Διάλεξη 13 / Διάλεξη 13 / Διάλεξη 13 - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Διάλεξη 13: Παρακολουθήσαμε το πρόγραμμα του ΣΥΡΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝ Παρακολουθήσαμε το πρόγραμμα του ΣΥΡΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝ Παρακολουθήσαμε το πρόγραμμα του ΣΥΡΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟ Παρακολουθήσαμε το πρόγραμμα του ΣΥΡΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟ Παρακολουθήσαμε το πρόγραμμα του ΣΥΡΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟ Παρακολουθήσαμε το πρόγραμμα του ΣΥΡΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟ Παρακολουθήσαμε το πρόγραμμα του ΣΥΡΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟ Παρακολουθήσαμε το πρόγραμμα του ΣΥΡΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟ Παρακολουθήσαμε το πρόγραμμα του ΣΥΡΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟ Παρακολουθήσαμε το πρόγραμμα του ΣΥΡΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟ Παρακολουθήσαμε το πρόγραμμα του ΣΥΡΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟ Παρακολουθήσαμε το πρόγραμμα του ΣΥΡΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟ Παρακολουθήσαμε το πρόγραμμα του ΣΥΡΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟ Παρακολουθήσαμε το πρόγραμμα του ΣΥΡΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟΝΙΚΟ δημιούργησα αυτό εδώ πέρα το διαινισματικό πεδίο είχαμε πει και κάτι άλλο και θέλω να δω πόσοι από σας το συγκρατήσατε όταν σας δώσω εγώ μια επιφάνεια όπως είναι αυτή και υπολογίσω σε αυτή τη συγκεκριμένη επιφάνεια σε ένα συγκεκριμένο σημείο μη μη δεν αυτόν εδώ το διαινισματικό τελεστή αυτό το διαινισμα έχει μια πολύ συγκεκριμένη πληροφορία για εμάς θα ήθελε κάποιος να με βοηθήσει να μου πει τι πληροφορία κουβαλάει αυτό το διαινισμα που είναι η κλήση έτσι θα την ονομάσω της αριθμητικής συνάρτησης αυτό λέγεται κλήση της αριθμητικής συνάρτησης δημιουργεί ένα πεδίο το οποίο όμως είναι πάρα πολύ συγκρατή μια πολύ συγκεκριμένη πληροφορία ποιος το θυμάται ε ότι είχαν κάποιους πληροφορίες αυτό με το διαινισματικό στην επιφάνεια αυτή λοιπόν η Πενελόπη λέει ότι εάν ζωγραφίσουμε την επιφάνεια αυτή στο χώρο να τη να τη μια επιφάνεια αυτό είναι το σημείο μη μηδέν απάνω στην επιφάνεια φέρνουμε το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο μη μηδέν στην επιφάνεια αυτή και το κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο διάνισμα είναι η αυτή εδώ είναι η εφ, ίσο μη μηδέν, αυτή είναι η επιφάνεια αυτό λοιπόν είναι ένα πολύ συγκεκριμένο διάνισμα το οποίο είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο μη μηδέν αυτό λοιπόν είπαμε ναι λοιπόν μια πολύ χρήσιμη πληροφορία και είναι χρήσιμη αυτή η πληροφορία γιατί αν την αξιοποιήσουμε σωστά θα μπορούμε να μάθουμε ορισμένα πράγματα πολύ συγκεκριμένα για και να φτιάξουμε να κατασκευάσουμε ορισμένες πληροφορίες πολύ συγκεκριμένες τις οποίες ας τις αφήσουμε να τις δούμε σε λίγο πάντως το πρώτο πράγμα που ξεκαθαρίσαμε και κάνουμε τώρα σαν επανάληψη είναι ότι αυτό το διάνισμα έχει αυτά τα χαρακτηριστικά το κρατάμε αυτή την πληροφορία ένα πράγμα που ήθελα να σας πω είναι ότι αυτόν εδώ τον τελεστή μπορούμε να τον γράψουμε μπορούμε να τον συνδέσουμε και να τον γράψουμε και σε άλλα συστήματα συνδεταγμένων δηλαδή είπαμε ότι οι διανισματικές συναρτήσεις εκφράζονται σε τρία τουλάχιστον συστήματα συνδεταγμένων καρτεσιανές, κυλινδρικές, σφαιρικές η ερώτηση που έχω εγώ προς εσάς είναι εάν μπορείτε να μεταφέρετε αυτόν τον διανισματικό τελεστή από τις καρτεσιανές στις κυλινδρικές συνδεταγμένες και από τις καρτεσιανές στις σφαιρικές συνδεταγμένες στο παράρτημα εδώ του βιβλίου στο παράρτημα α υπάρχει η γραφή αυτών των διανισματικών συναρτήσεων σε διάφορα συστήματα αυτού του τελεστή σε διάφορα συστήματα συνδεταγμένων θέλω λοιπόν να γράψω την κλήση μιας αριθμητικής συναρτήσης σε συνδεταγμένες κυλινδρικές ας το γράψουμε θα είναι αυτό εδώ ε καταλαβαίνετε ότι σε αυτές τις συνδεταγμένες η γραφή της συνάρτησης θα είναι α, θ και φ άρα οι παραγωγήσεις πρέπει να είναι προς τα τρία προς τα τρία διανίσματα λοιπόν εδώ πέρα συν λοιπόν θα έχει την παράγωγο 1 διαρό θ της f θ θ συν εθ συν θ της f θζ εζ αυτός λοιπόν αυτή είναι η γραφή σε κυλινδρικές θεταγμένες της κλήσης ε θέλω μπορώ να την γράψω και στις σφαιρικές θεταγμένες αυτό είναι μια δουλειά που πρέπει να την ψάξετε εσείς και σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να γράψουμε αυτόν εδώ την κλήση όχι μόνο σε καρτεσιανές αλλά και σε κυλινδρικές θεταγμένες πότε θα το χρησιμοποιήσουμε αυτό η f δεν είναι σε χζ αλλά είναι σε ρθ και φ πως πήγα από αυτήν τη συνάντηση αυτήν θα μου πει κάποιος πως μπορώ εγώ αυτό να μην το πάρω για κανόν απομνημόνιση αλλά να το βγάλω να το αποδείξω πως θα το κάνω εάν θέλω δηλαδή αυτές εδώ τις εκφράσεις να τις μετατρέψω σε κυλινδρικές θεταγμένες πως θα το κάνω θέλω λοιπόν από σας να μεταφέρετε τον διανισματικό τελεστή την κλήση σε τρία συστήματα θεταγμένων ας κάνουμε μόνο αυτή κάνουμε λοιπόν την κλήση σε αυτό εδώ πέρα σας είπα ότι είναι οι κυλινδρικές αλλά το θέλω να το γράψετε και σε σφαιρικές το αφήνω σαν άσκηση για να το δούμε μαζί την πέμπτη τώρα τι άλλο μπορούσαμε να κάνουμε έχοντας την κλήση σαν πληροφορία ένα άλλο πράγμα που ήθελα ήθελα να δω πόσοι από σας μπορείτε να μου πείτε καταλάβατε από τις παραδόσεις και θέλετε και εσείς θέλω να μου το πείτε τι ήταν η παράγωση κατά κατεύθυνση δηλαδή παίρνω μια αριθμητική συναρτήση και θέλω να παραγωγήσω στην πληροφορία αυτή λέω αυτήν εδώ σας δίνω και ένα διάνισμα α και θέλω να παραγωγήσω αυτήν τη συναρτήση κατά την κατεύθυνση του διάνισματος α και το α σας το έχω δώσει και την ε και ζητάω να μου υπολογίσετε την παράγωση κατά κατεύθυνση της ε ως προς το α την παράγωγω κατά αυτήν την κατεύθυνση όχι οποιαδήποτε αλλά τη συγκεκριμένη κατεύθυνση ορίστε να μου πείτε τι είναι αυτό το πράγμα καταρχήν να μου το εξηγήσετε παραστατικά έτσι στο μυαλό σου πως το φαντάζεστε τι είναι αυτή η παράγωση κατά κατεύθυνση και πως θα την υπολογίσω εγώ αν μου τη ζητήσει κάποιος Είναι ο ρυθμός μεταβολής που αλλάζει η συναρτήση σε κάποιον όχι στο ψήφιστο εσένα ο ρυθμός μεταβολής αλλά προς τη συγκεκριμένη κατεύθυνση ακριβώς και αυτό παραστατικά μας δείχνει με πόσο γρήγορο ρυθμό και το συμβολίζουμε έτσι βάζουμε εδώ το α0 που είναι το μοναδιέο διένυμα που προκύπτει από αυτή την α το α0 αν ξέρω την α θα το βρω όπως ξέρετε εσείς από το α διηρημένο με την απόλυτη τιμή του α ωραία βάζουμε εδώ πάνω στην ε και είχαμε πει ότι αυτό είναι η ίσονα υπάρχει ένας τύπος πολύ συγκεκριμένος που μου δίνει την κλήση πολλαπλασιασμένο εσωτερικά με το α0 αυτός εδώ λοιπόν είναι ο τύπος που μου δίνει το ρυθμό μεταβολής μιας αριθμητικής συναρτήσης κατά την κατεύθυνση αυτού του διανύσματος και όταν στρέφεται αυτό το διανύσμα προς διάφορες μορφές ουσιαστικά αυτό εδώ πέρα μένει το ίδιο το εσωτερικό γινόμενο μου δείχνει ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής αυτής της συναρτήσης κατά διάφορες κατευθύνσεις υπάρχει και μοντέλο να το καταλάβετε έτσι και υποπτικά και αυτή την πληροφορία θέλω να την κρατήσετε και αυτή την πληροφορία ξέρετε ότι μεγιστοποιείται ή ελαχιστοποιείται αυτό το εσωτερικό γινόμενο ανάλογα το εσωτερικό γινόμενο αυτό έχει ένα συνειμήτωνο της γωνίας που σχηματίζουν αυτά τα δύο διανύσματα οπότε μπορεί να γίνει από μηδέν μέχρι ένα αυτό το συνειμήτωνο άρα να δώσει το μέγιστο ή ελαχιστο αυτό το εσωτερικό γινόμενο δηλαδή αυτο το οποίο κάνουμε είναι ότι άμα πάρουμε ένα τυχαίο σημείο της F ένα τυχαίο σημείο της F ναι έτσι όπως το γράψω είναι σαν να μην έχει και τόσο σημασία το διανύσμα, εγώ σκέφτηκα ότι ας πούμε ότι το διανύσμα το ατζεκοστόχουμε άμα για ένα τυχαίο σημείο πάρουμε την απόσταση ως προς το χ άξονα και δημιουργήσουμε τρία άλλα και διανύσματα αλλά τρεις άλλες εξώσεις που είναι η τομή της F με εκείνο το διανύσμα μετά αυτές τις τρεις και τις πολλοπλασιάσεις μας αντίστοιχα για το χ με το ε χ μοναβιά ο κουτουρπού κουτουρπού οπότε θα βγάλουμε το ότι θα βγαίνει αυτό ορισμός μεταβολής κατεκατέλησης γιατί είναι συγκρίσιμο σε κάποιο άλλο σε ένα διανύσμα να πω την αλήθεια ας πούμε ότι αυτή είναι η επιφάνεια για την οποία συζητάμε αυτή είναι η επιφάνεια που περιγράφει αυτό εγώ είμαι λοιπόν σε αυτό το σημείο θέλω να πάρω θέλω να πάρω το ρυθμό μεταβολής αυτή εδώ πέρα κατά διάφορες διευθύνσεις κατά τη διεύθυνση του α... α0 το σημείο κατευθύνεται προς αυτή τη διεύθυνση αν το πάρουμε εδώ πέρα έχει μια συγκεκριμένη διεύθυνση στο χώρο άρα εγώ λοιπόν μπορώ να δημιουργήσω με αυτό το διανύσμα μαζί το σημείο αυτό μου δημιουργεί ένα επίπεδο το οποίο έχει αυτή τη διεύθυνση να το ένα επίπεδο που έχει τη διεύθυνση την ίδια με το διανύσμα αυτό με τη διεύθυνση της F της επιφάνειας με αυτό το επίπεδο το οποίο πώς το φτιάξα αυτό το επίπεδο προς τα που το διεύθυνα με καθοδήγησε το α0 άρα λοιπόν βλέπω ότι εδώ πέρα αυτή η κλήση είναι ουσιαστικά η παράγωση κατά κατεύθυνση προς αυτή τη διεύθυνση τι μου λέει αυτή εγώ είμαι σε ένα βουνό και κατεβαίνω δηλαδή μια κλίνει απότομα με κάποιο ρυθμό ο ρυθμός δηλαδή που αλλάζει το ύψος στο βουνό εξατάται αν εγώ θα πάω από εδώ εάν θα πάω από εδώ μπορεί να έχει πολύ χαμηλό ρυθμό γιατί είναι ίδιο επίπεδο εάν πάω από την άλλη μεριά μπορεί να υπάρχει ένας γκρεμός άρα η παράγωση προς τα που θα κινηθώ εγώ διανυσματικά είτε θα πάω από εδώ είτε θα πάω κατευθείαν είτε θα πάω δεξιά είτε θα πάω πίσω άρα να κατεβώ το βουνό θα μου δίνει το ρυθμό με τον οποίο να αλλάζει το ύψος άρα δηλαδή είναι ένας τρόπος για να αγγιχνεύσω εγώ σε ένα σημείο κάθομαι σε ένα βουνό το οποίο έχει διαφορετικές κλήσεις από τις διαφορετικές κατευθύνσεις αλλιώς λοιπόν θα πέσω αν πέσω πάω προς τα εδώ αλλιώς θα πέσω αν πάω προς τα εδώ που θα λέω να υπάρχει ένα φαράγγι και να είναι καπότομα το κατευθύνσιμο άρα η διεύθυνση μου δίνει το ρυθμό μεταβολής όταν το θεωρήσω ένα δυναμικό το δυναμικό σε κάποιο σημείο μπορεί να αλλάζει με διαφορετικούς ρυθμούς προς τις διάφορες διευθύνσεις αυτό μου περιγράφει κατάλαβαξέ και από φυσικής άποψης δηλαδή και από γεωμετρικής άποψης αυτό περιγράφει λοιπόν κατανοητό και αν ρωτήσω υπάρχει και μια ερώτηση που θα ήθελα να μου απαντήσετε προς τα ποια διεύθυνση έχει το μεγαλύτερο το ταχύτερο ρυθμό μεταβολής της συνάντησης προς τα ποια διεύθυνση έχει το ταχύτερο ρυθμό μεταβολής της συνάντησης εδώ φαίνεται αυτό δηλαδή από όλες οι άλλες μου δίνουν κάτι αλλά υπάρχει μία διεύθυνση το α0 δηλαδή μπορεί άμα στραφεί προς μία διεύθυνση εκεί γίνεται η ταχύτερη μεταβολή της συνάντησης F πες δω θα είναι όταν το ιστορόγενωμα να πάει την αίσθητη μήτου δηλαδή τα δύο γεννήσματα είναι παράλληλα είναι η πλήση της F προς το μέτρο σπίτι της σωστό άρα ο συνάδελφός σας πολύ σωστά είπε το μικρό σου όνομα πες μου ο Αλέξανδρος λοιπόν λέει ότι αυτό είναι το διένισμα με το ταχύτερο ρυθμό γιατί πρέπει να είναι τα διένισματα αυτά πρέπει να είναι παράλληλα άρα λοιπόν το VF και επειδή θέλω μοναδία ο διενισματογράφω έτσι είναι η διεύθυνση που γίνεται ο μεγαλύτερος ρυθμός της F ωραία το κλείνουμε και αυτό το θέμα τώρα εάν το κλείσουμε αυτό το θέμα μπαίνουμε να χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο τελεστή αλλά να τον χρησιμοποιήσουμε τώρα τον τελεστή αυτόν εδώ αυτόν τον τελεστή θέλουμε να τον χρησιμοποιήσουμε τώρα πάνω σε διανισματικές συναρτήσεις οι αριθμητικές συναρτήσεις μας δώσανε την κλείση η οποία είπαμε και τι σημαίνει όλα καλά τώρα εάν εμένα μου δώσεις ένα διανισματικό πεδίο το α μπορώ να δημιουργήσω δύο πράγματα από αυτό το πεδίο δύο πράγματα μπορώ να ψάξω σε αυτό το πεδίο τη μία θα την πω απόκλειση και θα την ορίσω έτσι και την άλλη θα την ονομάσω στροφή και τα δύο έχουν μεγάλη σημασία πως ορίζω την απόκλειση η απόκλειση θα φτιάξω από το διανισματικό πεδίο θα φτιάξω ένα αριθμητικό πεδίο με την απόκλειση δημιουργώ ένα αριθμητικό πεδίο πως είναι η έκφραση αυτή είναι αυτή εδώ αx συν θf θα ψ θθ συν θα ζθ αυτή λοιπόν αυτό εδώ πέρα είναι μία καινούργια συνάρτηση αριθμητική x ψ z είναι μία καινούργια αριθμητική συνάρτηση και αν την πάρω την απόκλειση σε ένα συγκεκριμένο σημείο αυτό θα είναι νούμερο αν ζητήσω την απόκλειση σε ένα σημείο μη μη 0 επειδή το μη μη 0 έχει συγκεκριμένη θέση 1 1 1 θα βάλω τα x 1 1 1 και θα βγάλω από αυτό το πράγμα ένα νούμερο ένα ρυθμό και η ρώτηση είναι σε ένα διανισματικό πεδίο η απόκλειση τι ακριβώς μας λέει τι παριστά αυτό το πράγμα τι μας λέει αυτή η απόκλειση είχαμε πει ότι έχει μία πολύ μεγάλη σημασία μας λέει κάτι και γι'αυτό θυμάστε ότι είπαμε όταν η απόκλειση μιας διανισματικής συνάρτησης είναι ίση με το μη 0 αυτό το διανισματικό πεδίο πως το λέμε ασυμπίεστο άρα κάτι μας περιγράφει αυτή εδώ και μπορεί να είναι ασυμπίεστο δηλαδή κάτι λέει αυτή για το πεδίο μια πληροφορία μας δίνει γι'αυτό τη χρησιμοποιούμε πάρα πολύ δηλαδή βλέποντας παίρνοντας την απόκλειση από ένα διανισματικό πεδίο κάτι μετράμε γι'αυτό το πεδίο μια πληροφορία βγάζουμε από αυτό το πεδίο ποια είναι αυτή η πληροφορία που βγάζουμε εσείς πες τω πες μου και το όνομά σας ουσιαστικά μετράμε τη μεταβολή των δυναμικών γραμμών που διάσχονται από δύο διαδροχικές διατομές ο Δημήτρης λέει ότι αν φτιάξεις ένα στοιχειόδι για δύο διατομές δηλαδή πάρεις δύο σημεία εδώ πέρα και μετρήσεις πόσες περνάνε μάλλον δεν θα ήθελα να είναι διατομές θα είναι ένα στοιχειόδες όγκο θα φτιάξω δηλαδή ένα τέτοιο κουτάκι και μέσα σε αυτό θα περιγράψω το ποιος έχει μια διάσταση της στοιχειόδης δι'αυτήν τέχιν τε ψήν τε ζέντ φτιάχνω λοιπόν ένα στοιχειόδι όγκο γιατί οι επιφάνειες πρέπει να δούμε συνολικά πόσες μπαίνουν από εδώ και πόσες βγαίνουν να μπορούν να βγουν από όλες τις διευθύνσεις οπότε καλύτερα θα είναι να μιλήσουμε για όγκο πόσες γραμμές μπαίνουν και πόσες γραμμές βγαίνουν αν όσες μπαίνουν βγαίνουν ακριβώς οι ίδιες τότε είναι ασυμπιέστο έτσι, άρα λοιπόν μας λέει ότι όσες μπήκανε βγήκανε δεν δημιουργήθηκαν καινούριες και δεν χάθηκαν γραμμές δηλαδή εξαφανίστηκαν έτσι, άρα λοιπόν το θέμα της απόκλεισης μετράει σε ένα στοιχειόδης όγκο αν το τοποθετήσω εγώ μέσα και μετρήσω πόσες γραμμές μπήκαν μέσα στο κουτί και πόσες γραμμές βγήκαν από το κουτί μου λέει αν το νούμερο είναι διαφορετικό από το μηδέν, αν είναι μηδέν σου λέει ότι όσες μπήκανε βγήκανε εάν δημιουργούνται ή καταστρέφονται είναι διάφορο του μηδενός η απόκλειση που σημαίνει κάτι έμεινε, κάτι χάθηκε κάτι κερδίθηκε, δηλαδή μπορούμε να πούμε ότι υπάρχουν πηγές για γραμμές ή sinks για γραμμές, δηλαδή χάνονται, εξαφανίζονται οι γραμμές δηλαδή μπορούν να εξαφανίζονται γιατί καταστράφηκαν ή να βγήκαν καινούργιες γραμμές γιατί υπήρξαν πηγές οι οποίες τις δημιούργησαν ή κάτι τις απορρόφησε, μπήκαν 20 γραμμές και βρήκαν 3 που σημαίνει 17 χάθηκαν, απορροφήθηκαν μέσα στο κουτί για κάποιο λόγο πρέπει να ορίσουμε τη φυσική σημασία του διαγενισματικού πεδίου για να μιλήσουμε ποια ήταν η φυσική που έκανε αυτή την εξαφάνιση ή έκανε αυτή τη δημιουργία μπήκαν 5 γραμμές και βγήκαν 40 που σημαίνει ότι υπήρξαν πηγές για νέες γραμμές μέσα στο κουτί έτσι, άρα είναι ένα μέτρο του τι συμβαίνει στα διαγενισματικά πεδία όπως προχωράμε μαζί τους στο χώρο δηλαδή αν την πάρω εγώ αυτό το κουτί και το κοινό στο χώρο θα διαπιστώνω σε κάθε σημείο αν οι γραμμές κερδίζονται, χάνονται, δεν αλλάζουν καθόλου και σε κάθε σημείο θα λέω η κλείση σε αυτό το σημείο, σε αυτό το στοιχειώδες του διαγενισματικού πεδίου είναι 0 θετική, αρνητική, που σημαίνει ότι το πεδίο συνεχώς κάνει κάτι στο χώρο αν είναι 0 δεν κάνει τίποτα, μπαίνουν, βγαίνουν αν όμως πάω παραπέρα και βρίσκω ότι οι γραμμές χάθηκαν ή πάω παραπέρα και οι γραμμές κερδίθηκαν σημαίνει ότι έχουμε ένα δυναμικό περιβάλλον που δημιουργεί και καταστρέφει γραμμές ή δεν μπορούν να δημιουργούν ούτε να καταστραφούν, είναι οι ίδιες παντού αν λοιπόν έχω ένα διαγενισματικό πεδίο που πουθενά δεν δημιουργούνται και πουθενά δεν καταστρέφονται γραμμές είναι οι ίδιες παντού, αυτό είναι ένα συμπίεστο λοιπόν πάει αυτό, το καταλάβουμε ωραίο είναι, όπως είπαμε, αυτό το ντανιστή εδώ πέρα και αυτό θέλει να γραφτεί σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων και αυτό είναι μια δουλίτσα που τουλάχιστον μια φορά μια και κάνουμε το μάθημα σε αυτό το ίδιο το απένδειξ του βιβλίου ή οπουδήποτε θέλετε εσείς γράψτε να σας δείξει, ακόμα και στο Google μπορεί να το ζητήσετε να σας δείξει το διαφορικό αυτόν τελεστή σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων και αυτό είναι πάρα πολύ χρήσιμο να ξέρετε δηλαδή αυτή η απόκλειση πως γράφεται σε σφαιρικές και κυλινρικές συντεταγμένες Λοιπόν ερχόμαστε στον τρίτο και τελευταίο από τους νενισματικούς από τις νενισματικές συντατήσεις που τώρα αυτό εδώ πέρα λέγεται στροφή και δημιουργεί μια νέα συνάντηση F κεφαλαίο ενώ εδώ δημιουργούσε μια αριθμητική συνάντηση εδώ δημιουργούσε μια διαγνεισματική συνάντηση Αυτό επίσης είναι ένα πολύ... Παίρνω ένα πεδίο και φτιάχνω τη στροφή του δηλαδή ένα νέο διάνισμα, ένα νέο πεδίο το οποίο αποτελεί τη στροφή του προηγούμενου και είχαμε πει ότι αυτή εδώ η στροφή περιγράφει κάτι άλλο Ποιος θυμάται τι μετράει η στροφή μια διαγνεισματική συνάντηση δηλαδή έχω ένα διαγνεισματικό πεδίο και λέω ότι η στροφή είναι μηδέν, αυτό είναι πολύ συγκεκριμένο πράγμα η στροφή λέει και πως λέγεται το πεδίο που η στροφή του είναι μηδέν Αστρόβυλο Αυτό λοιπόν από τη λέξη ήδη καταλάβαμε ότι αφού είναι μηδέν είναι αστρόβυλο δηλαδή τι γίνεται, οι γραμμές είναι ευθείες και δεν στρίβουν καθόλου Αυτό είναι ένα πεδίο το οποίο είναι μια ροή που έχει γραμμές στο πεδίο, οι οποίες κινούνται όλες προς την ίδια διεύθυνση προς μία διεύθυνση, προς την διεύθυνση χ Αυτό η προς μία διεύθυνση τυχαία στο χώρο αλλά όλες πάνε κατά την ίδια διεύθυνση Αυτό είναι έναν αστρόβυλο πεδίο ενώ εάν το πεδίο έχει μια καμπή θα έχει διαφορετικό του μηδενός θα δημιουργεί αυτό το πράγμα θα είναι διάφορο του μηδενός το πεδίο το οποίο θα αποτελεί τις στροφές θα μας δίνει δηλαδή ένα μέτρο της ελικότητας του πεδίου αυτό το πεδίο με αυτό το πεδίο με αυτό το πεδίο έχουν διαφορετική στροφή δηλαδή ένα πεδίο που είναι από αυτά τα διαενίσματα εδώ αυτό εδώ πέρα και αυτό εδώ πόρα που είναι ευθείας αυτό έχει μηδέν, έναν αστρόβυλο, αυτά έχουν διαφορετική διαφορετική ελικότητα άρα η στροφή τους έχει διαφορετική τιμή αυτό λοιπόν σε κάθε σημείο λοιπόν προχωρούμε να βρούμε πως γράφουμε πως υπολογίζουμε αυτό το καινούργιο διαενισμό είχαμε πει ότι είχε σε καρτεσιανές δεταγμένες αυτό συμβολίζεται έτσι ωραία άρα λοιπόν βλέπετε ότι εδώ αυτό μπορούμε να το αναπτύξουμε έτσι όπως έχετε μάθει να αναπτύσσετε ορίζες και θα μας βγάλει τρεις όρους ο ένας θα είναι ο εχ, ο ένας θα είναι ο εψι και ο τρίτος θα είναι ο εζ και βέβαια ξέρετε πως αναπτύσσετε μία ορίζησα δεν χρειάζεται να κάνουμε περισσότερα αυτή λοιπόν είναι η στροφή μιας διαενισματικής συνάντησης που δημιουργεί μια νέα συνάντηση η οποία είναι αυτή εδώ που βλέπετε αν σας δώσω εγώ ένα πεδίο λοιπόν μπορείτε να το αναπτύξετε και να βγάλετε τη στροφή ναι φυσικά μπορείτε τι θα μας βγάλει όμως γιατί εδώ είναι κοιτάξτε αν αλλάξετε αυτές τις δύο θέσεις αυτό εννοείς, αυτές δεν εννοείς πάνω κάτω εδώ, τις δύο γραμμές ναι όχι πρέπει να δοθούν έτσι λάθος έκανα από απάντησα διότι θα πρέπει δεν νομίζω ότι μπορεί να βγει το ίδιο αποτέλεσμα μόνο με ένα μειον αυτό από αυτό δηλαδή έχω την εντύπωση ότι αυτό δεν είναι είναι ένα συμβολισμός που πρέπει να το χρησιμοποιήσετε έτσι δεν είναι σαν ο Ρίου Σοφ να βγει το ίδιο αποτέλεσμα όχι όχι όχι απλώς η ανάπτυξη και ο συμβολισμός θα μπορούσα δηλαδή να το παρακάμψω αυτό και να σας δώσω αυτόν τον τύπο όπως έβαλα σε αυτή τη μορφή όπως κάναμε και την παράγω M θυμάστε που είχαμε κάνει δηλαδή αυτή είναι ένα συμβολισμός για να μπορείτε να θυμάστε γιατί εγώ εκείνο μόνο του δεν θα το θυμόμουν ποτέ να πάω από εδώ κατευθείαν εδώ δεν θα το θυμόμουν ποτέ ενώ μέσα από αυτό εδώ πέρα να το στήσω μπορώ και να βγάλω το αποτέλεσμα μπορώ εύκολα αυτό δεν είναι ένα είδος συμβολισμού για να φτάσουμε στο τελικό ναι όμως όπως το άνθρωπο είναι διάνυσμα και το ανάπτυξη θα αποτελεί ένα μετασχηματισμό μπορεί να λάβει διάνυσματική μορφή πάλι θα ήταν λογικό να χρησιμοποιήσουμε ιδιότητες ορίζω σας γιατί έχουμε να κάνουμε τη μελέτη του διανυσματικού ανηγητών πρέπει αν θέλεις να το δοκιμάσεις αν βάλεις δηλαδή αν αλλάξεις τη θέση αυτών εδώ πέρα θα βγάλεις μια τελείως άλλη μορφή διανυσματικής συνάρτησης αλλά δεν θα αλλάζει το ε ψ μετά θα έχει τελείως άλλη μορφή η έκφραση αν αλλάξεις τη στήλη αυτή και τη βάλεις εδώ το ε ψ μετά θα έχει άλλη τιμή οπότε δεν βγαίνει το ίδιο διάνυσμα το διάνυσμα της τροφής έτσι τελεία δεν το πειράζουμε αυτό για να φτιάξουμε μια άλλη έκφραση κατάλαβες όχι και θέλω να σας παρακαλέσω στις ιδιότητες των ορίζουσων να τις χρησιμοποιήσετε και τα δείτε και στις ταυτότητες που θα πω αμέσως να χρησιμοποιήσετε τις ορίζουσες αφού αναπτύξετε και το ανάπτυγμα είναι που θα δουλέψετε εσείς και να μην δουλέψετε μέσα από τις ιδιότητες των ορίζουσων είναι επικίνδυνο να χρησιμοποιήσετε τις ορισμότητες των ορίζουσων πριν αναπτύξετε και το ανάπτυγμα να χρησιμοποιήσετε σαν νέο διάνυσμα για να το διαχειριστείτε δηλαδή εδώ πέρα αν ήθελα εγώ να πάρω τη στροφή μιας συνάντησης αυτή εδώ πέρα δεν θα ήθελα να τη δουλέψω με δύο ορίζουσες στη μία πάνω στην άλλη είναι καλά δηλαδή να φτιάξετε αυτό το διάνυσμα και αυτά εδώ πέρα να βάλετε μέσα για να φτιάξετε τη νέα στροφή η απάντηση λοιπόν στο ερώτημα είναι ότι το αποτέλεσμα είναι αυτό που μας ενδιαφέρει αυτό εδώ είναι η στροφή σε αυτό πρέπει να τελειώνετε και σε αυτό πρέπει να διαχειριστείτε για να βγάλετε οτιδήποτε άλλο θέλετε δηλαδή αν θέλω να πάρω εγώ την απόκλειση μιας στροφής θα πρέπει να θεωρήσω ότι αυτό εδώ είναι αυτό εδώ πέρα αλλιώς δεν μπορώ να το δουλέψω με την ορίζουσα η απάντηση λοιπόν στο ερώτημα που είναι είναι ότι θα ήθελα να θεωρήσετε ότι αυτή η ορίζουσα είναι ένα συμβολισμός είναι ένας τρόπος για να έχουμε ευκολότερη να θυμόμαστε ευκολότερα τη στροφή μέχρι εκεί έτσι λοιπόν ωραία αυτή τη στροφή είπαμε και τι σημαίνει και τι μετράει τώρα εκείνο που έχει μεγάλη αξία και πρέπει λίγο να το συνηθίστητε και να το δουλέψετε και εδώ θα τελειώσει η μορφή αυτής της επανάληψης που ήθελα να κάνω για να μπούμε όλοι στο ίδιο σημείο για να συνεχίσουμε ένα πολύ σημαντικό πράγμα το οποίο συζητήσαμε αρκετά είναι ότι υπάρχουν πολλές ενδιαφέρουσες ταυτότητες που έχουν να κάνουν με το πως θα διαχειριστούμε την εξής πληροφορία εάν κάποιος μας δώσει ας πούμε παραδείγματος χάρη την F που είναι μια συνάντηση αυτή εδώ και μας δώσει και μια άλλη συνάντηση την G, X, Ψ και Ζ και μας δώσει και δύο διανισματικές συναρτήσεις τώρα εάν έχουμε αυτές εδώ τις γνωστές μας αυτές και μας ζητήσουν να υπολογίσουμε το F, G δηλαδή να υπολογίσουμε την κλήση αυτών των δύο αριθμητικών συναρτήσεων αυτό το γινόμενο γράφεται να είναι ίσο με την F η κλήση της G και η κλήση της F αυτή είναι μια ταυτότητα αυτή είναι μια ταυτότητα και πως θα την αποδείξω εγώ αυτή την ταυτότητα όπως δουλεύσαμε μέχρι τώρα δηλαδή θα πάμε στο εξής θα ξεκινήσετε από τη σχέση αυτή την οποία πως θα τη γράψετε θα τη γράψετε ΘΘΘΗ του G επί F της Ψ συν ΘΘΨ συν ΘΘΖ του F G εζ συμφωνείτε μέχρι εδώ δηλαδή τι έκανα πειρα αυτό το έγραψα έτσι όπως έχουμε πει δηλαδή θεώρησα ότι εδώ πέρα είναι μια καινούργια συναρτήση απλώς είναι το γινόμενο δύο αριθμητικών συναρτήσεων το βλέπετε αυτό το βήμα το βλέπετε αυτό το βήμα το βλέπετε αυτό το βήμα το βλέπετε αυτό το βήμα απλώς το έχω αναπτύξει δεν έχω κάνει τίποτα το βλέπουμε λοιπόν από εδώ και πέρα κάθε ένα από αυτά θα το αναπτύξω σε δύο έτσι γιατί αυτό πως θα γραφτεί θα γραφτεί ΘΕΦ θα αφήσω το G απέξω ΘΕΦΘΗ συν ΦΘΓ ΘΘΘΗ και αυτό θα είναι το ΥΧ θα το κάνω σε όλα και μετά θα τα χωρίσω και αν τα χωρίσω θα μου βγουν αυτά τα δύο αυτό το δύο αν το γράψετε θα έχει το ένα θα έχει Φ απέξω και μέσα θα έχει ΘΕΦ ΘΕΓ το δεύτερο μέλος τώρα γράφω ΥΧ αυτό θα βγαίνει από αυτό τώρα και θα υπάρχει από αυτό το ΥΧ θα βγει GΘΕΦΘΗ και εδώ ΥΧ να τα αυτά τα δύο άρα λοιπόν αυτή εδώ την ανεπτυγμένη γραφή η οποία θα βγάλει αυτούς όλους τους όλους μπορώ να την γράψω και έτσι άρα ο τρόπος που αποδεικνύω τις ταυτότητες είναι ξεκινάω από το πρωτομέλος και πάω πάω πάω θα ξεκινήσετε να κάνετε τις πλάξεις από το πρώτο μέλος θα προχωρήσετε θα προχωρήσετε και στο τέλος θα καταλήξετε σε αυτά εδώ πέρα τα οποία θα είναι έξι διαφορετικές τις οποίες μπορείτε να σπάσετε τρεις θα βγουν από εδώ και τρεις θα βγουν από εδώ γιατί κάθε παραγώγηση αυτού του πράγματος βγάζει δύο άρα θα βγουν έξι όρες και αυτοί έξι όρες βγαίνουν από αυτά τα δύο λοιπόν ποιος δεν με κατάλαβε ποιος τον μπέρδεψα αντί να τον βοηθήσω λέω ότι ξεκινάμε αυτή τη σχέση αλλά τώρα από εδώ και πέρα εσείς αυτήν εδώ πέρα την σχέση θα την παίρνετε δεδομένη δεν θα κάνετε πραπόδειξη κάθε φορά αυτό είναι το ενδιαφέρον με τις ταυτότητες τις ταυτότητες αυτές πρέπει να τις ξέρετε τώρα θα μου πείτε εάν προκύψει μία άσκηση και έχει αυτή την ταυτότητα μέσα και δεν τη θυμάμαι είμαι υποχρεωμένος να την βγάλω στο πρόχειρο και να την αναπτύξω γι' αυτό λοιπόν αξίζει να τις έχετε κάνει σαν ασκήσεις μερικές από αυτές τις πιο κλασικές ταυτότητες για να μπορείτε εύκολα να τις αναπαράγετε θα δούμε λοιπόν ποιες από αυτές είναι πολύ χρήσιμες αυτή είναι μία από τις χρήσιμες θα δούμε και μερικές άλλες αλλά θέλω να σιγουρέψω το εξής δεν θα σας δώσουμε τυπολόγιο σε αυτό το μάθημα και ό,τι χρειαστείτε αυτής της μορφής δεν χρειάζεται να το έχετε απομνημονεύσει αλλά θα έλεγα εγώ όπως σας είχα πει ότι το υλικό που χρησιμοποιούμε το χρησιμοποιούμε σε τρία επίπεδα σε ένα επίπεδο είναι να κατανοήσω τις έννοιες τι είναι η στροφή, τι είναι η απόκλυση, τι είναι η κλήση, τι σημαίνουν και όλα αυτά αυτά είναι έννοιες το δεύτερο επίπεδο είναι να μπορώ να κάνω τις πράξεις με αυτές και να τις εφαρμόσω και το τρίτο επίπεδο είναι ότι υπάρχουν μέσα στα βιβλία κάποια σημεία τα οποία τα διαβάζεις παραμονές των εξετάσεων και αν είσαι φοιτητής που διαβάζεις όλο το εξάμινο αυτά και μόνο διαβάζεις παραμονές των εξετάσεων γι' αυτό μπορεί να δίνεις εξετάσεις πολύ συχνά γιατί μια μικρή επανάληψη στα σημεία που θέλεις να θυμάσαι κάνεις την παραμονή μία ή δύο μέρες μια μικρή επανάληψη και πας στις εξετάσεις με αρκετή πληροφορία από αυτά τα που έχεις βάλει μέσα σε κουτιά να τα απομνημονεύσουν μετά τις εξετάσεις αυτά που έχεις βάλει και να τα ξεχάσεις από που ξέρεις που είναι στο βιβλίο, αφού δουλεύεις στο σπίτι σου πας τα βγάζεις στο βιβλίο και τα γράφεις δεν χρειάζεται να θυμάσαι με τα τίποτα δηλαδή δεν με ανησυχεί να ξεχάσετε αυτήν εδώ την ταυτότητα καθόλου, διότι θα ανοίξεις το βιβλίο όταν ξέρετε πού είναι θα την βρείτε εκείνο που με ανησυχεί είναι να μην ξέρετε τι σημαίνει η παράγωκα τα κατεύθυνσης και να ούτε το σύμβολο ούτε τίποτα να μην θυμάστε από την παράγωκα τα κατεύθυνσης δηλαδή θέλω να πω για μένα το σημαντικό είναι να χωρίσετε το βιβλίο σε τρία επίπεδα των ενιών, των πράξεων και μετά των απομνημόνευσης και να ξεχαστεί και να γίνει μόνο πράγμα στις εξετάσεις δεν με πειράζει, αλλά το ενιών και των πράξεων θα πρέπει να τις θυμάστε, ότι η στροφή είναι αυτή η πράξη δεν πρέπει να το ξεχάσετε ποτέ δεν είναι θέμα εξετάσεις, δεν είναι θέμα να θυμάστε μια ταυτότητα είναι θέμα να ξέρω τι σημαίνει η στροφή δάξει, άρα λοιπόν διαλέξτε στο βιβλίο χωρίστε το σε τρία επίπεδα, το τελευταίο και να είναι μόνο για τις παραμονές των εξετάσεων δεν θα φύγει μετά τις εξετάσεις και δεν μας νοιάζει καθόλου πάντα θα μπορούμε αυτά τα πράγματα να τα ανακαλύψουμε από βιβλία έτσι, από βιβλία που θα τα έχουμε στη διάθεσή μας Να συνεχίσουμε λίγο σε αυτό με τις ταυτότητες το οποίο πρέπει λίγο να ασχοληθείτε κι εσείς παραπάνω από τις διαλέξεις και θέλω να πω το εξής ότι μια άλλη περίπτωση είναι να βρούμε προηγουμένως είχαμε την κλήση απάνω σε ένα γινόμενο αριθμητικό της συνταρτήσεων αυτό είχαμε προηγουμένως γράψει την κλήση ενώ σ'απάνω σε γινόμενο η κλήση δηλαδή σε γινόμενο μια συνέχεια συνάντηση η οποία μπορεί να σπάσει σε δύο την F και την J η F και η J είναι δύο αριθμητικές συνταρτήσεις εάν πάρω τώρα και πολλαπλασιάσω μια αριθμητική συνάντηση με μια διαγενισματική συνάντηση και εδώ ζητήσω όχι την κλήση επειδή έχω γινόμενο αριθμητικής με διαγενισματική και ζητάω να υπολογίσω σε αυτή την απόκλυση πώς θα το γράψω αυτό κανονικά θα πρέπει να γράψω να θεωρήσω ότι η απόκλυση θα είναι αυτό εδώ το διάνυσμα θθx απάνω σε τι θα εφαρμοστεί θα εφαρμοστεί στο F επί α έτσι οπότε μπορώ να γράψω εγώ την πρώτη θθx συν θθψ εψιλονψ συν θθζ εψιλονζ τι έχω γράψει μέχρι τώρα έχω γράψει μόνο αυτό και αυτό πρέπει να το εφαρμόσω απάνω σε μία άλλη η οποία είναι η F αx εx συν F αx εx συν F αz εz ωραία τώρα κάνω τις πράξεις και συνεχίζω και έχω παράγωγος ως προς x ποιον ο πράγματος της F αx συν παράγωγος της ψ της F αψ και παράγωγος ως προς z της F αz ωραία εδώ θα κάνω τις πράξεις τώρα τώρα έχω γινόμενο δύο στην κάθε παραγώγηση δύο αριθμητικών συναρτήσεων και το F είναι αριθμητική συναρτήσεων και το αx είναι αριθμητική συναρτήσεων οπότε αυτά θα δημιουργήσουν από δύο όρους το καθένα το ένα θα μου δημιουργήσει έναν όρο που θα λένε F θ αx θ συν αx θ θ x της F ο πρώτος όρος συνεχίζω θ ψ της α ψ συν α ψ θ θ ψ της F και τέλος θα έχω F θ θ z α z συν α z θ θ z της F με πράξεις, τίποτα άλλο, έκανα απλές πράξεις τώρα όμως αυτά που έχουν την F απέξω αυτός ο όρος αυτός ο όρος και αυτός ο όρος, αυτοί οι τρεις όροι τους μαζεύω σε μία παρένθεση μαζεύω λοιπόν σε μία αυτά που έχουν το F απέξω και μέσα έχει θ αx θ x το F είναι απέξω είπαμε συν θ θ ψ α ψ συν θ θ z α z συμφωνείτε, έβγαλα το F κοινό παράγοντα και μέσα έχω αυτό αυτό το αναγνωρίζετε, τι είναι ποιος το αναγνωρίζει τι είναι αυτό πες μας, το ανάδελτα του α άρα λοιπόν αυτό είναι το ανάδελτα είναι μάλλον αλλιώς έπρεπε να το πει έπρεπε να το πει ότι είναι η απόκλυση του α συμφωνείτε γιατί το ανάδελτα του α επειδή είναι διάνισμα είναι η απόκλυση θα το λέω λέμε και όχι έτσι απλώς το ανάδελτα του α ναι το ανάδελτα του F θα μπορούσε να πει κανένας αλλά καλύτερα να λέμε τα ονόματά τους απόκλυση, κλήση, στροφή άρα λοιπόν αυτό το αναγνωρίσαμε τι είναι παίρνουμε τα άρα που είναι απέξω τώρα τα τρία τα άλλα τα οποία έχουν τη μορφή συν κοιτάξτε τι έχουν έχουν το αx θ f θ x συν α ψ θ f θ ψ συν αζ θ f θ z αυτό το αναγνωρίζετε τι είναι επειδή η κλήση της F είναι διάνισμα και το α είναι μόνο το διάνισμα άμα κάνουμε διαδηματικό προοδεσιασμό θα σου προκύπτει αυτό το γενόμετρο ωραία άρα λοιπόν προκύπτει αυτό εδώ το πράγμα άρα για να καταλήξω εγώ σε αυτό εδώ θα φτιάξω μία νέα ταυτότητα την έβγαλα ήδη που λέει το F πολλαπλασιασμένο με ένα διάνισμα μία αριθμητική συνάρτηση με αν θέλω την απόκλυση μιας αριθμητικής και μιας διαδηματικής συνάρτησης αυτή θα είναι ίση με την F απόκλυση του α συν θα βάλω α αυτά γιατί αυτό εδώ πέρα το εσωτερικό ας το πούμε γινόμενο είναι ουσιαστικά όλο αυτό είναι αυτό το πράγμα είναι ένας νέος τελεστής αυτό ήθελα να το συζητούσαμε και με τον Κώστα προηγουμένους ότι αυτό εδώ είναι ένας νέος τελεστής πώς γράφεται αυτό γράφεται αxθθ συν αψθθ συν αζθθ έφτιαξα λοιπόν με το να πάρω το εσωτερικό γινόμενο ενός διανύσματος με το διανυσματικό τελεστή φτιάχνει ένα νέο τελεστή ο οποίος όμως είναι ένας τελεστής ο οποίος δεν είναι διάνισμα είναι αυτό το πράγμα το οποίο τώρα μπορεί να εφαρμοστεί σε όποια αριθμητική συνάρτηση ή διανυσματική συνάρτηση θέλετε άρα προσέξτε κάτι που δεν το παρακολουθεί πολλοί κόσμος αν την εφαρμόσω σε αυτήν τη συνάρτηση δηλαδή αυτό το πράγμα είναι εύκολο ποιο είναι το αποτέλεσμα είναι αυτό εδώ πέρα πού το είναι αυτό αν δηλαδή πάρω όλο αυτό και το εφαρμόσω πάνω στην f είναι αυτό αν το εφαρμόζω όμως αυτό απάνω σε μια διανυσματική συνάρτηση τι θα ήταν δηλαδή γράψω α γράψω αυτό το πράγμα και εδώ βάλλω το β ένα διάνισμα εφαρμόζω δηλαδή αυτόν εδώ τον τελεστή απάνω στο β μπορείτε να μου πείτε εσείς να κάνετε στο τετράδιό σας τι θα προκύψει από αυτό ποιο θα είναι το αποτέλεσμα θέλω να μου πει κάποιος ή να το δουλέψω στο τετράδιό σας εάν εφαρμόσω αυτόν τον καινούργιο τελεστή αυτός εδώ ξέρω ποιος τελεστής είναι αυτός αν αυτόν τον εφαρμόσω τι θα κάνω θα σπάσω το β σε τρία θα σπάσω αυτό το β θα γράψω λοιπόν αυτός ο τελεστής τον οποίο το ξέρω είναι εκείνος θα εφαρμοστεί στο βx εx ο ίδιος τελεστής θα εφαρμοστεί στο βψε ψ και ο ίδιος τελεστής θα εφαρμοστεί στο βζ εζ άρα δηλαδή αυτός ο τελεστής θα εφαρμοστεί σε τρεις αριθμητικές συναρτήσεις αλλά θα είναι ένα διάνισμα τώρα γιατί αυτό εδώ είναι διάνισμα δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο από την έξω μεριά δηλαδή το α dot β δημιουργεί έναν καινούργιο τελεστή ο οποίος μπορεί να εφαρμοστεί είτε σε μια αριθμητική συναρτήση οπότε θα μας βγάλει ένα νούμερο μια καινούργια συναρτήση που σε ένα σημείο θα είναι ένα νούμερο ή μπορεί να εφαρμοστεί απάνω σε ένα διάνισμα αλλά θα βγάλει τότε διάνισμα αυτή η πράξη λοιπόν δημιουργεί ένα νέο διάνισμα το οποίο εφαρμόζεται στις συνισθώσες του β που είναι αριθμητικές συναρτήσεις για σιγουριά αυτό στις αγγίλες το α επί του τελεστή που είναι αυτό είναι ένας τελεστής απάνω στο β ή είναι επί β όχι είναι ένας τελεστής απάνω στο β έτσι είναι ένας τελεστής που εφαρμόζεται είτε μπορώ να τον εφαρμόσω είτε σε μια αριθμητική συναρτήση εφ οπότε όλο αυτό παραγωγίζει αυτό δηλαδή παραγωγίζει τρεις φορές την εφ και μου φτιάχνει μια νέα αριθμητική συναρτήση έτσι την οποία μπορώ σε κάθε σημείο να υπολογίσω την τιμή της αυτό δηλαδή όλο το πράγμα μου φτιάχνει μια αριθμητική συναρτήση το βλέπετε ότι φτιάχνει παραγωγίζει τρεις φορές το εφ και το πολλαπλασιάζουμε με αυτά τα αx, αxc, αz αυτό λοιπόν είναι μια καινούργια αριθμητική αυτό μου φτιάχνει μια διαγνισματική συναρτήση και παραγωγίζει αυτός ο τελεστής τις τρεις συγκιστώσεις του χ και που έχετε βάλει το εφ θα πρέπει να είναι και στην αριστερή μεριά πίσω πέμπρος κάπου αυτό το εφ λες ναι έτσι ναι αυτό λοιπόν συμβολίζεται έτσι είναι ο τελεστής απάνω στο εφ και αν το δείτε εσείς θα το δείτε χωρίς τις αγγείλες θα δείτε ένα αυτό το πράγμα αν δείτε γι'αυτό επιμένουν πάρα πολύ ότι τα dots παίζουν σημασία εδώ πέρα αυτό το πράγματος εδώ ο όλο αυτός είναι ο συμβολισμός το dot είναι εδώ όμως και προσέξτε γιατί τα dot το εσωτερικό γινόμενο είναι για να μας βοηθήσει διότι το διάνισμα που ο τελεστής δηλαδή ο διανισματικός τελεστής είναι ένα διάνισμα μέσα σε εισαγωγικά και γιατί δεν είναι πραγματικό διάνισμα για να σας δώσω εγώ διάνισμα με τα α και β και θα σας ζητήσω το εσωτερικό γινόμενο είτε προπλασιάσω το α επί το β είναι ίσον με το β επί α αυτά δεν είναι αίσα όμως γι'αυτό συμβολικά είναι τα εσωτερικά γινόμενα για να σας βοηθήσουν εσάς να κάνετε τις πράξεις δεν θα τα πάρετε όμως ότι είναι δεν θα πείτε πουθενά ότι αυτά είναι ακολουθούν τις ιδιότητες των διανισμάτων όπως δεν είπαμε προηγουμένως ακολουθούν τις ιδιότητες των οριζουσών συμβολικά για να μπορώ εγώ να κάνω τη δουλειά μου τα παίρνω ότι είναι εσωτερικά γινόμενα αφού έχω κάνει τις πράξεις και τα έχω φωμιώσει άρα κύριε πρώτα το α με το διανισματικό τελεστή και μετά με το εφ και μετά με το εφ μπράβο πρώτα λοιπόν το α πρώτα αυτό το εσωτερικό γινόμενο μου παράγει αυτόν τον καινούργιο τελεστή ο οποίος εφαρμόζεται απάνω στο εφ και αυτό είναι αυτό είναι τελείως άλλο πράγμα να βάλω το εφ απέξω και εδώ να βάλω αυτόν εδώ τον τελεστή αυτό εδώ πέρα αυτό είναι άλλο πράγμα από αυτό αυτό εδώ πέρα θα ήταν αυτό που γράψα εδώ πέρα να το, θα έχει το εφ απέξω δηλαδή αυτό θα έχει το εφ απέξω και μέσα τι θα έχει θα έχει θ αx θx συν εφ θ α ψ θ ψ συν εφ θ αζ θ ζ αυτό λοιπόν είναι άλλο από αυτό το καταλάβατε ναι το πρώτο άμα ακούμε ότι παρέθυση α διάνεσμα επί τον άδελτα αυτό είναι ίσως ότι βάλω στο δύναμο με το α επί παρέθυση τον άδελτα του εφ είναι μια δεκτή φράση ή είναι κάτι λάθος όχι έχει ενδιαφέρον αυτό που λες ο συνάδελφος σας ρωτάει εάν γράψουμε αυτό εδώ πέρα βάλουμε μια παρένθεση και πούμε ότι αυτό εφ αρμόζεται απάνω στο εφ ή αν γράψουμε αν τον κατάλαβα καλά το α αυτά είναι ίδια ή δεν είναι την ερώτηση την επιστρέφω την ερώτηση εσάς αυτά τα δύο όπως τα έχω γράψει τώρα είναι ίδια ή δεν είναι θέλω να μου πείτε τι είναι η διαφορά πως θα γράφατε αυτό και πως θα γράφατε αυτό κάνετε αυτές τις πράξεις και κάνετε και αυτές τις πράξεις και λάτε να το γράψουμε στον πίνακα η ερώτηση λοιπόν του συναδέλφου σας είναι αυτό είναι ίδιο με αυτό ή επειδή έβαλα έτσι τις παρεθέσεις έχουν αλλάξει πράξεις εγώ τους εμπίστευσα στις ασκήσεις αλλά επειδή είμαστε κάποιος προκομμένος ότι προτιμάται να το ρίζουμε τον πρώτο τρόπο όχι όχι να δούμε τι βγάζει αυτό και τι βγάζει αυτό αυτά τα δύο τι βγάζουν κάντε τις πράξεις σας παρακαλώ αυτή είναι η πρώτη πράξη και η δεύτερη είναι η άλφα να το αναλύσω στις συνισθώσεις του και τώρα κάνουμε στρεχογενώμενο αυτά τα δύο διανοίσματα και θα δώσει είναι η ίδια με το dot απέξω εκεί βάλτε και το dot απέξω κανένα πρόβλημα αλλά εγώ ήθελα να ρωτήσω αν δεν έβαζε το dot αν δηλαδή αυτό έχει νόημα έχει νόημα αυτή χωρίς το dot πόσον έχουμε δύο διανοίσματα στη σειρά που εννοείται μέσα στο το έχουμε πράξεις πολλαπλασιασμού άμα λειτουργήσουμε διαδικασίες στο εργασιασμό πολλαπλασιασμού διανοισμάτων ναι αυτό θα γίνει άμα βάλουμε το dot εδώ ναι αλλά και άμα θα βάλουμε το dot πάλι το ίδιο αφού και το δεύτερο μέρος είναι διανοίσμα ναι δηλαδή θα υποθέσουμε ότι ουσιαστικά είτε μπει το dot εδώ είτε δεν μπει η πράξη είναι ίδια είναι ένα εσωτερικό γεγονόμενο δηλαδή εσείς λέτε ότι αν σας γράψω εγώ αυτά τα διανοίσματα ή αν γράψω το α dot β αυτά τα δύο είναι ίδια δηλαδή έχει νόημα χωρίς να βάλω το dot χρειάζεται το dot είναι μια υπερβολή όχι όχι και τα διανοισματικά πίσω στα διανοίσματα τα δικά σας πάω στα διανοίσματα αφήστε το αυτό προς το παρόν εδώ θέλω να μάθω η υπαρουσία δηλαδή το dot μου λέει κάτι συγκεκριμένο ξέρω τι είναι στο dot είναι το εσωτερικό γεγονόμενο δύο διανοισμάτων και ξέρω ποιο είναι τα δύο διανοίσματα αν τα παραστήσω έτσι και δεν σημειωλήσω πράξεις έχει κανένα νόημα αυτό δεν ισχύει γιατί δεν έχω καμινομενότητα επειδή έχουμε διανοισματικό τελεστή χωρίς να βάλουμε το dot κατανοούμε ότι είναι εσωτερικός προπλαισιασμός με το τελεστή ο οποίος είναι και οι διανοισμάτες αυτοχρόνως αφήστε το τελεστή για λίγο θέλω αυτό να ξεκαθαρίσουμε αυτό δεν έχει νόημα αυτό έχει νόημα ή δεν έχει είναι το ίδιο ή δεν είναι αυτό θέλω να μάθω δηλαδή μπράβο αυτός είναι πολλαπλασιασμός δύο διανοισμάτων και αυτό είναι εσωτερικό γινόμενο δύο διανοισμάτων άρα δεν είναι τα ίδια πράγματα αυτά το εσωτερικό γινόμενο είναι πολύ συγκεκριμένο πράγμα αν τα αφήσετε έτσι δεν είναι πράξη είναι ένα νέο διανοισμά το οποίο οι συνουστάσεις θα είναι αυτό θέλω να μου πείτε εσείς το οποίο σημαίνει ότι οι συνουστάσεις θα είναι οι ίδιες με το εσωτερικό γινόμενο όχι δεν το είπε αυτό ο συνάδελφος όταν λέμε προορισμίσμα εσωτερικό γινόμενο αυτό το καθαρέσα ξέρουμε πολύ καλά τι είναι αυτό δεν είναι οι ίδια αλλά σαν αποτέλεσμα πράξης από τον δύο θα δώσει ένα νέο διανοισμά ποιες είναι οι συνουστάσεις από το νέο διανοισμά 1α και βχ βα ψ βα ψ 1αζ βα ζ τι λέτε δηλαδή αυτό το εσωτερικό γινόμενο να γράψουμε ΆΛΟΥΜΑΙΠΙΠΙ και να το κάνουμε ΜΕΝΙΑΤΗ ναι διότι εδώ σε υποχρεώνει να κάνεις πράξεις εδώ αυτό υπονοεί ένα διανοισμά διαφορετικό το οποίο έχει αυτά τα δύο είναι μπροστά του άρα λοιπόν είναι υποχρεωτικό να βάλετε την τότου αν δεν τη βάλετε μπορεί να σας σβήσουν μπορεί να μην υπονοείτε την ίδια πράξη να φτιάχνετε έναν καινούριο διανοισμά σε ενώ εδώ δεν είναι διανοισμά είναι αριθμός εδώ με το εσωτερικό γινόμενο αριθμός εδώ είναι διανοισμά το οποίο έχει αυτήν εδώ την έκφραση καταλαβαίνετε προσέξτε λοιπόν στο που βάζουμε τα σύμβολα και πως τα χρησιμοποιούμε πότε βάζουμε τον τότ και πότε δεν το βάζουμε στον τελεστή λοιπόν εάν το βάλετε τον τότ αυτό ήθελα να πω εάν βάλετε τον τότ εδώ πέρα είναι η πράξη που την είπαμε 10 φορές τώρα δεν χρειάζεται να την ξαναπούμε δηλαδή και τότε η παρένθεση δεν παίζει και μια σημασία διότι το τότ είναι απάνω σε αυτό το διάνοισμα αρα αυτό απέδειξε ο συνάδελφός σας ότι είτε τη βάλετε την παρένθεση είτε δεν τη βάλετε μας είναι άχρηστη διότι δεν μπορεί να κάνετε τίποτα άλλο σε αυτό δηλαδή αυτό δεν είναι διαφορετικό αυτό αποδείξαμε προηγουμένως από αυτό με τον τότ συγκεκριμένο αυτό λοιπόν είναι καθαρό τι είναι και δεν χρειάζεται η παρένθεση αυτό είναι μοναδικό αυτό με αυτό είναι τα ίδια έτσι φυσικά και φαίνεται κιόλας και τη βγάζουμε την παρένθεση και δεν μπορεί να κάνουμε τίποτα άλλο εκείνο που έχει σημασία είναι τι θα κάνει αν έχεις το μπι χωρίς να έχεις το τότ και δίπλα έχεις την ιστοία αυτόν αυτό φτιάχνει ένα άλλο διάνισμα γιατί αυτά είναι δύο διανίσματα που δεν παίρνουν το εσωτερικό τους γινόμενο και δημιουργούν ένα καινούριο διάνισμα εντάξει λοιπόν να μην φάμε άλλο χρόνο να πούμε κάτι άλλο έχουμε κι άλλους τελεστές που μπορούμε να βγάλουμε τους οποίους εγώ τους έχω βάλει στο βιβλίο χωρίς να αποδείξει αλλά σας έδειξα πως γίνονται οι αποδείξεις παραδείγματος χάρη υπάρχει το πως θα βρούμε την αν έχουμε το εξωτερικό γινόμενο δύο διανισμάτων, να το και ζητάμε να βρούμε την απόκλειση αυτού του νέου διανισματος, αυτό το εσωτερικό γινόμενο είναι ένα διάνισμα σε φυσικά κανονικά εδώ πέρα πρέπει αυτό μπορεί να αναλυθεί, μπορεί να αναλυθεί σε πράξεις αυτό λοιπόν δίνει ένα καινούριο που λέει ότι είναι β απάνω στο α προσέξτε αυτό είναι διάνισμα τώρα πράγματι αυτό εφανίζεται απάνω στο α τώρα μίον μάλλον α εδώ προσέξτε τι γίνεται τώρα θέλω να ξεκαθαρίσουμε αυτό που γράψαμε εδώ λοιπόν είναι εσωτερικό και εφαρμόζεται απάνω στο α εδώ είναι άλλο ένα εσωτερικό γινόμενο και εφανίζεται απάνω στο β αυτό λοιπόν πρέπει να φτιάξει διάνισμα τώρα και θέλω να ξεκαθαρίσετε πραγματικά πρέπει να μπορείτε να τις κάνετε αυτές τις πράξεις θα δημιουργήσετε πρώτα το βx σε αυτό εδώ πέρα θx τούτο εδώ το πράγμα αναλύω μόνο βxθθθ συν βzθθθ ναι αλλά και που θα εφαρμοστεί αυτό θα εφαρμοστεί απάνω στις τρεις συνισθώσεις και θα δημιουργήσει ένα διάνισμα το είπαμε και προηγουμένως εψιλον ψ συν αζεψιλον ζ άρα θα δημιουργήσει θα εφαρμοστεί αυτός ο τελεστής απάνω στο αx στο αψι στο αζ και θα δημιουργήσει ένα καινούριο διάνισμα το είπαμε και προηγουμένως αυτό λοιπόν είναι μια καινούργια ταυτότητα την οποία αν θέλετε εσείς εγώ θα έλεγα ένα καλό διάβασμα ένα διάβασμα που θα μείνει το υλικό είναι αυτά τις ταυτότητες να μπορέσετε να τις αποδείξετε τουλάχιστον τις πιο απλές είναι στο παράρτημα α του βιβλίου ή περισσότερες ή είναι αρχικά μέσα στο βιβλίο θα ήθελα να εξικοιωθείτε με τις πράξεις των ταυτωτήτων να ξέρετε που είναι σε ένα βιβλίο γι'αυτό τα έχουμε τα βιβλία στις βιβλιοθήκες και θα ήθελα επίσης να ξέρετε πως μεταφέρονται οι διανισματικοί τελεστές σε τρία συστήματα σε τεταγμένο αυτό θα ήταν ένα πολύ καλό διάβασμα για αυτό το υλικό και θα το έχετε κλείσει πάρα πολύ καλά μαζί με τις έννοιες των πράξεων τι είναι η κλήση, τι είναι η αποκλείση, τι είναι η στροφή μαζί με τις έννοιες τι σημαίνει το καθένα από αυτά τα τρία νομίζω ότι εκεί έχετε πραγματικά μια πολύ καλή εικόνα σφαιρική και τελική Υπότιτλοι AUTHORWAVE