2.1 Τι είναι απόδειξη ? / Ενότητα 2 , #1 , 11/03/14 - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ενότητα 2 , #1 , 11/03/14: Είχαμε πει ότι στην πυλήνη πλάκα των Ουγκάντου Λουίων σώζονται αρκετά τα οποία μας λένε ότι έχουν υπρόκους για να βγάλουν τις κοφακόλες στιάδες. Και όχι μόνο αυτό, αλλά μέθοδο θαραγωγής, να βγάλουν τις κοφακόλες στιάδες. Και όχι μόνο αυτό, αλλά μέθοδο θαραγωγής, να βγάλουν τις κοφακόλες στιάδες. Και όχι μόνο αυτό, αλλά μέθοδο θαραγωγής Πυθαγορίων Τριάδων, αλλά ότι και είχαν γνώση του Πυθαγορίου θεωρήματος. Δηλαδή και το χρησιμοποιούσαν. Ότι αν έχεις έναν ορθό τρίγωνο, τα τετράγωνα, το άδρεσμα των τετραγών των πλευρών, μας δίνουν την υποτίνησο. Ο Πυθαγώριος εμφανίζεται δύο χιλιάδες π.Χ. σχεδόν. Ο Πυθαγώριος εμφανίστηκε κοντά το πεντακόσια π.Χ. Υπάρχει μια μεγάλη χρονική διαφορά. Το Πυθαγώριο θεώρημα, έτσι όπως εμφανίζεται, στο βιβλίο εστυχία του Ευκλήδη. Και τα στοιχεία του Ευκλήδη αποτελείται από δέκα βιβλία. Αυτό είναι αρκετά μπροστά, είναι στο βιβλίο ένα. Όπως τόνισα και την προηγούμενη φορά, δεν υπήρχε ακόμη ολγευρικός τρόπος γραφής. Υπήρχε περιγραφικός τρόπος ζωγραφής. Και έτσι είναι εδώ και αυτό εδώ το θεώρημα. Και μάλιστα, στο βιβλίο του Ευκλήδη, ο Ευκλήδης συνεχίζει, εκτός από το θεώρημα, συνεχίζει με το επόμενο που αποδεικνύει, έτσι θέτει ένα άλλο θεώρημα, το αντίστροφο αυτούνου, συνεχίζοντας με την απόδειξη. Τι λέει, λοιπόν, ότι στα ορθογόνια τρίγουνα, αυτό που είναι στην υποτίνουσα, το τετράγωνο της υποτίνουσας, είναι ίσο με το άδρος, με τον τρογόνο, τον άλλον δύο. Το πυθαγόριο θεώρημα. Δεν το ονομάζει πυθαγόριο θεώρημα ο Ευκλήδης. Έτσι, την ονομασία δεν την πήρε από τον Ευκλήδη. Την πήρε πολύ πιο μετά. Την πήρε από, βρέθηκε... Θα μιλήσουμε όμως αυτό, γι' αυτό, στην πορεία, για το τι σώζεται, από τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά, από τον Πρόκλο, ο οποίος έζησε μετά Χριστό, σχεδόν 4-5 αιώνα μετά Χριστό. Και μιλάμε για τον Ευκλήδη, ο οποίος υπήρξε 300 π.Χ. Πάλι μεγάλη διαφορά, έτσι, 800 χρόνια διαφορά. Αναφέρθηκε, λοιπόν, ο Πρόκλος και μάλιστα κάπως εκεί αποδώθηκε το όνομα, στον Πυθαγόρα. Θα δούμε, λοιπόν, κάποια πράγματα από τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά. Υπάρχουν, νομίζω, διαφορετικές αποδείξεις, πραγματικά διαφορετικές αποδείξεις, για το Πυθαγόριο θεώρημα μέχρι σήμερα. Δηλαδή αποδείξεις που να μην απλά αλλάζω τη σειρά κάποιων, πραγματικά μη ισομορφικές, έτσι, αν ήταν, να θέσουμε μια ισομορφία στις αποδείξεις. Διαφορετικές αποδείξεις, 367 τον αριθμό. Έτσι, υπήρχε ένα βιβλίο που μάζευε όλες τις διαφορετικές αποδείξεις. Και τουλάχιστον φαίνεται να είναι... ένα βιβλίο έχει μαζέψει, δεν τις... δεν τις έχω προσωπικά ελέγξει, αλλά φαίνεται ότι ο αριθμός των αποδείξεων αυτόν είναι πολύ μεγάλος. Εδώ υπάρχει μία απόδειξη, η οποία είναι στο... Φινέζικο. Κάπου απροσγειώριστο, γιατί αυτό είναι ανάμεσα στο 4ο αιώνα π.Χ. έως στον 2ο αιώνα μ.Χ., ένα 600 χρόνια απόσταση, αυτό υποδείχεται ότι δείχνει την απόδειξη του Πεθαγορίου θεωρήματος. Έτσι, και για να την αναλύσουμε, εδώ μέσα στο μεγάλο σχήμα, στο μεγάλο σχήμα, το έχουμε χωρίσει σε κομματάκια. Αυτό το οποίο φαίνεται να μας πρόχνει, να το ερμηνεύσουμε και είναι η απόδειξη, αυτό θα το δείξει στο επόμενο σχήμα, το χωρίζω σε δύο μέρη, α, β, την κάθε πλευρά, α, β, έτσι φτιάχνω ένα εσωτερικό τετράγωνο. Έτσι φτιάχνω το εσωτερικό τετράγωνο. Το εξωτερικό τετράγωνο, η κάθε πλευρά έχει μήκος α συμ β, έτσι, εδώ έχεις ένα τετράγωνο, συνολικά αυτό αν είναι το α, αυτό εδώ το κομμάτι να είναι β, αυτό είναι το τετράγωνο, α συμ β η πλευρά. Το εμβαδό του εξωτερικού είναι α, του τετραγώνου του εξωτερικού είναι α συμ β τετράγωνο. Και από τι αποτελείται, έχει εδώ μέσα ένα άλλο τετράγωνο, εντάξει, ένα άλλο τετράγωνο. Αυτή είναι η υποτίνωσα του τριγόνου που θέλουμε, η μία πλευρά είναι η α, η άλλη είναι η β, έτσι α β. Έχω τέσσερα ίδια ορθά τρίγωνα, έτσι τέσσερα ορθά τρίγωνα. Έτσι, άρα το α συμ β τετράγωνο, είναι ίσο με τι, είναι ίσο με το εμβαδό του εσωτερικού τετραγώνου, που έχει πλευρά το σε, άρα με σε τετράγωνο, συν το εμβαδό αυτόν εδώ των τεσσάρων τέσσερα, επί το εμβαδό των ορθών τριγώνων, εμβαδό ορθών τριγώνων, το καθένα από αυτά τα τρίγωνα, έχει εμβαδό ένα δεύτερο α επί β. Και όταν κάνει κανείς τις αλγυβρικές πράξεις, όπως θα τις κάνουμε εμείς σήμερα, παίρνει λοιπόν το τετράγωνο, το υψώνει στο τετράγωνο, κάνει τις πράξεις και μένει α τετράγωνο, συν β τετράγωνο από εδώ, είναι ίσο με το σε τετράγωνο. Αυτό μας δίνει 2αβ, α τετράγωνο, συν 2αβ, συν β τετράγωνο, είναι ίσον με το σε τετράγωνο, συν 2αβ, μένουμε λοιπόν από τη μια πλευρά, α τετράγωνο, συν β τετράγωνο, ίσον με το σε τετράγωνο. Απόδειξη του Πυθαγορίου θεωρήματος. Για να θέσω όμως κάποια ερωτήματα, έτσι λέω απόδειξη, εκείνο που θέλω να σκεφτούμε, έτσι και θέλω να σας πρόξω προς εκείνη την κατεύθυνση, είναι τι σημαίνει απόδειξη, τι προϋποθέτει αυτή εδώ η απόδειξη. Αν ξεκινούσαμε από το μηδέν, έτσι με τις γνώσεις που φανταζόμαστε, εντάξει είστε οι περισσότεροι τέταρτο έτος τουλάχιστον, γνώσεις που θα είχε ένας μαθηματικός εκείνης εποχής, που φαντάζουμε πάνω κάτω τα έχουμε δει, σε κάποια φάση της ζωής μας, τι χρειαζόμαστε λοιπόν, ή τι θεωρούμε γνωστό, πάνω σε τι στηριζόμαστε, για να δώσουμε αυτήν εδώ την απόδειξη. Για να προχωρήσω, γιατί και πώς προκύπτει, να είναι ένα σημείο που θα ήθελα να ξεκαθαρίσουμε, γιατί είναι το ιστορικό σχήμα τετράγωνο, γιατί είναι η γωνία σε ορθή γωνία, γιατί είναι η γωνία σε ορθή γωνία, δεν είναι δύσκολο, το α συν β συν σε, μας δίνουν 180, και το α β που εδώ είναι η γωνία, το α συν β προσθέτουμε στο 90, γιατί έχω ένα ορθό τρίγωνο, το α συν β είναι 90, γιατί είναι η γωνία σε ορθού τριγώνου, άρα 90 συν σε, ίσον 180, το σε είναι και αυτό 90. Εντάξει να το δεχτώ αυτό, αλλά γιατί το άθροισμα, των γωνιών ενός ορθού τριγώνου, αυτό γιατί να το δεχτούμε, και αυτό από πού προκύπτει. Τι είναι αυτό το 180, πώς το έχουμε ορίσει και από πού προκύπτει, ότι το άθροισμα είναι 180. Και όσοι έχετε κάνει λίγο παραπάνω γεωμετρία, θα έχετε δει ότι αυτό προκύπτει, μόνο στην ευκλήδια γεωμετρία, και ότι μάλιστα είναι ισοδύνομαι, είναι το ευκλήδι. Θα μιλήσω για αυτά τα αξιόμετα, γιατί είναι το μαγευτικό αυτό που έκανε ο Ευκλήδης, ότι κατάλαβε ότι δεν μπορούμε να τα, ότι υπάρχουν κάποια πράγματα που δεν θα είμαστε σε θέση, να τα αποδείξουμε από την αρχή και θα πρέπει να τα δεχτούμε ως δεδομένα. Πάντως να πω ότι σε άλλες γεωμετρίες, εσείς που έχετε κάνει λίγο με γεωμετρία παραπάνω, ακόμη και στον κόσμο στον οποίο ζούμε, δεν είμαστε σε ευκλήδιο χώρο. Το άθροισμα των γωνιών δεν είναι ενός τριγόνου, δεν είναι ακριβώς. Υπάρχουν συστήματα που δεν είναι 180. Και πού στηρίζεται αυτό? Στηρίζεται στην ιδέα και μπορεί κανείς να το αποδείξει, στο αξίωμα, ότι αν έχω δύο ευθείες, θα σας πω το πέμπτο αξίωμα του ευκλήδη τώρα, αν έχω δύο ευθείες, αν έχω δύο ευθείες, και έχω μια άλλη ευθεία που τη στέμνει, και προσθέσω αυτά, και βγάλω κάτι που είναι μικρότερο από το 180, τότε οι ευθείες, άμα τις συνεχίσω, δεν είναι παράλληλες. Θα υπάρχει ένα σημείο τομής. Και κανείς μετά βασισμένος σε αυτό, να φέρω μια παράλληλη, μετά μπορεί να αποδείξει ότι το άδρισμα των γωνιών ενός τριγόνου, είναι 180. Υπάρχει λοιπόν ένα ερωτηματικό εδώ. Το άλλο ερωτηματικό που έχω είναι, εντάξει, εδώ πέρα, γιατί υποτίθεται ότι αυτή είναι η απόδειξη των Κινέζων, έτσι, και όπως είπα, ο αλγευρικός τρόπος αυτός ζωγραφής δεν υπήρχε, να έρθει. Αλλά υπάρχουν δύο ερωτηματικά. Το ένα έχει να κάνει με αυτό το εμβαδό. Από πού προκύπτει ο τύπος του εμβαδού ενός τριγόνου, έτσι. Γιατί ισχύει ότι το εμβαδό ενός ορθού τριγόνου, είναι ίσο με το ένα δεύτερο το γινόμενο των δύο πλευρών. Βάζω πολλές ερωτήσεις. Θέλω να αναρωτηθείτε. Οι αποδείξεις δεν είναι τόσο δύσκολες και σίγουρα μπορείτε να τις βρείτε. Αν ανοίξουμε πίσω τα βιβλία αυτονών, που έχουμε διδαχτεί, βασική γεωμετρία, κάπου θα το βρούμε αυτό. Το εμβαδό ενός ορθού τριγόνου, είναι ένα δεύτερο α'επιβήτα, όπως το εμβαδό ενός τριγόνου, είναι βάσηπη ύψος, διά το δύο. Κάπου θα το βρούμε αυτό. Το ένα ερωτηματικό λοιπόν είναι εδώ, απόδειξη, και πώς το ξέραν αυτοί, από πού το είχανε βγάλει, τι χρειάζεται για να το βγάλει κανείς αυτό. Και το δεύτερο κομμάτι, το οποίο επίσης έχω ένα ερωτηματικό, τώρα παίρνουμε την αλγυβρική γραφή, παίρνουμε, αναπτύσσουμε αυτό το τετράγωνο, και βλέπουμε ότι είναι το α' τετράγωνο συν β' τετράγωνο, συν δύο αυαβήτα. Αυτό πώς το ξέρανε, έτσι, από πού προέκυψε, το ξέρανε, είχανε γνώση. Για να προχωρήσω λίγο. Έχει κάποιες από τις ερωτήσεις που έθεσα εδώ. Έχω βάλει και μία άλλη ερώτηση μέσα. Χρειαστήκαμε πραγματικά τον τύπο για τον εμβαδό των τετραγωνών. Εντάξει, μας διευκολύνει, γιατί χρησιμοποιήσαμε τη γεωμετρία προς την απόδειξη. Σίγουρα, μπορούμε να περιμένουμε, ότι αυτό που κάνανε εκείνη την εποχή, ή ότι σκεφτόντουσαν ότι είναι ισχύει κάποιο τύπο απόδειξης, τον είχανε βασισμένο στη γεωμετρία, στα σχήματα. Έτσι, σε σχήματα, ότι ήταν βασισμένο. Και όχι στην άλγευρα. Εντάξει, οπότε δεν μας ενοχλεί, το να δεχτούμε αυτόν τον τύπο του τριγόνου. Μετά έχω το ερώτημα πώς προκύπτει ο τύπος για το ανάπτυγμα των τετραγωνών. Και μετά ένα πολύ πιο βασικό ερώτημα. Πάει πολύ πίσω. Εντάξει, χρησιμοποιούμε το εμβαδό. Πώς ορίζει κανείς το εμβαδό. Πώς θα ορίζεται το εμβαδό. Ακόμη και τώρα. Όχι τυπικά, μαθηματικά, πώς ορίζει το εμβαδό. Τι είναι το εμβαδό. Τι μετράει το εμβαδό. Και πώς θα προσπαθούσε κανείς να το ορίσει. Ερωτήματα, μπορεί κάποιοι να έχουν απαντήσει πάνω σε αυτά, ή να προσπαθήσουν να τα σκεφτούνε λίγο παραπάνω. Ήθελα όμως να δείξω, ποια είναι η απόδειξη που έκανε ο Ευκλήδης. Είναι στο πρώτο βιβλίο, είναι σημαντικό θεωρημά. Και για τον Ευκλήδης σημαντικό, είναι στο πρώτο βιβλίο. Και δεν έχει να κάνει με εμβαδά, η απόδειξη του Ευκλήδη. Γιατί ο Ευκλήδης, για να μιλήσει για τα εμβαδά, πήγε σε επόμενο βιβλίο, αρχίζει στην θεωρία για τα εμβαδά, όπως και για τους τύπους. Έδειξε πώς προκύπτουν αυτοί οι τύποι, γεωμετρικά, μέσω των εμβαδών. Αλλά και χρειάστηκε να βάλει τα δικά του αξιώματα, τους ορισμούς, τους οποίους δεν μπορείς να τους εξηγήσεις παραπάνω. Πώς εξηγείς τι είναι ένα σημείο, έτσι. Πώς θα εξηγήσεις τι είναι ένα σημείο, έχουμε την έννοια στο μυαλό μας. Πώς θα εξηγείς τι είναι ένα σημείο. Πώς θα εξηγήσεις τι είναι ένα σημείο, εντάξει. Σε κάθε βιβλίο του Ευκλήδη, θα το δούμε, γιατί είναι ένα από τα πιο σημαντικά αυτά. Κομμάτια του μαθήματος, είναι το τι έχει κάνει, τι διαφορά ανάμεσα στα αρχαία ελληνικά και στα μαθηματικά. Και στα βιβλίο του Ευκλήδη μπορούμε να πιάσουμε πολλά ζητήματα. Σε κάθε λοιπόν κεφάλαιο ξεκινάει με τους ορισμούς και τις αρχές, που σήμερα θα τις λέγαμε αξιώματα. Όμως θέλω πολύ λίγο να αναρωτηθείτε και να σκεφτείτε, τι είναι αξιώμα, ποια είναι η έννοια του αξιώματος και τι είναι θεώρημα. Τι είναι αυτό, σε τι διαφέρουν, πότε μπορούμε να αποδείξουμε κάτι, πότε δεν μπορούμε να αποδείξουμε κάτι, πότε το δεχόμαστε, γιατί ξέρουμε ότι υπάρχει απόδειξη, έχει αποδειχθεί αυτό, ή το δεχόμαστε, γιατί χρειαζόμαστε μια βάση. Και με την έννοια βέβαια ότι θα μπορούσε να μην είναι αυτοδεκτό και τότε θα ζούσαμε σε ένα διαφορετικό σύστημα. Αυτή λοιπόν είναι η αποδείξη του ευκλήδη. Πάλι έχει εδώ ένα ορθότριγωνο. Η ορθή γωνία είναι εκεί στο α. Η ορθή του γωνία είναι εκεί στο α, στο σημείο που έχει α. Και αυτό είναι το σχήμα που χρησιμοποιήσε. Και μάλιστα στο σχήμα αυτό, δεν χρησιμοποιήσε την έννοια των εμβαδών. Έτσι δεν χρησιμοποιήσε την έννοια των εμβαδών, χρησιμοποιήσε την έννοια ότι είναι ίσα. Λίγο διαφορετικό. Και επίσης χρησιμοποιήσε πάρα πολύ αναλογίες ομοίων τριγόνων. Και τι αποδεικνύει το σχήμα χρωματικά, άμα πάρεις το ροζ και προσθέσεις το γαλάζιο, έτσι βρίσκεις αυτό που είναι από κάτω. Τι είναι αυτό που είναι από κάτω, είναι το τετράγωνο. Είναι το σχήμα τετράγωνο. Είναι το τετράγωνο, γιατί έτσι είχε τοποθετηθεί και ο τρόπος που το είχε πει, είναι το τετράγωνο της υποτίνουσας. Έτσι, το τετράγωνο της υποτίνουσας είναι ο χώρος που περικλείεται στο τετράγωνο, στο σχήμα τετράγωνο που κάνω, με πλευρά την υποτίνουσα. Αυτό είναι το τετράγωνο μας. Και αυτή είναι η απόδειξη. Εντάξει, θα την δούμε σε άλλη φάση, αν θέλετε, και πιο αναλυτικά. Αυτά θα μπουν όμως στην ιστοσελίδα, αν θέλετε. Και έχετε παραπάνω χρόνο να σκεφτείτε, γιατί υπάρχει αυτή εδώ ισότητα. Το άλλο σημείο, το οποίο επίσης θα βρείτε στην ιστοσελίδα, το οποίο είναι πολύ ενδιαφέρον. Ενδιαφέρον για εμένα, ελπίζω και για εσάς. Έχω βάλει το βιβλίο τα στοιχεία του Ευκλήδη, έτσι. Μετάφραση από τα αρχαία ελληνικά, υπάρχουν τα αρχαία ελληνικά και δίπλα υπάρχουν τα αγγλικά. Έτσι, και μπορείτε να παρακολουθείτε. Υπάρχουν επίσης και σύγχρονες μεταφράσεις και κάποιες κυκλοφορούν. Από τα αρχαία ελληνικά στα σύγχρονα, στα νέα ελληνικά. Αλλά πραγματικά προτιμώ, ή ήταν πιο εύκολο τουλάχιστον, να μπει, γιατί ήταν ανοιχτής πρόσβασης, μετάφραση αυτή από τα αρχαία ελληνικά στα αγγλικά, που από σαφηνίζει και πολλά πράγματα, έχει κρατήσει το παλιό κείμενο, την ποιότητα του παλιού κειμένου μαζί με το καινούριο. Και έχει και κάποιες άλλες επεξηγήσεις. Και ρωτάω εκεί πάλι. Γιατί ο Ευκλήδης διαλέγει αυτή την απόδειξη, γιατί διάλεξε αυτή την απόδειξη, ενώ φαινομενικά και η απόδειξη που έχω επάνω στον πίνακα φαίνεται να είναι πολύ πιο απλή. Και πώς έφτασε εκεί, και μάλιστα ένα άλλο ερώτημα που θα θέλα, θα θέσω, γιατί θα ξαναγυρίσουμε σε αυτό πολύ πιο σύντομα. Έτσι, είναι η απόδειξη 47, για να την αποδείξει αυτό το θεώρημα, είναι απόδειξη της πρώτης 47. Για να αποδείξει αυτή την πρόταση 47, προηγήθηκαν 46 άλλες προτάσεις, τις οποίες τις έχει γράψει με τέτοια σειρά. Έτσι, για να πάει στη μια πρόταση χρησιμοποιείς τις προηγούμενες. Και για να αποδείξει τις 47, έχει χρησιμοποιήσει με τον αλφεβίδα τρόπο, τις περισσότερες από τις προηγούμενες προτάσεις. Πάντως, το ερώτημα είναι, γιατί ο Ευκλίδης για λέγει αυτή την απόδειξη για τα εμβαδά. Είπα ότι την συζήτηση για τα εμβαδά δεν την κάνει σε αυτό το βιβλίο, την καθυστερεί. Έτσι, στο επόμενο βιβλίο, ίσως να είναι ένας λόγος αυτός, να προσπαθεί να αποδείξει ότι μπορεί με τα στοιχεία που έχει, πριν αναπτύξει καινούργια θεωρία. Τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά. Αλλά για να έχουμε μία ιδέα για το που βρισκόμαστε. Η Αλεξάνδρια είναι κάτω κάτω, εκεί είναι ο Ευκλίδης. Έτσι, και αργή, να το χωρίσουμε σε δύο φάσεις, δεν θα καλύψουμε πάρα πολλούς. Έτσι, ο Θαλής ο Μιλήσιος, ο πατέρας θεωρητικά, ο πατέρας της Γεωμετρίας. Η Μίλητος, που είναι η Μίλητος? Η Μίλητος είναι η Μικρά Ασία. Έτσι, και αν προχωρήσει κανείς στα παράλια της Μικράς Ασίας και πάει στο κίτρινο κομμάτι, είναι η πρώτη κουκίτσα, η κόκκινη που έχω βάλει εκεί. Έτσι, Θαλής ο Μιλήσιος, βλέπουμε 630-550 π.Χ., ένας από τους 7 σοφούς της αρχαιότητας. Έτσι, θα μιλήσουμε λίγο παραπάνω γι' αυτόν. Πιθαγόρας ο Σάμιος. Έτσι, Πιθαγόρας, εντάξει, γεννήθηκε στη Σάμο, ταξίδεψε βέβαια, αλλά η σχολή του δεν ήταν στη Σάμο. Έτσι, γνωρίζετε που είναι η σχολή του. Γνωρίζετε που είναι η σχολή του. Ιταλία, έτσι, γι' αυτό είναι και το κομμάτι της Ιταλίας από εκεί. Κοιτάξτε που λέει Κρότονα, εκεί ήταν η σχολή του Πιθαγόρα. Ζύνονας ο Ελεάτης, έτσι, πολύ σημαντικός για τις ιδέες του Απείρου. Παρμενίδες, φιλόσοφοι και μαθηματικοί, έννοιες που πηγαίναν μαζί στην αρχαία Ελλάδα. Φιλόσοφοι, φίλοι της σοφίας, μαθηματικοί, φίλοι της μάθησης. Έτσι, ο Ζύνονας ο Ελεάτης που ασχολήθηκε με το Άπειρο και τα παράδοξα του Ζύνονα, θα τον βρούμε και αυτόν στην Ιταλία. Να κλείσουμε την πόρτα κάποιος μπορεί. Δημόκριτος από τα Άβδηρα. Τα Άβδηρα, Ελλάδα. Ξάνφη κοντά. Εντάξει, επάνω μια κουκίτσα που έχω, κοντά στο Νέστο. Κουκίτσα επάνω εκεί, κοντά στην Καβάλα. Και ο Πλάτωνας βέβαια, πιο μετά, σε μια επόμενη περίοδο, αν και ο Πλάτωνας έχει ενδιαφέρον. Ο Πλάτωνας είναι 427-347 π.Χ., αρκετά πιο μετά. Και ο Πλάτωνας ήτανε, η Ακαδημία του ήτανε... Α, τη σημείωσα κι αυτή με κόκκινο. Έτσι, Αθήνα. Έτσι, το έχουμε εκεί. Πηγές. Από πού προκύπτουν οι πηγές για τα αρχαία ελληνικά. Έτσι, για τα μέν, είπαμε ότι αυτά που μας έχουν σωθεί από τους Αιγυπτίους, ήταν στους Παπίρους τους, και μιλήσαμε για κάποιες από τις πηγές. Αρχαία ελληνικά, ιστορικές πηγές. Έχουμε κάποιους που πραγματικά προσπαθούν να είναι ιστορικοί, ο Ηρόδοτος. Έτσι, κάποια εντυπωσιακά βιβλία, αποσπασματικές πληροφορίες εκεί για τους μαθηματικούς. Είναι ο Ηρόδοτος, 5ο αιώνα π.Χ. Έτσι, ο πρώτος ιστορικός των επιστημών, θεωρεί το Εύδημος. Και αυτός είναι ο 4ο αιώνας π.Χ. Ξέρουμε ότι είχε γράψει ένα σωροβιβλία. Κάποια από τους τίτλους είναι η ιστορία της αριθμητικής, γεωμετρική ιστορία, αστρολογική ιστορία, τα μαθήματα του Αριστοτέλη, κάποια από αυτά. Δεν μας έχουν σωθεί πολλά, μας έχουν σωθεί κυρίως μέσω του Πρόκλου, ο οποίος είναι 5ος αιώνας π.Χ., όπως είπα προηγουμένως. Και έχει κάτι που αναφέρει ότι είναι περίληψη από βιβλίο της ιστορίας του Ευδίμου από τη Ρόδο, ο Ευδίμος ήταν από τη Ρόδο, 4ος αιώνας π.Χ. Και βέβαια ο Πλούταρχος, ήδη έχουμε αρχίσει και μπαίνουμε στον πρώτος αιώνας π.Χ. Έτσι, μας έχουν σωθεί πράγματα, όπως και από τα στοιχεία του Ευκλίδη μας έχει σωθεί το αρχικό-αρχικό κείμενο, μας έχουν σωθεί αντίγραφα του αρχικού κειμένου. Θα μιλήσουμε, όπως είπα, άλλη φορά για τα στοιχεία του Ευκλίδη. Έτσι, να, η πρωτομία η οποία αποδίδεται στον Θαλή, τον Μιλήσιο, και είναι τα δύο θεωρήματα, τα οποία αποδίδονται στο Θαλή. Ο Θαλής, δηλαδή από τις πηγές που έχουμε, ξέρουμε ότι τα έθεσε ο Θαλής και ότι είχε στο νου του απόδειξη. Έτσι, ποια είναι τα πολύ βασικά αυτά. Δεν είναι δύσκολα τα δύο θεωρήματα αυτά, δεν είναι δύσκολο να τα δείξει κανείς. Εάν δεχτεί, αυτά που είπα και προηγουμένως, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγόνου είναι 180, εύκολο να δείξετε το πρώτο, ότι αν πάρετε μια γωνία με την πλευρά μιας, μια πλευρά να είναι η διάμετρος του τριγόνου, ένα σημείο πάνω στην περιφέρεια του τριγόνου και αυτή είναι ορθή γωνία, αυτό, νομίζω, μπορείτε να το αποδείξετε όλοι κατευθείαν. Έτσι, για το άλλο, ότι όταν έχεις όμια τρίγωνα, ισχύει η αντιστοιχία, ισχύουνε αυτές εδώ οι αναλογίες, αυτό ίσως να θέλει λίγο παραπάνω δουλειά, να παίξει κανείς να πάρει τις καφέ τους. Σε κάποια φάση, ελπίζω, να το είδατε, λύκειο, να τα είδατε αυτά, αν έχετε το ενδιαφέρον, ενδιαφέρον είναι, έτσι, για να εκτιμήσουμε αυτό που είχανε βρει τότε αυτοί με τα δικά τους. Εντάξει, οι αρχαίοι Έλληνες ενδιαφέρον είναι να προσπαθήσουμε να το δούμε, απλά να εκτιμήσουμε το πνεύμα. Εντάξει. Και εδώ πέρα, πάλι τα αντίστοιχα ερωτήματα, λέω ότι αυτά στηρίζονται, αν δεχτείς ότι το άθρησμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο είναι δύο όρθες γωνίες, και για το εμβαδό ενός τριγών, και ρωτάω, αυτά εδώ είναι θεωρήματα ή αξιώματα. Υπάρχουν αποδείξεις από πώς προκύπτουν αυτά, και βέβαια το επόμενο, που θέλει όμως ακόμη περισσότερη ορημότητα, έτσι, όπως όταν είμαστε εδώ και διαβάζουμε ένα θεώρημα σαν μαθηματική, εκείνο που ελπίζω να έχετε πάρει την μαθηματική σκέψη, βλέπεις κάτι, αναρωτιέσαι ένα, γιατί ισχύει αυτό, εντάξει, έχεις μια απόδειξη, μπορεί να πιστείς, γιατί ισχύει αυτό, γιατί αυτό μου το λένε, αλλά γιατί να το δεχτούμε, αμφισβήτηση αυτούν που μας λένε με κάποιο τρόπο, έτσι, εδώ στο μαθηματικά είμαστε πολύ τυχεροί, έτσι, μας λένε ένα θεώρημα, συνήθως υπάρχει απόδειξη, υπάρχει απόδειξη, η οποία μας λένε, εντάξει, έχετε τα φωνά για να τη διαβάσετε, ελέγχουμε λοιπόν, δεν δεχόμαστε τα θέσπιτα, δεν δεχόμαστε προτάσεις, γιατί είναι έτσι, εκτός από ένα πολύ συγκεκριμένο αριθμό προτάσεων, που τα έχουμε πει στην αρχή, είναι προτάσεις πάνω στις οποίες έχουμε δομίσει όλο τον τρόπο σκέψη μας μέχρι τώρα, έτσι, τα αξιώματά μας, αλλά για τα υπόλοιπα έχουμε αποδείξεις, έτσι, το ένα λοιπόν είναι γιατί ισχύει αυτό, δεν αρκεί να ισχύει για 10.000, για 100.000, για όσα έχουμε ελέγξει, αλλά μια απόδειξη που να ισχύει γενική και το άλλο το κομμάτι, που το βλέπει κανείς, πολύ ξεκάθαρα στο βιβλίο του Ευκλήδη, έχει στη μία κατεύθυνση, λες ισχύει το αντίστροφο, εντάξει πολύ ωραία, προχωρήσαμε τη γνώση μας, φτάσαμε σε ένα σημείο, μπορούμε να πάμε και πίσω, είναι δύο, είναι αφημονότιμη, δηλαδή πηγαίνει μόνο προς τη μία κατεύθυνση ή και προς την άλλη ισχύει κάτι, έτσι, οι αντίστροφες προτάσεις ισχύουν, έτσι, που φιλοσοφικά πάει να πει δεν είσαι απλά ευχαριστημένος, γιατί κάποια πράγματα δουλεύουν σωστά, έτσι, και θέλεις να τα καταλάβεις, αλλά θέλεις και να προβλέψεις, να ευμηνεύσεις το τι γίνεται από πού προήλθει, και αν μπορείς να πας προς τα πίσω. Έτσι, ένα από τα πράγματα για τα οποία ήταν εφημισμένος ο Θαλής, είναι ότι υπολόγησε το ύψος της πυραμίδας του Χέωπα, έτσι, η οποία πυραμίδα είναι 147 μέτρα, αν και τώρα, επειδή έχει καθίσει, έχει πάει στα 138 μέτρα. Και το βάρος αυτής της αποτελείται από ογκώληθους, έτσι, και ο καθένας από αυτούς τους ογκώληθους ήταν ανάμεσα σε 2,5 χιλιάδες, 2,5 τόνους, έτσι, για να μετακινηθεί, το πιο ελαφρύς, 2,5 τόνους, έτσι. Πότε έγινε αυτή η πυραμίδα? 3000 π.Χ., 2650 π.Χ., έτσι. Και μετακινήσανε όλα αυτά, τα βάλανε ένα τεράστιο, μια τεράστια. Εντάξει, ενδιαφέροντα πράγματα να διαβάσει κανείς για την πυραμίδα. Πώς μετρήθηκε το ύψος, έτσι, πώς μετρήθηκε το ύψος αυτής της πυραμίδας. Εντάξει, δεν ανέβηκε πάνω στην κορυφή ο Θαλής, αλλά και να ανέβαινε, εντάξει, θα μπορούσε, φαντάζουμε να είχε ένα πολύ μακρύ σκηνή, να το ρίξει, δεν θα έπεφτε ευθεία, θα έπεφτε λαγιαστά. Έτσι, πώς μέτρησε το ύψος ο Θαλής, είχε την ιδέα για τα όμια τρίγωνα. Και αυτό είναι η ιστορία που οι περισσότεροι, ελπίζω, έτσι, να την είδατε σαν τι είναι χρήσημα τα μαθηματικά. Έτσι, από τα όμια τρίγωνα, μετράς τη σκιά, αυτό είναι το σχέμα, μετράς τη σκιά, πάς σε ένα άλλο σημείο, μετράς την αντίστοιχη σκιά, έχεις τα όμια σου τρίγωνα, έχεις τα όμια τρίγωνα και μετά από εκεί, υπολογίζοντας τις πλευρές, χρησιμοποιώντας την αναλογία και τα κλάσματα, βγάζεις το πόσο είναι το ύψος. Χρησιμοποιείς, λοιπόν, τα όμια τρίγωνα και κάνοντας αυτά, ο Θαλής έπεσε πάρα πολύ κοντά στη σωστή μέτρη, 145,3 μέτρα, ενώ τότε ήταν 147, έτσι, απίστευτα κοντά. Λίγα λόγια για τον Πιθαγόρα. Δεν έχει σηρωθεί κάτι γραμμένο από αυτόν. Έχουν σηρωθεί πολλές αναφορές στο όνομά του. Έτσι, και ίσως από τις πιο σημαντικές αναφορές είναι του Πρόκλου η αναφορά, ο οποίος με κάποιο τρόπο αποδίδει το θεόρημα αυτό, το 47, την πρώτη σε 47, στον Πιθαγόρα και έχει μείνει, ότι είναι του Πιθαγόρα, αλλά φαίνεται, και κάποια άλλη αναφορά έχει γίνει, ότι ο Πιθαγόρας είχε γνώση αυτού, εδώ, του θεωρήματος, τη γνώση, ότι κάτι τέτοιο ισχύει αυτόν ο γνώσης, ότι κάτι ισχύει παρόμοιο, την είχαν ή είχαμε δει και η Βαβυλώνικη, η Μεσοποτάμη. Αλλά φαίνεται να είχε, από αυτά τα οποία προκύπτουν, και μια ιδέα για την απόδειξη. Ο Πιθαγόρας, όπως και όλοι οι περισσότεροι από αυτούς, είχαν ταξιδέψει πάρα πολύ στον παλιό κόσμο, στον παλιό τότε κόσμο, και στη Μεσοποταμία και στην Αιγύπτο, και είχαν μαζέψει τις γνώσεις. Η Πιθαγόρια σχολή ήταν περισσότερο μια σχολή, μια μυστική οργάνωση, μια θρησκευτική κίνηση. Η βασική αρχή, μια από τις βασικές αρχές, είναι ότι οι αριθμοί αποτελούν την βάση των πάντων, του κόσμου. Ότι σε κάθε τύο μπορείς να αποδώσεις έναν αριθμό. Ήταν εντυπωσιακές ιδέες της σχολής, αυτά που μας έχουν μεταφερθεί. Ότι η ιδιοκτησία και ότι οι γνώσεις θεωρούνται κοινές, αλλά τα μαθηματικά είναι η επιστήμη που πάνω σε αυτήν πρέπει να βαδίζουμε και όχι τυφλά. Είμαστε τυφλά, εξαρτημένοι από τους θεούς, βαθίζουμε με βάση, προσπαθούμε να δώσουμε απαντήσεις με βάση στη γνώση που έχουμε, με βάση στη λογική. Φαίνεται επίσης να γίνεται η απομάκρυση, δηλαδή εκείνο το σημείο περνάς και χάρη σε αυτόν και την επιτυχία της σχολής, από το να προσπαθώ να λύσω συγκεκριμένα προβλήματα και να θέσω κάποιες γενικότερες αρχές. Έτσι και για τους πιδαγορίους, τα μαθηματικά ήταν συγγενικά με την αγάπη της Σοφίας. Φιλοσοφία είναι, όπως είπα πριν, η αγάπη της Σοφίας, ενώ τα μαθηματικά είναι αυτό που μαθαίνετε. Μελέτησαν αρκετά, όπως προκύπτει από αυτά που έχουμε δει, τις ιδιότητες των φυσικών αριθμών. Τι είχαν στο νου φυσικούς αριθμός, έχω ένα βότσαλο, να αυτός αποδίδει το ένα. Για παράδειγμα, αν χρησιμοποιήσει κανείς αυτά τα βότσαλα, είπα ότι στην ιδέα των πιδαγορίων, τα πάντα ήταν αριθμός ή αναλογίες. Τα πάντα ήταν αναλογίες. Έχω κάποιους βασικούς αριθμούς και μετά κάνω αναλογίες. Το λέω, την επόμενη φορά θα μιλήσουμε για το μεγάλο σκάνδαλο των μαθηματικών, το πρώτο από τα πολύ μεγάλα, ότι υπάρχουν αριθμοί που δεν μπορούν να δοθούν με τέτοιες αναλογίες. Ότι υπάρχουν άριτι αριθμοί. Ξεκινάω με κάποιους βασικούς αριθμούς, δεν μπορώ να περιγράψω όλους τους αριθμούς με βάση τέτοιου είδους αναλογίες. Οι άριτι δεν ζουν στον κόσμο που προκύπτουν από τις αναλογίες. Και για να λυθεί αυτό, χρειάστηκε να επέμβει άλλος μαθηματικός, θα του δούμε αυτό το κομμάτι της ιστορίας. Αλλά με τα βότσαλα μπορούμε να έχουμε τις έννοιες των αρτίων και περιττών αριθμών. Και αν σκεφτείτε, παίρνω τα βότσαλα και λέω ότι τα βάζω σε σειρές και αν μπορέσω να τα βάλω, μπορώ εύκολα να ελέγξω αν τα βότσαλα χωρίζονται σε δύο ομάδες που κάθε ομάδα περιέχει τον ίδιο αριθμό. Και αυτά τα βότσαλα που είναι έτσι, τα λέω άρτι. Παραγωγής, όλοι τους άρτους δεν πότσαν τους αρτιούς. Δεν πότσαν μόνο τους αρτιούς, τους σκολίτους. Ίσως δεν το απόδωσα πλήρως. Η ιδέα των Πιθαγορίων, δεν μιλούσα, καταρχήν, για ρητούς αριθμούς. Η ιδέα των Πιθαγορίων είναι ότι στα πάντα μπορώ να αποδώσω έναν αριθμό. Ξεκινάω και με αναλογίες, ας πούμε ο αριθμός 1 αν ήταν κάτι, που θα σε τι θα το αντιστοιχούσα, θα το αντιστοιχούσα στον Θεό. Αν δεν θυμάμαι καλά, ο αριθμός 2 ήταν ο άντρας, ο αριθμός 3 ήταν η γυναίκα. Και τα υπόλοιπα τα συνέκρινα, τα συνέκρινα με αυτά. Και ότι για τα πάντα υπάρχει ένας τρόπος σύγκρισης, να πω παίρνω κάτι ή παίρνω και κάτι άλλο. Θα βρω μια κοινή μονάδα που να τα συγκρίνω, υπάρχει κάτι κοινό για να τα συγκρίνω και θα χρειαστεί να πολλαπλασιάσω το ένα πολλές φορές για να φτάσω στο ένα, το άλλο να πολλαπλασιάσω άλλο αριθμό φορές για να φτάσω στο άλλο. Αυτό αν το σκεφτούμε τι σημαίνει, σημαίνει ότι οι αριθμοί που σκεφτόντουσαν, σκεφτόντουσαν τα πάντα μπορούν να περιγραφούν με ρητούς αριθμούς. Δεν είχαν ορίσει ρητούς αριθμούς, έτσι δεν τα είχαν ορίσει ως ρητό αριθμό, αλλά σκεφτόντουσαν ότι μπορούμε να έχουμε αυτές τις αναλογές. Θα το δούμε πιο αναλυτικά, θα ξαναέρχουμε σε αυτό και ελπίζω να γίνει πιο κατανοητό αυτό που προσπαθώ να πω. Το σκάνδαλο ήταν ότι αν πάρω ένα τετράγωνο, έτσι, και πάω να μετρήσω τη διαγώνειο, η διαγώνειος με την ακμή του τετραγώνου, η διαγώνειος με την ατμή του τετραγώνου, δεν θα έχω ποτέ ένα κοινό μέτρο σύγκρισης. Δεν θα βρω τίποτα που θα μπορώ να πολλαπλασιάσω, δεν θα μπορέσω ποτέ να βρω κάτι που να το πολλαπλασιάσω αρκετές φορές και να πάρω την ακμή. Και άλλες φορές, αρκετές φορές, όταν μιλάω αρκετές φορές, σκέφτομαι φυσικούς αριθμούς αρκετές φορές για να πάρω τη διαγώνειο. Αυτό ήταν το σκάνδαλο και υποτίθεται ότι ζητήσανε μυστικότητα, όρκο μυστικότητας για να μην διαδοθεί και ότι ο ένας που πήγαινε να τον διαδώσει, τον ρίξανε. Αυτά τώρα είναι ανάμεσα στον μύθο και στην ιστορία, αλλά για να μην διαδοθεί το μυστικό, τον ρίξανε ή τον τιμωρήσανε ρίχνοντάς τον από το πλοίο. Όπως είναι επίσης σε εκείνη την κατηγορία, ανάμεσα στον μύθο και στην ιστορία, ότι ο Πιθαγόρας θεωρούσε ότι τα φασόλια είναι ιερά, τα πράσινα φασόλια είναι ιερά. Όταν τον κυνηγούσανε για να διαφύγει, ανήφθηκε να περάσει ένα χωράφι στο οποίο είχε φασόλια και έτσι τον πιάσανε. Έχει πολλές τέτοιες ιστορίες. Όπως επίσης, παρόλο που οι γυναίκες, όπως το δούμε, αργήσανε πάρα πολύ μέχρι να έχουν πρόσβαση στην εκπαίδευση και στο δυτικό κόσμο. Δεν επιτρεπόταν για τις γυναίκες ούτε καν να παρακολουθούν τα μαθήματα πανεπιστημιακά. Χωρισμένες βέβαια φιλέων και ανδρών αλλά και για τις γυναίκες ακόμη και στο 18ο αιώνα έπρεπε να πάρεις ειδική άδεια για να μπορείς να παρακολουθήσεις και προφανώς όχι να συμμετάει στις εξετάσεις. Αλλά ο Πυθαγόρας, στη σχολή του Πυθαγόρα υποτίθεται ότι συμμετείχαν και γυναίκες. Αυτά έχουν μεταφερθεί. Υπάρχουν λοιπόν πολλά. Κάπου εδώ, μάλλον ας πάω και στην επόμενη διαφάνεια και να σταματήσω. Έτσι είπα ότι αν πάρουμε τα βότσαλα και τα χωρίσουμε σε δυο ομάδες και έχουμε δυο ομάδες που έχουν τον ίδιο ρυθμό βότσαλα, τότε λέμε ότι αυτός είναι ένας άρτιος ρύθμος. Περίπτωση αν δεν είναι. Τι μπορούμε να αποδείξουμε έτσι, ακόμη και νοερά μπορούμε να το αποδείξουμε, ότι αν πάρω δυο άρτιους και τους προσθέσω, δυο ομάδες άρτιους, τους έχω χωρίσει έτσι σε δυο ομάδες, τότε όταν τους προσθέσω θα πάρω ένα άρτιο. Το τετράγωνο ενός αρτίου είναι και αυτός άρτιος. Έτσι, για να δούμε λίγο αυτή την επόμενη διαφάνεια, ποιοι είναι τετραγωνικοί αρισμοί και ποιοι είναι τριγωνικοί αρισμοί. Τετραγωνικοί αρισμοί, γιατί αυτά είναι προβλήματα τα οποία ενδιαφέροντα. Ποιοι είναι τετραγωνικοί αρισμοί, αρισμοί που τους τοποθετώ και παίρνω ένα τετράγωνο. Ποιοι αρισμοί είναι τετραγωνικοί, αρισμοί της μοφής 1 στο τετράγωνο, έτσι αυτό λέει, οι αρισμοί που τους τοποθετώ με αυτό τον τρόπο και παίρνω ένα τετράγωνο. Εντάξει, ποιοι φυσικοί αρισμοί είναι της μοφής ένα τετράγωνο. Αν πάρεις το 25, το 25, όπως και αν πάρεις το 1 και το 3, έτσι, και το 5 και το 7 και το 9, εντάξει, αυτοί οι αριθμοί, έτσι, αν τους πάρεις και τους προσθέσεις και τους βάλεις με αυτό τον τρόπο, τότε παίρνεις ένα τετράγωνο. Εντάξει, και το 25 είναι τετραγωνικός αριθμός στο αθλησμά τους. Ποιοι άλλοι αριθμοί είναι τετράγωνα, έτσι. Ισχύει γενικά ότι ένα τετράγωνο, τετραγωνικός αριθμός είναι αθλησμά των περητών. Έτσι, μπορείτε να το δείξετε. Μπορείτε να το δείξετε. Σκεφτείτε το, δεν είναι τόσο μακριά μας, όπως και ποιοι αριθμοί μπορώ να φτιάξω ένα τρίγωνο. Το 21, γιατί τα μέτρησα αυτά, μας βγαίνει να είναι ένα τρίγωνο. Πόσο ξεκινάω, θυμίζετε το τρίγωνο του Πασκάλ. Μία στην κορυφή, δύο από κάτω, συνεχίζω, τρία και τα λοιπά. Και μάλιστα, να έχει και ένας τρόπος για να το σκεφτεί κανείς και να το αποδείξει. Έχει και το σχήμα από κάτω. Έτσι, ποιοι αριθμοί είναι τριγωνικοί, ποιοι αριθμοί είναι τριγωνικοί, πώς προκύπτουνε, πώς προκύπτουνε αυτοί. Ερωτήσεις δεν ζητάω τις απαντήσεις τώρα. Εντάξει, να σταματήσουμε εδώ και να συνεχίσουμε αύριο.