5.5 Ο καιρός των λογαρίθμων / Ενότητα 5 ,#5 , 06/05/14 (από 27,07 εώς τέλος ) και 08/05/14 (από αρχή εως 27,01) - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ενότητα 5 ,#5 , 06/05/14 (από 27,07 εώς τέλος ) και 08/05/14 (από αρχή εως 27,01): Πώς κάνει κανείς υπολογισμός, έτσι και εδώ έρχεται κάτι το οποίο σήμερα βγαίνει σχεδόν, έχουμε ξεχάσει την ασυμμασία τους, γιατί έχουμε πια τους υπολογιστές, έτσι, λογάρισμα. Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο κατάφεραν να κάνουν τις μετρήσεις και η χρήση των λογαρίθμων, πάρα πολύ σημαντική για την εξέλιξη όλων των οπιστημών και των μαθηματικών. Τονίζω λοιπόν ότι ένας λόγος που χρειάστηκε να γίνει αυτό, είναι γιατί τα χρειαζόταν να μπορούν να κάνουν υπολογισμός για να τους χρησιμοποιήσουν σε πρακτικά πράγματα, όχι μόνο στην αστυνομία, στην πορεία των καραβιών, έτσι στην ανακάλυψη γεωγραφίας, χρειάζεται να κάνει κανείς υπολογισμός. Λογαρίθμοι λοιπόν, μια λέξη η οποία βγαίνει από το λόγος και αριθμός, εντάξει το έχετε δει σαν συνάτηση πώς ξεκίνησαν, πού είναι οι πρόδρομοι, τον πρόδρομο των λογαρίθμων μπορεί κανείς να του σκεφτεί, ακόμη και με τους εκθέτες του Αριθμίδη, έτσι το βλέπουμε στο Ψαμίτι, 300 π.Χ. Πίνακες με δυνάμεις του δύο, έτσι είπα, κινητήρια δύναμη είναι υπολογισμή στην αστυνομία και στην ναυσιλιαία. Και για να πάμε λίγο πίσω στους πίνακες του δύο, το οποίο το έχουμε ξαναδεί με τους αρχαίους Αιγυπτίους, για να θυμηθούμε πώς κάνανε τον πολλαπλασιασμό οι αρχαίοι Αιγύπτη, έτσι πώς κάνει στον πολλαπλασιασμό του 16 π.Χ. Ένας τρόπος για να γίνει αυτό, θυμίζει τους αρχαίους Αιγυπτίους, γράφω σε μία στήλη τις δυνάμεις του δύο, 0, 1, 2, 3, 4, από την άλλη στήλη γράφω το δύο και πένω τις αντίστοιχες δυνάμεις, έτσι αυτές είναι οι γραμμές. Η γραμμή που γράφει 3 έχει δίπλα το δύο στην τρίτη και είναι πολύ εύκολο να πάρω τη γραμμή από κάτω από το 1 να πάω στο 2, από το 2 να πάω στο 4, κάθε φορά διπλασιάζω. Φτιάχνω λοιπόν αυτές τις στήλες και θέλω να πολλαπλασιάσω το 16 με το 32, το 16 εντιστοιχεί στον αριθμητή 4, το 32 στον εκθέτη 5 και μετά προσθέτεις τους εκθέτες, βλέπεις 1 π.Χ. λες 512. Έχουμε αντιληφθεί αυτό και αυτός είναι ένας τρόπος, όταν είσαι διχειρός και ρυθμίσουν ακριβές τις δυνάμεις του δύο, μπορείς να το χρησιμοποιήσεις αρκεί να έχεις ένα πολύ μεγάλο π.Χ. Δεν χρειάζεται να κάνεις τον πολλαπλασιασμό, το μόνο που χρειάζεται να κάνεις είναι να δεις τους εκθέτες, να τους προσθέσεις και να βρεις εκείνο το χαρτί που έχεις κρατήσει εκεί που έχεις τον π.Χ. τον αριθμό με τους εκθέτες και να βρεις τον αντίστοιχο. Αλλάζει το πρόγραμμα, έχεις λοιπόν καταγράψει μια φορά και από εκεί και πέρα κάνεις πρόσθεση και ψάχνεις να το βρεις στη λίστα. Τώρα αυτό ο στήφελ, αφήλεται πρώτη επίσημα η παρατήρηση στον στήφελ το 544, ότι το άγρυσμα των όρων στην μια σειρά εντυστοιχεί στο γινόμενο τον όρο της δεύτερης σειράς. Το πρόβλημα με το 2, η ιδέα είναι εντάξει αν έχω έναν αριθμό ο οποίος δεν είναι ακριβώς δύναμη του 2, να προσπαθήσω να τον προσεγγίσω, να βρω εντάξει, να τον βρω κάπου ανάμεσα και να πω εντάξει υπάρχει ένα λάθος αλλά για πρακτικούς λόγους μου κάνει. Δεν μπορούμε να το κάνουμε με το 2 γιατί οι αποστάσεις ανάμεσα στο αριθμό είναι πάρα πολύ μεγάλες. Οι αποστάσεις ανάμεσα στο 2 είναι πολύ μεγάλες για να μπορέσει να χρησιμοποιηθεί για πρακτικούς σκοπούς αλλά δεν θέλουμε το δύναμη του 2, θέλουμε κάτι άλλο το οποίο να μην έχουν τόσο μεγάλη απόσταση αλλά αυτή είναι η βασική ιδέα. Να τη συγκρίνω και με κάτι άλλο γιατί προηγουμένως μιλούσα για συνημίτωνα, τριγωνωμετρικές συναρτήσεις. Από το 1593 οι μαθηματικοί πρότειναν να χρησιμοποιούνται τριγωνωμετρικοί τύποι για να γίνονται οι υπολογισμοί πιο εύκολα. Και πάλι η ιδέα είναι, αντί να κάνει κανείς τους πολλαπλασιασμούς, το να κάνει κάποιος πολλαπλασιασμός με τεράστιους αριθμούς είναι επίπονο. Αυτό που προτείνουν είναι αντί να κάνεις πολλαπλασιασμούς να το αναγάγεις σε αθρίσματα και αφαιρέσεις αρκεί να χρησιμοποιήσεις τους σπίνακες που έχουν μίτωνα και συνημίτωνα. Ο τύπος για το γινόμενο για το άθρισμα γωνιών sin α, sin β, sin α-β μας δίνει ότι είναι το ημίτωνο του α επί συν ημίτωνο του β. Έστω λοιπόν ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το γινόμενο του αριθμού, του δεκαδικού αριθμού εδώ. Αναγκαστικά κάνουμε δεκαδικούς, γιατί μιλάμε για συνημίτωνα και ημίτωνα και είμαστε στο 2014. Το λέω αυτό γιατί εκείνη την εποχή βασικά τους ενδιαφέραν οι μεγάλοι μεγάλοι αριθμοί αλλά αυτοί δεν είχανε πρόβλημα γιατί εκείνη την εποχή το ημίτωνο και το συνημίτωνο δεν είναι ακριβώς έτσι όπως το αυρίζουμε σήμερα. Αυτούς εκεί το ημίτωνο και το συνημίτωνο ήταν χορδές, ήταν το μισό της αντίστοιχης χορδής σε ενός κύκλου ο οποίος είχε τεράστια κτήνα. Ποιο είναι το ημίτωνο και το συνημίτωνο σήμερα, είναι χορδή κύκλου, τι είναι το ημίτωνο και το συνημίτωνο, σε τι αναφέρεται, εντάξει ξέρω μου είναι ανάμεσα στο μίον ένα και στο ένα αλλά τι, δεν είναι χορδές κύκλου, έτσι αν υπαρρεστούν κάποιο... Θα συναντήσεις. Θα συναντήσεις, πιο προχωρημένο, εντάξει λέω ότι αυτό που το σκεφτόντουσαν τότε, τα ημίτωνα και τα συνημίτωνα σαν χορδές, μήκος χορδής ενός κύκλου που έχει τεράστια κτήνα, 10.000, σήμερα πως το κάνουμε. Κάθεται προς την υποτήνωσα, εντάξει αν υποτήνωσα είναι ένα, είμαστε σε έναν κύκλο, ο οποίος έχει ακτήνα 1, έτσι αυτό κάνουμε, έτσι κάνουμε σχεδόν το ίδιο, προηγουμένως λοιπόν εδώ είχε να κάνει με τη χορδή, εμείς παίρνουμε, δεν παίρνουμε ακριβώς τη χορδή, παίρνουμε την κάθετο, αλλά εδώ ο κύκλος μας έχει μήκος, έχει ακτήνα με μήκος 1. Εκεί πέρα λοιπόν το αντίστοιχο ήταν με έναν κύκλο ο οποίος είχε ακτήνα 10 εκατομμύρια, αλλά τέλος πάντων εντάξει παρένθεση αυτό, πηγαίνω στην επόμενη γιατί θέλω να ξαναγυρίσω, ενδιαφέρον αν θέλει κάποιος γιατί δεν είναι από τα δύσκολα πράγματα να κάνει μια παρουσίαση της ιστορίας της τριγωνομετρίας μαζί και της αστρονομίας. Έτσι υπάρχει πολύ υλικό και είναι από τα εύκολα κομμάτια αυτό και ενδιαφέροντα, πολύ ενδιαφέροντα. Για να πάμε λοιπόν πίσω και να δούμε πώς θα έκαναν αυτόν τον πολλαπλασιασμό τότε, το 1593, παρατηρεί κανείς, έχει τους πίνακες έτοιμος, και παρατηρεί κανείς ότι αν πάρει γωνία 10 θα σου δώσει η μύτονο το πρώτο δεκαδικό, αν πάρει την γωνία 8 θα σου δώσει στην μύτονο τον δεύτερο αριθμό. Αυτό το οποίο χρειάζεται να υπολογίσεις είναι η μύτονο του α'συν β, η μύτονο του α-β, τα κάνεις λοιπόν και μετά απλά προσθέτεις πολύ απλό και παίρνεις το μισό. Αν έχεις τους πίνακες πολύ πιο εύκολο από το να κάνεις πολύ πιο γρήγορο από το να κάνεις τον πολλαπλασιασμό. Και ακόμη δεν είναι πολύ σκυρός που τα βιβλία του λογισμού είχες τέτοιους πίνακες στο τέλος. Είχες πίνακες για η μύτονα, είχες πίνακες για συνειμήτωνα, είχες πίνακες για λογαρίθμους, έτσι τους οποίους εκεί πηγαίνουμε. Θέλουμε να εξηγήσουμε το πώς ανακαλύφθηκαν οι λογαριθμοί και αυτό όχι μόνο γιατί ελευθέρωσε τους μαθηματικούς από το πρόβλημα των υπολογισμών, έτσι από το να κάθονται να υπολογίζουν πράγματα, ελευθέρωσε λοιπόν, έδωσε την ελευθερία στη σκέψη να αναπτυχθεί, αλλά γιατί οδήγησε σιγά σιγά και στον λογισμό, έτσι στις έννοιες αυτών των συναρτήσεων που ανέφεραν προηγουμένως στους αδελφούς σας και στην έννοια του λογισμού. Αυτά για σήμερα, αύριο δεν θα συναντηθούμε αύριο και συναντιόμαστε φιλτικές εκλογές και συναντιόμαστε την επέντη. Λόγος αριθμών, έτσι και είχαμε πει ότι εντάξει τέτοια ψήγματα για τη χρήση, για να πολλαπλασιάσεις δυο αριθμούς να χρησιμοποιήσεις το άδρεσμα των αξιετών, έχουν υπάρχει στο παρελθόν. Έξω και συγκρίναμε με την αριθμητική σειρά και μια γεωμετρική σειρά, η αριθμητική σειρά είναι αυτή που ξεκινάει με το μηδέν, η γεωμετρική σειρά είναι οι δυνάμεις του δύου που είναι στην παράλη στη δίπλα μου η στήλη. Αυτός είναι ο John Napier, σκοτία, ευγενής από τη Σκοτία, ο οποίος, όπως και αυτός, ήταν ακριβώς επαγγελματίας μαθηματικός, δεν θα τον έλεγε κανείς επαγγελματίας μαθηματικός, να τον έσω ότι η μελέτη πάνω στους λογαρίθμους ξεκίνησε το 1594 και 20 χρόνια μετά, του πήρε 20 χρόνια για να φτιάξει τους πίνακες για τους οποίους θα μιλήσουμε, 20 χρόνια μετά δημοσιεύσε το πρώτο βιβλίο, το θαυμαστό βιβλίο των κανόνων που περιγράφει τους λογαρίθμους, το Μεράφικη και το 1619 βγήκε και ένα δεύτερο βιβλιαράκι. Από την ζωή του Νάπιερ, πέρα το ότι ταξίδεψε πολύ, να τον έσω ότι κατά Αφρική έκανε 12 παιδιά στη διάρκεια της ζωής του. Αυτό είναι το πρώτο βιβλίο, έχει 57 σελίδες με εξήγηση για τον κανόνα των λογαρίθμων και 90 σελίδες με πίνακες. Το όρος λογαρίθμος οφείλεται στο Νάπιερ. Στο Νέιπιερ μπορεί να τον βρει κανείς με διάφορα ονόματα. Ο λογαρίθμος που χρησιμοπούσε ο Νάπιερ δεν είναι ο σημερινός. Έχει ένα δέκα στην εβδόμη που διαφέρει και μιλάει για ξεκινώσω με ανητικά. Δηλαδή, αν μπορέσεις και γράψεις έναν αριθμό σαν ένα μίον δέκα στην μίον εβδόμη σε κάποια δύναμη l, τότε ο λογαρίθμος του n είναι ο εκθήτης l και στο βιβλίο του ο Νάπιερ έδινε κανόνες για το πώς θα πολλαπλασιάσεις αριθμός κλπ. Για να προσέξουμε λοιπόν σύμφωνα με τον ορισμό του Νάπιερ, ο λογαρισμός του Νάπιερ για το δέκα στην εβδόμη είναι το μηδένο. Το ένα μίον δέκα στην μίον εβδόμη, μόλις το l γίνει θετικό, διάφορα του μεγανός, αρχίσει να πειράσει το γινόμενο και να το μικραίνει. Όταν το l είναι μηδέν, τότε είναι το μέγεθο που θα μπορούσε να είναι, δέκα εκατομμύρια. Όταν το l είναι ίσο με το ένα, έτσι, όταν το l είναι ίσο με το ένα πρέπει να τίνω το n, το l θα είναι δέκα στην εβδόμη νίον ένα, έτσι. Άρα είμαστε στο εννιά εκατομμύρια, 999 και ούτω καθεξής. Να το γράψω αυτό, γιατί είναι σημαντικό να το αντιπαραθέσουμε με τις δυνάμεις του δύο. Το πρόβλημα με τις δυνάμεις του δύο είναι ότι αν αρχίσω και υψώνω στο τετράγωνο θα δημιουργήσω, αν έχω εδώ λοιπόν το 2, μετά θα πάω στο 4, μετά θα πάω στο 8, οι λόγοι αυτόν εδώ το 4 προς 2, το 8 προς 4 μεγαλώνουν, υπάρχουν πολύ μεγάλα κενά. Αυτό είναι σε αντίθεση με τον ορισμό που θα δούμε λίγο παρακάτω, πώς εξήγησε, πώς ήρθε με αυτόν τον ορισμό, την εξήγηση που έδωσε γι' αυτόν τον ορισμό. Εδώ ξεκινάμε με 10 στην 7, το επόμενο βήμα, ακριβώς ο επόμενος ορισμός είναι το, δηλαδή με 10 εκατομμύρια, είναι το 9, 991, μικρή απόσταση ανάμεσα σε αυτά τα δύο. Κι αυτό εδώ είναι 10 στην 7 μειον 1, αυτό είναι το αποτελεσματικό νοπλασιασμό, 10 στην 7 επί 1 μειον 10 στην 7, επί 10 στην μειον 7, αν θα μας βγάλει αυτό εδώ και κανείς μπορεί να συνεχίσει. Παρατηρεί κανείς, και δεν είναι δύσκολο να γράψει τις πράξεις, ότι αν έχει κάποιος δύο κλάσματα, δύο λόγους που είναι ίσως, και από κει βγαίνει και το όνομα λογαρισμός, αν έχει δύο λόγους που είναι ίσως, τότε η διαφορά των λογαρίθμων εντύστοιχα, είναι και αυτής, έτσι κατευθείαν παίρνει το τύπο το 10 στην 7 και αφαρμόσει το τύπο 10 στην 7 επί 1 μειον 10, εδώ θα βάλει λαμβά α, 10 στην 7 επί 1 μειον 10 στην λαμβά β, αν αυτός εδώ είναι ο α και αυτός εδώ είναι ο β, αν μπορέσεις και γράψεις έτσι στις αριθμούς, με αυτόν εδώ τον εκθέτεις και πάρεις το α προς β, θα δεις, ξέρεις το α προς β είναι ίσως με το σε προς δ, μπορεί κανείς να δείξει πολύ απλά με τις πράξεις ότι το λαμδα α μειον λαμδα β που είναι ο λογαρισμός του Νάπιερ, έχουν την ίδια διαφορά όπως το λαμδα σε μειον το λαμδα δ, έξω. Αυτό, αυτός ο λόγος προς αριθμό, ο λόγος ο γημετρικός προς την αριθμητική τη διαφορά των αριθμών ενέβλησε τον Νάπιερ να δώσει το λόγο λογαρίθμου και όπως είπα το βιβλίο του το εξέδρεσε μετά από 20 χρόνια υπολογισμών και σε αυτό το βιβλίο έδωσε πίνακες λογαρίθμων, έδωσε πίνακες για τους λογαρίθμους από το 5 έως το 10 εκατομμύρια. Και επαναλαμβάνω ξανά ότι η βασική ιδέα, 5 εκατομμύρια με 10 εκατομμύρια, η βασική ιδέα είναι αντί να κάνει κανείς υπολογισμός πολλαπλασιασμών με μεγάλες πράξεις, κοιτάζει τους εκθέτες, κάνει την αντίστοιχη πράξη στους εκθέτες και μετά βλέπει ποιος είναι ο αριθμός που αντιστοιχεί στον λογάριθμο. Και με το να έχεις πίνακες. Και μια από τις ασκήσεις που θα σας ζητήσω είναι να βρείτε έναν πίνακα ή μάλλον θα βάλω, αν δεν το έχω ήδη κάνει, έναν πίνακα στη σελίδα και να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα για να κάνει υπολοπλασιασμός όπως τον έκανε κανείς παλιά χωρίς να έχει υπολογιστεί. Πίνακες φορές σε μια νάπια αποτελείται από τους πρώτους 101 ορους της γεωμετρικής σειράς με πρώτο όρο το 10 στην 7η. Ποιο είναι η γεωμετρική σειρά? Η γεωμετρική σειρά, τι λέμε, νομίζουμε μια σειρά της μοφής, ο πρώτος όρος είναι, εντάξει, ο στα αριθμός στην 0η θα είναι με το σε, μετά έχουμε σε επιάριστη την πρώτη, σε επιάριστη την δευτέρα και ούτω καθεξής. Ποιος είναι ο λόγος? Ο λόγος είναι το αρ ανάψει σε αυτή τη γεωμετρική σειρά. Ενώ εκεί ο λόγος είναι το 2. Στην περίπτωση αυτή το αρ είναι πολύ μικρό. Στην περίπτωση της γεωμετρικής σειράς με το 2 ο λόγος είναι 2, γι' αυτό και έχουμε μεγάλες αποστάσεις. Εδώ διάλλαξε έναν αριθμό, πίσω θα κάνει τις αποστάσεις το 10 στην μειον 7 για να τα κάνει όλα να είναι, το 1 μειον 10 στην μειον 7 για να τα κάνει όλα πολύ μικρά. Για να ξαναγράψω τον 1, ο 1 να είναι 10 στην 7, επί 1 μειον 10 στην μειον 7 στην l, τότε ο λογαριθμός του Νάπια για το 1 είναι ίσως με το 1. Αν λοιπόν ξεκινήσεις με τον 1 ώρα το 10 στην 7 να είναι ίσως με το σε, αυτό είναι το σε στην γεωμετρική σειρά, μετά έχεις το 1 μειον 10 στην μειον 7 σε κάποια δύναμη. Έτσι και ανάμεσα σε δύο διοδοχικές δυνάμεις, να το βάλουμε εδώ το l, ανάμεσα στις δύο διοδοχικές δυνάμεις των διαιρέσεων, αυτό εδώ είναι το r, αυτό θα μας γίνει να είναι το r που είναι ένας μικρός αριθμός ο οποίος ικανοποιούσε τον Νάπια πόσο θέλεις να είναι το λάθος σου, αυτό ικανοποιούσε τον Νάπια για το λάθος σου. Και μετά έγραψε ο πρώτος λοιπόν πίνακας που έγραψε είναι η πρώτη 101 όρια από αυτή τη γεωμετρική σειρά. Ξεκίνησε λοιπόν υπονογίζοντας αυτούς εδώ τους όρους για λ, ί, ξεκινώντας από το 0 δηλαδή 10 στην 7 και μετά πηγαίνοντας προς τα κάτω φτάνοντας μέχρι το 101. Πώς το έκανε αυτό, δεν το έκανε ψώνοντας το 1-10-7 σε αυτή τη δύναμη, έτσι πώς θα το κάνει κανείς αυτό ούτως ή άλλως. Αυτό που έδινε είναι να τη χρησιμοποιήσει σε διοδοχικές αφαιρέσεις, για να δούμε λοιπόν τι ακριβώς έκανε. Εντάξει ένα δρυκ χρήσιμο να το έχουμε στο μόνο μας, ξεκίνησε με το 10 στην 7 έτσι για να βρεις το επόμενο απλά παρατηρήσω ότι αν ξέρεις τον έναν όρο, όλος ο όρος που έρχεται από τον προηγούμενο το αι που έρχεται από το αι-1, εάν αφαιρέσεις από αυτό το αι-1 για 10 στην 7, πώς γυρίζουμε το 10 στην 7 απλά μετακινείς τα δεκαδικά έτσι. Χρήσιμο ότι είχε έρθει στη βύση η χρήση των δεκαδικών. Πολύ πρόσφατα είναι αυτά και αυτό με την τελίτσα αυτό το πρωτοχρησιμοποίησα ναύχιε βάζοντας την τελίτσα για να πει πού ξεκινάει το δεκαδικό. Έτσι πολύ χρήσιμο λοιπόν ότι είχε αναπτύξει αυτό γιατί μετά έφτασε σχετικά εύκολο να κάνει τέτοιους οικονογισμούς. Για να βιαιρέσεις με το 10 στην 7 πένεις στον αριθμό σου και μετακινείς βάζεις την τελίτσα στο σωστό σημείο. Έκανε λοιπόν αυτό και ξεκίνησε από το 10 στην 7, από το 10 στην 7 αφαίρεσε το 10 στην 7 για 10 στην 7-1, εντάξει θα είπαμε αυτά για το πρώτο όρο. Μετά πήρα αυτόν τον πρώτο όρο, μετακίνησε έτσι έβαλε την τελίτσα του, 7 θέσεις πιο κάτω δηλαδή το 9 εκατομμύρια όλα νιάρια για το 10 στην 7 μας βάζει στο πρώτο δεκαδικό. Όταν διαιρέσουμε το 10 στην 7 το αφαιρώ από το προηγούμενο και παίρνω το τρίτο αριθμό και ούτω καθεξής. Αυτός ήταν ο πρώτος πίνακας, δεν μπορεί να συνεχιστεί αυτό για πάρα πολύ, έτσι ήδη με τον πρώτο πίνακα δεν έχουμε φτάσει πάρα πολύ χαμηλά. Κάνοντας εκατόν ένα πράξεις δεν φτάσαμε και, κάνοντας αυτό εκατόν μία φοράς δεν φτάσαμε πολύ κάτω, γι' αυτό ο Νάπιερ έδωσε έναν δεύτερο πίνακα και έδωσε και έναν τρίτο πίνακα, ο τρίτος πίνακας είχε 61 στήλη στην οσία. Έκανε και άλλους οπονοδισμούς και πάλι χρησιμοποίησε τις ίδιες ιδέες που λέγαμε πιο πάνω, μόνο που οι άλλοι πίνακες που χρησιμοποιούσαν πάλι ξεκίνησε από το 10 στην 7. Ο λόγος τον οποίο χρησιμοποιήσατε τώρα δεν είναι το 10 στην 7, είναι 1-10-5 και πάλι με την ίδια ιδέα, για τον τρίτο πίνακα που είπα που είχε 69 στήλες, τις έκαναμε τέτοιου τρόπο που και πηγαίνοντας στη σειρά αλλά και πηγαίνοντας στη στήλη, να έχεις φτιάξει μια γεωμετρική σειρά και να έχει λόγο, δηλαδή το R κοινό που αντιστοιχεί σε αυτές τις σειρές, την άλλη φορά να είναι το 1-1-2000 και την άλλη φορά να είναι το 1-2% και 1-1-200. Με διαδοχικές αφαιρέσεις από το 1 αφαιρείς για να βρεις το παρακάτω, μπορείς να το κάνεις και με αυτό τον τρόπο έφτειξε, αυτός ήταν 21 σειρές από 69 στήλες, αυτό μας δίνει αρκετούς αριθμούς για να δικαιολογήσει τον κόπο ο οποίος οπόλοις κόπος, δεν υπάρχει δυσκολία, υπάρχει ένας κόπος, περισσότερος από τους αριθμούς είναι σωστή, υπάρχει κάποιο αριθμητικό λάθος, όλους τους υπόλοιπους αριθμούς με πολύ έξυπνο τρόπο χρησιμοποιεί σε παρεμβολή για να τους υπονογήσει. Κατάφεραν να βγάλει αυτόν εδώ τον πίνακα με τον ενδυνύμπτα συλλήβον και είναι διαφορετικό από αυτό που έχουμε σήμερα, γιατί σήμερα για εμάς ο λογαρύθμος του ΝΑΠΤΙ και διαφορετικός ορισμός είναι, αλλά είναι και μια αυθήνουσα συνάτηση, ενώ εδώ ο δικός μας λογαρύθμος είναι άξιος συνάτησης. Πώς ορίζει τον λογαρύθμος? Πώς ορίζει τον λογαρύθμος ενός αριθμού έτσι από τις βασικές συνευθίσεις που μαθαίνει κανείς, εντάξει ή με βάση 10 ή με τον φυσικό ή με το ί, πόσα τον ορίζατε? Τον αριθμό σου, έτσι είπαμε ότι τον αριθμό που πρέπει να υψώσεις στη βάση, το 10 ή τον φυσικό ή το ί, για να πάρεις τον αριθμό σου. Εδώ πέρα δεν είναι ακριβώς αυτό, έχουμε και τον 10 στην 7η και η βάση είναι το 1-10-7η, έχει λοιπόν σίγουρα διαφορές. Επάνω με το κόκκινο φαίνεται αχνά το διάγραμμα για τον λογαρύθμο, το γράφημα του λογαρύθμου του Νάπιερ και κάτω έχει τον φυσικό λογαρύθμο σήμερα. Τώρα πώς κάσαμε εδώ, έχει μεγάλη ιστορία, υπάρχει ιστορία, αλλά ένα από τα πιο σημαντικά σημεία σε αυτή την ιστορία είναι ότι καταρχήν η δουλειά του Νάπιερ αναγνωρίστηκε σε πολύ σύντομο διάστημα. Όσο ακόμη ο Νάπιερ ήταν ζωντανός, ο Νάπιερ μίλησε με τον Μπρίξ, ο οποίος ήταν Βρετανός-Αγγλος-Βρετανός μαθηματικός, έτσι και ο οποίος του πρότεινε και πήρε το OK, ήταν OK με τον Νάπιερ αυτό, κατασκεύασε τον πίνακα των λογαρύθμων με τη βάση 10 και αυτό που ζήτησε είναι ο λογαρύθμος του 1 να είναι 0. Αυτό λοιπόν οφείλεται ανάμεσα στο 14 και στο 19, οφείλεται στον Μπρίξ και μάλιστα το χρονικό διάστημα αυτό ήταν αρκετά σημαντικό, γιατί θα δούμε ότι παράλληλα και ένας ελβετός μαθηματικός είχε τις ίδιες ιδέες, αλλά δεν πρόλεβα να τις δημοσιεύσει πρώτος και έτσι σήμερα αποδίδουμε την τιμή των λογαρύθμων, δεν είχε τίχη της αναγνώσης και την αποδίδουμε στο Νάπιερ. Τώρα ποιος είναι ο επίσημος ορισμός του Νάπιερ και αυτό έτσι ενδιαφέρον, γιατί βλέπουμε καταρχήν η εξήγηση που την όταν έρχεται από τη μηχανική και βλέπουμε και το πνεύμα των επιστημών εκείνες της εποχής. Πώς εξήγησε ο Νάπιερ τον λογαρυθμό του, έτσι με την κίνηση. Έχουμε λοιπόν δύο ευθύες, τη δύο σημεία, το ένα είναι η ευθύγραμμα τμήμα πεπερασμένο, έτσι το b, y είναι πεπερασμένο και έχει μήκος 10 στην εβδόμη. Από πάνω έχουμε μια ευθύα η οποία είναι δημή ευθύα, ξεκινάει με ένα συγκεκριμένο σημείο α και επεκτείνεται και ξεκινάνε δύο σημεία, ξεκινάει το σημείο π και ξεκινάει το σημείο κ, το ένα στην δημή ευθύα η οποία δεν τελειώνει ποτέ, το σημείο αυτό ξεκινά και κινείται, έχει ταχύτητα, ξεκινά και κινείται και ταχύτητα του μένει σταθερή, είναι 10 στην εβδόμη. Από κάτω, το άλλο το σημείο ξεκινά ακριβώς στην ίδια χρονική στιγμή, ξεκινάει από το ακρο β και ξεκινείται, την πρώτη στιγμή που κινείται η ταχύτητά του είναι 10 στην εβδόμη. Αμέσως όμως μόλις κάνει την κίνηση, η ταχύτητά του αλλάζει και κάθε φορά όπου βρίσκεται, σε όποιο σημείο και να βρεθεί, εντάξει, έχει ταχύτητα, αλλά με τι είναι ίση η ταχύτητα, με την απόσταση που απομένει να βγενήσει. Το σημείο κινείται και η ταχύτητά του είναι η ίση με την απόσταση που απομένει να βγενήσει. Θα φτάσεις, πότε, στην άλλη άκρη. Έχουμε μιλήσει για αυτά τα παράδοξα και άλλη φορά, εντάξει, τον Άμπιου δεν ενοχλείσανε καθόλου αυτού του είδους τα παράδοξα, ξεκινάει να κινείται, κάθε φορά που κινείται αλλάζει την αισή του, ταχύτητα, έτσι τα μεγάλα προβλήματα μηχανικοί που μας οδηγήσουν σιγά σιγά στον έφτανα, δεν απέχουμε πολύ. Κινείται, η ταχύτητά του μειώνεται και λέει, ο Νάμπιου έτσι εξηγεί τον λογαρισμό του και αυτό το κομμάτι σας ζητήσω λίγο να το σκεφτείτε παραπάνω, τι λέει, ποιος είναι, πώς ορίζεται ο λογάριθμος, εντάξει, το dy, έτσι, βρίσκομαι στο σημείο dy, ποιος είναι ο λογάριθμός του, το dy είναι τη στοιχή σε αυτό το 1, ποιος είναι ο λογάριθμός του, ποιος είναι ο λογάριθμός του, ποιος είναι ο λογάριθμός του, ποιος είναι ο λογάριθμός του, ποιος είναι ο λογάριθμός του ποιος είναι ο λογάριθμός του dy, έτσι, το 1 εδώ αν δυστυχεί σε αυτό το dy, την απόσταση του σημείου q από την άλλη άκρη, το dy λοιπόν είναι το 1, ποιος είναι ο λογαριθμός του, είναι η απόσταση που το πρώτο σημείο έχει διανύσει, αυτό εδώ, είναι το α, έτσι, έτσι το εξήγησε το νεορισμό του και θα είχε ενδιαφέρον να γράψει κανείς σήμερα γιατί ισχύει αυτομαθηματικά, πως προκύπτει αυτομαθηματικά για να προσπαθείτε να το εμπινεύσετε, έτσι, σας το εξηγούν με λόγια τι γίνεται, έτσι απλή μηχανική πολύ απλή κίνηση, έτσι έχουμε και το νεορισμό είναι στη διάθεσή μας, έχουμε το νεορισμό στη διάθεσή μας, εντάξει έχουμε τη μηχανική τη κίνηση, ταχύτητα κάπου μπαίνει μέσα, πως αλλάζει ταχύτητα και να βγάζω αυτό εδώ το λογάριθμο, αυτό πως προκύπτει, έτσι προσπαθήστε να τα συνδυάσετε αυτά, νομίζω κάτι έχω βάλει στην επόμενη διαφάνεια Ναι, λέω έστω ότι για να φτάσει το π στο σημείο τάφ, στο σημείο σε, περάσει χρόνος τάφ, άρα η απόσταση αυτοί άλφα σε είναι δέκα στην εβδόμη και τάφ, το τάφ είναι ο χρόνος, ταχύτητα τι είναι η διαφορά πως αλλάζει το χίος προς το χρόνο πως αλλάζει η απόσταση έως προς το χρόνο, το πρώτο σημείο έχει σταθερή ταχύτητα, δέκα στην εβδόμη, έτσι δέκα στην εβδόμη, άρα η απόσταση είναι δέκα στην εβδόμη και τάφ, αν πάρω σημεία φθακά με θα παίρναμε την παράγωση της απόστασης έως προς το χρόνο, έστω στη συγκεκριμένη περίπτωση θα βρίσκαμε δέκα στην εβδόμη για το δεύτερο σημείο όμως, τι έχουμε, σε κάθε σημείο τι ονομάζω χίος τώρα, ονομάζω το τίψι, αυτό που ονομάζω το άλλο, αυτό που δουλεύει ο λογάρισμος το χίος, πως αλλάζει αυτό, έτσι η ιδιότητα είναι ότι σε κάθε σημείο η ταχύτητα του σημείου που κινείται του ποιού είναι ίση με την απόσταση που απομένει Ωραία, θέλω λοιπόν να δούμε, να πιστούμε, να πιστείτε και αν θέλετε να το σκεφτείτε, έτσι να πιστούμε με κάποιο τρόπο ότι η ταχύτητα dx, dτ, η κανοπή είναι ίση με το μειον χί, αυτή η ταχύτητα είναι ίση με το μειον χί, γιατί είναι αυτό, σκεφτείτε λοιπόν, εντάξει κάπου μπαίνει εδώ η ιδέα της κατεύθυνσης, εντάξει μπαίνει η ιδέα της κατεύθυνσης, του προσύμου ανητικού αριθμού, θα το κάνουμε σύγχρονι με όποιον άλλον τρόπο θέλετε, έτσι, αυτή είναι μια διαφορετική αξίωση που μπορούμε να λύσουμε μέσα, μπορούμε να λύσουμε, dx, dτ με μειον χί, έτσι και τι θα πέναμε, μεγισμός είναι αυτά πρώτο έτος, το πολύ δεύτερο νομίζω το κάνετε στο πρώτο εξάμηνα, θυμηθείτε τα έτσι έχοντα όλα μαζί, και μετά πιστείτε ότι όντως ισχύει σύμφωνα με το νομισμό του Νάφια, είναι αυτό το οποίο θα μου κάνετε την αντικατάσεις, θα το βρείτε και στο δίκτυο, είναι μια από τις ερωτήσεις αυτές που θα ήθελα να έχουμε απαντήσει, έτσι, ωραία, τώρα εδώ πέρα είναι η εικόνα του Μπέθι, του Ελβετού, που δουλειά του δημοσιεύτηκε το 620, δηλαδή 6 χρόνια μετά από το πρώτο βιβλίο που δημοσιεύσε ο Νάφια. Και πολύ γνωστός δάξη για τα ρολόγια, η Ελβετία, ρολόγια, έτσι και αυτός έδωσε έναν άλλο πινάκα, έδωσε πίνακες με 23.000, 23.000 στοιχεία και εις αυτά ο λόγος δεν ήταν το 10 στη Μιούν εβδόμε, ήταν κάτι άλλο, δεν είναι τυχαίο ότι βγήκαν αυτά τα δύο βιβλία μαζί, γιατί και πριν από τον Νάφια και πριν από τον Βέρχη, υπήρχε κάποιος άλλος ο οποίος είχε σκεφτεί και είχε μεταφέρει αυτές τις ιδέες. Δεν υπάρχει καταγεγραμμένο, το όνομά του σε μαθηματικούς κύκλους είχαν συζητηθεί αυτά, αλλά είναι το πρόβλημα το οποίο επέλεξε να διαλέξει ο Νάφια και το προχώρησε. Τώρα γιατί μας ενδιαφέρνουν οι λογάρισημε. Από μόνο του είναι εντυπωσιακό, έχει χρησιμοποιηθεί για τους αριθμητικούς υπολογισμούς και μόνο αυτό είναι ένα εντυπωσιακό βήμα. Το άλλο και προσπάθησα να το συνδέσω με τον ορισμό που έκανε ο Νάφιλε, παζίτητα, μηχανική, έτσι πέρα από τη σύνδεση μαθηματικά με τις άλλες επιστήμες. Να τονίσω λοιπόν και το τρίτο που συνδέεται μ' ακριβώς στο προηγούμενο. Και εκτός από αυτούς τους αριθμητικούς υπολογισμούς, οι λογάρισημε επηρέαζαν την εξέλιξη των μαθηματικών, έτσι και το 1647 ο μοναχός, ο Γκρέγορης Σεν Βρίνσεν, που βρήκε τον Γκρέγορη εδώ πέρα, ο Χρυβόριος, ετσι δημοσίευσε, βρήκε ότι υπάρχει σχέση ανάμεσα στους λογαρίθμους, έτσι, ότι κάπου εμφανίζεται αυτή η λογάρισμη, ανάμεσα στους λογαρίθμους και στεναδό κάτω από την καμπύλη χίψιξαν μένα. Να θυμίσω ότι ένα από τα μεγαλύτερα επιπέδηματα του Αθηνίδη είναι ότι χρησιμοποίησε ιδέες που θυμίζουν τον λογισμό για να μπορέσει να υπολογίσει εμβαδά και όγκους, που δεν ήταν ανάμεσα στην κατηγορία που προκύπτανε εύκολα από γεωμετρικές ιδιότητες. Έτσι, και ένα πράγμα το οποίο προσπαθούσαν, ένα πράγμα το οποίο ξεπασχολούσαν, ένα εμβαδό το οποίο δεν γνώριζαν, είναι εντάξει, ορίζω μια καμπύλη στην περίπτωση έχω το χιψίσμα. Ένα πέρα από ένα σημείο, ένα άλλο, πόσα είναι αυτό το εμβαδό, αυτό ήταν άγνωστο. Και το 1647 ο Sean Vincent Gregory έδειξε ότι κάπου εδώ μέσα βλέπεται η λογάρισμη, έτσι. Και βέβαια αυτό οδήγησε στη συνέχεια στην ανάπτυξη και θα μελετήσουμε ακριβώς, το μεγάλο πρόβλημα είναι μαθηματικά-μαθηματικά, πέρα από τους οικολογισμούς, με υπολογίες με εμβαδά. Αυτή η ανακάλυψη του Sean Vincent, πραγματικά, του Gregory Sean Vincent, οδήγησε τελικά στην ανακάλυψη του λογισμού, έτσι, με τον Εύθονα, πέρα από τον Εύθονα, υπήρχε μια ιστορία.