Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις / Διάλεξη 1 / Εισαγωγή στις συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις. Εξοικείωση με τη χρήση και την κατασκευή γραφικών παραστάσεων τριγωνομετρικών, εκθετικών, σύνθετων και πεπλεγμένων συναρτήσεων. - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Εισαγωγή στις συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις. Εξοικείωση με τη χρήση και την κατασκευή γραφικών παραστάσεων τριγωνομετρικών, εκθετικών, σύνθετων και πεπλεγμένων συναρτήσεων.: Λοιπόν, το σημερινό μάθημα θα επικεντρωθεί στις συναρτήσεις και στις γραφικές παραστάσεις. Αυτό είναι το θέμα και βέβαια είναι σε σας γνωστό ότι οι συναρτήσεις και οι γραφικές παραστάσεις αποτελούν ένα πάρα πολύ σημαντικό κομμάτι για τη φυσική που θα κάνετε στα επόμενα χρόνια. Τώρα, θα σας πω ορισμένα πράγματα που τα ξέρετε, ότι αυτή είναι μια συναρτήση σε πιο γενικευαίνη μορφή, αυτή είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και εδώ πέρα υπάρχει ένας κανόνας, ένας κανόνας ο οποίος λέει, ας πούμε, το χι μπορεί να είναι μία συναρτήση χι τετράγωνο, άρα λοιπόν αυτός είναι ένας κανόνας, ότι κάθε σημείο του χι το υψώνει στο τετράγωνο και σου δίνει την τιμή στο ψ. Η γραφική παράσταση μιας τέτοιας συναρτήσεις είναι επίσης γνωστή, άρα λοιπόν εδώ έχουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή και την εξαρτημένη μεταβλητή. Η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι το χι, παίρνουμε τιμές εκεί που επιτρέπεται, από εδώ που μπορούμε να πάρουμε τιμές, εκεί που μπορούμε να πάρουμε τιμές στη συναρτήση και αυτές οι τιμές θα προβάλλονται σε τιμές αντίστοιχες στο ψ. Άρα λοιπόν υπάρχει ένας κανόνας που είναι η συναρτήση, η οποία προβάλλει τον άξονα των χι απάνω στον άξονα τον ψ και έτσι αυτή εδώ η συγκεκριμένη συναρτήση μας δίνει μια γραφική παράσταση η οποία είναι αυτή εδώ. Έτσι, λοιπόν, τι έχουμε εδώ πέρα, έχουμε μια απλή συναρτήση, η συναρτήση είπαμε ότι έχει την ανεξάρτητη μεταβλητή που είναι το χι, η εξαρτημένη μεταβλητή είναι το ψ, το ψ είναι εδώ πέρα και το χι είναι εδώ πέρα. Και το άλλο που μας λείπει για να είναι πλήρως ορισμένη αυτή η συναρτήση είναι τι, τι δεν έχουμε, τι δεν σας έχω πει ότι είναι σημαντικό για αυτήν τη συναρτήση ότι ο ορισμός να είναι πλήρυς. Το πεδίο ορισμού. Άρα λοιπόν η συναρτήση αυτή δεν ορίζεται αυτή συγκεκριμένη ορίζεται για όλες τις τιμές του χι αλλά το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρος ο άξιος από το πλήρυν άπειρο στο συνάπειρο, αυτή η συναρτήση έχει αυτή τη συμπεριφορά. Υπάρχουν όμως συναρτήσεις τις οποίες ξέρετε οι οποίες δεν έχουν όλο το πεδίο ορισμού, δεν έχουν όλο ολόκληρο ας πούμε αυτή η συναρτήση, υπάρχουν συναρτήσεις όπως αυτή που είναι διαφορετικές από αυτή. Γιατί σε αυτήν το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρος ο άξιος όλη η πραγματική αριθμή ενώ εδώ δεν είναι. Και το ερώτημα είναι αν εσείς μπορείτε με άνεση που δεν είναι πάντα εύκολη δουλειά, αν είναι με άνεση να βρείτε ποιο είναι το πεδίο ορισμού μιας συναρτήσης. Ας πούμε σε αυτήν εδώ τι είναι σχέση, θέλω να μου πείτε ποιο είναι το πεδίο ορισμού, να μου το κάνετε να λέψετε λίγο στο τετράδιό σας και να μου πείτε να σηκώσετε χέρι για να μου πείτε ποιο είναι το πεδίο ορισμού αυτής της συναρτήσης και πώς το βρήκατε. Λοιπόν, πέστε μας εσείς και πέστε μας και το όνομά σας. Με λέμε Τίνα. Έλα Ματίνα. Ποιο είναι το Ά εκτός του μίον άπειρο. Πες το πάλι και θα σας πω το Ά. Ποιο σε πιαστήματα. Ναι, άρα το Χ πρέπει να είναι πού. Πέστε μου. Από το μίον άπειρο μέχρι το μίον ένα. Από το μίον άπειρο μέχρι το μίον ένα. Λέω το πεδίο ορισμού ψάχνουμε για το Χ. Άρχισες να μου λες το πεδίο ορισμού για το Χ, έτσι δεν είναι. Και είναι αυτό. Όχι, έχει και συνέχεια. Ωραία, πες μου και τη συνέχεια. Ανοιχτό μίον ένα ένα. Ανοιχτό μίον ένα ένα. Ανοιχτό μίον ένα ένα. Λοιπόν, η συνάδελφός σας αυτά είπε ότι είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Και βλέπω ότι διαφωνείτε. Πολύ καλό ότι διαφωνείτε. Αυτή τη δουλειά ήρθαμε να κάνουμε. Τι ευχαριστούμε τη ματέρα γιατί μας έδωσε την ευκαιρία. Γιατί κάθε φορά που ανακαλύπτουμε κάτι έτοιμο, θα μπορούσα και εγώ να σας πω το πεδίο ορισμού και να μη σας ρωτήσω καθόλου. Ρώτησα ακριβώς γι' αυτό το λόγο που μου είπαν. Για να δούμε, υπάρχουν και αντιρρήσεις ή όλοι συμφωνείτε. Να το σκεφτείτε κι εσείς βλέποντας και κάτι το οποίο πιθανόν να μη συμφωνείτε. Πέστε μου εσείς. Με το πεδίο ορισμού είναι το μεγαλύτερο. Η συνάδελφός σας λοιπόν μεγαλύτερο ίσο ή μόνο με... Τι θέλετε να βάλω εδώ. Και ίσο. Σιγά, σιγά, σιγά. Δεν μιλάτε όλοι. Το δικό σας τόνομα. Νικολέτα. Η Νικολέτα λοιπόν λέει ότι αυτό είναι το πεδίο ορισμού. Το δικό σας τόνομα. Είναι Αποστόλης. Θα μη φοβήσω. Δεν χρειαζόμαστε τα ίσο. Τώρα. Άρα λοιπόν με μια συνεργασία έτσι αρκετά ενδιαφέροσα. Ίσουνα πολύ μακριά. Πώς το σκέφτηκες αυτό. Γιατί καταρχήν δεν το έτσι. Κακώς. Κακώς. Άρα δηλαδή έπρεπε να ξεκινήσετε από το 1-ΧΤ να είναι μεγαλύτερο του μηδενός. Το όχι το ίσο. Δεν σκέφτηκα ότι είναι κάτω από ίσο. Ακριβώς αυτό ήταν το πρόβλημα. Ενώ αυτό το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης. Τι διαφορά έχει από αυτό. Και το όνομά σας. Λοιπόν ο δήμος λέει ότι ενώ στον παρονομαστή θα βγάλουμε τα ίσον από εδώ. Στην άλλη περίπτωση θα έχουμε μεγαλύτερο ίσον του πλην ένα και ένα. Δηλαδή θα μπορέσουμε να βάλουμε και το μηδεν. Το οποίο δεν απαγορεύεται εδώ ενώ απαγορευόταν εκεί. Όλα καλά. Πάμε τώρα σε ένα άλλο θέμα και θα το αφήσουμε αυτό το πρόβλημα. Θέλω να μου πείτε το πεδίο ορισμού μιας άλλης συνάρτησης f του x. Η οποία είναι τετραγωνική ρίζα του ημητώνου x. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης. Δεν χρειάζεται να βιάζεστε. Δεν σας πιέζω να απαντήσετε αυτόματα. Δεν είναι αυτός ο σκοπός. Αν γι' αυτό έχετε μπροστά και το τετράδιο σας μπορείτε και να συνεργαστείτε. Περιμένετε να δώσουμε λίγο χρόνο σ' αυτούς που το ψάχνουν μέσα από το τετράδιο σας. Οπότε θα τους δώσουμε πάρα πολύ λίγο χρόνο και μετά θα το συζητήσουμε. Ωραία. Πέστε μου εσείς και πέστε μου και το όνομά σας. Ο Παναγιώτης λοιπόν λέει ότι η απάντηση είναι χ μεγαλύτερο του μηδενός. Και ίσο. Οι άλλοι τι λέτε. Παναγιώτη ξέρεις κάτι. Αν το είχες σκεφτεί λιγάκι το χ μεγαλύτερο του μηδενός πες μου πώς θα ζωγραφίσω αυτή τη συνάρτηση. Το ημίτονο χ για χ μεγαλύτερο του μηδενός πώς είναι. Για πες μου τη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης. Το ημίτονο. Το ημίτονο είναι αυτό. Α δεν το έχεις δει ότι είναι το ημίτονο αυτό. Αυτό είναι το ημίτονο έτσι. Συμφωνούμε όλοι. Λοιπόν πες Παναγιώτη αυτή η συνάρτηση αν τη ζωγραφίσω πώς κάνει. Πώς είναι αυτή η συνάρτηση. Το ημίτονο χ αν τη ζωγραφίσω. Για χ μεγαλύτερο του μηδενός. Εδώ που μου είπες το περιδειωθώ πες μου πώς είναι. Μήπως παίρνει σε κάποιο σημείο και αρνητικές τιμές. Μήπως πρέπει αυτές να τις αποκλείσουμε. Δεν μπορεί να είναι όλο το χ. Συμφωνείτε. Άρα ποιο είναι το πεδιορισμό αυτής της συνάρτησης. Εσείς δεν έχετε μιλήσει. Πέστε μου το όνομα. Δεν πειράζει. Δεν πειράζει. Μια χαρά. Το χ. 2κπ μέχρι. Μπορούμε να το κάνουμε και ένα. Δεν βέβαια. 2κπ έως 2κπ συν π. 2κπ συν 1π. Πώς είναι το δικό σου το μικρό όνομα. Τωμάς. Αυτό ήθελες να πεις. Τα ίσον θα τα βάλουμε. Το κ είναι ακέραιο. Ναι το κ είναι ακέραιο σωστά. Βλέπουμε εδώ. Ναι. Και το κ. Ξεκινάει από το μηδέν ή από το ένα το κ. Όλοι στο μηδέν. Ωραία. Αυτό λέει ο Τωμάς. Οι υπόλοιποι που είχατε σηκώσει χέρι. Εσείς που είχατε σηκώσει χέρι και σας πήρα το λόγο. Δεν πειράζει. Ποιο λέτε. Δεν πειράζει. Δυνατά δεν σας ακούω. Η συνάδελφός σας λέει το χ να είναι. Να είναι και από μηδέν. Οι υπόλοιποι τι λέτε. Το δικό σας το μικρό όνομα. Βάσο. Βάσο λοιπόν λέει αυτό. Και ο Θωμάς λέει αυτό. Ποιος έχει δίκιο. Έχετε άλλη απάντηση. Ή μία από αυτές. Εσείς. Άλλη απάντηση. Ωραία. Για να ακούσουμε και τη δική σας απάντηση. Δύο ΚΠ και δύο ΚΠ. Δύο ΚΠ συν ένα π. Συν τη δεύτερα. Όχι π δεύτερα, όχι συν π δεύτερα. Αυτό. Αυτό λέτε και το δικό σας το όνομα. Λοιπόν η Μαγνά έχει αυτό. Βλέπετε ότι λίγο φύγαμε από τα τετριμένα και μπήκαμε σε τρεις απαντήσεις. Θωμά. Βέβαια εγώ έκανα λάθος. Λοιπόν. Ωραία. Έχουμε τρεις απαντήσεις. Τεταρτί. Συμφωνείς με το Θωμά. Συμφωνείς με το Θωμά. Όχι ακριβώς. Μόνο για θετικό ακέραιο. Μόνο για θετικό ακέραιο. Άρα το δικό σας το όνομα. Λοιπόν ο Γιώργος λέει ότι συμφωνεί με το Θωμά πρέπει να παίρνει μηδέν, ένα, δύο και τα λοιπά. Πέμπτη, έκτη. Θέλετε να πείτε κάτι άλλο. Ναι. Τον δικό σας το όνομα. Ο Αργύρης. Εγώ νομίζω πως είναι από μηδέν μέχρι... από μηδέν και πάνω είναι αυτό που είπε ο Θωμάς. Αλλά δεν είναι κάποια σύγχαρη απαφή μου. Λοιπόν η απάντης του Αργύρη λέει ότι αυτό που είπε ο Θωμάς αλλά το κάπα λέει να το πάρει για το κάπα όταν είναι μηδέν, ένα, δύο και τα λοιπά είναι αυτό που είπε ο Θωμάς, έτσι Αργύρη? Ναι αυτό. Για το κάπα όμως πλήν ένα, πλήν δύο και τους αρνητικούς αριθμούς θέλει το πεδίο να είναι το 2ΚΠ μικρότερο ίσον του Χ. Πες το μου τι θέλεις να πεις πάλι. Ξέχασα. Για πες το ξέχασε λέει ο Αργύρης, για πες. Είπα 2ΚΠ μιον πί. 2ΚΠ μιον πί, δηλαδή 2ΚΠ πώς θα γίνει, 2ΚΠ μιον πί αυτό είναι και το Χ μεγαλύτερο ίσον από αυτό και Αυτό βασικά όταν το Χ είναι αριστερνητικά έτσι. Ναι. Λοιπόν, υπόλοιποι θέλετε να το αφήσουμε και να το συζητήσουμε τελικά σαν πρώτο θέμα στο επόμενο μάθημα ή θέλετε να σας πω τη δική μου άποψη. Αυτό που πω Θωμάς είναι το σωστό. Αυτό που πω Θωμάς είναι το σωστό και το Χ όμως θα είναι πράγματι 0, 1, 2 κτλ. Αυτό είναι το αποτέλεσμα. Μπορείτε να το ψάξετε, μπορείτε να το κουβετιάσουμε, μπορείτε να έχετε αντιρρήσεις, ό,τι θέλετε. Αλλά ας το αφήσουμε εδώ να μη σταθούμε άλλο σε αυτό. Λοιπόν, ήθελα να δείξω με αυτό, θα ποτέ θέλω να φάω άλλο χρόνο, αλλά ήθελα να δείξω ότι βλέπετε ότι σπάσαμε την τάξη, την οποία τώρα τι θα κάνει. Έχω την εντύπωση όσοι από σας δεν καταλήξετε στο σωστό αποτέλεσμα και αυτό είναι το πρώτο μήνυμα του μαθήματος. Πρέπει να πάτε σπίτι, πρέπει να το δουλέψετε λίγο μόνοι σας, πρέπει να το σκεφτείτε και πρέπει μέσα από αυτό και πιθανόν και άλλα παραδείγματα να εξασφαλίσετε ότι το πεδίο ορισμού μιας συνάντησης μπορείτε με άνεση να το βρείτε και σε αυτήν εδώ να συμφωνήσετε ή να διαφωνήσετε με αυτά που είπε ο Θωμάς ή αυτά που σας έχω πει εδώ. Αυτά είναι και στις σημειώσεις και θα τα βρείτε όταν ανοίξετε και θέλω να μην πάρετε τις απαντήσεις έτοιμες αλλά να τις σκεφτείτε. Προχωράμε, αφήνουμε το πεδίο ορισμού και προχωράμε. Τι άλλα θα θέλαμε να πούμε εδώ πέρα, θα θέλαμε να πούμε ότι αυτό που σας είπα πάρα πολύ έντον, αρκετά το τόνισα στο πρώτο μάθημα το εισαγωγικό, ότι εμείς στη φυσική στις συναρτήσεις που διαλέγουμε λόγω της φυσικής του προβλήματος οι συναρτήσεις μπορεί να επιτρέπεται να πάρουν τιμές σε όλο το χώρο αλλά δεν σημαίνει αυτό ότι το φυσικό πρόβλημα για το οποίο συζητάμε θα επιτρέψει να υπάρχει αντίστοιχο περιθώριο. Δηλαδή, η πυκνότητα μιας ραύδου στον άξονα χ, αυτή η πυκνότητα έχει πάντα θετικές τιμές οπότε, εάν βγάζετε πυκνότητα αρνητική θα πρέπει να προβληματιστείτε τι έχει γίνει με τη συναρτήση η οποία σας δίνει πυκνότητα αρνητική. Δεν πρέπει δηλαδή η συναρτήση αυτή να δίνει ποτέ πυκνότητα αρνητική. Άρα λοιπόν, όταν μιλάμε για την επιφάνεια ενός κύκλου και που με το π ρο τετράγωνο είναι η επιφάνεια, η επιφάνεια είναι ένας θετικός αριθμός, φυσικά εδώ ξεασφαλίζεται, αλλά το ρο, ενώ επιτρέπεται μαθηματικά να πάρει τη μέσα από πλήνα άπειρο έως άπειρο, σε εμάς δεν έχει καμία σημασία να πούμε ακτίνα αρνητική. Οπότε, βλέπετε λοιπόν ότι οι συναρτήσεις με τις οποίες ο φυσικός δουλεύει έχουνε κάποιους περιορισμούς που βάζει το φυσικό πρόβλημα. Αυτό το είπαμε αρκετά έντονα και το στονίσαμε και στο πρώτο το εισαγωγικό μάθημα. Λοιπόν, παρακάτω, τι άλλο θέλουμε να κάνουμε, είναι να σας ρωτήσω κάτι. Στις συναρτήσεις όπως δώσαμε τον ορισμό είπαμε ότι η συναρτήση είναι ένας κανόνας που προβάλλει τον άξινο το χ στον άξινο το ψ, το είπαμε αυτό. Είπαμε επίσης ότι χρειάζεται να ξέρουμε ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συναρτήσης και αυτό το είπαμε. Μιλήσαμε έτσι πολύ χοντρά για τη γραφική παράσταση, θα πούμε για ορισμένες ειδικές περιπτώσεις, αλλά δεν είπαμε κάτι άλλο. Αυτή εδώ η συναρτήση, τι περίεργο έχει που την κάνει να μην είναι συναρτήση. Αν φέρουμε καθέντους τέμι για τη γραφική παράσταση, πώς αντιμετωχούμε τώρα που έχει πολλές τιμές το ψ σε μία τιμή του χ, πώς αντιμετωχούμε αυτή τη συναρτήση. Υπάρχει μία έκφραση που μπορεί να αντιμετωχούμε. Όχι, όχι, δεν με ενδιαφέρει το σχήμα, με ενδιαφέρει το ότι σε μία τιμή του χ, στο χ0 η συναρτήση παίρνει δύο διαφορετικές, έχει διαφορετικές. Δεν είναι δηλαδή μία μονοσύμμαντη απεικόνιση, αυτό δεν είπαμε για τη συναρτήση, ότι η συναρτήση ορίζεται σαν μία απεικόνιση ένα προς ένα, του χ στο ψ. Εδώ βλέπουμε να έχουμε πολλές τιμές, λοιπόν είναι πλειονότιμη έτσι λέγεται και για να την κάνουμε αυτή τη συναρτήση μονότιμη τι μπορούμε να κάνουμε. Πώς μπορούμε μία τέτοια συναρτήση να την κάνουμε συναρτήση που να είναι πραγματικά μία απεικόνιση ένα προς ένα. Μπορούμε να μετατρέψουμε αυτή τη συναρτήση σαν απεικόνιση ένα προς ένα και πώς θα το κάνουμε αυτό. Αυτή τη στιγμή δεν έχουμε μιλήσει για αντιστροφους, αλλά θέλω να πω ότι αν περιορίσουμε το πεδίο ορισμού, δηλαδή αυτή τη συναρτήση εδώ πέρα, εάν θεωρήσουμε ότι τη μελετήσουμε έτσι ώστε να αποκλείσουμε ένα κομμάτι της, δηλαδή εάν αυτή τη συναρτήση μπορούμε να μιλήσουμε μόνο για αυτό το κομμάτι της συναρτήσης, να σταματήσουμε δηλαδή εδώ, να πάμε από εδώ μέχρι εδώ, αλλά να δώσουμε περιορισμό ότι η συναρτήση πρέπει να είναι μικρότερη από κάποια τιμή. Άρα λοιπόν, δίνοντας, περιορίζοντας το πεδίο ορισμού, μερικές φορές μία συναρτήση που είναι πλειονότιμη μπορούμε να την περιορίσουμε να είναι μονότιμη. Άλλη μία τέτοια έκφραση είναι αυτό εδώ, ο κύκλος. Ο κύκλος βλέπετε ότι έχει σε κάθε σημείο, έχει δύο τιμές εδώ και αυτή δεν είναι συναρτήση η έκφραση που περιγράφει τον κύκλο. Γιατί, γιατί μόνο θα μπορούσαμε να την κάνουμε έτσι, αν βλέπετε ότι έχει Ψ, Σ, Ψ, R τετράγωνο, μιον, Χ τετράγωνο, αυτή είναι η έκφραση. Αυτός είναι και πλειν, αν απορρίψουμε το πλειν, δηλαδή βάλουμε μόνο το πάνω μέρος από το κύκλο, φτιάξαμε μία συναρτήση η οποία είναι πραγματικά μονότιμη. Άρα, περιορίζοντας λοιπόν το πεδίο που θέλουμε να δουλέψουμε, δηλαδή απορρίπτοντας αυτό το κομμάτι, δουλεύοντας μόνο σε αυτό, μπορούμε να κάνουμε μία συναρτήση αντί να είναι πλειονότιμη σε μονότιμη. Το γράφουμε λοιπόν ως κλαδική. Και τώρα, μια και είπε ο συνάδελφός σας τώρα, αυτό λοιπόν είναι ένα θέμα που επίσης πρέπει, τρία πράγματα λοιπόν ορίζουν μία συναρτήση, για να είναι μονότιμη θα πρέπει να είναι απεικόνιση ένα προς ένα. Δεύτερον, το πεδίο ορισμού της θέλει να πρέπει να το ξέρουμε και το άλλο είναι αυτό που ξέρετε από το Λύκειο. Και εδώ σταματάμε για τις συναρτήσεις και μπαίνουμε λίγο στο θέμα των γραφικών παραστάσεων και ήθελα να μου πείτε για κάποιες πολύ ειδικές συναρτήσεις πως είναι οι γραφικές τους παραστάσεις. Παραδείγματος χάρη αν έχουμε μία συναρτήση η οποία ας πούμε γράφεται τσιψί ίσον ολοκλήρωμα βάζουμε να είναι χ τετράγωνο όταν το χ είναι μικρότερο ή ίσο του μηδενός, να είναι 1 όταν το χ είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός μέχρι το 1 μάλλον το βάλουμε να είναι χ σε αυτό το διάστημα από το μηδεν μέχρι το 1 και να είναι 3 από το χ μεγαλύτερο ή ίσο του 1 εδώ το ίσο πρέπει να φύγουν εδώ πρέπει να φύγει εδώ είναι από το ίσο μέχρι το άπειρο. Αυτή τη συναρτήση πως θα τη ζωγραφίσουμε επειδή είστε μπροστά θέλετε να έρθετε εκεί στον πίνακα. Ναι. Εντάξει δεν πειράζει που και τα προσέγγεις δεν είναι ακριβείς. Καλώς έτσι. Καλώς έτσι. Εκεί είστε από 1 έως 3. Έχει δει και τότε μπορούσε να είναι 3 αυτό δεν είναι σωστό γιατί θα φτάσει μέχρι. Ναι ας το βάζουμε 3 για να δούμε τι κάνετε βάζτε το ας το βάζουμε 3. Να είναι η ψήσον 3 είναι μία πια παράλληλα στο τζιζιμάνος. Ωραία. 3 είναι κάπου εδώ θα ξεκινάει έτσι. Αυτή. Αλλά δεν συνεχίσει όμως. Όχι δεν συνεχίσει άλλο αυτό. Λοιπόν έτσι ζωγραφίζουμε μια τέτοια συναρτήση. Συμφωνείτε. Ωραία προχωράμε λοιπόν σε μία ακόμα συναρτήση περίεργη που ήθελα να ζωγραφίσουμε η οποία είναι αυτή εδώ την οποία την ξέρετε αλλά καθλά θα είναι να σας τη θυμίσω. Αυτή εδώ πέρα πως είναι η. Δε βέβαιος. Εντάξει είναι αλήθεια ότι πρέπει αλλά δεν μείναμε σε αυτή τη λεπτομέρεια. Είναι αλήθεια αυτό που είπατε. Πέστε μου θα μου πείτε γιατί είναι εδώ. Για πέστε μου πως είναι. Για χ μεγάλο χ είναι η ψήση του χ. Ωραία. Χ μικρό το χ είναι η ψήση μίωση. Άρα είναι αυτή. Αυτή εδώ η συναρτήση απόλυτος του χ είναι αυτή εδώ η οποία συγγράφεται έτσι. Οπότε αυτά τα ξεκαθαρίσαμε τα ξέρουμε μιλήσαμε λοιπόν για αυτές τις ειδικές συναρτήσεις. Ωραία. Τώρα είναι η ώρα να μπούμε σε κάτι άλλο. Να μπούμε σε ποιες συναρτήσεις εσείς να τις θυμηθούμε γνωρίζετε σαν ειδικές βασικές συναρτήσεις. Δηλαδή αν σας ρωτήσει κάποιος να απαριθμίσετε ποιες συναρτήσεις ξέρετε και να δούμε τις ιδιώτες και τις γραφικές παραστάσεις θα είναι το επόμενο θέμα το οποίο θα ξεκινήσουμε μόλις γυρίσετε από το διάλειμμα. Να ξαναθυμηθούμε τις βασικές συναρτήσεις οι οποίες έχουν ειδική μορφή. Το εκθετικό ολογάριθμος το ημήτωνο το συγημήτωνο οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Υπάρχει μια γκάμα από συναρτήσεις οι οποίες μας είναι γνωστές και θέλουμε να τις επαναλάβουμε να τις θυμηθούμε και να αποτελέσουν μια έναρξη για το μάθημά μας. Οπότε θα κάνουμε ένα διάλειμμα και επιστρέφετε. Λοιπόν μπαίνουμε σε ένα νέο θέμα και το νέο θέμα που θέλουμε να συζητήσουμε τώρα είναι ποιες συναρτήσεις γνωρίζετε εσείς. Και ας ξεκινήσουμε από την πρώτη συναρτήση που έχει πολύ μεγάλο ενδιαφέρον και αυτή είναι το πολυόνιμο. Το πολυόνιμο λοιπόν είναι μια έκφραση η οποία θα γράφετε έτσι. Έχει το σταθερό όρο, έχει το πρώτο όρο και το χ στην πρώτη, έχει το δεύτερο όρο το τετραγωνικό και συνεχίζει μέχρι τον ιωστό όρο που είναι χ στην ι. Αυτό λοιπόν είναι ένα πολυόνιμο. Το ξέρετε απλώς σας το θυμίζω. Αυτό το πολυόνιμο μπορεί να το γράψουμε και με έναν άλλο τρόπο και με έναν άλλο σύμβολο που να βάλουμε ν ίσον μηδέν έως το ν που θα πάει, έως το ν κεφαλαίο. Ή αν θέλετε να βάλουμε ι από μηδέν μέχρι ν και να γράψουμε αι χ ι. Αυτό τα δύο είναι ισοδύναμα γιατί με το ι ίσον μηδέν ο πρώτος όρος αυτό θα είναι το α0, αυτό θα είναι χ στη μηδενική θανεμονάδα, ο πρώτος όρος βγαίνει, όλοι οι όροι βγαίνουν. Αλλά έτσι γράφουμε ένα πολυόνιμο. Όταν σας ζητήσει κάποιος να κρατήσετε το γραμμικό όρο από αυτό το πολυόνιμο, τι θα κάνετε, θα γράψετε ότι το πολυόνιμο που είναι γραμμικό πολυόνιμο θα έχει α0 συν α1 χ. Αυτή είναι μια γραμμική συνάρτηση γιατί το χ είναι στην πρώτη και όταν το χ είναι στην πρώτη αυτοί λέμε γραμμική, το πολυόνιμο έχει μια γραμμική έκφραση, έχουμε διώψει όλους τους άλλους όλους και έχουν κρατήσει τους δύο πρώτος. Ο πρώτος είναι ένα σταθερός όρος και ο άλλος είναι ένας γραμμικός όρος. Αν το βάλω αυτό ίσον α0 συν α1 χ, τώρα αρχίζουμε να συζητάμε αυτό το πολυόνιμο, πώς θα το ζωγραφίσουμε από θέματα γραφικής παράστασης. Μέχρι εδώ μπορείτε να μου πείτε αν είναι εύκολη η γραφική παράσταση των δύο πρώτων όρων του πολυόνιμου. Μιλήστε εσείς πάλι. Ποια παράσταση είναι αυτή? Μια ευθεία γραμμή. Άρα λοιπόν η γραμμική προσέγγιση στο πολυόνιμο είναι η ευθεία γραμμή. Και αυτή γενικά, πολλούς τρόπους μπορούμε να γράψουμε την ευθεία, ένας άλλος τρόπος είναι να τη γράψουμε ψ εις χ με μια σταθερά α. Αυτή λοιπόν είναι η εξής της ευθείας. Υπάρχει και άλλες, μπορούμε να κρατήσουμε όρους ανώτερης τάξης, αλλά τώρα, αν κρατήσουμε στο πολυόνιμο και όρους ανώτερης τάξης, η γραφική παράσταση δεν είναι τόσο απλή. Δημιουργείται μια ανάγκη, πρώτον να διερευνήσουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, και δημιουργείται και μια παράλληλη ανάγκη, γιατί σας το είχα τονίσει αυτό, ότι εσείς πρέπει να αρχίσετε να εξοικειώνεστε και να έχετε στο σπίτι σας εργαλεία, με τα οποία να ελέγχετε τις πράξεις που κάνετε και τα αποτελέσματα που βγάζατε. Ένας τρόπος να ελέγξουμε αν εμείς σωστά λύσαμε ένα πρόβλημα, είναι να ρωτήσω αν ξέρετε αν υπάρχουν εργαλεία, software, τα οποία μπορούν να κάνουν όχι μόνο γραφικές παραστάσεις αλλά και πολλά άλλα πράγματα, τα οποία έχουν να κάνουν με το διαφορικό λογισμό των συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Ξέρετε κανένα software το οποίο θα μπορούσε να μας κάνει τις γραφικές παραστάσεις εύκολα. Το GeoGebra είναι ένα, άλλο, ποιο ξέρετε άλλο, το γραφ πολύ σωστά, εσείς ποιο ξέρετε, εσείς ποιο ξέρετε. Είναι το MATLAB, το Excel, το Mathematics. Ωραία, όλα αυτά είναι αλήθεια και τώρα ζητάω από σας να κάνετε μια ιδιαίτερη δουλειά στο εργαστήριο πληροφορικής λίγο αργότερα, θα σας δώσουν πληροφορίες για τη μαθημάτικα. Η μαθημάτικα είναι μια γλώσσα την οποία μπορείτε να αντιβάλετε με κάποιο τρόπο στον υπολογιστή σας ή και όλα αυτά τα άλλα software που ανάφεραν οι συμφιδιτές σας να μπορείτε να κάνετε, αυτά είναι, μερικά από αυτά είναι αφοσιωμένα στα γραφικά. Υπάρχουν όμως και προγράμματα τα οποία όπως η μαθημάτικα θα κάνουν και πράξεις, δηλαδή θα κάνουν και παραγώγους, θα κάνουν και πολλά άλλα πράγματα, θα μας βρουν το όριο. Θα έχουν δηλαδή αρκετά που μπορούν να κάνουν γιατί λειτουργούν με τη συνάρτηση και μπορούν να την δουλεύουν. Άρα λοιπόν θέλω να σας αρχίσω από τώρα να σας μιλάω για την ανάγκη, σιγά σιγά, ούτε άγχος υπάρχει, ούτε λόγος να το κάνετε απόψε. Αλλά όταν θέλετε να βάλετε ένα ωραίο σχήμα μέσα στις ασκήσεις σας και σας ζητηθεί στο πρώτο σετ ασκήσεων να δώσετε και τη γραφική παράσταση, μπορείτε να την κάνετε με το χέρι. Αλλά μπορείτε πραγματικά να την δώσετε και σε αυτό το πρόγραμμα, να την ζωγραφίσετε πάρα πολύ ωραία και με χρώματα και με άξιονες και τα λοιπά. Να την κάνετε export σε μορφή εικόνα, jpeg και από την εικόνα να το βάλετε μέσα στο Word αρχείο στο οποίο δουλεύετε ή να την χρησιμοποιήσετε με οποιοδήποτε τρόπο θέλετε. Λοιπόν, άρα λοιπόν να οι αξίες της ευθείας. Δύο ερωτήσεις. Αν έχω δύο ευθείες, η μία είναι η ψ1, η ψ ίσον M1 ΧΣΑ1 και η δεύτερη ευθεία είναι η ψ ίσον M2 ΧΣΑ2. Θέλω να ξέρω αν αυτές οι δύο ευθείες είναι παράλληλες ή κάθετες. Πώς μπορώ να το μάθω αυτό. Οι υπόλοιποι που δεν σηκώνετε χέρι για να έχω μία αίσθηση γιατί σκέφτηκα αρχικά για να προχωρήσω λίγο γρήγορα να μοιράσω, αλλά φοβήθηκα μη σας δημιουργήσω λάθος εντυπώσεις, να μοιράσω έτσι ένα ερωτηματολόγιο να δω μερικές από αυτές τις έννοιες πόσο καλά τη συστημάστε από το Λίκιο και δεν χρειάζεται πολύ μεγάλη επανάληψη από μένα. Αλλά φοβήθηκα μήπως το πάρετε στραβά και αγχωθείτε ότι δώσατε διαγώνισμα και κάτι τέτοια. Ήθελα να μοιράσω να ακούει και να κάνω διάφορες ερωτήσεις μεταξύ των οποίων μια τέτοια ερώτηση θα ήθελα να ξέρω αν αυτό το ξέρετε να μην το συζητήσουμε καθόλου να προχωρήσουμε λοιπόν. Οι υπόλοιποι που δεν σηκώνετε χέρι σημαίνει ότι δεν το θυμάστε αυτό θέλω να ξέρω εσείς δεν το θυμάστε που δεν σηκώνετε ή απλώς δεν θέλετε να ασχοληθείτε. Να σου το πω. Το θυμάστε αυτό ήθελα να καταλάβω. Άρα λοιπόν όλοι το ξέρετε απλώς ορισμένοι αποφασίζεται να είστε ομιλητικοί και ορισμένοι αποφασίζεται να μην είστε. Θα μου το πείτε. Πολύ ωραία. Αυτό ξέρετε να το αποδείξετε ή το θυμάστε απλώς το δεύτερο. Θυμάστε πως αποδεικνύεται. Ποιοι από εδώ μέσα θυμώνται το δεύτερο πως αποδεικνύεται. Το θυμάστε. Χωρίς να είσαι σίγουρος. Εντάξει το θυμάστε χωρίς να είσαι σίγουρος. Άλλος. Εσείς το θυμάστε και είστε σίγουρος. Ναι. Μπράβο. Άλλος. Το θυμάστε και είστε σίγουρος. Το περίπου είναι ελληνική σιγουριά. Εσείς το θυμάστε και είστε σίγουρος. Με γερμανική σιγουριά ή με ελληνική. Δεν ξέρω εγώ με Έλληνας. Αλλά εάν είσαι σίγουρος θα το θυμάσαι. Οκ. Έλα να το αποδείξεις. Σήκω. Θες να σηκωθείς ή δεν θέλεις. Μπορώ να σας το πω. Μπορεί να μου το πεις. Ωραία. Για πες μου τι θα κάνουμε. Να πάρουμε λοιπόν δύο ευθείες. Μία είναι αυτή η πρώτη και η άλλη είναι η κάθετος. Είναι αυτή. Ωραία. Αυτές οι δύο είναι κάθετες μεταξύ τους και θέλουμε να αποδείξουμε ότι ισχύει αυτή εδώ η σχέση. Τι θα κάνουμε. Θα πάρουμε ένα διάνυσμα πάνω σε κάθε ευθεία. Από πού θα το διάνυσμα. Από εδώ ή από εδώ. Βασικά μπορούμε να βρούμε το σημείο των δύο ευθείων. Αυτό είναι. Και να πάρουμε ένα διάνυσμα πάνω σε κάθε ευθεία. Ναι. Στη συνέχεια. Άρα το διάνυσμα είναι α1 το 1, α1 το 1 και α2 το άλλο. Ωραία. Ωραία. Στη συνέχεια θα πάρουμε αφού. Πώς ορίζεται όμως το διάνυσμα που ακολουθεί μια ευθεία. Μπήκαμε σε άλλο θέμα. Αυτό έχει το συντελεστή διεύθυνσης που έχει ευθεία. Δηλαδή το συντελεστή διεύθυνσης του διάνυσματος είναι. Το μη 1 ας πούμε στο πρώτο διάνυσμα και το μη 2 στο δεύτερο διάνυσμα. Άρα πώς θα το γράψουμε ένα διάνυσμα όταν ξέρουμε. Όταν είναι το 1 φα 1 που ξέρουμε το συντελεστή διεύθυνσης. Πώς θα το γράψουμε. Πώς θα το γράψουμε. Ή μάλλον να μη σε διακόψω. Συνεχίσεις όπως θέλεις. Άρα το 1 λοιπόν ακολουθεί το συντελεστή διεύθυνσης του ενός της μιας ευθείας και το άλλο της άλλης. Παρακάτω. Άρα το 1 είναι. Λοιπόν. Να μη χάσουμε χρόνο. Έχω την εντύπωση ότι και αυτοί όλοι που το θυμόσαστε, το θυμόσαστε σαν μια πληροφορία. Αυτό θέλω να καταλαβαίνω. Εγώ τελικά θυμόμαι ότι παίρνουμε στον πρασταδιανισμό ότι το εσωτερικό γεννόμενο κάνει μη δε. Και από αυτή τη σχέση μετά διαιρούσαμε παντού με χύτα χωρίζαμε και έβγαινε ότι δημιουργούνταν στιγμή στο ένα μέλος της τελευταίας διεύθυνσης της μιας και στο άλλο τελευταία διεύθυνσης της άλλης. Αυτό το φιένα είναι ίσο με αυτό το φιένα. Έτσι όπως έχω κατασκευάσει τα τρίγωνα. Τα τρίγωνα είναι α, β, γ και δ. Οπότε παίρνοντας μη ένα, για αυτήν την ευθεία δηλαδή, είναι η εφαπτομένη του φιένα. Η οποία είναι το α διηρυμένο με το h. Από την άλλη, η εφαπτομένη είναι αυτή, αλλά επειδή είναι το 180μιον φι2, το μιον της εφαπτομένης είναι του φι2, αλλά το εξωτερικό εδώ πέρα αυτό το μάσουμε φι2 τόνους. Αυτό είναι 180μιον. Οπότε είναι το φι2 θα γράψω εδώ πέρα, όχι φι2 τόνους θα γράψω. Και αυτό είναι μιον, αυτό εδώ πέρα είναι hδ για αυτήν εδώ την γωνία. Η οποία είναι συμπληρωματική της f2 που είναι το m2. Δηλαδή το m2 είναι το, το m2 είναι ίσον με την εφαπτομένη του φι2. Η οποία είναι μιον η εφαπτομένη του fτόνους, ή αν θέλετε βγάλτε τη 3 αυτή εδώ. Βάλτε την 3. Οπότε θέλω να βάλουμε 3. Άρα λοιπόν αυτή η f3 είναι το f2 εδώ πέρα, δηλαδή είναι 180μιον, το f2 γράφεται, η εφαπτομένη γράφεται 180μιον f3, το οποίο είναι μιον ταφ 1 f3. Οπότε εδώ πέρα αυτό το ταφ 1 το μιον το κρατάμε, το ταφ 1 το f3 είναι hδ. Θα το γράψω λίγο πιο καθαρά γιατί εδώ πέρα μπήκε μέσα στην άσκηση. Λέω λοιπόν, αυτά υπάρχουν όπως σας είπα και στο βιβλίο σας, λέω ότι το m2 είναι η εφαπτομένη του f2 που είναι αυτή εδώ. Αυτό όμως είναι ίσον με μιον την εφαπτομένη της f3, η f3 είναι η συμπληρωματική της f2. Η εφαπτομένη της f3 είναι ίσον με μιον, η εφαπτομένη της f3 είναι hδ. Εάν πολλαπλασιάσετε το 1m1 και το m2 στη μια φορά είναι αδ, το άλλο είναι μιον hδ, οπότε θα βγει το μιον 1. Θα σε παρακαλέσω, επειδή είναι απλή η ερώτηση και γενικότερα θα το κάνω αυτό πιο συστηματικά, να το σκεφτείς. Εντάξει, και αν δεν το βρίσκεις θα το συζητήσουμε πάλι. Θέλω να παρακαλέσω αυτό το πράγμα να το κάνουμε όχι ότι δεν θα σας σταματήσουν να κάνετε ερωτήσεις, αλλά θέλω να μεταφερθούμε σε ένα χώρο να σας παρακαλέσω κάτι για να σας βοηθήσω. Εύκολα εγώ απαντούσα, εύκολα γιατί ήταν τα ομία τρίγωνα εκεί πέρα και σύγκρινα τις γωνίες, μπορούσαμε να το απαντήσει το συνάδελφα σας, αλλά θέλω να κερδίσουμε κάτι. Θέλω να κερδίσουμε κάτι το οποίο θα σας μείνει και θα είναι πάρα πολύ ενδιαφέρον. Ενώ για το λόγο ότι είχατε μια πίεση χρόνου στο να φτάσετε στις συγκεκριμένες εισαγωγικές εκστάσεις και να γράψετε άριστα, οι ερωτήσεις σας μεταφέρονταν σε άλλους για να πάρετε γρήγορες απαντήσεις, να προλάβετε να καλύψετε την ύλη ή είχατε μια πίεση χρόνου. Ήταν αδεδομένη αυτή. Οπότε ήταν πάρα πολύ καλό να μεταφέρετε ό,τι σας έρχεται σαν απορία σε μια ερώτηση, την οποία ερώτηση να τη δίνετε σε κάποιον άλλον. Με αυτόν τον τρόπο κερδίζατε χρόνο, γιατί το να την ψάξετε μόνη την ερώτηση, πρώτον θα χρειάζεται πολύ χρόνο. Μπαίνουμε τώρα στο Πανεπιστήμιο. Εάν κρατήσουμε αυτή την πρακτική, διώχνουμε τη δυνατότητα να σκεφτόμαστε και να λύνουμε τις ερωτήσεις μας μόνοι μας. Που ουσιαστικά, αν τελειώσετε ένα κύκλο σπουδών, και αυτόν τον κύκλο σπουδών, άντε και ένα ακόμα, θα φύγετε από την επιρροή διδασκάλων. Οπότε, θα μπείτε σε μια περιοχή που ο σκοπός που είστε εκεί, δεν είναι να τρέξετε γρήγορα να καλύψετε την ύλη για να περάσετε τις εξετάσεις. Που ήταν ο στόχος στις αγωγικές. Στόχος λοιπόν μετά είναι να διαχειριστείτε τις ερωτήσεις σας με δικές σας δυνάμεις. Σίγουρα θα κάνετε λάθη. Σίγουρα θέλετε να τις συζητήσετε. Αλλά θα προτιμούσα να μου πει ο συνάδελφός σας, νομίζω ότι αυτό συμβαίνει για αυτό το λόγο. Συμφωνείτε? Μια άλλη ερώτηση. Στην οποία εγώ σκέφτηκα, έχω μια απάντηση, δεν είμαι σίγουρος και θέλω να την ελέγξω μαζί σου. Γιατί μας προετοιμάζει σε αυτό το γνωστό πεδίο να πάμε έτσι. Γιατί αύριο θα μπούμε σε προβλήματα που ούτε εγώ θα την ξέρω την απάντηση. Τι θα κάνουμε τότε, δηλαδή και τι σημασία έχει που με ρωτήσατε. Αυτό το έζησα εγώ μόλις έφτασα στις Ηνωμένες Πολιτείες σαν φοιτητής. Μου δώσανε μια δουλειά να κάνω για το διδακτορικό μου και μου είπανε έλα σε 10 μέρες να κουβεντιάσουμε. Μου δώσανε ένα πρόβλημα. Εγώ θεώρησα ότι είμαι ακόμα μαθητής. Ότι θα έπρεπε για να το λύσω, δηλαδή ότι αυτός ήξερε τη λύση. Και μου το είχε δώσει εμένα για να δει πόσο καλός είμαι. Όπως νομίζετε ότι εσείς αυτό κάνουμε τώρα εδώ πέρα. Πήγα λοιπόν έτσι με όλη την αφέλεια που είχα και είπα δεν ξέρω από πού να αρχίσω. Δεν με βοηθάτε λίγο. Και γυρνάει με ένα χαμόγιο και μου λέει, μα άμα ήτανε να σε βοηθήσω γιατί να στο δώσω εσένα. Θα το είχα λύσει μόνος μου και θα το είχα δημοσιεύσει. Το γεγονός ότι απευθύνθηκα σε εσένα είναι ότι δεν ξέρω πώς να το λύσω. Άρα πάμε σε αυτή την περιοχή. Δηλαδή όταν θα κάνετε κάτι περισσότερο από μαθήματα, θα μπείτε σε μια περιοχή που ο καθηγητής σας έβαλε μια ερώτηση που κι αυτός δεν ξέρει την απάντηση. Το μόνο που μπορεί να κερδίσετε συζητώντας μαζί του, είναι να δείτε μήπως βρίσκει τη σκέψη σας που είναι λάθος, όχι να σε στηλήσει αυτός, διότι αν ας πρόκειται να ασχοληθεί όσο θα ασχοληθείτε εσείς, δεν θα έδινε τίποτα πρόβλημα σε εσάς. Άρα λοιπόν, γιατί τα είπα όλα αυτά. Χειριστείτε τις ασκήσεις που έχετε μπροστά σας, χωρίς να πάτε να διαβάσετε τις λύσεις που είναι έτοιμες από πάνω. Βλέπετε οι ομάδες ασκήσων ας πούμε στο 2013, έχει ομάδα και έχει και τις λύσεις από κάτω. Όποιος λοιπόν κατεβάσει τις λύσεις πρώτα για το 2013, της περασμένης χρονιάς, ασκήσει και τις διαβάσει, έχασε. Ποιος θα ήταν ο πιο έξυπνος, να πάρει τις ερωτήσεις πρώτα, να τις δουλέψει, να διαμορφώσει άποψη και να πάει να δει τις λύσεις. Γενικά λοιπόν δεν διαβάζουμε και γενικά δεν παίρνουμε έτοιμο υλικό από κανέναν, χωρίς να το φιλτράρουμε εμείς. Με αφορμή αυτήν την πολύ ωραία ερώτηση του συναντέλφου σας, έκανα αυτήν την συμπληρωματική παρέμβαση για να σας δείξω, να δούμε σιγά σιγά τι αλλάζει στο τοπίο μας από το ΛΟΚΙΟ στο Γυμνάσιο, στο πανεπιστήμιο. Αλλάζει στο ότι διαχειριζόμαστε το άγνωστο με τελείως άλλο τρόπο. Λοιπόν, μπορείτε λοιπόν να συνεχίσετε, αν συγκρίνετε τα τρίγωνα αυτά, απαντώντας τώρα στην ερώτηση, θα δείτε ότι τα δύο αυτά τρίγωνα έχουν τις δύο αυτές γωνίες ίσες, μελετώντας το λίγο πιο προσεκτικά. Λοιπόν, άλλη ερώτηση, πέστε μου. Εγώ νομίζω ότι δεν είχα τις πλευρές σου να... Ναι, ναι, ναι, όχι, δεν ήταν αυτό. Δεν νομίζω ότι δεν μπορείτε να το βρείτε, απλώς ο συναντέλφος, νομίζω ότι περισσότεροι το βλέπετε, επειδή έχουν τις πλευρές σας κάθε, φυσικά, και θέλαμε να δώσουμε λίγο χρόνο να το κάνει και εκείνος μόνος του, γιατί το θεώρησα πολύ απλό. Λύνεται και έτσι όπως το είπες εσύ, αλλά απλώς δεν το έχεις διαμορφώσει. Θα θέλαμε να δώσουμε λίγο την αποδείξη μια από την Άρισα. Βεβαίως θα την τελειώσεις. Βεβαίωσέ, βεβαίωσέ, βεβαίωσέ, έχεις απόλυτο δίκιο. Λοιπόν, θέλουμε ένα διάνισμα, θέλουμε ένα διάνισμα να το γράψουμε, όταν ξέρουμε την κλήση του. Ας θεωρήσουμε χ1, ψ1 συνδεταγμένος σε ένας διανείσματος και χ2 ψ2 συνδεταγμένος σε άλλο διανείσματος. Κάτσε να το γράψω, χ1, χ2 ήθελες το 1. Χ1, ψ1 το 1, χ2, ψ2 το 2. Πολύ ωραία. Αφού είναι κάθετα σημαίνει το εσωτερικό γινόμενο είναι 0. Χ2, μη βιάζεις ε, μη βιάζεις, εγώ γράφω κιόλας. Έχουμε αναλύσει λοιπόν αυτά τα δύο διανείσματα λέει ο συναδερφός σας, το σύστημα συνδεταγμένον το καρτεσιανό. Το ένα έχει συνιστώσεις χ1 ψ1 και το άλλο έχει συνιστώσεις χ2 ψ2. Δηλαδή τι έχει κάνει, τα έχει πάρει από εκεί που είναι από εκείνο το σημείο, έχει φτιάξει έναν άξονα. Να το ένα διάνισμα το α1, να το άλλο διάνισμα το α2. Και τα έχει αναλύσει σε ένα καρτεσιανό σύστημα συνδεταγμένον που είναι το ψ και το χ. Προχωράμε. Ωραία. Με τη στιγμή που είναι κάποτα ανοίγουμε το εσωτερικό γινόμενο 0. Άρα χ1 χ2 σύμψει 1 ψ2 στο 0. Ωραία. Και από αυτή τη σχέση μπορούμε να γράψουμε ότι χ1 χ2 ίσον με μία ψ1 ψ2. Συνεχίζει να κάνει πράξεις τώρα ο συναδερφός σε αυτό το εσωτερικό γινόμενο. Να τον παρακολουθήσουμε. Να κάνει αυτό το εσωτερικό γινόμενο έτσι δηλαδή γράφει χ1 εχ σύμψει 1 εψιλον ψ. Το 1 διάνισμα εσωτερικά με το χ2 εχ σύμψει 2 εψιλον ψ. Αυτό λοιπόν το εσωτερικό γινόμενο δίνει 0. Οπότε κάνοντας τις πράξεις θα βγάλουμε από εδώ. Χ1 επί το χ2 θα έχουμε χ1 χ2. Αυτό τα διάνισματα είναι κάθετα μεταξύ το εσωτερικό γινόμενο είναι μονάδα. Συν ψ1. Το άλλο το εψιλον χ με το εψιλον ψ θα δώσει μηδέν γιατί αυτά είναι παράλληλα ήθελα να πω. Και αυτά είναι κάθετα μεταξύ το δώσουν μηδέν. Οπότε θα έχει το ψ1 ψ2 ίσο με το μηδέν. Πολύ ωραία. Άρα θα είναι δοστικά θα το πάμε πριν να βρελίξουμε χ1 χ2 ίσον με μία ψ1 ψ2. Χ1 χ2 ίσον με μία ψ1 ψ2. Πολύ ωραία. Και τώρα διαιρούμε με τον πρώτο όρο και τα δύο μέλη της εξίσουσης. Πολύ ωραία. Χ1 χ2 διά ψ1 ψ2 ίσον με μία 1. Και τώρα θα παρατηρήσουμε ότι το ψ1 προς χ1 είναι ο συνταληστής διέθνυσης και ο ένας διανύσματος. Πάρα πολύ ωραία. Και αφού η συνταληστή διέθνυσης θα πλήζουμε στον συνταληστή διέθνυσης της αυτιάς, αποδείξουμε ότι τα δύο αυτιάς είναι κάτω, στον συνταληστή διέθνυσης είναι μία 1. Μπράβο Αργύριο. Λοιπόν, άψογος, το καταλάβατε όλοι, δεν ξέρω αν έχετε όλοι... Κάνατε διανύσματα στο Λίκιο. Ναι. Κάνατε εσωτερικά γινόμενο. Όλα αυτά είναι γνωστά δηλαδή που πω Αργύριο, έτσι. Λοιπόν, πέστε μου την ερώτηση. Εντάξει, αυτό όμως, ναι. Έχει δίκιο ο συμβιδητής σας, έπρεπε να διαιρέσω Ψ1 Ψ2 δια Χ1 Χ2, ίσο με μειον 1, να έχουμε Ψ1 δια Χ1, επί Ψ2 δια Χ2, ίσο με μειον 1, αυτό είναι το M1 και αυτό είναι το M2, ίσο με μειον 1. Μια πολύ γενική και πολύ ωραία λύση. Συμφωνείτε? Ευχαριστούμε πάρα πολύ. Προχωράμε. Άλλες ερωτές υπάρχουν σε αυτό. Όχι, το κλείσαμε. Λοιπόν, άρα την ευθεία την έχουμε αφομοιώσει. Μιλήσαμε για τη συνάντηση την γραμμική. Η τετραγωνική συνάντηση ποια θα είναι. Πιλάμε για τάξη στο πολυόνυμο. Αν σταματήσω στον πρώτο λέγεται γραμμική. Αν σταματήσω στον δεύτερο όρο λέγεται τετραγωνική. Αν σταματήσω στον τρίτο λέγεται κυβική. Άρα λοιπόν, όταν ακούτε αυτές τις εκφράσεις, θα έχετε αντίστοιχα αυτό το πράγμα στο μυαλό σας. Ωραία, τα αφήνουμε λοιπόν το πολυόνυμο. Αφήνουμε... Και τώρα σας είπα επίσης ότι η γραφική παράσταση, πέρα από τη γραμμική, θέλει δουλειά. Και θέλω να μπείτε ή να προσπαθήσετε να πάρετε ένα από τα προγράμματα που απεικονίζουν γραφικά συναρτήσεις. Και μια και θα το κάνετε στον πληροφορική, ψάξτε λίγο να βρείτε προγράμματα, πώς θα μπορείτε να βράτε προγράμματα όπως τη μαθημάτικα ή άλλου τύπου προγράμματα συναφεί. Και εξηγηωθείτε πώς δίνοντας μια συναρτήση μπορεί το πρόγραμμα να σας τη ζωγραφίσει. Λοιπόν, να φύγουμε λοιπόν από εκεί και να μπούμε σε κάτι πολύ ενδιαφέρον που έχει να κάνει με τις συναρτήσεις που επειδή υπάρχουν, όπως είπαμε, πολλών ειδών τέτοιων συναρτήσεων, να μην ασχοληθώ περισσότερο. Ένα πράγμα που θα ήθελα να συζητήσουμε είναι όταν ξέρω μια συναρτήση F του X μου τη δώσετε αυτή τη συναρτήση και έχω και τη γραφική της παράσταση, παραδείγματος χάρη είναι η Χ τετράγωνος, πάρω μια απλή συναρτήση όπως αυτήν, που την ξέρουμε πως είναι η γραφική της παράσταση, έτσι το F του X ίσον Χ τετράγωνο, τη ζωγραφίσαμε κιόλας και τώρα αν θα μπορούσαμε να γράψουμε Χ συν δύο και όλο στο τετράγωνο, έχω μετατοπίσει τον άξονα με το δύο, αυτή η γραφική παράσταση που έχω μετατοπίσει το Χ συν δύο, δηλαδή αν την έχω Χ τετράγωνο, έχω Χ συν δύο στο τετράγωνο, αυτή η γραφική παράσταση, αργή θα αφήσει και κάποιον άλλο να απαντάει, έτσι αγόρι μου. Ευχαριστούμε πάρα πολύ. Λοιπόν, δεν το έπαγε αυτή τη στιγμή, μη βιάζεσαι, γιατί τους άλλους δεν το σκέφτον, έτσι μπράβο. Ο συνάδελφός σας λοιπόν λέει ότι η Χ συν δύο και όλο στο τετράγωνο, αν τον κατάλαβα καλά, θα είναι αυτή λέει, η Χ συν δύο και όλο στο τετράγωνο. Συμφωνείτε μαζί του. Πείτε μου. Νομίζω ότι μετακινήθηκε στη αστερά κρατιότητα. Το βλέπετε κι εσείς τώρα, όχι. Ο συνάδελφός σας προτείνει ότι η λύση αυτή εδώ είναι το δύο, το Χ συν δύο και θέλει να μετατοπίσουμε κατά δύο μονάδες. Δεν είμαι πολύ καλός στη ζωγραφική. Αν ήμουν καλός στη ζωγραφική θα είχα καταλήξει... Τι διάλεξε να πάει στο αριστερό ή στο δεξί αυτό. Πώς δηλαδή αποφασίσαμε γιατί πήγε αριστερά και όχι δεξιά. Αυτό δηλαδή ποιο θα είναι αυτή η συνάντηση που θα έχει μετατοπιστεί στο δεξί μέρος δύο και όχι μίον δύο. Από εδώ προσπαθήσαμε να βρούμε το Χ ίσον με μηδέν. Να δούμε δηλαδή πού μηδενίζεται, πού πάει το μηδέν. Όπως βρίσκουμε εδώ ότι εδώ είναι η αρχή των αξώνων, πρέπει να βρούμε και εδώ που είναι το μηδέν. Οπότε βάζοντας το Χ συν δύο ίσον με μηδέν, βρήκαμε ότι το Χ στο σημείο που πρέπει αυτό να συνδένει είναι το Χ ίσον με μηδέν δύο και είχατε απόλυτο δίκιο γι' αυτό που μου είπατε. Αν ήθελα όμως να τη μετατοπίσω από την άλλη μεριά, τι θα έγραφα. Πέστε μου εσείς. Χ μηδέν δύο. Πάρα πολύ ωραία, αυτό το αφομοιώσαμε. Και αν θέλουμε να κάνουμε αυτό που λέει ο συνάδελφός σας, πώς θα το κάνουμε. Θα τη μετατοπίσουμε στον άξονα τον ψ, κατά ένα σε ας πούμε, κατά δύο. Τι θα γράψουμε σε αυτή τη συνάντηση. Εσείς πέστε μου, εσείς. Ναι. Θεοδοσία. Ναι Θεοδοσία. Και είναι η Θεκράοδο Συνσέ. Συνσέ. Άρα λοιπόν ή Συν δύο αφού μιλάμε για τα διάρκεια, ή Συνσέ ο γενικότερος. Σωστά, συμφωνείτε με Θεοδοσία. Ωραία, πάρα πολύ όμορφα. Άρα λοιπόν έχουμε αυτές τις μετατοπίσεις και γενικά δεν θα επιμείνω περισσότερο. Είναι γνωστά σας πράγματα, βλέπω ότι είστε όλοι ακόμα και αυτοί που δεν σηκώνουν χέρι, καταλαβαίνω από εδώ που σας κοιτάζω ότι αυτά τα ξέρετε. Οπότε αυτές οι μετατοπίσεις των γραφικών παραστάσεων δεν αποτελούν για μας ένα δύσκολο θέμα. Τώρα να σας πω μια άλλη συνάντηση, η οποία θα ήθελα να μου πείτε για να γυρίσουμε, ας μη φάρμε όλο χρόνο. Ήθελα να μελετήσετε στο σπίτι κάτι. Ήθελα να μελετήσετε αυτήν εδώ τη συνάντηση στο σπίτι που λέει 5xsin3, γράψτε τι να διδουλέψετε στο σπίτι, x τετράγωνο-2xsin1 και θέλουμε σε αυτήν τη συνάντηση να βρούμε το πεδίο ορισμού της. Οπότε πρέπει να τη δουλέψετε, να την ξαναδιαβάζω, 5xsin3 και ο παρανομαστής είναι x τετράγωνο-2xsin1. Θέλω να βρείτε το πεδίο ορισμού της αλλά όχι εδώ στο σπίτι και θα το συζητήσουμε ή θα μου το πείτε στο επόμενο μάθημα. Λοιπόν, έχουμε τις άρτιες και τις περιττές συναρτήσεις, όλα αυτά τα θεωρώ γνωστά, δεν θα καθίσουμε να ασχοληθούμε άλλο. Και η παράκληση που την έκανα ήδη, θέλω να σας παρακαλέσω να αρχίσετε δύο τύπους προγραμμάτων. Θα επιμένω στην επαιδεία σας στους υπολογιστές διότι η πληροφορική άνοιξε ένα τεράστιο παράθυρο στη φυσική και σε όλες τις επιστήμες. Οπότε το να μείνουν οι φυσικοί έξω από τη χρήση της πληροφορικής με μεγάλη άνεση θα είναι ένα μεγάλο μίον. Όπως ένα μεγάλο μίον είναι, όταν γνωρίζετε μία ξένη γλώσσα, τα αγγλικά, παραδείγματος χάρη, κυρίως τα αγγλικά, ότι άλλο ένα μίον είναι να μην εμφανίζεστε πολύ καλοί γνώστες ενός πολλών μαθηματικών πακέτων, της MATLAB, της μαθημάτικα. Και επίσης το πιο σημαντικό πρέπει να μάθετε να γράφετε ό,τι έχετε να δώσετε και να πείτε στη σεργασία σας, να μάθετε να το γράφετε με πακέτα που μπορούν να διαχειριστούν κείμενα, κειμενογράφους. Ο Word ας πούμε πρέπει να είναι άνετος εσάς, έχει μία δυσκολία βέβαια ο Word γιατί οι μαθηματικές εκφράσεις γράφονται πάρα πολύ δύσκολα. Χρειάζεται ειδικό πρόγραμμα, υπάρχει, λέγεται MathType, το μπορεί να το συμπληρώσετε απάνω στο Word για να γράφετε μαθηματικές εκφράσεις. Αυτά όλα θα τα πείτε και στο εργαστήριο πληροφορικής. Υπάρχει και ένα άλλο πρόγραμμα που δεν το διδαχτείτε στο εργαστήριο πληροφορικής που όσοι από εσάς συνηθίσατε να μαθαίνετε μόνοι σας και θέλω να το αποκτήσετε αυτή την ιδιότητα. Θέλω δηλαδή να ανακοινώνω εγώ πράγματα, να σας λέω πράγματα, να τα σημειώνετε και να τα ψάχνετε μόνοι σας. Το θέλω αυτό το πράγμα, θέλω το επιδιώκω αυτό. Θέλω να σας αφήσω μια λέξη που λέγεται ένα πρόγραμμα που λέγεται LaTech, ψάξτε το μόνοι σας και βρέστε πως μπορείτε να διαχειριστείτε κείμενα μέσα από αυτό το πρόγραμμα, είναι ελεύθερο. Ο editor που γράφουμε κείμενα σε αυτό δεν είναι ελεύθερος, είναι μερικά, είναι μερικά, δεν είναι, υπάρχουν και editors οι οποίοι είναι ελεύθεροι. Όλοι οι επιστήμονες όπως θα γίνουν, όπως είσαστε και εσείς τώρα, θα γράφουν κείμενα με αυτό το πρόγραμμα, με το LaTech. Έχει πάρα πολύ εύκολη διαχείριση στις μαθηματικές εκφράσεις. Λοιπόν, προχωράμε τώρα και το επόμενο θέμα που θέλουμε να φτιάξουμε μια απλή εικόνα, όχι πολύπλοκη στο μυαλό μας, είναι ότι όταν έχουμε, ποιες είναι, αν σας δώσω μια συνάρτηση, παραδείγματος χάρη τη συνάρτηση f του x ίσον x τετράγωνο και ζητήσω σε αυτή τη συνάρτηση και το x να είναι μεγαλύτερο του μηδενός, το έβαλα αυτό για ένα πολύ σημαντικό λόγο, θέλω να πάρω μια συνάρτηση σαν αυτή, το x είναι μεγαλύτερο του μηδενός, είμαστε στο θετικό αριθμό, είμαστε εδώ, και αυτή τη συνάρτηση μπορώ εγώ να βρω την αντίστροφη αυτής της συνάρτησης. Να μου πείτε ποια είναι η αντίστροφη συνάρτηση στη συνάρτηση x τετράγωνος. Αντίστροφες συνάρτησης έχετε γνωρίσει στο Λύκιο, έτσι δεν είναι? Άρα λοιπόν ξέρετε πώς να βρείτε την αντίστροφη, ιδιαίτερα πρώτο πράγμα πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι η συνάρτηση στο πεδίο που θέλουμε να την αντιστρέψουμε είναι μονότιμη. Σωστά? Άρα εδώ το εξασφαλίσαμε, έχουμε αυτή τη συνάρτηση, το x είναι θετικό, πες μου ποια είναι η αντίστροφη αυτής της συνάρτησης, οπότε και αυτό με πολύ γρήγορα να το προχωρήσουμε. Είναι η ριζα x. Άρα λοιπόν μέσα στο βιβλίο σας λέει ότι αν θέλετε να αντιστρέψετε μια συνάρτηση, λύνετε το x θα είναι τετραγωνική ρίζα του ψ και μετά αντιστρέφετε, αλλάζετε τη θέση αυτών των δύο και γράφετε ότι η αντίστροφη συνάρτηση που ψάχνατε είναι ψ ίσον ριζα x. Αυτή είναι η μεθοδολογία η οποία λέει το βιβλίο ότι πρέπει να κάνετε σε μια συνάρτηση. Δηλαδή πρώτα λύνετε ως προς χ, τη συνάρτηση ψ ίσον ριζα x τη λύνετε ως προς χ και αφού τη λύσετε ως προς χ αντιστρέφετε τις θέσεις του ψ και του x και φτιάξετε την αντίστροφη συνάρτηση που είναι όπως μας είπε ο συνάδελφός σας ψ ίσον τετραγωνική ρίζα του χ. Τα ξέρετε τα υπενθυμίζω και προχωράμε. Συμφωνώ με. Όσοι δεν τα ξέρουν γράφουν στο τετράδι ότως και είναι πάρα πολύ θεμητό αυτό να επαναλάβω στο βιβλίο του Λυκείου ή οπουδήποτε τις είχατε δει πρώτη φορά πως φτιάχνουμε αντίστροφες συναρτήσεις. Το βιβλίο του Λυκείου έχει τα πάντα από αυτά που θα πω για κάποιο διάστημα. Πιθανότητα να είναι να μας πάει αρκετά μέχρι να πάρουμε τον εύδοξο. Οπότε μην το πετάτε το βιβλίο που μιλάει για τις συναρτήσεις μιας μεταβλητής και την ανάλυση μην το πετάτε αυτό το βιβλίο του Λυκείου είναι πάρα πολύ χρήσιμο και μάλιστα αν σας βάλω εξετάσεις, ασκήσεις από εκεί μέσα υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να μην γράψει κανένας. Άρα δεν το υποτιμούμε το βιβλίο αυτό και το γεγονός ότι κάποια στιγμή θα ξέρατε όλα πάρα πολύ καλά δεν σημαίνει ότι και τώρα τα θυμάστε το ίδιο καλά και θέλετε μια επανάληψη. Αυτή η επανάληψη όμως που θα κάνετε τώρα δεν θα έχει τα ίδια χαρακτηριστικά του διαβάσματος του Λυκείου. Θα έχει τα χαρακτηριστικά ότι πάω στο βιβλίο του Λυκείου να διαβάσω αυτό που δεν το ξέρω, που δεν το θυμάμαι, τις αντίστροφες συναρτήσεις. Άρα να την μπορεί να κάνει κάποιος που ξέρει τι θέλει. Δεν πήραμε αυτό το παράδειγμα, όλοι το ξέρουν τις αντίστροφες συναρτήσεις αλλά λέμε τώρα. Πες ότι δεν θυμάστε τι είναι οι αντίστροφες συναρτήσεις, δεν θυμάστε τις δύο κάθετες ευθείας και δεν σας έπεισα εγώ με αυτά που είπα εδώ πέρα ούτε εγώ το αργύρισα. Εκείνο λοιπόν που θα πρέπει να κάνετε είναι να πείτε πάω σε ένα βιβλίο να βρω αυτό το βράγμα, στο βιβλίο του Λυκείου να βρω τις αντίστροφες συναρτήσεις. Ωραία, τις αφήνουμε και αυτές και μπαίνουμε σε δύο τύπου συναρτήσεων διαφορετικές, οι οποίες περιγράφουν περί έργος ό,τι συμβαίνει στη φύση. Παραδείγματος χάρη, για κάποιο λόγο η φυσική είναι γεμάτη, το ένα πράγμα που είναι γεμάτη είναι οι περιοδικές κινήσεις. Δηλαδή αν σκεφτείτε, δύο τύπους φαινόμενα στα οποία πρέπει να προσαρμόσουμε συναρτήσεις υπάρχουν στη φύση χοντρικά, πολύ χοντρικά το λέω. Το ένα είναι οι περιοδικές κινήσεις, έτσι, άρα πρέπει να έχουμε μεγάλη άνεση στη διαχείριση και στη χρήση των περιοδικών συναρτήσεων. Γι' αυτό και το βιβλίο, για να σιγουρευτεί ότι καταλαβαίνετε πολύ καλά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, το βιβλίο που θα πάρετε, έχει αφαιρώσει πάρα πολύ χρόνο. Και θέλω να σας παρακαλέσω τις ταυτότητες της τριγωνομετρικές και οτιδήποτε είχατε μάθει για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις να γυρίσετε πίσω, θα σας πω μερικά πράγματα σήμερα, να τα επαναλάβετε από εκεί που τα είχατε μάθει. Τώρα προσθέξτε κάτι, υπάρχουν ορισμένα πράγματα τα οποία εγώ είμαι ο παδός της άποψης ότι το να θυμάμαι πράγματα όσο λιγότερα θυμάμαι και όσο περισσότερα θυμάμαι τις αποδείξεις τους τόσο πιο καλός είμαι. Γιατί μεθοδολογικά έχω μάθει πολύ περισσότερα αν θυμάμαι την απόδειξη για το μη 1 επί μη 2 ίσον μη 1 και δεν θυμάμαι τον τύπο πώς είναι το μη 1 επί μη 2. Πήρα ένα παράδειγμα. Εδώ εσείς έχετε κάνει το αντίστροφο, θυμάστε ορισμένα πράγματα αλλά δεν θυμάστε πώς αποδεικνύονται. Αυτές οι μήμες θα φύγουν. Γιατί αν προσθεθούν ηλεκτρομαγνητισμός, κλασική μηχανική, νόμι του Νεύτωνα, δος του Πάρτα κτλ, συναρτής Μάξιγουλ, τι θα θυμάστε τώρα, θα χαθείτε να θυμάστε πώς τον τύπο του μη 1 επί μη 2 ίσον μη 1 είπα τώρα. Γι' αυτό λοιπόν παρατηρούνται φαινόμενα να δίνουν φοιτητές εξετάσεις στο τέλος των σπουδών τους που για κάποιο λόγο άφησαν τη γενικά μαθηματικά πίσω τους για πολλά χρόνια και είναι στο 5ο έτος και ρωτάνε πράγματα που δεν το πιστεύετε ότι μπορεί να τα ρωτάνε. Τώρα θα σας φανεί αστείο που δεν το θυμώνει. Δεν θυμώνται παραδείγματος χάρη το ημήτωνο του α' συν β πώς αναπτύσσεται. Δεν θυμώνται ότι το ημήτωνο χ τετράγωνο χ συν ημήτωνο τετράγωνο χ είναι ίσο με τη μονάδα. Δεν τα θυμώνται αυτά. Αυτό είναι λάθος. Υπάρχουν πράγματα σε αυτά που διαβάζετε τα οποία εγώ θεωρώ ότι πρέπει να τα βάλετε σε μια κατηγορία που αυτά πρέπει να τα θυμάμαι. Δηλαδή δεν μπορείς να κάνεις φυσική χωρίς να θυμάσαι ορισμένα πράγματα όπως πραγματικά το μη επί, η μάζα επί την επιτάχυση στο ιδύναμι. Ο νόμος του Νεύτωνα, η δύναμη του Νεύτωνα στη βαρύτα. Τζι Επιέμ Επιέμ Διάρ τετράγωνο. Αυτά θα τα θυμάσαι. Αλλιώς θεωρώ ότι δεν έχεις κάνει καλά τη δουλειά σου. Αλλά υπάρχουν και πράγματα τα οποία θα λες αυτό θα τα αποδικοινύω. Δεν θα το θυμάμαι. Κάτι θέλατε να ρωτήσω. Αυτό είναι άλλο ένα θέμα τώρα. Μπράβο. Αυτό δεν το ξέρω εγώ ποιο είναι εκτός ύλης. Λυκρινά δεν το θυμάμαι κι εγώ. Άρα θέλω να εξασφαλίσουμε κάτι ότι θα βάλουμε τα εκτός ύλης και τα εντός ύλης όταν γίναμε φυσική. Δηλαδή να το εξασφαλίσουμε πως θα γίνει αυτό. Να το εξασφαλίσουμε γιατί στο βιβλίο του που θα πάρετε τώρα, θα έχει αυτό το υλικό από όλες αυτές τις αποδείξεις και θα τις συζητήσουμε μαζί. Καταρχήν λοιπόν ήθελα να ξεκινήσω γιατί οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι τόσο σημαντικές στη φυσική. Θέλει κάποιος να μας πει κάτι. Γιατί είναι τόσο σημαντικές οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις στη φυσική και γιατί τις συναντάμε συνέχεια και γιατί πρέπει να μάθουμε και τα εκτός ύλης στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Θωμάη, εσύ πες. Βοηθάει η επισκεφή σας πάρα πολύ από τα αφεντώμενα όπως είναι οι ταλαντώσεις, οι υλικές θυμίσεις. Μπράβο. Πολύ ωραία. Πολύ ωραία. Άρα λοιπόν έχουμε μια σειρά τέτοια αφεντώμενα για κάποιο λόγο επειδή τέτοιες είναι οι δυνάμεις στη φύση, που αυτά τα αφεντώμενα, οι ταλαντώσεις. Ποιες άλλες συναρτήσεις νομίζετε ότι παρουσιάζονται στη φύση. Ποιά άλλα φαινόμενα παρουσιάζονται στη φύση εκτός από τα περιοδικά. Πες το μας εσύ και πες μου και το όνομά σου. Αλέξανδρο, οι εκθετικές νομίζω πως οι ιστοιχοί παρουσιάζονται πολύ. Πότε παρουσιάζονται οι εκθετικές. Πες μου ένα φυσικό φαινόμενο που πιο κοντά θα πήγαινε μια εκθετική συνάντηση από μια περιοδική συνάντηση. Ένα φυσικό φαινόμενο στο οποίο εκθετική συνάντηση φαίνεται ότι θα υπήρχε. Αυτοί που σηκώνουν χέρι έχουν μιλήσει, όλοι τους. Εσείς δεν έχετε μιλήσει, πες το μου και το όνομά σου. Στέλιο. Ναι Στέλιο. Είναι η εξαναγκασμένη ταλάντα. Το Στέλιο ήθελε να μιλήσει, αλλά η εξαναγκασμένη ταλάνταση είναι ταλάνταση. Όχι πέρα δεκατομένα. Ερώτησα τι άλλα φαινόμενα εμφανίζονται εκτός από τις περιοδικές ταλαντώσεις στη φύση. Στέλιο επίσης, δεν σου πήραμε το λόγο. Νίκος. Σας ακούω Νίκο. Υφθύνουσα ταλάνταση. Υφθύνουσα ταλάνταση. Είναι πάλι ταλάνταση, απλώς τι διαφορά έχει φθύνουσα από τη μη φθύνουσα ταλάνταση, μια και το είπες να το μάθουμε. Τι διαφορά έχει λοιπόν μία ταλάνταση, η οποία είναι αυτή εδώ. Από μία φθύνουσα ταλάνταση, η οποία είναι αυτή εδώ. Τι διαφορά έχουν αυτές οι δύο, πώς θα τις γράψω, μια και το ανέφερε ο Νίκος. Πώς θα γράψω λοιπόν τις εκφράσεις αυτής εδώ της ταλάντασης και αυτής της ταλάντασης. Αυτή την είπαμε ταλάνταση κανονική και αυτή την είπαμε φθύνουσα ταλάνταση. Και εδώ έχει δίκιο ο Νίκος ότι εδώ συνδυάζεται, αλλά να μου πείτε εσείς πώς. Συνδυάζεται η ταλάνταση με την εκθετική, αλλά θέλω να μου πει ο Νίκος πώς. Πώς θα τη γράψω αυτή τη δεύτερη, τη φθύνουσα. Αυτή εδώ θα τη γράψω ψ, ίσον α ή μήτωνο χ. Σωστά αυτήν. Αυτήν πώς θα τη γράψω, μαθηματικά πώς θα τη γράψω. Πώς ψ ίσον α0, τι είναι το α0. Ή μήτωνο χ. Το α0 το θέλουμε, δηλαδή πότε θα ήταν α0, αν στο χ ίσον μη 0 τι θα μας δώσει αυτό. Δεν το θέλουμε το α0, αλλά τέλος πάντων δεν είναι το σημαντικό εκεί. Το σημαντικό είναι ότι σωστά είπε ότι το πλάτος της ταλάντωσης δεν είναι σταθερό που είναι εδώ, αλλά είναι μια φθύνουσα συναρτηση, μια εκθετική συναρτηση φθύνουσα. Είναι μια χρήση μιας διαφορετικότητας, αλλά πίσω από αυτή είναι πάλι η ταλάντωση. Εγώ ήθελα να μάθω στη φύση εκτός από ταλαντώσεις τι άλλου είδους φαινόμενα παρουσιάζονται. Για να δούμε τι έχετε στο μυαλό σας, πες τη μου εσείς. Η πτώση ή η σχέση ενός ηλεκτρομαντικού πεδίου όσο απομακρύνεται το... Άρα έχουμε μια εκθετική πτώση ή μια έκρηξη. Οι εκρήξεις ή συνεχώς φθύνουσες συμπεριφορές παρουσιάζονται τα δεύτερα φαινόμενα που υπάρχουν στη φύση. Κάτι δηλαδή να γίνεται όλο και πιο μυδρό όσο απομακρυνόμαστε και θέλουμε συναρτήσεις να το περιγράψουν αυτό και θέλουμε και συναρτήσεις οι οποίες θα περιγράφουν όταν γίνεται μια έκρηξη. Έτσι να παρουσιάζουμε το ρυθμό με τον οποίο εξελίσσεται μια έκρηξη. Έχουμε ταλαντώσεις και εκρήξεις ή φθύνουσες, μονίμως φθύνουσες συναρτήσεις. Άρα λοιπόν αυτά παρουσιάζονται στη φυσική και θέλουμε τις αντίστοιχες συναρτήσεις να περιγράψουμε ταλάντωση και φθύνουσες μορφές. Και η φθύνουσα ταλάντωση είναι μέρος της συμπεριφοράς αυτής. Είναι δύο φαινόμενα που όσο απομακρύνεται σε χαμηλό πέφτει η έντασή τους, όπως είπε, και έχουμε και εκρήξεις που πρέπει να τις προεγράψουμε μια εκθετική αύξηση της ακτίνας πράγματος χάρη. Έχουμε ένα boom. Αυτό δεν κάνει ταλάντωση, φεύγει προς το χώρο, έτσι δεν είναι. Άρα λοιπόν αυτές οι δύο συμπεριφορές και αυτές τις συναρτήσεις τις ψάχνουμε. Έχουμε φτάσει στη συνόρα μας να σταματήσουμε. Θα σας πω καλό Σαββατοκύριακο, να περάσετε ωραία.