Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών / Διάλεξη 12 / Ακολουθίες και σειρές. Κριτήρια σύγκλισης, υπολογισμός ακτίνας σύγκλισης. - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ακολουθίες και σειρές. Κριτήρια σύγκλισης, υπολογισμός ακτίνας σύγκλισης.: ...και we have managed to find at least two今日は τότε μπορούμε αμέσως να δούμε, όχι μόνο τι συγκλίνει η σειρά, να βρούμε και το άθρυσμα της, να βρούμε και το άθρυσμα της σειράς για άπειρους όρους. Δηλαδή ποιο ήταν το ζητούμενο, έχουμε ορίσει ότι μια σειρά είναι ένα άθρυσμα και ορίζεται αν αυτή η σειρά είναι το νιωστός όρος της σειράς και το νι είναι ένας αριθμός ο οποίος μπορεί να πάει μέχρι το άπειρο, αν λοιπόν από νι μέχρι άπειρο του α, νι, αυτή εδώ πέρα είναι μια συγκεκριμένη σειρά της οποίας το άθρυσμα θεωρείται ότι είναι το ες του νι. Τι θα θέλαμε εμείς να ξέρουμε αν η σειρά είναι άπειρη, αν αυτό το όριο του ες του νι καταλήγει σε ένα συγκεκριμένο αριθμό. Αν συμβαίνει αυτό η σειρά συγκλίνει και ξέρουμε και ποιο είναι το άθρυσμά της. Σωστά, υπάρχουν δύο είδη σειρών που τα συζητήσαμε τα οποία, στα οποία αυτό το αποτέλεσμα υπάρχει και το ξέρουμε ποιο είναι. Και σας είπαμε προηγουμένως ποιες ήταν αυτές. Σε γενικότερο επίπεδο μπορεί να μην ξέρουμε το άθρυσμα της η άρση, το όριο της σειράς ποιο είναι, αλλά να θέλουμε να απαντήσουμε μια πολύ γενικότερη ερώτηση εάν η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει. Μόνο αυτό. Μπορεί να μην μπορούμε να βρούμε τόσο εύκολα ποιο είναι το όριο της σειράς ή το άθρυσμα της σειράς, αλλά μπορούμε να ξέρουμε το ένα ή το άλλο εάν συμβαίνει, αν αποκλίνει ή συγκλίνει η σειρά. Οπότε χρησιμοποιούμε ορισμένα κριτήρια και αν είμαστε τυχεροί και αυτά τα κριτήρια υπαλιθεύονται, τότε πραγματικά έχουμε καταφέρει να απαντήσουμε στο ερώτημα τη σύγκλισης της σειράς. Να απαντήσουμε αν η σειρά συγκλίνει, έτσι. Οπότε είναι ένα από τα βασικά μας ερωτήματα. Ένα πράγμα που μπορούμε να δούμε και να αρχίσουμε σιγά σιγά να μαζεύουμε τέτοια κριτήρια για τη σύγκλιση της σειράς, ένα πράγμα που μπορούμε να δούμε είναι ότι εάν μία σειρά, προσέξτε πως διατυπώνω την έκφραση, εάν μία σειρά συγκλίνει, τότε το όριο του α, ν θα πρέπει να πηγαίνει στο μηδέν, το ν να πηγαίνει στο άπειρο. Προσέξτε λέω ότι το όριο του α, ν είναι το μηδέν, όταν το ν πηγαίνει στο άπειρο θα πρέπει να είναι το μηδέν, αλλά πότε όταν η σειρά αυτή, το όριο της σειράς, η σειρά αυτή συγκλίνει. Έτσι δηλαδή συγκλίνει το s του ν, συγκλίνει σε κάποιο συγκεκριμένο αριθμό ας το δομάσουμε r. Επαναλαμβάνω πότε θα λέμε ότι μία σειρά συγκλίνει, όταν το όριο της σειράς s, ν για το ν να πηγαίνει στο άπειρο προσεγγίζει έναν αριθμό, τότε λέμε ότι η σειρά συγκλίνει, αυτό είναι που θέλουμε να αποδείξουμε, αυτό θέλουμε που θέλουμε να κοβεντιάσουμε. Ένα πράγμα που μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε είναι ότι αν η σειρά συγκλίνει, τότε θα συμβαίνει αυτό. Το αντίστροφο δεν είναι, δεν ισχύει, δηλαδή αν αποδείξεις ότι συμβαίνει αυτό, δεν έχεις εξασφαλίσει ότι η σειρά συγκλίνει. Και θα δούμε και παραδείγματα που συμβαίνει αυτό που μόλις σας είπα, δηλαδή ένα παραδείγμα το οποίο πράγματι το όριο της, του κάθε όρου πηγαίνει στο μηδέν, όπως πηγαίνουμε στο ν στο άπειρο, αλλά η σειρά δεν συγκλίνει. Άρα μόνο όταν, πώς μπορεί να το αποδείξουμε αυτό, αν έχουμε παραδείγματος χάρη το S του ν και βγάλουμε και το S του ν, το S του ν θα αποτελείται από το S του ν-1 συν τον ιωστό όρο, έτσι δεν θα μπορούσαμε να γράψουμε το S του ν. Το S του ν-1 μαζεύει όλους τους άλλους και προσθέτουμε και αυτόν. Αν λοιπόν αυτό το φέρουμε από το άλλο μέλος και έχουμε S του ν-1 ίσον ΑΝ, σας αποδεικνύω εδώ πέρα ότι το όριο του S του ν-1 είναι ίσο με το όριο του ΑΝ και επειδή αυτά έχουν όριο το S-S, δεν έχουν ένα συγκεκριμένο αριθμό όριο, R-R, αυτό θα είναι ίσως με το 0 άρα και το όριο του ΑΝ θα είναι ίσο με το 0. Τι απέδειξα, απέδειξα ότι όταν το S-N συγκλίνει και έχει όριο το R, τότε είναι υποχρεωτική και η σειρά αυτή εδώ πέρα να πηγαίνει στο 0, το ΑΝ θα πηγαίνει στο 0. Σε θέλω να σας παρακαλέσω να μου πείτε αν είναι κατανοητό, ήρθε μήνυμα, πρωί πρωί. Λοιπόν ακούω, εάν είναι κατανοητό αυτό που είπα, δηλαδή τι ήθελα να πω, δεν το ξαναπω άλλη μια φορά, θα γύρω και θα ρωτήσεις, λέω ότι εάν μία σειρά S-N, εσείς ξέρετε ότι συγκλίνει, άρα δηλαδή έχει κάποιο όριο όταν το N πάει το άπειρο που είναι το R, τότε σε αυτή τη σειρά υποχρεωτικά ο όρος ΑΝ θα πηγαίνει στο 0. Λοιπόν, αργήρες, ακούω. Λέγκω, κομποριδευτεί λίγο με τις σειρές. Ο πρώτος όρος της σειράς αποτελεί από το άφυσμα όρος μιας ακολουκτίας. Ο πρώτος όρος της σειράς, η σειρά S-1, ας πούμε, έχει τον πρώτο όρο ΑΕΝΑ. Αν χτίσω σιγά σιγά και εδώ τους όρους της σειράς, όταν λέω S-2, παίρνω από την ακολουθία τους δύο πρώτους όρους. Στον ΑΣΕΝΑ συν΄ΕΣΔΙΟ. Η σειρά είναι άθρισμα των όρων της ακολουθίας. Και το Ν λέει πόσους όρους της ακολουθίας θα αθρίσω. Ενώ η ακολουθία είναι ξέμπαρκη ώρη μόνη τους, αΕΝΑ, κόμμα, αΔΙΟ, κόμμα, αΘΡΙΑ, δεν αθρίζονται, στη σειρά τους αθρίζω. Οπότε όταν γράφω S-ΝΙ, θεωρώ ότι έχω το αΕΝΑ συν το αΔΙΟ, συν το αΘΡΙΑ, συν το αΤΕΣΡΑ, τελείως συν το αΝΙ. Αυτή είναι η σειρά S-ΝΙ. Εντάξει. Καθαρό αυτό. Προσθέτουμε τους όρους της ακολουθίας. Και τότε μιλάμε για σειρά. Και η σειρά φτιάχνει και αυτή μια ακολουθία. Και η σειρά φτιάχνει μια ακολουθία. Γιατί το S-ΝΙ είναι ο πρώτος όρος του αθρίσματος. S-ΝΙ ίσον αΕΝΑ. Ο S-ΔΙΟ, που είναι ο δεύτερος όρος της ακολουθίας της σειράς τώρα, είναι το αΕΝΑ συν αΔΙΟ. Άρα δηλαδή και με τις όρους της σειράς, S-ΝΙ, S-ΔΙΟ, S-ΤΡΙΑ, κλπ. φτιάχνουμε πάλι μια ακολουθία. Αλλά αυτή η ακολουθία έχει τα αθρίσματα μέσα μιας ακολουθίας η οποία είναι σκέτη. Λοιπόν, ξεκάθαρο τι είναι το ένα και τι είναι το άλλο. Στη σειρά αθρίζουμε. Και το S-ΝΙ είναι αΕΝΑ συν αΔΙΟ συν αΤΡΙΑ τελείες συν αΝΙ. Ωραία. Τώρα μιλάμε για τη σύγκληση όμως, έτσι, να ξεκαθαρίσουμε. Και είπαμε ότι υπάρχουν δύο πολύ ιδιαίτερες σειρές, η γεωμετρική που την ξέρετε από το Λύκειο, η οποία και συγκλίνει και αν το R είναι μικρότερο μεταξύ του πλυν ένα και του ένα, τότε ξέρουμε ακριβώς όχι μόνο ότι συγκλίνει αλλά και ποιο είναι το άθρισμα της σειράς για το N να πηγαίνει στο άπειρο. Αλλά σε αυτή την περίπτωση είμαστε τυχεροί. Σας είπα λοιπόν κι άλλη μία σειρά και τώρα πάμε στις γενικότερες σειρές. Μου δίνεις μία σειρά και με ρωτάς αν αυτή η σειρά, τι χαρακτηριστικά έχει αυτή η σειρά. Και τώρα θα σας πω ένα πολύ ενδιαφέρον πράγμα το οποίο αν το καταφέρουμε και το χρησιμοποιούμε, τα μπορούμε να αποδείξουμε πολύ εύκολα γιατί τα μπορούμε να αποδείξουμε πολύ εύκολα τη σύγκληση της σειράς. Αυτό το κριτήριο που σου είπα τώρα, μπορώ να το χρησιμοποιήσω για να αποδείξω μία άσκηση. Δηλαδή η συγκεκριμένη ακολουθή αυτό που συζήτησα τώρα, μπορώ να το χρησιμοποιήσω για να αποδείξω μία άσκηση. Παραδείγματος χάρη αν θέλετε να αποδείξετε τη σειρά k ή μήτονο, μία μάλλον, ή μήτονο του 1 διά k. Αυτή εδώ πέρα είναι μια, k να βάλω, από k ίσον 1 μέχρι το άπειρο. Λοιπόν έγραψα μία συγκεκριμένη σειρά, η οποία είναι το άθροισμα από k ίσον 1 έως άπειρο του k επί το μήτονο μέσα στην παρένθεση 1 διά k κλείνει παρένθεση. Τώρα αυτή εδώ η σειρά μπορείτε να δείτε εσείς εάν σας την έδινα και σας ρωτούσα συγκλίνει ή αποκλίνει αυτή η σειρά. Είναι k επί μήτονο του 1 διά k. Αυτό που θα ήθελα γιατί δεν είστε ακόμα έτοιμοι να το αποδείξετε, εάν πάρω αυτή τη σειρά και τη γράψω η μήτονο του 1 διά k και στον παρονομαστή βάλω το 1 διά k, οπότε έφτιαξα αυτήν εδώ τη σχέση που πάει από 1 μέχρι άπειρο. Έγραψα λοιπόν το k επί μήτονο του 1 διά k, το έγραψα έτσι. Αυτό εδώ πέρα το όριο βλέπετε ότι πάει στη μονάδα, το όριο δηλαδή του α k όρου που είναι το μήτονο παρένθεση 1 διά k δια 1 διά k, αυτό πάει στη μονάδα. Οπότε έχω άθεσμα από μονάδες, άρα η σειρά αποκλίνει. Καταλάβατε, αν σας ζητάω, ξεκίνησα με το να σας ζητήσω το k επί το μήτονο του 1 διά k, όταν το αθρίσω, αν αυτό συγκλίνει ή αποκλίνει. Οπότε παίρνετε εσείς τον όρο που έχω, τον α k όρου, τον ξαναγράφετε έτσι, αποδεικνύεται ότι αυτό πηγαίνει στη μονάδα, το μήτονο του 1 διά k διά 1, και οπότε λέτε ότι αυτό είναι άθεσμα από μονάδες, άπειρες μονάδες, άρα η σειρά αποκλίνει. Έτσι, άρα μπορείτε δηλαδή με τη μελέτη του όρου α k, εάν αποδεικνύαμε εδώ ότι το α k πάει στο μηδέν, δεν θα είχαμε αποδείξει ότι η σειρά συγκλίνει ακόμα. Έτσι, δεν είναι αρκετό το κριτήριο. Το τι αποκλίνει, όμως, είναι εύκολο με το δομή, γιατί δεν θα έχουμε πειραγγού πειρασμού, αλλά θα έχουμε λίγο πειρο. Με καταλάβατε, είστε πάρα πολύ ισιοποιροί, ενώ τη Δευτέρα έχετε μία δράση απάνω σας, την Κυριακή, την Πανασκευή, περιμένουμε να σκέφτεσαν το Κυριακό, έχετε χαμηλώσει έτσι αρκετά και το πρωί ακόμα χειρότερα, δεν έχετε πει καφέ υπόλοιπο λοιπόν ή περισσότεροι, δεν έχουν έρθει τα σωστά μηνύματα που έπρεπε να αρθούν, έκδοσα από ορισμένους. Λοιπόν, για πες Αργύρη. Πώς στέλνει αυτό το ακροδόστο άπειρες μονάδες? Λέω, αυτό που έφτιαξα τώρα, αυτό που έφτιαξα τώρα που ήταν το άθρισμα, έχω μία σειρά, εγώ σας δίνω μία σειρά, έτσι προσέξτε, γιατί μάλλον από την ερωτή του Αργύρη κατάλαβα ότι δεν με έχετε καταλάβει. Εγώ έχω δώσει αυτή τη σειρά και δεν λέω τίποτα άλλο και λέω αποδείξτε μου αν αυτή η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει. Τι θα μπορούσατε να κάνετε εσείς αυτή τη σειρά. Εντάξει, λοιπόν, παίρνετε τη γράφετε έτσι και γράφετε αυτόν τον όρο, τον ΑΚ, τον γράφετε έτσι. Εάν λοιπόν αυτός ο όρος γραφτεί έτσι και βγάζει μονάδα το ΑΚ, το όριο του ΑΚ βγάζει μονάδα. Αφού έβγαλε μονάδα τώρα τι έχω, έχω να θρήσω μονάδες. Δεν είναι δυνατόν αυτή να συγκλίνει, θα πάει στο άπειρο, έτσι δεν είναι. Με καταλαβαίνετε, αργεί εντάξει. Λοιπόν, πάμε τώρα να δούμε ένα άλλο, ναι. Λοιπόν, έχουμε μια σειρά η οποία ξέρουμε ότι συγκλίνει και συγκλίνει σαν να έχουμε το Ά. Μπορεί να είναι 2, μπορεί να είναι 5, μπορεί να είναι οτιδήποτε, έτσι. Αυτό το ξέρουμε. Λοιπόν, έτσι εμβαίνει αυτό, τότε οι όροι της σειράς, το Ά1, το Ά2 και τα λοιπά, πρέπει να προσεγγίσουν το μηδέρο που τον είπα εις το ύπνο. Αυτό είπα. Και αυτό το έδειξε. Άρα το Ά γιατί το έβγαλα, γιατί το όριο του ΑΚ συγκλίνει στο Ά. Το όριο του ΑΚ επίσης συγκλίνει στο Ά. Γιατί, δεξιά, τότε πρέπει να γραφέρει το Ά όταν τον είπα εις το άπειρο. Το Ά δηλαδή είναι ο προηγούμενος από τον προηγούμενο απειροστό όρο. Οπότε και για το μη, μη, οπό, όσο πάει... Μη είναι όσο λόγο όταν θα είναι άπειρο. Αν απαδιαφέρεσαι σε έναν αριθμό συγκεκριμένο δηλαδή 2, 3, 5, όλοι οι όροι από ένα σημείο και μετά έχουν φτάσει στο άπειρο. Δεν ενδιαφέρει δηλαδή... Ό,τι κάνει το ΕΣΝΙ θα κάνει και το ΕΣΝΙ-1 διότι το Ν είναι άπειρο. Εκεί που δεν το προσεκεί, ισχύει και για τα 1, 2, 3 και για τα νούμερα γενικότερα της σειράς. Όχι, δεν ισχύει για το 1, 2, 3. Ισχύει για τα μεγάλα νούμερα. Για το Ν είναι άπειρο. Για το 1, 2, 3... Α, εκεί που δεν ισχύει είναι στα πρώτα φυσικά. Ναι, ναι, ναι. Στα μεγάλα νούμερα δηλαδή του Ν, 1000, 1500, 2000. Σε αυτό πηγαίνει συνεχώς, προσεγγίζει έναν αριθμό όποιος δίποτε είναι αυτός. Το 3. Λοιπόν, τώρα να δούμε έναν καινούργιο κριτήριο. Το οποίο το χρησιμοποιούμε πάρα πολύ και θα μας αποδείξει ένα κριτήριο πολύ χρήσιμο. Αλλά θα με βοηθά, προσέξτε λίγο μαζί να το καταλάβουμε αυτό το κριτήριο. Λέγεται το κριτήριο της ολοκλήρωσης. Σας είχα πει και νομίζω ότι όταν συζητήσαμε γιατί μπορώ να χειριστώ μια σειρά η οποία είναι διακριτή σε αριθμούς με τεχνικές συνάρτησης που είναι συνεχής. Είχατε αυτή την απορία, δεν είχατε. Είχαμε δηλαδή μια απορία διαπιστώσει στο περασμένο μάθημα. Πώς μπορούμε να χρησιμοποιούμε κριτήρια όπως το τελοπιτάλ, όπως τα κυσταόρια. Δηλαδή κριτήρια που τα χρησιμοποιήσαμε στις συναρτήσεις να τα χρησιμοποιούμε και σε διακριτά. Νομίζω ότι σας είχα απαντήσει τότε ότι η μορφή είναι με την οποία εξελίσσεται μια σειρά. Αυτό είναι το 1, ν1, εδώ είναι το 2, εδώ είναι το 3, εδώ είναι το 4. Άρα λοιπόν οι όροι της σειράς, ο S1, ο S2, ο S3 κτλ. Ας υποθέσουμε ότι ακολουθούν διακριτά, παίρνετε ορισμένα σημεία με τα οποία αυτή η σειρά εξελίσσεται. Ωραία, άρα η σειρά αυτή είναι μια ακολουθία από τον πρώτο όρο, το S1, το S2, το S3, το S4 κτλ. Προσέξτε, εάν καταφέρετε και μου δείξετε ότι όλοι οι όροι της σειράς, ο S1, ο S2, ο S3, ο S4 κτλ., παραμένουν μικρότεροι από κάποιον αριθμό μη, το 4 δηλαδή, όλοι οι όροι της σειράς, τότε θα έχετε αποδείξει ότι η σειρά συγκλίνει, γιατί φράζεται από τα πάνω. Άρα, όσο και να μεγαλώνω το ν, έχω ένα μη το οποίο περιορίζει τη σειρά, μην βρείτε έναν τρόπο να μου το αποδείξετε εμένα, ότι όλοι οι όροι της σειράς, όποιον όρο και να μου δώσετε, όταν το ν μεγαλώνει, παραμένουν μικρότεροι από έναν αριθμό, το 3, ε, μου έχετε δείξει ότι η σειρά συγκλίνει, διότι φράζεται από πάνω, με κάποιον αριθμό. Άρα η σειρά τι θα έχει, κάτι μεταξύ του 0 και του 3 θα είναι η σειρά, αφού έχει περιοριστεί από πάνω. Και 0 είναι ο πρώτος όρος, διότι είναι όλοι αυτοί οι όροι που συζητάμε τώρα, είναι θετικοί αριθμοί. Με καταλαβαίνετε, ωραία. Λοιπόν, ένας τρόπος που σκέφτηκα να το κάνουν αυτό, είναι ότι θα μπορούσαμε να σκεφτούμε και ας πάρουμε μια πολύ συγκεκριμένη σειρά, ας πάρουμε τη σειρά σίγμα, ας μιλήσουμε για πολύ συγκεκριμένη σειρά, όχι για τυχαία, 1 δια Κ, έχω τη σειρά 1 δια Κ στο τετράγωνο. Έχω αυτή τη σειρά να συζητήσω που ξεκινάει από το 1 και πάει στο άλλο. Θέλω να μάθω αν αυτή η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει. Άθρισμα του 1 δια Κ τετράγωνο. Για αυτή θέλω να μιλήσω. Αυτή ξέρω εγώ πώς είναι η σειρά. Παίρνοντας όρους το Κ ίσον 1 θα μου δώσει 1. Παίρνοντας το Κ ίσον 2 θα μου δώσει ένα μικρότερο ρυθμό. Παίρνοντας το Κ ίσον 3 θα κατεβαίνει όπως κατεβαίνει το Κ. Έτσι, θα δημιουργήσει αν την ενώσω όλα αυτά τα σημεία, θα μου δημιουργήσει τη συνάρτηση 1 δια Χ τετράγωνο. Αλλά αυτή η σειρά θα έχει μόνο τους spots, ας πούμε μόνο τους αριθμούς 1 στο σημείο 1, στο σημείο 2 κτλ. Με παρακολουθείτε? Τώρα, κοιτάξτε τι μπορώ να κάνω εγώ. Μπορώ να υπολογίσω, θα δείξω δηλαδή, μπορώ να δείξω ότι το Sν είναι μικρότερο από το 1, που είναι ο πρώτος όρος, συν το ολοκλήρωμα από το 1 μέχρι ν, του 1 δια Χ τετράγωνο δΧ. Σας λέω τι θέλω να κάνω και θα σας το εξηγήσω. Λέω ότι εγώ γράφω ότι το άθλησμα αυτών των σημείων, των διακριτών σημείων, το Sν δηλαδή, τι θα είναι το Sν, για να σας το θυμίσω, το Sν θα είναι ο εξής αριθμός 1 συν εν δεύτερο, συν εν τέταρτο μάλλον, συν εν ένατο, ας το γράψω 2 στο τετράγωνο, 3 στο τετράγωνο, συν 1 δια ν στο τετράγωνο. Αυτός είναι ο όρος Sν. 1 συν ένα δεύτερο στο τετράγωνο, ένα τρίτο στο τετράγωνο, συν ένα ν στο τετράγωνο. Αυτό το το άθλησμα εγώ θα εισκυριστώ, ότι είναι μικρότερο η ίσο από το 1, συν το ολοκλήρωμα του 1 δια ν, του 1 δια Χ τετράγωνο δΧ. Θέλω να δω χωρίς να πω εγώ τίποτα, είναι αυτό που είπα, το βλέπετε κι εσείς ή θέλετε εξήγηση, ποιος το καταλαβαίνει γιατί συμβαίνει αυτό. Ενώ το Sν αθρίζει μόνο τα διακριτά σημεία, δηλαδή το S1 που είναι 1, συν το 1 τέταρτο, συν το 1 εννάτο, συν το 1 δέκατο έκτο, αθρίζει μόνο αυτά και λέω, το άθλησμα μόνο των διακριτών σημείων, το Sν δηλαδή, είναι μικρότερο από το 1 συν, το 1 δια ν, 1 δια Χ τετράγωνο δΧ. Γιατί να συμβαίνει αυτό. Το βλέπετε εσείς ότι συμβαίνει. Καταρχήν πηγαίνεται στο ολοκλήρωμα. Τι ξέρουμε για το ολοκλήρωμα. Το ολοκλήρωμα είναι το 1 δια Χ τετράγωνον δΧ. Ξεχάστε τη σειρά προς το παρόν. Και πέστε μου αυτό το 1 από 1 μέχρι ν, του 1 δια Χ τετράγωνον δΧ, τι σημαίνει για σας. Πέστε μου εσείς. Λογικά θα είναι κάποιο σαν εμβαδό. Μπράβο, θα είναι λοιπόν όλα τα εμβαδά, θα αθρίσουμε το εμβαδό κάτω από αυτή τη σειρά. Ε, εφόσον αθρίζουμε αυτά εδώ πέρα και σημεία περισσότερα, αυτό το άθρισμα με το άθρισμα των διακριτών σημείων, δεν θα είναι μεγαλύτερο. Το βλέπετε παιδιά. Όποιος δεν το βλέπει σηκώνει και λέει, παρόλο ότι όλοι λένε το βλέπουνε, εγώ δεν το βλέπω. Να το κουβεντιάσουμε, να σας εξηγήσουν οι συμφιλητές σας. Υπάρχει κάποιος σε αυτό το δωμάτιο που δεν το βλέπει. Αργύρη. Πώς είναι όμως να πάρουμε βανδόνα από τη σημεία, δηλαδή, δεν είναι λίγο περίεργο αυτό. Κοίταξε, ή εμβαδόν πάρουμε, αργύρη, ή τα σημεία αθρίσουμε, αριθμός θα βγει. Απλώς ο αριθμός του εμβαδού είναι πιο μεγάλος από τον αριθμό της αθρίσεως των διακριμένων σημείων. Αυτό θέλουμε εμείς, δεν μας νοιάζει εμάς, αν οι ποσότες που συγκρίνουμε είναι οι ίδιες. Μας νοιάζει, γιατί είναι τα νούμερα. Καταλαβαίνετε, εμείς θέλουμε να φράξουμε το άθρισμα με κάτι μεγαλύτερο, να το φράξουμε από πάνω. Το ένα γιατί χρειάζεται? Γιατί όταν βάλω εδώ, όταν βάλω από το ένα μέχρι, θα ξεκινήσει αυτό, από ποιον όρο, γιατί ξεκινάει λίγο μετά. Δηλαδή δεν ξέρω αν το συμπεριλαμβάνει το ένα. Η τιμή του χ1, αυτό δηλαδή αρχίζει από το ένα, είναι μεγαλύτερο από το ένα, και το ένα πρέπει να το προσθέσουμε, γιατί είναι ο πρώτος όρος σε αυτήν την σειρά. Δηλαδή, όταν ολοκληρώνω από ένα, παίρνω το μεγαλύτερο κομμάτι. Αθρίζω όλη την επιφάνεια πάνω από το ένα. Οπότε θα πρέπει να συμπεριλαμβώ και το ένα, το οποίο είναι μέσα στη σειρά. Δηλαδή, όταν αθρίζω ένα πράγμα, δεν είναι σίγουρο ότι συμπεριλαμβάνω και αυτό το νούμερο. Αλλά ούτως ή άλλως, δεν θα παίξει και τον καθοριστικό ρόλο. Δηλαδή, είτε το βάλω είτε δεν το βάλω, άπαξ και το ολοκλήρωμα μου βγάζει νούμερο, έχω τελειώσει. Το ένα είναι δηλαδή καθαρά σημείο, για να έχουμε απόλυτη ακρίβεια, αυτήν την μαθηματική αυστηρότητα. Αλλά δεν είναι το κύριο στοιχείο. Άρα λοιπόν, εσείς τι βλέπετε εδώ πέρα, αν κάνω αυτή τη δουλειά, αυτό τι θα μου βγάλει παιδιά, για κάντε εσείς αυτή τη δουλειά και πεςτε μου, τι νούμερο βγάζει αυτό. Το ένα, συν το ολοκλήρωμα από ένα μέχρι ν, το ένα διαχεί τετράγωνον, τεχεί, τι θα βγάλει. Τι νούμερο θα βγάλει. Έλα, δεν σας ζήτησα τίποτα φοβερό, πεςτε μου, σας ζήτησα να μου ολοκληρώσετε το ένα διαχεί τετράγωνον, τεχεί, από το ένα μέχρι το ν. Πεςτε μου τι βγάζετε εσείς. Ναι, αλλά το ν θέλω να το πάω τώρα στο άπειρο, έτσι. Το ν θα είναι άπειρο, δεν σας το πω αυτό, εγώ φταίω. Θα είναι από ένα έως άπειρο το ένα διαχεί τετράγωνον, τεχεί. Καταλήγησε τίποτα αυτό. Άρα δύο. Το βλέπετε όλοι. Μην τρέπεστε να πείτε, όχι εγώ δεν το βλέπω, να μας πείτε συναδελφός σας πώς το έκανε. Το βλέπετε όλοι. Ωραία, μπράβο. Άρα λοιπόν, να ένα κριτήριο απόδειξης. Προσέξτε κάτι, εάν θέλω να το γενικεύσω αυτό το κριτήριο, θα ήθελα να μου το αποδείξετε, αν συμβαίνει, στην περίπτωση που δεν έχω ένα διακάπα, αλλά έχω ένα διακάπα π, και να μου πείτε πότε φαίνεται ότι συγκλίνει και πότε αποκλίνει. Δηλαδή, πάρτε να το γενικεύσουμε το κριτήριό μας. Να βάλουμε ένα διακάπα εις την π. Και κάντε διερεύνηση. Πέστε μου για ποια π συγκλίνει και ποια π δεν συγκλίνει. Έτσι, χρησιμοποιήστε λοιπόν αυτό το κριτήριο, μόνο που θα βάλετε εδώ π. Και κάντε διερεύνηση. Αυτό θέλω να κάνετε τώρα. Με παρακολουθείτε? Ναι ή όχι. Ωραία. Πώς θα συγκλίνει στο 2 αυτή η σειρά? Αυτή η σειρά λέμε ότι συγκλίνει. Τίποτα άλλο δεν συγκλίνει. Το 2 το χρησιμοποιούμε, δεν συγκλίνει στο 2 η σειρά. Είναι άλλη η κουβέντα αυτή. Το να βρούμε πού συγκλίνει η σειρά είναι δουλειά διαφορετική. Πρώτα εγώ εξασφαλίζω ότι η σειρά συγκλίνει. Δεν ενδιαφέρει πού συγκλίνει. Αρκεί να συγκλίνει. Μπορεί να συγκλίνει οπουδήποτε από το 0 μέχρι το 2. Κατανοητό. Άρα το να βρω ακριβώς πού συγκλίνει η σειρά είναι δουλειά. Που θέλει άλλη διαδικασία. Δεν κάνω αυτή τη στιγμή αυτή. Άρα λοιπόν θέλω να γενικεύσω το κριτήριό μου και να κάνω και διερεύνηση. Να πω τι συμβαίνει για το π όταν το π είναι μεγαλύτερο του 1 και τι συμβαίνει όταν το π είναι ίσον με 1. Για κάντε τη διερεύνηση και βρέστε μου υπάρχει διαφορά σ'αυτό που θα προκύψει εδώ για το π μεγαλύτερο του 1 και το π ίσον με το 1. Κάντε τις πράξεις. Κάντε τις πράξεις αυτού πράγματος πρώτα που είναι το 1 στην. Το 1 διάχει στο 1. Πέστε μου τι θα βγάλει αυτή η σειρά. Αυτή είναι η οκληρωσή. Ξέρετε ότι στην πιο μικρότερη περίπτωση για να κάνουμε ένα τέτοιο ολοκλήρωμα ο τρόπος που δουλεύουμε είναι να βάλουμε το άπειρο σαν l σαν έναν οποιονδήποτε ρήμα και μετά θα βρούμε την απάντηση σαν συνάρτηση του l και θα πάνουμε το l να πηγαίνει στο άπειρο. Αυτά τα γενικευμένα ολοκληρώματα τα έχετε δουλέψει. Δηλαδή αν δεν ενδιαφέρει να δουλέψω ένα ολοκλήρωμα από το 1 έως το άπειρο το γράφω έτσι το όριο του l να πηγαίνει στο άπειρο οποιασδήποτε συνάντηση έχω fx δx έτσι δουλεύω με ολοκληρώματα τα οποία το πάνω μέρος είναι το άπειρο. Οπότε εσείς μπορείτε να γράψετε το 1 συν ολοκλήρωμα από 1 μέχρι l και να πάρετε το όριο του l να πηγαίνει στο άπειρο τη συνάντηση 1 δια x στην π δx και να βγάλετε ποιο είναι το αποτέλεσμα. Κάνετε δηλαδή αυτό το ολοκλήρωμα πρώτα. Το ολοκλήρωμα που πρέπει να κάνετε είναι να ολοκληρώσετε αυτό το πράγμα πρώτα. Έχετε νεορισμένο ολοκλήρωμα από το 1 μέχρι το l υπολογίζετε ποιο είναι το αποτέλεσμα και μετά πάτε το l στο άπειρο. Λοιπόν, όποιος έχει τελειώσει μου λέει τι έχει βγάλει από την ολοκλήρωση μέσα στην παρένθεση. Ακούω όποιος έχει τελειώσει μου λέει τι έβγαλε από την ολοκλήρωση μέσα στην παρένθεση. Θέλω να ολοκληρώσετε το εδώ πέρα το από το 1 μέχρι το l του 1 διαχεί στην πέντα έχει αυτό το ολοκλήρωμα να κάνετε. Λέω ότι όταν έχουμε να κάνουμε ένα ολοκλήρωμα από το 1 μέχρι το άπειρο, επειδή το άπειρο είναι ένας αριθμός τον οποίον δεν μπορούμε να διαχειριστούμε σαν όριο, κάνουμε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα που είναι από το 1 μέχρι το l. Το l είναι ένα συγκεκριμένος αριθμός. Γενικευμένο ολοκληρώματα είχατε κάνει στο λήκο ή όχι. Όχι. Σας το λέω εγώ τώρα θα το ξαναπούμε και στη συνέχεια. Αν θέλω να κάνω μια ολοκλήρωση από το 1 έως το άπειρο, ο τρόπος που δουλεύω τέτοια ολοκληρώματα είναι να πάρω από 1 μέχρι l ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα. Αυτό είναι ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, έτσι δεν είναι, το κάνω. Και μετά παίρνω το όριο του l να πηγαίνει στο άπειρο. Αυτή είναι όλη η διαδικασία για τα γενικευμένα ολοκληρώματα. Το άπειρο το αντικαθιστώ με ένα συγκεκριμένο σύμβολο το l. Ή οποιοδήποτε διαλέξετε εσείς. Λοιπόν, εγώ θέλω, ξεχάστε τα προηγούμενα, κάντε μου αυτό το ολοκλήρωμα από 1 μέχρι l αυτό το πράγματος, θα μου πείτε τι βγαίνει εδώ πέρα. Αυτό το περιμένω, το έχετε κάνει ήδη τώρα, δε γιατί δεν το έχετε κάνει. Πέστε μου τι βγάζει αυτό το ολοκλήρωμα εκεί πέρα. Ακούω. Έχετε δυσκολία, τι συμβαίνει. Λοιπόν, δεν θα μου πει κανένας, για πέστε μου εσείς. Ναι, το έκανες δηλαδή, έκανες ολοκλήρωμα χ στη μιον πέ, δε χ, ωραία. Άρα λοιπόν αυτό το έγραψες γη μιον πέ συν ένα, δια πέ μιον πέ συν ένα. Και αυτό το πήρες από το 1 μέχρι το l. Αυτό είναι ολό. Και το αποτέλεσμα που θα βγάλει συνάδελφός σας θα είναι, l μιον πέ συν ένα, δια μιον πέ συν ένα, μιον το ένα, δια μιον πέ συν ένα. Όχι, γιατί είναι μιον ένα. Εδώ είναι μιον, δεν καταλάβα που λέτε. Είναι το ίδιο, το ίδιο θα βγει ο παρονομαστής. Παρονομαστής βγαίνει ο ίδιος με τον εκθέτη. Οπότε είναι αυτό το αποτέλεσμα και παίρνω να πάει, όταν το l εδώ πάει στο άπειρο, αυτή η σειρά θα δώσει για πέ, κάνω αμέσως μια διαρεύνηση που λέει, ότι ανάλογα την τιμή του πέ, εάν το πέ όπως βλέπετε εδώ πέρα φαίνεται καθαρά, ότι για πέ ίσον με 1 αυτή η σειρά αποκλίνει, για πέ μεγαλύτερο του 1 αυτή η σειρά συγκλίνει και δεν είναι ένα συγκεκριμένο ρυθμό. Άρα βλέπετε ότι μόνο αν το μίον πέ συν ένα είναι μικρότερο, μόνο αν το μίον πέ συν ένα είναι μικρότερο του μηδενός, αυτή η σειρά, αυτό το ολοκλήρωμα συγκλίνει και δεν είναι ένα συγκεκριμένο ρυθμό. Εάν το μίον πέ συν ένα είναι ίσον με 0, η σειρά αποκλίνει. Άρα λοιπόν συμπερένω ότι υπάρχει μια άλλη σειρά, όπως είχαμε πει γιατί υπάρχουν τρεις σειρές τώρα με τις οποίες έχουμε μελετήσει αρκετά. Η μία η σειρά είναι, υπάρχουν τρεις σειρές τις οποίες έχουμε μελετήσει πολύ συγκεκριμένα. Η μία είναι η γεωμετρική, η άλλη είναι τηλεσκοπική και η άλλη είναι οι πέ σύρειες, έτσι λέγεται η σειρά πέ, η οποία είναι αυτή εδώ σίγμα ένα δια κάπα εις την πέ. Και τι βγάλαμε, το άθρισμα του ένα δια κάπα, αυτό δηλαδή το όριο, αυτό αποκλίνει. Αν δε ολοκληρώσετε, αν εδώ, αν σας δώσω να ολοκληρώσετε χρησιμοποιήστε το κριτήριο αυτό που σας είπα. Για το S1 να είναι μικρότερο του 1 συν το ολοκλήρωμα από 1 έως άπειρο του 1 δια κάπα, δε κάπα, αυτό το όριο αποκλίνει. Αυτό αποκλίνει. Άρα από την σειρά πέ λοιπόν διαλέγουμε τα κριτήρια και λέμε, εάν μου δώσεις ή φτάσω σε μία σειρά που είναι αυτής της μορφής, για το πέ ίσον 1 η σειρά θα αποκλίνει, για το πέ μεγαλύτερο του 1 η σειρά θα συγκλίνει. Άρα μάζεψα λοιπόν και έναν δεύτερο ενδιαφέρον κλητήριο που λέει πώς μπορούμε να αποφασίσουμε η σειρά αυτή τη λέγχη όλων των εις την πέ. Είναι 1 δια κάπα εις την πέ και έχει αυτά τα χαρακτηριστικά. Οπότε κρατήστετε και αυτή την πληροφορία. Μαζεύουμε πληροφορίες. Τώρα για να δούμε το κριτήριο γενικότερα της ολοκλήρωσης, θέλω να μου λύσετε εσείς με όσα είπαμε εδώ πέρα, πέστε ότι έχετε μία άσκηση και θέλετε να δείτε αν συγκλίνει αυτή η σειρά. Η σειρά που σας δίνω είναι αυτή που θα δώσω τώρα και σας το λέω εγώ από τώρα ότι θέλω να χρησιμοποιήσετε το κριτήριο της ολοκλήρωσης. Ποια σειρά θέλω να λύσετε, σας τη δίνουμε. Είναι 1, 1 συν 9 κάπα τετράγωνο, το κάπα να είναι ίσον 1 μέχρι άπειρο. Αυτή είναι εδώ τη σειρά, θέλω να χρησιμοποιήσετε το κριτήριο της ολοκλήρωσης. 1 διά 1 συν 9 κάπα τετράγωνο. Αυτό είναι το κριτήριο, αυτή είναι η σειρά που θέλω και θέλω να δω αν αυτή η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει χρησιμοποιώντας στις ασκήσεις που έχετε να παραδώσετε σήμερα. Επειδή είχε προλάβει, βάλαμε και ασκήσεις γιατί εγώ θα το έκανα σήμερα το κριτήριο αυτό, ο κ. Πλεονίστω έκανα ήδη και θέλω να απελευθερωθούμε λίγο και από το λυκιακό, άδεν το διδάξετε, το βιβλίο το έχετε τώρα και μπορείτε να διαβάζετε και μόνοι σας εφόσον έχετε να λύσετε ασκήσεις. Θα μπορούσαμε να κάνουμε ό,τι ήθελα να κάνουμε με τους φοιτητές που ήρθαν από ξένοι και να πιστεύουν με αρνόδους. Τι κάνουμε με τους φοιτητές, πώς παρακολουθούν αυτοί οι φοιτητές που έρχονται από την Ευρωπανοιστήμια να πληκώσουν σε αυτή τη θέση και να παρακολουθούν σε αυτή τη θέση και φυσικά θα τους φέρνουν εδώ μέσα. Και τι κάνουμε με αυτούς και έτσι θα κάνετε και αυτή τη θέση με αρνόδους και θα κάνετε και αυτή τη βράση. Τους δίνουμε το βιβλίο στα ελληνικά και τους δίνουμε να διαβάσουν ή να συγκεκρινούν τα κεφάλαια. Τους δίνουμε και ασκήσεις και τους συνδέουμε μία φορά τη βουλούδα να λύσουν απορίες και να παραδούσουν τις ασκήσεις. Και αυτό αντικαθιστά όλο αυτό το μπλα μπλα εδώ μέσα και είναι μια χαρά. Αυτό όμως φέρνει την ευθύνη ότι αυτός αναλαμβάνει να βγάλει τις ερωτήσεις που θέλει, να μπεράσει το κεφάλαιο που θέλει, να λύσει τις ασκήσεις που θέλει και να έρθει να σε δίνει να σου ρωτήσει μόνο αυτά που έχει απορίες. Ωραίο δεν είναι έτσι. Πάρα πολύ ωραίο. Αρκεί να είχαμε μόνο 10 από σας. Γιατί δεν το κάνουμε και με εσάς αυτό. Γιατί έπρεπε να είχαμε καμιά δεκαριά. Τώρα με 200 και περιμένουμε άλλο σε 80% το άλλο εξάμινο. Θα μαζευτείμε 300 έτσι αγαπημένοι και δύσκολα να σας βλέπουμε έναν έναν και να σας λύνουμε τις απορίες. Εγώ σας είχα προτείνει μια λύση, δεν τη δοκιμάσετε. Δεν τη δουλέψατε. Δεν σας ενδιαφέρει. Δεν πειράζει. Εγώ θα λέω εσείς τι μπορείτε να μου θέλετε. Η λύση μου είναι όταν μαζεύετε τις ερωτήσεις, βολεύετε τις απορίες μεταξύ σας, κοιτάζετε τις ασκήσεις μεταξύ σας, επεξεργαζόσαστε και ερχόσαστε σαν ομάδα αν έχετε απορίες γιατί μπορεί μέσα στην ομάδα να τις λύσετε. Βέβαια είχα πει και το νομίζω το είχαμε κάνει καθαρό, ότι όταν παραδίδετε ασκήσεις, η ομάδα δεν παρουδεί ένα σε τα σκήσιον ή αντιγραφές από ένα. Ο καθένας γράφει τη δική του λύση των ασκήσιων. Αυτό το είχαμε κάνει καθαρό και ελπίζω να το ακολουθείτε. Αν δεν το ακολουθείτε, εσείς χάνετε. Γιατί χάνετε εσείς, γιατί παίρνετε μεν τον bonus της μιας μονόδος, μπορείτε να το πάρετε, αλλά αν γράψετε για τρία στις εξετάσεις, το bonus θα χάθει. Αλλά για να γράψω για τρία απλώς να πω στο σπίτι μου και να μπορώ να λύσω τις ασκήσεις στο σπίτι μου μόνος μου. Αν γράφω για τρία στις εξετάσεις και με μια λεπτή σελίδα και τις λύει, σημαίνει ότι τις έχω φωμιώσει. Σημαίνει ότι η δουλειά πήγε μια χαρά. Και στην εργασία και την ατομικότητα. Κατανοητό? Αν αυτό το επεκτείνετε σε όλα τα μαθήματα, θα βγάλετε το φυσικό πριν το καταλάβετε. Αρκεί να διαλέξετε σωστή ομάδα και να είστε επαγγελματίες. Μαζέψτε να φτιάξετε μια ωραία ομάδα που έχετε τους ίδιους και μεγάλους στόχους, δουλέψτε ομαδικά και τελειώστε το φυσικό σε 4 χρόνια οπωσδήποτε. Εντάξει, λοιπόν αυτό. Επηρέωθε το κριτήριο της ολοκλήρωσης. Αυτό εδώ πέρα. Και πείτε μου τι βγάζει. Όποιος θέλει να το κυνέζει, όποιος θέλει να πει δηλαδή ποιο ήταν το κριτήριο της ολοκλήρωσης, αυτό θα πει. Με το κλείπι ουσιαστικά ένα πράγμα είναι σημαντικό. Να ολοκληρώσετε από ένα έως άπειρο. Εδώ δεν ξέρω αν θυμάστε το ολοκλήρωμα του 9x4 που έχει εδώ πέρα. Αυτό το ολοκλήρωμα, θέλω να σας πω κάτι που πιθανόταν να μην το θυμάστε αυτή τη στιγμή. Αυτό το ολοκλήρωμα εμείς θα το κάνουμε όριο του l να πηγαίνει στο άπειρο, του ολοκληρώματος από 1 μέχρι l, του τέχει δια ένα συν χ τετράγωνο. Τι 3x4 εδώ. Τι πιθανόταν να μην θυμάστε εσείς. Μπορεί να μην θυμάστε ότι το ολοκλήρωμα από α έως β ή το αγόριστο ολοκλήρωμα που αντέχει του 1 συν χ τετράγωνο, ότι είναι ίσον με το τόξο, αυτό πιθανόταν να μην το θυμάστε, με το τόξο της εφαπτωμένης του χ. Αυτό πιθανόταν να μην το θυμάστε. Αλλά αυτή είναι η απάντη, σας τη δίνω εγώ. Πρέπει όμως να τα δουλέψω με τα ολοκληρώματα και σας το δίνω γιατί πιθανόταν να μην το θυμάστε. Λοιπόν πάρτε λοιπόν αυτό σαν δεδομένο, σαν τυπολόγιο, το ολοκλήρωμα του 1 συν χ τετράγωνο δx είναι ίσον με το τόξο της εφαπτωμένης του χ. Πάρτε αυτό σαν δεδομένο και ολοκληρώστε την απόδειξη να μου πείτε αν αυτή η σχέση, πέστε μου, ακούω την ερώτηση σας. Α ναι λέει τόξο arc, τόξο εφαπτωμένης χ συν σεα, έτσι το αόριστο ολοκλήρωμα δx δx 1 συν χ τετράγωνο είναι ίσον με το τόξο της εφαπτωμένης χ συν 1. Αυτό πάρτε το σαν δεδομένο γιατί δεν είναι φυσικά κάτι που είστε υποχρωμένοι αυτή τη στιγμή να το θυμάστε. Λοιπόν, αν πάρω αυτό σαν δεδομένο και προχωρήσω αυτή τη σχέση θέλω να μου βγάλετε το αποτέλεσμα να μου δείξετε δηλαδή αν αυτό βγάζει νούμερο και εν το άθλισμα του k ίσον 1 έως το άπειρο με το κριτήριο της ολοκλήρωσης συγκλίνει ή αποκλίνει. Σας έχω δώσει το ολοκλήρωμα, σας έχω δώσει το κριτήριο και θέλω να βγάλετε αποτέλεσμα να μου πείτε τι βγάζετε. Λέω ότι επειδή ολοκληρώνω από το 1 μέχρι το L, επειδή έχω το κατώτερο ολοκλήρωμα το 1, στην ολοκλήρωση αυτή εδώ, να το κριτήριο το είχα γράψει έτσι, το κριτήριο της ολοκλήρωσης και είχα βάλει ένα 1 εδώ. Και λέγαμε προηγουμένως, δεν ξέρω δεν θα το ακούσατε, ότι το 1 το βάζουμε γιατί εμείς ολοκληρώνουμε το είναι επιφάνεια πάνω από το 1 και βάζουμε και το 1 σαν αρχή εδώ πέρα. Όχι, επειδή αυτός δεν είναι το ολοκλήρωμα του 1 τελεία, είναι το άθλισμα του 1, δηλαδή είναι το 1. Δηλαδή, αν ολοκληρώνουμε το ολοκλήρωμα μόνο στο βράδυ άθλισμα ή… Θέλω να κάνει μου πάλι την ερώτηση, γιατί λέω ότι εγώ αυτό το άθλισμα ήθελα να κάνω. Θέλω να ολοκληρώσω το ολοκλήρωμα, αυτό εδώ πέρα το γράφω 1, 3x. Ναι, εδώ είναι. Λοιπόν, τώρα εξελίξτε… Πάμε, έλα λίγο πάνω. Αυτό το συνέβη και αυτό. Αυτό, ναι. Ναι, ναι, απλά… Δεν ήταν ένα, ήταν σε. Δεν νομίζω ότι το έγραψες. Ε, εντάξει, κακή γραφή. Ε, ευχαριστώ. Άλλη ερώτηση. Λοιπόν, εφαρμόζοντας αυτόν τον τύπο, μεταφέροντάς το αυτό σε αυτή τη μορφή και κάνοντας το κριτήριο, όπως σας είπα, ήθελα να δω τι βγάζετε εσείς σαν αποτέλεσμα για την σύγκλιση ή μη σύγκλιση. Για να συγκλίνει η σειρά θα πρέπει αυτός εδώ ο τύπος του ολοκληρώματος να καταλήγει σε κάτι συγκεκριμένος, σε έναν αριθμό. Που καταλήγει λοιπόν το 1 συν ολοκλήρωμα από 1 έως l, 1 συν όριο, του l να πηγαίνει στο άπειρο, του dx, 1 συν 3x και όλο στο τετράγωνο, αυτό με τι είναι ίσον. Το 1 συν το όριο, του l να πηγαίνει στο άπειρο, του ολοκληρώματος από 1 έως l, dx, 1 συν 3x τετράγωνο, θεωρώντας ότι το ολοκλήρωμα μέσα σε αυτή τη σχέση δίνεται από εκείνο το τύπο. Θέλω να μου πείτε τι βγάζετε σαν αποτέλεσμα, το τελικό αποτέλεσμα θέλω από εσάς να μου πείτε, δηλαδή τι βγάζει αυτό το πράγμα όλο. 1 συν αυτό εδώ πέρα πόσο είναι, πόσο είναι αυτό το ολοκλήρωμα με βάση εκείνον τον τύπο. Θωμάτο βγάλες, για πες τι βγάζεις, για πες μου τελικά το αποτέλεσμα ποιο είναι. Το αποτέλεσμα το ολοκλήρωμα τόπον. Από το ολοκλήρωμα μόνο θέλω, για να γράψω κάτσε μια στιγμή να το γράψω πάνω. Το ολοκλήρωμα λοιπόν από το 1 μέχρι το L αντέχει 1 συν 3X και όλος το τεπράγωνο. Είναι ίσον με τι, σε ακούω. 1 τρίτο τόξος εφαπτωμένης του 3X με όρια του 1 και του 1. Ωραία, το οποίο θα σου δώσει, για βάλτα και τα όρια μέσα και βάλτα θα είναι λοιπόν το τόξο, το arc, της εφαπτωμένης 3L, μειον τόξο, της εφαπτωμένης του 3. Και για πάρε τώρα το τόξο της εφαπτωμένης όταν το L πάει στο άπειρο, ξέρεις πόσο είναι? Όχι. Είναι πι δεύτερα. Αυτό κάνοντάς το μόνοι σας ανακαλύπτεται και πράγματα που πρέπει να τα διαβάσετε. Λοιπόν, άρα λοιπόν βγαίνει το τόξο της εφαπτωμένης του 3. Αυτό είναι το αποτέλεσμα από το ολοκλήρωμα. 1 τρίτον, πι δεύτερα γιατί πι δεύτερα πάει το τόξο της εφαπτωμένης του 3L όταν το L πάει στο άπειρο, το τόξο της εφαπτωμένης όταν το L πάει στο άπειρο είναι το πι δεύτερα. Μειον τόξο εφαπτωμένης του 3. Άρα λοιπόν το τελικό αποτέλεσμα, άρα η σειρά συγκλίνει. Γιατί 1 τρίτον βγαίνει και όλο στο ετράγωνο. Ναι, αλλά για να βγάλω το 1 τρίτο βγήκε γιατί έπρεπε να πολλαπλασιάσω και να διαιρέσω με το 3 το τεχύ. Δεν ξέρω αν κάτι άλλο με ρώτησες. Λέω το 1 τρίτο βγαίνει γιατί εγώ είχα τεχύ 1 συν 3χ και όλο στο ετράγωνο. Άρα έπρεπε αυτό το 3χ να το εμφανίσω και να κάνω αλλαγή μεταβλητών. Άρα πολλαπλασιάζω και διαιρώ εδώ με το 3 και έχω δε χ δια 1 συν 3χ και όλο στο τετράγωνο. Ή αν θέλετε πέστε ότι αλλάζω μεταβλητές για να βάλω το U που είναι το 3χ. Οπότε θα μου εμφανιστεί το 1 τρίτο μπροστά. Βάζω μια καινούργια μεταβλητή U που είναι το 3χ. Επειδή βάζω την καινούργια μεταβλητή U στον τεχύ θα αλλάξει και θα μπει το 1 τρίτο μπροστά. Το βλέπετε? Μάλλον τρέξαμε λιγάκι με το κριτήριο αυτό. Μιλήσαμε για ολοκληρώματα στα οποία θεωρώ ότι αυτά τα ξέρετε όμως. Δηλαδή αλλαγή μεταβλητών για να κάνουμε τέτοιες ολοκληρώσεις τις ξέρετε. Λοιπόν να σταματήσουμε εδώ να κάνουμε διάλειμμα και να προχωρήσουμε κρατώντας από αυτή τη δουλειά ότι. Το κριτήριο της ολοκλήρωσης είναι ένα πολύ βασικό κριτήριο για να δούμε αν συγκλίνει ή αποκλίνει μια σειρά. Εάν μπορούμε να κάνουμε τις ανάλογες πράξεις και μέσα στις ασκήσεις που έχετε να παραδώσετε σήμερα υπάρχουν τέτοιες ασκήσεις. Εντάξει λοιπόν σταματάμε εδώ για ένα διάλειμμα και επανερχόμαστε. Λοιπόν να επιστρέψω σε κάτι το οποίο δεν είμαι σίγουρος μόνο στο διάλειμμα κατάλαβα ότι δεν το είχατε καταλάβει. Να ξεκινήσω από την αρχή λοιπόν δύο πράγματα θέλω να διορθώσω από αυτά που είπαμε. Το ένα να το διορθώσω και το άλλο είναι να το εξηγήσω καλύτερα. Εμείς λοιπόν είχαμε να ολοκληρώσουμε παίρνω από την αρχή αυτό που είπαμε στο προηγούμενο στην προηγούμενη ώρα. Είχαμε να ολοκληρώσουμε το δx δια x στην π. Και λέμε ότι ένα τέτοιο ολοκλήρωμα όπως το βλέπετε αυτό γίνεται ίσον με το ολοκλήρωμα του ορίου του l να πηγαίνει στο άπειρο. Το l είναι ένας οποιοδήποτε τυχαίο συνδρομό του δx στην π. Ωραία αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο βρίσκουμε ολοκληρώματα τα οποία έχουν μέσα το άπειρο. Πάμε παρακάτω. Μετά μου είπατε και εσείς ότι αυτή η ολοκλήρωση το l να πηγαίνει στο άπειρο θα μου δώσει l εις τη μειον π συν ένα δια μειον π συν ένα μειον ένα δια μειον π συν ένα. Ωραία και τώρα πρέπει να κάνω διαρεύγιση για τα π. Λέω εάν το π είναι μεγαλύτερο της μονάδος τότε αυτός εδώ ο όρος μηδενίζεται και οι δυο αυτή οι όροι θα πάνε στο μηδέν. Είναι μεγαλύτερο της μονάδος εδώ πέρα θα βγει αρνητικός αριθμός αυτό θα βγει ένας αριθμός οποιος δίποτε είναι και αυτό θα πηγαίνει από το l πάει στο άπειρο αυτό θα πηγαίνει στο μηδέν. Το βλέπετε αυτό. Πάρτε το π1 τώρα. Το π1 θα μου δώσει παρονομαστή μηδέν και αριθμητή επειδή θα είναι μηδέν μονάδα. Άρα άπειρο. Άρα το π1 απειρίζεται. Δεν συγκλίνει για π1 στο π κριτήριο. Για το π μικρότερο του 1 θα εμφανιστεί εδώ στον αριθμητή ένας αριθμός ο οποίος θα είναι η τετραγωνική ρίζα παραδείγματος χάρη του l. Ναι αλλά άμα πάρω την τετραγωνική ρίζα του l αν βάλω το π0.5 παραδείγματος χάρη θα βγει η τετραγωνική ρίζα του l. Για οποιοδήποτε π το πάρω μικρότερο της μονάδος εδώ πέρα θα βγει ένας θετικός αριθμός γιατί είναι μικρότερος της μονάδος επί μειών θα γίνει θετικός αριθμός. Εάν αυτός είναι θετικός και το l πάει στο άπειρο θα πάει στο άπειρο. Άρα αποκλείονται όλα τα π στο ολοκλήρωμα στη σειρά λοιπόν. Συμπέρασμα. Στη σειρά 1 δια κ πάει στην π που την είπαμε π σειρά με κ από 1 έως άπειρο. Αυτή η σειρά συγκλίνει όταν το π είναι μεγαλύτερο της μονάδος και αποκλίνει όταν το π είναι μικρότερο είτες του της μονάδος. Αυτό είναι το συμπέρασμα και το βγάλαμε με το κριτήριο της ολοκλήρωσης. Αυτό ήταν είναι κατανοητό τώρα ή όχι. Ναι ή όχι. Λοιπόν όταν βλέπετε κάτι που ή δεν είναι κατανοητό ή η πιθανότητα και εγώ να μην το έχω κάνει σωστά. Κυρία. Ναι. Εγώ και γιατί περίπτωση αυτή που χειμή είναι και για το π έρθει το μέησο ούτε με τη μονάδα. Εκεί και δεν μπορούμε να κάνουμε το π. Μπορεί ήσουμε τώρα να κάνουμε αυτό το π. Το ίδιο πάνω άμα είναι. Το ίδιο πράγμα είναι. Άρα δηλαδή δεν μπορούμε να βρούμε ένα συγκεκριμένο αριθμό. Δεν μπορούμε να φράξουμε την ακολουθία. Εκεί και τίποτα δεν μπορούμε να φράξουμε. Ότι δε. Δεν μπορούμε καν για π. Όταν το π γίνει μονάδα αυτό έχουμε ένα δια μηδενός. Δεν ορίζεται δεν βγάζει άπειρο αυτό. Τι εννοείς δεν ορίζεται. Το ένα δια μηδενός τι αριθμό σου βγάζει. Όταν ο παρονομαστής πάει στο μηδέν και το άλλο είναι ένας σταθερός αριθμός ο αριθμητής. Δεν πάει αυτό δεν τύνει αυτό στο άπειρο. Άρα αποκλίνει η σειρά. Για να μάθουμε. Είναι δύσκολο το π που πάει στο μηδέν και το άλλο. Είναι μηδέν. Αλλά απειρίστηκε το π. Ναι. Το ίδιο θα κάνει και το δεύτερο κλάσμα. Λοιπόν για όριο συζητάμε εδώ πέρα και για έλληνα πηγαίνει στο άπειρο συζητάμε. Έτσι δεν συζητάμε ακριβώς την τιμή. Λοιπόν πάμε σε ένα δεύτερο σημείο. Ήτανε στην περίπτωση τη δική μας το S1 για το 1 δια K ή στην P. Το S1 ο πρώτος όρος βγαίνει να είναι μονάδα. Γιατί αν δώσεις εδώ το K μονάδα οτιδήποτε να είναι το P αυτό θα δώσει μονάδα. Και ο υπόλοιπος όρος θα είναι από 1 έως άπειρο της όποιας δίποτες συναρτήσης είχαμε εδώ πέρα. Αυτή η συναρτήση δική μας ήταν 1 δια K ή στην P. ΔΕΚΑΠΑ. Αυτό ήταν το δικό μας κριτήριο. Εάν όμως η συναρτήση που μου δίνω είναι την προηγούμενη. Την άλλη φορά είχαμε 1 δια 3 ή στην K και όλο στο τετράγωνο. Αυτό ήταν το άθεσμα. Ο πρώτος όρος εδώ δεν είναι 1, είναι 11. Άρα δηλαδή θα έπρεπε να γράψουμε, αν και δεν έχει καμιά μεγάλη σημασία, για εκείνη τη σειρά θα έπρεπε να γράψουμε μικρότερο του 11 συν ολοκλήρωμα από 1 μέχρι άπειρο του ΔΕΚΑΠΑ, 1 συν 3Χ και όλο στο τετράγωνο. Άρα αυτός ο πρώτος όρος που κλεί είναι η τιμή της συνάρτησης στο σημείο χ1. Αυτά τα δύο ήθελα να διορθώσω. Υπάρχουν άρα κριτήρια... Τώρα θα μιλήσουμε για μια ειδική κατηγορία γιατί είναι εύκολα τα κριτήρια. Μια άλλη ειδική κατηγορία είναι να μιλήσουμε για σειρές οι οποίες είναι θετικοί οι όροι. Το α1, το α2, το α3 είναι όλοι μη αρνητικοί όροι, δηλαδή είναι μη 0 ή θετικοί. Αυτή λοιπόν είναι μια σειρά πολύ συγκεκριμένη γιατί το κάθε μέλος της σειράς είναι μη 0 ή θετικός αριθμός, είναι δηλαδή νον νέγκατιβ, είναι μη αρνητικοί. Αυτή η σειρά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τρία κριτήρια τα οποία μερικά θα τα έχετε δει ήδη στο βιβλίο. Το ένα κριτήριο, να τα δούμε ποια είναι αυτά τα τρία κριτήρια και να κάνουμε μερικά παραδείγματα. Το ένα κριτήριο είναι, εάν μπορείτε, εάν έχουμε δύο σειρές, η μία είναι η ακ, το κ ίσον 1 μέχρι άπυρο. Και έχουμε και μια δεύτερη σειρά, την ΒΚ, το κ να είναι 1 έως άπυρο. Και μπορέσουμε και συγκρίνουμε αυτές τις δύο σειρές, δηλαδή γράψουμε ότι το άθρυσμα, βλέπουμε ότι το άθρυσμα της σειράς της μίας, το ακ είναι μικρότερο ή ίσο, ας το πάρουμε μικρότερο, της σειράς ΒΚ από κ ίσον 1 έως άπυρο. Τώρα, εάν καταφέρεις και δείχνεις ότι αυτή η σειρά συγκλίνει από πάνω, η ΜΚ, τότε συγκλίνει και η σειρά ΑΚ. Δηλαδή, εάν εγώ σου δώσω μία σειρά ΑΚ και εσύ βρεις μία άλλη σειρά με την οποία μπορείς να αποδείξεις στην ΜΚ, μπορείς να αποδείξεις τη σύγκληση της, αλλά συγχρόνως έχεις αποδείξει ότι η σειρά που σου ζητάω εγώ τη σύγκληση, που είναι η ΑΚ, είναι μικρότερη σε όλους τους όρους από την ΜΚ, εγώ σου έδωσα αυτή τη σειρά, εσύ μου φτιάχνεις μία δεύτερη ΜΚ, της οποίας τη σύγκληση την ξέρεις, εάν λοιπόν αποδείξεις ότι η ΜΚ όλη η ώρα της σειράς αυτής είναι μικρότερη για οποιοδήποτε ανώτερο ώρα, είναι μικρότερη της ΜΚ και η ΜΚ συγκλίνει, θα συγκλίνει και η ΑΚ, άρα και το αντίστροφο μπορεί να συμβεί, δηλαδή εάν βρεις, αν αποδείξεις ότι η σειρά ΒΚ από ΚΕ1 εως άπειρο, είναι μικρότερη από τη σειρά που εγώ σου έχω ζητήσει από ΚΕ1 εως άπειρο και δείχνεις ότι αυτή η σειρά η από κάτω αποκλίνει, θα αποκλίνει αναγκαστικά και η ΑΚ, αυτό λέγεται κριτήριο της σύγκρισης, δηλαδή μου δίνεις μια σειρά να δουλέψω και εγώ σου βρίσκω μία άλλη, η οποία τυχαίνει να είναι είτε μεγαλύτερη από αυτή που ψάχνω είτε μικρότερη και αντίστοιχα να αποδείξεις ότι η μεγαλύτερη συγκλίνει θα συγκλίνει και η ΑΚ που ζητάω, αν η ΑΚ είναι πάντα μεγαλύτερη από την ΜΚ και η ΜΚ αποκλίνει θα αποκλίνει και η ΑΚ. Πρέπει να είναι μεγαλύτερη η ΑΚ ή η ΜΚ? Μόνο για σύγκριση πάμε. Λέω ότι εγώ έχω αυτή τη σειρά να δουλέψω, αυτή μου έχεις δώσει αλλά εγώ έφτιαξα και μία άλλη και να δούμε ένα παράδειγμα. Αν παραδείγματος χάρη σας δώσω να βρείτε τη σειρά 1 δια ΚΤΤ1 από ΚΗ1 έως άπειρο. Αυτή είναι η σειρά στην οποία θέλω εγώ να δω τι συμβαίνει. Να δούμε αν συγκλίνει ή αποκλίνει. Η σειρά 1 δια ΚΤΤ1. Τι θα μπορούσατε να την κάνετε, ποια σειρά θα μπορούσατε να σκεφτείτε. Είναι το παράδειγμα ένα απλό για να καταλάβουμε το κόλπο. Ποια σειρά θα μπορούσατε να συγκρίνετε αυτήν ώστε να δείξετε ότι όλοι οι όροι της σειράς που ζητάω της 1 δια ΚΤΤ1 είναι μικρότεροι από μία άλλη σειρά της οποίας ξέρω την απάντηση. Ποια θα ήταν η άλλη που θα διάλεγα. 1 δια ΚΤΤ1. Άρα λοιπόν φράζω αυτήν με τη σειρά 1 δια ΚΤΤ1 που για αυτά που είπαμε προηγουμένως με το ΠΕΤΕΣΤΑΣ το ΚΤΤ1 είναι 2, το ΠΕΤΕΣΤΑΣ είναι 2, το 1 δια ΚΤΤ1 ξέρω ότι συγκλίνει με το κριτήριο της ολοκλήρωσης και τελειώσαμε. Έτσι αποδείξαμε ότι γι' αυτό συγκλίνει. Αυτό λοιπόν είναι ένα ενδιαφέρον κριτήριο το οποίο μπορούμε να το χρησιμοποιούμε. Να κάνουμε και ένα λίγο πιο πολύπλοκο. Αυτό που μας έχουν δώσει και μας ζητάνε είναι να υπολογίσουμε το άθεσμα, να υπολογίσουμε την σύγκλιση του 1 δια ΚΤΤ παραγωτικό. Αυτό μας ζητάνε να βρούμε, αυτή η σειρά μας ζητάνε να δούμε αν συγκλίνει ή αποκλίνει. Αυτό είναι αυτό που μας ζητάνε. Εμείς ψάχνουμε να βρούμε μια σειρά η οποία να είναι μεγαλύτερη ίση από αυτήν εδώ και η οποία να μπορούμε να ξέρουμε εύκολα αν αυτή η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει. Επειδή δεν θέλω να το φάμε όλη την ώρα να το σκέφτεστε. Εγώ θέλω να σας προτείνω μια σειρά την οποία θα έπρεπε να βρείτε μόνοι σας η οποία είναι 2 εις την ΚΤΑ. Μπορείτε να πείτε αν αυτή η σειρά είναι συστηματικά μεγαλύτερη ή συστηματικά μικρότερη και αν μπορείτε αυτή τη σειρά, η 1 δια 2 εις την ΚΤΑ, ξέρετε τι κάνει. Ή αν ξέρετε αν αποσυγκρίνει ή αποκλίνει και αν αυτό μπορείτε να συγκρίνετε το 1 δια ΚΤΑ παραγωτικό με τη σειρά άθεσμα του 1 δια 2 εις την ΚΤΑ. Από ΚΤΑ ίσον 1 έως άπειρο. Μπορείτε λοιπόν να κάνετε αυτή τη δουλειά. Σας έδωσα στη σειρά σύγκρισης. Αυτή έπρεπε να την βρείτε μόνοι σας αλλά θα σας έπρεπε να κάνετε αρκετό καιρό. Και σας λέω μπορείτε να συγκρίνετε αυτές τις δύο σειρές και να μου πείτε αν η 1 δια 2 εις την ΚΤΑ είναι συστηματικά πιθανότατα από κάποιο νούμερο και πάνω ή για μεγάλα νούμερα. Ότι όταν συγκρίνουμε σειρές συγκρίνουμε τα μεγάλα νούμερα. Δεν με ενδιαφέρει τι κάνεις το ΚΤΑ εις το 1, 2, 3, 4. Τι κάνεις το 10. Στον ΚΤΑ με ενδιαφέρει, εντάξει. Τι κάνεις στους μεγάλους αριθμούς. Λοιπόν πέστε μου πρώτον εάν βλέπετε και εξηγήσετε γιατί το άθροισμα του 1 δια 2 εις την ΚΑΠΑ είναι συστηματικά πιθανότατα από κάποιο ΚΑΠΑ και πάνω. Πέστε μου ποιο είναι. Είναι συστηματικά μεγαλύτερο από το 1 δια ΚΑΠΑ παραγοντικό. Το βλέπετε. Ναι ή όχι. Η απάντηση εάν θέλετε δουλέψτε το στο σπίτι για να μην φάμε όλη την ώρα. Εάν το ΚΑΠΑ είναι μεγαλύτερο του 4 πραγματικά συμβαίνει αυτό και αφήστε το για το σπίτι να το δείτε. Και το 2 εις την 1 δια 2 εις την ΚΑΠΑ έχει επειδή είναι γεωμετρική μπαίνει στην κατηγορία της γεωμετρικής σειράς οπότε μπορούμε να δούμε ακριβώς ποιο είναι το όριο αυτού του πράγματος το ξέρουμε κιόλας είναι το εντεύτερο οπότε αυτή εδώ πέρα η σειρά πράγματι συγκλίνει οπότε θα συγκλίνει και 1 δια παραγωτικό. Στο σπίτι αποδείξτε γιατί για ΚΑΠΑ μεγαλύτερο του 4 αυτή η ανησιότητα ισχύει. Να μην μείνουμε και χάσουμε όλη μας την ώρα σε αυτό το πράγμα ή σε κάποιο παρόμοιο. Ένα άλλο παράδειγμα το οποίο θα μπορούσαμε να μελετήσουμε είναι το εξής. Μας ενδιαφέρει να αποδείξουμε αν το λογάριθμος του ΚΑΠΑ δια ΚΑΠΑ από ΚΑΠΑ ίσον 1 έως άπειρο πώς συμπεριφέρεται δηλαδή αν υπάρχει σειρά με την οποία φράζεται αυτό. Ήτε από κάτω είτε από πάνω. Αυτό που θέλω εγώ μπορώ να σας προτείνω γιατί σας είπα δεν θέλω πραγματικά θα ήθελα να λύνετε εσείς αυτά τα προβλήματα. Αλλά αυτό που θέλω να σας δώσω και να το ψάξετε στο σπίτι είναι ότι συμβαίνει όλη η ώρα αυτής εδώ της σειράς να είναι μεγαλύτερη από όταν το ΚΑΠΑ γίνεται μεγαλύτερο του 3. Όταν το ΚΑΠΑ γίνει μεγαλύτερο από κάποιο αριθμό συμβαίνει ότι ο όρος λογάριθμος του ΚΑΠΑ δια ΚΑΠΑ είναι μεγαλύτερο η ίσον του 1 δια ΚΑΠΑ. Άρα λοιπόν αφού κάνετε αυτή τη σύγκριση για ΚΑΠΑ μεγαλύτερο το 1 δια ΚΑΠΑ ξέρουμε ότι αποκλίνει άρα θα οδηγήσει σε απόκλειση και αυτή τη σειρά. Παίρνω λοιπόν το κριτήριο τι λέει μου δίνεις μια σειρά εγώ κάποια που ξέρω και ποιες ξέρω είναι μερικές σειρές τις οποίες ξέρω τις πώς συμπεριφέρονται. Οι γεωμετρικές, οι 1 δια ΚΑΠΑ αυτές που είπαμε μέχρι τώρα δηλαδή είναι κάποιες που ξέρω πολύ γρήγορα αν αποκλίνω συγκεκριμένο. Αν λοιπόν αυτή τη σειρά που μου έδωσες μπορώ έναν έναν τους όρους της από τουλάχιστον από ένα αριθμό και πάνω και τους βάλω μεγαλύτερος ή μικρότερος αν τους βάλω μικρότερους φτάνει να αποδείξω ότι η μεγαλύτερη σειρά συγκλίνει όπως εδώ. Άρα δηλαδή το 1 δια ΚΑΠΑ παραγωτικό είναι μικρότερο η ίσον του 1 δια 2 ή στην ΚΑΠΑ για ΚΑΠΑ μεγαλύτερο του 4 αυτό που σας είπα να αποδείξετε στο σπίτι. Επίσης πολύ εύκολα αποδεικνύεται ότι η σειρά λογάριθμος του ΚΑΠΑ δια ΚΑΠΑ ο όρος 1 δια ΚΑΠΑ είναι μεγαλύτερος ίσως του λογάριθμου ΚΑΠΑ δια ΚΑΠΑ για ΚΑΠΑ μεγαλύτερο του 3. Άρα λοιπόν έχετε και επειδή το 1 δια ΚΑΠΑ είναι μία σειρά που δεν ξέρουμε πώς συμπεριφέρεται αποκλίνει θα διώξει σε απόκλειση και το λογάριθμο του ΚΑΠΑ δια ΚΑΠΑ. Τι άλλα κριτήρια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε, υπάρχει ένα πολύ ενδιαφέρον κριτήριο είναι να συγκρίνουμε που μοιάζει με αυτό που κάναμε τώρα αλλά πάλι με δύο σειρές. Πάλι έχουμε δύο σειρές η μία είναι η ΑΚΑΠΑ το ΚΑΠΑ ίσον 1 έως άπειρο και η δεύτερη σειρά είναι πάλι το ΜΚΑΠΑ το ΚΑΠΑ ίσον 1 έως άπειρο. Έχουμε λοιπόν αυτές τις δύο σειρές η μία είναι αυτή που μας ενδιαφέρει η ΑΚΑΠΑ η άλλη είναι μία που φτιάξαμε εμείς της οποίας ξέρουμε τη συμπεριφορά. Η ΜΚΑΠΑ είναι πάντα μία συνάρτηση μία σειρά αναφοράς της οποίας τη συμπεριφορά την ξέρουμε και πάμε να συγκρίνουμε τη σειρά που δεν ξέρουμε με μία σειρά που ξέρουμε. Είτε ατι αποκλίνει είτε ότι συγκλίνει και τι κάνουμε τώρα μπορούμε να φτιάξουμε τους όρους το όριο να υπολογίσουμε το όριο του ΑΚΑΠΑ δια ΜΚΑΠΑ του ΚΑΠΑ να πηγαίνει στο άπειρο. Αν αυτό το όριο υπάρχει και είναι ένας αριθμός και είναι συγκεκριμένος αριθμός σημαίνει ότι αυτές οι δύο σειρές έχουν την ίδια συμπεριφορά. Εάν λοιπόν αυτό γίνει ένα συγκεκριμένος αριθμός 3 δηλαδή το όριο του ΚΑΠΑ να πηγαίνει στο άπειρο το ΑΚΑΠΑ δια ΜΚΑΠΑ είναι υπάρχει και είναι ένας αριθμός συγκεκριμένος τότε η συμπεριφορά αυτών των δύο σειρών είναι ίδια. Δηλαδή ό,τι κάνει η ΜΚΑΠΑ θα κάνει και η ΑΚΑΠΑ και αντιστρόφως. Εντάξει υπάρχουν ας τις πούμε και μετά θα συζητήσουμε. Είναι οι όροι της σειράς. Η σειρά αυτή που είπαμε και προηγουμένως ότι η σειρά σ αποτελείται σε μια συγκεκριμένη τιμή ΣΚΑΠΑ αποτελείται από το άθρησμα από ΚΑΠΑΙΜΕΝΑ μέχρι ΝΙ έτσι μέχρι ΝΙ πιανού πράγματος μιας ακολουθίας η οποία είναι η ΑΚΑΠΑ. Άρα το άθρησμα των όρων της ακολουθίας θα μας δώσει τη σειρά ΣΚΑΠΑΙΜΕΝΑ. Όμως αυτό το άθρησμα έχει όρους μέσα. Η ώρα της σειράς, το αΚΑΠΑ το οποίο την παίρνει τη μέση 1, 2 κτλ, δηλαδή το α1 συνα2 συνα3 και λέω η συμπεριφορά του αθρίσματος θα εξαρτάται από τη συμπεριφορά του α1, α2, α3. Οπότε παίρνουμε τη σειρά αυτή που έχει αυτούς τους όρους και παίρνουμε τον τυχαίο όρο αΚΑΠΑ και μΙΚΑΠΑ και τους συγκρίνουμε. Οπότε αυτοί κλειδώνονται μεταξύ τους όταν έχουν συγκεκριμένο όριο το K πηγαίνει στο άπειρο Γιατί σας έχω εξηγήσει ότι πως συμπεριφέρεται ο όρος στο άπειρο δηλαδή πως συμπεριφέρεται το ΑΚ και το ΒΚ στο Άριο είναι αυτό που καθορίζει τι θα κάνει η σειρά Ένα παράδειγμα Αυτή εδώ τη σειρά πως θα μπορούσε να την βάλετε σε αυτή την κατηγορία Δηλαδή έχω μια σειρά 3Κ στην τρίτη μίον 2Κ τετράγωνο συν τέσσερα και από κάτω έχω K στην εβδόμη μίον K στην τρίτη συν δύο Αυτό είναι πως το K αναπηγαίνει από ένα έως άπειρο Να λοιπόν μια σειρά που σας έχω δώσει εγώ στον αριθμητή έχει 3Κ τετράγωνο μίον 2Κ 3Κ τρίτης το ξαναλέω ο αριθμητής έχει 3Κ τρίτης μίον 2Κ τετράγωνο συν τέσσερα Ο παρονομαστής έχει K στην εβδόμη μίον K στην τρίτη συν δύο Με ποια σειρά θα θέλατε να συγκρίνετε αυτήν εδώ τη σειρά Προσέξτε πως συμπεριφέρεται η σειρά όταν το K πάει στο άπειρο Ποιοι είναι οι όροι που καθοδηγούν αυτή τη σειρά Η μεγιστοβάθμι Άρα λοιπόν εγώ θα άξιζε να συγκρίνω αυτή τη σειρά με μια σειρά που είναι 1Κ τετράγωνο μίον 2Κ τετράγωνο συν τέσσερα Άρα θα έκανα το λόγο αυτού εδώ του όρου με τον 1Κ τετάρτη Και θα προσπαθώ να βρω αν βγαίνει το όριο όταν το K σταμπίνει να το κρίνουμε σε συγκεκριμένος αριθμός Επαναλαμβάνω όπως είπατε εσείς Τη συμπεριφορά αυτής της σειράς στο άπειρο την καθορίζουν για το 2Κ τετράγωνο Άρα δηλαδή το K τρίτης 2Κ τετράγωνο Κάντε τώρα λοιπόν ένα λόγο αυτού εδώ του όρου στον παρονομαστή να βάλετε το 1Κ τετάρτη Και κάντε τις πράξεις να δούμε αν βγάζει νούμερο Καταλάβατε τι λέω Δηλαδή πάρτε στο άπειρο πως θα συμπεριφερθεί το εξής κλάσμα Στον παρονομαστή έχω 1Κ τετάρτη είναι η σειρά σύγκρισης Στον αριθμητή έχω το 3Κ τρίτης μίον 2Κ τετράγωνο Συν 4, 2, το K εις την 7, μίον K εις την τρίτη, συν 2 Πάρτε λοιπόν αυτό το πράγμα και βρέστε το όριο του όταν το K πηγαίνει στο άπειρο Πόσο είναι Ποιος το είπε Το είπατε Βρήκαμε ότι το ρ που ψάχναμε προηγουμένως είναι το 3 Που σημαίνει ότι θα κάνει το 1Κ τετάρτης θα κάνει και το άλλο Το 1Κ τετάρτης είναι γνωστή μας σειρά Είναι στην κατηγορία του π με π μεγαλύτερο της μονάδος Άρα αυτή θα συγκλίνει, άρα θα οδηγήσει σε σύγκριση και την πάνω Λοιπόν, άλλο πλητήριο Αυτό το πληγούριο που θα σας πω τώρα είναι πιο εύκολο να το χρησιμοποιήσουμε Παίρνουμε δύο διαδοχικούς όρους της σειράς Δηλαδή θεωρούμε ότι έχουμε μία σειρά με K όρους Έχουμε λοιπόν Αυτό λέγεται επίσης έχουμε μία σειρά τώρα, δεν χρειαζόμαστε σειρά αναφοράς Έχουμε λοιπόν αυτή τη σειρά από 1 έως άπειρο Και τι κάνουμε, παίρνουμε δύο διαδοχικούς όρους της σειράς Δηλαδή τον ΑΚΣ1 με τον ΑΚ Και παίρνουμε το όριο αυτών των δύο διαδοχικών όρων Το K να πηγαίνει στο άπειρο Φυσικά, εάν αυτό θα μας δώσει ένα ρ Πάλι, αν το ρ είναι μικρότερο της μονάδας, η σειρά συγκλίνει Αν το ρ είναι ίσο με την πόδα, δεν μπορούμε να βγάλουμε εύκολα αποτέλεσμα Μάλλον η σειρά θα αποκλίνει, γιατί θα μας δώσει μονάδες, θα προσθήθονται μονάδες, θα είναι άπειρες μονάδες Και το ρ μεγαλύτερο της μονάδας, η σειρά θα αποκλίνει, το τεστ δεν θα δώσει αποτέλεσμα Άρα αυτό το τεστ για να δώσει αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι είτε 1 είτε μικρότερο του 1 Για το ρ μεγαλύτερο του 1, δεν θα το χρησιμοποιήσετε, αυτό το τεστ δεν θα αποδείξει τίποτα Άρα λοιπόν, παίρνοντας το λόγο διαδιαδοχικό, αυτό μας είναι πάρα πολύ χρήσιμο Και δεν νομίζω ότι θα προλάβουμε σήμερα για να μιλήσουμε για κριτήρια σύγκλησης στις σειρές Taylor Οπότε τη Δευτέρα που θα κλείσουμε το μάθημά μας, θα κλείσουμε με Taylor Και θα μπούμε στα ολοκληρώματα από Δευτέρα, κλίνοντάς με μία ώρα την οποία θα την αφιερώσουμε στη σύγκληση της σειράς Taylor Που τόσο πολύ εμπουλέψαμε αυτό το εξάμινο και θεωρώ ότι είναι από τα βασικότερα πράγματα που κάνατε, τα καινούργια που κάνατε Αυτό το κριτήριο το χρησιμοποιούμε χρησιμοποιώντας δύο διαδοχικούς όρους στη σειρά Και ένα παράδειγμα, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιούμε, έχουμε μία παραδείγματα Ένα παράδειγμα θα ήταν η εξής σειρά, 10 στην Κ, 2 Κ παραγοντικό, από Κ ίσον 1 έως άπειρο Μπορείτε με βάση αυτό το κριτήριο που σας είπα να μου πείτε αυτή η σειρά που έχει 10 στην Κ, 2 Κ παραγοντικό, από Κ ίσον 1 έως άπειρο Να μου πείτε αν αυτή η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει Με βάση το κριτήριο που σας είπα μόλις τώρα, των δύο διαδοχικών όρων Χρησιμοποιήστε λοιπόν αυτό το κριτήριο, για να μου πείτε αν αυτή η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει Όποιος έχει βρει το αποτέλεσμα, τι βγάζει δηλαδή αυτή η δύο διαδοχικοί όροι όταν το Κ πάει στο άπειρο, να μας το πει Στο άπειρο θα πηγαίνει ναυτιό, στο άπειρο Λοιπόν ακούω τι βγάζει ο λόγος, οι υπόλοιποι, γιατί οι υπόλοιποι δεν το βγάλανε όμως, για πες το μου εσείς Ο όρος βγάζει μηδέν, δηλαδή αυτό που καταλήγουμε από τη διέρεση των όρων είναι το όριο του Κ να πηγαίνει στο άπειρο, ποιον ο πράγματος του 10 δια Κ συν 1 Οπότε αυτό βγάζει μηδέν, το οποίο είναι μικρότερο φυσικά εδώ της μονάδος και το οποίο καταλήγουμε ότι αυτός ο όρος αυτή η συγκεκριμένη σειρά θα συγκλίνει Λοιπόν και το τελευταίο κριτήριο είναι ένα κριτήριο της ρίζας που λένε και παίρνετε αν δηλαδή μας δώσουν τη σειρά ΑΚ και έχει συγκεκριμένη σειρά που πραγματικά σας βοηθάει η ρίζα Αυτή είναι δηλαδή η σειρά που μας ενδιαφέρει, θέλουμε να δούμε αν αυτή η σειρά συγκλίνει το ΑΚ του Κ από 1 έως άπειρο και παίρνουμε την ρίζα την Κ ρίζα του ΑΚ και προσπαθούμε να δούμε αν αυτό το όριο του Κ να πηγαίνει πάλι στο άπειρο Εάν δίνει ένα συγκεκριμένο αριθμό ρ και πάλι το κριτήριο λέει αν το ρ είναι μικρότερο της μονάδας τότε η σειρά θα συγκλίνει, εάν το ρ είναι ίσο με τη μονάδα θα αποκλίνει και αν το ρ είναι μεγαλύτερο της μονάδας δεν θα μπορούμε να βγάλουμε συμπέραση ή το τεστ θα αποτυγχάνει Άρα για την ίδια τη σειρά χωρίς να πάρουμε σειρά σύγκρισης έχουμε δύο τεστ το ένα είναι των λόγων που είδαμε προηγουμένως και το άλλο είναι της ρίζας Βέβαια καταλαβαίνετε ότι το κριτήριο αυτό με τη ρίζα είναι χρήσιμο όταν το ακ έχει μια ιδιαίτερη μορφή δηλαδή αν σας δώσω εγώ τη σειρά 1 διά λογάρι του κ συν 1 και είναι όλο αυτό στην κ και το κριτήριο αυτό βολεύει της ρίζας Αν σας δώσω λοιπόν μια τέτοια σειρά να δείτε τι κάνει για πέστε μου τι θα βγάλετε από μια τέτοια σειρά με το κριτήριο της βλέπετε ότι αυτό το κριτήριο βλέπετε εδώ βολεύει πάρα πολύ Άρα μόνο σε περιπτώσεις που έχετε σειρές που είναι υψωμένες στην κ χρησιμοποιούμε το κριτήριο της ρίζας γιατί είναι σαν να μας το ζητάει έτσι πως είναι βαλμένη η σειρά και σε αυτές τις περιπτώσεις το κριτήριο αυτό μπορεί να μας δώσει απάντηση Άλλη μία σε αυτήν πέστε μου τι βγάλετε και άλλη μία την οποία να την κοιτάξετε στο σπίτι είναι αν έχετε το 4κ-5 2κ συν 1 και όλο στην κ του κ να είναι από 1 έως άπειρο Λοιπόν για πέστε μου για την πάνω και να σταματήσουμε για την πάνω τι βγάλατε με το κριτήριο της ρίζας Παιδιά νομίζω ότι δεν είναι δύσκολο για πέστε μου εάν έχω το 1 διά λογάριθμος του κ συν 1 και όλο στην κ και πάρω το κριτήριο της ρίζας τι θα βγάλω το κ να πηγαίνει στο άπειρο Γιατί δεν μιλάτε τώρα δεν θέλετε να πάρετε μέρος εντάξει κανενάς Αργήρες τι θα κάνουμε Μισό λεπτό Λοιπόν θα πάρετε λοιπόν την ρίζα κ του 1 διά λογάριθμος του 1 συν κ και όλο στην κ Τι θα βγάλει αυτό Τι θα βγάλει 1 διά λογάριθμος του 1 συν κ Και παίρνετε το όριο του κ να πηγαίνει στο άπειρο αυτό θα μας δώσει μηδέν Άρα η σειρά συγκλίνει Λοιπόν θα επανελθούμε τη Δευτέρα Πριν τελείως δεν θα μπορούσαμε σε 2 λεπτά να έχουμε ξανά όλα τα κριτήρια έτσι αναφορικά Τα κριτήρια είναι το 1 είναι της ολοκλήρωσης και δεν είναι όλα Νομίζω ότι είπαμε μερικά δεν νομίζω ότι τα έχουμε πει όλα Υπάρχουν και κάνα 2 ακόμα τα οποία δεν ξέρω αν θα επαναλάβουν Είναι το κριτήριο της ολοκλήρωσης Να κάνουμε μια μικρή αναφορά σε αυτά που έχουμε πει Το κριτήριο της ολοκλήρωσης είναι 1 Το κριτήριο της σύγκρισης των όρων Τώρα μπαίνουμε σε κριτήρια που έχουν να κάνουν με σειρές που είναι πιο εύκολες Που δεν έχουν αρνητικούς όρους γιατί όταν μπούμε σε σειρές με αρνητικούς όρους τα πράγματα αλλάζουν Αν η σειρά λοιπόν δεν έχει αρνητικούς όρους έχουμε το κριτήριο της σύγκρισης Η σύγκριση θυμάστε τι είναι, βρίσκουμε μια αδελφίστη με την οποία μπορούμε να οδηγήσουμε τι θα κάνει αυτή που ψάχνουμε Είναι το λόγος και είναι και η τετραγωνική ρίζα Αυτά είναι τα κριτήρια με τα οποία ουσιαστικά μιλήσαμε σε αυτό το μάθημα Δεν είναι όλα, υπάρχουν και άλλα κριτήρια Αλλά αυτά θα είναι τα πιο κοινά και τα πιο χρήσιμα για να χρησιμοποιήσετε εσείς για να δείτε αν μια σειρά συγκλίνει Λοιπόν, αυτά τα τρία κριτήρια είναι μέσα στις ασκήσεις που έχετε να δουλέψετε για απόψε Τελειώστετες Και την Δευτέρα θα ολοκληρώσουμε τη σύγκληση μιλώντας για μια ειδική κατηγορία σειρών που είναι οι σειρές όπως η Taylor