Μαθηματικά - Κλάσματα: Πολλαπλασιασμός - Διαίρεση - Ε'-ΣΤ' Δημοτικού Επ. 80 (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων, 2020)
: [♪ Μουσική' Γεια σου και πάλι! Χαίρομαι που τα ξαναλέμε. Αρχίσαμε ένα ταξίδι στον κόσμο των κλασμάτων. Σήμερα, ήρθε η ώρα να το ολοκληρώσουμε. Τελευταία ενότητά μας, ο πολλαπλασιασμός και η διέρεση. Κάνοντας μια σύντομη επανάληψη αυτών που είπαμε ήδη, πριν να πω λίγο, θα θυμάσαι ότι η πρόσθεση και η αφαίρεση έχει μεγάλη ανάγκη τα ομώνυμα. Δεν μπορεί αλλιώς να λειτουργήσει. Σε αντίθεση όμως με τον πολλαπλασιασμό και τη διέρεση, που δεν χρειάζεται να κάνεις τα κλάσματα ομώνυμα. Όχι, δεν χρειάζεται καθόλου. Αυτό που πρέπει να κάνεις όμως απαραίτητα, είναι να μετατρέψεις ό,τι και αν έχεις, σε κλάσμα. Ακεραίος, κλάσμα. Μυκτός, κλάσμα. Ε, το κλάσμα θα το αφήσω όπως είναι φυσικά, το καταλαβαίνεις αυτό. Πάμε να πάρουμε λίγο τα πράγματα με τη σειρά. Λοιπόν, στον πολλαπλασιασμό, αυτό που με ενδιαφέρει πάρα πάρα πολύ, είναι η απλοποίηση. Τι ακριβώς σημαίνει απλοποιώ? Απλοποιώ σημαίνει, παίρνω ένα ισοδύναμο κλάσμα, που έχει μικρότερους όρους, αραπιοβολικούς, όπως καταλαβαίνεις, και με αυτό δουλεύω. Θυμάσαι που είχαμε μιλήσει για τα κριτήρια διαιρετότητας. Σήμερα, πριν ξεκινήσουμε, θα ήθελα να δούμε λίγο, έναν όρο τον οποίο τον γνωρίζεις, αλλά καλό είναι να τον ξαναθυμηθούμε. Είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης. Δηλαδή, ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες. Διαιρέτης, να σου θυμίσω, είναι ο αριθμός εκείνος, ο οποίος διαιρεί ακριβώς έναν άλλο αριθμό. Θέλεις λοιπόν να πάρουμε την πρώτη μας έτσι τριάδα αριθμών. Για να δούμε. Θα πάρουμε τον αριθμό 24, τον αριθμό 36 και τον αριθμό 96. Ψάχνω λοιπόν, ας πούμε ότι αυτοί είναι αριθμητές ή παρονομαστές κλασμάτων. Εγώ θέλω να τους απλοποιήσω, δηλαδή να τους διαιρέσω με τον κατάλληλο αριθμό, ώστε να πάρω κλάσματα ισοδύναμα, κλάσματα δηλαδή ίσης αξίας, με μικρότερους όρους. Πάμε λίγο να δούμε τι γίνεται. Ενώ, όπως θυμάσαι, στο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο το είχα αναλύσει σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, έκανα, βρήκα τους πρώτους αριθμούς και πρώτοι αριθμοί, ξαναθυμίζουμε, είναι εκείνοι οι αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς μόνο με τον εαυτό τους και τη μονάδα, τώρα θα επιλέξω τον μικρότερο από αυτούς εδώ τους αριθμούς. Είναι ο αριθμός 24. Τον κατεβάζω κάτω και τον κυκλώνω. Γιατί τον κυκλώνω? Γιατί όταν μείνει μόνος του, με μηδενικά δίπλα, αυτός θα είναι ο μεγιστός κοινός διαιρέτης. Έχουν όλοι οι αριθμοί μεγιστός κοινός διαιρέτης, όλα τα πιθανά ζευγάρια αριθμών. Όχι πάντα. Μπορεί η κάλυστα μεγιστός κοινός διαιρέτης να είναι ο αριθμός 1. Ας πάμε όμως να πάρουμε τα πράγματα με τη σειρά όπως είπαμε. Κάνω τη διαιρέση και κάτω από τον καθέναν τους γράφω το υπόλοιπο. Το 24 στο 96 πόσες φορές χωράει. Για να δούμε. Πολύ σωστά 4. 2, 4, 8, 80, 4, 4, 16, 96. Υπόλοιπο 0. Το 24 στο 36 χωράει μία φορά και μου αφήνει υπόλοιπο 12. Ξαναθυμίζουμε στον μέγιστο κοινό διαιρέτη, γράφω από κάτω το υπόλοιπο. Σαν να μην υπάρχει επάνω γραμμή, ξεκινάω από αυτή. Ποιος είναι ο μικρότερος? Ο 12. Τον ξαναγράφω. Ο 12. Στο 24 πόσες φορές χωράει? 2. Τι υπόλοιπο αφήνει? 0. Νάτο λοιπόν. Ο 12 είναι ο μέγιστος κοινός μου διαιρέτης. Το ξαναθυμήθηκες φαντάζομαι. Δεν χρειάζεται να κάνουμε πολλά παραδείγματα γιατί έχουμε αρκετά να πούμε. Γι' αυτό λοιπόν και θα περάσουμε τώρα με τη σειρά μας στον πολλαπλασιασμό. Θα ξαναθυμηθούμε, το κρατάμε το κομμάτι αυτό. Μπορεί να σου χρειαστεί σε μεγάλους αριθμούς που δεν θα σε βοηθήσουν τόσο πολύ τα κριτήρια διαιρετότητας. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης μπορεί να σου είναι πολύ χρήσιμος. Το κρατάμε και συνεχίζουμε. Λοιπόν, θα πάρω ένα πρώτο ζεύγος αριθμών, κλασματικών, για να τους απλοποιήσω, να τους πολλαπλασιάσω. Ξεκινάω. Θα ξεκινήσω με το 1524 x 610. Συγγνώμη, δέκατα, να φαίνεται καθαρά. Είναι όλα κλάσματα, φυσικά και είναι. Έχω να μετατρέψω κάτι, όχι, δεν έχω κανέναν απολύτως πρόβλημα, προχωράω λοιπόν. Πάμε να θυμηθούμε λίγο τα κριτήρια διαιρετότητας. Βεβαίως, να δούμε τι έχουμε. Έχουμε να ένα ζευός, να κι άλλος ένα ζευός, να κι άλλος ένα ζευός. Για να δούμε μήπως υπάρχει και τίποτε άλλο. Πάμε να τα πάρουμε με τη σειρά. Θα ήθελα να απλοποιήσω το 6 με το 24. Μπορώ να απλοποιήσω οποιοδήποτε αριθμητή με οποιοδήποτε παρονομαστή. Η σειρά και η επιλογή είναι δική σου. Το 6 λοιπόν στον εαυτό του χωράει μία φορά και στο 24 χωράει τέσσερις φορές. Μια χαρά! Θα ήθελα να απλοποιήσω το 15 και το 10 με τον αριθμό 5. Από τα κριτήρια διαιρετότητας θυμίσου τα λίγο, το 5 στο 15 χωράει τρεις φορές και το 5 στο 10 χωράει δύο φορές. Επειδή αρχίζει και γίνεται λίγο σύνθετο και εμένα μ' αρέσει να τα γράφω ωραία και νοικοκυρεμένα, θα πάω δίπλα και θα τα γράψω λίγο πιο καθαρά. Ίσον λοιπόν, για να δούμε αριθμητής 3x1, παρονομαστής 4x2. Απλοποιείται κάτι? Όχι. Ο αριθμός 3, που είναι πρώτος αριθμός, δεν μου απλοποιεί ούτε τον 4 ούτε τον 2. Ίσον λοιπόν, 1 ή 3, 3, πολλαπλασιάζει τους αριθμητές, 2x4, 8. 3, 8, το κλάσμα μου είναι ανάγκωγο, άρα δεν απλοποιείται άλλο και εγώ είμαι μια χαρά. Επόμενο παράδειγμα. Πάμε να συνεχίσουμε. Θα πάρουμε έναν μικτό τώρα πια με ένα κλάσμα. 4 και δύο πέμπτα επί 5 δωδέκατα. Ξαναθυμίζουμε ότι στο πολλαπλασιασμό, ό,τι κι αν έχω, το μετατρέπω σε κλάσμα. Έτσι λοιπόν, έχω και λέω 4, 5, 20 και 2, 20. Ωπ, μας έπεσε και το καπάκι, ας το πιάσουμε. Λοιπόν, 4, 5, 20 και 2, 22, πέμπτα επί 5 δωδέκατα. Ζηγός, ζηγός, 5, 5. Μου φωνάζουν οι απλοποιήσεις. Το 5 στον εαυτό του 1, το 5 στον εαυτό του 1. Θα απλοποιήσω με το 2, γιατί όχι το 2 στο 12, 6. Το 2 στο 22, 11. Ίσον, πάμε να τα μαζέψουμε λίγο, να δούμε τι μας γίνεται. 11 επί 1, 11. Μια η 6, 6. Μας βγήκε καταχρηστικό κλάσμα. Θα το αφήσουμε έτσι. Δεν πρέπει να του βγάλουμε ακέραιες μονάδες. Θυμάσαι τον τρόπο που είχαμε πει. Πρόσεξε. Ρωτάμε πόσες φορές χωράει το 6 το 11. Και το πηλίκο που μου έρχεται στο μυαλό μου, το βάζω ακέραιο μέρος. Το 6 στο 11, τι κρίμα που δεν είναι 12 καλά, μας λείπει 1 βλέπεις. Χωράει μία φορά. Παρονομαστής θα είναι το 6, όπως και να έχει. Μια η 6, 6. Και 5, 11. 1 και 5, έκτα. Θα πάρουμε ένα τελευταίο παράδειγμα, λίγο πιο σύνθετο. Θα σβήσουμε και λίγο πιο μεγάλο. Και θα πούμε ότι ξεκινάω με έναν μικτό. 1 και 1 τρίτο. Επί 9. Επί 5, 27. Επί 3, 10 ίσον. Λοιπόν, για να δούμε. Ξανά, δεν κάνω τίποτα ομώνυμο. Μια χαρά, έχω μεβολεύσει πολύ περισσότερο. Πολύ ωραία, ό,τι κι αν έχω το μετατρέπω σε κλάσμα. Έχω έναν μικτό, πρέπει να τον κάνω κλάσμα. ίσον, 1, 3, 3. Και 1, 4, 3. Επί 9 πρώτα. Ναι, γιατί όχι. Γιατί να μην το κάνω. Επί 5, 27. Επί 3, 10 ίσον. Εδώ θα επιχειρήσω να λύσω μια απορία που έχουν πάντοτε οι μαθητές. Και εγώ την είχα ως παιδί. Πώς γίνεται να μπορώ να απλοποιήσω αυτό το 3 με αυτό. Μην είναι τόσο μακριά το ένα απ' το άλλο. Να θυμίσουμε ότι στον πολλαπλασιασμό ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. Μπορώ δηλαδή να αλλάζω τη θέση των αριθμών, χωρίς να αλλάζει το τελικό γινόμενο. Έτσι λοιπόν, αντί να πω 4 επί 9, επί 5, επί 3, μπορώ κάλληστα να πω 3 επί 4, επί 9, επί 5. Και ουσιαστικά είναι σαν να απλοποιώ αριθμητή με παρονομαστή. Είναι τόσο απλό. Άρα λοιπόν μπορώ να απλοποιώ, και αυτό μην το ξεχάσεις ποτέ, οποιοδήποτε αριθμητή με οποιοδήποτε παρονομαστή. Έρχομαι λοιπόν και αρχίζω. Λέει κάποιος, δεν ξέρω τι να κάνω, να απλοποιήσω το 3 με το 27 ή το 3 με το 3. Ό,τι επιθυμείς εσύ. Το τελικό αποτέλεσμα, αν έχεις ολοκληρώσει τις απλοποίησεις σου, θα είναι πάντοτε το ίδιο. Για να δούμε. Θα κάνω αυτά που είναι τα πιο τρανταχτά στο μάτι. Το 3 στον εαυτό του, 1. Το 3 στον εαυτό του, 1. Θα επιλέξω να κάνω το 9 με το 27. Πολύ ωραία. Το 9 στον εαυτό του, 1. Στο 27, 3. Για να δω. Α, το 5 στον εαυτό του, 1. Στο 10, 2. Άρχισα να τα μπλέκω λίγο, Γιώργο. Κανένα πρόβλημα. Πάμε να τα ξαναμαζέψουμε. Κάθε τόσο είπαμε, πειδή είμαστε νοικοκύριδες, τα ξαναγράφουμε, μήπως και κάτι μας ξεφύγει. Όσο πιο τακτικοί είμαστε, τόσο λιγότερα λάθη θα κάνουμε. Για να έρθουμε λοιπόν να τα ξαναγράψουμε με τη σειρά μας. Να τα βάλουμε όλα πάνω σε έναν αριθμητή. 4 επί 1. Δεν έχει ιδιαίτερη σημασία να το γράψω, είναι ουδέτερο στοιχείο. Επί 1, επί 1, θα κρατήσω σκέτο το 4. Για να δούμε, 1 επί 1, επί 3, επί 2. 3, επί 2, ίσον. Έχω κάτι άλλο, όχι. Για να δούμε πως μου ξέφυγε κάτι. 1, 1, 3, 2, όχι. Τι απλοποιείται, το 2 στον εαυτό του, 1, στο 4, 2, ίσον, 2, 3. Ανάγωγο κλάσμα, κανένα πρόβλημα και το βλέπω ότι είναι το τελικό μου γινόμενο. Θέλεις να του ρίξεις μια ματιά. Πιθανώς εσύ να ακολούθησες άλλη σειρά στις απλοποιήσεις. Το βέβαιο είναι 1, το τελικό σου αποτέλεσμα θα είναι ίδιο. Γιατί είπαμε, όποια σειρά κι αν ακολουθήσουμε, δεν έχουμε κανένα πρόβλημα. Θα μας προκύψει ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα. Λοιπόν, θα σβήσουμε τον πίνακα και θα πάμε τώρα να περάσουμε στις διαιρέσεις μας. Γιατί ο πολλαπλασιασμός μας, νομίζω ότι κάπου εδώ τελειώνει. Ή μήπως τελικά κάτι ξέχασα. Για να δω. Βέβαια. Για πρόσεξέ με, υπάρχει μια κατηγορία αριθμών που ονομάζονται αντίστροφοι. Και έχουν να κάνουν με τον πολλαπλασιασμό. Ας τους κάνουμε κι αυτούς μια μικρή αναφορά, να μην παραπονούνται. Οι αντίστροφοι αριθμοί, καλέ μου φίλε και καλοί μου φίλοι, είναι αυτοί που έχουν γινόμενο τη μονάδα. Δηλαδή, το κλάσμα ένα τρίτο έχει σαν αντίστροφό του αριθμό το τρία πρώτα. Μία ετρεις τρεις, μία ετρεις τρεις, τρία τρίτα, ίσο με ένα. Ο ακέραιος οκτώ, ξαναφημίζουμε, κάθε ακέραιο μπορώ να το γράψω, αν το γράψω παρανομαστή, το ένα. Έχει το ένα, όγδο. Ίσον μία οκτώ οκτώ, μία οκτώ οκτώ, ένα. Να λοιπόν οι αντίστροφοι αριθμοί. Τους θυμηθήκαμε κι αυτούς. Πάμε λοιπόν τώρα να περάσουμε στη διέρεση και να κλείσουμε αυτό το μεγάλο κεφάλαιο των κλασμάτων. Λοιπόν, σβήνουμε τον πίνακά μας, για να μπορούμε να κάνουμε δουλίτσα. Κρύμα που δεν είσαι εδώ να με βοηθήσεις. Θα ήθελα να μου βοηθούσες κι εσύ να λύναμε μαζί μερικές ασκήσεις, να μου έλεγες από κοντά τις απορίες σου, βλέπεις ότι ταλαιπωρούμε εδώ πέρας, βλέπεις ότι είναι το πίνακα μόνος μου συνέχεια. Και είναι και μεγάλος. Λοιπόν, είμαστε έτοιμοι. Ερχόμαστε να δούμε το κομμάτι της διέρεσης. Εδώ λοιπόν θα θυμηθούμε ότι δεν αλλάζει κάτι. Και στη διέρεση δεν κάνω τα κλάσματα ομώνυμα. Τα μετατρέπω πάλι όλα σε κλάσματα. Και αυτό που πρέπει να θυμάσαι είναι ότι αν δεν μπορείς να διαιρέσεις και τον αριθμητή, και τον παρονομαστή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή, το άλλο κλάσματος, αντιστρέφεις τους όρους του δεύτερου κλάσματος και αντί για διέρεση κάνεις πολλαπλασιασμό. Στα πολλά μαζεμένα, ε! Για πάμε να τα δούμε λίγο. Θα πάρουμε ένα παράδειγμα το οποίο θα το δούμε και με τις δύο οπτικές. Λοιπόν, έξι και δύο πέμπτα, διά τέσσερα. Θα ξαναθυμίσουμε ότι όπως και να έχει στη διέρεση, ό,τι κι αν έχω, τα κάνω όλα κλάσματα. Ίσον λοιπόν. Πέντε, έξι, τριάντα και δύο, τριάντα, δύο, πέμπτα, διά, τέσσερα πρώτα, ίσον. Με μια προσεκτική ματιά βλέπω ότι πολύ εύκολα ο αριθμητέης διαιρείται με τον άλλο αριθμητή και ο παρονομαστής διαιρείται με τον άλλο παρονομαστή. Έτσι λοιπόν, τριάντα δύο, διά τέσσερα, οκτώ, πέντε. Αυτό το καπάκι δεν λένε κάτσε μια μεριά σήμερα. Πέντε, διά ένα, πέντε. Άρα λοιπόν οκτώ πέμπτα, ίσον, ξαναθυμίζουμε πώς ακριβώς το βρίσκουμε, το πέντε χωράει στο οκτώ μία φορά, το πέντε θα είναι παρονομαστής όπως και να έχει, μία πέντε, πέντε, ένα και τρία, πέμπτα. Ακριβώς το ίδιο θα συμβεί, ακριβώς μα ακριβώς το ίδιο θα συμβεί, αν αντιστρέψω τους όρους του δεύτερου κλάσματος. Για να το δούμε. Λοιπόν, τριάντα δύο, πέμπτα, επί ένα τέταρτο. Συνεχίζω από εδώ. Για να δούμε τι απλοποιείται το τέσσερα στον εαυτό του χωράει, μία στο τριάντα δύο οκτώ, ίσον οκτώ πέντα, ίσον όπως βλέπουμε ένα και τρία πέντα. Όπως και να έχει λοιπόν, είτε ακολουθήσω αυτόν τον δρόμο μόνο όταν διαιρείται και ο αριθμητής και ο παρονομαστής, είτε αντιστρέφοντας τους όρους του δεύτερου κλάσματος, σε όλες τις περιπτώσεις, αφού κάνουν τις απλοποιήσεις μου, το αποτέλεσμα είναι ίδιο. Ας δούμε τώρα ένα άλλο παράδειγμα. Ας πάρουμε μία διέρεση ενός μικτού με ένα κλάσμα. Λοιπόν, νομίζω ότι τα ξαναθυμάσαι σιγά σιγά, άλλωστε δεν είχε καιρό που τα άφησες και είναι μια καλή ευκαιρία να τα φρεσκάρεις όλα αυτά. Για να δούμε λοιπόν, ας πάρουμε λοιπόν, λίγο πριν κλείσουμε, έναν μικτό των τέσσερα και δύο πέντα διά του κλάσματος δύο τρίτα. Στην περίπτωση αυτή, ξαναθυμίζουμε ότι, ό,τι και αν έχω στη διέρεση, το μετατρέπω σε κλάσμα. Έχω έναν μικτό, θα τον κάνω αμέσως κλάσμα. Τέσσερις πέντε είκοσι και δύο λοιπόν, είκοσι δύο πέμπτα. Επί, αντιστρέφω τους όρους του δεύτερου κλάσματος και αντί για διέρεση κάνω πολλαπλασιασμό. Ίσον, παρατηρώ τις απλοποιήσεις που μπορούν να γίνουν. Πρώτος αριθμός, πρώτος αριθμός. Μεταξύ τους δεν μπορούν να απλοποιηθούν. Ξαναθυμίζουμε ότι οι πρώτοι αριθμοί διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και τη μονάδα. Άρα λοιπόν, έχω αυτούς τους άρτιους, το δύο στον εαυτό του, μία στο είκοσι δύο έντεκα. Ίσον λοιπόν, έντεκα επί τρία, τριάντα, τρία. Πέντε επί ένα, πέντε. Τριάντα, τρία, πέμπτα, ίσον. Ξαναθυμίζουμε τον εύκολο τρόπο που λέγαμε για να μην κάνουμε τη διέρεση. Ξαναθυμίζουμε όμως ότι κάθε κλάσμα συμβολίζει μια διέρεση, αυτό πια δεν το έχεις ξεχάσει. Να το ξαναδούμε λίγο, λίγο πριν κλείσουμε, να μην το ξεχάσουμε ποτέ. Είναι πραγματικά μια γνώση που θα σου λύσει τα χέρια πολλές φορές. Το πέντε στο τριάντα τρία χωράει έξι φορές. Παρονομαστής θα είναι το πέντε γιατί πάλι σε πέντε ισαμέρη θα είναι χωρισμένο. Πέντε, έξι, τριάντα και τρία, τριάντα, τρία. Το κλάσμα μου είναι ανάγκωγο, βρήκα το μυκτό μου αριθμό, είμαι έτοιμος. Λίγο πριν σας αποχαιρετήσω, θα τα ξαναπεράσουμε μία γρήγορη. Πρόσθεση αφαίρεση. Απαραίτητα να τα κάνω ομώνυμα. Πολλαπλασιασμός διέρεση. Δεν τα μετατρέπω σε ομώνυμα. Τα αφήνω όπως είναι, μετατρέπω ό,τι κι αν έχω σε κλάσμα και απλοποιώ. Στην απλοποίηση, όπως και να έχει, θυμάμαι, τα κριτήρια διαρρετότητας. Είναι ευκαιρία να τα ξαναδείς λίγο και το μέγιστο κοινό μου διαιρέτη. Θα μου φανεί πολύ χρήσιμος σε λίγο πιο μεγάλους και απαιτητικούς αριθμούς. Χάρηκα πολύ που τα είπαμε. Σου εύχομαι πραγματικά να έχεις μια πολύ πολύ όμορφη υπόλοιπη μέρα. Γεια σου!