5.3 Επίλυση της τεταρτοβάθμιας / ενότητα 5 ,#3 , 30/04/14 - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
ενότητα 5 ,#3 , 30/04/14: Αυτό που είδαμε χτες είναι ότι για την λύση της τριτοβάθμιας πολυονομικής εξίσουσις θα πρέπει να λύσουμε μια δευτεροβάθμια Για να το πω καλύτερα, αν μπορέσουμε να λύσουμε μια δευτεροβάθμια εξίσουσι παίρνουμε και τη λύση της τριτοβάθμιας εξίσουσις Αυτό που ήθελα να δείξω σήμερα είναι πως βρέθηκε η λύση της τετατοβάθμιας εξίσουσις, την βασική ιδέα Έχω λοιπόν καταρχήν μια τετατοβάθμια εξίσουσι της μορφής x4, sin α x3 και ούτω κάθε εξής Θέλω να βρω τις ρίζες Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι μπορώ να ξεχάσω ότι υπάρχει ένας τριτοβάθμιος όρος για να μπορέσω να δώσω το γενικό να βρω έναν τρόπο λύσης αρκεί να πω πως μπορώ να λύσω κάθε τετατοβάθμια εξίσουσι από την οποία λείπει όρος που έχει το x στην τρίτη Παναλαμβάνω, αν μπορέσω και περιγράψω πως θα λύσω την τετατοβάθμια εξίσουσι που είναι της μορφής z4, sin α z τετράγωνο sin fz, sin g ίσον με το μηδέν τότε μπορώ να λύσω και όλες τις τετατοβάθμιας εξισώσεις Αυτό είναι μια δική περίπτωση Λείπει όρος με την τρίτη δύναμη Γιατί ισχύει αυτό? Γιατί αν μου δώσουν μια τετατοβάθμια στην οποίαν υπάρχει ένας όρος μηχή στην τρίτη κάνω αλλαγή στις δεταγμένων αντικαθιστώ z όπου έχει z-α τέταρτα Όταν κάνω αυτήν την αντικατάσταση, αν πάρω το x να είναι z-α τέταρτα και αντικαταστήσω επάνω θα βγάλω μια νέα εξίσουσι με z, όχι με χ, με z Η νέα εξίσουσι αυτή θα έχει τέταρτο βαθμό, αλλά δεν έχει όρο βαθμού τρία Βρίσκω τις λύσεις, γιατί αυτός είναι ο τύπος εξίσουσις για την οποίαν βρίσκω τις λύσεις βρίσκω τα z τα οποία την ικανοποιούν και για να βρω το χ το οποίο θέλω, πρέπει να αφαιρέσω τα αλφατέταρτα Άρα παρόλο που φαίνεται να είναι μια ειδική περίπτωση τελικά μου δίνει τον τρόπο για να λύνω κάθε άλλη περίπτωση Να παρατηρήσω ότι δεν μπορούμε να παραλείψουμε για παράδειγμα τον όρο z τετράγωνο Το αντίστοιχο, αν το σκεφτείτε, ισχύει και για τις εξίσουσις τρίτου βαθμού Αν έχω μια εξίσουσι τρίτου βαθμού, μπορώ να κάνω μια αντικατάσταση του ιδίου τύπου για να διώξω τον όρο που έχει βαθμό 2, τον αμέσως επόμενο αλλά δεν μπορώ να κάνω αντικατάσταση που να διώξει και τον όρο βαθμού 1 Αυτό είναι το καλύτερο που μπορώ να ελπίζω Τετάρτου βαθμού με αυτήν την αντικατάσταση παίρνω μια εξίσουσι που έχει πάλι τετάρτου βαθμού αλλά που δεν έχει έναν όρο τρίτου βαθμού Τώρα τι θα προσπαθήσουμε να κάνουμε Θα τη χωρίσω και απ' το ένας κέλος θέλω να κρατήσω άρκες δυνάμεις εδώ γράφω του x του z ανάλογα με την εξίσουσι που έχω Το πρώτο παράδειγμα έχει να κάνει με την εξίσουσι x τετάρτης συν 6x τετράγωνο συν 36 από την άλλη έχω το 60x δηλαδή έχω ξεκινήσει με την εξίσουσι x τετάρτης συν 6x τετράγωνο μίον 60x συν 36 ίσον με το 0 Κρατάω τις άρτειες δυνάμεις από την πρώτη μεριά Ίσως με απλοϊκά προσπαθώ να δω ή να προσθέσω το πρώτο το κομμάτι αυτό που είναι στο αριστερό σκέλος μπορώ να το κάνω ένα τέλειο τετράγωνο έχω 60x τετράγωνο συν 36 για να είναι τέλειο τετράγωνο θα έπρεπε να είναι το x τετράγωνο συν 6 στο τετράγωνο μου λείπει ένας όρος 60x τετράγωνο Τι κάνω λοιπόν το προσθέτω και στα δύο σκέλους Τώρα τι έχω καταφέρει το πρώτο σκέλος είναι της μορφής x τετράγωνο συν 6 στο τετράγωνο ενώ το άλλο σκέλος συν 6 έχει τετράγωνο συν 60x Με βοήθησε αυτό? Όχι τόσο Είναι εξής αν μπορέσω και φτιάξω δύο τέλεια τετράγωνα και στο ένας σκέλος και στο άλλο και το πρώτο θα είναι σίγουρα στο πρώτο σκέλος να βάλω εδώ την ισότητα εδώ έχω τετράγωνο και εδώ έχω τετράγωνο Στο πρώτο σκέλος πως ξεκινήσαμε σε αυτήν την αξιοσύνη σίγουρα επειδή έχω το x στην τετάτη μέσα στο τετράγωνο θα έχω το x τετράγωνο από τον τρόπο που τα έχουν χωρίσει στη δεύτερη θα έχω μόνο κάτι με x και εδώ στη συγκεκριμένη περίπτωση θα έχω και κάποιος στην τελεστή είναι ξεκάθαρο το θέμα είναι ότι δεν δουλεύει το δεύτερο μέρος από τα δεξιά δεν είναι τέλειο τετράγωνο αν όμως κατάφερα με κάποιο τρόπο και είχα δύο τέτοια τετράγωνα και στο τέλος όταν τα διωχνά θα έλεγα εντάξει αφού τα τετράγωνα τους είναι ίσα και οι ρίζες τους θα είναι ίσες άρα εδώ θα έχω μία εξίσουση της μορφής χ τετράγωνο στην κάτι άλλα με μικρότερη δύναμη του χ ίσον με κάτι επί χ αυτό στην ουσία είναι μία εξίσουση πάλι με το χ αλλά δευτέρου βαθμού γιατί όλες οι δυνάμεις εδώ είναι 1 και μικρότερες και όλες οι δυνάμεις μετά το χ τετράγωνο είναι μικρότερες από το 2 θα είχα λοιπόν μία εξίσουση δευτέρου βαθμού που γνωρίζω πως να λύσω επιθυμούμε λοιπόν πάρα πολύ να φτιάξουμε δύο τέτοια τετράγωνα αλλά με αυτό που έχουμε μέχρι τώρα μόνο το πρώτο σκέλος μπορούμε να το φτιάξουμε έτσι μόνο το πρώτο σκέλος είναι τελείο τετράγωνο δεν είναι τετράγωνο συνέξει στο τετράγωνο το δεύτερο δεν είναι πως μπορώ λοιπόν να το διορθώσω αυτό θα προσθέσω μία μεταβλητή αν προσθέσω μεταβλητή από ένα μέρος θα προσθέσω και από την άλλη αναρωτιέμαι λοιπόν το εξής υπάρχει ίσως κάποιο ψι υπάρχει κάποιο ψι το οποίο να μου φτιάξει την όλη κατάσταση δηλαδή έστω ότι προσθέσω το ψι στο πρώτο σκέλος μέσα από το τετράγωνο δεν είναι τετράγωνο συνέξει και βάλω εδώ το ψι υπάρχει ψι έτσι ώστε και θα περιγράψω ποιο είναι το έτσι ώστε έστω λοιπόν ότι προσθέτω ένα ψι το ψι είναι το άγνωστο, θέλω να λύσω σπρος ψι έτσι ώστε όταν το προσθέσω μέσα από το τετράγωνο δηλαδή στην ουσία αυτό που θέλω είναι να προσθέσω στα δύο σκέλοι έτσι αν το προηγούμενο σκέλος ήταν 6x τετράγωνο συν 60x θα πρέπει να προσθέσω και εκεί κάτι τι θα πρέπει να προσθέσω εάν βάλω μέσα το ψι μέσα στο τετράγωνο στην ουσία προσθέτω όταν παίρνω το τετράγωνο τον όρο 2 ψι x τετράγωνο συν 6 συν ψι δετράγωνο σωστά έχοντας βάλει το ψι μέσα εδώ έχω προσθέσει αυτόν εδώ τον όρο αυτός ο όρος λοιπόν για να διατηρηθεί η σώτα πρέπει να προσθεθεί και από την άλλη προσθέτω λοιπόν τον ίδιο όρο και από τα δεξιά και το ερώτημά μου είναι τώρα υπάρχει ψι έτσι ώστε αυτό εδώ έτσι ώστε αυτό εδώ το κομμάτι να γίνει και αυτό ένα τέλειο τετράγωνο δηλαδή να έχει μέσα να μπορέσω να το γράψω σαν α x συν ψ όλο αυτό στο τετράγωνο υπάρχει τέτοιο ψι αυτό είναι το ερώτημα αν υπάρχει τέτοιο ψι αν μπορέσω και βρω τέτοιο ψι τότε αυτό που θα κάνω είναι το εξής θα πω εντάξει τότε x τετράγωνο συν 6 αυτή η δική τιμή του ψι ότι είναι το ψι το οποίο θα μου δώσει θα δουλέψει είναι ίσο με το α x συν ψ και τώρα έχω μια δευτεροβάθμια εξήσωση ως προστοχή που μπορώ να επιλύσω έτσι αυτή είναι η βασική ιδέα να βρούμε το ψι έτσι ώστε από τα δεξιά να έχω ένα τέλειο τετράγωνο αυτό είναι λοιπόν το οποίο περιγράφω στις επόμενες διαφάνειες και αυτή ήταν η ιδέα του μαθητή του Καντάνο όπως την περιγράφει στο βιβλίο του Strasmagna ο Καντάνο αν πολλαπλασιάσω 2 ψι με x τετράγωνο συν 6 παίρνω ό,τι έχω μέσα στην τελευταία παένθεση και ψάχνουμε να βρούμε το ψι έτσι ώστε το δεξιό σκέλος αυτής της ισότητας να γίνει ένα τέλειο τετράγωνο και παίρνω αυτή την ευκαιρία και ρωτάω γενικότερα στο δεξιό σκέλος έχω βέβαια τα x τετράγωνο και έχω και κάποια πράγματα που έχουν το ψι το οποίο ψάχνω να βρω και αυτό το οποίο αναρωτιέμαι και θέτω έτσι πολύ γενικά είναι πότε μια εξής της μορφής κεφαλαίου αχ τετράγωνο συν κεφαλαίου βχ συν κεφαλαίου σ είναι ένα τέλειο τετράγωνο αν μπορέσω να το απαντήσω αυτό μετά θα μπορέσω να το απαντήσω στη συγκεκριμένη περίπτωση όπου το μεν κεφαλαίου α ο συντελεστής του χ τετράγωνο στην περίπτωση αυτή είναι το 6 και υπάρχει και ένα χ τετράγωνο στο τέλος συν δύο ψι έτσι το κεφαλαίου α αυτήν εδώ για ό,τι αντιπροσωπεύεται από το δεξιό σκέλος είναι 6 συν δύο ψι το κεφαλαίου β δηλαδή ο συντελεστής του χ είναι 60 και το κεφαλαίου σε ο σταθερός όρος είναι το ψι τετράγωνο συν 12 ψι ξαναπάω λοιπόν πίσω θέλω να φτιάξω το δεξιό σκέλος να είναι ένα τέλειο τετράγωνο και ρωτάω πότε κεφαλαίου α χ τετράγωνο συν κεφαλαίου β χ συν κεφαλαίου σε είναι ένα τέτοιο τέλειο τετράγωνο τι θα πρέπει να ισχύει καταρχήν αν ήταν τέλειο τετράγωνο αν το θεωρούσα σαν πολυόνιμο αυτό θα σημαίνει ότι θα είχε μόνο μία ρίζα διπλή μία διπλή ρίζα από τον τύπο της δευτεροβάθμιας πότε ένα πολυόνιμο δευτερού βαθμού έχει διπλή ρίζα τι θα πρέπει να ισχύει η διακρίνουσα πρέπει να είναι μηδέν άρα θα πρέπει ποιέν η διακρίνουσα β τετράγωνο μειον 4ασ να είναι ίσο με το μηδέν αυτή είναι η συνθήκη που θέλουμε και αυτή εδώ η συνθήκη γιατί το α έχει να κάνει με το ψ έχει μέσα ψ και το σε έχει να κάνει με το ψ θα μου δώσει μία σχέση που θα με διευκολύνει να λύσω για το ψ α έχει τετράγωνο συν βχ συν σε όλα αυτά κεφαλαία είναι τελείο τετράγωνο αν και μόνο αν όπως είπε η συνάραλφό σας η διακρίνουσα είναι ίσο με το μηδέν το α είπαμε ήδη το κεφαλαίο α είναι 6 συνδιοψή το β είδαμε ότι είναι 60 ενώ το σε είναι ψ τετράγωνο συν 12ψή αντικαθιστώ στον τύπο για τη διακρίνουσα β τετράγωνο μειών 4α σε ίσον με το μηδέν και μου βγαίνει αυτή η εξίσουση ως προς ψ ο μόνος άγνος ως τώρα είναι το ψ κάνοντας τις πράξεις μου βγαίνει μια τριτοβάθμια εξίσουση για το ψ και για τις τριτοβάθμιας υπάρχει ο τύπος ξέρουμε ότι υπάρχει τύπος για την επίλυση τριτοβάθμιας τον είχε δώσει ο καρντάνο άρα μπορούμε θα συνεχίσουμε από δω να ρωτήσω όμως κάτι εντάξει σε αυτή την περίπτωση η διακρίνουσα ίσο με το μηδέν μου έδωσε εδώ το πολυόνυμο ως προς το ψ το οποίο ήταν τρίτου βαθμού και μετά θέλω να βρω τη ρίζα του και καλό είναι αυτό έτσι γιατί έχω τύπο για πολυόνυμα τρίτου βαθμού ήταν αυτό τυχαίο γιατί αν η εξίσουση αυτή για το ψ μου έδινε ένα πολυόνυμο δευτέρου βαθμού πάλι εντάξει θα ήμασταν πάλι έχουμε τύπο γραμμικό μια χαρά πάλι θα έχουμε τύπο αν όμως αντί για τρίτου βαθμού έπαιρνα τέταρτο βαθμό ή μεγαλύτερο θα σταματούσα γιατί δεν ξέρουμε πως να λύνουμε εκτός αν είμαστε πάρα πολύ τυχεροί σε κάποιες συγκεκριμένες περιπτώσεις ρωτάω λοιπόν ξανά εδώ εντάξει σε αυτήν εδώ τη συγκεκριμένη περίπτωση για τη συγκεκριμένη εξίσουση που ξεκινήσαμε μας βγήκε ένα πολυόνυμο τρίτου βαθμού ως προς το ψ γενικά αυτή εδώ η συνθήκη θα μας δώσει πάντα ένα πολυόνυμο τρίτου βαθμού ως προς το ψ γιατί προκύπτει τρίτος βαθμός ως προς το ψ έτσι από πού προκύπτει αυτός βαθμός το β είναι σταθερά ήταν το εξήντα έτσι αυτό είναι βαθμός μηδέν μετά έχω το α στο α εμφανιζόταν το έξι συν δύο ψ και στο σε εμφανιζόταν το ψ τετράγωνο βαθμός τρία εμφανίστηκε γιατί πήρα αυτό το κεφαλαίο σε και πολλαπλασίασα με το α το κεφαλαίο σε έχει το ψ τετράγωνο και το κεφαλαίο α έχει μόνο ψ άρα θα πρέπει όταν τα ξανακοιτάξουμε αυτά για να πιστούμε ότι πάντα διακρίνωσα μας βγάζει ένα πολυόνυμο βαθμού τρία θα πρέπει να πιστούμε ότι αυτή είναι η περίπτωση στην οποία θα είμαστε κάθε φορά ότι το κεφαλαίο α θα έχει βαθμό 1 στο ψ και το κεφαλαίο σε θα έχει βαθμό 2 στο ψ αυτό θα ήθελα λίγο να το σκεφτείτε θα σας το ζητήσω να το δείτε και πιο προσεκτικά σε ανάσχηση η ερώτηση λοιπόν αν αυτό ισχύει γενικά για να συνεχίσουμε με το συγκεκριμένο πρόβλημα έτσι ο τύπος του καντάνο για το ψ άμα το πάρουμε να το βάλουμε στο μαθημάτικα μας δίνει αυτό εδώ το ψ ότι η τιμή του ψ είναι μειών πέντες είναι αυτά εδώ και δικές ρίζες παίρνω λοιπόν το ψ που μας έδωσε το αντικαθυστό όπως είπαμε αυτό το ψ αυτό η τιμή εκείνη που δεν θέλω να την ξαναγράψω την παίρνω και την αντικαθυστό εδώ εντω μεταξύ η τιμή του ψ μου δίνει η συγκεκριμένο α έτσι την αντικαθυστώ και εδώ η τιμή του ψ μου δίνει η συγκεκριμένο σε το αντικαθυστώ εδώ θα βρίσκω συγκεκριμένα και μετά έχω ένα πολυόνιμο 2ο βαθμού αυτό εδώ για το οποίο βρίσκω της ρίζας και για αυτό για να βρω τις ρίζες ενός πολυονίμου 2ο βαθμού απλά χρησιμοποιώ τον τύπο για τις ρίζες ο τύπος για τις ρίζες έχει μέσα το ρυζικό έτσι παίρνεις απλά το ρυζικό της διακρίνουσας και προσθέτεις αφαιρείς από κάτι άλλο και η τελική απάντηση βγαίνει να είναι αυτή που σίγουρα δεν θα θέλαμε να την ξαναγράψουμε αρκετά πολύ απλό και αλλά είναι απάντηση και φανταστείτε να τη γράφετε και ρητορικά αυτή η απάντηση πώς στις σελίδες δηλαδή με λόγια περιγράφοντας κύβους κτλ πριν προχωρήσω στο επόμενο παράδειγμα έτσι γιατί αυτό ήταν από τα παραδείγματα του καντάνου πριν προχωρήσω στο επόμενο παράδειγμα θέλω να τονίσω κάτι καταρχήν είπα προηγουμένως ότι ήταν πολύ σημαντικό ότι για να βρω το συγκεκριμένο ψυ τη ρίζα που θέλω πρέπει να λύσω μια εξίσουση βαθμού 3 και ρώτησα αν αυτό είναι τυχαία το δεύτερο όμως είναι ότι βλέπω ότι σε αυτήν την απάντηση για το χ ο τύπος τον οποίον βρίσκω έτσι έχει να κάνει με ρυζικά δευτέρο και τρίτο βαθμό προσθέτω αφαιρώ και διαρώ και παίρνω ρυζικά δεύτερη ρίζα και τρίτη ρίζα και αυτό μου δίνει τον τύπο για την ακριβή λύση της εξίσουσης από την οποία ξεκίνησα και αυτό το οποίο μας ενδιαφέρει τώρα και αυτό είναι ήδη πολύ σημαντικό γιατί προσεγγίσεις για τις λύσεις είχαν τρόπους ακόμα και τότε υπήρχαν κάποιοι τρόποι για να προσεγγίζουν τις λύσεις αυτό που ενδιαφέρει τους μαθηματικούς και αυτό που προσπάθησε και κατάφερε που έγραψε ο Καντάνο έτσι με τη συμβολή του Φεράρη αυτό το οποίο έγραψε μέσα ο Καντάνο είναι ότι είναι σημαντικό ή πόσο σημαντικό είναι να πεις ποια είναι η ακριβή λύση όχι προσέγγιση ακριβή λύση την οποία την περιγράφεις με ρυζικά Για να δούμε το επόμενο παράδειγμα. Στο επόμενο παράδειγμα έχω το χ4 συν 3 ίσον με 12χ. Δεν έχω δεύτερη δύναμη του χ εδώ. Έχω ήδη στείλει το 12χ από το άλλο μέρος της ισότητας Έχω λοιπόν το χ4 συν 3 ίσον με 12χ και μου λείπει και το χ4 και το χ3 Άρα μπορώ κατευθείαν να αφαιρέσω το 3 να το στείλω από την άλλη μεριά και λέω θα προσθέσω ένα ψ πηγαίνεται στην τρίτη γραμμή προσθέτω ένα ψ έτσι ώστε το πρώτο μέρος να είναι τελείο τετράγωνο δηλαδή να έχω το χ4 συν ψ όλο στο τετράγωνο. Τι θα πρέπει να προσθέσω στο δεύτερο μέρος αυτό το οποίο περιγράφεται δύο ψχ τετράγωνο συν 12χ συν ψ τετράγωνο μειον 3 Ποιένει η συνθήκη για να είναι αυτό εδώ ένα τελείο τετράγωνο Το α εδώ είναι πάλι δύο ψ το σε είναι ψ τετράγωνο μειον 3 και το β το κεφαλαίο όπως το κάναμε προηγουμένως είναι το 12 και πάλι τριτοβάθμια βγαίνει σε κάθε περίπτωση η τριτοβάθμια βγαίνει και ποιά είναι η τριτοβάθμια είναι το δύο ψ τρίτης μειον 6 ψ μειον 36 Εντάξει έχει τρεις ρίζες ο καρντάνο όμως με τον τύπο του καρντάνο ξέρουμε μία από όλες Στη συγκεκριμένη αυτή περίπτωση χωρίς να εφαρμόσουμε κανέναν τύπο προσπαθώντας βλέπουμε ότι το τρία είναι μία τέτοια λύση Άρα τι κάνουμε παίρνουμε το ψίσον με τρία το αντικαφιστούμε για να προσπαθήσουμε να το δούμε αυτό Έχω λοιπόν χ τετράγωνο στην τρία στο τετράγωνο αυτό είναι το ψί να είναι η ίσο με το δύο επί τρία έξι λοιπόν χ τετράγωνο Έξι χ τετράγωνο το ψί είναι τρία συν δώδεκα χ μίον εννιά μίον τρία έτσι εννιά μίον τρία έξι μίον έξι αυτό λοιπόν είναι ίσο με το έξι χ τετράγωνο συν δύο χ μίον ένα εντάξει αυτό εύκολα το κάνουμε είναι το χ μίον ένα στο τετράγωνο έκανα δύο τέλεια τετράγωνα το έξι είναι ρίζα του έξι στο τετράγωνο Εντάξει είμαστε εντάξει τα πρόσωπα φτιαχτήκανε ωραία άρα τι θα πρέπει να γίνει χ τετράγωνο συν τρία έτσι παίρνω τις ρίζες είναι ίσο είμαι ακόμη εκείνη την εποχή έτσι με ενδιαφέρει μία ρίζα με ενδιαφέρουν τα θετικά δεν με απασχολεί το πλήν είμαστε στον δέκατο έκτο αιώνα χ τετράγωνο συν τρία είναι ίσο με το ρίζα έξι χ συν ένα άρα έχω χ τετράγωνο συν τρία μίον ρίζα έξι χ συν τρία μίον ρίζα έξι συν τρία μίον ρίζα έξι ίσο με το μηδέν εντάξει τρία και τρία έξι μίον ρίζα έξι χ εντάξει τρία και τρία έξι μίον ρίζα έξι μπορώ να τη λύσω αυτήν βρίσκω τη λύση μου βγαίνει να είναι αυτή εδώ εντάξει δεν μας ενδιαφέρουν είμαστε ακόμη οι Ιταλοί τέκατο έκτο αιώνα δεν μας ενδιαφέρουν άλλες ρίζες σταματάμε κάπου εδώ εντάξει αυτό είναι το τέλος της ιστορίας για την τετατοβάθμια είδαμε την τρίτο βάθμια είδαμε τις ανησυχίες του Καντάνο μιλήσαμε για τους μηγαδικούς αριθμούς οι οποίοι δεν εμφανίζονται σαν μηγαδικοί αλλά γνωρίζουμε ότι κάποιες εκφράσεις που φαίνονται πολύ παράξενες στο τέλος είναι μια πραγματική ρίζα που δεν καταλαβαίνουμε ακριβώς πως προέκυψε το βιβλίο Ars Magna γράφηκε το 45 και όπως ξεκινήσαμε να το δουλεύουμε την προηγούμενη φορά έρχεται ο Μπομπέλη ο οποίος είναι μηχανικός έτσι εφευρετικός νους και ο οποίος με το βιβλίο του του 72 εξηγεί το πως προκύπτουν αυτές οι λύσεις Ξεκινήσαμε με αυτήν την έκφραση χ3 συνέξει χ ίσον με 20 και μετά είδαμε ότι ο τύπος του καντάνο μας δίνει αυτήν την έκφραση την οποία γνωρίζουμε ότι πρέπει να είναι το 2 και ο Μπομπέλη έδειξε ότι όντως το 2 ισούται με αυτήν την ποσότητα και πως το έδειξε για να θυμηθούμε το πως το ξεκινήσαμε Έστω λοιπόν ότι η τρίτη ρίζα που είναι και ο μόνος τρόπος είδαμε ότι θα μπορούσε να δουλέψει αυτό έστω ότι το πρώτο κομμάτι της έκφρασης αποτελείται από το διαφορά δύο ρυζικών έστω λοιπόν ότι αυτό είναι η ρίζα του Β και το Ά μας είναι άγριστα και δουλεύουμε με αυτά με τον τρόπο που θα δούλευε ο Μπομπέλη απλά κάνουμε πράξεις τυπικά δηλαδή δεν μας απασχολεί ακριβώς το ρητός ή άριτος απλά τα έχουμε βάλει εκεί για να δούμε αν μπορούμε να κάνουμε τις πράξεις, κάνουμε μηχανικά τις πράξεις για να δούμε πού θα μας οδηγήσουν αν λοιπόν το ένα κομμάτι ήταν η ίσο με αυτό που έχω γράψει με ρύζα Β συν Ά όταν πάρω τις τρίτες δυνάμεις θα έχω ισότητα παίρνοντας λοιπόν την τρίτη δύναμη του αριστερού σκέλους θα βγάλω αυτό που είναι γραμμένο στο τέλος ρύζα 108 συν 10 παίρνοντας την τρίτη δύναμη του δεξιού κομματιού παίρνω την έκφραση που είναι γραμμένη τώρα στα αριστερά 3α4Γ συν Β επί ρίζα Β συν κάτι άλλο βλέπω όμως επίσης ότι μέχρι εκεί το φτάσαμε χτες ότι αν πάρω το ρύζα Β συν Α και το υψώσω αυτό στην τρίτη αν πάρω τη ρύζα Β συν Α και την υψώσω στην τρίτη και κάνω τις πράξεις τότε θα καταλήξω ακριβώς εδώ έτσι αυτές είναι οι πράξεις σταματάω ένα βήμα πριν από αυτήν την ισότητα σταματάω πριν φτάσω εκεί και τη λέω διλέπω ότι αυτό που έχω γράψει από κάτω είναι σχεδόν το ίδιο με αυτό που έχω γράψει από πάνω το 3α4Γ συν Β ρίζα Β εμφανίστε και πάνω το Α3 συν 3αβ εμφανίζεται πάνω από κάτω έχω το αντικό του πλέον λοιπόν εάν το πρώτο είναι ρίζα 18 συν 10 τότε ταιριάζει το δεύτερο να είναι ρίζα 18 μιον δε για να λέμε ότι ταιριάζει έτσι λέμε ταιριάζει έτσι γιατί το πρώτο κομμάτι το 3α4Γ συν Β εμφανίζεται το ίδιο έτσι γιατί όχι λοιπόν να είναι η ρίζα του 108 που εμφανίζεται πάνω και το δεύτερο κομμάτι να είναι το συν 10 είναι απόδειξη αυτό το γράφω έτσι έχω γράψει ρίζα β-α στην τρίτη έκανα τις πράξεις έφτασα εδώ δεν υπάρχει ευφοβολία μέχρι αυτό εδώ το σημείο αυτό εδώ το κομμάτι είναι ίσο ακριβώς με αυτό εδώ το κομμάτι που ξέρω ότι είναι ίσο ρίζα 18 συν 10 εδώ όμως κάνω έναν καινούριο βήμα σε αυτό εδώ την ισότητα λέω ότι αυτό είναι ίσο με ρίζα 18 μιον 10 γιατί ταιριάζει έτσι είναι απόδειξη αυτό νομίζω ότι ρωτούσατε στην ουσία χτες αυτή ήταν η ερώτησή σας είναι απόδειξη αυτό μπορούμε σήμερα να το αποδείξουμε έτσι και τι χρειάζεται για να το πούμε για να το αποδείξουμε καταρχήν να πάω λίγο πιο πίσω δεν είναι προβλήματα αυτά τα οποία τους αποσχολούσαν εκείνη την εποχή σήμερα αν προσπαθήσουμε να το αποδείξουμε έτσι με αυστηρότητα μαθηματικά πρέπει να μας αποσχολήσουν αυτά τα ζητήματα ταιριάζουν ή είναι απόδειξη αλλά να κάνω λοιπόν αυτήν εδώ την ερώτηση Λέω έστω ότι είναι ίσο με το ρύζα β συν άλφα προκύπτει από οτιδήποτε το οποίο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ότι μια τέτοια αντιπροσώπευση ένα τέτοιο γράψιμο ρύζα β συν άλφα ότι το β και το άλφα είναι μοναδικά γενικά κάθε ένα ρυθμό μπορώ να τον γράψω έτσι μοναδικά ή τυχαίνει αυτό το συγκεκριμένο αριθμό να υπάρχει αν μπορέσω να βρω ένα τέτοιο β και άλφα είναι μοναδικός αυτός τρόπος ίσως να υπάρχουν και άλλοι τρόποι είναι το β και το άλφα αν μπορέσω να βρω ένα είναι μοναδικά υπάρχει και άλλος τρόπος είναι μοναδικά αν πω ότι το ρύζα β δεν είναι ρητός είναι τότε μοναδικά Επαντήσεις εδώ δεν είναι δύσκολες απλά σκεφτείτε το είναι το β και το άλφα μοναδικά σε αυτές τις εκφράσεις πάντως ταιριάζει και μπορούμε να προχωρήσουμε αυτήν την υπόθεση ταιριάζει όπως θα το σκέφτηκαν τότε δεν υπήρχε απόδεξη ταιριάζει το δεύτερο κομμάτι να είναι ρύζα 108-10 ταιριάζει με αυτά που έχουμε πει μέχρι τώρα ας αποθέσουμε λοιπόν ότι ισχύει για να το σπρώξουμε να δούμε μέχρι πού θα πάει ταιριάζει να πούμε λοιπόν ότι το ρύζα β-α είναι ίσο με αυτό εδώ και το ρύζα 108 είδαμε ότι είναι 6 ρύζα 3 δηλαδή όλο αυτό το κομμάτι είπαμε ότι είναι 6 ρύζα 3 συν 10 ταιριάζει να πούμε ότι το β το οποίο θέλουμε να δούμε αν θα δουλέψει είναι το 3 ταιριάζει ας το κοιμάσουμε λοιπόν αν το β είναι ίσο με το 3 έχω λύση για το α προκύπτει ότι έχω λύση και μάλιστα το α από εδώ προκύπτει να είναι ίσο με τη μονάδα ταιριάζει λοιπόν να πούμε από ότι είδαμε εδώ πέρα όχι ταιριάζει είδαμε ότι η ρύζα το τρίτη ρύζα του 108 συν 10 ότι είναι ίσο με τη ρύζα του 3 το β συν το α συν 1 βρήκαμε μια λύση εδώ χρησιμοποιώντας αυτές τις λύσεις τώρα μπορούμε να αποδείξουμε βρήκαμε μια τέτοια το αποδείξαμε ότι αυτές εδώ οι τιμές 3 και 1 μου το ικανοποιώ και χρησιμοποιώντας αυτές τις τιμές μπορούμε να δείξουμε τώρα ότι η τρίτη ρύζα του 108 μειών 10 είναι το ρύζα 3 μειών 1 έχοντας βρει τη λύση για το 1 τώρα μπορούμε να αποδείξουμε τι ισχύει για το άλλο πέρα το τι μας ταιριάζει μπορούμε να το αποδείξουμε το ένα λοιπόν είναι ρύζα 3 συν 1 το άλλο είναι ρύζα 3 μειών 1 σύμφωνα με τον τύπο του καντάνο τα αφαιρούμε όταν τα αφαιρέσω βγάζω το 1 μειών μειών 1 να είναι ίσο με το 2 ξανά ρωτάω είναι αυτά τα β και τα α μοναδικά υπάρχει λόγος για μοναδικότητα έτσι δεν υπάρχει λόγος για μοναδικότητα ποιο είναι λύση τρίτου βαθμού ποιο είναι λύση τρίτου βαθμού ποιο είναι λύση τρίτου βαθμού γιατί συγκεκριμένη έχουμε δύο γνώσεις α και β ταυτόχρονα έτσι δεν υπάρχει μία εξίσουση πρώτου βαθμού δεν υπάρχει μία εξίσουση με μία μεταβλητή δεν υπάρχει δεν είμαστε σε πολυόνιμο μιας μεταβλητής έχουμε δύο γνώσεις α και β αλλά για να πω μια παρατήρηση για παράδειγμα μάλλον δεν θα πω καμία παρατήρηση το αφήνω έτσι μπορείτε να το σκεφτείτε να το δουλέψετε λίγο με το μυαλό σας έτσι δοκιμάστε να δείτε αν μπορείτε να βγάλετε κάποια άλλα β και α για τα οποία να μην ισχύει αυτό δοκιμάστε το αν το α είναι 0 θα μπορούσα να έχω α0 αυτά δουλεύουν υπάρχουν άλλες λύσεις το αφήνω ερωτηματικό το βάζω αυτό γιατί με ενδιαφέρει το επόμενο κομμάτι εμφάνιση τομιαδικών έτσι ανητικό με το μειών ρίζα 121 που είναι ο τύπος του που προέρχεται όταν προσπαθούμε να λύσουμε το χ τρίτης ίσον με σι χ συν τε έτσι εδώ μέσα τώρα στο ρυζικό έχω ποσότητες που δεν είναι αγκαστικά θεμικές αφαιρώ από το δεύτερο τετράγωνο το σι τρίτα στην τρίτη δηλαδή μπορεί να έχω κάτι το οποίο να μου βγει ανητικό όμως σύμφωνα με τον Καρντάνο έτσι και σύμφωνα με εκείνο το σχεδιάγραμμα που με το με το γράφημα που έχουμε δει και χτες το αποτέλεσμα το τελικό αποτέλεσμα είναι θετικός μόνο θετικές ρίζες έχω αυτό λοιπόν θα μου βγει ένας θετικός αριθμός έτσι και μπορούμε να το δούμε από τα γραφήματα και πως το εξηγούμε πως το εξηγούμε έτσι χ τρίτης ίσον 15χ συν τέσσερα σύμφωνα με τον τύπο του Καρντάνο παίρνουμε δύο συν ρίζα του μειών ίσον 15χ συν τέσσερα σύμφωνα με τον τύπο του Καρντάνο παίρνουμε δύο συν ρίζα του μειών ίσον 15χ συν τέσσερα σύμφωνα με τον τύπο του Καρν και τώρα αυτό που προκύπτε είναι ότι ο Μπομπέλη έκανε τις πράξεις με την ίδια λογική που της έκανε για το προηγούμενο κομμάτι και έδειξε ότι αυτό εδώ είναι ίσο με το τέσσερα και λέω για να το παρακολουθήσουμε ακριβώς τι έχει γίνει έχω λοιπόν εδώ όπως το κάναμε και προηγουμένως αυτό το οποίο έχουμε είναι η κηδική ρίζα του δύο συν μειών 120χ στην οποία θα προσθέσω πάλι το ίδιο με το μειών τη ρίζα του μειών 121 χωρίς να υπάρχει ακόμη νόημα σε αυτό ότι μέσα στο ρυζικό υπάρχει κάτι με το κράτηση με το μειών πρόσημο ακόμη οι ανητικοί αριχμοί ήταν παράξανοι όμως το κράτησε και ακολούθησε τους κανόνες έχω λοιπόν α συν ρίζα του μειών β κάνει κανείς τις πράξεις και όπως τις κάναμε προηγουμένως βλέπει ότι ταιριάζει όταν παίρνουμε την τρίτη ρίζα του δύο μειών ρίζα του μειών 121 να έχουμε το α μειών ρίζα του μειών β από το πρώτο λοιπόν κομμάτι αν πάρεις την τρίτη δυναμή βγάζεις δύο συν ρίζα του μειών 121 πένεις στην τρίτη δυναμή από το άλλο κάνεις τις πράξεις και βλέπεις ότι αν πάρεις το α μειών ρίζα του μειών β στην τρίτη βγάζεις ακριβώς το δύο μειών ρίζα του μειών 121 Μετά ποιος είναι ο συλλογισμός του Μπομπέλη Για να το δούμε για να το γράψουμε λίγο να μας πάρει ένα δυο λεπτά έστω λοιπόν ότι αυτό είναι α συν ρίζα του μειών β επομένως δύο συν ρίζα του μειών 121 είναι ίσο με το για να πάρουμε αυτό εδώ στην τρίτη και να προσπαθήσουμε να το γράψουμε σε ένα βήμα για να πάρουμε το κομμάτι που δεν έχει μέσα το ρίζα μειών β θα προκύψει από το α στην τρίτη παίρνω αυτό λοιπόν και το εξόλω στην τρίτη δύναμη κρατάω βγάζω από εδώ κοινό παράγοντα ό,τι έχει να κάνει με το ρίζα μειών β και δεν με απασχολεί προς το παρόν και θέλω απλά να υπολογίσω τι έχω μπροστά έχω λοιπόν την τρίτη δύναμη του α αυτό θα μου δώσει το α στην τρίτη. Τι άλλο υπάρχει που δεν έχει ρίζικο του μειών β? μειών 3αβ, επειδή έχω το μειών εδώ θα μου δώσει το μειών 3αβ και το επόμενο κομμάτι θα ήταν συν 3α τετράγωνο ρίζα μειών β μετά θα είχα συν 3α επί ρίζα μειών β στο τετράγωνο δηλαδή θα μου δώσει αυτό εδώ και τα υπόλοιπα θα πάνε εδώ Άρα αφού λοιπόν αυτό εδώ είναι ίσον με αυτό εδώ έτσι ταιριάζει αυτό εδώ το κομμάτι να είναι ίσο με το 2. Λέει λοιπόν το α τρίτης μειών 3αβ είναι ίσο με το 2. Η άλλη ισότητα από πού προκύπτει το α τετράγωνο συν β ίσον με 5 Για να δούμε έχω το α συν ρίζα του μειών β ίσον με τρίτη ρίζα του 2 συν μειών 121 ενώ έχει δείξει ότι το α μειών ρίζα μειών β είναι ίσον με τρίτη ρίζα του 2 μειών 121 Και τι είναι αυτό το οποίο λέμε α τετράγωνο συν β διαφορά τετραγώνων πολλαπλασιάζω έτσι παίρνω α συν β επί α μειών ρίζα του β πολλαπλασιάζω εδώ και έχω να το βάλω εδώ με το μεγάλο κυβική ρίζα μέσα έχω πάλι διαφορά τετραγώνων Αυτό εδώ μου δίνει το α τετράγωνο συν το β ενώ από εδώ έχω την κυβική ρίζα του 2 μειών μειών 2 συν 4 μάλλον 4 συν 121 Τρίτη ρίζα του 125 δηλαδή το 5 Έβγαλε λοιπόν αυτές εδώ τις δύο εξισώσεις ψάχνουμε λύσεις για α και β Τώρα τι είπε ότι από την πρώτη εξισουσία γιατί οι αριθμοί που ακόμη δέχονται εκεί τώρα έρχονται σε επαφή αλλά οι αριθμοί που δέχονται είναι θετικοί αριθμοί Άρα αυτό που βγάζει από την πρώτη εξισουσία το α τετράγωνο συν β είναι ότι το α τετράγωνο μιας και προσθέτω σε αυτό το β έτσι πρέπει να είναι μικρότερο του 5 Έτσι αυτή εδώ είναι η συνθήκη το α τετράγωνο πρέπει να είναι μικρότερο του 5 ενώ από αυτήν εδώ τη συνθήκη αφού από το α τρίτης αφαιρείς κάτι και βγάζεις το 2 το α τρίτης πρέπει να είναι μεγαλύτερο του 2 Και ποιοι φυσικοί αριθμοί υπάρχουν που να ικανοποιούν αυτήν εδώ την ιδιότητα Εντάξει άμα πάρεις το 1 το 1 τετράγωνο μικρότερο του 5 αλλά το 1 στην τρίτη δεν είναι μεγαλύτερο του 2 Αν κάνεις το 2 έτσι βγαίνει κάτι που είναι αληθές 2 τετράγωνο είναι μικρότερο του 5 το 2 στην τρίτη είναι μεγαλύτερο του 2 και μετά το 3 δεν δουλεύει Έτσι άρα το 2 είναι μία επιφανή λύση παίρνεις λοιπόν το 2 σακερέως η μόνη λύση είναι το 2 και το β άμα βάλεις το 2 το άλλο ανεγκαστικά είναι 1 υπάρχει λοιπόν λύση στους σακερέους και βγαίνει ότι το 1 είναι 2 συν ρίζα του μειον 1 το άλλο είναι 2 μειον ρίζα του μειον 1 τα προσθέτεις και βγάζεις το 4 και πάλι λοιπόν αυτό είναι το τέλος της ιστορίας όπως την είπε ο Μπομπέλη αλλά σίγουρα εμείς αυτή τη στιγμή πρέπει να αναρωτηθούμε αν αυτές εδώ οι λύσεις είναι μοναδικές της έκανε τις λύσεις στους σακερέους υπάρχουν άλλες λύσεις είναι ο τρόπος αυτός γραφείες μοναδικός υπάρχει μοναδικότητα πάντως αυτό δουλεύει έτσι τυχερός ήταν δουλεύει θα δουλεύει πάντα ήταν απλά μια συγκεκριμένη περίπτωση για αυτούς που ξέρουν ότι η λύση είναι αυτός ο ωραίος ακέραιος η λύση μας βγήκε να είναι στο τέλος ακέραιος μήπως όταν η ρίζα είναι ακέραιος δουλεύει αυτή εδώ η τεχνική έτσι αυτά λοιπόν τα ερωτήματα και μας φέρνει στο τέλος να τονίσω τεράστια σημασία των λύσεων του τρίτου και τετάτου βαθμού έτσι δεν ήταν αποτέλεσμαν πρακτικών υπολογισμών δεν ήταν προσεγγίσεις μην χρησιμεύαν στους μηχανικούς υπήρχαν προσεγγιστικές λύσεις δεν τους ενδιαφέρει πια αυτό αυτό είναι το πιο σπουδαίο βήμα ότι ξεκίνησαν να ψάχνουν για όχι για προσεγγίσεις για την καθαρότητα και αυτά έδωσε την όδηση στην αλγευρική έρευνα και μετά βέβαια το επόμενο βήμα είναι αφού τα καταφέραμε για τρίτο και για τέτατο πάμε για το επόμενο πάμε να βρούμε για το πέμπτο και για μεγαλύτερα και το άλλο πολύ πολύ σημαντικό είναι ότι ασχολήθηκαν με τετραγωνικές ρίζες ανοιτικών αριθμών και ανοιτική αριθμή μέσα στο παιχνίδι τελείως και οι ρίζες τους Τα τα δούμε λοιπόν ξανά από βδομάδα