Διάλεξη 9 / Διάλεξη 9 / σύντομη περιγραφή - Καρατζάς Κωνσταντίνος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2015)
σύντομη περιγραφή: Παρακαλώ, κύριέ μου, ευχαριστούμε πάρα πολύ για την ευκαιρία σας και για την ευκαιρία της κυβέρνησης σας. Ευχαριστούμε πάρα πολύ για την ευκαιρία σας και για την ευκαιρία της κυβέρνησης σας. Καλημέρα σε όλες και όλους, χαίρομαι που σας βλέπω και πάλι εδώ. Σήμερα τα πράγματα είναι διαφορετικά. Σήμερα θα μιλήσουμε για τυχαιότητα. Σήμερα θα μιλήσουμε για στοχαστικότητα. Και πώς αυτή, παρόλα αυτά που γνωρίζουμε μέχρι τώρα εγκυκλοπεδικά, δύναται να γίνει εργαλείο στα χέρια του μηχανικού και όχι μόνο. Για αυτό το λόγο, να διορθώσω και λίγο την εστίαση, θα μιλήσουμε για προσομοιώσεις, για τυχαίους αριθμούς και για τη μέθοδο Μοντε Κάρλο. Ξεκινώντας από το ότι ακόμη και οι πολύ μεγάλοι, μερικές φορές αποτυγχάνουν στις προβλέψεις τους. Έτσι λοιπόν, όταν μετά τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο ξεκίνησε δηλα-δηλα να χτίζεται ανάμεσα σε πολλές άλλες επιστημονικές περιοχές και περιοχή της μελέτης της τυχαιότητας και της στοχαστικότητας, μια από τις μεγαλύτερες μορφές των σύγχρονων και όχι μόνο μαθηματικών, ο Τζων Βον Νιούμαν, είχε πει ότι οποιοςδήποτε θεωρεί ότι μπορεί να χρησιμοποιήσει αριθμητικές μεθόδους για να παράξει τυχαίους αριθμούς, είναι προφανώς σε μια κατάσταση αμαρτωλή. Παρ' όλα αυτά όμως, η πραγματικότητα σε αυτό το σημείο προσπέρασε αυτή τη δήλωση. Σε άλλα σημεία η πραγματικότητα και η πραγματικότητα της μηχανικής βασίστηκε ανάμεσα σε άλλα και στη δουλειά του Βον Νιούμαν, ενός από τους γίγαντες της σύγχρονης επιστήμης. Για να δούμε λοιπόν τη μελέτη μηχανολογικών συστημάτων, σε μικρά γράμματα ελέγχω και την όραση όλων μας. Σε ανελκυστήρες για παράδειγμα, παράδειγμα ανελκυστήρων. Έχω ένα πολυόρφο κτίριο. Θα πρέπει να βάλω ξεχωριστούς ανελκυστήρες για άρτιους και περίτους ορόφους ή οι ανελκυστήρες να εξυπηρετούν όλους τους ορόφους. Η διαφοροποίηση μεταξύ των δύο θα αλλάξει την ταχύτητα εξυπηρέτησης. Σε έναν ουρανοξύστη να προσθέσω εκτός όλων των άλλων και έναν ανελκυστήρα εξπρέσ, ο οποίος θα πηγαίνει μόνο σε υψηλούς ορόφους συγκεκριμένους, θα βελτιώσει την εξυπηρέτηση των Χριστών. Σε έναν δρόμο. Ποιοι δρόμοι να μονοδρομηθούν όταν σχεδιάζεται μια επέκταση σχεδίου πόλεως, που χρειάζονται φανάρια. Ας πάμε σε αμυγός, αν θέλετε, μηχανολογικά προβλήματα και σταχειολογώ κάποια μόνο. Όταν έχω μια μοτοσυκλέτα με μονόμπρατσο ψαλίδι, ποιο είναι το μέγιστο εύρος απόκλεισης από τον άξονα που είναι αποδεκτό ώστε να λειτουργήσει αυτή η μοτοσυκλέτα, ή πώς πρέπει να ρυθμιστεί το σύστημα έγχυσης καυσίμου σε μία μηχανή εσωτερικής καύσης ώστε να βελτιώσω την απόδοση. Πώς μπορώ να χαρτογραφίσω τον κινητήρα, πώς μπορώ να ρυθμίσω τον κινητήρα έτσι ώστε χωρίς να μεταβάλλω τεχνικά χαρακτηριστικά του να ελαχιστοποιήσω κατά το δυνατόν την κατανάλωση και να μεγιστοποιήσω κατά το δυνατό την απόδοση. Εάν πάμε σε προβλήματα άλλου τύπου που και εκεί ο μηχανολόγος έχει λόγο, άποψη και επιστημονική παρουσία όπως το περιβάλλον, πότε θα υπάρξει υπέρβαση των επιπέδων ρύπανσης στο κέντρο της Θεσσαλονίκης ή εάν έχω ένα πρόβλημα με ρουλεμάν, ένα από τα πιο κλασικά στοιχεία μηχανών χάρις το οποίο εξελίχθηκε πάρα πολύ η μηχανολογία και όχι μόνο, ποιο ρουλεμάν ανάμεσα σε πολλά χαλασμένα εμφανίζει πρόβλημα στο σώμα κύλησης. Σε ένα κτίριο βιομηχανικό μεγάλο δημόσιο ιδιωτικό κτίριο όπως αυτό μπορώ να μιλήσω για την μελλοντική κατανάλωση ενέργειας και να την προβλέψω βασιζόμενος βασιζόμενη στο τι έκανε, τι κατανάλωσε αυτό το κτίριο στο παρελθόν. Εάν έχω μια αεροτομή, μια κλασική επίσης κατασκευή χάρις την οποία η αεροπλοή είναι κατέστη εφικτή, ποια είναι η πτώση πίεσης στον απόρου της αεροτομής, συναρτήση της κλήσης ως προς την γωνία πρόπτωσης του ρεθτού. Όλα αυτά και πολύ περισσότερα από αυτά αποτελούν προβλήματα που ο φοιτητής και αργότερα δικλωματούχος, μηχανολόγος, μηχανικός θα κλειθεί να μελετήσει και είναι ερωτήματα στα οποία θα κλειθεί να απαντήσει. Ανάμεσα στις πολλές προσεγγίσεις λοιπόν σημαντικό ρόλο παίζει η μελετήσει αυτών των συστημάτων. Πώς λοιπόν μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά αυτών των συστημάτων, μια λύση είναι η πειραματική προσέγγιση. Θέλεις να δοκιμάσεις εάν μονά και ζυγά ασανσέρ λειτουργούν καλύτερα από ενιαία ασανσέρ, φτιάξε μια πολυκατοικία με μονά, ζυγά, φτιάξε μια άλλη με κοινά και δοκίμασέ την. Πολύ ωραία μέθοδος, υπάρχει ένα πρόβλημα. Πρέπει να πληρώσεις και την κατασκευή. Θέλεις να δοκιμάσεις ποιο είναι το μέγεστο εύρος απόκλεισης του άξονα σε μονόμπρατσο πριν αρχίσουν τα λειτουργικά προβλήματα, αρχίζεις και δοκιμάσεις μοτοσυκλέτες. Πρόβλημα και εκεί, πόσες θα δοκιμάσεις, ποιος θα τις πληρώσει. Άρα λοιπόν, η πειραματική προσέγγιση μπορεί να απαντήσει σε κάποια ερωτήματα, όπως για παράδειγμα στο πώς συμπεριφέρεται μια ερωτομείς σε συνθήκες πτήσης. Για αυτό το λόγο και δημιουργούμε φυσικά μοντέλα. Κατασκευάζουμε λοιπόν ένα ομοίωμα της κατασκευής της πραγματικής υποκλήμακας και το εκθέτουμε σε συνθήκες λειτουργίας όμοιες με τις πραγματικές, καταγράφοντας, φωτογραφίζοντας, κινηματογραφώντας και μετρώντας με διάφορα όργανα και αισθητήρια μεγέθηκες συμπεριφορές. Αυτή είναι η πειραματική προσέγγιση στη μοντελοποίηση συμπεριφορά συστημάτων. Όμως, είναι αρκετή, διότι εμείς τι θέλουμε, να προσωμιώσουμε και να μοντελοποιήσουμε συστήματα, δηλαδή να διερευνήσουμε τη συμπεριφορά ενός συστήματος, πώς συμπεριφέρεται και για ποιον λόγο και να προβλέψουμε την κατάστασή του στο μέλλον. Οπότε, λοιπόν, βεβαίως και έχουμε, όπως είπα, τα φυσικά μοντέλα και τις πειραματικές προσεγγίσεις. Από την άλλη, έχω μια περιοχή που ονομάζεται μαθηματική μοντελοποίηση. Τι σημαίνει αυτό? Παίρνω το σύνολο των σχέσεων που εκφράζουν τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω στον άξονα του μονόμπρατσου Ψαλιθιού, όλες τις σχέσεις που απορρέουν από τη γνώση μου στατικής, από τη γνώση μου αντοχής υλικών θα κάνετε, από τη γνώση μου σε σχέση με σχεδιαστικά και λειτουργικά στοιχεία στοιχείων μηχανών επίσης θα κάνετε, από τη γνώση μου των υλικών διαμορφώνω τις εξισώσεις αυτές και τις επιλύω με στόχο να βρω μεγέθη, όπως η μέγιστη απόκληση από τον άξονα κτλ κτλ, η μέγιστη δύναμη που αντέχει κτλ. Αυτή είναι η λεγόμενη δετερμινιστική προσέγγιση, εκεί όπου θεωρώ πως έχω διαθέσιμη το σύνολο της γνώσης και διαθέσιμες το σύνολο των σχέσεων μαθηματικών, φυσικών κτλ σχέσεων που περιγράφουν τη συμπεριφορά ενός συστήματος. Εκραιμές, γνωρίζω πάρα πολύ καλά τη μαθηματική σχέση που διέπει την κίνηση ενός εκραιμούς. Άρα μπορώ ανά πάσα στιγμή να διερευνήσω τη συμπεριφορά ενός εκραιμούς και να προβλέψω το που θα βρίσκεται σε επόμενες χρονικές στιγμές. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις όπου αδυνατό να διαμορφώσω το σύνολο των εξισώσεων είτε γιατί είναι μεγάλο και πολύπλοκο το σύνολο των γνώσεων είτε γιατί δεν γνωρίζω λεπτομέρειες. Έτσι λοιπόν, ποια είναι άραγε η σχέση που υπάρχει μεταξύ της εισόδου σε μία ένα κυβώτιο ταχυτήτων και της εξόδου, μπορώ προφανώς να το μοντελοποιήσω ως προστηροπή αναλυτικά, θα μπορούσα όμως να το δω και ως ένα πρόβλημα μαύρου κουτιού. Έχω μια εισόδο, μια ροπή που μπαίνει, μέσα στο κουτί συμβαίνει κάτι, οτιδήποτε, και βγαίνει μια διαφορετική ροπή. Προσπαθώ λοιπόν να δω, μελετώντας το τι μπαίνει, εκθέτοντας το κουτί μου, το μαύρο κουτί σε διαφορετικές εισόδους και καταγράφοντας τις αντίστοιχες εξόδους, να δημιουργήσω ένα μοντέλο που θα προσωμιώνει το τι συμβαίνει στο κουτί. Και άρα, όταν θα βάλω μια καινούργια εισόδο, που δεν την έχει ξαναδεί το μοντέλο μου, να προγνώσω το τι έξοδο θα παραχθεί. Οπότε λοιπόν έχω δύο προσεγγίσεις υπολογιστικές. Την αναλυτική και την προσεγγιστική. Οι υπολογιστικές προσεγγίσεις έχουν να κάνουμε τη στοχαστικότητα λοιπόν. Για ποιον λόγο? Επιτρέψτε μου να πω ότι τα πράγματα δεν είναι όπως νομίζουμε. Ήδη στο σχέδιο δύο, ασχολήστε με ανοχές. Οι ενοχές υπάρχουν διότι οι μηχανολογικές και όχι μόνο κατασκευές δεν είναι αυτές που νομίζουμε. Έτσι λοιπόν, αν κάνουμε 100 άξονες για μονοπροτσοψαλίδη, δεν θα έχουν όλοι αυτοί ακριβώς την ίδια διάμετρο. Το γνωρίζουμε. Θα έχουν μια νομαστική όπως τη λέτε στο σχέδιο διάμετρο, σωστά, και θα υπάρχει και μια ανοχή ως προς την διάσταση της διαμέτρου, για να μη μιλήσω και ως προς τις ανοχές σχήματος, θέσεις κτλ. Άρα λοιπόν, ενώ εγώ θεωρώ πως η διάμετρός μου, ότι ο άξονας μου έχει διατομή κυκλική, είναι όντως έτσι. Είναι όλοι άξονες ίδιοι. Αν ήταν έτσι, τότε δεν θα είχαν κάτω από απόλυτα ίδιες συνθήκες λειτουργίας διαφορετικές συμπεριφορές. Για ποιον λόγο λοιπόν ένα ρουλεμάν, για παράδειγμα, κάτω από τις ακριβώς ίδιες συνθήκες λειτουργίας, και αυτό είναι από μόνο το επιστημονική φαντασία, δεν υπάρχει το ίδιες συνθήκες λειτουργίας. Αλλά έστω ότι όλα είναι ίδια. Γιατί ένα ρουλεμάν θα χαλάσει τις 5000 ώρες και το άλλο τις 5100 ώρες. Τι συνέβη? Πώς μπορώ εγώ να το προσεγγίσω αυτό? Ποια είναι η άποψή σας? Παρακαλώ, εσείς, τι νομίζετε ότι συμβαίνει και ένα ρουλεμάν άλλοτε χαλάς τις 5000 ώρες και άλλοτε τις 5100 ώρες. Όταν οι συνθήκες λειτουργίας είναι ίδιες, το ρουλεμάν έχει σχεδιαστεί και κατασκευαστεί από τους ίδιους ανθρώπους από την ίδια βιομηχανική μονάδα ακολουθώντας την ίδια σχεδιομελέτη με τα ίδια υλικά. Πείτε μου, τι σκέφτεστε. Τι σημαίνει πιθανότητα. Ο μηχανικός δεν μιλά όριστα. Ποια πιθανότητα. Ναι, χαίρο πολύ. Για ποιον λόγο χάλασε το ένα στις 5000 και το άλλο στις 5000. Είναι όλα ίδια. Πάντοτε προσέχουμε τι λέμε. Ακρίβεια, σαφήνια, λιτότητα, δωρικότητα στην έκφραση. Εννοούμε τα πάντα. Τι σημαίνει είναι ίδια. Υπάρχει το είναι ίδια. Είναι το μέταλο από το οποίο κατασκευάστηκαν δύο διαφορετικά ρουλεμάν απόλυτα ταυτόσυμο. Είναι οι διαστάσεις απόλυτα ίδιες σε επίπεδο μικρομέτρου. Άρα λοιπόν είναι δύο ίδια ρουλεμάν. Είναι δύο ρουλεμάν που ανήκουν στην ίδια οικογένεια. Είναι δίδημα ρουλεμάν. Δεν είναι το ίδιο άτομο. Δεν είναι το ίδιο ρουλεμάν. Οι δίδημοι συμπεριφέρονται σχεδόν με τον ίδιο τρόπο, όχι όμως με τον ίδιο τρόπο. Απόλυτα. Ποιες είναι λοιπόν οι μικρές διαφορές που οδηγούν σε αποκλήσεις. Και εδώ ξεκινούμε και άλλα πράγματα. Διότι εδώ αρχίζει και ελοχεύει το χάος. Εάν αφήσετε μια βρύση ανοιχτή έστω κατά 2 χιλιοστά και μια βρύση ανοιχτή κατά 2,1 χιλιοστά γιατί ο ρυθμός με τον οποίο στάζει η πρώτη σε σχέση με τον οποίο στάζει η δεύτερη μπορεί να είναι τελείως διαφορετικός. Διότι υπάρχουν στοχαστικά μεγέθη η πίεση του δικτύου, οι κατασκευαστικές ανοχές της διαμέτρου της βρύσης, του ελαστικού της φλάντζας που στεγανοποιεί κτλ. που καθιστούν τις δύο βρύσσες διαφορετικά. Συστημάτος. Και από το χάος γνωρίζουμε ότι μικρές αλλαγές στις αρχικές συνθήκες οδηγούν σε πολύ μεγάλες διαφορές στη συμπεριφορά του συστήματος μετά από αρκετά χρονικά βήματα. Εδώ λοιπόν μπαίνει το θέμα της στοχαστικότητας. Και μία μέθοδος για να αντιμετωπιστεί η στοχαστικότητα είναι το να την χρησιμοποιήσουμε στις μοντελοποιήσεις μας. Τι σημαίνει λοιπόν αυτό? Για να δούμε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα. Επολογίστε μαζι τά εδώ το πρόβλημα τον όγκο στερεού που δημιουργείται από την τομή σφαίρας και κυλίντρου. Η σφαίρα έχει ακτίνα 1 και κύβου συγγνώμη και πλευράς 2 με το ίδιο κέντρο με αυτό τη σφαίρας. Άρα έχω μια σφαίρα που έχει ακτίνα 1 και έχω και έναν κύβο που έχει πλευρά 2. Σε δύο διαστάσεις. Υπάρχει ένα στερεό το οποίο διαμορφώνεται αν από τον κύβο αφαιρέσω τον όγκο της σφαίρας. Πώς μπορώ να υπολογίσω τον όγκο αυτού του στερεού? Με κλασική διαδικασία, εντετερμινιστική λοιπόν, είναι το να πω πως ο όγκος του κύβου είναι 8 απευθείας, είναι 2 στην τρίτη, ο όγκος της σφαίρας είναι 4 τρίτη, πήρω τρίτης, αφαιρώ τα δύο και βρίσκω ότι ο όγκος αυτός είναι ίσως με 3,8112 οτιδήποτε και αν είναι αυτό, ας πούμε κυβικά μέτρα. Υπάρχει άλλος τρόπος. Για να δούμε μια άλλη διαδικασία. Σκεφτείτε ότι εγώ διασπείρω μέσα στο σώμα της σφαίρας και στο σώμα του κύβου τυχαία πάρα πολλά σημεία και ότι κάθε σημείο, κάθε κόκκος άμμου που πετάω μέσα σε αυτούς τους όγκους, έχει την ίδια πιθανότητα να βρεθεί σε οποιαδήποτε θέση της σφαίρας και του κύβου. Εάν αυτό ισχύει, τότε μήπως μπορώ να υπολογίσω τον όγκο της σφαίρας βρίσκοντας το κλάσμα του μεγάλου αριθμού τυχαίων σημείων που έχουν μπει στον κύβο αλλά είναι εκτός σφαίρας. Δηλαδή να βρω πόσα σημεία βρίσκονται σε όλο τον κύβο, να βρω και πόσα βρίσκονται μέσα στη σφαίρα και να υπολογίσω ένα κλάσμα. Πώς μπορώ να το κάνω αυτό. Για να δούμε πού θα οδηγηθώ με αυτή τη διαδικασία και έτσι να εισαχθούμε σιγά σιγά στην λειτουργία της προσομοίωσης με τη βοήθεια τυχαίων αριθμών. Έστω λοιπόν, κέντρο κύβου στο 0-0-0. Ωραία. Άρα έχω ένα σύστημα συνδεταθμένο. Έχω ένα χ, ψ, ζ και η σφαίρα βρίσκεται στο 0-0-0, το κέντρο της σφαίρας. Έχω και του κύβου. Έχω έναν μεγάλο αριθμό σημείων. Ας πούμε εδώ 100.000 σημεία. Και αρχίζω και μετρώ τον αριθμό των σημείων που βρίσκονται διάσπαρτα στα γεωμετρικά σώματα που μελετώ. Ποια είναι τα σημεία που βρίσκονται εντός του κύβου πρώτα απ' όλα. Και έτσι λοιπόν σας παρουσιάζω και την συνάρτηση παραγωγής τυχαίων αριθμών. Είναι η RAND. Η συνάρτηση RAND παίρνει ως όρισμα στοιχεία που δείχνουν τον αριθμό των τυχαίων που θέλουμε να παράξουμε. Εδώ ν, 100.000 και θα είναι 100.000 γραμμές σε τρεις στήλες. Αυτή η συγκεκριμένη διατύπωση της RAND παράγει έναν πίνακα μη γραμμών, 100.000 γραμμών, τριών στυλών. Διότι θέλω μία στήλη για τις τυχαίες συνδεταγμένες χ, μία για τις τυχαίες ψ και μία για τις ζ. Και το βαφτίζω αυτό το διάντισμα, αυτόν τον πίνακα χ ψ ζ. Αυτά τα σημεία είναι διάσπαρτα στο σύνολο του κύβου. Πρώτο ερώτημα. Για να απαντήσουμε σε αυτό πρέπει να ξέρουμε τι είδους σημεία παράγει η RAND. Η RAND λοιπόν παράγει σημεία που βρίσκονται μεταξύ του 0 και του 1. Οπότε η συνάρτηση, η γενήτρια τυχαίων αριθμών RAND παράγει στοιχεία τα οποία είναι ισοκατανεμημένα μεταξύ 0 και 1. Και για να σας το δείξω αυτό έχω ετοιμάσει δύο ιστογράμματα. Εδώ λοιπόν βλέπετε ένα ιστογράμμα που αποικονίζει χίλιους τυχαίους αριθμούς. Τους ζήτησα να παράξει χίλιους τυχαίους αριθμούς. Βλέπετε την κατανομή. Πρακτικά, αυξάνοντας το αριθμό των σημείων, θα δείτε ότι ισοκατανέμονται μεταξύ των τιμών 0 και 1. Έχω λοιπόν την ίδια ενιαία πιθανότητα να συναντήσω οποιαδήποτε τιμή μεταξύ 0 και 1. Και κάθε μια από αυτές τις τιμές είναι τυχαία. Έχω άλλη συνάρτηση παραγωγής τυχαίων αριθμών, βεβαίως. Έχω την RAND 1. Η διαφορά της είναι... Σας δείχνω το αντίστοιχο διάγραμμα. Η διαφορά της είναι ότι ενώ οι αριθμοί που βλέπετε είναι τυχαίοι, δεν έχουν την ίδια πιθανότητα να λάβουν οποιαδήποτε τιμή, αλλά ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και τυπική απόκλειση 1. Αυτό τι σημαίνει ότι από τη μία έχω τυχαίους αριθμούς, και θέλω την προσοχή σας εδώ, έχω τυχαίους αριθμούς των οποίων οι τιμές έχουν ενία ίδια πιθανότητα να βρίσκονται μεταξύ οποιοδήποτε σημείο στο διάστημα 0-1. Ενώ οι τυχαίοι αριθμοί που ακολουθούν την κανονική κατανομή προφανώς δεν είναι ισοπίθανη, δηλαδή οι περισσότεροι από αυτούς θα συγκεντρώνονται γύρω από τη μέση τιμή. Και η RAND1 παράγει τυχαίους με μέση τιμή 0 και τυπική απόκλειση 1. Και μπορώ βέβαια να παραμετροποιήσω και τη μέση τιμή και την τυπική απόκλειση και να το αλλάξω αυτό. Για ποιον λόγο με ενδιαφέρουν οι τυχαίοι που ακολουθούν την κανονική κατανομή, διότι όταν, για παράδειγμα, εσείς σχεδιάζετε ένα τρίμα σε ένα έλασμα στο σχέδιο 1, εάν αυτό το έλασμα το φτιάξετε 100 φορές και το μετρήσετε με ακρίβεια, το κατασκευάσετε 100 φορές και το μετρήσετε με ακρίβεια, θα δείτε ότι η διάμετρος του τρίματος του έλασμα ακολουθεί την κανονική κατανομή. Έχει μία μέση τιμή που είναι, αν όλα πήγαν καλά στην κατασκευή σας, η ονομαστική διάσταση που βάλατε εσείς, αν δεν πήγαν καλά τα στοιχεία, δεν είναι αυτή που νομίζετε, και έχει μία τυπική απόκληση που καθορίζεται από την ανοχή και της καταργασίας και της μηχανής, της συνολική κατασκευαστική ανοχή. Έτσι λοιπόν, επειδή πάρα πολλές κατασκευές, όχι μόνο μηχανολογικές, πάρα πολλές κατασκευές και πάρα πολλά φαινόμενα, φυσικά φαινόμενα, ακολουθούν την κανονική κατανομή, κλασικό παράδειγμα. Θέλετε να πετύχετε με την κυμολία έναν συμφυτητή σας στο διάλειμμα. Κάνετε εκατό βολές, καταγράφετε με απόλυτη ακρίβεια το που προσδιώθηκε η κυμολία σε σχέση με τον συμφυτητή σας. Θα συνειδητοποιήσετε ότι η απόσταση μεταξύ του πραγματικού στόχου και του σημείου προσγείωσης ακολουθεί την κανονική κατανομή. Ένα από τα πρώτα παραδείγματα που δημιούργησαν την αίσθηση της κανονικής κατανομής ήταν δυστυχώς στρατιωτικής φύσης και είχαν να κάνει με την ακρίβεια βολών πυροβολικού, όπου συνειδητοποίησαν πως η βολή ακολουθεί κανονική κατανομή. Άρα, μας χρειάζονται τυχαίοι αριθμοί που ακολουθούν την κανονική κατανομή, έτσι συμπεριφέρονται πολλά μηχανολογικά και όχι μόνο συστήματα και κατασκευές και μας χρειάζονται από την άλλη τυχαίοι αριθμοί που είναι ισοπίθανη διότι με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να προσομοιώσουμε απόλυτα στοχαστικά μεγέθη παραδείγματα των οποίων θα δούμε στη συνέχεια και θα συζητήσουμε στο τέλος. Πρώτο ερώτημα λοιπόν, αυτές οι τρεις στήλες, είπαμε ότι με αυτόν τον τρόπο παράγουμε 10.000 σε 100.000 τυχαίους αριθμούς σε τρεις στήλες, άρα παράγω έναν πίνακα, 100.000 επί τρία. Οι συνδεταγμένες τους, ποια σημεία του κύβου αντιπροσωπεύουν, το σύνολο των σημείων του κύβου, από τη στιγμή που ο κύβος και η σφαίρα έχουν κέντρο στο 0-0-0. Για σκεφτείτε, έχω αποθετήσει έναν κύβο έτσι ώστε το κέντρο του να είναι στο 0-0-0 και έχω συνδεταγμένες για χυψηζέτα από 0 έως 1. Ποιο μέρος του κύβου αντιπροσωπεύουν αυτές τις συνδεταγμένες, όλο τον κύβο? Αλλά όχι λέει ο συνάδεφός σας, ποιο όμως μέρος, μπορούμε να το υπολογίσουμε. Πρακτικά, να απαντήσω, το μέρος του κύβου που αντιστοιχεί σε συνδεταγμένες που και οι τρεις είναι θετικές. Ποιο είναι αυτό? Είναι το 1 προς πόσο του κύβου. Εδώ σας θέλω, είσαστε πλέον πρωτοετής μηχανολόγοι μηχανικοί. Το 1 προς πόσο του κύβου αντιστοιχεί σε συνδεταγμένες που και οι τρεις βρίσκονται μεταξύ του 0 και του 1. Πείτε το, άποψη. Το 1 όγδο. Άρα λοιπόν, έχω το 1 όγδο των σημείων εδώ, έτσι. Η απόσταση κάθε σημείου από το 0 τώρα δίδεται από αυτή τη σχέση διανισματικά. Τι είναι? Είναι στοιχείο προς στοιχείο ύψωσης στο τετράγωνο κάθε γραμμής πρώτη στήλη, τα χ, συν για κάθε γραμμή δεύτερη στήλη τα ψ, συν για κάθε γραμμή τρίτη στήλη ζ. Έτσι δεν είναι. Όταν έχω τρεις στήλες αριθμών που εκφράζουν συνδεταγμένες σημείων, τότε η απόσταση τους από το 0 είναι το άθρισμα του τετραγώνου του πρώτου, της χ, του δεύτερου ψ, του τρίτου ζ και όλο αυτό κάτω από μια τετραγωνική ρίζα. Αυτή λοιπόν είναι η απόσταση κάθε σημείου από το 0. Εφόσον αυτή είναι η απόσταση, και υπάρχει και άλλος τρόπος οικολογισμού σε MATLAB εδώ, πολλές εναλλακτικές σχέσεις μπορούμε να βρούμε, εδώ σας προσκαλώ να έρθετε με καλύτερη διατύπωση και διαπίστοση από αυτή που κάνω εγώ εδώ. Πόσα σημεία από αυτά βρίσκονται εντός της σφαίρας? Κυρία μου, εσείς, πόσα σημεία, η τελευταία κυρία, πόσα σημεία βρίσκονται εντός της σφαίρας? Για να υπολογίσω τον αριθμό των σημείων εντός της σφαίρας, πρέπει πρώτα να ορίσω μαθηματικά τη σφαίρα. Έτσι δεν είναι. Έχω ένα σύνολο από σημεία και έχω ένα σύνολο από αποστάσεις. Άλλες είναι μικρές και άλλες μεγάλες. Αν το κάνω σε δύο διαστάσεις, αυτό ουσιαστικά είναι ένα τέτοιο θέμα. Εγώ έχω σημεία που μπορούν να βρίσκονται οπουδήποτε μέσα σε αυτό το τετράγωνο. Ναι, λάθος σχήμα. Έχω σημεία που μπορούν να βρίσκονται οπουδήποτε μέσα σε αυτό το τετράγωνο, άρα σε τρεις διαστάσεις οπουδήποτε μέσα σε αυτό τον κύβο. Και θέλω να δω ποια από αυτά τα σημεία βρίσκονται μέσα στη σφαίρα. Τα σημεία που βρίσκονται μέσα στη σφαίρα ικανοποιούν την εξίσωση σφαίρας. Οι οποίοι είναι ποια? Άποψη, κάποιος, είναι η επέκταση της εξίσωσης κύκλου. Και βέβαια είναι αυτά που έχουν απόσταση μικρότερη από 1. Έτσι δεν είναι. 1 δεν είναι η διάμετρος εδώ. Άρα, εγώ δεν υπολόγησα λίγο πριν το σύνολο των αποστάσεων, των 100.000 σημείων από το σημείο 0-0. Άρα, αν βρω τώρα τα σημεία αυτά, με το οποίο η απόσταση είναι μικρότερη από 1, είμαι σίγουρος ότι βρίσκονται εντός στη σφαίρα. Πώς μπορώ να το κάνω αυτό? Εφόσον το διάνισμα ραντιή περιέχει τις 100.000 τιμές των αποστάσεων, το διάνισμα ραντιή είναι ένα διάνισμα πόσων σημείων όσες οι γραμμές του χυψηζέτ. Πόσες είναι οι γραμμές του χυψηζέτ? Νι. 100.000 στην περίπτωσή μας. Άρα, νι τριπλέτες σημείων περιελάμβανε το χυψηζέτ. Από κάθε τριπλέτα σημείου, χυψηζέτ υπολόγησα μία απόσταση. Άρα το ραντιή έχει 100.000 τιμές, 100.000 αποστάσεις. Είναι λοιπόν ένα διάνισμα με 100.000 τιμές. Εάν εγώ ζητήσω τα στοιχεία του ραντιή που είναι μικρότερα από 1 και θρήσω τον αριθμό αυτών των στοιχείων, τότε θα υπολογίσω το σύνολο των σημείων που βρίσκονται εντός σφαίρας. Και βέβαια είναι ο μόνος τρόπος για να το υπολογίσω αυτό σε μάτλα που είναι διανισματικά. Έχω κι άλλους τρόπους. Ένας ακόμη για παράδειγμα θα ήταν αυτός. Αντί να βρω το sum του ραντιή μικρότερο του 1, το οποίο τι σημαίνει. Τρέξε πρώτα τον έλεγχο ραντιή μικρότερο του 1. Άρα για κάθε ένα από τα νη σημεία του ραντιή, πες μου αν είναι μικρότερο ή ίσως μικρότερο του 1. Η απάντηση τι θα είναι ναι όχι μηδέν ένα. Για αυτό το λόγο το αποτέλεσμα της εντολής ραντιή μικρότερο του 1 τι θα είναι. Θα είναι ένα διάνισμα πόσων στοιχείων όσων και το ραντιή μη 100.000. Που τι θα έχει όμως μηδενικά κι άσους μηδέν ένα. Είναι δεν είναι, είναι δεν είναι, είναι δεν είναι. Για αυτό το λόγο κι αν αθρίσω όλα τα στοιχεία τι αθρίζω. Όλους τους άσους. Τι αθρίζω δηλαδή το πόσες φορές κάποιο όντως είναι κάτω από ένα. Και βρίσκω των αριθμών των στοιχείων του ραντιή που είναι μέσα στη σφαίρα διότι έχουν απόσταση μικρότερη από 1. Διαφορετική προσέγγιση. Το ραντιή μικρότερο του 1 παράγει ένα διάνισμα. Βρίσκω τα στοιχεία του ραντιή τα οποία αντιστοιχούν σε αυτό το διάνισμα και το μήκος αυτού του διανίσματος. Και συζητώ όλα αυτά διότι έχουμε μιλήσει πολλές φορές και θα συνεχίσουμε μέχρι το τέλος του εξαμίνου. Να μιλούμε για τα αγαθά του διανισματικού όπως το λέμε το αποτελεσματικού προγραμματισμού που βοηθά να λύνουμε προβλήματα πολύ πιο αποτελεσματικά. Και έτσι λοιπόν τελικά το σύνολο των στοιχείων που βρίσκεται μέσα στη σφαίρα είναι count. Το σύνολο των στοιχείων που παράξαμε εμείς είναι νη. Άρα ο λόγος του συνολού των στοιχείων που βρίσκονται μέσα και έξω είναι count προς νη. Και έτσι ο όγκος που θέλουμε, αυτό αντιστοιχεί στο 1.8 όμως έτσι, ο όγκος που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι 1 μίωνο αυτό το κλάσμα οχτώ φορές. Διότι η αρχική περιοχή που περιγράψαμε με τα σημεία του χζ αντιστοιχεί στο 1.8 του κύβου. Και εάν υπολογίσουμε αυτό τον αριθμό, για εκατό χιλιάδες σημεία ο όγκος προκείται 3,8291. Με πραγματική τιμή 3,8112. Εάν αυξήσω τον αριθμό των σημείων που σπέρνω, επιτρέψτε μου την έκφραση, για να μετρήσω μετά πόσα είναι μέσα, πόσα έξω, τότε ο αριθμός των σημείων, το όγκος υπολογίζεται ως 3,8107, πολύ ψακοντά στην πραγματική τιμή. Έτσι λοιπόν, για πρώτη φορά στη ζωή μας, υπολογίζουμε ένα μέγεθος βασιζόμενοι στο τυχαίο στοιχείο. Βασιζόμενοι στην τυχαιότητα. Και βλέπουμε ότι ο υπολογισμός αυτός είναι πάρα πολύ ακριβής, καθώς αυξάνει ο αριθμός των σημείων που λαμβάνουμε υπόψη μας, όταν υπολογίζουμε το κλάσμα σημείων που βρίσκονται εντός και εκτός σφαίρας. Τι ερωτήσεις και απορίες έχουμε εδώ, ή θέματα προς συζήτηση. Προφανώς θα δούμε και περισσότερα πράγματα. Το σύνολο του κώδικα που έχουμε ήδη δει είναι διαθέσιμο εδώ. Και βέβαια, όταν μιλούμε για τυχαιότητα, δεν μπορούμε να μην αναφερθούμε σε ένα τυχερό παίγνιο. Για να δούμε λοιπόν, εφόσον ξεκινήσαμε με ένα γεωμετρικό πρόβλημα, πώς μπορούμε να πάμε στα χωράφια της τυχαιότητας. Να προσωμιώσουμε μια ρουλέτα. Εδώ έχουμε τα εξής. Θέλω να προσωμιώσω ν ρίψεις σε μια ρουλέτα. Έστω ότι το ν είναι 100. 100 ρίψεις λοιπόν σε μια ρουλέτα. Το αποτέλεσμα πρέπει να είναι τυχαίο. Και πρέπει να λαμβάνει τη μέση μεταξύ του 1 και του 36, διότι έτσι είναι στιμμένη η ρουλέτα, σαν παιχνίδι. Άρα, προσέξτε, κάνω ένα μετασχηματισμό. Παράγω εδώ με τη χρήση της Rant, ένα διάνισμα που έχει μία γραμμή και ν στήλες. Άρα, ένα διάνισμα γραμμή, σωστά. Με πόσα στοιχεία, 100. Απλά, πολλαπλασιάζω, επειδή κάθε στοιχείο είναι τυχαία μεταξύ 0 και 1, εδώ θέλω κανονική κατανομή. Αν ήθελα κανονική κατανομή, θα ήταν σαν να λέω ότι στη ρουλέτα, δεν είναι όλοι οι αριθμοί ισοπίθανοι, ότι υπάρχει μέση και τυπική απόκλειση. Στα τυχερά πέγνια, δεν είναι έτσι τα πράγματα. Στα τυχερά πέγνια, εξ ορισμού, όλοι οι αριθμοί είναι ισοπίθανοι. Άρα, λοιπόν, πολλαπλασιάζω τα στοιχεία αυτού του διανίσματος με το 37 και με τη χρήση της φλόρ, στρογγυλεύω στον αμέσως προηγούμενο ακέραιο. Έτσι, λοιπόν, γνωρίζω ότι μπορώ να παράξω αριθμούς μεταξύ του 0 και του 36. Το 1, συγνώμη, και το 36. Είναι έτσι. Θα είχε κάποιος στους αριθμούς του 0. Ακριβώς, όπως επίσης θα μπορέσω να έχω το 36 σε ένα αποτέλεσμα, διότι είναι 0 κλειστό 1 ανοιχτό. Επί 37, στρογγυλεμένο στον προηγούμενο ακέραιο, θα το έχω, αλλά την μονάδα θα την έχω οπωσδήποτε μέσα. Μπορεί ναι, μπορεί και όχι. Έτσι, δεν είναι. Ποια είναι η γνώμη σας? Το ερώτημά μου είναι το εξής. Εάν κάνω αυτόν τον μετασχηματισμό, οι τυχαίοι που θα παράξω θα είναι μεταξύ του 1 και του 36. Θα έχουν και 0, έτσι, θα μπορώ να έχω και 0. Άρα, δεν είναι ο κατάλληλος μετασχηματισμός τον χρησιμοποιώ. Λοιπόν, εδώ, για να τονίσω ότι δεν είναι ο κατάλληλος μετασχηματισμός, τι μπορώ να κάνω, πρώτα απ' όλα, μπορώ να κάνω χρήση μιας άλλης συναρτησης τυχαίων αριθμών, που της Rand I είναι μια συναρτηση που παράγει ακέραιους τυχαίους. Και η οποία παίρνει σαν όρισμα το εύρος μέσα στο οποίο θέλω να είναι οι ακέραιοι μου. Και έτσι τελειώνω. Η Rand, λοιπόν, παράγει τυχαίους αριθμούς. Και στρογγυλεύουμε εδώ. Πόσες φορές ήρθε το κάθε αποτέλεσμα. Εάν κάνω 100 ρίψεις, πόσες φορές έρχεται το κάθε αποτέλεσμα. Κάνω το ιστογράφημα, το ιστόγραμμα της αρχή σε 37 κλάσεις. Και βλέπω τα αποτελέσματα. Βλέπετε ότι κάποιοι αριθμοί προέκυψαν πολλές φορές, κάποιοι λιγότερες, και υπήρξε και ένας αριθμός, 15, 16, 17, το 18, που φαίνεται, το οποίο δεν ήρθε καμία φορά. Εάν ξανατρέξω το πρόγραμμά μου, θα παράξω το ίδιο ιστόγραμμα? Όχι, διότι η γενήτρια τυχαίων παράγει άλλους τυχαίους, κάτι που επίσης θέλω να έχετε απόλυτα κατά νου. Κάθε φορά που παράγω τυχαίους, η τυχαία αυτή είναι καινούργη. Σε επίπεδο φόρτραν, τα πράγματα είναι λίγο διαφορετικά, να το σχολιάσω, και εκεί έχω γενήτρια τυχαίων αριθμών, και εκεί μπορώ να έχω κάθε φορά καινούργιους τυχαίους, απλά χρειάζομαι καινούργιο σπόρο, όπως τον λέμε κάθε φορά. Στην φόρτραν, η κατάσταση μοιάζει με το εξής. Είναι σαν να έχω ένα σακούλι με τους αριθμούς, ας πούμε από το 1 έως το 10, και να σας λέω, τραβήξτε τυχαίους αριθμούς. Αν δεν ανακατεύσω το σακούλι, κάθε φορά που βάζω το χέρι μου, βάζω τους ίδιους αριθμούς. Άρα, εκεί υπάρχει και μια διαδικασία ανθρώπιση των περιεχομένων, ώστε να είμαι σίγουρος ότι οι αριθμοί μου δεν θα προκύψουν με τον ίδιο τρόπο. Τώρα, εφόσον είναι έτσι τα πράγματα, πώς μπορώ να βρω συγκεκριμένα αποτελέσματα. Για να σας δω λίγο τώρα στο διανισματικό μέρος. Από τη στιγμή που θυμίζω, το χ είναι ένα διαάνισμα που έχει διάφορες τιμές. Πόσες τιμές? 100. Η στιγμή είναι μεταξύ 1 και 36 χονδρικά. Πώς μπορώ να βρω συγκεκριμένες τιμές? Για παράδειγμα, εάν ήρθε μηδέν, θέλω τις τιμές του χ για τις οποίες το χ είναι μηδέν. Έτσι δεν είναι? Ή πόσες φορές ήρθε αριθμός πάνω από το 30. Θέλω τις τιμές του διανείμασματος χ για τις οποίες τα περιεχόμενα του διανείματος χ είναι πάνω από 30. Ο διανισματικός λοιπόν δουλεύει πάρα πολύ καλά. Πόσες από αυτές τις τιμές είναι πρώτοι αριθμοί, με χρήση της S' μπορώ να το βρω. Και πόσες φορές προέκυψε κόκκινο, περιτός αριθμός. Θέλω τα στοιχεία του διανείσματος χ για τα οποία το ακέραιο υπόλοιπο της διαίρεσης του χ με το 2 είναι ίσο με 1. Υπάρχει ακέραιο υπόλοιπο λοιπόν. Πώς θα το έκανα αυτό παραδοσιακά, επειδή συζητήσαμε και την προηγούμενη φορά και με αφορμή το πρώτο θέμα και έχετε μόλις υποβάλλει το δεύτερο θέμα, διανεισματικό versus συμβατικό προγραμματισμό, κοιτάξτε πώς θα το κάναμε συμβατικά. Ένας τρόπος υλοποίησης συμβατικά. Θα του λέγαμε αρχικά Ρέντισον 1, μια αρχικοποίηση 0, ό,τι θέλουμε, και Ιαάη από 1 έως ν, εάν το ακέραιο υπόλοιπο της διαίρεσης του κάθες στοιχείας του χ με το 2 είναι 1, τότε προσέθεσε μια τυνήστρο με τριτή. Όλο αυτό προφανώς δεν μας είναι χρήσιμο, όταν μπορούμε με μία απλή διανεισματική να κάνουμε την ίδια δουλειά. Κάτω από αυτό το μήκος και εδώ πάνω βρίσκουμε τα στοιχεία. Ναι, πάνω βρίσκουμε τα στοιχεία και μετά μπορούμε, με ένα length ας πούμε ή με ένα sum ή με οτιδήποτε, να βρούμε τον αριθμό των στοιχείων αυτόν. Αυτό που λέγαμε, έτσι, είτε λοιπόν με το μήκος του x του mod x2, είτε με χρήση της find. Έχουμε λοιπόν μία διαδικασία, τη διαδικασία Μόντε Κάρλο, η οποία, προσπερνώ το μαθηματικό σκέλος, η οποία κάνει το εξής. Χρησιμοποιεί τυχαίους αριθμούς για να αναπαραστήσει πραγματικά φαινόμενα και καταστάσεις λειτουργίας συστημάτων και μετά να βρει το κλάσμα αυτών των καταστάσεων που έχει συγκεκριμένη ιδιότητα. Είτε είναι πρώτος αριθμός στις ρουλέτες, είτε είναι πράσινο ή κόκκινο, αριθμός πάλι στη ρουλέτα, είτε, στην περίπτωση εδώ του γεωμετρικού παραδείγματος, ανήκει στην περιοχή εντός της σφαίρας ή στην περιοχή μεταξύ σφαίρας και κύβου. Άρα, αρχικά χρησιμοποιώ τυχαίους για να δημιουργήσω ένα σύνολο από καταστάσεις του συστήματος, του προβλήματος που μελετώ και μετά υπολογίζω το κλάσμα των στοιχείων αυτών που αντιστοιχούν στη συγκεκριμένη κατάσταση που με ενδιαφέρει. Θα χρησιμοποιήσω, και εδώ θέλω την προσοχή σας και πάλι, θα χρησιμοποιήσω αυτή τη διαδικασία για να ξεκινήσω το παράδειγμα που θα δούμε αμέσως μετά το διάλειμμα, το οποίο είναι ένα μηχανολογικό παράδειγμα. Έχετε όλες και όλοι δει, φαντάζομαι, ανεμογενήτριες. Ανεμογενήτριες. Σε πάρα πολλές περιοχές της Ελλάδας, ιδιαίτερα εκεί όπου προφανώς υπάρχει υψηλό αεολικό δυναμικό, δηλαδή μέση, ταχύτητα, ανέμο, αναέτος, υψηλή. Τα βασικά στοιχεία της ανεμογενήτριας είναι ο πυλώνας, η φτερωτή, ο άξονας πάνω στον οποίο η φτερωτή έχει εδραστεί και εκεί θέλεις και ένα μεγάλο ρουλεμάν παρεκυπτόντος και ένα μεγάλο κυβώτιο, όπως τα κυβώτια ταχυτήτων ενός οχήματος, αλλά ένα μεγάλο κυβώτιο, το οποίο βρίσκεται μαζί με άλλα στις ελέγχους της λειτουργίας, όπως αυτά που βγάζουν εκτός λειτουργίας την ανεμογενήτρια, όταν η ταχύτητα, το ανέμο υπερβεί ένα όριο ασφαλείας, ώστε να μην αρχίσει να γυρνά με στροφές πέραν της προδιαγραμμένης λειτουργίας και να κινητινεύει η ανεμογενήτρια των περιβάλλων της. Άρα λοιπόν, σαν να λέω, πυλώνας, φτερωτή, άξονας, φτερωτής, κυβώτιο ταχυτήτων και συστηχή ελέγχου μέσα στο κουβούκλιο. Για να σας δώσω μια αίσθηση των μεγεθών, η διάμετρος εδώ, η διάμετρος βάσης, το άξονα, είναι 5.5 μήνες. Είναι δηλαδή από το έδρανο μέχρι τον τείχο. Αυτή είναι η διάμετρος του πυλώνα στη βάση. Το ύψος του πυλώνα σε αυτή τη συγκεκριμένη ανεμογενήτρια είναι 84 μέτρα. Άρα από τη βάση μέχρι πάνω έχω 84 μέτρα. Σε σχέση με αυτό, ένα δεκαόροφο κτίριο είναι περίπου στα 30 μέτρα. Άρα εδώ έχουμε 84 μέτρα. Και η διάμετρος της φτερωτής, προφανώς, δεν αντιπροσωπεύεται από αυτό που βλέπουμε στο σχήμα, είναι 70 μέτρα. Είναι λίγο μεγαλύτερη. Άρα λοιπόν η διάμετρος της φτερωτής είναι 70 μέτρα. Αυτή είναι μια μεγάλη κατασκευή. Όπως αντιλαμβάνεστε, ένα από τα πολύ σημαντικά στοιχεία εδώ είναι ο άξονας πάνω στον οποίο έχει εδραστεί η φτερωτή. Σας είχα πει πιο πριν ότι δεν έχουμε δύο ταυτόσυμα ρουλεμάν, έχουμε δίδυμα στοιχεία μηχανών, δεν έχουμε ταυτόσυμες συνθήκες λειτουργίας. Εδώ, σε ένα τέτοιο σύστημα, ο άνομος φυσά πολλαπλά, από 0 έως πολλά μέτρα το δευτερόλεπτο. Περιστρέφεται με διαφορετική γωνιακή ταχύτητα. Ασκούνται διαφορετικά φορτία ταυτόχρονα. Το κάθε ρουλεμάν στην έδραση είναι διαφορετικό. Το κάθε άξονας είναι διαφορετικός. Το κάθε σέτ πτεριγείων είναι διαφορετικό. Λαμβάνοντας υπόψη όλα αυτά, ένα πολύ σημαντικό μέγεθος είναι το πόσο κάμπτεται ο άξονας της ανεμογενήτριας. Διότι όποιος νομίζει ότι αυτή είναι μια στιβαρή κατασκευή, είναι στο πρώτο έτος μηχανολόγων μηχανικών ακόμη. Οι κατασκευές έχουν παλμό. Όλες οι κατασκευές, ακόμη και οι κατασκευές από πετό, έχουν παλμό. Ο λόγος για τον οποίο χαλούν τα υδραυλικά στις υπολικατοικίες, που οι περισσότεροι από εμάς μένουμε μετά από 10 χρόνια, είναι διότι κάθονται οι υπολικατοικίες, μετακινούνται με τον χρόνο. Δεν είναι ακίνητες. Πόσο δε μάλλον, τέτοιες κατασκευές. Άρα, αυτός ο άξονας κινείται. Έχεις ένα τεράστιο βάρος εδώ, από τις δυνάμεις που ασκούνται από το περιστρεφόμενο 70 μέτρων σέτ πτεριγίων. Δεν μιλάμε για κάτι αγαθό εδώ. Δεν είναι παιδικός ενεμόμυλος. Έτσι, 70 μέτρα. Άρα, οι δυνάμεις είναι τεράστιες, οπότε το κάμπτι, αυτό το στοιχείο, ερώτημα. Αν μας πει ο κατασκευαστής ότι κοιτάξτε να δείτε, αν η κάμψη φτάσει πάνω από τα 0,4 μέτρα, τα 40 εκατοστά του άξονα, τότε έχεις σοβαρό πρόβλημα λειτουργίας. Θα είναι τόσο μεγάλες οι δυνάμεις που δεν θα μπορέσει να τις απορροφήσει η κατασκευή και θα έχεις πρόβλημα λειτουργικό. Πώς μπορώ εγώ να βεβαιωθώ, έχοντας υπόψη τον υπολογισμό των δυνάμεων και τα λοιπά, ότι αυτή η κατασκευή δεν θα φτάσει σε τέτοιο σημείο. Έρχεται λοιπόν κάποιος και σας λέει, είσαστε μηχανολόγοι, μηχανικοί, ή δού το πρόβλημα. Έχω μια νεαμογενήτρια, έχω τον άξονα της, μου λένε ότι δεν πρέπει να περάσει τα 40 εκατοστά, τα 0,4 μέτρα ο λυγισμός του άξονα, και αυτό είναι πολύ χονδροϊδές που λέω, έτσι, ως παράδειγμα. Πώς μπορώ να διασφαλίσω το ότι δεν θα περάσει, ή αλλιώς πώς μπορώ να υπολογίζω την πιθανότητα του να περάσει τα 40 εκατοστά. Είμαι σίγουρος, σίγουρος ότι δεν θα περάσει, όχι. Ναι, ποια είναι η σωστή απάντηση και πώς το υπολογίζω μετά το διάλειμμα. Έχουμε λοιπόν το πρόβλημα της απόκλεισης από την οριζόντια θέση του άξονα της νεαμογενήτριας. Έχω βρει και σας δείχνω ένα πολύ απλό animation αυτής της κατακόρυφης απόκλεισης, που μπορεί να θεωρηθεί και ως αρχή μια σταλαντοτική συμπεριφοράς. Ένας ξέρετε από τους λόγους που μας ενδιαφέρει να μην είναι μεγαλύτερη, για παράδειγμα 0,4 ή κάποιο μέγεθο επιτρεπόμενο μέγεθος, αυτή η αρχική απόκλειση, είναι ότι λειτουργεί ως ερεθισμός για την έναρξη μιας σταλαντοτικής συμπεριφοράς, η οποία δύναται εάν ξεφύγει από τα όρια και τα κατασκευαστικά, να οδηγήσει σε αστοχία της συσκευής, της συνολικής κατασκευής. Έχοντας λοιπόν αυτό κατά νου, το ερώτημα που τίθετε είναι το εξής. Έχω τυχαίες δυνάμεις. Οι δυνάμεις είναι τυχαίες διότι προφανώς οι συνθήκες λειτουργίας μεταβάλλονται. Όμως δεν μεταβάλλονται δυστυχώς για εμάς μόνο οι συνθήκες λειτουργίας που οδηγούν σε διαφορετική άσκηση δύναμης επί του άξονα και άλλες από τις παραμέτρους μεταβάλλονται. Άρα τι συμβαίνει σε αυτή την περίπτωση. Τι συμβαίνει λοιπόν όταν έχω την αρχική δύναμη, να θυμηθούμε πως είναι το γεωμετρικό μέρος της κατασκευής. Έχω μία πρόβολο όπως θα μάθετε στη στατική. Αυτό ονομάζεται πρόβολος. Έχω δηλαδή μία δοκό η οποία είναι επακτομένη στο ένα άκρο και έχει ελεύθερο το άλλο άκρο. Επί του ελεύθερου άκρου ασκείται μία κατακόρυφη δύναμη η οποία προφανώς προκαλεί μία απόκλυση από την οριζόντια θέση. Εμείς θέλουμε να μην ξεπεράσει η απόκλυση αυτή μια συγκεκμένη τιμή. Από τι εξαρτάται αυτή η απόκλυση. Για να σας, για να ανοίξουμε το παράθυμο και να ρίξουμε μία ματιά στα μελλοντικά εξάμινα σε ένα δυο πράγματα που θα κάνετε αμέσως μετά θα δείτε ότι για παράδειγμα η απόκλυση αυτή Ψ δίνεται από μία τέτοια σχέση. Κοιτάξτε τι μπαίνει σε αυτή τη σχέση. Μπαίνει η δύναμη F, μπαίνει το συνολικό μήκος άρα ο αριθμητής μεγαλώνει οπότε το Ψ η απόκλυση μεγαλώνει όσο μεγαλώνει η δύναμη, λογικό, όσο μεγαλώνει το συνολικό μήκος της δοκού επίσης λογικό διαισθητικά και στον παρονομαστή έχουμε εκτός από την αριθμητική ποσότητα 3 δύο άλλες ποσότητες, το ε και το I. Τι είναι το ε, είναι κάτι που θα μάθετε στο μάθημα της εντοχής είναι ο συντελεστής μέτρο ελαστικότητας του Jung. Εξαρτάται από το υλικό ανάμεσα στα άλλα. Δεύτερο, από τι εξαρτάται το I δείτε λίγο αυτή τη σχέση το I σε μια τέτοιου είδους δοκό η οποία έχει όπως λέμε ορθογονική διατομή δηλαδή δεν είναι ένα ενιαίο σώμα αλλά είναι κούφιο στη μέση με ορθογονικό περίγραμμα εξαρτάται από αυτή τη σχέση α4-α-ε4 όπου α είναι το ύψιος και ε είναι το πάθος άρα λοιπόν εξαρτάται και από τη γεωμετρία ένα δεύτερο στοιχείο άρα αν θέλω να μειώσω την απόκλειση για ίδιο μήκος, ίδια δύναμη, ίδια γεωμετρία μπορώ να αλλάξω το υλικό ή μπορώ να αλλάξω τη διατομή ή μπορώ να αλλάξω και τα δύο το πως συνδυάζονται με βέλτιστο τρόπο αυτά είναι ένα ερώτημα που ο μηχανικός καλείται πάντοτε να απαντήσει διότι δεν έχω την πολυτέλεια να μπορώ να διαλέξω πάντοτε με, πώς να το πω, μεγαλόθυμα το υλικό που θέλω και τη γεωμετρία που θέλω άρα λοιπόν βλέπετε από τι εξαρτάται το ψι επειδή λοιπόν το ψι εξαρτάται από την δύναμη εξαρτάται και από άλλες παραμέτρες που όπως είπαμε συνήθως ακολουθούν την καουσιανή κατανομή δηλαδή το υλικό, οι ιδιότητες του υλικού μετρώνται κάπου έχουν μια μέση τιμή και μια τυπική απόκλυση οι διαστάσεις μήκος, πάχος, διατομής και τα λοιπά μετρώνται έχουν μια μέση τιμή και μια τυπική απόκλυση τελικά το πως θα συμπεριφερθεί ως προς αυτή την κίνηση την κατακόρυφη απόκλυση η δοκός που είναι ο άξονας της αναμογενήτριας εξαρτάται από ένα σύνολο από παραμέτρους έχω το μέτρο ελαστικότητες του Jung να μια συγκεκριμένη τιμή 3 x 10 εις την ενάτη είναι αυτό εμένα μου ξέφυγε σύμπλιν 1,5 x 10 στην οδό η Πασκάλ σε Πασκάλ μετριέται η δύναμη είναι 300 σύμπλιν 50 νν άρα σας δίνω εδώ μέση τιμή και τυπική απόκλυση έτσι όπως προέκυψε από μετρήσεις το μήκος είναι 2,5 μέτρα σύμπλιν 0,05 μέτρα το α θυμάστε είναι αυτό το ύψος της ουθογωνικής διατομής είναι 0,1 σύμπλιν 0,001 μέτρα και το ε το πάθος είναι το 10% του α με όλα αυτά πως μπορώ εγώ να εκτιμήσω του το πόσο αποκλίνει τελικά αν δεν υπήρχαν τα στοχαστικά τμήματα εάν δηλαδή οι τιμές ήταν σταθερές τότε απλά τις βάζω στη σχέση και τελειώνω και δεν το συζητάμε ελάτε όμως που υπάρχει το στοχαστικό μέρος τι σημαίνει στοχαστικό ότι η μία νεαμογενήτρια μπορεί να έχει στο υλικό της ε3 επί 10 στην 9η η άλλη 3 επί 10 στην 9η να είναι 4,5 επί 10 στην 9η η 3 επί 10 στην 9η συν 1 επί 10 στην 8η άλλο μέτρο ελαστικότητας στον άξονα της μίας άλλο μέτρο ελαστικότητας στον άξονα της άλλης άλλη πραγματική διάσταση μήκους στην μία άλλη στην άλλη εγώ όμως θα φτιάξω για παράδειγμα ένα πάρκο ανεμογενητριών θα εγκαταστήσω πολλές από τον ίδιο τύπο ή θα αγοράσω μία μεμονωμένη αλλά δεν ξέρω σε ποια θα πέσω άρα πώς θα καταλάβω πώς θα εκτιμήσω πώς θα υπολογίσω την μέγεστη απόπειξη έχω κάποιον τρόπο υπάρχει ένα συμβατικό τρόπος υπολογισμού προφανώς όχι εδώ λοιπόν θεωρώντας ότι η κατανομή αυτών των μεγεθών είναι κανονική συνήθις παραδοχής της μηχανολογικής κατασκευές και είναι τυχαία μεγέθη και γι' αυτό μπορεί να περιγραφεί από τη συνάτηση RAND 1 με μέση, τιμή και τυπική απόκληση αυτή που δίνεται ζητούμε να αναπτυχθεί πρόγραμμα το οποίο υλοποιεί αυτή την προσωμίωση προσωμιώνει δηλαδή τη συμπεριφορά της απόκλησης του άξονα της ανεμογενήτηριας και η κατανομή του μέγιστοι μαλλονεύρους ταλαντώσεων θα πρέπει να αποτικοποιηθεί εντάξει αυτό είναι το εύκολο μέρος ο κατασκευαστής, στο παράδειγμα που έκανα εγώ στη διαφάνεια, θεωρεί μεγαλύτερο επικίνδυνο έμβρος μεγαλύτερο από 0,6 είναι πιθανή μια τέτοια τιμή τι κάνω ουσιαστικά δημιουργώ ένα σύνολο από παραδείγματα, εδώ χίλια παραδείγματα και για κάθε ένα από αυτά υπολογίζω δύναμη, μέτρο ελαστικότητας, μήκος και χαρακτηριστικά της διατομής έχω λοιπόν χίλια set τιμών που όλα ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή αυτή που μας δόθηκε και τυπική απόκληση αυτή που επίσης μας δόθηκε στη βάση αυτού του set τιμών έχω διανύσματα χίλιων τιμών και για το α και για το ε και για το ε και για το ε για όλα τα στοιχεία της δοκού μου και άρα μπορώ να υπολογίσω το ψ παρατηρήστε ότι προφανώς κάθε πράξη γίνεται στοιχείο προς στοιχείο διότι έχω διανύσματα εδώ με αυτόν τον τρόπο μπορώ τελικά να υπολογίσω τι χίλιες διαφορετικές δυνάμεις και να δω τελικά πως κατανύμονται πως μπορώ να το δω φτιάχνοντας ένα ιστόγραμμα κοιτάξτε τι βλέπω αυτή είναι η κατανομή των αποκλήσεων άρα τι έκανα υπολόγησα χίλιες στοιχαίες τιμές για κάθε μία από τις παραμέτρεις που επισέρχεται στον υπολογισμό του ψ δύναμη, μέτρο ελαστικότητας μήκος δοκού, ύψος δοκού πάχος ορθογωνικού, προφίλ δοκού στη βάση αυτού υπολόγησα χίλιες προφανώς τιμές του ψ κοιτάξτε το αποτέλεσμα άρα έχω μια πρώτη απάντηση εδώ στο ερώτημα μπορώ να έχω απόκλειση μεγαλύτερη από 0,6 ναι είναι μεγάλη αυτή η πιθανότητα φαίνεται πως είναι μικρή φαίνεται πως οι περισσότερες τιμές της κατακόρυφης απόκλεισης ψ συγκεντρώνονται μεταξύ του 0 και του 0,4 άρα αυτό σημαίνει ότι εδώ εάν έχω χίλιες ανεμογενήτριες με ταυτόσυμα κατασκευαστικά στοιχεία εκτιθέμενες σε αυτή τη δύναμη F κάποιες από αυτές πόσες αυτό είναι το 50 άρα περίπου 10 περίπου 10 από αυτές θα εμφανίσουν απόκλειση 0,6 και το ερώτημα που τήθεται εδώ είναι το εξής για να το πω με έναν τρόπο λίγο χειδαίο με παίρνει να κατασκευάσω αυτές τις ανεμογενήτριες ξέρετε πώς με θερμηνεύεται αυτό το ερώτημα είμαι σε θέση να δεχθώ τις ποινικές νομικές ευθύνες που συνεπάγεται η αστοχία 10 ανεμογενητριών και να πληρώσω τις αποζημιώσεις που θα μου καταλογιστούν δικαστικά είναι ένα πολύ απλό ερώτημα αν η απάντηση είναι μακριά τότε έχετε πρόβλημα και πρέπει να επιστρέψετε στον υπολογισμό σας και να δείτε ποιο από τα στοιχεία το μέτρο ελαστικότητας, το μήκος, η διατομή κοστίζει λιγότερο να αλλάξετε έτσι ώστε να κάνετε έναν άξονα που να αντέχει περισσότερο για να μην βρεθεί σε αυτή τη θέση ώστε να μην υπάρχει πιθανότητα να χαλάσει και άρα να μην υπάρχει πιθανότητα να έχετε οποιαδήποτε ευθύνη προφανώς δεν θέλω να σας πω ότι πρέπει να σκέφτεστε με αυτού του είδους την ιστεροβουλία καθισθώ το παράδειγμα κοινικό διότι οι εποχές που ζούμε τώρα είναι απόλυτα κοινικές ως προς τα μηνύματα που μας μεταφέρουν και δυστυχώς μόνο έτσι μπορεί ένα παράδειγμα κοινικό περίγυρο, όχι από τον μηχανικό ο μηχανικός καταλαβαίνει ότι το πιο σημαντικό είναι να λειτουργήσει η κατασκευή με τρόπο τέτοιο ώστε να κάνει τη δουλειά της, να παράγει την ενέργεια για την οποία μελετήθηκε με τρόπο απόλυτα ασφαλή οι κατασκευές αυτές θα συνεχίσουν να εγκαθίστανται στην Ελλάδα διότι υπάρχει μια πολύ μεγάλη τάση εγκατάστασης στοιχείων αναναώσιμων πηγών ενέργειας η Ελλάδα είναι δε μία από τις χώρες όπως και πολλές άλλες χώρες με παραθαλάσσια μέρη με υψηλό εωλικό δυναμικό πολλές περιοχές της Μεσογείου, πολλές περιοχές της βόρειας θάλασσας κατασκευάζουμε τμήματα αυτόν των αναμογεννητριών δεν κατασκευάζουμε τα περίγεια δεν κατασκευάζουμε το κουβούκλιο, κατασκευάζουμε τον πιλώνα και άρα έχουμε λόγο και άποψη σε σχέση με αυτά έτσι βλέπετε πως ένας υπολογισμός καθίσταται κάτι και λίγος διαφορετικό είναι η πρώτη φορά, πιστεύω, για εσάς που βλέπετε έναν υπολογισμό με έναν διαφορετικό ελπιζωμάτι ότι δεν οδηγεί στο ίδιο πάντα αποτέλεσμα διότι οι πραγματικές συνθήκες δεν είναι ταυτόσυμες δεν μπορεί να είναι ταυτόσυμες αυτή είναι η προσγείωση στην πραγματικότητα, αν θέλετε που πρέπει να βιώσουμε ένα από τα πράγματα που το πρώτο έτος κάνει πιστεύω πολύ καλά, είναι το να μας φέρνει σε επαφή με την πραγματικότητα με ένα τρόπο παραγωγικό εφόσον λοιπόν όλα αυτά μπορούν να γίνουν με τη βοήθεια προσωμιώσεων μπορούμε να ξαναδούμε την χρήση των τυχαίων πλέον με ένα τελείως διαφορετικό μάτι πάλι θα έχουμε δύο παραδείγματα εδώ το ένα πάλι θα είναι απλό και γενικού χαρακτήρα το δεύτερο θα είναι επίσης το δεύτερο θα προέρχεται επίσης από μια περιοχή της μηχανολογίας με την οποία θα ασχοληθείτε και έχει να κάνει με τον τομέα βιομηχανικής διοίκησης εάν λοιπόν το προηγούμενο παράδειγμα προέρχεται αν θέλετε από τον κατασκευαστικό τομέα και ολίγον τι από τον ενεργειακό του τμήματός μας αν και δεν μου αρέσει να βάζω ταμπέλες το παράδειγμα της βέλτης της παραγωγής εποχικών προϊόντων προέρχεται από τον τομέα βιομηχανικής διοίκησης θα δούμε λοιπόν πώς διαμορφώνουμε τη διαδικασία και τον αλγόριθμο υπολογισμού βάσει τυχαίων συμβάντων και κάποια βασικά προγραμματιστικά στοιχεία ως προς την υλοποίηση του αλγορίθμου θα δούμε ένα κλασικό παράδειγμα το οποίο ξαναφέρνει στην επιφάνεια την έννοια της χρήσης πολλαπλών σημείων το πι περιλαμβάνεται σε κάθε υπολογισμό που έχει να κάνει με κύκλους βέβαια θα σας δείξω έναν καινούριο τρόπο υπολογισμού του πι διότι ο τρόπος αυτός βασίζεται στη χρήση τυχαίων συμβάντων έστω λοιπόν ότι θέλω να χρησιμοποιήσω τυχαίους αριθμούς πώς μπορώ να διαμορφώσω ένα πείραμα με βάση το οποίο να υπολογίσω το πι κάποια ιδέα, κάποια άποψη, κάποια έμπνευση προφανώς θα πρέπει με κάποιον τρόπο να διαμορφώσω μια δειγματοληψία ή να διασπείρω σημεία σε κάτι που να έχει κυκλική μορφή Πόσο τυχαία λοιπόν μπορώ να εκτιμήσω το εμβαδό ενός κύκλου όσο τυχαία μπορώ να μετρήσω σημεία εντός και εκτός κύκλου θα γίνω πιο συγκεκριμένος τώρα Είσαστε στον άβλιο χώρο ενός κινηματογράφου και παρατηρείτε και ξεκινά να βρέχει στο δάπεδο του άβλιο χώρου υπάρχει ένα μοσαϊκό σε κυκλικό σχήμα συνειδητοποιείται ότι οι σταγόνες της βροχής τυχαία κατανέμονται εντός και εκτός του κύκλου Εφόσον συμβαίνει αυτό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έναν μετρητή αριθμών σταγόνων με τη βοήθεια του οποίου αν θα μπορούσαμε να τον εγκαταστήσουμε εκεί να υπολογίσουμε τον αριθμοποίημα Η εξίσωση του μοναδιαίου κύκλου είναι αυτή εδώ δηλαδή κάθε σημείο του κύκλου μπορούμε να το δούμε εδώ ικανοποιεί την εξίσωση κύκλου και την ονομάζουμε τη συγκεκριμένη εξίσωση μοναδιαίου κύκλου διότι αφορά κύκλο διαμέτρου ή ακτίνας ένα εδώ Για ποιον λόγο ακτίνας φωνάζει κάποιος από το κοινό Για ποιον λόγο είναι ακτίνα Για κάποιον λόγο είναι ακτίνα Για ποιον λόγο δεν είναι διάμετρος Προσέξτε, το ότι το μάθαμε και το χρησιμοποιούμε μηχανικά είναι ένα θέμα Για ποιον λόγο είναι κύκλος ακτίνας διότι είναι απόσταση από το κέντρο είναι το άθρισμα των τετραγώνων των συντεταγμένων και εφόσον θεωρήσουμε ότι ο κύκλος είναι έτσι σχεδιασμένος ώστε το κέντρο να βρίσκεται στο σημείο 0-0 τότε το άθρισμα των τετραγώνων μας δίνει το τετράγωνο της ακτίνας Οπότε λοιπόν είναι ο μοναδιός κύκλος Πολύ ωραία Δηλαδή για το σημείο του κύκλου ας κάνω ένα καλύτερο σχήμα ή ας επιχειρήσω να κάνω ένα καλύτερο σχήμα Για το πρώτο τεταρτημόριο όπου και το χ και το ψ είναι θετικοί αριθμοί ισχύει ότι προφανώς η ακτίνα είναι το άθρισμα των τετραγώνων και το ψ είναι το 1-χ' τετραγωνική ρίζα Άρα λοιπόν αυτό σημαίνει πως εάν το ρ είναι μικρότερο του 1 το ε κάστατε σημείο κείται εντός του μοναδιέου κύκλου Αυτή την ιδιότητα προφανώς θα χρησιμοποιήσουμε Έχω λοιπόν εγώ έναν μοναδιέο κύκλο παίρνω μόνο το θετικό του τεταρτημόριο για ποιο λόγο διότι θα χρησιμοποιήσω τυχαίους αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ 0 και 1 άρα με βολεύει πάρα πολύ να έχω το μοναδιέο κύκλο χαράζω το τεταρτημόριο το θετικό και επίσης χαράζω και το τετράγωνο με πλευρά 1 και βλέπω ότι έχω ένα σύνολο σημείων εάν τα διασπίδω τυχαία κάποια από τα οποία βρίσκονται εντός του κύκλου και κάποια βρίσκονται εκτός του κύκλου το π4 μπορεί να υπολογιστεί ως ολόγος των σημείων που βρίσκονται κάτω από την καμπύλη ως προς το σύνολο των σημείων είναι σωστή αυτή η άποψη ή όχι ποια είναι η γνώμη σας εδώ στο συγκεκριμένο σχήμα το εμβαδό του τετραγώνου είναι 1 εμβαδό τετραγώνου ίσο με 1 εμβαδό του τμήματος κύκλου του κυκλικού δίσκου είναι ίσο με π4 ρο τετράγωνο έτσι δεν είναι άρα ο λόγος του εμβαδού του κύκλου προς το εμβαδό του τετραγώνου είναι ίσως με π4 ρο τετράγωνο όπου το π βέβαια είναι 1 έτσι όπως έχω διαλέξει τα σχήματά μου άρα ο λόγος ξαναλέω του εμβαδού του κυκλικού δίσκου προς τον λόγο του τετραγώνου είναι π4 άρα ο λόγος των σημείων εφόσον είναι ισοκατανεμημένα που αγκαλιάζει ο κυκλικός δίσκος προς τον λόγο των σημείων που βρίσκονται μέσα στο τετράγωνο θα πρέπει να προσεγγίζει το π4 και εφόσον σημείων αυξάνει Αυτή λοιπόν η παρατήρηση είναι που θα με οδηγήσει στον υπολογισμό των συστηχείων του π και πιο συγκεκριμένα θα το κάνουμε με τη βοήθεια μιας συνάρτησης γιατί μου δίνει τη δυνατότητα να σχολιάσω και πράγματα στα οποία έχουμε δει ότι έχουμε κάποιες αδυναμίες ξανά λοιπόν δεν ξεχνούμε ποτέ το να δώσουμε να ονοματίσουμε με την παράμετρο που θα κουβαλήσει το αποτέλεσμα της συνάρτησης έξω από τη συνάρτηση Οι τιμές που θα χρησιμοποιήσω θα είναι το αποτέλεσμα της εφαρμογής της RAND για νύγραμες και δύο στήλες Η συνάρτησή μου τι θα διαβάζει θα διαβάζει τον αριθμό των σημείων με τη βοήθεια των οποίων εγώ θα υπολογίσω τον αριθμό π Άρα η συνάρτηση που κατασκευάζω θα διαβάζει ή θα παίρνει ως είσοδο τον αριθμό των σημείων και θα υπολογίζει το π Έτσι λοιπόν η συνάρτηση ονομάζεται P underestimate εκτίμηση του π δηλαδή Οι τιμές υπολογίζονται ως ένα διάνυσμα με ένας πίνακας με νύγραμες και δύο στήλες Κάθε περιεχόμενο αυτού του διανύσματος μπορεί να υψωθεί στο τετράγωνο χρησιμοποιώντας την πράξη στοιχείο προς στοιχείο προφανώς Έτσι δεν είναι Άρα λοιπόν έχω το χ τετράγωνο και το ψ τετράγωνο Οι αποστάσεις προφανώς είναι το άθρησμα αυτών των τετραγώνων Τι κάνω λοιπόν εδώ Αρχικά υπολογίζω το τιμές το οποίο έχει νύγραμες και δύο στήλες 1, 2, 3, 4, 5, 6 νύγραμες, τρεις γραμμές, δύο στήλες Αμέσως μετά υπολογίζω το τιμές square το οποίο έχει ως περιεχόμενο κάθε στοιχείο υψωμένο στο τετράγωνο τιμές square Και αμέσως μετά αθρίζω τα στοιχεία του πίνακα τιμές square Εναλλακτικά βέβαια θα μπορούσα να δώσω αυτό, θα ίσχει? Το άθρησμα του τιμές square ανάστροφος προφανώς γιατί μπορώ να το περιστρέψω και να αθρίσω τα στοιχεία του Οπότε λοιπόν εντός κύκλου είναι όσα στοιχεία έχουν αποστάσεις μικρότερη από ένα Μπορώ με τη χρήση της find όπως με ρώτησε κάποιος συνάδελφός σας στο διάλειμμα, η χρήση της find θα μου δώσει τις θέσεις αυτών των σημείων Έτσι δεν είναι? Ο αριθμός των στοιχείων που βρίσκονται εντός κύκλου μου προκύπτει ως το μήκος αυτού του διανύσματος από τη στιγμή που έχω βρει τα στοιχεία που βρίσκονται εντός κύκλου Το μόνο που με ενδιαφέρει είναι το πόσα είναι αυτά Το πόσα είναι αυτά προκύπτει με χρήση της length διότι η length μου δίνει τον αριθμό των στοιχείων το μήκος ενός διανύσματος Και πολλαπλασιάζω από 4 διαιρό με το ν υλοποιώντας αυτήν εδώ τη σχέση και με αυτόν τον τρόπο υπολογίζω το π Και βέβαια μπορώ να υπολογίσω και το απόλυτο error δηλαδή την απόλυτη τιμή μεταξύ της εκτίμησης του π και του πραγματικού π Εάν το τρέξουμε λοιπόν αυτό θα δούμε ότι... και να δείξω τα αποτελέσματα Εάν το τρέξω λοιπόν αυτό θα δω ότι καθώς το ν μεγαλώνει συγκλίνει προς μία πάρα πολύ ακριβή τιμή πολύ κοντά στην τιμή που γνωρίζουμε γεωμετρικά Και βέβαια δεν είναι ο μόνος τρόπος να υπολογίσουμε το π μια πολύ παλιά μέθοδος ονομάζεται η μέθοδος του να ρίχνεις βελώνες σε παράλληλες γραμμές δηλαδή ζωγραφίζεις στο δάπεδο παράλληλες γραμμές με συγκεκριμένη απόσταση σταθερή και ρίχνεις βελώνες ή οδοντογλυφίδες ή σπίτιτα μετράς τον αριθμό των οδοντογλυφίδων που πατούν σε γραμμές και με τη βοήθεια του κλάσματος του αριθμού των οδοντογλυφίδων που πατούν σε γραμμές αριθμητής και του συνολου των οδοντογλυφίδων που έχουν πέσει στο δάπεδο παρανομαστής μπορεί να υπολογιστεί ο αριθμός π Το π θα το δείτε εσείς εάν σας ενδιαφέρει σας έχω το link Μια παραλλαγή που υλοποιήθηκε σε κάποιο πανεπιστήμιο στο εξωτερικό είναι πώς να υπολογίσεις το π πετώντας παγωμένα hot dogs σε δάπεδο με πλακάκια Από εκεί και πέρα, κλείνοντας όλο αυτό θα μπούμε τώρα σε μία άλλη περιοχή σε μία περιοχή η οποία αφορά στοχαστικότητα στη συμπεριφορά ενός συστήματος Η συμπεριφορά του συστήματος αυτή καθ' αυτή λοιπόν είναι στοχαστική και πάλι αλλά το παράδειγμα προέρχεται από μία άλλη όπως σας είπα περιοχή από την περιοχή της διαχείρισης αποθεμάτων Πιο συγκεκριμένα η επιστημονική περιοχή φέρει τον τίτλο διαχείριση αποθεμάτων υπό αβέβαιη ζήτηση Τι σημαίνει αυτό? Είμαστε στον Μάιο, κύριοι Αυτή τη στιγμή, ήδη έχουν δοθεί οι παραγγελίες της ευρωπαϊκής αγοράς σε σχέση με τα χριστουγεννιάτικα στολίδια Ήδη, εργοστάσια σε χώρες με χαμηλό εργατικό δυναμικό και με τεράστια παραγωγική ικανότητα Κίνα για παράδειγμα εργάζονται για την κατασκευή αυτών των στολιδιών Έχουμε αναρωτηθεί ποτέ με ποιον τρόπο ο εκάστοτε μαγαζάτορας ή ιδιοκτήτης, ιδιοκτήτρια ενός καταστήματος η αγορά της Θεσσαλονίκης, για παράδειγμα ή της Ελλάδας έχει εκτιμήσει την μελλοντική ζήτηση σε στολίδια διότι, εάν παραγγείλεις λιγότερα από αυτά που θα ζητηθούν, τότε είσαι ο μεγάλος χαμένος εάν παραγγείλεις περισσότερα από αυτά που θα αγοραστούν τότε πρέπει να κάνεις κάτι με τα υπόλοιπα και πάλι χάνεις Άρα, το παράδειγμα αυτό στην βιβλιογραφή είναι γνωστό ως το παράδειγμα του παιδιού του παιδιού που πουλά εφημερίδες The Newsboy, για παράδειγμα γιατί πριν από πολλά χρόνια και στην Ελλάδα και στο εξωτερικό οι εφημερίδες χρησιμοποιούσαν παιδιά μικρής ηλικίας τα οποία έπαζαν το ρόλο των πολιτών στο δρόμο Το πρόβλημα ήταν ότι δεν μπορείς να κουβαλήσεις μια άπειρη ποσότητα εφημερίδων Έτσι δεν είναι? Άρα, ποια είναι η ποσότητα εφημερίδων που πρέπει να κουβαλήσεις έτσι ώστε να είναι πολύ κοντά στην προβλεπόμενη πώληση που θα κάνεις για να μην αναγκάζεσαι να κουβαλήσεις επιπρόσθετο βάρος διότι όσο λιγότερο βάρος κουβαλάς, τόσο μακριά μπορείς να περπατήσεις και άρα εκτίθεσαι σε περισσότερους πιθανούς αγοραστές Όσο πιο πολύ περπατάς, τόσο μεγαλώνουν οι πιθανότητες να πουλήσεις Όσο πιο πολύ μεγαλώνουν οι πιθανότητες να πουλήσεις τόσο μεγαλώνει το στόχο που πρέπει να κουβαλήσεις Όσο μεγαλώνει το στόχο που πρέπει να κουβαλήσεις τόσο μικρή είναι η απόσταση που πρέπει να περπατήσεις Που είναι η απάντηση? Όμοιας φιλοσοφίας πρόβλημα έχουμε και εδώ Τέτοιου είδους προβλήματα έχουμε στην παραγωγή εποχικών προϊόντων Γι' αυτό και λέω ότι τα είδη Χριστουγεννιάτικης διακόσμεσης είναι ένα τυπικό παράδειγμα ή ένα άλλο τυπικό παράδειγμα είναι ο αριθμός των παιδικών σωσυβίων Παίρνω ένα κλασικό προϊόν που το βρίσκεις σε κάθε σημείο πόλησης σε χώρες με θάλασσα όπως η Ελλάδα Πόσα παιδικά σωσύβια θα παραγγείλεις ως αλυσίδα-σουπερμάρκετ? 10.000? 100.000? 50.000? Και, ξαναλέω, τέτοιας φιλοσοφίας είναι και η προσφορά προϊόντων στοχαστικής ζήτησης Το παράδειγμα των εφημερίδων Το παράδειγμα του κουλουρά Ενδεχομένως έχετε ζήσει σε πόλεις που έχουν ακόμη τον πλανόδιο πολιτή κουλουριών Πόσα θα πρέπει να κουβαλήσει μαζί του? Διότι αυτά που θα... Εκεί έχουμε ένα άλλο χαρακτηριστικό Ο κουλουράς αγοράζει, προσέξτε λίγο Αγοράζει το προϊόν, εάν δεν τον πουλήσει επειδή έχει αγοράσει το σύνολο από τον προμηθευτή του δεν μπορεί να το επιστρέψει, είναι ένα είδος που την επόμενη μέρα δεν υφίσθεται Είστε το κοιλικείο της πολυτεχνικής Πόσα θα πρέπει να φτιάχνετε την ημέρα? Αν κάνετε λιγότερες, χάνετε πελάτες Αν κάνετε περισσότερες από τη ζήτηση, πρέπει να τις πετάξετε Είναι ένα προϊόν που δεν αποθηκεύεται, δεν εκποιείται καν Άρα... Εδώ λοιπόν προγραμματισμός προμήθειας για ήδη στολισμού είναι το πρόβλημά μας Έχω ένα κόστος ανατεμάχειο, το οποίο γενικά λέμε ότι βρίσκεται μεταξύ του 0 και του 1 Δηλαδή γνωρίζουμε εμείς ως υποψήφιοι πελάτες του μεγάλου κατασκευαστή, ότι ανάλογα με το από πού θα αγοράσουμε το κόστος μπορεί να είναι από 0 περίπου έως 1 ευρώ και ανάλογα όχι μόνο με το από πού θα αγοράσουμε αλλά τι ποσότητα θα αγοράσουμε, τι ποιότητα θα αγοράσουμε Έτσι δεν είναι? Το κόστος λοιπόν θεωρούμε μια στοχαστική μεταβλητή που δεν ακολουθεί την κανονική κατανομή είναι ισοπίθανο μέγεθος και αυτό είναι το κόστος ανατεμάχειο Η τιμή πώλησης είναι 1 ευρώ Έχουμε αποφασίσει από φέτος ότι το συγκεκριμένο είδος, το συγκεκριμένη καμπανούλα θα την πουλάμε 1 ευρώ έχουμε δει την προηγούμενη χρονιά τι έχει γίνει, την προπροηγούμενη κτλ μπορούμε να πούμε ότι θα είναι 1 ευρώ και λέμε ότι, προσέξτε, εφόσον περάσουν οι γιορτές είναι σαν τις βασιλόπιτες εφόσον περάσουν οι γιορτές τότε θα πουλήσουμε G ευρώ Η βασιλόπιτα είναι ένα άλλο είδος όπου ο κατασκευαστής σου λέει ότι μέχρι και της πρωτοχρονιάς κάνει ας πούμε 10 ευρώ το τεμάχιο μετά θα βάσεις 10 Ιανουαρίου βασιλόπιτα για να την κόψεις πότε άρα την αγοράζεις ως γλύκισμα μόνο και όσο πιο πίσω στο χρονοπάστο, τόσο πέφτει η αξία της και όσο περισσότερες έχει ως στόκ το ζαχαροπλαστείο τόσο πιο πολύ θέλει να πουλήσει και να της ξεφορτωθεί άρα θα έχει χαμηλότερο κόστος, χαμηλότερη που τιμή εκποίησης, έτσι δεν είναι και αυτή θεωρούμε ότι ακολουθεί μια κατανομή τυχαίου αριθμού μεταξύ 0 και 1 Έχοντας αυτά τα χαρακτηριστικά κατά νου τα ερωτήματά μας είναι πόσα τεμάχια να προμηθευτώ και σε ποια τιμή αγοράς και με ποια τιμή εκποίησης δεν είναι πάρα πολύ σημαντικό, από αυτά μπορεί να από τέτοιους ερωτήματα μπορεί να οδηγηθούμε οικονομική αποτυχία ή επιτυχία όπως στο εγχείρημα προσέξτε το σενάριο τώρα ξέρουμε εμείς από τα προηγούμενα χρόνια ότι η ζήτηση ένα σεζόν παίζει μεταξύ των 10.000 και των 20.000 δεμαχίων αυτό έχουμε δει από τα προηγούμενα χρόνια πρώτο, δεύτερο λέμε ότι κάθε τιμή είναι ισοπίθανη πολύ ωραία ο ιδιοκτήτης του καταστήματος λέει ότι αφού είδα όλα τα προηγούμενα χρόνια μια ζήτηση μεταξύ 10.000 προσοχή και 20.000 τότε θα παραγγείλω τη μέση τιμή 15.000 αφού όλα είναι ισοπίθανα, δεν είναι μια καλή προσέγγιση λες ότι όλο το εύρος τιμός μεταξύ 10.000 και 20.000 δεμαχίων είναι ισοπίθανο άρα θα παραγγείλω 15.000 η σύζυγος του ιδιοκτήτη του λέει ότι είσαι αφελής δεν θα παραγγείλεις τη μέση τιμή θα παραγγείλεις 10 επί παρένθεση έναν συν αριθμητής τη διαφορά μεταξύ της τιμής που θα πουλήσεις μίον το κόστος αγοράς και παρονομαστείς την τιμή μίον το κόστος εκτίησης μπαίνετε εσείς ως φοιτητής μηχανολόγος μηχανικός και πέφτετε πάνω σε αυτή την πολύ ζωντανή συζήτηση και λέτε προσομοίωση και σας κοιτάζουν και οι δύο με απορία λοιπόν που είχαμε αφήσει το όλο ερώτημα στο ότι υπήρχαν δύο προσεγγίσεις για την παραγγελία μια που είναι ιδιαισθητικά σωστή και είναι ουσιαστικά προέκταση των αποφάσεων που και εμείς λαμβάνουμε στην καθημερινότητά μας δηλαδή όταν θεωρούμε ότι κάτι είναι ισοπίθανο μεταξύ 10 και 20 θεωρούμε πιο ασφαλή απόφαση το να προαποφασίσουμε το 15 ως παραγγελία εδώ η σύζυγος του ιδιοκτήτη προφανώς είχε διαβάσει κάτι περισσότερο από εκεί και πέρα ο φοιτητής είχε παρακολουθήσει το μάθημά μας ήταν απλό μόνο μόνο τυχερός είχε περάσει το τμήμα τύχη είχε παρακολουθήσει το μάθημα επίσης τύχη άρα η προσομοίωση εδώ θα κάνει το εξής θα παράξει τυχαίστημες για κάθε μία από τις μεταβλητές που παίζουν ρόλο στην ελλείψη της απόφασης μία είναι η τιμή αγοράς μία είναι η τιμή πόλησης να δούμε τις μεταβλητές μία είναι η τιμή εκποίησης πώς μπορούμε να τα κάνουμε όλα αυτά άρα σωστά να θυμηθούμε λίγο τι είναι τι και θα έλεγα ακόμη καλύτερα να τα σημειώσουμε αυτά οπότε έχουμε εδώ το εξής ότι έχουμε V G και C το C είναι το κόστος αγοράς κόστος αγοράς το G είναι το κόστος η τιμή πόλησης στην εκποίηση θα γράψω εκποίηση εκποίηση και η πόληση είναι V πόληση άρα V πουλό εάν μου μείνουν κομμάτια τεμάχια τα εκποιώ προς G ενώ σε κάθε περίπτωση έχω αγοράσει μεσέανα τεμάχιο οπότε λοιπόν με αυτά τα δεδομένα αυτό που μπορώ να κάνω εάν ακολουθήσω τη συμβουλή του φοιτητή πελάτη είναι να δημιουργήσω διανύσματα τυχαίων που να αναπαριστούν τις τιμές αυτών των χαρακτηριστικών και πιο συγκεκριμένα θα έχω λέω ότι θέλω εγώ εκατό φορές να τρέξω το σενάριο άρα θα παράξω εκατό τιμές μεταξύ του 0,1 και του 0,9 εκεί χονδρικά θεωρώ ότι κινούνται τι και το S και το κόστος αγοράς και το G η τιμή εκποιήσεις οπότε λοιπόν η line space την εμφανίζω εδώ γιατί θέλω να σας την θυμίσω αλλά και επειδή με αυτόν τον τρόπο μπορώ να κατασκευάσω ένα διανύσμα το οποίο να έχει τα χαρακτηριστικά που θέλω δηλαδή ελάχιστη τη τιμή 0,1 μέχρι τη τιμή 0,9 και όλες οι συντιμές οι ενδιάμεσες να δημιουργούν συνολικά ένα set εκατό τιμών γιατί το κάνω αυτό διότι εδώ θέλω να διερευνήσω όλους τους πιθανούς συνδυασμούς κάθε πιθανό συνδυασμός τιμής αγοράς τιμής εκποίησης και τιμής πόλησης έχω νυπροσωμιώσεις άρα λοιπόν έχω εκατό διαφορετικές τιμές ως προς την αγορά εκατό διαφορετικές τιμές ως προς την εκποίηση μία τιμή πόλησης και έχω πεντακόσχες επαναλήψεις αυτού του set τιμών τι σημαίνει αυτό είναι σαν να λέμε ότι ζω για πεντακόσια χρόνια και κάθε χρόνο κάνω μία παραγγελία και κάθε χρόνο διερευνώ ποιο συνδυασμών τιμών αγοράς, εκποίησης, πόλησης είναι ο ιδανικός για μένα η ζήτηση του προϊόντος είναι λέμε στοχαστικό μέγεθος και λαμβάνει τιμές μεταξύ 10 και 20 χιλιάδες άρα ήδου ένας τρόπος με τον οποίο μπορώ να την προσωμιώσω είναι 10 χιλιάδες επί Rand του ένα κόμμα νι, πεντακόσια είναι το νι στις 10 χιλιάδες, άρα έχω ένα μέγεθος μεταξύ 10 χιλιάδες και 20 χιλιάδες και μάλιστα θέλω να το κάνω και με ακέραιους γιατί η ζήτηση είναι ακέραια τιμή εντάξει Rand i θέλω να δοκιμάσω κάθε συνδυασμό προσοχή, κάθε συνδυασμό αυτό σημαίνει ότι έχω τιμές για την τιμή εκποίηση σε πόσες, 100 τιμές από 0,1 έως 0,9 έχω τιμές για την τιμή αγοράς την σε, πόσες πάλι 100 από 0,1 έως 0,9 ξέρω ότι κάποιοι συνδυασμοί δεν έχουν τόσο νόημα για όσους από εσάς όσοι από εσάς και όσες έχετε επαφή με τον εμπορικό κόσμο δεν θα ξαφνιαστείτε πολύ αν σας πω ότι υπάρχει περίπτωση να αγοράσεις 0,9 και να εκποιήσεις 0,1 που είναι το ακραίο δηλαδή να αγοράσεις το προϊόν σου 0,9 ένα τεμάχιο, να το πουλάς στον πελάτη για να νικείς 1 για να κερδίσεις το 10% αλλά αν σου μείνουν τεμάχια να το πουλήσεις 0,1 διότι το κόστος αποθήκευσης ή καταστροφής μπορεί να είναι μεγαλύτερο ένα τεμάχιο από αυτό που θα κερδίσεις αν το εκποιήσεις με 0,1 άρα συνολικά θέλω να συνδυάσω τα πάντα οπότε θα σαρώσω όλους τους πιθανούς συνδυασμούς θα πάρω όλους τους συνδυασμούς τιμής αγοράς, τιμής εκποίησης άρα για τιμή αγοράς 0,1 2, 3, 4, 5, 0, 9 την επόμενη τιμή αγοράς θα την ζευγαρώσω τρόπον την Ά με κάθε τιμή εκποίησης θα υπολογίσω όλους τους πιθανούς συνδυασμούς αυτό θα το κάνω με ένα διπλό loop Ι από 1 έως το μήκος του διανύσματος τιμών αγοράς και J από 1 έως το μήκος του διανύσματος των τιμών εκποίησης 100 είναι και τα δύο θα σαρώσω αλλά θα κάνω όλους τους πιθανούς συνδυασμούς έτσι λοιπόν θα έχω υπολογίσει όλους τους πιθανούς συνδυασμούς αγοράς και εκποίησης τιμής αγοράς και εκποίησης μάλιστα, από εκεί και πέρα Ποιο είναι το συνολικό μου κέρδος προσπάθησα να το χρωματίσω διαφορετικά θέλει λίγη προσοχή εδώ το να παρακολουθήσουμε τα μεγάλια το συνολικό μου κέρδος είναι πράσινο με πράσινη γραμματοσυρά η πόληση του προϊόντος πόσα θα πουλήσω όσα τεμάχια πουλήσω επί 1 ευρώ το τεμάχιο ίσον τα χρήματα που θα εισπράξω από την πόληση συν όσα εισπράξω από την εκποίηση του υπόλοιπου μίον όσα έδωσα για να αγοράσω τα προϊόντα μου πάντα στο πρώτο σενάριο τώρα εδώ θέλω την προσοχή σας στο πρώτο σενάριο είναι το σενάριο του ιδιοκτήτη που είπε μέση τιμή 15.000 στο πρώτο σενάριο η πόληση είναι η ελάχιστη τιμή μεταξύ του πραγματικού και του σεναρίου τι σημαίνει αυτό έχω δημιουργήσει 500 τιμών που είναι τυχαίες και βρίσκονται μεταξύ του 10.000 και του 20.000 σωστά άρα κάθε τιμή δεν αντιπροσωπεύει την πραγματικότητα διότι τι μας έχουν πει από την αρχή ότι στη βάση των καταγραφών που είχε το κατάστημα από τα προηγούμενα χρόνια θα πουλήσει κάτι μεταξύ 10.000 και 20.000 και 20.000 τεμαχίων σε χρόνο οπότε αυτή είναι η πραγματικότητά μου απλά δεν ξέρουμε ποια πραγματικότητα θα μας τύχει και κατασκευάζουμε 500 πραγματικότητες ώστε να δούμε στο σύνολο στην πλαιοψηφία των πραγματικοτήτων τι μας συμφέρει να κάνουμε αυτή είναι η λογική της προσωμίωσης αυτή λοιπόν είναι η πραγματικότητά μου το περιεχόμενο του διανύσματος D είναι 20.000 οπότε λοιπόν αυτά που θα πουλήσω είναι αυτό που θα πουλήσω η πραγματική τιμή ποσότητα τεμαχίων που θα πουλήσω είναι η ελάχιστη τιμή μεταξύ του D και του Q1 έτσι δεν είναι διότι το Q1 είναι 15.000 αν μου τύχει ζήτηση 13.000 όσο θα πουλήσω το Q1 είναι αυτά που προμηθεύτηκα το πρώτο σενάριο είπε ο ιδιοκτήτης μέση τιμή θα αγοράσω 15.000 θεμάχια και μου τυχαίνει η ζήτηση να είναι 13.000 μεταξύ του 13.000 που είναι η πραγματικότητα και του 15.000 που είναι αυτό που αγόρασα το Q1 τι θα πουλήσω το μίνιμουμ τον 2 το 13.000 έτσι δεν είναι η ζήτηση είναι μεγαλύτερη έρχονται τελικά 18.000 πελάτες και εγώ έχω 15.000 θεμάχια τι θα πουλήσω το μικρότερο μεταξύ του 18 και του 15 πάλι το μίνιμουμ γι' αυτό λοιπόν η σχέση μίνιμουμ του D πεντακόσια στοιχεία έχει το D,Q1 μου παράγει το διάλεισμα των τιμών που αντιπροσωπεύει αυτό που πραγματικά θα πουλήσω στην βάση του πρώτου σεναρίου συμφωνούμε μέχρι εδώ ξανά ξέρω ότι αυτό είναι λίγο ιδιόριθμο σημείο λέμε εμείς ότι η ζήτηση είναι μεταξύ 10 και 20.000 θεμαχίων κατασκευάζω πεντακόσια στοιχεία στη μέση μεταξύ 10 και 20.000 και μετά λέω ότι στο πρώτο σενάριο χωρίς να ξέρω λοιπόν ποια είναι πραγματικά η ζήτηση εγώ θα προμηθευτώ ως κατάστημα 15.000 θεμάχια άρα πόσα θα πουλήσω θα πάρω το πρώτο στοιχείο του ντε θα πάρω και το 15.000 θα πουλήσω το μικρότερο από αυτά τα δύο γιατί είτε θα είναι μικρότερο από το 15.000 άρα αυτοί που θα μπουν στο κατάστημα να αγοράσουν το προϊόν είναι λιγότεροι από τα 15.000 θεμάχια που αγόρασα είτε θα είναι περισσότεροι αυτοί που θα ενδιαφραθούν για το προϊόν αλλά εγώ έχω 15.000 να πουλήσω πάλι το μικρότερο μεταξύ των δύο θα πουλήσω εδώ υπολογίζω το διάνισμα της ποσότητας που πραγματικά θα πουλήσω στη βάση του πρώτου σενναρίου άρα η εκποίηση στη βάση του πρώτου σενναρίου τι είναι ότι αγόρασα 15.000 μίον ότι πραγματικά πουλήσα αν είναι θετικό αυτό γιατί μπορεί να μίον το πραγματικό ή μηδέν άρα λοιπόν η εκποίηση θα είναι το G η τιμή δηλαδή πόλησης ανατεμάχιο επί το maximum του Q1-D κόμμα μηδέν που σημαίνει ότι είτε θα είναι μηδέν ο αριθμός των τεμαχίων που θα εκποίηθουν είτε θα είναι η θετική διαφορά μεταξύ προφανώς αν λοιπόν έρθει ένας αριθμός 18.000 πελατών για να το δούμε αυτό 18.000 πελάτες πόσες πωλήσεις θα κάνω εγώ θα κάνω 18.000 πωλήσεις δεν έχω τόσα προϊόντα πως έχω Q1 15.000 θα πωλήσω πόσα θα εκποιήσω μηδέν έρχονται τώρα 11.000 πελάτες πόσες τεμάχια έχω διαθέσιμα προς πόλευση 15.000 πόσοι όμως μπήκαν και ζήτησαν το τεμάχιο 11.000 άρα ποιο από τα δύο θα πουλήσω 11.000 πόσα θα εκποιήσω την διαφορά μεταξύ Q1 και D 15.000-11.000 4.000 τεμάχια θα πουλήσω έτσι λοιπόν υπολογίζω και το πόσα τεμάχια θα πουλήσω και το πόσα τεμάχια θα εκποιήσω στο πρώτο σενάριο πόσα θα αγοράσω κόστος αγοράς δηλαδή το ίδιο ακριβώς τώρα απλά στη θέση του Q1 και του Q2 δεν αλλάζει κάτι στη λογική απλά το Q2 είναι πιο πολύβλοκο σαν σχέση δηλαδή κάθε φορά υπολογίζεται με 1 κτλ αλλά διανύσματα είναι αμέσως υπολογίζονται με αυτό τον τρόπο τελικά για κάθε πληθυσμό κάθε 500 πραγματικής ζήτησης έχω ένα κέρδος και επειδή είναι διαφορετικό το κέρδος για κάθε τυχαία ζήτηση το μόνο που έχει αξία στατιστική για εμένα είναι το μέσο κέρδος δηλαδή μπορώ να πω ότι κοίταξε να δεις αν για 500 χρόνια με αυτά τα χαρακτηριστικά αγοράζω Q1 15.000 κατά μέσο όρο θα κερδίσω τόσα και αν για 500 χρόνια, 500 φορές δηλαδή αγοράζω σύμφωνα με το Q2 θα κερδίσω ένα άλλο ποσό κατά μέσο όρο και συγκρίνω αυτά τα δύο είναι το μόνο που μπορώ να κάνω και βέβαια εκτός από τη μέση τιμή όπως θα μάθετε στη στατιστική μεγάλο ρόλο παίζει και η τυπική απόκλυξη αυτού του μεγέθους γιατί μπορεί η τυπική απόκλυξη αυτού που έχει μεγάλη μέση τιμή άρα να συνεπάγεται τι επιχειρηματικά? Ρίσκο! Εδώ είσαστε! Οπότε λοιπόν η απόφαση και τώρα ουσιαστικά έχουμε μπει στα χωράφια της επιχειρηματικής έρευνας που θα κάνετε από το 3ο έτος και μετά η απόφαση του να κινηθούμε στην αγορά στη βάση ενός εναρρίου που οδηγεί σε μέσο κέρδος υψηλό αλλά με μεγάλη τυπική απόκλυση η απόφαση που περιέχει ρίσκο Για να τα δούμε λοιπόν όλα αυτά εποπτικά θέλουμε γραφικές παραστάσεις Για να δούμε! Η οπτικοποίηση γίνεται εντάξει με διάφορα και κοιτάξτε τώρα Έχω δύο διαγράμματα εδώ Το διάγραμμα K1, το σενάριο 1 αφορά το κέρδος του πρώτου σεναρίου αγοράς δηλαδή προμηθεύομαι 15.000 τεμάχια ό,τι και να γίνει Έχω όλους τους πιθανούς συνδυασμούς τιμής αγοράς σε, βλέπετε πόσο το αγόρασα ένα τεμάχιο εκποίησης και βλέπετε που συγκεντρώνονται οι τιμές του υψηλού κέρδους Η μέληξη τιμή εδώ είναι 12.000 Άρα έχω ένα κέρδος 12.000 ευρώ κοιτάξτε πού είναι η λωρίδα τιμών που αντιπροσωπεύει πολύ μικρή τιμή αγοράς πολύ μικρή τιμή αγοράς άρα πρέπει να αγοράσω μερικά λεπτά το τεμάχιο και μετά όσο και να εκποιήσω δεν με πειράζει άρα εάν ακολουθήσω το πρώτο σενάριο τότε για να μεγιστοποιήσω το κέρδος μου τι πρέπει να κάνω αυτός δεν είναι ο στόχος της επιχείρησης να μεγιστοποιήσω το κέρδος για να μεγιστοποιήσω το κέρδος στη βάση του πρώτου σεναρίου τι πρέπει να πετύχω πρέπει να πετύχω ελαχιστοποίηση της τιμής αγοράς ανεξάρτητα με το ποια θα είναι η ζήτηση διότι όποια και να είναι η ζήτηση όσο και να εκποιήσω αν είναι πολύ μικρή τιμή αγοράς υπάρχει ένα μικρό περιθώριο να πετύχω το μεγιστοκέρδος ακόμα και με πολύ μικρή τιμή αγοράς και με πολύ μικρή τιμή αγοράς αυτό όμως τι σημαίνει αυτό σημαίνει ότι εγώ θέλω να βρω ένα προμηθευτεί ομοίως θα μου πουλήσει χαμηλά για να το πετύχω αυτό πρέπει ή να ρίξω την ποιότητα άρα να ρισκάρω να αλλάξει το μοντέλο πώλησης διότι εγώ έχω κάνει μία εκτίμηση της πώλησης του πόσο θα πουλήσω αν αλλάξω ποιότητα μήπως αλλάξει αυτό και το σενάριό μου δεν ισχύει δεν ξέρω αλλά είναι πιθανό ή διαφορετικά θα πρέπει να παραγγείλω μια πολύ μεγάλη ποσότητα μα δεν μπορώ να παραγγείλω πολύ μεγάλη ποσότητα το σενάριό μου είναι fixed 15.000 δεν μπορώ να πάω στις 20.000 με δε πραγματευτώ μια κάπως καλύτερη τιμή πώς σας φαίνεται έχει ενδιαφέρον δεν μπορείτε να πείτε όσοι αισθάνεστε ότι έλικαστε προς αυτή την περιοχή δεν είναι περιοχή του τομέα στον οποίο ανήκω πρέπει να πω ότι βλέπετε φιλικά χωρίς να το ξέρετε μία περιοχή του τομέα βιομηχανικής δίκησης θα έχετε την ευκαιρία αργότερα να αναγνωρίσετε όλους τους τομείς πολύ αναλυτικά στη βάση των βασικών αντικειμένων μαθημάτων που διδάσκονται πάμε τώρα στο δεύτερο σενάριο για προσέξτε εδώ τι γίνεται πρώτα απ' όλα να πω ότι εδώ υπάρχει ένα 7, αλλά είναι επί 10 στην 4η άρα είναι επί 10.000 άρα η μέγιστη τιμή εδώ είναι 70.000 ενώ εδώ είναι 12.000 πρώτο, έτσι άρα τι βλέπουμε εδώ ότι εδώ μπορώ να πετύχω μέγιστες τιμές, δηλαδή αν θέλω να πετύχω το 12.000 το 12.000 είναι κάπου εδώ είναι στα μπλε με ένα πολύ μεγαλύτερο συνδυασμό τιμών αυτό αυτόματα τι μου λέει ότι η σύζυγος είναι εμπειρότερη επιχειρηματίας από ότι ο σύζυγος ότι είδε πως ένα συνδυασμός τέτοιος οδηγεί σε μεγαλύτερη ασφάλεια, γιατί τι σημαίνει αυτό είναι ότι έχω πολύ μεγαλύτερο εύρος τιμής αγοράς διαθέσιμο για να με οδηγήσει σε υψηλό κέρδος τώρα αν θέλω πραγματικά να φτάσω σε υψηλά κέρδη τι πρέπει εγώ να επιδιώξω πρέπει να επιδιώξω να εκπείσω ακριβά ο μόνος τρόπος για να εκπείσω ακριβά ή ένας από τους λίγους τρόπους είναι και εξαρτάται από το εποχικό είδος για παράδειγμα γιατί ξέρουμε την αγορά μιλάμε για καμπανάκια δεν μπορείς να έχεις το καμπανάκι ένα ευρώ πριν τα Χριστούγεννα και μετά τα Χριστούγεννα να το πουλάς με 0,90 όχι, θα το πουλήσεις μισό ευρώ ξέρουμε ότι τα ποσοστά έκδοσης είναι τουλάχιστον 50% ξέρουμε η συγκεκριμένη επιχειρηματική δραστηριότητα έχει καταγράψει ιστορικά και γνωρίζει, άρα εδώ έρχεται η εμπειρία και λέει ότι κοιτάξτε να δείτε, τα ποσοστά έκδοσης είναι της τάξος του 60% 70% να πω εγώ άρα από την αρχική τιμή, αν τιμή είναι 1 εγώ θα πουλήσω 0,30 που είναι το 0,30 εδώ, εδώ κάτω, μάλιστα άρα είμαι στα μπλε, ό,τι και να κάνω, πολύ ωραία τι περιθώριο έχω όσο είμαι στην μπλε περιοχή να κοιμηθώ σε επίπεδο τιμής αγοράς προϊόντος από 0,1 έως 0,4 καλά πάμε, δεν είναι καλύτερο το να λες ότι εγώ θα πετύχω υψηλό κέρδος ανεξάρτητα με το αν θα αγοράσω από 0,1 έως 0,4 ενώ εδώ πρέπει να αγοράσεις 0,03 μάξιμου έρχομαι τώρα να ρωτήσω το εξής σε εσάς υπήρχε τρόπος διαφορετικός να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα εάν δεν κάναμε προσομοίωση φαίνεται πως δεν υπήρχε, γιατί διότι η προσομοίωση σου δίνει τη δυνατότητα να παίξεις με το σενάριο πάρα πολλές φορές και να δεις προς ποια συμπεριφορά συγκλίνει άρα βλέπεις ότι η μέγιστη τιμή συγκλίνει σε κάποιες συγκεκριμένες τιμές εδώ, ξέρεις ποιες είναι ώστε μετά να ξέρεις αν τα χαρακτηριστικά του συστήματος που εκπαιτάς, συνδυασμός ζήτησης, τιμής αγοράς τιμής εκποίησης, μπορούν να σε οδηγήσουν σε πολύ υψηλές αποδόσεις. Παρακαλώ. Πολύ σωστή παρατήρηση. Ο συνάδελφός σας λέει κάτι το οποίο είναι πάρα πολύ σημαντικό και πολύ σωστό ότι δεν βλέπουμε καμία εξάρτηση μεταξύ της τιμής πόλησης και της ζήτησης κάτι που δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα της αγοράς παρά μόνο κάτω από καθεστώς είτε μονοπολιακού τύπου πόλησης ή τι άλλο. Τύπου trust, δηλαδή συμφωνίας. Άρα είναι μια παραδοχή που κάναμε εδώ όμως αντιπροσωπεύει σε αρκετά μεγάλο βαθμό πρόγραμμα προϊόντα όπως τα Χριστουγεννιάτικα γιατί όπως τα έχετε παρατηρήσει σε εκείνη τη χρονική περίοδο όσαν να έχει προκύψει μια μαγική συμφωνία όλοι που λούν τα ίδια προϊόντα σχεδόν με την ίδια τιμή. Γιατί, διότι γνωρίζουν ότι η ζήτηση έτσι κι αλλιώς θα είναι συγκεκριμένη και υπάρχουν τουλάχιστον δύο στρατηγικές. Εδώ μπαίνουμε σε κάτι άλλο, το οποίο έχει υπολογιστικό ενδιαφέρον είναι η θεωρία παιγνίων. Η θεωρία παιγνίων, λοιπόν, μπορεί να μας δώσει τη δυνατότητα να μοντελοποιήσουμε αποφάσεις του τύπου τι συμφέρει να κάνει μια αγορά, έχω δέκα σημεία πόλησης αυτής της καμπανούλας. Θα πουλάνε όλοι με την ίδια τιμή, προσυμφωνημένα, απαγορεύεται πρώτα απ' όλα αλλά ας το τι λέμε πως ισορροπεί η αγορά σε μια τιμή. Μάλιστα. Ή ο καθένας θα κάνει ό,τι θέλει, οπότε μπορεί να προκύψει κάποιος που θα πει ότι εγώ πουλώ κάτω από το κόστος. Το έχουμε δει να συμβαίνει αυτό. Με στόχο να προσελκύσω τον πελάτη, να τον βάλω όπως έλεγαν οι παλιοί καταστηματάρχες στο κατάστημα διότι έτσι θα αγοράσει και κάτι άλλο. Ποιες από τις δύο αποφάσεις είναι οι καλύτεροι για μένα. Δύσκολο, έτσι. Εδώ πάντως κάνοντας τη διαφορά, αυτό είναι το διφ, η διαφορά μεταξύ των δύο κερδών βλέπουμε πού κινείται. Και αυτό το διάγραμμα είναι το καθοριστικό. Το διάγραμμα που μας δείχνει τη διαφορά κέρδους στο σενάριο 2 σε σχέση με το σενάριο 1. Άρα λοιπόν όντως εδώ μπορούμε να πούμε πως εάν θέλω να μεγιστοποιήσω τότε πραγματικά πρέπει να πετύχω ένα συνδυασμό μεγάλης τιμής εκποίησης και μικρής τιμής αγοράς με πιο σημαντικό παράγοντα την τιμή εκποίησης. Παρακαλώ. Ακριβώς. Δεν έχουμε σενάρια δηλαδή υπολυπώμενα. Αυτό που λέει ο συνάδελφός σας είναι το εξής, ότι θεωρούμε πως θα εκποίησουμε τα πάντα. Στην πραγματικότητα τώρα έχουμε χρόνο να το συζητήσουμε. Πώς δουλεύει η διαδικασία. Πέραν της τιμής εκποίησης υπάρχουν και άλλα κόστη. Εάν δεν μπορέσουμε, προσέξτε το εξής. Δεν μπορέσουμε να εκποίησουμε το σύνολο των προϊόντων που μας έμειναν. Τι κάνουμε. Οι λύσεις είναι. Το αποθηκεύουμε για την επόμενη χρονιά γνωρίζοντας ότι η αποθήκευση συνεπάγεται ένα ποσοστό καταστροφής. Άρα, απαξίωσης του προϊόντος. Επειδή κάποια τεμάχια θα καταστραφούν λόγω της αποθήκευσης. Έχουμε κόστος αποθήκευσης. Η αποθήκευση δεν είναι δωρεάν. Δεν υπάρχει τίποτα δωρεάν σε αυτόν τον κόσμο. Άρα, μας κοστίζει αναμετρικό. Αναμέτρο μήκου σεραφιού. Ανακυβικό ανάλογα με το τι αποθηκεύουμε και πού. Και αυτό είναι ένα επιπρόσθετο κόστος. Αν δεν θέλουμε να αποθηκεύσουμε πρέπει να καταστρέψουμε. Πρέπει να ανακυκλώσουμε. Μπορούμε λοιπόν να βρούμε ποιο στοιχείο έχει το μικρότερο κόστος και να το εντάξουμε στο μοντέλο μας. Έτσι κάνουμε το μοντέλο πιο πολύπλοκο αλλά και πιο ρεαλιστικό. Η πραγματικότητα, η οποία έχει να κάνει με την διακίνηση προϊόντων στοχαστικής ζήτησης είναι ότι κάνουμε πολλαπλές προσομοιώσεις. Πείτε μου στοιχεία της καθημερινότητάς σας τα οποία θεωρείτε ότι υπάρχει στοχαστικότητα, έστω και διαισθητικά. Μπορώ να σας πω το εξής. Εγώ. Είσαστε στο σούπερ μάρκετ. Ο χρόνος εξυπηρέτησης στο ταμείο ακολουθεί μία συγκεκριμένη συνάρτηση. Όπως θα μάθετε ακολουθεί μία κατανομή συγκεκριμένη. Λα δεν είναι η κανονική κατανομή. Είναι μία άλλη κατανομή. Είναι η ίδια κατανομή που ακολουθεί κανείς σε σχέση με το χρόνο εξυπηρέτησης σε βενζιναντλία, σε βενζινάδικο. Είναι γενικά η εξυπηρέτηση σε ουρές αναμονής. Έχουν συγκεκριμένες κατανομές. Συγκεκριμένες τι σημαίνει κατανομές. Συγκεκριμένες μαθηματικές συναρτήσεις, οι οποίες εκφράζουν την μέση τιμή και την τυπική απόκλυση και τη συμπεριφορά. Άλλα θέματα είναι τα εξής. Πόσες φορές θα περάσετε από κόκκινο, θα συναντήσατε κόκκινο φανάρι, πράσινο φανάρι, σε μια συγκεκριμένη διαδρομή. Επίσης, υπάρχουν λοιπόν πάρα πολλά στοιχεία καθημερινότητας, τα οποία έχουμε να κάνουμε κατανομές. Όταν έχουμε να κάνουμε εφοδιαστική, η εφοδιαστική είναι η επιστήμη που διαχειρίζεται οτιδήποτε άπτεται της παροχής υλικών και ενέργειας σε καταναλωτικά σημεία. Άρα, όταν εσείς σχεδιάζετε ή βλέπετε, για παράδειγμα, το πώς σχεδιάζεται ένα δίκτυο για την διανομή φρέσκου γάλακτος, έχουμε πολλαπλά υπολογιστικά προβλήματα εκεί. Θυμάστε ότι είναι πρόβλημα, περιοδεύοντας πολιτεί ως προς την υπολογιστική πολυπλοκότητα. Δεύτερον, πρέπει να είναι κανείς να λάβει υπόψη τον αριθμό των πωλήσεων. Δηλαδή, πώς θα αποφασίσεις πόσα λίτρα γάλακτος θα αφήσεις σε κάθε σημείο πώλησης. Διότι αν αφήσεις περισσότερα, πρέπει μετά να προνοήσεις να περάσει το βανάκι να μαζέψει. Και όσο περισσότερα μαζεύει, τόσο περισσότερο αποθηκευτικό χώρο χρησιμοποιεί στη συλλογή. Και τόσο περισσότερο κοστίζει αυτό σε χρόνο, σε χώρο, σε ανθρωπόωρες, σε εργατικά κλπ. Όλα λοιπόν μπορούν να μεταφαστούν σε στοιχεία κόστους. Άρα είναι μια πολύπλοκη ισορροπία όπου η προσομοίωση λύνει όντως πολλαπλά προβλήματα. Έτσι, σήμερα τι είδαμε. Είδαμε την χρήση τυχαίων αριθμών με στόχο να υπολογίσουμε δετερμινιστικές ποσότητες. Τα γεωμετρικά μεγέθη που υπολογίσαμε ήταν πολύ χαρακτηριστικά. Στη μία περίπτωση τον όγκο μιας σφαίρας. Στην άλλη περίπτωση τον όγκο ενός πολύπλοκου στερεού, το μη σφαίρας και κύβου. Και στην άλλη περίπτωση τον αριθμοποίηση. Είδαμε το πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τυχαίους αριθμούς για να αποφασίσουμε τα μέγιστα όρια λειτουργίας ή γενικά κατασκευαστικά και λειτουργικά στοιχεία ενός μηχανολογικού συστήματος με πολύπλοκα χαρακτηριστικά, όπως ο άξονας μιας ανεμογενήτριας. Και συνειδητοποιήσαμε πως δεν είναι δετερμινιστική η συμπεριφορά της ανεμογενήτριας και του άξονα της. Αλλιώς τα λαντώνεται κάτω από συνθήκες α, αλλιώς κάτω από συνθήκες β. Ακόμα και τα κατασκευαστικά της τυχεία αλλιώνουν αυτή τη συμπεριφορά. Είδαμε πως εκεί στην ανεμογενήτρια είχαμε κανονική κατανομή της τυχιότητας. Δηλαδή και οι δύναμοι και τα μήκη και τα χαρακτηριστικά των υλικών ακολουθούσαν κανονική κατανομή. Ενώ σε άλλου τύπου προβλήματα, όπως το πρόβλημα της ζήτησης ετοχικών προϊόντων, άρα μια μεγάλη κατηγορία προβλημάτων ουσιαστικά ακολουθεί τελείως στοχαστικό προφίλ. Δεν υπάρχει συνάρτηση πυκνότητας, πιθανότητας εδώ. Και βέβαια εδώ μπαίνουμε και σε μια άλλη περιοχή που θα την δούμε λίγο στο επόμενο μάθημα, που είναι η περιοχή του τυχαίου βηματισμού. Τι σημαίνει αυτό? Έχω την πτέρυγα ενός αεροσκάφους. Λόγω επαναλαμβανόμενων μετακινήσεων το υλικό αρχίζει και γερνά. Υπάρχει ο μηχανισμός της κόπωσης. Δημιουργούνται μικρορογμές. Εάν δεν τις διαγνώσουμε έγκαιρα, αυτές οι μικρορογμές θα κινηθούν μέσα στην μάζα του υλικού. Προς ποια κατεύθυνση θα κινηθούν οι μικρορογμές? Πάρα πολύ σημαντικό, δεν είναι? Είναι άλλο να κινηθούν προς την επιφάνεια. Αν η ρογμή κινηθεί προς την επιφάνεια και τα μήκος αυτής, σημαίνει ότι θα επέλθει, όπως λέμε, λύση υλικού. Σαν να υπάρχει ένα άνοιγμα, ένα χαντάκι. Άρα θα σπάσει πολύ πιο εύκολα. Έτσι δεν είναι? Οπότε λοιπόν, έχω αυτό το ερώτημα, δεύτερο ερώτημα. Κάνετε υλικά στο δεύτερο εξάμινο, έτσι δεν είναι? Δεν κάνετε. Στο πρώτο. Στο πρώτο εξάμινο. Εκεί κάνατε τα διαγράμματα φάσης και κάνατε περί οσθενήτη, φαιρείτη κτλ. Έτσι δεν είναι? Πώς λαμβάνει χώρα η μεταβολή φάσεων στη μάζα ενός τυγμένου μετάλλου, έχετε σίδηρο. Σε υψηλή θερμοκρασία και το αναφύνετε να πέσει θερμοκρασιακά. Πού θα αρχίσει η δημιουργία των νέων κρυσταλικών δομών, στην επιφάνεια, στο δάπεδο του τοχείου, μέσα. Και πώς θα κινηθούν αυτές οι κρυσταλικές δομές στον χώρο. Είναι πολύ σημαντικό διότι από τον τρόπο δημιουργίας των κρυσταλικών δομών μπορεί να εξαρτάται, ας πούμε, το που θα συσορευτούν βρωμιές μέσα στο μέταλλο που μπορεί να υπάρχουν και άρα που θα έχουμε αδύναμα σημεία στην υλικό. Ανοίγεται ένα μπουκάλι σε ένα κλειστό δωμάτιο, ένα μπουκάλι αρώματος. Δε φυσά καθόλου στο δωμάτιο αυτό. Όμως μετά από ώρα θα δείτε πως μπορείτε στην άκρη του δωματίου να μυρίσετε το άρωμα. Τι συνέβη. Ποιος έβγαλε τα μόρια μέσα από το μπουκάλι. Και εντάξει, μέσω εξάτμισης, διότι υπάρχει μια αλλαγή φάσης πάντοτε. Μόρια του αρώματος, του υγρού, μεταβαίνουν στην αέρια φάση ακριβώς επάνω από την επιφάνεια και ουσιαστικά υπάρχει μια ισορροπία. Δηλαδή όταν έχουμε ένα υγρό δεν σημαίνει ότι πάνω από την επιφάνειά του δεν υπάρχουν στοιχεία του υγρού. Υπάρχουν σε τέτοια ποσότητα ώστε οι ατμοί του να είναι σε ισορροπία. Και η ισορροπία αυτή αλλάζει συναρτήση της πίεσης, συναρτήση της θερμοκρασίας και άλλων παραμέτρων. Θα τα μάθετε στη θερμοδυναμική αυτά. Εξαιρετικά ενδιαφέροντα αντικείμενα. Πώς λοιπόν το μυρίσατε, αυτά τα λίγα μόρια που κυκλοφόρησαν λόγω αυτής της ισορροπίας πάνω από το μπουκάλι, λόγω της κίνησης Brown, της τυχαίας κίνησης που κάνουν τα μόρια μέσα στο αέρα, μέσα στο δωμάτιο, σπρώχθηκαν σε σημεία το δωματίο και έφτασαν και στην άκρη. Μπορώ να προσωμοιώσω εγώ τις κινήσεις των μωρίων του αρώματος. Και πώς, πόσο μακριά θα φτάσει το άρωμα. Και θα μου πείτε τώρα σε απασχολούν πράγματα που δεν έχουν πρακτικό ενδιαφέρον. Και αν σας πω ότι στη θέση του μπουκαλιού αρώματος βρίσκεται ένα εργοστάσιο κονσερβοποιίας και στη θέση τη δική σας είναι το σπίτι σας στα 3 χιλιόμετρα από το εργοστάσιο, το ερώτημα είναι θα φτάσει. Να μυρίζει το εργοστάσιο κονσερβοποιίας μέχρι το σπίτι σας, ακόμα και όταν δεν φυσά. Αν είναι δηλητηριώδες αέριο, για να χρησιμοποιήσω παραδείγματα που έγιναν δυστυχώς πολύ δημοφιλείς στις ΗΠΑ και οδήγησαν σε νέου είδους υπολογισμούς, αν είναι δηλητηριώδες αέριο που κάποια τρομοκρατική ομάδα έχει διασπείρει στο μετρό, που θα φτάσει με απλή μωριακή διασπορά. Εκεί έχουμε τον τυχαίο βηματισμό. Ο τυχαίος βηματισμός λοιπόν θεωρεί ότι είναι ισοπίθανη η κατεύθυνση κάθε μωρίου στο χώρο και μας δίνει τη δυνατότητα να βρούμε πιθανές διαδρομές και να δούμε πού τελικά μπορεί να καταλήξει ένα μώριο ή οποιοδήποτε σώμα επιτελεί τυχαίο βηματισμό. Έχει αυτό πρακτικό ενδιαφέρον σε κατασκευές πέραν του ισμελέτηστοιων υλικών της κρυσταλικής δομής κτλ. Θα δώσω το παράδειγμα μιας κατασκευής που έγινε σχετικά δημοφιλής τελευταία. Η αυτόματη σκούπα. Η σκούπα ρομπότ. Πριν από αρκετά χρόνια εμφανίστηκε στην αγορά μία σκούπα ρομπότ. Είναι ηλεκτρική σκούπα η οποία τι κάνει. Εφόσον έχει σε επίπεδο δάπεδο είναι κυκλική σε μέγεθος μικρού ταψιού και με τη βοήθεια ενός αλγορίθμου που βασίζεται σε random walk ουσιαστικά με τυχαίο βηματισμό σαρώνει όλο το δάπεδο κατά τη διάρκεια της νύχτες δηλαδή πηγαίνεις για ύπνο αφήνεις τη σκούπα στο δωμάτιο και ξέρεις ότι το πρωί θα έχει περάσει από όλο το δωμάτιο. Και κάθε φορά μάλιστα που απομακρύνεται βλέπει και το πως η ισχύς της μένει διαθέσιμη από τις μπαταρίες της βρίσκει που βρίσκεται το docking station και πηγαίνει επαναφορτίζεται και ξανά ξεκινά το σκούπισμα. Άρα λοιπόν έχεις ένα μηχανισμό ο οποίος μπορεί να λειτουργήσει θετικά να παράξει ένα αποτέλεσμα βασιζόμενος στον τυχαίο βηματισμό. Όλα αυτά λοιπόν θα τα δούμε την επόμενη φορά ενώ ταυτόχρονα την επόμενη φορά θα προχωρήσουμε και πέραν των τυχαίων. Τώρα να πω σε εσάς και δύο τρία πράγματα που αφορούν το τρίτο θέμα το οποίο θα αναρτηθεί σήμερα το έχουμε έτοιμο από χθες αλλά δεν το ανήρτησα εχθές ομολογώ γιατί ήθελα να το ξαναδώ λίγο απλά να δω μήπως υπάρχει κάποια σάφια. Το τρίτο θέμα σας θα αφορά κινητήρες αεροσκαφών και αεροσκάφοι που πέφτουν. Πιο συγκεκριμένα σας ζητούμε να βρείτε τον συνδυασμό λειτουργικών χαρακτηριστικών κινητήρων και αριθμού κινητήρων αεροσκάφων που μπορεί να μεγιστοποιήσει ή να ελαγιστοποιήσει την πιθανότητα βλάβης και αραπτώσης. Οπότε προφανώς κάνει χρήση τυχαίων αριθμών το θέμα σας κατά πολύ και γι' αυτό το λόγο σήμερα δώσαμε μεγάλη έμφαση θα δώσουμε και στο εργαστήριο και θα μιλήσουμε και την επόμενη φορά. Τα λέμε την επόμενη Τρίτη.