Μάθημα 5 (Μέρος Γ) / Μέθοδος «Διαίρει και Βασίλευε» και Εφαρμογές της - Ζαρολιάγκης Χρήστος (ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, 2014)
Μέθοδος «Διαίρει και Βασίλευε» και Εφαρμογές της: Το σημερινό μάθημα συνεχίζουμε από κει που μείναμε χτες και αφορά και τότε συνέβη το σημερινό μάθημα τις μεθόδους επίλυσης αναδρομικών σχέσεων είδαμε τις μεθόδους συμμετοχή δήλωσαν βρώμης τη μέθοδο ανάπτυξης της διαδρομής και την άνοδο μέθοδο σωστής πρόβλεψης επαναληπτική μέσω όπου με την βοήθεια της μαθηματικής ιδιότητας τις αποδείξεις της απαγωγής μπορούμε να ήμασταν εντελώς σίγουρη για τον κλειστό τύπο των αναδρομικών σχέσεων που βρίσκουμε σήμερα στο χθεσινό μάθημα είχαμε μείνει στο πώς αναλύουμε αυτή είναι επώδυνη αναδρομή όσον αφορά τη μέθοδο εκδήλωσαν 72 χρησιμοποιώντας το δέντρο αναδρομή στο οποίο είναι μια διαισθητικά πολύ βολική ναυαγούς και αυτό που θέλω να σας θυμίσω ότι εδώ το δέντρο δεν είναι δυαδικό όπως είχαμε κάνει στο αρχικό μας παράδειγμα και μπορεί δηλαδή εξαρτάται από το πόση διορία εξαρτά εξαρτώνται από την σχέση εδώ είναι τρεις μαορί από νομική σχέση αλλά κάθε παιδί στο δέντρο θα έχει τρεις παιδιά ωραία και εκδηλώνοντας την αναδρομή του πάλι η μου το σκεπτικό είναι το ίδιο ότι θα πρέπει αρχίζοντας αυτά τα διαφορετικά στιγμιότυπα του δέντρου ξεκινάμε θυμίζω από ένα δέντρο ένα ακόμη που έχει κόστος τ ν το κόστος της αναδρομική σχέση θέλουμε να βρούμε και αυτό αντικαθιστά δεν ακούω ένα κόμβο με τρεις παιδιά και τρεις παιδιά γιατί τι είναι οι τρεις όροι που εξαρτώνται από του τ άλλα σε μικρότερου μεγέθους προβλήματα άνοιξε πόρτα και κεντρικός στόχος των αυτονομιστών κεντρικό κομμωτήριο συγκεχυμένη γνώση αντικαθίσταται από τον όρο της Ανδρονίκη σχέσεις όποιος δεν εξαρτάται από τα ρε και κάνουμε αναδρομή κάθε διαδικασία δηλαδή τώρα απαλείψουν το τ ν από τη ρίζα το τ ν Τετάρτη εμφανίστηκε στα παιδιά τώρα περνούμε καθένα παιδί και εφαρμόζουμε πάλι την αναδρομική σχέση για καθένα από αυτά από τους ώμους του επιπέδου ένα ωραία θα άρα θα αντικατασταθούν με κόστος η κάρτα θα προβάλλονται που τον 4ο πεδίο θα προηγείται κατά επτά και εδώ θα γίνει αυτό ήταν κατά επτά και αυτό για άλλους σκοπούς και συνεχίζοντας με αυτό τον τρόπο θα φτάσουμε κάποια στιγμή στο τελευταίο επίπεδο θα έχουν κόστος αν και πότε θα το ξέρουμε πως μπορούμε να το λύσουμε κι αυτό που κάνουμε όπως σας είπα παραπάνω συνοψίζονται στο ότι η χθεσινή προτού εκδώσουν τελευταίο κομμάτι της διάλεξες πάλι για αυτή τη συγκεκριμένη άνομη και αγαπήθηκε συζητήθηκε ότι όταν φτάσω σε ένα στοιχείο που ξέρουμε καμμένος στα κανένα σταθερό αριθμό πράξεων για να μπορώ να προτείνουν τη λύση του μέγα το σημαντικό είναι λοιπόν για να κάνουμε αυτή την ανάλυση θα πρέπει να κάνουμε να δούμε πόσα επίπεδα έχουμε πόσους κώνους έχουμε σε κάθε επίπεδο και ποιο είναι το κόστος του συγκεκριμένου κόμβου ωραία δηλαδή εδώ έχουμε τρεις κόμβους με κόστος ΝΔ εδώ έχουμε 9 κόμβους με κόστος ν δέκατα έκτα έτσι και μας δίνει συνολικά αυτό το κόστος του τρεις τέταρτα στο τραγούδι μειωνόταν 9 10 θα έχει ποινή τρεις το και αυτό θέλουμε και στο τέλος θα τα αφήσουμε για όλα τα επίπεδα για να βρούμε τη λύση της αναδρομικής σχέσεις επομένως πρέπει να ξέρουμε το μέγεθος του προβλήματος σε κάθε επίπεδο το πόση χολή ανήκουν σε κάθε επίπεδο και το πόσα επιπλέον το μέγεθος του προβλήματος την προηγούμενη δυάδες έστηναν γιατί γιατί κάθε φορά που βιώνουμε το μέγεθος του αρχικού προβλήματος διατάσσεται έτσι δηλαδή από το αρχικό πρόβλημα μεγέθους ν πηγαίνουμε σε τρεις προβλήματα αυτό μας λέει αυτή νομική σχέση που το καθένα έχει μέγεθος μητέρα και στα οποία αναδρομικά θα εκτελέσουμε τον αλγόριθμο μας δε μας ενδιαφέρει ποιος θα μπορεί ο ένα ενδιαφερόμενος το βλήμα συναινεί η τέσσερις στο πρώτο επίπεδο στο δεύτερο θα 94 στο τετράγωνο στον οδοντίατρό σας συντριβή και ούτω καθεξής αλλά στο επίπεδο ΑΑΑ παιχνίδια τέσσερις στην το αριθμός χωρίς φωνές στο ντουμπάι αυτό είναι ιδιότητα του Τριαδικού δεν στο δυαδικό δέντρο τον βιολιστή να ώρα εδώ είναι τρεις στην αυτών πολύ εύκολα μπορείτε να το βρείτε το συζητήσαμε και στο προηγούμενο μάθημα το κόστος λοιπόν κορυφώνονται πετρούλα γίνεται το γινόμενο αυτών των δύο δηλαδή έχουν τρεις της τρεις στην AIG κορυφές με το μέγεθος του προβλήματος που είναι ίδια τέσσερις στυγνά εάν θα μου δώσει αυτήν την ποσότητα είναι αυτό που θέλουν και μόνο του αυτό που δεν έχω βρει ακόμα το ύψος του δέντρου για να μπορώ να κάνω λάθος ώρα έκλεψαν το δέντρο όπως είπαμε χθες είναι δίωρο όχι διαδηλωτών δίωρο δύο τέσσερις θα πρέπει λοιπόν οι επαναληπτικές διαιρέσεις 1004 έτσι τον ίδιο τέσσερις στην ΕΣΣΔ όπου ήδη είναι αριθμός των διεργασιών που θα εκτελέσουν ωραία να μου δώσουν ένα γεωπόνο για σένα το οποίο ξέρω πώς να επιλύσουν από τις αρχικές συνθήκες ωραία πότε συμβαίνει αυτό όταν το σύνολο του αριθμού του ν με βάση το τέσσερις και πάλι εξήγησε έτσι και παραπάνω που προτείνουν ολογράφως δύο στο τάστο 10 μια σημασία μπορεί να μετατραπεί με την ιδιωτών Ευρώπης βάσω αριθμό σε λογαριασμό του ίδιου του αντ αυτού σας συμβολικό και αυτό που κάνουμε τώρα άτοκων Λευτέρη Πετρούνια τόσο γράφεται έτσι και έτσι έχουμε λοιπόν το ποσοστό Λευτέρη επιτέλους το κόστος των προηγούμενων επιπέδων τοπίο φάσα παικτών αν αυτό είναι μια γεωμετρική 1000 τόνοι ήρθε έξω αυτών μια γεωμετρική είδαμε λόγω μικρότερο της μονάδας και προφανώς το βάδισμα πεπερασμένο πόρο είναι μικρότερο από το άθροισμα απλώνουν αυτές τις ημέρες επομένως αυτό όλο το μάθημα γίνεται του ν στην λογαριασμούς τρεις με βάση το τέσσερις κάτι σαν 0,0 0,8 μικρότερο υπογράμμισε πως δηλαδή αυτό που του κάθισμα αυτής της σειράς του βόρειου μάλλον το θεσμό της σειράς των απλών μπορούν είναι είναι ένα άδειο ένα μείον αν τον ρωτήσεις σειράς δηλαδή ποιότητας επομένως όλο αυτό μας δίνει ο κεφαλαίου κλείνει αυτό έτσι αν αυτοί δηλαδή η επίλυση αυτής της γραμμή της αναδρομικής σχέσεις έχει γραμμικό χρόνο γραμμικό κλειστού τύπου αυτά θυμίζω το χθεσινό τη χθεσινή το τελευταίο κομμάτι της χθεσινής διάλεξη για τη σημασία των τώρα θα δούμε μια διαφορετικού είδους αναδρομική σχέση προσέξτε λίγο εδώ τι λέει αυτή η βρώμικη σχέση εδώ λέει ότι έχουμε ένα πρόβλημα μεγέθους ν το οποίο διασπάται σε δύο μικρότερα προβλήματα όπου δεν είναι ίσα τα μεγέθη τους το ένα έχει μέγεθος ΝΔ και το άλλο όχημα καθώς δύο ιδρυτών του βλέπετε και χρειαζόμαστε και συνευθύνη και συνδυασμό των λύσεων καταλαβαίνουμε τη διαφορά δεν είναι ίσως γιατί τα προβλήματα και αυτό αυτό ένα παράδειγμα όταν κάνουμε διασπάσεις εμείς μεγέθη προβλήματα και προσέξτε δεν είναι είναι παρόμοιο εκτός από ένα λεπτό σημείωμα με το προηγούμενο αλλά ζουν καλό θα είναι να δούμε πιο εύκολα το σημείο καταρχήν κάνουμε και πάλι την ίδια διαδικασία με το δέντρο της αναδρομής δηλαδή ότι έχουμε το τα αυτοκίνητα που θα σπάσει σε δύο προβλήματα μεγέθους τὸν τρίτο και δύο τα νιτρικά ωραία και συνευθύνη είναι χρόνος σύνθεσης στο Δίον μετά το καθένα από αυτά που χειμερινός τ μετρητά και αντίστοιχης αυτόν τούτον τον κόμβο θα πρέπει να διασπαστεί σε δύο προβλήματα ωραία πούνε έχουν μέγεθος ένα ένα και δύο ένα είναι μη τρίτα δύο τρεις και τα δύο τρίτα δύο τρεις το βλέπουμε αυτό νέα θα δουν λέω ότι το αρχικό πρόβλημα ήτανε που ήτανε το καυτό μίνι σαν δέντρο γίνεται σύμφωνα με αυτήν την αναδρομική σχέση πάνω έχουμε διάδικο έντονη δύο τα προβλήματα αυτά αλλά δεν είναι ίσο με το επτά με πρέπει διασπάται σε δύο προβλήματα όποια ανακαλέσουμε απόχρωση θέσεις τους συνδυασμούς τους σύνεση επί αυτά τώρα εδώ τα δύο προβλήματα θα αντικατασταθούν αυτό είναι αυτό εδώ το πρόβλημα που αντιστοιχούσε στο επτά την κλείσε την αναδρομική σε μεγάλες προβλήματος μετρητά εφαρμόζοντας την ίδια νομική σχέση αλλά όπου μη βάζω το νιτρικά θα πάρουν ενώ City επιμείνουν Αντ Τρίτση και εδώ θα πω δυο πεδία όπου το ένα θα έχει κόστος ένα ένα το πρώτο σορούς και το δεύτερο θα έχει κόστος θα του δύο μ' έναν ωραία και συνεχίζω αυτή τη διαδικασια εδώ αντίστοιχα και βοηθούν το ενδιαφέρον εδώ έχω χαβαλέ όπου ν το 2λιτρο η επομένως το πρωτεύον πρόβλημα πόσο μέλος θα έχει όταν στο αριστερό μέλος διανύει βάλω δύο νιτρικά ο πρώτος όρος του δεξιού μέλους πώς θα γίνει το του βιώνει ένα παλάτι έχω το δύο Μητρίτσα των παραμέτρων και των 203 εκεί έχουν ήδη διατεθεί οτιδήποτε πάνω θα βιώσουν μια δύο τρεις αυτών λείπουν το ένα αντί για το άλλο παιδί pesto θα είναι τόσα χρόνια ακριβώς καταλαβαίνετε δηλαδή παίρνω ετοχών υπό προβλήματα αυτό πρέπει να θυμάστε τον διάδοχο να έχω πρόβλημα μεγέθους ΝΔ και εδώ έχουμε ένα πρόβλημα για τους δύο νιτρικά νέα το οποίο αντιπροσωπεύεται από το χρόνο αυτής της βρώμικης σχέσεις επομένως αυτό σύμφωνα με την αναδρομική σχέση θα σπάσει σε έναν χώρο που δεν ξερω γω ταφούν εσύ επιβιώνει τρίτον την εδώ είναι που βγάζετε PC και σε δύο άλλα προβλήματα που το ένα έχει μέγεθος το ένα τρίτο αυτών δύο ΝΔ διατρέχουν δύο μια ομάδα και το άλλο έχει μέγεθος τα δύο τρίτα αυτών με τέσσερις είναι ένα καταλαβαίνουμε σημασία κατάλαβα γιατί έχει σημασία γιατί και μετά θα δούμε πώς θα κάνουμε τις πράξεις απλά εδώ Συνεχίζοντας βλέπουν ότι ένα χρυσό κατά μέλι μπισκότα πάντα συνευθύνη κόστος και το θέμα είναι πόσα είναι τα επίπεδα αυτά τώρα ποιο είναι το χιόνι το ύψος του δεν που θα προσδιορίσω προσέξτε το δέντρο αυτό είναι ασύμμετρο για την συμμετοχή δεν είναι δηλαδή άρα τα φύλλα του όταν σταματήσουν δεν θα ανήκουν όλα στο δείπνο γιατί γιατί προσέξτε ξεκινάμε από να μένει ένα πρόβλημα μεγέθους ν μετά πάμε ο αριστερός κλάδος εδώ πάει στην μέγεθος ξανά πρόβλημα για τη ΝΔ μετά πάει σε 9 ένα ΠΑ κ μετά την 20η εβδομάδα και ούτω καθεξής ούτε εξής κλάδος θα πάει σε ένα μέγεθος από μισή δύο νιτρικά σε 4.1 η σε δύο τρίτα στην Κρήτη ποινή θα πάει πιο αργά αυτά στη μονάδα καταλαβαίνουμε γιατί είναι έτσι επειδή έχουμε δύο προβλήματα που είναι ένα τρίτο δύο τρίτων δεν είναι ακριβώς στη μέση το πρόβλημα που είναι μεγαλύτερο θα θέλει ένα μεγαλύτερο αριθμό διαιρέσεων για να φτάσουμε στη μονάδα σε ένα στοιχείο δύο στοιχεία που τους ξέρουμε πώς θα λύσουμε το πρόβλημα το καταλαβαίνουν αυτό δηλαδή να ξεκινήσετε αποδέχεται 300 αντικείμενα που διαιρείται σε ένα πρώτο διότι η κατοχή διάκος και διαιρείται σε 2.700 η NAFTA δηλώνοντας διά τρεις για να φτάσει στη μονάδα θέλει λιγότερες διαιρέσεις από το διαρκώς δίνοντας δύο τρεις για να φτάσει στη μονάδα αυτό ενώ Επομένως στην περίπτωση αυτή εδώ θα κοιτάξουμε πιο είναι σε κάθε επίπεδο playroom κόμβος πολύ το μεγαλύτερο μέγεθος νέα δηλαδή το το μέγεθος του μέγιστου προβλήματος το επίπεδο αλλά δεν είναι μη διάτρητα έστηναν πάντα ταπεινή ωραία είναι δύο τρίτα έστηναν και πίνει να διώξουμε ο αριστερός κλάδος είναι ένα τρίτο το όλο σύστημα να επιμείνει στο broadway αλλά ούτε εξής κλάδος το κόστος του προβλήματος είναι ν' επί δύο τρίτα επισήμανε την πρώτη φορά είναι δύο τρίτα έστηναν τα δύο τρίτα του φραγμού τέσσερις ένα δηλαδή και ούτω καθεξής αυτό λοιπόν είναι το μέγιστο πρόβλημα αυτό θα δούμε λοιπόν πόσους διαιρέσεις όπως επαναλήψεις πρέπει να κάνουμε μέχρι αυτό φτάσει στη μονάδα είναι κατανοητό προσοχή λοιπόν με αυτές τις αναδρομικές σχέσεις οι οποίες δεν διασπούν το αρχικό πρόβλημα σε σώμα για τα προβλήματά και αυτό είναι λοιπόν το μέγεθος έτσι το τώρα το ύψος του δεν γίνεται είναι ν κάποιοι διότι τα έστηνε τις λέμε πόσο πρέπει να είναι το ύψος του έτσι για να γίνει αυτό μονάδα και αυτό πρέπει να μας δώσει αυτό είναι άλλο πάλι ένα λογαριασμός αλλά με μια βάση που είναι θριαμβευτές της δηλαδή το είναι γράφουμε μια επί δύο τρίτα στην είσοδο μου τη μονάδα και αυτό το γράφω σαν ωραία πάω αυτό στο παλιό μέλος του γράφουν σαν τρεις Δευτέρα πίστιν έτσι θεωρούσαν μένει βλέπουμε ακριβώς το ίδιο επομένως εδώ για να βγάλω του ABC με λογαριασμό πρέπει να πάρω λογαριασμό με βάση αυτόν τον λόγο τρεις δεύτερα κοινή τότε και πάλι είναι μια μη πάλι ένα σταθερά επί των άρθρων του ν με βάση το δύο το καταλαβαίνουμε αυτό απλώς εδώ πρέπει να στείλει προσεχτικοί γιατί εξαρτάται λογαριασμούς εδώ θέλουμε να πάρουμε γιατί συμβαίνει αυτό έτσι για την σας βλέπω και 18 όπου το πρώτο που πρώτος όρος είναι είναι οι εξής επιλογών αριθμός στην 37 με βάση τρεις δευτερα τρεις δεύτερα ωραία και αυτό προφανώς κάνει μονάδα αυτό που βγαίνει η είσοδος στο αριστερό μέλος και γι' αυτό τον λογαριασμό αυτή τη βάση για να βάλεις αυτό κάνουν τον εξάχρονο δίνει μια αξιώσεων που θέλουν να πρωταγωνιστούν έτσι αυτό πρέπει να με τέσσερις πράξεις της αλλά όλα αυτά τα έχουμε πει ότι ο κεφαλαίου του λογαριασμού τόλμη με την ιδιότητα αλλαγής βασισμένα στο λογαριασμό παρακαλώ γιατί ναι λέω ότι αυτές τις υποδιαιρέσεις δηλαδή την την εκδήλωση της αναδρομής θα την κάνεις έτσι φόρεσε το ξέρεις αυτό που θα σταματήσεις όταν το μέγεθος του προβλήματος αυτό το μέγεθος και το πρόβλημα του έχεις πρόβλημα στον εδοεαπ έτσι το τελευταίο έτος του θανάτου είπε ευρώ έχεις ωραία και θα το κάνει θα περνάνε τέτοιου έτσι ώστε πολλά Plus τους ωμένο διότι τα στην αϊτή και πολλαπλασιασμό επί μήνες δίνει ένα στοιχείο που ξέρεις πως μάλιστα αναδρομή και μετά λύνεις την εξίσωση δε επομένως αυτό μας λέει ότι έχω λογαριασμό του ν επίπεδα ο κεφάλαιο του καρπουζιού με βάση το δύο το κάθε προϊόν κοστίζει συνευθύνη παρά αθροίζοντας παίρνω ως πρόβλεψη ότι η λύση αυτή σαν δρομείς είναι ο κεφάλαιο του Μηλιώνη νέα το καταλαβαίνουμε εδώ παράγων είναι η ίδια διαδικασία όπως και στα προηγούμενα απλά πρέπει να σταθώ σε εκδικείται με το μέγεθος του μέγιστου προβλήματος του ΔΟΕ αυτό θα σας δώσει το ύψος του δεν της αναδρομής τώρα πάμε να δούμε τη μέθοδο της να να επαληθεύσουν με δυνατότητα αντικατάστασης ότι όντως η λύση αυτής της αναδρομής σε τόσο δηλαδή θέλουμε να επαληθεύσουν θέλουμε να παλέψουμε ότι το ΤΤ είναι είναι ένα μικρότερο ίσως από ένα σταθερά α που πρέπει να προσδιορίσουμε επιλογών τι λέει εδώ είμαι γνώστης αναδρομής της συγκομιδής albert αντικατάστασης που είδαμε επαγωγή λέει τα εξής ξεκινάμε από την αναδρομική μας σχέση και δεν εφαρμόζουμε αναδρομικά επαγωγικά την υπόθεση αυτή για μεγέθη μη χειρότερα απόγονοι αυτό λέει η όλη υπόθεση το πρώτο λοιπόν αν ισχύει ακόμη η υπόθεση θα είναι α επί ΝΔ επιλέγουν αριθμούς του ενυδρείου θα έτσι το ενυδρείο θα είναι α επί ΝΔ λογαριασμούς Twitter η αυτό μου λέει αρχίζω υπόθεση συμφωνούμε του άλλο πόστο θα είναι α επιβιώνει τρίτο πυλώνα αριθμούς του διομήδη τον τόσοι έπαινοι το μεταφέρω πόσοι συμφωνούμε αυτό ισχύει για την πατρίδα μας υπόθεση πάμε να δούμε τώρα λοιπόν είναι α επί ΝΔ επιλογών αριθμό του μηνύουν λογαριασμό τρεις νέο ολογράφως του λόγου είναι η αφαίρεση των λογαριασμών εν α επιβιώνει τρίτον να κάποιοι λογαριασμούς προσπαθήστε λιγάκι αυτό το βιώνει τρίτα είναι δύο τρεις Δευτέρα σου το βιώνει τρίτα είναι ίδια τρεις δεύτερα όμως αυτόν λογαριασμό Μιωνή λογαριασμός τρεις Δευτέρα εδώ έχω Αΐν τρίτα επιλογών αριθμό του ν και εδώ έχω α δημήτρη επίλογο αριθμό δίνει πόσο κάνει αυτό σαν άθροισμα κάνει α νέα λογαρισμούς του ν φορέα είναι το α λόγω μη κοινός παράγοντας και κινείται αργά και δίνεται η ΝΔ διευρύνεται όταν θα γεννηθεί στο βόλο ωραία και μετά έχει α επί 07 λογαρισμούς του τρεις αυτό μου έμεινε από την πρώτη παρέθεσε σε νέα συν Α α ταξινόμηση χαρά δύο νιτρικά επίλογο αριθμούς τρεις δεύτερα σε μουσεία ποινή φορά πήραν τους δύο πρώτους σωρούς και έχω πάντα από τους δύο αυτούς φόρους τα δύο αριστερά μέρη τους κάνουν αυτό το λάθος μου και μόνο τα υπόλοιπα συμφωνούμε δίνει καταλαβαίνουμε το πρώτο χμ ΑΝΤ πλωτάρχη τρεις και το δεύτερο έχει μείνει α δύο νιτρικά επιλογών πράγμα το οποίο δεν νέα και έχουμε τώρα μειώνουν εδώ αυτό θα γράφει σαν τον αριθμό στους τρεις μειώνουν βιώνει τρίτον επίλογο αριθμούς του δύο σε μουσεία ποινή ωραία έχουμε λοιπόν αυτό μένει ως έχει αν αυτό είναι ν και πλωτά αριθμός των τριών έτσι βλέπουμε τις και αυτό εδώ είναι μονάδα επομένως έχω εδώ α είναι επιλογών αριθμός του τρεις μείον δύο τρίτα είναι σαφές που λαμβάνουν αυτή ΝΔ Λοβέρδος τρεις δίνεται καλόκαρδος τρεις κάνει λογαριασμούς τρεις λογαριασμούς δύο με βάση το δύο είναι πάντα επομένως μπαίνει Αΐν λογαριασμούς τρεις από το πρώτο κομμάτι μείον δύο τρίτα δύο βιώνει τον εφιάλτη νέα τώρα αυτό εδώ τσέλο εγώ να είναι μικρότερο από α ν λογαριασμός του ν ωραία αυτό έχω υπόθεση εντάξει παιδιά πότε συμβαίνει αυτό αυτό συμβαίνει όταν το μείον α Π.Ν. επιλογών αριθμούς του τρεις μειώνω δύο τρεις σε ένα για ποινή είναι μικρότερο ίσως από τον δεν συμφέρουν αυτά τα δύο ωραία που συμβαίνει αν και μόνο αν του α πάμε στο δεύτερο μέλος είναι μεγαλύτερο η τόνους πάστορας στο γραφείο δεν πειράζει α Π.Ν. ε αριθμός τρεις Μείον δύο τρίτα μεγαλύτερο ίσως από πόσοι και ποιοι φεύγουν κάνει άρα αυτό συμβαίνει όταν και μόνο όταν το α είναι μεγαλύτερο ίσως από άποψη διάλογο αριθμός τρεις μιλούν δύο αυτή είναι η σταθερά νέα και είναι κατανοητό ξεκινώ δηλαδή μαθηματικοί υπόθεση εδώ είμαστε μοναδική επαγωγή μας λέει ότι η επαγωγική υπόθεση σχοινί για προβλήματα δηλαδή αυτό ισχύει γιάννη αυστηρά για τιμές του μια αυστηρά μικρότερος από τον ν άρα και η ΝΔ και τα δύο τρίτα νέα αντικαθιστούμε αυτά τα δύο με την πρόβλεψή μας με την επαγωγική υπόθεση και κάνουμε τις πράξεις όπως αναλυτικά σας κατέγραψε και ευγένεια ότι βγαίνουμε σου αφού μετά τις πράξεις καταλήγουμε σε ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα και αυτό θέλουμε να μικρότερο εισόδημα από αυτό που έχουμε προβλέψει δεν σταματάμε εδώ και λέμε ότι αυτό είναι μια νόμιμη πρέπει αυτό να είναι μικρότερες από αυτό και όντως πότε συμβαίνει αυτό όταν επιλέξουμε σταθερά εδώ α την οποία είμαστε ελεύθεροι να επιλέξουμε έτσι γιατί εμείς να αποφασίζουμε ποια θα αναπτύσσεται σταθερά α αυτό που μας λένε είναι τόσοι λοιπόν οποιαδήποτε σύμβαση δοθεί αρκεί να επιλέξω σταθερά α μεγαλύτερης απόδοση διά λογαριασμό τρεις μείον δύο βρείτε για οποιοδήποτε σταθερά τέτοια α φυλάξουμε καλύτερη λύση από αυτήν που δίνει επαληθεύεται η λύση της εξίσωσης δηλαδή το κλειδί της ανατροφής και σοφή αναδρομική σχέση είναι ο παλαιός του Μηλιώνη άπλωσε το εξής ήταν λίγο παραπάνω λίγες παραπάνω κέντρο μαστού λίγο πιο προσεκτική επειδή δεν έχουμε τη διάσπαση του προβλήματος διόρισαν γόνιμα όπως την περασμένη ως πρόθεση να μάθουμε την ανάδρομη ήταν σε διόρισαν το προβλήματα του ίδιου μεγέθους υπάρχει μια απορία Γι' αυτό πουρέ πάμε τώρα σε μια την προτελευταία μας βρεθούν που ελεγχόμενη άνοδος αλλαγή μεταβλητών τι συμβαίνει εδώ εδώ προσέξτε λίγο τις προηγούμενες σχέσεις τώρα τόσο το αριστερό μέλος όσο και τον δεξιό μέλος της εξάρτησης του ν από την συνάντηση τ ήταν στην ίδια δύναμη μπορεί όμως να έχουμε εδώ διάσπαση προβλήματος σε προβλήματα που είναι πολύ μικρότερα από το αρχικό είναι έχουν μέγεθος βρίζανε για παράδειγμα έτσι και έχουμε εμφανίσεις τις δυνάμεις του διαφόρων δυνάμεων τον λογαριασμό του νιούτον Πιζανί και νόμιμη συγκρότηση στην περίπτωση αυτή μια πολύ βολική μέθοδος ελεγχόμενη μέθοδος αλλαγής μεταβλητών τι κάνουμε στην περίπτωση αυτή κάνουμε το εξής ξεκινάμε συνήθως από τον χαμηλό βαθμό εγώ όρο που εξαρτάται από τον ν που στην συγκεκριμένη περίπτωση των βαφτίζουμε αυτό δίνει ένα διαφορετικό όνομα το λέμε με εάν τομή είναι ίσο με το λογαριασμό του ν τότε τονίζει το νησί μα γιατί είναι δύο στη ν αυτός ορισμός του λογαριασμού κομμένες στο Μπιζάνι θα είναι διολισθαίνει Δευτέρα συμφωνούμε δεν κάνουμε τίποτε άλλο παρά μετονομασία του ENISA κάτι που εξαρτάται από το μυ και τώρα η αρχική μας αναδρομική σχέση γράφετε σαν ταυτότητα στη ν ίσο με δύο φορές το ΤΤ διολισθαίνει δευτέρας ν ωραία μέχρι εδώ παραμονεύει ένα μετασχηματισμός μια μετονομασία της αρχική σχέσεις έξω από το ν σ κατέγραψαν απότομη εδώ όμως το να κάνουμε μια δεύτερη 2η μετονομασία αυτό εξαρτάται αυτός όρος εξαρτώνται μόνο από το μικρόβιο είναι κάτι σταθερό τον βαφτίζουμε λοιπόν αισθητική αν αφήσουμε λοιπόν εθνικότητα τους δύο στιγμή τότε προφανώς έχουμε τη σχέση ας μη ίσο με δύο φορές του SPD φτερά αφού έσβηνε το αυτή τη στιγμή του ΕΣΠΑ δεύτερον το ΤΤ δίνει στην επτά όλοι έχουμε εκφράζουμε την επαναλαμβάνω μέσω μιας άλλης συνάντησης την εξάρτηση από απότομη χωρίς της σταθερές που εξαρτώνται από τα έχουμε λοιπόν τη σχέση στο μισό δύο φορές στο σπίτι αυτή τη στιγμή την οποία λύσαμε με τρεις διαφορετικούς τρόπους ελέγχου λοιπόν ότι κανένας από τους μετασχηματισμούς αυτούς το φτάνουμε στην άναψε μια δομική σχέση που ισοδυναμεί με την αρχική η οποία έχει ένα μορφή την οποία έδειξαν λένε μια διάσπαση αυτού του προβλήματος σε δύο προβλήματα σώμα για εθνικούς μ δευτέρα μεγεθύνει Δευτέρα και μη είναι συνδυασμός αυτό που λέγαμε που η αναδρομική σχέση αυτή νήσος δύο τ.μ. επτά σημεία που είχαμε πάρα πολλές φορές την οποία ξέρουμε όμως τώρα πώς μπορούμε να επιλύσουμε ωραία πώς μπορούμε να την επιλύσουμε ξέρουμε ότι ληστές συναινεί για λογαριασμό του με συμφωνούμε ελπίζω πάνω σε αυτό έτσι θα βρούμε πουλί που νοσηλεύονται ενώ ναι ναι όχι προφανώς όχι αφού οι όροι του φώναζε στους προφανώς μα είναι ένα εξαρτώνται αφήνει ένα σχέση έξοδα από το μικρόφωνο δεν επομένως αυτήν ξέρουμε να μιλήσουμε και το ερώτημα που προκύπτει είναι πως πιάνει λήσταρχοι όσο όμως και σε μη ξεκινήσαμε από αυτήν εδώ τη θέλω τη λύση αυτήν εδώ πάμε ακριβώς ανάποδο δηλαδή λέμε το τ ν το βαφτίσαμε ταυτο διολισθαίνει το πουλούσαν βαφτίσαμε έστω μη το EFQM είναι μη επιλογών αριθμό To me ton όμως ξέρουμε πώς σχετίζεται με τον το Ρόμνει και άτολμη είναι Λοντόνιο διπλούς λογαριασμούς του ν επομένως η λύση της αυγής μουσικές σταθμοί είναι λογαριασμός του ν επί διπλο λογαριασμό του ν το καταλαβαίνουμε διά ωραία το ξαναλέω άλλη μια φορά αυτό και μετά θα κάνουμε παράδειγμα Αλαβάνο όταν έχουμε αυτήν καθώς αλλαγής μεταβλητών συνήθως βολεύει όταν έχουμε διάφορες εμφανίσεις δυνάμεων του ν στην αναδρομική σχέση δηλαδή εδώ έχουμε αριστερά τόνισε είναι ένα δεξιά τόνισε είναι ένα δεύτερο και επίσης εμφάνισή της σύναψης λογαρισμούς του νίκου εκθετικά μικρότερη από τη συνάντηση αποστολή φορέων τι κάνουμε στην περίπτωση αυτή μετονομάσουν έτσι βαφτίζουμε δηλαδή το λογαριασμό του λιμένα διαφορετικό τρόπο τους ξεκινάμε από τον αποτίμηση από το ομώνυμο την εμφάνισή του είναι των χαμηλόβαθμων rock λένε λοιπόν ότι το μη χάσετε λοιπόν το λογαριασμό των ειδών το βαφτίζουμε μη που σημαίνει τόνοι είναι βιώσιμη αυτό είναι άμεσα συνεπώς όλοι είναι ορισμός λογαριασμό της επομένως αφού τον είναι δύο στη ν τονιστεί ένα δεύτερο τόνιζαν είναι δύο ώρες 57 ωραία και τότε η εξίσωση η αναδρομική σχέση γράφεται αυτό βιώνει ίσο με δύο φορές το ΤΤ μ δευτέρα σε μη κατανοητό τώρα εάν ξανά ορίσουμε σαν το ΤΤ δύο στην Nissan έστω μη γιατί αυτή εδώ υποθέτω ότι τα έξοδα μόνο απότομη εξάγουν δυο ωραία και προφανώς το αυτό δήλωσε την δευτέρα θα φάνε εστίν Δευτέρα τότε μπορούμε αυτήν εδώ αντιγράψουμε σαν έστω μη ίσον δυο φορές στην κατάρα στιγμή πουλί ένα μορφή την οποία επαναλαμβάνω έχουμε ότι δεν στο προηγούμενο μάθημα και έχουμε δει τουλάχιστον τρεις διαφορετικούς τρόπους θα δεν επιλύουμε επομένως αφού το ξέρουμε λοιπόν τη λύση αυτή συνεχώς κοστούμι στο έμεινε ο κεφάλαιο του ομίλου MIG και το ερώτημα είναι πως τώρα από αυτήν εδώ την σχέση πηγαίνουμε στήλη από την λύση αυτής εδώ της αναδρομής πηγαίνουν στη λίστα δικής μας ξανακάνουμε τους μετασχηματισμούς ανάποδα γιατί λέμε το τ ν το οποίο βαφτίσαμε σαν αυτό δύο στη στιγμή το οποίο είπα μου την στιγμή όλα φτάνει ίσα έστω είναι μήλο μη τομή όμως ξέρουμε ότι άλλο ν άρα η λύση του ταχίνι είναι λόγω ν επίλογο λόγω