Μαθηματικά - Κλάσματα: Πρόσθεση - Αφαίρεση - Ε' - ΣΤ' Δημοτικού Επ. 68 (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων, 2020)
: [♪ Μουσική Επικοινωνική Μουσική Επικοινωνία Π.." Γεια σου και πάλι! Χαίρομαι πολύ που τα ξαναλέμε. Ξεκινήσαμε μαζί ένα ταξίδι στα κλάσματα και σήμερα βρισκόμαστε σε εκείνο το σταθμό που δεν λέει τίποτα άλλο παρά πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων. Το πρώτο κομμάτι, η πρόσθεση, είναι αρκετά εύκολη. Η δεύτερη στάση μας που θα είναι στην αφαίρεση, θέλει λίγο παραπάνω προσοχή. Κάτσε μου, σου να πούμε κιόλας από την αρχή, ένα-ένα. Πάμε λοιπόν. Πρόσθεση κλασμάτων. Είχαμε δει στα προηγούμενά μας μαθήματα, ότι για να μπορέσω να προσθέσω δύο ή και περισσότερα κλάσματα, ακεραίους, μικτούς, δεκαδικούς, όπως θα δούμε στη συνέχεια, πρέπει να είναι ομούνημα. Δεν μπορώ να κάνω καν αλλιώς. Για να δούμε λοιπόν. Ας τα πάρουμε τα πράγματα σιγά σιγά. Λοιπόν, θες να γράψουμε μαζί? Έχεις έτοιμο το τετράδιό σου, το μολύβι σου. Έλα, πάμε. Θα ξαναβάλω το ίδιο σημαδάκι εγώ, εδώ, σταθερά. Θα ξαναθυμίσω αυτό το σύμβολο. Κάθε κλάσμα συμβολίζει μια διαίρεση. Οι πέντε λέξεις που θα σε βοηθούν είναι πάρα πάρα πολύ. Το κρατάς και συνεχίζουμε. Λοιπόν, θες να γράψουμε μαζί μια πρώτη πρόσθεση, να δούμε πώς θα την προχωρούσαμε. Έλα να δούμε. Ας γράψουμε λοιπόν δώδεκα και τρία πέμπτα και πέντε και έξι δέκατα. Όπως προσέχεις επέλεξα κλάσματα με εύκολους παρονομαστές και εύκολο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Θα δούμε λοιπόν πάρα πολύ απλά ότι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του πέντε και του δέκα είναι φυσικά το δέκα. Να ξαναθυμίσουμε τι είχαμε πει. Παίρνουμε τον μεγαλύτερο από τους δύο παρονομαστές και ελέγχουμε. Μήπως είναι αυτός το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, αν είναι κανένα πρόβλημα. Δεν έχω ανάγκη να κάνω κάτι άλλο. Αν δεν είναι, τον διπλασιάζω, τον τριπλασιάζω, τον τέτραπλασιάζω. Δεν θα φτάσω πάρα πολύ μακριά. Γιατί μετά θα χρησιμοποιήσω, θυμάσαι, την ανάλυση με τους πρώτους αριθμούς. Πρώτοι αριθμοί, αυτοί που διαιρούνται μόνο ακριβώς με τον εαυτό τους και τη μονάδα. Πάμε λοιπόν. Εδώ θα επιλέξω να απομονώσω τους ακεραίους από τα κλάσματα. Μπορώ να το κάνω πολύ εύκολα, αλλιώς θα φορτώσω τους αριθμητές μου πολύ. Και θα δυσκολευτώ, όταν έρθει η ώρα θα μου βιούν κάτι κλάσματα τεράστια. Και γιατί με το κουράζομαι, δεν υπάρχει λόγος τα μαθηματικά. Είναι η επιστήμη της απλότητας. Και προσπαθώ να κάνω τα πράγματα όσο πιο εύκολα γίνεται. Για να δούμε λοιπόν. Ίσον, θα μαζέψω τον αριθμό 12 και τον ακέραιο 5. Θα τους βάλω σε μία παρένθεση, γιατί να μην το κάνω άλλωστε. Τους περιορίζω εκεί μέσα. Και δίπλα ακριβώς, για να μην χάνω χρόνο, έρχομαι εδώ, βάζω τα γνωστά μου καπελάκια και αρχίζω και λέω. Ποιο είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο? Το 10. Διαιρώ κάθε φορά το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, να το γράψουμε κιόλας, για να μην ξεχνιόμαστε, να μην ξεχνιόμαστε, συγγνώμη. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο λοιπόν, ο αριθμός 10. Και διαιρώ το ελάχιστο κοινό μου πολλαπλάσιο με τον παρονομαστή. Το πηλίκο που μου προκύπτει, το βάζω επάνω στο καπελάκι. 10, δια 10, 1. Με λίγα λόγια, όταν θα πάρω ισοδύναμο κλάσμα, αυτό το κλάσμα θα έχει παρονομαστή το 10. 10, δια 5, 2. Έρχομαι λοιπόν εδώ και κάνω τα κλάσματά μου ομώνυμα. Για να τα κάνω ομώνυμα λοιπόν, όπως είχαμε πει για τα ισοδύναμα, πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Αυτόν που είναι μέσα στο καπελάκι. 2 x 3, 6. 2 x 5, 10. Συν το ίδιο ακριβώς. Πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Μια 6, 6. Μια 10, 10. Ίσον 12 και 5, 17. Και 6 και 6, 12, 10. Πρόσεξες ότι το 3, 5 και το 6, 10 είναι ισοδύναμα. Όταν τα έκανα ομώνυμα, ακριβώς ίδια. 17 και 12, 10. Μπορώ εδώ να βάλω ένα μικρό αστεράκι και να σου θυμίσω ότι το κλάσμα αυτό είναι καταχρηστικό. Πάμε να του βγάλουμε τις ακέραιες μονάδες του. Έρχομαι λοιπόν και λέω 12, 10. Πάλι κάνω χρήση αυτού που έχω πει τόσες φορές. Κάθε κλάσμα συμβολίζει μια αδιέρεση. Να την εκτελέσω λοιπόν. Το 10 στο 12 μία φορά. Μία φορά το 10, 10. Από 12, 2. 1 και 2 δέκατα. Ίσον λοιπόν, 17 και 1 και 2 δέκατα. 17 και 1, 18 και 2 δέκατα. Μπορώ πολύ εύκολα να απλοποιήσω με τον αριθμό 2. Θυμόμαστε τα κριτήρια διαιρετότητας. Με το 2 διαιρούνται ακριβώς όλοι εκείνοι οι αριθμοί, όλοι που είναι άρτιοι, δηλαδή ζυγοί. Το 2 και το 10 είναι ζυγοί. Το 2 στον εαυτό του, 1 και στο 10, 5. Το τελικό μου λοιπόν άθροισμα, 18 και 1, 5. Άθροισμα, ξαναθυμίζουμε, είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης. Θες να του ρίξεις μάτια? Θα μπορούσα να είχα μετατρέψει, ξαναθυμίζω, το να κέραιωσε κλάσμα, να είχα κάνει το μυκτό κλάσμα. Πάλι το ίδιο αποτέλεσμα θα μου έβγαινε. Με λίγο μεγαλύτερο κόπο όμως. Γιατί θα μου έβγαιναν μεγάλες αριθμητές και είναι κάτι που δεν θέλω. Τι λες, θέλεις να προχωρήσουμε με μια ακόμη πρόσθεση ή προτιμάς να πάμε στην αφαίρεση. Θα σου έλεγα να μείνουμε να δούμε άλλη μία πρόσθεση, με δεκαδικό και κλάσμα αυτή τη φορά. Ω, μην τρομαζείς, είναι απλά τα πράγματα. Μην στενονισυχεί καθόλου, πρόσεξέ με. Λοιπόν, να σβήσουμε, γράφουμε πολύ βλέπεις. Λοιπόν, ερχόμαστε. Αυτό δεν θα το πειράξουμε καθόλου. Ποτέ. Μας είναι πάρα πολύ χρήσιμο και το έχουμε εκεί για να το θυμόμαστε συνεχώς. Για να δούμε λοιπόν. Ας έρθουμε να προσθέσουμε σε έναν δεκαδικό, έναν μικτό. Δεν είναι για τόσο δύσκολο, καθόλου θα έλεγα. Πρόσεξέ με. Τι έκριβος έχω γράψει, πόσα δέκατα έχω, ξέρεις, τις περισσότερες φορές όταν κάπου μπλοκάρουμε, αρκεί να διαβάσουμε τον ίδιο τον αριθμό. Αμέσως, θα δεις πόσο εύκολο είναι, πραγματικά σε λίγα δευτερόλεπτα, είναι σαν να ξεμπλοκάρω αμέσως, είναι πάρα πολύ απλό. Προσέξέ το. Τι μου λέει, ότι έχω μηδένα κέρες μονάδες και πέντε δέκατα. Αυτός ακριβώς είναι ο αριθμός μου. Είναι ένα δεκαδικό κλάσμα, παρένθεση, δεκαδικά ονομάζω τα κλάσματα που έχουν παρονομαστεί, το δέκα, το εκατό, το χίλια, το δέκα χιλιάδες, το εκατό χιλιάδες και πάει λέγοντας, και αριθμητή οποιονδήποτε αριθμό. Λοιπόν, ίσον λοιπόν πέντε δέκατα, συν... Τι λες, να κάνω το μικτό μου κλάσμα, γιατί υπάρχει λόγος. Όχι. Θα το αφήσω λοιπόν τρία και ένα πέμπτο. Θα πάω πάλι τα κλάσματά μου ομώνυμα, πάλι ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο το δέκα, μία φορά, δύο φορές, για να δω. Ο ακέραιος τρία θα προσταθεί στο τέλος. Μία πέντε πέντε, μία δέκα δέκα, συν. Τρία και μία δύο δύο δέκατα, ίσον. Τρία, πέντε και δύο και εφτά δέκατα. Πολύ απλό. Λοιπόν, τώρα ας περάσουμε στη δεύτερη πράξη που είναι αδελφάκι με την πρόσθεση, στην αφαίρεση. Ας σβήσουμε τον πίνακά μας και ας συνεχίσουμε. Η αφαίρεση έχει λίγες μεγαλύτερες δυσκολίες. Γιατί? Γιατί έχει πιο πολλές περιπτώσεις, δεν είναι κάτι άλλο. Πάμε να τα πάρουμε λίγο με τη σειρά, να δεις πώς ένα-ένα θα τα θυμηθούμε όλα και δεν θα μας μείνει καν άγκη ενός στο τέλος. Λοιπόν, το πρώτο που θα θυμηθούμε είναι ότι και στην αφαίρεση, ακριβώς όπως στην πρόσθεση, πρέπει να μετατρέψω τα κλάσματα σε ομώνυμα. Δεν γίνεται αλλιώς. Το επόμενο είναι το να αφαιρέσω τους αριθμητές και τέλος, στην αφαίρεση των μυκτών, όπως, συγγνώμη, θα πρέπει πάλι να κάνω τα κλάσματα ομώνυμα και να δω αν αφαιρούνται οι αριθμητές μου μια χαρά, αλλιώς, θυμήσου, θα δανειστώ μια μονάδα. Ακέρα και θα την κάνω κλάσμα. Δεν πάμε να τα δούμε όμως στην πράξη καλύτερα για να μην δυσκολευόμαστε έτσι με τα λόγια. Λοιπόν, για να δούμε, ας πάρουμε το παράδειγμα ενός μυκτού. 8 και 2 πέμπτα, βγάζω 3 και 3 τέταρτα. Έχω να αφαιρέσω λοιπόν 2 μυκτούς. Ίσον, ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 5 και του 4, για να δούμε, πάμε, είπαμε, παίρνουμε το μεγαλύτερο, το δίπλασιάζω 10, όχι, το τρίπλασιάζω, όχι, τέτραπλασιάζω, τέσσερις, πέντε, είκοσι, ναι, πολύ σωστά, ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο είναι το είκοσι. Και γράφουμε, 8 και, για να δούμε, 20, 25, 4, 20, 24, 5, 24, 8, 45, 20, πλην, 3 και 35, 15, 45, 20. Ίσον. Εδώ λοιπόν παρουσιάζεται το εξής. Ενώ βλέπω ότι πραγματικά ο πρώτος μυκτός είναι πολύ μεγαλύτερος από το δεύτερο. Κοίταξέ τον κι εσύ, έχει 8 ολόκληρες ακέραιες μονάδες και ένα κλάσμα, κι όλος έχει μόλις 3. Τι παρατηρώ, ότι ενώ μπορώ να αφαιρέσω τους ακεραίους, στους αριθμητές κολλάω. Τι θα κάνω λοιπόν, όπως μάθαμε, θα πάρω μια ακέραιη μονάδα, θα την κάνω κλάσμα, με αριθμητή και παρονομαστή, το 20 τώρα, γιατί αυτό με συμφέρει. Δεν μην ξανακάνω κι άλλες μετατροπές και να δυναμώσω τον αριθμητή του. Απλώς, ίσον λοιπόν, 7, παίρνω μια ακέραιη μονάδα, θα τη δεις τώρα, συν 20-20, συν 8-20, αυτό ουσιαστικά είναι το 8 και 8-20, πλην 3 και 15-20, ίσον, ίσον. Έχω λοιπόν, 7 και 20 και 8, 28-20. Ο αριθμός αυτός, αυτός ο μικτός με αυτόν, έχουν ακριβώς την ίδια αξία. Απλά τι έκανα, ξαναλέω, πήρα μια ακέραιη μονάδα, την έκανα κλάσμα με αριθμητή και παρονομαστή τον ίδιο αριθμό και δυνάμωσα τον αριθμητή μου. Πλην 3 και 15-20, ίσον. Παρατηρώ λοιπόν με ευκολία ότι μπορώ τώρα πια και τους ακεραίους να αφαιρέσω και τους αριθμητές να αφαιρέσω. Δεν αφαιρώ ποτέ τους παρονομαστές. ίσον λοιπόν, έρχομαι δίπλα, 7 βγάζω 3, 4 και 28-15, 8 βγάζω 5, 3, 2 βγάζω 1, 1. 4 και 13-20. Αυτό λοιπόν, πώς σου φάνηκε, να ξαναδούμε λίγο. Παίρνω μία ακέραιη μονάδα, την κάνω κλάσμα, της προσθέτω το ίδιο υπάρχον κλάσμα, το δυναμώνω τον μικτό μου και κάνω την αφαίρεση. Καθόλου δύσκολο. Επόμενη περίπτωση που θα εξετάσω, είναι το πώς θα αφαιρέσω ένα κλάσμα από έναν ακέραιο. Για να δούμε λίγο, έχουμε χώρο εδώ. Θα πάρω λοιπόν, για να δούμε, λέω να πάρω τον, είχα κρατήσει εδώ μια ωραία σημείωση. Ναι, για να δούμε, από τον ακέραιο 10 θέλω να αφαιρέσω το κλάσμα 2 πέμπτα. Πάλι τα ίδια. Θα του πάρω μία ακέραιη μονάδα και τώρα πια θα γίνει 9 και 5 πέμπτα. Θα μπορούσα κάλλιστα στο 5 πέμπτα να το κάνω 8, 7, 7. Δεν με συμφέρει όμως, γιατί έχω ήδη παρανομαστή το 5 και θέλω ένα ομώνυμο του κλάσμα και ίσο με την ακέραιη μονάδα για να κάνω τη δουλειά μου. Πλην 2 πέμπτα. Ίσον. Το 9 θα το πειράξω. Καθόλου. Έχω να του αφαιρέσω κάτι. Ο αριθμός αυτός, ο μειωτέος μου, θα μειωθεί στο ακέραιο του μέρος. Καθόλου. Γιατί δεν έχω ακέραιο να το αφαιρέσω, άρα λοιπόν θα παραμείνει ακριβώς όπως είναι. 9 λοιπόν. 5. Βγάζω 2, 3, 5. 9 και 3 πέμπτα. Θα μπορούσα κάλλιστα να κάνω τον ακέραιο κλάσμα, να του βρω ελάχιστο κοινόπουλα, πλάσσω και να προχωρήσω. Θα ήταν όμως πιο χρονοβόρο και πιο απαιτητικό. Για να έρθουμε τώρα να σβήσουμε, να πάμε να δούμε άλλη μία περίπτωση. Να αφαιρέσουμε λοιπόν τώρα. Έλα λοιπόν να δούμε ακόμα μία περίπτωση. Είπαμε, η αφαίρεση έχει πολλές περιπτώσεις. Και εμείς είμαστε εδώ σήμερα για να τις εξετάσουμε όλες μαζί. Λοιπόν, να δούμε λίγο τώρα πώς από ένα ακέραιο μπορώ να το αφαιρέσω έναν μικτό. Λοιπόν, ακριβώς με τον ίδιο τρόπο. Θα πάρω πάλι μία ακέραιη μονάδα και ο ακέραιος μου θα γίνει 11 και 10 δέκατα, 11 και 1, 12. Ξαναλέμε, 11 και 1, 12. 10 δια 10, 1. Ξαναθυμίζουμε, κάθε κλάσμα που έχει αριθμητή και παρανομαστεί τον ίδιο αριθμό, Ισούδα με την ακέραιη μονάδα πλήν 3 και 6 δέκατα. Ίσον, δεν έχω να κάνω και σπουδαία πράγματα, αφαιρώ τους ακαιρέους, 11. Βγάζω 3, 8. 10. Βγάζω 6, 4. 10. Μπορώ να απλοποιήσω και το 4, 10. Με το 2 θα γίνει λοιπόν 2 πέμπτα, ίσον 8 και 2 πέμπτα. Το κλάσμα 2 πέμπτα, που δεν απλοποιείται άλλο, λέγεται ανάγωγο από το στερητικό α και το άγω, το οδηγό. Δηλαδή δεν μπορεί να οδηγηθεί σε πιο απλή μορφή, είναι η απλούστερη μορφή που μπορεί να έχει, η πιο απλοποιημένη. Να δούμε λοιπόν και μια περίπτωση, πώς θα αφαιρέσω μικτό από καταχρηστικό. Έλα να τη δούμε κι αυτή. Λοιπόν, από το καταχρηστικό κλάσμα 9 δεύτερα, θα του αφαιρέσω το μικτό 1 και 1 τέταρτο. Εδώ λοιπόν τώρα τι λες να κάνουμε, θέλεις να κάνουμε και αυτό κλάσμα. Ας δούμε λοιπόν πώς ακριβώς θα τρέξει. Ίσον λοιπόν 9 δεύτερα, μειον. Θα θυμίσουμε ότι για να μετατρέψουμε έναν μικτό αριθμό σε κλάσμα, πολλαπλασιάζω τον παρονομαστή με το ακέραιο μέρος και του προσθέτω τον αριθμητή. Μια φορά το 4, 4 και ένα 5. 5 τέταρτα, ίσον. Βάζω τα καπελάκια μου, κανονικότατα, ελάξει το κοινό πολλαπλάσιο το 4, 1, 2 και 2 επί 9, 18. 2 επί 2, 4, μειον, μία φορά το 5, 5, μία η 4, 4, ίσον, 18 βγάζω 5, 10, 3, 4, ίσον. Πρόσεξε ένα εύκολο τρόπο για να μπορείς να βγάλεις αμέσως το μικτό σου αριθμό. Ρωτάς πόσες φορές χωράει το 4 στο 13, το 4 στο 13 χωράει 3 φορές. Παρονομαστής θα είναι το 4 όπως και να έχει. 3, 4, 12, από 13, 1. Βέβαια και πάλι θα μπορούσες να έρθεις και να κάνεις τη διαίρεσή σου. Θα είχες ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα. Ή πως θες να το δούμε? 13, 2, 4, το 4 στο 13, 3, 3, 4, 12, από 10, 3, 1. 3 και 1 τέταρτο. Είτε έτσι, είτε έτσι το αποτέλεσμα θα ήταν ακριβώς το ίδιο. Ελπίζω να σε βοήθησα να τα θυμηθείς. Θα έχεις μια πολύ καλή ευκαιρία να τα επαναλάβεις ξανά. Άλλα στο δεν έχουμε τελειώσει, μας λείπει ακόμα ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση. Χάρηκα πολύ που τα ξανάπαμε. Να έχεις μια πολύ όμορφη μέρα. Γεια σου.