4.2 Δευτεροβάθμια εξίσωση και Πυθαγόρειες τριάδες / Ενότητα 4 , #2 , 02/04/14 και 03/04/14 (από αρχή εως 22,55) - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ενότητα 4 , #2 , 02/04/14 και 03/04/14 (από αρχή εως 22,55): Αυτό που είδαμε την τελευταία φορά είναι ότι ο Διώφαντος είχε δώσει τη μέθοδο για το πως να λύσει κανείς, πως να βρει μία ρίζα, μία ρίζα, μιας ενός συστήματος εξισώσεων που έδειξε το πως να λύσει κανείς, πως να βρει μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα, μία ρίζα και έλεγε το χ συμψή είναι κάποιος αριθμός, το χ τετράγωνο συμψή τετράγωνο είναι κάποιος άλλος αριθμός και είχε δείξει πως να λυθεί αυτό το σύστημα το οποίο εάν κάνει κανείς την αντικατάσταση του χ του ψ από τη μία εξίσουση στην άλλη είδαμε ότι αυτό δυστυχεί σε μια πολυονομική εξίσουση δευτέρου βαθμού Ο Διώφαντος λοιπόν είχε δώσει τον τύπο και μία συνθήκη για το πότε μπορεί κανείς να λύσει μία συνθήκη δευτέρου βαθμού Αυτό το οποίο θέλουμε να δούμε είναι να μελετήσουμε, να συζητήσουμε την προσπάθεια αυτή των μαθηματικών να βρουν ρίζες ή τις λύσεις πολυονομικών εξισώσεων θα δούμε πως βρέθηκε ο τύπος για βαθμό 2, ήδη έχουμε πει κάποια πράγματα, θα τα δούμε πιο αναλυτικά θα δούμε πως βρέθηκε ο τύπος για πολυονομό βαθμού 3 υπάρχει τύπος για την έβριση των ρυζών για πολυονομό βαθμού 4 δεν υπάρχει τύπος για την έβριση των ρυζών βαθμού 5 και πάνω και θα συζητήσουμε αυτήν εδώ την ιστορία που θα μας φέρει μέχρι και την ανάπτυξη της θεωρίας Γκαλγουά Κάποιες ερωτήσεις οι οποίες προκύπτουν από αυτά που έχουμε ήδη συζητήσει έτσι είναι καταρχήν ότι άλλο είναι αριθμητική και άλλο είναι η άλγευρα άλλο είναι η άλγευρα που κάνουμε τώρα θα τσιστέριζε περισσότερο να λέμε αφυρημένη άλγευρα έτσι πάντως άλλο είναι η άλγευρα που θα σκεφτεί κανείς από το Λύκειο άλλο είναι αριθμητική και άλλο είναι η πρακτική άλγευρα και άλλο είναι η αφυρημένη άλγευρα πως τα ορίζει κανείς, πως θα τα ορίζατε, πως θα εξηγούσετε ποια είναι η διαφορά ανάμεσα σε αυτούς τους διαφορετικούς κλάδους η γεωμετρική άλγευρα που είδαμε στον Ευκλήδη έτσι αυτό που συζητήσαμε και είδαμε και τους τρόπους με τους οποίους προσέγγιζε ο Ευκλήδης στα διάφορα προβλήματα και μιλήσαμε για η γεωμετρική άλγευρα είναι αυτό άλγευρα είναι στην κατηγορία της άλγευρας ο Διόφαντος αυτά που έκανε τα θεωρούμε άλγευρα και ξεκινάει από εκεί και για τους αρχαίους Βαβυλώνιους είχαμε ήδη μιλήσει για κάποιες εξισώσεις ότι μπορούσαν να λύσουν με γραμμικές εξισώσεις έκαναν άλγευρα, αφυριμένη άλγευρα, πρακτική άλγευρα, απλή αριθμητική έχουμε ήδη πει ότι οι Βαβυλώνιοι δεν δίναν αποδείξεις ή δεν μας έλεγαν τουλάχιστον πως βγάζαν αυτές τις αποδείξεις και κάνουμε δουλειά detective προσπαθώντας να καταλάβουμε πως καταλήγουν κάπου Για να δούμε ένα άλλο παράδειγμα, αυτό είναι από την ταμπλέτα που πάει στο 2000 π.Χ., κάπου ανάμεσα το 19ο-17ο αιώνα π.Χ. και σε αυτήν την ταμπλέτα βρίσκει κανείς το εξής πρόβλημα να βρεθεί το μήκος και το πλάτος ενός παραλληλογράμμα, εννοείται έτσι ώστε, είμαι εν περίμετρος λέει να είναι 13 ενώ το εμβαδόν να είναι 7,5 θεωρούμε ότι έχουμε ένα παραλληλογράμμα, να ξεκινήσουμε ένα σχήμα δεν μας κλάπτει ένα παραλληλογράμμα το μήκος θεωρούμε ότι είναι η μεγαλύτερη πλευρά από τις δύο έτσι αυτό είναι το μήκος, εδώ έχω το μήκος μεγαλύτερη πλευρά εδώ το πλάτος και τι ξέρω, ξέρω ότι το μήκος συν το πλάτος, συν το μήκος, συν το πλάτος είναι 13 ενώ το εμβαδόν, το γινόμενο αυτών των δύο, είναι 7,5 και μας περιγράφουν, έχει αποκρυπτογραφηθεί εδώ η διαδικασία για το πως να το κάνει κανείς τι λέει, πάρε το μισό του 13 μετά πάρε ξανά το μισό του 13, μας δίνουν οδηγίες δεν δίνουν την εξήγηση, δίνουν οδηγίες, πάρε 13, πάρε το μισό του 13 πάρε το μισό του μισού του 13 βγάζεις το 3 και 1 τέταρτα, πολλαπλασίασαι αυτά τα δύο μαζί μετά αφαίρεσαι το 7 και 1 δεύτερο, το 7,5 πάρε την τετραγωνική ρίζα, βρίσκεις το 1 και 3 τέταρτα και σε αυτό, στο 3 και 1 τέταρτα, προσθέτεις αυτόν τον αριθμό που μόλις βρήκες και βρίσκεις το μήκος και όταν το αφαιρείς, λέει βρίσκεις το πλάτος πως προκύπτει αυτό έτσι για να δούμε καταρχήν πως θα το λύναμε πάντως αυτή είναι η διαδικασία που λένε πως να λύσεις πως να βρεις τη λύση σ' αυτές εδώ τις δύο εξισώσεις για να δούμε λοιπόν τι μας λένε αυτές οι δύο εξισώσεις και αν μπορούμε να κατανοήσουμε αυτήν εδώ τη διαδικασία το μήκος να το ονομάσουμε χει, το πλάτος να το ονομάσουμε ψι έχω λοιπόν ότι μια εξίσουση είναι ότι 2χ συνδύω ψι είναι ίσου με 13 ενώ το άλλο λέει χει επί ψι είναι ίσο με το 7,5 πως θα το κάναμε εδώ, καταρχήν εντάξει και κάτι που μοιάζει με αυτό που λέει διέρεσε το 13 από αυτό εδώ κατευθείαν βγάζω ότι το χει συν ψι είναι ίσο με το 6,5 του 13 για να μείνω αρκετά κοντά σ' αυτά που μας περιγράφει εντάξει το έχουμε κάνει αυτό και μετά τι θα κάνουμε θα λύσουμε έστω λύνουμε ψι, έχω ότι το ψι είναι 6,5-χ παίρνω αυτό το ψι αντικαθιστώ στη δεύτερη εξίσουση έχω λοιπόν χ επί 6,5-χ είναι ίσον με το 7,5 άρα έχω μειον χ τετράγωνο συν 6,5χ είναι ίσο με το 7,5 και με άλλα λόγια σήμερα αυτό θα το γράφουμε πολύ απλά χ τετράγωνο 6,5χ χ τετράγωνο μειον 6,5 χ μειον συν 7,5 ίσον με το 0 θα πάρουμε τώρα τον τύπο για να γράψω να πω κάτι δύο λύσεις που θα πάρω εδώ δύο λύσεις ξέρω ότι έχω δύο λύσεις δύο λύσεις που θα πάρω εδώ η μία θα είναι το μήκος και η άλλη είναι το πλάτος εντάξει γιατί χ συν ψι είναι το 13 οι δύο λύσεις που θα πάρω είναι αυτές που ικανοποιούν η μία θα είναι το χ μία λύση που θα πάρω σε αυτήν την εξίσωση είναι το χ ενώ η άλλη είναι το ψι σκεφτείτε το λίγο αυτό έτσι πάντως για να γράψουμε τις δύο λύσεις σύμφωνα με τον τύπο μου λέει ότι το χ12 τον τύπο για αυτήν εδώ την εξίσωση χ12 θα είναι το 6,5 έτσι για να διαρρέσω δια του 2 εξ αρχής 2 δηλαδή θα είναι 6,5 δια του 2 για να μας θυμίζει και όμως και τον τύπο συν και πλήν έτσι τι θα κάνουμε θα πάρουμε το 6,5 στο δετράγωνο 6,5 στο δετράγωνο μίον 4 φορές το 7,5 και για να το ταιριάξουμε με αυτήν εδώ την διαδικασία έτσι ποια είναι η διαδικασία είναι το 6,5 δια του 2 έτσι και τι κάνουμε προσθέτουμε και αφαιρούμε έτσι το 6,5 έτσι αν το φέρουμε μέσα γίνεται 4 άρα θα πάρω το 6,5 δια του 4 στο τετράγωνο θεομίον 7,5 ποιος είναι ο τύπος τι κάνουμε με τον τύπο ακριβώς αυτό το οποίο μας λέει η διαδικασία λέει πάρε το 13 διαρρέσει δια του 2 βρίσκεις το 6,5 μετά αυτό το 6,5 διαρρέσε το δια του 2 να το εδώ είναι έτσι τι θα προσθέσεις αυτό προσθέτεις τη ρίζα τι μόνος πράγματος μας λέει πια να βρούμε τη ρίζα του 3,5 επί 3,5 3,5 το τετράγωνο είναι το πρώτο πράγμα που γράψαμε μέσα στο ρυζικό έτσι μίον το 7,5 είχαν τον διονυμικό τύπο η βαβυλώνη τον είχαν από τότε έτσι για να γράψω και κάτι άλλο για να δούμε καταρχήν τι λέω στο επόμενο αν χ και ψ είναι το μήκος και το πλάτος τότε θέλουμε να λύσουμε αυτές τις δύο εξισώσεις εντάξει εδώ έχει γίνει κάποιο τυπογραφικό δεν είναι μίον 7,5 είναι σύν 7,5 εντάξει οδηγίες ακολουθούμε τις οδηγίες και κάνουμε ακριβώς αυτά εδώ τα δύο όταν προσθέτω αυτή τη ρίζα θα πάρω το χ όταν αφαιρέσω θα πάρω το ψ έτσι το ερώτημα είναι είχαν αυτόν τον τύπο κι αν τον είχανε πως το φανταζόμαστε ορίστε έχω αυτό εδώ το παραλληλόγραμμο θεωρώ ότι το χ, για να βάλω και το άλλο ότι το μήκος είναι μεγαλύτερο του πλάτος όταν το μήκος είναι μεγαλύτερο του πλάτος εντάξει έχω ότι το χ και ψ είναι εδώ ίσο όταν έχω ότι το μήκος είναι μεγαλύτερο του πλάτος έτσι έχω αυτό εδώ είναι το αντίστοιχο β δεύτερα όταν το χ λοιπόν είναι μεγαλύτερο έχουμε ήδη διερέσει αυτό εδώ είναι το β χ συν ψ ίσον με β, άρα υποτίθεται είμαστε εδώ έτσι μπορούμε με άνευση να υποθέσουμε ότι ξέρουν να λύσουν το 2χ συν 2ψ ίσον με 2β άρα ξέρουν να λύσουν αυτό εδώ το σύστημα των εξισώσεων χ συν ψ ίσον με το 6.5 και χ επί ψ ίσον με το 7.5 αυτές είναι οι δύο εξισώσεις που βλέπουμε αν λοιπόν υποθέσω ότι το χ είναι μεγαλύτερο από το ψ αυτό εδώ είναι το β είναι ξεκάθαρο ότι το χ είναι μεγαλύτερο από το β δεύτερα το χ είναι μεγαλύτερο ή ίσο εντάξει αν είναι ίσα αν το χ και το ψ είναι ίσα τότε το χ είναι τουλάχιστον το β δεύτερα αυτή είναι η πρώτη παρατήρηση ότι το μήκος χ είναι μεγαλύτερο του πλάτους δηλαδή το χ είναι μεγαλύτερο του β δεύτερα τουλάχιστον στην εικόνα για να μας ταιριάξει και όταν έχουμε ακριβώς ένα τετράγωνο μπορεί κανείς να δει τελικά ποια θα είναι η απάντηση αλλά ας δούμε σε αυτήν την εικόνα να υποθέσουμε ότι το χ είναι μεγαλύτερο του ψ επομένως αφού το χ συν ψ είναι ίσο με το β το χ είναι τουλάχιστον β δεύτερα κάπου εδώ λοιπόν έχω το β δεύτερα αυτό εδώ είναι το β δεύτερα αυτή είναι η εικόνα που φαίνεται στην κορυφή τι απομένει έτσι τι θα πρέπει να προσθέσω στο β δεύτερα για να πάρω το ψ έτσι πόσο είναι αυτό εδώ το κομμάτι ακριβώς χ- ψ έτσι αυτό εδώ που υπολείπεται για να το προσθέσω στο β δεύτερα είναι το χ- ψ δηλαδή αυτό λοιπόν εδώ είναι χ- ψ δεύτερα από την εξίσουσι χ συν ψ ίσον με το β αν αφαιρέσω το β δεύτερα παίρνω ακριβώς χ- ψ δεύτερα αν αφαιρέσω από το χ τα β δεύτερα παίρνω χ- ψ δεύτερα όπως και να το δείτε εντάξει είναι απλή αριθμητική εδώ πέρα απλές πράξεις για να δούμε ότι υπολείπεται το χ- ψ δεύτερα αυτό είναι η πρώτη παρατήρηση λοιπόν β δεύτερα συν χ- ψ δεύτερα μου κάνει το χ ενώ από την άλλη αν πάρω για να τα γράψω αυτά εδώ τα δύο έχω ότι χ σε αυτό λοιπόν το οποίο έγραψε εδώ είναι ότι β δεύτερα συν χ- ψ δεύτερα είναι ίσο με το χ και αν πάλι κάνω τις πράξεις και πάρω το ψ και προσθέσω εάν τώρα στο ψ προσθέσω το χ- ψ δεύτερα αυτό το οποίο βρίσκω είναι β δεύτερα και όλα αυτά προκέπτομαι γιατί χ- ψ είναι ίσο με το β είναι η μόνη σχέση την οποία έχω αυτές λοιπόν εδώ τις σχέσεις βγαίνουν κατευθείαν αυτές εδώ οι δύο τώρα για να ξαναπάμε στην εικόνα ήδη λέω τι θα πρέπει να κάνουμε θα τα μετακινήσουμε λιγάκι αυτό εδώ το παραλληλόγραμμο το οποίο είναι κάθετο και το οποίο έχει τη μία πλευρά χ- ψ δεύτερα την άλλη πλευρά την έχει ψ θα το μετακινήσω και θα τοποθετήσω ακριβώς κάτω από τη βάση αυτή είναι η εικόνα έχω πάρει το καύτο παραλληλόγραμμο και το έχω βάλει κάτω από τη βάση έχω μείνει λοιπόν με το β δεύτερα έχω πάρει αυτό εδώ το παραλληλόγραμμο και το έχω βάλει εδώ και δεν το έχω βάλει και σωστά το έχω μετακινήσει από εδώ το έχω βάλει δεν φτάνει δεν είναι ολόκληρο β δεύτερα δεν είναι ολόκληρο το β δεύτερα αυτή εδώ η πλευρά είναι χ- ψ δεύτερα ενώ αυτή εδώ η πλευρά είναι το ψ εδώ το παραλληλόγραμμο είναι αυτό εδώ ας ξεχάσουμε λίγο τώρα αυτό εδώ γιατί το έχω βγάλει το έχω διώξει έχω μείνει με αυτήν εδώ την εικόνα αυτή εδώ η εικόνα έχει τη μία πλευρά β δεύτερα αυτήν εδώ την πλευρά β δεύτερα αυτή είναι η εικόνα έχω πάρει αυτό εδώ το παραλληλόγραμμο το έχω βάλει σε αυτήν εδώ τη βάση δεν έχω τετράγωνο γιατί μου υπολείπεται αυτό αυτό είναι το κομμάτι που μου υπολείπεται πόσο είναι αυτό είναι χ- ψ δεύτερα γι' αυτό εδώ χ- ψ δεύτερα γι' αυτό εδώ αυτές εδώ είναι οι σχέσεις αυτό εδώ είναι ένα τετράγωνο με πλευρά β δεύτερα εδώ πάλι β δεύτερα αυτό που υπολείπεται για να γεμίσει για να έχω ολόκληρο το τετράγωνο είναι αυτό εδώ έτσι, τι θέλουμε εμείς και γιατί αυτό εδώ μας βοηθάει έτσι, εμείς αυτό το οποίο θα θέλαμε πως θα βρω το χ, πως βρίσκω το χ στο χ πρέπει να πάρω το β δεύτερα το β μου είναι γνωστό στο χ λοιπόν λέει πάρε το β δεύτερα αυτό που πρέπει να προσθέσεις είναι το χ μιον ψ δεύτερα τι είναι το χ μιον ψ δεύτερα είναι η ακμή αυτού εδώ του τετραγώνου πως προκύπτει αυτό το τετράγωνο πως θα βρω την ακμή όταν ξέρω το εμβαδό του τετραγώνου θα πάρω τη ρίζα αυτό εδώ το τετραγωνάκι πως προκύπτει προκύπτει από το μεγάλο τετράγωνο που έχει πλευρά β δεύτερα την οποία γνωρίζω αν αφαιρέσω την πλευρά αυτή εδώ αν αφαιρέσω αυτό εδώ το κομματάκι έτσι αν αφαιρέσω από το εμβαδό του αρχικού παραλληλογράμμα αν αφαιρέσω από το β δεύτερα το εμβαδό του αρχικού παραλληλογράμμα για να το ξαναεπαναλάβουμε για να υπολογίσω το χ πρέπει να προσθέσω στο β δεύτερα που είναι ένας αριθμός που γνωρίζω γιατί έχω ξεκινήσει με αυτόν τον αριθμό μου λένε πόσο είναι το β, άρα γνωρίζω το β δεύτερα αν λοιπόν στο β δεύτερα προσθέσω το χ-ψ δεύτερα αυτό εδώ όμως δεν το γνωρίζω απευθείας πως το βρίσκω το βρίσκω ότι είναι η ακμή αυτούνου εδώ του τετραγώνου το τετράγωνο αυτό εδώ πως προκύπτει είναι αυτό που μου υπολείπεται αν από το αρχικό σχήμα του παραλληλογράμμα πάρω αυτήν εδώ την πλευρά και την βάλω εδώ τότε αυτό που μου έχει μείνει αυτό έχετε το σχήμα επάνω αυτό που μου έχει μείνει αν μετακινήσω το κάθε το παραλληλόγραμμα το βάλω εδώ παράλληλα μου υπολείπεται αυτό εδώ το τετράγωνο το αρχικό παραλληλόγραμμα έχει εμβαδό σε αυτό εδώ ήταν το αντίστοιχο σε το μεγάλο τετράγωνο που είναι μεγαλύτερο από το αρχικό παραλληλόγραμμα έχει πλευρά β δεύτερα άρα αυτό το οποίο κάνω είναι υπολογίζω το εμβαδό του μεγάλου τετραγώνου β δεύτερα παίρνω το β δυα δύο στο τετράγωνο αυτό είναι το εμβαδό του μεγάλου παραλληλόγραμμα από το οποίο αφαιρώ το εμβαδό του μεγάλου τετραγώνου από το οποίο αφαιρώ το εμβαδό του παραλληλόγραμμα αφαιρώ τόσο αυτός είναι ο τύπος και αυτό εδώ αν το βρω αυτό είναι ο εμβαδό του μικρού τετραγώνου όταν παρω τη ρίζα θα πάρω το χ μίωση δεύτερα τώρα αυτή η εξήγηση είναι μια εξήγηση που πιστεύουμε ότι ήταν στις δυνατότητες του στην μηχανέ έτσι είναι μια απλή γεωμετρία εδώ πέρα παρακολουθεί κανείς τη γεωμετρία και πιστεύουμε ότι το είχαν τι σημαίνει αυτό έτσι μια ακόμη παρατήρηση έχουμε ήδη πει ότι έχουμε πρόβλημα με τους ανητικούς αριθμούς ανητική αριθμή δεν είναι ακόμη αποδεκτή 2000 π.Χ. θα θεωρήσω λοιπόν θα προσπαθήσω να τα σκεφτώ όλα να κάνω την αντιστοιχία σαν πολυονομική εξίσωση αλλά με θετικούς συντελεστές τι μας λέει αυτό έτσι για να πάμε πάλι στην εξίσωση την οποία έχω σβήσει αν θυμάμαι καλά είναι μια εξίσωση της μορφής έτσι να τη γράψω εδώ έχουμε συμπεράνει ότι οι Βαβυλώνιοι μπορούσαν να λύσουν το εξής σύστημα χ τετράγωνο έτσι υπήρχε κάποιος συντελεστής εδώ δεν τον θυμάμαι να τον γράψω αx και μετά ήταν κάτι θετικό εδώ να το βάλω σιν σε ίσο με το μηδέν στην ουσία αυτό που είπαμε προηγουμένως είναι ότι είχαν τρόπο για να λύσουν αυτήν εδώ να βρουν τις ρίζες αυτής εδώ της εξίσωσης αν τα σκεφτώ λοιπόν σαν θετικά αυτό μου λέει ότι είχαν τρόπο για να λύσουν την εξής εξίσωση 2ου βαθμού χ τετράγωνο σιν σε ίσο με αx είναι η ίδια ακριβώς εξίσωση απλά έχω κρατήσει και από τη μια και από την άλλη να έχω θετικούς συντελεστές γιατί μέχρι τότε οι ανητικοί είχαμε πρόβλημα με τους ανητικούς συντελεστές να τους καταλάβουμε οπότε τα χωρίζουμε στις περιπτώσεις για να δούμε ποιες είναι οι περιπτώσεις πριν συνεχίσω Βαβυλώνι λοιπόν έχουν μία μέθοδο επίλυση στις Βαβυλώνι φαίνεται να γνωρίζουν πως να επιλύουν αυτήν εδώ αυτόν τον τύπο της πολυενεμικής εξίσωσης εδώ θεωρώ ότι και το α είναι μεγαλύτερο του μηδενός και το σε είναι μεγαλύτερο του μηδενός πως τέτοιοι τύποι υπάρχουν έτσι και είναι χαρακτηριστικό θεωρώ ότι μέχρι τότε τους θεωρούσαν διαφορετικούς τύπους δεν μπορούν να τους ενωπίσω γιατί οι ανοιητικοί συνταλεστές απλά δεν υπάρχουν δεν υπάρχει έννοια των ανοιητικών συνταλεστών δεν μπορώ να τα φέρω όλα από τη μία μεριάκη και να θεωρήσω να προσπαθήσω να βρω τον γενικό τύπο προσπαθώ να λύσω την κάθε περίπτωση χωριστά για να δούμε πόσες τέτοιες περιπτώσεις έχουμε εντάξει σήμερα για την γενική εξίσουση δευτέρου βαθμού θα είναι κάτι της μορφής α2x τετράγωνα συν α1x συν α0 εντάξει ίσον με το μηδέν ο γενικός τύπος τα αi μπορούν να είναι ό,τι θέλουν θετικά ενητικά εντάξει δεν με απασχολεί αυτή τη στιγμή εντάξει επίσης μπορούμε να θεωρήσουμε με βεβαιότητα ότι αν μπορεί κανείς να λύσει αντίστοιχα την εξίσωση χ τετράγωνα συν α1x συν α0 εάν κάποιος μπορεί να λύσει αυτήν εδώ την εξίσωση να βρει τις ρίζες αυτής εδώ της εξίσωσης τότε σίγουρα μπορεί να βρει τις ρίζες αυτής εδώ της εξίσωσης αυτό εδώ είναι υπό περίπτωση το α2 εδώ είναι μονάδα αλλά αν μπορεί κανείς να λύσει αυτήν εδώ την εξίσωση τότε μπορεί να λύσει και αυτήν εδώ την εξίσωση γιατί αντί να ξεκινάει με αυτήν και νομίζω ότι είναι κάτι το οποίο οι περισσότεροι που θα ασχοληθούν με άλυβρα προσπαθώντας να το λύσουν αυτό καταλαβαίνουν ότι αυτή εδώ η εξίσωση έχει ακριβώς τις ίδιες ρίζες όπως η εξίση χ τετράγωνο συν α1 δια α2, όχι συν α0 δια α2 ίσο με το 0 Αυτό που λέω είναι ότι προσπαθώντας να καταλάβω αυτήν εδώ την εξίσωση αρκεί να καταλάβω πώς να λύσω αυτήν εδώ την εξίσωση Είμαστε λοιπόν εδώ Τώρα για να σκεφτούμε όπως σκέφτονται οι αρχαίοι μαθηματικοί πρέπει να πάρουμε ξεχωριστές περιπτώσεις ανάλογα με το αν οι συντελεστές είναι θετικοί ή ανοιτικοί για να τις γράψουμε Το α1 μπορεί να είναι θετικό ή ανοιτικό Το α0 μπορεί να είναι θετικό ή ανοιτικό Τώρα επίσης μιας και οι ανοιτικοί αριθμοί δεν έχουν πολύ νόημα δεν έχουν κανένα νόημα μέχρι τώρα είμαστε σε αυτόν τον κόσμο που δεν υπάρχουν ακόμη ανοιτικοί αριθμοί από μόνοι τους Είναι ξεκάθερο ότι το α1 και το α0 δεν τα θέλω να είναι ταυτόχρονα θετικά γιατί αν έχω ταυτόχρονα θετικά και το α1 και α0 δεν θα μπορέσω να βρω μια θετική λύση που να την ικανοποιεί την εξίσωση Σωστά Οπότε αποκλείω την περίπτωση το α1 και το α0 να είναι και τα δύο θετικά Τι μου μένει το α1 να είναι θετικό, αυτό εδώ να είναι ανοιτικό μου μένει αυτό εδώ να είναι ανοιτικό αυτό εδώ να είναι θετικό και μου μένει και η περίπτωση αυτά τα δύο να είναι θετικά Τρεις περιπτώσεις Και φαίνεται έτσι ότι οι Βαβυλώνιοι ήδη ήξεραν πως να λύσουν τη μία από αυτές εδώ τις τρεις Έτσι για να τις γράψω αντίστοιχα έτσι αυτό εδώ να το ονομάσω τώρα α αυτό εδώ να το ονομάσω σε έτσι για να δούμε ποιες είναι οι αντίστοιχες περιπτώσεις θα ήταν χ τετράγωνο συν αχ έτσι ίσον με σε Αντί να λύνω αυτήν, λύνω αυτήν που έχω τους θετικούς μου εκεί που τους θέλω Αυτό λοιπόν είναι το μίον σε εδώ πέρα αντίστοιχα αντιστοιχήσω, αντιστοιχήσω είτε στο συν σε είτε στο μίον σε Δεύτερη περίπτωση θα έχω να λύσω το χ τετράγωνο συν σε ίσον με αχ Και τρίτη περίπτωση όταν και το α1 και το α0 είναι ανητικά εμείς τα λύναμε αν είμαστε αρχαίοι χ τετράγωνο αχ συν σε Εντάξει αυτές είναι οι τρεις περιπτώσεις απ' τις οποίες τρεις βαβυλόνιοι είχαν τρόπο ή από ότι φαίνεται δίναν οδηγίες για το πως να λύσεις την μία από αυτές Εντάξει το λέω αυτό γιατί θα το δούμε θα τα αντιμετωπίσουμε ακριβώς το ίδιο πρόβλημα και το ίδιο ζήτημα και με εξισώσεις τρίτου βαθμού έτσι θα πρέπει να τις ξεχωρίσω ανάλογα με τις περιπτώσεις Σε μια άλλη πλάκα φαίνεται ότι υπήρχε ότι είχαν τρόπο, υπάρχει ένα παράδειγμα λύσεις και αυτής εδώ της εξίσωσης 7x σε κάτι το οποίο αντιστοιχεί σε αυτήν εδώ την εξίσωση 7x συν 11x τετράγωνο ίσον με κάτι άλλο θετικό Φαίνεται λοιπόν, εντάξει υπάρχει έτσι σοβαρή παρόλο που είναι σε συγκεκριμένα προβλήματα ότι οι βαβυλόνιοι είχαν τρόπο για να λύσουν και αυτήν εδώ την περίπτωση που αντιστοιχεί x τετράγωνο συν σε αντιστοιχεί εδώ βαβυλόνιοι λοιπόν και επίσης είχαν τρόπο για να λύσουν το x τετράγωνο συν κάτι άλλο ίσον με το σε Ενδείξεις για το ότι ξέραν να λύσουν αυτές εδώ τις δύο περιπτώσεις Να σχολιάσω για να σας θυμίσω κιόλας από ευκαιρίας και της Πρόοδου σαν επανάληψη ότι έχουμε ήδη δει τελείως γεωμετρικά πως να λύσει κανείς να βρει τη λύση αυτής εδώ της εξίσωσης Για να δούμε λοιπόν να θυμηθούμε τι κάνει αυτό είναι το ευκλήδι να βρεθεί ένα τμήμα το x έτσι ώστε το ορθογόνιο που ορίζει το τμήμα και το ένα μέρος του το τμήμα και το ένα μέρος του να είναι ισοδύναμο με το τετράγωνο που έχει πλευρά το άλλο μέρος να διαιρεθεί εδώ το τμήμα ξεκινάμε με το α θέλω να το διαιρέσω με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε το ορθογόνιο που ορίζει το α και το ένα μέρος του το α-χ να είναι ισοδύναμο με το τετράγωνο του άλλου έχουμε δει τη λύση τη γεωμετρική τι λέει πένει στο αβ κατασκευάζεις το τετράγωνο πένει στο μισό του α-σ τετράγωνο με πλευρά το αβ το μισό είναι το ε έτσι αυτό έχει κάνει έχουμε πάει εδώ έχουμε κατασκευάσει το τετράγωνο αβ-δ-σ πένουμε το μισό του α-σ βρίσκουμε το ε μετράμε το εβ πένουμε το κύκλο έτσι προεκτείνουμε αυτό εδώ το ευθύγρυμο τμήμα πένουμε το κύκλο μετράμε εβ-ε-ε-ε-ε-ε-ε-ε-ε-ε-ε-ε ό,τι περισσεύει από το α στο ε είναι το κομμάτι το οποίο θέλουμε αυτό είναι το χ έτσι, αυτή ήταν η διαδικασία για να λύσουμε για το χ πώς βρίσκουμε το χ επαναλαμβάνω πένουμε το τετράγωνο ά-τετράγωνο με ακμή το ά πένουμε το μισό της μίας πλευράς το α-σ Ενώνω το ε με το β, παίρνω αυτήν εδώ τη διαγόνιο και μετά προεκτείνω το α σε έτσι ώστε από το ε να φτάσω στο ε. εβ είναι ίσον με το εε. Ό,τι περισσεύει από το α στο ε, από το α στο ε εκείνο το τμήμα είναι το χ. Για να το ταιριάξουμε, σας είχα ζητήσει να το δείτε, να το ταιριάξουμε με τον τύπο τον οποίον γνωρίζουμε για την επίλυση δευτεροβάθμιου εξισώσε. Αυτό είναι μια ιδική περίπτωση, πολύ ιδική περίπτωση δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Να θυμίσω ότι είναι αναγκασμένος ο Ευκλήδης να κοιτάξει ομογενείες εξισώσεις. Έτσι εμβαδά πρέπει να ταιριάξουν με εμβαδά. Άρα η εξίσωση την οποίαν έχει να λύσει, για να τη γράψουμε οναλυτικά, α, επί α-χ ίσον με χ τετράγωνο, είναι η εξίσωση χ τετράγωνο ίσον α τετράγωνο-αχ. Και επειδή το α είναι θετικό, αυτό εδώ αντίστοιχει στο χ τετράγωνο συν αχ ίσον με α τετράγωνο. Μια πολύ ιδική μορφή από αυτές εδώ τις τρεις εξισώσεις. Για να δούμε τι μας λέει ο τύπος τον οποίο γνωρίζουμε, χ τετράγωνο συν αχ-α τετράγωνο ίσον με το μηδέν. Πώς θα το λύνουμε, πώς θα βρούμε το χ, το χ1 θα πάρουμε το θετικό, εντάξει, εγώ θα βάλω και τις δύο ρίζες, χ1-2, να είναι ίσο με το μειών α, διαιρούμε για το 2, μειών α δεύτερα, έτσι, simple, τη ρίζα, έτσι τι κάνουμε εδώ, παίρνω το α τετράγωνο και σε αυτό εδώ προσθέτω το 4α τετράγωνο, αυτός είναι ο τύπος. Για να προσπαθήσουμε να τον παρακολουθήσουμε στην εικόνα, έτσι και πως ταιριάζει με αυτό το οποίο μας λέει να κάνουμε ο εθκλήδης. Εντάξει, καταρχήν να το κρατήσω έτσι πως είναι ακριβώς και μετά να δούμε αν έχει νόημα, αν υπάρχει μια αντική λύση, έχω το μειών α δεύτερα, το έχω χωρίσει, το μειών α δεύτερα ταιριάζει έτσι γιατί από το EF θα κρατήσω το κομμάτι αε, από το EF θα αφαιρέσω το αε και το αε είναι το α δεύτερα, έτσι το μειών α δεύτερα αντιστοιχεί στο κομμάτι αε το οποίο αφαιρώ από ολόκληρο το EF. Έχω το μειών α δεύτερα, μετά τι έχω, έχω το simple και εδώ μέσα έχω πέντε α τετράγωνο τέταρτα, έτσι. Τι είναι αυτό, ποιο έχουμε πάρει από τα δύο. Έτσι καταρχήν να πω είναι εξεκάθαρο ότι δεν μπορούμε, αυτό που αντιστοιχεί σε αυτή τη λύση σίγουρα δεν είναι το μειών, έτσι θα είχα δύο νητικούς αριθμούς, θα έπαιρνα έναν νητικό αριθμό που δεν θα έχει νόημο, έτσι το μειών λοιπόν αυτό εδώ δεν έχει νόημα στη λύση. Αυτό το οποίο προσπαθούμε να καταλάβουμε είναι το μειών α δεύτερα συν πέντε α τετράγωνο τέταρτα. Τι μας λέει ο ευκλήδης, πάρε τη διαγώνιο, πάρε το ε στο ε δεν είναι ο διαγώνιος, ένωσε το ε με το β, πάρε εκείνο το κομμάτι, έτσι. Την υποτίνουσα εκείνο του ορθό τριγόνου ε με β και μετά πάρει το μήκος της και μέτρησε το ευθύγρομο τμήμα από το ε στο ε να έχει το μήκος εβ. Η υποτίνουσα εβ ποιο είναι το μήκος της, έτσι έχω το ορθό τριγόνο είναι α ε τετράγωνο είναι λοιπόν α είναι η ρίζα του α τετράγωνο α δεύτερα τετράγωνο συν α τετράγωνο. Αυτό εδώ είναι ακριβώς το μήκος της εβ. Η εικόνα που μας λέει λοιπόν ο Ευκλήδης πάλι αντιστοιχεί σε αυτόν εδώ τον τύπο προφανώς και μάλιστα με το συ. Μια ειδική λοιπόν περίπτωση γεωμετρικής ο Ευκλήδης το πλησίασε κάνοντας τη γεωμετρική με γεωμετρική άλγυβρα. Έτσι και αναφέραμε και τον Διόφαντο για να σκουλιάσω λοιπόν πάνω σε αυτό. Έτσι το βιβλίο εριθμητική. Ο Διόφαντος έδωσε εξέτασε κάθε μία από αυτές τις τρεις περιπτώσεις που είπαμε και μάλιστα έδωσε και τους τρεις τύπους δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Όπου α β και σε είναι μεγαλύτερο του μηδενός. Έτσι μόνο μεγαλύτερο του μηδενός έχουμε έτσι και έδωσε τον τρόπο επίλυσης και γι αυτές τις τρεις εξισώσεις. Και να θυμίσω ότι είπαμε ότι γι αυτόν φεύγει από την ομογένεια δεν χρησιμοποιεί πια γεωμετρία λέει πως να λυθεί. Έχει δώσει τον αλγόριθμο επίλυσης βέβαια βάζοντας κάποιες συγκεκριμένες συνθήκες χρειάζεται ότι είναι μέσα στη ρίζα να μας βγει ένας ρητός αριθμός. Δεν είναι γενικός λοιπόν ο τύπος έτσι δεν είναι η ρίζα κάποιο αριθμού. Υπάρχει λύση κατά τον Διόφαντο αν και μόνο αν ο αριθμός βγαίνει να είναι ρητός. Το συζητήσαμε χτες είναι το πρόβλημα 28 από το πρώτο βιβλίο που είδαμε ποια είναι η συνθήκη που έθεσε ο Διόφαντος και ήθελα ακόμη έτσι από αυτήν την αυτό είναι το 28 αν δείτε σε αυτό το βιβλίο έτσι έχουμε θέλω να σχολιάσω στο δεύτερο βιβλίο την ερώτηση β και τρεις άσεις δηλαδή ποια ερώτηση το 8 έτσι από το δεύτερο βιβλίο το πρόβλημα αυτό το συγκεκριμένο αυτό πρόβλημα λέει να διαρρέσεις το τετράγωνο σε δύο τετράγωνα εντάξει να διαρρέσεις το τετράγωνο σε δύο τετράγωνα και προχωράει και λέει εντάξει θα το κάνουμε για το 16 να θυμίσεις ότι ο Διόφαντος έπαιρνε ένα γενικό έθεται το γενικό πρόβλημα και μετά προχωρούσε να το λύσει σε συγκεκριμένη με συγκεκριμένους αριθμούς θέτη λοιπόν το γενικό πρόβλημα να πάρεις και να διαρρέσεις το τετράγωνο σε δύο τετράγωνα έτσι και μετά λέει εντάξει θα το κάνουμε για το 16 να διαρρέσεις ένα τετράγωνο σε δύο τετράγωνα να διαρρέσεις ένα τετράγωνο το σε τετράγωνο να το διαρρέσεις σε δύο τετράγωνα α τετράγωνα σε β τετράγωνα έτσι. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά είναι πάνω σε αυτό το κομμάτι όπου ο Φερμά σχολίασε ότι δεν μπορεί να γίνει για μαγαλύτερο 1 και ότι ξέρει αυτή τη δαγμαστή απόδειξη αλλά δεν χωράει μέσα στο περιθώριο έτσι εδώ τέφηκε αυτό εκεί όπου ο Διόφαντος προχωράει και δίνει την λύση για αυτήν εδώ την περίπτωση πως να διαρρέσεις ένα τετράγωνο σε δύο τετράγωνα πως να βρεις πιθαγόριες τριάδες και θα το συζητήσουμε αναλυτικά αύριο να θυμίσω όμως έτσι αυτή είναι η τελευταία διαφάνεια για σήμερα να θυμίσω ότι γι' αυτό είχαν Βαβυλώνη άποψη. Στην ταμπλέτα του Μπίμπτον είχαμε δει τις πιθαγόριες τριάδες έτσι είχαμε δει μια ολόκληρη λίστα από πιθαγόριες τριάδες και αυτό το οποίο ερμηνεύουμε ήταν ότι τότε ο τρόπος που το πλησίασαν οι πιθαγόροι είναι πάλι γεωμετρικά και ξέραν να λύνουν γραμμικές εξισώσεις και για να βρουν τις πιθαγόριες τριάδες αντί να λύσεις σου δίνουν τον τί τετράγωνο αντί να διαρρέσεις θέλεις να διαρρέσεις τον τί τετράγωνο σε δύο τετράγωνο χρησιμοποιώ την ορολογία του διόφαντου για να διαρρέσεις λοιπόν τον τί τετράγωνο σε δύο τετράγωνο στο χί τετράγωνο και στο ψί τετράγωνο Δηλαδή να κάνεις αυτό προσπαθείς να βρεις τις λύσεις αντίστοιχα στις εξισώσεις Β-ΙΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥ Δηλαδή να κάνεις αυτό προσπαθείς να βρεις τις λύσεις αντίστοιχα στις εξισώσεις Β-ΙΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥΥ Ο διόφεντος είχε εξετάσει το ζήτημα, ένα από τα προβλήματα αυτό το οποίο θα συζητήσουμε είναι να διαρρέσει σε ένα τετράγωνο, σε δύο τετράγωνο. Τότε όπως το κάνει κλασικά για να δείξει τη λύση παίρνει το δεκάξι και παράδειγμα θα δούμε τώρα πως το κάνει για το δεκάξι αλλά αυτό που θα ήθελα να σκεφτείτε είναι πως το λένε κανείς γενικά. Για να δούμε λοιπόν πως το κάνει για το δεκάξι, λέει να ακολουθήσουμε τα εξής, έτσι τα λέει με λόγια, έστω ότι χ τετράγωνο είναι το πρώτο τετράγωνο, τότε αυτό που μένει είναι δεκαέξι σημείων χ τετράγωνο και πρέπει να είναι τετράγωνο και αυτό. Για να δούμε λοιπόν τι θέλουμε να κάνουμε, έχουμε το δεκάξι και θέλουμε να το γράψουμε σαν χ τετράγωνο συν ένα άλλο τετράγωνο, έτσι προφανώς αυτό το άλλο το τετράγωνο θα είναι το δεκαέξι μίον χ τετράγωνο και αυτό το οποίο λέμε είναι ότι αυτό εδώ το κομμάτι πρέπει να είναι ψ τετράγωνο. Πρέπει να υπάρχει ένα ψ έτσι ώστε το ψ τετράγωνο να είναι ίσο με το δεκαέξι μίον χ τετράγωνο. Το ένα κομμάτι λοιπόν είναι το χ τετράγωνο, αυτό που μένει είναι το δεκαέξι μίον χ τετράγωνο και το θέλουμε να είναι και αυτό το τετράγωνο κάποιο αριθμό. Τώρα το ενδιαφέρον είναι το επόμενο κομμάτι λέει έστω έτσι πρέπει λοιπόν να είναι τετράγωνο και αυτό και θεωρείς εντάξει λείπει μια λέξη εδώ πέρα θεωρούμε το τετράγωνο της διαφοράς ενός οποιαδήποτε πολλαπλασίου του χ μίον 4. Τι λέει εδώ έστω λέει ότι ψ είναι m επί χ μίον 4 έτσι πάρε τον άλλο αριθμό να είναι οποιαδήποτε διαφορά ψάχνουμε να τον βρει αλλά λέει έστω ότι ψ είναι ένα οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του χ μίον 4 και μετά βέβαια γιατί το λέει γενικά αλλά πάει στο συγκεκριμένο έτσι πάρε λέει το 2χ μίον 4. Θέτεις λοιπόν m ίσον με 2 και παίρνεις στη συγκεκριμένη περίπτωση ψ ίσον 2χ μίον 4. Τι κάνεις μετά λες το αντικαθιστάς έτσι έχεις λοιπόν το εξής έχεις ότι 16 μίον χ τετράγωνο πρέπει να είμαι ίσο με το 2χ μίον 4 τετράγωνο. Ψάχνεις να βρεις το ψ και τώρα έχεις αυτήν εδώ την εξήσωση που έχει μέσα μόνο χ έτσι δευτεροβάθμια εξήσωση αρχίζεις 16 μίον χ τετράγωνο αυτό εδώ είναι 4χ τετράγωνο μίον 4χ μίον 16χ έτσι 4x4 16 συν 16. Ωραία οπότε τώρα τι γίνεται το 16 αυτό με το 16 αυτό ακυρώνεται και μένουμε με το 5x τετράγωνο να είναι ίσο με το 16x και σε αυτό εδώ το σημείο λέει το χ πρέπει να είναι επομένως το χ το ένα το κομμάτι να είναι 16 ως προς 5. Αυτή είναι η λύση βέβαια εμείς σήμερα θα παίρνουμε και το χ ίσο με το μηδέν σε αυτό το σημείο έτσι θα πρέπει να εξετάσουμε και την περίπτωση που χ είναι ίσο με το μηδέν και το χ ίσο με το μηδέν μόνο που το μηδέν δεν υπάρχει δεν το θεωρούμε δεν υπάρχει αυτή η έννοια ακόμη έτσι του τίποτα. Οπότε δεν το εξετάζει ο διόφοντος αλλά με αυτόν τον τρόπο χρησιμοποιώντας αυτή τη δευτεροβάθμια εξίσουση έβγαλε ότι χ είναι ίσο με το 16,5 οπότε μετά αντικαθιστά εδώ έχουμε βγάλει λοιπόν την τιμή για το χ και αντικατάσταση εδώ θα μας δώσει την τιμή για το ψ. Το ψ είναι ίσο για αυτή τη συγκεκριμένη περίπτωση 2 επί 16,5 μειών 4 και έτσι το χ τετράγωνο το 1 τετράγωνο είναι το 256 για το 25 ενώ το άλλο τετράγωνο θα είναι το τετράγωνο αυτού του ψ. Αυτή είναι η μέθοδος του διόφοντος για να δούμε τι ακριβώς έχει γίνει καταρχήν εντάξει λέει έστω ότι ψ είναι ίσον με το μ του χ μειών 4 γιατί διάλεξε αυτό εδώ το 4 γιατί διάλεξε το 4 γιατί ξέρει πολύ καλά πως να υψώνει κανείς ένα τετράγωνο το ήξεραν ούτως ή άλλως από πολύ παλιά είναι ένας από τους κανόνιας γραμμένος πλήρως ανευκλήδης ήταν γνωστός από πολύ πολύ παλιά οπότε όταν υψώνεις αυτό εδώ στο τετράγωνο βγάζεις εδώ το 16 έτσι και σύμφωνα με τους κανόνες στο διόφοντο μετά απλά θα το διώξεις στο 16 και μένεις με μία εξίσουση που έχει χ τετράγωνο και χ από την άλλη την μεριά οπότε και αυτό είναι πολύ απλό για να το λύσεις. Ναι αναρωτήσω το εξής είναι το M σημαντικό το 4 καταλαβαίνουμε γιατί το διάλεξε το διάλεξε και να μπορέσεις όταν το υψώσεις να πας 16 να τα διώξεις και να βγάλεις ότι θα έχεις λύση έστω λοιπόν ότι κρατάμε σταθερό αυτό εδώ να το κρατήσουμε σταθερό αυτό εδώ στη συγκεκριμένη λύση που έδωσε ο διόφοντος διάλεξε το M να είναι ίσου με το 2 και ξαναρωτάω είναι το είναι αναγκαίο το M να είναι ίσου με το 2 θα βγάζουμε πάλι κάποια άλλη λύση για διαφορετικό M έτσι τι θα άλλαζε εδώ αντί για το M ίσον με 2 που θα ήταν η αλλαγή θα είχαμε μία αλλαγή σε αυτό εδώ το νούμερο θα είχαμε μία αλλαγή σε αυτό εδώ το νούμερο έτσι αυτά σε αυτά τα σημεία πάλι θα βγάζουμε λύση για το X έτσι λύση για τον διόφοντο γιατί πάντα υπάρχει λύση. Πάντα υπάρχει λύση εδώ πέρα. Υπάρχει λύση και μάλιστα θα είναι και ρητήλισση γιατί το X θα φύγει θα μείνουμε με κάτι που θα έχει ένα νούμερο εδώ χ τετράγωνο ένα νούμερο εδώ ένα χ εδώ άρα πάντα θα έχει τη ρητήλισση θα έχει ρητήλισση οπότε ο διόφοντος αναγνωρίζει γιατί λέει βάλε οποιονδήποτε πολλαπλάσιο του X μίον 4 αναγνωρίζει είναι ξεκάθαρο ότι αυτό εδώ θα σου δώσει άπειρες λύσεις δεν είναι μόνο το 2. Το 1 λοιπόν αυτό εδώ είναι είναι πολύ ξεκάθαρο για να δούμε επίσης γιατί σε αυτή τη διαφάνεια ξεκινάω γιατί ο διόφοντος διαλέγει το δεύτερο τετράγωνο να είναι αυτής εδώ της μορφής. Αν έμεισον με 2 μόλις το λύσαμε αν έμεισον με 4 τότε παίρνεις κάποια άλλη λύση είναι λοιπόν ξεκάθαρο εδώ ότι ο διόφοντος στην ουσία λέει ότι υπάρχουν άπειρες λύσεις για κάθε M έχεις και μια διαφορετική λύση. Και τώρα εδώ λέω ότι δίνει με αυτόν τον τρόπο δίνει με αυτόν τον τρόπο έναν τρόπο έβρεσης πιθαγορίων τριάδων αυτό γιατί είναι αληθές πιθαγόριες τριάδες ποιες είναι. Είναι ένα σύνολο είναι μια τριάδα η οποία όμως αποτελείται από φυσικούς αριθμούς έτσι τριάδες που να μπορέσω να τις βάλω στις πλευρές ενός ορθού τριγόνου ο ένας αντιστοιχεί στην ποτήνωσα οι άλλοι δύο και το άθροισμα των τετραγόνων τους να μας δίνει το τετράγωνο του άλλου. Σίγουρα ξεκίνησα με το 16 και το χώρισα σε δύο το χώρισα σε δύο μέρη που τα τετράγωνα τους σε δύο τετράγωνα μέρη που το άθροισμα τους να είναι το 16 αλλά εδώ μου βγήκαν. Να στο παράδειγμα που κάνουμε προηγουμένως 256 225 144 225 πώς βρίσκω μια πιθαγόρια τριάδα από αυτό για να γράψω τι μόλις βρήκαμε βρήκαμε ότι το 16 έτσι είναι ίσο με το 200 το γράψω κιόλας 16. 5 στο τετράγωνο συν 30 2 16 είναι 32 32 μοιών 4 συν 28 25 στο τετράγωνο. Ποιες είναι οι πιθαγόριες τριάδες. Ποια είναι η πιθαγόρια τριάδα που υπάρχει εδώ. Ποια τριάδα αριθμών το τέσσερα. Εντάξει αυτό είναι τέσσερα τετράγωνο. Αυτό είναι τέσσερα τετράγωνο και ποιο από όλα. Μοιών 4 πιπέντε 12 πέντε σωστό εντάξει. Ποια είναι η πιθαγόρια τριάδα. Αυτό είναι μία πιθαγόρια τριάδα αν μπορώ να τις βάλω στις πλευρές ενός ουρθογωνίου τριγών για να πάρουμε το τελευταίο να είναι υποτίνουσα. Αν α τετράγωνο συν β τετράγωνο είναι ίσο με το σε τετράγωνο. Εντάξει και τυπικά το θεωρώ απλά ήθελα να τονίσω έτσι τυπικά παίρνουμε το α β σε να είναι στους φυσικούς αριθμούς. Καθένας από αυτούς να είναι φυσικός αριθμός. Εντάξει υπάρχει εδώ πιθαγόρια τριάδα. Δεν είναι δύσκολο. Ναι άρα πένουμε πολλαπλασιάζουμε το μεν τέσσερα εκεί θα πολλαπλασιαστεί με το πέντε έτσι ο ένας αριθμός λοιπόν ποιο είναι το σε το ένα θα είναι εδώ τέσσερα πιπέντε ελπίζω να το έχω στους τα είκοσι έτσι μετά θα έχω το δεκάξι και μετά θα έχω το δώδικα σε αυτές είναι οι τρεις πλευρές. Δεν είναι μια πιθαγόρια τριάδα θα έχω άλλη πιθαγόρια τριάδα από το δεκάξι. Κάθε φορά που θα αλλάζω το M έτσι μόλις προηγουμένου σχολιάσαμε ότι κάθε φορά που αλλάζω το M πολλαπλασιάσαμε τους παρονομαστές εδώ έδιωξε παρονομαστή αυτό έκανα και πήρα αυτό κάθε φορά που αλλάζω το M παίρνω και μια διαφορετική λύση έτσι παίρνω και μια διαφορετική τριάδα να ένας άλλος τρόπος για να βγάλω πιθαγόριας τριάδας να είναι ένα παράδειγμα μιας ερώτησης. Συγκρίνεται τον τρόπο του διόφαντου για τις πιθαγόριας τριάδες συγκρίνεται τον τρόπο των Βαβελονίων για τις πιθαγόριας τριάδες. Για να δούμε τη γεωμετρία που πάει πίσω από αυτό γιατί η μέθοδος του διόφαντου δουλεύει. Μόλις το είδαμε αλγευρικά για να το δούμε και γεωμετρικά. Ποιο είναι το ερώτημα, μήπως μπορώ να απαντήσω ποιο είναι το ερώτημα εκεί πίσω. Έχετε κάποια ερώτηση. Για να δούμε λοιπόν και γεωμετρικά πως μπορούμε να το δούμε αυτό. Έχω βάλει και το ερώτημα εδώ, ποια είναι η γενική μέθοδος. Έτσι αν είχαμε αντί για 16 σε τετράγωνο τι θα κάναμε. Πότε δουλεύει, πως δουλεύει αυτή η μέθοδος. Αν είχαμε αντί για σε, αντί για το 16 το σε τετράγωνο τι ακριβώς θα κάναμε, πως θα το αλλάζαμε. Ορίστε. Αντί για μίον 4 θα βάζουμε το μίον σε, έτσι πως θα βρίσκαμε τα 2 τετράγωνα. Θα πρέπει να κάνετε και μια άσκηση για να δείτε ότι έχετε την ευκαιρία για να το κάνετε. Για να δούμε λοιπόν γεωμετρικά. Λέω σημερινή γεωμετρική ερμηνεία. Βάλτε ένα ερωτηματικό σε αυτό που λέω σημερινή. Εντάξει είχε στο νου του ο διόφαντος κάποιο σχήμα, έτσι αντιστοιχεί σε αυτά που έκανε, τι ακριβώς. Θα κάνω την αντιστοιχία με την γεωμετρία, έτσι και λέω ότι είναι σήμερα σημερινή, γιατί σήμερα έχουμε ακριβώς, έχουμε το σύστημα σύνταταγμένων, έτσι και αυτό είναι που εμφανίζεται σε αυτή την εικόνα. Έχω βάλει τους άξονες, έτσι οι άξονες είναι καρτεσιανοί, έτσι είναι του διόφαντος, πολύ αργότερα από τον διόφαντο. Αλλά εάν το σκεφτούμε έτσι και έχουμε αυτόν εδώ τον κύκλο με ακτίνα το τέσσερα, αυτός εδώ ο κύκλος, που όλα τα στοιχεία του απέχουν τέσσερα από την αρχή των αξώνων και πάρω και την, αν πάρω μάλλον τον ψήδετράγωνο, συνοχή δετράγωνο να είμαι ίσο με το δεκάξι, έτσι θέλω να γράψω το δεκάξι σαν άδρισμα δύο τετραγώνων. Δηλαδή ψάχνω να βρω το ψ και χ, να είναι πάνω σε αυτόν εδώ τον κύκλο, έτσι αυτό στην ουσιακά, θέλω να χωρίσω το δεκάξι σε δύο μέρη, να το γράψω σαν άδρισμα τετραγών. Ψάχνω λοιπόν να βρω χ και ψ πάνω σε αυτόν τον κύκλο, εμείς ξέρουμε υπάρχουν άπειρα, αλλά αυτό που ψάχνει ο Διόφαντος είναι τα ψ και χ πάνω σε αυτόν τον κύκλο, έτσι ψάχνω να βρω όλα τα σημεία που είναι εδώ πέρα, ψ, χ, ψ, θέλω να βρω όλα τα χ, ψ, τα οποία να έχουν ρητούς συντελεστές. Έτσι για το Διόφαντο μόνο οι ρητοί υπάρχουν, το έχουμε συζητήσει και μάλιστα μόνο οι θρητικοί ρητοί, ψάχνει να βρει όλους, όλους, ψάχνει να βρει χ και ψ που να είναι αυθεντικά και να είναι ρητά, έτσι θα ψάχνει να τα βρει από εδώ και πάνω. Τι κάνει λοιπόν, σύμφωνα η μέθοδός του, βλέπουμε ότι παίρνει την ευθεία ψ ίσον με δύο χ-4, ωστόσο και κεκριμένο παράδειγμα. Η ευθεία ψ ίσον με δύο χ-4 περνάει από αυτό εδώ το σημείο, όταν το χ είναι μηδέν, τέμνει τον κύκλο ακριβώς αυτό εδώ το σημείο, έτσι και μετά πηγαίνει προς τα πάνω. Σίγουρα θα τέμνει τον κύκλο και σε ένα άλλο σημείο και επειδή αυτό εδώ το σημείο, εντάξει η τομή του κύκλου και της ευθείας θα είναι κάτι το οποίο έχει ρητές συνταταυμένες από τη στιγμή που μια ρίζα είναι ρητή και η άλλη ρίζα θα είναι ρητή. Αυτή είναι η διαδικασία που κάνει, λέει ότι το σημείο το οποίο βρίσκει είναι αυτό εδώ, αυτό λοιπόν εδώ είναι το χ το οποίο θέλει και το ψ είναι αντίστοιχα αυτό εδώ το κομμάτι. Έχει βρει λοιπόν το σημείο εδώ χ, ψ και παίρνοντάς το σαν την τομή του κύκλου και της ευθείας έχει βρει ένα σημείο το οποίο να έχει ρητές συνταταγμένες. Έτσι μία μέθοδο για να βρούμε στοιχεία πάνω σε μία καμπύλη, σημεία πάνω σε μία καμπύλη που να έχουν ρητές συνταταυμένες. Εάν ξεκινήσουμε με κάτι όπου οι συντελεστές είναι ρητοί, παίρνουμε τη τομή με μία ευθεία, πάλι με ρητούς συντελεστές, η λύση θα έχει... Εάν βεβαιωθούμε ότι το ένα σημείο το μης έχει ρητούς συντελεστές, τότε και το άλλο σημείο θα έχει ρητούς συντελεστές. Να το γράψω αυτό. Χάσετε την αρχή του μαθήματος, θα το διαβάσετε μετά. Όχι, δεν είναι οποιαδήποτε ευθεία. Λοιπόν, έχω ψ τετράγωνο συν χ τετράγωνο ίσον 16 καμπύλη, όπου οι συντελεστές στη συγκεκριμένη περίπτωση ανήκουν στος φυσικούς αριθμός, θα τους πάρουν να είναι ρητούς. Παίρνω το μη με μια ευθεία. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η ευθεία ψ ίσον 2χ συν 4. Πάλι, έχω μια ευθεία η οποία έχει συντελεστές στο Q. Η ευθεία και ο κύκλος, εάν τέμνονται, θα τέμνονται. Ποια είναι οι δυνατότητες για τα σημεία το μης? Κανένα. Ακριβώς ένα σημείο αν έχω την εφαπτομένη ή δύο σημεία. Έτσι, δεν έχω παραπάνω από δύο σημεία για την τομή ενός κύκλου και μια σηφία. Αν τέμνονται σε δύο σημεία και το ένα σημείο το μης έχει ρητές διδαγμένες. Δηλαδή, είναι στο Q επί Q, τότε και το άλλο σημείο το μης, αναγκαστικά, θα έχει ρητές διδαγμένες. Τότε και το άλλο σημείο είναι στο Q επί Q. Και αυτή είναι η ουσία, γι' αυτό βεβαιωνόμαστε ότι θα βγάλουμε σημεία τα οποία έχουν ρητές διδαγμένες. Σκεφτείτε το αυτό αν έχετε απορίες να το συζητήσουμε την επόμενη φορά. Ο Διόφεντος έχει γράψει ένα βιβλίο από το οποίο μας μένουν απλά αναφορές. Το βιβλίο αυτό το έλεγε πορίσματα. Και μάλιστα σε μια πρόταση στο βιβλίο αριθμητικής, που όπως είπα ήταν 13 βιβλία, 13 ενώτες, κεφάλαια, από τα οποία μας έχουν εσωθεί μόνο τα 6. Τα οποία έχουν εσχολιαστεί ιδιαίτερα, τα υπόλοιπα 7 τα έχουμε χάσει, αλλά στο βιβλίο 4, ένα από τα βιβλία που έχουν εσωθεί, αναφέρεται ο ίδιος ο Διόφεντος σε κάποια από τα άλλα τα απορίσματα. Και από ό,τι φαίνεται, γιατί δεν μας δίνει την απόδειξη εκεί, είχε και κάποια πολύ ενδιαφέροντα απορίσματα. Για παράδειγμα, το ένα από αυτά είναι ότι αν πάρω κάτι που να είναι της μορφής 4-1-3, τότε αυτό δεν θα μπορέσω ποτέ να το γράψω σαν άθλησμα τετραγώνου. Και είναι πολύ ενδιαφέρον αυτό, γιατί δεν φαίνεται ο Διόφεντος να είχε τα εργαλεία για να μπορέσει να το λύσει. Έτσι, άρχισε πολύ να λυθεί αυτό, λύθηκε μετά τον Lagrange. Απόδειξη για αυτό εδώ το θεώρημα δόθηκε στο Lagrange πολύ πολύ αργότερα. Οπότε, θα ήταν πάρα πολύ ενδιαφέρον να βρεθεί οτιδήποτε παραπάνω υπάρχει σχετικά με αυτό εδώ το βιβλίο. Να πάρουμε μια ιδέα τι είχε κατά νου ο Διόφεντος. Όπως είπα, αντιγράφηκε, εντάξει, αντιγράφηκε από τους βυζαντινούς λόγιους. Έτσι, υπάρχει ένα σχολείο για το βιβλίο της αριθμητικής δέκατος τέταρτος αιώνας. Μου άρεσε το όνομα, γι' αυτό το αντέγραψα, Ιωάννης ο Χορτασμένος. Αυτός αντέγραψε μέρος της αριθμητικής, αλλά κυρίως μεταφράστηκε στα αραβικά τον δέκατο αιώνα. Δέκατο πέμπτο αιώνα, 1463, ο Ρίτζιο Μόντενους αναφέρει ότι δυστυχώς ακόμη η αριθμητική δεν έχει μεταφραστεί στα λατιμικά. Τις μόνες μεταφράσεις που υπάρχουν μέχρι τότε είναι στα αραβικά. Ο Μπομπέλη το πήρε, το μετάφρασε το 1570. Η μετάφραση αυτή δεν την εξέδωσε κατευθείαν, αλλά πάντως είναι ενδιαφέρον ότι χρησιμοποιεί σε βιβλία του Διόφεντου στο δικό του βιβλίο της Άλυβρας. Τα πρώτα βιβλία της Άλυβρας με τίτλο Άλυβρα του Μπομπέλη. Και βέβαια η πιο γνωστή, πασίγνωστη μετάφραση του βιβλίου της αριθμητικής του Διόφεντου, οφείλεται στον Μπασέ και είναι τόσο γνωστή γιατί είναι μετάφραση πάνω στην οποία έγραψε ο Φερμά το σχολείό του. Έτσι. Για το αΕΝ συμβήταΐΝ ίσον με ΣΙΝ.