπη. Σε αυτό το επίπεδο υπάρχει ένα είδος ρέσεπη, η οποία έχει ετοιμαστεί από κάποιους, γιατί αντικαταστάσεις κάνω στην περίπτωση που βλέπω ένα είδος τύπου. Να σας δώσω ένα παράδειγμα. Μερικές αντικαταστάσεις φωνάζουν, μερικές δεν είναι τόσο φωναχτές. Άρα η απάντηση στο ερώτημα που μου έκανες είναι, ότι κάποιος με δοκιμή ή σκεφτόμενος λιγάκι περισσότερο, είδε ότι κάποιες αντικαταστάσεις είναι οι καταλήλες για να γίνει αυτή η ολοκλήρωση. Παραδείγματος χάρης, σας είχα πει στο προηγούμενο μάθημα, είχαμε ένα ολοκλήρωμα το οποίο ήταν της μορφής ΔΧΧΤ, τετραγωνική ρίζα του 1-ΧΤ. Όταν βλέπετε μια τέτοια περίπτωση και ιδιαίτερα αυτός εδώ ο όρος φωνάζει ότι κάνει αντικατέστηση σε το χείμι μια τριγωνομετρική συνάρτηση. Καταλάβατε τι θέλω να πω με την έννοια ότι φωνάζουν ορισμένα πράγματα μετά από πήρα. Δηλαδή αν κάποιος ασχοληθεί αρκετά συστηματικά και ομαδοποιήσει αντικαταστάσεις ανάλογα τον τύπο του ολοκληρώματος που βλέπει, κάνει μια τέτοια προετοιμασία δηλαδή, τότε ξέρει ότι αυτή η σχέση, κάθε φορά που βλέπω μια τέτοια σχέση με τριγωνομετικές συναντήσεις, χρειάζεται μια τέτοια αντικατάσταση. Οπότε υπάρχουν και στο βιβλίο σας, αν το δείτε, υπάρχουν κάποιες ειδικές οδηγίες πώς θα χειριστώ ορισμένους τύπους ολοκληρωμάτων. Και πάλι, στο τέλος σήμερα θα τελειώσουμε να σας πω ότι τα περισσότερα ολοκληρώματα δεν γίνονται. Αυτά που γίνονται είναι αυτά που έχουν μια πολύ συγκεκριμένη μορφή. Σας είχα πει λοιπόν ότι αυτή εδώ πέρα η αντικατάσταση, αυτή εδώ η σχέση, θα πρέπει να λυθεί με μία αντικατάσταση. Και η προτεινόμενη αντικατάσταση, και η ρώτηση είναι με ποιο σκεπτικό γίνεται, εδώ πέρα είναι πιο ολοφάνερο το σκεπτικό, θα διαλέξει κανένας το 2 ημίτωνο θ. Και στο περασμένο μάθημα είχαμε κάνει αυτή την αντικατάσταση από το 2 ημίτωνο θ από αυτή τη σχέση για να απαλλαγεί από το 1 μίον χ τετράγωνο. Οπότε αν κάνω αυτή την αντικατάσταση, τετραγωνική ρίζα του 1 μίον χ τετράγωνο θα μου δώσει στο τέλος 2 ημίτωνο θ. Συγγνώμη, εδώ ήταν, έχω κάνει ένα μικρό λαθάκι. Ήταν έτσι η σχέση που ήθελα να ελοκληρώσω. Ναι, ήταν 4. Αυτή ήταν η σχέση, γι' αυτό είχα διαλέξει το 2 ημίτωνο θ. Συγχωρέστε μου, αυτή την άσκηση θέλω να λύσω. Οπότε βλέπω ότι εδώ για να απαλλαγώ από το 4 πρέπει να βάλω το 2. Και αν χρησιμοποιήσω εδώ αυτό που ήθελα να κάνω, 4 χ τετράγωνον, θα βγάλω το 2 στην ημίτωνο θ σαν αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας. Αντικατιστώντας το χ με αυτό εδώ πέρα. Σε αυτή τη σχέση το δx θα είναι ίσον με το 2 συνειμήτωνο θ δθ. Άρα, αν πάρετε αυτές εδώ τις δύο σχέσεις σε αυτή την αντικατάσταση και εξακολουθώ να σας λέω ποιος με οδήγησε να διαλέξω αυτή τη σχέση, θέλω να απαλλαγώ από τη τραγωνική ρίζα. Και ένας τρόπος να απαλλαγώ από τη τραγωνική ρίζα είναι να χρησιμοποιήσω μία από τις τραγωνομετρικές ταυτότητες που είχα προηγουμένως. Άρα, λοιπόν, χρησιμοποιώντας αυτά τα δύο καταλήγω σε μία σχέση η οποία βγαίνει να είναι το 1 τέταρτο του ολοκληρώματος. Αυτό μου βγαίνει σαν αποτέλεσμα και τώρα έρχομαι πίσω ότι πρέπει να θυμάμαι αυτό εδώ το ολοκλήρωμα με τι είναι ίσον. Να λοιπόν μια ολοκλήρωση που την ξεκίνησα. Ήξερα την ίδια κατάσταση μου μίλησε και έφτασα σε αυτήν εδώ τη σχέση. Αυτή που θα την ολοκληρώσω είναι αυτό που λέγαμε προηγουμένως. Οπότε θα καταλήξω δηλαδή στο μίον 1 τέταρτο του κοτ συνεφαπτωμένη θήτα συν σε και, βυσικά, αν επιστρέψετε πίσω στις αρχικές συναρτήσεις, αυτό που θα βρείτε δεν το κάνω αναλυτικά εγώ, τέσσερα μίον χ τετράγωνο δια τέσσερα χ συν σε. Αυτό θα είναι το αποτέλεσμα αν γυρίσουμε πίσω στα χ. Έτσι, λοιπόν, να έχουμε μια δουλίτσα αρκετά, που δεν θυμάμαι αν την πήγαμε μέχρι τέλος στο περασμένο μάθημα. Εδώ αυτό το ολοκλήρωμα λοιπόν ήταν ένα σημαντικό και αυτό θέλω να προετοιμαστούμε. Δηλαδή μας δίνει ένα ολοκλήρωμα το οποίο κάνουμε την πρωτετική κατάσταση, κάνουμε το πρωτοβήμα, καταλήγουμε σε μια τέτοια σχέση και μετά δεν μπορούμε να προχωρήσουμε από εδώ. Και αυτό θέλει λίγο δουλίτσα με τους τύπους, να ξέρετε ότι τουλάχιστον για το θέμα των εξετάσεων, οι τύποι που είναι στο τυπολόγιο, στον πίνακα που σας έδωσα, θα πρέπει να τους επαναλάβετε παραμονές των εξετάσεων. Να τις κάνετε για εσάς αλλά να τις επαναλάβετε για παραμονές των εξετάσεων. Λοιπόν, για να δούμε άλλη μία σχέση και να μου πείτε σε τι αντικατάσταση θα φτάσουμε, που θα φτάσουμε με αυτήν. Να σβήσω αυτήν εδώ. Και τώρα, αν σας δώσω να ολοκληρώσετε τη σχέση, ολοκλήρωμα, τετραγωνική ρίζα του χ τετράγωνο μίον 25 διαχ δε χ. Αυτό κάνετε το μόνοι σας. Τώρα να μου πείτε τι θα βγάλετε. Το πρώτο που θέλα να μου πείτε είναι ποιά, τι θα επιλέξετε για να απαλλαγείτε από τη τετραγωνική ρίζα εδώ πέρα. Λοιπόν, Δευτέρια, πες μας τι θα μου πεις ή θα σηκωθείς λίγο πάνω. Πέντε συνειμήτωνο. Οπότε, τη τετραγωνική ρίζα δηλαδή του χ τετράγωνο μίον 25 θα τη βγάλεις ίσον με πόσο? Ναι, αλλά από εδώ πέρα αν αντικαταστήσεις αυτό θα σου βγάλει το ημίτωνο χ σκέτο, όχι τη ρίζα. Αυτό λοιπόν σαν αποτέλεσμα. Άρα, λοιπόν, εδώ θα κάνω σε αυτή την αντικατάσταση το u να είναι το πέντε, το χ να είναι... Πώς θα συνεχίσεις από εδώ, ποιο θα βγάλεις αντεχή, τι θα βάλεις αντεχή και χ. Το χ, είπαμε, θα το αντικαταστήσουμε με το πέντε συνειμήτωνο θ. Το τέχει πόσο θα είναι? Πέντε συνειμήτωνο θ δ θ. Μίον πέντε. Εντάξει. Ναι, παρακάτω. Ωραία, θα βγάλουμε τι? Θα βγάλουμε για τον τέχει λοιπόν θα βάλουμε μίον πέντε ημίτωνο θ δ θ. Στον παρονομαστή θα έχουμε το πέντε συνειμήτωνο θ και στον αριθμητή θα έχουμε το πέντε ημίτωνο θ. Ωραία, για να φτάσουμε λοιπόν τώρα τι έχουμε εφαπτωμένοι θ μίον πέντε ημίτωνο θ δ θ. Ωραία. Μπορούμε να κάνουμε η μίον πέντε ημίτωνο θ. Ωραία, οπότε ολοκληρώνουμε καταπαράγοντας βάζοντας μίον πέντε εδώ. Την εφαπτωμένη θ την αφήνουμε και το ημίτωνο θ το βάζουμε μέσα στον τε θ με συνειμήτωνο θ. Σωστά. Το κάνει καν λάθος. Παρακάτω. Και τώρα ολοκληρώνουμε καταπαράγοντας και βγαίνει. Έχεις και το τελικό αποτέλεσμα. Ναι λοιπόν. Οπότε αν ολοκληρώσουμε καταπαράγοντας τι θα βγει στο τέλος. Αν θέλετε ολοκληρώσετε από εδώ και πέρα πηγαίνετε μέχρι τέλος με το καταπαράγοντας. Πέστε μου εσείς. Μάλιστα. Μάλιστα. Αλλά γιατί μέσα, γιατί να μην είναι η συνειμήτωνο θ λιωθεί. Γιατί πάει. Συνειμήτωνο θ τράγωνο μίον ένα δεν είναι ένα μίον για να αντικαταστήσουμε. Δεν είναι ένα μίον. Δεν θα πρέπει να είναι ένα μίον. Ναι. Σε αυτή την αντικατάσταση θα είχαμε ένα, αυτό που, αυτό που θέλει είναι, αυτό που είπε είναι... Πάμε πέτρε σε εσύ Λευθέρη. Ε, εδώ θα πρέπει να κάνουμε τους περιορισμούς. Ναι. Άρα εδώ πέρα θεωρεί, θεωρεί ότι... Ε. Εδώ έχουμε τη σχέση που έχει, έχει το, το συνειμήτωνο, έχει με την αντικατάσταση που έκανες θα βγάλει 25. Συνειμήτωνο τετράγωνο θ μίον ένα. Μίον, μίον 25. Και τώρα τι θα κάνουμε εδώ. Άρα αυτή η αντικατάσταση δεν θα δούλευε Λευθέρη. Πρέπει να, πρέπει να σκεφτούμε κάτι άλλο. Η αντικατάσταση, να σας προτείνω εγώ μια αντικατάσταση. Για δοκιμάστε αυτή την αντικατάσταση να δούμε πού θα πάρουμε. Αυτή η αντικατάσταση βασίζεται στο ότι υπάρχει ταυτότητα 5 σεκ θ τετράγωνο. Μίον 5 στο τετράγωνο. Είναι ίση με το 5. Στηρίζεται σε αυτή την ταυτότητα. Με αυτή την αντικατάσταση καταλήγουμε 5 στη τετραγωνική ρίζα. του χ τετράγωνο μίον 5 στο τετράγωνο. Καταλήγουμε στην σχέση που λέει ότι γίνεται 5 φαπτομένη θ. Αυτού καταλήγουμε. Στο ολοκλήρωμα στο τέλος μετά από αυτό το μετασχηματισμό, το φτάνουμε να είναι, επειδή από εδώ πέρα το τχ θα είναι ίσον με 5. Έχουμε και αυτήν εδώ τη σχέση. Οπότε αυτή την ταυτότητα τη χρησιμοποιούσαμε για να βγάλουμε την τετραγωνική ρίζα. Συμφωνώ με σε αυτό. Τώρα στο τέλος το ολοκλήρωμα όλο αυτό, το ολοκλήρωμα της τετραγωνικής ρίζας του χ τετράγωνο μίον 25 δια χ δχ, θα μετατραπεί σε ένα ολοκλήρωμα το οποίο θα είναι 5 ολοκλήρωμα της εφαπτωμένης τετράγωνο θ δ θ. Αν κάνουμε τις πλάξεις σωστά. Αντικατηστώντας το χ με αυτό, αντικατηστώντας το δχ με αυτό εδώ πέρα, και την τετραγωνική ρίζα με αυτό, θα καταλήξουμε σε αυτήν εδώ τη σχέση. Το βλέπετε όλοι ή δεν το βλέπετε. Θέλετε να το κάνετε προσεκτικά τώρα στο χαρτί σας, τις πλάξεις αναλυτικά, να καταλήξουμε σε εκείνη τη σχέση και τώρα έχουμε να ολοκληρώσουμε το τετράγωνο. Έχουμε να προτελειώσουμε αυτό το ολοκλήρωμα, το οποίο επίσης θέλει συνέχεια δουλειά. Καταρχήν όμως να συμφωνήσουμε ότι με αυτές τις αντικαταστάσεις, ότι αυτό είναι σωστό, ότι αυτή η τετραγωνική ρίζα θα βγάλει αυτήν εδώ τη σχέση, και κάνοντας αντικαταστάσεις για το χ, το δχ και τη ρίζα, θα καταλήξουμε σε αυτήν εδώ τη σχέση. Μπορείτε να το συμφωνήσουμε σε αυτό. Μιλήστε, αποδείξτε το. Δεν έχει κάνει κανένας. Το κάνετε τώρα? Είναι εντάξει. Τώρα από εδώ και πέρα τι θα κάνουμε. Πώς θα προχωρήσουμε με αυτήν εδώ τη ταυτότητα. Πώς θα ολοκληρώσουμε το ενεφαπτωμένο, το πέντε μας έχει μείνει απέξω, και να ολοκληρώσουμε την εφαπτωμένη τετράγωνο, εδώ έχουμε καταλήξει. Ποια ταυτότητα νομίζετε ότι πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να κάνουμε τις ολοκληρώσεις. Δεν σε ακούω δυνατά, δεν σε ακούω. Την εφαπτωμένη λέεις τώρα. Να καταστήσουμε με τι την εφαπτωμένη τετράγωνο θ, να την καταστήσουμε με τι. Δεν σε ακούω βρε δασσό. Ναι, θα βγει όμως, το προχώρησες. Αν το έχεις κάνει θέλω να το κάνεις και να σηκωθείς να το κάνεις στον πίνακα, γιατί δεν σας ακούω πολύ καλά. Δεν ξέρω εγώ, φταίω, δεν ξέρω τι συμβαίνει, υπάρχει τόρυβος. Θέλω να το τελειώσεις αν το έχεις δοκιμάσει αυτό, ή οποιοδήποτε έχει δοκιμάσει κανένας άλλος, με τις ταυτότητες. Προσέξτε ότι μήπως αυτή η ταυτότητα μπορούμε να γυρίσουμε πάλι πίσω. Ακούω ιδέες. Πώς δουλεύσετε εσείς. Δεν θέλω να χρησιμοποιήσουμε το 1 σύμμενο τράγωνο 1 σύμμενο τράγωνο 2 σύμμενο τράγωνο 3 σύμμενο τράγωνο 4 σύμμενο τράγωνο 5. Ωραία, άρα λοιπόν, αν σας καταλαβαίνω καλά, λέτε ότι πρέπει να πάρουμε το ταν τετράγωνο θ, να χρησιμοποιήσουμε αυτή την ταυτότητα, να είναι ίση με το σεκ τετράγωνο θ μειον 1. Αυτήν εδώ, ε, ωραία, ο συνάδελφός σας προτείνει αυτή, είναι μια καλή ιδέα, προχωρήστε την, η βάση έχει ολοκληρώσει αυτήν εδώ να την ακούσουμε επίσης, για προχωρήστε με αυτήν εδώ την πρόταση, με αυτήν την ταυτότητα. Αλλά είναι το ολοκλήρωμα, θα καταλήξουμε για αυτήν εδώ τη σχέση, θα έχουμε το 5, θα είναι το ολοκλήρωμα του, αυτήν εδώ πρέπει να ολοκληρώσουμε. Και βέβαια ξανά ερχόμαστε να δούμε αν θυμάστε, το ολοκλήρωμα εδώ πέρα είναι πάλι ένα ερώτημα, το ολοκλήρωμα του σεκ τετράγωνο θ, δ θ, μιον πέντε θ, συν σε. Αυτό εδώ πέρα θυμάται κανένας με την αίσον, ναι, με το, δεν έχω το μένι θ. Λοιπόν στο τελικό αποτέλεσμα από όλη αυτήν την διαδικασία θα έχουμε ίσον, με την πέντε, θα τα έχουμε με πέντε φαπτομένη θ, μιον πέντε θ, συν σε. Και αν θέλουμε να γυρίσουμε πίσω στην αρχική σχέση, θα πρέπει να γυρίσουμε να αντικαταστήσουμε όλη αυτή την αντικατάσταση που έκανε, να βρούμε το θ με τι είναι η ίσον. Και στο τέλος αυτό είναι το αποτέλεσμα σε σχέση με τη θ. Πρέπει να γυρίσουμε στην αντικατάσταση που κάναμε για το χ. Για να δούμε το χ, θυμάστε ότι το είχαμε βάλει ίσον πέντε σεκ θ. Και πρέπει να γυρίσουμε πίσω αντιστρέφοντας αυτήν εδώ τη σχέση για να βρούμε πώς θα βάλουμε, πώς θα αντικαταστήσουμε τις σχέσεις τις τραγωνομετρικές μέσα στο τελικό αποτέλεσμα. Άρα λοιπόν, το θ θα το λύσουμε από εδώ, θα βρούμε τη σχέση του από εδώ, θα το αντικαταστήσουμε σε αυτή τη σχέση και τελειώσαμε. Δεν ξέρω αν μπορώ να απαντήσω ότι σε όλα αυτά θα πρέπει να υπάρχει ένα σκεπτικό. Αυτή τη δουλειά της σήμερα την κάνουμε για να δούμε πιθανές αντικαταστάσεις και πορείες και ασυγκεκριμένους τύπους ρυζών. Άρα θα έλεγα μόνο η εμπειρία. Ποιο είπες? Πιθανότατα ναι. Άμα το έχεις κάνει μέχρι τέλους θα ήθελα να το δοκιμάσουμε. Αν θέλεις πραγματικά σε παρακαλώ κάντο, να βγούμε και ένα διάλειμμα και να μας το κάνεις στον πίνακα αμέσως μετά. Ευχαρίστως και θα χαρώ πάρα πολύ αν είναι πολύ πιο εύκολο. Η απάντηση στο ερώτημα τώρα για να το συζητήσουμε συλλογικά, όχι μόνο εγώ. Ο συνάδελφός σας θεωρεί ότι ο τρόπος που βγαίνουν αυτές οι αντικαταστάσεις πρέπει να έχουν ένα μία ένα οργανωμένο σκεπτικό. Και η απάντηση σε αυτό είναι ότι τα ολοκληρώματα, ομάδες ολοκληρωμάτων κατηγοροποιούνται με ορισμένες αντικαταστάσεις. Εμείς ουσιαστικά για να κάνουμε μια τέτοια δουλειά θα πρέπει να, ας πούμε εμείς σαν καθηγητής ας το πούμε έτσι, να πάρω εγώ και να πω βλέπεις ένα τέτοιο ολοκληρώμα αυτές είναι οι αντικαταστάσεις και έτσι θα προχωρήσεις και έτσι θα κάνεις. Αυτό το πράγμα δεν είναι δυνατόν να γίνει σε ένα τέτοιο μάθημα σαν αυτό που κάνουμε εμείς, οπότε θα πάρουμε τις πιο χαρακτηριστικές και τις πιο απλές αντικαταστάσεις μέσα από ορισμένους τύπους συναρτήσεων. Όπως θα δείτε και στο βιβλίο, μπλέχτηκαν εδώ τα καλώδια, όπως θα δείτε και στο βιβλίο, οι τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις προσπαστούν να βρουν τρόπους να απαλείψουν κάποιες τεραγωνικές ρίζες. Άρα, δεν νομίζω ότι υπάρχει έτοιμη ρέσεπη, αλλά υπάρχουν μόνο οι δοκιμές. Δηλαδή, για να απαλλαγείς από αυτήν εδώ, είδατε ότι προηγουμένως χρησιμοποιήθηκε μια διαδικασία, δεν μας πήγε πουθενά. Τι πια είναι η άλλη. Εγώ θα θυμάμαι ποια ταυτότητα μπορεί να με απαλλάξει. Άρα, έχοντας δοκιμάσει το ΧΤ-25, τετραγωνική ρίζα, κάθε φορά που θα βλέπω αυτή την τετραγωνική ρίζα, έχω υπόψη μου ποια αντικατάσταση θα κάνω. Άρα, εγώ θα έλεγα μόνο η πύρα. Μόνο η πύρα διαχείρισης κάποιων συγκεκριμένων ριζών, ας πούμε. Όταν βλέπεις μια ρίζα που είναι, ας πούμε, παραδείγματος χάρη, εάν θα το γράψω χωρίς να την τελειώσουμε, έχει μια άσκηση που θα είναι, δεν θα την πάμε μέχρι τέλους, αλλά να μας δώσουν αυτή την άσκηση να κάνουμε, μόνο την αντικατάσταση που θα κάνατε. Σε αυτήν εδώ, ποια αντικατάσταση θα κάναμε. Εδώ νομίζω ότι ένας από τους λόγους που δεν μπορείτε να δείτε αμέσως αντικαταστάσεις, είναι ότι δεν έχετε καθαρά στο μυαλό σας, παρόλο ότι τις γράψαμε στην αρχή του μαθήματος, δεν έχετε καθαρά στο μυαλό σας τις ταυτότητες. Άρα αν είχατε τις ταυτότητες, θα λέγατε ποια ταυτότητα θα με απαλλάξει αυτή τη τεραγωνική ρίζα εδώ πέρα. Τι να βάλω το χ, να το απαλλάξω. Και παίρνοντας τις διάφορες επιλογές που έχω, θα δω ποια είναι η καλύτερη. Πέστε μου, τι αντικατάσταση θα κάνατε. Χ ίσον 3. Ακριβώς. Αυτή η αντικατάσταση είναι αυτή που θα με απαλλάξει από αυτή τη τεραγωνική ρίζα. Άρα, αν βλέπω α συν χ τετράγωνο, έτσι, για τέτοια σχέση, αυτή εδώ τη σχέση, αυτή η αντικατάσταση θα είναι μάλλον ρουτίνα. Εκείνη η αντικατάσταση, βλέπω ποια πρέπει να δώσω για την κάθε μορφή της τετραγωνικής ρίζας. Την τετραγωνική ρίζα θέλω να διώξω με μια ταυτότητα τριγωνομετρική. Καταλάβαμε ποιο είναι το. Αυτό είναι το βασικό. Στην κάθε λεπτομέρεια παίρνεις διάφορες μορφές τετραγωνικής ρίζας και κοιτάζεις ποιες αντικατάστασεις με βάση της ταυτότητας θα σε απαλλάξουν την τετραγωνική ρίζα. Στην προηγούμενη ώρα είχαμε φτάσει σε αυτήν εδώ τη σχέση, στην οποία η μία πρόταση είναι να χρησιμοποιήσουμε αυτή την ταυτότητα. Η άλλη πρόταση θα ήταν να χρησιμοποιήσουμε αυτήν την ταυτότητα και να προχωρήσουμε έτσι όπως προχωρούσαμε και στο τέλος να υπολογίσουμε ότι η τέμνουσα στο τετράγωνο της συνάντησης αυτής θα είναι ίση με την εφαπτωμένη. Η άλλη, νομίζω, ένας άλλος πιο απλός τρόπος να προχωρήσουμε θα ήταν να πάμε πέντε ολοκλήρωμα. Αυτό πρότεινε, αλλά δεν το προχωρήσαμε μέχρι τέλους, η Βάσο. Ήταν να πάρουμε η μήτωνο τετράγωνο θ συν η μήτωνο τετράγωνο θ δ θ και από εδώ να προχωρήσουμε συστηματικά να πούμε ότι αυτό είναι ένα μήον συν η μήτωνο τετράγωνο θ συν η μήτωνο τετράγωνο θ δ θ και στο τέλος να βγει το πέντε θ μήον ολοκλήρωμα, στο τέλος θα βγάλουμε πέντε επί δ θ δια συν η μήτωνο τετράγωνο θ μήον πέντε θ συν σε Οπότε καταλήγουμε πάλι με αυτόν τον τρόπο σε αυτήν εδώ τη σχέση, η οποία στο τέλος θα βγάλει την εφαπτομένη θ. Εντάξει, ναι. Αν θέσουμε εφαπτομένη θ τότε δεν έχουμε τέτοιου τετράγωνο θ ένας τετράγωνος και έτσι βγαίνει. Και έτσι βγαίνει, ναι. Καλά, άρα λοιπόν το συμπέρασμα είναι ότι δεν είναι μονόδρομος αυτή η λύση. Όπου θα τα σβήνουμε όλα αυτά και μπαίνουμε σε ένα καινούργιο θέμα στα ορισμένα πλέον ολοκληρώματα στα οποία έχουμε να συζητήσουμε δύο βασικές σχέσεις. Λοιπόν, έχουμε δύο βασικά θεωρήματα εδώ πέρα που θα χρειαζόταν να πούμε δυο λόγια, όχι αναγκαστικά να πούμε ότι τα αποδείξαμε. Το ένα θεώρημα είναι ότι αν έχω μια συνάρτηση F του T της οποίας η παράγωγος αυτής της συνάρτησης είναι ίση με την F του T τότε ξέρουμε ότι το ολοκλήρωμα αυτά που έχουμε πει μέχρι τώρα το F του T αποτελεί το ολοκλήρωμα της F τόνους, μάλλον εντύπθηται, η F του T μπορεί να γραφεί ο ολοκλήρωμα μιας άλλης συνάρτησης, η παράγωγος μιας άλλης συνάρτησης, οπότε στην ολοκλήρωση της F του T τότε αυτό είχαμε λέγαμε μέχρι τώρα θα έχουμε το ολοκλήρωμα της F τόνους τότε το οποίο θα μας δώσει την F του T συν σε. Αυτά λέγαμε μέχρι τώρα και γι' αυτό για να βρούμε το ολοκλήρωμα αρκεί να βρούμε ποια συνάρτησης αυτή η F του T είναι παράγωγος, αυτά ήταν αυτό που κάναμε μέχρι τώρα. Τώρα σε αυτή την ίδια φιλοσοφία θα γράψουμε δύο σχέσεις τις οποίες πρέπει να τις αποδείξουμε, η μία είναι το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης από το Α έως το Χ, αυτής εδώ πέρα, θα είναι ίση με την F του Χ, άρα εάν ολοκληρώσουμε αν πάρουμε μία συνάρτηση στο χώρο αυτήν εδώ και ξεκινήσουμε από το Α και πάμε μέχρι μία τυχαία τιμή Χ δημιουργείται μία επιφάνεια η οποία είναι συνάρτηση του Χ και αυτή η επιφάνεια είναι η F του Χ. Αυτή εδώ πέρα η σχέση, αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε, αν συμβαίνει αυτό τότε η παράγωγος του F του Χ δέχει είναι ίση με την F του Χ, αυτό είναι κάτι που θέλουμε να το αποδείξουμε. Δηλαδή έχουμε μία σχέση η οποία είναι το θεμελιώδες θεώρημα της ολοκλήρωσης που λέει ότι αν ορίσεις μία συνάρτηση με αυτή τη μορφή η παράγωγος της συνάρτησης αυτής είναι ίση με το F του Χ. Ο τρόπος να το αποδείξουμε αυτό είναι να γράψουμε ότι η παράγωγος δέχει θα είναι ίση με το όριο όπως έχουμε δώσει τον ορισμό F του Χ συν H μία μικρή μεταβολή μειών F του Χ δια H όταν το H πηγαίνει στο μηδέν. Οπότε από εδώ πέρα έχουμε να βρούμε το όριο της σχέσης που είναι 1 δια H και αυτά εδώ τα ολοκληρώματα γράφοντας τα πάλι από αυτήν εδώ τη σχέση καταλήγουμε σε ολοκλήρωμα που θα λέει το ολοκλήρωμα από Α μέχρι Χ συν H της F του T μειών το ολοκλήρωμα από Α μέχρι Χ συν H της F του T δε T. Τι έχω κάνει εδώ ξεκίνησα να ορίσω την παράγωγο. Η παράγωγο με τι είναι ίση με ο ορισμός της παράγωγου είναι αυτός. Λοιπόν ξαναλέω ότι έχω δώσει αυτήν εδώ τη σχέση για τον ορισμό της F του X μέσα από τη συνάντηση F του T και θέλω να αποδείξω ότι η παράγωγος αυτής της συνάντησης είναι ίση με την F του X. Για να το αποδείξω ξεκινάω από τον ορισμό και ο ορισμός μου δίνει αυτές εδώ τις σχέσεις γιατί μάλλον εδώ είναι έτσι λάθος. Το δε ολοκλήρωμα F του X συν H θα είναι από Α μέχρι Χ συν H και το δε ολοκλήρωμα του F του X θα είναι από Α μέχρι Χ. Μέχρι εδώ με παρακολουθείτε. Ωραία τώρα αν αντιστρέψουμε αυτές εδώ τις σχέσεις αυτό μπορούμε να το γράψουμε, αν αντιστρέψουμε αυτήν την ολοκλήρωση μπορούμε να το γράψουμε το όριο του H να πηγαίνει στο μηδέν πιανού πράγματος του ολοκληρώματος από Χ μέχρι Χ συν H, F του T, δε T. Άρα θέλουμε να προχωράμε αυτή την εξίσωση με τον ορισμό που έχουμε δώσει στον F του H και στον F του T και έχουμε καταλήξει σε αυτήν εδώ τη σχέση. Τι μας λέει στην πράξη αυτή η σχέση ότι έχουμε δύο γειτονικά σημεία σε αυτήν την καμπύλη η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη. Έχουμε λοιπόν αυτήν η οποία εκφράζεται με το F του T και αυτή εδώ πέρα έχει δύο σημεία τα οποία είναι το ένα είναι το Χ και το άλλο είναι το Χ συν H. Οπότε είναι φανερό ότι αυτή η καμπύλη F του T σε μια συνεχή μορφή αυτής της όπως το έχουμε γράψει θα για μια τυχαία τιμή μεταξύ του Χ και του Χ του H, η F του H για μια τυχαία τιμή μεταξύ τους θα έχει μια ελάχιστη τιμή που είναι αυτή εδώ, μπορούμε να την πούμε MH και μια μέγιστη τιμή η οποία θα είναι MH. Άρα λοιπόν είναι εφραγμένη μεταξύ αυτών των δύο. Αν είναι έτσι δηλαδή αυτή η σχέση ένας τρόπος να κάνουμε αυτή την ολοκλήρωση τελείως απλοϊκά θα ήταν να θεωρήσουμε ότι έχουμε δύο γειτονικά σημεία το ένα είναι το Χ και το άλλο είναι το Χ συν H, το H είναι πάρα πολύ μικρός αριθμός. Οπότε σε αυτά τα γειτονικά σημεία ξέρετε ότι η επιφάνεια κάτω από αυτήν εδώ την ολοκλήρωση με τι θα είναι ίσον το είχαμε πει και σε προηγούμενο μάθημα, ότι μπορώ να πάρω ένα τυχαίο σημείο Ξ εδώ πέρα και να δημιουργήσω η επιφάνεια που καλύπτεται από την ολοκλήρωση από το Χ με το Χ συν H, το ολοκλήρωμα δηλαδή του Χ, Χ συν H της F του T, ΔΤ αυτό το πράγμα είναι περίπου ίσον με το H, θα το εξηγήσω γιατί, H είναι αυτό το βήμα εδώ πέρα, επί τη συνάρτηση F σε ένα τυχαίο σημείο μέσα, σε ένα τυχαίο σημείο μεταξύ του Χ και του H, το Ξ είναι ένα σημείο μεταξύ του Χ και του Χ συν H. Άρα λοιπόν με αυτά τα δεδομένα, ότι αυτό εδώ πέρα συνδέει αυτή η σχέση, όταν το H πάει στο μηδέν, αυτό εδώ πέρα θα πάει στο F του Χ. Άρα απέδειξα αυτήν εδώ τη σχέση που ήταν αυτό που ήθελα να αποδείξω, ότι η παράογος της ΔΕΦΔΧ σε μια τέτοια σχέση, αν ορίσω την F του Χ έτσι, η παράογος του ΔΕΦΔΧ θα είναι ίση με τη συνάρτηση F του Χ. Η απόδειξη είναι αυτή εδώ πέρα που έχουμε κάνει μέχρι τέλους. Οπότε εάν αυτό το πάρουμε σαν δεδομένο, έχουμε ένα δεύτερο θεώρημα να αποδείξουμε. Εδώ πέρα υπήρχε το 1 προς H. Δεν το μετέφερα. Οπότε ολοκλήρωμα αυτό θα ήταν H επί F του Χ. Και θα ήταν το όριο, μάλλον ένα βήμα ακόμα έπρεπε να κάνω, με την αντικατάσταση αυτού του ολοκληρώματος με το HF του Χ, θα έχω το όριο της F, τώρα το Χ είναι το Χ συν-H ουσιαστικά, του H να τίνει στο μηδέν. Οπότε σε αυτή την περίπτωση αυτό θα είναι ίσο με το F του Χ. Δηλαδή αν το H τίνει στο μηδέν, αυτό εδώ πέρα το Ξ θα πάει πάνω στο Χ. Άρα η αντικατάσταση εδώ που έκανα σε αυτήν εδώ τη σχέση θα διώξει το H και θα μου δώσει το όριο της F του Χ συν-H, το H να πηγαίνει στο μηδέν. Το Ξ εδώ πέρα αν θέλετε βάλετε το, αλλά όταν το H πάει στο μηδέν και αυτά τα δύο είναι το Χ και το Χ συν-H, το Ξ θα πάει στο Χ. Το παρακολουθείτε ερωτήσεις. Ωραία, εάν έχουμε σαν δεδομένο αυτό εδώ το F του Χ να είναι ίσον με το ΑΧΧΕΦΤΔΤ, αν συμβαίνει αυτό, τότε μπορούμε να αποδείξουμε ότι το ολοκλήρωμα από Α έως Β της F του Τ θα είναι ίσο με το F του Β-F του Α. Πώς θα το αποδείξουμε αυτό, αυτό εδώ πέρα το παίρνουμε σαν δεδομένο τώρα και θέλουμε να αποδείξουμε αυτήν εδώ τη σχέση, την οποία επίσης τη χρησιμοποιείτε χωρίς απόδειξη στις ασκήσεις σας. Δεν νομίζω ότι να αποδεικνύετε αυτήν, την πέρατε έτοιμο, δηλαδή για να ολοκληρώσετε, να πάρετε το ορισμένο ολοκλήρωμα με μια στιγμή σχέσης, δεν νομίζω ότι κάνετε... Λοιπόν, ένας τρόπος να αποδείξετε αυτήν εδώ τη σχέση θα είναι να ορίσετε μια καινούργια συνάρτηση G του Χ, η οποία θα είναι ίση με το ολοκλήρωμα της Α μέχρι Χ και μέσα θα γράψω την F τόνους ΔΤ. Μπορώ να ορίσω λοιπόν στη θέση της F του Τ, αφού έχω ορίσει αυτήν εδώ τη σχέση, να βάλω στη θέση της F του Τ το F τόνους του Τ και να ορίσω τώρα μια, έχω ξεκινήσει από εδώ ότι η F κεφαλαίο είναι η παράγωγος της F κεφαλαίου μου δίνει την F του Τ, από εδώ έχω ξεκινήσει, έχω ορίσει αυτήν τη σχέση και έχω αποδείξει αυτό. Εάν λοιπόν ορίσω μια καινούργια συνάρτηση G του Χ με αυτόν εδώ τον τρόπο και πάρω την παραγώγηση αυτής της συνάρτησης, σύμφωνα με αυτά που είπαμε, το G ΔΤ του Χ θα είναι ίσον με το F τόνους του Χ ή αν θέλετε να το γράψουμε με την ίδια μορφή ΔΤ. Εάν ισχύει μια τέτοια σχέση, εάν ισχύει μια σχέση που λέει ότι η παράγωγος του Τ προς Χ είναι ίση με την παράγωγος του F προς Χ, τότε θα ισχύει το εξής απλό, ότι το Τ τόνους όταν οι παράγωγοι δύο συναρτήσεως είναι ίδιες, η διαφορά τους θα πρέπει να είναι ίση με μια σταθερά. Αυτό εδώ το πράγμα, παραγωγίζω αυτήν εδώ τη σχέση, την παραγωγίζω μου βγάζει αυτήν, το βλέπετε, όποιος δεν το βλέπει σηκώνει τώρα το χέρι και το συζητάμε. Εάν λοιπόν ισχύει αυτό, αυτές οι δύο συναρτήσεις διαφέρουν με μια σταθερά. Εάν εγώ βάλω τη θέση στο Χ ίσον Α, τώρα τη θή θα βγάλω, θα βγάλω ότι το τζ του Χ από Α έως Α θα είναι μηδέν. Άρα θα είναι μηδέν αυτό εδώ πέρα, το τζ του Χ, μείον F του Α ίσον Σ. Αν εφαρμόσω δηλαδή αυτήν εδώ τη σχέση που έβγαλα, δύο φορές, τη μία φορά την εφαρμόσω για το Α, προσέξτε τι θα βγει, θα βγει ότι το τζ του Χ όταν εγλοκληρώσω από Α έως Α θα είναι μηδέν. Άρα αφού αυτό είναι μηδέν, το τζ λοιπόν του Α είναι μηδέν, μείον F του Α θα είναι ίσον Σ. Άρα το Σ βρήκα ότι είναι το μείον F του Α, αφού αυτό είναι μηδέν. Ωραία, αν εφαρμόσω αυτό στη θηστέση Β θα πάρω ότι το τζ του Χ, το τζ του Β θα ολοκληρώνεται από το Α έως Β, εφ τόνους του Τ, ΔΤ. Λοιπόν προσέξτε εδώ τι θα βγει, εάν χρησιμοποιήσετε εδώ το τζ Β, το τζ Β από εδώ πέρα θα μας βγάλει τζ Β μείον F του Β ίσον Σ, το Σ ξέρω ότι είναι το μείον Α, άρα το τζ του Β θα είναι ίσον με το F του Β μείον F του Α. Οπότε κατέληξα στη σχέση που θέλω να καταλήξω. Τα βήματα που έκανα είναι να ορίσω αυτήν εδώ τη συνάντηση, να πάρω την παραγωγησή της οπότε να βγει ότι η παράγωγος του τζ είναι ίση με την παράγωγο του Β του Χ, αυτές οι δύο μεταξύ τους θα διαφέρουν μία σταθερά και την εφήρμοσα αυτή τη σχέση δύο φορές. Και την άλλη φορά στο Β και όταν την εφήρμοσα στο Β είναι αυτό που ζητούσα, αν βάλω εδώ Β σε όλα θα βγει εδώ τζ Β Φ Β ίσον Σ, το Σ από την προηγούμενη σχέση είναι μίον Α, το βάζω εκεί πέρα, πάω το Φ Β από την άλλη μεριά και έχω ότι το τζ Β είναι ίσον με το Φ Β μίον το Φ Α. Ποιο είναι το τζ Β είναι αυτό που ζητάω, είναι αυτό εδώ. Οπότε απέδειξα αυτές τις δύο σχέσεις. Ωραία, άρα λοιπόν το πως θα κάνουμε ορισμένα ολοκληρώματα δεν είναι τίποτα άλλο, από μια εφαρμογή του αορίστου ολοκληρώματος θα βρούμε την προσότητα που έχουμε να ολοκληρώσουν, αυτά τα ξέρετε από το λίκιο και με αυτή την προσότητα που είναι το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης θα το πάρουμε στις θημές Α και Β. Εδώ δεν νομίζω ότι έχουμε να πούμε τίποτα περισσότερο από αυτά που ξέρετε ήδη. Εκείνο που θα θέλα να σας δώσω λίγο περισσότερες στοιχεία και να μιλήσουμε λίγο περισσότερο είναι τι γίνεται με τα ολοκληρώματα που ένα από τα όρια δεν είναι συγκεκριμένο, δηλαδή αυτά που λέμε γενικευμένα ολοκληρώματα. Τα γενικευμένα ολοκληρώματα είναι, ας πάρουμε την απλούστερη τους μορφή, έχουμε ολοκληρώματα τα οποία πηγαίνουν στο άπειρο. Άρα λοιπόν έχουμε σχέσεις. Τα γενικευμένα ολοκληρώματα είναι ένα ολοκλήρωμα της μορφής ολοκλήρωμα από μία σημεία Α έως το άπειρο, μια συνάντηση Φ του Χ δΧ. Αν μας δώσουν να κάνουμε ένα τέτοιο ολοκλήρωμα. Αυτό ήδη το έχουμε βρει μπροστά μας όταν μιλούσαμε για τις σειρές και τη σύγκλιση των σειρών. Τι ζητάμε σε ένα τέτοιο ολοκληρώμα. Να δούμε αν το ολοκλήρωμα αυτό υπάρχει, δηλαδή μας δίνει έναν αριθμό, μια τέτοια ολοκλήρωση. Δηλαδή μπορούμε να ολοκληρώσουμε από το Α μέχρι το άπειρο και βρούμε αποτέλεσμα σε αυτή την ολοκλήρωση. Θα δούμε πως θα το ψάξουμε. Τότε το ολοκλήρωμα αυτό συγκλίνει. Εάν το ολοκλήρωμα αυτό μας δίνει άπειρο σαν αποτέλεσμα, το ολοκλήρωμα αποκλίνει. Ωραία, τώρα όσα αναφορά τη σύγκλιση του ολοκληρώματος, όχι του αποτελέσματος. Μπορούμε, αν μας ρωτήσουν, μας δώσουν μια τέτοια σχέση και δεν μας ρωτήσουν πόσο είναι το αποτέλεσμα, μας ρωτήσουν απλώς αν συγκλίνει το ολοκλήρωμα. Μπορούμε να κάνουμε το εξής κόλπο, το οποίο θα είναι και μέσα στις ασκήσεις σας και νομίζω έχει ενδιαφέρον. Αν βρούμε μία συνάρτηση αν από την F του X οδηγηθούμε σε μία νέα συνάρτηση G του X και οδείξουμε ότι αυτή η F του X, η G του X είναι μεγαλύτερη από την F του X. Οπότε μπορούμε να γράψουμε εδώ πέρα ότι ο ολοκλήρωμα από το α έως το άπυρο της G του X δε Χ. Θα ισχύει αυτή η σχέση εφόσον έχουμε αποδείξει αυτό. Δηλαδή μας δώσανε την F του X να την ολοκληρώσουμε από α έως άπυρο και βρήκαμε ότι η F του X είναι μικρότερη από μία άλλη συνάρτηση G του X για όλα τα X του πεδίωρισμού τους. Οπότε ισχύει και αυτό το πράγμα γιατί ολοκληρώνουμε και από τις δύο μεριές. Μπορούμε να ολοκληρώσουμε από α έως άπυρο και τα δύο μέλη. Αν αυτή η συνάρτηση συγκλίνει αναγκάζει και αυτή να συγκλίνει. Αν αυτή που ολοκληρώσαμε εδώ πέρα τη βρήκαμε να συγκλίνει τη συνάρτηση θα συγκλίνει και η F. Τώρα το αντίθετο μπορεί να συμβαίνει αν μας δώσανε την F του X και βρήκαμε ότι η F του X είναι μεγαλύτερη από μία άλλη συνάρτηση G του X. Ολοκληρώνουμε και εδώ από α έως άπυρο και βρίσκουμε ότι αυτή αποκλίνει. Αν αποκλίνει αυτή θα αναγκάσει και αυτή να αποκλίνει γιατί είναι μεγαλύτερη της. Άρα δηλαδή ένας τρόπος να βρούμε αν ένα ολοκλήρωμα στο άπυρο συγκλίνει ή αποκλίνει είναι να βρούμε οι συνάρτησες που μας δίνουν να ολοκληρώσουμε αν είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από μία άλλη και να δούμε αυτή η νέα μήπως είναι πιο εύκολα να ολοκληρωθεί τι συμπεριφορά έχει. Εάν η συμπεριφορά τους δείχνει ότι και μπορούμε να δημιουργήσουμε αυτές εδώ τις σχέσεις δηλαδή η G του X τη βρήκαμε εξέλιξη της F του X και για όλα τα X είναι μεγαλύτερη. Εάν καταφέραμε και το ολοκλήρωμα G του X γίνεται εύκολα ενώ αυτό μπορεί να μην μπορεί να γίνει το ολοκλήρωμα. Απαντήσαμε για τη σύγκληση του ολοκληρώματος χωρίς να έχουμε βγάλει το ολοκλήρωμα. Με καταλαβαίνετε δηλαδή παίρνοντας μια συνάρτηση F του X την οποία θέλουμε να οκληρώσουμε από το α έως το άπυρο βρίσκουμε μια συνάρτηση μεγαλύτερη της ή μικρότερη της ανάλογα προς τα πού θέλουμε να κινηθούμε. Άρα λοιπόν ένας τρόπος να αποδείξουμε ότι ένα ολοκλήρωμα αποκλίνει είναι να βρούμε μια συνάρτηση G του X να αποδείξουμε ότι είναι μικρότερη από το F του X να δείξουμε ότι G του X αποκλίνει οπότε θα αναγκάσει και το μεγαλύτερό τους επίσης να αποκλίνει. Ενώ το αντίθετο αν βρούμε ότι η G του X είναι μεγαλύτερη από την F του X και αυτή συγκλίνει θα αναγκάσει και αυτή να συγκλίνει. Άρα λοιπόν όταν μας ζητάνε όχι την απάντηση του ολοκληρώματος αλλά αν συγκλίνει ή αποκλίνει ένα ολοκλήρωμα ψάχνουμε για μια συνάρτηση της οποίας το ολοκλήρωμα μπορούμε να το κάνουμε. Η οποία να συνδέεται με την F του X με αυτές εδώ τις σχέσεις. Η F του X είναι μικρότερη της G του X και δείξαμε ότι αυτό το ολοκλήρωμα συγκλίνει. Στην άλλη το G του X είναι μικρότερο από την F του X και δείξαμε ότι αυτό αποκλίνει άρα θα οδηγήσει και αυτό σε απόκλυση. Αυτά είναι για τα κριτήρια σύγκλησης. Αυτά που σας είπα τώρα είναι για τα κριτήρια σύγκλησης. Πότε μπορούμε να μελετήσουμε τη σύγκληση μιας συνάντησης. Τώρα να περάσουμε στο πώς θα οδηγηθούμε στην περίπτωση που έχουμε δύο τύπους ολοκληρώματα. Εάν θέλουμε να ολοκληρώσουμε από μηδέν, ας το πούμε από ένα, μέχρι το άπειρο μία συνάρτηση F του X δε Χ, ο ευκολότερος τρόπος να δουλέψουμε σε αυτές τις συναρτήσεις είναι να γράψουμε το εξής. Να υπολογίσουμε το όριο καινούργιου ολοκληρώματος που το L να πηγαίνει στο άπειρο και να ολοκληρώσουμε από το 1 μέχρι μιας γνωστής συνάντησης, μιας σταθεράς L. Οπότε να ολοκληρώσουμε το F του X δε Χ. Εάν αυτό το ολοκλήρωμα το προχωρήσουμε και βγάλουμε το αποτέλεσμά της πρέπει να δούμε εάν ας πούμε το ολοκλήρωμα αυτής εδώ του L να πηγαίνει στο άπειρο, θα είναι ίσον με το F του L μίον F του 1. Ποιο είναι το F είναι το ολοκλήρωμα, το αόριστο ολοκλήρωμα της F του X. Ή αν θέλετε το F κεφαλαίο είναι η παράγωγος της F του X. Οπότε αν αυτό το πράγμα δίνει έναν αριθμό 3, τότε αυτό το ολοκλήρωμα έχει αποτέλεσμα και είναι έναν ολοκλήρωμα το οποίο συγκλίνει. Αν αυτό το αποτέλεσμα είναι άπειρο, γίνει στο άπειρο, τότε λέμε το ολοκλήρωμα αποκλίνει. Και για να δούμε παραδείγματα. Ολοκληρώσετε πράγματι το ολοκλήρωμα του DX δια X από το 1 έως το άπειρο. Για να δούμε αυτό το ολοκλήρωμα το πολύ απλό, τι συμπεριφορά έχει. Αυτό είναι πάρα πολύ εύκολο να το αποδείξουμε φυσικά, γιατί θα μας δώσει λογαρίθμο του L. Συγγνώμη θα το ολοκληρώσουμε να πάρουμε το όριο του 1 μέχρι το L. Το L να πηγαίνει στο άπειρο, το DX δια X, το οποίο θα βγάλει το όριο του λογαρίθμου του L, όταν το L πηγαίνει στο άπειρο. Άρα λοιπόν αυτό θα μας δώσει άπειρο, αλλά αυτό το ολοκλήρωμα αποκλίνει. Ενώ ένα ολοκλήρωμα, για να δούμε λοιπόν σε αυτήν εδώ τη διαδικασία, να μου υπολογίσετε εσείς ένα ολοκλήρωμα. Εάν μας δώσουν να υπολογίσουμε από το 0 έως το άπειρο, τη σχέση δέχει 1 συν χ τετράγωνο. Με το οποίο είναι το αποτέλεσμα, για κάνετε εσείς αυτές τις πράξεις. Θέλω να μου πείτε αυτό το ολοκλήρωμα σε τι καταλήγει, σε ποιον αν συγκλίνει ή αποκλίνει και ποιο είναι το αποτέλεσμά του. Αυτό είναι το αποτέλεσμα. Λοιπόν όποιος το έχει τελειώσει αυτό και έχει βρει την ίσον, θα σηκώστε το χέρι. Πρέπει να θυμάστε ορισμένα πράγματα. Πρέπει να αρχίσουμε πέρα από την ορισμένη. Πείτε μου ποιο είναι το πτι βγάζει το αποτέλεσμα του ολοκληρώματος. Έχουμε λοιπόν να πάρουμε το όριο του λ να πηγαίνει στο άπειρο, του ολοκληρώματος από μηδέν έως άπειρο, του τ 1 συν χ τετράγωνο. Αυτό το ολοκληρώμα θα μου δώσει το τόξο της εφαπτομένης του χ από το μηδέν έως το λ και το αποτέλεσμα θα είναι το όριο του λ να πηγαίνει στο άπειρο, του τόξου της εφαπτομένης του λ μειών το τόξο της εφαπτομένης του μηδέν. Και το τόξο της εφαπτομένης του λ θα μας δώσει, αυτό εδώ πέρα είναι μηδέν, οπότε μας δίνει αποτέλεσμα πι δεύτερα. Λοιπόν, ένα ακόμα να το κάνετε μέχρι τέλους εσείς, να πάρουμε το ολοκλήρωμα από μηδέν έως άπειρο, του 1 μοιον χ έις την χ. Να πάρουμε κάτι έις τη μοιον χ. Αν θέλατε γραφικά να δείτε αν ένα ολοκλήρωμα συγκλίνει ή αποκλίνει πως θα το κοιτάζετε, πως θα το κάνατε. Αν δηλαδή σας δώσετε μια συνάντηση και εσείς έχετε τη δυνατότητα με το origin ή με τη μαθηματικά να κάνετε τη γραφική της παράσταση. Τι θα πρέπει μια συνάντηση που συγκλίνει αντίθετα από μια συνάντηση που αποκλίνει πως να συμπεριφέρετε. Θα πηγαίνει στο μηδέν πολύ γρήγορα στο μηδέν και με μεγάλη ταχύτητα. Άρα δηλαδή καταλαβαίνετε ότι οι περισσότερα μεγέθη που θα ασχοληθούμε με τη φυσική συγκλίνουν οι ποσότητες γιατί έχουμε επιβάλλει από τα μοντέλα που έχουμε φτιάξει ότι στο άπειρο θα μηδενίζονται οι συναρτήσεις. Δηλαδή για τα φυσικά μεγέθη δεν μπορεί να έχουμε δυναμικό στο άπειρο. Οπότε όταν μιλήσουμε για δυναμικά ή μιλήσουμε για οτιδήποτε άλλες συναρτήσεις φυσικής σημασίας οι συναρτήσεις συγκλίνουν γιατί στο άπειρο επιβάλλουμε. Αυτό δηλαδή άμα το ζωγραφήσετε έτσι το έτσι το σκέφτηκα. Άμα το ζωγραφήσετε αυτό θα δείτε τη συμπεριφορά του στο άπειρο ποια είναι και μπορείτε πολύ εύκολα να καταλάβετε. Αλλά έλα τέτοια να το αποδείξουμε αναλυτικά. Όπως είπαμε να πάρετε δηλαδή το όριο του l να πηγαίνει στο άπειρο, τη συναρτήσεις από 0 έως l του 1-x έως τη-x δx. Λοιπόν για τελειώσετε αυτή είναι πολύ εύκολη δεν έχει πολύπλοκες, δεν έχει να κάνει με τις συναρτήσεις το ξεφαπτομένης που είναι λίγο πιο δύσκολες και τα όριά τους δεν είναι. Αυτό θέλω να την πάτε μέχρι το τέλος και να μου πείτε τι αποτέλεσμα βγάζει. Το βρήκατε? Το βρήκατε? Τι βγαίνει? 0. Θέλετε να ανοίγω ή να σηκωθείτε να πάρει και το τραδιάστατο το κάνετε στον πίνακα. Δεν θα βρίσκαμε δύο, τρία, κοίτα κάτι άλλο. Κι εσείς εμένα που πρός θα συγκλίνει το τραδιάστατο. Γιατί όχι. Όχι, βεβαίως θα συγκλίνει. Η σύγκλιση όταν βρείτε έναν αριθμό προσυγγίζει έναν αριθμό συγκεκριμένο είναι πάντα σύγκλιση. Είχατε πει και για το 0 εσείς. Συγκεκριμένα δεν πρέπει να πούμε 0. Όχι, όχι. Του προηγούμενου δεν βρήκαμε πιδεύτερα. Όχι, η σύγκλιση είναι οποιασδήποτε αριθμός πραγματικός που μπορείτε να το προσδιορίσουμε. Το άπειρο είναι ότι δεν συγκλίνει. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο. Συγκλίνει το τραδιάστατο.