Καμπύλες Αδιαφορίας - 1 / 4η διάλεξη - Βαρσακέλης Νικόλαος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2013)
4η διάλεξη: ΠΡΟΣΦΟΡΑΚΙΚΟΣΙΚΕΙΤΗΣΙΣΑΚΙΣΑΝΤΗΣΑΝΤΑΚΗΣΑΝΤΑΚΗΣΑΝΤΑΚΗΣΑΝΤΑΚΗΣΑΝΤΑΚΗΣΑΝΤΑΚΗΣΑΝΤΑΚΗΣΑΝΤΑΚΗΣΑΝΤΑΚΗΣΑΝΤΑΚΗΣΑΝΤΑΚΗΣΑΝΤΑ ιεράρχησης, ταξινόμησης των επιλογών με τις οποίες βρισκόμαστε αντιμέτωποι. Είτε είμαστε ως καταναλωτές για τη ζήτηση, είτε είμαστε ως παραγωγή για τη μεριά της προσφοράς. Χρησιμοποιήσαμε λοιπόν δύο βασικά αξιώματα. Το πρώτο αξίωμα της δημελούς σχέσης και το δεύτερο της μεταβατικότητας. Με τα οποία, χρησιμοποιώντας αυτά τα δύο βασικά αξιώματα, μπορούμε να ταξινομίσουμε όλες τις δυνατές επιλογές τις οποίες έχουμε. Με άλλα λόγια, ένα σύνολο άπειρων επιλογών που έχουμε, αν θα θέλαμε να το παραστήσουμε στον χώρο των δύο διαστάσεων. Όλα τα σημεία, τα οποία βρίσκονται εδώ μέσα, είναι στοιχεία του συνόλου, το οποίο θέλουμε να ταξινομίσουμε. Και στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το πρώτο αξίωμα και το δεύτερο αξίωμα της δημελούς σχέσης, όλα αυτά τα άπειρα στοιχεία, τα οποία βρίσκονται εδώ μέσα, έχουν μπει πλέον σε μια γραμμή. Και ξέρουμε, με βάση το κριτήριο το οποίο έχουμε χρησιμοποιήσει, ποια είναι η καλύτερη επιλογή και ποια είναι η χειρότερη επιλογή. Άρα, το πρώτο και το δεύτερο αξίωμα είναι αυτά τα οποία μας οδηγούν στην ταξινομίση. Το τρίτο αξίωμα το οποίο χρησιμοποιήσαμε και εκεί είχαμε μείνει, είναι το αξίωμα της ορθολογικότητας. Η έννοια της ορθολογικότητας χρησιμοποιείται ευρύτατα όχι μόνο στα οικονομικά αλλά και σε άλλες επιστήμες και στη φιλοσοφία. Εμείς χρησιμοποιούμε τον όρο ορθολογικότητα με συγκεκριμένο περιεχόμενο. Με άλλα λόγια, ο όρος ορθολογικότητα, εδώ αναφέρεται στην επιλογή του ατόμου, ότι το άτομο δεν επιλέγει ποτέ μια επιλογή όταν μέσα στις δυνατότητές του, προσέξτε το αυτό, έχει μια άλλη επιλογή, η οποία είναι καλύτερη από αυτήν. Άρα, δεν θα επιλέξει ποτέ το α, το οποίο ανήκει στο ν, όταν υπάρχει το β, το οποίο επίσης ανήκει στο ν, και για το οποίο ισχύει το β είναι τουλάχιστον ίσο ως προς το α. Αυτή είναι η ορθολογικότητα που χρησιμοποιούμε εμείς οι οικονομολόγοι στην ανάλυσή μας. Εντάξει, για να μην μπερδεύεστε με άλλες έννοιες, με άλλο περιεχόμενο της έννοιας ορθολογικότητα, που αναφέρεται στη φιλοσοφία, στη λογική κλπ. Αυτή είναι η έννοια της ορθολογικότητας. Εδώ τώρα στο θέμα της ορθολογικότητας, αλλά και στην ταξινόμηση, σημαντικό ρόλο παίζει το άτομο. Δηλαδή, ό,τι συζητάμε μέχρι τώρα, αναφέρεται σε ένα συγκεκριμένο άτομο. Άρα, η ταξινόμηση και το κριτήριο που θα χρησιμοποιήσω και πώς θα χρησιμοποιήσω το κριτήριο για να κάνω την ταξινόμησή μου και να επιλέξω, αυτό αφορά το συγκεκριμένο άτομο. Με άλλα λόγια, έχουμε για κάθε άτομο μια διαφορετική ειεράρχηση των ίδιων πραγμάτων. Και όπως είχαμε πει την προηγούμενη φορά, εάν πάρουμε όλα τα αυτοκίνητα τα οποία υπάρχουν, κυκλοφορούν αυτή τη στιγμή στον κόσμο και ρωτήσουμε τον καθένα ανεξάρτητα από το εισόδημα ποιο θεωρεί καλύτερο αυτοκίνητο, θα έχουμε όσα εκατομμύρια άνθρωποι υπάρχουν, τόσα εκατομμύρια ιεραρχήσεις. Δεν θα έχουμε όλοι τον ίδιο τρόπο σκέψης. Και ο τρόπος σκέψης εξαρτάται από το κοινωνικό περιβάλλον μέσα στο οποίο έχει μεγαλώσει ο καθένας μας, εξαρτάται από το μορφωτικό επίπεδο το οποίο έχει, και ένα σωρό άλλοι κοινωνικοί παράγοντες οι οποίοι παίζουν ρόλο στην διαμόρφωση αυτής της ταξινόμησης. Συνεπώς, η έννοια της ταξινόμησης είναι ατομική. Βέβαια, οι οικονομολόγοι στη συνέχεια κάνουν μια πολύ σκληρή υπόθεση και λέμε ότι μπορούμε, γιατί δεν μπορούμε να μελετήσουμε το κάθε άτομο ξεχωριστά, εάν, κάνω μια παρένθεση, τα οικονομικά δεν έχουν κανέναν άλλο λόγο ύπαρξης. Τα οικονομικά έχουν ένα και μοναδικό λόγο ύπαρξης, να κάνουν προτάσεις πολιτικής και προβλέψεις. Τίποτα άλλο. Να κάνουν προτάσεις πολιτικής και προβλέψεις. Δηλαδή, εάν θέλουμε να κάνουμε μια πρόταση πολιτικής σε μια επιχείρηση, παράδειγμα, να κάνουμε διαφήμιση ή να μην κάνουμε διαφήμιση. Μια πρόταση πολιτικής. Να κάνουμε αύξηση της τιμής ή μείωση της τιμής. Αυτό είναι μια πρόταση της πολιτικής. Να κάνουμε πληθώρα προϊόντων ή να παράγουμε ένα προϊόν. Αυτό είναι πρόταση πολιτικής. Από τη μεριά του κράτους, να επιβάλλουμε έναν υψηλότερο ή έναν χαμηλότερο φορολογικό συντελεστή. Να παράγει το κράτος ή να μην παράγει το κράτος. Να παράγει το κράτος πεδία ή να αγοράζει πεδία. Όλα αυτά είναι προτάσεις πολιτικής. Συνεπώς, εμείς οι οικονομολόγοι, χρησιμοποιώντας τα εργαλεία τα οποία θα κάνετε κατά τη διάρκεια των σπουδών σας εδώ, θα προσπαθούμε να βρούμε έναν τρόπο με τον οποίο να κάνουμε καλύτερες προτάσεις πολιτικής. Δηλαδή να έχουν μεγαλύτερη αποτελεσματικότητα. Εάν λοιπόν αυτό είναι το ζήτημα, τότε πώς εμείς οι οικονομολόγοι μπορούμε αυτές τις άπειρες, θεωρητικά άπειρες, ταξινομήσεις να τις χρησιμοποιήσουμε, ώστε να κάνουμε προτάσεις πολιτικής στην επιχείρηση ή στο κράτος. Η απάντηση εδώ δίνεται από τη στατιστική. Δηλαδή κάνουμε μια υπόθεση και παίρνουμε έναν στατιστικό μέσο όρο. Παίρνουμε ένα δείγμα, όπως σας είπε ο κύριος Εμμανουηλίδης. Παίρνουμε ένα δείγμα του πληθυσμού, έναν αντιπροσωπευτικό δείγμα του πληθυσμού. Μελετούμε αυτό το αντιπροσωπευτικό δείγμα του πληθυσμού και ό,τι προκύπτει γι' αυτό το αντιπροσωπευτικό δείγμα του πληθυσμού, θεωρούμε ότι ισχύει για όλο τον πληθυσμό. Άρα, αντί να μελετήσουμε 10 εκατομμύρια ταξινομήσεις στην Ελλάδα, για παράδειγμα, παίρνουμε ένα δείγμα του πληθυσμού 2.000 νοικοκυριών, τα μελετούμε και βγάζουμε τη συμπεριφορά τους. Δηλαδή βγάζουμε τον τρόπο με τον οποίο σκέφτονται. Δηλαδή βγάζουμε τον τρόπο με τον οποίο ταξινομούν τα πράγματα. Και αυτή την ταξινόμηση, που είναι ένας μέσος όρος του συνόλου του πληθυσμού, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε ως επιχείρηση, ως κράτος, για να κάνουμε πολιτική. Αυτή είναι η λογική την οποία έχουμε. Τώρα, όσον αφορά το αξίωμα της ορθολογικότητας, εδώ θα πρέπει να σημειώσουμε το εξής. Δεν επιλέγω ποτέ το α που ανήκει στο n, όταν υπάρχει το β που ανήκει επίσης στο n και ισχύει η β τουλάχιστον ίσως προς το α. Αυτή η επιλογή προϋποθέτει ότι έχω την πληροφορία. Δηλαδή γνωρίζω ότι υπάρχει το β και ότι το β είναι τουλάχιστον ίσως προς το α. Αυτό είναι πολύ σημαντικό να το ξεκαθαρίσουμε. Δηλαδή γνωρίζω την ταξινόμηση. Έχω την πληροφορία για να κάνω την καλύτερη δυνατή ταξινόμηση. Πολλές φορές θα αναρωτηθείτε, έχουμε πάρει προϊόντα και υπηρεσίες οι οποίες αποδείχτηκαν ότι δεν ήταν καλές. Όλοι την έχουμε πατήσει, σε εισαγωγικά, την πανανόφλουδα. Τι σημαίνει δηλαδή, πώς εμείς επιλέξαμε, ας πάρουμε αυτόν τον άξονα εδώ. Είναι το α και είναι το β, από εδώ προς τα εδώ βελτιώνεται η ποιότητα. Η πληροφορία την οποία είχα, όταν έκανα την επιλογή, όταν έκανα την ταξινόμηση, ήταν ότι το β είναι τουλάχιστον ίσως προς το α. Αυτή ήταν η πληροφορία την οποία είχα. Η μόνη πληροφορία που είχα. Άρα, εγώ έκανα την ταξινόμησή μου με το β τουλάχιστον ίσως προς το α, με βάση της πληροφορίες τις οποίες είχα, με βάση της γνώσης την οποία είχα, όταν ήρθε η ώρα να επιλέξω, επέλεξα το β. Εκ των υστέρων αποδείχθηκε ότι το β δεν ήταν καλό, ήταν χειρότερο από το α. Όμως αυτό, όταν εγώ έκανα την επιλογή μου, δεν το ήξερα. Δηλαδή δεν είχα την πληροφόρηση ότι το β ήταν χειρότερο. Άρα, εδώ υπάρχει ένα πρόβλημα. Ένα πρόβλημα το οποίο αναφέρεται στο θέμα της πληροφορίας και γι'αυτό στα οικονομικά έχουμε προσπαθήσει να δώσουμε μία λύση χρησιμοποιώντας κάποια μοντέλα, στο οποία είναι μοντέλα ατελούς πληροφόρησης. Το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα ατελούς πληροφόρησης είναι στην αγορά των μεταχειρισμένων. Στην αγορά των μεταχειρισμένων αυτοκινήτων, ποιος έχει περισσότερη πληροφόρηση, ο αγοραστής ή ο πολιτής? Ο πολιτής. Ο πολιτής ξέρει τι έχει το αυτοκίνητο, ο αγοραστής δεν ξέρει. Άρα με ένα ωραίο βάψιμο και με ένα ωραίο καθάρισμα και λοιπά φαίνεται ότι το αυτοκίνητο είναι θαυμάσιο. Όταν το αγοράζεις όμως, αποδεικνύεται ότι δεν ήταν και τόσο θαυμάσιο. Όμως όταν έκανες την επιλογή, όταν έκανες την ταξινόμηση και στη συνέχεια την επιλογή, συγγνώμη, δεν το ήξερες. Η πληροφόρηση την οποία είχες δεν επαρκούσε για να πεις ότι το β είναι χειρότερο από το α. Αυτό είναι το ένα θέμα. Το δεύτερο θέμα με την ορθολογικότητα, που είναι επίσης πάρα πολύ σημαντικό, γιατί έχει κατακριθεί η έννοια της ορθολογικότητας, είναι το εξής. Ότι ό,τι συζητάμε για προβλέψεις, για πολιτική, αναφέρονται σε καταστάσεις κανονικές. Δηλαδή σε μια κατάσταση της οικονομίας, η οποία είναι ήρεμη. Μπορεί να έχει, αν θα θέλαμε να το παρουσιάσουμε, μικρές διακυμάνσεις, αλλά είναι γενικά μια ήρεμη κατάσταση στην οικονομία. Άρα η μελέτη και η συμπεριφορά των ατόμων σε κανονικές καταστάσεις είναι εύκολη. Σε εισαγωγικά πάντα εύκολη. Το πρόβλημα όμως ανακύπτει, όταν η οικονομία μπαίνει σε καταστάσεις, οι οποίες είναι πάρα πολύ, θα λέγαμε, τρικημιώδης. Δηλαδή όταν κολυμπάς σε μια θάλασσα, έστω κι αν έχει ένα κυματάκι 2-3 μποφόρ, είναι ok. Τι γίνεται όμως, πώς θα κολυμπήσεις σε μια θάλασσα η οποία έχει 8 μποφόρ. Αυτό είναι ένα μεγάλο ερωτηματικό. Το 1976 είχε γραφτεί ένα πάρα πολύ ωραίο βιβλίο για τα χρηματιστήρια του Kindleberger, μεγάλος οικονομολόγος έτσι του προηγούμενου αιώνα, του οποίου ο τίτλος ήταν «Manias and Panics». Αυτός πήρε τις χρηματιστηριακές αγορές, αλλά όχι μόνο στις χρηματιστηριακές αγορές. Ενώ λέει ο Kindleberger, σε ομαλές συνθήκες του χρηματιστηρίου, η συμπεριφορά μας ως επενδυτών είναι ότι κάνουμε τα μοντέλα μας, αυτά τα οποία μας λένε οικονομολόγοι, τα βάζουμε στους υπολογιστές, βρίσκουμε προβλέψεις, αγοράζουμε, πολλούμε σύμφωνα με τις προβλέψεις κι άρα όλα είναι σχετικά ομαλά. Όταν όμως μπαίνουμε σε καταστάσεις που η άνοδος του χρηματιστηρίου αρχίζει και γίνεται πολύ έντονη, τότε πώς δικαιολογείται μια συμπεριφορά ατόμων σε μια τέτοια κατάσταση. Η έννοια της ορθολογικότητας πάβει να ισχύει. Δηλαδή η έννοια της ορθολογικότητας με βάση αυτό το οποίο είπαμε, ότι έχω κατασκευάσει μία ταξινόμηση και με βάση αυτή την ταξινόμηση επιλέγω. Εκεί καταραίει η έννοια της ορθολογικότητας, καταραίει η ορθολογική συμπεριφορά με την χρήση υποδειγμάτων, μοντέλων, προβλέψεων κλπ κλπ και ο καθένας ακολουθεί σαν κοπάδι. Θυμηθείτε λίγο από τα ντοκιμαντέρ πώς κινείται ένα κοπάδι το οποίο το κινηγάει ένα σαρκοβόρο ζώο στην σαβάνα. Βλέπετε ότι όπου πάει ο πρώτος ακολουθούν όλοι μαζί σαν κύμα και μετά γυρνάει και μετά ξαναγυρνάει και λοιπά προσπαθούν να αποφύγουν το σαρκοβόρο. Αυτοί που είναι πίσω δεν κάνουν σκέψη γιατί πάω από εδώ ή γιατί πάω από εκεί, απλώς ακολουθείς σαν κοπάδι. Σε αυτές τις καταστάσεις λοιπόν έχουμε τις μανίες, δηλαδή ακολουθούμε σαν κοπάδι και αγοράζουμε. Άρα εκεί καταραίει η ορθολογικότητα, η ορθολογική συμπεριφορά. Όταν αρχίζει το χρηματιστήριο να πέφτει έχουμε επίσης συμπεριφορές κοπαδιού. Δεν καθόμαστε να σκεφτούμε ορθολογικά διότι αν όλοι δεν πουλούσαμε δεν θα καταραίει το χρηματιστήριο. Άρα ακολουθούμε μια πολιτική κοπαδιού, αρχίζουν κάποιοι να πουλάνε και ακολουθούν όλο και περισσότεροι να πουλάνε και ακολουθεί όλοι πια η αγορά και πουλά και καταραίει το χρηματιστήριο είναι οι καταστάσεις πανικού. Επίσης καταραίει η ορθολογική συμπεριφορά. Άρα για να κλείσουμε αυτό το θέμα, αυτό το οποίο λέμε είναι το εξής. Ότι όλα αυτά τα οποία συζητάμε και θα συζητάμε αναφέρονται σε καταστάσεις κανονικές. Σε καταστάσεις τρικυμίας η ορθολογική συμπεριφορά στην ουσία καταραίει. Τα μοντέλα προβλέψεων στην ουσία καταραίουν. Όποιος πει ότι έχω κάνει μια καλή πρόβλεψη σε κατάσταση τρικυμίας λέει ψέματα. Δεν υπάρχει τέτοιο πράγμα, τουλάχιστον στα οικονομικά. Αλλά ακόμα και στη φυσική. Δηλαδή είναι πολύ δύσκολο να προβλέψεις ποια θα είναι η πορεία ενός πλοίου επακριβής. Σε γενικές γραμμές θα πάει προς το βορά ή θα πάει προς το νότο. Μπορούμε να το κάνουμε. Αλλά επακριβής προβλέψεις ότι την επόμενη μέρα το πλοίο μέσα στην τρικυμία θα βρίσκεται στο τάδε σημείο του ορίζοντα. Κανείς δεν μπορεί να το κάνει ούτε στη φυσική. Πόσο μάλλον βέβαια στα οικονομικά που είναι μια κοινωνική επιστήμη. Άρα αυτό πρέπει να το έχουμε υπόψη μας. Ότι ό,τι συζητάμε είναι για κανονικές καταστάσεις. Για καταστάσεις τρικυμίας δεν μπορεί κανείς να κάνει προβλέψεις. Έχω ακούσει και εσείς τους έχετε ακούσει και εσείς ότι ο τάδε οικονομολόγος προέβλεψε την κρίση. Ο Δίνα οικονομολόγος προέβλεψε την κρίση. Πριν από τέσσερις μέρες είχαμε την ίδια συζήτηση, πέντε μέρες είχαμε την ίδια συζήτηση το τρίτο έτος. Και τους είπα ότι αν και δεν είμαι σεισμολόγος τα επόμενα δέκα χρόνια θα γίνει ένα σεισμό στην Ελλάδα. Δύο μέρες μετά έγινε ένα σεισμό στην Κρήτη. Προέβλεψα το σεισμό. Τι θέλω να πω ότι αυτού του τύπου οι κρίσεις, οι μεγάλες, υπάρχουν και οι μικρές. Δηλαδή η οικονομία κάνει κύκλους. Υφέσεις, ανωδικές πορείες, υφέσεις κλπ. Άρα αυτό το οποίο μπορώ να σας πω είναι στην επόμενη δεκαετία η παγκόσμια οικονομία θα γνωρίσει πάλι μια ύφεση. Είμαι 100% σίγουρος ότι θα πέσω μέσα. Πότε όμως και πού και πόσο θα πέσει σε μια ύφεση. Άρα θα έρθείτε μετά από 10 χρόνια και θα πείτε ο καθηγητής μας προέβλεψε την κρίση. Εντάξει, για να ξεκαθαρίσουμε τα πράγματα. Άρα ό,τι συζητάμε αναφέρεται σε κανονικές καταστάσεις. Τώρα, όλα αυτά αναφέρονται και στους παραγωγούς και στους καταναλωτές. Πάμε τώρα να ξεκινήσουμε τη συζήτησή μας με βάση αυτά και να κτίσουμε την θεωρία όλη του καταναλωτή. Άρα το σύνολο εν πια, το σύνολο με το οποίο θα ασχοληθούμε, το σύνολο σε ανήκει στο εν. Είναι υποσύνολο δηλαδή του εν. Και είναι το σύνολο των καταναλωτικών επιλογών. Δηλαδή, οι επιλογές που αναφέρονται μόνο στην κατανάλωση. Δηλαδή, επιλογές που αναφέρονται μόνο σε προϊόντα τα οποία κοστίζουν κάτι. 1. Το σύνολο των καταναλωτικών επιλογών αποτελείται από καλάθια αγαθών. Δηλαδή, τα στοιχεία του συνολου των καταναλωτικών επιλογών είναι καλάθια αγαθών και όχι αγαθά, αυτά, αυτά. Τα στοιχεία του συνολου σε είναι καλάθια αγαθών και όχι αγαθά. Άρα, το καλάθι x περιέχει x1 ποσότητα από το αγαθό 1, x2 ποσότητα από το αγαθό 2, xν ποσότητα από το αγαθό ν. Άρα, έχουμε ν αγαθά και το καλάθι των επιλογών μας περιέχει ποσότητες από αυτά τα αγαθά. Το καλάθι x τόνος, αν πάρουμε ένα άλλο καλάθι x τόνος που ανήκει επίσης στο σε, περιέχει άλλες ποσότητες από τα ίδια αγαθά. x1 τόνος, x2 τόνος, xν τόνος. Άρα, το καλάθι x περιέχει όλα τα αγαθά τα οποία είναι διαθέσιμα στο άτομο, στην περιοχή στην οποία ζει, μπορεί να αγοράσει. Άρα, για ένα άτομο το οποίο ζει, ξέρω και εγώ, σε μια απομονωμένη περιοχή με μια μικρή αγορά, ένα χωριό, που γίνονται αγοραπολησίες μέσα στο χωριό, τα x1, x2, xν, το ν είναι μικρότερο σε σχέση, ο αριθμός των αγαθών δηλαδή, σε σχέση με ένα άλλο άτομο το οποίο ζει σε μια μεγάλη πόλη που έχει πολύ περισσότερες επιλογές. Εμείς δηλαδή, όταν πάμε στο supermarket, πυχή, έχουμε 10-20.000 επιλογές προϊόντων. Άρα, αυτό το ν είναι 10.000 ή 20.000. Όταν πάμε στο μπακάλικο του χωριού, οι επιλογές μας είναι 500. Δηλαδή, το μπακάλικο δεν μπορεί να είναι μεγάλο. Άρα, το ν στο χωριό είναι 500. Άρα, τα προϊόντα τα οποία είναι μέσα στο καλάθι αυτού που ζει σε ένα απομονωμένο χωριό είναι λιγότερα σε σχέση με τα προϊόντα τα οποία βρίσκονται στο καλάθι αυτού ο οποίος βρίσκεται σε μια πόλη. Εάν πούμε ότι το καλάθι μου περιέχει μόνο ένα αγαθό, δηλαδή είμαι ένας μοναχοφαγας, είμαι παιδιά, πρωί, μεσημέρι, βράδυ, τρώω το ίδιο πράγμα, δεν κάνω τίποτε άλλο. Άρα, το καλάθι αυτό θα είναι χ1 ίσον ένας αριθμός, ας πούμε 3, και χ2 ίσον 0, χ3 ίσον 0, χν ίσον 0. Δηλαδή αυτό το άτομο αγοράζει ένα καλάθι στο οποίο όλα τα προϊόντα είναι 0, άρα δεν παίρνει τίποτα από τα υπόλοιπα προϊόντα και αγοράζει μόνο τρεις μονάδες από το αγαθό ένα. Αλλά το καλάθι το οποίο αντιμετωπίζει, σκεφτείτε λίγο όταν μπαίνουμε στο σούπερ μάρκετ, έχουμε όλα τα προϊόντα, δυνάμι, μπορούμε να τα πάρουμε όλα τα προϊόντα, από όλα τα προϊόντα να πάρουμε ποσότητες, αλλά έχουμε πάει στο σούπερ μάρκετ για να πάρουμε δύο πράγματα μόνο, να πάρουμε μακαρόνια και σάλτσα. Άρα τι έχουμε, για τα μακαρόνια και για τη σάλτσα θα υπάρχει θετική ποσότητα, για όλα τα υπόλοιπα θα είναι 0. Κατανοητό. Άρα εμείς θέλουμε να έχουμε καλάθια, τα οποία περιέχουν όλα τα αγαθά σε διάφορες ποσότητες. Το x1, x2, x3 παίρνει τιμές μόνο πραγματικές, δηλαδή δεν μπορούμε να έχουμε φανταστικούς αριθμούς και αρνητικούς αριθμούς, δηλαδή δεν μπορούμε να έχουμε μίον τρία κιλά πορτοκάλια, δεν γίνεται. Άρα εδώ μιλάμε στον χώρο των πραγματικών αριθμών, όλα παίρνουν τιμές στον χώρο των πραγματικών αριθμών. Είμαστε ok. Άρα το άτομο επιλέγει καλάθι. Αυτό μας βοηθά στην ανάλυση. Δηλαδή ενώ το άτομο επιλέγει στην ουσία προϊόντα, εμείς για να κάνουμε την ανάλυση λέμε ότι επιλέγει καλάθι με τις συγκεκριμένες ποσότητες των προϊόντων. Σύμφωνοι? Αυτό δεν είναι πολύ μπακριά από την πραγματικότητα. Εάν σκεφτούμε το καλάθι της Νικοκυράς, το γνωστό καλάθι της Νικοκυράς, στην ουσία είναι αυτό. Δηλαδή όλα τα προϊόντα τα οποία υπάρχουν με τις τιμές τους, απλώς εγώ από το καλάθι της Νικοκυράς παίρνω ορισμένα πράγματα, κάποιος άλλος από αυτό το καλάθι της Νικοκυράς παίρνει κάποια άλλα πράγματα. Εάν έτσι είναι λοιπόν τα πράγματα, τότε έχουμε την πρώτη υπόθεση που πρέπει να κάνουμε. Τα δύο αξιώματα και το τρίτο συνεχίζουν να ισχύουν. Μπαίνουν δηλαδή σε μια σειρά αξιώμα διμελούς σχέσεις, μεταβατικότητας, όλα ισχύουν κανονικά. Τώρα το κριτήριο είναι η ποσότητα των αγαθών. Παίρνω περισσότερη ποσότητα από ένα αγαθό ή λιγότερη ποσότητα από ένα αγαθό. Η υπόθεση του μη κορεσμού. Από λόγους παρουσίασης στον πίνακα μόνο, θα χρησιμοποιήσουμε καλάθια με δύο μόνο αγαθά. Αλλά ό,τι λένε, ό,τι θα πούμε για τα δύο αγαθά, επειδή πρέπει να κάνουμε διαγράμματα, άρα θα είμαστε στον χώρο τον δυσδιάστατο, αλλά ό,τι λέμε για τα δύο αγαθά, ισχύει για τα ν. Όταν στη συνέχεια θα μιλήσουμε για συναρτήσεις, θα βάλουμε τα ν αγαθά μέσα και έτσι θα λυθεί το πρόβλημα. Εδώ επειδή θα κάνουμε τώρα γραφικές παραστάσεις, χρειαζόμαστε δύο αγαθά για να μπορούμε να τα αναπαραστήσουμε. Συνεπώς, τα καλάθια που έχουμε είναι καλάθια με δύο αγαθά. Το χ1 και το χ2. Τώρα έχουμε λοιπόν το χ και το χτ, τα οποία ανήκουν στο σε. Δύο καλάθια, το καλάθι χ και το καλάθι χτ. Και ισχύει ότι χ1 ίσον χ1τ. Ότι στο πρώτο αγαθό και τα δύο καλάθια περιέχουν την ίδια ποσότητα. Δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πια την ισότητα γιατί μιλάμε για φυσικές ποσότητες. Ενώ στο δεύτερο αγαθό το χ2 περιέχει μεγαλύτερη ή ίση ποσότητα σε σχέση με το χ1τ. Τότε το άτομο προτιμά το καλάθι χ έναντι του καλαθιού χτ. Συνεπώς αυτό το οποίο υποθέτουμε εδώ, εδώ είναι μια υπόθεση, ότι όσο περισσότερη ποσότητα παίρνει το άτομο τόσο σε καλύτερη θέση βρίσκεται. Άρα θα προτιμά τα καλάθια τα οποία περιέχουν μεγαλύτερη ποσότητα. Και γι' αυτό λέμε η υπόθεση του μη κορεσμού. Τώρα θα μου πείτε εάν το χ1 είναι, ξέρω και εγώ, πατάτες και το χ2 είναι τα μπιφτέκια και πάμε στο εστιατόριο και μας δίνουν μια μερίδα πατάτες και ένα μπιφτέκι. Στη συνέχεια οι πατάτες παραμένουν οι ίδιες και μας δίνουν όλο και περισσότερο μπιφτέκι. Θα προτιμάμε πάντα το περισσότερο μπιφτέκι. Η απάντηση είναι ναι με την έννοια ότι βρισκόμαστε στον χώρο που δεν θα φτάσουμε ποτέ σε αυτή την κατάσταση. Δηλαδή να φτάσουμε σε μια κατάσταση που θα μας προκαλέσει στη χαμάρα να πάρουμε κι άλλο μπιφτέκι. Άρα όλη η ανάλυση γίνεται στο τεταρτημόριο μεν αλλά όχι στα άκρα αλλά στις κανονικές καταστάσεις όπως είπαμε. Εάν ισχύει λοιπόν αυτό τότε μπορούμε να χωρίσουμε τον χώρο των καλαθιών. Εδώ μετράμε την φυσική ποσότητα του αγαθού ένα από 0 έως άπειρο. Εδώ μετράμε την φυσική ποσότητα του αγαθού 2 από 0 έως άπειρο. Άρα κάθε σημείο στο χώρο θα είναι ένα καλάθι. Το σημείο χ μας λέει ότι έχουμε... να το βάλω χ τόνος ή να το βάλω α. Το σημείο α στον χώρο μας λέει ότι έχουμε το α μετράτε 0x1α ποσότητα από το αγαθό α και 0x2α ποσότητα από το αγαθό β. Άρα το α μέσα στο χώρο είναι ένα σημείο που παριστάνει ένα καλάθι. Λέει ότι οι συνδεταγμένες του α είναι οι φυσικές ποσότητες των συγκεκριμένων αγαθών. Είμαστε ok. Εντάξει. Η ποιότητα για όλα τα αγαθά είναι αυτά τα οποία είναι. Δηλαδή αυτό το οποίο ρώτησε ο συνάδελφός σας είναι η ποιότητα δεν λαμβάνεται υπόψη. Τα αγαθά μπορεί να είναι όλα τα αγαθά που μπορούμε να αγοράσουμε. Άρα μακαρόνια α ποιότητας β ποιότητας γ ποιότητας δ ποιότητας είναι διαφορετικά προϊόντα. Άρα είναι διαφορετικό χ1 χ2 χ3 όλες οι ποιότητες των μακαρονιών. Όλες οι ποιότητες των απορριπαντικών. Όλες οι ποιότητες των οτιδήποτες. Άρα το ν είναι πολύ μεγάλο. Σκεφτείτε μόνο το σούπερ μάρκετ. Στο σούπερ μάρκετ βλέπουμε προϊόντα της ίδιας κατηγορίας διαφόρων ποιοτήτων. Η κάθε ποιότητα του κάθε προϊόν είναι ένα χ1 χ2 χ3. Άρα το ν είναι τεράστιο. Συμφωνεί. Άρα η ποιότητα μπαίνει μέσα ως συγκεκριμένο αγαθό. Άλλη ερώτηση. Ναι. Δεν είναι έμβαδον. Συντεταγμένες είναι. Το κάθε σημείο έχει τις συντεταγμένες του. Οι συντεταγμένες τι είναι στον κάθε το άξονα. Μετράμε από 0 έως και η 2α. Η φυσική ποσότητα είναι 4. Άρα έχουμε 4 μονάδες από το αγαθό 2. Οι συντεταγμένες εδώ είναι 6. Άρα έχουμε 6 μονάδες από το αγαθό 1. Αν πάρουμε ένα άλλο σημείο, έχει άλλες συντεταγμένες. Άρα έχει άλλες φυσικές ποσότητες από τα 2 αγαθά. Εντάξει. Τυχαίο. Οποιονδήποτε. Το πήρα οπουδήποτε. Το α επομένως είναι ένα καλάθι. Απλώς τώρα για λόγους ανάλυσης δεν θα χρησιμοποιώ χι τόνος, χι δίστωνο και λοιπά. Αλλά θα χρησιμοποιούμε α β γ δ, γιατί είναι πιο παραστατικό. Εντάξει. Γιατί θα μπερδευτούμε με τους πολλούς τόνους. Σύμφωνοι. Άρα το κάθε σημείο εδώ στο χώρο είναι ένα καλάθι. Οι ποσότητες των καλάθιων δίνονται από τις συντεταγμένες του κάθε σημείου. Σύμφωνοι μέχρι εδώ. Εντάξει. Παίρνω τώρα ένα οποιονδήποτε σημείο μέσα στο χώρο. Το α. Εντάξει. Παίρνω ένα οποιονδήποτε σημείο μέσα στο χώρο. Και χρησιμοποιώ τα δύο αξιώματα και την υπόθεση του μη κορεσμού. Το σημείο β. Το καλάθι β. Συγγνώμη. Το καλάθι β. Το οποίο βρίσκεται μέσα σε αυτό το τεκαρτημόριο. Περιέχει μικρότερη ποσότητα. Να μην το κάνω τώρα γιατί θα γίνει πολύ πλοκό το διάγραμμα. Περιέχει μικρότερη ποσότητα από το αγαθό 1. Συντεταγμένες του είναι αυτές. Και μικρότερη ποσότητα από το αγαθό 2. Σύμφωνοι. Άρα με βάση την υπόθεση του μη κορεσμού, αν το άτομο ήταν να επιλέξει, ποιο θα επέλεγε το α ή το β. Ή στην ταξινόμηση ποιο θα προτιμάται το α. Άρα επειδή το β είναι ένα τυχαίο σημείο μέσα στο χώρο, όλα τα σημεία το οποία βρίσκονται μέσα στο β, μέσα στο τεταρτημόριο β, είναι λιγότερο προτιμητέα σε σχέση με όλα τα σημεία το οποία βρίσκονται σε σχέση με το α. Άρα το α προτιμάται του β και όλων των καλαθιών που βρίσκονται στο τεταρτημόριο β. Αυτό το α προτιμάται έναντι του β αφορά και το οριακό, το σύνορο. Η απάντηση είναι ναι, διότι ένα σημείο το οποίο βρίσκεται πάνω σε αυτή τη γραμμή, ένα καλάθι που βρίσκεται εδώ πάνω σε αυτή τη γραμμή, περιέχει την ίδια ποσότητα από το αγαθό 2 αλλά μικρότερη ποσότητα από το αγαθό 1. Άρα και όλα αυτά τα σημεία το οποία βρίσκονται πάνω στη γραμμή είναι υποδέστερα του α. Το ίδιο μπορούμε να πούμε και για όλα τα σημεία το οποία βρίσκονται πάνω σε αυτή τη γραμμή, είναι και αυτά υποδέστερα του α διότι περιέχουν την ίδια ποσότητα από το 1 αλλά μικρότερη ποσότητα από το 2. Συνεπώς, όλη η περιοχή και το εσωτερικό του β και το σύνορο του β είναι υποδέστερα του α. Εντάξει, πάμε τώρα στο γ. Στην περιοχή γ, το καλάθι γ περιέχει μεγαλύτερη ποσότητα και από τα δύο αγαθά, κατά συνέπεια το γ με βάση την υπόθεση του μη κορεσμού προτιμάται έναντι του α. Το γ προτιμάται έναντι του α και όλα τα καλάθια που βρίσκονται στο τεταρτημόριο. Το γ προτιμώνται έναντι του α. Σβήνω αυτό και θα συνεχίσουμε να γράφουμε εδώ πέρα. Με την ίδια λογική και όλα τα σημεία, όλα τα καλάθια που βρίσκονται πάνω στο σύνορο προτιμώνται έναντι του α. Άρα, όχι μόνο το εσωτερικό του υποσυνόλου γ προτιμάται έναντι του α και τα σύνορά του. Συνεπώς, τι κάναμε. Χωρίσαμε τον χώρο σε τέσσερα υποσύνολα. Χωρίσαμε το σύνολο των επιλογών σε τέσσερα υποσύνολα. Το πρώτο υποσύνολο του σε είναι το β με το χαρακτηριστικό ότι όλα τα καλάθια που ανήκουν στο υποσύνολο β είναι χειρότερα από το α. Δηλαδή με βάση το σημείο αναφοράς α, που είναι ένα τυχαίο σημείο, τυχαίο όχι στατιστικά το επαναλαμβάνω, είναι ένα τυχαίο σημείο, χωρίσαμε τον χώρο σε τέσσερα υποσύνολα. Το δεύτερο υποσύνολο είναι το β. Το β έχει το χαρακτηριστικό ότι όλα τα καλάθια είναι χειρότερα από το α. Δηλαδή το α προτιμάται εναντί όλων των καλαθιών που ανήκουν στο β. Το δεύτερο υποσύνολο του σε είναι το γ που έχει καλάθια που προτιμώνται εναντί του α. Και έχουμε το τρίτο και το τέταρτο υποσύνολο που είναι το δ και το ε. Έχουν το εξής χαρακτηριστικό. Το β είναι χειρότερο από το α. Το γ είναι καλύτερο από το α. Εάν υπάρχουν καλάθια που είναι ισοδύναμα ως προς το α, αναγκαστικά πού θα βρισκονται. Εάν υπάρχουν, μπορεί να μην υπάρχουν, αλλά εάν υπάρχουν αναγκαστικά θα βρίσκονται στο δ και στο ε. Δεν μπορούν να βρίσκονται πουθενά αλλού. Επαναλαμβάνω. Το β είναι ευθέως χειρότερο από το α. Τελειώσαμε. Το γ είναι ευθέως καλύτερο από το α. Δηλαδή όλα τα σημεία τους, όλα τα καλάθια είναι καλύτερα από το α. Εάν υπάρχουν τώρα, εάν υπάρχει έστω και ένα καλάθι, το οποίο σε σχέση με το α είναι ισοδύναμο, με την ορολογία μας είναι αδιάφορο, το α, εδώ έχουμε το π που είναι η προτίμηση, το α, αν θυμάστε είναι αδιάφορο. Εάν λοιπόν υπάρχουν καλάθια, έστω και ένα, που είναι ισοδύναμο ως προς το α, αναγκαστικά, δεν μπορεί να βρίσκεται πουθενά αλλού στο χώρο, παρά μόνο είτε στο δ, είτε στο ε, είτε και στα δύο, αν έχουμε περισσότερα από ένα. Συμφωνεί, εντάξει, είμαστε ok. Άρα, με βάση ένα σημείο αναφοράς, το α, χωρίσαμε τον χώρο καλύτερα, χειρότερα και αν υπάρχουν καλάθια, τα οποία είναι αδιάφορα, στο δ και στο ε. Για να δούμε λοιπόν τι συμβαίνει σε αυτό το ε, και ό,τι πούμε για το ε συμβαίνει και στο δ. Εάν πάρουμε μια ημιευθεία, εάν πάρουμε μια ημιευθεία από την αρχή των αξώνων, Αυτή η ημιευθεία αποτελείται από άπειρα σημεία καλάθια. Αυτή η ημιευθεία αποτελείται από άπειρα σημεία καλάθια. Επειδή θα κάνετε και στατιστική, το τυχαίο δεν είναι στατιστικό, ο σωστός όρος είναι η αδίποτε ημιευθεία. Εάν πάρουμε τώρα όλα αυτά τα άπειρα σημεία καλάθια και τα συγκρίνουμε με το α, όλα τα σημεία της ημιευθείας μέχρι το ζ, όλα τα σημεία της ημιευθείας μέχρι το ζ που είναι η τομή με το κάθετο, λόγω του ότι ανήκουν στο β, είναι χειρότερα από το α. Όλα τα σημεία της ομικρων ομέγα, να τη γράψουμε, της ομικρων ομέγα από μηδέν έως ζ, υποδεέστερα του α, διότι ανήκουν στο β, στο υποσύνολο β. Εάν πάρουμε όλα τα σημεία από το σημείο το μης και πάνω από το θ, που είναι το σημείο το μης και πάνω, επειδή ανήκουν στο γ προτιμώνται εναντί του α. Ερχόμαστε τώρα και σημειώνουμε εδώ. Όλα τα σημεία από θ έως ομέγα ανήκουν στο γ και συνεπώς καλύτερα προτιμώνται εναντί του α. Τώρα χρησιμοποιώντας το αξίωμα της δημελούς σχέσης και της μεταβατικότητας μπορούμε να κάνουμε το εξής, να πάρουμε το αμέσως γειτονικό σημείο του ζ, το αμέσως επόμενο. Με βάση του αξίωμα της μεταβατικότητας μπορούμε να κάνουμε μια διαδρομή και να φτάσουμε στο α και να πούμε ότι το ζ προτιμάται είναι χειρότερο του α. Παίρνουμε το επόμενο, παίρνουμε το επόμενο, παίρνουμε το επόμενο κλπ βήμα βήμα. Κάποια στιγμή επειδή το ζ είναι χειρότερο και το θ είναι καλύτερο η φορά της προτίμησης θα πρέπει να γίνει μέσα σε αυτό το ευθύγραμμο τμήμα. Μεταξύ ζ και θ θα πρέπει να γίνει η αλλαγή της προτίμησης. Γιατί από εκεί που είμαστε μέχρι το ζ χειρότερα από το θ και πάνω είμαστε καλύτερα. Άρα η αλλαγή της προτίμησης θα πρέπει να γίνει μέσα στο ευθύγραμμο τμήμα ζθ. Συμφωνεί? Εάν πάρουμε λοιπόν και συγκρίνουμε σημείο σημείο του ευθύγραμμου τμήματος με το α χρησιμοποιώντας το αξίωμα της μεταβατικότητας, θα δούμε το εξής, ότι στο η είναι χειρότερο από το α και το γειτονικό του σημείο, το αμέσως επόμενο σημείο είναι καλύτερο, το κ. Η θέση είναι τελείως στοιχεία πάλι. Μέχρι το ζ η η μη ευθεία περιλαμβάνει σημεία τα οποία είναι καλύτερα από το α και σημεία τα οποία είναι χειρότερα από το α. Άρα σε κάποιο σημείο της σημείου ευθείας πρέπει να γίνεται η αλλαγή του προσήμου. Δεν είναι. Έχουμε καλύτερα και χειρότερα. Κάπου θα πρέπει να γίνεται αλλαγή προσήμου. Λέμε λοιπόν ότι από το μηδέν μέχρι το ζ όλα είναι χειρότερα. Από το θ μέχρι το ω είναι καλύτερα. Αν θα γίνεται αλλαγή προσήμου που γίνεται αλλαγή προσήμου αναγκαστικά θα γίνεται μεταξύ του ζ και του θ. Δηλαδή στο ευθύγραμο τμήμα ζθ. Πού δεν ξέρουμε. Δεν ξέρουμε πού. Αλλά εάν γίνεται που γίνεται αλλαγή προσήμου αυτή η αλλαγή γίνεται εκεί μέσα. Για να δούμε λοιπόν πού γίνεται αυτή η αλλαγή προσήμου. Παίρνουμε κάθε σημείο του ευθύγραμο τμήματος και με βάση τα δύο αξιώματα το συγκρίνουμε με το α. Παίρνουμε ένα-ένα αυτά τα άπειρα σημεία τα συγκρίνουμε. Ένα-ένα-ένα-ένα είναι χειρότερα-χειρότερα-χειρότερα-χειρότερα ή τα χειρότερο. Παίρνουμε το γειτονικό του το κ. Κάνουμε πάλι τη σύγκριση και βλέπουμε το κ πια είναι καλύτερο. Και από εδώ και πάνω όλα είναι καλύτερα. Συνεπώς η αλλαγή του προσήμου της προτίμησης έγινε από το η στο κ. Επαναλαμβάνω πάλι η θέση είναι τυχαία θα μπορούσα να ήταν εδώ κάτω θα μπορούσα να ήταν εδώ πάνω οπουδήποτε. Θα δούμε στη συνέχεια γιατί συμβαίνει αυτό. Άρα η αλλαγή του προσήμου έγινε μεταξύ του η που είναι χειρότερο και το αμέσως επόμενο σημείο που είναι το κ που είναι καλύτερο. Μέχρι εδώ οκ, εντάξει. Επειδή η ημιευθεία είναι συνεχής δεν υπάρχουν κενά. Τι μας λέει η θεωρία της συνέχειας. Ότι εάν έχουμε δύο γειτονικά σημεία τότε μεταξύ αυτών των δύο γειτονικών σημείων πάντα θα υπάρχει ένα σημείο ανάμεσά τους. Δηλαδή αν έχουμε μια γειτονία σε μεταξύ δύο σημείων και πάντα θα υπάρχει ένα σημείο το οποίο βρίσκεται ανάμεσα σε αυτά τα δύο. Αν πάρουμε τώρα αυτά τα δύο θεωρήσουμε αυτά τα δύο σαν γειτονικά θα υπάρχει ένα άλλο σημείο το οποίο θα είναι ανάμεσά τους. Και και και και έτσι δεν υπάρχει κενό στη συνέχεια. Άρα εάν το η και το κ είναι συνεχόμενα είναι γειτονικά σημεία με βάση στα μαθηματικά τότε μεταξύ του η και του κ θα υπάρχει ένα άλλο σημείο το οποίο δεν είναι ούτε χειρότερο ούτε καλύτερο. Άρα είναι τι αδιάφορο. Ούτε καλύτερο ούτε χειρότερο και συνεχώς είναι αδιάφορο. Το ξαναλέω ότι με βάση αυτά τα οποία είπαμε τα δύο αξιώματα καταλήξαμε ότι η αλλαγή του προσήμου της προτίμησης γίνεται μεταξύ του η και του κ. Το η είναι το τελευταίο καλάθι που είναι χειρότερο από το α και το κ είναι το πρώτο καλάθι πάνω στην ημιευθεία που είναι καλύτερο από το α. Με βάση λοιπόν τα μαθηματικά εάν το η και το κ είναι δύο γειτονικά σημεία θα υπάρχει ένα τρίτο σημείο το οποίο είναι ανάμεσα στα δύο. Καθώς το η είναι χειρότερο και το κ είναι καλύτερο τότε αυτό που βρίσκεται ανάμεσα στα δύο δεν θα είναι ούτε καλύτερο ούτε χειρότερο άρα θα είναι αδιάφορο. Κατανοητό. Άρα τι δείξαμε λοιπόν. Δείξαμε ότι στην ημιευθεία αυτή υπάρχει ένα καλάθι το οποίο είναι αδιάφορο ως προς το α. Υπάρχει ένα καλάθι που είναι αδιάφορο ως προς το α. Πόσες ημιευθείες μπορούμε να φέρουμε. Άπειρες. Άρα παίρνοντας αυτά τα σημεία τα οποία υπάρχουν ανάμεσα στο η και κ της κάθε ημιευθείας σχηματίζεται ένα σύνολο σημείων που ονομάζεται κλάση αδιαφορίας του α. Κλάση αδιαφορίας του α είναι ένα σύνολο σημείων που έχουν το χαρακτηριστικό να είναι αδιάφορα ως προς το α. Όχι από το η. Ανάμεσα από το η και στο κ περνάει. Περνάει ανάμεσα στο η και στο κ. Είναι το σημείο ανάμεσα στο η και στο κ. Σε κάθε ημιευθεία υπάρχει ένα καλάση που βρίσκεται μεταξύ του αντίστοιχου η και κ που είναι αδιάφορο ως προς το α. Καθώς υπάρχουν άπειρες ημιευθείες έχουμε άπειρα τέτοια καλάθια που σχηματίζουν μία κλάση από τη θεωρία των συνολών η οποία ονομάζεται κλάση αδιαφορίας του α. Η κλάση αδιαφορίας του α είναι το σύνολο των καλαθιών που είναι αδιάφορα ως προς το α. Πάμε κατευθείαν τώρα. Το φάγαμε το γαϊδαρο. Μιλάτε πολύ και... Τώρα αυτή η κλάση αδιαφορίας, πάμε τώρα, φτιάξαμε λοιπόν... Συγγνώμη, χωρίσαμε τον χώρο των επιλογών σε τρία πλέον υποσύνολα. Το υποσύνολο που είναι καλύτερο από το α χωρίσαμε τον χώρο των επιλογών ως προς ένα σημείο α σε τρία υποσύνολα. Το πρώτο υποσύνολο είναι όλα τα καλάθια που βρίσκονται κάτω από την κλάση αδιαφορίας. Το υποσύνολο που περιέχει καλύτερα καλάθια από το α που είναι όσα βρίσκονται πάνω από την κλάση αδιαφορίας. Και τέλος το υποσύνολο κλάση αδιαφορίας του α. Άρα το σύνολο σε χωρίστηκε ως προς το α σε τρία υποσύνολα. Την κλάση αδιαφορίας του α, όλα τα καλάθια είναι αδιάφορα ως προς το α. Δύο το υποσύνολο των καλαθιών κάτω από την κάπα α του α. Υποδέστερα του α και το υποσύνολο των καλαθιών πάνω από την κλάση αδιαφορίας του α. Αυτά προτιμούνται εναντί του α. Μην ξεχνάμε ότι αναφερόμαστε πια σε κανονικά αγαθά. Αυτά που μπορούμε να αγοράσουμε με φυσικές ποσότητες. Έχουμε φύγει από το πολύ θεωρητικό και έχουμε φτάσει πια να ταξινομίσουμε τα καλάθια των προϊόντων σε τρεις κατηγορίες. Δεύτερη υπόθεση. Δεν ξέρουμε τίποτα. Δεν μας ενδιαφέρει αυτή τη στιγμή. Τίποτα. Τα αγαθά μπορεί να είναι οτιδήποτε. Σκεφτείτε το στον τρισδιάστατο χώρο. Επίπεδο επομένως θα είναι το... Και στον ιδιάστατο χώρο είναι ιδιάστατο επίπεδο. Εδώ το κάνουμε παραστατικά. Η κλάσια διαφορίας, γι' αυτό χρησιμοποιώ τον όρο κλάσια διαφορίας που είναι σύνολο. Άρα το σύνολο μπορεί να είναι σε ιδιαστάσεις. Θα το δούμε όταν θα κάνουμε τις συναρτήσεις εκεί. Δεύτερη υπόθεση. Το σύνολο R του α είναι ευθέως κυρτό. Το σύνολο R του α είναι ευθέως κυρτό. Από τα μαθηματικά του ηλικίου σας, ένα σύνολο... Έχετε κάνει για σύνολο, δεν έχετε κάνει? Κυρτό σύνολο και τα ξέρετε, απ' έξω και ανεκατωτά. Ένα σύνολο λέγεται κυρτό όταν ο οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός δύο στοιχείων του συνολού ανήκει είτε στο εσωτερικό του συνολού είτε στο σύνορό του. Δηλαδή, αν πάρουμε αυτό εδώ, αυτό είναι ένα σύνολο. Αυτό το σύνολο είναι κυρτό. Αν πάρουμε το σημείο α και το σημείο β, ο γραμμικός συνδυασμός του α και του β ανήκει πάνω στην επιφάνεια. Αυτό είναι κυρτό σύνολο. Εάν πάρουμε ένα σύνολο με μια τρύπα στη μέση και πάρουμε ένα σημείο α και ένα σημείο β του συνολού, τότε ο γραμμικός συνδυασμός μεταξύ του α και του β ανήκει εκτός συνολού. Άρα αυτό δεν είναι κυρτό, είναι μη κυρτό σύνολο. Εάν τώρα πάρουμε ένα σύνολο, σαν τον κύκλο για παράδειγμα, και πάρουμε οποιαδήποτε σημεία α και β και πάρουμε τον γραμμικό του συνδυασμό, τότε όλοι οι γραμμικοί συνδυασμοί ανήκουν στο εσωτερικό του συνολού. Τότε αυτό είναι ευθεώς κυρτό σύνολο. Άρα αυτό είναι μη κυρτό, όταν τα στοιχεία του γραμμικού συνδυασμού είναι εκτός συνολου, και αυτό για παράδειγμα θα μπορούσε να είναι. Αυτό είναι κυρτό και αυτό είναι ευθεώς κυρτό. Η διαφορά είναι μεταξύ κυρτού και ευθέως κυρτού συνόλου ότι οι γραμμικοί συνδυασμοί του ευθέως κυρτού ανήκουν στο εσωτερικό και όχι στην επιφάνεια. Άρα αυτό το οποίο λέμε είναι ότι το σύνολο R του α είναι ευθέως κυρτό. Ποιο είναι το σύνολο R του α? Το σύνολο R του α περιλαμβάνει όλα τα καλάθια που προτιμώνται έναντι του α συν την κλάσια διαφορίας. Άρα το σύνολο R του α είναι ένα σύνολο το οποίο περιλαμβάνει την κλάσια διαφορίας και πάνω. Το σύνολο R του α είναι ένα σύνολο το οποίο περιλαμβάνει όλα τα καλάθια από την κλάσια διαφορίας και την κλάσια διαφορίας και πάνω. Όχι τα χειρότερα. Τι μας λέει λοιπόν εδώ πέρα ότι το σύνολο R του α x2 x1 είναι ευθέως κυρτό. Αυτό είναι το R του α. Αυτή είναι η κλάσια διαφορίας. Και όσα είναι στο εσωτερικό του συνόλου είναι καλύτερα σε σχέση με το R του α. Τι μας λέει αυτό το πράγμα οικονομικά. Μας λέει ότι αν έχω να επιλέξω μεταξύ δύο επιλογών α και β ο συνδυασμός αυτών των επιλογών είναι πάντα καλύτερος. Δηλαδή το μέσο είναι καλύτερο από τα άκρα. Αν έχω δηλαδή να επιλέξω μεταξύ του καλαθιού β και του καλαθιού γ ο οποιοσδήποτε συνδυασμός αυτών των δύο είναι καλύτερος από το β και το γ. Άρα το άτομο προτιμά τον γραμμικό μέσο όρο παρά τα άκρα. Όταν του δίνεται η δυνατότητα να επιλέξει μεταξύ συνδυασμού επιλέγει το συνδυασμό. Αυτό είναι το οικονομικό νόημα. Το καταλαβαίνουμε. Το ξαναλέω ότι υποκανονικές συνθήκες όπως έχουμε ξεκινήσει να συζητάμε το άτομο πάντα προτιμά καταστάσεις συνδυασμού. Και όχι τα ακραία. Αν δηλαδή είχε να επιλέξει μεταξύ του β και του γ προτιμά τον γραμμικό συνδυασμό μεταξύ του β και του γ. Αν το κάνουμε σε προϊόντα μόνο για να φανεί λίγο καλύτερα. Ας πούμε ότι το β είναι ένα καλάθι το οποίο περιέχει τέσσερις σοκολάτες και μηδέν σάντουιτς. Και από την άλλη μεριά το γ είναι ένα καλάθι το οποίο περιέχει μηδέν σοκολάτες και τέσσερα σάντουιτς. Αυτό το οποίο μου λέει εδώ πέρα είναι ότι το άτομο θα προτιμήσει έναν γραμμικό συνδυασμό αυτών των δύο. Πίχη θα προτιμούσε αντί του τέσσερα μηδέν και μηδέν τέσσερα θα προτιμούσε δύο και δύο. Κατανοητό. Δηλαδή δεν μπορώ να τρώω μόνο σοκολάτες ή δεν μπορώ να τρώω μόνο σάντουιτς θα προτιμούσα να τρώω και σοκολάτα και σάντουιτς. Άρα δεν θα φάω πολύ σοκολάτα ή πολύ σάντουιτς αλλά θα φάω λιγότερη σοκολάτα και λιγότερο σάντουιτς και θα απολαύσω και τα δύο αγαθά. Εντάξει αυτό είναι το οικονομικό νόημα. Το τεχνικό νόημα είναι προφανές πια ότι από εκεί που είχαμε μία κλάσια διαφορίας που είναι το σύνορο του R του α, μία κλάσια διαφορίας που ήταν έτσι. Αυτή η κλάσια διαφορίας τώρα έχει πάρει μία πιο ομαλή κλήση. Τρίτη υπόθεση. Η παράγωγος... Αν πάρουμε το οριακό σύνολο τώρα του R του α, που είναι στην ουσία η κλάσια διαφορίας. Η παράγωγος αυτού του οριακού συνολου ορίζεται μοναδικά σε κάθε σημείο, δεύτερον είναι αρνητική και τρίτον φθύνουσα σε απόλυτη δημή. Η παράγωγος αυτού του οριακού συνολου ορίζεται μοναδικά σε κάθε σημείο, δεύτερον είναι αρνητική και τρίτον φθύνουσα σε απόλυτη δημή. Αυτή η παράγωγος ονομάζεται οριακός λόγος υποκατάστασης του 2 με το 1. Αυτή η παράγωγος ονομάζεται οριακός λόγος υποκατάστασης του x2 με x1. Άρα ο οριακός λόγος υποκατάστασης ορίζεται μοναδικά, είναι φθύνων και αρνητικός. Η παράγωγος αυτή ονομάζεται οριακός λόγος υποκατάστασης, είναι η κλήση, με άλλα λόγια, της κλάσης αδιαφορίας. Η οποία κλάση αδιαφορίας με βάση αυτές τις δύο βασικές υποθέσεις έχει πάρει στον χώρο τα χαρακτηριστικά μιας καμπύλης. Έτσι, καταλήγουμε πια στην καμπύλη αδιαφορίας του α. Άρα, η παράγωγος ορίζεται μοναδικά. Συνεπώς, δεν μπορούμε να έχουμε μητήτσες, διότι στη μητήτσα έχουμε απειρία παραγώγων. Συνεπώς, η καμπύλη αδιαφορίας πρέπει να έχει ομαλή κλήση. Για να δούμε τα άλλα δύο, μην ξεχνάμε ότι όλα τα σημεία της καμπύλης πλέον αδιαφορίας είναι καλάθια, που έχουν το χαρακτηριστικό να είναι αδιάφορα ως προς το α. Με διαφορετικές ποσότητες. Τι μας λέει λοιπόν εδώ πέρα, οικονομικά πια, διότι τεχνικά η παράγωγος μας λέει ότι είναι μια ομαλή καμπύλη με αρνητική κλήση. Για να δούμε τώρα το οικονομικό νόημα του οριακού λόγου υποκατάστασης της παραγώγου. Είναι άπειρα, όλα τα σημεία που είναι αδιάφορα ως προς το α είναι άπειρα. Η παράγωγος τι μας λέει, η παράγωγος είναι δέχει δύο, δέχει ένα. Είναι στην ουσία μια μικρή μετακίνηση, αν πάρουμε την παράγωγος στο σημείο α, είναι μία μικρή μετακίνηση από το α στο γειτονικό του, το βάζω εδώ πέρα τώρα το γειτονικό του, αλλά είναι το γειτονικό του, το αμέσως επόμενο σημείο, το λίμ. Η παράγωγος μας λέει ότι έχουμε μία μετακίνηση από το α στο β, το γειτονικό, μία μικρή μετακίνηση. Αυτή η μετακίνηση έχει αρνητικό πρόσημο. Δηλαδή η παράγωγος έχει αρνητικό πρόσημο, άρα η μετακίνηση έχει αρνητικό πρόσημο. Δηλαδή για να πάμε από το α στο β, ένας από τους δύο παράγοντες του κλάσματος είναι αρνητικός, είτε το αρνητικής είτε το παρονομαστής. Άρα για να πάμε από το α στο β, και ό,τι λέμε από το α στο β, ισχύει και για το β στο α, απλώς με την αντίστροφη σχέση, αν πάμε λοιπόν από το α στο β, δηλαδή εάν θέλουμε να έχουμε περισσότερο χ1, θα πρέπει να θυσιάσουμε από το χ2. Επαναλαμβάνω. Εάν θέλουμε να πάμε από το α στο β, δηλαδή ο καταναλωτής να απολαύσει μεγαλύτερη ποσότητα από το χ1, παραμένοντας όμως σε ισοδυναμία με το α, και όπως είπαμε ισοδυναμία μπορεί να είναι η χρησιμότητα, παραμένοντας όμως σε ισοδυναμία με το α, για να πάρει περισσότερη ποσότητα θα πρέπει να θυσιάσει από το χ2. Άρα το αρνητικό σημαίνει θυσία. Το αρνητικό σημαίνει θυσιάζω, πληρώνω σε κάτι. Συνεπώς, αν θέλω να έχω περισσότερο από κάτι θα πρέπει να θυσιάσω το άλλο αγαθό. Αυτό σημαίνει το αρνητικό. Και σε κάθε σημείο, όπως βλέπετε εδώ σε αυτή την καμπύλη, η παράγωση είναι διαφορετική. Βλέπετε μοναδικά σε κάθε σημείο. Η παράγωση είναι διαφορετική. Εδώ πάνω είναι διατεθειμένος να θυσιάσει μεγάλη ποσότητα, έχει πολύ χ2, είναι διατεθειμένος να θυσιάσει μεγάλη ποσότητα από το χ2 για να πάρει μία μονάδα από το χ1, ενώ εδώ κάτω, όσο πάμε προς τα κάτω, είναι διατεθειμένος να θυσιάζει λιγότερη ποσότητα από το χ2 για να πάρει μία έξι δα μονάδα από το χ1. Δηλαδή το άτομο, για να πάρει μία ποσότητα από το άλλο αγαθό και να διατηρήσει την ισοδυναμία, πρέπει να πληρώνει σε μονάδες του άλλου αγαθού. Όσο περισσότερο αποκτά από το 1, τόσο λιγότερο διατεθειμένος είναι να πληρώνει από το 2. Και φτάνουμε σε κάποιο σημείο που τύνει ασυμπτωτικά στο οριζόντιο που σημαίνει ότι στην ουσία ασυμπτωτικά δεν θέλει να θυσιάσει παραπάνω από αυτό το συγκεκριμένο αγαθό. Αυτό είναι πολύ σημαντικό. Αυτό που γράφουμε εδώ πέρα είναι πάρα πολύ σημαντικό. Εάν σκεφτούμε τη λειτουργία της οικονομίας, όχι μόνο την καταναλωτική, αλλά τη λειτουργία της οικονομίας με αυτό τον τρόπο, τότε θα κατανοήσουμε το πάρα πολύ απλό. Ότι ο οριακός λόγος υποκατάστασης έχει ένα όνομα. Πώς είναι το όνομα αυτό που είπατε στο Λύκειο? Είναι το κόστος ευκαιρίας. Ο οριακός λόγος είναι το κόστος ευκαιρίας του συγκεκριμένου ατόμου, στη συγκεκριμένη στιγμή. Άρα το κόστος ευκαιρίας δεν είναι σταθερό, το κόστος ευκαιρίας μεταβάλλεται ανάλογα με τη θέση την οποία έχει το άτομο. Και τι μου λέει εδώ πέρα. Μου λέει ότι αν θέλεις να έχεις περισσότερο κάτι, θα πρέπει να θυσιάζεις από κάτι άλλο. Εάν θέλεις να έχεις περισσότερα αγαθά από κάτι, θα πρέπει να περιορίσεις την κατανάλωση κάποιων άλλων αγαθών. Και αν σκεφτούμε ότι και η κοινωνία, η ελληνική κοινωνία ολόκληρη, έχει μια δική της καμπύλια διαφορείας, όταν έρχεται η ώρα λέμε να έχουμε περισσότερες μη κυβερνητικές οργανώσεις ή καλύτερες συντάξεις. Καλή σας μέρα!