Διάλεξη 10 / Διάλεξη 10 / Διάλεξη 10 - Ζιούτας Γεώργιος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Διάλεξη 10: Λοιπόν, παιδιά, σήμερα θα αλύσσουμε ασκήσεις και προβληματάκια που αφορούν, που σχετίζονται με τις τυχές των δημιουργητές διακριτού τύπου και θα χρησιμοποιήσουμε τις χρήσιμες κατανομές που μάθαμε χθες, όπως ιδιονυμική, Πουασσόν, γεωμετρική, υπεργεωμετρική Πασκάλ. Την άλλη ώρα δεν θα έρθει η Μαρία Παπαπέτρου γιατί έχει κάποιο πρόβλημα υγείας, άρα θα συνεχίσουμε μαζί, δηλαδή θα κάνουμε μέχρι τις δυόμιση, δεν θα κάνουμε διάλειμμα, θα συνεχίσουμε μέχρι τις δυόμιση και θα σταματήσουμε. Να ξεκινήσουμε λοιπόν με ένα πρόβλημα όπου υπάρχει ένα τηλεφωνικό κέντρο, το οποίο έχει ας το πούμε κάπα γραμμές. Υπάρχουν όμως περισσότεροι συντρομητές από τις κάπα γραμμές. Υπάρχουν όμως περισσότεροι συντρομητές όπως ο ένα, ο δύο, ο τρία, ο δέκα. Οι οποίοι βέβαια θέλουν να τηλεφωνήσουν μέσα από το τηλεφωνικό κέντρο. Αυτές οι γραμμές εδώ πέρα είναι δέκα, αλλά το κέντρο διαθέτει ας το πούμε κάπα γραμμές. Και θέλουμε να δούμε πόσες γραμμές πρέπει να διαθέτει το τηλεφωνικό κέντρο, έτσι ώστε όταν ο κάθες συντρομητής επιχειρεί να τηλεφωνήσει, το πολύ μία στις δέκα φορές η γραμμή να είναι κατελημένη. Ή, ισοδύναμα, κάθε φορά που επιχειρεί να τηλεφωνήσει εννιά φορές στις δέκα, η γραμμή θα είναι ελεύθερη και μπορεί να τηλεφωνήσει. Ή αυτό μπορούμε να το εκφράσουμε ότι κάθε φορά που επιχειρεί να τηλεφωνήσει, η πιθανότητα η γραμμή να είναι κατελημένη, να είναι μικρότερη από 10%. Δεδομένου ότι ο κάθες συντρομητής μιλάει, την ώρα μιλάει 12 λεπτά στο τηλέφωνο. Ο κάθες συντρομητής κατά μέσο όρο την ημέρα μιλάει 12 λεπτά την ώρα στο τηλέφωνο. Και αυτό σημαίνει ότι, ανά πάσα χρονική στιγμή, η πιθανότητα να μιλάει στο τηλέφωνο είναι 12 προς 60. Δηλαδή είναι 20%. Αυτό είναι το πρόβλημα εδώ πέρα. Πόσες γραμμές πρέπει να διαθέτει το ηλεφωνικό κέντρο, έτσι ώστε η πιθανότητα να βρει τις γραμμές κατελημένες, κάθε φορά που επιχειρεί να τηλεφωνήσει να είναι μικρότερη του 10%. Εδώ πέρα μπορώ να ορίσω μία τυχαία μεταβλητική, η οποία να παριστάνει, ανά πάσα στιγμή, πόσοι συντρομητές θέλουν να τηλεφωνήσουν. Είναι 10, μπορεί κανένας να μη θέλει κάποια στιγμή να τηλεφωνήσει, ή ένας, ή δύο, ή τρεις, μέχρι δέκα. Με παραμπάνω τυχαία μεταβλητική εδώ παριστάνει, ανά πάσα χρονική στιγμή, πόσοι συντρομητές θέλουν ή επιχειρούν, εν πάση περιπτώσει, να τηλεφωνήσουν. Κάποια στιγμή μπορεί κανένας να μη θέλει, ή κάποια στιγμή ένας, ή δύο, ή τρεις. Κάποια στιγμή μπορεί όλοι μαζί να θέλουν να τηλεφωνήσουν. Αυτή είναι η τυχαία μεταβλητική. Εάν το τηλεφωνικό κέντρο διαθέτει κάπα γραμμές, θέλω η πιθανότητα, η τιμή που παίρνει η τυχαία μεταβλητική, ανά πάσα στιγμή, να είναι μικρότερη η ίση του κάπα. Κάπα είναι γραμμές. Αν είναι μικρότερο, σημαίνει να είναι μεγαλύτερο. Ας βάλουμε μικρότερο του κάπα. Αυτή η πιθανότητα θέλουμε να είναι 90%. Το χ παριστάνει ανά πάσα στιγμή πόσους πελάτες θέλουν να τηλεφωνήσουν. Θέλουμε να έχουμε τόσες γραμμές, έτσι ώστε, ανά πάσα στιγμή η πιθανότητα, το χ, να είναι μικρότερο η ίση του κάπα, να ισούνται με 90%. Γιατί όταν το χ είναι μικρότερο η ίση του κάπα, τότε οι συντρομητές βρίσκουν ελεύθερη γραμμή και μπορούν να τηλεφωνήσουν. Αν το χ είναι μεγαλύτερο του κάπα, τότε υπάρχει πιθανότητα, σε κάποιους από αυτούς, να βρίσκουν κατελημένοι στις γραμμές και να μην τηλεφωνούν. Εν πάση περιπτώσει το πρόβλημα το έχω διαμορφώσει με αυτό το πέρατο μοντέλο, ότι ανά πάσα στιγμή η πιθανότητα ένας συντρομητής να θέλει να τηλεφωνήσει είναι 20%. Πώς το έβγαλα αυτό? Λέω ότι ο κάθες συντρομητής μιλάει κατά μέσα ώρα 12 λεφτά στο τηλέφωνο. Αυτό είναι γνωστό. Άρα, ανά πάσα στιγμή να θέλει να τηλεφωνήσει, η πιθανότητα είναι 12 προς 60. Εμπερικά τη βγάζω την πιθανότητα. Ποιο? Η ώρα έχει 60 λεπτά. Λέμε ότι κατά μέσα ώρα μιλάει ο κάθες συντρομητής 12 λεπτά την ώρα. Εντάξει, 12 λεπτά την ώρα. Άρα, αν κάνω μια δοκιμή και πω αυτή τη χρονική στιγμή τώρα, τι πιθανότητα έχει να μιλάει στο τηλέφωνο, ή να θέλει να μιλήσει σε βάση περιπτώση, είναι 12 προς 60. 20%. Η τυχία μεταβλητήχη παριστάνει πόσοι από τους 10, σε κάθε χρονική στιγμή, θέλουν να μιλήσουν. Εδώ υποτιήθηται ότι η δοκιμή Μπερνούλη γίνεται σε κάθε χρονική στιγμή. Αυτή τη χρονική στιγμή, για παράδειγμα που μιλώ τώρα, ρωτώ πόσοι από αυτούς θέλουν να τηλεφωνήσουν. Του πολύ να είναι 10, γιατί 10 είναι οι συντρομητές. Ποια είναι η πιθανότητα ο κάθε συντρομητής, αυτή τη στιγμή, να θέλει να μιλήσει, είναι 20%. Αυτά είναι δεδομένα. Κάθε στιγμή, δοκιμάζουμε το κάθε συντρομητής, αν θέλει να μιλήσει ή όχι. Ο κάθες συντρομητής, αν θέλει να μιλήσει ή όχι. Και έχουμε πόσες δοκιμές Μπερνούλη, 10. Έχουμε δηλαδή 10 δοκιμές Μπερνούλη. Η δοκιμή Μπερνούλη αντιστοιχεί σε κάθε συντρομητή, αυτή τη στιγμή, θέλει να μιλήσει ή όχι. Ποια είναι η πιθανότητα να θέλει, 20%. Το ίδιο και για τους άλλους. Σε κάθε συντρομητή έχουμε μια δοκιμή Μπερνούλη. Έχουμε δηλαδή 10 δοκιμές. Χ είναι η τυχαία μεταβλητή, η οποία παριστάνει τον αριθμό γεγονότων που εμφανίζονται στις 10 δοκιμές. Και αν δεν γεγονόταν, το γεγονός Α είναι ότι ο συντρομητής θέλει να μιλήσει. Το Α λοιπόν μπορεί να εμφανιστεί 0, 1, 2 μέχρι 10. Δηλαδή η τυχαία μεταβλητή μπορεί να πάρει τιμές από το 0 μέχρι το 10. Και παριστάνει πώς οι συντρομητές θέλουν να μιλήσουν αυτή τη χρονική στιγμή. Άρα λοιπόν θα πρέπει το Κ να έχει τέτοια τιμή, έτσι ώστε η πιθανότητα ο αριθμός των συντρομητών που θέλουν να μιλήσουν κάποια χρονική στιγμή να είναι μικρότερο από το Κ. Να είναι μικρότερο από το Κ, γιατί σε αυτή την περίπτωση θα μπορούν όλοι, αυτοί οι Χ συντρομητές θα μπορούν να μιλήσουν ελεύθερα γιατί θα είναι λιγότεροι από τις διαθέσιμες γραμμές του τηλεφωνικού κέντρου. Ποια είναι αυτή εδώ πέρα η πιθανότητα, θα τη γράψουμε πιο αναλυτικά. Είναι συνδυασμή 10 πραγμάτων ανα Χ, επί π ή στην Χ, που είναι το 0.20, στην Χ, επί 0.80, ή στην 10μχ. Και θα πάρω άθροισμα Χ ίσον από 0 μέχρι Κ. Αυτή εδώ πέρα η πιθανότητα είναι η αθροιστική της διωνυμικής. Είναι ο τύπος της διωνυμικής και το Χ θα πάει από 0 μέχρι Κ. Αυτή εδώ είναι η πιθανότητα ΠΧ μικρότερων ίσον του Κ. Και αυτό θέλω να είναι ίσον με 0.90, ή εν πάση περιπτώσει να ξεπεράσει το 0.90. Και τι κάνω εδώ πέρα, ξεκινώ βάζω για 0, 1, 2 προσθέτω, μέχρι προσθέτω αυτές τις πιθανότητες, ξεκινώ να στατοχίσω με 0, μέχρι αυτό να ξεπεράσει το 0.90. Αν ξεκινήσετε κάπου για Κ' ας το πούμε 5 ή 6, γύρω στο 5 το μήλιο, εκεί πέρα η πιθανότητα ξεπερνάει το 0.90, ή μάλλον για Κ' 4, για Κ' 1 η πιθανότητα είναι 0.37, για Κ' 2 0.67, για Κ' 3 0.87, για Κ' 4 0.96. Άρα λοιπόν για Κ' 4, αν βάλω εδώ πέρα, αυτό το άθλησμα θα βγει 0.96. Άρα λοιπόν, αν το τηλεφωνικό κέντρο με αυτά τα δεδομένα διαθέτει τέσσερις γραμμές, ανά πάσα χρονική στιγμή, η πιθανότητα, οι συντρομητές που θέλουν να μιλήσουν, να βρίσκουν ελεύθερη γραμμή, είναι τουλάχιστον 0.96%. Υπάρχει μια πιθανότητα, κάπου 4%, να μην μπορούν όλοι τους να μιλήσουν ταυτόχρονα. Υπάρχει και μια πορεία. Βλέπετε ότι εδώ πέρα χρησιμοποιήσαμε διονυμική, αλλά πρώτα πρέπει να δούμε ότι πρόκειται για διονυμική. Έχουμε δοκιμές Μπερνούλη για κάθε συντρομητή, αν μιλάει ή δεν μιλάει στο τηλέφωνο, αν θέλει να μιλήσει ή όχι στο τηλέφωνο, το ίδιο πράγμα είναι. Υπάρχει μια σταθερή πιθανότητα που εμπειρικά την έχουμε υπολογίσει, γιατί ξέρουμε ότι κατά μέσο όρο μιλάει 12 λεπτά, γενικά θέλει να μιλήσει 12 λεπτά στο τηλέφωνο, ανα ώρα. Άρα, ανά πάσα στιγμή, βγάζουμε εμπειρικά ότι η πιθανότητα να θέλει να μιλήσει είναι 20%. Και πόσες γραμμές θα πρέπει να διαθέτει το κέντρο έτσι, η πιθανότητα να μπορούν όλοι να μιλάνε ταυτόχρονα, να είναι τουλάχιστον 99%. Εδώ πέρα αυτό μπορούμε να το βάλουμε μεγαλύτερη ρωτή στον 99%. Και αυτή η πιθανότητα είναι η αθληστική της διονυμικής με αυτά τα δεδομένα και αθλίζουμε την πιθανότητα για x, 1, 2, 3, για 4, όταν το x φτάνει στο 4, τότε το άθλισμα αυτό ξεπερνάει για πρώτη φορά το 90% και σταματάμε. Άρα για 4 γραμμές, το k πρέπει να έχει 4 γραμμές. Αν δεν έχετε πορεία να προχωρήσουμε σε άλλη, σε άλλο πρόβλημα. Ας δούμε δύο ασκήσεις, δύο προβλήματα που υπάρχουν στο τεστ. Το πρόβλημα με αριθμό 10 αναφέρει ότι ο αριθμός ψεγαδιών που συναντά κανένας στην επιφάνεια της ταπετραρίας ενός αυτοκίνητου σε μία βιομηχανία είναι 8 ψεγαδιά ένα τετραγωνικό μέτρο. Σε μία βιομηχανία αυτοκίνητων ο αριθμός ψεγαδιών κατά μέσο όρο που συναντά στην επιφάνεια της ταπετραρίας είναι 0,8 τετραγωνικό μέτρο, ο μέσος όρος των ψεγαδιών. Ένα αυτοκίνητο απαιτεί για να φτιάξουμε στην ταπετραρία του 6 τετραγωνικά μέτρα. Πιο επιθανότητα ότι δεν υπάρχουν ψεγάδια στην ταπετραρία ενός αυτοκίνητου. Και αν είναι τυχαία μεταβλητή η οποία παριστάνει τον αριθμό ψεγαδιών στα 6 τετραγωνικά μέτρα που έχει το αυτοκίνητο, αυτή η τυχαία μεταβλητή μπορεί να πάρει τη μέση 0,1,2, δεν έχει πραγμό και μπορούμε να υποεφέσουμε ότι ακολουθεί πουασόν κατανομή. Αυτή η τυχαία μεταβλητή όπως αναφέραμε γενικά για τις πουασόν τυχιές μεταβλητές έχουν ένα δίκτυ εδώ, αναφέρεται στα 6 τετραγωνικά μέτρα. Το τάφ εδώ πέρα δεν παριστάνει χρόνο, είχαμε πει το τάφ μπορεί να παριστάνει επιφάνεια ή μήκος δρόμου ή χρόνο ή όγκο κτλ. Άρα λοιπόν έχουμε μια τυχαία μεταβλητή η οποία αναφέρεται σε γάδια, στα ελαττώματα που συναντά κανένας σε 6 τετραγωνικά μέτρα ταπετσαρίας και αυτά μπορεί να είναι από 0,1,2, δεν υπάρχει κάποιος συγκεκριμένος φραγμός, θεωρητικά μπορεί να πάει μέχρι το άπειρο. Εμείς θέλουμε στην ταπετσαρία του αυτοκίνητου να μην υπάρχει κανένα ψεγάδι. Το αυτοκίνητο να έχει σωστή καλή ταπετσαρία χωρίς ελαττώματα. Άρα θέλουμε να πάρει την τιμή 0 και σύμφωνα με τον τύπο της φοασών είναι A στιγμίων λαμπδά επί τάφ, το τάφ εδώ πέρα είναι 6, επί 6 λαμπδά στιγμίδεν προς 0 παραγοντικό. Αυτό εδώ πέρα κάνει η μονάδα, μονάδα οριθμητής, μονάδα παρανομαστής και έχουμε A στιγμίων, το λαμπδά είναι 8 εκατοστά, άρα αυτό εδώ πέρα θα γίνει 6,8,48 εις τη 0,48. Έτσι λοιπόν θα ολοκληρώσει τις πράξεις, θα βρείτε ποια είναι η πιθανότητα. Στη συνέχεια όμως υπάρχει και άλλο ερώτημα, εάν ελέγξουμε 10 αυτοκίνητα, ποια είναι η πιθανότητα ότι κανένα δεν φέρνει ψεγάδι στο ιστορικό του, ποια είναι η πιθανότητα ότι όλα τα αυτοκίνητα, η ταπετσαρία τους είναι καλή και καμία δεν φέρνει, κανένα αυτοκίνητο δεν έχει ψεγάδι στην ταπετσαρία του. Εδώ πέρα σε κάθε αυτοκίνητο έχουμε δοκιμή Μπερνούλη, αν έχει η ταπετσαρία του είναι σωστή ή όχι. Υπάρχει μια πιθανότητα η ταπετσαρία να είναι καλή, η οποία είναι έις τη 0,48. Η ταπετσαρία του, λοιπόν, έχει πιθανότητα, έχει τιμή 0,48 να είναι καλή. Εάν ψη είναι η τυχαία μεταβλητή, η οποία παριστάνει τον αριθμό των αυτοκινήτων που έχουν καλή ταπετσαρία, μπορεί να πάρει την τιμή 0,12 μέχρι 10. Ποιοι είναι οι πιθανότητες ότι το κάθε αυτοκίνητο να έχει καλή ταπετσαρία, χωρίς ψεγάδι. Γιατί αυτό βρήκαμε πριν, στα 6 τετραγωνικά μέτρα που είναι η ταπετσαρία, ποια πιθανότητα να μην υπάρχει ψεγάδι, το βρήκαμε σύμφωνα με την Μπουασσόν, γιατί εδώ πέρα το ΧΤ παριστάνει τον αριθμό των ψεγαδιών που σεναντάει κανένα σε 6 τετραγωνικά μέτρα ταπετσαρίας. Εδώ τώρα όμως ελέγχουμε αν αυτοκίνητο, αν έχει σωστή ταπετσαρία ή όχι. Αν η ταπετσαρία του δεν έχει κανένα ψεγάδι ή έχει ψεγάδια. Δεν μας ενδιαφέρει πως. Το γεγονός Α εδώ πέρα είναι ότι δεν έχει κανένα ψεγάδι ή ταπετσαρία. Η πιθανότητα το κάθε αυτοκίνητο να μην έχει ψεγάδια ή ταπετσαρία του είναι σταθερή και είναι αυτή εδώ πέρα. Το Ψ τυχαία μεταβλητή παριστάνει τι πως αυτοκίνητα στα 10 έχουν καλή ταπετσαρία. Δηλαδή πόσες φορές συμβαίνει αυτό το γεγονός Α στις 10 δοκιμές που κάναμε. Το Ψ λοιπόν μπορεί να πάρει τιμές από 0, 1, 2 μέχρι 10. Άρα βρισκόμαστε στη δυναιμική κατανομή και θέλω την πιθανότητα και τα 10 να είναι σωστά καλά. Άρα έχουμε συνδυασμούς 1 ανα 10, το οποίο είναι 10 ανα 10. Επιπεί εις την δεκάτη, επί αναμειοποι εις την μηδενική. Συνδυασμή 10 πραγμάτων ανα 10 είναι η μονάδα 1. Θα κάνουμε πράξη και θα το βρούμε. Βλέπουμε εδώ πέρα σε αυτό το πρόβλημα ότι σε μια δυναιμική κατανομή την πιθανότητα να συμβαίνει το γεγονός α, την έχουμε υπολογίσει πιο πριν με βάση την Μπουασόν κατανομή. Υπάρχει και μια πορεία. Θα την ολοκληρώσετε την άσκηση αυτήν και θα κάνετε τις πράξεις, θα την λύσετε, καθαρογράψετε και το βασικότερο είναι ότι την έχετε καταλάβει. Και με το πέρος της ασκήσεις που θα υπάρξουν και θα λύσετε και θα καθαρογράψετε από το τεστ, ξέρετε που το φέρετε σε εμένα, να έχετε καταλάβει τις έννοιες αυτές και πώς λύνετε το πρόβλημα. Αυτό είναι το βασικότερο. Και ας προχωρήσουμε και σε ακόμα ένα πρόβλημα που υπάρχει εδώ πέρα στο τεστ. Ότι σε μια διασταύρωση υπάρχει μια στροφή για αδυστερά, μετά υπάρχει και για δεξιά. Εν πάση περιπτώσει εδώ πέρα έχουμε εισοχή για αδυστερά. Τα αυτοκίνητα που θέλουν να στρίψουν αδυστερά μπαίνουν σε μια εισοχή, η οποία χωράει τρία αυτοκίνητα. Σε μια διασταύρωση η εισοχή για αδυστερά χωράει τρία αυτοκίνητα. Το κόκκινο βέλος για αδυστερά ανάβει ένα λεπτό. Κατά μέσο όρο τα αυτοκίνητα που έρχονται και θέλουν να στρίψουν αδυστερά είναι κατά μέσο όρο 150 ανά ώρα. Δηλαδή ανά λεπτό έχουμε δυόμιση αυτοκίνητα ανά λεπτό έρχονται στη διασταύρωση και θέλουν να στρίψουν αδυστερά. Κατά μέσο όρο έρχονται δυόμιση αυτοκίνητα ανά λεπτό και θέλουν να στρίψουν αδυστερά. Εάν X είναι τυχαία μεταβλητή η οποία παριστάνει σε χρόνο T πόσο αυτοκίνητα έρχονται και θέλουν να στρίψουν αδυστερά, μπορεί να πάρει την E 0, 1, 2, θεωρητικά δεν έχει φραγμό μέχρι το άπειρο. Εδώ πέρα όμως θέλω για χρόνο 1 λεπτό. Εδώ πέρα στο πρόβλημα αυτό επειδή με ενδιαφέρουν τα αυτοκίνητα που θέλουν να στρίψουν αδυστερά και με ενδιαφέρει να δω πώς τα αυτοκίνητα έρχονται σε 1 λεπτό μέσα και θέλουν να στρίψουν αδυστερά γιατί το κόκκινο βέλος για αδυστερά ανάβει για 1 λεπτό. Και ποιος συγκεκριμένα εκείνο που με ενδιαφέρει είναι να βρω την πιθανότητα όταν ανάβει βέλος για αδυστερά, ότι τα αυτοκίνητα χωράνε στην εσοχή. Η ερώτηση είναι ότι ανάβει κόκκινο βέλος για αδυστερά. Ποια είναι η πιθανότητα τα αυτοκίνητα που έρχονται και θέλουν να στρίψουν αδυστερά μπαίνουν προφανώς στην εσοχή και θα περιμένουν μέχρι να ανάψει πράσινο, τα αυτοκίνητα που έρχονται δηλαδή για 1 λεπτό και θέλουν να στρίψουν αδυστερά να χωρέσουν μέσα στην εσοχή. Η εσοχή όμως χωράει μόνο 3 αυτοκίνητα. Άρα θέλω την πιθανότητα τα αυτοκίνητα που έρχονται για 1 λεπτό και θέλουν να στρίψουν αδυστερά να είναι μικρότερο ίσον του 3. Δηλαδή αν έρθουν 0 αυτοκίνητα χωράνε στην εσοχή. Αν έρθει 1 αυτοκίνητο χωράει στην εσοχή. Αν έρθουν 2 χωράνε. Αν έρθουν 3 χωράνε. Η πιθανότητα λοιπόν, όταν ανάβει κόκκινο βέλος για αδυστερά, η πιθανότητα του γεγονότος να χωράνε τα αυτοκίνητα εδώ μέσα, δεν είναι μόνο η πιθανότητα το χ να πάρει την τιμή 3, είναι και η πιθανότητα του χ να πάρει την τιμή 2, χ1 και χ0. Δηλαδή και 0 αυτοκίνητα να έχουν πάλι χωράνε. Άρα λοιπόν πρέπει να βρούμε σύμφωνα με την Πουασσόν κατανομή την αθεριστική. Έχουμε άθερισμα δηλαδή, θα πάρουμε χ μικρό ίσον με 0 μέχρι 3. Η Πουασσόν έχει το δίπο ε εις τιμήων λάμδα, επί τάφ. Το τάφ όμως εδώ συμβαίνει να είναι 1. Το λάμδα θα ελέγξω αν εκφράζεται και αυτό ένα λεπτό, έχει μονάδα μέτρηση στο λεπτό. Και εδώ έχουμε το λεπτό, θα πρέπει ο δείκτης εδώ το τάφ, η μονάδα μέτρησής του να συμφωνεί με τη μονάδα μέτρηση του λάμδα. Και στη συνέχεια είναι λάμδα επί ένα λάμδα δηλαδή, λάμδα εις τη χ προς χ παραγωντικό. Θα κάνουμε αυτή την άθεση εδώ πέρα και θα το απολογίσουμε. Σε κάθε βιβλίο στατιστικής, στο πίσω μέρος, υπάρχουν και στατιστικοί πίνακες για την διονυμική, για την Πουασσόν, όπου μπορείτε να βρείτε τέτοιες πιθανότητες, χωρίς να κάνετε και πολλές πράξεις. Αλλά δεν υπάρχουν οι πιθανότητες για όλες τις παραμέτρους λάμδα, γιατί το λάμδα μπορεί να έχει διάφορες τιμές εδώ πέρα. Περίπου για λάμδα 1, 2, 2,5 κλπ και για χ εδώ πέρα στην αφριστική, μπορείτε να δείτε απευθείας από το πίσω μέρος του βιβλίου την πιθανότητα χωρίς να κάνετε πράξεις. Αλλά αυτό θα το απολογίσετε κατά προσέγγιση, γιατί δεν υπάρχουν όλες οι παράμετροι, γιατί υπάρχουν άπειρες παράμετροι εδώ πέρα, άπειρες τιμές που μπορεί να έχει μία Πουασσόν. Και το βιβλίο δεν μπορεί να έχει άφορους πίνακες από πίσω. Σε περίπτωση πρέπει να κάνετε πράξεις εδώ, αλλά μερικές φορές αν έχετε να κάνετε πολλές πράξεις και είναι μεγάλος αυτός ο αριθμός για την αφριστική, μπορείτε να διευκολυνθείτε και από τους στατιστικούς πίνακες που υπάρχουν για την Πουασσόν, για τη συναρτήση μάτζας, για κάποια λάμδα και για την αφριστική της, αν θέλετε κάποια τιμή κτλ. όπως και για τη δυναιμονική. Μετά θα δούμε την επόμενη εβδομάδα για τη συνεχή τυχαία μεταβλητή, όπου εκεί απαραίτητα χρησιμοποιούμε τον πίνακα για την κανονική κατανομή. Αυτό θα το πούμε την άλλη εβδομάδα για την κανονική κατανομή, για τη συνεχή τυχαία μεταβλητή, γιατί εκεί πέρα δεν μπορούμε να απολογίσουμε πιθανότητα και πρέπει να χρησιμοποιήσουμε απαραίτητα τον στατιστικό πίνακα που υπάρχει σε κάθε βιβλίο σατιστικής. Και εδώ έχουμε ακόμα ένα ερώτημα. Κατά πόσο πρέπει να αυξήσουμε αυτή εδώ πέρα η πιθανότητα. Βγαίνει περίπου, δεν ξέρω αν έχω το νούμερο, κάπου 60 με 70% βγαίνει αυτή η πιθανότητα. Κατά πόσο πρέπει να αυξήσουμε την εσοχή έτσι έωςτε βγαίνει περίπου 65-66%. Αυτή η πιθανότητα βγαίνει οτισούτε με 66%. Δηλαδή υπάρχει μια μεγάλη πιθανότητα τα αυτοκίνητα που έρχονται και θέλουν να στρίψουν αριστερά να μη χωράνε. Άρα ο μηχανικός σκέφτεται να αυξήσει το μήκος της εσοχής, να χωρέσει εντεχομένως 4 αυτοκίνητα ή να χωρέσει 5. Αλλά δεν μπορεί να κάνει και μεγάλη εσοχή, όπως καταλαβαίνετε. Θέλει να κάνει τόσο να την αυξήσει έτσι ώστε η πιθανότητα να χωράνε τα αυτοκίνητα να ξεπεράσει το 90%. Και εκείνο που έχουμε να κάνουμε εδώ πέρα, δεν μπορούμε να βάλουμε εδώ πέρα ένα Κ και να πούμε για ποιο Κ η πιθανότητα αυτή θα ξεπεράσει το 90%. Δεν μπορούμε να παραγωγήσουμε ως προς Κ για να λύσουμε κτλ. Δεν μπορούμε να λύσουμε, δεν συνεχίζει αυτή η συνάντηση ως προς Κ. Και πρέπει να κάνουμε τη μέθοδο, να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο δοκιμής και λάθος. Δηλαδή ξεκινάμε για Κ1, 2, 3, μάλλον από Κ3 και πάνω, γιατί για Κ3 είναι 0.66. Θα πάρουμε για Κ4, θα πάρουμε τη πιθανότητα να είναι μικρό του ρίσον του 4. Αυτή η πιθανότητα βγαίνει πάλι με την αθληστική ότι είναι 0.82. Μετά θα πάμε για 5, για 6, μέχρι που αυτό θα ξεπεράσει για πρώτη φορά το 90%. Να αφήσω και λίγη δουλειά για εσάς. Θα δείτε κάπου, θα δοκιμάσετε στο 5, 6 ή 7 η πιθανότητα μόλις ξεπεράσει το 90% θα σταματήσετε. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος για να λύσουμε την εξίσουση ως προς Κ, γιατί δεν είναι συνεχής αυτή η συνάρτηση για να μπορέσουμε να τη λύσουμε. Για να την παραγωγήσουμε ή να λύσουμε την εξίσουση κτλ. Αυτές ήταν δύο ασκήσεις που υπάρχουν μέσα στο τεστ. Αν εξακολουθείτε να έχετε κάποια αφορία, πάλι μπορείτε να με ρωτήσετε. Και παρούμε να προχωρήσουμε και σε άλλα προβληματάκια σχετικά με τις διακριτές τυχαίες συνταβλητές. Θα σας δώσω μία άσκηση, ένα πρόβλημα του Μπανάχ, όπως λέγεται ένα γνωστό πρόβλημα, το οποίο λύνεται με κατανομή Πασκάλ. Αλλά πρέπει να το φορμάρεις ειδικά για να δεις ότι πρόκειται για κατανομή Πασκάλ. Ένας καπνιστής έχει στην τσέπη του δύο κουτιά σπίρτα και το κάθε κουτί έχει ένα σπίρτα. Όταν θέλει να καπνίσει το τσιγάρο βάζει το χέρι του και πιάνει τυχαία ένα από το κουτί και ανάβει το τσιγάρο. Μετά ξανακαπνίζει, για να ξανακαπνίσει πιάνει τυχαία ένα από τα δύο κουτιά, ανάβει το τσιγάρο του και ούτω κατεξείς. Ποια είναι η πιθανότητα κάποια φορά που θα πάρει ένα κουτί και η πιθανότητα να πάρει ένα κουτί και να είναι άδειο αλλά και το άλλο κουτί να είναι άδειο. Αυτό θέλει να γίνει ένα μοντέλο της πασκάλ κατανομής. Όχι τα τσιγάρα, σπίρτα είναι, κουτιά με σπίρτα. Το κάθε ένα έχει ένα σπίρτα μέσα. Αυτό θέλω να σας δείξω ότι το τίποτα, διτυχία μεταβλητή, πασκάλ και τα λοιπά τα είπαμε χθες. Το κάθε πρόβλημα όμως, για να μπορούμε να το κάνουμε μόντελινγ και να δούμε ποια κατανομή θα χρησιμοποιήσουμε και πώς θα χρησιμοποιήσουμε και πώς θα ανοίσουμε τη διτυχία μεταβλητή και ποια επιθανότητα η διτυχία μεταβλητή να πάρει ποια τινή για να λύσει το πρόβλημά μου, είναι λίγο διαφορετικό. Θέλει εξάσκηση, θέλει εμπειρία. Εδώ πέρα το πρόβλημα αυτό λύνεται γενικά ότι για να πάρει το ένα το κουτί, ας πούμε για το ένα το κουτί, για το πρώτο, η πιθανότητα αυτή θα την διπλασιάσω μετά, γιατί θα μπορούσε να είναι και το δεύτερο το κουτί να είναι αυτό που θα είναι άδειο και να ρωτάω αν το πρώτο είναι άδειο. Ή το πρώτο να πάρει και να είναι άδειο και το άλλο να είναι άδειο. Για να το λύσει κανένας θα πρέπει πρώτα να ξεκινήσει και να πει ποια επιθανότητα το ένα να είναι άδειο και το άλλο να έχει κάπα σπίρτα. Στη γενική του μορφή το πρόβλημα είναι το εξής. Ποια επιθανότητα να πάρει το ένα το κουτί, να πάρει το ένα το κουτί να δει ότι είναι άδειο και το άλλο το κουτί να έχει κάπα σπίρτα μέσα. Αυτό σημαίνει ότι το γεγονός α' στη γεωμετρική, γιατί ποια είναι η δοκιμή Μπερνούλη. Η δοκιμή Μπερνούλη είναι ότι επιλέγει το πρώτο κουτί. Ας πούμε για το πρώτο κουτί. Ποια επιθανότητα αυτό το πρώτο κουτί ξαφνικά να δει ότι είναι άδειο και το άλλο να έχει κάπα σπίρτα μέσα. Αυτό να έχει μηδέν και το άλλο να έχει κάπα. Εδώ, ποια είναι η δοκιμή Μπερνούλη, ποιο είναι το γεγονός α', ποια είναι η πιθανότητα. Το γεγονός α' είναι ότι όταν βάζει το χέρι του, ότι επιλέγει το άλθο κουτί. Όταν σε κάθε δοκιμή, κάθε φορά που τραβάει ένα κουτί, ή θα είναι το άλθο κουτί ή δεν θα είναι. Και πόσες φορές πρέπει να συμβεί αυτό για να αδειάσει. Πρέπει να σε ρίπωσαι. Πρέπει μη φορές να πάρει το χρόνο, να πάρει το κουτί. Μη συνένα. Για να το πάρει και για να είναι άδειο πόσες φορές πρέπει να το πάρει. Πρέπει να συμβεί αυτό το γεγονός α' μη συνένα φορές. Και το άλλο, να έχει κάπα σπίρτα πόσες δοκιμές πρέπει να γίνουν. Δηλαδή, για να συμβεί αυτό πρέπει να το πάρει να κάνει πόσες δοκιμές μπερνούλι. Τουλάχιστον μη συνένα. Και για να μείνουνε στο άλλο κάπα πρέπει να είναι μη μειών κάπα. Αυτές είναι οι δοκιμές που πρέπει να κάνει. Πόσες φορές πρέπει, τόσα τσιγάρα πρέπει να καπνίσει, να ανάψει, να χρειαστεί σπίρτα. Τουλάχιστον μη συνένα για να αδειάσει αυτό το κουτί. Και βέβαια δεν θα κάνει μη συνένα δοκιμές και θα έχει πάνω πάνω και αυτό. Για να μείνουνε κάπα σπίρτα στο άλλο θα πρέπει να έχουν προηγηθεί μη μειών κάπα επιπλέον δοκιμές. Στις μη μειών κάπα δοκιμές πήρε αυτό το κουτί. Και στις μη συνένα δοκιμές παίρνει αυτό και αδειάζει. Άρα λοιπόν, εγώ θέλω την πιθανότητα, όπως λέγαμε στην Πασκάλ, η τυχαία μεταβλητική. Η οποία πόσες φορές πρέπει να συμβεί το γεγονός. Η οποία μου λέει πόσες δοκιμές πρέπει να γίνουνε για να συμπληρωθεί μη συνένα. Αν θυμάστε την ΒΑΖΑΜΑΑΡ, μη συνένα το γεγονός. Δηλαδή το γεγονός αύρα είπαμε αφορά το πρώτο κουτί, το οποίο θέλω να συμβεί μη συνένα φορές έτσι ώστε να αδειάσει. Αλλά αυτό το γεγονός α' στην Πασκάλ λέγαμε πόσες δοκιμές θα γίνουν έτσι ώστε να αλοκληρωθεί για πρώτη φορά το μη συνένα. Οι δοκιμές είναι αυτές εδώ πέρα. Μη συνένα. Εδώ έχουμε δύο μη μη οκ. Άρα λοιπόν ποια είναι η πιθανότητα αυτή τη τυχαία μεταβλητή να πάρει τη μη δύο μη μη οκ συνένα έτσι ώστε να συμπληρωθούν για πρώτη φορά μη συνένα φορές του γεγονότος α, που το γεγονός α αφορά το πρώτο κουτί και το όχι α αφορά το δεύτερο κουτί. Αλλά αυτό λόγω συμμετρίας εμείς αναφερθήκαμε το πρόβλημα είναι ποια πιθανότητα να πάρει ένα κουτί όχι στο συγκεκριμένο α ή β. Ποια πιθανότητα να πάρει ένα κουτί να είναι άδειο και το άλλο να έχει κ σπίρτα μέσα. Αυτό μπορεί να γίνει και αντίστορφα γι' αυτό θα διπλασιάζω αυτήν την πιθανότητα. Αλλά η βάση περιπτώση πρώτο πρέπει να προλογήσουμε αυτήν την πιθανότητα. Θα την προβλασιάσω μετά τη δύο. Και τώρα ποια είναι αυτήν την πιθανότητα αν θυμάστε γενικά η πιθανότητα χr ίσον με χ μικρό ίσουτε με χ-1 προς r-1 συνδυασμή επί π ή στην r επί 1-π ή στην χ-r. Αυτός είναι ο τύπος της Πασκάλ. Αυτό είναι το r κάτω, το ν συν ένα και πάνω εδώ σαν χ είναι αυτό εδώ. Εύκολα μπορώ να το υπολογίσω. Αλλά ποια η πιθανότητα π σε κάθε δεδοκαιμή για να συμβεί το γεγονός α είναι εν δεύτερον. Γιατί δύο κουτιά έχει τυχαία θα πάρει το ένα. Είναι εν δεύτερον. Άρα εδώ πέρα έχω συνδυασμούς. Από εδώ αφαιρώ όπως βλέπουμε τη μονάδα. Έχω συνδυασμούς 2Ν-Κ αν ανή συν ένα μίον ένα όπως έχω εδώ. Αν ανή και εδώ έχω εν δεύτερον ή στην ν συν ένα και το άλλο είναι πάλι εν δεύτερο. Είναι εν δεύτερο. Εδώ έχουμε εις την χ-α. Εδώ έχουμε αυτό είναι το α. Εκεί πέρα έχουμε χ-α θα βάλουμε δηλαδή 2Ν-Κ συν ένα. Αφαιρέσουμε το ν συν ένα. Μένει ν-κ. Εδώ τώρα είχαμε πει ότι ποια είναι η πιθανότητα να πάρω το ένα το κουτί να είναι άδειο και το άλλο να είναι άδειο. Δηλαδή εγώ σε ηγερική περίπτωση έβαλα κ. Το κ αυτό να είναι επίσης μηδέν. Άρα εδώ πέρα το κ θα πάρει την τιμή μηδέν. Και εδώ το κ θα πάρει την τιμή μηδέν. Θα είναι συνδυασμή 2Ν-Ν. Επί εν δεύτερον ή στην μη συν ένα. Εδώ το κ θα είναι μηδέν. Γιατί το λύσαμε το πρόβλημα στη γενική περίπτωση όπου το ένα να έχει μηδέν σπίλθα μέσα για πρώτη φορά και το άλλο να έχει κ. Αλλά το ερώτημα ήτανε ότι ποια επιθανότητα όταν πάρει το 1 και 2 ότι είναι άδειο και το άλλο μετά να είναι άδειο σε εκείνη την προσπάθεια. Έτσι λοιπόν χρησιμοποιούμε την Pascal κατανομή. Αλλά βλέπετε ότι πρέπει να φτιάξεις το πρόβλημα να καταλάβεις ότι πρόκειται για Pascal. Να ορίσεις ποιάς είναι οι δοκιμές Μπερνούλη. Να ορίσεις τη συνάρτηση αυτήν πόσες δοκιμές πρέπει να γίνουν για να συμβεί ενσυν ένα αυτό το γεγονός. Νομίζω κάπου είναι λυμένη μέσα στο βιβλίο αυτό το πρόβλημα και δεν είναι μέσα στο τεστ. Απλώς ήθελα να σας δείξω ότι μερικές φορές ενώ είναι γνωστό ότι θα χρησιμοποιήσουμε Pascal κατανομή πρέπει να κάνουμε το πιθανωτικό modeling, να ορίσουμε τις παραμέτρους, να ξεκαθαρίσουμε ποια είναι η τυχαία μεταβολητή και ποια πιθανότητα είναι να πάρει ποια τιμή κλπ. Δεν περιμένω να καταλάβετε απευθείας όλο το πρόβλημα αν θέλετε να εξεργαστείτε το λίγο και στη συνέχεια μπορούμε πάλι να το συζητήσουμε. Να δούμε μερικές ασκησούλες ακόμα θα συνεχίσουμε λίγο ακόμα γιατί η συνεργάτης όπως σας είπα δεν θα έρθει και μετά είστε ελεύθεροι. Στο βιβλίο υπάρχουνε αρκετά παραδείγματα και λειμμένης ασκήσεις. Σε ένα μεγάλο αριθμό καλωδίων το 80% έχουν διάμετρο 8 μιλιμέτρ. Το 20% έχουν διάμετρο 6 μιλιμέτρ. Σε μία παραγωγή η μάση περιπτώση καλωδίων το 80% έχουν διάμετρο 8 μιλιμέτρ. Το 20% έχουν διάμετρο 6 μιλιμέτρ. Επιλέγουμε 10 καλώδια. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ακριβώς 5 έχουν διάμετρο 8 μιλιμέτρ. Και τα άλλα έχουν διάμετρο 6 μιλιμέτρ. Εάν χ είναι η τυχαία μεταβλητή, η οποία παριστάνει τον αριθμό των καλωδίων στα 10, τα οποία έχουν 8 μιλιμέτρ, μπορεί να είναι 0, 1, 2 μέχρι 10. Εμείς θέλουμε πιθανότητα το χ να ισούται με 5. Άρα σύμφωνα με τη διονυμική, είναι συνδυασμή 10-5, επί 0,80 που είναι το π, εις την πέμπτη, επί 0,20 που είναι το 1,80, εις την πέμπτη. Αυτή είναι η πιθανότητα να έχουν 8 μιλιμέτρ τα πέντε. Δεν χρειάζεται να το προποθεάσω με την πιθανότητα για τα άλλα πέντε να έχουν 6. Εγώ ζητάω μόνο την πιθανότητα να έχουν τα πέντε να έχουν 8 μιλιμέτρ. Άρα είναι αρκετή αυτή η πιθανότητα. Έχω ένα δεύτερο ερώτημα. Ποια είναι η πιθανότητα ότι τα 10 καλώδια που επιλέγω είναι ενός είδους. Ποια είναι η πιθανότητα τα 10 καλώδια που έχω επιλέξει να είναι ενός είδους. Δηλαδή εδώ έχω την πιθανότητα ενός είδος σημαίνει ότι το ενός είδος, ας το βάλουμε εδώ πέρα το χ ή σούτε αν παριστάνει τα καλώδια των 8 μιλιμέτρ να είναι 10 ή το ψ αν παριστάνει τα καλώδια των 6 μιλιμέτρ να είναι 10. Επαναβάνω χ είναι, έχουμε ορίσει την τυχαία μεταβλητή που παριστάνει πόσο στα 10 έχουν 8 μιλιμέτρ. Αν ορίσω και το ψ που παριστάνει πόσο στα 10 έχουν 6 μιλιμέτρ, τότε θέλω στα 10, ή το χ να είναι 10 ή το ψ να είναι 10. Και έχω δηλαδή αυτό ισούτε με την πιθανότητα χ ίσον με 10 στην πιθανότητα ψ ίσον με 10. Είναι η πιθανότητα της Ένωσης. Δεν έχω να αφαιρέσω το μέσα να δύο γιατί είναι ξένα μεταξύ τους. Και άρα αυτό εδώ πέρα το έχω υπολογίσει παρόμο υπολογίζουμε και το άλλο. Που βέβαια το π εδώ πέρα δεν είναι 0.80, είναι 0.20. Είναι το π1 και π2. Και μία ερώτηση ακόμα πάνω στο ίδιο πρόβλημα. Ποια επιθανότητα ότι υπάρχουν έξι καλώδια ενός είδους και τέσσερα καλώδια του άλλου είδους. Ποια επιθανότητα ότι υπάρχουν καλώδια έξι του ενός είδους. Μπορείτε να απαντήσετε και εδώ. Να είναι το χ έξι. Εδώ τώρα πώς απαντήσετε. Να είναι έξι του ενός είδους. Να βάλετε εδώ πέρα έξι. Να βάλετε αυτό έξι και. Και να βάλετε το μι το ψήλανε τέσσερα. Είναι απαραίτητο να βάλετε το μι ότι το ψήλανε τέσσερα. Όχι. Γιατί άμα το χ είναι έξι, το ψί σίγουρα είναι τέσσερα. Άρα πιθανότητα είναι το χ να είναι έξι. Ή το χ να είναι, εδώ είναι το χ έξι. Ή το χ να είναι τέσσερα. Είναι πιθανότητα το χ να είναι έξι. Οπότε τέσσερα σίγουρα είναι, ταυτόχρονα το άλλο θα είναι έξι. Δεν είναι πιθανότητα χ ίσον με έξι. Είναι πιθανότητα χ ίσον με τέσσερα. Ας δούμε ένα άλλο πρόβλημα. Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα είναι το εξής, το οποίο δεν το έχετε συνεχίσει ακόμα. Σε ένα ηλεκτρικό σύστημα α, ο αριθμός βλαβών ανάμεσο όρο στο α σύστημα, ο αριθμός βλαβών είναι 1,1 βλάβες αναέτος. Σε ένα άλλο σύστημα, παρόμοιο ηλεκτρικό σύστημα β, ο αριθμός βλαβών είναι 2 βλάβες αναέτος. Είναι πιθανότητα ότι το σύστημα α θα παρουσιάσει βλάβες σε ένα εξάμενο. Το χ παριστάνει τις βλάβες σε έξι μήνες. Είναι δηλαδή τις βλάβες μέσα σε μισό χρόνο, που μπορούν να είναι μηδέν, ένα, δύο κτλ. Και ψ είναι οι βλάβες αναέτος ή αναχρόνο. Ας βάλουμε αναχρόνο, γιατί παρακάτω θα ζητάει πιο επιθανό το επόμενο έτος. Ας βάλουμε αναέτος εδώ πέρα, τις βλάβες αναέτος. Ά είναι οι βλάβες αναέτος για το πρώτο σύστημα και χ είναι οι βλάβες αναέτος στο δεύτερο σύστημα. Που ακολουθούν αν πληρώνουν τις προποθέσεις βέβαια που ασχόν κατανομεί. Χα και χβ, για να μην μπερδεύουμε πολλά σύμβολα, είναι οι τυχές μεταβλητές που παρουσιάζουν τις βλάβες αναέτος για το α και β σύστημα αντίστοιχα. Θέλω την πιθανότητα το α σύστημα μέσα σε ένα εξάμενο να παρουσιάσει δύο βλάβες. Ποια πιθανότητα το χα να εισούνται με δύο βλάβες, εισούνται με α ή στη μία λ, επί ταφ. Το λ όμως αυτό είναι αναέτος. Άρα εδώ ο χρόνος που θέλω για την τυχαία μεταβλητή είναι 6 μήνες, δηλαδή μισό έτος. Άρα θα το προβολασιάσω με 0,5 έτη, με το μισό έτος. Και έχουμε λοιπόν εδώ πέρα 0,5 λ ή στην δύο διαδύο παραγοντικό. Εδώ πρέπει να προσέξω γιατί το χ τυχαία μεταβλητή αναφέρεται σε εξάμενο. Αυτό αναφέρεται σε έτος. Άρα λοιπόν η μονάδα μέτρησης είναι το έτος. Εδώ λάντα πι τάφ θα βάλω για πόσα έτη αναφέρεται η τυχαία μεταβλητή, σε μισό έτος. 6 μήνες είναι μισό έτος. Πρέπει να προσθέξουμε τις μονάδες μέτρησης του τάφ. Και πρέπει να το λύσουμε να πάρουμε τον τύπο της Ποασσών. Αυτό είναι το ένα ερώτημα. Το ερώτημα όμως είναι το εξής. Ποια η πιθανότητα ότι το σύστημα Β θα παρουσιάσει λιγότερες βλάβες από ό,τι το σύστημα Ά. Ποια η πιθανότητα σε ένα χρόνο το σύστημα Β θα παρουσιάσει λιγότερες βλάβες από ό,τι το Ά. Το σύστημα Β έχει περισσότερες βλάβες κατά μέσο όρο από ό,τι έχει το Ά. Άρα αυτή η πιθανότητα πρέπει να είναι μικρή. Δεν σημαίνει ότι κάθε χρόνο έχει παραπάνω βλάβες από ό,τι το Ά. Μπορεί κάποιο χρόνο να έχει και λιγότερες βλάβες από ό,τι θα έχει το Ά. Ποια η πιθανότητα λοιπόν το σύστημα Β να παρουσιάσει βλάβες μέσα σε ένα χρόνο λιγότερες από ό,τι παρουσίασε το Ά. Δεν έχουμε συναντήσει τέτοιο είδος προβλήματα μέχρι στιγμής, γι' αυτό και θα σας δείξω το σκεφτικό με το οποίο θα το λύσουμε. Θέλω δηλαδή να βρω την πιθανότητα ο αριθμός του χβ να είναι μικρότερος του χα. Αυτό θα το λύσω με την ολική πιθανότητα. Δηλαδή το χα, ο αριθμός βλαβών του α, μπορεί να είναι μηδέν ή ένα ή δύο ή τρία κτλ. Και τα γεγονότα ότι ο αριθμός βλαβών του α θα είναι μηδέν ή ένα ή δύο κτλ, αυτά αποτελούν διαμέριση του δειγματικού χώρου όπως είχαμε μαζί. Άρα μπορώ να υπολογίσω όπως είπαμε με βάση στη διαμέριση, να υπολογίσω αυτήν την πιθανότητα να πάρω το άρθρωμα των πιθανότητων που γνωρίζω. Ποιες πιθανότητες γνωρίζω. Αν το χα είναι 1, μπορώ να βρω αυτήν την πιθανότητα. Θα είναι πιθανότητα το χβ να είναι μηδέν. Αν το α είναι 2, μπορώ να βρω αυτήν την πιθανότητα όπου το χβ θα πάρει την τιμή μηδέν ένα. Αν το χα είναι 3, μπορώ να βρω την πιθανότητα αυτήν όπου το χβ θα πάρει την μέση μηδέν ένα, δύο, τρία κτλ. Και θα τις αθήσω όλες αυτές τις πιθανότητες. Αλλά αυτό όμως, εδώ έχει άτερα. Δεν θα έχω ένα άρθρωμα με άπειρους όρους. Δεν θα το κάνω στην πράξη αυτό. Θα προχωρήσω μέχρι το 4, 5, 6 όπου η πιθανότητά του είναι πολύ μικρή και θα σταματήσω. Δηλαδή, θα πάρω την πιθανότητα το χα να μην ξεκινήσει από το μηδέν. Γιατί το μηδέν, άμα το χα είναι μηδέν, το χβ δεν μπορεί να είναι μικρότερο. Θα πάρω την περίπτωση όπου το χα είναι 1. Επί την πιθανότητα ότι το χβ θα είναι μικρότερο του χα, δηλαδή το χβ να είναι μικρότερο του 1, να ίσουτε δηλαδή με μηδέν. Συν, την πιθανότητα το χα η άλλη διαμέριση να είναι 2. Επί την πιθανότητα το χβ να είναι μικρότερο του 2, να πάρει την τιμή δηλαδή του κτλ. Εδώ πέρα η πιθανότητα του χβ να είναι μικρότερο του 1, είναι η πιθανότητα το χβ να είναι μηδέν. Το οποίο βγαίνει βέβαια από την πόσον. Είναι η πιθανότητα αυτή να είναι μηδέν, να ίσουτε με μηδέν. Έχει στιγμή λαμδα β, αναφέρονται σε ένα έτος, άρα αυτή εδώ πέρα είναι η πιθανότητα έχει στιγμή λαμδα β. Αυτή είναι η πιθανότητα το χα να ίσουτε με 1, που είναι ε ε' λαμδα α, επί λαμδα α ε' 1, προς 1 παραγωδικό. Αυτή η πιθανότητα είναι ε ε' λαμδα α, επί λαμδα α ε' 2, προς 2 παραγωδικό. Αυτή η πιθανότητα ποια είναι τώρα. Είναι άθροισμα του ε στη μία λαμδα β, λαμδα β η στιχή, προς χ παραγωδικό, χ ίσον από μηδέν, μέχρι 1. Το βάζω σαν άθροισμα γιατί στη συνέχεια θα αυξηθεί αυτό το άθροισμα και θα προχωρήσω μέχρι το χα να είναι 3, το χα να είναι 4 και να πάρω το σχετικό άθροισμα. Αλλά κάποια στιγμή καθώς το χ να πάρουν τιμή 6 ή 7 θα είναι πολύ μικροί γιατί η μέση του τιμή αναέτωση είναι 1,1. Άρα οι πιθανότητες μετά το 2, 3, 4, 5, 6 γίνονται πολύ μικρές και δεν μπορώ να προχωρήσω παραπέρα κάπου στο 6 με 7. Θα σταματήσω εδώ πέρα γιατί οι πιθανότητες πιο πέρα είναι μικρές και δεν αλλάζει πολύ το άθροισμα. Διαφορετικά πρέπει να κάνουμε πάρα πολλές πράξεις για να προχωρήσουμε για α' 10, 15, 20 μέχρι το άπειρο. Ξέρω εγώ δεν μπορώ να το κάνω αυτό το πράγμα. Πρακτικά θα σταματήσουμε κάπου στο 6, 7 που γίνεται πολύ μικρή αυτή η πιθανότητα. Και αντίστοιχα παίρνουμε την πιθανότητα ότι το HV να είναι μικρότερο από αυτή την τιμή. Παίρνουμε την αθληστική εδώ πέρα της ΠΟΑΣΟΝ. Αυτό είναι ένα προβληματάκι το οποίο για πρώτη φορά το έχετε δει. Έτσι λύνουμε τέτοιου είδους προβλήματα όπου θέλουμε οι βλάβες στο ένα εργοστάσιο να είναι μικρότερες από ό,τι στο άλλο. Θα το δούμε και για τη συνεχή τυχιά μεταβλητή ο χρόνος καλής λειτουργίας ενός εξαρτήματος ή συστήματος να είναι μικρότερος από το χρόνο λειτουργίας ενός άλλου συστήματος. Παρόμοια θα το δούμε και στην εκδητική κατανομή που θα μιλήσουμε στην επόμενη εβδομάδα. Λοιπόν, μέσα στο βιβλίο πρέπει να καθίσετε να δείτε τα παραδείγματα αυτά, τις λυμμένες ασκήσεις και τα λοιπά, ό,τι απορίες έχετε μπορείτε να με ρωτήσετε. Εάν δεν κάνετε εξάσκηση, δεν μπορείτε να προχωρήσετε. Όσο καλά και να καταλάβατε τις έννοιες και τους τύπους και τις αποδείξεις, εάν δεν καθίσετε να λύσετε προβλήματα, κάντε μια προσπάθεια αυτό που έλεσα εγώ μέχρι τελείως, αυτά που είναι λυμμένα στο βιβλίο, κάντε μόνοι σας την προσπάθεια και μετά συμβουλευθείτε και βλέπετε το βιβλίο ήρωτιστεμένο. Λοιπόν, θα τα πούμε την επόμενη πέμπτη, για συλλεχή τυχαία μεταβλητή, όπως κανονική, εκδητική, ομοιόδου, κατανομή.