Πεπλεγμένες Συναρτήσεις, Όρια / Διάλεξη 3 / Υπολογισμός ορίου συναρτήσεως που τείνει σε συγκεκριμένο σημείο ή στο άπειρο. Απροσδιόριστες μορφές, χρήση κανόνα l’Hospital. - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Υπολογισμός ορίου συναρτήσεως που τείνει σε συγκεκριμένο σημείο ή στο άπειρο. Απροσδιόριστες μορφές, χρήση κανόνα l’Hospital.: Μια εταιρεία παράδεισου φέτης που διαθέτει σε κυλίνδρους όπου πεταθώσαν την έπιστη τρίτη, να βρείτε την Αθήνα βάση οδοχείου ώστε να χρησιμοποιηθεί το λιγότερο υλικό στην κατασκευή. Πολύ ωραία. Μια εταιρεία παράδεισου φέτης που διαθέτει σε κυλίνδρους όπου πεταθώσαν την έπιστη τρίτη, να βρείτε την Αθήνα βάση οδοχείου ώστε να χρησιμοποιηθεί το λιγότερο υλικό στην κατασκευή. Πολύ ωραία. Μια εταιρεία παράδεισου φέτης που διαθέτει σε κυλίνδρους όπου πεταθώσαν την έπιστη τρίτη, να βρείτε την Αθήνα βάση οδοχείου ώστε να χρησιμοποιηθεί το λιγότερο υλικό στην κατασκευή. Πολύ ωραία. Μια εταιρεία παράδεισου φέτης που διαθέτει σε κυλίνδρους όπου πεταθώσαν την έπιστη τρίτη, να βρείτε την Αθήνα βάση οδοχείου ώστε να χρησιμοποιηθεί το λιγότερο υλικό στην κατασκευή. Πολύ ωραία. Μια εταιρεία παράδεισου φέτης που διαθέτει σε κυλίνδρους όπου πεταθώσαν την έπιστη τρίτη, να βρείτε την Αθήνα βάση οδοχείου ώστε να χρησιμοποιηθεί το λιγότερο υλικό στην κατασκευή. Πολύ ωραία. Μια εταιρεία παράδεισου φέτης που διαθέτει σε κυλίνδρους όπου πεταθώσαν την έπιστη τρίτη, να βρείτε την Αθήνα βάση οδοχείου ώστε να χρησιμοποιηθεί το λιγότερο υλικό στην κατασκευή. Πολύ ωραία. Μια εταιρεία παράδεισου φέτης που διαθέτει σε κυλίνδρους όπου πεταθώσαν την έπιστη τρίτη, να βρείτε την Αθήνα βάση οδοχείου ώστε να χρησιμοποιηθεί το λιγότερο υλικό στην κατασκευή. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. Αυτή είναι μια σκέψη. Αυτή είναι μια σκέψη με το εμβατό του κυλινδρού, το οποίο το εμβατό του κυλινδρού εισήλθε με το εμβατό της βάσης και το εμβατό της παράπλευας. Αυτή είναι μια σκέψη με το εμβατό του κυλινδρού, το οποίο το εμβατό του κυλινδρού εισήλθε με το εμβατό της παράπλευας. 2.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγγγγγνώμη για τους υπόλοιπους. 1.000 συγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγы. Ελάτε να την παραγωγήσουμε μαζί. Τι θα μου βγάλει? Ποιος θέλει να με βοηθήσει να παραγωγήσω μία συνάντηση που λέει 3x ψ του x συν ψ τετράγωνο του x συν x τετράγωνο μίον 7 ίσο με το 0. Λοιπόν, αυτή η παραγωγή δεν θα έχω. Πρώτα έχω ένα γινόμενο πέρα, x ψ του x. Θα δώσει 3 ψ του x ωραία, συν μετά θα είναι 3x ψητόνους του x από αυτήν εδώ έβγαλα δύο όρους. Με παρακολουθείτε? Προχωράω τώρα στον άλλο, έχω 2 ψ τόνους ψ του x και στο τέλος έχω συν 2x ίσο με το 0 όλα αυτά. Τώρα μπορώ να λύσω την ψ τόνους του x. Ποιά θα είναι αυτό θα πάει στο άλλο μέλος, άλλα θα πάει μίον 2x και εδώ θα πάει και αυτό θα πάει στο άλλο μέρος και θα είναι μίον 3 ψ x και εδώ θα παρονομαστείς θα έχει το 3x συν 2 ψ του x. Αν δεν έχω κάνει λάσεις στις πράξεις έχω λύσει αυτήν την εξίσως προς ψ τόνους. Αν δεν έχω κάνει λάθωση πρέπει να είναι αυτό. Συμφωνείτε? Τώρα θέλω να βρω το ψ τόνους του x στο σημείο x ίσον 2. Προσέξτε έχω ένα περιορισμό σας είπα αυτός ο όρος το παρονομαστείς εδώ γιατί έχω λυνώντας ως προς ψ τόνους έχω μίον 2x στον αριθμητή, μίον 3 ψ και στον αριθμητή παρονομαστεί έχω 3x συν 2 ψ. Αν λοιπόν το x που μου έχετε δώσει δεν μηδενίζει το παρονομαστεί τότε μπορώ πραγματικά να ορίσω το παράγωγο της πλεπλεγμένης και ορίζεται υπεπλεγμένη. Για το x ίσον 2 λοιπόν θέλω να βρω το ψ τόνους του x στη θέση x ίσον 2. Πώς θα το βρω? Πρώτα θα πάω στην αρχική εξίσουση που μου είχατε δώσει, αυτή είναι εδώ. Θα βάλω x ίσον 2 και θα λύσω να βρω το ψ. Θα είναι μια δευτεροβάθμια εξίσουση. Θα πάρω το ψ από την πρώτη τη συνάντηση πριν κάνω την παράγωγο και θα έχω και το x και το ψ από εδώ. Θα τα βάλω σε εκείνη τη σχέση και θα βρω την παράγωγο. Άρα μπορώ να βρω την παράγωγο μιας πλεπλεγμένης συνάντησης χωρίς να μπορώ να λύσω την εξίσουση f του x ψ 0. Δεν με καταλάβατε. Με καταλάβατε ή δεν με καταλάβατε. Λέω δηλαδή με την υπεπλεγμένη συνάντηση υπάρχει περίπτωση για το κάποιο x που μου δώσεις, πηγαίνω δηλαδή και τελικώς μου λες θέλω να μου βρεις την παράγωγο της πλεπλεγμένης συνάντησης αν ορίζεται στο σημείο x ίσον 2. Το πρώτο που κάνω είναι βάζω το σημείο x ίσον 2 στη συνάντηση που μου έχεις δώσει f ψ του x, ψ του x ίσον 0 σε αυτή τη συνάντηση. Βάζω το x ίσον 0 και βρίσκω το ψ. Άρα βρίσκω σε εκείνο το σημείο το x και το ψ. Πάχω αυτά. Αυτό ήταν εύκολο να το λύσω γιατί βάζοντας το x μια τιμή μία δευτεροβάθμια μία κάποια αξίσουση η οποία μπορώ να τη λύσω. Μετά παίρνω την παράγωγο και λύνω ως προς την παράγωγο όπως έχω κάνει στον αριθμητή και χρησιμοποιώντας το x και το ψ από τη λύση που είχα την αρχική μπορώ να τη βρω την παράγωγο χωρίς να λύσω τη συνάντηση ψ ίσον του x που μπορεί να είναι αδύνατο. Μπορεί λοιπόν η λύση ψ ίσον του x σε μια συνάντηση πολύπλο και να μην υπάρχει η παράγωγος να βρίσκεται εύκολα. Αυτό το κάνουμε μέσα από την πεπλεγμένη συνάντηση. Θα έρθουμε στο συγκεκριμένο σημείο. Ξέρετε που τη συναντήσα σας τόπα αλλά δεν με ακούσατε θα το κάνουμε και σαν πρόβλημα. Τη συναντήσατε εσείς την πεπλεγμένη συνάντηση γιατί λύσατε το πρόβλημα το πρόβλημα το έχετε λύσει και το ξέρετε και με το όνομά του γιατί στο Λύκειο πρέπει να ήταν πολύ hot πρόβλημα η πτώση της σκάλας από ένα οριζόντιο τείχο. Αυτό το προβληματάκι σας έχει αρέσει στο Λύκειο. Είχατε μια σκάλα, εδώ είχατε έναν κατακόρυφο τείχο και εδώ ήταν το οριζόντιο επίπεδο και ξέρατε την ταχύτητα με την οποία απομακρύνεται αυτό το σημείο, το ένα το σημείο στο βάση με την ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει από το οριζόντιο και θέλατε να βρείτε σε αυτή τη σκάλα την ταχύτητα με την οποία κινείται το άλλο σημείο. Δηλαδή αν σας δώσω σε μια σκάλα που είναι σε ένα κοιοπεία γλιστράει, έτσι αυτή η σκάλα έχει σταθερό μήκος αλλά γλιστράει και σας δώσω την ταχύτητα με την οποία γλιστράει στον τείχο να μου βρείτε την ταχύτητα με την οποία γλιστράει στο επίπεδο. Το είχα τελείσει αυτό το πρόβλημα, δεν το είχα τελείσει, όχι, πρώτη φορά το ακούτε από εμένα. Το είχα τελείσει αυτό το προβληματάκι, έτσι θα το λύσουμε όταν θα έρθει η ώρα του. Εδώ συναντάμε για πρώτη φορά την υπεπλεγμένη συνάρτηση. Γιατί, γιατί η υπεπλεγμένη συνάρτηση αυτή έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και το χ τετράγωνο συμ ψ τετράγωνο αυτή συνάρτηση είναι ίσο με το μήκος της σκάλας και δένει το χ με το ψ. Οπότε ο ρυθμός που πέφτει το χ δένει το ρυθμό που κυλάει. Δηλαδή, αφού έχω μια σκάλα που το χ τετράγωνο συμ ψ τετράγωνο είναι ίσο με λ τετράγωνο, αν πάρω την παράγω αυτή στη συνάρτηση, τον τε ψ πιν τε τέ, δηλαδή την ταχύτητα με την οποία κυλάει στο ψ είναι δεδομένη, οπότε μπορείς αμέσως με αυτή να βρεις την ταχύτητα με την οποία κυλάει στον άλλο άξονα. Λοιπόν, ωραία, προχωράμε τώρα για τα όρια που είχαμε σαν θέμα στο σημερινό μάθημα. Μάλλον θα κάνουμε διάλειμμα και θα τα αρχίσουμε αμέσως μετά. Αλλά προλαβαίνουμε μια χαρά να το καλύψουμε μια ώρα, γιατί έχετε πολλές γνώσεις και θα με βοηθήσει πάρα πολύ αυτό. Να δούμε μια εικόνα συνολική, μια και εσείς έχετε, όπως είπαμε, αρκετές πληροφορίες, να δούμε μια συνολική εικόνα τι μπορούμε να αντιμετωπίσουμε όλες αυτές οι δουλειές που κάνουμε τώρα. Εμείς γνωρίσαμε κάποιες συναρτήσεις, αλλά αυτές τις συναρτήσεις θέλουμε να ξέρουμε πώς να τις παραστήσουμε γραφικά. Και ένα πράγμα που πρέπει να ψάξει κανένα σε μια συναρτήση είναι τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει όριο στη συναρτήση ή η συναρτήση να συνεχίσει. Αυτά είναι συγκεκριμένα σημεία, όπως θα ψάξει άλλα χαρακτηριστικά σημεία, διότι όταν έχω μια συναρτήση στα χέρια μου και θέλω να αποφασίσω να τη ζωγραφίσω, πρέπει να ψάξω αρχικά για ορισμένα πράγματα, για ορισμένες συμπεριφορές της. Ποιες είναι αυτές που αναλυτικά μπορώ να τις ψάξω τις συμπεριφορές της, να δω πώς συμπεριφέρεται στο άπειρο, να δω αν έχει σημεία στο οποίο το όριο δεν υπάρχει και δεν είναι συνεχή στη συναρτήση, να βρω τα μέγιστα και λάχιστα. Αυτά είναι χαρακτηριστικά σημεία τα οποία μπορώ να τα εντοπίσω και μετά να συμπληρώσω ότι μπορώ με λίγο φαντασία για τα υπόλοιπα ή περνώντας κάποιες τιμές της συναρτήσης. Να δούμε λοιπόν ποια πράγματα θα ψάξουμε τώρα στα όρια. Ας πούμε να μια συναρτήση η οποία μπορεί να έχει αυτή τη συμπεριφορά. Εδώ πέρα σε αυτό το σημείο να πηγαίνει στο άπειρο. Εδώ δηλαδή ξεκίνησα στο άπειρο με μια πάη ασιμπτωτικά σε μια χαρακτηριστική τιμή. Όταν πηγαίνω εγώ στο μειον χ, στο άπειρο από τα αργητικά του χ πηγαίνει σε μια χαρακτηριστική τιμή. Να μια συμπεριφορά. Εδώ λειτουργεί ομαλά, φτάνει σε ένα μέγιστο. Εδώ βλέπουμε ότι σε αυτό το σημείο κάνει ένα πίδημα η συναρτήση. Πηγαίνει από εκείνη τη τιμή μέσα σε αυτό το χ0. Εδώ είναι ένα χαρακτηριστικό σημείο που η συναρτήση... Άρα λοιπόν έχουμε τη συμπεριφορά όταν το χ πηγαίνει στο μειον άπειρο εδώ και πάει σε μια χαρακτηριστική τιμή. Την ζωγραφίζω. Εδώ κάνει η συναρτήση ένα... στο χ0 κάνει ένα απότομο πίδημα. Έρχομαι σε ένα άλλο χ1 και η συναρτήση στο σημείο χ1 πάει όταν το πλησιάζουμε το χ1 από τη μια πλευρά πηγαίνει στο συν άπειρο και όταν το πλησιάζουμε από την άλλη πλευρά, δηλαδή πλευρικά πλησιάζουμε αυτή τη συναρτήση, το χ1 το πλησιάζουμε από τα μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές, αυτή η συναρτήση κάνει ένα απότομο άλμα στο μειον άπειρο και στο συν άπειρο αλλάζοντας τη θέση πριν ή μετά στο χ1. Αυτά είναι τα πλευρικά όρια, έτσι. Λοιπόν, και άλλη μία συμπεριφορά εδώ, μπορεί να κάνει και άλλο ένα τέτοιο άλμα και στο τέλος άλλη μία περίπτωση είναι να πηγαίνει στο χ συν άπειρο και να πηγαίνει ασυμπτωτικά σε μία ευθεία την οποία να είναι αυτή εδώ η M στην ευθεία ψή, M του χ συν β, α, χ συν β. Να οι πιθανότητες που έχουμε. Να πηγαίνει ασυμπτωτικά, υπάρχει βέβαια και άλλη συμπεριφορά, ή πηγαίνει σε αυτήν ή στο άπειρο πηγαίνει πιθανότητα να πηγαίνει στο μηδέν, ασυμπτωτικά δηλαδή πηγαίνει στο μηδέν, να και μία άλλη συμπεριφορά. Έτσι, λοιπόν, ας τη συνδέσουμε, να την κάνουμε μία, δεν μπορούμε να την κάνουμε, ή θα δώσουμε αυτήν την συμπεριφορά στο άπειρο, ή θα δώσουμε στο άπειρο να πηγαίνει στο μηδέν ή σε μια σταθερή τιμή. Άρα λοιπόν έχουμε χαρακτηριστικά σημεία μέσα στις τιμές του χ και χ0, μια απότομα αλλαγή τιμής μέσα στο ίδιο σημείο. Έχουμε μία κάθετη ασύμπτωτη εδώ πέρα στο χ1, έχουμε μία κάθετη ασύμπτωτη που σημαίνει ότι πάει στο συν άπειρο και στο μη άπειρο. Έχουμε μία τιμή που είναι συνεχής το χ3, εδώ δηλαδή συνάντηση είναι συνεχής και έχει όριο, πολύ απλό, δηλαδή το όριο της συνάντησης f του χ, που έχω ζωγραφεί στον πίνακα όταν το χ πλησιάζει το χ3, έχει μία πολύ χαρακτηριστική τιμή την f του χ του 3. Αυτή είναι και μία πολύ ομαλά συμπεριφέρεται συνάντηση, έχει και όριο και το όριο είναι ίδιο με την τιμή της συνάντησης, άρα είναι και συνεχής η συνάντηση. Πολύ όμορφα αυτά. Τώρα, θέλετε να μου πείτε κάτι στη φυσική για τη μαθηματική περιγραφή μιας συνάντησης, αυτά είναι τα δεδομένα. Στη φυσική όμως, στις περισσότερες συναρτήσεις, ποια πράγματα αποφεύγει η φύση να κάνει. Η φύση δεν κάνει περίεργα πράγματα, ούτε σε μια συγκεκριμένη τιμή, δηλαδή να έχουμε απότομες μεταβολές οι οποίες μας πηγαίνουν σε ένα σημείο στο άπειρο, αυτό δεν υπάρχει, δεν έχουμε άπειρα στη φυσική, σε δύο σημεία στο σύμπαν έχουμε απειρίες. Και μάλιστα δεν έχουμε απειρίες, έχουμε άγνια γνώσης οι οποίες μεταφέρεται σε απειρίες στο μοντέλο. Δηλαδή, τι συμβαίνει μέσα σε μια μαύρη τρύπα δεν ξέρουμε τι συμβαίνει και έχουμε μια ανομαλία, πιθανόν μια απειρία, αλλά αυτή η απειρία είναι του μοντέλο, όχι της φύσης, απλώς δεν ξέρουμε τι συμβαίνει σε μια μαύρη τρύπα, αδυναμία του μοντέλο είναι. Το τι συμβαίνει στο early universe ας πούμε, στη στιγμή τάφυσων με μηδέν στο αρχικό σύμπαν, εκεί είναι μια άλλη ανομαλία, αυτές όμως είναι ανομαλίες που δεν είναι της φύσης, είναι δικές μας. Το καταλάβατε, άρα λοιπόν ο φυσικός όταν συναντάει άπειρα στις συναρτήσεις του, τα άπειρα έχουν να κάνουν με κακά μοντέλα. Άρα λοιπόν το άπειρο δεν μπορεί να λειτουργήσει σε συγκεκριμένες συναρτήσεις όταν περιγράφει φυσικά φαινόμενα. Άρα λοιπόν εμείς, για να δούμε μια συναρτήση, η οποία την περιγράφει ένα μέρος του φαινομένου και σε κάποια σημεία απειρίζεται, αυτή η συναρτήσεις σίγουρα δεν περιγράφει το δυναμικό ή δεν περιγράφει το ρεύμα, δεν μπορεί το ρεύμα να απειριστεί. Ό,τι ξέρετε, δεν μπορεί το ηλεκτρικό πεδίο να απειριστεί. Και όταν βλέπουμε, επιβάλλουμε μάλλον, τις συναρτήσεις τους επιβάλλουμε εμείς να γίνουν ομαλές, να το βάζουμε σαν αωριακές συνθήκες. Μια αωριακή συνθήκη είναι ότι για να περιγράφει ένα φυσικό φαινόμενο, μια συναρτήση, τι πρέπει να κάνει στο άπειρο. Στο άπειρο τι πρέπει να κάνει, για πες το μου. Να μη νιίζεται. Δεν μπορεί η συναρτήση να έχει το δυναμικό και να πηγαίνει στο άπειρο και το δυναμικό να πηγαίνει στο άπειρο, καταλάβατε. Άρα λοιπόν η δική μας σχέση με την αωρία δεν είναι η ίδια με το μαθηματικό. Το τονίζω και το ξανατονίζω. Το μαθηματικός έχει μία συναρτήση, δεν του λέει τίποτα από φυσικά φαινόμενε. Μας μας λέει πολλά. Γι' αυτό έχουμε πολύ περιορισμένες εξώσεις να λύσουμε στη φύση. Έχουμε 6-7 διαφορικές εξώσεις να λύσουμε. Δεν έχουμε περισσότερες εμείς. Και έχουμε περιορισμούς στα μοντέλα. Αν τα μοντέλα απειρίζονται, σημαίνει ότι πρέπει να αλλάξουμε μοντέλο. Δηλαδή η νευτόνια μηχανική είναι στο μέσον, είναι ο κόσμος που βλέπουμε εμείς. Αν πάμε στον κόσμο, το μικρό κόσμο, έχουμε το συνεχές της κλασικής μηχανικής, γίνεται διακριτό και έχουμε την κυβαντομηχανική. Και αν πάμε στο άπειρο, πάλι εγκαταλείπουμε αυτή τη φυσική, την κλασική, και πάμε στην γενική θεωρία σχετικό της και στους καμπύλους χώρους. Δηλαδή αυτό καταλαβαίνετε ότι αν προχωρήσεις με την κλασική φυσική στο μικρό κόσμο, δεν βγαίνει τίποτα, γι' αυτό το εγκαταλείψαμε. Εκεί θα εμφανιστούν απειρίες, θα ειδηθούν πολλά πράγματα. Και το ίδιο και στο άπειρο. Στον μακρό κόσμο δηλαδή δεν μπορεί το κλασικό μοντέλο, το νευτόνιο μοντέλο να δουλέψει. Καταλαβαίνετε λοιπόν ότι αυτό έχει μεγάλη σημασία για μας. Ωραία, τα είπαμε αυτά τα γενικά. Εγώ θέλω τώρα μερικά χαρακτηριστικά να δούμε στη συμπεριφορά γιατί η συνάρτηση μπορεί να μας παίζει κόλπα. Όλα αυτά που είπαμε είναι μια χαρά, άρα αν σας δώσω εγώ μια συνάρτηση επειδή σας θεωρώ προχωρημένους και ξέρω ότι μπορείτε να λύσετε συνάρτηση, να σας γράψω μια συνάρτηση να μου λύσετε μια άσκηση τώρα κατευθείαν. Γιατί δεν θέλω εγώ να σας διδάξω όρια γιατί τα έχετε διδαχθεί. Η άσκηση λέει χ τετράγωνον μίον δύο χ μίον τρία διά χ τετράγωνο μίον τέσσερα χ συν τρία. Αυτή είναι λοιπόν η συνάρτηση που με ενδιαφέρει να βρω το όριο της όταν το χ, να ζητάω το όριο της f του χ, θα τη διαβάσω άλλη μια φορά να την ακούσετε, όταν το χ πλησιάζει στο τρία. Ποιο είναι το όριο αυτής της συνάρτησης. Λοιπόν η συνάρτηση λέει f του χ ίσον χ τετράγωνον μίον δύο χ μίον τρία χ τετράγωνον μίον τέσσερα χ συν τρία. Όταν το χ πηγαίνει στο τρία. Θέλω να μου βρείτε το όριο αυτής της συνάρτησης. Αυτή η συνάρτηση αν πάτε και κάνετε αντικατάσταση στον παρονομαστή με όριο το τρία θα βγάλετε εννιά μίον δώδεκα συν τρία θα βγάλετε μηδέν. Άρα θα πείτε ότι έχουμε μηδέν στον παρονομαστή, έχουμε αριθμητή ο οποίος δεν είναι μηδέν οπότε αυτή η συνάρτηση το όριο της δεν υπάρχει. Θα είναι λάθος όμως αυτό. Ποιο είναι το σωστό. Ποιο είναι το όριο αυτής της συνάρτησης. Το βρήκατε. Πάρα πολύ ωραία. Περιμένονται όμως να δουλέψουν και οι υπόλοιποι. Χ τετράγωνο μίον δυο χ μίον τρία. Βγαίνει μηδέν δια μηδενός αυτό. Αλλά υπάρχει ένας τρόπος να αντιμετωπίσουμε το μηδέν δια μηδενός. Υπάρχει όμως και άλλος. Εγώ θέλω τον άλλον τώρα. Εντάξει. Δεν θέλω να πάτε στον τελοπιτάλ κατευθείαν. Εντάξει. Έχετε μάθει. Θα πάθετε μεγάλη ζημιά στο δεύτερο εξάμινο για τις συναντήσεις δύο μεταβλητών ο κανάλιος του τελοπιτάλ δεν ισχύει. Οπότε εκεί θα πάθετε μεγάλη ζημιά διότι τον έχετε αγαπήσει τον κανόνα του τελοπιτάλ. Τον έχετε ερωτευτεί. Είναι τόσο ωραίος, τόσο απλός οπότε σας λύνει όλες τις απειρίες πολύ εύκολα. Έτσι. Θέλω τώρα όχι με τον ερωτά σας αλλά με άλλο τρόπο. Με την παραγοντοποίηση να λύσει αυτό το πρόβλημα. Δηλαδή μήπως μπορεί να γίνει κάτι άλλο. Πέστε μου. Άρα τη συναρτήση αυτή να τη γράψουμε κάνοντας παραγοντοποίηση πώς? Χ'3. Χ'3 επί Χ'1. Πάρα πολύ ωραία. Χ'1 επί Χ'1. Άρα λοιπόν και βλέπετε ότι το όριο είναι πράγματι σε αυτή την περίπτωση το 2. Έτσι δεν είναι? Συμφωνείτε? Είτε έτσι είτε αλλιώς. Άρα λοιπόν το πρώτο κόλπο που ήθελα εγώ να δουλέψουμε είναι τι θα γίνει σε αυτή την περίπτωση. Για να δούμε με αυτό το ίδιο κόλπο με παραγοντοποίηση πώς θα λύνατε την εξής άσκηση. Μια δεύτερη ακόμα και θα προχωρήσουμε. Λοιπόν αν θέλετε να λύσετε αυτή την άσκηση με παραγοντοποίηση πάλι. Τεφτρίτης 8 και εδώ είναι τεφ συν 2 να βρείτε το όριο αυτής της συνάρτησης όταν το τεφ πλησιάζει το μιον 2. Είναι σαφές ότι με όποιο τρόπο βρείτε το όριο για να απαντήσω σε ένα ερώτημα που πιθανόν θα έχετε αγωνιαγωνία. Εάν δείτε μια λύση την οποία έχουμε καταθέσει εμείς και τώρα και στις ασκήσεις που θα ξεκινήσετε. Βλέπετε μία λύση και εσείς έχετε κάνει μία άλλη λύση. Δηλαδή ο ένας πήγε με το καρόνατο τελοπιτάλ και ο άλλος με την παραγοντοποίηση. Δεν αποκλείεται καμία λύση αρκεί να είναι σωστή φυσικά έτσι. Άρα μην πανικοβάλεστε και όλες οι σωστές λύσεις είναι δεκτές. Εγώ θα θέλα τώρα όχι να δουλέψετε αυτό το όριο με παραγοντοποίηση. Είναι τεφ στην τρίτη συν 8 στον αριθμητή και τεφ συν 2 στον παρονομαστή και θέλουμε το όριο όταν το τεφ πηγαίνει στο μίον 2. Λοιπόν όποιος το έχει έτοιμο να μας το πει. Όχι ο Γίργης, πες το μας εσείς, πες το ποιο το όνομά σου πάλι. Και τα δύο σταύρο και την ανάλυση. Άρα λοιπόν εδώ πέρα έγραψες τεφ. Επειδή αυτά είναι στην τρίτη εδώ πέρα. Τεφ συν 2 και δίπλα. Ωραία, πάρα πολύ ωραία. Και βρήκες το όριο να είναι το 12. Μια χαρά. Λοιπόν πάμε σε άλλου τύπου προβλήματα τώρα. Να δούμε τι θα γίνει με την εξής συνάρτηση που θέλω να βρούμε, να λύσουμε. Που ενθυμίσεις κάνω τώρα να βρούμε το όριο της συνάρτησης που είναι τετραγωνική ρίζα του 1-χ-1 δια χ. Όταν το χ πηγαίνει στο μηδέν. Το κλείνουμε το κινητό αν δεν είμαστε εδώ, ναι. Θα πείτε αργότερα στιγμό μάσα στη φαγητό θα φάτε το μεσημέριο, εντάξει. Λοιπόν το όριο είναι τετραγωνική ρίζα του 1-χ-1 δια χ όταν το χ πηγαίνει στο μηδέν. Πώς θα λύσουμε αυτή την άσκηση. Εδώ είπαμε οι παραγωντοποίησεις, την κάνουμε μια επανάληψη και χωρισμένες ταυτότητες και οτιδήποτε χρειάζεται για να κάνουμε σωστά τις παραγωντοποίησεις και υπάρχουν και ωραίοι μηχανισμοί που έχετε μάθει πώς θα κάνετε παραγωντοποίηση σε πολυόνιμα. Έτσι αυτό θα το δουλέψετε λίγο και σας το επιθυμίζω να το κάνετε ξανά. Λοιπόν βρέστε μου το όριο αυτής της συνάρτησης και πέστε μου πώς θα το κάνω. Θέλετε να σηκωθεί στον πίνακα ή θέλετε να μου το επαγορέσετε. Ελάτε στον πίνακα. Ξεκίνα από το κέντρο καλύτερα, σβήστε όλα αυτά εδώ όπου σε βολεύει καλύτερα. Καλύτερα. Λοιπόν, συμφωνείτε όσοι σηκώσετε το χέρι, συνάδελφός σας βρήκε μίον δύο. Το τι έκανε, μίον εν δεύτερο. Συγνώμη, σήμερα δεν είναι από τις καλύτερες μέρες, όλα τα λάθη θα τα πάρω απάνω μου, έτσι. Εντάξει, εσείς θα λέτε τα σωστά και εγώ θα λέω τα λάθη. Λοιπόν, είδατε τι έκανε συνάδελφός σας, πήρε το συμμετρικό, έκανες τις πολλαπλασιασμό αριθμητή και παρονομαστή με το τετραγωνική ρίζα το ένα μίον χί μίον ένα, το πολλαπλασίασε αυτό με τετραγωνική ρίζα το ένα μίον χί συν ένα, ένα κλασικό κόλπο αυτό, με το οποίος στο τέλος κατέληξε να βγάλει το χί, το χί έκανε και απλοποίηση, πήρε το χί να πηγαίνει στο μηδέν και έβγαλε το μίον εν δεύτερο σαν αποτέλεσμα. Να πάμε να ψάξουμε λίγο το άπειρο τώρα. Και θέλω να σας δώσω μία άσκηση και θέλω να βρω το όριο στο άπειρο. Η άσκηση που θέλω να δουλέψουμε είναι το όριο του 7χ συν δύο με χ τετράγωνο μίον χί, άρα την ξαναδιαβάζω την συνάρτηση, είναι 7χ συν δύο παρονομαστή χ τετράγωνο μίον χί και θέλουμε να βρούμε το όριο αυτής της συνάρτησης, το χί να πηγαίνει στο συνάπειρο. Πάλι διαβάζω, είναι 7χ συν δύο διάχει τετράγωνο μίον χί. Ποιοι έχουν ολοκληρώσει αυτό? Ναι, πες του μου. Ποιοι έχουν ολοκληρώσει αυτό το 7χ συν δύο διάχει τετράγωνο μίον χί? Ναι, αλλά είναι τετραγωνική ρίζα. Εντάξει. Λοιπόν, ο Ηλία εσείς έχετε μιλήσει, εσείς ελάτε, θα θέλατε να το κάνετε στον πίνακα. Ευχαριστώ πάρα πολύ και σας ευχαριστώ πάρα πολύ. Πες του μου πάλι το όνομά σας. Εδώ η Νίκολα, ευχαριστώ. Λοιπόν, και εσύ τον Μίκο το όνομά σου. Έλα Δήμο. Όχι, τι εννοείς, τι εννοείς, τι εννοείς. Ναι, είπαμε ότι σε περίπτωση που έχουμε πολυνομική πάνω κάτω, σε επίπεδο σε πληνάπηρο, μπορούμε να το κόψουμε έτσι με... Να το κόψετε σε δύο. Ναι. Εντάξει, αλλά να το γράψεις σε 7χ, το μόνο που θα βοηθούσε πάρα πολύ είναι ότι γράφεις να το λες και με λόγια, να σε ακούμε κιόλας. Άρα λοιπόν το σπάζεις αυτό το πλάσμα σε δύο, 7χ διαχεί τετράγωνο μόνο. Όχι, δεν το σπάζω, το γράφω έτσι, αλλά έχει απόδειξη. Όπως θέλετε, όπως θέλετε, όπως θέλετε, όπως θέλετε. Ναι, να το αποδείξετε, την ξέρετε την απόδειξη όλη, ναι ή όχι. Καλύτερα δημοκάντε το αναλυτικά, γιατί έτσι κι αλλιώς επανάληψη κάνουμε και κάποιοι έχουν εξεχάσει ορισμένα πράγματα. Τα αποδειούζε. Επίσης και αυτό κάνει 0. Άρα έχουμε 7 εδώ πέρα ένα νεκμό και αυτό που είναι να προσχύει με το χ είναι την ιστοπίνα, και το κάνει επίσης 0, 0, 27 κάνει μηδαντόριο. Τι λέτε, οι υπόλοιποι συμφωνείτε. Οκ, μια χαρά. Πάμε τώρα σε μία άλλη, άρα δηλαδή το βασικό κόλπο όταν το χ πάει στο άπειρο και μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε είναι να προσπαθήσουμε να διώξουμε τους όρους βάζοντας ένα σταθερό όρο με το χ, περιμένουμε το χ ώστε να πηγαίνει στο μηδεν. Για να βρούμε μία άλλη, ένα άλλο όριο τώρα, το όριο τετραγωνική ρίζα του χ τετράγωνον συν τρία χ μίον χ το χ να πηγαίνει στο συν άπειρο. Αυτό να βρούμε με τι είναι ίσως. Τετραγωνική ρίζα του χ τετράγωνον συν τρία χ μίον χ όταν το χ πηγαίνει στο συν άπειρο. Λοιπόν ποιοι το έχετε ολοκληρώσει. Θα έρθετε στον πίνακα, ελάτε. Αν θέλετε πέστε δυνατά τι είναι, όπως γράφετε μιλάτε κιόλας. Να το συνηθίστε αυτό να μιλάτε όταν γράφετε. Άρα στον πρώτο όρο που ήταν τετραγωνική ρίζα του χ τετράγωνον συν τρία χ βγάζει κοινό το χ τετράγωνο. Θα βγει αυτό που έξω πάει απόλυτο. Αλλά αφού δεν είχε δίκτυο να πω το θερμού χ τετράγωνο. Ότι θέλεις κάνεις εσύ γράφεις. Λοιπόν ποιοι το έχετε ολοκληρώσει. Αυτό είναι μηδέα. Αυτό είναι άπαιρο. Τι κάνουμε τώρα. Υπάρχει άλλο κόλπο. Εσείς δεν έχετε μιλήσει πέστε και το όνομά σας. Βάσου θα σηκωθείς ή θα μου το πεις εμένα να το γράψω. Σήκω αν θέλεις. Ελά σήκω. Ευχαριστούμε πάρα πολύ έτσι έδειξε ότι αυτό το κολπάκι δεν δουλέψε. Ναι. Ωραία. Λοιπόν. Προσέξτε ο συνάδελφός σας τι δεν έκανε. Σκέφτηκε έναν τρόπο και δεν τον έκανε στο χαρτί του. Για δείξτε μου στο χαρτί. Το έκανες δεν το έκανες. Είχα αρχίσει και το σταμάτησες. Εδώ είναι η super confidence λέγεται στα αγγλικά. Έτσι. Δηλαδή είχε μια υπερημπιστωσύνη ότι το κόλπο που διάλεξε χωρίς να το πάει μέχρι τέλος ότι δούλεψε. Αλλά έπρεπε νομίζω ότι πρέπει επίσης να φαντάζομαι να μην έκανες και εσύ το ίδιο βάσο. Το έλυσε μέχρι τέλος. Μπράβο. Μπράβο. Παρ' όλα αυτά θεωρώ μεγάλη χαρά για μένα το ότι σηκώθηκε και έδειξε κάτι που δεν δούλεψε. Προσέξτε. Ένας από τους δυσκολότερους τρόπους στην κλασική παράδοση είναι ότι επειδή ο καθηγητής έχει δουλεύσει και έχει κάνει στο σπίτι του την προεργασία έχει κοιτάξει μία ώρα πριν έρθε εδώ πέρα τι θα σας πει όλα είναι σωστά και τέλεια στον πίνακα. Μάλλον έχετε συνηθίσει να μην του επιτρέπετε να μην είναι σωστά και τέλεια. Η ζωή όμως δεν είναι σωστή και τέλεια και έτσι τον ανακαλύπτουμε στην πράξη. Δηλαδή αυτό το σωστό και τέλειο όταν πάτε εσείς στις εκστράσεις του ανακαλύψου λέτε μα είναι τόσο απλά δεν χρειάζεται να κάνει διάβασμα. Τα θυμάμαι από την παράδοση λέτε εσείς. Δεν είναι καθόλου έτσι. Καταλάβατε. Άρα η προετοιμασία που είχε κάνει αυτός για να αντάχει όλα τέλεια στον πίνακα είναι μια παγίδα για εσάς. Καλύτερα να γίνονται λάθη και να μπέσουμε γιατί αυτή είναι η πραγματική ζωή. Μέσα τα λάθη βγάζουμε την ανακάλυψη. Τι κάνεις Πέστον δυνατά? Πολαμπλασιάζω και διαιρώνω ψιλί. Με το συζυγείο πολλαπλασιάζει και διαιρεί. Εσύ ήδη έλεξες χωρίς μαμπά σου ψηλά. Ήθελες να μας δείξεις ότι είσαι ψηλής στον πίνακα. Όχι. Αστείο Αμερικάνικο ήταν αυτό. Καθόλου καλό αστείο. Το παίρνω πίσω. Βάσο δεν παραξηγήθηκες ε. Όχι. Μπράβο. Αυτό σημαίνει ότι είμαι μια χαρά με το ύψος μου κύριε καθηγητάκι. Δεν έχω κανένα πρόβλημα. Τώρα κάνει πράξεις. Έτσι. Ωραία. Βγάζεις το αποτέλεσμα ποιο είναι. Δεν έχει κάνει κάπου... Ναι, συνεχίστε. Βοηθήστε την. Πέστε. Μπορείς να κάνεις χωρίς 1 χιλιό. Μπορείς να κάνεις χωρίς 1 χιλιό. Πέστε. Μπορείς να κάνεις χωρίς 1 χιλιό. Μπορείς να κάνεις χωρίς 1 χιλιό. Άρα εδώ έχεις 3 δυα χι. Αφού έβγαλες το χι δυα χι. Όχι, το χι έχω. Το χι. Άφησες ένα χι μέσα. Ωραία. Το είδες. Ωραία, κάνε διόρθωσε το. Αλλητικά θα το γράψεις, βεβαίως. Δύσκολος ο πίνακας, ε. Ωραία. Την άλλη φορά που θα κάνεις σε σχόλια άσχημα στους καθηγητές που δουλεύουν στον πίνακα και τους κάνετε μια ερώτηση και τα κάνουν θάλασσα στον πίνακα. Θα σκέφτεσαι ότι κι εσύ όταν ανέβηκες και θέλεσες να σκεφτείς στον πίνακα ήταν δύσκολο. Ωραία, πάμε παρακάτω. Ποιος θα τη βοηθήσει τη βάσο. Συνεχίστε να τη βοηθάτε. Ο στυμπόριζο και που έχεις βγάλει το χ και το παράγοντα βγάλει το χ τετράγωνα. Ωραία. Και συνεχίστε τώρα βάσο. Στον αριθμητή το τρία χ παραμένει τώρα διώχνεις τα χ και βγήκε τρία δεύτερα. Μια χαρά με τα λαθάκια μας με τα ωραία μας. Πολύ όμορφα. Χαίρομαι πάρα πολύ. Γιατί ήρθες και τα έκανες όλα τα λάθη σου στον πίνακα. Το μ' αρέσει πάρα πολύ. Τώρα έχουμε κάποια όρια. Στις τριγωνομετρικές και στις εκθετικές και συλλογραφημικές τα πράγματα είναι απλά. Οι συναντήσεις συμπεριφέρονται απλά. Αλλά ήθελα να μου πείτε τα εξής χαρακτηριστικά όρια πώς τα υπολογίζουμε. Ένα όριο που θέλω να το θυμάστε ακόμα και στον ύπνο σας. Δηλαδή άμα σας ξυπνήσει μια ώρα για να πάτε κάπου η μαμά σας και σας πει σας παρακαλώ. Πείτε μου το όριο του ημιτώνου χ διάχει όταν το χ πηγαίνει στο μηδέν. Αυτό το όριο πρέπει να τους το πείτε. Δηλαδή σαν να το βλέπατε όλη νύχτα. Ποιο είναι το όριο του ημιτώνου χ διάχει. Θωμά. Μήπως θυμάσαι και πως αποδεικνύεται. Το ήταν εκτός ύλης. Εσείς θα μας τρελάνετε δηλαδή εντάξει. Τώρα το θέμα το εντός και εκτός ύλης θα το ξεπεράσουμε ή θα το βιώνουμε. Μέχρι πότε θα το βιώνετε. Δηλαδή θα φτάσετε και θα σας ρωτήσει το εγγονάκι σας μετά. Πα πού θα μου αποδείξεις αφού σπουδάσες φυσική μαθηματικά το ημίτο διγέ. Θα πεις συγγνώμη όταν εγώ εξετάσεις ήταν εκτός ύλης. Έτσι θα πείτε. Λοιπόν όχι θα το αποδείξουμε. Θα το αποδείξουμε. Αυτό είναι ένα πολύ ενδιαφέρον. Αλλά θέλω να μου πείτε και άλλα τέτοια τα οποία θα πρέπει να τα αποδείξουμε τώρα. Να τα βάλουμε εντός ύλης. Έτσι θα βάλουμε εντός ύλης την απόδειξη τώρα. Ας κάνουμε συγγνώμη δεν ήταν ακριβώς εκτός ύλης. Έλα Αργύρη μου αστεία λέμε τώρα. Του δέξω και τα αστεία. Πες τι ήταν ακριβώς το Αργύρη πες το. Νομίζω πως ήταν. Όταν δεν το είχε μες στο τυπείο. Τότε δεν δικαιολογήσετε με τίποτα. Σας τόμπανε οι φροντιστές με ένα σωρό λεφτά και το ξεχάσατε. Δεν είτε θα τρελαθούμε τελείως. Λοιπόν. Ελάτε να δούμε και άλλα τέτοια όρια. Να μου πείτε το όριο. Υπάρχουν χαρακτηριστικά όρια τα οποία πρέπει τώρα να τα ψάξουμε και να τα δουλέψουμε. Το ένα μίον συνειμήτων χ δια χ. Τότε το χ γίνει στο μηδέν. Άλλο έναν χαρακτηριστικό. Αυτό θυμάστε με τη ΝεΐΙΣΟΝ. Α, ωραία. Το θυμάστε. Πες τη μου εσείς και πες και το όνομά σας. Ναι, ελά Χριστίνα. Μηδέν. Χριστίνα δεν θα σε ρωτήσω τώρα πως είναι η απόδειξη αλλά θα συζητήσουμε αυτές τις αποδείξεις μετά. Υπάρχουν άλλα... Νομίζω ότι θυμάμαι την απόδειξη. Ωραία. Αλλά εγώ επειδή θέλω να πω ορισμένα πράγματα ακόμα και να τελειώσω. Τον κανόνα τον τελοπιτάλ στις ασκήσεις που θα πάρετε σε λίγο που θα πάτε σπίτι σας και θα βρείτε για τον ομάδα ένα, ελεύθερα χρησιμοποιήστε τον, έτσι. Δηλαδή μπορεί να μην τον χρησιμοποιήσαμε εδώ σήμερα, μη δεν θα πείτε δεν έχουμε κάνει παραγώγους άρα δεν επιτρέπετε ο κανόνας τον τελοπιτάλ. Εδώ είμαστε στο πανεπιστήμιο και ό,τι έχετε κάνει στο Λύκειο το θεωρώ ότι το ξέρετε. Για αυτό κάνουμε και έτσι το μάθημα. Αν ήθελα εγώ να ήμουν ο πρώτος που θα παράδειδα όρια και παράδειδα έτσι το όρια θα έκανα έγκλημα. Τώρα τι άλλο θέλω να ξέρουμε είναι κάτι το οποίο το γνωρίζετε. Είναι όταν ένα θεώρημα το οποίο το έχετε το ονομάσει και πως του σάντουιτς δηλαδή να το πεις μεσημέρι δύο η ώρα αυτό το θεώρημα του σάντουιτς είναι άλλο πολύ διαφορετικό πράγμα. Λοιπόν όταν έχετε λοιπόν δύο συναρτήσεις, όταν καταφέρετε μια συναρτήση και τη φράξετε από κάτω με τη gx μικρότερο ίσον της fx και από πάνω με μία άλλη συναρτήση hx, λοιπόν αν καταφέρετε μια συναρτήση που θέλετε να βρείτε το όριό της σε ένα σημείο και τη φράξετε από κάτω με τη gx είναι μικρότερη ίση της fx και η fx είναι μικρότερη ίση για όλο το θεώρημα. Μικρότερη ίση για όλο το πεδίο στο σημείο που σας ενδιαφέρει συμβαίνει αυτή η σχέση και αν αποδείξετε ότι το όριο της gx, να σας το θυμίσω μόνο θέλω, το όριο της gx είναι το l του x να πηγαίνει στο x0, το όριο της hx να είναι ίσον με l, τότε ουσιαστικά το x πηγαίνοντας στο x0, τότε έχετε βρει και το όριο της gx. Να κάνουμε μια εφαρμογή να μου δείξετε ότι αυτό το σάντουιτς το έχετε καταλάβει και για να δούμε πως θα λύσετε μια συναρτήση χρησιμοποιώντας αυτό το υπέροχο θεώρημα το οποίο γραφικά τι λέει, να το δούμε και γραφικά, πως έχουμε συναρτήσεις οι οποίες πάνε έτσι, πάνε έτσι και εδώ πέρα τη δική μας τις δημιουργούν ένα δύσκολο πρόβλημα να περάσει μέσα από το σάντουιτς. Λοιπόν, λύσετε μου τώρα την χ τετράγωνο ή μύτωνο του 1 δια χ τετράγωνο. Θέλω να βρω το όριο αυτής της συναρτήσης όταν το χ πηγαίνει στο 0. Είναι χ τετράγωνο επί μύτωνο του 1 δια χ τετράγωνο μέσα στην παρένθεση. Άρα λέω το ξαναλέω, το όριο του χ να πηγαίνει στο 0 του χ τετράγωνο ή μύτωνο παρένθεση 1 δια χ τετράγωνο. Ποιο είναι το όριο και πως θα το βρούμε. Έλα Γιώργη πες. Αν γράψουμε το χ τετράγωνο σαν 1 προς 1 δια χ τετράγωνο δεν θα βγει σαν μύτωνο θήτα προς θήτα παραμυρένθεση. Αν το γράψεις έτσι, αν βάλεις το 1 δια χ τετράγωνο έτσι, το χ πηγαίνοντας στο 0 αυτό πάει στο άπειρο. Άρα δηλαδή τι έχουμε εδώ πέρα. Έχουμε το μύτωνο να μην νορίζεται. Δεν πειράζει, είπαμε, έχει όμορφια η κοτσάνα. Επειδή το ανέφερα εγώ με το σκουίζ, είμαι σίγουρος επειδή έδωσα αυτή την εντολή, θα μπορούσατε να το ξεκινήσετε έτσι. Να δείτε ότι αντίθετα ότι δεν ορίζεται το χ όταν το χ το 1 δια χ τετράγωνο, όμως είναι φραγμένο. Το καταλάβατε, δηλαδή είναι μεταξύ του μίον 1 και του 1. Αν πολλαπλασιάσω όλα με χ τετράγωνο, οι συνάδελφοι που σήκωσαν το χέρι αυτό μάλλον θα κάνανε, αν πολλαπλασιάσω όλα με το χ τετράγωνο θα έχω μίον χ τετράγωνο με κρύτερο ίσο του χ τετράγωνο η μύτωνο 1 δια χ τετράγωνο μεγαλύτερο ίσο του χ τετράγωνο. Πηγαίνοντας τα χ στο μηδέν, θα μηδενιστούν τα δύο άκρα και θα αναγκάσουν το χ τετράγωνο επιτιμητών του 1 δια χ τετράγωνο να πάει στο μηδέν. Ωραίο. Μια χαρά. Κάτι μάθαμε σήμερα. Δεν ήρθαμε παρασκευιάντικα εδώ πέρα και χάσαμε το πρωινό ξύπνημα στη δράμα που θα είχαμε εκείνο το μπουφέ που θα έφαγε η μαμά που είχε να μας δει μια εβδομάδα. Έτσι και τους πήγαμε όλα τα άπλυτα οπότε πήγαμε τάχα να τη δούμε αυτό το αυτό μ' αρέσει πάρα πολύ ότι πηγαίνουν να δείτε τους γονείς σας και τους πήγαινε μια αγκαλιά από άπλυτα ρούχα στο Σαββατοκύριακο και ήταν έτσι τους πεθυμίσατε δήθεν. Λοιπόν έχουμε μερικές χαρακτηριστικές σχαραστικά όρια. Έχουμε μεθόδους τους οποίους θέλω να επαναλάβετε. Την παραγοντοποίηση ήταν έλα ο πολοπληθυσιασμός με το αντίθετο. Έχουμε λοιπόν τέτοια κολπάκια τα οποία έχουμε μάθει σαν τεχνικές όρια ωραία αυτά θα τα ξαναθυμηθούμε τα χρειαζόμαστε. Έχουμε τον κανόνα των τριλοπιτάλ που τον έχουμε ερωτευθεί για τα μηδέν δια μηδενός άπειρο δια άπειρου και αυτός μεγάλο εργαλείο για τα όρια. Πολύ ωραία. Τι άλλο έχουμε. Έχουμε μερικά χαρακτηριστικά όρια το ημήτωνο του χ δια χ ή το συνημήτωνο και μερικά ακόμα που θα πούμε στο επόμενο μάθημα. Δεν προλαβαίνω σήμερα. Αλλά θέλουμε από αυτά τα κλασικά εδώ πέρα το ημήτωνο χ δια χ θα είναι εύκολο να το μετατρέψουμε σε κάτι να κάνουμε και την αποδειξή της που την είπατε σας την είπα ο φροντιστής αλλά το ξεχάσατε και αυτόν. Δηλαδή, δηλαδή μήπως το είπα γρήγορα. Λοιπόν κοιτάξτε είπα η μήτωνο του 1 δια χ τετράγωνο αυτό είναι σίγουρα μεταξύ του μίον 1 φραγμένο μεταξύ του μίον 1 και του 1. Ό,τι θέλει ας κάνει το χ. Συμφωνείτε σε αυτό. Πολαπλασιάζω όλα με το χ τετράγωνο με ένα θετικό αριθμό οπότε δεν αλλάζει και η φορά. Ωραία. Αυτό πηγαίνει στο μηδέν. Αυτό πηγαίνει στο μηδέν. Τα δύο άκρα δηλαδή το μίον χ τετράγωνο πηγαίνοντας το χ στο μηδέν πηγαίνει στο μηδέν. Αυτό πηγαίνει στο μηδέν και αυτό είναι αναγκασμένο λόγο του θεωρήματος αυτό της του σάντουιτς να πάει στο μηδέν. Πέστε μου. Αν θέλαμε να δείχνει το τετράγωνο ουξίας, πρέπει να δείχνει το τετράγωνο ουξίας στο μηδέν. Υπάρχει να δείχνει το τετράγωνο ουξίας στο μηδέν. Επανέρχεσες αυτό που είπε ο Αργυρίς. Ο Αργυρίς δεν επέμενε, υποχώρησε γρήγορα. Για να δούμε τώρα εσύ λες για να τραδίξω λίγο πιο μπροστά. Ένα διαχεί τετράγωνο, ένα διαχεί τετράγωνο. Το ένα διαχεί τετράγωνο λοιπόν το ονομάζουμε Ψ. Ωραία. Και τι θα γίνει. Ωραία. Άρα τι θα γίνει. Άρα θα βγάλουμε το ψήδια ψή. Αλλά τι θα γίνει. Θα πάμε πραγμανή και πάει τα πινάκα. Έλα στον πινάκα. Άρα τώρα αλλάζουμε μεταβλητές λέει ο συναδερφός σας και αλλάζοντας μεταβλητές το ψή τώρα που έχει καινούργια το μεταβλητή που την έχει ονομάσει ένα διαχεί τετράγωνο την πάει να πάει στο άπειρο. Άρα λοιπόν θα έχουμε η μύτωνο του ψή δια ένα δια ψή. Αυτό είναι μητέ. Αυτό είναι η μύτωνο άπειρο. Μια χαρά. Σωστό. Είδες αργύριο. Υποχώρεσες γρήγορα. Δεν θα σκεφτεί αυτό. Λοιπόν το είδατε είναι φραγμένος ο αριθμητής. Ό,τι και να κάνει το ψή είναι φραγμένος και στο άπειρο. Άρα λοιπόν αναγκαστικά πολύ σωστά λέει ο συναδερφός σας έχει ψή παρονομαστεί το άπειρο και θα δώσει μητέ. Μια χαρά. Να τον χειροκροτήσουμε να περάσει καλά το Σαββατοκύριακο. Καλό Σαββατοκύριακο σε σας. Τα λέμε τη Δευτέρα. Ανοίξτε να κοιτάξετε το blackboard με τις ασκήσεις.