2.5 Ευκλείδης και Στοιχέια / Ενότητα 2 , #5 , 18/03/14 (από 17,32 εώς τέλος ) και 19/03/14 - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ενότητα 2 , #5 , 18/03/14 (από 17,32 εώς τέλος ) και 19/03/14: Αυτό που θα μας απασχολήσει για το υπόλοιπο της ώρας είναι κυρίως ο Ευκλίδης. Ο Ευκλίδης έζησε το 300 περίπου δεν τελείωσε ξεκάθαρα, αλλά έζησε κάπου προς το τέλος του 3ου αιώνα, δεύτερος αιώνας, 265 π.Χ. με 325 π.Χ. Ξέρουμε ότι είχε γράψει πολλά έργα, δεν διασώζονται όλα, γίνονται αναφορές όμως. Έχει ένα αμυδρό αστεράκι δίπλο από τα έργα στα οποία ξέρουμε ότι έχει σωθεί κάποιο κομμάτι. Όχι από το αυθεντικό, αλλά από μεταφράσεις και σχόλια που έχουν γίνει μετέπειτα. Και αυτό το οποίο θα δούμε πολύ πιο αναλυτικά είναι το βιβλίο στοιχεία, θεμέλια, τα στοιχεία των μαθηματικών. Για παράδειγμα αυτό εδώ είναι ένα κομμάτι αντιγραφή από το βιβλίο του, το οποίο έχει βρεθεί σε έναν πάπυρο και είναι από το δεύτερο βιβλίο από τα στοιχεία, είναι η πέμπτη πρόταση. Έπαιναν το βιβλίο του ευκλήδη, αντέγραφαν, βάζαν τα δικά τους σχόλια και αυτό εδώ είναι η απόδειξη. Θα τη δούμε και στη συνέχεια μιας αλγευρικής πρότασης, είναι η πρόταση 5 που βρίσκεται στο βιβλίο 2. Βλέπουμε ότι στο σχήμα έχουμε κάτι να κάνουμε με τετράγωνα και παραλληλόγραμμα. Κάτι θα μας θυμίσει, θα το δούμε, γεωμετρική απόδειξη των σχέσεων α' συν β' τετράγωνο, κάτι αναπτύξεις τετραγώνων. Φαίνονται από τέτοια γεωμετρικά σχήματα, θα τα δούμε εντάχισε την επόμενη φορά. Και οπωσδήποτε ήθελα να κάνω μνία σε αυτό το περίφημο έργο του Ραφαήλ, σχολή των Αθηνών. Σχολή των Αθηνών, αυτή τη στιγμή ο Ραφαήλ δέκατος έκτος αιώνας, βρίσκεται στο Βατικανό. Είναι μέσα στο Μουσείο του Βατικανό, με πολύ ακριβή είσοδο για να μπει κανείς, όλα σχετικά είναι, αλλά στο οποίο πήγα πολύ πρόσφατα. Εδώ πέρα ο Ραφαήλ έχει αποικονίσει όλους τους μεγάλους αρχαίους Έλληνες επιστήμονες. Ο Ευκλήδης είναι κάτω, θα τη δείτε μετά, θα το συγκρίνετε, είναι αυτός που κάνει κάτω τα σχήματα. Οι δύο κεντρικές φιγούρες στη σχολή των Αθηνών είναι ο Αριστοτέλης και ο Πλάτωνας, κάπου εκεί είναι και ο Σοκράτης, έχει και τον Πυθαγόρα, έχει τον Παρμενίδη, έχει σχεδόν όλους τους για τους οποίους έχουμε μιλήσει έως τώρα. Ο Ευκλήδης θερίται ένας από τους μεγαλύτερους δασκάλους των μαθηματικών, ένας από τους καλύτερους συγγραφείς των μαθηματικών. Και όταν γενικά υπάρχει συμφωνία, όταν ρωτηθεί κανείς ποιοι είναι οι μεγαλύτεροι μαθηματικοί όλων των αιών, υπάρχει μια γενική συμφωνία ότι θα δώσει κάποιος τριονόμου. Τα όνοματα είναι Αρχιμίδης, τους Αρχαίους Έλληνες, ο Νέφτονας, Νιούτον και ο Γκάους. Αρχιμίδης, Αρχαιότητα, Νέφτον και Γκάους. Πολλές διάνοια στα μαθηματικά, αλλά αυτοί οι τρεις ξεχωρίζουν και ελπίζομαι να μπορέσουν να καταφέρουμε μέσα από αυτό το μάθημα να δούμε γιατί ξεχωρίζουν. Ο Ευκλήδης όμως έγραψε ένα από τα σπουδαιότερα βιβλία των μαθηματικών. Έτσι έγραψε τα στοιχεία. Ισαγωγή στα μαθηματικά, θεμέλια στα μαθηματικά, υπότιτλος. Τα στοιχεία είναι μια συλλογή από 13 βιβλία. Ήρθαν και άλλα στοιχεία πριν από τον Ευκλήδη. Είχαν γράψει στοιχεία και άλλη μαθηματική πριν από τον Ευκλήδη. Έχουν σοφή μνείες για αυτά τα βιβλία. Μόνο που τα στοιχεία του Ευκλήδη ήταν τόσο ανώτερα, τόσο τα ξεπερνούσαν. Δεν έχει σοθεί γραπτό. Έχουν σοθεί μνείες, δηλαδή αναφορές στα προηγούμενα στοιχεία. Αλλά δεν έχει σοθεί κείμενο από εκείνα τα στοιχεία. Το βιβλίο του Ευκλήδη έγινε το στάνδαρ βιβλίο. Όχι μόνο για τους αρχαίους Έλληνες. Είναι αυτό που μελετούσαν για να πάνε παρακάτω. Αλλά σχεδόν και μέχρι το τέλος του 19ου αιώνα το βιβλίο που κάθε μορφωμένος άνθρωπος είτε έκανε μαθηματικά, είτε έκανε επιστήμη, είτε έκανε οτιδήποτε άλλο, πρώτο βιβλίο που έπρεπε να είχε διαβάσει για να πάει νομική. Μορφωμένος άνθρωπος θεωρούταν ότι έπρεπε να είχε διαβάσει αυτό εδώ το βιβλίο. Σε αυτά λοιπόν τα 13 κεφάλαια παρουσιάζονται, έτσι και αυτό προσπάθησα να σας τονίσω και προηγουμένως όταν έλεγα, εντάξει αποδεικνύεις κάτι, τι χρειάζεσαι για να το αποδείξεις αυτό, χρειάζεσαι μια σειρά από άλλες προτάσεις και κάθε πρόταση χρειάζεσαι μια άλλη σειρά από κάθε προτάσεις. Στο βιβλίο λοιπόν αυτό παρουσιάζεται με έτσι πολύ λογική σειρά, όλες οι προτάσεις, οι βάσεις για τα στιχειόδη μαθημαρικά της εποχής. Έχουμε θεωρία αριθμών, έχουμε γεωμετρία και έχουμε και άλγευρα. Άλγευρα εκείνης εποχής είπαμε ότι χρειάστηκε να ξεφύγουν έτσι γιατί υπήρχε αυτό το πρόβλημα με τα μεγέθη, μιλήσαμε για τον Εύδοξο, χρειάστηκε να ξεφύγουν από την άλγευρα όπως τη φανταζόμαστε σήμερα με τα σύμβολα, με το πώς προσθέτω, κάνω πράγματα εκεί και να πάνε στη γεωμετρική άλγευρα. Η άλγευρα εδώ είναι η γεωμετρική άλγευρα, αλλά οι βάσεις για όλα αυτά τα μαθηματικά παρουσιάζονται στο βιβλίο στα στοιχεία. Ο Ευκλήδης δεν είναι αυτός ούτε και προσπάθησε, δεν υπήρξε τέτοιος ισχυρισμός, δεν είναι αυτός ο οποίος πολλές από τις προτάσεις στο περιεχόμενο οφείλονται σε άλλους μαθηματικούς. Εκείνο όμως το οποίο αφήλεται απόλυτα στον Ευκλήδη, όπως και πολλές από τις αποδείξεις που έδωσε. Αυτό που αφήλεται στον Ευκλήδη είναι η διάταξη, η σειρά των προτάσεων. Έτσι και οι αποδείξεις. Αποδείξεις έχουν την ομορφιά. Έχει δύο κομμάτια στα μαθηματικά, το ένα είναι να φανταστείς το θεώρημα για το ισχύ, δίνεις κάποια απόδειξη. Μετά οι αποδείξεις αυτές ίσως δεν είναι αυτές που έχουν την πιο μεγάλη χάρη, αυτό που βλέπει ένας μαθηματικός και λέει αυτό είναι όμορφο, πολύ όμορφο. Πολλές από τις αποδείξεις λοιπόν που βρίσκει κανείς στα στοιχεία, έχουν αυτή τη χάρη, αυτό που αναγνωρίζουν σήμερα και σήμερα ακόμη. Σας χάρη και αυτό οφείλεται, οι αποδείξεις περισσότερες οφείλονται στον Ευκλίδη. Είπα ότι υπήρχαν άλλα στοιχεία, για παράδειγμα ο υποκράτης θυσίου. Τα παλιότερα στοιχεία δεν αναπαράθηκαν, αυτό που είπα προηγουμένως, σώσονται μόνο μέσα από τα βιβλία, μέσα από τα στοιχεία του Ευκλίδου. Πιο αναλυτικά, και το κομμάτι δεν με ενδιαφέρει τώρα η αποστήθηση σε αυτό, αυτό θέλω να το παρουσιάσω, αλλά δεν με ενδιαφέρει η αποστήθηση να θυμηθούμε τι είναι στο βιβλίο 1 μέχρι 6, στο βιβλίο 7 μέχρι εκεί. Απλά να δούμε με ποια σειρά έχουν παρουσιαστεί αυτά τα πράγματα στον Ευκλίδη. Στο 1 έως 6 γίνονται προτάσεις πάνω στη στοιχειώδη γεωμετρία του επίπεδου. Επίπεδο. Δύο διαστάσεις. 7 με 9 πάνε στη θεωρία ρυθμών, έτσι, στο θεωριώδης θεώρημα της αριθμητικής και όλα αυτά, αυτά ήδη βρίσκονται στο βιβλίο στοιχεία. Το 10 έχει αναφορά στους αρίτους και στον λόγο, στις αναλογίες του Ευδόξου. Και μετά έχουμε, πηγαίνουμε στις τρεις διαστάσεις, στερεομετρία. 11 με 13. Οι δομές των βιβλίων είναι πάνω κάτω σε κάθε ένα από αυτά τα 13 βιβλία. Οι δομή είναι περίπου οι ίδια. Θα το δούμε στη συνέχεια. Σε αυτήν, όμως, του διαφάνεια λέω ότι πολλά από αυτά που είναι εδώ αποδίδονται στις μαθηματικούς που έζησαν την από τον Ευκλήδη. Για παράδειγμα, ο Εύδοξος είναι στο βιβλίο 5, είναι και στο βιβλίο 12. Ενώ ο Θεέτητος, που κι αυτόν τον αναφέρουμε, αναφέρθηκε το όνομά του στα τρία μεγάλα προβλήματα της αρχαιότητας. Κάπου εκεί αναφέρθηκε το προβλήμα του. Έχει στο 10, 13 με στερεομετρία και ούτω καθεσής. Πάθουν και αποδίδουμε κάποια πράγματα και στο σπιθαγορίως. Είναι αυτό που είπα ότι τα αποτελέσματα δεν αποδίδονται στον Ευκλήδη. Στον Ευκλήδη αποδίδεται η λογική σειρά και κάποιες από τις αποδείξεις. Ποιο είναι η δομή σε κάθε βιβλίο? Όταν ξεκινάει κάτι καινούργιο, θα ξεκινήσει δίνοντας τους ορισμούς. Στη συνέχεια αυτό θα το δούμε πολύ πιο αναλυτικά για το βιβλίο 1, γιατί επηρέασε την εξέλιξη των μαθηματικών κατά πολύ το βιβλίο 1 και αυτά τα αιτήματα που θα δούμε εκεί. Ξεκινάει λοιπόν με ορισμούς. Αυτός που θεωρεί απαραίτητος. Για παράδειγμα, τι είναι σημείο ή κάτι, τι πρέπει να τεχτεί, τι είναι ευθεία. Θα τα δούμε, για να σκεφτούμε τι χρειαζόμαστε για ορισμούς. Ξεκινάει λοιπόν με βασικός ορισμός. Ξεκινάει, συνεχίζει, βάζοντας πέντε αιτήματα και εννέα κοινές έννοιες. Αυτά είναι πράγματα που θεωρεί ότι δεν μπορεί, δεν θα τα αποδείξει. Πράγματα που τα δεχόμαστε. Και είναι ενδιαφέρον, έτσι και μόνο αυτό, εμείς λέμε εντάξει αυτά θα τα αντιστοιχούσουμε στα αξιώματα. Είναι ενδιαφέρον που ο ευκλήρης ξεχωρίζει ανάμεσα στα αιτήματα και ανάμεσα στις κοινές έννοιες. Άντως είναι αυτά τα οποία εμείς σήμερα θα τα λέγαμε αξιώματα. Και στη συνέχεια ακολουθούν οι προτάσεις. Στο βιβίο 1 καταλήγει με το αντίστροφο του πθαγορίου θεωρήματος. Στο βιβίο 2 έχουμε τα θεωρήματα της γεωμετρικής άλγευρας, δηλαδή αποδείξεις αλγευρικών ταυτοτήτων που βασίζονται με γεωμετρική, που τα αποδεικνύει χρησιμοποιώντας τη γεωμετρία. Στο 3 έχουμε τις ιδιότητες των κύκλων. Στο 4 μιλάει για κατασκευές. Στο 4 έχει την κατασκευή. Όταν λέει κατασκευές, κανόνα και διαβίτη. Τα εργαλεία τα οποία επιτρέπονταν να χρησιμοποιήσει. Κανόνας και διαβίτης. Και μιλάει για την κατασκευή. Τελειώνει αυτό εδώ, πώς να κατασκευάσεις το κανονικό πολύγουνο, το κανονικό τρίγουνο που είναι ίσως το πιο εύκολο. Θα το δούμε σχεδόν αμέσως μετά. Τέσσερις πλευρές, το δετράωνο. Ούτε αυτό έχει δυσκολία. Είδαμε πώς να το κατασκευάσουμε ήδη. Όταν μιλούσαμε για τα αρχαία προβλήματα. Τα προβλήματα της αρχαιότητας. Τρία μεγάλα προβλήματα της αρχαιότητας. Κατασκευάζει όμως και το πεντάγωνο. Κατασκευάζει το κανονικό εξάγωνο. Και τελειώνουμε την κατασκευή του κανονικού με καπεντάγωνο. Υπάρχουν άλλα κανονικά πολύγωνα, τα οποία μπορούν να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη. Σήμερα σίγουρα ξέρουμε πώς να βρίσκουμε. Μπορούμε να τα κατασκευάσουμε σήμερα με κανόνα και διαβήτη. Μπορεί κανείς να το κάνει με κανόνα και διαβήτη. Ποιο είναι το επόμενο κανονικό πολύγωνο που κατασκευάστηκε. Και ποια κανονικά πολύγωνα μπορούν να κατασκευαστούν. Ο Ευκλήδης το 300 ε.Χ. κατασκεύασε το κανονικό δεκαπεντάγωνο. Έδειξε πώς να κατασκευαστεί. Λοιπόν το επόμενο, έτσι εδώ είναι 300 ε.Χ. βιβλίο 4, το επόμενο που κατασκευάστηκε δεκαεφτάγωνο. Το δεκαεφτάγωνο κατασκευάστηκε από τον Γκάουσι. 1800. 1800-300, δυο χιλιάδες χρόνια μετά, ο Γκάουσις κατασκεύασε το κανονικό δεκαεφτάγωνο και μάλιστα εξήγησε, έτσι ο κατασκεύας ήταν πολύ μικρούλιος. Σχετικά είναι όλα αυτά. Έτσι, μικρότερος από 20 χρονών όταν το έκανε και εάν ξέρετε για τους πρώτους του Φερμά, εξήγησε ποια πολύγωνα, πόσες πλευρές πρέπει να έχουν τα πολύγωνα για να μπορούν να κατασκευαστών με κανόνα και διαβήτη. Εντάξει, πάμε πίσω στον Ευκλήδη, θα τα ξαναδούμε αυτά. Βιβλίο 5 και 6, έχει τις θεωρίες αναλογιών του Ευδόξου, 7, 8, 9, θεωρία ρυθμών, εντάξει. Τα είπαμε, το βιβλίο 10, γι' αυτό το έχω βάλει και σαν πιθανό θέμα παρουσίας, γιατί είναι το δυσκολότερο απ' όλα. Έτσι, σύγχρονη ορολογία, μιλάει για επεκτάσεις σωμάτων βαθμό 2 και βαθμό 4 πάνω από τους ρητούς. Έτσι, ενδιαφέρον κανείς να το διαβάσει. Υπενθυμίζω ότι στο διαδίκτυο, και μάλιστα υπάρχει τέτοιο νοητημένο στη σελίδα, η μετάφραση όλων των βιβλίων και των δεκατριών είναι ανακτημένη μετάφραση στα αγγλικά, έτσι, των στοιχείων του Ευκλήδη, αλλά υπάρχουν και πολλές άλλες μεταφέρεις που κλωφορούν. Σε κάποιες είναι και στα νέα ελληνικά. Στο βιβλίο 11, έχει τα βασικά θεωρήματα της στερεομετρίας, 12 μιλάει για όγκους, 13 τα πλατωνικά στερεά. Έτσι, να θυμηθούμε ότι έχει αποδειχθεί ότι πλατωνικά στερεά πεπερασμένος αριθμός. Το έχει στο βιβλίο 13. Το ανέφερα αυτό, το 1796, που βρήκε το πρώτο το κανονικό δεκαεφτάγωνο, ο Γκάος, 1777-1796, αυτό το κάνει, όχι μικρότερο από 20, όχι από 2 χρόνια. Α, όχι, 19 χρόνια, καλά το είπα, μικρότερο από 20, 19 χρόνια. Και το 1801, μπορείς να κατηγοροποιήσεις όλα τα κανονικά, όλα τα κατασκευάσιμα, πολύγωνα. Εντάξει, και αυτό θα μας παρουσίσεις, αν ενδιαφέρεται κάποιος. Για να πάμε πίσω στο βιβλίο 1 και να πάρουμε μια ιδέα. Πάμε μια ιδέα για τα αιτήματα. Έτσι, τα έχω πάρει έτσι, όπως εμφανίζονται στα αρχαία ελληνικά. Τι λέει, τι εισθώ, δηλαδή το αίτημα, έτσι, από κάθε σημείο, έτως κάποιο σημείο, μπορώ να φτιάξω αυτή η γρομοκμήμα. Δηλαδή, μου δίνουν 2 σημεία, μπορώ να φτιάξω τη γραμμή που περνάει από αυτά τα 2 σημεία. Έτσι, αυτό είναι το πρώτο. Το δεύτερο, έχω το ευθύ γρομοκμήμα, μπορώ να το επεκτείνω επάπηρο. Το τρίτο, διαλέγω ένα σημείο για κέντρο, διαλέγω μια ακτίνα, μπορώ να φτιάξω έναν κύκλο. Αυτά πρέπει να τα δεχτεί ο ευκλήδης ό,τι γίνονται. Το τέταρτο, λέει ότι όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες και αυτό πρέπει να το δεχτεί. Βέβαια, στους ορισμούς που προηγούνται των ετοιμάτων, ορίζει την ορθή γωνία. Παίρνεις, λέει, μια γραμμή, παίρνεις μια άλλη που την τέμνει, όταν την τέμνει θα σχηματίσει 2 γωνίες. Αν οι 2 γωνίες που σχηματίζονται από την τομή αυτών των 2 ευθύων, παίρνω μια ευθεία γραμμή, παίρνω μια άλλη, αυτή την τέμνεις σε 2 γωνίες. Ορισμός της ορθής γωνίας, που έχει ήδη δώσει ο ευκλήδης, είναι ότι αν αυτές εδώ οι 2 γωνίες είναι ίσες, αν οι 2 γωνίες είναι ίσες, τότε οι γωνίες αυτές είναι ορθές. Τι λέει το 4ο αίτημα, ότι αν αυτό συμβεί ανάμεσα στις οποίεςδήποτε άλλες 2 ευθύες, αν έχω ορθές γωνίες, όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Αναγκαιότητα γι' αυτό το αίτημα. Το τελευταίο, το 5ο αίτημα είναι με κάποιο τρόπο το πιο παράδοξο, παράξενο από τα υπόλοιπα. Τι λέει το 5ο αίτημα, το πιο παράξενο είναι ότι ο ευκλήδης αναγνώρισε την αναγκαιότητα να το βάλει σαν αίτημα. Σαν ένα από αυτά τα αξιώματα που δεν έχει απόδειξη. Αυτό είναι το πιο εντυπωσιακό από όλα. Ευτό να το δεχτούμε, ότι κάθε φορά που έχω δύο ορθές γωνίες είναι ίσες. Και ούτε τα άλλα μπορώ να τα κατασκευάσω. Τι είναι το 5ο αίτημα, λέει ότι αν αυτό εδώ το άκρησμα είναι μικρότερο από δύο ορθές, σε κάποια βάση οι δύο ευθείες θα συναντηθούν. Οι ευθείες μου δεν είναι παράλληλες. Αυτό είναι που λέει το 5ο αίτημα. Θα μιλήσουμε αρκετά γι' αυτό το αίτημα. Καταρχήν να αναφέρω ξανά τον ορισμό, αυτά τα έχω ήδη πει. Πότε έχουμε μια ορθή γωνία, αυτός ήταν ορυσμός 10 του ευκλήδη. Ενώ το 4ο αίτημα, όπως είδαμε, λέει ότι όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες η μία προς την άλλη. Και αυτό είναι το 5ο αίτημα. Τα αρχαία, το βάζω και στα νέα ελληνικά, λέει ότι αν μία ευθεία τέμνει τις άλλες δύο, και σχηματίζει με αυτές ένα ζευγάρι από γωνίες που το άδρισμά τους είναι μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες αυτές τέμνανται προς το μέρος που είναι αυτές οι γωνίες. Έτσι και βέβαια, έχει ήδη δώσει τον ορισμό ότι σημαίνει να έχω παράλληλη γωνία, παράλληλες ευθείες. Έτσι είναι ευθείες που είναι στο ίδιο επίπεδο, αναγκαστικά στο ίδιο επίπεδο, παράλληλες, όχι στο χώρο, στο επίπεδο, και οι οποίες δεν θα τέμνανται όσο και να τις προκτίνω, δεν θα τέμνανται. Έχουμε λοιπόν το 5ο αίτημα. Γιατί να υπάρχει αυτό το αίτημα, έτσι, γιατί είναι μήπως πρόταση, μήπως με όλα αυτά μπορούμε να τα αποδείξουμε. Δεν φαίνεται τόσο φυσικό όσο τα υπόλοιπα αιτήματα. Οι υπόλοιπα αιτήματα λέγαν, μπορώ να τα κατασκευάσω, εντάξει, μπορώ να τα κατασκευάσω. Εδώ αυτό φαίνεται να μοιάζει περισσότερο με πρόταση που να χρειάζεται απόδειξη. Και μόνο γι' αυτό, η συμβολή του Ευκλήδη θα ξεχωρίζει, γιατί αυτό είναι που προσπάθησαν να κάνουν για πολλούς αιώνες στη συνέχεια μαθηματική, να αποδείξουν ότι αυτό το αίτημα πραγματικά δεν χρειάζεται να είναι αίτημα και ότι είναι πρόταση. Αυτή ήταν η προσπάθεια αυτών που ακολούθησαν. Ότι τα υπόλοιπα τέσσερα αιτήματα, μαζί με όλες τις προτάσεις που θα βγάλω από αυτά τα τέσσερα αιτήματα, αρκούν, για να μην χρειάζεται να βάλω αυτό εδώ σαν αίτημα. Και ότι τελικά αυτό δεν είναι αίτημα, αλλά προκύπτει σαν θεόρημα. Αυτή ήταν η προσπάθεια των άλλων μαθηματικών. Και το αποτέλεσμα είναι ότι αυτό είναι αδύνατον. Και δεν μιλάμε για μαθηματικούς σύγχρονος του Ευκλήδη, μιλάμε για μαθηματικούς μέχρι που ανακαλύφθηκε. Μιλάμε για μαθηματικούς για πολλούς αιώνες μετά. Μέχρι που ανακαλύφθηκε, και το έχω αναφέρει και σε άλλη φάση, ότι υπάρχουν και γεωμετρίες, οι οποίες δεν είναι ευκλήδιες. Μέχρι που ανακαλύφθηκαν οι άλλες γεωμετρίες. Θα ξεναγυρίσουμε λοιπόν σε αυτό, γιατί είναι πολύ σημαντικό. Ώρα. Ακριβώς. Λοιπόν, οπότε, για να δούμε αυτή την πρόταση. Είναι η πρόταση 1 από το βιβλίο 1. Δεν ξέρω αν μπορείτε να δείτε το τι είναι γραμμένο. Προφανώς αυτό είναι τα αρχαία ελληνικά, αλλά γραμμένα σύγχρονα. Τα βιβλία, τα στοιχεία του Ευκλήδι εκδόθηκαν για πρώτη φορά το 1472. Έτσι και θεωρείται το βιβλίο που έχει μεταφρασθεί στις περισσότερες γλώσσες εκτός από τη βίβλιο. Το πιο πολυδιαβασμένο βιβλίο. Προφανώς αυτό και είναι έκδοση, η οποία είναι τυπωμένη. Τι λέει, λέει η πρόταση είναι από πάνω. Αυτό που φαίνεται να ακολουθεί είναι ότι μετά από κάθε πρόταση υπήρχε ένα σχήμα. Γιατί έτσι φαίνεται στα αντίγραφα από το αρχαίο κείμενο. Είπα τα πήραν, τα αντέγραψαν και προσθέτανε σχόλια. Τι λέει η πρόταση. Ότι αν μου δώσουν ένα οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα, επί της δοθής σας ευθείας. Ευθύγραμμο τμήμα, όταν λέει ευθύ εδώ εννοεί ευθύγραμμο τμήμα. Ένα, ένα, οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα. Τότε λέει μπορώ να κατασκευάσω ένα εισόπλευρο τρίγωνο. Έτσι και μας δίνει και το σχήμα για να μας καθοδηγήσει. Και για να δούμε ποια είναι η κατασκευή, την περιγράφη, πρέπει να καταλάβουμε τι λέει. Λέει φτιάξε από το α, ξέρεις ότι είμαι το αίτημα, μπορείς να φτιάξεις έναν κύκλο, ο οποίος να έχει κέντρο το α και ακτήνα το αβ. Φτιάχνεις λοιπόν το πρώτο κύκλο. Εκεί χρησιμοποιείς... Το τρίτο έτημα δεν θυμάμαι ποιο από όλα είναι αυτό. Ότι με κέντρο ένα σημείο και οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα, μπορείς να φτιάξεις έναν κύκλο. Το κάνεις και το ίδιο... Α, το έτημα τρία, το γράφει εδώ. Κάνεις το ίδιο και για το β. Με κέντρο το β, ακτήνα το αβ, φτιάχνεις έναν άλλον κύκλο. Αυτά θέμανται στο σημείο σε. Έχεις το πρώτο έτημα, που λέει αν σου δώσω δύο σημεία μπορείς να τα ενώσεις. Χρησιμοποιεί λοιπόν αυτό και τα ενών. Ωραία, έτημα πρώτο. Τα ενών. Και μετά χρησιμοποιεί την κοινή έννοια. Αυτές τις έννοιες δεν τις έχω βάλει. Δεν σας τις έδειξα επάνω στη διαφάνεια. Αλλά οι κοινές έννοιες, που και αυτές τις έχουμε, είπαμε, τις δέχετε χωρίς απόδειξη, είναι ότι αν έχεις ίσα προστρίτω, τότε θα είναι και ίσα μεταξύ τους. Και λέει, αποδεικνύει με αυτόν τον τρόπο, ότι αυτό εδώ το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, γιατί κάθε μια από τις πλευρές είναι ακτίνα του κύκλου. Άρα θα είναι ίσες και οι τρεις πλευρές. Και γι' αυτή την πρόταση χρησιμοποιεί ξακάθαρα, το έχει γράψει κάτω, και το πρώτο έτημα και το τρίτο έτημα και την κοινή έννοια 1. Και βέβαια και τους ορισμούς τους έχει ήδη τοποθετήσει στην αρχή. Την επόμενη, αύριο, θα δούμε και την πρόταση 32 από το πρώτο βιβλίο. Περίπου τι έχει. Θα συνεχίσουμε λοιπόν με το βιβλίο 1 και θα μιλήσουμε πολύ πιο αναλυτικά για το πέμπτο έτημα. Είχαμε ξεκινήσει να μιλάμε για τα στοιχεία του Ευκλήδη, αλλά να συνεχίσω γι' αυτό πάνω σε αυτό το ίδιο θέμα. Να θυμίσω ότι ο Ευκλήδης δούλεψε στην Αλεξάνδρια το 300 π.Χ. περίπου. Στο βιβλίο τα στοιχεία. Τα στοιχεία αποτελούνται από 13 βιβλία. Στο βιβλίο 1 έχουμε τη θεμελίωση της γεωμετρίας. Στο βιβλίο 2 έχουμε θεωρήματα γεωμετρικής άλγυβρας. Στο βιβλίο 7 έχουμε θεωρή αριθμών. Και στο βιβλίο 11 ξεκινάει η στερεομετρία. Πάζω εδώ τα αιτήματα, αυτά τα οποία θέτει στο βιβλίο 1. Και τα οποία πρέπει να τα δεχτούμε, τα θεωρεί ότι πρέπει να τα δεχτούμε χωρίς απόδειξη. Και είπαμε ότι θα σταθούμε ξανά στο πέμπτο έκτημα, το οποίο λέει ότι αν έχουμε δύο ευθείες στις οποίες θέμινε μια τρίτη ευθεία και οι γωνίες που σχηματίζονται εντός είναι... το άθροισμά τους είναι μικρότερο από δύο ορθές γωνίες, τότε αυτές οι ευθείες πρέπει να θέμινονται. Και όπως θα δούμε, αυτό ήταν ένα θέμα που αποσχόλησε τους μαθηματικούς. Αν προκύπτει από τις άλλες προτάσεις, αν είναι πρόταση ή αν είναι έτοιμα. Αν είναι αξίωμα ή αν έχει απόδειξη. Προκύπτει από τις προηγούμενες προτάσεις ή τα αιτήματα. Στο βιβλίο 1, ήθελα να δείξω... αυτή είναι η πρόταση 32. Έτσι έχουν προηγηθεί 31 προτάσεις. Στην πρόταση αυτή αποδεικνύει... διαβάστε μετά το και, στην τρίτη γραμμή, ότι εντός του τριγόνου τρεις γωνίες, είναι ίσως με δύο ορθές. Έτσι. Το τίτω άδρυσμα των γωνιών του τριγόνου, ότι είναι 180, προκύπτει ως πρόταση. Και μάλιστα σχετικά αργά στο βιβλίο, πρόταση 32. Τώρα τι χρειάζεται για να το σκέφτεσαι, το σχήμα είναι αρκετά ενδεικτικό, στο τι χρειάζεται για να το αποδείξει. Κατ' αρχήν, χάρια σε στο... δεύτερο έτημα, μπορεί να προεκτείνει την ευθεία που συμμετείστηκε από το δι γάμα, δι γάμα, δηλαδή τι προεκτείνει. Δεν προσδιορίζει πόσο και δεν είναι και αναγκαίο. Αλλά στο γάμα, αφού την έχει προεκτείνει, φαίνει μια παράλληλη ευθεία προς την β΄α. Έτσι φαίνει λοιπόν μια ευθεία η οποία είναι παράλληλη προς τη β΄α. Τώρα, αυτή είναι η γ΄ε. Κατασκευάζει λοιπόν μια ευθεία παράλληλη προς τη δοθείς ευθεία. Πώς το κάνει αυτό, αυτό είναι πρόταση, είναι ένα από τα πέντε αιτήματα που διάβασα προηγουμένως. Η ευθεία που κατασκευάζει, δηλαδή εδώ από δοθέν σημείο, κατασκευάζει μια παράλληλη ευθεία. Έτσι, είναι αυτό πρόταση ή είναι αξίωμα. Είναι ένα από τα αιτήματά του. Όταν θα έχετε χρόνο, θα τα ξαναδιαβάσετε, θα γύρεστε πίσω έτσι και να αναρωτηθείτε τι ακριβώς χρησιμοποιείται εδώ πέρα. Εφόσον λοιπόν έχει φέρει την παράλληλη στο γ΄ε, χρησιμοποιεί τις ιδιότητες που έχουν οι παράλληλες ευθείες. Υπάρχει η άλλη ευθεία αγ΄, η οποία τέμη τις δύο παράλληλες και έτσι μπορούμε να συγκρίνουμε τις γωνίες. Και αν δεχτούμε ότι όλες οι γωνίες που σχηματίζονται στο σημείο γ, δίνουν άθλησμα 180, δύο ορθές γωνίες, αυτή είναι η παραδοχή του, σε αυτό ήταν εξ αρχής η παραδοχή του και ορισμός το ποιες είναι οι ορθές γωνίες, τότε χρησιμοποιώντας αυτό και τις ιδιότητες ότι έχουμε ίσες γωνίες, γωνία που σχηματίζεται στο α, είναι η ίδια με τη γωνία που σχηματίζεται στο εγγ, και αντίστοιχα η γωνία που σχηματίζεται εγγ, είναι η ίδια επειδή έχουμε παράλληλες ευθείες, είναι η ίδια με τη γωνία που σχηματίζεται στο β, σε απλή γεωμετρία τώρα, και στο δημοτικό, το άθροισμα των γωνιών του τριγόνου από την ισότητας, λογίπτει ότι είναι ίση με 180. Για να μπορέσει όμως να το αποδείξει αυτό, χρειάστηκε να χρησιμοποιήσει και τα αιτήματα και κάποιες από τις προηγούμενες προτάσεις. Είναι ενδιαφέρον να κάνει κανείς ένα διάγραμμα, από αυτό εδώ το βιβλίο, από το βιβλίο 1, το οποίο είναι και από τα πιο βατά βιβλία, για να αποδείξει μια πρόταση, για παράδειγμα αυτή την 32, τι ακριβώς έχει χρειαστεί μέχρι τότε. Και τις προτάσεις που αμέσως στις οποίες βασίστηκε, για να την αποδείξει, αλλά και τις προτάσεις που χρειάστηκε για τις προηγούμενες προτάσεις. Να κάνει έτσι ένα λογικό διάγραμμα, να δει ποιας προτάσεις εμπλέκονται στην αποδείξη της πρότασης 32, όπως και ποια αιτήματα. Θα ήταν πολύ ενδιαφέρον κάτι τέτοιο, και το αναφέρω κιόλας σαν πιθανό θέμα για παρουσίαση, για το πυθαγόριο θεόρημα, για την απόδειξη του πυθαγωρίου θεωρήματος, που έχει ο Ευκλήρης, αλλά και για την αντίστροφη, για το αντίστροφο του πυθαγωρίου θεωρήματος, και είναι και πολύ βατώ. Έτσι είναι βατώ σαν θέμα παρουσίας σας. Εδώ είναι το πυθαγόριο θεόρημα. Έτσι και το σχήμα το οποίο συνοδεύει, και το οποίο περιγράφει το ποια είναι η απόδειξη. Για να το ξαναδούμε λίγο. Το δούμε με χρώμα, το σχήμα αυτό. Απλά έχω προσθέσει, έχουν προσθεθεί εδώ τα χρώματα. Έχουμε ένα ορθό τρίγωνο. Η γωνία που είναι ορθή είναι η γωνία στο σημείο α, η εσωτερική γωνία του τριγόνου στο σημείο α. Έτσι έχουμε το τρίγωνο γ, α, β. Η γωνία στο α είναι η ορθή γωνία. Η υποτίνουσα είναι η βγ. Το τετράγωνο του τετραγώνου της υποτίνουσας, το τετράγωνο λοιπόν γ, β, δ, ε, αυτό λέει είναι ίσο με το άτρισμα των τετραγώνων α, η, ζ, β, των άλλων δύο τετραγώνων. Και αυτό το οποίο δείχνει είναι ότι το τετράγωνο που είναι κάτω αποτελείται από δύο μέρη. Έτσι αυτά τα οποία έχουν ζωγραφιστεί. Στο μεν πρώτο σχήμα έχουμε ένα κόκκινο κομμάτι. Αυτό που μας υπολείπεται είναι το κόκκινο κομμάτι του δεύτερου σχήματος. Εάν προσπαθήσετε να δείτε την απόδειξη του ευκλήδη, αυτό που λέει είναι το εξής. Θα δείξει ότι το τετράγωνο α, η, ζ, β, αυτό το εμβαδό, θα δείξει ότι είναι ίσο με το εμβαδό του παραλληλόγραμμου. Του παραλληλόγραμμου που σχηματίζεται εδώ. Το κόκκινο. Κόκκινο λοιπόν λέει είναι ίσο με το γαλάζιο. Αντίστοιχα το άλλο κομμάτι κόκκινο που μας ενδιαφέρει, για να το προσθέσουμε στο πρώτο, είναι ίσο με το πάνω το γαλάζιο. Πώς προκύπτει αυτό? Προκύπτει γιατί ίσα προς τρίτον είναι ίσα μεταξύ τους. Εντάξει αυτό θα το χρησιμοποιήσει. Για να δούμε τι γίνεται σε αυτό εδώ το σχήμα. Καταρχήν λέει ότι το γαλάζιο, το οποίο είναι αυτό που μας ενδιαφέρει, το γαλάζιο επάνω έχει εμβαδό το διπλάσιο του εμβαδού του τριγόνου που είναι με το σκρομπλέ. Το σκρομπλέ λέει είναι το μισό του εμβαδού του επάνω τετραγόνου. Πώς προκύπτει αυτό? Έχει προηγηθεί το θεόριμα το οποίο λέει πώς μετράμε τα εμβαδά. Και το εμβαδό ενός τριγόνου είναι η βάση επί το ύψος. Το εμβαδό του τετραγόνου ξέρουμε τι είναι. Είναι η βάση επί το ύψος. Ποιο είναι η βάση αυτού του τριγόνου, ποια παίρνει σαν βάση, παίρνει το ζβ σαν βάση. Ποιο είναι το ύψος? Το γ, βίσκεται στην ίδια ευθεία μαζί με το α. Το ύψος αυτού του μπλε σκούρου τριγόνου είναι ίσο με το αβ. Αυτό είναι το ύψος. Άρα το εμβαδό του γζβ είναι ένα δεύτερο αβ επί ζβ. Ένα δεύτερο ύψος που είναι το αβ, επί την βάση που είναι το ζβ. Ακριβώς λοιπόν το μισό του γαλάζιου τετραγόνου. Αντίστοιχα γίνεται το ίδιο για το τρίγωνο με το σκούρο κόκκινο χρώμα, το αβ, β, και με το κόκκινο κομμάτι. Το τρίγωνο έχει εμβαδό το μισό του κόκκινου κομματιού. Όπως είπα εκείνο το οποίο λέει είναι ότι το γαλάζιο του τετραγόνου είναι ίσο με το κόκκινο του παραλληλογράμου, το αυτογώνι παραλληλογράμου. Αυτό γιατί προκύπτει? Αυτό προκύπτει γιατί τα δύο τρίγωνα, το τρίγωνο με το σκούρο γαλάζιο και το τρίγωνο με το σκούρο κόκκινο, είναι ίσα. Έχουν δύο πλευρές που είναι ίσες, αυτό το βλέπουμε. Η αβ είναι ίση με τη ζβ. Η βΔ είναι ίση με τη βΓ. Και μετά θα είναι δύσκολο να συγκρίνουμε και τη γωνία, τις γωνίες. Οι γωνίες είναι ίσες. Έτσι βγαίνουν τα τρίγωνα να είναι όμια. Αφού λοιπόν τα τρίγωνα είναι ίσα, όχι μόνο όμια, είναι ίσα, έχουν το ίδιο εμβαδό, η αντιστοιχία τους με τα εμβαδά του παραλληλογράμου και του τετράγωνα μεταφέρεται. Και έτσι έχουμε ότι το κόκκινο, το εμβαδό του κόκκινου, είναι ίσο με το εμβαδό του γαλάζιο. Το αντίστοιχο συμβαίνει και για το άλλο. Και αφού όταν προσθέσεις τα κόκκινα τελικά, τα δύο κόκκινα κομμάτια, βρίσκεις το εμβαδό του μεγάλου τετραγώνου, προκύπτεται το εμβαδό του μεγάλου τετραγώνου, είναι ίσο, με το άθροισμα των εμβαδών των άλλων δύο τετραγώνων. Αυτή είναι η απόδειξη, είναι το 1946. Και τελειώνει το βιβλίο με το αντίστροφο του Πιθαγορίου. Είναι μάλλον η απόδειξη 47, είναι η πρόταση 47. Και το βιβλίο τελειώνει με την πρόταση 48, που είναι το αντίστροφο του Πιθαγορίου. Τα θέματα παρουσίασης, στο αρχείο που έχω θέματα παρουσίασης, τα μπλουτίζω κάθε φορά με θέματα που κρίνω ότι είναι καλά για παρουσίαση. Αν θελήσετε να δώσετε κάποια παρουσίαση, πηγαίνετε εκεί. Κατά τη γνώμη μου αυτό είναι από τα πιο βατά, το είπα ήδη. Μια παρατήρηση εδώ. Αν το μελετήσει κανείς, θα δει ότι στο βιβλίο, στα στοιχεία, δεν είναι όλα τέλεια, γιατί υπάρχουν κάποιες ελλείψεις. Το τέλειο είναι σχετικό. Αλλά υπάρχουν σίγουρα ελλείψεις. Για παράδειγμα, για το Εμβαδόν δεν έχει δοθεί... είναι ανάμεσα στους ορισμούς. Στο βιβλίο 2 είπα ότι έχει γεωμετρική άλυβρα. Για να δώσω ένα παράδειγμα γεωμετρικής άλυβρας. Στο σχήμα κάτι υποδεικνύει. Έτσι και αν μπορούσαμε να τα διαβάσουμε αυτά καλύτερα. Λέει ότι αν έχω δύο ευθείες, και τις χωρίζω σε κάποια κομμάτια, τότε το Εμβαδό το ολόκληρο, ήνοίζουμε το άδρισμα των ενδιάμεσεων εμβαδών. Γιατί είναι γεωμετρική άλυβρα, σε ποια πρόταση αντιστοιχεί αυτό, σε ποια γευρική πρόταση αντιστοιχεί αυτό. Αυτό είναι που λέει στην ουσία. Έτσι το γινόμενο δύο ποσοτήτων, εγκμηνευόταν σαν Εμβαδό. Αυτό είναι λοιπόν που λέει, ότι το περιεχόμενο του συνόλου, είναι ίσο με το άδρισμα των εσωτερικών εμβαδών. Αυτή είναι η άλγευρα εδώ πέρα. Δεν υπήρχαν τα σύμβολα, υπάρχει η περιγραφή. Τώρα αυτό το οποίο είναι ενδιαφέρον, είναι ότι για να το αποδείξει αυτό, γιατί δεν έχει βάλει κανένα περιορισμό. Έτσι στην πρόταση, άμα τη δείτε πιο προσεκτικά, δεν έχει μπει περιορισμός στα πόσα τμήματα το χωρίζω. Στην απόδειξη, κάνει κάτι το οποίο, το λέμε γενικευμένο παράδειγμα. Έτσι στην απόδειξη, το έχει τμήμη ακριβώς ένα, δύο, σε τρία μέρη. Στο γενικευμένο λοιπόν παράδειγμα, και η απόδειξη η οποία προκύπτει, γίνεται μόνο η γιατρία, και ο αναγνώστες βλέπει ότι αυτή εδώ η απόδειξη, γενικεύεται για οποιοδήποτε αριθμό. Δεν είναι η επαγωγή ακριβώς, δεν χρησιμοποιεί η επαγωγή, η έννοια της μαθηματικής επαγωγής δεν υπήρχε, δεν υπήρχε σαν έννοια ακόμη, αλλά κάνει κάτι το οποίο το θυμίζει, κάνει το γενικευμένο παράδειγμα. Στο ίδιο το βιβλίο, για να δούμε την τέταρτη πρόταση, λέει παίρνω ένα ευθύγρομο τμήμα. Η πρόταση λέει στα αρχαία ελληνικά βέβαια, αν πάρουμε ένα ευθύγρομο τμήμα και το διαρρέσουμε σε δύο τμήματα, τότε λέει το τετράγωνο του συνολικού, αν έχεις πάρει μόνο ένα ευθύγρομο τμήμα, το από πάνω, αυτό που σχηματίζεται από το α και το β, το έχεις χωρίσει στα δύο, στο α και στο β. Τότε λέει το τετράγωνο του όλου τμήματος, το εμβαδό του τετραγώνου που φτιάχνεις με ακμή το α συν β, το τετράγωνο του όλου τμήματος, είναι ίσο με τα τετράγωνα των δύο τμήματων, καθώς και το διπλάσιο ορθογώνιο που ορίζουν τα δύο τμήματα. Και αυτό φαίνεται κατευθείαν από την εικόνα, γιατί μέσα στην εικόνα φαίνεται, βρίσκουμε το τετράγωνο που είναι από το β, είναι πάνω στην δεξιά κορυφή, σχηματίζεται αυτό το τετραγωνάκι από το τμήμα β, αυτό λέει το τετράγωνο του συνολικού, είναι ίσο με το τετράγωνο του β, αυτούν εδώ, το τετράγωνο του α, έτσι με το τετράγωνο των δύο τμήματων, έχουν σχηματιστεί αυτά τα δύο τετράγωνα, και μετά λέει το διπλάσιο ορθογώνιο που ορίζουν αυτά τα δύο τμήματα. Και στο σχήμα βλέπουμε ότι έχουμε δύο τέτοια ορθογώνια, έχουμε το ορθογώνιο που σχηματίζεται εδώ με το α και β και ένα άλλο ορθογώνιο α και β. Μένει βέβαια να αποδείξουν ότι αυτά είναι ορθογώνια, έχουν τα τετράγωνα, ότι όλα δουλεύουν μαζί, υπάρχει ένα κομμάτι σε αυτή την απόδειξη, αλλά βλέπουμε ότι από το σχήμα αυτό προκύπτει κατευθείαν. Το σχήμα υποδεικνύει κάποια, στηρίζεται πολύ στα σχήματα. Αυτό είναι και καλό, αλλά είναι και αδυναμία ταυτόχρονα. Θα μιλήσουμε λίγο πιο μετά γι' αυτό εδώ το χαρακτηριστικό. Εκείνο που θέλω να αναρωτηθούμε, πριν πατήσω το επόμενο κουμπί, είναι σε ποια αλγευρική πρόταση αντιστοιχεί αυτό. Α' συν Β στο τετράγωνο, έτσι το τετράγωνο του όλου τοίματος, α' συν Β τετράγωνο, είναι α' τετράγωνο συν Β τετράγωνο συν δύο αΒ. Τα δύο πρώτα παραδείγματα που έδωσα είναι σχετικά απλά, πρόταση ή μάλλον λέει πώς να το κάνει κανείς, ποιο είναι το ζητούμενο. Το ζητούμενο είναι να πάρεις μια ευθεία, πρόταση ότι μπορεί κανείς να το κάνει, μπορεί να το κάνει και αυτή είναι η πρόταση, να πάρει κανείς μια ευθεία, ένα ευθύγραμο τμήμα και να το χωρίσει έτσι ώστε το τετράγωνο, το ολόκληρο. Και το ένα ορθογώνιο το οποίο σχηματίζεται είναι ίσως με το τετράγωνο του υπολοιπού. Για να δούμε τι ακριβώς λέει αυτό για να μην τα μπερδεύουμε αρχαία και νέα. Να διερεθεί ένα τμήμα ώστε το ορθογώνιο που σχηματίζει το τμήμα και το ένα μέρος του να είναι ισοδύναμο με το τετράγωνο που έχει πλευρά το άλλο μέρος. Το ορθογώνιο που σχηματίζει, χωρίζει το τμήμα και το ένα μέρος του να είναι ισοδύναμο με το τετράγωνο που έχει πλευρά το άλλο μέρος. Θέλουμε να σκεφτούμε σε τι αντιστοιχεί αυτό. Έχουμε ένα τμήμα, το τμήμα είναι γνωστό, το α, είναι το συνολικό τμήμα. Έτσι είναι αυτό που φαίνεται το αβ, αυτό είναι το συνολικό τμήμα. Θέλω λοιπόν να το χωρίσω έτσι ώστε το ορθογώνιο που σχηματίζει το τμήμα και το ένα μέρος του. Η εικόνα που έχει σχηματιστεί ήδη λέει ποιο θα είναι το ένα μέρος του, ποιο είναι το άγνωστο, για το οποίο λύνει κανείς, το οποίο βρίσκει. Βρίσκει με κανόνα και διαβήτη, μπορεί να το βρει με τέτοιο τρόπο. Ποιο είναι το άγνωστο χ, το ορθογώνιο το οποίο σχηματίζεται το βλέπετε εδώ για να ταιριάζει στην εικόνα. Έτσι τα σχήματα τα οποία ταιριάζουν σε αυτήν εδώ την πρόταση, στην πρόταση 11. Έχουμε το ορθογώνιο που ορίζει το τμήμα και το ένα μέρος του. Ορίστε αυτό είναι το τετράγωνο αβ δέλτα σε. Όλες τις πλευρές είναι ίσως με το αβ. Το ορθογώνιο που ορίζει λοιπόν το τμήμα και το ένα μέρος του είναι το ορθογώνιο βδ που είναι ίσο με το αβ και με την άλλη πλευρά ηβ. Το ορθογώνιο είναι αυτό εδώ το κομμάτι. Και το τετράγωνο που έχει πλευρά το άλλο μέρος είναι αυτό εδώ. Θέλουμε να πάρουμε και να χωρίσουμε το τμήμα αβ σε δύο σημεία. Έτσι ώστε το τετράγωνο αυτού του κομματιού να είναι ίσο με το ορθογώνιο αυτό εδώ. Θέλουμε να βρούμε αυτό το η. Θέλουμε να δούμε πως να το κατασκευάσουμε. Έχετε απόψεις για το ποια εξίσουση πιο αντιστοιχή εδώ. Για να βάλουμε χ να είναι το αυ αυτό εδώ. Έχουμε ένα ωραίο τετράγωνο εδώ πέρα. Έτσι να ονομάσω χ να είναι το αυ. Το υπόλοιπο κομμάτι είναι αν ονομάσω το αβ μικρό α είναι το αμχ. Έτσι. Χ το κομμάτι αυ το η είναι το μικρό αμχ. Τι ψάχνω λοιπόν να βρω. Ψάχνω να βρω αυτό το χ. Ποια πρέπει να είναι η ιδιότητα. Θέλω το τετράγωνο του χ, το χ τετράγωνο λοιπόν να είναι ίσο με το εμβαδό αυτού νου του ορθογωνίου. Αυτή η πλευρά είναι α και αυτό είναι αμχ. Ποια είναι η ερμηνεία. Εδώ έχει τη λύση. Θέλουμε λοιπόν να βρούμε χ αυ τέτοιο ώστε το η β δελτακάπανε είναι ίσο με το εμβαδό του τετραγώνου. Και η λύση που δίνει είναι εξής. Η λύση που δίνει λέει πάρε το μισό του ασ. Πάρε αυτό εδώ. Κένωσε τώρα το ευ. Λοιπόν για να τα πάρουμε με τη σειρά γνωρίζει έχει ήδη αποδείξει ότι κάθε τμήμα μπορείς να το διαιρέσεις δια του δύο και ξέρει πως να το κάνει. Έχει είναι μια πρόταση η οποία έχει προηθεί το έχουμε βρει και εμείς το έχουμε θυμηθεί. Γερή λοιπόν το ασ στα δύο και έχει βρει το ε. Από το ε ενώνει με ένα ευθύγραμο τμήμα γιατί αυτό είναι έτοιμα μπορεί να το κάνει το ε με το β. Και στη συνέχεια προεκτείνει την ευθεία ασ γιατί μπορεί να προεκτείνει οποιοδήποτε ευθύγραμο τμήμα το προεκτείνει. Σχηματίζει το κύκλο με κέντρο το ε και ακτίνα το εβ και βλέπει πού ο κύκλος τέμνει το ε. Τέμνει την ευθεία που είναι η προέκταση της ασ. Το ε λοιπόν εδώ είναι ίσο με το εβ είναι το σημείο όπου ο κύκλος με κέντρο το ε ακτίνα εβ τέμνει την ευθεία που είναι η προέκταση της α. Και όλα αυτά μπορεί να τα κάνει τα έχει ήδη αποδείξει έχει και τα αιτήματα εκεί που τα χρειάζεται. Έχει φτιάξει λοιπόν το τμήμα αf. Έτσι γιατί έχει το α έχει φτιάξει τώρα το τμήμα αf. Και στη συνέχεια στο σημείο ε φτιάχνει παίρνει την κάθετη μπορεί να φέρει σε οποιαδήποτε ευθεία μια κάθετη σε οποιοδήποτε σημείο φέρνει λοιπόν την ευθεία ε φτιάχνει το τετράγωνο. Εκεί που το τετράγωνο ξανασυναντά την ευθεία αβ αυτό είναι το σημείο η. Όλα αυτά λοιπόν κατασκευαστικά μπορεί να τα κάνει έτσι στηρίζεται και στις προτάσεις και στα ετήματα κατασκευάζει τώρα το τετράγωνο. Το σημείο όπου αυτό εδώ το τετράγωνο συναντά την ευθεία αβ είναι το σημείο η. Και μετά λέει εδώ είναι αυτή είναι η λύση που ψάχνεις το αι είναι το χ που θέλεις. Δεν είναι δύσκολο να το αποδείξει κανείς αυτό έτσι έχει να κάνει με το εμβαδό έτσι ξέρουμε εδώ το έχουμε ένα ορθόγωνιο παραλληλόγραμμο. Έχουμε εδώ κάποια τρίγωνα έχουμε ιδέες για το πως συνδέονται τα εμβαδά έτσι το εμβαδό τριγώνου το μισό του ύψους επί τη βάση και όλα αυτά προκύπτει. Έτσι μια λοιπόν είναι η ιδέα της κατασκευής την άλλη είναι μετά η απόδειξη ότι όντως το τμήμα που έχει βρει ικανοποιεί αυτήν εδώ την ιδιότητα. Αυτό θα σας το αφήσω η απόδειξη έχει κάτι να αποδειχθεί έτσι να το συμπληρώσετε εσείς. Αλλά εκείνο το οποίο με ενδιαφέρει είναι να γράψω την αλγευρική έτσι τι έχει κάνει την αλγευρική εξίσωση έτσι όπως θα τη γράφουμε εμείς σήμερα. Αυτό το οποίο ζητάει είναι να βρεθεί ένα x το οποίο να ικανοποιεί αυτήν εδώ την εξίσωση. Την εξίσωση α επί α-x και αυτό είναι ένα παράδειγμα λύσεις δευτεροβάθμιας εξίσωσης έτσι. Κατασκευασμένη με κανόνα και διαβήτη. Μας λέει πως να λύσουμε αυτήν εδώ την δευτεροβάθμια εξίσωση με κανόνα και διαβήτη τον τρόπο για την έβρεση αυτής της λύσης. Ένα πολύ σημαντικό βήμα και πολύ διαφορετικό από τις λύσεις των γραμμικών εξισώσεων. Έτσι έχουμε δει για λύσεις γραμμικών εξισώσεων και τη δουλειά που έχουν ήδη κάνει η Βαβυλώνια και η Αιγύπτη. Όλα αυτά η γνώση έχει μεταφερθεί στους Αρχαίους Ελλήνες, έχουν αποδείξει ότι εμπειρικό υπήρχε, έχει αποδειχθεί ήδη για τις λύσεις των εξισώσεων. Και εδώ πέρα έχουμε ένα άλλο κομμάτι που μιλάει για λύση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, την κατασκευή της λύσης με κανόνα και διαβήτη γεωμετρικά. Ποια είναι η δευτεροβάθμια εξίσωση α' επί α-χ ίσον με χ τετράγωνο, δηλαδή στην οσία λύμη το χ τετράγωνο ίσον με α τετράγωνο μίον αχ. Εντάξει, αν η εξίσωσή μας έχει τη μορφή χ τετράγωνο συν αχ μίον α τετράγωνο, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο του Ευκλήδη για να βρούμε τη λύση γεωμετρικά. Χ τετράγωνο συν αχ μίον α τετράγωνο ή χ τετράγωνο συν αχ ίσον με α τετράγωνο, μπορούμε να βρούμε τη λύση γεωμετρικά όπως ο Ευκλήδης. Την λύση που έχει δώσει ο Ευκλήδης, έτσι φανταστείτε χ τετράγωνο συν χ ίσον με 1. Βλέπετε τη λύση έτσι όπως τη δίνει ο Ευκλήδης. Θεωρείστε κάτι ότι είναι μονάδα, βλέπετε ποιο είναι το χ. Προσδιορίστε το έτσι όπως το έχουμε δει παραπάνω. Εντάξει ανοιχτώ το ερώτημα, αν υπάρχουν άλλα τέτοια παραδείγματα θα πρέπει κανείς ενδιαφέρον θα είναι να διαβάσει το βιβλίο 2 να δει αν υπάρχουν άλλα τέτοια παραδείγματα δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Έτσι έχουμε, ήθελα να περάσω στην θεωρία αριθμών που είναι στο βιβλίο 7. Έτσι έχουμε ένα σωρό απορρισμούς. Αυτό εδώ υποδέχεται ότι δείχνει το 12 και αν μπορούσε κανείς να έχει μεγενθητικό φακός αυτή την φάση θα είναι ορισμός του πρώτου αριθμού. Έτσι αυτό το 12 ορίζει τι είναι πρώτος, ο Ευκλήδης ορίζει τι είναι πρώτος. Και στο βιβλίο 9, δύο βιβλία αργότερα, έτσι βλέπουμε αυτήν εδώ την πρόταση, την πρόταση 10 που λέει ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι περισσότεροι κάθε προηγούμενου πλήθος πρώτων αριθμών. Έτσι, υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί, αυτό είναι η πρόταση, υπάρχουν άπειροι πρώτοι. Και πάλι, έτσι η απόδειξη χρησιμοποιεί τις εικόνες γεωμετρικοί προς τη γεωμετρία. Έτσι έχεις κάποια μονάδα και είναι το ίδιο γενικευμένο παράδειγμα. Λέει, στην ουσία αυτό που δείχνει, λέει αν υποθέσεις ότι έχεις τρεις πρώτους, σου βγάζει έναν τέταρτο πρώτο. Και ήθελα να δούμε και στην επόμενη διαφάνεια και η απόδειξη είναι η μοντέρνα απόδειξη. Έτσι, ο ίδιος τρόπος είναι. Έτσι, είναι ακριβώς έτσι πως θα το δείχναμε σήμερα ή όπως το μάθετε στο πρώτο, στο μάθημα όταν το πρώτο είδατε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Είναι η πρόταση 20 στο βιβλίο 9, όχι η πρόταση 10. Έτσι ο αριθμός 12, ορισμός 12 εκείνος τον οποίον είχα βάλει το βελάκι. Ποιος είναι πρώτος, πως τον ορίζει τον πρώτο ευκλήδες, τον έχει ήδη ορίσει πρώτος, λέγεται ο αριθμός που μετρέται μόνο από τη μονάδα. Ο μόνος διαίρεσης, η έννοια της διαίρεσης, έχει στο μέτρημα, πάει στο μέτρημα, ακέραιο πολλαπλάσιο, έτσι αυτό το οποίο έχουμε αποκαλέσει συγκρίσιμα σε άλλες φάσεις. Πρώτος λοιπόν λέει ο ευκλήδες είναι ο αριθμός ο οποίος μετρέται μόνο από τη μονάδα και οι δυσκολίες είναι για την απόδειξή του. Στο βιβλίο 12, έτσι ήθελα να αναφέρω την πρόταση αυτή, την έχουμε ήδη δει, πρώτη πρόταση αυτού του βιβλίου, η οποία λέει ότι αν πάρω κανονικά πολύονα ενιαγραμμένα μέσα σε κύκλους, τότε τα εμβαδά τους, έτσι είναι ο λόγος των εμβαδών αντίστοιχη στο τετράγωνο των λόγων των διαμέτρων. Έτσι και το έχουμε ήδη σχολιάζει και έχουμε ήδη πει για την απόδειξη αυτής της πρότασης. Έχουμε λοιπόν την πρώτη απόδειξη στο α και τη δεύτερη πρόταση που πάει και λέει ότι οι κύκλοι συγκρίνονται ότι το εμβαδά των κύκλων είναι πολλαπλάσιο, ότι ο λόγος των εμβαδών των κύκλων είναι ίσως με το τετράγωνο του λόγου των διαμέτρων. Έτσι και αυτό το ήδη το έχουμε πει και είχαμε δει ότι αυτό στηρίζεται στην ορισμό του ευδόξου για τους λόγους. Όταν τα είπαμε αυτά μιλήσαμε λίγο πέρα πάνω για το πώς πάει αυτή εδώ η απόδειξη. Φτάνει αυτή η πρόταση για να καταλήξει κανείς ότι το εμβαδό ενός κύκλου είναι το ίδιο ακέραιο πολλαπλάσιο του τετραγώνου της διαμέτρου. Έτσι το εμβαδό του κύκλου είναι πι αρτατράγωνο πι δι διαμέτρος δι τετράγωνο για τέσσερα. Έτσι πι τέταρτα δι τετράγωνο. Φτάνει αυτή εδώ η πρόταση που έχει ο Ευκλήδης που την έχει την πλήρη απόδειξη. Έτσι έχει πλήρη απόδειξη εδώ, το είδαμε προηγουμένως χρησιμοποιώντας το λόγο του Ευδόξου και ότι πάντα μπορείς, εκείνη την έννοια που είπαμε ότι μοιάζει πολύ με το όριο, την έχουμε δει αυτή την απόδειξη. Φτάνει όμως αυτό για να καταλήξει κανείς ότι το εμβαδό ενός κύκλου είναι πάντα το ίδιο πολλαπλάσιο του τετραγώνου της διαμέτρου του. Σήμερα που στο ίδιο έδειξας δεν είχαμε και εγώ ποιο κύκλος, ποιο κύκλος, ποιο κύκλος, ποιο κύκλος, ποιο κύκλος, ποιο κύκλος. Εγώ δεν ρωτάω ακριβώς αυτό. Να επαναλάβω την ερώτηση. Έτσι ξέρουμε, ξέρουμε, έτσι θα δούμε την απόδειξη που έδωσε ο Αρχιμήδης. Όμως το ξέρουμε ότι το εμβαδό του κύκλου, το ξέρουμε με απόδειξη, όχι απλά υποθέτουμε, όχι κάζουμε, όχι έχουμε κάποια εκτίμηση για το π. Έτσι ξέρουμε ότι αν πάρω κάθε, όποιον τίποτε κύκλο και να πάρω, το εμβαδό του είναι π φορές το τετράγωνο της ακτή μας. Και αν πάρω οποιοδήποτε δύο εμβαδά και τα συγκρίνω, έτσι προκύπτει, γνωρίζω ότι το α είναι πρ τετράγωνο. Το α μικρό είναι πρ τετράγωνο με το α να είναι μικρό. Αν πάρω και τα διαιρέσω, έχω κατευθείαν αυτήν εδώ την πρόταση. Έτσι. Γνωρίζοντας ότι το εμβαδό του κύκλου είναι πρ τετράγωνο, γνωρίζοντας αυτό, γίνει κατευθείαν αυτήν εδώ η πρόταση. Αυτή εδώ όμως η πρόταση, ρωτάω αν μπορούμε να πάνε προς τα πίσω. Δηλαδή γνωρίζοντας ότι ασχύει αυτή εδώ η πρόταση, αν μπορούμε να αποδείξουμε, έτσι, ότι κάθε κύκλος έχει εμβαδό ίσο με το πρ τετράγωνο. Η μια κατεύθυνση βγαίνει κατευθείαν. Η άλλη κατεύθυνση λέει, μπορώ να δείξω ότι το εμβαδό είναι ίσο με το πρ τετράγωνο. Ο εύδοξος επιτρέπει για παράδειγμα, έτσι, να πάρω έναν κύκλο που να έχει ακτίνα 1 ή να έχει εμβαδό 1. Έτσι και τότε μπορώ να τα συγκρίνω και να πάρω την αντιστοιχία που θέλω για τους λόγους. Φτιάχνει λόγους. Φτιάχνονται οι λόγοι. Οι λόγοι που φτιάχνει ο εύδοξος δεν έχουν να κάνουν μόνο μερικούς. Μπορεί να φτιάξει λόγους ανάμεσα σε οποιαδήποτε μεγέθη τα οποία συγκρίνονται. Όταν λέει συγκρίνονται ο εύδοξος και ο ευκλήδης, εννοεί όχι ότι κάποια μονάδα μετράει ακέραιες φορές στην άλλη. Συγκρίνεται εδώ, σημαίνει ότι αν πάρω δύο οποιοδήποτε μεγέθη, ένα πολλαπλάσιο του ενός θα ξεπεράσει κάποια στιγμή το άλλο μέγεθος. Μπορεί να φτιάξει λόγους. Το αφήνω λοιπόν ανοιχτό, επαναλαμβάνω εδώ το ερώτημα. Μια κατεύθυνση γνωρίζοντας τον τύπο για τον εμβαδό του κύκλου, γνωρίζοντας ότι το εμβαδό του κύκλου είναι πιάρ τετράγωνο, η πρόταση β για τον λόγο των εμβαδών βιοκύκλων προκύπτει κατευθείαν. Δεν είναι αυτή η απόδειξη που χρησιμοποιείς ο Ευκλήδης, γιατί δεν το είχε αυτό. Δεν το είχε ακόμη. Το ακόμη βάλτε το σε ισαογικά. Δεν το είχε όμως αυτό ο Ευκλήδης. Ρωτάω λοιπόν, μήπως αυτή εδώ η πρόταση αρκεί, μήπως αυτή την πρόταση που την έχει αποδείξει, αρκεί για να δώσει αυτόν εδώ τον τύπο, να δώσει απόδειξη για τον τύπο του εμβαδού του κύκλου. Ήθελα να θυμίσω πάλι το πέμπτο έτοιμα, να το έχουμε γραφικά, θα τελειώσουμε κάπου εδώ, αλλά θα ήθελα να το θυμίσω αυτό το έτοιμα και να περιγράψω έτσι την προσπάθεια που έχει γίνει. Αυτό όμως θα μας απασχολήσει περισσότερο αύριο. Έχω δύο ευθείες και μια άλλη ευθεία τη στέμνη και το ζεύγος των ευθιών, των γωνιών που σχηματίζονται στο εσωτερικό, έτσι είναι μικρότερα από 180. Τότε λέει αυτό το αξίωμα, οι ευθείες θα τέμνονται προς το μέρος που είναι αυτές εδώ οι γωνίες. Ανέφερα λοιπόν το ερώτημα αν αυτό στην πραγματικότητα είναι αξίωμα, ή αν προκύπτει από τα άλλα τέσσερα αιτήματα, τα άλλα τέσσερα αξιώματα που έχουν ήδη τοποθετηθεί και μπορεί να παραληφθεί. Και αυτό που μπορεί να δείξει κανείς, γιατί αυτή ήταν η προσπάθεια να δείξει ότι όντως δεν είναι αιτήμα αλλά μπορεί να παραληφθεί, έδειξαν ότι έχει πολλά ισοδύναμα. Για παράδειγμα, την πρόταση που προηγουμένως δώσαμε, έτσι την πρόταση που αποδείξαμε προηγουμένως, ισοδύναμα εάν δεχτεί κανείς τα άλλα τέσσερα αιτήματα, για να είμαστε ξεκάθαροι. Αν δεχτεί λοιπόν κανείς ότι ισχύουν τα άλλα τέσσερα αιτήματα, το πέμπτο αίτημα είναι ισοδύναμα με αυτά τα οποία γράφει. Το δεύτερο μάλλον είναι ότι οι γωνίες σε ένα τρίγωνο έχουν άτρισμα δύο ορθές γωνίες. Πορεί κανείς να αντικαταστήσει το πέμπτο αίτημα με αυτό εδώ, αλλά σαν αξίωμα. Έτσι και αν το χρησιμοποιήσει κανείς αυτό, τότε μπορεί να αποδείξει αυτό το οποίο πριν ήταν το πέμπτο αίτημα. Αλλά για να το κάνει αυτό, χρειάζεται να δεχτεί ότι υπάρχουν όλα τα τέσσερα και χρειάζεται ένα πέμπτο. Για παράδειγμα, ότι οι γωνίες σε ένα τρίγωνο έχουν άτρισμα δύο ορθές γωνίες. Το άλλο το οποίο ήθελα να αναφέρω είναι ότι αυτό που δείχνουν επίσης, γιατί το έβαλα σαν ερωτηματικό, πάλι στην κατασκευή. Εκείνη την ίδια την κατασκευή, στην απόδειξη της πρότασης ότι οι γωνίες ενός τριγώνου είναι 180. Σε εκείνη την πρόταση, αν θυμόσαστε καλά, ένα σημείο του τριγώνου έφερα μια παράλληλη ευθεία στην άλλη την πλευρά. Λοιπόν, μπορεί κανείς να δείξει ότι το πέμπτο αίτημα, αυτό με την περίεργη εκείνη εικόνα, έτσι είναι ισοδύναμο με το να λέει ότι στο επίπεδο, γιατί εδώ στο πρώτο βιβλίο κάνουμε τη γεωμετρία του επίπεδου, ότι από ένα σημείο λοιπόν του επίπεδου, διέρχεται μόνο μία παράλληλος, μία αρχή, η οποία δεν τέμνει την αρχική. Θα επανέλθουμε εδώ με τις αυριανές διαλέξεις.