Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων / Διάλεξη 14 / Ολοκλήρωση συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες, ολοκλήρωση ρητών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Υπολογισμός γενικευμένων ολοκληρωμάτων. Εισαγωγή στην αριθμητική ολοκλήρωση. - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ολοκλήρωση συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες, ολοκλήρωση ρητών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Υπολογισμός γενικευμένων ολοκληρωμάτων. Εισαγωγή στην αριθμητική ολοκλήρωση.: Είχαμε μιλήσει έτσι λίγο βιαστικά στο περασμένο μάθημα για το πώς θα αντιμετωπίσετε εσείς τα ολοκληρώματα και όπως έγινε και με τις παραγωγούς. Έχετε κάποιες γνώσεις και κάποια πράγματα και κάποια ακούσματα από το Λύκειο, θα πρέπει οπωσδήποτε να τα επαναλάβετε. Πιθανότατα οδηγούμενοι και από το καινούργιο βιβλίο που έχετε και αυτές οι σημειώσεις που σας έχω μοιράσει εγώ είναι απλώς υπόδειξη που να πάτε να διαβάσετε στο βιβλίο. Το άλλο που θέλω να σας πω είναι ότι το διάβασμα που θα κάνετε θα πρέπει να επενδύσετε περισσότερο σε αυτά που δεν είχατε αφομοιώσει ή δεν είχατε δουλέψει πολύ στο Λύκειο. Από το Λύκειο όμως κουβαλάτε κάποιες πληροφορίες, δεν κοστίζει τίποτα να τις φρεσκάρουμε και να τις συζητήσουμε ξανά. Οι πληροφορίες που έχετε από το Λύκειο είναι ότι το αόριστο ολοκλήρωμα μιας συνάντησης fΧ ουσιαστικά συμβολίζει μπορεί να το διαχειριστούμε ή αυτό που θέλουμε να δείξουμε με αυτό το ολοκλήρωμα είναι ότι εάν η fΧ είναι, μπορούμε να την γράψουμε σαν την παράγωγο μιας νέας συνάντησης, παράγωγος προς χ μιας νέας συνάντησης fΧ. Άρα λοιπόν αν μπορεί κανένας να βρει την fΧ που θέλει να ολοκληρώσει πιανή συνάντησης είναι η παράγωγος, τότε τα πράγματα έχουν τελειώσει αμέσως, διότι αντικατηστώντας την fΧ με την παράγωγο μιας καινούργιας συνάντησης αυτό το ολοκλήρωμα θα μας δώσει πολύ απλά αμέσως ότι το αποτέλεσμα είναι η fΧΧ που ήταν γι' αυτό λέγεται και αντιπαράγωγος δηλαδή αντιστρέφει τη δουλειά της παραγώγου αυτή η σχέση. Οπότε θα μας δώσει την fΧ, ας το γράψω ένα βήμα ακόμα, ένα ολοκλήρωμα του fΧΧ αυτό πάντα θα είναι ίσον με το fΧΧΣ. Ωραία αυτό μας είναι γνωστό. Τι μας λέει αυτό σαν τρόπος δουλειάς τώρα, εμείς έχουμε δουλειά να κάνουμε, είναι ότι πρέπει να κάνουμε μία ανακεφαλαίωση και να κοίταμε πάλι στις παραγώγους, γιατί η παράγωγος είναι πίσω από την ολοκλήρωση, έτσι δεν είναι. Άρα λοιπόν στις κλασικές μας συναρτήσεις, δηλαδή στις συναρτήσεις πολυόνυμο x στην y, οι εκθετικές συναρτήσεις A στην x, το λογάριθμος που είναι το αντίστροφο των εκθετικών, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, αυτές όλες τις ξέραμε, ξέρω με τις παραγώγους, ποιες καινούργιες συναρτήσεις βάλαμε σε αυτό το μάθημα, δηλαδή που νομίζω ότι δεν τις είχατε δουλέψει εκτός από τις κλασικές αυτές που είπαμε, οι τριγωνομετρικές, οι εκθετικές, οι λογαριθμικές, τα πολυόνυμα. Αυτές είναι γνωστές συναρτήσεις, τις ξέρετε, θα ρίσουμε λοιπόν ότι οι βασικές δομές για την ολοκλήρωση αυτών των συναρτήσεων, ακόμα και αν είναι σύνθετες που θα πούμε πως θα τις διαχειριστούμε, θα πρέπει να μπορούμε να τα ολοκληρώσουμε πολύ εύκολα. Ωραία, μέχρι εδώ μια χαρά. Βάλαμε όμως στο παιχνίδι σε αυτό το μάθημα και καινούργιες συναρτήσεις. Μια σειρά καινούργιων συναρτήσεων που δεν τις είχαμε δουλέψει και μελετήσαμε την παράγωγο είναι το τόξο της εφαπτομένης, έτσι δεν ξέρω πόσο καλά το είχατε δουλέψει, πόσο είναι η παράγωγος του τόξου των τριγωνομετρικών, μια τριγωνομετική συνάντηση, καθόλου. Αυτό λοιπόν είναι ένα καινούριο και επειδή είναι οι αντίστροφες συναρτήσεις των τριγωνομετρικών, πως θα θυμόμαστε. Εδώ είναι ένα πολύ σημαντικό στιγμή, από το οποίο εγώ έχω επιμείνει. Πως θα θυμάμαι εγώ την παράγωγο της αντίστροφης, εντάξει τώρα θα κάνω εξετάσεις, τα παραμονές των εξετάσεων θα κοιτάξω το τυπολόγιο να το φρυσκάρω, να το φωμίωσω, αλλά μετά θα φύγουν αυτά και θα βρεθώ μια μέρα μπροστά σε μια εξέταση στο τρίτο έτος που θα πρέπει να ολοκληρώσω την αντίστροφη τριγωνομετρική συνάντηση. Εκεί λοιπόν σας λέω ότι κανονικά πως ολοκληρώνουμε μια αντίστροφη τριγωνομετρική συνάντηση, εσείς πρέπει να μπορείτε να μην το θυμάστε αλλά να μπορείτε να το επαναλάβετε και να το βγάλετε μόνοι σας. Κάντε λοιπόν σημειώση που λέει ότι πρέπει να ξέρω πως υπολογίζω την παράγωγω των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων και να ξέρω την παράγωγω θα ξέρω σίγουρα και το ολοκληρωμά της. Μια άλλη σειρά συναρτήσεων που βάλαμε καινούργιες εμείς ήταν οι υπερβολικές συναρτήσεις. Θυμάστε πως έχουμε ορίσει υπερβολικές συναρτήσεις, να σας τις θυμίσω άλλη μια φορά. Εδώ πέρα το σβήνω γιατί είναι μια απλώς παρουσίαση, τι θέλαμε να κάνουμε. Και να γράψω εδώ πέρα τις υπερβολικές συναρτήσεις. Έχουμε λοιπόν το υπερβολικό ημίτωλο, το οποίο ήταν αίσον με το εν δεύτερον του ε στην χ, μιον ε στην μιον χ. Αντίστοιχα το υπερβολικό συνημίτωνο, το οποίο είναι το αί στην χ, συν αί στην μιον χ δεύτερα. Και από κάτω βγαίνουν όλες οι αντίστοιχες με τον ίδιο τρόπο, οι υπερβολικοί εφαπτωμένοι, συνεφαπτωμένοι κτλ. Άρα λοιπόν ξέρουμε αυτές. Σε κάθε συναρτήσεις, αν θέλετε να κλείσετε με το θέμα των συναρτήσεων, σε όλες αυτές τις απλές συναρτήσεις, τις υπερβολικές και τις άλλες και τις αντίστροφες, ένα πράγμα εκτός από την παραγώγηση και το ολοκλήρωμα αυτών των απλών συναρτήσεων που θα ήθελα έτσι να κουβαλάτε σαν πληροφορία από αυτές τις πληροφορίες που θα μας μείνουν τελικά, γιατί πολλά πράγματα θα τα αφήσουμε πίσω, θα τα ξεχάσουμε μετά την εξεταστική. Εσείς δηλαδή σε κάθε μάθημα, αν είστε νοικοκύριδες, θα πρέπει να κάνετε ένα κλείσιμο με το μάθημα, να εξαρτήσετε να το περάσετε και αυτό θα ήταν ωραίο να γίνει το καλοκαίρι. Δύο ανοίγματα το καλοκαίρι θα ήταν ωραία να κάνετε, ένα κλείσιμο με το μάθημα που λέει «Τι κρατάω πριν από αυτό το μάθημα, τι ιδιαμάδια έχει αυτό το μάθημα, τα οποία τα παίρνω μαζί μου σαν πρίκα και θα τα θυμάμαι όλη μου τη ζωή». Αυτό το νοικοκύριμα αν το κάνετε σε όλα τα μάθηματα που θα περάσετε στο πρώτο έτος, δεν έχει σημασία με τι βαθμό θα τα περάσετε, αυτό το μάθημα σας χρειάζεται. Το δεύτερο μάθημα που εγώ θα σας πρότειμω να κάνετε το καλοκαίρι, για να σας μείνει, είναι να μεταφέρετε το διάβασμά σας από τα βιβλία που σας μοιράσαμε εμείς σε διεθνή βιβλιογραφία. Είναι μεγάλη επένδυση αυτή, δηλαδή να πάρετε ή να κατεβάσετε από το δίκτυο ή να αγοράσετε βιβλία που τα χρησιμοποιούν όλα τα πανεπιστήμια στον κόσμο και μέσα σε αυτά να ανοίξετε τον ορίζο να μπορείτε να διαβάσετε αγγλικά και να έχετε μια επαφή με το αγγλικό λεξιλόγιο και να ενταχθείτε κι εσείς ώστε να είστε στο ίδιο επίπεδο που είναι όλοι οι πρωτοετοίς φοιτητές σε όλο τον κόσμο. Πώς θα το κάνουμε αυτό, θα πάρουμε βιβλία από τα που βλέπουμε, εάν θέλετε βοήθεια ευχαρίστως. Στα Γενικά Μαθηματικά υπάρχουν 1-2 βιβλία τα οποία όλος ο κόσμος τα χρησιμοποιεί και στη Φυσική επίσης υπάρχει ένα μεγάλο εγχειρίδιο Γενικής Φυσικής. Ο καθένας βέβαια μεταξύ 4-5 που είναι τα πιο γνωστά, έχει το δικό του favorite, αυτό που του αρέσει περισσότερο, αλλά είναι 4-5 είναι αυτά. Οπότε με αυτά λοιπόν τα βιβλία Γενικής Φυσικής και Γενικών Μαθηματικών, αυτή θεωρώ ότι είναι η υποδομή, είναι δηλαδή τα θεμέλια, απάνω στο οποίο να αρχίσετε να μη σας πει ποτέ καλά αυτός ο φυσικός είναι αγράμματος, γιατί το να σας πιάσει κάποιος να μη ξέρετε, ξέρω εγώ κάτι πολύ προωθημένο στους καμπύλους χώρους στη Γενική Θεωρία Σχετικότητας είναι στο κάτω κάτω και δουλειά εξειδίκευσης, δηλαδή κάποιος έχει στραφεί προς αυτή την κατεύθυνση ενώ κάτι πολύ εξειδικευμένο στα υλικά, έτσι που είναι άλλο ένα θέμα ή στα ηλεκτρονικά ή σε άλλες εξειδικευμένες περιοχές φυσικής, μετά είναι θέμα εξειδίκευσης. Άρα κανένας δεν θα σας πει αγράμματος μέσα εγωγικά γιατί δεν ξέρετε κάτι από την εξειδίκευση. Αν δεν ξέρετε κάτι από τα γενικά, τη Γενική Φυσική όμως θα σας πει αγράμματος. Άρα η Γενική Φυσική για μένα είναι το επίπεδο στο οποίο επικοινωνούμε με όλες τις ειδικότεες και να αναπτύξετε στη συνέχεια που θα αποτελέσουν και το αντικείμενο της παρετέρω διερεύνησης ή διεξιδικευσίας σας. Άρα λοιπόν προσέξτε πολύ αυτό. Για να πάρετε υποτροφίες να πάτε στα ξένα πανεπιστήμια, υπάρχει ένα εθεσέτη εξετάσιο, όπως κάνει σαγωγικές. Λέγεται GRE. Το GRE, το subject στη φυσική, σας βάζει σε μια παγκόσμια κατηγορία για να δοθούν υποτροφίες. Αν δηλαδή πάρετε, ανεξαρνήτας αν έχετε 9,9 στο φυσικό εδώ, αν στο GRE στο παγκόσμιο αυτό το δίκτυο φτάσετε, βγείτε με 6, οι άλλοι θα θεωρήσουν το 6, το 9,9, θα πούνε κάτι περίεργο εδώ πέρα συνέβαινες αυτή τη χώρα, επανελάμβανε το μάθημα 7 φορές και στο τέλος την 7 έπαιρνε ένα μεγάλο βαθμό. Έτσι, οπότε δεν μπορώ να το θεωρήσω αυτό σαν το βαθμό του και τον αξιολογή. Οπότε λοιπόν, πού στηρίζεται όμως το GRE για αυτές τις εξετάσεις, στη γενική φυσική. Αυτή δηλαδή εξετάζει, αυτή θεωρεί οπωσδήποτε πρέπει να την ξέρετε, έτσι σας τα λέω αυτά για να έχετε και ένα πλάνο. Λοιπόν, εμείς είχαμε πει ότι για αυτές εδώ τις συναρτήσεις, το ολοκλήρωμα της υπερβολικής ή του υπερβολικού συνημητώνου θα είναι ίσον με το υπερβολικό ημήτωνο χι συν σε. Και πού βρήκαν όλα αυτά, γιατί είχαμε κάνει τις παραγωγήσεις, είχαμε ξέραμε τις παραγωγήσεις όλων των υπερβολικών συναρτήσεων, μπορείτε εύκολα να τις αναπαράγετε, άρα αυτό δεν χρειάζεται να το θυμάστε, απλώς θα ξέρετε ποιες είναι μόνο οι υπερβολικές συναρτήσεις και μετά με πολύ απλό τρόπο βρίσκεται και τις παραγώγους και τις ολοκληρώσεις τους, έτσι. Άρα λοιπόν, εδώ δεν χρειάζεται να κάνουμε καμία ιδιαίτερη δουλειά. Συνοψίζω, εκτός από τις κλασικές στον πίνακα των βασικών ολοκληρωμών, των οποίων και στο blackboard το έχω και στις σημειώσεις μέσα το έχω βάλει, και το βιβλίο σας το έχει, κρατήστε αυτό το πίνακα σαν οδηγό για το πώς κάνουμε βασικές ολοκληρώσεις. Τώρα, για να πάμε παραπέρα, θα γυρίσω σε ένα πράγμα που νομίζω ότι χρειάζεται να πούμε στο τέλος, όμως. Εγώ το είπα λίγο να σας προετοιμάσω στην αρχή. Θα τελειώσουμε αυτό το μάθημα των ολοκληρωμάτων, αορίστων ολοκληρωμάτων, ή και αργότερα που θα κάνουμε και τα ορισμένα. Θα τελειώσουμε με το να δούμε αυτό που συνήθως είναι το βασικό σας εργαλείο. Οι περισσότερα ολοκληρώματα που θα συμμετοπίσετε εσείς στη δουλειά σας για πραγματικά προβλήματα, όχι έτσι προβλήματα ασκήσεων, δεν γίνονται οι ολοκληρώσεις. Και σε αυτά που γίνονται, όταν θα περάσετε την εξεταστική περίοδο ας πούμε αυτή που είναι τώρα, αυτό το εργαλείο που μαθαίνετε τώρα στο Γενικό Εργαστήριο, δηλαδή τη Μαθημάτικα, ή κάποιο αντίστοιχο εργαλείο, θα είναι εργαλείο δίπλα σας. Θα είναι πάντα φορτωμένη στον υπολογιστή σας, θα κάνετε μια απλή για οποιοδήποτε ολοκλήρωμα βγαίνει, θα το ζητάτε από τη Μαθημάτικα να σας το κάνει. Αυτή θα είναι η πραγματικότητα της καθημερινότητας που θα ζήσετε, όταν δεν δουλεύετε στο σπίτι ή όταν κάνετε ένα project το οποίο δεν έχει να κάνει με εξετάσεις. Τώρα όταν πάμε για εξετάσεις, φυσικά πολύ προσεκτικά κάνουμε μια πανάληψη παρααιμονές των εξετάσεων για πολύ βασικά ολοκληρώματα τα οποία θεωρούνται ότι τα ξέρουμε οπωσδήποτε ή δεν έχουμε πρόβλημα να τα κάνουμε. Μέσα στις τεχνικές της ολοκλήρωσης που έχετε κάνει στο Λύκειο, ήταν και η ολοκλήρωση της αντικατάστασης. Είτε το δηλώνατε, είτε δεν το δηλώνατε, όταν θέλετε να κάνετε ένα ολοκλήρωμα, παραδείγματος χάρη παίρνω κάτι πολύ απλό για να δείξω την έννοια, όταν θέλετε να υλοκληρώσετε το συνειμήτωνο του χ τετράγωνο συν ένα, δύο χ δύο χ δε χ, φυσικά αυτό δεν χρειάζεται να πείτε ότι θα κάνετε αντικατάσταση, αλλά για να δείξουμε την έννοια της αντικατάστασης στην οποία την είχατε δουλέψει και στο Λύκειο, είναι ότι μπορώ να θεωρήσω ότι το χ τετράγωνο να αλλάξω στις μεταβλητές, δηλαδή να πάω από τις μεταβλητές χ να ορίσω καινούριες μεταβλητές. Ποιες είναι αυτές και θα κάνω μια αντικατάσταση των μεταβλητών. Ορίζω λοιπόν επειδή είχα το συνειμήτωνο παρένθεση χ τετράγωνον συν ένα, κλείνει παρένθεση δύο χ δε χ, επειδή είχα αυτή τη σχέση, μπορώ να ορίσω λοιπόν σαν μια νέα μεταβλητή του χ τετράγωνον συν ένα, να το ονομάσω γιου του χ, η καινούργια μου μεταβλητή. Εφόσον όρισα μια καινούργια μεταβλητή, αυτή μπορώ να την πάρω, θέλω να δω πως θα αντικαταστήσω το, έχω εδώ το δύο χ δε χ, φυσικά το κάνω μία παραγώγηση, το δε γιου θα μου βγει δύο χ δε χ, επειδή δεν τα γράψαμε έτσι, οπότε αυτό το ολοκλήρωμα γίνεται ένα πάρα πολύ απλό ολοκλήρωμα που έχει μέσα το συνειμήτωνο του γιου του χ, επειδή γιου, ωραία, και βγήκε αμέσως ποιο είναι το αποτέλεσμα, το οποίο θα είναι φυσικά το ημήτωνο του γιου του χ συν σε, το οποίο βέβαια θα αντικαταστήσουμε για να το απολύξουμε, ημήτωνο του χ τετράγωνο συν ένα συν σε. Ωραία, αυτή δεν χρειαζόμουν αντιαλλαγή μεταβλητών για να κάνω αυτή την ολοκλήρωση, όχι. Αλλά πήρα κάτι απλό, έτσι κάνουμε πάντα για να δούμε ποια είναι η ιδέα πίσω από την αλλαγή μεταβλητών. Ας κάνουμε όμως και, αυτό είναι ένα απλό παράδειγμα, ας κάνουμε και ένα παράδειγμα λίγο πιο, όχι πολύ πιο σύνθετο, αλλά λίγο πιο σύνθετο. Ας σβήσουμε αυτή λοιπόν που ήταν το υπόδειγμα και ας πάρουμε να κάνετε εσείς ένα παράδειγμα, που λέει πώς θα ολοκληρώσετε, με αντικατάσταση θέλω να το κάνετε, το χ τρίτης χ τετάρτης μες στην παρένθεση χ τρίτης επί μες στην παρένθεση χ τετάρτης συν τρία και όλο εις την δεκάτη δε χ. Πώς θα κάνουμε αυτό το ολοκλήρωμα, θέλω να το δουλέψετε εσείς τώρα, ένα ολοκλήρωμα που λέει χ τρίτης είναι απ' έξω από την παρένθεση, μες στην παρένθεση είναι χ τετάρτης συν τρία και όλο είναι εις την δεκάτη. Λοιπόν, για αλλάξτε μεταβλητές, δουλέψτε το με αλλαγή μεταβλητών, παρόλο ότι είμαι σίγουρος ότι οι μερικοί από εσάς δεν τις χρειάζεστε, μπορείτε κατευθείαν με οποιοδήποτε δικό σας τρόπο να το κάνετε αυτό. Άρα λοιπόν, για να πούμε όποιος το έχει τελειώσει, όποιος το έχει κάνει, ελάτε εσείς, τώρα το ολοκλήρωμα που λέει χ τρίτης είναι απ' έξω από την παρένθεση, τώρα το ολοκλήρωμα θα προσπαθήσω και θα διαλέξω με τέσσερα και θα δημιουργηθεί αυτό εδώ πέρα, οπότε θα δειχθώ ότι καθαρίστησαν με δεκτήρια. Εντάξει. Λοιπόν, αυτό είναι όλο, ένα απλό παραδειγματάκι άξιση να το κάνουμε έτσι, για να κάνουμε ένα ακόμα και να κλείσουμε αυτό το κεφάλαιο, να προχωρήσουμε σε κάτι καινούργιο. Λοιπόν, ένα ακόμα ολοκλήρωμα που θα ήθελα να κάνετε είναι το ολοκλήρωμα της εφαπτωμένης του χ τχ. Αυτό το ολοκλήρωμα, αν θέλετε, δουλέψτε εδώ να δούμε τι θα βγάλει, το ολοκλήρωμα της εφαπτωμένης του χ τχ. Χρησιμοποιώντας το τιμό στις αντικαταστάσεις που ήρθανε, ελάτε εσείς λοιπόν να εξοχήσετε στον πίνακα. Θα μου πεις ένα επόμενο, εσύ αργύρε, εντάξει. Πρέπει να βάλουμε μια απόλυτο τιμή στο κοσχείο, φαντάζουμε έτσι, εσύ εσύ. Τώρα εσύ το έκανες αυτόματα, αλλά εντάξει, θα μπορούσες να κάνεις μια αντικατάσταση, να ορίσεις στο u το κοζάιν χ σαν u, να το πάσουμε την αντικατάσταση, αλλά τώρα είδες κατευθείαν, έβαλες μέσα, το ζιν χ το έβαλε μέσα σε κοζάιν και προχώρησε κατευθείαν αφού εμφανίστηκε δηλαδή το κοζάιν χ με το κοζάιν χ και δεν χρειάστηκε, δεν είναι σίγουρο σε αυτό το απλό μοντέλο να χρειαστεί η αντικατάσταση, αλλά τέλος πάντων αυτός ήταν ο ένας άλλος πιο συστηματικός τρόπος για να το βγάλει. Να μην μείνουμε. Μέντε αντικατάσταση θα βαζε το u, εντάξει δεν είναι τίποτα σπουδαίο, θα βαζε το u να το γονομάσει κοζάιν χ, θα βγαζε μετά το de u να είναι μιον σαν χ δε χ και μετά το σαν χ δε χ θα το βαζε με το μιον και θα βγαζε τη συνάντηση που έβγαλε. Ακριβώς το ίδιο πράγμα. Εδώ ήταν και μάλιστα πολύ απλό και δεν είχε λόγο η συνάδελφό σας να το κάνει καθόλου με αντικατάσταση. Τα σβήνουμε και τα κρατάμε αυτά, είναι πράγματα τα οποία νομίζω και στις σύνθετες συναρτήσεις πρέπει να τις δουλέψετε με αντικατάσταση. Πάμε σε ένα άλλο θέμα που το αγγίξαμε και αυτό στο περασμένο μάθημα και αυτό είναι το θέμα το ολοκλήρωση καταπαράγοντας. Τι είχαμε πει στην ολοκλήρωση παραταπαράγοντας, να το επαναλάβω αυτό που είχα πει στο προηγούμενο μάθημα. Εάν πάρουμε δύο συναρτήσεις U του X και V του X και τις πολλαπλασιάσουμε, πάρουμε την παράγωγο του γινωμένου αυτών των δύο συναρτήσεων, του U του X επί το V του X, με τι θα μας βγει αυτή η παράγωγος. Θα βγει η παράγωγος της πρώτης επί τη δεύτερη, V λοιπόν του X επί U του X, συν U του X, V du X. Έτσι λοιπόν παραγωγίζουμε γινόμενο δύο συναρτήσεων. Συμφωνούμε? Εάν εμείς όμως μας τύχει να παίρνουμε λοιπόν αυτήν εδώ την συναρτήση και την πάμε στο άλλο μέρος, οπότε μπορούμε να έχουμε, να γράψουμε από αυτήν τη σχέση, μπορούμε να γράψουμε από κάτω ότι έχουμε το U dV dX θα είναι ίσον με το d dX του γινωμένου, U επί V, μίον το ολοκλήρωμα, συγγνώμη, μίον το V dU dX. Δεν έχω κάνει τίποτα περίεργο, έχω πάραφει τη σχέση, έχω μεταφέρει τούτο εδώ στο άλλο μέλος και μου έχει μείνει αυτό από το πρώτο μέλος. Άρα έχω U του X dV dX, το έχω κρατήσει στο ένα μέλος και στο άλλο μέλος έχω πάει την παράγωγω του γινωμένου των συναρτήσεων V επί dU dX. Συμφωνείτε? Ωραία, τώρα αν εγώ ολοκληρώσω όλα και τα τρία όπως είναι αυτή τη σχέση, το πρώτο μέλος και το δεύτερο μέλος, τα ολοκληρώσω, θα μου προκύψει το εξής. Θα πει το ολοκλήρωμα του U του X επί dV dX, αυτό το ολοκλήρωμα είναι ίσον με το ολοκλήρωμα του γινωμένου U επί V dX, με το ολοκλήρωμα του V του X dU dX και όλο επί dX. Λοιπόν, αν δεν έχω κάνει λάθος, κοιτάξτε εσείς που κοιτάζετε από κάτω, έχω ολοκληρώσει αυτή τη σχέση και στα τρία της μέλη. Τι θα προκύψει όμως για εμάς, θα προκύψει ένας τύπος, ο οποίος είναι χρήσιμος τύπος. Είναι ο τύπος που θα χρησιμοποιούμε σε αυτή την περίπτωση που έχουμε στις τέτοιες συναρτήσεις. Δηλαδή, κατά παράγοντες, θα έχουμε λοιπόν U του X επί dV του X, αυτή λοιπόν η ολοκλήρωση, που μια συναρτήση U χ είναι έξω και η άλλη είναι μέσα στο παραγωγικό, είναι ίση με το U του X επί dV του X μίον την ολοκλήρωση του dV του X dU του X. Δηλαδή, η ολοκλήρωση της μιας συναρτήσης του U του X επί dV του X είναι ίσον με το γινόμενο των δύο συναρτήσεων μίον το ολοκλήρωμα του dU του X. Είναι χρησιμή μια τέτοια, να το ξέρουμε, κάτι τέτοιο. Μια σειρά από ολοκληρώματα μας βοηθώνε πάρα πολύ να τα κάνουμε με αυτόν τον τρόπο, για να δούμε ποιες μπορούσαμε να θεωρήσουμε σαν τέτοιες συναρτήσεις, να κρατήσουμε τον τύπο, θα κρατήσουμε αυτόν εδώ σαν τύπο, αυτός είναι ο τύπος για αυτή την ολοκλήρωση και να δούμε πώς μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε. Παραδείγματος χάρη, αν θέλετε εσείς να ολοκληρώσετε τον εμπέριο λογάριθμο του X επί dX, χρησιμοποιώντας αυτήν την τεχνική, πώς θα το κάνατε? Χρησιμοποιώντας αυτήν την τεχνική, όπως σας είπα, να υπολογίσετε ένα απλό ολοκλήρωμα, το λογάριθμο του X δx. Αλλά επιμένω να χρησιμοποιήσουμε αυτήν την τεχνική. Αργύρη πες μου. Θα πάρουμε καταρχήν, για να το πάμε συστηματικά, το U του X με βάση αυτόν τον τύπο, θα θεωρήσουμε ότι είναι το λογάριθμος του X, εντάξει. Ή ήθελες να το κάνεις κατευθείαν εσύ, δεν ήθελες να χρησιμοποιήσεις, ήθελα να κάνουμε εφαρμογή. Για πες μου τι θες να γράψεις. Πιο σιγά, πάμε μαζί. Θες να γράψεις το L1 του X τι? Θα γράφω ένα L1 του X, δε σε καταλαβαίνω. Α, ένα επί Ln του X, μπαράβο. Τώρα σε έξαβη, κατάλαβα, συγγνώμη, είμαι λίγο αργός. Την πρώτη φορά, αν πάρουμε όσο δεν θα είναι Ln, Ln του X επί X, ίσον με... ίσον με X, ίσον με LnX. Ναι, ναι, έτσι είναι, μειών, σωστά μειών, έτσι ολοκληρώνομαι το X επί την παράβοβο του Ln του X. Μπράβο, μπράβο, μια χαρά. Οπότε έχουμε X, Ln του X, μειών, επειδή η παράγωση του Ln του X είναι 1 δια X, θα είναι ουσιαστικά, εδώ πέρα θα μας βγάλει ένα μειών X και υπισταθερά σε, αυτό είναι αργύρι. Ναι, αυτό είναι. Λοιπόν, άρα λοιπόν βλέπουμε ότι πήραμε τη μία συνάρτηση να είναι το U του X, να είναι το U του X, να το θεωρήσουμε ότι είναι το λογαρίθμος του X. Και το V του X να είναι το X. Το V του X να είναι το X. Άρα αυτές οι δύο είναι οι συναρτήσεις, η μία είναι αυτή και η άλλη είναι το X το ίδιο. Γραμμένες δηλαδή σαν U του X δέχει, είναι αυτά όπως το είπε, όπως το είπε προηγουμένως και ο Αργύρις. Άρα προχωράμε με τον τύπο αυτόν, βγάζουμε αυτό και βγάζουμε αυτό το αποτέλεσμα. Ωραία, τώρα για εφαρμόσετε το ίδιο αποτέλεσμα, κάντε την ίδια δουλειά στο ολοκλήρωμα, σε ένα άλλο ολοκλήρωμα. Και αυτό απλό για να δούμε αν έχουν καταλάβει την έννοια. Το ολοκλήρωμα του A στην X συνειμήτωνο του X δέχει. Να λοιπόν ένα καινούργιο ολοκλήρωμα, ολοκλήρωμα A στην X συνειμήτωνο του X δέχει. Πάρετε το στη μορφή αυτό εδώ πέρα, να εφαρμόσετε το τύπο της καταπαράγοντας ολοκλήρωσης. Για δοκιμάστε λοιπόν αυτό εδώ πέρα που είναι ολοκλήρωμα A στην X συνειμήτωνο του X. Για δουλέψτε το αυτό και πέστε μου το αποτέλεσμα. Έλα, έλα κοίτα Τίκη θα έρθετε λίγο στον πίνακα, ελάτε, ελάτε στον πίνακα, εσείς, εσείς, ναι. Κοίτα τετράβιο όμως να κάνεις στον πίνακα. Είναι κοιμωλία, ναι, ορίστε. Βράχνουμε πρώτα το A στο X, A στο X παράδοση για την μορφή. Κάνουμε κατευθείαν δυνάδες για το παράδοση, έχουμε το A στο X για την κόση του X, κλείνουμε, κλείνουμε. A στο X παράδοση κόση του X, θα κάνει αυτό συν και το κόστο θα γίνει συν. Και επειδή δεν καταλήφωσε κατευθείαν στον πίνακα, πρέπει να κάνουμε το πίνακα παράδοση. Αυτό πάλι βγαίνει το ίδιο, A στο X παράδοση για την κόση του X. Άρα κατευθείαν θα γράψω A στο X για την κόση του X. Αυτό κατευθείαν θα χρειάζει ένα μήνυμα, ολοκλήρωμα A στο X. Βγάζουμε ένα στεμπάκι και έχουμε αυτό σούπερ με A και με A, ο μεγάλος το φέρνουμε εκεί από εδώ και μας γίνει δύο φορές αυτό. Άρα κατευθείαν ολοκλήρωμα του A στο X, κόστο του X με A στο X, βγάζουμε και ένα παράδοση του A στο X και έχουμε κόστο του X συν. Συμφωνείτε όλοι? Πολύ όμορφα. Τώρα μια και είδαμε αυτό, θα άξιζε να κάνουμε και κάτι άλλο. Να βγάλουμε με έναν τύπο και να δούμε έτσι πώς θα τους βγάζουμε αυτούς αν τους πούμε αναγωγικούς τύπους, ο οποίος θα μας παιδέψει λιγάκι και αλλάξει τον κόπο. Κοιτάξτε ποιο τύπο θέλω να βγάλω. Θέλω να βγάλω έναν αναγωγικό τύπο για το ολοκλήρωμα του συγνημητώνου του N, στην N δηλαδή είναι το συγνημητώνο, XΔX. Αυτό μπορεί να μου βγάλει, ξαναεπαναλαμβάνω ποιο είναι, είναι το ολοκλήρωμα του συγνημητώνου ή στην N, XΔX. Και αυτό μπορεί να το δουλέψουμε, αν θέλετε ξεκινήστε το τώρα, αν θέλετε να βγούμε διάλειμμα τώρα και να μπούμε μέσα να το κάνουμε μετά, για να μην διακόψουμε ή θα πάμε το διάλειμμα λίγο παραπέρα μέχρι να τελειώσουμε αυτό, εντάξει. Λοιπόν, έχουμε 10 λεπτά, νομίζω πρώτα τελειώσουμε και να είμαστε εντάξει το διάλειμμα. Λοιπόν, έχουμε αυτή την ολοκλήρωση και θέλω να μου πείτε πώς θα τη δουλέψουμε. Ξεκινήστε εσείς να δείτε, χρησιμοποιώντας σίγουρα αυτά που είπαμε, αν να σας πω ότι σε αυτόν τον τύπο το N είναι μεγαλύτερο του 2, μεγαλύτερο ίσο του 2. Έτσι, αυτό είναι δεδομένο. Και θέλω να φτιάξω έναν αναγωγικό τύπο, θα δούμε τι είναι αν το προχωρήσετε, θα φτιάξουμε έναν τύπο, ο οποίος θα μπορούσε να μας δώσει τέτοια ολοκληρώματα πώς θα τα τελειώσουμε. Δηλαδή, πώς θα βγει ένας τέτοιος τύπος, ο οποίος θα μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε, αν θέλουμε να ολοκληρώσουμε, παραδείγματος χάρη, το ολοκλήρωμα, αν προκύψει να σας δώσει κάποιος το ολοκλήρωμα της συνημητώνου ή στην 4η χ, πώς θα το κάνουμε αυτό. Έτσι, αν αυτό το ολοκλήρωμα, αυτόν τον τύπο τον αναγωγικό, τον ξέρουμε, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη του 2 για το N. Αλλά για να φτιάξουμε το γενικό τύπο πώς θα είναι πρώτα και μετά μιλάνε για τους εφαρμογές της. Μερικά από αυτά τα πράγματα, είτε τα χρησιμοποιείτε σιωπηρά, χωρίς να πείτε ότι εφαρμόζω τον τύπο τάδε και τα λοιπά, αλλά εδώ πέρα θα άξιζε να ορίσετε πώς θα ανοίξετε αυτόν τον τύπο για να τον φτιάξετε με την ολοκλήρωση, καταπαράγοντας, που είναι το θέμα αυτής της συζήτησης μας τώρα. Λοιπόν, να, Αργύρη το έκανες. Δεν ξέρω πόσο βγαίνει η καλά. Τη μέθοδο την ξέρεις. Νομίζω την μέθοδο την έχουν, αρκετοί την έχουν, αλλά δεν έχουν κάνει τις πράξεις μέχρι τέλος. Πώς πάει, για ακούσω, ποιος το προχωράει, ποιοι το προχωράνε. Λοιπόν, για πες τη μέθοδο Αργύρη και εγώ θα το τελειώσω σιγά σιγά. Προοδοχικά θα θέσουμε το στιγμή το μυχή να συγκινούν. Εγώ έλεγα ότι θα πάρουμε το συνημίτωνο ν-1 επί χ, επί το συνημίτωνο χ δx. Δηλαδή θα βγάλουμε ένα από τα συνημίτωνα της νιωστής δύναμης, θα κατεβάσουμε μια δύναμη και θα γράψουμε κοζάιν χ δx. Οπότε, σε αυτή την περίπτωση, είναι φανερό ότι βάζοντας το συνημίτωνο μέσα στον δx, θα φτιάξουμε τις δύο συναρτήσεις μας, οι οποίες θα είναι. Η μία θα, η ux θα είναι το συνημίτωνο ν-1x και η βx θα είναι το ημίτωνο χ. Σκέτο. Έτσι το ξεκινήσατε όλοι, ε? Λοιπόν, άρα, με αυτόν τον τρόπο, καταλήγουμε, αν κάνουμε αυτές τις διαδικασίες, καταλήγουμε σε μια σχέση που λέει, το πρώτο βήμα. Αυτό το βήμα είναι συνημίτωνο από την μέθοδο κατά παράγοντες. Συνημίτωνο του ν-1 επί ημίτωνο χ, συν ν-1, ολοκλήρωμα, του ημίτωνο τετράγωνο χ, συνημίτωνο του ν-2δx. Τώρα, το ημίτωνο τετράγωνο χ το γράφετε ένα μίον συν ημίτωνο τετράγωνο χ και θέλω να το προχωρήσετε εσείς, να σας δώσω το αποτέλεσμα εγώ ποιο θα είναι, αλλά θέλω να το προχωρήσετε μέχρι τέλος, θα σας δείξω ποιο είναι το αποτέλεσμα. Το αποτέλεσμα λοιπόν είναι το εξής, ολοκλήρωμα, αυτό που θέλω, που θα καταλήξετε, δηλαδή αν κάνετε όλες τις πράξεις σωστά, το ολοκλήρωμα του ζητώμενου του τύπου κοζάνι στην χδx, αυτό το ολοκλήρωμα είναι ίσον, με το 1 δια ν, συν ημίτωνο του ν-1 χ, ημίτωνο χ, συν ν-1 δια ν, ολοκλήρωμα του συν ημιτώνου ν-2 χδx. Ο αναγωγικός τύπος που σας είπα ότι χρειαζόμαστε είναι αυτός εδώ, τον επαναλαμβάνω, είναι αυτός ο αναγωγικός τύπος που λέει, το ολοκλήρωμα του συν ημιτώνου εις την ν του χδx, είναι ίσον με το 1 δια ν, συν ημίτωνο του ν-1 χ, επι ημίτωνο του χ, συν ν-1 δια ν, έξω από το ολοκλήρωμα, ολοκλήρωμα συν ημίτωνο του ν-2 χδx. Με τα βήματα που ξεκίνησα εγώ και με τη διαδικασία που σας προτείνω, έχω την εντύπωση ότι θα το βγάλετε στο σπίτι και γενικότερα αυτή η αναγωγική τύπη πρέπει να μπορείτε να τους βγάλετε γιατί θα τους συναντήσετε μπροστά σας, αν σας δώσει κανένας ημίτωνα ή συν ημίτωνα ή εφακτομένη στην 4η, στην 5η, δηλαδή πρέπει να κάνετε τέτοια ολοκληρώματα. Αυτά βγαίνουν μέσα από ένα τέτοιο αναγωγικό τύπο, αν το κάνετε στον αναγωγικό τύπο ξέρετε τι μέθοδο να κάνετε και οποιαδήποτε ολοκλήρωση τριγωνομετρικής συνάντησης η οποία είναι υψωμένη σε μια δύναμη. Ας πούμε ένα παράδειγμα, θα θέλαμε εμείς να ολοκληρώσουμε το ολοκλήρωμα του συν ημιτώνου εις την 4η χδx. Είναι αυτής της φιλοσοφίας, 4ης, 5ης, οτιδήποτε, αυτός είναι ο τύπος. Λοιπόν, μπορούμε τώρα να βγούμε διάλειμμα και έχουμε δύο επιλογές για την επόμενη ώρα. Είναι εδώ να σας αφήσω εσάς, θεωρώντας ότι είστε μια τάξη που δουλεύετε, θεωρώντας ότι θα πάτε σπίτι και θα την κάνετε αυτή τη δουλειά, γιατί δεν θέλω να την κάνω εγώ να την γράψετε, να την πειράσετε στο χαρτί σας. Σας έχω δώσει μια συγκεκριμένη δουλειά, πως θα δουλεύω με τέτοιους αναγωγικούς τύπους, τελειώνοντας αυτόν. Και εμείς να μπούμε σε ένα καινούργιο θέμα την άλλη ώρα. Στα ολοκληρώματα θα κάνουμε τα εξής πράγματα, σας λέω από τώρα τι θα κάνουμε. Θα κάνουμε τώρα, σήμερα θα κάνουμε και το πως θα ολοκληρώσουμε συναρτήσεις που είναι κλάσματα δύο συναρτήσεις, έτσι δηλαδή συναρτήσεις. Θα συζητήσουμε και αυτό την άλλη ώρα. Μετά τη Δευτέρα θα μιλήσουμε για ολοκληρώματα σε τριγωνομετρικές συναρτήσεις, πως θα κάνουμε αντικαταστάσεις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Και κάπου εκεί θα αφήσουμε τα όρη στα ολοκληρώματα. Θα μπούμε μετά στο ολοκλήρωμα πως θα ολοκληρώσουμε στα ορισμένα ολοκληρώματα. Και το βασικό θεώρημα της ολοκλήρωσης θα το συζητήσουμε επίσης στο ότι είναι πίσω από την ολοκλήρωση αυτή. Στα ορισμένα ολοκληρώματα και στα ολοκληρώματα που είναι από το μίον άπειρο ή στο άπειρο, που τα συζητάμε πάρα πολύ συχνά, τα γενικευμένα ολοκληρώματα. Θα συζητήσουμε και τα γενικευμένα ολοκληρώματα και εκεί θα καταλήψουμε τα ολοκληρώματα. Αυτά είναι όλα τα ολοκληρώματα. Και θα μπούμε στις εφαρμογές τους, οι οποίες είναι πολλές και πάρα πολύ ενδιαφέροντες για τη φυσική. Και φέτος είμαστε σε πολύ ευχάριστη θέση να έχουμε πολύ χρόνο να δουλέψουμε τις εφαρμογές. Πώς θα υπολογίσουμε όγκους, επιφάνιες, καμπύλες, μήκη καμπυλών και τα λοιπά και πώς θα κάνουμε ολοκληρώματα στις πολικές τεταγμένες και όλα αυτά. Είναι πολύ όμορφος ένας χώρος που θα τον δουλέψουμε πάρα πολύ. Άρα έχουμε πολύ δουλειά και σε αυτό το θέμα, το οποίο θα μας φάει όλο τον υπόλοιπο χρόνο. Αυτή είναι η υπόχομη να βγάλουμε. Έτσι σας την είπα. Την επόμενη εβδομάδα θα δουλέψουμε περισσότερο με τριγωνομετρικές συναρτήσεις και αντικαταστάσεις τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Και δεν ξέρω αν θα προλάβουμε να μπούμε στα ορισμένα ολοκληρώματα και όλα τα άλλα που είπα. Αν προλάβουμε καλώς θα προλάβουμε. Λοιπόν, διάλειμμα και επανερχόμαστε. Ήθελα να εφαρμόσουμε, πριν να καταλήψουμε αυτό το θέμα, να εφαρμόσουμε αυτόν τον αναγωγικό τύπο σε ένα ολοκλήρωμα συγκεκριμένο, γιατί εμείς δεν θα βρούμε αναγωγικούς τύπους, θα βρούμε να ολοκληρώσουμε αυτό εδώ πέρα. Για εφαρμόστε τον τύπο, για να μου βάλετε αυτό το ολοκλήρωμα μέχρι τέλους, χρησιμοποιώντας τον τύπο φυσικά. Ελάτε εσείς, ελάτε εσείς. Λοιπόν, εφαρμόσοντας τον τύπο λοιπόν, έχουμε ένα τέταρτο, συνειμήτωνο στην τρίτη χ, ημήτωνο χ συν τρία τέταρτα, συνειμήτωνο τετράγωνο χ δx. Κάθε φορά που σας δίνετε κάτι, μπορείτε να το αξιοποιείτε με πολλούς τρόπους. Το πρώτο είναι να μάθω βέβαια καλά να χρησιμοποιώ αυτό που μου είπανε. Το δεύτερο είναι αυτό που μου είπανε μου δημιούργησε και ερωτήσεις, πιθανότατα σε αυτά που δεν μου είπανε, τις οποίες θέλω να τις ψάξω μόνος μου. Δεν συνηθίζω να ρωτάω στις ερωτήσεις που μου δημιουργούνται εμένα τους άλλους, είναι δικές μου. Προσέξτε το αυτό, είναι μια συνήθεια που κουβαλήσατε για του λόγου της ταχύτητας που έπρεπε να ετοιμαστείτε για τις εκστάσεις των εισαγωγικών. Μάθατε να ρωτάτε τον άλλον τη λύση του προβλήματος που απασχολείε σας. Και συνήθως ένας καθηγητής σας στο γυμνάσιο ή ο καθηγητής και ευχαρίστως βοηθούσε, διότι καταλάβαινε ότι έχετε ένα πρόβλημα με το χρόνο. Στο πανεπιστήμιο δεν πρέπει να ισχύει αυτό. Οι ερωτήσεις δεν πρέπει να μεταφέρονται στους άλλους. Μπορεί κάποιος να μου απαντήσει γιατί. Γιατί να μη ρωτήσετε εμένα, γιατί να μη ρωτήσετε να αφήσει συμφήτη σας που το ξέρει, γιατί να μην την πάρετε έτοιμη την απάντηση, γιατί. Τι λέτε εσείς. Σας ρωτάω. Ναι. Ναι. Τι κακό έχει αυτό. Όχι μόνο δε βάζετε αλλά δεν αποχτάτε και αυτό το πολύ σημαντικό που είναι ότι βρίσκοντας τη λύση μόνος σου δημιουργείς ένα πολύ σημαντικό πράγμα που σας λείπει λίγο. Είναι η αυτοπεποίθηση. Άρα λοιπόν είναι πάρα πολύ σημαντικό να χρησιμοποιήσετε κάθε τι που σας λέει ο άλλος. Πώς κάνατε μικροί, μικροί. Και αν δείτε τα μικρούλια, αν έχετε μικρά ανιψάκια ή αντερφουάκια. Ρωτάνε μεν αλλά έχουν απάντηση. Αν τους πεις εσύ τι πιστεύεις θα σου πούνε. Ό,τι να είναι θα σου πούνε. Αλλά θα σου πούνε. Έχουν αυτοπεποίθηση. Λοιπόν ευχαριστώ πάρα πολύ για να δούμε. Είναι η απάντηση για οι υπόλοιποι. Το δοκίμασε κανάς άλλος να συγκρίνουμε τους υπόλοιπους. Βγήκε 1 τέταρτον λοιπόν. Κοζάιντα τη τρίτη σχή ημήτωνο χ. Συν τρία όγδο. Συν ημήτωνο ημήτωνο. Συν τρία όγδο χ. Συν σε. Ωραία το πάνω μας φτάνει. Αυτό είναι νομίζω αυτή είναι η απάντηση. Όποιοι δεν την κάνανε μέχρι τέλους και την πάρουν έτοιμη και την αντιγράψουν. Χάσανε. Έτσι. Πέξαμε και χάσαμε. Ήρθαμε μια βροχηρή μέρα που θα μπορούσαμε να κοιμηθούμε κανά 2 ώρες παραπάνω σπίτι. Για να αντιγράψουμε τον πίνακα. Σιγά το πράγμα. Δηλαδή του χρόνου που θα είναι βιντεοσκοπημένας αυτές οι ομιλίες. Θα λέτε φτιάξτε τον καφέ μου θα βάλω βλάχο τώρα. Και δεν πάω πουθενά ας πούμε. Μπορεί να πεις και ο Ταλάρας από τη μια μεριά και εγώ από την άλλη και θα είμαστε μια χαρά. Δηλαδή θα έχετε συναυλία. Εντάξει. Λοιπόν. Προχωράμε σε ένα καινούριο θέμα. Θέλουμε να ολοκληρώσουμε το π του χ διακύου του χ. Δέχει τέτοιας μορφής ολοκληρώματα. Αυτά μπορούν να ξεκινήσουν από πολύ απλά. Τα οποία πάρα πολύ εύκολα μπορούν να κάνουμε. Θα δούμε μερικά τώρα αμέσως. Αλλά μπορούν να γίνουν και πιο σύνθετα. Τα οποία θα πρέπει να μπορείτε εσείς να τα διαχειριστείτε με τρόπους ο οποίος θα μιλήσουμε τώρα. Απλό ποιο θα είναι. Ας πούμε το ολοκλήρωμα του τ χ και το π χ να είναι μονάδα. Και το κ χ να είναι το δύο χ συν τρία. Ε αυτό είναι πάρα πολύ απλό. Πώς βγαίνει αυτό το ολοκλήρωμα. Δεν χρειάζεται να σας το ρωτήσω καν. Είναι 1 δεύτερον λογάριθμος στις απόλυτες τιμής του δύο χ συν τρία συν σε. Ωραία πάει αυτό το ξεκαθαρίσαμε. Είναι πολύ απλό. Υπάρχει ένα άλλο που θα είναι επίσης πάρα πολύ απλό. Της κατηγορίας τ χ να πούμε ότι είναι δύο χ συν τρία και όλο στην πέμπτη. Και αυτό είναι πάρα πολύ απλό. Γιατί με την ίδια διαδικασία ή με μια απλή αντικατάσταση. Οτιδήποτε θέλετε βγάζουμε ότι το αποτέλεσμα είναι το 1 8 του 1 δια 2 χ συν τρία και όλο στην 4η συν σε. Ωραία το βγάλαμε και αυτό. Τώρα πάμε σε ένα άλλο ολοκλήρωμα το οποίο θα το κοιτάξουμε να δούμε πως μπορούμε να το διαχειριστούμε. Αρχίζουν τώρα τα πράγματα και γίνονται όσο προφοράω γίνονται λίγο πιο δύσκολα με την έννοια πως θα διαχειριστούμε. Αυτό το ολοκλήρωμα. Σηκώστε το χέρι, δεν χρειάζεται να στείλετε στον πίνακα. Οπότε όποιος το έχει δει θα μας πει πως θα διαχειριστούμε το ολοκλήρωμα που λέει δέ χ στον αριθμητή χ τετράγωρον μίον έξι χ συν εννέα. Ακούω ιδέες. Για αυτά εδώ πέρα δεν είχαμε κάποιο δουλειμό. Για αυτό τι θα κάνουμε. Ξαναλέω τώρα είναι δέ χ δια χ τετράγωρον μίον έξι χ συν εννέα. Τι θα κάνουμε με αυτό. Πέστε μου εσείς. Ναι δεν πρόσεξες, ωραία. Ποιος ή ποια θα μας πει τι θα κάνουμε σε αυτό το ολοκλήρωμα. Τι βλέπετε να γίνεται. Ακούω. Δηλαδή. Άρα λοιπόν είναι το ολοκλήρωμα του δέ χ χ μίον τρία στον τετράγωρο. Και το θέμα λήθηκε από εκεί. Αφού είναι χ μίον τρία στον τετράγωρο. Θα είναι ίσον με μίον ένα δια χ μίον τρία συν σε. Εντάξει. Πάει και αυτό. Πάτε ρε κύριοι. Δεν θα μπορούσαμε να το σπάσουμε αυτό. Όχι κοτσάνο. Όχι, όχι. Ναι, ναι. Πάντως ένα θέλω να ομολογήσω και να συμφωνήσετε μαζί μου. Ότι το οποίο δεν το έχετε οι υπόλοιποι. Και το οποίο το εκτιμώ αφάνταστα. Αν το είχατε θα ήμουν ευτυχισμένος άνθρωπος εδώ μέσα. Ο Αργύρης δεν φοβάται να πει κοτσάνο. Γιατί δεν φοβάται να πει κοτσάνο. Ενώ εσείς οι υπόλοιποι φοβόσαστε να πείτε τι σκέφτεστε. Είστε σαν τα μικρούλια που έχετε άποψη. Αλλά φοβάστε να την πείτε μη σας κατηγορήσουν. Και επαναλαμβάνω ότι στον υπιαβογείο το πιο ωραίο και ζωντανό ακροατήριο είναι το υπιαβογείο. Είναι γεμάτα ιδέες. 60% λάθος, δεν έχει σημασία. Αλλά μετά από αυτές τις ιδέες, δηλαδή φανταστείτε εδώ πέρα να είστε γεμάτε από καινούργιες απόψεις. Εγώ θα ήμουνα ένας ευτυχισμένος άνθρωπος. Είστε σιωπηροί και φοβισμένοι. Γιατί? Γιατί φοβάστε μην πείτε το σωστό. Μεγάλο λάθος αυτή τη στιγμή. Αυτή τη στιγμή που μαθαίνουμε να φοβάστε μην πείτε το σωστό. Εκείνο που είναι σημασία είναι να τελειώσει το μάθημα και να μην μπορείτε να κάνετε ορισμένα πράγματα. Τότε θα έχουμε δυσκολία. Λοιπόν, πολλά φιλοσοφικά σήμερα. Δεν ξέρω τι με εμπνέει, αλλά είναι χρήσιμα, παιδιά. Για να δούμε τι άλλο θα κάνουμε με αυτήν εδώ την ολοκλήρωση. Με την ολοκλήρωση δέχει, αυτές θεωρώ ότι είναι απλές περιπτώσεις, χ τετράγωνο μίον τέσσερα χ συν πέντε. Αυτή εδώ πέρα πώς αντιμετασχηματίσεται. Λέω ο παρονομαστής έχει χ τετράγωνο μίον τέσσερα χ συν πέντε. Τι κάνουμε αυτήν. Με ποιον γινόμενο παραγωτον ποιον είναι το χ τετράγωνο μίον τέσσερα χ συν πέντε. Με ποιο γινόμενο παραγωτον είναι. Δεν το βλέπω εγώ να είναι. Δεν πειράζει και εσύ είσαι μέσα στην επιτυχημένες περιπτώσεις που δεν αρνείσαι να μιλήσεις ενώ δεν είσαι 100% σίγουρος και αυτό είναι πάρα πολύ καλό και αυτό το επικροτώ. Και άλλη, ποιος θέλει να μιλήσει τώρα. Τι θα την κάνουμε αυτήν τη σχέση, τι μετασχηματίζεται. Πες τί μου. Μπράβο, μπράβο, πολύ ωραία. Άρα λοιπόν θα γίνει τε χ, θα γίνει χ τετράγωνο μίον τέσσερα χ συν τέσσερα συν ένα και αυτά εδώ πέρα το πρώτο τι θα γίνει. Το βλέπετε το πρώτο, το κάναμε αυτό που είπες. Τι θα το κάνουμε τώρα, γιατί το κάναμε. Τέλεια, τέλεια. Άρα λοιπόν είναι όπως είπες είναι αδερφός σας, τε χ, χ μίον δύο και όλος το τετράγωνο, συν ένα. Το πήγαμε μέχρι εδώ και τώρα πρέπει να θυμόμαστε κάτι. Ποιο είναι αυτό το ολοκληρώμα. Ο Ριούς το θυμάται. Ποιο είναι Αργύρη. Είναι το Άρταν χ. Είδες το έχεις μάθει αυτό και σε υβολέψει πάρα πολλές ασκήσεις Αργύρη. Λοιπόν είναι το Άρκ της εφαπτωμένης του χ μίον δύο. Αυτό είναι το αποτέλεσμα. Παιδιά η ιδέα εδώ για να είστε εδώ είναι γιατί δεν το σκέφτηκα κι εγώ τι μου λείπει. Αν θέλετε να προετοιμάσετε για τις εκστάσεις τώρα και όχι τις παραμονές. Γιατί δεν το σκέφτηκα κι εγώ τι μου λείπει. Σου λείπανε δύο πληροφορίες. Να δείτε γρήγορα πως θα διαχειριστώ τον παρονομαστή. Πως το ίδιο συμφυτητή σας. Και το δεύτερο που είναι είναι κάποια ολοκληρώματα που γύρισα στα βασικά. Τώρα γυρίζω συνέχεια στα βασικά ολοκληρώματα. Και για να δούμε άλλο ένα τέτοιο. Να δούμε μια ακόμα ολοκλήρωση. Είναι χ στον αριθμητή. Δχ και χ τετράγωνο μίον τέσσερα χ συν οχτώ. Αυτό πως θα το διαχειριστούμε. Είναι χ δε χ στον αριθμητή. Χ τετράγωνο μίον τέσσερα χ συν οχτώ. Αυτό πρέπει να κάνουμε δύο βήματα φυσικά. Πρώτα να το διαχειριστούμε, να το φτιάξουμε κάπως. Και μετά να κάνουμε την ολοκλήρωση όπως θα μας βολεύσει καλύτερα. Έχω λοιπόν χ δε χ. Χ τετράγωνο μίον τέσσερα χ συν οχτώ. Πως θα το διαχειριστούμε αυτό να το μετατρέψουμε σε κάτι και μετά να κάνουμε την ολοκλήρωση. Πρώτα πρώτα τον παρονομαστή πως μπορούμε να τον διαχειριστούμε, σαντί μπορούμε να τον φτιάξουμε. Μετά το προηγούμενο ο παρονομαστής είναι εύκολος να τον διαχειριστείτε. Τώρα που είδατε αυτό το βήμα, το επόμενο ποιο θα είναι για να το φτιάξουμε σε κάτι απλό. Πέστε μου κάτι. Τι έχω κάνει λάθος. Σωστό. Τώρα που είδατε αυτό δηλαδή το φτιάξαμε έτσι, Νικολέτα θες να συνεχίσεις. Ωραία. Κάποιος που ξέρει εσείς. Σε αυτό λες. Χ τετράγωνο μίον τέσσερα χ συν οχτώ είναι. Αυτό όμα το υψέσεις θα βγει χ τετράγωνο μίον τέσσερα χ συν τέσσερα και τέσσερα αυτό θα γίνει οχτώ. Δεν καταλάβα πού είναι το πρόβλημά σου. Τι θα το κάνουμε το χ στον αριθμητή. Λοιπόν για πες. Ακούω τώρα καταλάβατε. Έχετε κάποιος μια ιδέα τι θα κάνουμε τον αριθμητή για να το μαζέψουμε αυτό. Δεν έχετε. Α εσείς έχετε. Το συνάδελφό σας προτείνει χ μιών δύο συν δύο χ μιών δύο και όλο στο τετράγωνο συν τέσσερα δέ χ. Για πηγαίνετε παρακάτω η υπόλοιπη τώρα. Το έχουμε φέρει έτσι. Τι θα κάνουμε τώρα. Έχουμε φτιάξει με τη βοήθεια δύο συμφυριτών σας. Έχουμε φτιάξει αυτό το προελοκλήρωμα που λέει αριθμητής μέσα στην παρένθεση χ μιών δύο συν δύο. Παρονομαστής χ μιών δύο στο τετράγωνο συν τέσσερα και όντε χ. Τώρα τι θα το κάνουμε. Τώρα τι θα βγει από αυτό. Λοιπόν τελειώστε το τώρα όμως. Σας παρακαλώ τελειώστε το. Είναι σημαντικό να βοηθήσετε και εσείς. Είναι σημαντικό να το έχουμε μισή παράδοση μισή φροντιστήριο αυτό που κάνουμε τώρα. Έτσι. Πώς θα ολοκληρώσω αυτό το ολοκλήρωμα. Θα το σπάσω σίγουρα σε δύο ολοκληρώματα. Το ένα θα είναι το ολοκλήρωμα χ μιών δύο δε χ δια χ μιών δύο στο τετράγωνο συν τέσσερα. Που ξέρω πως θα το ολοκληρώσω αυτό φαντάζομαι. Και το άλλο θα είναι το δεύτερο ολοκλήρωμα που θα έχει ένα δύο στον αριθμητή και χ μιών δύο στο τετράγωνο συν τέσσερα. Για το δεύτερο θα φωνάξουμε τον Αργύρη πάλι. Έτσι Αργύρη. Το είδες ή δεν το έχεις δει ακόμα τι λέω. Το πρώτο λοιπόν είναι το ολοκλήρωμα του χ μιών δύο. Ναι το δεύτερο βγήκε αμέσως. Έχοντας πάρει οργολαβία το τόξο της εφαρτωμένης ο Αργύρης. Τελειώνουμε όταν φτάσουμε μέχρι και έχουμε τελειώσει εντάξει. Λοιπόν δύο δε χ χ μιών δύο και όλος το τετράγωνο συν τέσσερα. Τώρα το πρώτο τι θα δώσει που έχει το χ μιών δύο. Αυτό εδώ το ολοκλήρωμα ποιο θα είναι παιδιά γιατί κολλάτε τώρα. Σας παρακαλώ ξυπνήστε έχετε μέρα μπροστά σας. Δεν είναι απόγευμα. Στις πέντε η ώρα τη δευτέρα σας συγχωρώνουμε να κοιμάστε. Πέστε μου εσείς στο τέλος. Πάρα πολύ ωραία. Η συνάδελφός σας λέει ότι το πρώτο θα δώσει ένα δεύτερο λογάριθμος του χ μιών δύο και όλος το τετράγωνο. Το οποίο βέβαια μπορώ και να το αναπτύξω εδώ πέρα όπως θέλετε και να το φτιάξω χ τετράγωνο συν τέσσερα. Το οποίο είναι το αρχικό μας. Δηλαδή για να το γράψω όπως ήταν στην αρχή είναι ότι έχει ο παρονομαστής είναι ο λογάριθμος και αυτό μπορώ να το γράψω όπως ήταν στην αρχή. Λογάριθμος λοιπόν του χ τετράγωνο μιών τέσσερα χ συν οχτώ το οποίο είναι ένας θετικός αριθμός γιατί το χ μιών δύο είναι στο τετράγωνο συν τέσσερα δηλαδή έτσι το γράψω όπως το είπε η συνάδελφός σας είναι το ίδιο. Άρα με το βρώτοκ τελειώσαμε και με το δεύτερο δεν έχουμε παρά να θυμηθούμε ότι είναι το τόξο της εφαπτομένης του χ μιών δύο διά δύο. Συν σε. Αυτό ήταν το αποτέλεσμα αυτής της άσκησης. Εντάξει. Δεν είναι σημαντικό καθόλου να θυμάστε αυτή την άσκηση φυσικά. Τις τεχνικές πρέπει να θυμάστε. Και τώρα έχουμε μια άλλη τεχνική που την ξέρετε από το Λύκειο και την οποία θέλω να τη θυμηθείτε. Και θέλω να το σπάσω και να το αναλύσω. Έχω το εξής κλάσμα. Έχω ένα κλάσμα και θέλω να το σπάσω σε παράγοντες. Το κλάσμα μου είναι, για προσέξτε τρία χ τετάρτις μιών τρία χ τρίτης συν τρία χ τρίτης μιών πέντε χ τετράγωνο συν χ μιών ένα. Και ο παρονομαστής είναι χ τετράγωνο συν χ μιών δύο. Αν μου δώσουν λοιπόν να κάνω ένα τέτοιο ολοκλήρωμα. Επαναλαμβάνω τον αριθμητή. Τρία χ τετάρτις συν τρία χ τρίτης μιών πέντε χ τετράγωνο συν χ μιών ένα. Και ο παρονομαστής είναι χ τετράγωνο συν χ μιών δύο. Καταρχήν όποτε βλέπετε ότι το πέχει ο αριθμητής είναι μεγαλύτερης δύναμης, έχει πάντα την δυνατότητα απλοποίησης. Έτσι δηλαδή πρέπει να το φτιάξουμε σε παράγοντες τον αριθμητή και έχετε μια τεχνική που είχατε μάθει στο Λύκειο με την οποία θα μπορέσετε να πάρετε τον αριθμητή και να το κάνετε γινόμενο παραγόντων. Τι θυμάστε την τεχνική αυτή? Δύο συνάρελφή σας τα θυμώνται αυτά. Οι υπόλοιποι όχι. Και γράφουμε λοιπόν στις σημείωσες. Δεν γράφουμε αυτή την άσκηση. Γράφουμε να θυμηθώ, να επαναλάβω. Καταλαβαίνετε αυτό είναι η σημείωση που κρατάτε από αυτή την άσκηση. Να θυμηθώ, να επαναλάβω πως και τα λοιπά. Θα αναλύσω αυτό το πράγμα σε παράγοντες. Λοιπόν όποιος το θυμάται θα μας βοηθήσει να το πάμε μέχρι τέλος και να μας πει τι θα βγει από τον αριθμητή ή μάλλον πού θα καταλήξει αυτό το κλάσμα. Αυτό το κλάσμα θέλω να το κάνω να το απλοποιήσω εγώ. Θα να κάνω απλοποιήσεις. Αν σας δώσω ένα τέτοιο ολοκλήρωμα η πρώτη δουλειά είναι να το απλοποιήσετε. Και οι τεχνικές είναι γνωστές σε δύο και σε τρεις. Την έχεις πάει μέχρι τέλος? Ναι. Να την πας. Να γι αυτό δεν σηκώνεις χέρι εκτίθεσαι. Κατάλαβες. Σου λέει κοίταξε άμα του πω ότι το ξέρω το επόμενο έιν θα μου πει κάνε το. Και δεν είναι τόσο απλά τα πράγματα. Είναι στο στρατό ακολουθούμε αυτή τη μέθοδο. Δεν λέμε πουθενά ότι ξέρουμε κάτι. Οπότε διότι αν αποκαλύψεις ότι ξέρεις κάτι στο στρατό μπαίνεις στην αγκαρία. Αλλά αν το θεωρήσουμε όμως και αυτό εδώ πέρα που κάνουμε αγκαρία τότε δεν καταλάβα γιατί ήρθατε. Οπότε δεν είναι στρατός εδώ είναι όμως μια πολύ ευχάριστη παρέα με έναν κύριο ο οποίος λέει πολύ ωραία Αμερικάνικα αστεία. Να ακούσω ποιος θέλει να με βοηθήσει να αναλύσω σε κλάσμα σε παράγοντες αυτό το κλάσμα και να το φέρω σε μια πολύ απλή και φιλική μορφή για να κάνω την ολοκλήρωση. Έχω τρεις προσφορές και περιμένω και άλλες και αν αυτοί που σήκωσαν τα χέρια το έχουν πάει μέχρι τέλους θέλω να μάθω. Να το πάτε μέχρι τέλους θέλω το τελικό αποτέλεσμα. Μια άλλη αδυναμία του φυσικού είναι ότι τον ενδιαφέρει το τελικό αποτέλεσμα πάρα πάρα πολύ. Δηλαδή υπάρχουν δύο πράγματα στο να λύσω ένα πρόβλημα. Το ένα είναι η ιδέα, πώς θα το λύσω. Το δεύτερο είναι να το τελειώσω και να βγάλω ότι είναι 3,25. Το τελευταίο θα μπορούσες να πεις ότι δεν είναι και σοβαρό πράγμα. Από τη στιγμή που κατάλαβες που λύσεις ένα πρόβλημα φτάνει αυτό. Όχι δεν φτάνει, το 3,25 είναι σημαντικό διότι θα πρέπει να κάνεις, να στήσεις απάνω στην ιδέα πείραμα και πρέπει να ξέρεις τι θα κάνεις. Ή αν έχεις πείραμα ήδη να ερμηνεύσεις το πείραμα έχει αριθμούς. Οπότε προσπαθώ να πείσω και τους φοιτητές μου στο τρίτο έτος τώρα που κάνουμε μαζί αστρονομία ότι το να μου βγάλουνε μετά από την ιδέα ότι ο αστέρας έχει ακτίνα ένα εκατοστό τι να την κάνω εγώ την ιδέα. Βλέπετε όταν έκαναν τις πράξεις, τα έκαναν όλα μαντάρα στις μονάδες και βγάλαν ότι ο αστέρας έχει ακτίνα ένα εκατοστό. Τώρα βέβαια ένα εκατοστό αστέρας σπάνια υπάρχουν οπότε η ιδέα δεν μας βοήθησε καθόλου διότι το αποτέλεσμα ήταν αστέρας ένα εκατοστό. Έπρεπε να βγάλουμε και την ακτίνα του αστέρα να δούμε πόσος είναι αυτός ο αστέρας. Λοιπόν, για να συνεχίσετε τώρα να μου πείτε ποιος... Τελειώσαν αυτοί που σήκωσαν το χέρι που ξέρουν τη μέθοδο. Όχι. Άρα την ξέρανε για να κάνει τις πράξεις κάποιος άλλος, έτσι. Την τελειώσατε? Ναι, βεβαίως, έτσι. Αλλά θέλω να το δοθείτε να το κάνετε αναλυτικά στον πίνακα. Θα σας παρακαλέσω να μου το κάνετε χαρευτή. Εντάξει, ευχαριστώ πάρα πολύ, πάρτε και τις σημειώσεις σας. Πώς κάνετε τη δουλειά, αν θέλετε πέστε το εκεί φωναχτά. Δεν πειράζει, γράψε εσύ κατευθείαν, δεν χρειάζεται να μας το εξηγήσει με άλλα λόγια. Απλώς να μας λες τι γράφεις. Λοιπόν αυτό το πράγμα θα γραφτεί από κάτω, γράψε ίσον. Εδώ μόνο... Πέστε τώρα θέλετε να παρατηρήσετε κάτι. Εδώ. Ωραία, δεν πειράζει. Ας συνεχίσε, τώρα άμα θέλεις κάνε ένα άλμα, βάλτε αυτό σε μια και συνεχίσε από εδώ. Ας πω αυτό εδώ πέρα και εσύ έλα και συνεχίσαι εδώ. Συνεχίσαι εδώ. Αυτό είναι. Συμφωνείτε οι υπόλοιποι που το κάνατε μέχρι τέλος τη μέθοδο τώρα, την έφερατε λίγο στο μυαλό σας, ποια είναι. Ωραία, μια χαρά. Συμφωνείτε, Νικολέντα. Οι άλλοι ποιοι άλλοι το κάνατε και εσείς το κάνατε. Συμφωνείτε. Ωραία, ευχαριστούμε πάρα πολύ. Λοιπόν, τώρα αν αφήσουμε αυτήν την ομάδα, μάλλον να μην πούμε. Τώρα έχουμε, εντάξει, οπότε σε αυτό ξεκαθαρίσαμε ότι πρέπει αυτήν την τεχνική να τη φέρουμε πάλι στο μυαλό μας. Τώρα υπάρχει ένα άλλο ενδιαφέρον θέμα, πώς μπορώ να σπάσω, να σας δώσω ένα κλάσμα, το οποίο μπορώ να το σπάσω, να το αναλύσω. Προσέξτε, με αυτό θα το πω και θα απογυρίσουμε τη Δευτέρα να το ελοκληρώσουμε. Προσέξτε κάτι, θέλω να έχω το πέντε χί, μίον δέκα, δυα χί τετράγωνο, μίον τρία χί, μίον τέσσερα. Αυτό εδώ πέρα μπορεί να αναλυθεί σε δύο κλάσματα, σε άθλησμα δύο κλασμάτων. Θυμάστε πώς μπορώ να αναλύσω αυτή τη σχέση σε άθλησμα δύο κλασμάτων. Έχει κανένας κάποια ιδέα πώς αυτό το κλάσμα θα το αναλύσω σε άθλησμα δύο κλασμάτων. Νικολάδη, το θυμάσαι? Οι άλλοι, Αργύρη, το θυμάσαι? Αργύρη, πες μας εσύ τώρα πώς θα το κάνουμε. Δεν είναι απλά το ένα κλάσμα, δεν είναι το πέντε χί, προς το μήν πέντε χί, προς το πανωμασί. Όχι, όχι, δύο κλάσματα τα οποία να έχουν, να το αναλύσω σε κλάσματα τα οποία θα είναι απλά. Δηλαδή θα έχουν αριθμό δια κάτι, συν ένα άλλο αριθμό δια κάτι. Εντάξει και αυτό. Νικολάδα, το θυμάται. Οι υπόλοιποι θυμάται, κανένας πώς μπορώ να το κάνουμε. Πεςτε μας εσείς. Πάρα πολύ ωραία, οι οποίοι είναι ποιοι, είναι το χ-4 επί το χ-1. Πάρα ο συνάδελφός σας λέει ότι αναλύει αυτήν εδώ τις σχέσεις, σαν γινόμενο τον παρονομαστή, σαν ένα τέτοιο γινόμενο, και άμα το κάνει αυτό πώς θα πιωθάν το επόμενο του βήμα. Συνεχίστε. Άρα βάζουμε λοιπόν στον παρονομαστή, για να το κάνουμε άθεσμα, βάζουμε χ-4 και ένα α, το οποίο δεν το ξέρουμε, συν β, δια χ συν 1. Από εδώ και πέρα μπορείτε να δείτε πώς θα προχωρήσουμε. Για πεςτε εσείς, συνεχίστε. Θα το κάνω μόντυμα και όσα έχετε προσθέσει στον χ. Το έχετε κάνει ή θέλετε να το κάνετε στον πίνακα, θέλετε να έρθείτε να το κάνετε. Ελάτε. Λοιπόν, εξακολουθώ τι έκανε ο συνάδελφός σας. Πήρε λοιπόν το 5χ-10, χ-3χ-4, το σπάσε σε γινόμενο χ-4 επί χ συν 1, 5χ-10, και τώρα προσπαθούμε να το γράψουμε α δια χ-4 συν β δια χ συν 1. Και θέλω να προσδιορίσουμε τα α και β και θα σας δείξει τον τρόπο με τον οποίο θα το κάνει, θα τα βρει. Λοιπόν, το πολλαπλασιάζει αυτό το πλάσμα που έχει φτιάξει, τα κάνει ομώνυμα πάλι και κάνοντας τις πράξεις στον αριθμητή. Δηλαδή, του έχει πει α επί χ συν 1, β επί χ-4 είναι ο αριθμητής. Κάνει λοιπόν αναλυτικά τις πράξεις, ο παρονομαστής δεν τον πειράζει και στο τέλος πάει να προσδιορίσει τα α και β συγκρίνοντας αυτό που θα βγάλει με το αρχικό που είχε που είναι 5χ-10. Άρα θα το φέρει σε μια τέτοια μορφή ώστε να βρει ποιο θα είναι το α και το β. Λοιπόν, τα μάζεψε και έχει βγάλει α επί χ συν 1, συν β επί χ-4. Και τώρα θα ρίσουμε σύστημα. Θα φέρει το α σχετικά να κάνει 5 και το α-4φ-10. Ωραία, ναι, σωστά. Λοιπόν, καταρχήν όποιος έχει ερώτηση, δεν να γράφει απλώς τι βλέπεις στον πίνακα, κάνει ερώτηση να το συζητήσουμε, αν κατάλαβε τι πώς το πάμε. Δηλαδή, φτιάξαμε παραόντες στον παρονομαστή γυνωμένο. Αναλύσαμε τον αριθμητή να είναι α διά του ενός, συν β διά του άλλου και κάνουμε τώρα πράξεις για να βρούμε ποιο θα είναι το α και το β, χρησιμοποιώντας ότι ο αριθμητής προηγουμένου ήταν 5χ-10. Το κάνουμε ομώνυμο το πλάσμα, βγαίνει μια σχέση, η οποία, έχουμε να λύσουμε ένα σύστημα α συν β-5, α-4β-10. Το σύστημα βγαίνει ότι το α είναι πόσο και το β είναι πόσο. Ωραία, βρήκε ότι το β είναι 3 και το α είναι 2. Και τελειώσαμε, αυτό ήταν όλο. Είναι δηλαδή η ανάλυση τέτοιου κλασμάτων, τις ανταναλύουμε σε απλές στρακλάσματα. Ευχαριστώ πάρα πολύ. Λοιπόν, θα συνεχίσουμε αυτή τη δουλειά, να την ολοκληρώσουμε, πώς θα δουλεύουμε με ανάλυση κλασμάτων χρητών συναρτήσεων, οι οποίες έχουν αυτή τη μορφή. Νομίζω ότι έχουμε καλύψει κάποια σημεία, δεν έχουμε ολοκληρώσει, και θα ολοκληρώσουμε τη Δευτέρα.