Μαθηματικά - Πράξεις με κλάσματα - Ε' Δημοτικού Επ. 26 (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων, 2020)
: [♪ Μουσική Γεια σας παιδιά, ονομάζομαι Παναγιώτα, είμαι δασκάλα της Δ' Δημοτικού. Όταν ήμουνα μικρή, σκεφτόμουν τι είναι κλάσματα. Το έβλεπα σαν ένα μεγάλο βουνό που έπρεπε να ανέβω. Θα σας βεηθήσω σήμερα να το ανέβουμε μαζί. Όσοι δυσκολεύεστε ή όσοι έχετε κατανοήσει τα κλάσματα, να κάνουμε μια μικρή επανάληψη. Κλάσμα είναι μια διέρεση με αριθμητή, το διαιρετέο και παρονομαστή, το διαιρέτη. Όταν μιλάμε για μία διέρεση, έχουμε μάθει να χρησιμοποιούμε δύο ρήματα. Το χωρίζω ή το μοιράζω και πάντα χωρίζουμε ή μοιράζουμε σε ίσα μέρη. Ωραία. Τι μοιράζουμε όμως στην περίπτωση των κλασμάτων. Μοιράζουμε την ακέραιη μονάδα, ένα ολόκληρο. Μπορεί για παράδειγμα να έχουμε ένα χαρτόνι και να πρέπει να το μοιράσουμε. Τα ίσα μέρη μας τα δείχνει ο παρονομαστής. Πόσα ίσα μέρη έχουμε εδώ. Τρία. Πολύ σωστά. Χώρισα αυτό το χαρτόνι σε τρία ίσα μέρη. Ο αριθμητήστης μου δείχνει τα μέρη που θέλω εγώ να χρησιμοποιήσω. Πόσα μέρη θέλω να χρησιμοποιήσω. Δύο. Πάρα πολύ ωραία. Αυτό σημαίνει ότι έχω χωρίσει μία ακέραιη μονάδα σε τρία ίσα μέρη και έχω πάρει τα δύο. Πάμε να δούμε τώρα τι κλάσματα υπάρχουν με βάση στον παρονομαστή. Θα δείξουμε εδώ στη διαφάνεια. Λέγονται ομώνυμα ή ευτερόνυμα κλάσματα. Να δούμε τι είναι τα ομώνυμα κλάσματα. Για παρατηρήστε εδώ σε αυτήν την εικόνα. Έχω χρωματίσει τους παρονομαστές. Τι βλέπετε? Ωραία. Είναι ίδιοι. Άρα τα ομώνυμα κλάσματα έχουν ίδιους παρονομαστές. Βλέπουμε, οι αριθμητές είναι διαφορετικοί. Δεν μας ενδιαφέρουν οι αριθμητές. Πάντα παρατηρούμε τους παρονομαστές. Να δούμε και τα ευτερόνυμα. Τα ευτερόνυμα κλάσματα. Τι βλέπετε? Πολύ ωραία. Έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Τους έχω χρωματίσει. Και μπορεί να έχουν ή ίδιο αριθμητή, ή διαφορετικό. Πάλι δεν μας ενοχλεί. Ωραία. Πάμε να δούμε τις πράξεις τώρα των κλασμάτων. Θα ξεκινήσουμε με την πρόστιση. Όπως είπαμε, έχουμε δύο είδη κλασμάτων, τα ομώνυμα και τα ευτερόνυμα. Εγώ θα γράψω στον πίνακα πράξεις με κλάσματα και θα λέμε αν είναι ομώνυμα ή ευτερόνυμα. Τι είπαμε πρέπει να παρατηρήσουμε για να δούμε αν είναι ομώνυμα ή ευτερόνυμα αυτά τα κλάσματα. Φυσικά, τους παρονομαστές. Είναι ίδιοι. Πολύ ωραία. Είναι ίδιοι, οπότε είναι ομώνυμα τα κλάσματα. Σε αυτή την περίπτωση, στα ομώνυμα κλάσματα, αφήνουμε ίδιο τον παρονομαστή. Δεν τον πειράζουμε ποτέ και κάνουμε την πράξη των αριθμητών. Δηλαδή 1 και 2. 1 και 2 ίσον 3. Άρα το κλάσμα μας είναι τα 3 τρίτα. Όταν έχουμε ένα κλάσμα με ίδιο αριθμητή και ίδιο παρονομαστή, σημαίνει ότι έχουμε ένα ολόκληρο. Άρα έχουμε χωρίσει, για παράδειγμα, το χαρτόνι στα τρία. Το βλέπουμε, τρία ίσα μέρη, να το χρωματίσω. Και έχουμε πάρει τα τρία κομμάτια. Τι έχουμε, δηλαδή? Έχουμε ένα ολόκληρο, μία και ρη μονάδα. Αυτό που λέμε μία και ρη μονάδα. Ας δώσω άλλο ένα παράδειγμα για τα ομώνυμα κλάσματα. Τι πρέπει να παρατηρήσουμε τους παρανομαστές. Έχω γράψει σωστά, είναι ομώνυμα. Είναι, γιατί έχουν ίδιος παρανομαστές. Ας κάνουμε την πράξη στον αριθμητή. Αφήνουμε ίδιο τον παρονομαστή, δεν τον ενοχλούμε ποτέ στα ομώνυμα κλάσματα. Και κάνουμε την πράξη στον αριθμητή. Όταν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, σημαίνει ότι το δέκα τέταρτα είναι μεγαλύτερο του ενός. Γιατί έχουμε πάρει περισσότερα κομμάτια από το ολόκληρο. Έχουμε πάρει δέκα κομμάτια και έχουμε χωρίσει κάποιες ακέραιες μονάδες στα τέσσερα, για να τα πάρουμε. Τι σημαίνει το δέκα τέταρτα. Σημαίνει, είπαμε, ότι είναι ένα κλάσμα μεγαλύτερο από τη μονάδα. Πάντα, όταν ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο της μονάδας, πρέπει να το μετατρέψουμε σε μυκτό αριθμό. Δηλαδή ένα αριθμό που έχει και ακέραιο μέρος και κλασματικό. Το δέκα τέταρτα σημαίνει τη διαίρεση δέκα για τέσσερα. Άρα θα ρωτήσω μέσα στο μυαλό μου, τον εαυτό μου, πόσες φορές χωράει το τέσσερα στο δέκα. Δύο, γιατί δύο φορές το τέσσερα μας κάνει οχτώ. Έτσι, πόσο μας έχουνε μείνει στον αριθμητή, αν από το δέκα βγάλω τα οχτώ, δύο. Τον παρονομαστή δεν τον πειράζω καθόλου. Εδώ βλέπουμε ότι το κλάσμα μπορεί να απλοποιηθεί. Θυμίζω τη διαδικασία. Η απλοποίηση του κλάσματος γίνεται δημιουργώντας ένα ισοδύναμο κλάσμα μέσα από μια διέρηση. Πάντα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Άρα έχουμε το ακέραιο μέρος δεν τον πειράζουμε καθόλου, είναι ολόκληρα, τα έχουμε πάρει. Άρα, ποιον αριθμό μπορώ να διαιρέσω τον ίδιο αριθμό, το 2 και το 4, με το 2. Δημιουργώ, όπως λέμε, τα ισοδύναμα κλάσματα μέσα από τη διέρηση. Άρα 2, το ακέραιο μέρος, και ένα δεύτερο. Άρα εδώ πέρα συμπληρώνω 2 και 1 δεύτερο. Είναι το αποτέλεσμα αυτής της πρόσθεσης. Πάμε να δούμε με αιτερόνιμα κλάσματα προσθέσεις. Είναι λίγο περισσότερη η διαδικασία, θα το δούμε. Έχουμε 1 δεύτερο και 3 τέταρτα. Τι λέμε, πάντα παρατηρούμε τους παρονομαστές. Είναι ίδιοι ή διαφορετικοί? Είναι διαφορετικοί. Έχουμε το 2 και το 4. Πάμε στην δεύτερη μεθοδολογία που πρέπει να ξέρουμε για τα κλάσματα, τα ιτερόνιμα αυτή τη φορά, και λέμε, θέλω να φτιάξω αυτά τα δύο κλάσματα που να έχουν παρονομαστή ίδιο. Πώς το κάνω αυτό, για να μην δυσκολεύομαι, φτιάχνω ισοδύναμο κλάσμα με πολλαπλασιασμό αυτή τη φορά. Είτε το 1 κλάσμα, είτε το 2, θα σας δείξω τον τρόπο. Πολλαπλασιάζοντας αυτή τη φορά με τον ίδιο αριθμό, τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Πάμε εδώ να δούμε πώς θα γίνει. Έχουμε το 1 δεύτερο και το 3 τέταρτα. Σκέφτομαι στην αρχή, πάω στον μικρότερο παρονομαστή. Μπορώ να φτιάξω αυτό τον παρονομαστή, να είναι ίσως με τον δεύτερο. Δεν χρειάζεται να δούμε τώρα εδώ τα πολλαπλάσια των δύο αριθμών, γιατί από την προπαίδεια του 2 ξέρω ότι μπορώ να φτάσω στο 4, είναι το δεύτερο του πολλαπλάσιο. Άρα τι κάνω, πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή, με ποιον αριθμό, για να γίνει εδώ παρονομαστής 4 με το 2. Όταν πειράζω ένα κλάσμα, πειράζω αριθμητή και παρονομαστή. Πάντα, διαφορετικά, δεν έχω φτιάξει στο δύναμο κλάσμα, δηλαδή κλάσμα που έχει το ίδιο αποτέλεσμα. Οπότε έχουμε μία φορά το 2, 2 για τον αριθμητή και δύο φορές το 2, 4 για τον παρονομαστή. Πάμε και ερχόμαστε εδώ στο κλάσμα μας. Το 1 δεύτερο το έχουμε μετατρέψει, πολλαπλασιάζοντας το αριθμητή και παρονομαστή με το 2, σε δύο τέταρτα. Αυτό το κλάσμα, τα τρία τέταρτα, δεν το πειράζουμε, καθώς θέλουμε να έχουμε τον ίδιο παρονομαστή. Οπότε έχουμε έρθει στη μεθοδολογία που έχουμε για τα ομώνυμα κλάσματα αυτή τη στιγμή. Δηλαδή δεν πειράζουμε παρονομαστή, σωστά, και απλά κάνουμε την πράξη στους αριθμητές. 2 και 3, 5. Βρίσκουμε ότι αυτό το κλάσμα έχει μεγαλύτερα αριθμητή από τον παρονομαστή. Άρα θα πρέπει να ακολουθήσουμε τη διαδικασία με το μυκτό αριθμό. Και λέμε πόσες φορές χωράει το 4 στο 5. Μία ολόκληρη φορά. Και μας μένει 5 βγάζω 4, 1. Και μας μένει και άλλο 1 τέταρτο. Είναι σαν να είχαμε χωρίσει ένα χαρτόνι εδώ στα 4. Έχουμε πάρει 4 ολόκληρα από εδώ, αλλά θέλουμε 5. Άρα χωρίζουμε και ένα δεύτερο και παίρνουμε άλλο ένα κομμάτι. Έχουμε δηλαδή 1 τέταρτο και άλλο 1 τέταρτο και ούτω καθεξής. 1 τέταρτο και άλλο 1 τέταρτο και άλλο 1 τέταρτο, άλλο 1 τέταρτο και άλλο 1 τέταρτο. Έχουμε δηλαδή 5 τέταρτα. 1, 2, 3, 4, 5. Ας ακολουθήσουμε τώρα τη διαδικασία που κάνουμε στην αφαίρεση. Για τα ομώνυμα και τερώνυμα κλάσματα. Σβήνω. Στην αφαίρεση ακολουθούμε ακριβώς την ίδια διαδικασία, μόνο που αλλάζουμε την πράξη. Έχουμε ένα κλάσμα. Το 10-5, από το οποίο θα αφαιρέσω το 7-5. Το πρώτο πράγμα που κάνουμε, καλό θα ήταν να έχετε έναν στυλό ή ένα μολύβι, σημειώνουμε τους παρονομαστές, για να δούμε αν είναι οι ίδιοι. Είναι οι ίδιοι, είναι ομώνυμα τα κλάσματα, οπότε έχουμε πολύ εύκολα να κάνουμε την πράξη. Δηλαδή, να αφαιρέσουμε τους αριθμητές. 10-7-3, ο παρονομαστής μένει ο ίδιος. Στα ομώνυμα κλάσματα δεν αλλάζουμε παρονομαστές, έχουν την ίδια βάση. Δηλαδή, έχει χωριστεία και η μονάδα σε ίδια μέρη. Πάμε στα ιτερόνυμα κλάσματα. Θα σας δείξω ένα δεύτερο τρόπο για τα ιτερόνυμα κλάσματα, βρίσκοντας στο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Σημειώνουμε παρονομαστές. Βλέπω ότι είναι διαφορετική. Έχουμε το 12 στο 10 δωδέκατα και το 2 στο 1 δεύτερο. Άρα θα ξεκινήσω να βρω τα ελάχιστα κοινό πολλαπλάσια αύτους για να μπορέσω να βρω τον παρονομαστή που θα πρέπει να χρησιμοποιήσω. Θα ξεκινήσω από το μεγαλύτερο αριθμό να βρω τα πολλαπλάσια αύτου, για να ξέρω όταν βρω τα πολλαπλάσια του μικρού, πού θα σταματήσω, να μην χρειάζεται να κάνω πολλές πράξεις. Πάντα ξεκινάμε από τον αριθμό και συνεχίζουμε. Αν δεν ξέρουμε την προπαίδεια του αριθμού, απλά προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό πολλές φορές. Άρα το δεύτερο πολλαπλάσιο του 12 θα είναι το 24, και το τρίτο πολλαπλάσιο του 12 θα είναι το 36. Και ούτω κάθε εξής. Δεν θα συνεχίσω άλλο, γιατί την προπαίδεια του 2 την γνωρίζω, σίγουρα θα φτάσει μέχρι κάποιους αριθμούς μπροστά. Οπότε ξεκινάω με το 2 και συνεχίζω. Προσθέτω συνέχεια τον αριθμό 2 ή γράφω την προπαίδειά του. 2, 4 και συνεχίζω. Σταματάω όταν βρίσκω ίδιο αριθμό με τα πολλαπλάσια του μεγαλύτερου αριθμού. Τι βλέπω, ότι συναντιούνται στο 12. Άρα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 2 και του 12 είναι το 12. Αυτός θα είναι και ο παρανομαστής που θα χρησιμοποιήσω. Πάμε εδώ να δούμε. Έχω το 12 σε αυτόν τον παρανομαστή. Σαν παρανομαστή, συγνώμη, σε αυτό το κλάσμα το έχω. Άρα αυτό το κλάσμα δεν το πειράζω καθόλου. Γιατί είναι ο παρανομαστής που θέλω. Και αφαιρώ το δεύτερο κλάσμα που θα δημιουργήσω. Έχουμε το 1 δεύτερο. Βλέπω εδώ, στα πολλαπλάσια του 2, ότι πόσες φορές έχω χρησιμοποιήσει το 2. 1, 2, 3, 4, 5, 6. Άρα μου εμφανίζει ακριβώς τον αριθμό που θα πρέπει να χρησιμοποιήσω για να κάνω τον πολλαπλασιασμό. Να φτιάξω ένας οδύναμος κλάσμας. Και δημιουργώ το δεύτερο κλάσμα. 1 x 6, 6. 2 x 6, 12. Έχω δημιουργήσει ομώνυμα κλάσματα, όπως βλέπουμε. Έχουν ίδιους παρανομαστές. Άρα αφαιρώ τους αριθμητές του. 10 x 6, 4. 12. Σβήνω αυτά, για να έχουμε χώρα. Σκεφτείτε την προπαίδεια του 4 συναντάει το 12. Οπότε ο αριθμός που θα χρησιμοποιήσουμε για την απλοποίηση είναι το 4. Και έχουμε για αριθμητή 4 x 4, 1. Και 12 x 4, 3. Άρα αυτή η αφαίρεση έχει ως αποτέλεσμα το 1 τρίτο. Συνεχίζουμε με την πράξη του πολλαπλασιασμού. Στην πράξη του πολλαπλασιασμού είναι πιο εύκολα τα πράγματα. Αφήνω και το κόκκινο στυλό. Γιατί δεν χρειάζεται να δώσουμε καμία σημασία στους παρανομαστές των κλασμάτων. Δηλαδή αν είναι ομώνυμα ή αιτερόνυμα. Ας κάνουμε με ίδια κλάσματα, δηλαδή ομώνυμα μία πράξη και μία αιτερόνυμα, για να το δείτε. Ότι δεν υπάρχει θέμα στο αν θα πρέπει να παρατηρούμε τους παρονομαστές. Η μεθοδολογία στον πολλαπλασιασμό είναι... Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή. Είναι ο αριθμητής του αποτελέσματος. Και παρονομαστή με παρονομαστή. Και είναι το αποτέλεσμα του παρονομαστή που θέλουμε. Άρα για αριθμητή έχουμε 1 x 2, και για παρονομαστή 3 x 3. Οπότε 1 x 2, 2, και 3 x 3, 9. Πάντα παρατηρώ αν μπορώ να κάνω απλοποιήσεις. Σκέφτομαι την προπαίδεια του 2, δεν υπάρχει μέσα το 9. Οπότε είναι το αποτέλεσμά μας. Δεν συνεχίζουμε την πράξη, είναι αυτό που θέλουμε. Πάμε να δούμε πολλαπλασιασμό με ευτερόνομα κλάσματα. Αν και είπα, δεν έχει αξία να τα παρατηρούμε. Απλά το δείχνω για να μην μπερδευόμαστε. Έχουμε 2 τέταρτα και 6 δεύτερα. Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή, 2 x 6. Και παρονομαστή με παρονομαστή, 4 x 2. Και έχουμε 2 x 6, η αριθμητή 12. Και 4 x 2, 8. Κοιτάζω αριθμητή και παρονομαστή. Υπάρχει κάποιος αριθμός που μπορούμε να διαιρέσουμε και αριθμητή και παρονομαστή για να απλοποιήσουμε το κλάσμα. Για να το σκεφτούμε λίγο. Υπάρχει. Και είναι ο αριθμός 4. Έχουμε δηλαδή 12 x 4, 3. Και 8 x 4, 2. Βλέπουμε εδώ ότι ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Άρα έχουμε ολόκληρο ακέρο μέρος και πρέπει να το φτιάξουμε μυκτό, αυτό το κλάσμα. Πόσες φορές χωράει το 2 στο 3? Μία φορά. Άρα έχουμε ένα ολόκληρο. Και πόσα μας μένουνε? 3 x 2, το υπόλοιπο μπαίνει στον αριθμητή. Και ο παρονομαστής είναι πάντα ίδιος, δεν τον πειράζω καθόλου. Άρα είναι το 1 και ένα δεύτερο το αποτέλεσμα της πράξης μας. Ας δούμε τώρα τη διέρεση. Να σκεφτώ λίγο. Λέγαμε σε πιο μικρές τάξεις και πολύ μικροί ότι η διέρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. Αυτό είναι μία πάρα πολύ καλή σύμβουλη που μας έχουν δώσει παλαιότερα οι δάσκαλοι μας και θα τη χρησιμοποιήσουμε εδώ. Έχουμε τη διέρεση 3 δεύτερα, 2 δύο τρίτα. Βλέπουμε ότι οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί. Όπως και στον πολλαπλασιασμό δεν δίνουμε σημασία αν είναι αιτερόνομα ή ομώνυμα τα πλάσματα. Απλά θα κάνουμε την πράξη που θα σας πω αυτή τη στιγμή. Γράφουμε το πρώτο πλάσμα ακριβώς ίδιο. Αλλά αφού η διέρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού, χρησιμοποιώ τον πολλαπλασιασμό και αντιστρέφω τους όρους του δεύτερου πλάσματος. Δηλαδή ο παρονομαστής θα γίνει αριθμητής και ο αριθμητής θα γίνει παρονομαστής. Και συνεχίζω την πράξη όπως στον πολλαπλασιασμό που δήξαμε πριν. 3 x 3, 9. 2 x 2, 4. Άρα πολλαπλασιάζω αριθμητές και είναι ο αριθμητής του αποτελέσματος. 3 x 3, 9. Και πολλαπλασιάζω και παρονομαστές. 2 x 2, 4. Βλέπω ότι ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Άρα το μετατρέπω σε μικτό αριθμό. Δηλαδή πόσες φορές χωράει το 4 στο 9. Χωράει 2 φορές. 2 x 4 μας κάνει 8. Και μας μένει 9-8, 1. Μας μένει 1 τέταρτο ακόμα. Άρα είναι ο μικτός αριθμός 2 1 τέταρτο το αποτέλεσμά μας. Ας δούμε λίγο τη μεθοδολογία μέσα από την παρουσίαση. Στα ομώνυμα κλάσματα, όπως βλέπουμε, προσθέτουμε ή αφαιρούμε αριθμητές... και αφήνουμε ίδιο τον παρονομαστή. Είναι ίδιος, δεν τον ενοχλούμε. Στα ιτερόνυμα κλάσματα πρέπει να φτιάξουμε ο ίδιος παρονομαστές... με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο... και ύστερα προσθέτουμε ή αφαιρούμε αριθμητές. Δηλαδή, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο μετά για τα ομώνυμα κλάσματα, όταν τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα. Ας πάμε στην πράξη του πολλαπλασιασμού. Ο πολλαπλασιασμός δεν χρειάζεται να δούμε αν είναι ομώνυμα ή ιτερόνυμα τα κλάσματα, γιατί απλά και εύκολα πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή, κοινοαριθμητή στο αποτελέσμα τους και παρονομαστή με παρονομαστή... είναι το αποτέλεσμα του παρονομαστή, που θέλουμε. Στη διέρεση μπορούμε να διαιρέσουμε ομώνυμα κλάσματα, διαιρώντας μόνο τους αριθμητές τους. Και ο δεύτερος τρόπος είναι αυτό. Στα ιτερόνυμα κλάσματα και στα ομώνυμα μπορούμε να το κάνουμε, γι' αυτό δεν το έδειξα. Αντιστρέφουμε την πράξη, δηλαδή η αντίστροφη πράξη της διέρεσης είναι ο πολλαπλασιασμός, αντιστρέφουμε τους όρους του κλάσματος... και συνεχίζουμε τη διαδικασία που χρησιμοποιούμε για τον πολλαπλασιασμό. Αυτά είχα να σας πω, ελπίζω να σας βοήθησα και να τα ξαναπούμε.