Διάλεξη 6 / Διάλεξη 6 / Διάλεξη 6 - Γεώργιος Ζιούτας (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2013)
Διάλεξη 6: Λοιπόν, όπως λέμε θα μιλήσουμε για τις χρήσιμες κατανομές συνεχούς τυχαίας κατανομής και θα ξεκινήσουμε πρώτον από την ομοιόμορφη. Μια τυχαία μεταβλητή. Συμβολίζουμε ότι ακολουθεί η uniform κατανομή από το α μέχρι το β, το παιδί του μόνος είναι από το α μέχρι το β και την έχουμε συναντήσει σε πολλά παραδείγματα που κάναμε στα προηγούμενα μαθήματα. Η συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας, αφού πρόκειται για συνεχή τυχαία μεταβλητήχη, αν παίρνει τιμές από το α μέχρι το β, η συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι μία γραμμή παράλληλη προς τον άξιον αχί από το α μέχρι το β, γιατί πρόκειται για μοιόμορφη τυχαία μεταβλητή. Δηλαδή η μάζα πιθανότητας έχει σκορπήσει μοιόμορφα στο πεδίο τιμών της τυχαίας μεταβλητής. Είναι μία σταθερά ση και μάλιστα έχουμε αποδείξει ότι η συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι μία γραμμή παράλληλη προς τον άξιον αχί από το α μέχρι το β και μηδέν αλλού. Όπως βλέπετε πέρα από το β και πριν από το α έχει μηδένικη τιμή. Η αθληστική συνάτηση αυτής της τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί η uniform κατανομή είχαμε αποδείξει και εύκολα αποδεικνύεται ότι ισούτε είναι η πιθανότητα το χ να πάρει τιμές πριν από το χ μικρό και ισούτε με χ-α προς β-α. Αυτή είναι η αθληστική μία στοιχεία μεταβλητής που ακολουθεί η ομοιόμορφη κατανομή. Δηλαδή αν το χ μικρό είναι εδώ η αθληστική της είναι όλο το προηγούμενο ευαδόν που αν το ολοκληρώσουμε, αν ολοκληρώσουμε τη συνάτηση θα βρίσκεται ότι είναι χ-α προς β-α. Επίσης είχαμε αποδείξει ότι η μέση τιμή της τοιχείας των ταβλητής σε αυτή την περίπτωση ισούτε με α-συλβ-σ-δ. Δηλαδή η μέση τιμή είναι το ενδιάμισο του διαστήματος αβ. Και μετά είπαμε ότι αν είχατε την καλή διάθεση εσείς θα μπορούσατε να βρείτε ότι η διακύμανση αν θέλετε κάνετε το, αν εφαρμόσουμε τον ορισμό, αφού ξέρουμε τη συνάτηση πιθανότητας, η διακύμανση είναι, βρίσκεται τελικά, ισούτε με β-α, μ-α στο δετράγωνο, 12. Είναι πολύ απλή η συνάτηση, η ομοιόμορφη συνάτηση. Πότε ο μηχανικός χρησιμοποιεί ομοιόμορφη κατανομή. Όταν το μέγεθος, το οποίο μελετά, παίρνει ισοπίθανα τιμές από το α μέχρι το β. Παίρνει τυχαία τιμές, παίρνει ισοπίθανα. Δεν υπάρχει μεγαλύτερη συχνότητα προς το β και μικρότερη προς το α, ή δεν υπάρχει μεγαλύτερη συχνότητα προς το κέντρο το τιμό που παίρνει. Η συχνότητα είναι ομοιόμορφη από την αρχή μέχρι το τέλος. Αρκετές φορές πολλά μεγέθη παίρνουν ομοιόμορφα τιμές από την αρχή μέχρι το τέλος, οπότε μπορεί να χρησιμοποιήσει ομοιόμορφα. Ορίστε. Δεν υπάρχει επικρατούσα τιμή εδώ πέρα. Επικρατούσα τιμή εδώ πέρα, όχι. Όλες είναι το ίδιο. Είναι άπελες οι επικρατούσες τιμές. Δεν υπάρχει ένα σημείο όπου αναμεγιστιοποιείται η συνάτηση επικνωριστικανότητα. Εντάξει. Η διάμεσος και η μέση τιμή είναι το ίδιο, όπως καταλαβαίνετε. Δηλαδή, στο διάμεσο σημείο θα είναι και η μέση τιμή και η διάμεση. Λοιπόν, πέρα από αυτό όμως, η ομοιόμορφη κατανομή είναι πάρα πολύ χρήσιμη. Στη γέννηση τυχαίων αριθμών. Αν πάτε στην υπολογιστή σας, όλοι οι υπολογιστές διαθέτουν την randview, δηλαδή μια ρωτίνα, η οποία δημιουργεί τυχαίως αριθμούς ομοιόμορφης κατανομής. Αν σας πω να μου πείτε 100 αριθμούς τυχαίως από το 0 μέχρι το 1, ίσως να μην είναι τυχαίοι. Αν από το μυαλό σας, δηλαδή, μου πείτε τυχαίως αριθμούς από το 0 μέχρι το 1, ενδέχεται να μην είναι τυχαίοι. Ενδέχεται ο καθένας να το συσσορεύει κάπου πλησιέστερα προς την αρχή προς το τέλος, ανάλογα. Για αυτό υπάρχουν κάποιες τεχνικές με τις οποίες δημιουργούμε τυχαίως αριθμούς. Δηλαδή κάποιος θα μπορούσε να ανοίξει τον τηλεφωνικό κατάλογο και να βλέπετε τα τελευταία ψηφία και να παίρνετε τα δεκαδικά από τα τελευταία ψηφία των αριθμών. Ή κάποιος άλλος θα μπορούσε να παίρνει ακέραιους αριθμούς και να τους διαιρεί και να παίρνει σαν τυχαίο αριθμό το υπόλοιπο της διέρησης. Υπάρχουν διάφορες τεχνικές με τις οποίες η ρωτίνα στον υπολογιστή δημιουργεί τυχαίως αριθμούς από το 0 μέχρι το 1. Πέσουμε ότι έχουμε τυχαίους αριθμούς x1, x2, οι οποίοι προέρχονται από μία ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή x, με τον τρόπο που εξηγήσαμε, τότε μπορούμε βέβαια να τους μετασχηματίσουμε σε τυχαίους αριθμούς μιας άλλης κατανομής. Γιατί ο μηχανικός ενδέχεται να χρειάζεται τυχαίους αριθμούς ψ μιας άλλης τυχαίας μεταβλητής ψ που ακολουθεί μία άλλη κατανομή. Για να δημιουργήσει τυχαίους αριθμούς της ψ, δημιουργεί πρώτα, παίρνει τους τυχαίους αριθμούς x1, x2, xn από την ράντιγγιου ροτίνα του υπολογιστή του και στη συνέχεια παίρνει την αφρηστική της τυχαίας μεταβλητής ψ, της οποίας θέλει να δημιουργήσει τυχαίους αριθμούς ψ1, ψ2, ψ1 αντίστοιχα. Παίρνει λοιπόν την αφρηστική της άλλης τυχαίας μεταβλητής ψ, η οποία αντέχεται να είναι αυτής της συμμορφής, αν πρόκειται για εκπληκτική κατανομή και η αφρηστική βέβαια είναι από το μηδέν μέχρι το ένα. Ξέρουμε ότι η αφρηστική μιας τυχαίας μεταβλητής ψ παίρνει τιμές από το μηδέν μέχρι το ένα. Άνι τυχαία αριθμή x1 και x2, xn, οι οποίοι ανήκουν σε μια uniform, ας το πούμε, κατανομή από το μηδέν μέχρι το ένα και το στοποθετήσει επάνω στον άξονα εδώ πέρα της αφρηστικής μέσα στο πεδίο μηδέν και ένα, ας πούμε ότι ο πρώτος x1 είναι αυτός εδώ πέρα, αφού πρόκειται για τυχαία αριθμός από μηδέν μέχρι ένα. Και κινηθεί αντίστροφα, πάει αντίστροφα δηλαδή της αφρηστικής, τότε θα πάρει τον ψ1. Μετά θα πάρει τον x2 τυχαίων αριθμών, θα τον τοποθετήσει επάνω εδώ πέρα και θα κινηθεί πάλι αντίστροφα και θα πάρει τον ψ2. Και ούτω καθεξής. Δηλαδή αυτή είναι η διαδικασία όπου παίρνουμε τυχαίους αριθμούς ή ασδίποτε κατανομή. Είπαμε ότι ο υπολογιστής δίνει τυχαίους αριθμούς x1, x2, x1, αν τους ζητήσετε, ομοιόμορφες κατανομές από το μηδέν μέχρι το ένα. Αυτούς μπορείτε να τους μετασχηματίσετε σε τυχαίους αριθμούς άλλης κατανομής. Τι θα κάνετε για να δημιουργήσετε τυχαίους αριθμούς της ψ, διάς άλλης κατανομής θα πάρετε την αφρηστική της. Και τους τυχαίους αριθμούς x1, x2, x1, ομοιόμορφες από το μηδέν μέχρι το ένα, θα τους τοποθετήσετε πάνω εδώ πέρα και θα κινηθείτε αντίστροφα. Αλλά για να μην κάνετε αυτή τη διαδικασία και κουράζεστε, μπορούμε να το κάνουμε όχι γραφικά αλλά και μαθηματικά. Πώς μπορούμε να το κάνουμε. Εδώ πέρα τι έχουμε πει ότι εάν έχει ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή, το μηδέν μέχρι το ένα, και έχουμε μία άλλη τυχαία μεταβλητή ψ, η οποία ακολουθεί, έχει σαν αφρηστική την fψ, έχει την αφρηστική fψ, τότε υπάρχει ένα σχετικό θεώρημα, το οποίο λέει ότι η ψ που προέρχεται από την αντίστροφη συνάρτηση, δηλαδή οι τιμές των ψ που προέρχονται από την αντίστροφη συνάρτηση της αφρηστικής, όπως από τη δύο ορισμού είναι το χ, βάζουμε τιμές στη σχή και αντίστροφα κινούμαστε, τότε αυτή η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την fψ. Οι τιμές λοιπόν που παίρνουμε εδώ πέρα, οι οποίες προέρχονται από αυτή τη διαδικασία, αυτές τις τιμές ακολουθούν την αφρηστική fψ. Το θεώρημα λέει, εάν η χ είναι ομοιόμενος κατανομής κι αν ψ ακολουθεί την f, έχει αφρηστική την fψ, κι αν ψ έχει κάποια αφρηστική fψ ή κάποιες κατανομές, τότε η ψ, η οποία προέρχεται από την αντίστροφη της αφρηστικής με πεδίων ορισμό τυχή, με τις τιμές χ, ακολουθεί την ψ κατανομή. Πάρει και μια πορεία μέχρι εδώ. Το θεώρημα αυτό εκφράζει αυτό που είπα. Εάν έχω μια συνάντηση αφρηστική της ψ κατανομής και πάρω τυχαίες τιμές της uniform και τις βάλω σαν πεδίων ορισμού της ψ και κινηθώ αντίστροφα, τότε αυτές οι τιμές που προκύπτουν εδώ ακολουθούν την κατανομή fψ. Κάντε σίγουροι, οι τιμές που θα πάρετε ψ1, ψ2, ψn είναι ένα δείγμα τυχαίων αριθμών, το οποίο θα ακολουθεί την fψ κατανομή. Ορίστε. Είπαμε uniform. Είπαμε ότι σου δίνει ο υπολογιστής σου εν τυχαίως αριθμός της uniform κατανομής. Κάθε υπολογιστής τους δίνει άμα του το ζητήσεις, από το 0 μέχρι το 1. Θέλετε να σας κάνω την απόδειξη γιατί τα ψ1, ψ2, ψn, κλπ. θα ακολουθούν την fψ αν σπάρουν αυτή τη διαδικασία. Είστε διατηρηθειμένοι να παρακολουθήσετε μια μικρή απόδειξη και να καταλάβετε αν αυτά που σας είπα στο παρελθόν τα έχετε καταλάβει. Θέλετε να δείτε. Εγώ ξέρω ότι είστε καλά παιδιά και το θέλετε. Λοιπόν, η πιθανότητα ότι το ψ είναι μικρότερο το ψ μικρό. Μπορεί να γραφεί έτσι. Για να δούμε ποιος το καταλάβει και να μου πει γιατί. Η πιθανότητα ότι τυχαία μεταβλητή ψ κεφαλαία θα πάρει τιμές μικρότερες του ψ μικρό. Μπορώ να το γράψω πιθανότητα fψ μικρότερο του fψ μικρό. Γιατί? Ισχύει αυτή η εξίσουσι. Υποτίθετε εδώ ότι είναι η αθληστική πάνω της ψ. Για να μην τα μπερδέψουμε με την αθληστική της ψ. Ισχύει αυτή η εξίσουσι. Γιατί ισχύει αυτή η εξίσουσι. Για το ίσιο σκάφος ασυνάρτηση. Μπράβο. Γιατί η αθληστική είχαμε πει είναι αύξουσα συνάρτηση. Για κάθε είχαμε πει τότε x1 μικρότερο του fx2, xfx1 μικρότερο του fx2. Τώρα για κάθε οποιοδήποτε κι αν είναι αυτό το ψ. Μικρότερον ίστον το ψ μικρό. Αυτό μπορώ να το γράψω fψ μικρότερο το fψ. Γιατί η αθληστική είναι αύξουσα. Και δεν έχω αλλάξει τίποτα εδώ. Αυτό μπορώ να το γράψω σαν fψ μικρότερο ίστον το fψ μικρό. Γιατί είναι ιδιότητα της αθληστικής. Λοιπόν δεν έχει να σκεφτούμε τίποτα περισσότερο εδώ πέρα. Προχωράμε τώρα. Εδώ πέρα το fψ. Έχω το fψ. Από εδώ. Αυτό το fψ. Από εδώ. Συνεπάγεται ότι το x ισούθε με fψ. Εντάξει. Από εδώ όπου κινηθούμε αντίστροφα το x είναι το fψ. Πάει αντίστροφα. Άρα αυτό μπορώ να το καταστήσω με x. Άρα λοιπόν η πιθανότητα x είναι αυτό. Αυτό είναι το x μικρότερων ίσων το fψ. Δηλαδή συμφωνούμε σε αυτό εδώ πέρα. Καταλήξαμε από εκεί. Από την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή της ψ είναι πάλι τη μέση μικρότερων του ψ μικρό. Υσχύει αυτή η εξίσωση. Υσχύει και αυτή έχω αλλάξει το fψ. Σύμφωνα με την παραδοχή ότι το ψ, εάν πάρω το αντίστροφα του x θα είναι αυτό εδώ. Άρα θα βάλω x εδώ κεφαλαίο. Μικρότερον το ψ μικρό. Αυτή η πιθανότητα η uniform. Η uniform έχει κατανομή από το 0 μέχρι το 1. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει τιμές μικρότερες από κάθε fψ που είναι εδώ μέσα. Έρχομαι εδώ πέρα στην αφριστική της uniform. Ποια είναι η αφριστική της uniform. Της κάθε uniform η αφριστική είναι. Το χ-α δια β-α. Είναι πιθανότητα η πιθανότητα να πάρει τιμές μικρότερες από το χ μικρό. Αν το χ μικρό θα το καθιστήσω με fψ εδώ. Το χ μικρό είναι κάποιο fψ της ψ. Το άνθα είναι το 0. Το β είναι το 1. Το άνθα είναι το 0. Η σούτυμ δηλαδή στην περίπτωση που το χ είναι το fψ όπως βλέπουμε και στην εξίσωση. Και το άνθα και β είναι 0 και 1 αυτό είναι το fψ. Σύμφωνα με την αφριστική. Άρα αυτό εδώ πέρα είναι το ίδιο το fψ. Από που κατέληξα ότι η αφριστική της ψ είναι η fψ. Άρα δηλαδή το ψ που παίρνω μέσα από αυτήν την διαδικασία. Η τιμές ψ 1, ψ 2, ψ. Η τιμές ψ που παίρνω μέσα από αυτήν την αντίστροφη διαδικασία. Ακολουθούν την κατρανομή fψ. Και αναφέρεται πάνω δε στην fψ. Με βάση περιπτώση αν θέλετε δέστε πάλι αυτήν την απόδειξη. Που δεν λέει τίποτα άλλο παρά το εξής. Ότι αν έχω μια τυχαία μεταβλητή ψ η οποία έχει μια θεστηστική αυτήν εδώ πέρα. Την fψ. Άμα πάρω uniform τυχαία οδύγμα x1, x2, xn από 0 έως 1. Και θα τοποθετήσω επάνω εδώ και κινηθώ αντίστροφα. Οι τιμές που θα πάρω θα είναι της fψ κατανομής. Με λίγα λόγια και παραδειγματικά να το πούμε τώρα. Αν υποθέσουμε ότι έχω εγώ τυχαίως αριχμούς x1, x2, xn. Αυτές είναι οι τελευταίοι που ανήκουν στη uniform από 0 έως 1. Και θέλω να τους μετασχηματίσω σε μία άλλη κατανομή εξητικής μορπής. Ποια? Ας πούμε στην fτ, μιας άλλης η οποία ισούται με 1 μιονέ ή στη μιον λαμδα τ. Αυτήν νομίζω την έχουμε δει σαν εξητικής μορφής, η οποία μοιάζει με εκείνη εκεί πέρα. Αν υποθέσω εγώ θέλω αντί για x1, x2, xn που πήρα να το σου μετασχηματίσω και να πάρω τf1, τf2, τf1 τυχαίως αριχμούς της εξητικής μορφής, όχι uniform. Τι θα κάνω, μπορώ να βάλω εκεί πέρα ότι έχουμε να λύσουμε αντίστροφα ως προς το τ, εδώ να βάλουμε το x1 για παράδειγμα και να πούμε ότι αυτό ισούται με 1 μιονέ ή στη μιον λαμδα επί τf1 και να λύσουμε ως προς τf1. Δηλαδή το x1 το βάζουμε επάνω στο πεδίο τιμών της αθρηστικής όπως είδαμε και θέλουμε αντίστροφα να λύσουμε ως προς τf1. Δηλαδή αυτό το ψ1, ή ψ1 μπορεί να πουν, αυτή τη γύληση που κάναμε εδώ αντίστροφα, την κάνουμε και από εδώ. Αν υποθέσουμε ότι το τ θα ακολουθεί αθρηστική αυτής της μορφής, 1 μιονέ ή στη μιον λαμδα επί τf και θέλουμε να πάρουμε τυχαίως αριθμούς τf1 και τf2 που παρουσιάζουν τυχαίως χρόνους λειτουργίας μιας μηχανής. Πέραμε το πρώτο τυχαίο, το βάζουμε εδώ πέρα, όπως δηλαδή είδαμε εκεί πέρα στη γραφική παράθαση και κινούμαστε αντίστροφα. Έχουμε από εδώ αν κινηθούμε αντίστροφα 1 μιον x1, αυτό ισούται με 1 μιον λαμδα τf1 και αν πάρουμε λογάριθμο έχουμε λογάριθμο του 1 μιον x1 αυτό ισούται με μιον λαμδα τf1 και μετά έχουμε μιον 1 προς λαμδα επί λογάριθμο του 1 μιον x1 ισούται με τf1. Δηλαδή αυτή την γίνηση που έκανα για να πάρω το ψ1, εντάξει εκεί το έχουμε βάλει ταχα την γιαψή, δεν πειράζει. Πήραμε λοιπόν το τf1, στη συνέχεια μπορούμε να πάρουμε το τ2 και ούτω κατεξής. Λοιπόν αυτή είναι η διαδικασία με την οποία ο υπολογιστής δίνει η uniform τυχαίο δείγμα από το 0 μέχρι του 1 και αυτή είναι η διαδικασία η γραφική παράσταση και εδώ είναι το θεόρημα και εδώ είναι ένα παράδειγμα όπου θέλω τους τυχαίους αριθμούς να αφήσω μετασχηματίσου σε τυχαίους αριθμούς μιας άλλης κατανομής. Αυτή είναι η συγκεκριμένης κατανομής που είναι μιας εκδικτικής κατανομής που είχαμε δει παραδειγματικά σε προηγούμενα παραδείγματα. Υπάρχει και μια πορεία. Είναι πολύ χρήσιμη αυτή η τεχνική στην προσομοίωση όπως θα δείτε σε λίγο αργότερα στα επόμενα μαθήματα κτλ. Ποια είναι η πιθανότητα τυχαία μεταβλητή του που παίρνει τη μέση ομοιόμεθο από το 1 να είναι μικρότερον του ευθύ. Το ευθύ δεν είναι μία τιμή μεταξύ 0 και 1. Ωραία. Ποια είναι η πιθανότητα μια uniform να πάρει τιμές μεταξύ α και β ήταν χ-α προς β-α σύμφερα με τον ορισμό. Τα α και β είναι τα 0 και 1 οπότε καταλήγουμε στο ευθύ. Να μην μείνουμε περισσότερο στην απόδειξη να προχωρήσουμε λίγο παρακάτω δουλέψτε το λίγο πάλι και αν έχετε πορείς το ξανασυζητάμε. Να πούμε ένα απλό παράδειγμα και να κλείσουμε με την ομοιόμορφη. Ας πούμε σε ένα σταθμό τα τρένα φεύγουν αναμισή ώρα. Ένας ταξιδιώτης πλησιάζει τυχαία στο σταθμό. Ποια είναι η πιθανότητα να περιμένει λιγότερο από 20 λεπτά. Για πες τη μου ποια είναι η πιθανότητα να περιμένει λιγότερο από 20 λεπτά. Δεν έχεις ταξιδέψει με το τρένο εσύ? Όχι ε, έχεις το γεωταχείρι. Δεν μπορείτε να το λύσετε αυτό. Ποια είναι η πιθανότητα να περιμένει λιγότερο από 20 λεπτά. Κάθε μισή ώρα φεύγει τρένο. Ένας ταξιδιώτης πλησιάζει στο σταθμό για να πάρει το τρένο. Ποια είναι η πιθανότητα να περιμένει λιγότερο από 20 λεπτά. Λέγει πίσω. Έχεις τύκουσες τυχαία το χέρι σου επάνω. Ο χρόνος αναμονής του ταξιδιώτη είναι uniform από 0 μέχρι 30. Άρα λοιπόν ο χρόνος αναμονής του ταξιδιώτη θα είναι από 0 μέχρι 30. Ο χρόνος αναμονής. Αυτή είναι η συνάρτηση πιθανότητας. Θα περιμένει λιγότερο από 20 λεπτά. Πιθανότητα ο χρόνος θα περιμένει να είναι μικρότερο σε 20 από 20 λεπτά. Ίσως με 20 μειών το α που είναι το μηδέν. Προς βίτα μειών α, 30 μειών μηδέν, ίσον δύο τρίτα. Ο χρόνος χει αναμονής ακολουθεί uniform από 0 μέχρι 30. Αυτό πώς το καταλαβαίνω. Από το πρόβλημά μου το καταλαβαίνω. Ο ταξιδιώτης θα περιμένει από 0 μέχρι το πολύ 30 λεπτά ανάλογα. Οπότε θα έρθει στο σταθμό. Γιατί λέμε τυχαία πλησιάζει στον σταθμό. Δεν θα μείνουμε άλλο στη uniform. Έχουμε κάνει παραδείγματα. Θα μπορούσαμε να αναφέρομαι. Υπάρχουν και στο βιβλίο ακόμα περισσότερα για να προχωρήσουμε στην εκθετική κατανομή. Άλλη μια πολύ σπουδαία κατανομή και χρήσιμη στους μηχανικούς είναι η εκθετική. Έχουμε κάνει παραδείγματα με την εκθετική. Μόλις αναφέραμε εκεί την αθληστική μιας εκθετικής. Θα την εξεγήσουμε πιο μεθοδικά τώρα και πώς δημιουργήθηκε η εκθετική κατανομή. Προέρχεται από την Πουασόν. Γεννιέται δηλαδή από την Πουασόν κατανομή όπου η Πουασόν ήταν μια διακριτή τυχαία μεταβλητή η οποία παρίστανε τον αριθμό γεγονό των Άλθα πάνω στον χρόνο ή επιφάνεια κτλ. Πάμε λοιπόν στην εκθετική κατανομή. Μια τυχαία μεταβλητή χ παριστάνει κρόνο ανάμεσα σε δύο διαδοχικά γεγονότα. Άλθα της Πουασόν. Δηλαδή αν εδώ είναι ο χρόνος και έχουμε κάποια γεγονότα της Πουασόν που συμβαίνουν εδώ. Άλθα ή πιο κοντά ή εκεί πέρα τυχαία συμβαίνουν γεγονότα Άλθα στον χρόνο τα οποία ακολουθούν Πουασόν κατανομή. Όπως είχαμε δει και είχαμε μιλήσει στο προηγούμενο μάθημα. Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικά γεγονότα, άρα αυτός ο χρόνος ας τον παραστήσουμε τώρα μετά. Εδώ πέρα παίρνει μια τιμή. Ο χρόνος εδώ πέρα ανάμεσα διαδοχικά είναι μικρότερος, εκεί πέρα είναι πιο μικρός, εκεί πιο μεγάλος και τα λοιπά. Ο χρόνος λοιπόν ανάμεσα, ή μάλλον ας το ονομάσουμε με χ, εδώ πέρα συγγνώμη, γιατί την τυχαία μεταβλητή την ορίζουμε χ, για να μην περδέψουμε τους συμβολισμούς ας το ονομάσουμε χ. Ο χρόνος λοιπόν χ, ανάμεσα σε δύο διαδοχικά γεγονότα της Πουασόν, είναι η τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί εκθετική κατανομή. Και θα αποδείξουμε γιατί ακολουθεί εκθετική κατανομή. Για να αποδείξουμε ποια είναι η συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας της χ, θα πρέπει να παραγωγήσουμε την αφριστική της χ, πρέπει να την παραγωγήσουμε. Άρα η αφριστική της χ, ισούται με την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει τιμές μικρότερης ιστοχής του χ μικρό, αν θυμηθείτε λίγο τον ορισμό, και αυτό ισούται ισοδύναμα με ένα μειό την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή χ να πάρει τιμές με καλύτερη ιστοχή μικρό. Παραλαμβάνω, για να βρω την συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας της χ πρέπει να παραγωγήσουμε την αφριστική της. Η αφριστική της όμως εξορισμού είναι η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει μία τιμή μικρότερη του χ μικρό, αυτό ισοδύναμα ισούται με ένα μειό την πιθανότητα το συμπληρωμανικού γεγονότος που είναι το χ να είναι μεγαλύτερο του χ μικρό. Και έρχομαι εδώ στο πρόβλημά μου. Αφού η τυχαία μεταβλητή παρουστάει τον χρόνο ανάμεσα στη δειοδοχή κάποια γεγονότα, σε αυτή την περίπτωση εδώ πέρα, πιάνει πιθανότητα ο χρόνος να είναι μεγαλύτερος του χ μικρό. Αυτό είναι ισοδύναμα με το γεγονός ότι στο διάστημα χ μικρό δεν θα συμβεί κανένα γεγονός άλλο της που ασών. Διότι αν συνέβαινε, θα συνέβαινε κάπου εδώ μέσα και ο χρόνος θα ήταν μικρότερος του χ μικρό και όχι μεγαλύτερος. Αυτό είναι ισοδύναμα γεγονός ότι μέσα στο χρονικό διάστημα χ μικρό δεν θα συμβεί ή θα συμβούν μηδέν γεγονότα της που ασών. Αυτό δίπω της που ασών αυτό ισούται με η στιγμή λαμδα χ. Η στιγμή λαμδα χ είναι προέρχεται από το δίπω της που ασών που παριστάνει την πιθανότητα ότι στο χρονικό διάστημα χ μικρό θα συμβούν μηδέν γεγονότα α. Αν θυμάστε ήταν η στιγμή λαμδα χ επί λαμδα χ, η στιγμή λαμδα χ επί τάφ, επί λαμδα τάφ, η στιγμή χ μικρό δια χ παραγωνικό. Αλλά το χ που παρίσταλε εκεί πέρα το χ παρίσταλε στην ποασόν αριθμό γεγονότων α. Και επειδή πρόκειται για μηδέν το κλάζμα είναι η μονάδα και με ένα αεισθημίον λαμδα τάφ. Αλλά το τάφ εκείνο της ποασόν ανησυχεί στο χρονικό διάστημα που συμβολίζουμε εδώ με χ μικρό. Άρα λοιπόν είναι αεισθημίον λαμδα χ. Άρα αυτό ισούται με ένα αεισθημίον λαμδα χ είναι η αφριστική. Και από εδώ συνεπάγεται ότι η συνάντηση πυκνότητας πιθανότητας είναι η παράγωγος που είναι λαμδα επί αεισθημίον λαμδα χ. Άρα λοιπόν αυτή είναι η συνάντηση πυκνότητας πιθανότητας του χ χ που παραστάλλει χ ανάμεσα σε δύο δεδοχικά γεγονότα της ποασόν. Και η αφριστική βέβαια την έχουμε πει ότι ισούται με ένα αεισθημίον λαμδα χ. Και αν θέλουμε την πιθανότητα ο χρόνος να ξεπεράσει το χ μικρό αυτό ισούται με αεισθημίον λαμδα χ. Και βέβαια η μορφή αυτής της συνάντησης πυκνότητας πιθανότητας την έχουμε δει επανειλημμένα. Η ευχή είναι αυτή εδώ της δικής μορφής ασυμπτωτικά τείνει να πέσει επάνω στο γράξονα χ και για χ μηδέν το ευχή για χ μηδέν μου δίνει την τιμή λαμδα. Δηλαδή είναι εδώ το ευχή ισούται με λαμδα επί αεισθημίον λαμδα χ. Και αν θεμάστε βρήκαμε και τη μέση τιμή της χ στα παραδείγματα που ισούται με ένα προς λαμδα και βρήκαμε μάλιστα και την διακύμανση εφαρμόζοντας τον ορισμό και κάνοντας πράξεις. Αν θέλετε πάλι ξανακάνετε λίγο τις πράξεις για εξάσκηση και θυμηθείτε τα όσα είχαμε πει και η δική μας είναι ένα προς λαμδα στο ετράγωνο. Αυτές οι αποδείξεις υπάρχουν εκεί που ορίσαμε τυχαία συνταβλητές και συναρτήσεις τα είχαμε κάνει παραδειγματικά αυτά και μπορείτε να το δείτε. Και να πούμε ένα παράδειγμα εδώ. Σε μία σεισμογενή περιοχή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στα προβλήματα που χρησιμοποιήσαμε που ασών μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και εκδική ή και αντιδίστροπα αυτά συνεργάζονται. Για αυτό ας κάνουμε ένα παράδειγμα λίγο που είχαμε πει στην ποσοκατανομή ότι σε μία σεισμογενή περιοχή σε 125 χρόνια γίνανε 16 σεισμοί. 16 σεισμοί στις 125 χρόνια. Άρα η μέση συχνότητα, ο μέσος αριθμός σεισμών αναχρόνων είναι 16 προς 125 και αυτό ισούται με 0,128 σεισμοί αναχρόνων. Άρα λοιπόν σε μία σεισμογενή περιοχή παρατηρήσαμε ότι στα 125 χρόνια γίνανε 16 ισχυροί σεισμοί. Άρα το λ δηλαδή η μέση συχνότητα αυτών των γεγονότων είναι 0,128. Υποθέτουμε ότι οι σεισμοί ακολουθούν ποσοκατανομή. Ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί ένας τέτοιος σεισμός στα επόμενα δύο χρόνια. Πριν πας στο 0,200 να ορίσεις πρώτα την τυχαία σου λιταβλητή. Αν θέλεις να εργαστείς με εκτετική. Το είχαμε λύσει αυτό με Πουασόν και είχαμε πει, αν χ παριστάνει τον αριθμό των σεισμών στον χρονικό διάστημα, θα πρέπει το χ σε διάστημα δύο ετών να πάρει τιμές μεγαλύτερες από το 0. 1,2,3 να συμβούν στα δύο χρόνια να συμβεί ένας σεισμός ή και περισσότεροι. Τώρα θα το λύσουμε με εκτετική. Το χ παριστάνει χρόνο μέχρι τον επόμενο σεισμό. Γιατί στην εκτετική το χ παριστάνει χρόνο μέχρι τον αμέσως επόμενο γεγονός α ή μέχρι τον αμέσως επόμενο σεισμό. Άρα η πόσο θέλουμε στα επόμενα δύο χρόνια να συμβεί σεισμός, σημαίνει ότι ο χρόνος μέχρι τον επόμενο σεισμό να είναι μικρότερος από δύο χρόνια. Δηλαδή, αν χ είναι η τυχαία μεταβλητή που παριστάνει το χρόνο ανάμεσα σε σεισμός, θέλουμε αυτός ο χρόνος να είναι μικρότερος ή ίσως από δύο χρόνια. Αν δηλαδή ο χρόνος μέχρι τον επόμενο σεισμό είναι μικρότερος από δύο, αυτό σημαίνει ότι πριν από δύο χρόνια θα συμβεί σεισμός. Μπορεί όμως να συμβεί κι άλλο συνέχεια. Δηλαδή, αν το χ αυτό πάρει τιμή ενάμιση χρόνο και στο ενάμιση χρόνο συμβεί σεισμός, μπορεί να ακολουθήσουν κι άλλοι από το ενάμιση μέχρι το δύο. Εμπάσεις περιπτώσει όμως, μέσα στα δύο χρόνια θα συμβεί σεισμός. Αυτό δεν σημαίνει βέβαια ότι θα συμβεί μόνο ένας μπροστιφός κι άλλος. Άρα αυτή η πιθανότητα είναι μικρό τρίσιν του δύο, και ίσουτε με ένα μιον έι στην μιον λάμδα, που είναι το μηδέν εκατόν εικοσιοκτώ, το χ μικρό είναι αυτό εδώ, το οποίο είναι επί δύο. Κι αν κάνουμε πράξη εδώ πέρα, η πιθανότητα αυτή είναι μηδέν 226. Θα μπορούσαμε βέβαια να το λύσουμε και με πουασόν, όπως είπαμε. Ποια είναι η πιθανότητα στην πουασόν, στη χέρι της μεταβιουλτή, με δίχτυ τα αφήσον 2 στα δύο χρόνια, αυτό να πάρει τιμές μεγαλύτερο ίσον του 1. Κι αυτό ίσοτε με 1 μειών την πιθανότητα αυτή η πουασόν, το συμπληρωματικό αυτινού, είναι να πάρει την τιμή μηδέν, 1 μειών την τιμή μηδέν. Κι αυτό ίσοτε με 1 μειών από την πουασόν, αυτό ίσοτε με 1 εις τη μειών λαμδα επί 2 που είναι το τας, επί λαμδα επί 2 εις τη μηδενική, προς μηδέν φεραγοντικό. Αλλά αυτό ίσοτε εξορισμού με την μονάδα. Άρα ίσοτε με 1 μειων εις τη μειών λαμδα 2. Το ίδιο βρίσκουμε και εδώ, γιατί το λαμδα είναι 0,28. Άρα λοιπόν, έχετε υπόψη σας σε αυτό εδώ το παράδειγμα, ότι τόση πουασόν όσο και εκδητική μπορούν να συνεργαστούν, να το λύσουμε είτε με εκδητική είτε με πουασόν, αλλάζοντας την τυχαία μεταβλητή της εκδητικής, την κάνουμε πουασόν ή και το αντίστροφο. Και να πούμε, όσο χρονικό διάστημα μας μένει, για την βασική ιδιότητα της εκδητικής. Γιατί υποθέσαμε ότι τα γεγονότητα των σεισμών συμβαίνουν με πουασόν και δικασία. Είναι η βασική προϋπόθεση. Άρα ο χρόνος μεταξύ σεισμών ακολουθεί εκδητική κατανομή. Είναι η συμβιδενική διαμηδέν παραγωτικό και αυτό αισθάνεται με τη μονάδα. Λοιπόν, έχουμε έλλειψη μνήμης, ιδιότητα. Είδατε, είχαμε πει το προηγούμενο παράδειγμα και κανένα δεν το παρατήρησε αυτό. Ότι το χ παριστάνει χρόνο ανάμεσα σε δύο δεδοχικούς σεισμούς. Το παράδειγμα. Η ανάμεσα σε δεδοχικό γεγονό του α. Στο παράδειγμά μας, η χ παριστάνει χρόνο ανάμεσα σε δεδοχικούς σεισμούς. Εδώ πέρα είπα ποιά επιθανότητα πριν από τα δύο χρόνια να συμβεί σεισμός. Ποιά επιθανότητα ο χρόνος μέχρι τον επόμενο σεισμό να είναι μικρότερο από το δύο. Ίσως μπορούσε κάποιος να ρωτήσει τι δεν έγινε τώρα ένας σεισμός. Και λέω ποιά επιθανότητα ανάμεσα σε δύο δεδοχικούς να είναι μικρότερο από το δύο. Καταλάβα τι λέω. Εγώ ρώτησα ποιά επιθανότητα να έχουν σεισμό πριν από τα δύο χρόνια. Αλλά ο τελευταίος σεισμός μπορεί να γίνει πολύ πιο μπροστά. Δεν έγινε τώρα ένας σεισμός και ρωτώ ποιά επιθανότητα ανάμεσα στους δύο δεδοχικούς σεισμούς και τον επόμενο να είναι μικρότερο από το δύο. Άρα μπορεί κάποιος να πει αυτό είναι λάθος που γράφω. Δεν ζητάω ποιά επιθανότητα. Το ίδιο βγαίνει αλλά τώρα θα το αποδείξουμε. Η τυχαία μεταβλητή εκδηλυτής κατανομής έχει έλλειψη μνήμης. Δεν θυμάται πόσος χρόνος πέρασε από τον προηγούμενο σεισμό που έγινε. Ή τώρα έγινε ο προηγούμενος σεισμός ή πιο πριν πάλι την ίδια ξύση θα είναι. Και αυτό βασιίζεται στην έλλειψη μνήμης. Δηλαδή η πιθανότητα τυχαία μεταβλητή να πάρει μία τιμή μεγαλύτερη του τάφ. Συν Ζ, δεδομένου ότι το Χ είναι μεγαλύτερο από το Ζ, αυτό έσχονται με πιθανότητα το Χ να είναι μεγαλύτερον του τάφ. Αν παρήλθε χρόνος Ζ, χωρίς να συμβεί το γεγονός Ά, αυτή η πληροφορία, αν έχω αυτή την πληροφορία ότι παρήλθε χρόνο Ζ, χωρίς να συμβεί το γεγονός Ά, ποια είναι η πιθανότητα ο συνολικός χρόνος μέχρι το επόμενο γεγονός Ά να είναι μεγαλύτερος από το τάφ συν Ζ. Αυτή η σούτημη πιθανότητα ο χρόνος να είναι μεγαλύτερος του τάφ. Είναι κάτι παρόμοιο που είχαμε κάνει παραδειγματικά. Δηλαδή, αν υποθέσουμε ότι χει τυχαία μεταβλητή, η οποία παριστάνει το χρόνο καλής λειτουργίας ενός συστήματος. Εάν το σύστημα παθαίνει μπλάβες τυχαία, όχι από τη χρήση του, αλλά τυχαία, κάποια τυχαία γεγονότα το καταστρέφουν. Μια αφιωμηνία, μια αστραπή, μια νεροποντή, έναν σεισμό σε έναν στυφώνας, το καταστρέφει. Τους συμβαίνουν τυχαία μέσα στον χρόνο και ακολουθούν ποσόν κατανομή. Ποια είναι η πιθανότητα, αν παρίχνει χρόνος Z, χωρίς να καταστραφεί, ποια είναι η πιθανότητα συνολικά να περάσει χρόνος T, χωρίς να καταστραφεί. Δηλαδή, ποια είναι η πιθανότητα ο συνολικός χρόνος μέχρι να φανεί αυτή η αφιωμηνία, να είναι μεγαλύτερο του T στην Z, δεδομένο ότι μέχρι στιγμής παρίλθε χρόνο Z. Δηλαδή, παρίλθαν 10 χρόνια μέχρι στιγμής, χωρίς να καταστραφεί. Και άλλη πιθανότητα, να περάσουν άλλα 20 χρόνια χωρίς να καταστραφεί. Η πιθανότητα είναι πέχει μεγαλύτερον ίδιον του A-C. Δεν τον ενδιαφέρει πόσα χρόνια παρίλθανε μέχρι τώρα. Δεν θυμάται δηλαδή πόσα χρόνια παρίλθανε μέχρι τώρα. Και κατ' όλα παρίλθανε μέχρι τώρα, η πιθανότητα να πάει άλλα 20 χρόνια θα είναι η πιθανότητα X μεγαλύτερον ίδιον του 20. Και αυτό συμβαίνει και με τις μηχανές, οι οποίες δεν θύλονται με τη χρήση τους. Ο χρόνος καλής λειτουργίας ακολουθεί εκθετική κατανομή. Αν οι μηχανές αυτές χαλάνε από τυχαία γεγονότα που την καταστρέφουν, τότε ο χρόνος καλής λειτουργίας ακολουθεί εκθετική κατανομή. Αν όμως η μηχανή, μια diesel μηχανή η οποία φύρεται με τη χρήση της, τότε ο χρόνος καλής λειτουργίας δεν ακολουθεί εκθετική κατανομή. Γιατί όπως ξέρετε στην diesel, η πιθανότητα να δουλέψει στο μέλλον εξαρτάται και από την παλαιότητά της, εξαρτάται και από πόσα χρόνια έχουν περάσει που δουλεύει χωρίς να καταστραφεί, χωρίς να χαλάσει. Η πιθανότητα λοιπόν να διαρκέσει περισσότερο χρόνο εξαρτάται από την παλαιότητα και μικρένει όταν παρίλθαν περισσότερα χρόνια λειτουργίας. Τώρα αυτή η απόδειξη εδώ πέρα είναι εύκολο, είναι υπό συνθήκη πιθανότητα. Αν πάρει το κλάζνα πιθανότητα αυτό το μη σε κοινού, προς την πιθανότητα αυτήνου, αν εφαρμόσετε αυτός το τύπος, οδηγήστε στο A στιμίον λαμπατάχου που είναι πέχει η μεγαλύτερη ορίστα του τά. Και το παράδειγμα αυτό εδώ πέρα είναι η περίοδος επαναφοράς των σεισμών, δεν ξεχάσαμε να πούμε. Όταν η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί εκδητική κατανομή, η περίοδος επαναφοράς του γεγονότος του σεισμού είναι η μέση τιμή της χ, και η μέση τιμή της χ σύμφωνα με αυτά τα δεδομένα είναι το 1 προς λ, το οποίο είναι το 1 προς 0,128, περίπου δηλαδή είναι 8 με 9 χρόνια η περίοδος επαναφοράς του σεισμού. Και κλείνοντας θέλω να πω ότι η γεωμετρική μοιάζει με την εκδητική. Η γεωμετρική παρίστανε αριθμό δοκιμών ανάμεσα σε δύο ιδοδοχικά γεγονότα α, που γινόταν με διαδικασία περνούλη, ενώ η ευθυντική παριστάνει τον χρόνο και όχι δοκιμές ανάμεσα σε δύο ιδοδοχικά γεγονότα α. Αυτή είναι η διαφορά τους. Λοιπόν, θα συνεχίσουμε την επόμενη ώρα με την κανονική κατανομή. Υπάρχουν και άλλες κατανομές μέσα στο βιβλίο που μπορείτε να τις βρείτε και όσους χρόνος μένει θα ασχοληθούμε με κάποια προβλήματα από το τεστ που σας έχω δώσει. Λοιπόν, παιδιά, τώρα θα μιλήσουμε για ίσως η πιο χρήσιμη κατανομή είναι η κανονική κατανομή από όλες τις κατανομές. Η κανονική είναι η πιο χρήσιμη γιατί όταν ο μηχανικός έχει μία τυχαία μεταβλητή, και δεν μπορεί να καταλάβει ποιας κατανομής είναι, τότε μπορεί να υποθέσει ότι η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί κανονική κατανομή, γιατί, λογικά, όπως δείχνει και το σχήμα της, της συνάντησης πυκνότητας πιθανότητας, δίνει μεγαλύτερη συχνότητα προς το κέντρο των τιμών ή τη διάμυσο που παίρνει η τυχαία μεταβλητή. Και αυτό είναι λογικό και συμβαίνει στις περισσότερες τυχαίες μεταβλητές. Να παίρνουν τιμές με μεγαλύτερη συχνότητα προς το κέντρο ή τη διάμυσο ή την επικρατέρτερη τιμή της τυχαίας μεταβλητής οι δε τιμές προς τα άγχρα, αριστερά ή δεξιά, να είναι με μικρότερη συχνότητα. Αυτό είναι το λογικότερο στις περισσότερες τυχαίες μεταβλητές. Γι' αυτό ο μηχανικός, όταν η τυχαία του μεταβλητή δεν είναι σίγουρος αν ακολουθεί εκτετική ή ομοιόμορφη ή οτιδήποτε άλλο, μπορεί να υποθέσει ότι η τυχαία του μεταβλητή ακολουθεί την κανονική κατανομή ή γκάος και συμβολίζεται με ν, νορμάδ δηλαδή, κανονική. Το μ είναι η μέση στη μη και το σίγμα τετράγωνο είναι η ιδιακή μανσή της και ρυθμίζει το έυρος της κατανομής. Βέβαια θεωρητικά παίρνει τη μέση από το ν άπειρο μέχρι το σι άπειρο θεωρητικά. Στην πράξη όμως, στην πράξη πρακτικά ένα πολύ μεγάλο κομμάτι της κατανομής είναι μεταξύ πλιν τέσσερα σίγμα και συν τέσσερα σίγμα από τη μέση στη μη. Και πιο μεθοδικά η συνάθηση πυκνότητας πιθανότητας εισούνται με ένα προς ρίζα δύο π σίγμα επί ευθυμείων εν δεύτερον χ μι μή στο τετράγωνο δια σίγμα στο τετράγωνο. Αυτή είναι η συνάθηση πυκνότητας πιθανότητας, σε οποία στο σχήμα είναι κάτι σαν καμπάνα, είναι συμμετική, είναι στη μη η διάμεσα και η επικρατέστητη μη είναι στο ίδιο σημείο. Και έχει δύο παραμέτρους βέβαια, όπως βλέπετε, η συνάθηση πυκνότητας πιθανότητας, το μη και το σίγμα, τα οποία αποδεικνύονται, αν επαρμόσουμε τον ορισμό, ότι είναι η μέση στη μη και η διακύμανση. Δηλαδή, η μέση στη μη της στοιχειά ανταβλητής χ είναι, αν ολοκληρώσουμε από μίον άπειρο μέχρι συνάπειρον, την χ δε χ, όπου εύχει, για να μην το ξαναγράφω, είναι αυτή η μορφή, αυτό μετά από πράξεις οδηγεί ότι ίσουτε με το μη. Δηλαδή, αυτό το μη, αυτή η παράμετρος εδώ, είναι η μέση στη μη της στοιχειά ανταβλητής χ. Και η διακύμανση της χ είναι, θα πάρω το ορισμό, τη μέση τη μη της χ δε τράγωνο, μίον το μη στο ετράγωνο, και εδώ πέρα θα κάνουμε πράξεις ολοκληρώσουμε από το μίον άπειρο μέχρι το συνάπειρον. Το χ δε τράγωνο είναι π.χ, δε χ, ύστερα από εύκολα σχεδόν πράξεις καταλήγουμε ότι αυτό ίσουτε τελικά με σίγμα δε τράγωνο. Αν γίνω κάποιες πράξεις εκεί πέρα και ολοκληρώσουμε από το μίον άπειρο μέχρι το συνάπειρο, γιατί θεωρητικά η κοινωνική παραγωγική κατανομή παίρνει τη μέση από το μίον άπειρο μέχρι το συνάπειρο. Βέβαια στην πράξη το 99% παίρνει τιμές αν αυτή εδώ πέρα είναι η καμπάνα μιας κανονικής κατανομής, εδώ είναι το μη κάπου εδώ ας το πούμε είναι το μη συν τέσσερα σίγμα. Και εδώ είναι το μη μίον τέσσερα σίγμα. Δηλαδή ένα πολύ μεγάλο κομμάτι 99% και παραπάρω και περισσότερο μεταξύ μη πλυν τέσσερα σίγμα και μη συν τέσσερα σίγμα. Όταν ο μηχανικός επιλέγει ότι στο πρόβλημά του η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί κανονική κατανομή θα πρέπει να προσέξει τη μέση, τη μή και την τυπική απόκληση έτσι ώστε αν το μέγεθος παίρνει θετικές τιμές το μη πλυν τέσσερα σίγμα να είναι πάνω από το μηδέν. Διότι αν το μη πλυν τέσσερα σίγμα είναι κάτω από το μηδέν είναι κοντά στο μήον πέντε τότε σημαίνει ότι το μέγεθος αυτό εντέχει να παίρνει και ανητικές τιμές. Αλλά αν το μέγεθος παριστάνει και βάρος δεν μπορεί να παίρνει ανητικές τιμές. Άρα δεν μπορεί να υποθέσει ότι το μέγεθος αυτό ακολουθεί κανονική κατανομή με αυτή τη μέση τη μή και με αυτή την τυπική απόκληση όπου το μη πλυν τέσσερα σίγμα βρίσκεται αρκετά κάτω από το μηδέν. Βρίσκεται στους αρνητικούς αριθμούς. Γιατί το μέγεθος του από τη φύση του δεν παίρνει ανητικές τιμές. Άρα λοιπόν πρέπει να προσέξει όταν το μέγεθος του παίρνει θετικές τιμές όπως η αντοχή, η καθήλυση, η ταχύτητα κτλ. Θα πρέπει αν υποθέσει αυτό το μέγεθος ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τη μή και το σίγμα, κάποιο μή και κάποιο σίγμα, θα πρέπει να ελέγχεται το κατώτερο όριο να μην βρίσκεται κάτω από το μηδέν. Διότι αν βρίσκεται κάτω από το μηδέν τότε πρέπει να ακολουθήσει να βρει μια άλλη κατανομή για την ηχεία του μεταβητή. Αυτό είναι μια παρατήρηση. Υπάρχουν κάποιες ιδιότητες σχετικά με την καμπάνα ότι σε απόσταση μη πλήν σίγμα ή μη συνσίγμα η καμπάνα παίρνει μία άλλη μορφή και ούτω κατεξής. Μέσα στο βιβλίο μπορείτε να δείτε κάποιες ιδιότητες. Το κυριότερο μέρος της μαζας βρίσκεται στο μη πλήν σίγμα και στο μη συνσίγμα, κάπου 85%. Και μετά το υπόλοιπο μικρό το κομμάτι μοιράζεται στο υπόλοιπο πεδίο θυμών από το μη πλήν τέσσερα σίγμα μέχρι το μη συντέσσερα σίγμα πρακτικά. Αυτή είναι η κανονική κατανομή. Τώρα η γέννησή της θεωρητικά λέμε ότι ένα τυχαίο μέγεθος θεωρητικά μπορεί να ακολουθεί κανονική κατανομή, αν το μέγεθος αυτό εξαρτάται από πολλούς άλλους παράγοντες στοιχείας συνταβλητής, οι οποίες ακολουθούν διάφορες κατανομές, πριγονική, ασύμητρη κτλ. Αν ένα μέγεθος, λοιπόν, εξαρτάται από πολλές άλλες τυχαίες συνταβλητές ή ας δίποτε κατανομής, πολλές, πάρα πολλές, τότε το μέγεθος αυτό μπορούμε να υποθέσουμε ότι ακολουθεί κανονική κατανομή. Παραδείγμα του χάριν, η ποιότητα παραγωγής ένα προϊόν σε μία βιομηχανία, η ποιότητα είναι τυχαίο μέγεθος που παίρνει κάποια στιγμές σε μπάση περιπτώση, η ποιότητα όμως παραγωγής μία βιομηχανία εξαρτάται από πολλούς άλλους παράγοντες, από πάρα πολλούς, θερμοκρασία, περιβάλλον, εργατικό, δραμικό, μηχανήματα, το ένα το άλλο, εξαρτάται από πολλούς άλλους παράγοντες. Άρα, η ποιότητα αν δημετράσει κάποια κλίμακα, μπορεί να υποθέσει ότι ακολουθεί κανονική κατανομή. Κι αν κάποιος παίξει λίγο με κάποιες γραφικές παραστάσεις, δηλαδή πάρει μία τριγωνική, μία ομοιόμορφη κτλ κτλ, τα δύο δει στο τέλος αυτές, αν πάρει πολλές τέτοιες, δίνουν ένα σχήμα καμπάνας. Αυτό έτσι πρακτικά και γραφικά. Εμάς στην περιπτώση, εμάς μας ενδιαφέρει περισσότερο, όταν το μέγεθος ακολουθεί κανονική κατανομή, ένα μέγεθος χ επαναλαμβάνω, το οποίο ακολουθεί κανονική κατανομή. Με μέση στιγμή το μή και διακύμαστε το σίγμα τετράγωνο, πιάει πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή χ να πάρει τιμές μικρότερες ή μεγαλύτερες από ένα όριο κτλ. Αυτό είναι η αφρηστυχή της δηλαδή, η οποία πρέπει δηλαδή να ολοκληρώσουμε από μίον άπειρον μέχρι χ την ίδιου παιγιού. Όπως κάραμε στις περισσότερες μέχρι τώρα τυχαίες μεταβλητές. Ολοκλήρωση όμως, το ολοκλήρωμα αυτό εδώ πέρα, το αναλυτικό ολοκλήρωμα αυτής της συνάρτησης δεν μπορούμε να το βρούμε όσο καλά και αν ξέρετε μποροκληρώμε. Δεν βρίσκεται ο τύπος αυτού του ολοκληρώματος. Για να αντικαταστήσουμε το χ μικρό, αυτό το ολοκλήρωμα το αναλυτικό στον τύπο και να πάρουμε την πιθανότητα. Δεν μπορούμε να το ολοκληρώσουμε. Έχουν γίνει αριθμητικές ολοκληρώσεις της τυπικής κανονικής κατανομής. Μιας τυχαίας μεταβλητής υποκολουθεί η κανονική κατανομή. Με μέση τιμή το μηδέν και διακύμανση το ένα. Και αυτές τις τιμές δίνονται στον πίνακα που υπάρχει σε κάθε βιβλίο της στατιστικής στο πίσω μέρος. Στο πίσω μέρος υπάρχει αυτός ο πίνακας ο οποίος μας δίνει αυτές τις πιθανότητες. Αλλά για να βρούμε αυτή την πιθανότητα όμως θα πρέπει να κάνουμε μετασχεματισμό σε τυπική κανονική κατανομή. Άρα δεν μπορούμε να ολοκληρώσουμε και τι κάνουμε. Αν θέλουμε την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει τιμές μικρός δεστοχή μικρό, θα έχουμε την πιθανότητα αν από το χει αφαιρέσουμε το μη. Και αφαιρέσουμε το σίγουρο που είναι μια παιδική ποσότητα. Η ανήσωση δεν αλλάζει. Είναι χει μικρό μειο μη δια σίγμα. Θέλουμε την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή που οπολοποιεί η κανονική κατανομή να πάρει τιμές μικρός δεστοχή μικρό. Αυτή η ανήσωτητα είναι η ίδια με αυτή την ανήσωτητα. Δεν αλλάζει. Γιατί τόσο στο ανηστερό μέρος όσο και στο δεξί αφαιρέσαμε την ίδια ποσότητα. Διαιρέσαμε με την ίδια θετική ποσότητα. Η ανήσωση δεν αλλάζει. Παραμένει όπως έχει. Παρατηρούμε όμως ότι αυτό εδώ το χει μειο μειο δια σίγμα είναι και υποποίηση της τυχαίας μεταβλητής χει. Και το ονομάζω Ζ. Κάποτε το ονομάζω με χι αστεράκι. Όταν αναφέραμε για την υποποίηση της τυχαίας μεταβλητής χει είχαμε πει, για να την υποποίησουμε μια τυχαία μεταβλητική χει, αφαιρούμε τη μέση τιμή και διαιρούμε με το σίγμα την τυπική επόκληση. Και το συμβολίζουμε με χι αστεράκι. Εδώ συγκεκριμένα το συμβολίζουμε με Ζ κεφαλαίο. Διεθνώς συμβολίζεται με Ζ κεφαλαίο. Τώρα, στο δεξί μέρος έχουμε από μια γνωστή τιμή χι μικρό, αφαιρούμε τη μέση τιμή που είναι το μι μικρό που είναι γνωστό και διαιρούμε το σίγμα που είναι γνωστό. Αυτό είναι μια τιμή γνωστή σε κάθε πόλημα, το οποίο συμβολίζουμε με Ζ κεφαλαίο. Δηλαδή, από εδώ τι έχουμε, έχουμε την αθρηστική μιας Ζ τυχαία συνταμπλητής, η οποία είναι την υποποίηση της κανονικής κατανομής στο Ζ μικρό. Το οποίο διεθνώς το συμβολίζουμε και με Φ ελληνικό στο Ζ μικρό. Ή αυτό συμβολίζει διεθνώς Φ του Ζ. Με λίγα λόγια, όταν θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα εντυχαία μεταβλητή υποκολουθή κανονική κατανομή, να πάρει τη μέση από το Ζ μικρό, μετά από αυτό το μετασχηματισμό που κάνω, μετασχηματίζω το πρόβλημα μια Ζ κατανομή, με την υποποίηση της Χ, δηλαδή είναι η Ζ, πρέπει να επιθυμίσω, ότι ακολουθεί κανονική κατανομή, αφού το κλάσμα έχει σαν στο φλαστικό παράγοντο το Χ που ακολουθεί κανονική κατανομή, το κλάσμα το Ζ δηλαδή ακολουθεί κανονική κατανομή. Και αν θυμάστε ποια είναι η μέση στιγμή μιας υποποίησης, το 0. Ποια είναι η διακύμανση της υποποίησης, το 1. Άρα το Ζ ακολουθεί κανονική κατανομή, με μέση στιγμή το 0, και διακύμανση ή τυπική απόκλειση το 1. Άρα το πρόβλημά μου, μιας τυχαίας μεταβλητής κανονικής κατανομής, να πάρει τιμές, η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει τιμές μικρό, είναι ισοδύναμο με την πιθανότητα η Ζ, τυπικής κανονικής κατανομής, να πάρει τιμές από το Ζ μικρό, που σε κάθε πρόβλημα είναι γνωστό. Δηλαδή το πρόβλημά μου μετασηματίζεται στην εχρηστική της Ζ, της τυπικής κανονικής κατανομής, που συμβολίζεται διεθνώς με Φ κεφαλαίο. Και αυτήν την τιμή Φ του Ζ δεν ολοκληρώνω για να την πάρω, γιατί πάλι το Ζ, η Ζ, είναι 1 προς 2π, το σίγμα είναι 1, ΕΠΙΕΣΤΗΜΙΩΝΕΝ ΔΕΦΤΕΡΩΝ, ΧΜΙΩΝΜΙΣΤΟ ΕΤΡΑΓΝΟ ΤΟ ΜΙΝΟ ΙΜΙΔΕΝ, ΧΔΕΤΡΑΓΝΟ, διασύγμα που είναι 1. Πάλι αυτή συνάρτηση στην τυπική κανονική κατανομή δεν ολοκληρώνεται, δεν μπορώ να πάρω το αναλυτικό ολοκλήρωμα, για να βρω την τιμή της πιθανότητας. Γι' αυτό καταφεύγουμε στο πίσω μέρος στο βιβλίο, σε κάθε στατιστικό βιβλίο, σε βιβλίο στατιστικής, υπάρχει ο πίνακας της τυπικής κανονικής κατανομής, τον οποίο θα χρησιμοποιείται από εδώ και πέρα και στη στατιστική συνέχεια. Δηλαδή, σου λέει για ποιον Ζ μικρό θέλεις την πιθανότητα, θέλω για 0,6. Η πιθανότητα γράφεται εδώ μέσα. Αυτή είναι η πιθανότητα. Αν το Ζ είναι 0,65, επειδή αυτή η στήλη του Ζ δεν έχει το δεκαδικό, θα πας κάπου εδώ, το 5 υποδεικνύει, αυτές τις στήλες υποδεικνύουν τα δεκαδικά του αριθμού Ζ. Αν είναι 0,65, θα έρθεις και θα πάρεις αυτή την πιθανότητα. Άρα λοιπόν, σε κάθε βιβλίο της στατιστικής, στο πίσω μέρος, υπάρχουν στατιστικοί πίνακες. Και συγκεκριμένα για την τυπική κανονική κατανομή, αυτές οι πιθανότητες σου δείχνουν την πιθανότητα ότι το Ζ θα πάρει τη μέση μικρότητα από το Ζ μικρό, το οποίο συμβολίζει και δεθνώς με φύτη του Ζ. Και αν ξέρεις το Ζ μικρό, παίρνεις τις πιθανότητες. Εδώ είναι το ακέραιο μέρος και το πρώτο δεκαδικό του Ζ, και αν έχει και η κατοστά του Ζ, θα πας στην ανάλογη στήλη. Έτσι χρησιμοποιούμε τις πίνακες, τις οποίες θα χρησιμοποιείτε και στη συνέχεια. Αλλά μπορούμε να τις χρησιμοποιήσουμε και αντίστροφα, δηλαδή, να ξέρουμε τη πιθανότητα και από εκεί να βρούμε το Ζ, και στη συνέχεια, επειδή το Ζ είναι Ι, Μ, Μ, Δ, Σ, να εκτιμήσουμε το Μ ή το Σ, που ενδεχομένως να μη γνωρίζουμε για την τυχαία μεταβλητή Χ. Μπορούμε να κάνουμε αμέσως ένα παράδειγμα. Γεια. Αυτός ο πίνακας είναι ο πίνακας της συστυπικής κανονικής κατανομής Ζ. Εδώ πέρα, στην πρώτη στήλη, είναι ο αριθμός Ζ. Το ακέραιο μέρος του και το δεκαδικό. Εάν το Ζ έχει και η κατοστά, όπως 0,65, δεν θα πας να πάρεις εδώ τη πιθανότητα, να της κάνεις πιθανότητα εδώ, αλλά θα προχωρήσεις στην αντίστοιχη στήλη 5 που υποδεικνύει το εκατοστό του αριθμού. Εντάξει. Τώρα να μην το ξαναπαναλάβω, έτσι. Δέσε τον πίνακα, υπάρχει στο πίσω μέρος του βιβλίου. Όπως και σε κάθε βιβλίο σατιστικής υπάρχουν οι σατιστικοί πίνακες που δίνονται στις πιθανότητες. Και είναι πολύ χρήσιμη ιδιαίτερα για την κανονική κατανομή και για τις άλλες που θα ακολουθήσετε με τον κ. Κογιουμτσή, όπου δεν είναι εύκολο να ανακληρώσετε και να υπολογίσετε από μόνη σας την πιθανότητα, γι' αυτό χρησιμοποιεί και την ζεθκατανομή. Και ας κάνουμε ένα απλό παράδειγμα για να δούμε πώς χρησιμοποιούμε τον πίνακα. Υπάρχουν και άλλες κατανομές, αλλά δεν θα αναπερθώμε. Μπορείτε να τις διαβάσετε. Τη φιλοσοφία τους την έχουμε δει με τις κυριότερες, γιατί μπορεί κάποιος να ασχοληθεί σε πολλά προβλήματα με διαφορετικές κατανομές. Δεν είναι δυνατό να μελετήσουμε όλες τις κατανομές. Ας δούμε ένα παράδειγμα που υπάρχει και στο βιβλίο. Υποθέτουμε ότι η διάρκεια μιας γέφυρας, η διάρκεια κατασκευής μιας γέφυρας, είναι στο χαστικό μέγεθος, το συμβολίζουμε με χ, και ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 180 ημέρες και μια διακύμανση ίσον 10 στο ετράγωνο. Δεν είναι την τυπική απόκλειση 10 ημέρες. Πιθανότητα ότι η γέφυρα θα τελειώσει μέσα σε 195 ημέρες. Ο χρόνος κατασκευής μιας γέφυρας είναι τυχαίο μέγεθος, μπορεί να τελειώσει σε συντομότερα ή αργότερα. Ο μέσος χρόνος κατασκευής είναι 180 ημέρες. Υπάρχει μια τυπική απόκλειση 10 ημερών. Ο χρόνος αυτός ακολουθεί κανονική κατανομή. Πιθανότητα να τελειώσει πριν από τις 195 ημέρες. Και πιθανότητα να τελειώσει πριν από τις 195 ημέρες είναι αυτή εδώ. Προφανώς είναι παραπάνω από περίπου 1% όπως φαίνεται και από το σχήμα. Δεν μπορούμε όμως να αλοκληρώσουμε για να πάρουμε αυτήν την πιθανότητα, γιατί η συνάρτηση της κανονικής κατανομής δεν αλοκληρώνεται εύκολο. Δεν μπορούμε πλέον να πάρουμε τον αναλυτικό ολοκλήρωμα. Και γι' αυτό, εάν θέλουμε την πιθανότητα, την τυχαία μεταβλητή, να πάρει τη μέση μικρότερη από τις 195, αυτό ισούται, όπως είπαμε, με φ, του 195 μειών τη μέση στιγμή που είναι το 180 και να διαιρέσουμε τη δική απόκλειση που είναι το 10. Και αυτό ισούται με φ, του 15 για 10 του 1,5. Άρα λοιπόν, θα πάμε εδώ στον πίνακα της 10 τα νομής, κάπου εδώ κάτω που γράφει το 1,5 και δίπλα εδώ δεν έχει καθοστά το 1,5, έχει μόνο ακέραιο και δεκαδικό. Εκεί αναγράφεται η πιθανότητα, η οποία προφανώς είναι 0,93. Αυτή η πιθανότητα λοιπόν, που παίρνουμε από τους αστισκούς πίνακες, είναι 0,9335. Με πιθανότητα λοιπόν 93 ή 94 κάπου πιθανότητα, ο χρόνος από περάττωσης της διέφυρας θα είναι μικρότερος από 195. Έτσι χρησιμοποιούμε τους πίνακες. Δεν ολοκληρώνομαι εδώ πέρα για να βρούμε την πιθανότητα του ευαδόνα αυτό. Παίρνουμε το φ, του 195 μειών 180 προς 10. Το ζ μικρό που βρίσκουμε εδώ είναι το 1,5. Ερχόμαστε στους πίνακες και βλέπουμε το ζ που έχει 1,5, έχει εδώ πέρα. Δεν έχει εκατοστά το 1,5, έχει ακέραιο και δεκαδικό. Υπάρχει καλή απορία σχετικά με την κανονική κατανομή, με την τυπική κανονική κατανομή. Η τυπική κανονική κατανομή ζ είναι κανονικής κατανομής καμπάνα, η οποία έχει μέση στη μη το μηδέν. Και η διακύμανση είναι το 1. Και το κακότερο όριο εδώ πέρα είναι περίπου μηδέν πριν τρία σίγμα, τέσσερα σίγμα. Είναι δηλαδή πρακτικά μέχρι το μειών τέσσερα. Και εδώ πρακτικά πάει μέχρι το τέσσερα. Βέβαια θεωρητικά συνεχίζεται μέχρι το πριν άπιρο μέχρι συνάπιρο. Αλλά η κυριότερη μάζοπιθανότητας είναι από το μειών τέσσερα μέχρι το συν τέσσερα. Μη πιν τέσσερα σίγμα, μη συν τέσσερα σίγμα. Και να επιθυμίσω ότι όταν θέλω με την πιθανότητα ΦΙ του μειών Ζ, αν εδώ πέρα ο αριθμός είναι αρνητικός, αυτό ισούται με ένα μειών ΦΙ του Ζ, γιατί εντεχομένως οι πίνακες του βιβλίου να μην έχουν για αρνητικά Ζ. Και εδώ αριθμός θα μπορούσε να βγει αρνητικό. Και αν το βιβλίο δεν έχει πίνακες για αρνητικά Ζ, τότε το ΦΙ του μειών Ζ, αν εδώ είναι το μειών Ζ και εδώ είναι το Ζ, το ΦΙ του μειών Ζ είναι αυτό εδώ πέρα το εμβαδόν. Αυτό όμως το εμβαδόν, επειδή είναι συμμετρική η κατανομή, είναι αν από ένα από όλον τον εμβαδόν, αφαιρέσουμε το ΦΙ του Ζ. Αν αφαιρέσουμε αυτό εδώ, όλο από ένα, μένει αυτό το κομμάτι, το οποίο είναι το ίδιο με το αρχικό που ψάχναμε να βρούμε. Γενικά, δηλαδή, ΦΙ του μειών Ζ είναι αυτό με ένα μειών ΦΙ του Ζ. Και τέλος, να επιθυμίσω ότι μπορούμε να δουλέψουμε και αντίστροφα. Δηλαδή, θα μπορούσαμε να θέλουμε την πιθανότητα, η δικαίωμα να βρει τη χ, να πάρει τη μέση μικρότε το χ μικρό. Αν γνωρίζουμε ότι αυτή η πιθανότητα είναι 90% για ποιο είναι το χ μικρό. Για ποιο χ, μια τυχαία ανταβλητή κανονικής κατανομής, αν έχουμε μια τυχαία ανταβλητή χ, η οποία ακολουθεί κανονική κατανομή, με γνωστή μέση μη και σίγμα τετράγωλων, για ποιο χ, αν αυτό πάνε 90%, θα θέλουμε να βρούμε το χ. Μπορούμε να δουλέψουμε και αντίστροφα. Γνωρίζουμε την πιθανότητα και θέλουμε να βρούμε για ποιο χ, ποιο είναι το χ μικρό. Τι κάνουμε λοιπόν, αυτή την πιθανότητα μπορούμε να την γράψουμε, και να δούμε πως σαν φ του χ μοιομοι διασίγμα, ίσουτε με 90%. Αυτό πέρα μη ξεχνάτε, ότι είναι το ζερ μικρό. Πάμε λοιπόν εδώ στους πίνακες και βλέπουμε πως περίπου είναι το 90%. Κάπου εδώ κατά προσέγγιση ας πούμε το 0,90. Θα σημειώσουμε το αντίστοιχο ζ. Κάπου εδώ στους πίνακες θα βρούμε κατά προσέγγιση, γιατί δεν υπάρχει ακριβώς το 0,90 μέσα, αλλά είναι το πλησιαστικό αριθμό κοντά στο 0,90. Κοντά στο 0,90 αν πάω στους πίνακες, στο πίσω μέρος του μιτλίου, το στους πίνακες της τυπικής κανονικής κατανομής, θα το βρούμε αμέσως. Εδώ στο διβλίο υπάρχουν και οι αρνητικά ζ και οι αθετικά. Το 0,90 είναι σε αυτή τη σελίδα με τα αθετικά ζ, προφανώς, και ψάχνω εδώ πέρα να βρω το 0,90. Το πλησιαστικό σας αριθμό, το 0,90, είναι 0,89, 0,9 κτλ. Ο επόμενος είναι 0,901, αλλά εισηχούν, δηλαδή, στο ζ 1,28 ή 1,29, αν θέλετε. Άρα, λοιπόν, αυτό το ζ είναι το 1,28. Και από εδώ λύνω ως προς χ. Άρα, λοιπόν, θ μίον μη δια σίγμα, ισούται με 1,28. Και από εδώ λύνω ως προς χ, το οποίο ισούται με 1,28 συν μη. Και αυτό επισύγνω. Δουλεύουμε και αντίστροφα. Γνωρίζω την πιθανότητα, παίρνουμε το δίσυπο ζ, 1 μη δια σίγμα, το μη είναι γνωστό, το σίγμα είναι γνωστό, γιατί είναι η παράμετρη της ηχείας του ταβλητής. Και έτσι το λύνω. Κάποιοι από τις αρχές που υπάρχουν στο τεστ, ενδεχομένως, να ξέρετε την πιθανότητα και να χρειαστεί να βρείτε τον αριθμό χ. Ή να ξέρετε το χ και την πιθανότητα, και να λύσετε να είναι άγνωστο το μη ή το σίγμα. Υπάρχουν ένα ή δύο ασκησούλες μέσα στο τεστ, που όπου δίνεται η πιθανότητα, δίνεται και το χ, και πρέπει εσείς να βρείτε το μη. Ορίστε. Το ζ βρήκαμε από τους πίνακες ποια στιγμή είναι. Συνέχεια... Συγγνώμη, είναι 1 επί 28. Επί σίγμα, σωστά. Συν μη. Ενδέχετε όμως να δίνετε το χ, να δίνετε η πιθανότητα, και άγνωστο να είναι το σίγμα. Ή άγνωστο να είναι το σίγμα και μη. Οπότε πρέπει να δημιουργήσετε και άλλη εξίσωση από τις πληροφορίες του προβλήματος για να λύσετε ως προς σί και μη. Και θέλω να πούμε ότι η κανονική κατανομή είναι επιπλέον χρήσιμη γιατί μπορεί να προσεγγίσει την ποασόν ή την διονυμική. Επαλλαμβάνω, ο λόγος που είναι πιο χρήσιμη η κανονική είναι επειδή ίσως μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε στη διονυμική και ποασόν. Αν έχουμε δηλαδή μια διονυμική κατανομή όπου έχουμε έναν αριθμό, δοκιμών 1. Έχουμε και μια σταθερή πιθανότητα π, αν θυμάστε. Και έχουμε και μια μέση θημή της χ, ίσως με 1 επί π στη διονυμική και μια διακύμανση, αν θυμάστε, η οποία ίσουτε με 1 επί π, επί 1 μοιοπί. Και στις περιπτώσεις που το 1 είναι μεγάλο και το π μικρό, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την κανονική να προσεγγίσουμε την πιθανότητα, η τυχαία μεταβολιτή να πάρει τιμές μικρότερης, ίσως του χ μικρό, να την προσεγγίσουμε με τη διονυμική. Αν το 1 είναι μεγάλο, θα πρέπει να κάνουμε πολλές πράξεις για χ ίσον από 0, για i μάλλον, μέχρι χ μικρό, συνδυασμή 1 πραγμάτων ανα i, επί π η στιν i, η στιν i μοιοπί, στην i μοιονάρι. Δηλαδή σε μία διονυμική, για να υπολογίσουμε την εθνιστική της, την πιθανότητα να πάρει ένα μέγεθος μικρότερη του χ μικρό από το πεδίο τιμών, αν θυμάσεις τη διονυμική, πρέπει να κάνουμε πράξεις. Εδώ έχουμε να υπολογίσουμε συνδυασμούς παραγωτικά και τα λοιπά. Και αν αυτό το χ μικρό, δηλαδή το 1, είναι 1.000, και ζητάω πια πιθανότητα τα γεγονότα α να είναι μικρότερη στη 200, θα πρέπει να τα θρήσει σε αυτό εδώ πέρα διακοπές φορές. Και αν το 1 είναι μεγάλο και το π είναι μικρό, στην πράξη βέβαια δεν είναι να τύνει το 1 στο άπυρο και το άλλο στο μηδέν, στην πράξη μπορούν να είναι διαφορετικά, αλλά υπάρχουν συμπεριφώσεις, αν το 1 είναι μεγάλο και το π μικρό, τότε αυτή τη πιθανότητα μπορώ να την προσεγγίσω με κανονική κατανομή. Αυτό εδώ εις ούτε με φ, του χ μικρό μειών 1 επί π, που είναι η μέση στιγμή, προς τη τραγωνική ρίζα του 1 επί π, επί 1 μειών π. Δηλαδή μπορώ να το προσεγγίσω αμέσως, με την αθληστική της τυπικής κανονικής κατανομής, όπου η μέση στιγμή είναι το 1 επί π, γιατί πρόκειται για την ίδια τυχία μεταβλητή, της οποίας η μέση στιγμή είναι το 1 επί π και διακοίμαση είναι το 1 επί π επί 1 μειών π. Άρα αυτή η χ η οποία ακολουθούν στη δυναιμική κατανομή, αν το 1 είναι πολύ μεγάλο και το π πολύ μικρό, μπορώ να την προσεγγίσω με τυπική κανονική κατανομή και να υπολογίσω αμέσως, θα τους πει να γίνει αυτή τη πιθανότητα. Συμπέρασμα, αν σε κάποιο πρόβλημα δυναιμικής θέλετε να υπολογίσετε την αθληστική της και έχετε να κάνετε πολλές πράξεις, όπως για παράδειγμα τους εξετάσεις, δεν θα πείτε ότι δεν μπορούμε να κάνουμε πράξεις, μπορείτε να τους προσεγγίσετε με κανονική. Και δεν θα σας το πω εγώ να το εκτιμήσετε με κανονική, διότι είστε μηχανικοί. Και αν αύριο μεταύριο δουλέψετε κάπου, δεν θα κάνετε κάποιο από δίπλα να σας πει, είναι δυναιμική αυτή, το 1 είναι σχετικά μεγάλο, το π είναι μικρό, έχεις να κάνεις πολλές πράξεις, δεν θα σου πει να το προσεγγίσεις με κανονική, θα πρέπει από μόνος να το καταλάβεις, ώστε να το προσεγγίσεις με κανονική. Εδώ είναι φύτου ενάμιση, άμα πας για z ενάμιση, δίπλα υπάρχει η πιθανότητα, 0, έχεις το πίλεκα μπροστά σου, αν έχεις το βιβλίο, μπορείς να πας στο πίσω μέρος, δεν θυμάμαι το, όταν βλέπεις εκεί πέρα στο πίσω μέρος, έχει πίναγκες τυπικής κανονικής κατανομίας, 512, δεν θυμάμαι, ή μάλλον είναι διαφορετικό το βιβλίο που έχεις, είναι αρκετά πίσω, εγώ έχω μια παλιά έκδοση, έχει πίναγκες τυπικής κανονικής κατανομίας, άμα πας στο z που γράφει ενάμιση, δίπλα θα το δεις. Εδώ πέρα μπορείς να κάνεις προσέγγιση και με ποασόν, δηλαδή, αν έχεις μια ποασόν κατανομία, όπου έχεις ότι η μέση τιμή του χ' ισούται με λαμδά επί τάφ και αν θέλεις την ποασόν το χ να πάρει τη μέση μικρό, το χ μικρό, τότε πάλι πρέπει να θρύσεις, το έχεις τη μία λαμδά επί τάφ, επί λαμδά επί τάφ, ή στην i, δι' i παραγοντικό, για όλα τα i ίσορα από 0 μέχρι χ μικρό. Πάλι και στη ποασόν, όπου έχεις μια μέση τιμή χ' ισούν λαμδά επί τάφ, όπως είχαμε πει, τότε η αθρηστική της είναι αυτή εδώ πέρα, πρέπει να κάνεις πολλές πράξεις αν το χ μικρό είναι μεγάλος αριθμός, γι' αυτό μπορείς να τον προσεγγίσεις με καρονική, και αυτή η πιθανότητα είναι ΦΙ του χ μικρό μίον λαμδά επί τάφ προς θετραγωνική ρήδα του λαμδά επί τάφ. Γιατί, την ποασόνα θυμάστε, η μέση τιμή είναι λαμδά επί τάφ, η μέση τιμή των γεγονότων α' σε χρόνο τάφ είναι λαμδά επί τάφ, η διακύμασή είναι πάλι λαμδά επί τάφ, γι' αυτό στην παραγωγή έχουμε τη θετραγωνική ρήδα, την τυπική απόκλειση, τη θετραγωνική ρήδα του λαμδά επί τάφ. Ποια είναι η ίσα με το ΠΥΥΣΤΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ Τώρα, την επόμενη ώρα θα σας κάνει κάποιες ασκησούλες, εσείς συνεργάτες μου. Παιδιά, κάντε ησυχία για να σας πω μερικά πράγματα, οδηγίες για το τεστ, ναι. Όταν έχουμε να κάνουμε πολλές πράξεις στην ΜΒΟΑΣΟΝ, στην αχρηστική για παράδειγμα, τότε μπορούμε κατά προσέγγιση να χρησιμοποιήσουμε την κανονική. Δεν υπάρχει κανένας ιδιαίτερος συνθήκης για να χρησιμοποιήσουμε, κυρίως ιδιωνομική, αν το 1 είναι μεγάλο και το 2 είναι μικρό. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πιο εύκολα. Αλλά και πάλι όμως, όταν έχουμε να κάνουμε πολλές πράξεις, χρησιμοποιούμε κατά προσέγγιση την κανονική. Μπορεί να μην είναι καλή η προσέγγιση, εξαρτάται από αν και το π. Αλλά δεν υπάρχει κανένας ιδιαίτερος ορισμός. Αν θέλετε να δείτε λίγο το τεστ, θα μπορούσα να πω ότι στις 18 το πρώτο ερώτημα είναι με εκθετική κατανομή. Εκθετική κατανομή, εκθετική. Το χ πρέπει να είναι μεγαλύτερον το 20 με εκθετική. Το δεύτερο μπορείτε να το λύσετε με πουασόν. Οι πουασόν δηλαδή αναφέρεται το τ σε 40 χιλιόμετρα. Πάμε στη δεκαεφτά. Στη δεκαεφτά η μέγιστη αιτήσια πλημμύρα κτλ. Το α ερώτημα, το α ερώτημα θέλει να υπολογίσετε ένα ύψος της κανονικής κατανομής. Να προσδιορίσετε το ύψος H20, είναι να προσδιορίσετε το χ της κανονικής, το οποίο ανησυχεί σε πιθανότητα π της γεωμετρικής. Σημειώστε το H20 ανησυχεί σε σημείο όπως επέδειξα πριν χ της κανονικής, το οποίο ανησυχεί σε ποια πιθανότητα, σε πιθανότητα π της γεωμετρικής. Ποια είναι η πιθανότητα π της γεωμετρικής. Στη γεωμετρική έχουμε ένα γεγονός το οποίο εμφανίζεται κάθε 20 χρόνια. Αν θυμάστε όταν έχει περίοδο 2 χρόνια, ποιο θα το πει, 1 προς το 20, παίρνεται σε 100 δηλαδή. Άρα λοιπόν το H20 είναι η τοχή της κανονικής που ανησυχεί σε πιθανότητα π της γεωμετρικής που είναι το 1 προς 20 ίσον 0,05%. Παιδιά μία με 15 Δεκεμβρίου θα μου φέρετε στο γραφείο μου ο καθένας άρχιστε καλογραμμένες οι ασκήσεις, τα προβλήματα, οι απαντήσεις, ένας-ένας και θα κάνω ερωτήσεις από μία ερωτησίουλα στον καθένα και θα βλέπω και την εγγέννηση περιφορά του που διατείνει σε μέχρι στιγμής. Εγώ είμαι εντετυχημένος για κάποιον ο οποίος παρακολουθεί το μάθημα και συμμετέχει και δύο να γράψει να το βάλει οκτώ, κάνω ό,τι θέλω, έχω το δικαίωμα αυτό, δεν θα με κρίνει κανένα. Και μπορώ και κάποιον που γράφει οκτάρι που αντέγραψε από εδώ και από εκεί να το βάλω ένα διάρι. Εντάξει, το λέω στους περισσότερους που δεν παρακολουθούν, εάν δεν λύσετε αυτά τα προβλήματα, δεν τα καταλάβετε, δεν θα γράψετε, δεν θα πάρετε και τη μονάδα λοιπόν και δεν θα περάσετε. Και μετά θα πρέπει να ξαναδίνετε το τεστ, θα πρέπει να ξαναδίνετε εξετάσεις και ποιος ξέρει που θα σας οδηγήσει αυτό. Λοιπόν, τώρα το Β, πιθανότι ότι μέσα στα 10 χρόνια το ύψος θα ξεπεραστεί και τα λοιπά, είναι ιδιονυμική. Κάθε χρόνο έχουν μια δοκιμή, εδώ έχουμε 10 δοκιμές, 10 χρόνια, σε κάθε χρόνο έχουν μια δοκιμή, έχουμε 10 δοκιμές, άρα πάμε στην ιδιονυμική. Λοιπόν, την προηγούμενη ώρα κάνατε τις συνεχείς κατανομές, στο προηγούμενο μάθημα είδατε τις διακριτές και τώρα περάσατε στις συνεχείς. Είδατε τις κατανομές την ομοιόμορφη, είδατε την εκθετική, είδατε την κανονική κατανομή, οπότε θα κάνουμε ασκήσεις πάνω σε αυτά τώρα. Θα ξεκινήσουμε λίγο με την ομοιόμορφη κατανομή. Σας δίνω εκεί πέρα τη συνάρτηση, θυκνώντας και στρανώτητας ότι είναι F του H1 προς β-α, το H παίρνετε μέσα από α μέχρι β, η μέση τη μη δίνεται από τον τύπο α σύν β, ουσιαστικά εδώ πέρα, β-α στο δετράγωνο το 10 είναι η διασπορά, πες μου. Έχετε τυπολόγιο, είναι αυτό εδώ, έχετε τυπολόγιο και είναι γραμμένο. Οπότε, για να ξεκινήσουμε λίγο για την πρώτη άσκηση πάνω στην ομοιόμορφη κατανομή, λέει, η συνάρτηση λέει πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου που απαιτείται σε μία συναρμολόγηση. Λίγο ησυχία για να ακουστώ. Λοιπόν, λέει η άσκηση στην ομοιόμορφη κατανομή, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου που απαιτείται σε μία συναρμολόγηση είναι F του H ίσο με 0,1 για 30 με 40 δευτερόλεπτα. Μας δίνει το H να ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή, άρα μπορώ να γράψω το H ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή με παραμέτρους μέσα α και β είναι τα δευτερόλεπτα που μας λέει από το 30 μέχρι το 40. Ωραία. Και μας δίνει ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, η F του H, είναι ίσο με 0,1. Αυτό εδώ πέρα μπορούσε και να μη μας το δώσει. Γνωρίζοντας αυτό εδώ θα είχαμε ένα 40-30, πάλι θα μπορούσαμε να το βγάλουμε το 0,1, απλά αυτό μας το δίνει κατευθείαν. Αν δεν σας το δώσει κατευθείαν ξέρετε ότι αυτό εδώ πέρα το ένα άκρο είναι το α και αυτό εδώ πέρα το άκρο είναι το β οπότε το βγάζετε μόνοι σας. Και λέει τώρα το πρώτο ερώτημα. Προσδιορίστε λέει το ποσοστό των συναρμολογίσεων που απαιτούν περισσότερο από 35 δευτερόλεπτα για να ολοκληρωθούν. Επομένως αυτό που ψάχνω είναι η πιθανότητα το H να είναι μεγαλύτερο από το 35. Επομένως το ποσοστό των συναρμολογίσεων που απαιτούν περισσότερο από 35 δευτερόλεπτα για να ολοκληρωθούν. Όταν μας δίνουν τη συναρτηση είπαμε πιθανότητα στις πιθανότητες για να περάσουμε στην πιθανότητα τι κάνουμε ολοκληρώνουμε σύμφωνα με τα όρια που μας δίνει. Επομένως το να βρω αυτό εδώ πέρα είναι να ολοκληρώσω ουσιαστικά και να έχω ολοκλήρωμα από το 35 έως το 40 γιατί δεν βγαίνει πιο πάνω. Τις F του H δε χεί. Ναι το F μικρό γιατί μας δίνει τη συναρτηση πιθανότητας πιθανότητας δεν μας δίνει την αθληστική και αυτό και παίρνουμε ολοκλήρωμα. Επομένως όλοι κάνουμε μέσα την αντικατάσταση θα έχουμε ολοκλήρωμα από το 35 έως το 40. Βγαίνει έξω σταθερά. Λοιπόν αν κάνετε εδώ τις πλάξεις βγαίνει 50% έτσι και έτσι το περιμέναμε και όλες γιατί το 35 έως το 40. Βγαίνει το 50% όταν το H είναι μεγαλύτερο του 35. Ωραία αυτό ήταν το πρώτο ερώτημα. Το δεύτερο ερώτημα λέει ποιος χρόνος ξεπερνιέται από το 90% των συναρμολογίσεων. Επομένως τι ψάχνουν ουσιαστικά εδώ. Λέει ποιος χρόνος ξεπερνιέται από το 90% των συναρμολογίσεων. Τι είναι αυτό που ψάχνουν. Όχι μεγαλύτερο του 90, από το 90% των συναρμολογίσεων λέει. Άρα το 90% είναι ουσιαστικά η πιθανότητα που ψάχνουν. Έτσι είναι αυτό που είπε. Όταν μας λένε πόσος χρόνος ξεπερνιέται από το 90% των συναρμολογίσεων, πώς είπαμε εδώ ότι το 50% ξεπερνιέται από ποιον αριθμό από το 35. Όταν μας λέει ποιος χρόνος ξεπερνιέται από το 90% των συναρμολογίσεων, ποιος είναι ο άγνωστος μας τώρα. Αυτό εδώ. Και αυτό που μας δίνει ποια είναι η πιθανότητα. Επομένως αυτό που θα γράψω θα είναι πχ μεγαλύτερο, τώρα το χρόνο το βάλουμε χ μικρό γιατί το ψάχνω, ίσον με το 90%. Επομένως πάλι αυτή για να βρω την πιθανότητα αυτήν εδώ πέρα τι πρέπει να κάνω. Θα βάλω χ μηδέν για να μην το μπερδεύουμε. Εδώ είναι μια τιμή η οποία ψάχνω. Πάλι πρέπει να πάρω ολοκλήρωμα απλά το άνω του ολοκληρώματος εδώ, αυτό εδώ πέρα το όριο το 1 θα είναι άγνωστο. Όχι το άνω, το κάτω γιατί αυτό ξέρω ότι πάει στο 40. Το κάτω θα είναι άγνωστο, θα έλυσε το ολοκλήρωμα και ο μόνος άγνωστος μου θα είναι αυτή η τιμή. Επομένως θα έχω ολοκλήρωμα από το χ μηδέν έως το 40 της ευ του χ δε χ να είναι ίσον με το 90%. Άρα θα έχω χ μηδέν 40, 1 δέκατο δε χ ίσον με το 90% βγαίνει έξω το 1 δέκατο. Αν κάνω κατευθείαν πράξη 40 μηδέν χ ίσον με 90% επομένως θα έχω 40 μηδέν χ ίσον με 9 και το χ μηδέν που ψάχνω είναι το 39. Οπότε το 90% ξεπερνιέται από την τιμή 31 και αυτό το περιμέναμε έτσι κι αλλιώς γιατί αν πάρω το 30 και το 40 και το χωρίσω σε δέκα κομμάτια, το 90% τι θα είναι πάνω από το 31 αφού είναι ομοιόμορφη κατανομή και είναι από το 30 μέχρι το 40. Οπότε το περιμέναμε πάλι να βγει αυτό το 31 σαν τιμή. Λοιπόν, ορίστε. Αυτό είναι το δεύτερο ερώτημα και το τρίτο τώρα ερώτημα λέει προσδιορίστε τη μέση τιμή και την τυπική απόκληση του χρόνου συναρμολόγησης. Ο τύπος για τη μέση τιμή μας δίνεται εκεί πέρα. Κατευθείαν το εχ είναι α συν β δια 2. Επομένως... Οπότε η μέση τιμή είναι ίσο με το 35. Η διασπορά εκεί το βάρχι μας λέει ότι είναι β-α στο τετράγωνο δεδέκατα. Άρα αν το βρω θα έχω... Και για να πάω στην τυπική απόκληση απλά από αυτήν την διασπορά θα βγάλω μια τραγωνική ρίζα. Αν κάνετε τις πράξεις βγαίνει πέντε ρίζα τρία προς τρία. Οπότε δείτε αυτό εδώ πέρα και ακούω απορίες για την ομοιόμορφη. Το έστερο πώς σας συμβολίζει την τυπική απόκληση. Σίγμα το ελληνικό. Όταν λέμε τα σίγματα τα ελληνικά γράμματα είναι για τον πληθυσμό και έχουμε τα αγγλικά για το δείγμα. Αυτό είναι εδώ πέρα κανονικά και τώρα μπορούσαμε να το χρησιμοποιήσουμε απλά μας το έδωσε σε κατευθείαν. Δηλαδή αν δεν σου έδινε τη συναρτηση πυκνότητες πιθανότητες θα το έβγαζες μόνος σου και θα έλεγες 1-40-3 θα είχες 1-10 άρα το 0,1. Οπότε αν δεν σου έδινε αυτό εδώ και σου έδινε μόνο τα όρια θα το έβγαζες μόνος σου. Τώρα θα κάνουμε ασκήσεις στη πιο σημαντική κατανομή την κανονική κατανομή να μάθετε λίγο να δουλεύετε τους πίνακες οπότε λίγο θέλει προσοχή εδώ πέρα. Κανονικά θα έπρεπε να έχετε τους πίνακες εσείς και να τα βλέπετε εδώ μαζί σας αλλά δυστυχώς δεν τα έχετε. Κάνατε για την κανονική κατανομή και μετά τη μάθετε πως κάνετε προσέγγιση της κανονικής κατανομής από την τυπική κανονική κατανομή. Η τυπική κανονική κατανομή ποια είναι? Τι χαρακτηριστικά έχει? Ότι οι δημιουργές τυπικές είναι δε και όχι οι δημιουργές τυπικές. Γι' αυτό όταν έχω κανονική κατανομή και μου δίνουνε μέση τιμή και τυπική απόκλυση εγώ προσπαθώ να κάνω μετασχηματισμούς για να περάσω στην τυπική κανονική κατανομή γιατί από την τυπική κανονική... Παιδιά κάντε λίγο ησυχία λοιπόν γιατί στην τυπική κανονική κατανομή έχω πίνακες όταν λέω έχω πίνακες φαντάζομαι ότι σας έδειξε στο προηγούμενο έτσι πως θα έχετε το τυπολόγιό σας στις εξετάσεις στο τέλος έχει αυτό εδώ. Αυτό εδώ πέρα είναι οι τιμές της τυπικής κανονικής κατανομής οπότε όποια άσκηση και θα λύνετε θα τρέχετε εδώ μέσα να παίρνετε κάποιες χαρακτηριστικές τιμές και αυτό θα δούμε σήμερα πως θα δουλεύει το πίνακας. Λοιπόν οπότε το πρώτο παράδειγμα που θα κάνουμε είναι κατευθείαν έτοιμο στην τυπική κανονική κατανομή δηλαδή δεν χρειάζομαι ακόμα μετασχηματισμού. Επομένως λέει η άσκηση χρησιμοποιήστε λέει τους στατιστικούς πίνακες για να προσδιορίστε τις ακόλουθες πιθανότητες για μια τυπική κανονική κατανομή Z. Και λέει το πρώτο το ερώτημα να βρεθεί η πιθανότητα το Z να είναι μικρότερο από το 1,32. Λοιπόν αν δείτε τώρα που δεν μπορείτε να το δείτε γιατί είστε μακριά όταν έχω την τυπική κανονική κατανομή σας λέει ότι μια πιθανότητα το Z να είναι μικρότερο από ένα άλλο Z είναι ίσο με το ΦΗ του Z όπως λέμε το ΦΗ το κεφαλαίο το ελληνικό. Επομένως εδώ πέρα το να βρω την πιθανότητα να είναι μικρότερο το Z από το 1,32 ουσιαστικά σύμφωνα με το πίνακα αυτό θα είναι ίσο με το ΦΗ του 1,32. Και τώρα πώς θα βρούμε το ΦΗ του 1,32 εδώ πέρα είναι χωρισμένα έχει στήλη και γραμμή η στήλη έχει το πρώτο το ακέραιο ψηφίο μετά έχει ένα δεκαδικό και μετά εδώ πέρα δίνεται συναντήσει το δεύτερο δεκαδικό. Δηλαδή εγώ τώρα που θέλω το 1,32 θα πάω στη γραμμή την 1,3 που είναι εδώ σαν γραμμή το 1,3 και απλά θα συμπληρώσω μετά το 2 από πίσω που το 2 είναι εδώ οπότε κάνω διασταύρωση γραμμής και στήλης. Και για να δημιουργήσω το 1,32 αν το κάνετε αυτό εδώ το ΦΗ του 1,32 είναι το 0,9066 οπότε η πιθανότητα είναι ίσο με το 90,66%. Ξαναλέω το ΦΗ του 1,32 κάνουμε διασταύρωση γραμμής και στήλης πάμε στο 1,3 μετά έρχομαι και συμπληρώνω το δεύτερο δεκαδικό το 32 και παίρνω την τιμή κατευθείαν ότι είναι το 0,9066. Μετά το δεύτερο ερώτημα λέει τι πιθανότητα το Ζ να είναι μικρότερο από το 3 αυτό πάλι είναι ίσο με το ΦΗ του 3. Επομένως πηγαίνω στον πίνακα και κάνω διασταύρωση γραμμής και στήλης το πρώτο δεκαδικό να είναι 3,0 και μετά στο δεύτερο έχει πάλι 0 γιατί δεν θέλω να έχει κάτι άλλο. Επομένως αν πάμε εδώ πέρα είναι 3 και 0 είναι στο 0,9987 άρα βγάζω ότι η πιθανότητα θα είναι 0,9987. Το τρίτο μετά το ερώτημα θέλει την πιθανότητα το Ζ να είναι μεγαλύτερο από το μίον 2,15. Λοιπόν, τώρα εδώ έχουμε δύο προβλήματα το ένα πρόβλημα ότι είναι αρνητικό και το άλλο πρόβλημα ότι έχω και άλλη φορά από αυτή που έχει ο πίνακας. Πες μου. Θα πάρουμε το συμπληρωματικό. Λοιπόν, επειδή αυτός ο πίνακας εδώ στο τέλος λειτουργεί μόνο όταν το Ζ είναι μικρότερο και όχι ότι είναι μεγαλύτερο το γράφεις στην αρχή. Θα περάσω που? Θα περάσω στο συμπληρωματικό. Δηλαδή θα γράψω ότι αυτό εδώ είναι 1 μίον Φ από το μίον 2,15. Αφού τώρα η φορά ήρθε στα κανονικά της θα έχω 1 μίον Φ του μίον 2,15. Τώρα, άνοιξε το πίνακα δεν έχει αρνητικές τιμές τα Ζ. Τα Ζ δηλαδή είναι θετικά. Επομένως, από ένα αρνητικό για να πάω στο θετικό πάλι κάνω την ιδιότητα. Υπάρχει μια ιδιότητα που λέει ότι το Φ του Ζ συν το Φ του μίον Ζ είναι ίσο με 1. Επομένως, εγώ για να βρω το Φ του μίον 2,15 θα το γράψω 1 μίον Φ του 2,15 και θα περάσω πάλι στον πίνακα. Επομένως, θα έχω αυτό το πέρατο φυλάδι όπως είναι μοιράζεται κατά τη διάρκεια των εκστάσεων. Έχει τους τύπους σε όλες από όλες τις κατανομές, τα πράγματα που θα σας χρειαστούν με τάση φαντιστική και το πίνακα της τυπικής κανονικής και τι άλλη. Δεν ξέρω. Αυτό είναι το Φ του Ζ. Οπότε, φεύγουν εδώ πέρα το 1 με το μίον 1 και αν πάτε πάλι στον πίνακα το Φ του 2,15 είναι το 0,9842. Οπότε, την υπολογίστε για αυτήν την πιθανότητα. Τώρα, το τελευταίο ερώτημα ζητάει να βρείτε την πιθανότητα το Ζ να είναι μεταξύ του μίον 2,34 και του 1,76. Άρα, θέλω μίον 2,34 Ζ 1,76. Λογικά, θα είπατε ότι όταν έχω άκρα και από τη μία μεριά και από την άλλη, από το Φ του άνω ορίου, αφαιρώ το Φ από το κάτω όριο. Δηλαδή, αυτό εδώ πέρα θα είναι ίσο με Φ του 1,76 μίον το Φ του μίον 2,34. Πάλι, εδώ πέρα αυτό επειδή είναι αρνητικό πρέπει να το γυρίσω θετικά, άρα θα έχω Φ 1,76 μίον 1 μίον Φ του 2,34. Οπότε, θα έχω Φ του 1,76 συν Φ του 2,34 μίον το 1. Αν κάνετε πράξη εδώ πέρα και αντικαταστείστε τα νούμερα, αυτό βγαίνει 0,9512. Βρίσκουμε δηλαδή το Φ του 1,76, βρίσκω το Φ του 2,34, αφαιρώ τη μονάδα. Είπατε ότι η ασφαλή είναι 1,3. Ναι, η πρώτη στήλη είναι 1,3 και μετά είναι τα δεύτερα δεκαδικά ψηφία, 35, 36. Ωραία, άμα δεν έχεις μόνο ένα δεύτερο δεκαδικό ψηφί, τελετήρια. Θα κάνεις στρογγυλοποίηση για να πάς στο δεύτερο δεκαδικό ψηφί. Ωραία, πες μου. Πάνω στο γάμο, το πες, πες Λουζέβι όταν έχεις μία δικαίωμα που δεν μας πειράζει που είναι πρώτερο ίσο. Όχι, το ίδιο πράγμα είναι, το ίδιο το συμπεριφέρεις. Λοιπόν, αυτά τώρα είναι το πιο εύκολο που μπορεί να σας τύχει, προφανώς. Αυτό εδώ πέρα είναι για να μάθετε να δουλεύετε λίγο τα φυ. Τώρα οι ασκήσεις που είναι συνήθως οι πιο αξιόλογες είναι ότι μας δίνει κανονική κατανομή με συγκεκριμένη μέση, τιμή και τυπική αποκλήση. Και προσπαθώ εγώ να κάνω μετασχηματισμό, να περάσω στην τυπική κανονική κατανομή και μετά να δουλέψω με τα Ζ. Οπότε αυτή θα είναι η άσκηση τώρα που θα δούμε. Λοιπόν, λέει η άσκηση. Υποθέτουμε λέει ότι η τυχαία μεταβλητή Ζ ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 10 και τυπική αποκλήση 2. Προσδιορίστε λέει τις τυπές του Ζ έτσι ώστε. Λοιπόν, έχω μια τυχαία μεταβλητή Χ που ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 10 και τυπική αποκλήση 2. Όταν μας δίνουν αυτό εδώ κατευθείαν καταλαβαίνουν ότι το πρώτο είναι η μέση τιμή μου και το δεύτερο είναι την τυπική αποκλήση. Και λέει να προσδιορίστε τις τυπές του Χ έτσι ώστε. Και λέει το πρώτο ερώτημα. Λοιπόν, θέλει να βρούμε εδώ πέρα ποια είναι η τιμή του Χ ώστε εδώ πέρα να βγαίνει το 0,5 δηλαδή να βγαίνει το 50%. Τώρα, αυτό εδώ είναι πιο δύσκολο γιατί πρέπει να ψάξετε μέσα στον πίνακα για να το βγάλετε. Εμείς είπαμε ότι δουλεύουμε με την τυπική κανονική κατανομή. Άρα τι πρέπει να κάνω, πρέπει να κάνω μετασχηματισμό. Να αφαιρέσω δηλαδή τη μέση τιμή, να διαιρέσω με την τυπική αποκλήση για να πάω στο Ζ. Επομένως, θα έρθω εδώ πέρα και θα γράψω π, από το Χ υποτίθεται αφαιρώ τη μέση τιμή και διαιρώ με την τυπική αποκλήση. Και εδώ το ίδιο, από τη Χ αυτή τη μικρή τη μικρή που ψάχνω αφαιρώ τη μέση τιμή δια την τυπική αποκλήση. Και όλο αυτό εδώ μας κάνει 0,5. Θα βγεις στο τέλος, γιατί είναι συμμετρική. Θα σας το πάω έτσι γιατί μετά όταν θα είναι άλλα τα νούμερα να δείτε λίγο πως το δουλεύουμε κανονικά. Για να μην το πάρω με τη μία κατευθείαν. Ασφαλώς έχει δίκιο, γιατί η κανονική κατανομή είπαμε ότι είναι συμμετρική ως προς τη μέση τιμή. Κατευθείαν μπορούσα να πω ότι είναι το 10. Ας το πάω με βήμα-βήμα γιατί μπορεί να μη σε σέχει 0,5, να σε σέχει μια άλλη τιμή. Λοιπόν, οπότε, αφού έκανα εδώ το μετασχηματισμό, αυτό εδώ πέρα πλέον είναι το z. Εδώ έχω x μειών το μη, μη είναι η μέση τιμή θα το βάλω κανονικά, 10, δια 2, ίσον με το 0,5. Τώρα, αυτό εδώ πέρα είναι πάλι μεγαλύτερο, εμείς είπαμε ότι τα φ δουλεύουν όταν είναι μικρότερο, άρα πρέπει να κάνω 1 μειών π, z μικρότερο ίσο του x μειών 10, δια 2, ίσο με το 0,5. Οπότε, αν το πάμε εδώ θα έχω π, x μειών 10 προ σίγμα, δια 2, ίσο με 0,5 αν χωρίστε γνωστούς με αγνώσεις τους. Τώρα, εμείς αυτό ξέρουμε ότι όταν είναι μια πιθανότητα αυτό είναι φ αυτού του άλλου, άρα θα έχω το φ του x μειών 10, δια 2, ίσο με 0,5. Τώρα, για να βρω εδώ πέρα τον άγνωστο το x θα πρέπει το 0,5, τι να το μεταφράσω αυτό, πια νου φ μας κάνει 0,5, έτσι ώστε να πάρω μετά αυτό εδώ πέρα, ίδιο με αυτό εδώ. Αν δείτε εδώ μέσα στον πίνακα, εγώ θέλω να βρω ποιο φ μας κάνει 0,5, άρα έρχομαι και ψάχνω εδώ μέσα να βρω ποια διασταύρωση γραμμής και στήλης μας κάνει 0,5. Αν δείτε είναι εδώ το 0,5, είναι διασταύρωση 0,0, είναι το φ του μηδενός, το φ του μηδενός μας κάνει 0,5. Επομένως, εδώ πέρα θα γράψω φ του x μειών 10 προς 2, ίσον με το φ του μηδενός. Επομένως, παίρνω τώρα τις ποσότητες μέσα ίσες και από εδώ προκύπτει ότι το x αυτό που ψάχνω είναι προφανώς ίσο με το 10. Επομένως, η τιμή πάνω από την οποία βρίσκεται το 50% των παρατηρήσων είναι το 10. Το περιμέναμε κανονική κατανομή, συμμετρική ξέρουμε από το 10 και πάνω θα βρίσκεται το 50%. Από εδώ. Λοιπόν, όταν έχεις μια μεταβλητή τυχαία, η οποία ακολουθεί κανονική κατανομή, όταν αφαιρείς τη μέση τιμή και διαιρείς με την τυπική απόκλυση, τότε πηγαίνει στην τυπική κανονική κατανομή. Τυπική κανονική κατανομή είναι αυτή η οποία έχει μέση τιμή 0 και τη διασπορά της είναι ίση με το 1. Οπότε έχοντας εσύ μια μέση τιμή, αφού την αφαιρείς, φυσικά πας σε μέση τιμή 0 και μετά διαιρώ και με την τυπική απόκλυση για να την κάνω κανονικοποιήσει. Και έρχεται αυτό και γίνεται Ζ, αυτό είναι φεωρητικό. Επομένως αυτό μετασχηματίζεται σε Ζ και το ότι κάνεις από εδώ πρέπει να το κάνεις και εδώ για να είναι ίσες οι ποσότητες. Και επομένως αφαιρείς και εδώ τη μέση τιμή διά δύο και πλέον δουλεύεις με την τυπική κανονική κατανομή. Γιατί εκεί έχεις πίνακες, δεν έχεις για κάθε κανονική κατανομή για μέση τιμή και τυπική απόκλυση τι γίνεται. Οπότε κάνω το μετασχηματισμό για να δουλεύω με αυτά και μετά πηγαίνεις μπι μα βίμ. Λοιπόν, το άλλο λέει τώρα να βρούμε την πιθανότητα για ποια τιμή του χ βρίσκεται το 0,95. Λοιπόν, πάλι είμαι στην κανονική κατανομή. Για να πάω στην τυπική κανονική κατανομή πρέπει να αφαιρέσω μέση τιμή και να διαιρέσω με την τυπική απόκλυση. Άρα θα έχω πέτ του χ μιον μή προς σίγμα, το ίδιο και εδώ. Επομένως αυτό πλέον γίνεται ζ. Πάλι με ενοχλή φορά, άρα θα γράψω ένα μιον π. Λοιπόν, στον πίνακα που σας δίνω οι πιθανότητα για να βρω εδώ πέρα λέει το ζ να είναι μικρότερο από το ζ. Εγώ όταν έχω μεγαλύτερο δεν μπορώ να το χρησιμοποιήσω γιατί οι τιμές θα βγαίνουν λάθους. Επομένως πρέπει να το μετασχηματίσω έτσι ώστε να αλλάξει φορά. Και για να αλλάξει φορά, επειδή είναι συμπληρωματικά αυτά εδώ πέρα τα γεγονότα, ένα μιον αυτό ουσιαστικά δεν προκύπτει αυτό εδώ. Πηγαίνω εδώ πάνω. Οπότε θα έχω την πιθανότητα ζ μικρότερο ίσο του χ μιον 10 προς 2 να είναι ίσο με το 0,05. Άρα εδώ θα έχω Φ του χ μιον 10 προς 2 ίσον με το 0,05. Λοιπόν, και πώς είπαμε τώρα ότι συνεχίσουμε εδώ πρέπει να πάω να ψάξω μέσα στον πίνακα για να βρω ποια διασταύρωση γραμμής και στήλης είναι στο 0,05. Εδώ τώρα θέλει λίγο προσοχή. Αν δείτε μέσα το πίνακα οι τιμές ξεκινάνε από το 0,5 και μετά από το 50% και πάνω. Εγώ εδώ πέρα που βρίσκομαι στο 5% τι κάνω για να το βρω. Παίρνω το συμπληρωματικό του 0,05 ποιο είναι το συμπληρωματικό το 0,95 και ψάχνω να βρω αυτό εδώ μέσα. Αν δείτε εδώ πέρα το 0,95 είναι στο 1,64 εδώ. Τώρα εδώ πέρα δεν μπορείτε να το δείτε δυστυχώς. Το 0,95 βρίσκεται ανάμεσα στη διασταύρωση αυτή εδώ πέρα. Είναι στο 1,64 και στο 1,65 βρίσκεται το 0,95 ανάμεσα σε αυτές τις δύο τιμές. Επομένως παίρνω τα δύο όρια αυτές τις δύο αυτές τιμές και τις διαιρόδια του 2 για να είμαι λίγο στη μέση. Επομένως από αυτό εδώ πέρα τον πίνακα βγάζω ότι το φ1,645 είναι ίσο με το 0,95. Ξαναλέω ότι δεν υπάρχει αυτή εδώ η τιμή μέσα στον πίνακα. Ξεκινάει από το 0,5 και μετά ψάχνω μέσα στον πίνακα το συμπληρωματικό. Δηλαδή ψάχνω να δω ποια διασταύρωση γραμμής και στήλης μου δίνει αυτή την τιμή. Και είναι στο 1,645. Και πώς θα περάσω εγώ για να πάω στο 0,05. Τι πρέπει να κάνω από το 1 αναφερέσω αυτό εδώ και από το 1 αναφερέσω αυτό εδώ. Ουσιαστικά εδώ πάω στο 0,05 και από εδώ από την ιδιότητα που σας είχα πει με τα αρνητικά. Αυτό δεν είναι ίσο με ΦΙ του μίον 1,645. Και έτσι βρίσκω την τιμή. Και τώρα εδώ πέρα θα κάνω αντικατάσταση όπου 0,05 με το ΦΙ του μίον 1,645. Προσέξτε αυτό γιατί μπερδεύεστε πολύ μέσα στον πίνακα. Οπότε, ερχόμαστε εδώ που βρήκα την τιμή και θα έχω ΦΙ του ΦΙ μίον 10 προς 2 ίσο με ΦΙ του μίον 1,645. Οπότε θα έχω ΦΙ μίον 10 προς 2 ίσο με ΦΙ του μίον 1,645 και αν κάνετε τις πράξεις το ΦΙ βγαίνει ίσο με 6,71. Δείτε το και πείτε μου αν έχετε τα απορίες πάνω σε αυτό. Ξαναλέω αυτό εδώ πέρα είναι παραθυράκι που πρέπει να γίνει από τον πίνακα. Γιατί το 0,95 δεν υπάρχει καθαρά μέσα στον πίνακα. Αν δεις εδώ πέρα έχει 0,94,95 και το επόμενο είναι 0,95,05 οπότε παίρνεις τη μέση τιμή από αυτά τα δύο. Δηλαδή του 1,64 και του 1,65. Τα προσθέτεις κάνεις διαδύο για να προσεγγίσεις όσο το δυνατόν καλύτερα το 0,95. Αν υπάρχει ατόφια η τιμή όπως είναι δεν χρειάζεται να κάνεις αυτή τη μέση τιμή. Απλά τώρα παίρνω μέση τιμή για να κεντράω όσο το δυνατόν καλύτερα στο 0,95. Θα μπορούσατε να πήρε ολάχιστα σε διάφορες. Εγώ σας λέω πως είναι να κάνετε καλύτερη προσέγγιση. Δεν σας έκοπε κανείς άσκηση αν παίρνει το 0,64 ή 0,65. Απλά τώρα εγώ κάνω καλύτερη προσέγγιση γιατί έχω περισσότερα δεκαδικά ψηφία. Και βρίσκομαι με καλύτερη ακρίβεια εδώ πέρα το αποτέλεσμα. Αλλά έχω κάνει στο ίδιο πράγμα θα καταλήγω. Με λιγότερη ακρίβεια. Λοιπόν μετά λέει η άσκηση. Ζητάει πάλι να υπολογιστεί το χ. Λοιπόν σας λέει πάλι να βρείτε το όριο το άκρο από τα αριστερά. Αν ξέρετε ότι αυτή η πιθανότητα από το χ μέχρι το 10 είναι ίσο με το 0,2. Πάλι πρέπει να κάνω μετασχηματισμό για να πάω στην τυπική κανονική κατανομή και να δουλέψω με αυτά. Άρα θα έχω π, χ μη μη προ σίγμα. Εδώ είναι χ μη μη προ σίγμα. Και εδώ θα έχω 10 μη μη προ σίγμα. Και όλο αυτό ίσο με 0,2. Επομένως θα έχω χ μη 10 προς 2. Λοιπόν μετά αυτό εδώ γίνεται Ζ. Εδώ επειδή η μέση τιμή μου είναι το 10, επομένως θα μηδενιστεί αυτό το άκρο, θα έχω 0. Ίσον με το 0,2. Επομένως σύμφωνα με αυτά που είπαμε πριν, αυτό θα πάει θ 0. Άρα θα έχω φ μη φ του χ μη 10 προς 2. Και όλο αυτό εδώ πέρα θα είναι ίσο με 0,2. Τώρα το φ του μηδενός είπαμε προηγουμένως ότι είναι το 0,5. Επομένως θα έχω φ του χ μη 10 προς 2. Θα είναι ίσο με το 0,3. Αν χωρίσουμε γνώση από αγνώστους. Πρέπει να ψάξω στον πίνακα για να αντικαταστήσω το 0,3 πιανού φ είναι. Είπαμε όμως στον πίνακα έχει από το 0,5 και μετά. Άρα τι πρέπει να κάνω, να βρω το συμπληρωματικό του 0,3, το 0,7. Να δω στον πίνακα το 0,7 για ποιο αντιστοιχεί. Και εγώ να πάρω το αρνητικό του και να γυρίσω πάλι σε αυτό εδώ. Επομένως, αν πάτε μέσα έχετε ότι σαν να λέω αυτό είναι από τον πίνακα. Φ του 0,525 είναι ίσο με το 0,7. Άρα από το 1 άμα αφαιρέσω το φ του 0,525 θα είναι ίσο 1-0,7. Άρα αυτό θα πάει στο 0,3 και αυτό θα είναι φ του 0,525. Επομένως, αφού έκανα το μετασχηματισμό από τον πίνακα έρχομαι εδώ και έχω ότι το φ του x-10 προς 2 είναι ίσο με το φ του 0,525. Αν κάνετε πράξεις τελικά το x εδώ θα βγει 8,95. Ορίστε. Λίγο πιο δυνατά. Ok, πες μου. Που κοιτάω, εδώ, έχει ακολουθεί? Αυτό είναι να ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή. Η τυπική κανονική κατανομή είναι μέσα στη μη 0 και η τυπική απόκληση 1. Παιδιά, κάντε λίγο ησυχία. Αυτός είναι ο πίνακας που σας δίνουν τις εξετάσεις. Ναι, το γράφτηκε πάνω. Λέει πίνακα τυπικής κανονικής κατανομής. Όλες τις κανονικές κατανομές προσεγγίζω από εδώ. Πάμε να δούμε και το τελευταίο ερώτημα από αυτήν. Αυτές ουραστικά τώρα δεν είναι προβλήματα, απλά μαθαίνετε πώς να δουλεύεται το πίνακα. Μετά είναι ότι μπαίνει και πρόβλημα και προσπαθείτε να το συνδυάσετε όλο μαζί. Λοιπόν, το τελευταίο ερώτημα λέει το β. Λέει να βρεθεί το χ έτσι ώστε από το μιον χ έως το χ μιον 10, χ να είναι ίσο με το 0,95. Όλο αυτό που αφαιρούσα τη μέση τη μη και διαιρούσα με την τυπική απόκλυση γιατί το έκανα για να μετασχηματιστεί αυτό εδώ πέρα σε ζ. Αυτό έτσι όπως είναι αφαιρούμε κατευθείαν το 10. Θα το γυρίσω πίσω. Θα πάω στο χ. Το μόνο που έχω είναι να διαιρέσω. Είναι να διαιρέσω με την τυπική απόκλυση. Ξαναλέω, το μετασχηματισμό που κάνω εδώ, τον κάνω και εδώ ώστε οι ποσότητες να είναι ίσες. Αυτό τώρα έτσι που μας το έδωσε μας λέει ότι εδώ είναι χ μιον 10, άρα δεν χρειάζεται να φαιρέσω εγώ ξανά τη μέση τη μη. Ο σχοπός μου είναι να τη δημιουργήσω εδώ μέσα στο ζ. Επομένως το μόνο που έχω είναι να διαιρέσω με την τυπική απόκλυση έτσι ώστε να πάω στο ζ εδώ μέσα και να είναι ίδια τα άκρα. Επομένως αυτό θα είναι ίσο με π μιον χ προς σίγμα και εδώ να διαιρέσω με το σίγμα και εδώ μετά να έχω χ προς σ. Και όλο αυτό με 0,95. Επομένως αυτό πλέον έγινε ζ. Όχι ακόμα. Στη συνέχεια το θα ψάξω τα συμπληρωματικά χαλάξη. Θα έχω από πέρα ζ χ δια σίγμα ίσον με το 0,95. Επομένως από τις ιδιότητες αυτό θα είναι φ του χ προς σίγμα μιον φ του μιον χ προς σίγμα ίσον με το 0,95. Είπαμε ότι όταν έχω κάτι αρνητικό για να το κάνω αρνητικό. Τώρα αν ψάξετε εδώ πέρα το 0,975 πρέπει να γράψω φ πιανού μας κάνει 0,975. Αν ψάξετε μέσα στον πίνακα είναι η διασταύρωση του 1,9 με το 6. Άρα αυτό είναι το φ του 1,96. Επομένως θα έχω φ χ δεύτερα ίσον με φ του 1,96. Άρα θα έχω χ δεύτερα ίσον με 1,96. Άρα το χ θα βγει 3,92. Τώρα απλά δεν μπορούμε να κάνουμε άσκηση. Να πούμε λίγο μια εκφώνηση από ένα πρόβλημα πώς θα ήταν της κανονικής κατανομής και να πούμε πώς θα το λύναμε. Λοιπόν για να ακούσουμε λίγο την άσκηση έλεγες η αντοχή συμπίεσης χ το δείγμα των τσιμέντου ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 6.000 κιλά ανατετραγωνικό εκατοστό και τυπική απόκλυση 100 κιλά ανατετραγωνικό εκατοστό. Το πρώτο που ζητά είναι ποια είναι η πιθανότητα ότι σε ένα δείγμα η αντοχή είναι λιγότερο από 6.450 κιλά ανατετραγωνικό εκατοστό. Αφού το χ μας έλεγε ότι ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 6.000 κιλά ανατετραγωνικό εκατοστό και τυπική απόκληση 100 κιλά το πρώτο τι μας ζητά είναι ποια είναι η πιθανότητα σε ένα δείγμα η αντοχή να είναι λιγότερο από 6.450 κιλά ανατετραγωνικό εκατοστό. Το πρώτο τι μας ζητά είναι ποια είναι η πιθανότητα σε ένα δείγμα η αντοχή να είναι λιγότερο από 6.450 κιλά ανατετραγωνικό εκατοστό. Οπότε για να τυλίσετε θα αφαιρούσατε μέση τιμή διαιρό με τυπική απόκληση να πάω στο Ζ και απλή αντικατάσταση μετά στα Ζ βρίσκω και βγάζω την πιθανότητα. Αυτό είναι το πρώτο ερώτημα. Το δεύτερο ερώτημα είναι ποια είναι η πιθανότητα ότι σε ένα δείγμα η αντοχή είναι μεταξύ του 5.800 και του 5.950. Άρα η πιθανότητα που ψάχνω είναι η αντοχή να είναι μεταξύ του 5.800 και του 5.950. Επομένως πάλι θα αφαιρώ με τη μέση τιμή διαιρό με την τυπική απόκληση πάω στο Ζ από το δεξί όριο εδώ πέρα του Φ θα αφαιρέσω αυτό εδώ και μετά θα βγάλω πάλι από τις τιμές και θα τα αφαιρέσω. Και το τελευταίο ερώτημα το Γ έλεγε ποια αντοχή ξεπερνιέται από το 95% των δείγματων του τσιμμέντου. Άρα εγώ τι ψάχνω εδώ πέρα είναι σαν αυτά που έκανα είναι ΠΧ μικρότερο του Χ ίσον με το 0,95. Και πρέπει να κάνω το τι κάναμε εδώ εσείς με τους μετασχηματισμούς για να βγάλετε την αντοχή που ξεπερνιέται το 95%. Θέλουμε τη τιμή που ξεπερνάει το 95%. Άρα θέλω μια τιμή Χ για την οποία από Β και πάνω. Α, ok, μεγαλύτερο ξεπερνιέται θέλω. Άρα θέλω από εκεί και πάνω το Χ μεγαλύτερο του Χ. Ναι θα το αντιστρέψεις και θα κάνεις όπως έκανα εγώ αυτά εδώ πέρα γιατί εσείς έχω κάνει παράδειγμα. Έγινε? 95% Οπότε αυτά.