Μαθηματικά - Εξισώσεις 2: Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση - Ε' Δημοτικού Επ. 43 (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων, 2020)
: Μουσική Γεια σας, παιδιά! Είμαστε πάλι εδώ σήμερα, για να συνεχίσουμε το δεύτερο μέρος των εξεισώσεων, το οποίο είχαμε κάνει την προηγούμενη φορά. Σήμερα, λοιπόν, θα κάνουμε εξισώσεις, οι οποίες αφορούν γινόμενα και διαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις. Θα ξεκινήσουμε με τις εξισώσεις, οι οποίες είναι εξισώσεις πολλαπλασιασμού. Και όταν λέμε εξισώσεις πολλαπλασιασμού, σημαίνει τι? Ότι θα ψάχνουμε να βρούμε τον άγνωστο χ, ο οποίος θα είναι παράγοντας ενός γινωμένου. Παραδείγματος χάρη, πριν ξεκινήσουμε να πούμε οτιδήποτε, κάτι πολύ απλό. Αν σας γράψω δύο επί χ, ίσον δέκα, δεν χρειάζεται να το σκεφτούμε πολύ, καταλαβαίνετε ότι το χ είναι ποιός αριθμός? Το πέντε. Τι σημαίνει αυτό? Το βρίσκετε απ' την προπαίδεια. Δύο επί κάτι που δεν ξέρω, που κάνει δέκα. Άρα το χ είναι πέντε. Πάμε όμως τώρα να το πούμε λίγο πιο σοβαρά, λίγο καλύτερα. Όταν έχω, παιδιά, εξίσωση, που ο άγνωστος είναι παράγοντας γινωμένου, τι σημαίνει παράγοντας γινωμένου? Σημαίνει ότι έχω δύο αριθμούς, τους οποίους τον ένα δεν το γνωρίζω. Έχω λοιπόν έναν αριθμό, όπως έχετε δει και στη διαφάνεια η οποία υπάρχει, χ, που δεν ξέρω ποιος είναι, ο ένας παράγοντας, επί πέντε, μου κάνει είκοσι. Τι κάνω λοιπόν εδώ. Όταν έχω εξίσωση που ο ένας από τους δύο παράγοντες είναι άγνωστος, τότε κάνω την αντίστροφη πράξη. Θυμηθείτε ότι όταν είχα εξισώσης πρόσθεσης, έκανα την αντίστροφη πράξη ευρίσκοντας το χ και έκανα αφαίρεση. Όταν είχα εξίσωση με αφαίρεση, έκανα την αντίστροφη πράξη που σημαίνει πρόσθεση. Εδώ λοιπόν, όταν έχω εξίσωση, η οποία είναι ο άγνωστος μου, είναι παράγοντας γινωμένου, τότε τι κάνω παιδιά, την αντίστροφη πράξη για να βρω το χ, δηλαδή κάνω διέρεση. Τι σημαίνει αυτό, κρατάω το χ στο πρώτο μέλος της ισότητας και λέω χ ίσον είκοσι δια πέντε. Χ ίσον τέσσερα. Το τέσσερα επαληθεύει την εξίσωσή μου. Γιατί? Γιατί τέσσερα επί πέντε μου κάνει είκοσι. Πριν προχωρήσουμε να πούμε κι άλλα παραδείγματα, θέλω να θυμάστε ότι όπως όταν λέμε την προπαίδεια, δεν παίζει κανένα απολύτως ρόλο αν θα πούμε δύο επί τρία μου κάνει έξι. Ή αν θα πούμε τρία επί δύο, το ίδιο πράγμα συμβαίνει και στις εξισώσεις με πολλαπλασιασμό. Συνηθίζουμε λοιπόν να μην βάζουμε πρώτο το χ, αλλά να βάζουμε τον αριθμό πρώτα. Την ίδια εξίσωση, λοιπόν, εγώ μπορώ να τη γράψω ως εξής. Πέντε επί χ ίσον με είκοσι. Όπως είχα εδώ χ επί πέντε, εδώ έχω πέντε επί χ. Είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα και το λύνω ακριβώς με τον ίδιο τρόπο. Δηλαδή τι κάνω, χ ίσον είκοσι δια πέντε, χ ίσον τέσσερα. Παίζει κανένα ρόλο η σειρά? Απολύτως κανένα. Συνηθίζουμε όμως να βάζουμε τον άγνωστο ως δεύτερο παράγοντα του γινωμένου. Για να δούμε κι άλλο ένα παράδειγμα. Αν παραδείγματος χάρη έχω δέκα. Ωραίο δέκα έγραψα, να το γράψουμε πιο ωραία. Δέκα λοιπόν επί χ ίσον πενήντα. Πάμε να το λύσουμε. Ψάχνουμε να βρούμε το χ. Έχουμε εξίσωση πολλαπλασιασμού. Άρα τι κάνω, θα κρατήσω το χ και θα κάνω την αντίστροφη πράξη. Ποια είναι η αντίστροφη πράξη? Η διαίρεση. χ ίσον πενήντα δια δέκα. χ ίσον πέντε. Το ίδιο πράγμα είναι, αν πω, χ επί δέκα. Δεν παίζει κανένα ρόλο η σειρά των παραγόντων στην εξίσωση. Κανένα απολύτως ρόλο. Είτε πω δέκα επί χ, είτε πω χ επί δέκα, είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα. Πάμε λοιπόν να προχωρήσουμε στις εξισώσεις, οι οποίες έχουν να κάνουν με άγνωστο διαιρετέο. Πριν πούμε οτιδήποτε, να θυμίσω ότι όταν έχουμε μία διαίρεση, έχουμε διαιρετέο, διαιρέτη και αυτό που βρίσκουμε το λέμε πηλίκο. Άρα έχουμε διαιρετέος, διαδιαιρέτη και πηλίκο. Για να δούμε λοιπόν ένα παράδειγμα. Αν έχουμε χ δια πέντε, μου κάνει οκτώ. Για να δούμε λοιπόν τι κάνουμε. Πάλι θα κάνουμε την αντίστροφη πράξη. Δηλαδή έχω εξίσωση με διαίρεση. Τι θα κάνω, η αντίστροφη πράξη είναι ο πολλαπλασιασμός. Άρα θα κρατήσω το χ στο πρώτο μέλος της εξίσωσης. Και θα πω χ ίσον και αντί για διαιρέση θα κάνω πολλαπλασιασμό οκτώ επί πέντε. Άρα το χ είναι ίσον με το σαράντα. Αν πάρω λοιπόν εδώ το σαράντα, που βρήκα ότι είναι το χ, η λύση της εξίσωσης και το βάλω στη θέση του χ, τότε τι θα έχω, σαράντα δια πέντε, βεβαίως και μου κάνει οκτώ. Άρα, όταν έχω εξίσωση, κρατήστε το αυτό γιατί στο επόμενο βήμα θα το πάμε αντίστροφα. Θα ψάχνουμε να βρούμε το διαιρετέω. Για να δούμε λοιπόν. Το ξαναλέω μια φορά. Όταν έχουμε εξίσωση, στην οποία ψάχνουμε να βρούμε τον άγνωστο διαιρετέω, αυτόν δηλαδή που διαιρώω, τότε αντί για διαρέση θα κάνω την αντίστροφη πράξη. Θα κάνω πολλαπλασιασμό. Πάμε να δούμε κι άλλο ένα παράδειγμα. Αν έχουμε χ δια 20, μου κάνει πέντε. Τι θα κάνουμε, παιδιά, έχουμε διαρέση, εξίσωση διαρέσης. Άρα, θα κάνω την αντίστροφη πράξη. Κρατάω λοιπόν το χ στο πρώτο μέλος και λέω, χ ίσον πέντε, αντί για διαρέση πολλαπλασιασμό. Άρα, χ ίσον πέντε επί 20. Άρα, χ είναι ίσον με 100. Επαλληθεύεται, βεβαίως, αν πάρω τη λύση της εξίσωσης, η οποία είναι χ ίσον με 100, και τη βάλω στη θέση του χ, τι θα έχω, εκατό δια 20, μου κάνει πόσο. Μου κάνει πέντε. Αυτό είναι το εύκολο κομμάτι. Και πάμε να δούμε, αν θυμηθείτε πώς κάναμε στην αφαίρεση, που είχαμε μια υποκατηγορία, που όταν είχαμε εξισώση αφαίρεσης, ξανακάναμε αφαίρεση, το ίδιο πράγμα υπάρχει και στη διέρεση. Πότε, για να δούμε την επόμενη. Πώς λύνεται μια εξίσωση όταν έχουμε άγνωστο διαιρετέο. Όταν ο άγνωστος λοιπόν είναι διαιρέτης, για να λύσουμε την εξίσωση, διαιρούμε το διαιρετέο με το πηλίκο. Για να δούμε τι εννοούμε. Πάμε, παιδιά. Για να το δούμε, να κάνουμε μια απλή εξίσωση στην αρχή. Για να το δούμε. Αν πούμε λοιπόν, 55. 2x ίσον με 11. Για να δούμε. Έχουμε εδώ ότι πρέπει να βρούμε το 2x. Όταν έχουμε 2x, ξανακάνω διέρεση. Δηλαδή, κρατάω το x στο πρώτο μέλος, και τί κάνω, πηγαίνω τον διαιρέτη πίσω, 55, δια 11. Άρα το x είναι ίσον με 5. Είναι η υποκατηγορία στις εξισώσεις με τη διέρεση, που θέλει μια ιδιαίτερη προσοχή. Είναι το ίδιο πράγμα που κάναμε στην αφαίρεση, όταν είχαμε πλην x που ξανακάναμε αφαίρεση. Εδώ λοιπόν, το ξαναλέω και θα κάνουμε κι άλλο παράδειγμα. Όταν έχουμε 2x, δεν κάνω πολλαπλασιασμό, αλλά κάνω ξαναδιέρεση. Για να το δούμε λοιπόν πάλι σε άλλο παράδειγμα. Αν παραδείγματος χάρη πούμε, 100 δια x ίσον 5. Τι θα πρέπει να κάνω, βλέπω ότι έχω 2x. Άρα θα κρατήσω το x στο πρώτο μέλος, και τι θα ξανακάνω, παιδιά, πάλι διέρεση. Δηλαδή 100 δια 5. x ίσον πόσο? 20. Την επαληθεύει, βέβαια, γιατί αν βάλω το x στη θέση εδώ, x 100 δια 20, μου κάνει 5. Πάμε να προχωρήσουμε λίγο, να κάνουμε περισσότερες ασκησούλες. Πάμε λοιπόν στο πρώτο πρώτο πρόβλημα, το οποίο, προσέξτε, εσείς βλέπετε ότι έχω εδώ 3 προβλήματα. Αυτά τα 3 προβλήματα μπορεί να τα λύσουμε και με πρακτική αριθμητική. Στη συγκεκριμένη όμως περίπτωση, δεν θα τα λύσουμε με πρακτική αριθμητική, με τις 4 πράξεις, αλλά θα προσπαθήσουμε να φτιάξουμε 6 όσεις. Θα λύσουμε δηλαδή τα προβλήματα με 6 όσεις. Για να δούμε λοιπόν, όσο εσείς διαβάζετε, θα σας διαβάσω και εγώ το πρώτο πρόβλημα. Και θα πάμε να φτιάξουμε εξίσωση. Μας λέει λοιπόν, 3 x 11, 3 x 12, 3 x 15, και άλλος ένας αριθμός, μας κάνουν 120. Ποιος είναι ο άλλος αριθμός? Για να πάμε να τον βρούμε. 3 x 11, το γράφουμε. 3 x 11. Και 3 x ποιο το 12. Και 3 x ποιο το 15. Και άλλος ένας αριθμός, τον ξέρω τον άλλο αριθμό, όχι, άρα ποιος είναι ο x, ένας x. Μας κάνει πόσο, δεν το θυμάμαι παιδιά απ' έξω, μας κάνει 120. Εδώ δεν έχω πρόβλημα το οποίο είναι πολλαπλασιασμού. Θα πάμε στα επόμενα πολλαπλασιασμού. Θέλω απλώς να δείτε ότι έχω γινόμενα, αλλά η εξίσωσή μου δεν είναι εξίσωση πολλαπλασιασμού. Γιατί? Γιατί έχω συν x. Για πάμε λοιπόν να το λύσουμε. Τρεις φορές το 11 μας κάνει πόσο, παιδιά, μας κάνει 33. Και τρεις φορές το 12 μας κάνει 36. Και τρεις φορές το 15 μας κάνει 45. Συν το x μας κάνει 120. Για πάμε λοιπόν να δούμε τι έχουμε. 33, 36 και 45, συν το x, ίσον 120. Τι εξίσωση έχω εδώ, παιδιά? Μην παρασύρεστε στο ότι έχω, σήμερα μιλάμε για εξισώση πολλαπλασιασμού και διαιρέσεων. Εδώ έχω συν x. Άρα έχω εξίσωση, πρόσθεση. Τι πρέπει να κάνω λοιπόν? Είτε θα προσθέσω αυτά που έχω στο πρώτο μέλος, είτε θα τα πάω όλα πίσω, κάνοντας αφαίρεση. Ο πιο εύκολος τρόπος είναι να τα προσθέσω, συν x και να πω 120. Πάμε λοιπόν να δούμε. 5 και 6, 11 και 3, 14. 1 το κρατούμενο και 4, 5 και 3, 8 και 3, 11. Άρα 114, συν x, ίσον με 120. Που κατέληξα? Κατέληξα να έχω μια απλή εξίσωση, πρόσθεσης. Άρα x είναι ίσον. Τι έχουμε πει ότι όταν έχουμε εξίσωση, πρόσθεσης, τι κάνουμε, κάνουμε την αντίστροφη πράξη. Άρα αφαίρεση, 120 μίον 114. Άρα το x είναι ίσον με 6. Σημειώστε το και πάμε πάρα κάτω. Πάμε να λύσουμε το επόμενο πρόβλημα. Και θα δούμε τι έχουμε να κάνουμε σε αυτό. Λοιπόν, λέει ο κύριος Γιώργος είχε δύο χαρτονομίσματα τον 20 ευρώ. Τέσσερα χαρτονομίσματα τον 5 ευρώ. Και τέσσερα, προσέξτε, ίδια κέρματα. Αν τα χρήματά του είναι συνολικά 68 ευρώ, τι είδους κέρματα είχε. Το βασικό σε αυτό το πρόβλημα είναι ποιο. Δεν ξέρουμε τι είδους κέρματα έχει. Ξέρουμε ότι έχει τέσσερα ίδια κέρματα, αλλά δεν ξέρουμε τι είναι. Είναι του 1 ευρώ, είναι τον 2 ευρώ, είναι τον 50 λεπτών, δεν ξέρουμε τι είναι. Πάμε λοιπόν να καταστρώσουμε το πρόβλημα. Λέει λοιπόν, δύο χαρτονομίσματα τον 20 ευρώ. Άρα, 2 επί 20. Τι άλλο είχε, σας λέει ότι είχε. Τέσσερα χαρτονομίσματα τον 5 ευρώ. Άρα, συν 4 επί 5. Προσέξτε τώρα. Μας λέει ότι είχε και τέσσερα κέρματα ίδια. Τι δεν ξέρουμε, παιδιά, δεν ξέρουμε πόσα. Άρα, συν 4 επί τι, επί χ. Γιατί δεν ξέρω τι είδους κέρματα είναι. Αυτά λοιπόν τα χρήματα τα οποία είχε, όλα μαζί, είναι 68. 68 ευρώ συνολικά έχει ο κύριος Γιώργος. Για να δούμε λοιπόν τι πρέπει να κάνουμε. Έχουμε γινόμενα. Πάμε λοιπόν να δούμε πόσο κάνει το καθένα. Να ξεκινήσουμε να λύσουμε την εξίσωση. 2 επί 20, 40, συν 4 επί 5, 20, συν 4 επί χ. Δεν μπορώ να κάνω τίποτα ακόμα, το αφήνω όπως είναι. 4 επί χ. Πόσο μου κάνει όλο αυτό? 68. Προχωράμε. 40 και 20 μου κάνει πόσο, παιδιά? 60. Συν 4 επί χ, όλο μαζί πόσο μου κάνει? 68. Για να δούμε εδώ τι έχουμε. Έχουμε μία εξίσωση, η οποία, εδώ έχουμε ένα γινόμενο με τον άγνωστο, και εδώ έχουμε μία πρόσθεση. Άρα, εγώ τι πρέπει να κάνω, θα πρέπει το 60, τον ένα προσθετέω, να τον πάω πίσω, για να κρατήσω μόνο του το 4χ στο πρώτο μέλος. Για να το πάω πίσω, τι πρέπει να κάνω, παιδιά? Την αντίστροφη πράξη. Δηλαδή, 4χ που θα το κρατήσω μόνο του, ίσον θα γράψω το 68 που έχω, και το 60 αφού του αλλάζω πλευρά και το πάω από την άλλη πλευρά της ισότητας, αντί για πρόσθεση που είναι εκεί, τι θα κάνω? Αφαίρεση. Και θα είναι μίον 60. Για να δούμε λοιπόν. Τέσσερα επί χ, μου κάνει πόσο? 68 πλήν 60, οκτώ. Τι έχω εδώ, παιδιά, έχω μία εξίσωση πολλαπλασιασμού. Τι κάνω όταν έχω εξίσωση πολλαπλασιασμού? Την αντίστροφη πράξη, δηλαδή, διέρεση. Άρα, κρατάω το χ στο πρώτο μέλος και έχω τι? Ίσον οκτώ διά τέσσερα. Άρα το χ είναι ίσον με δύο. Τι είναι αυτό το δύο που βρήκα? Είναι ότι ο κύριος Γιώργος είχε τέσσερα κέρματα των δύο ευρώ. Η απάντηση λοιπόν που έχουμε να δώσουμε στο πρόβλημα, είναι πια ότι είχε τέσσερα κέρματα των δύο ευρώ. Αυτή είναι η απάντησή μας στο πρόβλημα. Δείτε το ξανά, γιατί αυτό το οποίο πρέπει να προσέξουμε, είναι ότι ενώ ξεκινάμε και έχουμε πράξεις κανονικά, καταλήγουμε στο να έχουμε μία εξίσωση πολλαπλασιασμού. Και στην εξίσωση του πολλαπλασιασμού, θα πρέπει να κάνω την αντίστροφη πράξη, δηλαδή, διέρεση. Όση ώρα εγώ σβήνω τον πίνακα, εσείς κοιτάξτε με προσοχή το τρίτο πρόβλημα και το διαβάζουμε μαζί. Για να δούμε λοιπόν τι λέει το τρίτο πρόβλημα. Το τρίτο πρόβλημα μας λέει για έναν που γίνεται ένας κυρίως, ο οποίος γίνεται μπαμπάς απότομα. Για να δούμε γιατί γίνεται μπαμπάς απότομα. Μας λέει λοιπόν ότι ένας δημόσιο συμπάλληλος παίρνει 1.280 ευρώ μισθό. Η γυναίκα του γέννησε τρίδιμα. Πολύ δύσκολο. Έγινε πολύ γρήγορα μπαμπάς με πολλά παιδάκια. Το κράτος λοιπόν δίνει πάντα στους γονείς ένα χρηματικό βοήθημα το οποίο λέγεται επίδομα. Στον επόμενο μισθό του ο υπάλληλος πήρε 1.440 ευρώ μισθό. Πόσο επίδομα πήρε για το κάθε παιδί. Για να δούμε λοιπόν τι έχουμε εδώ. Έχουμε ότι ένας δημόσιος υπάλληλος, ένας κύριος, παίρνει κάθε μήνα, βλέπεις το τραπεζικό του λογαριασμό από το μισθό του, 1.280 ευρώ. Πολύ ωραία γίνεται να ευχάριστο γεγονός στη ζωή τους και η γυναίκα του γεννάει τρία παιδάκια, τρίδιμα. Τον επόμενο λοιπόν μισθό, το οποίο παίρνει ο κύριος, έχει αυξηθεί ο μισθός του. Και από 1.280 ευρώ ο μισθός του γίνεται 1.440 ευρώ. Αυτό όμως δεν γίνεται έτσι. Γίνεται γιατί παίρνει ένα επίδομα, το οποίο είναι για το κάθε παιδάκι. Ναι, αλλά εμείς είπαμε ότι η γυναίκα του γέννησε τρία παιδάκια. Άρα σε αυτά τα 1.280 ευρώ προσθέθηκε ένα επίδομα, το οποίο δεν είναι για το ένα παιδάκι μόνο, γιατί το ένα θα πάρει και τα άλλα δύο δεν θα πάρουν. Παίρνει λοιπόν και για τα τρία παιδιά. Άρα ξέρουμε πόσα λεφτά παίρνει για το κάθε παιδί. Όχι, αυτό ψάχνουμε να βρούμε. Άρα αφού είναι τρία τα παιδάκια τα οποία γεννήθηκαν, το επίδομα το οποίο παίρνει ο μπαμπάς για το καθένα, δεν ξέρουμε πόσο είναι, άρα είναι χ. Τι έχουμε λοιπόν εδώ. 1.280 που ήταν ο μισθός του αρχικά, συν το επίδομα το οποίο παίρνει και για τα τρία μωρά τα οποία γεννήθηκαν, στον επόμενο μισθό του βλέπει κάποια χρήματα παραπάνω. Ο μισθός του από 1.280 ευρώ έχει γίνει 1.440 ευρώ. Για να δούμε λοιπόν ποιο είναι το επίδομα το οποίο πήρε. Αρχικά βλέπουμε ότι έχουμε μία πρόσθεση, και ένα εδώ έχουμε ένα γινόμενο, το οποίο γινόμενο έχει και το χ μέσα. Εμείς λοιπόν το πρώτο πράγμα το οποίο έχουμε να κάνουμε είναι ποιο, να κρατήσουμε το γινόμενο με το χ, το 3χ στο πρώτο μέλος, και τον αριθμό εδώ που έχουμε την πρόσθεση, να το πάμε πίσω κάνοντας τι παιδιά, κάνοντας αφαίρεση, την αντίστροφη πράξη. Άρα 3χ είναι ίσον με 1.440 αφού το 1.280 θα το πάω από την άλλη πλευρά, αντί για πρόσθεση τι θα κάνω, αφαίρεση. Μίον τα 1.280. Άρα για να δούμε, 3χ ίσον, για πάμε να κάνουμε την πράξη 0 από 0, 0, 8 από 14, 6, 1 και 2, 3 από 4, 1, 1 από 1, 0. Είμαστε εντάξει? Πάμε λοιπόν να δούμε. Έχουμε λοιπόν 3χ ίσον 160. Για να δούμε τι έχουμε να κάνουμε. Έχουμε να κάνουμε μια διαίρεση, γιατί έχουμε εξίσουση πολλαπλασιασμού. Τι πρέπει να κάνω παιδιά, πρέπει να κρατήσω το χ μόνο του. Άρα είναι 160 δια 3. Τα 160 ευρώ θα πρέπει να τα διαρρέσω με το 3. ίσον, αν κάνουμε τη διαίρεση κανονικά, θα μας βγει 1,53,33333 και θα συνεχίζεται. Αυτό λοιπόν, προσέξτε, είναι κάτι καινούριο που μαθαίνετε, βγαίνει ένας αριθμός που όσο και αν την προχωράω τη διαίρεση, θα μου βγαίνει ατελείς. Και ατελείς πώς? Επαναλαμβάνοντας το 3. Αυτή τη διαίρεση, αυτός ο αριθμός ο οποίος προκύπτει, για να μην το λέω συνέχεια, είτε το στρογγυλοποιώ όπως έχετε μάθει, και λέω ότι το χ είναι περίπου πόσο με 53,34 ευρώ για το κάθε παιδάκι. Προχωράμε. Πάμε να δούμε λοιπόν και ακόμα λίγα προβληματάκια. Δύο για την ακρίβεια και τις δύο από κάτω που βλέπετε στη διαφάνειά σας, τις δύο από κάτω ασκησούλες, θα τις λύσετε εσείς για την επόμενη φορά και στο επόμενο μάθημα θα ξεκινήσουμε από εκεί. Πάμε να δούμε λοιπόν τα δύο επόμενα προβλήματα και να σταματήσουμε το μάθημά μας για σήμερα. Διαβάστε το πρώτο πρόβλημα όσο εγώ σβήνω τον πίνακα. Όσο τον σβήνω, ξεκινήστε και διαβάστε το, είναι πολύ πολύ εύκολο. Για να το δούμε. Αγοράσαμε, λέει, φακελάκια για παρασκευή κρέμα στιγμής που κοστίζουν 3,15 ευρώ. 3 ευρώ και 15 λεπτά. Το 1 στοιχίζει 45 λεπτά του ευρώ. Πόσα τέτοια φακελάκια αγόρασα. Σας στέλνει η μαμά σας στο σούπερ μάρκετ να αγοράσετε φακελάκια για να φτιάξετε κρέμες. Εσείς λοιπόν βλέπετε ότι στο μπάγκο που είναι τα φακελάκια με τις κρέμες στιγμής, ότι το κάθε ένα φακελάκι κοστίζει 45 λεπτά του ευρώ. 0,45. Αγοράζετε, παίρνετε κάποια και τα βάζετε στο καλάθι σας. Εγώ και οι υπόλοιποι δεν ξέρουμε πόσα έχετε πάρει. Άρα, πόσα είναι, παιδιά, χ, αυτά τα οποία παίρνετε εσείς. Πάτε λοιπόν στο ταμείο. Περνάει η ταμεία στα φακελάκια σας, που εγώ δεν ξέρω πόσα είναι, και σας ζητάει να πληρώσετε τρία ευρώ και 15 λεπτά. Άρα, έχουμε μια εξίσωση πολλαγλασιασμού, την οποία εμείς θα πρέπει να λύσουμε πώς με την αντίστροφη πράξη, δηλαδή κάνοντας διαίρεση, για να βρούμε πόσα φακελάκια αγοράσατε. Για να δούμε λοιπόν τι πρέπει να κάνουμε. x ίσον, αντίστροφη πράξη, διαίρεση. Άρα, 3,15 δια πόσο, παιδιά, δια 0,45. x ίσον. Θυμόμαστε να κάνουμε διαίρεσεις με δεκαδικούς αριθμούς. Για να δούμε, έχουμε 3,15 δια 0,45. Δύο δεκαδικά ψηφία ο ένας, δύο δεκαδικά ψηφία ο άλλος. Άρα, πολλαπλασιάζουμε και τους δύο αριθμούς επί 100 και γίνεται 415 δια 45. Για να προχωρήσουμε, το 45 στο 31 χωράει όχι. Το 45 στο 315 χωράει πόσες φορές, χωράει 8, 4x8, 32, όχι, χωράει 7. Για να δούμε, 5x7, 35, 3, 4x7, 28 και 3x3, 31, 0. Τι βρήκαμε λοιπόν, ότι το x είναι ίσον με 7. Άρα, ποια είναι η απάντηση στο πρόβλημά μας, ότι το παιδάκι αγόρασε 7 σακουλάκια, το οποίο το καθένα περιέχει κρέμα στιγμής και που το καθένα κοστίζει 45 λεπτά του ευρώ. Πάμε παρακάτω και στο τελευταίο μας πρόβλημα. Για να το δούμε. Αγόρασα 6 φακελάκια, πάλι, για Παρασκευή κρέμα στιγμής και πλήρωσα 3,90. Ποια είναι η αναγραφόμενη τιμή στο ράφι του καταστήματος για το 1 φακελάκι. Είναι ανάποδο το πρόβλημα, είναι λίγο αντίστροφο με αυτό που λύσαμε πριν. Για να σημειώσουμε τι ξέρουμε. Αγοράσαμε τώρα, μας λέει, 6 φακελάκια. Μας λέει πόσα. Αγοράζουμε 6 φακελάκια. Μας λέει επίσης ότι στο ράφι, όταν πάει το παιδάκι να αγοράσει την κρέμα, δεν βλέπει την τιμή, αλλά ξέρει ότι πληρώνει στο τέλος 3,90. Πληρώνει 3,90. Αγόρασε 6 φακελάκια. Τι δεν ξέρουμε, παιδιά, δεν ξέρουμε πόσο κάνει το 1. Για να δούμε λοιπόν. Τι θα πούμε. Έχουμε 6 φακελάκια που αγοράζει. Τι δεν ξέρουμε εδώ, δεν ξέρουμε την τιμή. Επί πόσο, επί x. Δεν ξέρουμε πόσο κάνει το καθένα. Τι πληρώνουμε στο ταμείο, πληρώνουμε 3,90. Άρα έχω πάλι μια εξίσωση πολλαπλασιασμού. Βεβαίως. Τι πρέπει να κάνω, την αντίστροφη πράξη. Άρα x ίσον 3,90. Ποια είναι η αντίστροφη πράξη η διαίρεση, διά πόσο, παιδιά, διά 6. Για λοιπόν να κάνουμε, και εδώ έχουμε να κάνουμε μια διαίρεση. Τι διαίρεση, παιδιά, έχουμε να κάνουμε. Δεκαδικού με ακέραιο. Άρα έχω 3,90, το ίδιο πράγμα είναι 3,90, δια πόσο, δια 6. Το θυμόμαστε πως κάνουμε διαίρεσεις δεκαδικού με ακέραιο. Το 6 στο 3 δεν χωράει. Αφού τονίζω και το ψηφίο, βάζω 0 στο πηλίκο και υποδιαστολή και λέω το 6 στο 39 χωράει πόσες. 6 φορές. 6, 6, 30, 6. 6 από 9, 3. 3 από 3, 0. Κατεβάζω και το άλλο. Το 6 στο 30, πόσο χωράει, 5. 5, 6, 30, από 30, 0. Άρα τι βρήκα, ότι το χ είναι ίσον με 0,65 λεπτά του ευρώ. Κλείνοντας να υπενθυμίσουμε τι. Να υπενθυμίσουμε παιδιά ότι. Ανακεφαλαιώνοντας τα δύο μέρη που έχουμε κάνει μέχρι τώρα των εξισώσεων. Έχουμε εξισώσεις, πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και ιδιέρεσης. Τα πράγματα είναι πάρα πολύ εύκολα στην πρόσθεση και στο πολλαπλασιασμό. Γιατί? Στην πρόσθεση κάνουμε την αντίστροφη πράξη, δηλαδή όταν έχω άγνωστο προσθετέω, κάνω αφαίρεση. Το ίδιο και στον πολλαπλασιασμό. Όταν έχω τον ένα παράγοντα άγνωστο, αντί για πολλαπλασιασμό, κάνω διέρεση. Που πρέπει να προσέχουμε πάρα πολύ? Πρέπει να προσέχουμε στις εξισώσεις της αφαίρεσης και της διέρεσης. Γιατί? Γιατί έχουμε δύο υποκατηγορίες στην κάθε μία που όταν έχουμε άγνωστο τον μειωτέω στην αφαίρεση, κάνω κανονικά την αντίστροφη πράξη. Την πρόσθεση εννοώ. Όταν όμως έχουμε άγνωστο τον αφαιρετέω, ξανακάνω τι? Ξανακάνω αφαίρεση. Το ίδιο πρέπει να προσέχω και στην διέρεση. Όταν ήταν το τελευταίο που είπαμε σήμερα, θέλω να θυμάστε πολύ καλά ότι όταν έχουμε δύα Χ, δεν κάνω πολλαπλασιασμό, αλλά κάνω ξανά διέρεση. Στην διαφάνεια, η οποία βλέπετε, υπάρχουν κάτω δύο ασκησούλες πολύ πολύ απλές. Αν θέλετε μπορείτε να τις σημειώσετε και στο επόμενο μάθημα το οποίο θα κάνουμε, θα λύσουμε πολλές ασκήσεις και από τα τέσσερα είδη των εξισώσεων, και με αριθμητικές παραστάσεις και με πολλά πολλά προβλήματα. Καλή συνέχεια, καλή δύναμη και ραντεβού για το επόμενο μάθημα. Γεια σας!