Διάλεξη 11 / Διάλεξη 11 / Διάλεξη 11 - Ζιούτας Γεώργιος (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Διάλεξη 11: Σήμερα θα μιλήσουμε για κρίσιμες κατανομές, αλλά για συνεχή τυχαία μεταβλητή. Οι κυριότερες που θα μιλήσουμε σήμερα είναι οι ομοιόμορφοι για την οποία έχουμε αναφερθεί σε διάφορα παραδείγματα οι προβλήματα που λύσαμε τα προηγούμενα μαθήματα. Τη γνωρίζετε δηλαδή λίγο πολύ. Μετά είναι οι εκθετικοί και γι' αυτήν έχουμε αναφερθεί παραδειγματικά οι οποίοι παριστάνε τον χρόνο λειτουργίας ενός ηλεκτρικού συστήματος το οποίο παθαίνει βλάβη τυχαίας τον χρόνο. Και μετά θα μιλήσουμε για την κανονική. Αυτές είναι οι κυριότερες, τρεις από διώτερες, οι πιο δημοφιλείς χρήσιμες κατανομές, αλλά υπάρχουν και αρκετές άλλες ανάλογα με το πρόβλημα του μηχανικού όπως είναι η Weibull, η Γ, η λογαριθμοκανονική και αρκετές άλλες. Δεν μπορεί κανένας να τις αναφέρει όλες τώρα και να τις αναπτύξει. Εμείς μιλάμε για τις υποδιώτερες. Στην υπογή και πέρα ο κάθε μηχανικός μπορεί να αναπτύξει ανάλογα με το πρόβλημά του, να εξειδικηθεί σε κάποιες άλλες κατανομές. Ας αρχίσουμε με την ομοιόμορφη. Πότε μία τυχαία μεταβλητή ηχή λέμε ότι ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή, όταν παίρνει τυχαία τιμές, ισοπίθανα τιμές, με την ίδια συχνότητα από το Α μέχρι το Β. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι μία σταθερά. Έχει έναν σταθερό ύψος όπως συνηθίζουμε να λέμε Σ, το οποίο βέβαια ισούνται με ένα προς Β-Α, γιατί το εμβαδόνα αυτό ισούνται με ένα, άρα αυτοί εδώ πέρα ισούνται με ένα προς Β-Α. Η αθρηστική της που παριστάνει την πιθανότητα τυχαία μεταβλητή να πάρει τιμές πριν από το Χ μικρό, είναι αν θυμάστε Χ-Α προς Β-Α. Και αν βάλουμε εδώ πέρα από Χ το Β, πέντη τιμή 1. Αυτή είναι η αθρηστική. Η μέση τιμή την είχαμε βρει σε κάποιο πρόβλημα που ασχοληθήκαμε, ότι ισούνται με Ά-Κ-Β δεύτερα. Και επίσης είχαμε φύγει για τη διακύμανση, μπορούμε να τη βρούμε σύμφωνα με τον ορισμό, αν θυμάστε ήταν Β-Α εις το δετράγωνο 12. Αυτή είναι η ομοιόμορφη και ένας μηχανικός τη χρησιμοποιεί, όταν το μέγεθος παίρνει ισοπίθαρα τιμές από την αρχή του πεδίου τιμών μέχρι το τέλος, μέχρι το αλλατερό σημείο. Ότι δεν παίρνει με μεγαλύτερη συχνότητα προς τιμές της τιμή της και με μικρότερη προς τα άκρα, παίρνει ισοπίθαρα ομοιόμορφα τιμές από το Ά-Κ-Β. Αυτή είναι αρκετά χρήσιμη κατανομή. Βέβαια ο τύπος της είναι εύκολος τόσο για την αθριστική όσο για τη συνάστηση, πυκνότητας, πιθανότητας, είναι σαφερή αλλά είναι επίσης γνωστή στους μηχανικούς από τη γέννηση τυχαίων αριθμών. Κάθε υπολογιστής έχει μία ροτίνα, τη randu, η οποία δημιουργεί τυχαίος αριθμός. Άρα ανοίξτε τον υπολογιστή σας και καλέσετε τη randu και ζητήσετε να σας δώσει έναν τυχαίος αριθμός από το 0 μέχρι το 1. Μιας τυχαίας νταυλτητής, η οποία ακολουθεί uniform ομοιόμορφη κατανομή από το 0 μέχρι το 1. Θα σας δώσει έναν τυχαίος αριθμός όσους θέλετε. Και πώς το κάνει αυτό, υπάρχουν διάφορες μέθοδες με τις οποίες δημιουργούνται, παράγονται τυχαία αριθμή. Κάποιος που πρακτικά μπορούσε να ανοίξει τον κατάλογο του τηλεφωνικού και να παίρνει το τελευταία ψηφία και να τα μεταφέρει σε κλίμακα δεκαδικών. Ή κάποιος μπορεί να διαιρεί οι δύο κέριους αριθμούς και να παίρνει το τελευταίο ψηφίο από το υπόλοιπο της διαιρείς τους. Υπάρχουν οι μάσες περιπτώσεις σε μια περιοχή που λέγεται σημειουλέσσια στην προσωμίωση. Εκεί πέρα υπάρχουν αυτές τις τεχνικές που δημιουργούν τυχαίες αριθμούς. Και οι τυχαίες αριθμοί μιας κατανομής ξεκινάνε από τους τυχαίους αριθμούς ομοιόμορφης κατανομής. Και αν θέλουμε δηλαδή να παράγουμε τυχαίες αριθμούς μιας άλλης κατανομής, όχι ομοιόμορφης, ας πούμε μιας εξειδικής κατανομής που είχε αυτήν τη συνάντηση πιθανότητας, που ήταν λαμπά που έχει τη μειον λαμπά χ, τότε θα πάρουμε την αθρηστική της, η οποία ήταν ένα μειον αίηση μειον λαμπά χ, η οποία έχει αυτήν τη μορφή. Σαν μέχρι το 1. Αυτή είναι η αθρηστική. Από αυτή την περίπτωση η αθρηστική εδώ πέρα, αν κάνουμε την αθρηστική, από το 0 ή από το α μέχρι το β, η αθρηστική εδώ πέρα είναι μια γραμμή η οποία φτάνει μέχρι το 1. Αυτή εδώ πέρα η συνάντηση έχει αυτή εδώ πέρα τη μορφή. Από το α μέχρι το β είναι αύξουσα και μετά είναι σταθερή, ανεβαίνει μέχρι το 1. Αυτή είναι η αθρηστική. Οι τυχαίοι αριθμοί που δημιουργούνται από τον υπολογιστή με τη ροτίνα είναι της κατανομής uniform από 0 μέχρι 1, τυχαίοι αριθμοί μεταξύ 0 και 1. Και εάν όμως εγώ θέλω να δημιουργήσω τυχαίους αριθμούς οι οποίοι ακολουθούν μια άλλη κατανομή, ας αλλάξουμε το συμβολισμό ψ, δημιουργούμε πρώτα ένα τυχαίος αριθμός χ από τον υπολογιστή και μετά τους τοποθετούμε πάνω στην κλίμακα της αθρηστικής από την οποία θέλουμε να δημιουργήσουμε τυχαίους αριθμούς. Παίρνουμε το χ1, το τοποθετούμε εδώ πέρα και κινούμαστε αντίστροφα και παίρνουμε το ψ1. Μετά παίρνουμε το χ2, τυχαίος αριθμός της uniform, κινούμαστε αντίστροφα και δημιουργούμε τον ψ2. Και τελικά δημιουργούμε μια ακολουθία ψ1, ψ2, ψ3 μέχρι ψ1 και αυτή είναι η τυχαία αριθμή μιας άλλης κατανομής. Γιατί ο μηχανικός ανάλογα με το πρόβλημα μπορεί να μην θέλει τυχαίος αριθμός ομοιόμορφης κατανομής, να θέλετε δικής, να θέλει κανονικής, γιατί κάνει το simulation που θα ασχοληθείτε αργότερα όσοι δεν έχετε ασχοληθεί. Εκεί πέρα θα καλείται στο πείραμα που τρέχει ο υπολογιστής, θα καλείται τη γέννηση τυχαίων αριθμών με κάποια μέση τιμή, με κάποια παράμετρα λάμδα και τα λοιπά αλλά αυτοί δημιουργούνται όπως λέμε από τους τυχαίους αριθμούς της ομοιόμορφης κατανομής. Γι' αυτό και η ομοιόμορφη είναι αρκετά χρήσιμη γιατί τη χρησιμοποιούμε και για τη γέννηση τυχαίων αριθμών. Δηλαδή εδώ πιο συγκεκριμένα σας το έδειξαν σχηματικά πώς παίρνουμε τους τυχαίους αριθμούς της ομοιόμορφης, βάζουμε πάνω εδώ και κινούμαστε αντίστροφα. Αν το εκφράσουμε αυτό μαθηματικά έχουμε ότι ο αριθμός x1, ας το πούμε ο καθαριθμός x της ομοιόμορφης παίρνει τιμές από 0 μέχρι 1 και αυτό συσσούνται με μία τιμή της αθληστικής εδώ, που είναι όπως είπαμε ένα μίον λαμδα ψ και από εδώ εγώ αν θέλω να λύσω αντίστροφα, δηλαδή βάζω το χ εδώ που είναι μια τιμή της αθληστικής και εδώ κινούμαι αντίστροφα σχηματικά. Αυτό μαθηματικά τι λέει ότι θα λύσω την εξίρουσα αυτή με την αντίστροφη f να λύσω ως προς ψ. Και έχω εδώ πέρα δηλαδή ο λογάριθμος έχουμε χ μάλλον το πάει ένα μίον χ, ίσον με ε, ίσον με το λογάριθμο που είναι μία λαμδα ψ και εδώ πέρα βέβαια έχουμε τον λογάριθμο ένα μίον χ και στη συνέχεια από εδώ συνεπάει τελείωμα ως προς ψ και έχουμε ότι το ψ αυτό εδώ πέρα ισούται με μίον ένα προς λαμδα επί τον λογάριθμο το ένα μίον χ. Αυτός ο λογάριθμος είναι αρνητικός, έχει αρνητικό πρόσωπο και είναι θετικό και έτσι δημιουργούμε το ψ με την αντίστροφη συνάκτηση. Δηλαδή από εδώ παίρνουμε το ψ με την αντίστροφη της αθρηστικής, αυτό που δείξαμε σχηματικά. Ή αν θέλετε το παράδειγμα αυτό για κάθε τυχαίο αριθμό της uniform που παίρνουμε αυτό τοποθετούμε όπως είπαμε στην κλίμακα της αθρηστικής, της εκκληδικής που είναι αυτή η μορφή της και λύνουμε ως προς ψ. Αυτό κάναμε εδώ πέρα με το σχήμα. Λύνουμε ως προς ψ και παίρνουμε ένα τυχαίο αριθμό ψ. Μετά προχωράμε για κάθε χι-άι, παίρνουμε ραψι-άι και έτσι δημιουργούμε τυχαίους αριθμούς. Βέβαια το πολλά στατιστικά πακέτα σας δίνουν αμέσως, εάν θέλετε ένα τυχαίο αριθμό και πείτε εξοφική συσκατανομή, θα σας δώσουν ψ-1 ψ-2 ψ-3 ψ-1, αρχίζει να δηλώσετε για ποιο λάμπρα θέλετε. Δεν θα κάνετε αυτή τη διαδικασία εσείς σε ένα στατιστικό πακέτο, θα σας δώσει απευθείας. Αλλά καλό είναι να ξέρετε πως δημιουργούνται, αφού κάνουμε και τη θεωρία των πληθυρωτήτων, πως δημιουργούνται τυχαίοι αριθμοί με βάση τους τυχαίους αριθμούς ομοιόμορφης. Εδώ το δείξαμε συσχηματικά και εξηγήσαμε πως θα γίνει. Αλλά γιατί όμως αυτά τα ψ-1 ακολουθούν την εκτιτική κατανομή, υπάρχει το σχετικό θεώρημα μέσα στο βιβλίο που το τεκμεριώνει αυτό. Δεν έχουμε πολύ χρόνο γιατί αύριο δεν θα γίνει μάθημα, όπως ξέρετε, γιατί έχει κάποιο συνέδριο και το τμήμα αποφάσης είναι να μην γίνουν μαθήματα αύριο. Γιατί αύριο ήταν στο σχέδιο να κάνουμε αρκετές ασκήσεις και προβλήματα. Για αυτό το θεώρημα, αυτή τη θεωρητική απόδειξη, μαθηματική απόδειξη, γιατί το ψ θα ακολουθεί την εκτιτική κατανομή αν εδώ πάρω την αθληστική της εκτιτικής και πάρω μετά βασικά 1 τυχαία στους αριθμούς ομοιόμορφης, γιατί αυτή η αριθμή θα ακολουθούν αυτήν την κατανομή, υπάρχει και το σχετικό θεώρημα. Λοιπόν, και να προχωρήσουμε στην εκτιτική. Δεν έχουμε να πούμε περισσότερα. Αρκετά παραδείγματα υπάρχουν στο βιβλίο, έχουμε λύση με την ομοιόμορφη, γιατί δεν έχει τίποτα το ιδιαίτερο πέρα από αυτό, και να προχωρήσουμε στην εκτιτική. Έστω ότι έχουμε μία ποασόν κατανομή, έχουμε μία ποασόν, μία τυχαία μεταβλητική παριστάνει, σε χρόνο π, τον αριθμό των γεγονότων, που μπορεί να είναι 0, 1, 2, κτλ. Η συνάρτηση μας, πιθανότητας εδώ πέρα, αν θυμάστε, ήταν η θυμία λαμδαπιτάφ, επί λαμδαπιτάφης τυχή, διαχεί παραγωτικό. Αυτή οφείλεται στην ποασόν. Και εδώ πέρα, μέσα σε ένα χρονικό διάστημα, συμβαίνουν τυχαία γεγονότα της ποασόν, τα οποία τα είχαμε ονομάσει α, και το ενδιάμιστο τώρα χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δύο διαδοχικά γεγονότα εδώ, συμβαίνει ένα γεγονός α, το χ, τ, παριστάνει τα γεγονότα που συμβαίνουν σε χρονικό διάστημα τ, συμβαίνει ένα άλλο, εδώ συμβαίνει ένα άλλο πιο μακριά, και ούτω καθεξής. Το ενδιάμιστο διάστημα, το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δύο διαδοχικά γεγονότα της ποασόν, όπως βλέπετε στο σχήμα, το παριστάνουμε με τη μεταβελτητή τ, που παριστάνει χρόνο. Εντάξει, μπορώ να το παραστήσω και με χ ή με ψ, αλλά τώρα το παριστάνω με τ για να μας διευκολύνει. Αυτή η τ είναι τυχαία μεταβελτή, εδώ είναι πιο μικρή, παίρνει πιο μικρή τιμή, πιο πέρα παίρνει μεγαλύτερη, ούτω καθεξής. Η τ, λοιπόν, η οποία παριστάνει το χρόνο ή το διάστημα ανάμεσα σε δύο διαδοχικά γεγονότα της ποασόν, είναι τυχαία μεταβελτή και θα βρω την συνάρτηση, πυκνότητας πιθανότητας, η οποία θα πάρει το διαφορικό της αθροιστικής, θα παρακολουθήσει την αθροιστική και η αθροιστική της, με τι ισούται, είναι η πιθανότητα το μέγεθος αυτό να είναι μικρό το ίσο με το τ μικρό, το οποίο ισούται με ένα, μία είναι την πιθανότητα του συμπληρωματικού, το τ να είναι μεγαλύτερο από το τ μικρό. Και αυτό δηλαδή ισούται με ένα, μία. Ποια είναι η πιθανότητα το χρονικό διάστημα από το ένα γεγονός μέχρι το άλλο να είναι μεγαλύτερο από αυτό το συγκεκριμένο τ μικρό. Ποια είναι η πιθανότητα το διάστημα μέχρι το επόμενο γεγονός α, να είναι μεγαλύτερο από αυτό το συγκεκριμένο διάστημα τ μικρό. Το γεγονός ότι ο χρόνος μέχρι το επόμενο γεγονός α είναι μεγαλύτερο από τ μικρό, σημαίνει ότι εδώ μέσα δεν θα συμβεί άλλο γεγονός α. Δηλαδή στο διάστημα τ μικρό θα συμβούν μηδέν γεγονότα στην ποασόν. Δηλαδή αυτή η πιθανότητα είναι το χ τ, ο αριθμός γεγονότος σε χρόνο τ μας ενδιαφέρει εδώ, να είναι μηδέν. Δηλαδή μέσα σε αυτό το διάστημα να μη συμβεί άλλο γεγονός, μηδέν γεγονότα. Και αυτό σύμφωνα με τον τύπο είναι ε ηθιμίον λεπιτάφ. Άρα λοιπόν αυτό το γεγονός εδώ είναι ισοδύναμο με αυτό στην ποασόν, του οποίου η πιθανότητα είναι αυτή. Άρα αυτό έχει πιθανότητα ε ηθιμίον λεπιτάφ. Έτσι βρήκαμε την αθληστική του χρόνου ανάμεσα σε δύο δεδοχικά γεγονότα της ποασόν, που ο τύπος είναι αυτός εδώ ένα, μειονέη στη μειον λεπιτάφ, όπου λεπιτάφ προφανώς είναι ο μέσος αριθμών γεγονότων α σε θεμονάα του χρόνου. Και αν παραγωγήσουμε την αθληστική εδώ πέρα, αν το παραγωγήσουμε αυτό δίνει λεπιέτη στη μειον λεπιτάφ. Αυτή είναι η συνάντηση πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου ανάμεσα σε δύο δεδοχικά γεγονότα της ποασόν. Αυτή είναι βέβαια η αθληστική της και γεννήθηκε εκτιτική από την ποασόν. Η ποασόν παριστάνει αριθμό γεγονότων σε χρόνο τάφ. Η αθληστική παριστάνει, είναι συνεχή στοιχεία μεταλλογητική, παριστάνει χρόνο ανάμεσα σε δύο δεδοχικά γεγονότα. Ή αν θέλετε χρόνο μέχρι το επόμενο γεγονός α. Μοιάζει λίγο με τη γεωμετρική. Είπαμε ότι η ποασόν μοιάζει με τη διονυμική, γιατί η διονυμική, η τυχαία μεταλλογητική παρίστανε αριθμό εμφάνισης του α σε έναν δοκιμές, ενώ στην ποασόν παριστάνει αριθμό εμφάνισης του α σε χρόνο τάφ και όχι δοκιμές. Και η γεωμετρική παρίστανε αριθμό δοκιμών μέχρι την εμφάνιση του γεγονότος α, ενώ η εκκλητική δεν παριστάνει αριθμό δοκιμών μέχρι την εμφάνιση του επόμενου α, αλλά παριστάνει χρόνο. Και είναι συνεχή στοιχεία μεταβλητή. Η μέση τιμή μιας τέτοιας τυχαίας μεταβλητής του τάφ, μπορούμε στο εξής να το συμβολίζουμε το τάφ και με χ. Δεν έχουμε κανένα πρόβλημα, αφού έχουμε εξηγήσει πώς γεννήθηκε αυτή η ποασόν. Χρησιμοποίησα δεφορτικά σύμβολα για να μην μπερδευτούμε. Τώρα μπορούμε γενικά να πούμε ότι μία τυχαία μεταβλητή χ, που παριστάνει διάστημα ή χρόνο, μπορεί να μην είναι ακριβώς χρόνος, να είναι διάστημα. Σε δύο δεδοχικά γεγονότα, έχει συνάντηση πυκνότητας πιθανότητας ευχή λ, επειδή έχει στιγμή λχ γενικά και η μέση τιμή της χ, το είχαμε κάνει αυτός ένα παράδειγμα, είναι το 1 προς λ, αυτό το λ που βλέπουμε είναι η μέση τιμή του χ. Και η διακύμανση της χ είναι το 1 προς λ στο δετράγωνο, πάλι και αυτό το είχαμε βρει. Επίσης η αθληστική της είναι 1 μοιονέχτι μοιον λχ, κι αν θέλω να υπολογίσω την πιθανότητα που συνήθως έχω, είναι η πιθανότητα του χ μεγαλύτερου του χ μικρό, είναι συνηθισμένη αυτή η πιθανότητα, έχει στιγμή λχ. Ποια είναι η πιθανότητα το μηχάνημα να λειτουργήσει πάνω από χ χρονικό διάστημα, να μην χαλάσει στο επόμενο χ χρονικό διάστημα, είναι έχει στιγμή λχ. Αυτή η τυχαία μεταβλητή χρησιμοποιείται πολλές φορές από τον μηχανικό, όπως είπαμε, κυρίως τους ηλεκτρολόγους, όταν το σύστημα, ο χρόνος λειτουργίας, παράδειγμα του συστήματος, εξαρτάται από τυχαία από κάποιες βλάβες που συμβαίνουν στο χρόνο μέσα, τυχαία, τυχαία από διάφορους εξωγενείς παράγοντες και όχι βλάβει από την ευθορά του μηχανήματος. Και γι' αυτό αυτή η τυχαία μεταβλητή έχει έλλειψη νύμης. Δηλαδή η πιθανότητα, αν ας πούμε το σύστημα έχει λειτουργήσει, έχει παρέλθει χρόνος S χωρίς να χαλάσει, αν έχει παριστάνει το χρόνο λειτουργίας και έχει παρέλθει χρόνος S χωρίς να χαλάσει, το χ είναι μεγαλύτερον του S σίγουρα, ποια η πιθανότητα συνολικά να λειτουργήσει S συν T, δηλαδή ποια η πιθανότητα χρόνος χωρίς να λειτουργείς να μην είναι μόνο S αλλά συν T στο μέρον που θα λειτουργήσει, αυτή η πιθανότητα δεν εξαρτάται από το S, δεν εξαρτάται από την παλαιότητα της λειτουργίας, από την παλαιότητα του συστήματος. Είναι υποσυντήκη η πιθανότητα, άμα πάρουμε την πιθανότητα της τομής αυτό και βιαιρέσουμε την πιθανότητα του S, έχουμε τελικά ότι αυτό εις ούτε με A στη μειον λάμδα T. Δεν εξαρτάται από το S. Είναι η πιθανότητα το H να είναι μεγαλύτερον του T. Αυτό τι μας λέει, μας λέει ότι ένα σύστημα, ας πούμε ελικτρικό, του οποίου ο χρόνος καλής λειτουργίας εξαρτάται από εξωγενείς παράγοντες που θα συμβούν τυχαία στον χρόνο και θα προκαλέσουν κάποια βλάβη, όπως ξέρω εγώ μπορεί να πάει ένα λελέκι σε ένα μετασχηματιστή που πάει συνήθως και προκαλεί εκεί πέρα κάποια ένωση. Ή πάνω σε μια ηλεκτρική γραμμή με στήλες κτλ πέφτει μια αστραπή. Ποιο του καν εξής. Αν δηλαδή υπάρχουν τυχαία γεγονότα στον χρόνο, τυχαία που του καταστρέφουν, τότε ο χρόνος καλής του λειτουργίας ακολουθεί από τη δική κατανομή. Και η πιθανότητα στο μέλλον να λειτουργήσει πάνω από 2-3 μήνες γενικά ταφ χρόνο, δεν εξαρτάται από την παλαιότητά του. Δεν εξαρτάται από το πόσο χρόνο έχει περάσει μέχρι σήμερα και λειτουργεί. Ενώ, αν το έχει πάρει στ' ένα χρόνο καλής λειτουργίας, μιας ας πούμε diesel μηχανής, που ο χρόνος καλής λειτουργίας δεν ακολουθεί από τη δική κατανομή, εξαρτάται από την παλαιότητα του μηχανήματος. Ο χρόνος να δουλέψει σωστά 2 χρόνια ή 3 ή ταφ χρόνο στο μέλλον, εξαρτάται από το πόσο χρόνο έχει περάσει, εξαρτάται από την παλαιότητά του. Γιατί εδώ πέρα, αν πάρεις το κλάσμα αυτό και βάλεις τα ακριβικά αυτά εδώ πέρα, γίνεται προποίηση και καταλήγει αίθιμοι λαμδατάφ. Με βάση περιπτώση, το λέμε αυτό γιατί έχει μεγάλη σημασία για τους ηλεκτρολόγους, όπου νομίζω ότι πολλά συστήματα ελεκτρικά, ο χρόνος λειτουργίας εξαρτάται από διάφορα τυχαία γεγονότα που του προκαλούν τη βλάβη και όχι από τη φθορά του μηχανήματος λόγω χρήσης. Μπορούμε αμέσως να πούμε ένα παράδειγμα, πριν περάσουμε στην κανονική, όπως θα εξηγήσουμε και άλλα παραδείγματα που υπάρχουν και μέσα στη ασκήση του τεστ. Ας πούμε ότι σε μία περιοχή είναι σεισμογενείς και συμβαίνουν κατά μέσο όρο, μπορούμε να δούμε να μετρήσουμε ας πούμε σε 100 χρόνια πόσες σεισμοί έγιναν και να βγάλουμε ένα μέσο αριθμό σεισμών ανά χρόνο. Και στη συνέχεια, εάν χ είναι το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε διαδοχικού σεισμούς, αν σεισμοί συμβαίνουν από ασών δεδικασία, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε για παράδειγμα την πιθανότητα να μη συμβεί σεισμός στα επόμενα δύο χρόνια. Λέμε ότι σε μία σεισμογενείη περιοχή έγιναν 16 ισχυροί σεισμοί στα 125 χρόνια που περάσαμε. Άρα, ο μέσος αριθμός σεισμών ανά χρόνο είναι 0,128. Είναι σεισμοί ανά χρόνο. Εάν χ είναι η τυχαία μεταβολιτή που παριστάνει το χρόνο ανάμεσα στους σεισμούς ή το χρόνο μέχρι τον επόμενο σεισμό, τότε το χ αυτό ακολουθεί εξαιτική κατανομή και η πιθανότητα στα επόμενα δύο χρόνια να μη συμβεί σεισμός είναι η πιθανότητα ότι η πιθανότητα του δοχή να είναι μεγαλύτερο του δύο. Και αυτό εδώ πέρα ισούται με αεισθημείων λάμδα επί δύο. Αυτό παριστάνει χρόνια. Πρέπει να συμφωνούν οι μονάδες του λάμδα. Του λάμδα αναφέρεται σε χρόνο. Εδώ πέρα η μονάδα μέτρησης του χρόνου είναι χρόνος το έτος. Άρα είναι αυτή η πιθανότητα η οποία βγαίνει με 0,022,078 περίπου. 78% είναι η πιθανότητα ότι δεν θα συμβεί σεισμός στα επόμενα δύο χρόνια. Ποιος είναι ο μέσος χρόνος επαναφοράς του σεισμού. Ποια είναι η περίοδος επαναφοράς ενός ισχυρού σεισμού. Κατά μέσο όρο κάθε πότε συμβαίνει ένας τέτοιος σεισμός. Είναι το εχ. Αφού χ παριστάνει το χρόνο ανάμεσα συνδετικούς σεισμούς. Το εχ παριστάνει το μέσο όρο ετών εμφάνισης του σεισμού. Την περίοδο επαναφοράς του σεισμού. Το οποίο είναι 1 προς λάμδα το οποίο ισούνται προφανώς με 125 προς 16 και αυτό εδώ δίνει 7,8 περίπου χρόνια. Αυτό είναι ένα απλό παράδειγμα της εκθετικής και θα κάνουμε στη συνέχεια και πολλά άλλα παραδείγματα με την εκθετική. Η οποία βέβαια μπορεί να συνδυαστεί και με την ποασόρα και να προχωρήσουμε λίγο στην κανονική. Λοιπόν, στην κανονική η οποία ομάζεται και Gauss, κατανομή Gauss, έχει το σχήμα μιας καμπάνας. Η fx ισούνται με 1 προς ρίζα 2π σίγμα 1 δεύτερον, x εις την μειον μη δια σίγμα στο δετράγωνο, ε εις την μειον 1 δεύτερον, x μειον μη δια σίγμα στο δετράγωνο. Είναι και αυτή η εκθετικής κατανομής, εκθετικής μορφής. Και το σχήμα της είναι σαν καμπάνα. Κάπου εδώ το μη αυτό είναι η μέση της μη, το σίγμα τετράγωνον, αυτό σίγμα τετράγωνον είναι η διακύμανση και εξαφανίζεται το άνοιγμα της καμπάνας. Κάπου εδώ είναι το μη πιν τέσσερα σίγμα και εδώ περίπου είναι το μη συν τέσσερα σίγμα. Θεωρητικά πάει συμπτωτικά μέχρι το συν άπειρο και μέχρι ξεκινάει το μειον άπειρο ασυμπτωτικά. Αλλά πρακτικά όμως είναι μέχρι το μη πιν τέσσερα σίγμα, από το μη μειον τέσσερα σίγμα μέχρι το μη συν τέσσερα σίγμα. Και πρέπει να προσέξει κανένας, αν ο μηχανικός θεωρήσει ότι το μέγεθός του ακολουθεί κανονική κατανομή, με κάποια μέση στιμή, αυτή είναι η μέση στιμή, αυτό το μη και το σίγμα που υπάρχουν εδώ στο οντύπο της συνάτησης πυκνότητας πιθανότητας, είναι η μέση στιμή και διακύμανση. Και αυτό βέβαια αν πάρει κανένας τη μέση στιμή της χ, και ολοκληρώσει από μειον άπειρο μέχρι συν άπειρον, την χ, αυτή την έφχη χ που έχουμε δεχεί, μετά από αρκετές πράξεις θα βγει άλλη μη. Και αν πάρει τη διακύμανση της χ, το σίγμα δετράγωνον, το σίγμα δετράγωνον της χ, αυτό είναι, αν πάρει τον τύπο αν θυμάστε, εχ δετράγωνον, πάλι παρόμοια, μειώνει το μίστο δετράγωνο και κάνει πράξεις και αποποιήσεις, αυτό οδηγεί, το βάριν σχή, οδηγεί σε αυτό το σίγμα δετράγωνον που έχουμε, αυτό που υπάρχει εδώ πέρα. Και έλεγα ότι εάν είναι ένα μέγεθος, ας πούμε το μέγεθος αυτό, μπορεί να είναι η αντοχή ενός υλικού, μπορεί να είναι ο χρόνος καλής λειτουργίας ενός μηχανήματος, μπορεί να είναι κάποιο βάρος ή μεγέθη, τα οποία από τη φύση τους παίρνουν θετικές τιμές, όχι αρνητικές. Αν θεωρείς ότι ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή, ας πούμε το μη και η δικήμανση, το σίγμα δετράγωνο, θα πρέπει το κατώτερο όριο, το μη μειών 4 σίγμα, να μην πέφτει στους αρνητικούς αριθμούς. Διότι αν πέφτει, δεν μπορεί να υποθέσει ότι το μέγεθος του ακολουθεί κανονική κατανομή. Θα πρέπει να ψάξει να βρει μια άλλη. Αν όμως το μέγεθος του απ' τη φύση του παίρνει και αρνητικές τιμές, τότε δεν τον ενοχλεί αυτό. Αν όμως απ' τη φύση του είναι βάρος, είναι χρόνος κτλ, και παίρνει θετικές τιμές, θα πρέπει το κατώτερο όριο να μην βρίσκεται στους αρνητικούς, διότι η υπόθεση που θα κάνει θα είναι εντελώς αισφαλμένη. Κομμάτι της καμπάνας θα πέφτει στους αρνητικούς που καις έχει το μέγεθος όσο δεν μπαίνει αρνητικές τιμές, μπαίνει μόνο θετικές. Να κάνουμε ένα παράδειγμα απλό με την κανονική, αλλά γιατί η δυσκολία είναι στην εκτίμηση της πιθανότητας. Ποια δυσκολία έχει η εξαιτική κατανομή, η συγνώμη, η κανονική κατανομή. Δεν μπορούμε να ολοκληρώσουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Δεν μπορούμε να βρούμε αναλυτικά το ολοκλήρωμα της ολοκλήρωσης της συνάρτησης πιθανότητας. Για παράδειγμα, αν θέλω εγώ την πιθανότητα τυχαία μεταβλητή να πάρει τιμές μικρότου ρυζής στο χ μικρό, δεν μπορώ να ολοκληρώσω από μειονάπιρον ή από κάποια μάτια περιπτώση περιοχή μέχρι το χ μικρό την fU που έχω εκεί πέρα, δεν ξέρω ποιο είναι το αναλυτικό ολοκλήρωμα. Δεν μπορώ να ολοκληρώσω. Ενώ στην εξαιτική που είχαμε, την αθληστική, ολοκληρώναμε το λαμβρά fxdx και πέραμε ένα μειονέι στη μειονλάμβαχ. Το αναλυτικό ολοκλήρωμα ήταν ο τύπος της αθληστικής. Εδώ ο τύπος της αθληστικής που είναι αυτή η πιθανότητα δεν μπορούμε να το ολοκληρώσουμε αυτό και να βρούμε το αναλυτικό ολοκλήρωμα. Γίνεται αριθμητική ανάλυση ολοκλήρωση. Ολοκλήρωση κατά προσέγγιση. Στο πίσω μέρος του κάθε βιβλίο υπάρχει ο πίνακας που σου δίνει την πιθανότητα. Αλλά κάθε μέγεθος που ακολουθεί κανονική κατανομή έχει δική του μέση τιμή και δική του διακύμανση. Κι υπάρχουν άπειρες τέτοιες κατανομές. Άρα πρέπει να έχουμε στο πίσω μέρος του βιβλίου άπειρους πίνακες που να μαζίρουν αυτή την πιθανότητα. Γιατί μεταξύ τους διαφέρουν να θα τα αναγέθει ως προς τη μέση τιμή και διακύμανση. Γι' αυτό κάνουμε ένα μετασχηματισμό σε τυπική κανονική κατανομή. Δηλαδή, η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει τιμές μικρός του χ μικρό, αυτό είναι ισοδύναμο ίσον με την πιθανότητα, εδώ στην ανίσουση, και στο ένα μέρος και στο άλλο, αφαιρούμε και διαιρούμε με τον ίδιο αριθμό και δεν αλλάζει η ανίσουση. Έχουμε δηλαδή χ μίον μή δια σίγμα. Μικρότερο ίσον του χ μικρό που είναι γνωστή τιμή μίον μή που είναι γνωστή τιμή δια σίγμα. Μην ξεχνάτε ότι όταν ένα μέγεθος υποθέτει να ακολουθεί κανονική κατανομή είναι δεδομένο και ξέρω ποια είναι η μέση τιμή και η δικημασία του. Διαφορετικά δεν μπορώ να υπολογίσω η πιθανότητα. Τώρα, αυτή είναι η τυχαία μεταβλητή. Αυτό το χ είναι δεδομένο, έχει μια τιμή. Το μί έχει μια τιμή, το σίγμα έχει μια τιμή, άρα αυτό εδώ πέρα είναι ένας αριθμός γνωστός. Αυτό πέρα όμως το μέγεθος είχαμε πει, αν θυμάστε στην τυποποίηση, όταν κάναμε την τυποποίηση μιας τυχαίας μεταβλητής, τυποποίηση της χ, το είχαμε κάνει, το είχαμε πει σαν χ αστεράκι είναι ότι αυτή η τυχαία μεταβλητή χ αφαιρούμε τη μέση τιμή και διερούμε το σίγμα και το είχαμε κάνει για λόγος για να συγκρίνουμε τυχαίες μεταβλητές κάποια μεγέτη που έρχονται από διαφορετικούς πολιτισμούς και να το παλάξουμε από μονάδες μέτρησης. Τώρα κάναμε την τυποποίηση, δηλαδή έχουμε μια τυχαία μεταβλητή, αφαιρούμε τη μέση τιμή, διερούμε την τυποίηση σε απόκληση και παίρνουμε το χ αστεράκι. Το χ αστεράκι είναι η τυποποίηση της χ. Και είχαμε πει ότι η μέση τιμή του χ αστεράκι, του κάθε χ αστεράκι, ισούται με 0 και η διακύμανση της κάθε τυποποίησης ισούται με 1. Αυτά ισχύουν όταν κάνουν τυποποίηση μιας τυχαίας μεταβλητής χ. Εδώ έχω μια τυποποίηση της τυχαίας μεταβλητής χ που ακολουθεί κανονική κατανομή. Επομένως, εδώ έχω την τυποποίηση την οποία την ονομάζω z. Αυτή την τυποποίηση την ονομάζω z και θέλω την πιθανότητα αυτή την τυποποίηση z, που την ονομάζουμε διεθνώς με το γράμμα z, όταν πρόκειται για χ κανονικής κατανομής, την τυποποίηση δεν τη συμβολίζουμε με χ αστεράκι, όπως τις άλλες χ που κάνουμε τυποποίηση, τη συγκεκριμένη χ που ακολουθεί κανονική κατανομή, την τυποποίηση διεθνώς τη συμβολίζουμε με z. Αυτή την τιμή εδώ πέρα που παίρνει z, την ονομάζουμε z μικρό και αυτό z κεφαλαίο. Θα πρέπει αυτό να είναι μικρό το z μικρό, άρα έχω την αθροιστική της z στο z μικρό, το οποίο διεθνώς το συμβολίζουμε με φ z μικρό. Δηλαδή με φ ελληνικό διεθνώς συμβολίζεται η αθροιστική της z, που είναι την τυποποίηση της χ, όπου η χ είναι κανονική κατανομή με μέση στη μή το μή και τυπική απόκλειση το σίγμα. Ως εκ τούτου η z ακολουθεί και αυτή η κανονική κατανομή με μέση στη μή, όπως είπαμε ο κύριος το μηδέν, γιατί κάθε τυποπλημένη μεταβλητή έχει μέση στη μή το μηδέν και κάθε τυποπλημένη μεταβλητή έχει διακύμαση το ένα. Και βέβαια αυτό το μέγεθος ακολουθεί κανονική κατανομή, γιατί είναι ένα κλάσμα, αυτό είναι σταθερά, αυτό είναι σταθερά, το χ ακολουθεί κανονική κατανομή. Το z που παρουσιάζεται το κλπ ακολουθεί κανονική κατανομή. Και η μέση του τυμή, σύμφωνα με την ιδιότητα της τυποπλημένης τυχείας μεταβλητής, είναι το μηδέν και η δική μας είναι το ένα. Και το σχήμα αυτής της z είναι κι αυτό καμπάνα όπως καταλαβαίνετε, αλλά έχει μέση στη μή το μηδέν και ξεκινάει συνήθως όπως είχαμε πει μη μίον τέσσερα σίγμα από το μίον τέσσερα, ασυμπτωτικά πάει μέχρι το μίον άφυρο και εδώ πάει μέχρι το συν άφυρο, αλλά πρακτικά εδώ πέρα είναι το τέσσερα. Δηλαδή οι πιθανότητες βρίσκονται μεταξύ το z να πάρει τη μέση από μίον τέσσερα μέχρι το τέσσερα πρακτικά. Απεριολάχιστη πιθανότητα είναι να φύγει αριστερά ή δεξιά. Και έτσι υπολογίζουμε την πιθανότητα. Δηλαδή θέλω να απολογίσω με λίγα λόγια την πιθανότητα η τυχαία μεταβελτήμα ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση, τιμή, το μη και τυπική επόκληση το σίγμα. Εάν θέλω να βρω τέτοια πιθανότητα θα πάρω την πιθανότητα το z να είναι μικρότερο του z μικρό, όπου z μικρό είναι γνωστή την ηπλέα και το z γνωρίζεται να ακολουθεί τυπική κανονική κατανομή. Τώρα, το κάθε βιβλίο σατιστικής στο πίσω μέρος έχει την πιθανότητα που ζητώ. Δηλαδή εγώ θέλω αυτήν την πιθανότητα, θα πάω στο πίσω μέρος του βιβλίου και θα μου δώσει την αθληστική της z για z μικρό. Δηλαδή στο πίσω μέρος του βιβλίου υπάρχει μόνο η τυπική κανονική κατανομή z και παίρνω την πιθανότητα στο z μικρό. Έτσι είναι στο κάθε βιβλίο. Εδώ είναι για τα θετικά z, η πρώτη στήλη. Εδώ είναι η στήλη για τα αρνητικά z. Τώρα ανέχιση μόνη για θετικά z μπορείς να το βρεις γιατί είναι συμμετρική η κατανομή. Και το z δίνεται στην πρώτη στήλη είναι το ακέραιο μέρος γιατί το z πάει από 0 μέχρι 4. Υπάρχει και το ακέραιο μέρος 1, 2 και τα λοιπά. Υπάρχει και το δεκαδικό και το κατωστό. Το δεκαδικό υπάρχει εδώ αλλά το κατωστό υπάρχει στην αντίστοιχη στήλη. Δηλαδή, θα το κάνω εδώ πέρα, οι πίνακες δίνουν την πιθανότητα φ αλλά εδώ μέσα όμως υπάρχουν και τα κατωστά του z. Εδώ είναι το 1, 2 μέχρι το κατωστό 9. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 5, 6. 1, 2, 3, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1-0.69 1-0.16 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6.