Σειρές Taylor, Maclaurin / Διάλεξη 7 / Σειρές Taylor και Maclaurin και εφαρμογές τους. - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Σειρές Taylor και Maclaurin και εφαρμογές τους.: Στο περασμένο μάθημα μείναμε σε κάποια σημεία στη μέση, ή τουλάχιστον δεν ολοκληρώθηκαν πλήρως. Το ένα που είχαμε ξεκινήσει και κάπως δεν το τελειώσαμε όπως άπρεπε, ήταν το θέμα που ζητούσαμε να βρούμε σε μια συνάρτηση. Μας έχουν δώσει μια συνάρτηση, η οποία είναι γνωστή μας, η F2X. Αυτή τη συνάρτηση μπορούμε να τη ζωγραφίσουμε και ψάχνουμε να δούμε αν αυτή η συνάρτηση έχει ασύμπτωτη. Και να βρούμε τα στοιχεία για την ευθεία η οποία πιθανότατα να είναι ασύμπτωτη σε μια συνάρτηση. Το συζητήσαμε, αλλά νομίζω ότι το αφήσαμε λίγο στον αέρα. Εκείνο λοιπόν που ζητάμε είναι ότι αυτή η συνάρτηση μπορεί να κάνει μια διαφορά εδώ στην αρχή των αξώνων ή κοντά στις θημές του X, αλλά στο τέλος να προσεγγίζει ασυμπτωτικά μια συγκεκριμένη ευθεία Α, Χ συν Β. Και θέλουμε να βρούμε τα χαρακτηστικά του Α και του Β. Εσείς θα θυμόσασταν τα χαρακτηστικά αρκετή από εσάς, τα Α και τα Β πώς θα τα βρούμε από μια τέτοια συνάρτηση, αλλά ήταν καλό να ολοκληρώσουμε, αν δεν το θυμάστε, πώς θα το ψάξετε. Λοιπόν, αυτό που συμβαίνει είναι ότι η ευ του Χ, αν της αφαιρέσουμε την ΑΧ, αφού θα προσεγγίζει την ΑΧ συν Β, καταλαβαίνετε ότι το όριο αυτής της σχέσης, όταν το Χ πηγαίνει στο άπειρο, σύνειπτην άπειρο έναν λόγα, θα είναι μηδέν. Γιατί θα προσεγγίζει αυτή η συνάντηση αυτή την ευθεία. Σωστά μέχρι εδώ. Το βλέπουμε? Ωραία. Εάν διαιρέσουμε με το Χ, το οποίο είναι ένας μεγάλος αριθμός, όλα αυτά τα μέλη, θα δημιουργήσουμε μια νέα σχέση, η οποία θα είναι το όριο του Χ να τίνει στο άπειρο και θα έχουμε το F του Χ διαχεί, μίον Α, μίον Β διαχεί και στο άλλο μέλος θα είναι το μηδέν διαχεί. Εκεί λοιπόν είχαμε φτάσει και στο προηγούμενο μάθημα. Μέχρι εδώ που παρακολουθούμε, θα σας παρακαλώ, όχι να αντιγράφετε απλώς, γιατί αν θέλετε να αντιγράψετε θα σας έχω πει ότι σήμερα, ότι πήγαμε την περασμένη εβδομάδα και σήμερα, θα σας τα δώσω σε σημειώσεις στο blackboard που θα τις κυκλοφορήσω σήμερα. Άρα λοιπόν με αυτήν εδώ τη σχέση μπορούμε πολύ εύκολα να δούμε ότι όταν το Χ συνεχίζουμε, θα αναλύουμε αυτό το όριο, το οποίο θα μας δώσει ένας όρος θα είναι το F του Χ διαχεί, το Χ πηγαίνει στο άπειρο, μίον Ά, τώρα το όριο του μίον Ά θα είναι το ίδιο και το όριο του Β διαχεί, όταν το Χ τύνει στο άπειρο, το Β είναι ένας θετικός αριθμός, όλα αυτά είναι μηδέν, αυτό σίγουρα είναι μηδέν. Οπότε μας σημαίνει αυτό που νομίζω ότι ξέρατε όλοι, ότι για να βρούμε το Ά στην ασύμπτωση, δηλαδή την κλήση δηλαδή, θα πρέπει να βρούμε το όριο του F του Χ διαχεί, το Χ να τύνει στο άπειρο. Έτσι το βρήκαμε αυτό, διότι αυτό θα είναι Ά, αυτό θα είναι το όριο που ζητάμε, άρα βρήκαμε το Ά. Αν βρούμε το Ά, γυρίζουμε πίσω εδώ που ήμασταν και μπορούμε να συνεχίσουμε σε αυτήν εδώ τη σχέση, να την ξαναγράψουμε αυτή τη σχέση, τη γράφουμε πάλι τη σχέση αφού το Ά το ξέρουμε και τώρα το F του Χ μίον Ά Χ, αν αυτό το Χ τύνει στο άπειρο, θα πρέπει να είναι ίσως με το Β. Οπότε να και ο όρος του Β και να και ο όρος του Ά. Αυτά ήτανε τα αυτά που νομίζω ότι ξεκινήσαμε, τα φτάσαμε σε ένα σημείο, θέλω να τα κάνουμε τελείως ξεκάθαρα και θέλω να δούμε ότι δεν χρειάζεται να θυμάστε τόσο απλά βγαίνουν οι ασύμπτωτες ποιες είναι σε μια ευθεία. Πάμε, το αφήνουμε αυτό το θέμα και είχαμε ξεκινήσει να στήσουμε ένα πρόβλημα, σας είπα ότι στα μέγιστα και ελάχιστα στη μια μεταβλητή, αυτά δεν χρειάζεται να τα γράψετε διότι θα τα βρείτε και στις σημειώσεις όπως σας είπα. Λοιπόν, είχαμε πει λοιπόν στο μάθημα ότι το πιο δύσκολο κομμάτι, αυτό που νομίζω ότι οι περισσότεροι από εσάς δυσκολεύεστε, δεν είναι στο τεχνικό κομμάτι, αν σας δώσω μια συνάντηση ευτυχή να μου βρείτε τα σημεία στα οποία η συνάντηση παρουσιάζει ακρότατα και να εκτιμήσετε αν τα ακρότατα είναι μέγιστα ή ελάχιστα ή δεν μπορείτε να αποφασίσετε τι είδους ακρότατο είναι. Αυτό το πώς θα το κάνουμε εργαλειακά, το έχετε αντιμετωπίσει θαυμάσια και στο Λύκειο και νομίζω ότι εκεί δεν είχαμε να προσφέρουμε πολλά. Άρα ξέραμε, σαν εργαλείο, ότι αν μας δώσουν μια συνάντηση ευτυχή, σε αυτήν θα μπορούμε να πάρουμε την παράγωτος προστοχή, να την βάλουμε ίσως με το 0. Αν αυτή η παράγωση έχει λύσεις και έχει τα σημεία χ1, χ2 και χ3, αυτά τα τρία σημεία γίνεται 0 η πρώτη παράγωση, πολύ ωραία. Τι σημαίνει αυτό, σημαίνει ότι αυτά τα τρία σημεία θα πρέπει να είναι σημεία κάπως έτσι στη συνάντηση, να παρουσιάζονται μέγιστα, ελάχιστα. Οπότε εδώ είναι το χ1, παραδείγματος χάρη εδώ είναι το χ2 και εδώ είναι το χ3. Αυτή το ψάξιμο για τα μέγιστα και ελάχιστα του Νάιστον σε μια συνάντηση θα είναι χρήσιμο όταν κάποιος θέλει να κάνει τη γραφική παράσταση χωρίς εργαλείο υπολογιστικό. Αν θέλει δηλαδή να ζωγραφήσει, να βρει τη γραφική παράσταση σε μια συνάντηση και δεν έχει ένα software με το οποίο να κάνει αυτή την αναπαράσταση και θέλει να προσδιορίσει, ή ούτως ή άλλως τον ενδιαφέρουν μόνο αυτά τα σημεία γιατί σε αυτά θέλει να δουλέψει ή έχει κάτι να κάνει. Άρα τον ενδιαφέρουν γενικά σε μια συνάντηση στη γραφική της παράσταση που έχει μέγιστα, που έχει ελάχιστα, που το όριο δεν υπάρχει, που έχει ασύμπτωτες, πώς συμπεριφέρεται στο άπειρο, πώς συμπεριφέρεται στην αρχή, στους άξονες. Άρα έχει σημεία να ψάξει μια συνάντηση όταν δεν ξέρει τίποτα για αυτήν να την οργανώσει και να δει τουλάχιστον τα σημεία τα περίεργα πώς συμπεριφέρονται. Λοιπόν, με αυτό το μηδενισμό βρήκαμε, αυτό το θυμάστε και το ξέρετε από το ΛΙΚΙ, επανάληψη κάνω εδώ. Τώρα μπαίνουν διάφορα ερωτήματα σε αυτήν εδώ τη σχέση. Εάν τα σημεία που βρήκαμε αυτά τα τρία είναι μέγιστα ή ελάχιστα. Εσείς στο ΛΙΚΙ είχατε οργανώσει την ανάλυση, να φτιάξετε έναν πίνακα, να προσπαθείτε να δείτε στην περιοχή γύρω από το σημείο που έχετε βρει το Χ1 πώς συμπεριφέρεται λίγο πριν και λίγο μετά η συνάντηση. Δηλαδή, η πρώτη παράγωση αν είναι το πρόσημο της πρώτης παραγώγου λίγο πριν και λίγο μετά σε αυτό το σημείο μας δίνει όλη την πληροφορία αν φτάνουμε σε μέγιστο ή αν φτάνουμε σε ελάχιστο. Πάρα πολύ ωραία. Είχατε, σας είπα το περασμένο μάθημα, ότι εκτός από τον πίνακα που είχατε μάθει να φτιάξετε υπάρχει και ένα δεύτερο κριτήριο να βρούμε τη δεύτερη παράγωση της Χ, στα σημεία Χ1, Χ2 και να βρούμε αν είναι θετική ή αρνητική. Αν δείστε αν είναι θετική είναι ελάχιστο και αν είναι αρνητική είναι μέγιστο. Γιατί μας λέει κάτι για το πώς έχουν στραφεί τα κύλα της συνάντησης. Άρα με το μηδενισμό της πρώτης και με την εκτίμηση για το πρόσημο στα σημεία Χ1, Χ2, Χ3 της δεύτερης παραγώγου μπορούμε να βρούμε αν το σημείο είναι μέγιστο ή ελάχιστο. Μέχρι εδώ μια χαρά. Θέλετε να ρωτήσετε κάτι? Όχι. Λοιπόν υπάρχει δύο πληροφορίες ακόμα που μπορούμε να βγάλουμε από αυτή τη συνάντηση αν ζητήσουμε το απόλυτο μέγιστο ή το απόλυτο ελάχιστο. Φυσικά σε αυτή την περίπτωση βρίσκουμε στα σημεία τα μέγιστα και ελάχιστα. Οπότε βλέπετε ότι σε αυτήν εδώ την καμπύλη όπως την έχω ζωγραφίσει αυτό είναι σε όλα τα σημεία που είναι. Αυτό είναι το απόλυτο μέγιστο γιατί είναι το μεγαλύτερο από τα μέγιστα και το απόλυτο ελάχιστο. Άλλο ένα σημείο το οποίο δεν ξέρω πόσο πολύ το είχατε τονίσει σε αυτή την ανάλυση είναι όταν μας δώσουν ότι θέλω να βρείτε τα μέγιστα και ελάχιστα μια συνάντησης μέσα σε ένα περιορισμένο πεδιορισμού. Δηλαδή έχουν περιορίσει το πεδιορισμού. Τότε σε αυτή την περίπτωση θα ψάξετε με δύο τρόπους τα μέγιστα και ελάχιστα συνάντησης. Θα ψάξετε αν μας ζητάνε στα σημεία α και β. Δηλαδή μέσα σε αυτή την περιοχή προσέξτε εδώ στα σημεία α και β. Η συνάντηση παρουσιάζει, οπωσδήποτε παρουσιάζει και θα πρέπει να ελεγχθούν αν εκεί παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο. Διότι υπάρχει περίπτωση να έχω μια συνάντηση σε ένα περιορισμένο πεδιορισμού η οποία μέσα στο πεδίο α β να μην παρουσιάζει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο. Δηλαδή να έχουμε μια μονότονη συνάντηση όπως αυτή που αυξάνει συνεχώς. Αυτή αν την ψάξετε για όλο το πεδίο ορισμού, δηλαδή από το μειον άπειρο έως το άπειρο, αυτή δεν παρουσιάζει πουθενά μέγιστο και ελάχιστο. Είναι μια συνάντηση η οποία συνεχώς αυξάνει. Εάν όμως περιορίσετε το πεδίο ορισμού, αυτή συνάντηση έχει και μέγιστο και ελάχιστο. Που στα άκρα. Συμφωνούμε σε αυτό. Δηλαδή το πεδίο ορισμού μια συνάντησης όταν μας το δώσουνε περιορισμένο, ψάχνουμε να δούμε ότι η συνάντηση σίγουρα παρουσιάζει ακρότατα στα άρθρα. Ωραία. Το ξεκαθαρίσαμε. Κι αυτό δεν μένει... Εκείνο που μένει όμως για μας, πολύ δύσκολο πρόβλημα, είναι να μου δώσει κανένας την εκφώνηση μιας φυσικής διαδικασίας, αυτό που αφήσαμε στο τέλος στο μάθημα, το περασμένο, να μου περιγράψει ένα πρόβλημα φυσικής και να μου ζητήσει να στήσω τη συνάντηση που πρέπει να βρούμε τα μέγιστα και ελάχιστα. Αυτό είναι, λομίζω, το πιο δύσκολο πρόβλημα το οποίο θέλει λίγο εξάσκηση παραπάνω από... και θα δώσουμε και μισά ασκήσεις αλλά δεν φτάνουν και αυτές. Ποιο πρόβλημα θέλουμε να αντιμετωπίσουμε στο περασμένο μάθημα. Αυτό είναι μία πολύ γενική άσκηση, η οποία μπορεί να δοθεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Εμείς τη δώσαμε με το γεγονός ότι είχαμε δύο διαφορετικά μέσα, τα οποία είχανε διαφορετική ταχύτητα του φωτός στα δύο αυτά μέσα. Η ταχύτητα του διαδίδονταν το φως με διαφορετική ταχύτητα. Οι ταχύτες αυτές ήταν V1 στο ένα και V2 στο άλλο. Ξεκινούσαμε από ένα σημείο Α. Το φως έκανε μία ανάκλαση σε αυτή την επιφάνεια και πήγαινε σε ένα σημείο Β. Έκανε μία ανάκλαση στο Β και πήγαινε στο σημείο Γ. Άρα λοιπόν η πορεία που ακολουθούσε το φως ήταν να έρχεται από το σημείο Α και να δίνει σε κάποιο σημείο Β, το οποίο βρίσκονται όλα αυτά πάνω στον άξονα Ωx. Άρα αυτό το σημείο ανευδό βάλουμε την αρχή των αξώνων. Εδώ είναι το σημείο Α το οποίο έχει συντεταγμένες μηδέν Ψ. Συγκεκριμένη η Β. Από εδώ ξεκινάμε και φτάνουμε σε ένα σημείο τυχαίο εδώ πέρα το οποίο έχει συντεταγμένες Γ και Δ. Οπότε ζητάμε αυτά τα μέσα έχουν ταχύτητα V1 και V2 Θέλουμε να αποδείξουμε ότι για να έχει τον ελάχιστο χρόνο να πάει από το σημείο Α στο Γ, αυτή η ακτίνα του φωτός θα πρέπει να υπαλιθεύεται μια σχέση που λέει το Β1 αν αυτές εδώ οι γωνίες τις ονομάσουμε Θ1 και Θ2. Θα τις βάλω σωστά. Θ1 και Θ2 είναι οι γωνίες που σχηματίζει με την κάθετη. Αυτή είναι η Θ1 και αυτή είναι η Θ2. Τι πληροφορίες έχουμε, έχουμε ότι αν μια ακτίνα από το φως ξεκινάει, σας την έδωσα πάλι αυτή την άσκηση, αν τη δείτε στο σπίτι, ξεκινάει από το σημείο Α, ανακλάται, περνάει από ένα μέσο στο οποίο έχει αλλάζει φάση, ταχύτητα του αλλάζει στο Β1 και Β2 και τελικά καταλήγει στο σημείο Γ και θέλουμε να δούμε ποιο είναι, ποια πρέπει να είναι, ποιο είναι οι γωνίες Θ1 και Θ2. Λέμε ότι πρέπει να αποδεικνύουν, ακολουθούν ένα συγκεκριμένο τύπο, ο οποίος στη φυσική είναι γνωστός, Β1 δια Β2, ο λόγος των ταχυτήτων θα είναι ίσον με το ημήτωνο του Θ1 δια Θ2. Αυτό θέλουμε να αποδείξουμε, είναι γνωστός νόμος της φυσικής αυτός, αλλά αυτή η άσκηση μπορεί να δοθεί και μ' άλλο τρόπο και να μην έχει να κάνει με το νόμο του Snell, που είναι αυτός ο νόμος των ημητώνων, όπως λέγεται, στη φυσική, μπορεί να δοθεί και μ' άλλο τρόπο. Είναι κάποιος που βρίσκεται στο σημείο Β, σε ένα σημείο και θέλει να περάσει, θέλει να φτάσει στο σημείο Γ, ή θέλει να περάσει από ένα συγκεκριμένο ποτάμι, πιθανόν να δώσει και να πρέπει να φτάσει τον ελάχιστο χρόνο. Οπότε ξέρουμε την ταχύτητα με την οποία βαδίζει αυτός στο 1 πριν από το ποτάμι, η ταχύτητα με την οποία βαδίζει μετά το ποτάμι και ουσιαστικά θέλουμε να δούμε πότε θα φτάσει στο σημείο Γ, τον ελάχιστο χρόνο που χρειάζεται να φτάσει το σημείο Γ. Ολόκληρη γκάμα προβλημάτων τα οποία έχουν ακλειβώς τον ίδιο χαρακτήρα. Τι χρειάζεται να κάνουμε σε αυτά τα προβλήματα, χρειάζεται να υπολογίσουμε για να στήσουμε το πρόβλημα και να φτάσουμε στη συνάρτηση που πρέπει να συζητήσουμε. Θα χρειαστεί να υπολογίσουμε το χρόνο, να γράψουμε μια συνάρτηση του χρόνου, ο οποίος χρόνος σε αυτό εδώ το πρόβλημα όπως τον είχαμε γράψει την περασμένη φορά, ήταν χ τετράγωνο, τετραγωνική ρίζα του χ τετράγωνον συν α τετράγωνο με την ταχύτητα Β1, αυτός είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να διανύσει αυτό το κομμάτι, συν το τετραγωνική ρίζα του β-χ και όλος το τετράγωνο, συν γ τετράγωνο δια β2. Αυτή ήταν η βασική συνάρτηση που έπρεπε εσείς να μπορέσετε να ξεκινήσετε και να στήσετε. Αυτό δηλαδή από την εκφώνηση αυτού του προβλήματος εσείς έπρεπε να στήσετε μια τέτοια συνάρτηση και θεωρώντας ότι τα σημεία είναι τα β και γ, όπως σας είπα τα σημεία είναι β και γ εδώ να τα βάλω σωστά, αυτό είναι το σημείο β και γ, αυτό είναι το σημείο μηδέν α και αυτό το σημείο εδώ πέρα είναι το χ μηδέν και αυτό το σημείο είναι το β μηδέν. Έτσι λοιπόν έχω οργανώσει αυτό το πρόβλημα, ξεκινάει από το σημείο α που έχετε τεταγμένες μηδέν α, κάνει μία ανάκλαση σε ένα τυχαίο σημείο το οποίο αυτό μπορεί να είναι οποιοδήποτε γι' αυτό το χ είναι ελεύθερη παράμετρος, άρα ο χρόνος είναι συνάρτηση του χ, του σημείου ανάκλασης, εδώ πέρα έχω το σημείο β γ και αυτό είναι το σημείο β μηδέν. Αν υπολογίσετε από τα τρίγωνα που χρησιμοποιούνται εδώ πέρα αυτά τα μήκη, το μήκος αυτό και το διαιρέστε με την ταχύτητα β1 και το μήκος αυτό και το διαιρέστε με την ταχύτητα β2, αυτός είναι ο χρόνος που θα χρειαστεί να πάει από το σημείο α στο σημείο γ, αυτός αυτή η ακτίνα του φωτός. Και τώρα μπαίνει το ερώτημα της ελαχιστοποίησης ή της μεγιστοποίησης, αν θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε εδώ το χρόνο. Υπάρχει λόγος γιατί στη φυσική ψάχνουμε για τον ελάχιστο δρόμο ή η ελάχιστη δράση ή η ελάχιστη, ο δρόμος αυτός έχει μεγάλη σημασία στη φυσική γιατί επιλέγει η ακτίνα του φωτός στην ελάχιστη απόσταση, αλλά τέλος πάντων δεν είναι αυτό το πρόβλημά μας, το δικό μας τώρα, αλλά εγώ σας έχω ζητήσει αυτή η ακτίνα του φωτός να διανύει αυτή τη διαδρομή στον ελάχιστο χρόνο. Τώρα από εδώ και πέρα μπαίνει ένα πρόβλημα με πράξεις, το οποίο δεν ξέρω αν καθίσατε στο σπίτι ή αν κάθεσε κανένας, να τις κάνει αυτές τις πράξεις και παίρνοντας την παράογο, προσπαθώντας να πάρει την παράογο του ταφ ως προς το χ, για να βρει ίσο με μηδέν και να βρει το σημείο αυτό στο οποίο το χ θα κάνει, η διαδρομή θα γίνει ελάχιστη, αυτό το σημείο ψάχνουμε, ψάχνοντας να βρει αυτό το σημείο, καταλήγει σε αυτήν εδώ τη σχέση. Είναι κανένας που της έκανε τις πράξεις στο σπίτι, κανένας φυσικά, που δεν ήταν άσκηση, γιατί θα την κάνουμε σωστά. Λοιπόν, τέλος πάντων, εγώ σε αυτές τις σημείες που θα σας δώσω, να μην καθίσουμε να το κάνουμε στον πίνακα, υπάρχουν αυτές οι πράξεις. Έχω όμως παρακαλέσει εσάς, ότι ποτέ, όταν είναι πρόβλημα, ξεκαθαρίζετε μια άσκηση. Είναι ξεκάθαρη στο μυαλό σας, δηλαδή σας την έχει περιγράψει κάποιος ξεκάθαρα. Ξέρετε τι σας ζητάει, εάν κάνετε το λάθος αυτές τις ασκήσεις να πάτε να τις διαβάσετε, αντί να τις αποδείξετε, είναι ότι χειρότερο μπορείτε να κάνετε στον εαυτό σας. Κερδίζετε μεν χρόνο, διότι διαβάζοντας μία άσκηση θα χρειαστούν 5-10 λεπτά να την καταλάβετε, όταν είναι λυμένη και τη διαβάζετε, όταν τη δουλέψετε μόνη σας θα χρειαστεί μισή ώρα ή και τρία τετάρτα. Άρα λοιπόν έχετε κερδίσει χρόνο, αλλά τον κερδίσατε σε βάρος ποιού πράγματος. Της ικανότητας της δική σας να μπορείτε να λύσετε τέτοιες ασκήσεις. Αν αυτό το κάνετε, νομίζω ότι θα είναι μεγάλο λάθος σε προσωπικό επίπεδο, γι' αυτό θα σας παρακαλώ όλες τις ασκήσεις που βρίσκεστε. Ακόμα το άλλο το μεγάλο λάθος είναι αυτό που σας τηλεφωνεί κάποιος συναδελφός και λέει την έλυσα την άσκηση και εσείς εκείνη την ώρα δεν έχετε καμία διάθεση να ασχοληθείτε με τις ασκήσεις και λέει στείλτε μου. Οπότε σας στέλνει την άσκηση λυμένη και εσείς δεν ασχολείστε. Αν λοιπόν έρχεστε σε αυτό το μάθημα και εσείς δεν ασχολείστε το αποτέλεσμα θα είναι πάρα πολύ μικρό σε σχέση με τον κόπο που κάνετε γιατί κάνετε ένα πολύ μεγάλο κόπο να είστε εδώ. Άρα λοιπόν εγώ θέλω να σας παρακαλέσω μερικά από αυτά τα προβλήματα που υπάρχουν εδώ μέσα. Υπάρχουν και άλλα προβλήματα που υπάρχουν στις σημειώσεις που θα σας δώσω ή και άλλα προβλήματα που θα βρείτε στο βιβλίο. Η παράκληση δική μου είναι μην παίρνετε έτοιμες λύσεις από άλλους και μην διαβάζετε λύσεις. Δοκιμάστε πρώτα να τις δουλέψετε μόνοι σας. Λοιπόν αφήνουμε αυτό το θέμα και πάμε σε ένα άλλο θέμα. Αφήνουμε λοιπόν τα μέγιστα και λάχιστα και τα προβλήματα που προκύπτουν από τα μέγιστα και λάχιστα και πάμε σε ένα άλλο θέμα το οποίο επίσης το ξέρετε θα το θυμηθούμε. Αλλά θέλω να σιγουρέψω ότι όλοι θυμάστε το ίδιο πράγμα και έχετε την ίδια προσέγγιση και μπορούμε να λύσουμε προβλήματα σε αυτό το θέμα. Λοιπόν αυτό που νομίζω ότι το έχουμε συζητήσει αρκετά ήταν ο κανόνας του Τελοπιτάλ για προβλήματα τα οποία καταλήγουν, προσπαθούμε να βρούμε το όριο το οποίο καταλήγει σε απροσδιοριστή μορφή. Αλλά το κανόν του Τελοπιτάλ το ξέρετε, ήθελα να σιγουρέψω ότι όλοι γνωρίζετε ποιες είναι οι απροσδιοριστές μορφές. Οι κλασικές βέβαια είναι το μηδέν δια μηδενός και το άπυρο δια πύρου. Αυτές είναι οι κλασικές μορφές από απροσδιοριστή μορφή. Το μηδέν δια μηδενός, αυτό είναι μία, το άπυρο δια πύρου, αυτό είναι άλλη μία. Πέστε μου κι άλλες, πέστε μου εσείς. Μίον άπυρο συν άπυρο. Μίον άπυρο συν άπυρο. Μηδέν επί άπυρο. Μηδέν επί άπυρο. Ποιο άλλο, για να ακούσουμε εσάς, εσάς πέστε μου εσείς. Ένα στην άπυρο. Ένα στην άπυρο. Άλλο, έχουμε γράψει το μηδέν δια μηδενός, το άπυρο δια πύρου, το μίον άπυρο συν άπυρο, το μηδέν επί άπυρο, το ένα στην άπυρο. Πώς? Μηδέν στην μηδενική. Ένα μας έχει ξεφύγει. Νομίζω με αυτά, αν δεν έχω κάνει λάθος κι εγώ, και δεν μου ξεφύγει, είναι το μηδέν δια μηδενός, το άπυρο δια πύρου, το μηδέν επί άπυρο, το άπυρο μίον άπυρο, το μηδέν στην μηδενική, το άπυρο στην μηδενική και το ένα στην άπυρο. Νομίζω αυτά είναι όλα. Ο τρόπος λύσης είναι γνωστός και θα ήθελα να υπολογίσουμε ένα όριο εδώ πέρα, αν το κάνετε εσείς, από αυτά και να το εγκαταλείψουμε αυτό το θέμα. Να υπολογίσετε, νομίζω ότι δεν ξέρω αν έχουμε δουλέψει τέτοια άσκηση, αλλά τέλος πάντων, να δουλέψουμε το όριο του χ, ένα δια χ στη μειον ένα, το όριο αυτής της συνάντησης, όταν το χ τίνει στη μονάδα. Λοιπόν, έχουμε το όριο του χ να τίνει στη μονάδα, ποια συνάντησης, χ ή στην ένα δια χ μειον ένα, αυτή είναι η συνάντηση. Έχουμε χ και υψώνεται στο ένα δια χ μειον ένα, το χ πηγαίνει στη μονάδα και ζητάμε να βρούμε το όριο αυτής της συνάντησης. Έχουμε χ και υψώνεται στο ένα δια χ μειον ένα, αυτή είναι η συνάντηση. Το μηδέν στην απειροστή είναι απροσδιορίστητη μορφή, ποιος είπε όχι, πες. Δεν είναι στις απροσδιορίστητες μορφές, αυτό θα καταλήξει το μηδέν. Εντάξει, λοιπόν, παρακάτω να δουλέψουμε αυτό το όριο, το όριο λοιπόν της χ στην ένα δια χ μειον ένα, το χ να πηγαίνει στη μονάδα. Για λείστε αυτό το όριο και όποιος το έχει τελειώσει σηκώνει το χέρι του. Οπότε η συνάδελφός σας χρησιμοποιήσε το ε στον λεμπέριο λογάριθμο του χ, όλη αυτή τη συνάντηση που είχαμε να δουλέψουμε. Οπότε με το λογάριθμο κατέβασε και έφτιαξε τη συνάντηση ένα μπροστά χ μειον ένα επί το λογάριθμο του χ. Αυτό αν είναι μηδέν είναι μία από τις απροσδιορίστητες μορφές που συζητάγαν προηγουμένως. Οπότε εφαρμόζει τον κανόνα του τελοπιτάζ. Οπότε βρίσκει μονάδα που σημαίνει ότι το όριο, προσέξτε αυτό το τελευταίο σημείο, το όριο δεν θα είναι η μονάδα θα είναι το ε. Ωραία, λοιπόν, συμφωνείτε? Ευχαριστούμε πάρα πολύ και τώρα να μην ασχοληθούμε άλλο με αυτά γιατί είναι γνωστά σας πράγματα. Να βάλουμε στη συζήτησή μας κάτι καινούριο το οποίο νομίζω ότι θα έχει πολύ μεγάλο ενδιαφέρον και έχει και πολλές ενδιαφέρονες εφαρμογές. Και όπως σας είπα στο περασμένο μάθημα, τα σβήνω αυτά. Έχουμε το εξής πρόβλημα που θέλουμε να... Πες το. Α, αργερή, πες το. Θέλω να ρωτήσω πριν φύγουμε από το τελοπιτάκ, ότι κανείς ποτέ δεν μας εξηγήσει γιατί είσαι αυτό το κριτήρι, δηλαδή γιατί, ας πούμε, το όριο της συνάρτησης αρχικής σπάει στον πλήκο, ας πούμε, το όριο του παρακόλου. Ναι. Να πω το εξής, ότι παρόλο ότι εγώ ξέρω σε χοντρές γραμμές, όμως όχι στο επίπεδο να απαντήσω με πληρότητα σε αυτό το ερώτημα του Αργερή, θα ήθελα να κάνουμε το εξής. Να ζητήσουμε σαν πρόβλημα τάξεις μέχρι τη Δευτέρα που έχουμε πάλι μάθημα, τη Δευτέρα έχουμε μάθημα, εγώ δεν την ξέρω την απάντηση έτσι ώστε να την δώσω με σαφήνια σε αυτό που ρώτησε ο Αργερής. Την έχω ψάξει στο παρελθόν, αλλά αυτή τη στιγμή δεν την έχω ολοκληρωμένη στο μυαλό μου ώστε να κάνω αυτή την παράδοση. Οπότε και εγώ θα την κοιτάξω, αλλά αφού μπήκε το ερώτημα ας την κοιτάξετε κι εσείς και ας έρθουμε όλοι μαζί, οι λίγο καλύτερα διαβασμένοι τη Δευτέρα να απαντήσουμε από πού βγήκε αυτός ο κανόνας του Τελοπιτάλ, δηλαδή πώς φτάσαμε στον κανόνα του Τελοπιτάλ. Αυτό είναι το ερώτημά μας. Εγώ σας λέω ότι θα ήθελα να ρίξω μια ματιά να θυμηθώ λίγο τις διαδικασίες, αλλά αφού θα το κάνω εγώ το κάνετε και εσείς. Οπότε τη Δευτέρα, στο μάθημα της Δευτέρας θα συζητήσουμε αυτή την ερώτηση. Σωστά. Ας προχωρήσουμε λοιπόν. Δεν το παρακονίζουμε, αλλά επιστρέφουμε σε αυτό που ρώτησε ο Αργερής. Και το ανάπτυγμα Taylor λοιπόν και Maclaurin είναι το θέμα της συζήτησης μας σήμερα. Ποιο ήταν το ερώτημα που ήθελε ο Taylor. Ναι. Ήθελα να σας ρωτήσω λίγο πρώτα. Πρέπει να προχωρήσουμε και να πάμε στο Taylor. Εάν θέλετε να μας αναπείτε λίγο αυτά που λέγαμε τη δεύτερη προσοχή με το SPA. Το άλμα των νουτρίσεων και το πώς θα μας στωματώνει τη συνάρτηση. Θα τα πούμε σήμερα. Εντάξει. Αν δεν καλυφθείς μέχρι το τέλος του μαθήματος, μου το ξαναλες και να επανερθούμε τη Δευτέρα. Λοιπόν, έχουμε λοιπόν ένα θέμα να αντιμετωπίσουμε που λέει ότι μας δίνεται μια συνάρτηση και θέλουμε να την παρουσιάσουμε, να την προσεγγίσουμε μια συνάρτηση f του x, να την προσεγγίσουμε σε μορφή ενός πολυονίμου. Γύρω από ένα σημείο x0 το οποίο μπορεί να είναι το μηδέν. Αν είναι το μηδέν, αν το σημείο γύρω από το οποίο θέλουμε να αναπτύξουμε το πολυόνιμο σε σειρά, μπορεί να είναι το μηδέν. Αν το σημείο x0 είναι το μηδέν, τότε η σειρά δεν λέγεται Taylor, λέγεται Maclauren. Λοιπόν, πώς ξεκινάμε, ποιο είναι το πρόβλημά μας. Άρχουμε λοιπόν τη συνάρτηση f του x, θέλουμε να την παρουσιάσουμε σαν ένα πολυόνιμο α0, α1x-x0 εις την πρώτη, συν α2x-x0 εις τη δευτέρα, συν α3x-x0 εις την τρίτη κτλ. Και στο τελευταίος όρος θα είναι ας πούμε, θα είναι το x-x0 εις την ν, κτλ. Να λοιπόν αυτό που ζητάμε, θέλουμε να αντιγράψουμε έτσι τη συνάρτηση. Τι μας λείπει, δύο σημεία είναι σημαντικά, ότι το x κινείται πολύ κοντά στο x0, άρα το x-x0 είναι μικρός αριθμός. Έτσι, αυτή η ανάπτυξη σε τέτοια σειρά δεν έχει, απολύτως δεν συγκλίνει, δεν θα μας δώσει τίποτα συγκεκριμένο, εάν το x-x0 δεν είναι πάρα πολύ κοντά στο ένα στο άλλο. Χρησιμοποίησα και γελάστε την περασμένη φορά, χρησιμοποίησα τη λέξη γειτονιά, neighborhood. Έτσι, χρησιμοποιούμε λοιπόν αυτή τη λέξη και στα αγγλικά και στα ελληνικά, για να μιλήσουμε ότι θέλουμε να παρουσιάσουμε τη λύση αυτής της συνάρτησης, την μορφή αυτής της συνάρτησης, την παρουσιάσουμε σαν ένα πολιώνυμο, αλλά που πολύ κοντά στο σημείο x0. Να έχουμε μια ομαλά συμπεριφερόμενη συνάρτηση, είμαστε στο σημείο x0 και θέλουμε εδώ στη γειτονιά της να την παρουσιάσουμε με τη μορφή ενός πολιωνύμου. Εμείς ήδη έχουμε μιλήσει για τη γραμμική προσέγγιση αυτής της συνάρτησης. Και η γραμμική προσέγγιση είναι να κρατήσουμε αυτούς τους δύο όρους, τον πρώτο και τον μηδενικό όρο, το α0 και το α1. Κοιτάξτε τώρα, αυτό που μας λείπει σε αυτό το ανάπτυγμα Taylor είναι ποιοι είναι οι συντελεστές, πώς θα υπολογίσουμε τους συντελεστές. Οπότε, ελάτε να δείτε τι σκέφτηκε ο Taylor. Παραγόγησε τη συνάρτηση, καταρχήν για να βρει το α0, πήρε το όριο της συνάρτησης f του x, όταν το x τύνει στο x0. Τι συμβαίνει αν το x τύνει στο x0, όλοι αυτοί οι όροι θα φύγουν. Και θα είναι ίσιο με την τιμή του x0. Άρα λοιπόν βρήκε το πρώτο όρο, τον α0. Ο α0 λοιπόν, αφού το x τύνει στο x0 και έχουμε μια ομαλή συνάρτηση, αυτό θα είναι ίσιο με το f του x0 και έτσι βρήκε το πρώτο όρο α0. Ωραία, άρα ο α0 προσδιορίζεται, θα σας γράφω εδώ πέρα αυτούς που βρίσκω, ο α0 είναι ίσως με το f του x0. Αλλά αν κάθεστε σιωπηροί, ενώ εγώ μιλάω και δεν με καταλάβατε σε κάτι και δεν με σταματήσετε, φυσικά εσείς χάνετε, διότι ουσιαστικά κουβαλάτε αυτή την απορία μαζί σας. Και αν βέβαια την κουβαλάτε με σκοπό να πάτε στο σπίτι να τη δουλέψετε, εμένα με χαροποιεί να κουβαλάτε απορία στο σπίτι από το μάθημα, αν της δουλέψετε όμως. Και να επανέλθετε με ερωτήσεις, είστε στο γραφείο μου είτε στο μάθημα. Αυτή είναι μια πολύ όμορφη συμπερίφορα. Εάν όμως της κουβαλάτε για να τις ξεχάσετε, αν έχετε κερδίσει αυτό που πιστεύω εγώ σε ένα παραδοσιακό μάθημα και κερδίζετε γύρω στο 5 με 10%, δεν έχετε πάρει ούτε αυτό. Λοιπόν, άρα λοιπόν λέμε ότι παίρνουμε αυτή τη συνάντηση του x να τίνει στο x0. Όλοι αυτοί οι όροι θα φύγουν, θα δώσουν 0. Θα μείνει μόνο αυτός και θα δώσει αυτήν τη συμπεριφορά. Πάρτε τώρα την πρώτη παράγωγο, fτ του x, αυτό θα είναι 0, αυτό εδώ πέρα θα μας δώσει το fτ του x, θα μας δώσει το α, αυτός ο όρος θα, στην περίπτωση αυτή, θα δώσει το α1. Το βλέπετε, το fτ του x, αυτός θα μηδενιστεί και οι άλλοι θα είναι ποιοι, θα είναι το α2, θα έχει δύο α2, χ-χ0, συν 3α3, χ-χ0 στο τετράγωνο, συν και ο νιωστός θα είναι ν, χ-χ0, στην ν-1, συν κτλ. Παραγώγησα το πολιώνυμο και πάω τώρα να βρω πάλι το όριο αυτού του νέου πολιωνύμου που έχει το fτ μπροστά στο σημείο χ-χ0. Κοιτάξτε τι θα γίνει, όλοι αυτοί οι όροι, αυτός θα είναι μηδεν, αυτός θα είναι μηδεν, όλοι θα είναι μηδεν εκτός από τον πρώτο. Άρα το όριο της fτ του x, το x να πηγαίνει στο χ-0 είναι ίσον με το α1 και επειδή η παράγωγος υπάρχει και είναι συνεχής, το όριο αυτό στο σημείο χ-0 θα είναι ίσο με το fτ χ-0. Άρα βρήκα και το α1, το α1 λοιπόν στο πολιώνυμο είναι αυτό. Άρα ήδη θα έχετε καταλάβει πού το πάμε. Άρα βρήκαμε τους δύο πρώτους όρους όπως είπαμε, όπου ο πρώτος όρος λοιπόν, αρχίζω να το γράφω το πολιώνυμο, είναι fτ χ, περίπου ίσο λοιπόν με το fτ χ-0, συν το πρώτο όρο που είναι εφτώνους του χ-0, χ-χ-0, αυτός είναι ο γραμμικός όρος, βρήκα το γραμμικό όρο. Πάμε να πάρουμε εδώ τη δεύτερη παράγωγο. Η δεύτερη παράγωγος στην fτ χ, θα δώσει τι η δεύτερη παράγωγος, σβήνω την πρώτη παράγωγο και πάω να βρω τη δεύτερη τώρα. Εδώ θα δώσει, η πρώτη θα δώσει, θα μου δώσει η fχ δεύτερη παράγωγος, αυτή τη συνάντηση, αυτός όρος στην πρώτη παράγωγο είχαμε πει είναι 0, αυτός ήταν χ-χ-0, στη δεύτερη θα φύγει και αυτός, οπότε ο α2 θα είναι ο σημαντικός όρος. Άρα θα έχει όμως μπροστά του και ένα 2. Αν παραγωγήσω αυτό δύο φορές, αυτά θα φύγουν, αυτό θα κατεβάσει ένα 2 εδώ πέρα, άρα θα είναι 2α2, συν στη δεύτερη παράγωγο, κακώς έτρεψα το πρώτο, στην πρώτη παράγωγο ήταν 3, θα γίνει εδώ πέρα ένα 6α3, αν δεν έχω κάνει λάθος, του χ-χ-0, συν και τα λοιπά, όλοι οι ώροι, οι υπόλοιποι θα έχουν το χ-χ-0, εδώ ήταν 3x4, 2-3-6, άρα σωστά το έχω, άρα παίρνοντας τώρα το όριο της δεύτερης παραγωγού του χ να τίνει στο χ-0, έχω μπροστά το 2α2, συν όλα τα άλλα θα γίνουν 0, όταν το χ τίνει στο χ-0, θα πάει στο 0, άρα το α2 λοιπόν, θα είναι, το α2 θα είναι ένα δεύτερο, εφ δεύτερη παράγωγος του χ-0, άρα συνεχίζω εδώ στο ανάπτυγμα του πολυονίμου και έχω ένα δεύτερο, εφ δεύτερη παράγωγος χ-0, χ-χ-0, στο τετράγωνο τώρα, άρα στο γραμμικό όρο που δουλεύαμε μέχρι τώρα, πρόσθεσα και το τετραγωνικό όρο και για βρέστε μου εσείς τον τρίτο όρο στη σειρά, δηλαδή αν ήθελα να κρατήσω και τρίτης τάξιος όρους στο ανάπτυγμα Taylor, πέστε μου εσείς με την ίδια διαδικασία, πάρτε τώρα εσείς την τρίτη παραγωγό, συνεχίστε δηλαδή παραγωγήσετε αυτήν άλλη μια φορά και βρέστε μου ποιο θα είναι το α3, το ερώτημά μου είναι με την ίδια διαδικασία που έκανα εγώ, παρτε την τρίτη παραγωγό και η τρίτη παραγωγό θα σας δώσει το α3, ποιο είναι το α3 μπορείτε να μου το πείτε, πες του μου εσείς, είναι α6, το οποίο α6 γιατί θα μας χρησιμεύσει αργότερα θα το γράψω 2x3 εγώ και θα το γράψω τρίτη παραγωγό του χ0, εάν συνεχίσετε για το νιωστό όρο θα έχουμε όπως ξεκινήσατε εδώ πέρα 1x2x3xxn, αυτό εδώ πέρα το 1x2x3xn το ονομάζω στα μαθηματικά είναι παραγωγικό, έχω βγάλει ένα σύμβολο το οποίο το λέω νι παραγωγικό το οποίο συμβολίζει 1x2x3xxn οπότε γράφω αυτόν εδώ τον όρο τον α3, 1x3 παραγωγικό f3x0 και εδώ πέρα είναι 2 παραγωγικό και εδώ πέρα είναι μονάδα οπότε καταλαβαίνετε ότι με αυτή την προσέγγιση φτιάχνω ένα πολυόνυμο το οποίο κρατά όσους όρους θέλω στην προσέγγιση κρατά όσους όρους θέλω γραφικά αυτό τι σημαίνει ποιος έχει καταλάβει τι σημαίνει γραφικά αυτή η προσέγγιση. Αυτή εδώ πέρα βέβαια η ανάπτυξη κρατώντας και το 3ο όρο και το 2ο όρο όσους όρους θέλετε είναι μία προσέγγιστική δηλαδή έχω κάνει μία προσέγγιση όπως κάνω στη γραμμική προσέγγιση και διώχνοντας αυτό τον όρο έχω κάνει ένα λάθος στην εκτίμηση του f του x έτσι έχω κάνει λάθος αν κρατήσω και το 2ο όρο και διώξω το 3ο και τους υπόλοιπους. Άρα λοιπόν τι έχω κάνει τι προκάνω από τη γραφική παράσταση είμαι σε αυτό το σημείο και θέλω να προσεγγίσω αυτήν εδώ την καμπύλη προσέξτε το είπα από την αρχή αυτό το ανάπτυγμα δεν ισχύει για οποιαδήποτε τιμή του x πρέπει το x να είναι πάρα πολύ κοντά στο x0 και βλέπετε όσο πιο κοντά αν αυτό δηλαδή είναι ένας μικρός αριθμός αυτό εδώ πέρα είναι ακόμα πιο μικρός γιατί αν αυτό είναι 10 εις τιμήων 1 είμαι δηλαδή στο σημείο x. Που απέχει από το x0 10 εις τιμήων 1 τόσο κοντά στο x είμαι καταλαβαίνετε ότι αυτός εδώ πέρα είναι 10 εις τιμήων 2 ο όρος. Άρα έχω ένας πολυόνυμο το οποίο οι όροι ανώτερης τάξης αφόσον το x-x0 είναι μικρός αριθμός είναι ε το ε4 είναι πολύ μικρότερο το ε3 είναι ακόμα πιο μικρότερο είναι σαν να προσθέτω δικαντικά ψηφία σε μία προσέγγιση. Δηλαδή βρήκα έχω ένα μηχάνημα το οποίο έχει ακρίβεια στο πληκτρολόγιο 3 δεκαδικά ψηφία και μου δίνει 2,33. Αν βρω ένα καλύτερο μηχάνημα που έχει καλύτερη ακρίβεια θα μου δώσει 4 δεκαδικά ψηφία 5 δεκαδικά ψηφία. Αλλά αυτή η προσέγγιση που μου δίνει για αυτό που κάνω βγάζω την τραγωνική ρίζα σε ένα ρυθμό και μου κρατάει μερικά δεκαδικά ψηφία. Αυτό λοιπόν που κάνουμε σε αυτό εδώ είναι να προσθέτουμε δεκαδικά ψηφία στην ακρίβεια. Θα τα δούμε στην πράξη αυτά. Θα τα δείτε και μόνοι σας. Λοιπόν γραφικά τι κάνουμε. Κοιτάξτε τι κάνουμε γραφικά. Αυτή την συνάρτηση εγώ θέλω μέσα σε αυτά εδώ τα όρια να την προσεγγίσω. Δηλαδή έχω πάει κοντά στο χ0 και έχω χ0-α και χ0-α. Το simple α γύρω από το χ0 στη φυσική είναι η ακρίβεια του οργάνου μου. Και επειδή το οργάνό μου έχει μία μικρή ακρίβεια θέλω να προσεγγίσω τη συνάρτηση. Γιατί σε αυτή την περιοχή θα μετρήσω. Θέλω να την προσεγγίσω με μία συνάρτηση. Οπότε είναι πολύ αγαπημένη η προσέγγιση στους φυσικούς. Η γραμμική προσέγγιση αν και η τετραγωνική. Βέβαια αν προσθέτεις πολλούς όρους, τρίτος, τέταρτος, πέμπτος και τα λοιπά, αρχίζει να χάνει την αξία του το πολυόνιμο Taylor. Δεν γίνεται τόσο εύχρηστος όσο θα γίνουν αν μόνο με δύο όρους έχουμε λύσει το πρόβλημά μας. Κοιτάξτε λοιπόν τι έχουμε κάνει. Είχαμε πει ότι η γραμμική προσέγγιση είναι η εφαπτωμένη. Στο σημείο χ0. Αλλά βλέπετε ότι η εφαπτωμένη έχει κάνει λάθη εδώ πέρα. Να τα λάθη της εφαπτωμένης. Εδώ λοιπόν η απόσταση, το λάθος που έχω κάνει με το να πάρω την εφαπτωμένη, τη γραμμική προσέγγιση για να προσεγγίσω αυτή την ευθεία, είναι σχετικά μεγάλο όσο απομακρύνω από το χ0. Ο δεύτερος όρος όμως, ο τετραγωνικός, είναι μια καλύτερη προσέγγιση, είναι αυτή η προσέγγιση. Και αν συνεχίσω να πάρω κι άλλους όρους, μπορώ να πλησιάσω όλο και περισσότερο στο ίδιο σημείο, την ίδια απόσταση, να πλησιάζω και η ακρίβεια μου να γίνεται μικρότερη. Άρα λοιπόν με το πολυόνυμο Taylor, κρατώντας όρους δεύτερης ή τρίτης τάξης, μπορώ στη γειτονιά ενός σημείου να προσεγγίσω μια συνάρτηση, η οποία μπορεί να είναι πολύπλοκη, να έχει μύτονα, συνυμύτονα κτλ. Και στο τέλος εγώ να φτιάξω μια πάρα πολύ όμορφη, ένα πάρα πολύ όμορφο πολυόνυμο, το οποίο να προσεγγίζει μια πολύ πολύπλοκη συνάρτηση στη γειτονιά ενός σημείου. Και μετά, η διαχείριση της λύσης του προβλήματος, από μαθηματικής άποψης, εάν το χρησιμοποιήσω το πολυόνυμο Taylor, αντί να χρησιμοποιήσω ολόκληρη τη συνάντηση, είναι πάρα πολύ εύκολη. Άρα εύκολη λύνει πάρα πολύ τη ζωή μας. Τώρα έχω δύο ερωτήματα τα οποία θα έχατε θέσει κι εσείς και σας είχα πει να περιμένετε την απάντηση. Καταρχήν τα δω αν τουλάχιστον από πλευράς δομής καταλάβατε πώς βγάζω τους συντελεστές και πώς θα γράψω ένα πολυόνυμο, αν μου ζητήσουν να αναπτύξω στη γειτονιά του χημιδέν ένα πολυόνυμο, πώς θα γράψω αυτό το πολυόνυμο. Θα το γράψω χημιδέν, θα το γράψουμε εδώ πέρα. Θα το γράψω χημιδέν, θα το γράψω χημιδέν, θα το γράψω χημιδέν, θα το γράψω χημιδέν. Και εδώ σταματάω, στον τρίτο όρο σταματάω και προχωράω με τελίτσες να πω ότι υπάρχουν όλοι οι όροι ανατριστάξεις. Αυτό είναι λοιπόν το πολυόνυμο. Αν σας ζητήσει κάποιος να αναπτύξετε γύρω από ένα σημείο, από τη μονάδα, γύρω από οποιοδήποτε σημείο, μια συνάρτηση να την αναπτύξετε, να την περιγράψετε σε πολυόνυμο τρίτου βαθμού, θα γράψετε αυτή τη σχέση. Την οποία μπορείτε εύκολα να την υπολογίσετε παρώντας την πρώτη, δεύτερη και τη τρίτη παράγωγη στο σημείο χημιδέν. Συμφωνούμε, κατανοητό σε όλους. Εάν το χημιδέν είναι το μηδέν, δεν θα λέγεται Taylor, θα λέγεται Maclauren. Άρα όταν σας ζητήσουν να αναπτύξετε μια σειρά σε Maclauren, θα σημαίνει ότι το χημιδέν είναι το μηδέν. Αυτέ τσεωρίζεται η σειρά Maclauren. Από κάτω θα γράψω ότι για το χημιδέν στο μηδέν, εφ του χη, στη σειρά Maclauren δηλαδή, αυτό θα είναι το εφ μηδέν, συν εφ τόνους μηδέν, χη επί χη, συν ένα δια δύο, δεύτερη παράγωγος στο μηδέν του χη τετράγωνο, συν ένα δια τρία παραγωτικό, εφ του τρίτης μηδέν χη τρίτης, συν κτλ. Αυτή από κάτω είναι η σειρά Maclauren. Άρα τεχνικά, αν κάποιος μας ζητήσει να αναπτύξουμε μια συνάρτηση εφ του χη σε πολυόνιμο Taylor στη σημεία 1 στο χημιδέν, ή Maclauren, αυτή είναι όλη η διαδικασία. Οπότε ξέρετε τώρα να το κάνετε, ελπίζω. Έχουμε δύο ερωτήματα αφήσεις ανοιχτά, τα αντιμετωπίσουμε την άλλη ώρα. Όταν σταματάμε στον όρο τρίτης τάξης, ξέρουμε πόσο λάθος έχουμε κάνει. Μπορούμε να βρούμε πόσο καλή είναι η προσέγγιση μας. Γιατί μπορεί κάποιος να μας αντιστρέψει το ερώτημα και να μην μας πει, αναπτύξτε ένα από μια συνάρτηση σε πολυόνιμο μέχρι τρίτου βαθμού. Αν μας το δώσει έτσι την εκφώνηση, πάρτε μια συνάρτηση, αναπτύξτε σε πολυόνιμο μέχρι τρίτου βαθμού στο σημείο 1, είναι πάρα πολύ απλή διαδικασία στη φλωσούρτης. Αν μας πει, θέλω το όργανο μου έχει ακρίβεια, μετρώντας στην περιοχή, μέχρι τρίτο δεκαδικό ψηφίο, μέχρι 10 στιγμών 4, μετράει το όργανο μου. Οπότε φτιάξτε μου για το σημείο αυτό ένα πολυόνιμο και δεν μου λέει πόσους όρους να κρατήσω, μου λέει τι ακρίβεια θέλει να έχει αυτό το ανάπτυγμα Taylor. Καταλάβατε, αλλάζω την ερώτηση, αυτό θα το δούμε στην άλλη ώρα. Και θέλω να σταματήσω στον όρο, τρίτης τάξης, τέταρτης τάξης, πέμπτης τάξης, δεν έχει σημασία, εμένα όμως σαν φυσικό μου είπε φτιάξτε μου ένα πολυόνιμο που να προσεγγίζει αυτή τη συνάρτηση, το οποίο όμως η προσέγγιση που θα μου δώσεις να έχει ακρίβεια μέχρι το 10 στιγμών 4. Μου είπε δηλαδή το σφάλμα που πρέπει να επιτρέπεται σε αυτό το ανάπτυγμα. Πώς θα το βρω αυτό το σφάλμα, θα το συζητήσουμε μόλις γυρίσεις σε αυτό το διάλειμμα. Αργύρια πριν μου πεις μια στιγμή. Ουσιαστικά όταν προσθέτουμε καινούργιους όρους δεν μπορούν να μεγαλώσουμε για τη γειτονιά που… Ναι, αυτό όμως είναι ταυτόσιμο, δηλαδή θα επιτρέπεται όσο μεγαλώνεις τη γειτονιά, τόσο περισσότερους όρους θέλεις να έχεις για να πετύχεις την ίδια ακρίβεια. Εντάξει, αν δηλαδή θέλεις να πετύχεις μια ακρίβεια και η γειτονιά σου είναι όλο και πιο… η ακρίβεια δηλαδή η ευαισθησία του οργάνου είναι μεγάλη, πρέπει να προσθέσεις πολλούς όρους αναγκαστικά για να πετύχεις την ίδια ακρίβεια. Λοιπόν, ένα διάλειμμα και επιστρέφετε. Λοιπόν, όταν σταματάμε σε κάποιο όρο το ανάπτυγμα, ο όρος το τελευταίος που δεν θα τον κρατήσουμε, δηλαδή αν πούμε ότι για το ανάπτυγμα αυτό το σταματάμε στον όρο δεύτερης τάξης, ο όρος τρίτης τάξης αποτελεί το κριτήριο του λάθους. Διότι αυτός είναι ο μεγαλύτερος, εφόσον είμαστε… αφού αυτό το ε είναι πάρα πολύ μικρό, ο πρώτος όρος από αυτούς που πετάμε έχει την ακρίβεια, γιατί η άλλη είναι πολύ μικρότερη από αυτόν. Άρα λοιπόν, αν εγώ σταματήσω στον όρο δεύτερης τάξης, ο όρος τρίτης τάξης κουβαλάει το λάθους. Η εκτίμησή του, και θα δούμε πώς θα την κάνουμε, θα μας δίνει την προσέγγιση που έχει γίνει, κρατώντας τους περιγρομού ενός όρος. Αυτός λοιπόν ο όρος, ο τρίτος, που δεν τον κρατάω, τον γράφω χωριστά και τον γράφω με R3, είναι το υπόλοιπο, είναι το λάθος που έχει γίνει, το οποίο θα το πάρω σε απόλυτη τιμή, F τρίτη παράγωγω, σε ένα σημείο Ξ, το οποίο θα το συζητήσουμε, 3 παραγωδικό, και εδώ θα έχω X6-X0, στην τρίτη. Άρα λοιπόν, μου μένει να προσεγγίσω την τιμή, να βρω τι αριθμός είναι αυτός, και όταν μου ζητήσουν το λάθος, αυτό είναι το λάθος, αυτό εδώ πέρα. Τόσο κοντά έχω πάει στο σημείο. Τώρα, η 3η παράγωγος στο σημείο Ξ, διατρία παραγωδικό και το Ξ-Ξ0, στην τρίτη είναι ουσιαστικά αυτές, είναι κάτι το οποίο θέλω να βρω. Το Ξ-Ξ0 στην τρίτη, στην απόλυτη τιμή του, γίνεται μεγαλύτερο αν πάω στο όριο. Προηγουμένως ακούσατε και το βλέπετε να την περιέχει αυτή την πληροφορία εδώ πέρα. Όσο απομακρύνεστε από το Ξ-Ξ0, τόσο μεγαλύτερο γίνεται το λάθος. Το βλέπετε εδώ πέρα, γιατί έχει Ξ-Ξ0 στην τρίτη. Άρα δηλαδή, η προσέγγιση μου, άρα για να διαλέξω εγώ το μεγαλύτερο δυνατό λάθος, θα πάω στην απόμπιό μου απομακρυσμένη τιμή, γιατί αυτό πρέπει να μου το έχει δώσει με την εκφώνηση. Η εκφώνηση βρέστε, θα λέει τώρα το εξής, αν μου ζητήσει και το λάθος. Θα μου λέει, αν έπτυξε τη συνάρτηση Φ-Κ σε πολυόνιμο, στη γειτονιά του Χ-Μ0, αν η μέγιστη απόσταση που θα απομακρυνθείς από το Χ-Μ0 είναι τόση, δηλαδή είναι 1,1, δηλαδή το Χ-Μ0 είναι το 1, και μου λέει ότι η ακρίβεια του οργάνωμου είναι 0,1. Αυτό είναι το μέγιστο που θέλει να απομακρυνθώ από το Χ-Μ0. Άρα το Χ-Μ0, αν μου πει αυτό που σας είπα σαν εκφώνηση, κράτησε μέχρι όρους δεύτερης τάξης, στο ανάπτυγμα Taylor. Αλλά η απομάκρυνση σου, που σημαίνει απομάκρυνση τι, δεν είναι τεχνητό, είναι το λάθος του οργάνου, είναι 0,1. Δηλαδή, η περιοχή που θέλω να μετρήσω πρέπει να είναι μέχρι το 0,1. Άρα αυτός ο όρος Χ-Μ0, το μέγιστο που μπορεί να είναι, είναι 0,1. Άρα, αν μου δώσεις αυτό σαν 0,1, πάρω εδώ πέρα μια τυχαία τιμή μεταξύ του 0, μεταξύ του 1 και του 1, έχω το 1 και το 1-1,01, 1,1. Εδώ μέσα πάρτε οποιαδήποτε τιμή, πάρτε το 1, δεν έχει καμία σημασία, δηλαδή βάλτε και εδώ πέρα το Χ-0, βάλτε εδώ πέρα αυτό το Ξ-Ξ-0, βάλτε το 0,1. Άρα έχω το R3 για να το υπολογίσω, θα είναι ίσο, με την απόλυτο τιμή, της τρίτης παραγόγου στο σημείο Χ-0, διατρία παραγοντικό, και εδώ θα βάλω το 0,1 στην τρίτη. Αυτό είναι το λάθος μου. Αυτή είναι ένας τρόπος εκφώνησης που λέει, πάρε μια συνάρτηση, θέλω να απομακρυνθώ από το Χ-0 μόνο κατά, το μέγιστο που θα απομακρυνθώ από το Χ-0 είναι 0,1, θα πάω δηλαδή simply 0,1, αυτό είναι το μέγιστο, και βρες μου το λάθος όταν σταματήσω στον όρο δεύτερης τάξης. Ναι, ακούω αργήρι. Δηλαδή ουστικά αυτό που κάνουμε είναι να βρούμε το τελευταίο δεκαδικό ψηφίο, το οποίο εμείς σταματάμε να... Ακριβώς, ακριβώς. Το τελευταίο δεκαδικό ψηφίο που σταματάμε εμείς να υπολογίζουμε, βρίσκεται από αυτόν εδώ τον όρο, το οποίο λέει έχει αυτό το όρομα του λάθος. Δηλαδή μας δείγει την ακρίβεια της προσέγγισης. Και όσο το Χ-Χ0, όσο το Χ απομακρύνεται από το Χ-0, το λάθος μεγαλώνει. Αν γίνει αυτό 0.3, 0.4, 0.5, αν προσεγγίζω την μονάδα μετά πιθανόντα δεν έχει νόημα και η ανάπτυξη. Δηλαδή αν το Χ-Χ0 γίνει όλο και μεγαλύτερο, το λάθος γίνεται όλο και πιο μεγάλο. Που φυσικά η ανάπτυγμα να μην έχει καμία αξία. Άρα, αν αντιστρέψω την ερώτηση τώρα, και λέω, γράφεται το όρο του λάθος, Άρνι, το ν είναι ανοιχτός αριθμός. Οπότε γράφω το γενικό όρο του λάθος, ο οποίος θα είναι, όχι το R3 τώρα, γιατί το R3 είναι όταν σταματήσω στο δεύτερο όρο. Γράφω λοιπόν το γενικό όρο του λάθος, ο οποίος θα είναι στην ανάπτυγμα που έκανα προηγουμένως, θα είναι το Άρνι, το οποίο είναι ίσον με την απόλυτο τιμή, την ιωστή παράγωγο στο σημείο Χ-0, διανή παραγωγτικό Χ-0, ή στην Ι. Τώρα με ρωτάει κάτι άλλο. Με ρωτάει ότι να σταματήσεις στο ανάπτυγμα, στον όρο που θα επιβάλλει ένα συγκεκριμένο λάθος. Οπότε εγώ έχω μία ημώνυμο άγνωστη παράμετρος εδώ, είναι το Ι. Άρα αν εγώ θέλω το λάθος να είναι μικρότερο από το 10 στη μειών 4, έχω μία εξίσωση να λύσω. Με άγνωστο το Ι. Δηλαδή, είτε το κάνω δοκιμαστικά, δοκιμάζω το Ι-3, το Ι-4, ώστε να φτάσω στο όριο να είμαι περίπου ίσως το 10 στη μειών 4, και λέω θα σταματήσω μέχρι τέταρτο όρο, ή προσπαθώ να λύσω αυτήν εδώ τη σχέση, που λέει απόλυτη τιμή, είναι η ανοιωστή παράγωτος Φ, στο σημείο Ι-0, δηλαδή η παραγωτικό Ι-0 πρέπει να είναι μικρότερο από το 10 στη μειών 4, το Ι-0 φυσικά πάντα θα μου το δώσουν, ότι το όριο του Ι-0 θα είναι μικρότερο από το 10 στη μειών 2. Άρα μου δίνουν δύο πληροφορίες εδώ, και δεν μου δίνουν που θα σταματήσω στο ανάπτυγμα. Μου λένε ότι θέλω να κάνεις τόσο λάθος, η ανοιωστή απομάκτηση από το Ι-0 είναι μικρότερη από το 10 στη μειών 2, και μου ζητάνε να λύσω αυτή τη σχέση, για να βρω ποιο θα είναι το Ι, σε ποιον όρο θα σταματήσω. Αν δεν με καταλαβαίνετε, δεν πειράζει, σηκώστε χέρι να το ξαναπώ. Λέω ότι θέλω να σταματήσω στο ανάπτυγμα Taylor, σε κάποιο όρο που δεν τον ξέρω ποιος είναι. Η πληροφορία που μου έχει δώσει είναι, ανέπτυξέ τη γύρω από το σημείο Ι-1, η μεγίστη απομάκρυνση του Ι από το Ι-1, είναι 10 στη μειών 2, μου το δίνουν και αυτό, και βρες σε ποιο τάξης όρο θα σταματήσεις. Τι προσπαθώ να κάνω εγώ, παίρνω το Ά-Νι και δοκιμάζω, με 9 Ι-3 αυτό γίνεται 10 στη μειών 2, άρα δεν είναι καλό να σταματήσω στο 3, με 9 Ι-4 10 στη μειών 3 το λάθος, ούτε αυτό είναι καλό, πάω στο 9 Ι-5, και στο 9 Ι-5 πράγματι το λάθος βγαίνει να είναι 10 στη μειών 5, άρα λοιπόν βρήκα που θα σταματήσω. Άρα θέλω να σταματήσω στο 9 Ι-5, γιατί με το 9 Ι-5 είναι η πρώτη φορά που πλησιάζω αυτό το λάθος, που μου ζήτησε να κάνω στο ανάπτυγμα. Με δεδομένο το Ι-0, δεδομένο το Ι-0, δεδομένο το Ι-0, και μου ζητάει πού θα σταματήσω στο ανάπτυγμα, ποιος δεν το κατάλαβε τώρα και τι ακριβώς δεν κατάλαβε, για να μην επαναλαμβάνω σαν μαγνητόφωνο τον εαυτό μου. Ακούω, είναι κατανοητό. Άρα οι πληροφορίες στο ανάπτυγμα Taylor κλείνουν με αυτό, γιατί μου δίνουν μια συνάρτηση, μου ζητάνε να την αναπτύξω σε σειρά Taylor, ή θα μου πουν από την αρχή, κάνε μια γραμμική προσέγγιση του προβλήματος, ή θα μου ζητήσουν μια τετραγωνική προσέγγιση, έτσι μου το ζητάνε από την αρχή να κάνω μια τετραγωνική προσέγγιση σε πολύ όνειμο, σε μια συνάρτηση ευτουχή, στο σημείο Ι-1. Οπότε τότε μηχανικά ξέρω πώς θα αναπτύξω και ξέρω πού θα σταματήσω. Όταν θα σταματήσω, μπορεί να με ρωτήσουν, αφού σταμάτησες τον όρο τρίτης τάξης, πώς ήταν το λάθος σου, και θα κάνω αυτήν την διερεύνηση. Και θα πω, το λάθος ήταν 10 στιγμών 5. Οπότε είναι μια χαρά προσέγγιση, ή δεν είναι καλή προσέγγιση, ανάλογα τι θέλω να κάνω. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η γραμμική και η τετραγωνική προσέγγιση είναι οι περισσότερες συνηθισμένες και χρήσιμες στους φυσικούς. Από εκεί και πέρα γίνεται πολύ εξειδικευμένο το χρόνο, όπου υπάρχουν πάρα πολλοί λόγοι για να πας σε προσεγγίσεις τόσο μεγάλες. Είναι πάρα πολύ χρήσιμο εργαλείο, θα το δείτε στην πράξη. Και για να το δείτε στην πράξη, ας αρχίσουμε να κάνουμε προβλήματα. Έτσι, δεν έχω τίποτα άλλο να παραδώσεις στο Πολυνήμα Τέιλωρν, Μακ Λόρεν, αυτά είναι όλα. Εάν αυτά εσείς τα βάλετε και μπορείτε να αναπτύξετε μια συνάντηση σε Τέιλωρ, να την αναπτύξετε σε Μακ Λόρεν και να σταματήσετε όπου θέλετε. Μια χαρά, μπορείτε να το κάνετε αυτό. Δεύτερον, είναι να υπολογίσετε κάθε φορά που σταματάτε πόσο είναι το λάθος μέσα στο περιορισμό που σας είπα. Και το τρίτο είναι να μη σας πω πού θα σταματήσετε, αλλά να το αποφασίσετε μέσα από το λάθος που θα σας ζητήσω να κάνετε στο ανάπτυγμα Τέιλωρν. Λοιπόν, ελάτε να λύσουμε μερικές ασκήσεις τώρα και να δούμε τη χρησιμότητα αυτού του πράγματος. Ήθελα να το, δεν το είπα, αλλά το υπονόησα και νομίζω ότι ήταν εφανερό, ότι δεν μπορώ να αναπτύξω, πότε μια συνάντηση δεν μπορώ να την αναπτύξω σε σειρά Τέιλωρν, όταν μου ζητήσουν να την αναπτύξω σε ένα σημείο στο οποίο έχει ασυνέχειες και δεν ορίζονται οι παράγωγοι, πρώτη, δεύτερη, τρίτης τάξης. Άρα για να έχω ανάπτυγμα Τέιλωρν πρέπει να είναι μια συνάντηση η οποία να είναι ομαλή, να συμπεριφέρεται ομαλά και να υπάρχουν στο σημείο που μου ζητάνε να κάνω το ανάπτυγμα, να υπάρχουν όλες οι παράγωγοι για ενώτερης τάξης, μέχρι εκεί που μας ενδιαφέρει. Τώρα ασκήσεις, αρχίσουμε από μια απλή άσκηση, για να αναπτύξετε, η άσκηση λέει το εξής, έχω τη συνάντηση f του x, η οποία είναι τρίτη ρίζα του x και ζητάω να δημιουργηθεί ένα πολυόνυμο Τέιλωρ δευτέρου βαθμού στο σημείο x0 ίσον με 8 και να εκτιμήσετε την ακρίβεια που έχει γίνει σε αυτό το ανάπτυγμα όταν το x κινείται μεταξύ του 7 και του 8. Δηλαδή έχει ένα εύρος εδώ πέρα το οποίο έχει, το βάζω μεγάλο να είναι, ένα εύρος το οποίο είναι, να βάλουμε πιο μικρό, να είναι μικρότερο από το 8 και μεγαλύτερο από το 7,8. Το εύρος δηλαδή στο οποίο κινείται το x είναι από το 7,8 μέχρι το 8. Το x0 είναι το 8 και θέλω να αναπτύξουμε αυτή τη συνάντηση σε σειρά Τέιλωρ. Πέστε μου ποια είναι και πέστε μου περίπου πόσο είναι το λάθος που έχουμε κάνει. Αυτό που θα πρέπει να βρείτε είναι 1 δια 12, x-8, αυτός είναι ο γραμμικός ορός, συν 1 δια 288, x-8 στο τετράγωνο. Και το δε λάθος θα είναι ορός τάρτ 3, ο οποίος θα είναι στην περίπτωση που έχουμε θα είναι απόλυτο τιμή, η τρίτη παράογος, η τρίτη παράογος του x, το σημείο θα πάρουμε εδώ η απομάκρυση είναι 0,2, τρία παραγωτικό και η διαφορά θα είναι 0,2 στην τρίτη. Αυτά, αυτό ζητούσα. Κοιτάξτε το και πέστε μου που δεν μπορέσετε να το βγάλετε. Αυτό είναι το πολυόνυμο και αυτό είναι το λάθος. Παίρνουμε την τρίτη παράογο, την εκτιμούμε στο σημείο 0,2 και εδώ βάζουμε το τρία παραγωτικό και το 0,2 στην τρίτη. Το 0,2 μάλλον όχι, εδώ ήταν 8,2, βάλτε το 8 για να μην είμαστε... Αυτή είναι η προσέγγιση, ναι Αργύρη. 1,288 έχω βγάλει, εγώ δεν αποκλείεται να έχω κάνει λάθος αλλά έτσι τον έχω βγάλει. Ναι, 1,288. Λοιπόν, για να συνεχίσουμε να μην φάμε όλο το χρόνο μας αυτά, θέλω να κάνουμε κάτι άλλο εδώ πέρα, να δείτε δηλαδή την αξία του πράγματος για να την δοκιμάσετε κι εσείς. Εάν θέλετε να βρείτε την τρίτη ρίζα και δεν έχετε μηχανάκι μαζί σας του 1,1, θέλετε να βρείτε την τρίτη ρίζα του 1,1, μπορείτε να το κάνετε με προσέγγιση τέτοια, με προσέγγιση σαν αυτή που συζητήσαμε, δηλαδή με ανάπτυγμα Taylor ή να υπολογίσετε το συνειμήτωνο των 31 μυρών. Αυτά μπορούν να υπολογιστούν και πώς θα τα υπολογίσουμε αυτά χρησιμοποιώντας το πολυόνιμα Taylor. Μια προσέγγιση ζητάμε σ'αυτούς εδώ τους τύπους, αριθμούς, δηλαδή θέλω την τρίτη ρίζα του 1,1 ή το συνειμήτωνο του 31, δύο διαφορετικά είναι αυτά. Πώς θα το στίσετε αυτό σαν πρόβλημα. Καταρχή να δούμε πώς θα το στίσετε και μετά να κάνετε τις πράξεις, έτσι. Δύο έχουν ήδη σηκώσει το χέρι, σκεφτείτε και οι υπόλοιποι να δω και άλλα χέρια. Εγώ να με ρωτήσω κάτι. Πάμε να με ρωτήσετε, ναι. Είχα ένας πρωτοσυκείο στον πολυόνιμα Taylor. Για αυτό. Ναι, ναι το όνομα. Ας πούμε σ'αυτησία άρτηση, ή το γράμμα πέτυχη, ή απόλεπο κυρά, ή κι αυτό είναι. Όχι, αυτό είναι μια... επειδή αυτή δεν είναι ακριβώς η συνάρτηση, μπορούμε να την ονομάσουμε, λέει ο συνάδελφός σας, να δώσουμε ένα νέο όνομα. Το πέτυχη, λοιπόν, να είναι η προσέγγιση του χ, του εφτουχή, να είναι το πέτυχη, αυτό είναι το πολυόνιο με το οποίο προσεγγίζουμε, αλλά αυτά τώρα είναι σημαντικά, δεν είναι τόσο σημαντικά. Δηλαδή συνοηθήκαμε ότι την εφτουχή την αναπτύσσουμε, τώρα για να είμαστε ακριβείς αυτό το καινούριο πράγμα που φτιάξαμε, δεν είναι η συνάρτηση, γιατί υπάρχει λάθος μέσα, έτσι. Είναι αυτό, είτε ονομάζουμε πέτυχη ένα καινούριο πολυόνιμο το οποίο προσεγγίζει την εφτουχή, είτε βράζουμε εφτουχή περίπου προσεγγίζεται με αυτήν εδώ τη σχέση. Αυτά όμως δεν είναι τα σημαντικά, έτσι συμφωνούμε. Λοιπόν, για πέστε μου την 1.1 πώς θα την αναπτύξω σε σειρά. Θα ακούσω κάποιος άλλος, τώρα σήκω στο χέρι, να μας πει και κάποιος άλλος και κάποια άλλη. Πώς θα αξιοποιήσω το πολυόνιμο Taylor να βρω προσηγιστικά την τρίτη ρίζα του 1.1 ή το συνειμήτωνο του 30. Δεν ανάγκη να κάνετε σπλάξη να μου πείτε την μέθοδο, τον τρόπο να μου πείτε. Ακούω, πες το μου εσύ. Ποιο όμως πολυόνιμο, ποιο πράγμα θα... Η κυβική ρίζα του χ λοιπόν είναι η συνάρτηση που μας ενδιαφέρει, την οποία θα την αναπτύξουμε στο σημείο 1, έτσι. Ωραία. Άρα δηλαδή ποιο θα είναι το χ μηδέν στην περίπτωση αυτή. Το χ μηδέν θα είναι το 1. Το χ μηδέν θα είναι το 1. Άρα λοιπόν να αναπτύσω αυτό εδώ σε σειρά Taylor και να βρω εγώ το f του 1.1 τι θα κάνω. Στη σειρά Taylor θα βάλω λίστρα του χ το 1.1. Μάλιστα. Άρα λοιπόν γενικά λέει ο συνάδελφός σας, αναπτύσω αυτή τη σειρά για ένα γενικό χ, αναπτύσω αυτή τη σειρά σε σειρά Taylor. Και βγάγνω το, ο πρώτος όρος θα είναι η μονάδα. Γιατί το αναπτύσω στη χ μηδέν να είναι το 1. Και αφού έχω φτιάξει το πολυόνιμο διαλέγω το χ μου να είναι το 0.1. Καταλάβατε τι κάνω. Παίρνω λοιπόν και λέω το f του χ για αυτή τη συνάντηση, την τρίτη ρίζα του χ είναι ίσον με το χ στο 1 συν την πρώτη παράγωγω στο 1 του χ-1 συν τη δεύτερη παράγωγω δύο παραγωγοντικό στο 1 χ-1 τετράγωνο. Συν όρος ανώτερες τάξεις. Και τώρα βάζω το χ να είναι 1.1. Αν το βάλω θα γίνει τρίτη ρίζα του 1.1 ίσον f του 1 συν f παράγωγος του 1 επί 0.1 συν δεύτερη παράγωγω δύο παραγωγοντικό του 0.1 στο τετράγωνο. Και σταματάω εδώ στις προσεκήσεις μου. Αυτό μπορείτε να το υπολογίσετε και αν κάνετε τις πράξεις θα βγει ότι είναι, αν σταματήσετε στους όρους δεύτερης τάξης θα βγει ότι είναι περίπου 1.03222. Με αυτή την προσέγγιση που σταμάτησα βγάζω αυτόν τον όρο. Και τώρα εδώ πέρα εσείς έχετε το μηχανάκι στο σπίτι σας, έχετε τον υπολογιστή σας και μπορείτε να ελέγξετε αυτό και να δείτε και το λάθος που έχει γίνει. Και για να δείτε το λάθος βγάλτε για να δώσετε πρακτική σημασία σε αυτά που λέγαμε προηγουμένως. Πάρτε αυτό σαν εργαλείο, αυτή την άσκηση. Υπολογίστε το με τον κομπιούτερ, το μικρό σας τον υπολογιστή, βρέστε το ποιο είναι το τρίτη ρίζα του 1.1. Μετά σταματήστε εδώ σε αυτόν τον όρο δεύτερης τάξης και συγκρίνετε, καφερέστε αυτό που βγήκε από το υπολογιστή από αυτό και βρέστε το λάθος. Και πηγαίνετε τώρα στον τρίτης όρος τάξης και υπολογίστε το λάθος. Να δείτε έχετε πέσει μέσα. Με ακούσαμε, καταλάβατε τι είπα. Δεν την κάνουμε εδώ αυτή τη δουλειά, την κάνετε στο σπίτι. Από περιέργεια, κι αν έχετε περιέργεια, έτσι. Είπαμε όλο και όλο η φυσική είναι η περιέργεια. Αν δεν υπάρχει αυτή, πάμε για το βαθμό και δεν ξέρω γιατί που πάμε. Μόνο με περιέργεια πάμε. Αν οργανώσουμε το φυσικό με περιέργεια, το έχουμε κερδίσει και δεν είναι ποτέ βαρετό. Αν το οργανώσουμε για να περάσουμε μαθήματα είναι απίστευτα βαρετό. Εγώ θα φεύγα αμέσως. Λοιπόν, το μόνο που με κράτησε εμένα τουλάχιστον 30 χρόνια σε αυτόν τον κλάδο είναι γιατί κάθε μέρα δουλεύω μια ερώτηση ή περισσότερες, ή με την ομάδα μου δουλεύω με πέντε ερωτήσεις από απλή περιέργεια. Και όταν η περιέργεια μας καταλήξει κάπου, την δημοσιεύουμε. Ή από μια ερώτηση μου. Λέει ο άλλος, κοίταξε εγώ τι παρατήρησα, πώς το εξήγεις. Αυτό μου την έβαλε την περιέργεια. Έτσι, με έβαλε μέσα στο παιχνίδι. Λοιπόν, για πέστε μου, αφού το είπαμε εμείς, αυτό, για πέστε μου το συνειμήτωνο τον 31, πώς θα το υπολογίσουμε με την ίδια φιλοσοφία. Τώρα όμως θα πρέπει να είστε περισσότεροι, αλλιώς τζάμπα είμαστε εδώ πέρα και τζάμπα μιλάω εγώ όλη αυτή την ώρα. Έτσι, για πέστε μου... Χασμουριός. Δεκτών, δεκτών. Σε αναπάντηση υπήρχε ένα μεγάλο χασμουριτό, οπότε είναι δεκτών, εντάξει. Δηλαδή, είμαι τόσο ελκυστικός καθηγητής που η μισή τάξη χασμουριέται, εντάξει. Πάρα πολύ μεγάλη επιτυχία, το μεγαλύτερο βραβείο που μου έχει συμβεί. Εσείς πέστε μου, εσείς. Άρα λοιπόν, ξεκινάει πάλι λέει η συνάδερφό σας να αναπτύξει το συνειμήτωνον χ, τη συνάρτηση συνειμήτωνον χ, να την αναπτύξει σε σειρά, σε σειρά Τέιλον. Γύρω από ποιο σημείο διαλέγεις να την αναπτύξεις. Τριάντα. Άρα λοιπόν, να αναπτύσσει σε σειρά Τέιλον, έχει το συνειμήτωνο των 30, συν, συνειμήτωνο, η πρώτη παράγωγος του συνειμητώνου στο 30, να το γράψουμε αλλιώς, να το γράψουμε συνειμήτωνο εδώ πέρα χ παίρνει την παράγωγο και το χ να είναι ίσον 30, εδώ θα είναι χ-30 και θα συνεχίσει να βρει και όρους ανώτερης τάξης, παράγωγος συνειμητώνου χ, δεύτερη παράγωγο διαδύο παραγωγικό στο σημείο πάλι χ ίσον 30 και εδώ θα έχει χ-30 στον τετράγωνο και συνεχίζει. Τώρα διαλέγει το χ να είναι το 31 που ενδιαφέρει, άρα αυτά θα είναι γνωστά και εδώ θα είναι μία μοίρα, την οποία μία μοίρα προς χ θα τη μετατρέψετε σε ακτίνια όταν είναι εκτός συνειμητώνου, αυτή η μοίρα θα μετατραπεί σε ακτίνια. Οπότε το χ-30 είναι μία μοίρα η οποία θα γίνει ακτίνια και το χ-30 είναι μία μοίρα στο τετράγωνο το οποίο εντάξει θα γίνει πάλι σε ακτίνια. Άρα υπολογίζετε αυτό και κάνετε την ίδια προσέγγιση. Λοιπόν συμφωνείτε, άρα αυτό το κατακτήσαμε, να κατακτήσουμε και κάτι ενδιαφέρον από φυσικής γιατί μέχρι τώρα αυτά ήτανε πράγματα τα οποία μας τόνταν έδινε ο υπολογιστής μας. Υπάρχουνε όμως δύο προσεγγίσεις οι οποίες είναι εξαιρετικά ελκυστικές εκτός και τις έχετε σκεφτεί οπότε δεν θα σας εντυπωσιάσω καθόλου. Η μία είναι εξής και θέλω να μου πείτε αν κολλάει αυτό που θα σας πω τώρα και πως να το περιγράψετε μέσα από το ανάπτυγμα Τέιλωρ. Ακούστε την. Εσείς ξέρετε δύο νόμους οι οποίοι περιγράφουν τη βαρύτητα. Ο ένας είναι ο νόμος του Νεύτωνα που λέει ότι δύο μάζες έλκονται μεταξύ τους ΓΕΜΕΝΑΜΔΙΑΡΤΕΤΡΑΓΟΝΟ. Αυτή η δύναμη που έλκει δύο μάζες μεταξύ τους με ΜΜΕΝΑ και ΜΜΙΔΙΩ. Όταν όμως μου πείτε να περιγράψετε την κίνηση αυτής της σκυμολίας, που θα την αφήσω, μου λέτε ότι το βάρος είναι ΓΕΜΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝ να αφήσουμε και τους άλλους να σκεφτούν. Ξανακάνω την ερώτηση, για ένα σώμα, για αυτή την κυμολία, όταν μου περιγράφετε την κίνηση της, μου λέτε είναι ΓΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝΕΝ Νόμος GEPM, πόσο μπορώ να απομακρύνω την κυμολία και να ισχύει, με καταλάβατε τι μου ερωτάει, δηλαδή το GEPM ισχύει πως πάει ασυμπτωτικά ή πως να σε προσεγγίσω τον όρο GEPM-EPM2R4 και μπορώ να φτιάξω έναν όρο να βροσθέσω στο GEPM και άλλο όρο ώστε να τον κάνω καλύτερη προσέγγιση, δεύτερης τάξης προσέγγιση από το νόμο της βαρύτητας δηλαδή σε όλα τα προβλήματα έχουμε, η πρώτη προσπάθεια που κάνανε για να διορθώσουν το νόμο του Νεύτωνα, ήτανε, λέγονται αυτές μετανευτόνιες προσεγγίσεις, πριν πάμε στην γενική θεωρία σχετικότητας, μεταξύ της πίρους θεωρίας της γενικής θεωρίας σχετικότητας και της νευτόνιας θεωρίας, υπάρχει μια περιοχή που κάνουμε μετανευτόνιες προσεγγίσεις, αυτό είναι ένα πρόβλημα και θέλω να μου το απαντήσετε, να βάλω και ένα δεύτερο και πιθανόντατα να μην τα απαντήσουμε και τα δύο σήμερα, το πρώτο είναι αυτό, το δεύτερο είναι ότι υπάρχει στην ιδική θεωρία σχετικότητας, η ενέργεια, η οποία δεν την έχετε μάθει ακόμα, αλλά υπάρχει η ενέργεια όπως την έδωσε στην ιδική θεωρία σχετικότητας για ένα σώμα που ο Αϊνστάιν είπε ότι η ενέργεια στην ιδική θεωρία σχετικότητας, ένα σώμα που κινείται με ταχύτα β, επαναλαμβάνω, λέω ένα σώμα που κινείται με ταχύτα β, ο Αϊνστάιν έδωσε τον εξής τύπο για την ιδική θεωρία, για την ενέργειά του μ σε τετράγωνο είπε και μέσα στην παρένθεση έγραψε 1 δια τετραγωνική ρίζα του 1 μοιον β δια σε στο τετράγωνο μοιον 1 εσείς όμως όταν το β είναι στη δική μας περιοχή δηλαδή μιλάμε για ένα αυτοκίνητο ή μιλάμε για να πετάξω εγώ αυτή την κιμωλία εσείς ξέρετε ότι η κινητική ενέργεια της κιμωλίας εδώ μέσα στο δωμάτιο είναι 1 δεύτερο μβ τετράγωνο γιατί όταν η ταχύτητα γίνεται πολύ μικρή ο τύπος του Αϊνστάιν προσεγγίζει τον τύπο της κινητικής ενέργειας που μάθατε στο Λύκειο τον δεύτερο μβ τετράγωνο, ο τύπος ο σωστός και για μεγάλες ταχύτητες που πλησιάζουν η ταχύτητα του φωτός είναι ο τύπος που μας έδωσε ο Αϊνστάιν όταν η ταχύτητα γίνεται σχεδόν μηδέν θα πρέπει να προσεγγίζει τον τύπο που ξέρουμε στο Λύκειο για την κινητική ενέργεια 1 δεύτερο μβ τετράγωνο λοιπόν αυτό εδώ πέρα αυτό το πράγμα και αυτό το πράγμα έχουν μέσα τους την ανταπτύγματα Taylor, εγώ θα ήθελα ούτε να το διαβάσετε στις σημειώσεις αλλά θέλω να το καταλάβετε ποιο είναι το ερώτημά μου και να το δουλέψετε στο σπίτι ώστε να μου το πείτε αλλά να μη μου το πείτε γιατί αν πάτε και το διαβάσετε από τις σημειώσεις δεν έχει καμία αξία θέλω πρώτα να το δουλέψετε εσείς και αν έχει κάποιος την ιδέα χωρίς να μου πει πράξεις ποια είναι η ιδέα πίσω από όλα αυτά πως θα οργανώσω αυτό για να φτάσω αυτό να μου το πει τώρα δηλαδή το νόμο του Νεύτωνα της βαρύτητας GPM 1, 1PM 1, 1PM2 δις R τετράγωνο πως τον κατεβάσαμε στον τύπο GPM με το G να είναι 10 πως βρέθηκαν όλα αυτά το 10 που βρέθηκε ο ίδιος τύπος είναι και που είναι η προσέγγιση του κάτω του GPM με το πάνω πως συνδέονται το πάνω με το κάτω που νομίζετε ότι θα μπει το Taylor και αν θέλω να διορθώσω το GPM σε καλύτερη προσέγγιση πως θα το κάνω δηλαδή είμαι μερικά χιλιόμετρα πάνω από τη γη και πετάω αυτή την κυμολία πάλι GPM θα χρησιμοποιήσω είναι καλή προσέγγιση πως θα υπολογίσω την τροχιά της ή θα πάω στον ολικό τύπο μήπως μπορώ να κάνω κάτι καλύτερο να μην πάρω το συνολικό τύπο έχετε σηκώσει δύο τα χέρια να απαντήσετε οπότε Αργύρι πες μας εσύ τώρα Ξεκινάμε με τον νόμο της παγκόσμιας έλξης η μία μάζα είναι η γη μας και η άλλη είναι η κυμολία και εδώ θα βάλω το ρ τετράγωνο από κάτω το ρ τετράγωνο για την κυμολία που απέχει ένα μέτρο από τη γη θα βάλουμε λοιπόν G επί μάζα της γης θα βάλω ρ της γης συν η τα που είναι η κυμολία το ύψος της κυμολίας ρ της γης συν η τα στο τετράγωνο αυτός είναι ο τύπος μου τώρα αν βγάλω το ρ της γης απέξω θα φτιάξω έναν όρο που λέει G και η μάζα της κυμολίας λοιπόν G επί μάζα της γης βγάζω το ρ της γης σχοινό παράγοντα στο τετράγωνο αυτός εδώ είναι όρος και δίπλα του μου έχει μείνει η μάζα της γης αλλά μου έχει μείνει και ένας όρος στον παρονομαστή που είναι 1 διά 1μιον συν h διά ρ της γης και όλο στο τετράγωνο τώρα μπορούμε να στήσουμε ένα πολυόνυμο τέιλο και να κάνουμε γραμμική προσέγγιση του 1δια hr τετράγωνο και να βρούμε αυτό που μας ενδιαφέρει να δούμε δηλαδή ποιες εδώ το G το 10 είναι αυτά εδώ G επί M γης διά ρ γης το τετράγωνο αυτό είναι το G το 10 το G που βάζουμε στη βαρύτα είναι εδώ πολλαπλασιασμένο με τη μάζα το θέμα είναι όμως ότι εδώ έχουμε κρατήσει αυτό μπορούμε να το αναπτύξουμε σε σειρά Taylor και αν κρατήσουμε το πρώτο όρο είναι η προσέγγιση που κάνουμε γιατί είμαστε τόσο κοντά που το hdr γης είναι τόσο μικρό που είναι 0 οπότε αυτό γίνεται μονάδα αλλά αν θέλω να πάρω και διόρθωση hdr γης γιατί το h έγινε χιλιόμετρα θα αναπτύξω αυτό το μπαρονομαστή 1 δηλαδή έχω να αναπτύξω σε πολυόνυμο Taylor το 1 1 συν χι όπου το έχω να αναπτύξω σε πολυόνυμο Taylor το 1 συν χι στο τετράγωνο μπορείτε να μου πείτε αν αναπτύξετε το χι είναι ο μικρός αριθμός έτσι αυτό το χι είναι το ε ύψιλον το χι είναι το h η απόσταση από τη γη μέχρι το αργής μπορείτε να μου πείτε το 1 συν χι αυτό το 1 δια 1 συν χι στο τετράγωνο πως αναπτύσετε σε σειρά Taylor και ποιοι είναι οι πρώτοι όροι και από εκεί θα βγάλουμε το συμπέρασμα της διόρθωσης του GEPM γιατί ο πρώτος όρος γίνεται από τη μονάδα ο δεύτερος όρος όμως θα έχει μέσα την διόρθωση γραμμική διόρθωση ή και τετραγωνική διόρθωση το οποίο θα προκύπτει από το ανάπτυγμα αυτό με καταλαβαίνετε ή όχι άρα το Taylor είναι εδώ έχουμε χρησιμοποιήσει το πρώτο όρο στο ανάπτυγμα, το σταθερό όρο αλλά υπάρχουν και διορθώσεις στο GEPM το οποίο το μαθαίνετε τώρα μέχρι να πάω στο πλήρες, δηλαδή μεταξύ του πλήρες που είναι το GEPM με PM διάρ τετράγωνο που το R είναι υπάρχει λοιπόν η προσέγγιση που συνεχώς μπορώ να κρατήσω όσους όρους θέλω σε αυτό το ανάπτυγμα όπου ο όρος του ανάπτυγματος είναι το HDRγ με τον ίδιο τρόπο σκεφτείτε πως θα αναπτύξετε αυτό σε σειρά Taylor το 1 διά τετραγωνική ρίζα του 1-Vδσ στο τετράγωνο ώστε με αυτή την ανάπτυξη αφθαιρώντας ότι το Vδσ είναι πολύ μικρός αριθμός πως θα αναπτύσετε το 1 διά τετραγωνική ρίζα του 1-ε στο τετράγωνο αυτό το Vδσ είναι πάρα πολύ μικρός αριθμός όταν η ταχύτητα είναι αυτοκίνητο και δεν είναι διαστημόπλιο ή δεν είναι το φως άρα λοιπόν ο τύπος του Einstein ισχύει για όλες τις ταχύτητες και πρέπει όταν το Vδσ γίνεται κοντά στο 0 να μας δίνει το 1 δεύτερο 9V τετράγωνο βρέστε το όμως με ανάπτυγμα Taylor ότι θα μας δώσει ο τύπος της ειδικής θεωρίας σχετικότητος θα μας δώσει την μάζα ηρεμίας που είναι το MC τετράγωνο και την κινητική ενέργεια σαν κωδιαόρθωση λοιπόν τα παίρνετε σπίτι τα λέμε τη Δευτέρα θα πάρετε και της ομάδα 4 για να έχετε κάτι τόσο αποτοκίνητο να κάνετε μην αρχίστε και έχετε έτσι χαλαρώσετε τελείως ευχαριστούμε εσείς λοιπόν