Συνάρτηση Χρησιμότητας / 12η διάλεξη - Βαρσακέλης Νικόλαος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2013)
12η διάλεξη: Προσέξτε λίγο. Κάνει μια ερώτηση ο συνάδελφός σας για το εισοδηματικό αποτέλεσμα και το αποτέλεσμα υποκατάστασης. Να έχετε στο μυαλό σας την παράγωγο. Να έχετε στο μυαλό σας την παράγωγο. Δηλαδή το εισοδηματικό αποτέλεσμα έχει σχέση με το εισόδημα, εξ ορισμού. Το αποτέλεσμα υποκατάστασης έχει με την τιμή. Το εισοδηματικό αποτέλεσμα έχει με το πραγματικό. Όταν λέμε ότι το εισοδηματικό αποτέλεσμα είναι θετικό, σημαίνει ότι το εισόδημα και οι ζητούμενοι ποσότητα κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση. Άρα, αυξάνει το εισόδημα, αυξάνει η ζήτηση. Μειώνεται το εισόδημα, μειώνεται η ζητούμενη ποσότητα. Εντάξει, όταν το εισοδηματικό αποτέλεσμα είναι θετικό, σημαίνει ότι κινούνται το εισόδημα και οι ζητούμενοι ποσότητα προς την ίδια κατεύθυνση. Άρα, εάν έχετε στο μυαλό σας αυτό ως παράγωγο, τότε είναι εύκολο να το συζητάτε. Όταν είναι κανονικό το αγαθό, είναι μεγαλύτερο του μηδονός, σημαίνει ότι μειώνεται το εισόδημα, μειώνεται η ζητούμενη ποσότητα. Κινούνται δηλαδή προς την ίδια κατεύθυνση. Παράγωγο συνεθετική. Τι σημαίνει παράγωγο συνεθετική? Τι σημαίνει ΔΕΠΣΙΝΤΕΧΙ είναι μεγαλύτερο του μηδενός. Ότι η μεταβολή του παρονομαστή και η μεταβολή του αριθμητή έχουν το ίδιο πρόσημο. Κινούνται δηλαδή προς την ίδια κατεύθυνση. Άρα, αυξάνει ο παρονομαστής, αυξάνει ο αριθμητής. Μειώνεται ο παρονομαστής, μειώνεται ο αριθμητής. Άρα, κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση, άρα τα δύο πρόσημα γίνονται θετικό. Όταν ΔΕΠΣΙΝΤΕΧΙ είναι μικρότερο από το μηδεν, αυτό σημαίνει ότι οι δύο μεταβολές κινούνται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Άρα, όταν το εισόδημα αυξάνει, δηλαδή ο παρονομαστής έχει θετικό πρόσημο, ο αριθμητής έχει αρνητικό πρόσημο. Εντάξει, αν το έχετε αυτό στο μυαλό σας, αυτός είναι ο καλύτερος τρόπος για να το θυμάστε. Άρα, αυτά τα πρόσημα τα οποία έχουμε συζητήσει, δεν είναι μεγαλύτερο και μικρότερο, δεν είναι αυθαίρετα. Ξεκινούν από την παράγωγο. Απ' να λέμε ότι έχουμε μία απόπληση στις σχέσεις με αυτά που γράψαμε στο Ρεντράβη και αυτά που λέει για να βράσουμε το βιβλίο, διότι όταν το αυσθανόνικο, έχουμε γράψει το σειδηματικό πότε σημαίνει θετικό. Ναι, προσέξτε κάτι, όταν το προϊόν, το αγαθό είναι κανονικό, είναι θετικό, δηλαδή μειώνεται το πραγματικό εισόδημα, μειώνεται η ζητούμενη ποσότητα. Αυξάνει το εισόδημα, αυξάνει η ζητούμενη ποσότητα. Η παράγωση είναι θετική. Τώρα, όταν μιλάμε για συγκεκριμένα πράγματα, δηλαδή όταν μιλάμε για μίωση της τιμής, ίσως εκεί μπερδευόμαστε λίγο, όταν μιλάμε για αύξηση της τιμής, συγγνώμη, και το πραγματικό εισόδημα μειώνεται, σημαίνει ότι έχει αρνητικό πρόσημο τελικά, δηλαδή μειώνεται και η ζήτηση. Ίσως από εκεί να υπάρχει μία μικρή σήχηση. Πιθανόν να είναι και τυπογραφικό λάθος. Δόξα τον Θεό, τα βιβλία έχουν... Αλλά στο μυαλό σας και για να βλέπετε και τα βιβλία όταν διαβάζετε από εδώ και πέρα, ιδιαίτερα τα βιβλία τα οποία έχουν αρκετά μαθηματικά μέσα, τα τυπογραφικά λάθη είναι αρκετά. Να έχετε στο μυαλό σας και να βάζετε τη λογική, να βάζετε λίγο τη λογική να δουλεύει. Δηλαδή να έχετε περισσότερο στο μυαλό σας τα μαθηματικά, να λύνετε τα μαθηματικά τα οποία υπάρχουν από πίσω. Λοιπόν, πάμε τώρα στην γεννήκευση όλων αυτών τα οποία έχουμε συζητήσει μέχρι τώρα. Μέχρι τώρα μιλήσαμε για προτιμήσεις. Με άλλα λόγια χρησιμοποίησαμε τον όρο προτίμηση στα καταναλωτικά αγαθά, δηλαδή στο σύνολο σε, το σύνολο των καταναλωτικών αγαθών με την έννοια ότι ένα καλάθι χ, ένα καλάθι αγαθών χ προτιμάται έναντι ενός άλλου καλάθιου χ, διότι αυτό το καλάθι ικανοποιεί καλύτερα τις ανάγκες ή τις επιθυμίες του καταναλωτή. Λοιπόν, η έννοια της προτίμησης την χρησιμοποίησαμε ότι το καλάθι προτιμάται έναντι ενός άλλου καλαθιού διότι ικανοποιεί καλύτερα τις ανάγκες. Άρα, εν αρχή, είναι η ανάγκη, έτσι, μην το ξεχνάμε. Η ανάγκη δεν μπορεί να υπάρξει αγαθό διότι όλα τα αγαθά τα οποία υπάρχουν, υπάρχουν για να ικανοποιούν κάποιες ανάγκες, όπως έχετε κάνει και στο Λύκειο και δεν είναι μόνο οι βιολογικές ανάγκες διότι δεν θα χρειαζόταν να κάνουμε όλα αυτά τα οποία κάνουμε τώρα, αν οι ανάγκες ήταν μόνο βιολογικές, έτσι δεν είναι. Με βάση, λοιπόν, της προτιμήσεις κατασκευάσαμε τις καμπύλες αδιαφορίας, δηλαδή κατασκευάσαμε την ταξινόμιση των επιλογών. Αυτή η ταξινόμιση των επιλογών πήρε το όνομα χάρτης καμπυλών αδιαφορίας. Και στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη τον ισοδηματικό περιορισμό, δηλαδή φτιάξαμε τις προτιμήσεις του καταναρωτή, δηλαδή δείξαμε πώς είναι οι προτιμήσεις του καταναρωτή στον χώρο των δύο διαστάσεων. Στη συνέχεια λάβαμε υπόψη μας τον ισοδηματικό περιορισμό, δηλαδή τα χρήματα τα οποία έχει στην τσέπη του και τις τιμές τις οποίες αντιμετωπίζει. Και με βάση αυτά, τελικά καταλήξαμε στο άριστο καλάθι ή άριστη επιλογή από τα άπειρα καλάθια. Σήμερα θα ξεκινήσουμε μια άλλη ενότητα, θα προσπαθήσουμε να γενικεύσουμε πλέον την θεωρία μας, να την ανεβάσουμε ένα επίπεδο παραπάνω, να μην είμαστε πια μόνο στον χώρο των δύο διαστάσεων. Και επομένως θα χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση χρησιμότητας. Θα την παίρνουμε σε ένα καινούριο κεφάλαιο και ίσως είναι και το πιο ενδιαφέρον είναι λίγο πιο τεχνικό σε σχέση με αυτά τα οποία έχουμε κάνει μέχρι τώρα, δηλαδή θα χρησιμοποιήσουμε περισσότερα πια μαθηματικά, αυτά τα οποία κάνετε με τον κ. Κυρίτσι για τις συναρτήσεις με περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλίτες. Άρα πάμε στις μερικές παγαγόγους κλπ. Λοιπόν, ας ορίσουμε τη συνάρτηση χρησιμοτητας. Αυτά που κάνουμε σήμερα δεν είναι στην πρόοδο της Πέμπτης, ξεκινάμε πια κάτι άλλο. Στην πρόοδο της Πέμπτης θα είναι μόνο αυτά τα οποία έχουμε κάνει μέχρι την προηγούμενη εβδομάδα. Λοιπόν, πάμε να ορίσουμε τη συνάρτηση χρησιμοτητας. Έχουμε λοιπόν το καταναλωτικό σύνολο Σ. Και σε αυτό το καταναλωτικό σύνολο Σ ανήκουν τα καλάθια Χ. Τότε, για κάθε καλάθι Χ υπάρχει ένας αριθμός U, το οποίο ανήκει στο Σ υπάρχει ένας αριθμός U, τέτοιος ώστε, ένας αριθμός U ο οποίος αντιστοιχεί στο συγκεκριμένο καλάθι Χ, τέτοιος αριθμός όμως ώστε, όταν, εάν, Χ προτιμάται έναντι του Χ τόνος, θα πρέπει να ισχύει ότι η χρησιμότητα του Χ είναι μεγαλύτερη, συγγνώμη εδώ, τουλάχιστον ίσως για να είναι γενική περίπτωση, η χρησιμότητα του Χ είναι μεγαλύτερη από την χρησιμότητα του Χ τόνος. Μην ξεχνάμε ότι, όπως έχουμε κάνει στα μαθηματικά, η συνάρτηση είναι μια αντιστοιχία, μια αντιστοιχία του Χ στο U. Τι τύπο όμως αντιστοιχίας θέλουμε, δηλαδή δεν θέλουμε οποιαδήποτε μορφή αντιστοιχίας, για κοιτάξε λίγο, όπως έχουμε κάνει στα μαθηματικά, η συνάρτηση είναι μια αντιστοιχία, μια αντιστοιχία του Χ στο U. Σύμφωνοι, και το U και το Χ ανήκουν στο θετικό R. Τι τύπο όμως συνάρτησης πρέπει να έχουμε, δηλαδή αυτή η αντιστοιχία του Χ στο U, τι χαρακτηριστικό πρέπει να έχει για να είναι συνάρτηση χρησιμότητας. Θα πρέπει, εάν το Χ είναι τουλάχιστον ίσο ως προς το Χ τόνος, θα πρέπει να ισχύει ότι η χρησιμότητα του Χ θα πρέπει να είναι τουλάχιστον ίση ως προς τη χρησιμότητα του Χ τόνος. Και αντίστροφα, γι' αυτό έβαλα τη συνεπαγωγή, εάν ισχύει ότι η χρησιμότητα του Χ είναι μεγαλύτερη ή ίση από την χρησιμότητα του Χ τόνος, τότε θα ισχύει ότι το Χ είναι τουλάχιστον ίσο ως προς το Χ τόνος. Με άλλα λόγια, πλέον μεταφράζουμε σε ισαγωγικά τις προτιμήσεις στη συνάρτηση χρησιμότητας. Δηλαδή η συνάρτηση χρησιμότητας είναι η μαθηματικοποίηση, η συναρτησοποίηση, να χρησιμοποιήσω αυτό το βαρβαρισμό, των προτιμήσεων. Δηλαδή, προτιμήσεις, συνάρτηση, χρησιμότητας. Άρα πλέον φεύγουμε από τις καμπύλες αδιαφορίας και τον χάρτη των καμπυλών αδιαφορίας που είχαμε κάνει μέχρι τώρα και πάμε σε έναν άλλο εναλλακτικό τρόπο παρουσίασης των προτιμήσεων που είναι η συνάρτηση χρησιμότητας. Οι καμπύλες αδιαφορίας αποτελούν ένα γράφημα μιας συνάρτησης χρησιμότητας στον χώρο των δύο διαστάσεων. Δηλαδή, ο χάρτης των καμπυλών αδιαφορίας προκύπτει από μία συνάρτηση χρησιμότητας στην οποία τα καλάθια περιέχουν μόνο δύο βαγκαθά. Ο χάρτης των καμπυλών αδιαφορίας προκύπτει από μία συνάρτηση χρησιμότητας στην οποία συμμετέχουν μόνο δύο αγαθά. Για να δούμε λίγο πώς προκύπτουν. Εδώ τι έχουμε τώρα. Έχουμε μία συνάρτηση με τρεις μεταβλητές. Την μεταβλητή x1, την μεταβλητή x2 και ο τύπος της συνάρτησης μας δίνει πόσο είναι το u. Θυμηθείτε λίγο από αυτά τα οποία έχετε κάνει με τον κύριο Κιρίτσι. Ήσον f του xz. Το y είναι το u, το x είναι το x1 και το z είναι το x2. Συμφωνεί. Για να το δούμε λίγο νοητά αυτό το πράγμα. Ας πούμε να πάρουμε το διάγραμμα αυτής της συνάρτησης. Το u είναι στον κάθετο άξονα. Είναι τρισδιάστατο πια το διάγραμμα. Έχουμε τρεις μεταβλητές x1, x2, u. Το u ως ψ είναι στον κάθετο άξονα. Το x1 είναι σε αυτόν τον άξονα, τον οριζόντιο και το x2 είναι σε αυτόν τον άξονα. Τώρα η συνάρτηση μου λέει ότι το u που είναι στον κάθετο εξαρτάται από το x2 και το x1. Ας πούμε λοιπόν ότι αυτό το γράφημα αυτής της συνάρτησης είναι τρισδιάστατο. Είναι τρισδιάστατο και ας πούμε ότι αυτό το γράφημα είναι σαν λόφος. Ανεβαίνει από την αρχή των αξώνων u, x1, x2. Τρισδιάστατο αυτό. Ανεβαίνει από την αρχή των αξώνων προς τα πάνω σαν λόφος. Το βλέπουμε? Ασφαλώς όταν το x1 και το x2 είναι ίσα με 0, δηλαδή δεν καταναλώνω τίποτα, η χρησιμότητα την οποία αποκομίζω είναι 0. Άρα το γράφημα ξεκινάει από την αρχή των αξώνων. Δεν καταναλώνω τίποτα, το u είναι ίσο με 0. Καθώς ανεβαίνουμε λοιπόν, αυτό γίνεται σαν ένας λόφος. Άρα σε κάθε σημείο του λόφου, βάλτε το λίγο στο μυαλό σας, σε κάθε σημείο του λόφου, κι ας πάρουμε την επιφάνεια μόνο, όχι το εσωτερικό του λόφου, σε κάθε σημείο του λόφου, ανεβαίνουμε την πλαγιά και βρισκόμαστε σε ένα σημείο εκείνης της πλαγιάς. Εκείνο το σημείο της πλαγιάς αντιστοιχεί σε ένα x1, σε ένα x2 και σε ένα u. Έτσι δεν είναι, είναι το τρισδιάστατο. Ας πούμε λοιπόν ότι είναι κούφιο από μέσα. Και ας πούμε από το u φέρνουμε μια μαχαιριά και κόβουμε το λόφο. Το λόφος είναι κούφιος, το εσωτερικό δεν μας ενδιαφέρει, μας ενδιαφέρει μόνο η επιφάνεια. Και κόβουμε το λόφο και κόβουμε την επιφάνεια. Επειδή αυτό το μαχαίρι βρίσκεται στο ίδιο ύψος, είναι ένα επίπεδο και βρίσκεται στο ίδιο ύψος, αντιστοιχεί παντού το ίδιο u. Έτσι δεν είναι. Το βλέπουμε. Το μαχαίρι αυτό αντιστοιχεί στο ίδιο u παντού. Όλο αυτό το επίπεδο είναι το ίδιο u. Άρα κόβοντας το λόφο τώρα έχουμε την περίμετρο του λόφου, η οποία έχει ένα χαρακτηριστικό. Όλα τα σημεία αυτής της περιμέτρου βρίσκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο. Άρα έχουν το ίδιο u. Έτσι δεν είναι. Συμφωνεί. Το βλέπουμε. Νοητά. Πάω λίγο παρακάτω και ξανακόβω σε ένα άλλο επίπεδο. Πάλι περιφέρεια και πάλι όλα τα σημεία της περιφέρειας έχουν το ίδιο u. Και ούτω καθεξής. Άπειρα. Άρα κόβω σε φέτες τον λόφο. Εάν τώρα αυτές τις φέτες τις προβάλλω στο οριζόντιο άξονα, στο οριζόντιο επίπεδο έτσι όπως είναι οι φέτες τώρα έχω φτιάξει τις άπειρες φετούλες. Άπειρες φετούλες. Και τις προβάλλω όλες στο οριζόντιο επίπεδο. Το οριζόντιο επίπεδο από τι χαρακτηρίζεται? Από το x1 και το x2. Άρα προβάλλω όλες τις φετούλες στο οριζόντιο επίπεδο. Τι χαρακτηριστικό έχουν? Ότι όσο πιο κοντά είμαστε στην αρχή των αξώνων, το επίπεδο από το οποίο το έχουμε κόψει είναι πιο χαμηλό. Άρα η χρησιμότητα είναι πιο χαμηλή. Και όσο πάμε προς τα έξω, επειδή εκ κατασκευής ο λόφος είναι έτσι, σημαίνει ότι πηγαίνουμε σε πιο υψηλό επίπεδο χρησιμότητας. Τι έχουμε λοιπόν εδώ πέρα? Έχουμε καμπύλες. Δεν παίρνω το από την άλλη μεριά γιατί... Θα το εξηγήσω σε λίγο. Τι έχουμε λοιπόν? Γιατί παίρνω δηλαδή μόνο αυτό το κομμάτι των καμπυλών. Έχουμε λοιπόν καμπύλες, οι οποίες έχουν ένα χαρακτηριστικό. Έχουν ένα χαρακτηριστικό. Ότι όλα τα σημεία τους έχουν την ίδια χρησιμότητα. Εκ κατασκευής. Τα προβάλαμε όλα στον οριζόντιο άξονα, στον οριζόντιο επίπεδο. Όλα τα σημεία τους έχουν την ίδια χρησιμότητα. Καθώς κινούμαστε προς τα έξω, η χρησιμότητα μεγαλώνει. Άρα εδώ τι έχουμε? Τον χάρτη των καμπυλών αδιαφορίας. Δηλαδή ο χάρτης των καμπυλών αδιαφορίας είναι οι ισουψείς. Αυτές λέγονται ισουψείς καμπύλες της συνάρτησης χρησιμότητας στον χώρο των τριών διαστάσεων. Θα το πω τώρα. Άρα τι κάνουμε? Παίρνουμε τη συνάρτηση χρησιμότητας. Όποιος τύπος κι αν είναι τη συνάρτηση χρησιμότητας. Τον σχεδιάζουμε τρισδιάστατα. Στη συνέχεια κόβουμε τα διάφορα επίπεδα, τα άπειρα επίπεδα και κάνουμε προβολή στο οριζόντιο επίπεδο. Το επίπεδο του χ1 και του χ2. Αυτές οι προβολές των τομών ονομάζονται ισουψείς καμπύλες μιας συνάρτησης. Είναι οι ισουψείς καμπύλες. Έτσι είναι η ονομασία τους. Οι ισουψείς καμπύλες μιας συνάρτησης χρησιμότητας είναι οι καμπύλες αδιαφορίας. Διότι έχουν ακριβώς το χαρακτηριστικό το οποίο είχαμε πει. Όλα τα σημεία μίας ισουψούς έχουν την ίδια χρησιμότητα. Όλα τα σημεία της ισουψούς έχουν την ίδια χρησιμότητα. Γιατί βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Και έχουμε κάνει την προβολή στο οριζόντιο επίπεδο. Τώρα, αυτό το οποίο σας είπα προηγουμένως. Ο λόφος πάει και από την άλλη μεριά. Θα σχεδιάσω μόνο μία τομή του λόφου. Όλα τα σημεία του λόφου και εδώ είναι η ισουψής του λόφου ολόκληρη. Κοιτάξτε λίγο, εδώ είναι η ισουψής ολόκληρου του λόφου. Η τομή του λόφου. Εδώ είναι η 1 και εδώ είναι η 2. Αυτό το οποίο λέμε είναι ότι παίρνουμε μόνο το θετικό κομμάτι. Για να ισχύουν τα χαρακτηριστικά των καμπυλών αδιαφορίας που έχουμε πει. Ο οριακός λόγος υποκατάστασης είναι θετικός και ευθύνον. Ο οριακός λόγος υποκατάστασης είναι αρνητικός και ευθύνον. Αυτή είναι η βασική υπόθεση στην οποία κάνουμε. Άρα, εάν θέλουμε ο οριακός λόγος υποκατάστασης ως βασική υπόθεση της θεωρίας μας να ισχύει, αυτό το κομμάτι πάβει να υπάρχει. Άρα πάμε μέχρι τα κομμάτια εκείνα που γίνεται σχεδόν οριζόντια και κάθετη. Όλο το υπόλοιπο κομμάτι δεν μας ενδιαφέρει λόγω της υποθέσεις στην οποία έχουμε κάνει. Άρα το πάνο κομμάτι, δηλαδή το πέρα κομμάτι του λόφου, δεν το χρησιμοποιούμε λόγω της υπόθεσης του φθήνοντος οριακού λόγου υποκατάστασης. Εντάξει, του αρνητικού και φθήνοντος. Οι ισοϊψείς καμπύλες είναι μαθηματικός όρος. Οι ισοϊψείς καμπύλες μιας συνάρτησης χρησιμότητας ονομάζονται καμπύλες αδιαφορίας. Δηλαδή, οι καμπύλες αδιαφορίας είναι οι ισοϊψείς καμπύλες της συνάρτησης χρησιμότητας. Οι καμπύλες αδιαφορίας είναι οι ισοϊψείς καμπύλες της συνάρτησης χρησιμότητας. Να λοιπόν, πώς βγαίνουν οι καμπύλες αδιαφορίας από μια συνάρτηση χρησιμότητας. Ερχόμαστε από εδώ τώρα. Τώρα, οι συναρτήσεις χρησιμότητας πρέπει να έχουν ορισμένα χαρακτηριστικά για να θεωρούνται συναρτήσεις χρησιμότητας. Δηλαδή, δεν μπορεί οποιαδήποτε μορφή συνάρτησης να είναι και συνάρτηση χρησιμότητας. Μια συνάρτηση, για παράδειγμα, θα μπορούσε να είναι ψήσον 4x συν 5x2. Μια άλλη συνάρτηση θα μπορούσε να είναι ε4x1 συν 5x2. Μια άλλη συνάρτηση μπορεί να ήταν λογάριθμος χ1 συν λογάριθμος χ2. Οτιδήποτε. Έχουμε άπειρους τύπους συναρτήσων. Όμως, για να είναι μία συνάρτηση χρησιμότητας θα πρέπει να έχει ορισμένα χαρακτηριστικά. Τα πρώτα χαρακτηριστικά τα οποία πρέπει να έχει μία συνάρτηση χρησιμότητας είναι ότι θα πρέπει να έχει ορισμένα χαρακτηριστικά. Τα πρώτα χαρακτηριστικά τα οποία πρέπει να έχει μία συνάρτηση χρησιμότητας είναι ότι θα πρέπει να υπάρχει ευθεία αντιστοίχηση με τα αξιώματα των προτιμήσεων που έχουμε κάνει. Άρα, η αντιστοίχηση με το αξίωμα της διμελούς σχέσης. Εάν, πρώτο επομένως, η διμελή σχέση. Εάν το Χ προτιμάται έναντι του Χ τόνος, τότε η συνάρτηση θα πρέπει να δίνει μεγαλύτερη χρησιμότητα στο Χ. Από το Χ τόνος. Δηλαδή, θα πρέπει να έχουμε ένα τέτοιο τύπο που όταν το Χ προτιμάται έναντι του Χ τόνος, θα πρέπει η χρησιμότητα του Χ, δηλαδή η αντιστοίχηση που θα γίνεται από τη συνάρτηση να είναι μεγαλύτερη από το Χ τόνος. Με άλλα λόγια, δεν μπορεί ας πούμε να ισχύει το Χ προτιμάται έναντι του Χ τόνος και να έχουμε έναν τύπο συνάρτησης χρησιμότητας, U ίσον μίον 3X1 μίον 3X2, με αρνητικά πρόσημο. Το Χ να προτιμάται έναντι του Χ τόνος και αν αντικαταστήσουμε τώρα Χ όπου Χ1 και Χ2 που έχουμε, το Χ τόνος, Χ1 τόνος και Χ2 τόνος, θα έχουμε μεγαλύτερο U. Άρα, έχει πρόβλημα, γιατί ο αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος, αλλά σε απόλυτη τιμή είναι μικρότερος, άρα είναι μεγαλύτερος από το προηγούμενο U. Άρα δεν μπορείς να έχεις μια τέτοια συνάρτηση για παράδειγμα. Σκεφτείτε λίγο, το Χ προτιμάται έναντι του Χ τόνος. Γιατί προτιμάται έναντι του Χ τόνος, με βάση αυτά που έχουμε κάνει, γιατί τουλάχιστον σε ένα αγαθό από τα δύο, τουλάχιστον σε ένα αγαθό από τα δύο, η ποσότητα είναι μεγαλύτερη. Γιατί ισχύει το Χ, προτιμάται έναντι του Χ τόνος, διότι μπορεί να ισχύει Χ1 ίσον Χ1 τόνος, αλλά θα ισχύει Χ2 μεγαλύτερο από το Χ2 τόνος. Αν αντικαταστήσουμε τώρα το Χ1 τόνος και το Χ2 τόνος στη συνάρτηση, τι θα πάρουμε. Θα πάρουμε, επειδή το Χ2 τόνος είναι μικρότερο, θα πάρουμε ένα μικρότερο αρνητικό, έτσι δεν είναι. Κοιτάξτε λίγο, Κοιτάξτε λίγο, Χ1 Χ2 ίσον Γ. Αντικαταστώ, όπου Χ1 Χ2, το Χ1 Χ2 και είναι ένας αρνητικός. Αντικαταστώ τώρα όπου Χ1 Χ2 το Χ1 τόνος που είναι το ίδιο, άρα δεν αλλάζει και το Χ2 τόνος το οποίο είναι μικρότερο. Άρα ο αριθμός Γ εδώ θα είναι αρνητικός και μικρότερος, η απόλυτη τιμή του θα είναι μικρότερη σε σχέση με την προηγούμενη, γιατί βάζουμε ένα μικρότερο αριθμό. Άρα το Γ τόνος είναι μεγαλύτερο από το Γ. Δηλαδή σας βλέπω λίγο, με κοιτάτε, ακόμα δεν έχετε ξυπνήσει. Λοιπόν, η συνάρτηση είναι αυτή εδώ, μίον 3 Χ1 μίον 3 Χ2 είναι τελείως τυχαία. Έτσι, τώρα μου έρχεται. Το καλάθι Χ τόνος είναι Χ1 τόνος ίσον 3 και Χ2 τόνος ίσον 4. Το καλάθι Χ δίστωνο είναι Χ1 τόνος ίσον 3 και Χ2 τόνος ίσον 2. Περιέχει μικρότερες ποσότητες, άρα το Χ τόνος προτιμάται εναντί του Χ δίστωνο. Για να δούμε λοιπόν πώς η χρησιμότητα αντιστοιχεί στο Χ τόνος και πώς η χρησιμότητα αντιστοιχεί στο Χ δίστωνο. Αντικαθιστούμε λοιπόν τις ποσότητες του Χ τόνος στην συνάρτηση. Άρα, U τόνος που είναι η χρησιμότητα που θα αποκομίσουμε από το Χ τόνος είναι ίσο με μίον 3 Χ3 μίον 3 Χ4 είναι ίσο με μίον 21. Για να δούμε τώρα την χρησιμότητα που θα αποκομίσουμε καταναλώνοντας ποσότητες του καλαθιού Χ δίστωνο. Η χρησιμότητα του Χ δίστωνο είναι ίση με μίον 3 Χ3 μίον 3 Χ2 είναι ίσο με μίον 15. Άρα, η χρησιμότητα U δίστωνο του Χ δίστωνο είναι μεγαλύτερη από την χρησιμότητα του Χ τόνος. Άρα, τι έχουμε. Έχουμε μία κατάσταση που ενώ το καλάθι Χ προτιμάται έναντι του Χ δίστωνο επειδή περιέχει μεγαλύτερη ποσότητα από το αγαθό Χ2, η χρησιμότητα όμως του Χ δίστωνο είναι μεγαλύτερη. Άρα, μία συνάρτηση χρησιμότητας θα πρέπει να έχει αυτό το χαρακτηριστικό. Δηλαδή θα πρέπει να έχει έναν τέτοιο τύπο συνάρτησης που όταν το Χ προτιμάται έναντι του Χ τόνος θα πρέπει η χρησιμότητα από το Χ να είναι μεγαλύτερη από το Χ τόνος. Συνεπώς, μία τέτοια συνάρτηση χρησιμότητας δεν μπορεί να είναι αποδεκτή ως συνάρτηση χρησιμότητας σε κανονικά άγαθα. Όχι για κακά. Θα δούμε αργότερα παράδειγμα. Είμαστε ok. Άρα, το αξίωμα της δημελούς σχέσης μεταφράζεται ως όταν το Χ προτιμάται έναντι του Χ τόνος, συνεπάγεται ότι η χρησιμότητα από το Χ είναι μεγαλύτερη από την χρησιμότητα του Χ τόνος. Και το αντίστροφο, όταν ισχύει ότι η χρησιμότητα του Χ είναι μεγαλύτερη από την χρησιμότητα του Χ τόνος, τότε το Χ προτιμάται έναντι του Χ τόνος. Για αυτό έβαλα τη διπλή συνεπαγωγή. Αυτό που κάνουμε είναι αρκετά σημαντικό, γιατί όπως αργότερα θα δείτε κατά τη διάρκεια των σπουδών σας εδώ, είναι περιορισμένος ο αριθμός των συναρτήσεων που χρησιμοποιούμε ως συναρτήσεες χρησιμοτήτας. Γιατί? Διότι πρέπει να έχουν αυτά τα χαρακτηριστικά τα οποία είπαμε και αυτά τα οποία θα δούμε λίγο παρακάτω. Έτσι ώστε να πιάνουν όλο αυτό το οποίο συζητήσαμε για τις προτιμήσεις και την αριστοποίηση στις προηγούμενες συναντήσεις μας. Αλλά δεν μπορεί να είναι οποιαδήποτε συναρτήση, συναρτήση χρησιμοτήτας. Εάν επίσης το Χ είναι αδιάφορο, του Χ τόνος, τότε συνεπάγεται ότι η χρησιμότητα του Χ είναι ίση με την χρησιμότητα του Χ τόνος. Εδώ κάνω μια παρένθεση. Αυτό το οποίο προσπαθούμε να κάνουμε με τη συναρτήση χρησιμότητας, είναι να ξεφύγουμε από τον χώρο των δύο διαστάσεων, που μας περιορίζει. Αυτό το οποίο προσπαθούμε να κάνουμε είναι να γενικεύσουμε και να πάμε στα νή αγαθά, τα οποία αντιμετωπίζουμε. Και να κάνουμε όλη την ανάλυση την οποία έχουμε κάνει μέχρι τώρα στα δύο αγαθά, να δούμε αν αυτά τα οποία κάναμε στα δύο αγαθά, ισχύουν και στα νή αγαθά. Δεύτερον, είναι πολύ πιο εύκολο να διαχειριστείς στατιστικά μια συναρτήση από ένα διάγραμμα. Δηλαδή εμείς θέλουμε πια να καταλήξουμε σε συναρτήση συζήτησης, σε μια πραγματική συναρτήση συζήτησης, που χρησιμοποιώντας τα στοιχεία της στατιστικής, στατιστικά στοιχεία και στατιστική, να μπορέσουμε να εκτιμήσουμε τη συναρτήση συζήτησης. Δηλαδή, όταν κάναμε το διάγραμμα, είπαμε, που το βγάλαμε από την διαδικασία της αριστοποίησης, ότι η καμπύλη είναι αυτή. Αντικειμενικός στόχος τώρα είναι να πάμε στο x1 είναι συναρτήση του π1. Και χρησιμοποιώντας τη στατιστική μας, να ξέρουμε ότι για τη συγκεκριμένη χρονική περίοδο που έχουμε κάνει την ανάλυσή μας, ότι το x1 είναι ίσο με 3-2π1. Το οποίο πια μπορείς να το διαχειριστείς όπως θέλεις. Ενώ την καμπύλη τι να τη διαχειριστείς. Αυτό μπορείς να το διαχειριστείς πια. Εδώ είναι δύσκολο να το διαχειριστείς. Να το διαχειριστείς τι, σε πραγματικούς όρους. Δηλαδή εδώ τι μου λέει, αν πάρουμε τώρα την παράγωγο, dx1dp1 είναι ίσο με 2-2. Εδώ είναι κιλά πορτοκάλια. Ο αριθμητής είναι κιλά πορτοκάλια και ο παρονομαστής είναι ευρώ. Και επειδή είναι κλάσμα είναι κατά μονάδα. Τι μου λέει λοιπόν εδώ η παράγογος, ότι κάθε φορά που θα αυξάνει η τιμή κατά 1 ευρώ, μειώνεται η ζήτηση των πορτοκαλιών κατά 2 κιλά. Αυτό μου λέει εδώ. Έτσι, είναι 2 κιλά ανά ευρώ. Ένα πραγματικό νούμερο πια. Ένας πραγματικός αριθμός, πραγματικός της πράξης, της αγοράς, που μας λέει ακριβώς ποια είναι η συμπεριφορά της ζητούμενης ποσότητας σε σχέση με την τιμή. Για να φτάσουμε όμως σε αυτό, γιατί αυτό εδώ δεν μας λέει και πολλά πράγματα, για να φτάσουμε όμως σε αυτό θα πρέπει από κάπου να ξεκινήσουμε. Για να φτάσουμε στην καμπύλη ζήτησης, ξεκινήσαμε από τις προτιμήσεις, χάρτης καμπυλών αδιαφορίας και καταλήξαμε εκεί. Τώρα, για να φτάσουμε σε αυτό και εδώ μετά χρησιμοποιώντας στατιστικές, θα δούμε αρκετά παραδείγματα μετά, αργότερα, πρέπει να ξεκινήσουμε από μια συνάρτηση χρησιμότητας, δηλαδή πια να έχουμε πιο μετρήσιμες σε εισαγωγικά καταστάσεις. Καταστάσεις που μπορούν να μετρηθούν. Είναι κατανοητό πού θέλουμε να πάμε και γιατί το κάνουμε. Γιατί φεύγουμε πια από το διάγραμμα, δηλαδή μια σχέση μεταξύ ζητούμενης ποσότητας και τιμής διαγραμματικό, το οποίο μας δίνει μια εικόνα, αλλά δεν είναι τόσο πολύ διαχειρίσιμη αυτή η εικόνα. Εμάς μας ενδιαφέρει να μπορέσουμε να κάνουμε πρόταση πολιτικής στην επιχείρηση. Να αυξήσει την τιμή ή να τη μειώσει την τιμή. Άρα για να μπορέσω να απαντήσω σε αυτό το ερώτημα στην πρόταση πολιτικής, θα πρέπει να έχω μια συναρτηση. Να την εκτιμήσω χρησιμοποιώντας στατιστική. Θα τα δείτε αυτά στο επόμενο εξάμινο της στατιστικής. Και έτσι θα έχω μια εκτιμημένη συναρτηση συζήτησης. Και εκεί μπορώ πια να κάνω πολιτική. Άρα αυτός είναι ο δικημενικός στόχος. Συνεπώς η συναρτήση χρησιμότας θα μας βοηθήσει να έχουμε κάτι πιο διαχειρίσιμο στο τέλος. Και γι' αυτό αργότερα προς το τρίτο, τέταρτο έτος όταν όσοι από εσάς θα ασχοληθείτε περισσότερο με μικροοικονομική, δηλαδή θα ακολουθήσετε την οικονομική θεωρία ως κατεύθυνση, εκεί θα δείτε ότι κατά 99,9% χρησιμοποιούμε μόνο συναρτήσεις. Γιατί είναι πιο γενικές και μπορούν να δώσουν όμως πιο καλό αποτέλεσμα στο τέλος. Άρα η διμελή σχέση μεταφράζεται στην συναρτήση χρησιμότητας όπως το έχουμε δει ως τώρα. Το δεύτερο χαρακτηριστικό, κι άρα εδώ, το αξίωμα της διμελούς σχέσης σημαίνει ότι όλα τα καλάθια τα οποία υπάρχουν, όλα τα καλάθια τα οποία υπάρχουν έχουν ταξινομηθεί με αυτόν τον τρόπο. Θυμηθείτε λίγο τι κάναμε με τις προτιμήσεις με το αξίωμα της διμελούς σχέσης. Μετατρέψαμε τα άπειρα καλάθια σε άπειρα ζεύγοι. Το θυμάστε? Μετατρέψαμε τα άπειρα καλάθια τα οποία υπάρχουν στο χώρο, x2, x1 που είναι τα άπειρα, τα μετατρέψαμε σε ζευγάρια. Με βάση την προτίμηση ή την αδιαφορία. Έτσι λοιπόν και εδώ η διμελή σχέση μεταφράζεται στη συνάρτηση χρησιμότητας με αυτό. Δηλαδή όλα τα καλάθια τα οποία υπάρχουν μέσα στο σύνολο σε μπορούν να ταξινομηθούν με βάση τη συνάρτηση χρησιμότητας έτσι. Άρα ξέρουμε πια όλα τα καλάθια αναδείω τι σχέση έχουν μεταξύ τους με βάση τη χρησιμότητα πια. Και όχι ένα γενικό κριτήριο προτίμησης, με βάση το κριτήριο της χρησιμότητας. Δεύτερο, η συνάρτηση χρησιμότητας θα πρέπει να χαρακτηρίζεται από τη μεταβατικότητα. Η συνάρτηση χρησιμότητας θα πρέπει να χαρακτηρίζεται από τη μεταβατικότητα. Δηλαδή για να είναι δηλαδή μια συνάρτηση χρησιμότητας, μια συνάρτηση χρησιμότητας πρέπει να ικανοποιεί το αξιώμα της μεταβατικότητας. Εάν γιούχι μεγαλύτερο ίσο απ' το γιούχι τόνος και γιούχι τόνος μεγαλύτερο ίσο απ' το γιούχι δίστωνο, τότε θα ισχύει ότι γιούχι μεγαλύτερο ίσο απ' το γιούχι δίστωνο. Άρα το αξίωμα της μεταβατικότητας μεταφράζεται ως ιδιότητα της συνάρτησης μας, την ιδιότητα της μεταβατικότητας. Δηλαδή μία συνάρτηση χρησιμότητας θα πρέπει να ικανοποιεί την ιδιότητα της μεταβατικότητας. Είμαστε ok. Το αξίωμα της ορθολογικότητας τώρα μεταφράζεται ως εξής. Εάν υπάρχουν δύο καλάθια Χ και Χ τόνος το οποία ανήκουν στο Σ, και γιούχι μεγαλύτερο ίσο απ' το γιούχι τόνος, τότε ο καταναλωτής δεν θα επιλέξει ποτέ το Χ τόνος όταν στην διάθεσή του θα υπάρχει το Χ. Από εδώ προκύπτει σύμφωνα με το αξίωμα της ορθολογικότητας ότι ποτέ δεν επιλέγει το Χ τόνος όταν στις δυνατότητές του ανήκει το Χ. Από εδώ προκύπτει σύμφωνα με το αξίωμα της ορθολογικότητας ότι ποτέ δεν επιλέγει το Χ τόνος. Από εδώ προκύπτει σύμφωνα με το αξίωμα της ορθολογικότητας ότι ποτέ δεν επιλέγει το Χ τόνος. Άρα στη μεταβατικότητα πρέπει οπωσδήποτε να έχουμε δύο σχέσεις από τις τρεις για να εξάγουμε την τρίτη. Άρα το αξίωμα της ορθολογικότητας μεταφράζεται πια με την συνάρτηση χρησιμότητας ότι ποτέ δεν θα επιλέξουμε ένα καλά θηχείο όταν υπάρχει ένα καλά θηχείο τόνος το οποίο μου δίνει μεγαλύτερη χρησιμότητα. Ας κάνουμε πέντε λεπτά διάλειμμα. Προτιμήσεις, δηλαδή είπαμε ότι το άτομο όσο και να παίρνει περισσότερο από ένα αγαθό η θέση του βελτιώνεται, η ικανοποίηση του βελτιώνεται, στην περίπτωση της ανάλυσης με τη συνάρτηση χρησιμότητας, μεταφράζεται ως ιδιότητα της συνάρτησης ως εξής. Ότι η μερική παράγωγος θηταγιού θηταχιάει είναι θετική. Η μερική παράγωγος ως προς κάθε αγαθοάει είναι θετική. Είναι η μετάφραση του μη κορεσμού ως ιδιότητα της συνάρτησης χρησιμότητας. Δηλαδή η συνάρτηση χρησιμότητας για να ικανοποιεί την υπόθεση του μη κορεσμού θα πρέπει οι πρώτες μερικές παράγωγοι να είναι θετικές. Δηλαδή η συνάρτηση χρησιμότητας για να ικανοποιεί την υπόθεση του μη κορεσμού θα πρέπει οι πρώτες μερικές παράγωγοι να είναι θετικές. Δεύτερη υπόθεση είναι ότι η δεύτερη μερική παράγωγος πρέπει να είναι αρνητική. Δηλαδή θηταγιού θηταχιάει πρέπει να είναι αρνητική. Δηλαδή ναι μεν αυξάνει η χρησιμότητά μου καταναλώνοντας όλο και περισσότερο από μεγαλύτερη ποσότητα από το αγαθό I, αλλά αυτή η αύξηση βένει μειούμενη. Η δεύτερη παράγωγος μας δείχνει το ρυθμό μεταβολής. Άρα ναι μεν αυξάνει η χρησιμότητά μου, αλλά η δεύτερη παράγωγος μου λέει επειδή είναι αρνητική, μου λέει ότι αυτή η αύξηση είναι μειούμενη. Τώρα, για να υπάρχει η μερική παράγωγος όπως το ξέρουμε από τα μαθηματικά μας, θα πρέπει να ισχύει η υπόθεση της συνέχειας. Δηλαδή, στο σύνολο σε δεν πρέπει να υπάρχουν κενά. Αυτό το οποίο είχαμε πει ότι θα πρέπει να είναι ευθέως κριτό. Δεν πρέπει να υπάρχουν κενά. Θυμηθείτε λίγο τη συζήτηση που κάναμε για να εξάγουμε την κλάσια διαφορίας στο Τεταρτημόριο. Δηλαδή, η αλλαγή του προσήμου που έγινε στην προτίμηση υποθέσαμε ότι μεταξύ των δύο γειτονικών σημείων υπάρχει κάποιο άλλο, το οποίο δεν είναι ούτε καλύτερο ούτε χειρότερο. Αυτή είναι η υπόθεση της συνέχειας, δηλαδή ότι μέσα στο σύνολο σε δεν υπάρχουν κενά. Άρα δεν μπορεί να επιδείξω από τη μια κατάσταση στην άλλη. Θα πρέπει να πάω ομαλά από τη μια κατάσταση στην άλλη, σημείο σημείο. Αν λοιπόν το σύνολο σε δεν έχει κενά, υπάρχει δηλαδή η υπόθεση της συνέχειας, τότε μπορούμε να πάρουμε τις μερικές παραγώγους. Και εδώ τι μας λέει ότι η μερική παράγωγος του γιου ως προστοχιάει πρέπει να είναι θετική. Αυτή είναι η υπόθεση του μη κορεσμού. Ονομάζουμε τώρα MU-XI. Ορίζουμε την μερική παράγωγο της συνάρτησης χρησιμότητας ως προστοχιάει ως η οριακή χρησιμότητα του αγαθού I. Και επειδή θα το χρησιμοποιούμε συνεχώς, το ορίζουμε από τώρα. Τι μου δίνει λοιπόν η οριακή χρησιμότητα του αγαθού I. Είναι κλάσμα, μεταβολές, κοιτάξτε λίγο, η οριακή χρησιμότητα είναι κλάσμα και μεταβολές. Μεταβολές που προκαλούνται από τον παρονομαστή και επηρεάζουν τον αριθμητή. Έχει μονάδες μέτρησης, χρησιμομονάδες σε εισαγωγικά και ποσότητες. Άρα εδώ τι μου λέει, πόσο θα μεταβληθεί η χρησιμότητά μου αν μεταβληθεί η κατανάλωση του αγαθού I κατά μία μικρή ποσότητα. Και επειδή μιλάμε για παράγωγο, αυτή η ποσότητα τίνει προς το μηδέν, είναι πάρα πολύ μικρή. Αν θα θέλαμε να το δούμε λίγο πιο καθαρά, αν παίρναμε το ΔΕΥΔΧΙ, είναι οι μεγάλες μεταβολές αυτές, πόσο θα μεταβληθεί η χρησιμότητά μου αν μεταβληθεί η ζητούμενη ποσότητα κατά μία μονάδα. Αυτό μετράει την επίδραση του χιάι πάνω στη χρησιμότητά μου. Τώρα, αν το ΔΕΥΔΧΙ τίνει στο μηδέν, τότε πάμε στις μερικές παραγώγους. Άρα η οριακή χρησιμότητα μου δείχνει πώς θα μεταβληθεί η χρησιμότητα του ατόμου, εάν μεταβληθεί η καταναλησκόμενη ποσότητα κατά μία μικρή μονάδα. Και αυτό είναι θετικό. Όταν η οριακή χρησιμότητα είναι θετική, αυτό σημαίνει ότι όταν αυξάνει η καταναλησκόμενη ποσότητα του αγαθού, αυξάνει η συνολική μου χρησιμότητα. Marginal utility είναι η πρώτη παράγωση. Όχι, είναι η ονομασία της μερικής παραγώγου, η ονομασία της μερικής παραγώγου είναι οριακή χρησιμότητα. Δεύτερον, το ότι η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική, σημαίνει ότι η μεταβολή της οριακής χρησιμότητας, όταν μεταβάλλεται το Hi, είναι αρνητική. Δηλαδή, όσο αυξάνει η ποσότητα από το Hi, τόσο μειώνεται η οριακή μου χρησιμότητα. Τι είναι η οριακή χρησιμότητα? Εάν δεν καταναλώνω τίποτα, μηδέν, το Hi είναι μηδέν, και παίρνω την πρώτη μονάδα από το Hi, η μεταβολή που θα επέλθει στη χρησιμότητά μου είναι από εκεί που όταν το Hi ήταν μηδέν, το U ήταν μηδέν. Άρα, στην αρχή, Hi είναι ίσο με μηδέν και ας πούμε ότι μόνο αυτό το αγαθό αγοράζει ο καταναλωτής, το U ήταν ίσο με μηδέν, το Hi γίνεται ίσο με 1. Το U, βάζω το Hi ίσον 1 στη συνάρτηση χρησιμότητας και βλέπω πόσο είναι το U και ας πούμε ότι το U είναι ίσο με 5. Άρα, τι έχουμε? Η μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας κατά μία μικρή μονάδα προκάλεσε μια μεταβολή της χρησιμότητας από μηδέν σε πέντε. Αυτό είναι η οριακή χρησιμότητα. Πάμε τώρα. Παίρνει και μια δεύτερη μονάδα. Η χρησιμότητα γίνεται 9. Η χρησιμότητα γίνεται 9, τα νούμερα είναι τυχαία. Η χρησιμότητα γίνεται 9. Άρα, τι μου λέει εδώ ότι όσο αυξάνει η ποσότητα, η χρησιμότητα σου θα αυξάνει. Αυξήθηκε η ποσότητα από μηδέν σε ένα, η χρησιμότητά μου αυξήθηκε από μηδέν σε πέντε. Αυξήθηκε η ποσότητά μου από ένα σε δύο, αυξήθηκε η χρησιμότητά μου από πέντε σε εννιά. Αυτό έγινε τρία και το U έγινε δώδεκα. Αυξήθηκε η ποσότητά μου από δύο σε τρία, αυξήθηκε η χρησιμότητά μου από εννέα σε δώδεκα. Είναι η πρώτη ιδιότητα. Όμως, μου λέει η δεύτερη ιδιότητα, ότι ναι θα αυξάνει η χρησιμότητά σου αλλά θα αυξάνει με ευθύνοντα ρυθμό. Δηλαδή εδώ η χρησιμότητά μου αυξήθηκε κατά πέντε. Το MU ήταν πέντε, εδώ το MU είναι τέσσερα, η χρησιμότητά μου αυξήθηκε κατά τέσσερα, η χρησιμότητά μου αυξήθηκε κατά τρία. Δηλαδή όσο αυξάνει το X, το XI, αυξάνεται η χρησιμότητα αλλά αυξάνεται με ευθύνοντα ρυθμό. Κατανοητό? Εντάξει, αυξάνει με ευθύνοντα ρυθμό. Αυτό είναι η δεύτερη υπόθεση. Άρα, εάν θα είχαμε μια συνάρτηση του MU, εφόσον είναι παράγωγος συνάρτηση, η παράγωγος συνάρτηση πρέπει να έχει αρνητικό πρόσημο. Για να μας δίνει αυτό το αποτέλεσμα. Ναι, θέλουμε να αυξάνει η χρησιμότητα αλλά δεν θέλουμε να αυξάνει εξαιτικά. Δηλαδή όσο περισσότερο καταναλώνεις τόσο πιο πολύ ευχαριστημένος να είσαι, αλλά θέλουμε να αυξάνει η χρησιμότητα με ευθύνοντα ρυθμό. Άρα, η παράγωγος συνάρτηση, ως προστοχιάει, θα πρέπει να έχει αρνητικό πρόσημο. Ναι. Όχι. Γιατί είναι ασυμπτωτικό. Δεν φτάνουμε ποτέ σε ένα μέγιστο. Δεν υπάρχει όριο. Απλώς όσο πας και προς τα πάνω η χρησιμότητα που αποκομίζεις όλο και μικραίνει. Μειώνεται η αύξηση του ρυθμού. Δηλαδή, τύνει προς το μηδέν, αλλά τύνει προς το μηδέν η μεταβολή. Τύνει. Δεν γίνεται ποτέ μηδέν. Για να δούμε. Ναι, συγγνώμη. Υπάρχουν μία σημεία για την αύξηση με τόσο πολυδεχείο στις πληθυνά. Όχι. Από την υπόθεση δεν θα μικρύνει ποτέ. Απλώς φτάνουμε ασυμπτωτικά. Αυτό εδώ να είναι μηδέν. Ασυμπτωτικά όμως. Δηλαδή, δεν πάμε ποτέ στο μηδέν. Ας δούμε δύο-τρία παραδείγματα. Ναι, συγγνώμη. Να, γιατί τα μαλλιά έκανε. Ας δούμε δύο-τρία παραδείγματα τέτοιων συναρτήσεων. Ας πούμε πρώτα-πρώτα ότι έχουμε μία συναρτήση απλά γραμμική. Δηλαδή U ίσον 4X1 συν 5X2. Έτσι, ένα παράδειγμα είναι μία γραμμική συναρτήση. Μπορούμε να βάλουμε τώρα 10.000 αγαθά, έτσι να μην γράφουμε πολλά πράγματα τώρα. Άρα, για να δούμε τώρα η οριακή χρησιμότητα του αγαθού 1. Η οριακή χρησιμότητα του αγαθού 1, όπως έχουμε πει είναι ημερική παράγωγος ως προς το 1, είναι ίσο με 5. Η οριακή χρησιμότητα του αγαθού 2 είναι ημερική παράγωγος ως προς το αγαθό 2 και είναι... Α, συγγνώμη, εδώ 4 είναι και εδώ είναι 5. Δεύτερη παράγωγος, άρα η πρώτη ιδιότητα ισχύει. Η πρώτη ιδιότητα ισχύει, δηλαδή έχουμε θετική οριακή χρησιμότητα και είμαστε OK. Η δεύτερη ιδιότητα τώρα θμx1 προς θx1 είναι ίσο με 0, θμx2 προς θx2 είναι ίσο με 0. Δηλαδή η χρησιμότητα αυξάνει μόνο με σταθερό ρυθμό και όχι μευθύνοντα. Δηλαδή κάθε φορά που θα προσθέτουμε μία μονάδα από το x1, η χρησιμότητα θα αυξάνει κατά 4. Κάθε φορά που θα προσθέτουμε μία μονάδα από το x2, η χρησιμότητα θα αυξάνει κατά 5. Η δεύτερη παράγωγος είναι 0, άρα είναι σταθερός ο ρυθμός με τον οποίο θα αυξάνει η χρησιμότητα. Εάν θα θέλαμε αυτήν την συνάρτηση σε σχέση με τις καμπύλες αδιαφορίας που είχαμε συζητήσει, πού νομίζετε ότι ταιριάζει περισσότερο? Όχι τα συμπληρωματικά, τα τέλεια υποκατάστατα. Είναι τα τέλεια υποκατάστατα, η καμπύλια διαφορίας είναι ευθεία. Αυτά είναι τα τέλεια υποκατάστατα και ο βαθμός υποκαταστημότητας είναι ο λόγος 4 προς 5. Αυτή η συνάρτηση χρησιμότητας αναφέρεται στα τέλεια υποκατάστατα. Και ο βαθμός της υποκαταστασιμότητας είναι ο λόγος των συντελεστών τους. Όχι στο παράδειγμα αυτό, είναι τέλεια υποκατάστατα ή σταθερός ρυθμός υποκαταστασιμότητας να το πούμε πιο σωστά. Ο λόγος των συντελεστών θα μπορούσε να είναι α x1 συν β x2. Ο λόγος α x β είναι ο βαθμός της υποκαταστασιμότητας. Πάμε τώρα να δούμε μια άλλη μορφή. Η συνάρτηση χρησιμότητας που αντιπροσωπεύει τις καμπύλες αδιαφορίας που μόλις είπε ο συνάδελφός σας της πλήρου συμπληρωματικότητας είναι u ίσον το ελάχιστο από τα δύο. Ποιο είναι το πιο μικρό από τα δύο, άρα την χρησιμότητα την αποκομίζουμε από το ελάχιστο από τα δύο. Αυτή είναι μια συνάρτηση από το όνομα του οικονομολόγου, συνάρτηση τύπου Λεόντιεφ, Βασίλη Λεόντιεφ. Βασίλη Λεόντιεφ μίλησε για συμπληρωματικότητα μεταξύ παραγωγικών συντελεστών, αγαθών κλπ. Δηλαδή, αν υπάρχει συμπληρωματικότητα μεταξύ δύο πραγμάτων, τότε η συνάρτηση χρησιμότητας την αποκομίζουμε από το ελάχιστο από τα δύο. Θυμηθείτε το παράδειγμα το οποίο κάναμε. Όσα παπούτσια αριστερά και να δώσεις, την χρησιμότητα την οποία αποκομίζεις είναι από το ένα προς ένα. Άρα, εάν δώσω αριστερό παπούτσι ή δεξί παπούτσι, ένα και δώσω πέντε δεξιά παπούτσια, η χρησιμότητά μου προκύπτει από το ελάχιστο από τα δύο που είναι το αριστερό παπούτσι. Αυτό μας λέει αυτή η σχέση. Ένας τρίτος τύπος συνάρτησης που είναι αυτός ο οποίος χρησιμοποιείται πια ευρύτατα, δηλαδή είναι ο τύπος ο οποίος χρησιμοποιείται από τους οικονομολόγους στο 90-95% των μελετών, είναι ο εξής. U ίσον X1α X2β. Ο τύπος της συνάρτησης U ίσον X1α X2β κλπ. Για να δούμε λίγο την οριακή χρησιμότητα. Η οριακή χρησιμότητα του αγαθού 1 είναι η μερική παράγωγος ως προς το 1 είναι ίσο με α, X1α-1, X2β. Και η οριακή χρησιμότητα του αγαθού 2, μερική παράγωγος ως προς το 2 είναι ίσο με β, X1α-1. Για να δούμε αν αυτά είναι θετικά. Οι συντελεστές α και β είναι θετικοί για κανονικά αγαθά και όχι για κακά. Άρα το α και το β είναι θετικά. Το X1 είναι φυσική ποσότητα, εφόσον είναι φυσική ποσότητα σε όποιο εκθέτη και να το βάλουμε είναι πάντα θετικό. Το X2 επίσης φυσική ποσότητα σε όποιο εκθέτη είναι επίσης θετικό. Κατά συνέπεια αυτά είναι θετικά. Άρα οι οριακές χρησιμότητες αυτής της συνάρτησης είναι θετικές. Πάμε τώρα να δούμε την δεύτερη υπόθεση. θμx1 προς θx1 είναι ίσο με α επί α-1, x1 α-2, x2β και θμx2. θx2 είναι ίσο με β, β-1, x1α, x2β-1. Εδώ τώρα β-2. Αυτή είναι η δεύτερη ιδιότητα, όχι η υπόθεση, η δεύτερη ιδιότητα. Για να δούμε εδώ τι γίνεται. Η υπόθεση την οποία έχουμε κάνει είναι ότι για να έχουμε συνάρτηση χρησιμότητας, δηλαδή για να έχει το χαρακτηριστικό μια συνάρτηση της συνάρτησης χρησιμότητας, θα πρέπει η πρώτη παράγωγος να είναι θετική και η δεύτερη να είναι αρνητική για κανονικά αγάθα. Το α και το β είπαμε ότι είναι θετικά. α, β θετικά, τα υπόλοιπα αυτά είναι θετικά. Άρα το μεγάλο ερωτηματικό είναι το α-1, αν είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το μηδέν. Και το β-1, αν επίσης είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το μηδέν. Άρα εδώ έρχεται τώρα μια υπόθεση εργασίας την οποία κάνουμε. Δηλαδή λέμε οικονομολόγοι για να μπορέσουμε να θεωρήσουμε αυτό το οποίο κάνουμε ως μια κανονική συνάρτηση χρησιμότητας. Ότι για να είναι συνάρτηση χρησιμότητας αυτά πρέπει να είναι αρνητικά και ο μόνος τρόπος για να γίνει η δεύτερη παράγωγος αρνητική είναι αυτά τα δύο να είναι αρνητικά. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος. Για να είναι αυτά τα δύο αρνητικά θα πρέπει το α και το β να είναι μεν θετικά αλλά είναι μικρότερα από τη μονάδα. Και αυτή είναι υπόθεση πια. Είναι υπόθεση εργασίας την οποία κάνουμε. Για να είναι συνάρτηση χρησιμότητας θα πρέπει να ισχύει αυτή η υπόθεση. Ότι το α και το β οι εκθέτες θα πρέπει να είναι θετικοί αλλά θα πρέπει να είναι μικρότερα από τη μονάδα. Διότι αλλιώς πάμε σε θετικό πρόσημο που σημαίνει ότι όσο περισσότερο καταναλώνουμε τόσο μεγαλώνει η χρησιμοτητά μας και άρα γινόμαστε σαν την ταινία το μεγάλο φαγωπότη. Θα μπορούσε να είναι μηδέν. Θα είναι σταθερό. Αν είναι μηδέν είναι σταθερό δηλαδή έχουμε την προηγούμενη κατάσταση. Αν το α είναι ίσο με 1, τότε πάμε στην προηγούμενη κατάσταση ο βαθμός συμπληρωματικότητας είναι ένα προς ένα. Εμείς όμως επειδή θέλουμε να έχουμε μια γενική περίπτωση, μας ενδιαφέρουν δηλαδή τα αγαθά όπως τα δείτε που έχουν την καμπύλη αδιαφορίας κανονικά, κάνουμε την υπόθεση πια ότι το α και το β είναι μικρότερα από τη μονάδα. Δεν θέλουμε δηλαδή την περίπτωση της μονάδας. Αν είναι μηδέν πάτα μιλάμε σε θέληκο κατάσταση.