2.4 Εύδοξος , Τομές του Dedkind / ενότητα 2 , #4 , 13/03/14 (από 22,04 εώς τέλος ) και 18/03/14 (από αρχή εως 17,31) - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
ενότητα 2 , #4 , 13/03/14 (από 22,04 εώς τέλος ) και 18/03/14 (από αρχή εως 17,31): Αυτό που αναφέραμε την προηγούμενη φορά είναι και το μεγάλο πλήγμα που δέχθηκε η Φιλοσοφία των Πειθαγορίων, με την ανακάλυψη ότι υπάρχουν ποσότητες οι οποίες δεν μπορούν να συγκριθούν με την έννοια που είχανε της σύγκρισης που υπήρχε στους Πειθαγορίους. Δηλαδή, ότι υπάρχει μια βασική μονάδα σύγκρισης με την οποία μπορείς να τη χρησιμοποιήσεις και κάποια κέρια πολλαπλάσια θα μου δώσουν το ένα μέγεθος, κάποια άλλα πολλαπλάσια θα μου δώσουν το άλλο κομμάτι που θέλω να συγκρίνω. Η ακμή του τετραγώνου μαζί με τη διαγωνίου του τετραγώνου δεν είναι συγκρίσιμα. Το οποίο αντιστοιχεί, το είδαμε λοιπόν αυτά χτες, ότι αυτό αντιστοιχεί στο να πούμε ότι αν πάρω τον λόγο αυτόν τον δύο της ακμής με τη διαγωνίου, μου βγαίνει κάτι το οποίο δεν είναι ερητός. Οι ποσότητες λοιπόν αυτές δεν είναι συγκρίσιμες, δεν μπορώ να μείνω στον κόσμο ο οποίος προέρχεται μόνο από τους ακεραίους, μόνο από τους φυσικούς αριθμούς. Πρέπει να μεγαλώσω τον κόσμο στον οποίο ζω. Δεν μου αρκούν την πραγματική, εντάξει, είναι προφανές ότι δεν αρκούν οι ρητοί. Ο Εύδοξος είναι αυτός ο οποίος έλυσε αυτό το πρόβλημα, παρξιακό πρόβλημα. Ο Εύδοξος από την Κνίδο, ο οποίος έζησε 408 π.Χ., πάμε λίγο αργότερα, 408 με 355 π.Χ., εντάξει και όπως οι περισσότεροι εκείνη την εποχή, εκτός από μαθηματικός, ήταν και γεωγράφος, φιλόσοφος, αστρονόμος. Τώρα, καταρχήν, πως το έλυσε λοιπόν αυτό ο Εύδοξος και θα δούμε ότι η ιδέα του Ευδόξου μοιάζει πολύ ή μάλλον αποτέλεσε, θα έλεγα, πηγή έμπνευσης, για τον τρόπο που ορίστηκαν, που χρειάστηκαν να οριστούν αξιωματικά, οι πραγματικοί αριθμοί, έτσι γιατί όσο ορίμασε, είδαν ότι θα πρέπει με κάποιο τρόπο να ορίσουμε αξιωματικά τους πραγματικούς αριθμούς και αυτό έγινε πολύ πολύ αργότερα, έτσι και οι ιδέες του Ευδόξου θα τις ξανασυναντήσουμε, όταν θα μιλήσουμε για τις τομές του Δέντε Κιντ. Τομές του Δέντε Κιντ έχουν να κάνουμε τις ιδέες του Ευδόξου. Για να προσπαθήσουμε λοιπόν να δούμε τι είπε ο Εύδοξος. Καταρχήν ξεκίνησε να λέει πότε μπορώ να συγκρίνω δύο μεγέθι, έτσι πρέπει να είναι του ιδίου τύπου, μέσα σε αγωγικά ο τύπος. Μπορώ να συγκρίνω δύο ευθύγραμμα τμήματα και μπορώ να συγκρίνω και δύο εμβαδά, το εμβαδό με ένα άλλο εμβαδό μπορούν να συγκριθούν, έτσι δεν έδινε τετραγωνικές μονάδες δίπλα, λέει πώς μπορούν να συγκριθούν αν πάρω το μέγεθος του ενός και κάποιο ακέραιο πολλαπλάσιο ξεπερνάει το άλλο μέγεθος. Οποιοδήποτε δύο τμήματα μπορούν να συγκριθούν. Ωραία, ορίζει τι μπορεί να συγκριθεί. Στο επόμενο κομμάτι λέει, εντάξει παίρνω αυτό το λόγο, τα συγκρίνω και βάζω αυτό το λόγο και τον συμβολίζουμε εμείς για ευκολία με α'-Β. Πότε είναι αυτή η ιδιολογή ίση και πότε δεν είναι ίση. Εντάξει, είπαμε ήδη ότι για να μπορέσω να γράψω αυτόν τον λόγο το α'-Β θα πρέπει ότι εμφανίζεται να είναι του ιδίου τύπου. Πότε είναι ιδιολογής, πότε είναι τα τρία τέταρτα ένα κομμάτι που έχει μήκος τρία το άλλο το οποίο θα το αντιστοιχίσουμε στα κλάσματα και αυτός είναι ο τρόπος που συμβολίζεται. Πότε είναι ιδιολόγη ενάμεσα στα μεγεθή ίσα. Αυτός είναι ο ορισμός για να τον σκεφτούμε. Δεν υπήρχαν κλάσματα, δεν υπάρχουν κλάσματα και με αυτόν τον τρόπο αυτό το οποίο χρησιμοποιεί μπορεί να συγκρίνω ένα μεγεθος με ένα άλλο όταν ένα κέραιο πολλαπλάσιο του ενός ξεπερνάει το άλλο. Δεν υπάρχουν κλάσματα, δεν υπάρχει ορισμός των κλασμάτων όπως τον έχουμε σήμερα και λέει ότι αυτή η ιδιολόγη είναι ίση αν κάθε φορά που έχω ένα M και N έτσι ώστε το Mα πολλαπλασιάζω με το M το α και παίρνω κάτι που είναι μικρότερο από το Nβ η αντίστοιχη σχέση θα πρέπει να ισχύει και για τον άλλο λόγο. Αν πάλι το Mα είναι ίσο με το Nβ τότε αυτή η σχέση θα πρέπει να ισχύει και για τον άλλο λόγο. Μπορώ να συγκρίνω αυτά τα μεγέθη έτσι και μπορώ να πω πότε κάτι είναι μεγαλύτερο και μικρότερο. Επιτρέπεται λοιπόν αυτό το οποίο γίνεται στα δεξιά. Και αν το Mα είναι μεγαλύτερο από το Nβ η αντίστοιχη σχέση πρέπει να ισχύει και για τον άλλο λόγο. Αν λοιπόν αυτά εδώ ισχύουν σε κάθε περίπτωση τότε η ιδιολόγη είναι ίση. Αυτός είναι ορισμός, αυτόν τον ορισμό ξέχουμε ότι τον αποδίδουμε στον Εύδοξο γιατί τον βρίσκουμε στον Ευκλήδη. Έτσι ο τρόπος που έχει γράψει ο Ευκλήδης βασίζεται σε αυτά που έχει κάνει ο Εύδοξος. Από εδώ προκύπτει ότι ο ένας λόγος είναι μεγαλύτερος από του άλλου. Αν ένας λόγος είναι μεγαλύτερος από τον άλλο τότε μπορεί να δείξει κανείς ότι για ένα ε που είναι μικρότερο από το μέγεθος που είναι πάνω. Αν το ε είναι μικρότερο από το α τότε το ε για β είναι ίσως με το σε για δε. Υπάρχει ένα τέτοιο ε που θα κάνει τους λόγους να είναι ίσως. Για να πω κάτι άλλο τώρα τι έχει καταφέρει ο Εύδοξος. Λόγο σχηματίζουν μόνο του ιδίου τύπου μεγέθη. Μπορώ να συγκρίνω δύο εκθήγραματμήματα, μπορώ να συγκρίνω δύο εμβαδά. Θα μου δώσουν έναν λόγο. Αλλά μπορώ να συγκρίνω τον λόγο που σχηματίζουν τα εκθήγραματμήματα με τον λόγο που μπορούν να συγκρίνουν τα δύο εμβαδά. Οι λόγοι συγκρίνονται. Λόγο σχηματίζουν του ιδίου τύπου μεγέθη. Αλλά οι λόγοι που σχηματίζουν δύο διαφορετικού τύπου μεγέθη και αυτοί συγκρίνονται. Έχοντας στο νου μας τα κλάσματα αυτός ορισμός είναι σχεδόν κατευθείαν βγαίνει. Ορισμός του Ευδόξου ότι δύο κλάσματα εμείς ξέρουμε πότε είναι ίσα. Ακριβώς ταυτίζεται με αυτά που έχει κάνει ο Ευδόξος. Και αυτό που ήθελα να κάνω είναι να δείξω ένα παράδειγμα όπου χρησιμοποιεί αυτήν την ιδέα. Η πρόταση αυτή βρίσκεται στο δωδέκατο βιβλίο του Ευκλήδη και σύμφωνα με αυτήν την πρόταση χρησιμοποιεί την πρόταση του Ευκλήδη. Δείχνει και είναι η πρόταση που την αποδίδει στον Ευδόξο. Δείχνει ότι αν έχω δύο κύκλους και ο ένας κύκλος έχει διαμετροτέ, ο άλλος κύκλος έχει κεφαλαία διαμετροτέ τότε η σχέση ανάμεσα στους λόγους των διαμέτρων και των εμβαδών δύναται από αυτό. Αν συγκρίνω τα δύο εμβαδά έτσι παίρνω έναν λόγο και ο λόγος που φτιάχνουν αυτά τα δύο εμβαδά λέει η πρόταση είναι ίσως με τον λόγο που φτιάχνουν τα τετράγωνα των διαμέτρων. Ο λόγος των δύο εμβαδών είναι ίσως με τον λόγο των τετραγών των δύο διαμέτρων. Για να περάσουμε γρήγορα έτσι την απόδειξη και βάζω αυτό το λήμμα το οποίο και αυτό αποδίδεται στον Εύδοξο. Ξεκινάει με αυτό το βιβλίο 10, έτσι είναι η πρώτη πρόταση στο βιβλίο 10. Μελετήστε το γιατί θέλω λίγο να το γράψουμε πάνω στον πίνακα να καταλάβουμε τι λέει ή μαλλονδύτε το και πείτε μου τι σας θυμίζει πριν ξεκινήσω να γράφω. Έτσι λέει έχω ένα μέγεθος από αυτό αφαιρώ ένα τμήμα το οποίο είναι μεγαλύτερο ίσο από το μισό του και μετά ξανά κάνω την ίδια ποσότητα. Από ότι περισσεύει μετά από την αφαίρεση αφαιρώ ξανά ένα τμήμα μεγαλύτερο ίσο του μισού και συνεχίζω. Τότε λέει θα καταλήξω σε ένα μέγεθος που είναι μικρότερο από οποιοδήποτε όσο μικρό και να έχω ξεκινήσει. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία θα καταλήξω σε ένα μέγεθος μικρότερο από οποιοδήποτε προκαθαρισμένο μέγεθος του ιδίου είδους. Τι μου θυμίζει αυτό. Εντάξει αυτό σας το θυμίζει τη μέθοδο εξαντλήσεως του Αρχιμήδη γιατί χρησιμοποίησε την ιδέα του Ευδόξου. Αλλά και η μέθοδο εξαντλήσεως του Αρχιμήδη είναι στην ουσία ότι είναι η πρώτη ιδέα των ορίων. Έτσι για όρια μιλάει. Τι λέει εδώ. Παίρνω ένα τμήμα α, εντάξει για να πάρω την πιο εύκολη περίπτωση γιατί μετά οτιδήποτε θα αφαιρέσω από το α το μισό του. Αν αφαιρούσα κάτι μεγαλύτερο θα έπαιρνα κάτι μικρότερο από το μισό από αυτό που μένει. Παίρνω λοιπόν από το α λέει αφαιρώ το μισό του α. Αν αφαιρέσω κάτι πιο μεγάλο θα πάρω κάτι ακόμα πιο μικρό. Αυτό εδώ μου μένει α δεύτερα. Από αυτό το α δεύτερα λέει συνέχισε και αφαίρεσε το μισό του α δεύτερα. Αφαιρείς σήμερα με το α τέταρτα εντάξει μένεις με το α τέταρτα. Οτιδήποτε και να ξεκινήσεις όποιο ε και να ξεκινήσεις οποιονδήποτε μέγεθος ξεκινήσεις όσο μικρό και να είναι το καθορισμένο λέει αν συνεχίσεις και κάνεις αυτή τη διαδικασία αρκετά βήματα. Εδώ λοιπόν είναι α4 την επόμενη φορά θα είναι α4 μίαν α8 πάλι α8. Τι θα έχουμε στον ιωστό βήμα πόσο θα μας μείνει α δύο η στιγμή λέει αυτό εδώ σε κάποια φάση θα είναι μικρότερο από το έψιλ. Το εξαντλείς έτσι για το μετά η μέθοδος εξαντλείς ως τα αρχημένη το εξαντλείς. Θα φτάσεις λοιπόν σε ένα αρκετά ψηλό 1 έτσι ώστε να το εξαντλήσεις. Θέλεις λοιπόν να αποδείξεις ότι εκείνοι οι δύο λόγοι είναι οι ίδιοι για να δούμε πως πάει η απόδειξη της πρότασης. Θα ξεκινήσεις να το δείξεις για πολύγωνα έτσι καταρχήν λοιπόν πάρει ένα λήμμα το οποίο λέει πρώτα το αποδεικνύεις για τα πολύγωνα. Παίρνεις στους δύο κύκλους φτιάχνεις πολύγωνα ξεκινάς να φτιάχνεις πολύγωνα ταυτόχρονα και στους δύο κύκλους ίδιο αριθμό ακμών κανονικά πολύγωνα κανονικά για να έχεις έλεγχο στις γωνίες που έχουν αυτά τα σχήματα. Ξεκινάς να τα φτιάχνεις και σιγά σιγά αυξάνεις τον αριθμό των πλευρών διπλασιάζεις τον αριθμό των πλευρών των πολυγών. Στο μικρό κύκλο φτιάχνεις το μικρό πολύγωνο πιέν, στο μεγάλο κύκλο φτιάχνεις το μεγάλο πολύγωνο πιέν και πρώτα από όλα λοιπόν δείχνεις αυτό είναι το λήμμα είναι ότι με αυτόν τον τρόπο αυτό το οποίο προκύπτει είναι ότι ο λόγος των εμβαδών των πολυγών είναι ίσως με τον λόγο των εμβαδών των τετραγώνων των διαμέτρων έχεις πάρει τα πολύγωνα τα βάζεις μέσα στους κύκλους το πρώτο λοιπόν που δείχνεις είναι ότι ο λόγος των τετραγώνων των διαμέτρων είναι ίσως με τον λόγο των εμβαδών των πολυγώνων και η ιδέα είναι ότι όταν αυξάνεις τον αριθμό των πλευρών στα πολύγωνα έρχεσαι όλο και πιο κοντά έτσι μυγνώνεις την απόσταση του πολυγώνου εκείνο το άσπρο τμήμα την απόσταση του πολυγώνου από την περιφέρεια του κύκλου έρχεσαι όλο και πιο κοντά στην περιφέρεια του κύκλου αν χρησιμοποιούσανε όρια τότε σε εκείνο το σημείο θα λέγανε το όριο πηγαίνοντας στο όριο βγάζεις αυτό το οποίο θέλεις δεν γίνεται έτσι ακριβώς για να αποδείξεις αυτό το λήμμα ξεκινάς συγκρίνοντας τον εμβαδό των τριγόνων και κάνοντας με τα εμβαδά με τα τριγόνα δεν είναι τόσο δύσκολο να το δείξεις έτσι είναι ισοσκελή τα τρίγωνα έτσι από τα όμια τρίγωνα του μικρού και του μεγάλου κύκλου έχεις όμια τρίγωνα στο μικρό και στο μεγάλο κύκλου τα κανονικά πολύγωνα που συγκρίνουν είναι αθρίσματα τέτοιων τριγόνων επομένως προκύπτει ο λόγος ο ζητούμενος λόγος για τα εμβαδά τους το ν είναι η μία πλευρά αυτού του ισοσκελούς τριγόνου το ν η διάμετρος του κύκλου εμφανίζεται σαν τη μία πλευρά του ισοσκελούς τριγόνου έτσι έχεις πολλά μικρά τριγονάκια το πολύγωνο φτιάχνει από πολλά μικρά τέτοια τριγονάκια και για το άθρυμα παίρνεις αυτήν την αντιστοιχία ναι πας μετά να το κάνεις ξέρεις ότι αυτό ισχύει για τα πολύγωνα πας να το κάνεις για τον κύκλο θέλεις να δείξεις ότι ισχύει αυτή εδώ η σώτα ανάμεσα στους λόγους αυτό που κάνει ο Ευκλήδας λέει ότι έχουμε τρεις περιπτώσεις ή οι δύο λόγοι θα είναι ίση που είναι αυτό το οποίο θέλεις να στο τέλος ή ο ένας λόγος θα είναι μικρότερος από τον άλλον ή μεγαλύτερος από τον άλλον τρεις περιπτώσεις αυτό λοιπόν το οποίο κάνει είναι πηγαίνει να αποκλείσει τις άλλες δύο περιπτώσεις παγωγής άτοπον έτσι θα αποκλείσει τις άλλες δύο περιπτώσεις έστω ότι ο λόγος είναι μεγαλύτερος από τα τετράγωνα των διαμέτρων το ότι είναι μεγαλύτερος σημαίνει ότι αν το α προς α είναι μεγαλύτερο από το τ τετράγωνο προς το κεφαλαίο τ τετράγωνο υπάρχει ένα μικρό α τόνος που θα κάνει τους λόγους να είναι ίσοι θα αντικαταστήσω το α που είναι στον αριθμητή του πρώτου με το α τόνος αυτό το α τόνος λοιπόν θα κάνει αυτούς τους λόγους να είναι ίσοι και τώρα θα χρησιμοποιήσεις το προηγούμενο λήμα ότι οποιαδήποτε απόσταση ο οποιαδήποτε τμήμα κάνοντας αυτή τη διαδικασία μπορείς να το κάνεις πολύ μικρό τι βάζεις για ε βάζεις αυτή τη διαφορά του α μειών α τόνους και αρχίζει να κάνει αυτά τα κανονικά πολύγωνα στους δύο κύκλους και διπλασιάζει ταυτόχρονα και στους δύο κύκλους τις πλευρές των πολυγώνων και κάθε φορά που διπλασιάζει τον αριθμό των πλευρών το ευαδότη της περιοχής που βρίσκεται ανάμεσα στον κύκλο και στο πολύγωνο μικραίνει και δεν μικραίνει ευθέρατα έχεις και ένα μέτρο στο πόσο μικραίνει για να μπορέσεις να χρησιμοποιήσεις το λήμα του ευδόξου πρέπει να μικραίνει αυτό που μένει να είναι μικρότερο από το μισό έτσι το δείχνει λοιπόν κανείς αυτό με απλή γεωμετρία ότι κάθε φορά που διπλασιάζεις το μέρος που μένει είναι μικρότερο από το μισό όταν λοιπόν κάποια στιγμή ο ρυθμός των αχμών είναι αρκετά μεγάλος τότε θα έχεις ότι η διαφορά του α-πν έχεις πολλαπλασιάσει τον αριθμό των αχμών διπλασιάσει τον αριθμό των αχμών συνεχόμενα και έχεις φέρει το μικρό πολυγωνό να έχει εμβαδό πάρα πολύ κοντά στο α να έχει α-πν να είναι μικρότερο από το ε θα ξεγράψεις τι σημαίνει αυτό α-πν το ε ήταν α-α τόνος α-πν μικρότερο από το α-α τόνος σημαίνει ότι το πν είναι μεγαλύτερο από το α τόνος το πν μεγαλύτερο από το α τόνος το πν μεγαλύτερο από το α τόνος τι ήταν αυτά έτσι ήταν το πν ήταν το εμβαδό του πολυγώνου που εμφανιζόταν επάνω και ξέρουμε ότι είναι ίσο με το α τόνος για α και το πν είναι το από κάτω και ξέρουμε βεβαιότητα ότι το από κάτω το πν είναι μεγαλύτερο από το α το από κάτω το κεφαλαίο πν είναι μεγαλύτερο από το κεφαλαίο α δεν μπορεί ο αριθμητής να είναι κι αυτός μεγαλύτερος από το α τόνος γιατί τότε αυτοί οι λόγοι δεν θα μπορούσαν να είναι ίσοι καταλήγουμε λοιπόν το πν έτσι τα είπα αντίστροφα το κεφαλαίο πν είναι το εμβαδό του πολυγώνου μέσα στο δεύτερο κύκλο μέσα στο κύκλο με κεφαλαίο α και το πν είναι σίγουρα μικρότερο από το κεφαλαίο α και αν ακολουθήσει κανείς σε αυτή τη συλλογιστική θα κατέληγε σε αυτό το σημείο ότι πν κεφαλαίο πν είναι μεγαλύτερο από το α το οποίο είναι άτοπο ό,τι σας είπα πριν αλλά κοιτάζοντας καταλήγοντας το άτοπο για το κεφαλαίο πν έχουμε λοιπόν άτοπο εάν υποθέσουμε ότι η πρώτη περίπτωση που έλεγε ότι ο λόγος του α μικρού με το α κεφαλαίο είναι μεγαλύτερος από το λόγο των τετραγώνων των βιαμέτρων άρα αυτό που μας μένει κοιτάζουμε την άλλη περίπτωση την αποκλείουμε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως έγινε η πρώτη περίπτωση αποκλείεται και η δεύτερη δεν υπάρχουν λεπτομερίες δεύτερης δεύτερη περίπτωση στο βιβλίο λέγεται γίνεται όπως και η πρώτη έτσι είναι ακριβώς το ίδιο οι ίδιες ιδέες δεν έχει κάτι στο βιβλίο του Εθκλειδίνο αποκλείουμε λοιπόν και την άλλη περίπτωση καταλήγουμε σε άτοπο και στις δύο περιπτώσεις άρα μένει ότι ο λόγος των ευαδών είναι ίσως βέβαια για να βεβαιωθούμε μένει αυτό εδώ το κομμάτι το οποίο και για άσκηση μπορείτε να το δοκιμάσετε και για έχετε και τις πληροφορίες γιατί το βιβλίο όπως είπα είναι αναρτημένος στην μετάφρασή του στην ιστοσελίδα έχει τη μετάφραση μέσα στο βιβλίο του Εθκλειδίνο στα στοιχεία υπάρχει αυτή η πρόταση μόλις την απόδειξη εκεί εκείνο που πρέπει να βεβαιωθεί κανείς είναι το εμβαδό ανάμεσα στον κύκλο και στον πολύγονο μικραίνει τουλάχιστον κατά το ένα δεύτερο για να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε το λήμμα του Ευδόξου έτσι κάθε φορά που διπλασιάζουμε μικραίνει αυτή η απόσταση τουλάχιστον κατά το ένα δεύτερο της αρχικής διαφοράς αυτό που βλέπουμε σε αυτή τη δουλειά του Ευδόξου είναι μια απόπειρα για να μπορέσουν να οριστούν τουλάχιστον όλα τα μεγέθη και τα μεγέθη τα οποία βλέπουμε αντιστοιχούν σε μεγέθη πραγματικών αριθμών μια απόπειρα για να ορίσουμε τους πραγματικούς αριθμούς αυτό που είπα στην αρχή είναι ότι ο ορισμός αυτών των λόγων από τον Ευδόξο ενέπνευσε τον Ντέντεκιν στην προσπάθεια να δώσει την αξιωματική θεμελίωση των πραγματικών αριθμών έχουμε τους ρητούς αριθμούς οι ρητοί αριθμοί προκύπτουν από τους ακεραίους οι ακέραιοι προκύπτουν από τους φυσικούς αριθμούς φυσικοί αριθμοί προκύπτουν από τη μονάδα έτσι με πολλαπλάσια της μονάδας φτιάχνω τους φυσικούς αριθμούς παίρνοντας τους αντίθετους φτιάχνω τους ακεραίους παίρνοντας κλάσματα των ακεραίων φτιάχνω τους ρητούς έτσι μπορώ να φτιάξω και άλλα πράγματα από τους ρητούς έτσι μπορώ να φτιάξω αλλιευρικούς με κάποιο τρόπο μπορώ πως φτιάχνω πως προκύπτουν οι πραγματικοί αριθμοί τους βλέπω ότι υπάρχει μια οντόρτα που δεν μπορεί να εξογηθεί μόνο με ρητούς αλλά πως θα γίνουν αξιωματικά πως ορίζονται αξιωματικά αυτό είναι το ερώτημα τι ακριβώς είναι οι άριτιοι αριθμοί πως θα γινόταν να τους ορίσουμε αξιωματικά από το σύστημα των ρητών αριθμών έτσι οι τομέες του τέτεκεν είναι μια προσπάθεια στο να γίνει αυτό υπάρχουν και άλλες αξιωματικές τρόποι για να οριστούν αξιωματικά οι πραγματικοί αριθμοί θα δούμε τις τομέες του τέτεκεν γιατί μοιάζουν πολύ με αυτά τα οποία έκανε ο Εύδοξος βάζω όμως και αυτήν εδώ την ερώτηση παρόλο που την έχουμε ήδη απαντήσει σήμερα είναι η ρίζα του δύο είναι το ίδιο πράγμα με το π έτσι ξεκίνησα με αυτό και τελειώνω με αυτό εδώ ξεκίνησα με την απάντηση σε αυτήν την ερώτηση το ρίζα δύο ή ακόμη την τρίτη ρίζα δύο, τέταρτη ρίζα του δύο είναι η ίδια έχουνε κατά κάποιο τρόπο αλγευρικά είναι το ίδιο με το π και το ένα και το άλλο είναι μύριτι αριθμοί είναι όλοι οι μύριτι αριθμοί είναι όλοι οι άριτι αριθμοί το ίδιο έτσι το ρίζα δύο είναι άριθος αριθμός το π είναι άριθος αριθμός όμως ο ένας είναι αλγευρικός προκύπτει από τους ρητούς έτσι ο ρίζα δύο προκύπτει είναι αλγευρικός αριθμός ικανοποίει μια εξίσωση με ρητούς συνδελαιστές ενώ το π είναι επερβατικός αριθμός έτσι την απάντηση με την οποία ξεκινήσαμε τετραγωνισμός του κύκλου είναι αδύνατον γιατί το π είναι υπερβατικός αριθμός θα συνεχίσουμε την επόμενη εβδομάδα να πω ότι θα προσπαθήσω μέσα στο Σαββατοκύριακο να βάλω και τις ασκήσεις επάνω στην ιστοσελίδα επισκεφτείτε την ιστοσελίδα και προσπαθήστε να δείτε τις ασκήσεις έχουν μπει παλιά θέματα των προόδων δείτε τα θέματα των προόδων δεν θα αλλάζουν έτσι ρυζικά αλλά θέλει να δοκιμάσετε να τα έχετε κάνει τις ασκήσεις δεν είναι τελείως να αναπτύξετε τόσο την θεωρία είναι να εξασκηθείτε και με τις ασκήσεις Να θυμίσω λοιπόν που βρισκόμασταν οι Πιθαγόροι είχαν ανακαλύψει ότι υπάρχουν κάποιες ποσότητες που παρόλο που είναι του ιδίου μεγέθους του ιδίου τύπου ποσότητες του ιδίου τύπου όπως το μήκος της ακμής ενός τετραγόνου και το μήκος της διαγωνίου τετραγόνου που δεν μπορούσαν να συγκριθούν έτσι όπως είχαν αυτή την ιδέα της σύγκρισης ότι υπάρχει μια μικρή μικρή μονάδα σε οποία σακέρια πολλαπλάσια θα είναι και η ακμή για το παράδειγμα που ανέφερα προηγουμένως αλλά και η διαγώνιος το οποίο όπως είδαμε αντιστοιχεί στο να δείξουμε ότι αν πάρει κανείς το μήκος της διαγωνίου προς το μήκος της ακμής αυτό εδώ το κλάσμα γίνει να είναι κάποιος ρητός αριθμός έτσι τα έχουμε δει αυτά αυτό το βρήκαν είναι μια γνώση που υποτίθεται ότι την είχαν οι Πιθαγόροι Στη συνέχεια κάποια στιγμή ήρθε ο Εύδοξος και έδωσε έναν άλλο ορισμό για τους λόγους καταρχήν είπε ότι δύο ποσότητες έχουν λόγο αν μπορούν να συγκριθούν με την έννοια ότι ένα πολλαπλάσιο της μιας θα ξεπερνάει την άλλη δεν χρειάζεται να υπάρχει κάτι μικρό πολλαπλάσιο του οποίου θα είναι και το ένα και το άλλο αρκεί πολλαπλάσιο του ενός μεγέθου να ξεπερνάει το άλλο το μέγεθος έτσι για παράδειγμα αν πάρει κανείς την ακμή του τετραγόνου και τη διαγώνιου του τετραγόνου η διαγώνιος του τετραγόνου είναι ρίζα 2 επί την ακμή η ακμή αν την πολλαπλασιάσεις με το 2 ή με το 3 θα ξεπεράσει τη διαγώνιος συγκρίνονται λοιπόν μίλησε λοιπόν για λόγους και ξεπέρασε αυτό το ζήτημα πότε συγκρίνονται δύο ποσότητες και στη συνέχεια έδωσε έναν ορισμό πότε δύο λόγοι είναι ίση και για να είναι η λόγη ίση έτισε ότι θα πρέπει για κάθε διάδα ακαιρέων 1,1 για τους οποίους να ισχύει μια σχέση στον έναν λόγο να ισχύει αδύστοχη σχέση και στα στοιχεία που απαρτίζουν το δεύτερο λόγο κάπου εκεί είπαμε ότι αυτό υπήρξε έμπνευση για τον Ντέδικιν για να ορίσει ο ίδιος αξιωματικά για να κάνει την αξιωματική θεμελίωση των πραγματικών αριθμών και μιλήσαμε για τις τομές του Ντέδικιν ότι ο Ντέδικιν εμπνεύστηκε από τον έυδοξο το παραδέχτηκε ο ίδιος το είπε ο ίδιος δεν έχει κάτι να παραδοχεί η ιδέα του Ντέδικιν είναι πολύ όμορφη ο Ντέδικιν προσπάθησε λοιπόν να ορίσει αξιωματικά τους πραγματικούς αριθμούς εδώ είναι η φωτογραφία του Ντέδικιν 1830 έως το 1916 κοιτώνουμε αυτό το βλέπουμε κι αλλού όχι μόνο για τη θεμελίωση των πραγματικών αριθμών αλλά με πολλές συμβολές σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών για να δούμε λοιπόν πως πάει αυτή η αξιωματική θεμελίωση και να το συνδέσουμε με το πως όρισε ο έυδοξος τους λόγους και πως μπορεί να έχει αυτή την έμπνευση ο Ντέδικιν από τον τρόπο που όρισε τους λόγους του ο έυδοξος τι έχουμε σε κάθε περίπτωση ξεκινάμε από τους πυσικούς αριθμούς από τους πυσικούς αριθμούς μπορούμε να φτιάξουμε τους ακεραίους έτσι παίρνουμε τους αντίθετους φτιάχνουμε τους ακεραίους από τους ακεραίους μπορούμε να φτιάξουμε τους ριτούς παίρνοντας τα κλάσματα έχουμε φτάσει λοιπόν μέχρι σε εδώ ξεκινώντας από τους πυσικούς αριθμούς μπορούμε να φτιάξουμε όλους τους ριτούς πραγματικοί αριθμοί ξέρουμε ότι απαρτίζονται από τους ριτούς και από τους άριτους και ήδη σχολιάστηκε την προηγούμενη φορά ότι δεν είναι όλοι οι άριτιοι οι ίδιοι έτσι υπάρχουν οι υπερβατικοί υπάρχουν οι αλληλευρικοί απλά για να δούμε ότι δεν είναι όλοι οι ίδιοι ήσοι οι άριτιοι με τις ίδιες ιδιότητες ενώ έχουμε λοιπόν το σύνολο των ριτών στο σύνολο των ριτών ο Ντέδικιν λέει φτιάχνουμε το ΜΕΣ τι είναι η το ΜΕΜΕ όσοι πήρατε ένα μάθημα αξιωματικής θεμελίωσης πραγματικής ανάλυσης κατά πάσα πιθανότητα θα τα έχετε δει αυτά ή θα τα δείτε για εσάς λοιπόν αυτό το κομμάτι είναι επανάληψη για τους άλλους να πάγουμε μια ιδέα στο συγκεκριμένο παράδειγμα κάνω την το ΜΕΜΕ που αντιστοιχεί στη ρίζα του 2 θα χωρίσω τους ριτούς αριθμούς γιατί αυτοί είναι οι αριθμοί με τους οποίους δουλεύω δεν έχω γνώση των πραγματικών προσπαθώ να φτιάξω τους πραγματικούς είμαι λοιπόν στους ριτούς και τους χωρίζω τους ριτούς κάνω μια διαμερήση από δύο σύνολα διαμερήση δύο σύνολα που δεν έχουν τίποτα κοινό από τη στιγμή που φτιάχνω το ένα σύνολο το άλλο το σύνολο θα είναι το συμπλήρωμα έτσι αρχί λοιπόν να πω ποιο είναι το ένα από τα δύο σύνολα ποιες είναι οι ιδιότητες αυτής της διαμέρυσης του πρώτου σύνολου του σύνολου α το οποίο φτιάχνω για τη ρίζα του 2 έτσι για κάθε άλλο αριθμό μπορώ να φτιάξω μια αντίστοιχη το ΜΕΜΕ του Δέδικιν Ποιο είναι λοιπόν το σύνολο α που φτιάχνει ο Δέδικιν λέει θα πάρω όλους τους ριτούς κοιτάζω όλους τους ριτούς που είτε είναι αγνητικοί έτσι είναι το δεύτερο κομμάτι είτε είναι αγνητικοί είτε θα πάρω τους ριτούς που το τετράγωνό τους αν είναι θετικοί θέλω ακόμα και αυτούς που το τετράγωνό τους να είναι μικρότερο από το δύο με άλλα λόγια μπαίνουμε όλους τους ριτούς που η τετραγωνική τους ρίζα είναι μικρότερη από τη ρίζα του δύο αυτό είναι το α είναι όλοι οι ρητοί που η τετραγωνική τους ρίζα είναι μικρότερη από το δύο μαζί και όλοι αρνητικοί τα δύο σύνολα που φτιάχνουν το α δεν έχουν και μη το μη αλλά περιγράφουν πλήρως το α το β τώρα είναι το συμπλήρωμα του α όταν λέμε το μη εννοούμε αυτή τη διαμέριση το ένα είναι το α και το άλλο είναι το συμπλήρωμα και στις ιδιότητες που έχει το α για να ορίζει δεν είναι όλες οι διαμερίσεις το μες του τετραγωνικού για να έχουμε μία το μη του τετραγωνικού θα πρέπει το σύνολο α να έχει τις παρακάτω ιδιότητες θα πρέπει να μην έχει μέγιστο στοιχείο στους ριτούς θα πρέπει να μην υπάρχει ένα στοιχείο στους ριτούς έτσι γιατί εκεί ορίζεται δεν έχουμε ακόμη δεν ζούμε έξω από τους ριτούς δεν έχει λοιπόν μέγιστο στους ριτούς δεν υπάρχει ένα στοιχείο ένας ριτός που να είναι μέσα σ'αυτούς μέσα σ'αυτό το σύνολο που να ανήκει στο α και να είναι μεγαλύτερο από όλα έτσι δεν υπάρχει ένα στοιχείο στο α που να είναι μεγαλύτερο από όλα τα άλλα τα στοιχεία και κάθε φορά που έχω κάτι που είναι που έχω ένα χ που είναι στο α και το ψ να είναι μικρότερο του χ τότε το ψ ανήκει στο α έχει άλλη μια ιδιότητα που έχει το α που την καταλαβαίνουμε αν κοιτάξουμε το β και γι' αυτό την έχω βάλει έτσι τα στοιχεία του β λάξεις τυπογραφικό τα στοιχεία του β πρέπει να είναι μεγαλύτερα του α έτσι το μικρότερα εδώ είναι τυπογραφικό σε αυτή τη διαφάνεια θα πρέπει να είναι μεγαλύτερα του α έχουμε χωρίσει έτσι τους ριτούς σε αυτά τα δύο σύνολα και η ριζα δύο πού πηγαίνει εδώ λέει κάθε φορά που κάνεις μία τέτοια το μοι κοιτάζεις στο β για το α ξέρεις ότι το α δεν έχει μεγαλύτερο στοιχείο κοιτάζεις όμως στο β το β αποτελείται και αυτό από ριτούς εάν μένει το β έχει μικρότερο στοιχείο τότε το μικρότερο στοιχείο αυτό είναι ριτός και αυτή η το μ αντιστοιχεί στο ριτό αυτό ρυθμό στο μικρότερο στοιχείο μπορεί όμως το β να μην έχει μικρότερο στοιχείο αυτό σημαίνει ότι η το μ έχει δημιουργήσει έναν καινούριο ένα καινούριο στοιχείο αντιστοιχεί στον πραγματικό αριθμό ο οποίος δεν είναι ριτός έτσι η ρίζα του δύο αντιστοιχεί σε αυτή τη τομή γιατί το β έτσι που είναι όλα τα στοιχεία τα οποία είναι εκτός του α δεν πρέπει να είχα βάλει χ τετράγωνο μικρότερο ίσο του δύο έτσι θα διορθωθούν αυτά δεν έχει μικρότερο ίσο δεν έχει και πολύ μεγάλη σημασία δεν έχει το β δεν έχει μικρότερο στοιχείο η τομή λοιπόν αυτή που έχω φτιάξει η διαμέριση του κοιτάζουμε αφορετικά παίρνουμε όλες τις τομές που μπορούμε να φτιάξουμε όλες οι τομές αντιστοιχούν σε κάτι αντιστοιχώ κάθε τομή σε κάτι εάν με το β έχει μικρότερο στοιχείο αυτό το κάτι είναι ριτός ήδη δεν έχω προσθέσει κάτι έτσι βλέπω ότι οι ρητοί ζουνε μέσα σ' αυτές τις τομές αντιστοιχούν σε κάποια τομή εάν μεν το β δεν έχει μικρότερο στοιχείο έχουμε δημιουργήσει έναν καινούργιο πραγματικό αριθμό στη συγκεκριμένη περίπτωση τη διάδα που έφτιαξα προηγουμένως αυτή είναι η αντιστοιχή στην δετραγωνική ρίζα του δύο με αυτόν τον τρόπο οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να θεμελιωθούν σαν διάδες υπάρχουν βέβαια και άλλα βήματα έτσι πρέπει κανείς να ορίσει την πρόσθεση στις διάδες να ορίσει τον πολλαπλασιασμό στις διάδες γιατί κάνει την αντιστοιχία ανάμεσα σε διάδες αυτό που σκέφτεται σαν διάδες είναι αξιωματική θεμελίωση των πραγματικών αριθμών ξεκινώντας από τους ρητούς παρένθεση υπάρχουν και άλλοι τρόποι για να ορίσει κανείς αξιωματικά τους πραγματικούς αριθμούς ένας τρόπος να το κάνει με ακολουθίες του COSY δε θα μας απασχολήσουν τώρα εκείνο το οποίο θέλω να τονίσω είναι τη σύνδεση ανάμεσα σε αυτές τις τομέες του Dedekind και στους λόγους που έχει κάνει ο Εύδοξος αυτό είναι κάτι σχηματικό μας λέει ποιο είναι το σύνολο α, το σύνολο α είναι το κόκκινο το σύνολο β είναι όλοι οι ρητοί που είναι στο μπλε κομμάτι για να δούμε λοιπόν ποια είναι η σχέση αυτών των τομών μαζί με αυτά τα οποία έχει πει ο Εύδοξος για να δούμε για τον Εύδοξο ο λόγος ρήσα 2 προς 1 έχει νόημα να θυμίσω τώρα σύμφωνα με τον Εύδοξο πότε αυτός εδώ ο λόγος είναι ίσως με κάποιο λόγο α προς β Τι μας λέει ο Εύδοξος για κάθε διάδα 1,1 έτσι παίρνουμε μια τυχαία διάδα 1,1 από ακεραίους έτσι αυτό ανήκει το γράφω με τη μοντένα γραφή αυτό ανήκει και τα δύο είναι ακέραιοι έτσι κοιτάζουμε τι γίνεται αν n επί ρίζα 2 είναι μικρότερο του n αν το m επί ρίζα 2 είναι μικρότερο του n τότε και το m επί α είναι μικρότερο από το β αν λοιπόν ισχύει αυτό μας λέει ο Εύδοξος τότε το m επί α είναι μικρότερο του β μας λέει ακόμη ο Εύδοξος παίρνω μια άλλη διάδα αν m επί ρίζα 2 είναι ίση με το n εντάξει εμείς τώρα δεν χρειάζεται να πάμε παρακάτω γιατί ξέρουμε ότι αυτό δεν μπορεί να γίνει έτσι άρα αυτό είναι κενό αν ισχύει αυτό εντάξει εμείς ξέρουμε ότι δεν θα γίνει ποτέ αυτό γιατί το ρίζα 2 δεν είναι ρητός άρα ποτέ το m επί ρίζα 2 δεν θα είναι ίσο με το n επί 1 αυτό θα σημαίνει ότι το ρίζα 2 είναι 1% άρα αυτό δεν χρειάζεται να παρακολουθήσουμε παρακάτω δεν μας προσθέτει κάτι έτσι δεν έχει μια διάδα αυτές οι διάδες δεν υπάρχουν υπάρχουν όμως και διάδες με την ιδιότητα m του ρίζα 2 να είναι μεγαλύτερο του n επί 1 έτσι m επί ρίζα 2 να είναι μεγαλύτερο του n επί 1 στην περίπτωση αυτή θα πρέπει το m επί α να είναι μεγαλύτερο του n επί β στην ουσία τι κάνει ο Ευδοξός και ποιο είναι το σημείο που πήρε ο Ντέδικιν είναι ότι παίρνει αυτές τις διάδες της Ζυβυζή, εμείς ξέρουμε ότι σε αυτές τις διάδες τις αντιστοιχούμε το 1,1 λοιπόν αντιστοιχεί στους ρητούς κοιτάζουμε στους ρητούς έχουμε αυτήν εδώ την αντιστοιχία της διάδας 1,1 στους ρητούς και τι κάνει ο Ευδοξός χωρίζει τους ρητούς χωρίζει τις διάδες σε κατηγορίες τι είναι οι κατηγορίες για τη συγκεκριμένη αυτή περίπτωση που αντιστοιχεί στο ρήζα 2 η κατηγορία που έχει αυτήν εδώ την ιδιότητα m επί ρήζα 2 να είναι μικρότερη του n ο ρητός m προς 1 να είναι αν λύσουμε αυτό εδώ μια κατηγορία λοιπόν είναι οι διάδες m,1 έτσι ώστε το m επί ρήζα 2 να είναι μικρότερο του n για αυτές τις διάδες πρέπει να ισχύει κάτι και άλλη κατηγορία είναι οι ρητοί για τους οποίους ισχύει ότι m επί ρήζα 2 να είναι μεγαλύτερο του m για αυτές πρέπει να ισχύει κάτι άλλο στην ουσία ο Ευδοξός χωρίζει τους ρητούς σε δύο συνόλα το ένα συνόλο των ρητών έτσι των βιάδων τους η επιζή είναι αυτή η των θετικών εντάξει με αυτά ασχολείται ο Ευδοξός δεν υπήρχε η έννοια των ανητικών αριθμών τότε ασχολείται μόνο με θετικούς ακεραίους αλλά μια κατηγορία είναι αυτή για την οποίαν ισχύει αυτή εδώ η σχέση και άλλη κατηγορία είναι αυτήν για την οποίαν ισχύει η παρακάτω σχέση εδώ η μ' πρώτη σχέση να τη βάλω αστεράκι η σχέση αστεράκι λέει ότι m προς n είναι μικρότερο του ρήζα 2 η δεύτερη σχέση μας λέει έτσι η πρώτη σχέση για να το βάλω σωστά μας λέει ότι m προς m είναι μεγαλύτερο του ρήζα 2 εντάξει καλά το είχα και πριν ενώ η δεύτερη σχέση μας λέει ότι m προς m η σχέση δύο αστεράκι εδώ θα μας πει ότι m προς m διαιρώμε το m είναι μικρότερο του ρήζα 2 έχει χωρίσει και αυτή έχει χωρίσει ο έδοξος όπως κάνει ο Δέντεκιν όπως το κάνει ο Δέντεκιν μετά έχει χωρίσει στην ουσία τους ρητούς αριθμούς σε αυτά τα δύο σύνολα έχει κάνει ήδη τη διαμέριση αυτό είναι το σημείο και είναι όμορφο να το σκεφτεί κανείς πως πήρε την έμπνευση του ο Δέντεκιν από τον τρόπο που όρισε ο έδοξος τους λόγους από τον ορισμό που έδωσε ο έδοξος για τις αναλογίες για τους λόγους ανέφερα αναφέρω και αυτά εδώ όχι γιατί έχουνε τόσο θα τα μελετήσουμε από μαθηματική άποψη τότε εκείνη την εποχή εκτός με μαθηματική περισσότεροι ήταν και φιλόσοφοι και αστρονόμοι έτσι ο έδοξος και είναι ενδιαφέρον αυτός το τελευταίο είναι το πλανητικό του σύστημα η Καμπίλη υποπέδες αλλά προσπάθησε να περιγράψει το πως δουλεύει το πλανητικό σύστημα και είχε τις απόψεις του σύμφωνα που τις χρησιμοποίησε και ο Αριστοτέλης ενδιαφέροντα πράγματα ενδιαφέροντας Καμπίλης Εντάξει, δύσκολο να πει κανείς ότι ο Αριστοτέλης είναι μαθηματικός, είχε όμως μεγάλη και συμβολή στα μαθηματικά όπως είχε και ο Πλάτωμος και η μεγάλη συνησφορά του Αριστοτέλης στην εξέλιξη των μαθηματικών είναι ότι έδισε τις βάσεις της λογικής και αυτό που ξεκίνησε να κάνουν οι συνεχείς αναφορές στις μαθηματικές έννοιες και θεωρήματα