Ειδικές Μαθησιακές Δυσκολίες στα Μαθηματικά: Πρακτικές διδασκαλίας / Διάλεξη 1 / 36ο μάθημα με την κ. Χιδερίδου- Μανδαρή - Παντελιάδου Σουζάνα (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2023)
36ο μάθημα με την κ. Χιδερίδου- Μανδαρή: Γεια σας, σήμερα θα μιλήσουμε για πρακτικές διδασκαλίας που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε να εφαρμόσουμε όταν θέλουμε να διδάξουμε παιδιά με ειδικές μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά. Το σημερινό θέμα συζήτησης θα έλεγα ότι έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον καθώς γενικότερα στην ειδική αγωγή παρατηρείται ότι συχνά τύνουμε να χρησιμοποιούμε, να εφαρμόζουμε πρακτικές με έναν περισσότερο εμπειρικό διαισθητικό θα λέγαμε τρόπο, χωρίς δηλαδή πάντοτε να κρύβεται πίσω από αυτό που επιλέγουμε να κάνουμε να κρύβεται κάποιο ειρευνητικό υπόβαθο, μια πολύ συγκεκριμένη φιλοσοφία. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η πρόοδος που περιμένουμε να δούμε στα παιδιά με αναθυσιακές δυσκολίες πολλές φορές να γίνεται με έναν πιο αργοριθμό ή η κατάκτηση των μαθηματικών διεξιοτήτων μέσω των πρακτικών που εφαρμόζουμε, αντί να διευκολύνεται, στην ουσία να σαμποτάρεται, γιατί δεν ακολουθούμε, δεν στηριζόμαστε πάντοτε στους δρόμους, στα κανάλια εκείνα που έχει φανεί ότι είναι ιδιαίτερα βοηθητικά για τα παιδιά με αναθυσιακές δυσκολίες. Από τις πρακτικές διδασκαλίας που έχει τεκμηριωθεί ελευνητικά ότι είναι αποτελεσματικές, εμείς θα δείξουμε στη σημερινή συνάντηση τέσσερις από αυτές. Και είναι η σαφής διδασκαλία, είναι η φωναχτή σκέψη, η χρήση της φωναχτής σκέψης, είναι η γνωστική σκαλωσιά ή αλλιώς καθόλυνγκ. Και είναι ένα σχήμα το οποίο πιθανότατα πολλοί από εσάς να γνωρίζετε, αλλά θα το δούμε λίγο με μια πιο συγκεκριμένη, πιο δομημένη ματιά. Το σχήμα λοιπόν από το συγκεκριμένο στην αναπαράσταση και στο αφηρημένο. Σεκινούμε λοιπόν από τη σαφή διδασκαλία και θα πούμε λοιπόν σε αντίθεση με αυτό που συνήθως γίνεται στη τυπική διδασκαλία, στην τυπική εκπαίδευση. Και έχει επίσης τεκμηριωθεί ελευθυντικά ότι είναι αποτελεσματικό για τα παιδιά, για τον τυπικό μαθητικό πληθυσμό. Η διερευνητική δηλαδή μάθηση, η ανακαλυπτική μάθηση. Και αντίθεση λοιπόν με αυτή, τα παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες χρειάζονται έναν πιο συγκεκριμένο, πιο σαφή, δομημένο τρόπο, όταν καλούνται να διδαχθούν ιδιαίτερα νέες δεξιότητες ή νέες έννοιες. Και αυτός ο τρόπος είναι αυτό που είναι γνωστό ως σαφής διδασκαλία. Μέσα από ένα παράδειγμα θα προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε τι διαφορετικό έχει η σαφής διδασκαλία από την ανακαλυπτική, τη διερευνητική μάθηση. Καταρχάς, έστω λοιπόν μάλλον να ξεκινήσουμε με το παράδειγμα, ότι θέλουμε να διδάξουμε σε ένα παιδί την πρόσθεση ομώνυμων κλασμάτων, 5 έβδομα και 3 έβδομα. Ξεκινούμε λοιπόν με μια σαφή παράθεση των στόχων στην αρχή του μαθήματος. Το παιδί λοιπόν θα πρέπει από την αρχή να γνωρίζει τι είναι αυτό που αναμένεται σήμερα στο τέλος του μαθήματος να έχει κατακτήσει ή να έχει μάθει. Έτσι λοιπόν θα πούμε ότι σήμερα θα μάθουμε πώς προσθέτουμε ομώνυμα κλάσματα. Και προχωρώ κατευθείαν στο δεύτερο σημείο, όπου θα πρέπει να υπενθυμίσουμε προηγούμενη γνώση πριν ξεκινήσουμε να διδάσκουμε την νεαγνόση. Ποια είναι η προηγούμενη γνώση που μας ενδιαφέρει στο σημείο αυτό, να θυμίσουμε στο παιδί τι εννοούμε ομώνυμα κλάσματα. Άρα σήμερα θα διδάξουμε λοιπόν την πρόσθεση ομώνυμα κλασμάτων, δηλαδή για κοίτα κλασμάτων που έχουνε ίδιο παρονομαστεί. Με αυτό τον τρόπο τι πετυχαίνω, πετυχαίνω είτε από τη μία πλευρά να θυμίσω κάτι στο παιδί που μπορεί να έχει ξεχάσει, οπότε στην ουσία να μην ακολουθήσω, να μην σύρω πια άλλα κενά τα οποία θα με ακολουθούν καθόλου τη διάρκεια της διδασκαλίας και αυτοί λοιπόν το παιδί να μην θυμάται από την αρχή τι εννοούμε ομώνυμα κλάσματα, οπότε αυτή την απορία, αυτόν τον προβληματισμό να τον κουβαλάει μαζί του σε όλη τη διάρκεια του μαθήματος και να μην τον έχει ξεκαθαρίσει από την αρχή του. Και στη δεύτερη περίπτωση αυτό που μπορεί να πετύχω είναι το παιδί να γνωρίζει τι είναι τα ομώνυμα κλάσματα, απλά να είναι αβέβαιο. Οπότε με αυτόν τον τρόπο που πετυχαίνω να το επιβεβαιώσω και έτσι να τονωθεί και η δική του αυτοεκτείνηση και να προχωρήσει στο υπόλοιπο μάθημα με καλύτερη ψυχολογία. Σίγουρα κάτι το οποίο συμβαίνει στη διδασκαλία είναι ότι οτιδήποτε αποφασίσω να διδάξω θα πρέπει από πριν να έχω καθορίσει, να έχω προκαθορίσει τη σειρά με την οποία θα το διδάξω, η οποία θα πρέπει να είναι σε εισαγωγικά θα λέγαμε λογική. Δηλαδή θα πρέπει να έχω χωρίσει το έργο μου, να έχω χωρίσει τις δεξιότητές μου σε δήματα, σε μια σειρά από πιο απλά σε πιο σύνθετα από το πρώτο στο επόμενο και στο τελευταίο. Δηλαδή σε αυτή τη δασκαλία δεν θα πρέπει να θεωρείται τίποτα δεδομένο. Δεν θα πρέπει να υπάρχει κανένα αγεφύρωτο κενό από το ένα βήμα που πρέπει να κάνει το παιδί στο επόμενο. Και περνάμε στη δεύτερη πλευρά που στην ουσία η δεύτερη πλευρά αφορά τη φράση που βλέπετε στον τίτλο, στην επικεφαλήδα «το κάνω, το κάνουμε, το κάνεις». Στην αυτή τη δασκαλία θα πρέπει να έχουμε στο νου μας αυτά τα τρία μεγάλα στάδια. Πολύ συχνά στη δασκαλία μας με τους μαθητές μας συνηθίζουμε να παραλείπουμε κάποια στάδια είτε γιατί μπορεί να θεωρούμε ότι δεν είναι τόσο σημαντικά είτε γιατί μπορεί πολύ γρήγορα να έχουν εκτιμήσει ότι κατακτήθηκε κάτι σε ένα συγκεκριμένο στάδιο, οπότε περνάμε με έναν πολύ πιο γρήγορο ρυθμό στο επόμενο με αποτέλεσμα να μην καταφέρουμε πάντα να βοηθήσουμε το μαθητή να ευρεώσει τη γνώση με έναν πολύ πιο ομαλό τρόπο. Άρα, πάμε να δούμε λίγο τι σημαίνουν αυτά τα στάδια. Αυτό το στάδιο το κάνω εγώ. Επίδειξη λοιπόν των βημάτων από τον εκπαιδευτικό με χρήση φωναχτής σκέψης. Πάντοτε πριν δείξω πριν μάλλον ζητήσω από το μαθητή να κάνει το οτιδήποτε μόνος του δείχνω τα βήματα εγώ ο ήθος και δεν τα δείχνω απλώς σκέφτομαι φωναχτά. Έχουμε αναφέρει και σε προηγούμενη συνάντησή μας για τη σημασία της φωναχτής σκέψης και βλέπετε ότι και εδώ είναι πολύ σημαντικό να την εφαρμόσουμε. Σκεφτόμαστε λοιπόν φωναχτά για κάθε μία κίνηση που κάνουμε, για κάθε μία απόφαση που παίρνουμε. Αφού λοιπόν δείξω τα βήματα περισσότερες από μία φορές, δεν θα αρκεστώ δηλαδή σε ένα μόνο παράδειγμα, περνάμε στο δεύτερο στάδιο που είναι το κάνουμε. Πάμε λοιπόν στην παροχή κατευθυνόμενης εξάσκησης. Δηλαδή δεν μεταβαίνω από το το κάνω εγώ κατευθείαν στο τι το κάνει ο μαθητής. Μεσολαβεί ένα στάδιο στο οποίο στην ουσία υπάρχει ένας διάλογος θα λέγαμε μεταξύ του εαυτού μου και του μαθητή, κάνοντας συχνές ερωτήσεις στο μαθητή και χρησιμοποιώντας κάθε φορά μια πολύ συγκεκριμένη, σαφή γλώσσα για να κατευθυνθώ, να μεταβώ από το ένα βήμα μου στο άλλο. Στο στάδιο λοιπόν το δεύτερο στην ουσία θα λέγαμε ότι υπάρχει μια άλλη επίγραση μπορεί να ξεκινήσω εγώ ο εκπαιδευτικός και να ολοκληρώσει τη φράση μου ο μαθητής, να συνεχίσει ο μαθητής και μέσα από μια ερώτηση να κατευθύνω τη σκέψη του εγώ για το πώς θα πορευτούμε. Τι εννοώ τώρα με αυτόν τον τρόπο, θα μπορούσαμε λοιπόν εδώ στο πέντε έβδομα και τρία έβδομα να ξεκινήσω και να πω πάμε λοιπόν να το λύσουμε, θα πρέπει πρώτα να κοιτάξω εάν και ο μαθητής να συνεχίσει και να πει εάν τα κλάσματά μου είναι ομώνυμα. Πολύ ωραία, άρα βλέπω ότι έχω ίδιους και ο μαθητής μου συνεχίζει και λέει παρονομαστές και συνεχίζει λέγοντας άρα είναι ομώνυμα, άρα το μόνο που πρέπει να κάνω είναι να προσθέσω τους αριθμητές, λέω λοιπόν εγώ δηλαδή τους αριθμούς στο πάνω μέρος του κλάσματος. Άρα λοιπόν με αυτόν τον τρόπο βοηθώ τον μαθητή από κάτι που έκανα αρχικά μόνη μου, μόνο εγώ, να το πάρει πάνω του, να το αυτοματοποιήσει και να το κατακτήσει. Να μείνουμε λίγο στη σαφή και συγκεκριμένη γλώσσα. Τι εννοούμε με αυτόν. Κάθε φορά λοιπόν στο πρώτο μανόσταδιο που δείχνω ένα παράδειγμα με ένα συγκεκριμένο τρόπο, θα πρέπει να χρησιμοποιώ και μια πολύ συγκεκριμένη σειρά φράσεων. Δηλαδή εάν ξεκινήσω λέγοντας ότι θέλω να προσθέσω δύο κλάσματα, άρα κοιτώ πρώτα τους παρονομαστές. Είναι οι ίδιοι. Είναι. Άρα τα κλάσματά μου είναι ομώνυμα. Ακριβώς αυτές τις φράσεις θα χρησιμοποιήσω και στο επόμενό μου παράδειγμα. Πολλές φορές δίνουμε να χρησιμοποιούμε διαφορετικές φράσεις από τη μια φορά από το ένα παράδειγμα στο άλλο και αυτό δεν βοηθάει πάντοτε τους μαθητές να αυτοματοποιήσουν, να δημιουργήσουν στην ουσία μια ρουτίνα, θα λέγαμε, βημάτων, ενεργιών, ώστε στο τέλος να μπορέσουν αυτόνομα να κάνουν ακριβώς το ίδιο. Και φυσικά φτάνοντας στο τελευταίο στάδιο, το κάνεις, θυμόμαστε τι αναφέραμε και για την αξιολόγηση. Το δεύτερο και το τελευταίο στάδιο δεν αφορά την απολύτως αυτόνομη εργασία από τον μαθητή. Την εργασία δηλαδή σε ένα ήσυχο μέρος της τάξης που εγώ απλώς θα τον ελέγξω στο τέλος. Το στάδιο αυτό της αυτόνομης εργασίας περιλαμβάνει και εμένα στο περιβάλλον του μαθητή, που στην ουσία παρατηρώ τις κινήσεις και τις ενεργιές του, παρατηρώ τη φωναυτή σκέψη του και είμαι έτοιμη να επιβεβαιώσω άμεσα ή να διοθώσω το παιδί άμεσα ώστε να γνωρίζει ακριβώς εκείνο το σημείο στο οποίο πήρε ίσως τη λάθος στροφή, το λάθος δρόμο στη σκέψη και να μπορέσει κατευθείαν να κατανοήσει τι πρέπει να κάνει διαφορετικά. Η φωναχτή τώρα σκέψη που αποτελεί από μόνη της μια αποτελεσματική πρακτική και δίνει στην ουσία μια πρόσβαση στον τρόπο σκέψης του παιδιού και του δικού μου, όπως είδαμε και στην αξιολόγηση στην περασμένη συνάντηση αλλά και εδώ στη σαφή δεσκαλία είναι μια πρακτική που στην ουσία την εφαρμόζουμε συνδυαστικά με άλλες. Είναι δηλαδή πολλές φορές αναπόσπαστο κομμάτι άλλων πρακτικών. Φυσικά εστιάζουμε σε ένα βήμα τη φορά και σκεφτόμαστε φωναχτά για κάθε ένα βήμα μου ξεχωριστά και για ποιο πράγμα μιλάω να θυμηθούμε για οτιδήποτε παρατηρώ. Βλέπουμε λοιπόν ότι οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι ίδιοι. Άρα αυτό που το παρατήρησα θα το πω φωναχτά. Μιλάω λοιπόν φωναχτά, σκέφτομαι φωναχτά για κάθε απόφαση που παίρνω. Άρα τα κλάσματά μου είναι ομώνυμα και γι' αυτό αρκεί να προσθέσω μόνο τους αδερφητές έτσι και το λόγο που παίρνω μια απόφαση. Οτιδήποτε λοιπόν μπορεί ως διαργασία να πραγματοποιηθεί μέσα στο μυαλό μου. Τώρα την βγάζω στην επιφάνεια και αυτό που σκέφτομαι το λέω φωναχτά, το λεκτικοποιώ. Πάμε να δούμε τι είναι η γνωστική σκαλωσιά τώρα. Η γνωστική σκαλωσιά ή αλλιώς αυτό που λέμε scaffolding στην ουσία αφορά την δυνατότητα να κατακτήσω τη γνώση προοδευτικά σε στάδια. Συντηριζόμαστε λοιπόν σε μικρές σκαλωσιές που τι είναι οι σκαλωσιές στην προκειμένη περίπτωση, τι θα μπορούσε να είναι. Θα μπορούσε να είναι βοηθήματα, οπτικά, μήξεις, λεκτικές ή οπτικές. Πολλές φορές εάν είναι βοηθητικό, λέξεις φιλιά, κάρτες υπενθύμησης που το παιδί κουβαλάει πάντοτε μαζί του και τι κάνουν ακριβώς αυτές τις σκαλωσιές, βοηθούν στο να γεφυρωθούν κάποια κενά όταν καλούμε να διδάξω μια καινούργια γνώση και υπάρχουν κάποιες προαπετούμενες γνώσεις που δεν έχουν κατακτηθεί ακόμα απόλυτα. Οπότε αυτά τα βοηθήματα, αυτές τις σκαλωσιές, έρχονται να συνδέσουν τα προαπετούμενα με αυτό που θέλω τώρα να μάθω και πρέπει να εστιάσω εκεί την προσοχή. Για παράδειγμα, εάν θεάζεται να διδάξω σε ένα παιδί τον αλγόρισμο του πολλαπλασιασμού, τα βήματα του πολλαπλασιασμού, αλλά το παιδί δεν έχει κατακτήσει απόλυτα ακόμη την προπαίδεια, τα αριθμητικά δεδομένα του πολλαπλασιασμού. Αυτό δεν σημαίνει ότι εγώ δεν θα περάσω στον κάθε το πολλαπλασιασμό, επειδή το παιδί ακόμα μπορεί στην 4η τάξη, στην 5η τάξη να μην έχει κατακτήσει την προπαίδεια. Αυτό που μπορώ να κάνω είναι να του δώσω μια σκαλωσιά, ένα βοήθημα και το παιδί μαζί του να έχει πάντοτε σε μια κάττα το πίνακα της προπαίδειας και να τον συμβουλεύεται αντίστοιχα. Με φυσικά πότερο στόγο κάποια στιγμή αυτή η βοήθεια, αυτό το ρωθεί σκαλωσιά να αποσυρθεί. Επίσης, εάν έχω ένα παιδί το οποίο παρουσιάζει συνοδές αναγνωστικές δυσκολίες και θέλω να του διδάξω και τελειώσει προβλήμα τους. Αυτό που μπορώ να κάνω είναι είτε εγώ είτε ένας συμμαθητής του να διαβάζει για αυτόν το πρόβλημα. Στην ουσία να κάνουμε πέρα το γλωσσικό κομμάτι, το γλωσσικό εμπόδιο και να βοηθήσουμε το μαθητή να εστιάσει σε αυτό που εκείνη τη στιγμή μας ενδιαφέρει, που μπορεί να είναι τα δύματα επίλυσης ενός προβλήματος. Ο στόχος πάντοτε, το που ξαναλέω, είναι όσο το παιδί αποκτάνεση με το υλικό που διαχειρίζεται, σταδιακά να μειώνεται η υποστήριξη που του δίνω. Να ξηλώνω δηλαδή μία μία σκαλωσιά μέχρι να βεβαιωθώ ότι μπορεί να το κάνει χωρίς αφές. Ας πάρουμε λοιπόν ένα παράδειγμα. Αν το παιδί πρέπει να μάθει να λύνει ένα πρόβλημα με δύο δύματα, μια τάξη λοιπόν έχει 24 μαθητές, τα δύο τρίτα των μαθητών τελείωσαν το διαγώνισμα στο πρώτο μισάωρο, πόσοι μαθητές έμειναν να λύουν το διαγώνισμα και λυθέει. Βλέπουμε λοιπόν ότι εδώ υπάρχει μέσα μία ερώτηση κρυφή θα λέγαμε, έτσι. Για να μπορέσει το παιδί όχι μόνο να λύσει το πρόβλημα, αλλά ακόμη και να διδαχθεί θα λέγαμε ότι υπάρχουν ενδιάμεσα στάδια που πρέπει να τα λάβει η υπόψη, μπορώ σε μία πρώτη φάση τι να κάνω να δίνω στο παιδί μίσος με πιο έντονα γράμματα όπως βλέπουμε εδώ την ενδιάμεση αυτή ερώτηση. Σταδιακά αυτός είναι ο στόχος μου, σταδιακά είναι αφού το παιδί πλέον είναι υποψιασμένο ότι μπορεί και να υπάρχει κάποια ερώτηση ενδιάμεση, να ξηλώσω αυτή τη σκαλωσιά, να αφαιρέσω αυτό το βοήθημα και να περιμένω από το παιδί να το αναζητήσει μόνο του. Από την άλλη μεριά μπορεί να έχω ένα άλλο πρόβλημα, αυτό το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι από τα βιβλία τα κυπριακά και βλέπω λοιπόν εδώ ότι ένας πατατοπαραγούς είχε στην αποθήκη του 750 κιλά πατάτες από αυτά που έλεγε 580 κιλά, πόσο κιλά πατάτες έμειναν στην αποθήκη. Πρόκειται για ένα απλό πρόβλημα αλλαγής στην ουσία, αφαίρεσης. Θα πρέπει λοιπόν το παιδί να τοποθετήσει τα δεδομένα στα πλαίσια που του δίνονται ήδη στο βιβλίο, αυτά τα πλαίσια δίνονται ήδη στο βιβλίο. Αυτό που μπορώ να κάνω ως μία σκαλοσιά, να δώσω μία σκαλοσιά στο παιδί, ποια είναι, πρώτον θα μπορούσα να κυκλώσω τα δεδομένα που μας ενδιαφέρουν καθώς και μία λέξη κλειδί εάν και φόσον δουλεύω με το παιδί με λέξεις κλειδιά στα προβλήματα. Μπορώ επίσης από μόνη μου να δώσω στο παιδί τους τίτλους κάθε μίας κατάστασης, αρχική κατάσταση, αλλαγή, χωρίς ακόμη να του δίνω, χωρίς να του λέω ποια θα είναι η αλλαγή που θα υποστεί τα δεδομένα του και να του δίνω τη τελική κατάσταση. Και ακόμη και το ερωτηματικό, ο άγνωστος, αποτελεί και αυτό μία γνωστική σκαλοσιά. Άρα του δίνω αρκετά βοηθήματα και στην ουσία στην πρώτη φάση το παιδί το μόνο που πρέπει να κάνει είναι να τοποθετήσει τα δεδομένα στις σωστές καταστάσεις, στις σωστά σημεία, η ουσία ερμηνεύοντας αυτά τις σχέσεις που δημιουργούνται μεταξύ των δεδομένων. Σε μία δεύτερη φάση αυτό που θα μπορούσα να κάνω είναι να ξυλώσω σιγά σιγά τις καλοσχές. Θα μπορούσα να ξεκινήσω ξυλώνοντας το ερωτηματικό, δηλαδή τον άγνωστο. Άρα το παιδί θα καλούνταν τώρα πια να αποφασίσει μόνο του τι είναι αυτό που δεν γνωρίζει, ποιο στάδιο, ποια κατάσταση είναι αυτή που δεν γνωρίζει. Θα μπορούσα σταδιακά επίσης να αφαιρέσω την υπογράμιση των βασικών δεδομένων ή των λέξεων κλειδιά. Θα μπορούσα να μην του δώσω ποτέ μια καρτέλα με λέξεις κλειδιά για να το βοηθήσω. Αποφασίζω λοιπόν εγώ ανάλογα με το παιδί και τις ανάγκες του και τις δυνατότητες του από πού θα ξεκινήσω σιγά σιγά να αφαιρώ να αποσύρω τη βοήθεια. Βλέπουμε στο σχήμα από το συγκεκριμένο στην αναπαράσταση και το αφιλημένο που είδαμε και στην αρχή στις πρώτες διαφάνειες. Το πρόκειται λοιπόν για ένα σχήμα με το οποίο πολλοί από εσάς μπορεί να είστε ήδη εξητειωμένοι, ωστόσο ο τρόπος με τον οποίο το εφαρμόζουμε αυτό ειδικότερα για τους μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες δεν είναι πάντοτε ο πιο αποτελεσματικός τρόπος. Συχνά δηλαδή βλέπουμε ότι στην πρώτη δημοτικού, ενώ ξεκινούμε με εμπλοκή των μαθητών μέσα από συγκεκριμένα υλικά, η μετάβαση των μαθητών σε επόμενα στάδια γίνεται με έναν πολύ γρήγορο τρόπο, με έναν επίσης ασύνδετο θα λέγαμε τρόπο, με αποτέλεσμα ειδικότερα οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες, ενώ θα μπορούσαν να υποφευγούν πάρα πολύ από αυτά τα στάδια να μην το κάνουν γιατί ακριβώς δεν υπάρχουν όλες εκείνες οι απαραίτητες προϋποθέσεις για την ουμαλή μετάβαση από το ένα στο άλλο. Τι εννοούμε όταν λέμε συγκεκριμένο πραξιακό στάδιο υπεξεργασίας, εννοούμε ότι χρησιμοποιούμε χειραπτικά υλικά, τα οποία μπορούμε να πιάσουμε με το χέρι μας, μπορεί να είναι τα ξυλάκια αυτά αριθμίσεις που έχουμε στην πρώτη δημοτικού, μπορεί να είναι απλά χαρτονάκια, μπορεί να είναι ένα ανάπτυγμα ενός τύπου το οποίο το παιδί θα το πιάσει στα χέρια του ή μπορεί να είναι υλικό του εμπορίου όπως θα δούμε στη συνέχεια εδώ παρακάτω, το οποίο έχει σχεδιαστεί με μια πολύ συγκεκριμένη φιλοσοφία και συγκεκριμένες προδιαγραφές ακριβώς με στόχο την καλλιέργεια των μαθηματικών δεξιοτήτων στα παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες. Ενώ λοιπόν πρόκειται για κάτι το οποίο μοιάζει αρκετά ενδιαφέρον, παιγνιώδες, ελκυστικό για τα παιδιά, θα πρέπει να πούμε ότι ακόμη και αυτό το υλικό, η χρήση του μάλλον και ο τρόπος με τον οποίο τα παιδιά θα πρέπει να το χειριστούν θα πρέπει να το διδαχθούν από εμάς με έναν σαφή τρόπο. Επομένως αυτό που μπορεί να γίνει σε αυτές τις περιπτώσεις είναι να ξεκινήσουμε με το υλικό στα παιδιά, δίνοντάς τους την αρχή να το επεξεργαστούν, να το περιεργαστούν μόνα τους, να το χειριστούν μόνα τους, ώστε να ικανοποιήσουν με αυτόν τον τρόπο την περιεργειά τους. Και στη συνέχεια λοιπόν, μετά από ένα 5-10 λεπτο, να ξεκινήσουμε τη διδασκαλία του τρόπου με τον οποίο χρησιμοποιούμε το κάθε ένα υλικό για να κατακτήσουμε, για να μάθουμε τα μαθηματικές έννοι. Το δεύτερο στάδιο της αναπαράστασης στην ουσία αφορά σχηματικές αναπαραστάσεις και τι εννοούμε με αυτό, εννοούμε γραφικούς οργανωτές, αριθμογραμμές, σχηματικές άλλες αναπαραστάσεις που στην ουσία αφορούν έναν πιο συγκεκριμένο τρόπο αναπαράστασης για παράδειγμα προβλημάτων, που στην ουσία αυτό το στάδιο αποτελεί θα λέγαμε το συμβετικό κρίκο ανάμεσα στο πρώτο και στο τρίτο στάδιο, που είναι το αφηρημένο. Αποτελεί δηλαδή τη γέφυρα θα λέγαμε, ανάμεσα σε αυτό που τα παιδιά μπορούν και πιάνουν με τα χέρια τους και σε αυτό που τα παιδιά σκέφτονται εντελώς αφηρημένα και εντελώς συμβολικά. Από το δρισδιάστατο δηλαδή που συναντούσαμε στο πρώτο στάδιο, περνούμε στο δρισδιάστατο μέρος, το οποίο φορά στην ουσία το χαρτί. Το πώς αποτυπώνεται κάτι πάνω σε ένα χαρτί. Ακόμη και αυτό το στάδιο, ακόμη και το να μπορεί ένα παιδί να σχηματίζει, να σχεδιάζει ή και να διαβάζει μια αναπαράσταση, μια σχηματική αναπαράσταση, χρειάζεται να διδαχθεί στο παιδί με έναν σαφή τρόπο, έτσι, για να μπορέσει κάποια στιγμή να επέλθει η αυτονομία. Και φυσικά έχουμε το τελευταίο στάδιο, το οποίο είναι το πιο συνηθισμένο και το οποίο ακόμη και αν δεν είναι βοηθητικό για τα παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες, είναι αυτό με το οποίο είναι περισσότερο εξηγειωμένα, καθώς το μεγαλύτερο μέρος των σχολικών βιβλίων, έτσι, αναπαριστάται, η γνώση αναπαριστάται αφηρημένα, συμβολικά. Περνούμε λοιπόν να δούμε κάποια συγκεκριμένα χαρακτηριστικά. Βλέπουμε λοιπόν ότι ανάμεσα στα τρία επίπεδα επεξεργασίας γίνονται συνδέσεις. Το παιδί δηλαδή κατανοεί το πώς συνδέεται αυτό που στο πρώτο στάδιο, στο πρώτο επίπεδο έπιανε με τα χέρια του. Πώς συνδέεται λοιπόν αυτό με αυτό που στο δεύτερο επίπεδο βλέπει στο χαρτί του σχηματισμένο και πώς συνδέεται αυτό με αυτό που βλέπει στο τρίτο επίπεδο επεξεργασίας, στο τρίτο στάδιο, που είναι η αριθμή και τα σύμβολα. Ξαναλέμε ότι κάθε επίπεδο επεξεργασίας, το πώς χρησιμοποιώ τα πουλιά, το πώς χρησιμοποιώ, για παράδειγμα, κάποια χειβάκια στην αρχή, το πώς σχεδιάζω μια αναπαράσταση ή το πώς τη διαβάζω, αλλά και φυσικά το πώς αντιλαμβάνομαι τους αριθμούς και τα σύμβολα στο τελευταίο στάδιο, όλα αυτά απαιτούν σε αυτή τη δρασκαλία, όπως είδαμε και νωρίτερα. Ένα από τα βασικά λάθη να αναφέρω είναι ότι διαζόμαστε πολύ συχνά να μεταβούμε από το ένα στάδιο, από το ένα επίπεδο επεξεργασίας στο άλλο, θεωρώντας ότι το παιδί εύκολα το έχει κατακτήσει ή ότι το παιδί μπορεί να έχει κουραστεί οπότε πρέπει να περάσουμε σε κάτι πιο προχωρημένο. Αυτό που χρειάζεται όμως, αντισταίτοι, είναι να δίνουμε πολλαπλές ευκαιρίες εξάστησης σε κάθε επίπεδο επεξεργασίας και το παιδί από μόνο του θα έρθει και θα καταλάβει το όφελος αυτοίς της επιμονής μας σε κάθε ένα στάδιο, όταν πλέον θα αντιληφθεί ότι αυτό που μαθαίνεστε συνέχεια έχετε να χτυπώσει με αυτό που είδε νωρίτερα για παράδειγμα στα κυβάκια ή αυτό που βλέπει τώρα σε ένα νοερό υπολογισμό είναι αυτό που νωρίτερα είδε ζωγραφισμένο στο χαρτί του σε μια αριθμογραμμή. Από μόνο το παιδί δηλαδή δέχεται αυτήν την ικανοποίηση ότι πλέον κατανοεί και γεννίζει τα κενά αυτά που έχουν δημιουργηθεί. Το ξανά αναφέραμε αυτό λοιπόν περνάμε στο επόμενο επίπεδο αφού έχουμε κατακτήσει το προηγούμενο και φυσικά μπορεί να χρειαστεί να γυρίσουμε σε προηγούμενα στάδια όποτε αυτό κρίνεται αναγκαίο. Πολλές φορές δηλαδή ενώ μπορεί να μεταβω από το χειραπτικό υλικό μου σε αριθμογραμμή για τη διδασκαλία νοερών υπολογισμών και το παιδί μπορεί να δείχνει ότι μπορεί να χειριστεί τις αριθμογραμμές για να υπολογίσει νοερά κάποια δεδομένα, κάποιους υπολογισμούς, όταν περάσω αποκλειστικά και μόνο στο αφηρημένο στάδιο και το παιδί θα πρέπει με το νου του μόνο να κάνει την ίδια διαδικασία, να ακολουθήσει τα ίδια βήματα που είχε ακολουθήσει στην αριθμογραμμή, πολλές φορές μπορεί να διαπιστώσουμε ότι δεν μπορεί να το κάνει. Άρα μπορεί να χρειαστεί να ξαναγυρίσω πίσω και να του δείξω να του θυμίσω μέσω της αριθμογραμμής με ποιον τρόπο θα πρέπει να λειτουργήσει, πώς θα πρέπει να χρησιμοποιήσει ίσως ευέλικτα τους αριθμούς για να βρει το αποτέλεσμα με το νου του. Φυσικά μέσα από όλη αυτή τη διαδικασία και με τη χρήση του χειραπτικού υλικού αλλά και με το να βάλω το παιδί, να οδηγήσω το παιδί στην αυτονομία, στο να το χειρίζεται μόνο του, ενισχύω την ενεργητική μάθηση, την ενεργητική εμπλοκή του και το πιο σημαντικό από όλα είναι, ξαναλέω, ότι πλέον αποκτά νόημα η νέα μάθηση, η νέα γνώση για το παιδί. Αν θέλουμε να δούμε ένα παράδειγμα για να δούμε το πόσο σημαντικό είναι η μετάβαση αυτή από το ένα στάδιο στο άλλο, να αφορά μάλιστα ακριβώς ακριβώς την ίδια δεξιότητα, πάμε να δούμε ένα παράδειγμα πρόσθεσης. Έστω λοιπόν ότι θέλω να διδάξω στο παιδί την έννοια της πρόσθεσης, ότι στην ουσία συνδυάζω δύο μέρη για να σχηματίσω ένα ολόκληρο. Χρησιμοποιώ λοιπόν στο πρώτο στάδιο πουλια, διαφορετικού βλέπουμε χρώματος ή άλλα αντικείμενα και συνδυάζουμε για να φτιάξουμε το σύνολο. Έχουμε λοιπόν 4 κόκκινα και 3 μπλε πουλια. Όταν λοιπόν αποφασίσω να περάσω στο δεύτερο στάδιο της αναπαράστασης, τότε αυτό που θα σχεδιάσω στο χαρτί θα πρέπει να ανταποκρίνεται να αντιστοιχεί όσο γίνεται και αυτό που το παιδί χειρίστηκε νωρίτερα πραξιακά, με έναν πιο χειραπτικό τρόπο, με τα χέρια του. Άρα θα πρέπει να σχεδιάσω 4 σκόκκινες βούλες και 3 μπλε βούλες, ώστε να καταλάβω ότι αυτό πιο πριν χειριζόμουνα είναι αυτό που βλέπω τώρα ζωγραφισμένη. Πολλές φορές δηλαδή, το να δουλεύω με κάποιο υλικό και αμέσως μετά να μεταβαίνω στο χαρτί με κάτι εντελώς διαφορετικό, για παράδειγμα με ζωγραφισμένα αστεράκια ή με ζωγραφισμένα βετράκια, δεν σημαίνει ότι δεν θα καλλιεργήσει τη δεξιότητα, δεν θα ενισχύσει τη μάθηση, αλλά θα βοηθούσε ακόμη περισσότερο εάν η πρώτη μετάβαση ήταν ακόμη πιο ομαλή και γινότανε ακριβώς με την αναπαράσταση ακριβώς του ίδιου υλικού που χειρίστηκε το παιδί νωρίτερα. Και φυσικά το αφηλημένο πάλι πριν ξεκινήσω, πριν προσθέσει το παιδί οριζόντια τους αριθμούς, θα μπορούσα να τους δείξω λοιπόν στο χαρτί με τον ίδιο τρόπο, ότι αυτό που πριν είδαμε ως τέσσερα κυκλάκια και πιο πριν ως τέσσερα κυβάκια τώρα είναι ο αριθμός τέσσερα. Και αυτό που είδαμε ως τρία κυκλάκια και ως τρία κυβάκια πιθανότατα είναι ο αριθμός τρία. Και πάμε λίγο να δούμε τι εννοούμε όταν λέμε χειραπτικό υλικό. Αναφέραμε νωρίτερα ότι μπορεί να εννοούμε το οτιδήποτε έχουμε γύρω μας, το οτιδήποτε μπορεί το παιδί να πιάσει, να μετρήσει και να χρησιμοποιήσει για τις δεξιότητες που θέλουμε να καλλιεργήσουμε. Όμως μπορεί να είναι και υλικό του εμπορίου, το οποίο έχει αποδειχθεί, έχει τεχνηριωθεί και αυτό ερευνητικά ότι είναι πολύ αποτελεσματικό για να διδάξει με έναν πολύ δομυμένο τρόπο συγκεκριμένες μαθηματικές δεξιότητες στα παιδιά με μαθητριακές δυσκολίες. Η ράβδε λοιπόν πιο οζυνέρη είναι η πρώτη και σε αντίδραση με άλλης ράβδος που μπορεί να συναντήσουμε βλέπουμε ότι το βασικό χαρακτηριστικό τους είναι ότι είναι χωρισμένες, έτσι η δεκάδα είναι χωρισμένη στις μονάδες τους, με αποτέλεσμα αυτό τι κάνει, τι ενισχύει, ενισχύει την κατανοήση των σχέσεων μεταξύ των αριθμών. Δηλαδή πολύ πιο εύκολα όπως θα δούμε και στη συνέχεια μπορώ να καταλάβω ότι ο αριθμός 4 ημών ράβδος είναι ένα κυβάκι περισσότερο από τον αριθμό 3. Οπότε είναι πολύ σημαντικό εάν είναι εφικτό να μπορεί να είναι ξεχωριστή να είναι διακριτές μονάδες πάνω στις συγκεκριμένες ράβδες. Πώς μπορώ να χρησιμοποιήσω τις ράβδους Cuisineer είτε για κάτι ακόμη πιο ένα προστάδιο για κάτι πολύ πιο πρόημο που μπορεί να είναι η ταξινόμηση είτε ταξινόμηση κατά μέγεθος είτε ταξινόμηση κατά χρώμα. Μπορεί να καλλιεργήσω την έννοια του αριθμού με την απλή δεξιότητα να αντιστοιχίσω ποσότητα και σύμβολο και αριθμό. Μπορεί να είναι να συγκρίνω απλά ποσότητες έτσι να βάλω λοιπόν μονάδες και μονάδες και να μπορέσω με το μάτι πλέον να εκτιμήσω το μέγεθος και τη διαφορά μεταξύ των ποσοτήτων. Μπορεί πάλι να συνεχίσω με την καλλιέργεια της έννοιας του αριθμού και στην ουσία να κατανοήσει το παιδί τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών όπως ανέφερα και νωρίτερα. Για παράδειγμα έχουμε τον αριθμό πέντε και ο προηγούμενος αριθμός τι είναι στην ουσία είναι πέντε βγάζω ένα. Ο επόμενος αριθμός τι είναι ακριβώς είναι πέντε βάζω ένα. Άρα αν βγάλω ή αν βάλω ένα ποιο θα πάρω. Μπορώ εύκολα με τις Rafts Cuisiner να διδάξω και να κατανοήσω το παιδί πλέον πιάνοντάς της την έννοια του μισού. Έχω λοιπόν το δέκα χωρισμένο σε πέντε και πέντε και μπορώ εύκολα να το σπάσω και να πάρω το μισό και να κατανοήσω γιατί το πέντε είναι το μισό του δέκα. Και αντίστροφα έχω την έννοια του διπλάσιου μπορώ λοιπόν να κατανοήσω γιατί το οχτώ είναι το διπλάσιο του τέσσερα. Γιατί αν βάλω δύο τεσσάρια στη σειρά του ένα δίπλα στο άλλο φτιάχνω ένα οχτώ, ένα οχτάρι. Μπορώ να διδάξω και να κατανοήσω τα ρυθμιτικά δεδομένα δηλαδή τους πολλαπρούς τρόπους αναπαράστασης για παράδειγμα της δέκα. Θυμόμαστε και σε προηγούμενη συνάντηση που αναφέραμε ότι τα ρυθμιτικά δεδομένα τα αζευγάρια της δέκα δεν είναι τίποτα άλλο παρά το να κατανοήσω την έννοια του δέκα. Έτσι τι είναι, από τι αποτελείται, πώς μπορώ να σχηματίσω το δέκα. Μπορώ να διδάξω την έννοια της προστασίας, το πολύ απλό, τι σημαίνει προσθέτω και εκεί παίρνω παραπάνω, ενώνω στην ασφαία, συνδυάζω και φυσικά τι σημαίνει αφτερό, στερό από κάτι και μη μένει κάτι άλλο. Τον πολλαπλασιασμό μπορώ λοιπόν να δείξω με πολλαπλούς τρόπους γιατί λοιπόν έξι φορές το τέσσερα και τέσσερις φορές το έξι είναι ακριβώς το ίδιο, μπορώ λοιπόν αναπαριστώντας το εικοσιτέσσερα με πολλαπλούς τρόπους να δείξω στο παιδί γιατί, για ποιον λόγο, πώς σχηματίζονται μάλλον τα ζευγάρια του πολλαπλασιασμού. Και φυσικά μπορώ να εξηγήσω την έννοια, να κατανοήσω το παιδί την έννοια της διέλυσης, γιατί του 24 2 3, επειδή αν του 24 το χωρίσω στο 3, θα πάρω από 8 μάλλον. Ακόμη και στα κλάσματα μπορώ να χρησιμοποιήσω τα Cousiner, τις Rafts Cousiner, μπορώ δηλαδή να εξηγήσω σε ένα παιδί που σημαίνει 2 τέταρτα, τα 2 από τα 4 δηλαδή, ή το 1 από τα 5. Και να εξηγήσω και σε ένα παιδί αργότερα, ακόμη και τα κλάσματα τα οποία όταν τα προσθέτω είναι ομώνυμα γιατί παραμένει ίδιος ο παρονομαστής και όταν είναι ετερόνυμα γιατί θα πρέπει να κάνω κάποια στροποποίηση στον παρονομαστή. Και έχουμε και τα ισοδύναμα κλάσματα, μπορώ εύκολα να εξηγήσω σε ένα παιδί γιατί το 1 δεύτερο μπορεί με τον ίδιο τρόπο να μπορεί να σημαίνει μάλλον ακριβώς το ίδιο με το 2 τέταρτα, με το 6 δωδέκατα, τα 3 έκτα και πάει λέγοντας. Περνούμε τώρα στα πλαίσια των 10, τα πλαίσια του 10. Πρόκειται λοιπόν για ένα διδακτικό εργαλείο που βολθάει τα παιδιά όπως θα δούμε στη συνέχεια να οπτικοποιήσουν, να συγκρίνουν, να χωρίσουν αριθμούς και το πιο βασικό είναι ότι έχουν πάντοτε ως σημείο αναφοράς τη σχέση τους με το 10. Ένα λοιπόν πλαίσιο του 10 στην ουσία είναι αυτό που βλέπετε εδώ, είναι ένα πλαίσιο χωρισμένο σε συγκεκριμένες 10 θέσεις και πάνω σε αυτό την ουσία εφαρμόζω χρησιμοποιώ με αυτό πουλιά. Βασικά χαρακτηριστικά του ποια είναι, ότι κάθε ένα σύνολο στοιχείων κωδικοποιείται χρωματικά, για παράδειγμα εάν πρέπει να προσθέσω 7 και 3, το σύνολο 7 θα το δώσω με κόκκινα πούλια και τα 3 θα τα δώσω με γκλε πούλια. Πολύ βασικό στοιχείο, βασικό χαρακτηριστικό όλης αυτής της πρακτικής είναι να αναγνωρίζω οπτικά και αυτόματα τα σύνολα στοιχεία με το που τα βλέπω χωρίς να τα μετρήσω. Δηλαδή πρόκειται για μια δεξιότητα το subitizing, στο οποίο στηρίζεται όλη η δρασκαλία των μαθηματικών δεξιοτήτων στα 10 frames, στα πλαίσια του 10. Ένα παιδί δηλαδή πριν ξεκινήσει να διδάσκεται το οτιδήποτε θα πρέπει να έχει εξασκηθεί στο να αναγνωρίζει οπτικά τι είναι αυτό που βλέπει. Για παράδειγμα με το παιδί αυτό το σύνολο θα πρέπει να αναγνωρίζει ότι είναι το 7, ώστε στη συνέχεια να μην χρειαστεί να μετρήσει, να χρειαστεί μόνο να γνωρίζει ότι το σύνολο αυτό που το αναγνωρίζω οπτικά, θέλει άλλα τρία για να ολοκληρώσει και να συμπληρώσει τη δεκάδα. Τι μπορώ να διδάξω με τα πλαίσια του 10, μπορώ να διδάξω και στηρίζομαι σε αυτό στο πάτημα είτε στη πεντάδα αρχικά είτε στη δεκάδα. Το παιδί δηλαδή καταλαβαίνει τι θα πει πάτημα στη δεκάδα γιατί μαθαίνει ότι γεννίζει πρώτα τη δεκάδα του και στη συνέχεια προσθέτει ό,τι περισσεύει. Άρα το κανάλι το οπτικό είναι αυτό το οποίο στην ουσία ενισχύεται περισσότερο, στηριζόμαστε περισσότερο στο οπτικό κανάλι μέσα από τα πλαίσια του 10 για να μπορέσουμε να καλλιεργήσουμε να διδάξουμε τις μαθηματικές δεξιότητες. Τι πετυχαίνουμε λοιπόν υποβοηθεί αφενός η καλλιέργεια της έννοιας του αριθμού. Μπορούμε λοιπόν να δουλέψουμε την έννοια του αριθμού να καλλιεργήσουμε ορισμένες δεξιότητες της όπως είναι για παράδειγμα να γεμίσουμε μία σειρά την πάνω σειρά με λιγότερα πουλιά από 5 και να πούμε ποια αριθμή δεν γεμίζω μία σειρά. Πες μου όλους τους πιθανούς αριθμούς που δεν γεμίζουν μία σειρά. Το 1, το 2, το 3, το 4. Άρα θα πρέπει το παιδί να σκεφτεί ότι οτιδήποτε κάτω από 5 δεν γεμίζει μία σειρά. Ποια αριθμή γεμίζουν πάνω από μία σειρά. Άρα το παιδί θα πρέπει να σκεφτεί μόνο του οτιδήποτε όλους τους αριθμούς μάλλον πάνω από το 5 που γεμίζουν περισσότερες από μία σειρά. Άλλος τρόπος για να διδάξω να καλλιεργήσω την έννοια του αριθμού. Το 8 είναι 3 περισσότερα από το 5 και 2 λιγότερα από το 10. Αν γυρίσω λίγο πίσω να δούμε το παράδειγμα με το 7 και όχι με το 8 για να γίνει λίγο πιο καταναλτώ, βλέπουμε ότι τι μπορώ να διδάξω, τι μπορώ να δουλέψω με αυτόν τον τρόπο. Μπορώ να πω λοιπόν στο παιδί ότι το 7 είναι 2 περισσότερα από το 5 και είναι 3 λιγότερα από το 10. Άρα μαθαίνω πολλούς πάλι τρόπους αναπαράστασης των αριθμών με τη βοήθεια, την οπτική βοήθεια αυτή των πλασίων του 10. Άλλο στόχος απότελος είναι η αυτοματοποίηση των αριθμητικών δεδομένων. Η αυτοματοποίηση είναι σημαντική για τους υπολογισμούς, τους νοερούς και τους εκτίμηση. Και πώς την πετυχαίνω, μαθαίνω λοιπόν τα ζευγάρια του 10, όπως είδαμε νωρίτερα, το οποίο είναι προαπαιτούμενο για να μάθει το παιδί να πατάει στη δεκάδα και στη συνέχεια να χρησιμοποιεί αυτή τη στρατηγική για να εκτελείνω νοερούς υπολογισμούς. Η αυτοματοποίηση λοιπόν των δεδομένων όπως είδαμε και στο προηγούμενο παράδειγμα είναι έχεις 6 ή έχεις 7 όπως είδαμε νωρίτερα, πόσα θες ακόμη μέχρι το 10. Αυτό γίνεται αρχικά σε ένα πραξιακό θα λέγαμε πάλι επίπεδο, σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο επεξεργασίας με πουλιά. Αργότερα η θέση αυτή αυτών παίρνει απλά μια κάρτα, η σχηματική αναπαράσταση του πλαισίου του 10, που το παιδί απλά κοιτώντας τα ζωγραφισμένα τα πουλιά σε ένα χαρτονάκι θα πρέπει μόνο να σκέφτεται πόσο ακόμη θέλει μέχρι το 10 για να περάσουμε στο τελευταίο στάδιο στο αφηρημένο που το παιδί απλά θα πρέπει να σκέφτεται το συμπλήρωμα του 6 ή το συμπλήρωμα του 7 χωρίς να βλέπει μπροστά του κανένα οπτικό βοήθημα. Και όπως αναφέραμε ήδη καλλιεργείται κατεπέκταση η ευχέρεια των οερών υπολογισμών. Τα πλαίσια του 10 πέρα από το κλασικό τρόπο με τα πουλιά μπορούν να χρησιμοποιηθούν και κυκλοφορούν γενικότερα στο εμπόριο είτε όπως βλέπουμε εδώ κάτω από τον υπιαγωγείο ακόμα μέσα από επιδαφέδιο στην ουσία τρόπου επιδαφέδια πλαίσια του 10 χαλιά. Μπορεί να το δώσουμε με τη μορφή bingo που στην ουσία μπορούμε να ζητήσουμε από ένα παιδί εδώ να βάλει ένα πουλί σε κάθε αριθμό που του ζητούμε. Δηλαδή μπορεί να του ζητήσω τον αριθμό 4, τον αριθμό 7 και θα πρέπει γρήγορα με οπτική μόνο αναγνώριση του συνόλου να τοποθετήσει πάνω ένα πουλί. Μπορεί να έχουμε λοιπόν τα ζάρια ή το spinner έτσι και πάνω σε αυτά με αυτό το υλικό να διαμορφώσω και τις δραστηριότητές μου. Και περνούμε στα νομικών μέσα, σχήματα νομικών τα οποία είναι ένα υλικό το οποίο χρησιμοποιήθηκε κυρίως στη Μεγάλη Βρετανία και πρόκειται για ένα πολυεστητριακό εκπαιδευτικό υλικό. Βοηθάει πολύ τα παιδιά να καλλιεργήσουν την έννοια του αριθμού, με ποιον τρόπο παρουσιάζοντας τον κάθε αριθμό με συγκεκριμένη σχηματική μορφή. Τα παιδιά τι κάνουν, κατανοούν το αριθμητικό σύστημα και πολύ σημαντικό κατανοούν και τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών. Που είναι βασικό στοιχείο για να μπορέσει το παιδί να κατακτήσει ανώτερες μαθηματικές δεξιότητες. Τα χρώματα τώρα, πολύ βασικό χαρακτηριστικό γιατί ανέφερα νωρίτερα ότι τα υλικά αυτά και κυρίως του εμπορίου κρύπουν από πίσω τους μια συγκεκριμένη φιλοσοφία. Έχουν δηλαδή ένα πολύ σκεφτημένο τρόπο και λόγο για τον οποίο έχουν κατασκευαστεί ώστε να βοηθούν και να στηρίζονται να πατούν πάρα πολύ στον τρόπο με τον οποίο μαθαίνουν καλύτερα τα παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες. Άρα, το γεγονός ότι τα νομικώς έχουν χρώματα, από μόνο του το κατακαθιστά ελκυστικά για τα παιδιά. Το διαφορετικό χρώμα τώρα του κάθε σχήματος βοηθά τα παιδιά ώστε εύκολα να διακρίνουν τον αριθμό που αντιστοιχεί στον καθένα. Από την άλλη μεριά, κάτι το οποίο μπορεί κανέναν να μπορεί κάποιος να μην το σκεφτεί και να μην το λάβει υπόψιν, είναι ότι ακόμη και τα κυκλάκια του κάθε σχήματος πρώτον δείχνουν την ποσότητά του, έτσι μπορεί εύκολα το παιδί να μετρήσει και να κατανοήσει τον αγιεθόν του και είναι τόσο ώστε να μπορεί το παιδί εύκολα να τα πιάνει και να τα σφυρίζεται με τα χέρια του. Και μπορούν να χρησιμοποιηθούν από τριών ετών και αν από την προσχολική ακόμη ηλικία, για να καλλιεργηθούν δεξιότητες αρκετά προμαθηματικές που μπορεί να είναι η ταξινόμησή τους, μπορεί να είναι η χρωματική με βάση τον μέγεθος, δεξιότητες δηλαδή οι οποίες διδάσκονται σε μικρότερη προσχολική ηλικία. Τι βοηθείτε, τι μπορούμε να διδάξουμε. Το παιδί καταλαβαίνει, αντιλαμβάνεται το πώς λειτουργεί το αριθμητικό σύστημα και πολύ βασικό, αντιλαμβάνεται τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών. Ένα παιδί δηλαδή μπορεί να τοποθετήσει το ένα σχήμα πάνω στο άλλο και να κατανοήσει για παράδειγμα, ότι το αριθμός εννιά είναι μεγαλύτερο σαν τον αριθμό τρία ή ότι στον αριθμό εννιά χωράει τρεις φορές ο αριθμός τρία. Κατανοεί λοιπόν τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών. Κατανοεί και με αυτόν τον τρόπο το παιδί την έννοια του μισού και του διπλάσιου. Τοποθετώντας πάλι το ένα σχήμα πάνω στο άλλο, καταλαβαίνει το παιδί ότι στον αριθμό οχτώ χωράνε δύο φορές το τέσσερα. Άρα τέσσερα και τέσσερα, το διπλάσιο του τέσσερα είναι ο αριθμός οχτώ. Μπορώ να μάθω να κατακτήσω τις πράξεις, να κατανοήσω περισσότερο την έννοια των πράξεων, τι σημαίνει πρόσθεση, τι σημαίνει αφαιρό και κάτι μείνει πολλαπλασιάζει και διαιρό. Μονή και ζυγία ρυθμή, το παιδί καταλαβαίνει, αν παρατηρήσετε τα σχήματα νουμικών, ότι αυτά τα οποία περισσεύουν, να σας πάω λίγο πίσω στην εικόνα για να μπορέσετε να το δείτε. Βλέπετε λοιπόν εδώ στην εικόνα ότι τα σχήματα εκείνα που πάντα κάτι περισσεύει είναι η περιττή αριθμή, ενώ η ζυγία ρυθμή είναι αυτά τα οποία σχήματα μάλλον δεν περισσεύει τίποτα. Κατανοούμε λοιπόν μονούς και ζυγούς αριθμούς. Σταδιακά μπορούν να καταφέρουν να ανακαλούν τους αριθμητικά δεδομένα με πιέρα. Με ποιον τρόπο, για να δούμε λοιπόν παράδειγμα το 2 και 1, το παιδί μαθαίνει ότι 2, αν προσθέσει 1, μου κάνει τον αριθμό 3. Έτσι λοιπόν 12 και 1, ακριβώς το ίδιο βάζοντας μπροστά μία ολόκληρη πληθυκάδα, θα μου κάνει τον αριθμό 13 χωρίς να χρειαστεί να μετρήσω κάτι παραπάνω. Το 22 και 1, επίσης γνωρίζοντας το 2 και 1 κάνει 3, βάζω δύο δεκάδες μπροστά χωρίς να μετρήσω, γνωρίζω λοιπόν να την κάνει 23. Και περνούμε τώρα στα οπτικά βοηθήματα, δηλαδή στο δεύτερο αυτό στάδιο, τα διότητες εργασίας που είναι το σχηματικό. Θα μιλήσουμε τώρα για τις αριθμογραμμές και θα δούμε με ποιον τρόπο μπορούμε να καλλιεργήσουμε μαθηματικές δεξιότητες με αυτές. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε λοιπόν την αριθμογραμμή για να καλλιεργήσουμε την έννοια του αριθμού και μάλιστα για αυτό το σκοπό θα έλεγα εγώ ότι αποτελεί και ένα πολύτιμο εργαλείο. Γιατί το παιδί με αυτόν τον τρόπο κατανοεί τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών, μπορεί και λοιπόν καταλαβαίνει πόσοι αριθμοί παρεμβάλλονται από τον ένα μέσα και τον άλλον, πόσο μακριά είναι ο ένας αριθμός από τον άλλον και μάλιστα βλέπουμε εδώ ότι θα μπορούσαμε να συνδυάσουμε και την αριθμογραμμή μάλιστα με κάτι που μπορεί το παιδί να διτάξει και νωρίτερα στο χειραπηκό στο συγκεκριμένο στάδιο, μέσω των Rathal-Husiner για παράδειγμα, να δείξουμε λοιπόν πώς το 40, οι θέσσεδες δηλαδή αυτές δεκάδες γίνονται 50 σταδιακά, πώς δηλαδή προσθέτουμε άλλη μια δεκάδα. Έτσι στην ουσία τι κάνουμε, κάνουμε μια εξαιρετική σύνδεση ανάμεσα στο προηγούμενο στάδιο που ήταν το πραξιακό, στο δεύτερο που είναι το σχηματικό και μάλιστα εδώ θα λέγαμε ότι έχουμε και η αριθμογραμμή νέμενη αποτελεί μια σχηματική αναπαράσταση, ένα οπτικό βοήθημα, ωστόσο μέσα αρχίζει και μπαίνει μέσα και το στοιχείο το αθυριμένο, το συμβολικό καθώς έχει μέσα και αριθμούς. Εδώ δίνω δύο links τα οποία θα μπορούσατε ίσως να χρησιμοποιήσετε και να αξιοποιήσετε. Το πρώτο αφορά δραστηριότητες που θυρίζονται στην αριθμογραμμή, έχει δηλαδή πολλούς τρόπους που μπορείτε να αξιοποιήσετε την αριθμογραμμή, το παιδί να εντοπίζει κάποιον αριθμό ανάμεσα σε κάποιους άλλους κλπ. Και το δεύτερο λινκ αφορά τον σχεδιασμό αριθμογραμμής μέσω μιας δωρεάν εφαρμογής του McLeary Center και θα δούμε στη συνέχεια με ποιον τρόπο μπορείτε αυτό να το κάνετε. Βλέπουμε λοιπόν κι άλλο τρόπο αριθμογραμμή για έννοια του αριθμού, το παιδί λοιπόν σε μια μικρότερη πλέον κλίμακα από το 1 μέχρι το 10, μπορεί να συνδυάσει πάλι το προηγούμενο στάδιο με το επόμενο, το καθαρά δηλαδή συμβολικό και αφηρημένο των αριθμών, με ένα πιο εικονικό σχηματικό τρόπο, να τοποθετώ δηλαδή κάτω από κάθε αριθμό σύμβολο και την ποσότητα, το σύνολο των στοιχείων, για να μπορώ πιο εύκολα να κατανοώ την μεταβολή από τον έναν αριθμό στον άλλον. Πάρα πολύ χρήσιμο εργαλείο η αριθμογραμμή, όταν θέλω να διδάξω να καλλιεργήσω μάλλον την έννοια του αριθμού, την έννοια του δεκαδικού αριθμού. Το να μπορέσει ένα παιδί να κατανοήσει τι κρύβεται ανάμεσα σε δύο αριθμού, σε δύο ακέραιους αριθμούς από το 2 μέχρι το 3, είναι πάρα πολύ δύσκολο για παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες. Το να χωρίζω αυτά τα θλίματα, να τα διαιρώ σε υπομέρι μέσω μιας αριθμογραμμής και να παίζω με τις αποστάσεις μεταξύ των δεκαδικών αριθμών, είναι πάρα πολύ βοηθητικό για τα παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες. Αυτό λοιπόν τώρα είναι από την εφαρμογή που σας είπα νωρίτερα, από το MathLine Extended. Βλέπετε λοιπόν πώς μπορώ να σχεδιάσω μια αριθμογραμμή από όποιο σημείο μέχρι όποιο άλλο σημείο θέλω και να ορίσω ή όχι τα ενδιάμεσα σημεία και να ζητάω λοιπόν από ένα παιδί να καθορίζω ένα σημείο συγκεκριμένο και να του ζητώ να μου λέει για παράδειγμα ποιο σημείο είναι. Και στη συνέχεια το ίδιο το σύστημα, η ίδια εφαρμογή να επαληθεύει το παιδί ή όχι. Επίσης αριθμογραμμή για έννοια των αριθμών όταν πλέον βγουν στην διδασκαλία και οι αρνητικοί ακόμη αριθμοί. Το παιδί λοιπόν καταλαβαίνει με αυτό τον τρόπο τι σημαίνει ένας αριθμός είναι μικρότερος ή ίσον του τρία και μπορεί λοιπόν να προχωρήσει και να επεκταθεί και στους αρνητικούς αριθμούς. Τι σημαίνει μικρότερο του τρία χωρίς λοιπόν να περιλαμβάνεται μέσα το τρία και πάει λέγοντας. Και συνεχίζουμε με τους γραφικούς οργανωτές και συγκεκριμένα τον γραφικό οργανωτή της Freger, το μοντέλο της Freger, σύμφωνα με τον οποίο μπορούμε να οργανώσουμε με έναν γραφικό τρόπο πληροφορίες που συμβεί με έναν συγκεκριμένο μαθηματικό όρο στη προκειμένη περίπτωση, το οποίο έχει η διδαχθή του παιδί. Για παράδειγμα, στο συγκεκριμένο μοντέλο, στο συγκεκριμένο γραφικό οργανωτή, βλέπουμε ότι μπορεί να καταγραφεί ορισμός του συγκεκριμένου μαθηματικού όρου, ορισμένα χαρακτηριστικά και ιδιότητες που θα επιλέξω εγώ να παρουσιάσω και να μάθω ένα παράδειγμα και ένα αντιπαράδειγμα. Πάμε λοιπόν να το καταλάβουμε καλύτερα μέσα από ένα παράδειγμα. Βλέπουμε δηλαδή ότι το παιδί θα μπορούσε να έχει διδαχθεί την έννοια της περιμέτρου. Θα δώσουμε λοιπόν έναν ορισμό και βλέπουμε κιόλας μάλιστα ότι σε παρένθεση μπορεί να δώσουμε και το γύρο-γύρο, αυτό δηλαδή το οποίο μπορεί να θυμάται καλύτερα το παιδί. Δηλαδή, στόχος όλου αυτού του βοηθήματος είναι ακριβώς το να μπορεί το παιδί εύκολα να το χρησιμοποιήσει προς όφελό του. Άρα, εάν φράση το γύρο-γύρο είναι αυτή που θα το βοηθήσει να θυμάται τι είναι το περιμέτρο, το βάζω. Επίσης, τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες. Μπορεί να έχω τον τύπο της περιμέτρου. Μπορεί να έχω κάποια βασικά χαρακτηριστικά, ότι θα πρέπει να είναι εκφρασιμένα τα μήκη των παιδών σε όλα στην ίδια μοναδική. Δίνω ένα παράδειγμα και δίνω και ένα αντίπαράδειγμα. Τα αδειγματική δηλαδή δεν είναι οι περιμέτρες. Δεν είναι το εμβαδόν για παράδειγμα. Τώρα, αυτό το γραφικό οργανωτή, με ποιον τρόπο μπορώ να το χρησιμοποιήσω, μπορεί λοιπόν ένα παιδί κάθε φορά που μαθαίνει μια καινούργια μαθηματική έννοια, να το καταγράφει, να συγκεντρώνει, δηλαδή όσους περισσότερους γραφικούς οργανωτές, να δημιουργήσει σε ένα μπρελόγκ, ένα βιβλιαράκι και να τους έχει μαζί του ως οπτικά βοηθήματα κάτι συμπεριθύμησης όταν το χρειάζεται. Και αυτός ακόμη ο γραφικός οργανωτής χρειάζεται σε αυτή τη δρασκαλία. Χρειάζεται σε αυτή τη δρασκαλία τόσο ως προς το πώς θα ανατρέχω σε αυτόν, με ποιον τρόπο θα το χρησιμοποιώ, όσο και ως προς το πώς μπορώ μόνος μου να τον κατασκευάσω. Άλλος ο γραφικός οργανωτής για έννοιες είναι ως συγκεκριμένος, για παράδειγμα εάν έχω διδάξει το παιδί διαφορετικά ή δίτετρα πλεύρων, μπορώ με έναν τρόπο γραφικό να οργανώσω όλες αυτές όλες τα ήλικη με τα χαρακτηριστικά τους για να μπορεί το παιδί με πιο εύκολο και ξεκάθαρο τρόπο να συμβουλεύεται και να ανατρέχει σε αυτά όταν το χρειάζεται. Γραφικό οργανωτή μπορώ να κατασκευάσω, να σκεδιάσω ακόμη και για την επίλυση προβλήματος, ακόμη δηλαδή και για τα στάδια που ακολουθώ κατά την επίλυση ενός προβλήματος. Έτσι λοιπόν θα μπορούσα ανάλογα με τα βήματα που έχω επιλέξει εγώ να διδάξω στον αρχητή μου, να σκεδιάσω ένα γραφικό οργανωτή με τα συγκεκριμένα βήματα, τι γνωρίζω, τι θέλω να μάθω, τι πράξη θα κάνω, το πλαίσιο για την επίλυση και την απάντηση. Σταδιακά τώρα όπως αναφέραμε και νωρίτερα στις καλοσκές, όλα αυτά μπορώ βήμα βήμα κομμάτι κομμάτι να αρχίσω να τα αποσύρω. Όταν πλέον δηλαδή το παιδί έχει αρχίσει να αυτοματοποιεί τη σειρά τη διαδοχή των ενεργιών κατά την επίλυση ενός προβλήματος, μπορώ σιγά σιγά τι να κάνω, δηλαδή να αφαιρέσω το τελευταίο πλαίσιο. Οπότε το παιδί μόλις φτάσει στην επίλυση να θυμάται πλέον ότι υπάρχει άλλο ένα πλαίσιο που δεν φαίνεται τώρα, το οποίο απαιτεί από εμένα να δώσω μια απάντηση. Και πάλι έγωνα. Και να δούμε λίγο τι εννοούσαμε όταν λήγαμε σχηματικές αναπαραστάσεις νωρίτερα για την επίλυση προβλημάτων. Βλέπουμε, για παράδειγμα, ότι για την επίλυση προβλημάτων μπορώ τι να κάνω, μπορώ να οπτικοποιήσω τα δεδομένα του προβλήματος και ακόμα πιο σημαντικό να οπτικοποιήσω στην ουσία, να αναπαραστήσω με ένα σημαντικό τρόπο τις σχέσεις που προκύπτουν μεταξύ των δεδομένων. Το συγκεκριμένο μοντέλο που βλέπουμε αντιστοιχεί στο μοντέλο της Σιγαπούλης, το μοντέλο που χρησιμοποιούν οι μπάρες για την αναπαράσταση των εδομένων και των σχέσεων μεταξύ τους της Σιγαπούλης. Βλέπουμε δηλαδή ότι στο συγκεκριμένο πρόβλημα, το οποίο λέει ότι 214 ενήλικες και 258 παιδιά επισκέφτηκαν το νυζολογικό κήπο της Θεσσαλονίκης την περασμένη πέμπη. Πόσοι άνθρωποι επισκέφτηκαν το νυζολογικό κήπο την περασμένη πέμπη, δηλαδή είναι ένα απλό πρόβλημα πρόσθεσης, μπορώ με τη χρήση του συγκεκριμένου μοντέλου να δείξω ακριβώς τις σχέσεις μεταξύ των δύο αυτών των εδομένων. Ότι στην ουσία αυτό που αναζητώ, ο άγνωστος, είναι το σύνολο που προκύπτει από την ένωση των δύο μέρων. Αντίστοιχα, σε ένα άλλο πρόβλημα, υπάρχουν 30 φλαμίνγκο στο νυζολογικό κήπο της Θεσσαλονίκης, οι στρουθοκάμιλοι είναι το ένα έκτο τον φλαμίνγκο, πώς οι στρουθοκάμιλοι υπάρχουν στο νυζολογικό κήπο, στην ουσία πάλι από το σύνολο που είναι το 30, μπορώ με αυτόν τον σχηματικό τρόπο να διαιρέσω και να δείξω τι σημαίνει το ένα έκτο τον φλαμίνγκο και το πώς μπορώ να το βρω. Άρα, με έναν σχηματικό τρόπο, το παιδί στην ουσία υποστηρίζεται ακριβώς αυτή η κατανόηση, που αν θυμόμαστε είχαμε δει και νωρίτερα στην προηγούμενη συνάντηση, ότι το να κατανοήσω το πώς σχετίζονται μεταξύ τους οι αριθμητικές και οι γλωσσικές πληροφορίες σε ένα πρόβλημα, που η πρώτη δηλαδή αυτή η φάση επίλυσης ενός προβλήματος είναι και από τα βασικά χαρακτηριστικά της σχολιών των παιδιών με δυσαλυθυνσία, με ειδικές μαθησιακές δυσκολίες. Άρα, τι πρέπει να κρατήσουμε από όλα τα παραπάνω. Κατάμε σίγουρα ότι το υλικό που έχουμε στη διάθεσή μας είναι πλούσιο. Άρα, όταν έρχεται στα χέρια μας, έρχεται στην τάξη μας να φοιτήσει ένας μαθητής με ειδικές μαθησιακές δυσκολίες, θα πρέπει να γνωρίζω από πριν ότι έχω εφόδια ρεπερτόριου στρατηγικών που μπορώ να χρησιμοποιήσω για να το βοηθήσω. Πολύ βασικό που δεν πρέπει να ξεχνάμε γενικότερα στην ειδική αγωγή και τώρα πιο συγκεκριμένα στην δρασκαλία των παιδιών με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά. Ό,τι εφαρμόζω προσπαθώ να είναι ερευνητικά τεκμηριωμένο ως προς την αποτελεσματικότητά του, προκειμένου αυτό που κάνω να μην πέσει στο κενό και να μου φέρνει πολύ πιο γρήγορα αποτελέσματα. Οτιδήποτε κάνω επίσης θα πρέπει να ξέρω και γιατί το κάνω και πώς να το κάνω και πώς να το συνδυάσω με όλα τα υπόλοιπα. Δηλαδή παραπάνω αναφέραμε, είδαμε μια σειρά από στρατηγικές, μια σειρά από πρακτικές. Είδαμε υλικό, χειρακτικό, είδαμε σχηματικές αναπαραστάσεις, είδαμε υλικό όπως είναι τα νουμικός, όπως είναι τα ten frames, τα οποία θα πρέπει στο τέλος, αφού λοιπόν τα έχω στα χέρια μου, θα πρέπει να γνωρίζω πότε να εφαρμόσω το ένα και πότε το άλλο. Πώς να τα εντάξω, δηλαδή όλα αυτά, σε ένα σαφές διδακτικό πλαίσιο. Θα πρέπει λοιπόν να σκεφτώ ότι θα μπορούσα να χρησιμοποιήσω τα πλαίσια του 10 για την καλλιέργεια, την αυτοματοποίηση των αριθμικών δεδομένων και τα νουμικός για παράδειγμα για την καλλιέργεια της έννοιας του αριθμού. Θα χρειάζεται λοιπόν κάθε φορά που χρησιμοποιώ κάτι να αναρωτιέμαι πώς αυτό μπορώ να το συνδυάσω με όλα τα υπόλοιπα προκειμένου να υπάρχει αποτελεσματικότητα στη διδασκαλία μου. Είναι λοιπόν απαραίτητη η κατάλληλη σύνθεση των πρακτικών και του υλικού για να έχουμε τα μέγιστα δυνατά αποτελέσματα. Σας ευχαριστώ πολύ.