3.2 Η μέθοδος : σφαίρα και κύλινδρος / Ενότητα 3 ,#2 , 27/03/14 και 01/04/14 (μέχρι 14,16) - Χαραλάμπους Χαρά (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Ενότητα 3 ,#2 , 27/03/14 και 01/04/14 (μέχρι 14,16): Για την μεγαλοφυλία του Αρχιμήδη είχαμε ξεκινήσει να μιλάμε έτσι και είναι ξεκάθαρο ότι δεν θα μπορέσουμε να καλύψουμε ό,τι έχει κάνει, απλά να πάρουμε μια γεύση από τα επιτεύματα. Για να ξαναγυρίσω λοιπόν σε αυτό εδώ το σημείο, το οποίο έχει να κάνει με τον τετραγωνισμό της παραβολής, όπου απέδειξε ότι το εμβαδό, έτσι και είδαμε την γεωμετρική απόδειξη, ότι το εμβαδό που είναι ανάμεσα στην τέμνοσα και στην παραβολή είναι τέσσερα τρίτα του εμβαδού, του τριγόνου που είναι γιαγραμμένο. Τώρα σας είχα ρωτήσει είναι τυχαίο αυτό το τρίγωνο, ποιο τρίγωνο είναι αυτό. Δεν είναι τυχαίο το τρίγωνο, έτσι και δεν βγήκε το ενδιαφέρον γι' αυτό το τρίγωνο τυχαία. Αν δείτε την εικόνα, το σημείο στο οποίο το τρίγωνο εκτός από την τέμνοσα, το σημείο πάνω στην παραβολή εκτός από τα σημεία της τέμνοσας, έχει την ιδιότητα ότι αν πάρει κανείς την εφαπτομένη σε εκείνο το σημείο, τότε θα είναι παράλληλη προς την τέμνοσα. Εκείνο το σημείο είναι το σημείο στο οποίο εφαπτομένη είναι παράλληλη με την τέμνοσα. Η άλλη ιδιότητα η οποία ισχύει γι' αυτό εδώ το τρίγωνο είναι ότι αν πάρει κανείς από εκείνο το σημείο αφέρει μια ευθεία που είναι παράλληλη προς τον άξονα της παραβολής, έτσι στην περίπτωσή μας ο άξονας της παραβολής είναι κάθετος. Αν πάρει κανείς την ευθεία που περνάει από εκείνο το σημείο και είναι παράλληλη προς τον άξονα της παραβολής, τότε θα τέμνει την τέμνοσα ακριβώς στη μέση, είναι διχοτόμος. Τώρα όλα αυτά ο Αρχιμήδης δεν τα έβγαλε ο ίδιος, έτσι δεν είχε όλη την επιφότιση, αλλά αυτά είναι πράγματα τα οποία τα γνωρίζαν οι αρχαίοι Έλληνες και υπήρχαν στα στοιχεία. Είχαν μελετήσει ιδιαίτερα οι Έλληνες τις κονικές τομές. Κονικές τομές και η παραβολή είναι ένα τέτοιο παράδειγμα κονικής τομής. Έτσι στην περίπτωση αυτή, μπορείτε να το δείτε σαν το ψ μειών χ τετράγωνο, έτσι ο άξονας των ψ να είναι ο άξονας της παραβολής. Βλέπετε ότι υπάρχουν αυτές εδώ ιδιότητες και θυμίζω ότι την προηγούμενη φορά δώσαμε την γεωμετρική απόδειξη για το πως προέκυψε αυτό, αλλά σήμερα θα πάρουμε και μια γεύση από το πως εμπνεύστηκε έτσι και την άποψη του Αρχιμήδη πάνω σε αυτά. Είχαμε πει ότι η βασική του αρχή είναι στο πως ισορροπούμε τα μεγέθη και για να ισορροπίσουμε κάποια μεγέθη ως προς το ε έτσι και αυτό βλέπετε σε αυτήν εδώ την μπάρα, θα πρέπει να τοποθετηθούν κατά τέτοιο τρόπο ώστε η απόσταση τους από το ε να σχηματίζει λόγο αντίστροφο ίσο με τον αντίστροφο των μεγεθών. Το Γ προς το Δ πρέπει να είναι ίσο με την απόσταση του Δ από το ε ως προς την απόσταση του Γ από το ε. Έτσι το Γ προς Δ πρέπει να είναι ΑΕ ως προς ΒΕ. Αν λοιπόν τοποθετήσω αυτά τα μεγέθη με τέτοιο τρόπο ώστε οι αποστάσεις να ικανοποιούν αυτήν εδώ τη σχέση τότε θα έχει ισορροπία το σύστημα. Το κρατάμε λοιπόν αυτό, θα το ξαναδούμε λίγο πιο μετά. Για το Π, να πω την προσέγγιση για το Π που έβγαλε ο Αρχιμήδης, είχαμε δει ότι γνωρίζαν, γνωρίζουν πολύ καλά και αυτό προκύπτει, σας το είχα δείξει κιόλας ότι γνωρίζουν, μέχρι τώρα έχει δοθεί η απόδειξη από τον Ευκλήδη για παράδειγμα, ότι ο λόγος των εμβαδών δύο κύκλων είναι ίσως με τον λόγο των τετραγώνων των διαμέτρων τους. Έχουμε δει λοιπόν ότι γνωρίζουν πολύ καλά οι Έλληνες, οι αρχαίοι Έλληνες, ότι αν έχω δύο κύκλους, έναν μικρό και έναν μεγάλο και αυτό εδώ είναι το εμβαδό το ε, εδώ είναι το ε και αυτή η διάμετρος είναι μικρό α, ενώ αυτή η διάμετρος είναι η ακτίνα μικρό α και μεγάλο α, τότε ο λόγος των εμβαδών είναι το α τετράγωνο ως προς μικρό α τετράγωνο. Και από αυτό προκύπτει ότι αν λύσει κανείς ως προς το ε βάζει ότι το ε είναι ε προς α τετράγωνο επί α τετράγωνο. Αυτό λοιπόν εδώ είναι σταθερό, αυτό είναι αυτό το οποίο ονομάζουμε εμείς το π, αυτό είναι το π. Γνωρίζουν πολύ καλά, υπάρχει απόδειξη λοιπόν ότι το εμβαδό είναι εξαρτάται από μία σταθερά που σήμερα την ονομάζουμε π, επί το τετράγωνο της ακτίνας. Κι έχουμε δει ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι αλλά και οι Βαβυλώνοι δίνουν κάποιες τιμές γι' αυτό το π. Κάποιες τιμές, προσεγγίσεις, δεν είναι ξεκάθερο αν σκέφτονται ότι αυτή είναι η ακριβή στιγμή ή αν είναι προσέγγιση. Το κλέβεις δεν επιχειρεί κάτι τέτοιο, το δίνει όμως μία πολύ καλή προσέγγιση, υπάρχει μύδις. Και λέει, δεν λέει ποια είναι η τιμή του π, αλλά λέει ότι το π βρίσκεται, έτσι έχει δώσει μία πολύ καλή προσέγγιση, ότι το π είναι ανάμεσα στο τρία και στο ένα έβδομο. Και ακριβώς από κάτω βλέπετε σε τι είδη στοιχεία αυτό, στο τρία δεκατέσσερα δύο οδονταέξι, το π λοιπόν είναι ανάμεσα στο τρία και ένα έβδομο και στο τρία και δέκα ως προς εβδομηνταένα. Η προσέγγιση που δίνει για το π είναι πάρα πολύ καλή. Πώς συνέβγαλε αυτήν εδώ την προσέγγιση ο Αρχιμήδης, με υπολογισμούς, πολλούς υπολογισμούς. Έτσι αυτό είναι στο έργο του κύκλου μέτρηση, κατασκεύασε για να μπορέσει να το κάνει, για να δώσει αυτήν εδώ την προσέγγιση, έτσι. Καταρχήν έκανε την προσέγγιση με την περίμετρο πολυγώνου. Κατασκεύησε λοιπόν ένα κανονικό εννήντα εξάγωνο, κάτι με εννταέξι πλευρές. Διχοτομώντας διαδοχικά της γωνίας και υπολογίζοντας το πόσο θα πρέπει να είναι. Και ξεκινάει κανείς, είναι σχετικά εύκολο, με το πι έκτα, μετά διχοτομή, συνεχίζει. Εντάξει, βλέπει ποια είναι, χρησιμοποιεί το Πιθαγόριο θεόρημα, τα υπολογίζει όλα αυτά. Σε χρησιμοποιεί αυτά που είναι γνωστά από την ομοιότητα των τριγόνων, το Πιθαγόριο θεόρημα και συγκρίνει το λόγο της διαμέτρου του κύκλου, με αυτές εδώ τις περιφέρες παίρνει άνω και κάτω όρια. Υπολογισμοί λοιπόν. Και είναι ξεκάθαρο τι είναι γι' αυτόν το πιο, ότι αυτό είναι απλά μια προσέγγιση στην οποία δίνει. Και μια πολύ καλή τέτοια προσέγγιση. Εντάξει, η μέθοδος του Αρχημίδη. Έτσι, βλέπετε κάτι, βλέπετε, 1912, έτσι αυτή είναι η έκδοση του 1912, το οποίο λέει πρόσφατα, recently discovered, έτσι πρόσφατα ανακαλύφθηκε από τον Heiberg. Και βέβαια έχει επιμεληθεί της έκδοσης ο Heath και όπως βλέπετε από κάτω, έτσι πρόσφατα ανακαλύφθηκε από τον Heiberg, 1912. Ο Αρχημίδης έχει ζήσει το 300 π.Χ. και αυτή η μέθοδος ανακαλύφθηκε πρόσφατα, όταν γράφτηκε αυτό, το 1912, από αυτόν τον μαθηματικό ιστορικό. Πώς ανακαλύφθηκε αυτό, ίσως να έχετε διαβάσει για το παλί ψηστό, έτσι, παλί ψηστό αυτό εδώ, ήταν μια περγαμινή από δέρμα που είχαν σβηστεί τα προηγούμενα και από πάνω είχαν γραφτεί ψαλμοί. Λοιπόν, αρχαίοι πάπυροι και περγαμινές πολλών χρήσεων. Το συγκεκριμένο ανακαλύφθηκε τον Heiberg, 1906, στην Κωνσταντινούπολη, τυχαία, από τον Heiberg που είχε πάει να μελετήσει εκεί κάποια βιβλία. Και ο Heiberg αντιλήφθηκε τη σημασία του, έτσι, ήταν συλλογή προσευχών, αλλά μπόρεσε να διακρίνει από κάτω κάτι γραμμένο και διαβάζοντας το πιο προσεκτικά κατάφερε να διαβάσει το 80% και μέσα σε αυτό βρήκε 7 από εκείνα τα 18 κείμενα του Ερχημίδη που είπα ότι διασώζονται σήμερα. Το 1922 αυτό κάπου χάθηκε και όταν βρέθηκε ήταν σε πολύ χειρότερη κατάσταση. Τελικά πουλήθηκε, βάζω κάποια αποσπασματικά εδώ στοιχεία από την ιστορία του Πολύμψηστο, πολύ ενδιαφέρουσα ιστορία. Χάθηκε, ξαναβρέθηκε το 1998, χάθηκε από το 22 μέχρι το 98 σε κάποια προφανώς ιδιωτική συλλογή. Το 98 πουλήθηκε σε πληστηριασμό από το κρίστη και αγοράστηκε από κάποιον τον οποίον δεν γνωρίζουμε ποιος ήταν για 2,2 εκατομμύρια δολάρια. Εντάξει και μετά δορίστηκε στο Μουσείο από που έχει μελετηθεί, έχει περαστεί από τις Ακτίνες και το μεγαλύτερο κείμενο του Αρχιμήδη έχουν εμπορέσει και το έχουν διαβάσει, το μεγαλύτερο ποσοστό του κειμένου που ήταν γραμμένο. Υπαμπρέθηκαν 7 έργα. Θα μιλήσουμε ιδιαίτερα για το τελευταίο. Καταρχήν έχει ωραία σημασία και το τρίτο περί των μηχανικών θεωρημάτων, η έφωδος για τον αιρατοσθένη που περιγράφει την μέθοδό του, η έφωδος προς τον αιρατοσθένη. Περίγράφεις ένα γράμμα προς τον αιρατοσθένη πως ανακαλύπτει κανείς τα θεωρήματα και εμείς θα επικεντρωθούμε σε αυτήν εδώ τη μέθοδο, στο τελευταίο περισφέρας και κυλίδρου που όπως είπα ήταν ένα από τα επιτεύματα για τα οποία ήταν πιο υπερήφανος από όλα και είναι αυτό το οποίο ζήτησε να εγγραφείς τον τάφο του. Η έφωδος λοιπόν προς τον αιρατοσθένη. Μια άλλη εικόνα από την παλιέμψεσθου. Βλέπετε κάποια γραμμένα, βλέπετε κάποια σχέδια εδώ πέρα. Φανταστείτε να είστε εσείς που ανακαλύπτεται αυτό εδώ το κείμενο, τη συγκίνηση όταν αντιλαμβάνεστε ότι το έχει γράψει ο Αρχιμήδης και εδώ είναι πως περιγράφει την μέθοδό του στον αιρατοσθένη. Ξεκινήσω από την τελευταία πρόταση. Λέει ότι είναι ευκολότερο να οδηγηθείς στην απόδειξη. Έτσι είναι πιο εύκολο να βρεις την απόδειξη εάν έχεις αποκτήσει κάποια γνώση από πριν του πράγματος το οποίο θέλεις να αποδείξεις. Παρά να ψάχνεις κάτι για το οποίο δεν έχεις την παραμικρή ιδέα. Δηλαδή βασίζεσαι στη μηχανική για να ανακαλύψεις τη διατύπωση του θεωρήματος που πιστεύεις ότι πρέπει να ισχύει και έχεις μια απόδειξη. Όμως η απόδειξη μετά τη δίνεις με γεωμετρία γιατί η προσέγγιση που κάνεις μέσω της μηχανικής δεν θεωρείται αυστηρή απόδειξη. Αυτό είναι το που περιγράφει εδώ. Βασίζεσαι στη μηχανική για να ονειρευτείς αυτό το οποίο πιστεύεις ότι πρέπει να ισχύει και η απόδειξη μετά γίνεται αυστηρά με γεωμετρία. Για να δούμε λοιπόν. Βασική του ιδέα είναι η ισορροπία. Λέει ότι για να βρει κανείς το εμβαδό ή τον όγκο παίρνεις την επιφάνεια για το εμβαδό, παίρνεις το σώμα για τον όγκο και το κόβεις σε πολύ μικρές φέτες. Και μετά τις κρεμάς στο ένα άκρο με κάποιο είδος μοχλού και θέλεις να βρεις πως θα ισορροπίσουν με ένα σχήμα ή με ένα σώμα το οποίο ξέρεις τον όγκο. Ξέρεις τον όγκο κάποιου σώματος, ψάχνεις να βρεις τον όγκο κάποιου άλλου. Για παράδειγμα, ξέραν πολύ καλά τον όγκο του Κυλίνδρου. Ο όγκος του Κυλίνδρου ήταν γνωστός. Όπως και ο όγκος μιας πυραμίδας με κυκλική βάση. Αυτούς τους τύπους, ήταν γνωστοί, τους είχαν υπόψη τους οι αρχαίοι Έλληνες, είναι και στο βιβλίο του Ευκλήδου. Θέλεις να βρεις τον όγκο της Σφέρας. Για τη Σφέρα γνωρίζουν κάποια πράγματα, αλλά δεν έχεις τον ακριβή τύπο. Θα μιλήσω λίγο παραπάνω γι' αυτό. Αλλά τι κάνεις, ποια είναι η ιδέα του Αρχιμήδη, το κόβεις σε πολύ μικρές φέτες. Τα βάζεις στη μία άκρη, έχεις ορίσει πού βάζεις τον μοχλό σου και προσπαθείς να αποφασίσεις πού θα πρέπει να βάλεις τον όγκο κάποιου άλλου σχήματος. Όπως ο Κύλινδρος ή ο Κόνος για να μπορέσει να έρθει το σύστημα σε ισορροπία. Θα το δούμε λοιπόν αυτό. Να θυμίσω τον όγκο του Κυλίνδρου. Ο όγκος του Κυλίνδρου με ύψος 2 άρμεσος, τον οποίον θέλεις να βάλεις στη Σφέρα σου, έτσι παίρνεις το εμβαδό της βάσης. Είναι πια τετράγωνο και πολλαπλασιάζεις με το ύψος, με το ί. Στην περίπτωσή μας ο εμβαδός του Κυλίνδρου, έχουμε τον Κύλινδρο, εδώ είναι το Άρ για να μπορέσω να βάλω μέσα την Σφέρα θα πρέπει να πάρω ένα ύψος 2 Άρ. Το οποίο μου λέει ότι το συνολικό εμβαδό είναι ΠΑΡ τετράγωνο επί 2 επί Άρ, είναι ίσο λοιπόν με 2 ΠΑΡ τρίτης. Έτσι εδώ θέλει κάτι να διορθώσετε, βάλτε εδώ είναι το 2 Άρ, το 4 Άρ έτσι, για να μπορέσω να βάλω εδώ πέρα μέσα την Σφέρα, αυτό εδώ το ύψος θα πρέπει να είναι 4 Άρ και αντίστοιχα να διορθώσετε εδώ πέρα. Το βάζουμε αστεράκι για να το συμπληρώσουμε μετά. Θα το δούμε. 2 Άρ, είχα δίκιο στην αρχή, είναι 2 Άρ, όχι 4 Άρ. Αυτός λοιπόν είναι ο όγκος της Σφέρας, για να μπορέσει να χωρέσει η Σφέρα μέσα στο κύλινδρο, ο κύλινδρος πρέπει να έχει ύψος 2 Άρ. Ο όγκος της Σφέρας, 4Τ, π.Α.Τ. Πώς το αποδεικνύει κανείς σήμερα, πώς το έχετε δείξει στο λογισμό. Είναι από τα βασικά πράγματα που κάνει κανείς στο λογισμό, πολλαπλά ολοκληρώματα. Πρώτο έτος, δεύτερο έτος. Πώς το δείχνει κανείς, χρειάζεται τα ολοκληρώματα εδώ. Παίρνει στο κύκλο, περιστροφή, ένας τρόπος για να φτιάξει στην Σφέρα. Προσπαθήστε να το βγάλετε αυτόν τον τύπο με τα ολοκληρώματα, είναι κάτι το οποίο πρέπει να γνωρίζετε. Προσπαθήστε λοιπόν να δείξετε ότι ο όγκος της Σφέρας όντως βγαίνει με ολοκληρώματα και είναι ίσως με το 4Τ π.Α.Τ. Ο όγκος του κόνου, επίσης είναι γνωστός, παίρνεις τη βάση και είναι το 1Τ π.Α.Τ. επί το ύψος. Τώρα, τι από όλα αυτά γνωρίζαν οι αρχαίοι Έλληνες πριν έρθει ο Αρχιμήδης. Ο Αρχιμήδης, ο Εθκλήδης, στο βιβλίο 12 για το οποίο μιλάει για τα στερεά, δείχνει διάφορα πράγματα. Στο ένα από αυτά που δείχνει είναι καταρχήν ποιος είναι η σχέση ανάμεσα στον όγκο του κυλίνδρου και στην όγκο του κόνου. Να το βάλω αυτό πίσω στα δύο. Ο όγκος κυλίνδρου και ο όγκος του κόνου. Και μάλιστα δείχνει ότι ο κόνος που έχει την ίδια βάση με τον κυλίνδρο έχει όγκο το 1Τ του όγκου του κυλίνδρου. Ο όγκος του κόνου είναι ίσως με το 1Τ του όγκου του κυλίνδρου. Χνωστό λοιπόν. Το άλλο το οποίο δείχνει είναι ότι αν έχουν δύο σφαίρες και μία σφαίρα έχει ακτίνα 1 ενώ η άλλη σφαίρα έχει ακτίνα 2. Αυτό το ξέρει ο Ευκλήδης. Λέει ότι ο όγκος της, να το γράψω σε αυτή την ίδια τη μορφή, είναι ο όγκος της πρώτης σφαίρας. Αυτή εδώ λοιπόν θα μου δώσει ο όγκος Β1 ως προς τον όγκο της δεύτερης σφαίρας είναι ΑΡΕΝΑΙΣΤΗΝΤΡΙΤΗ δια ΑΡΔΕΙΣΤΗΝΤΡΙΤΗ και αυτό είναι γνωστό. Ξέρει λοιπόν ότι το Β1, αυτός εδώ ο όγκος είναι το ΑΡΕΝΑΙΣΤΡΙΤΗΣ επί Β2 δια ΑΡΔΕΙΣΤΡΙΤΗΣ. Αυτό ήταν γνωστό. Ότι ο όγκος της σφαίρας, εξαρτάται, υπάρχει μια σταθερά εδώ. Σταθεροποίησαι το Β1, αυτό είναι το Β2, σταθεροποίησαι μια από τις σφαίρες, βλέπεις ποιος είναι ο όγκος ως προς τον κύβο της Ακτίνας, αυτό είναι γνωστό ότι το Β1 είναι κάποιο σταθερό πολλαπλάσιο του κύβου της Ακτίνας. Ενώ όμως, για τον κύκλο, ξέρουμε τι είναι το π, είναι ακείνο το αντίστοιχο πολλαπλάσιο που εμφανίζεται στον Εμβαδό. Στον Εμβαδό έχουμε ότι το Εμβαδό του κύκλου είναι π΄΄΄΄΄. Εδώ πέρα δεν υπάρχει καμία ένδειξη ότι υπήρχε γνώση για το τι ήταν αυτό, ποια ήταν η σχέση. Το ερώτημα λοιπόν εδώ είναι ποια είναι η σχέση. του Β2 προς Β3 της σταθεράς που εμφανίζεται, ξέρει ότι κάθε όγκος είναι μία σταθερά, η ίδια σταθερά επί τον κύβο της Ακτίνας. Ποια είναι η σχέση αυτής εδώ της σταθεράς με το π. Εμείς σήμερα ξέρουμε από τον τύπο ότι αυτό εδώ πρέπει να είναι 43Π. Εδώ λοιπόν μέχρι τότε, μέχρι τον Ευκλήδη, ξέρουν ότι είναι κάποιο πολλαπλάσιο, δεν ξέρουν ποια είναι η σχέση με το π. Και αυτό είναι ακριβώς το επίτευμα του Αρχιμήδη, ότι κατάφερε να προσδιορίσει αυτήν εδώ τη σταθερά και να δείξει τη σχέση της με το π. Στο βιβλίο 12 ο Ευκλήδης, εντάξει, το ανέφερα αυτό προηγουμένως, δείχνει ότι ο όγκος του κόνου είναι το ένα τρίτο του όγκου του κυλίνδρου που έχει με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Και είναι πολύ ωραίο να το δει κανείς αυτό ότι χρησιμοποιεί την αρχή εξάδλησης του Ευδόξου. Και είναι η αρχή την οποίαν τη χρησιμοποιεί, είναι η βασική ιδέα που εμφανίζεται σε όλα αυτά τα αντίστοιχα, σε αυτά τα αντίστοιχα αποτελέσματα του Ευκλήδη. Πριν προχωρήσω θέλω να σχολιάσω λίγο παραπάνω σε αυτό. Έτσι η αρχή της εξάδλησης του Ευδόξου. Για να δούμε λοιπόν τι περίπου γίνεται εδώ πέρα. Για να γενικεύσουμε εκείνο που είχαμε δει. Είχαμε αποδείξει, έτσι αν γυρίσετε πίσω στις σημειώσεις, είχαμε αποδείξει χρησιμοποιώντας την αρχή εξάδλησης του Ευδόξου. Αυτό που είχαμε αποδείξει σε εκείνες τις σημειώσεις, είναι ότι αν έχω δει ο κύκλος, είχαμε δει πιο αναλυτικά την απόδειξη, ότι αν έχω δει ο κύκλος με ε1 και ε2, τότε το ε1 ως προς ε2 είναι αρ 1 τετράγωνο ως προς 2 τετράγωνο. Αυτό είναι το θεώρημα το οποίο είχαμε δείξει. Και από εδώ βέβαια είπαμε ότι προκύπτει, το ξαναέγραψα και προηγουμένως, ότι το ε1 είναι ε2 διά αρ 2 τετράγωνο επί αρ 1 τετράγωνο. Και αυτή εδώ, η ίδια σταθερά που εμφανίζεται πάντα, σήμερα την ονομάζουμε πί. Έτσι σήμερα της έχουμε δώσει ένα όνομα, δεν υπήρχε αυτό το όνομα από τότε, αλλά είναι γνωστό, το ε2 είναι, δεν ξεφτάται από το αρ τετράγωνο, με απόδειξη πλέον από τον Ευκλήδη. Είχαμε δει λοιπόν αναλυτικά το πώς είχε κάνει αυτή την απόδειξη. Είναι η ίδια ιδέα που δίνει και εδώ, ότι ο όγγος του κόνου είναι το 1 τρίτο του όγγου του κυλίνδρου. Θέλω λοιπόν να επαναλάβω αυτήν εδώ την ιδέα. Μέσα στο αντίστοιχο σώμα, έχουμε το 1 σώμα που είναι ο κόνος και δίπλα έχουμε τον κύλινδρο. Κατασκευάζει λοιπόν μία ακολουθία, ταυτόχνα, μία ακολουθία από πολίγωνα. Κατασκευάζει μία ακολουθία από πολίγωνα, ενιαγραμμένα μέσα στον κόνο. Όσο περισσότερες πλευρές υπάρχουν, κανονικά πολίγωνα, τα οποία ξέρει κανονικά πολίγωνα, κάποια στερεά για τα οποία μπορεί να υπολογήσει αυτό που τον ενδιαφέρει. Μπορεί να στην περίπτωση του κόνου είναι πολίεδα. Κάποια στερεά για τα οποία μπορεί να υπολογήσει τον όγκο. Όσο αυξάνονται οι πλευρές αυτών των πολιέδρων, τόσο πιο κοντά στον κόνο βρισκόμαστε. Κάνει λοιπόν το ίδιο ταυτόχανα και για το κύλινδρο. Μέσα στον κύλινδρο κατασκευάζει αντίστοιχα κάποια άλλα στερεά, πολιεδρά Qn, να εξαρτώνται από τις πλευρές, έτσι ώστε όταν το n γίνεται πολύ μεγάλο, το αντίστοιχο πολιέδρο αναπλησιάζει όλο και περισσότερο στον κόνο. Τα διαλέγει κανείς με τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε για αυτά τα πολιέδρα, για τα οποία είναι με γνωστό όγκο, έτσι έχουμε τους τύπους για τον όγκο, ο τύπος για τα πολιέδρα του όγκου των πολιέδρων είναι γνωστός, και για το Qn, γνωστός, αλλιώς δεν θα έχει νόημα να γίνει αυτό, και μάλιστα ξέρει ότι ο όγκος καθενός από αυτού εδώ τα πολιέδρα, θα τον ονομάσω για να μην το κουβαλάω, ότι το V του Pn, είναι κάθε φορά ίσως, με το ένα τρίτο του V του Qn, έτσι, εδώ πέρα με V του Pn, και αντίστοιχα το V του Qn, συμβολίζω τον όγκο του Pn. Έχω λοιπόν κατασκευάσει πολιέδρα ταυτόχρονα, και στο ένα και στο άλλο, ενιαγραμμένα. Το έχω κάνει για τέτοια πολιέδρα, που μπορώ να υπολογίσω, ξέρω τον όγκο τους. Ξέρω επίσης την σχέση που έχει ο όγκος. Ξέρω ότι ο όγκος αυτούνου εδώ, είναι το ένα τρίτο του όγκου αυτούνου εδώ. Άρα τι θα έκανε κανείς, αν μπορούσε να χρησιμοποιήσει όρια. Αν μπορούσε να χρησιμοποιήσει όρια, θέλει για το εξής, ο όγκος του Qn, το V είναι για τον όγκο του Qn, είναι ίσως με το όριο, είναι ίσως με τον όγκο του ορίου των πιένων, είναι ίσως με το όριο των όγκων των πιένων, είναι ίσως με το όριο του ένα τρίτο του όγκου των Qn, έτσι γιατί ο όγκος του πιέν βρίσκεται σε αυτήν εδώ τη σχέση με τον όγκο του Qn. Είναι ίσως με το ένα τρίτο του όγκου των Qn, έτσι και αυτή είναι η βασική ιδέα, δηλαδή το ένα τρίτο του όγκου του κυλίνδρου. Και έτσι αποδεικνύει ότι ο όγκος του Qn είναι το ένα τρίτο του όγκου του κυλίνδρου. Είναι η βασική ιδέα στην απόδειξη του ευκλήδη και είναι η ιδέα η οποία επαναλαμβάνεται. Την έχουμε ήδη δει όταν μιλούσαμε για το εμβαδό των κύκλων. Σας τα λέω αυτά και λίγο παραπάνω γιατί είναι κομμάτια στα οποία θέλω να επικεντρωθείτε όταν τα διαβάσετε και θα προσπαθήσω να βάλω και ασκήσεις αντίστοιχες για να μπορέσετε να τα επαναλάβετε. Να τα αναπαράγετε, όχι επαναλάβετε, αναπαράγετε. Το θέμα είναι ότι οι Έλληνες είχανε πρόβλημα ακόμη, μιλάω για τους μαθηματικούς εκείνης της εποχής, με το άπειρο. Η έννοια του ορίου δεν υπάρχει έτσι. Υπάρχει πρόβλημα να πεις όταν κάτι πάει στο άπειρο. Δεν χρησιμοποιούσαν λοιπόν αυτά και αντί να χρησιμοποιήσουν αυτά χρησιμοποιούσαν την αρχή της εξάνδλησης του ευδόξου. Και αυτό που λέγαν για να προσπαθήσουμε να κάνουμε την αρχή, έτσι αυτή είναι η ιδέα, έτσι αυτή είναι η ιδέα σήμερα. Και αυτό που κάναν οι αρχαίοι Έλληνες είναι να αποφύγουν αυτό το κομμάτι με τα όρια και να προσπαθήσουν να χρησιμοποιήσουν την αρχή εξάνδλησης του ευδόξου. Για να προσπαθήσω λοιπόν να κάνω μόνο αυτήν εδώ την αρχή και να δούμε μετά να το συμπληρώσουμε. Θα το αφήσω για να συμπληρωθεί αργότερα για να γυρίσουμε πίσω στον αρχημίδι. Αυτό λοιπόν με τα όρια θα ήτανε σήμερα για να δούμε πως θα το αποδείκνει κανείς. Έχουμε κατασκευάσει αυτά εδώ τα πολύεδρα, ξέρουμε τη σχέση ανάμεσα στα πολύεδρα, ξέρουμε τι θέλουμε. Αυτό λοιπόν θα το αποδείξει με το ισάτο που απαγωγεί. Έστω ότι ο όγγος λέει ο Ευκλίδης, ο όγγος του Κόνου, δεν είναι ίσως με τον όγγο, με το ένα τρίτο του όγγου του Κιλλέου. Έστω ότι είναι μεγαλύτερο θα καταλήξει ισάτο, έστω ότι είναι μικρότερο πάλι θα καταλήξει ισάτο. Έστω λοιπόν ότι ο όγγος, ένα από τα δύο πρέπει να ισχύει αφού δεν είναι ίσα, έστω ότι ο όγγος του Κόνου είναι μεγαλύτερος από το ένα τρίτο του όγγου του Κιλλέου. Βάζει το ε, το ε πρέπει να είναι θετικό, παίρνω λοιπόν το ε να είναι ο όγγος του Κόνου, μειών το ένα τρίτο του όγγου του Κιλλέου. Μπορώ να φτιάξω μια ακολουθία από πολυέδρα, έτσι για να κάνω αυτό το βήμα. Μπορώ να φτιάξω μια ακολουθία από πολυέδρα, να φτιάξουμε μια ακολουθία από πολυέδρα, έτσι γιατί αυτή είναι η έννοια της εξάρλειας του Ευδόξου, που να έρθουν τόσο κοντά στον Κόνο, έτσι ώστε η διαφορά των δύο όγγων να είναι μικρότερη από το έψινο. Η αρχή της εξάρλειας λέει, μου δίνεις κάποιο θετικό, μπορώ να φέρω το πι εν τόσο κοντά από τον τρόπο κατασκευής, έτσι ώστε ο όγγος του Κόνου, μίον για κάποιον αρκετό μεγάλο εν, μίον τον όγγο του πι εν, έτσι έχω φέρει το εν, έχω πολλαπλασιάσει το εν, έχω μεγαλώσει το εν τον αριθμό των εδρών τόσο πολύ, που ο όγγος του Κόνου μίον τον όγγο του πι εν είναι μικρότερο από το έψινο, έτσι ο όγγος του εν γιαγραμμένου είναι πάντα μικρότερο από τον όγγο του στερεού. Ο όγγος του πι εν είναι πάντα μικρότερος από τον όγγο του στερεού, άρα το β του Κόνου μίον β του πι εν είναι μικρότερο από το έψινο. Και κάνοντας το αυτό και βλέποντας το που πηγαίνει, χρησιμοποιώντας τη σχέση ενάμεσα στον όγγο του πι εν και στον όγγο του κυλίνδρου, καταλήγει σε άτοπο. Να πω γιατί αφήνω αυτά εδώ τα βήματα, θα ήθελα να τα συμπληρώσετε εσείς, καταλήγει σε άτοπο, το άτοπο στο οποίο θα καταλήξει και μένει να συμπληρώσετε μία ή δύο γραμμές, μένει να το σκεφτείτε και να συμπληρώσετε τις γραμμές που υπολείπονται εδώ πέρα. Το άτοπο στο οποίο καταλήγει είναι ότι θα δείξει ότι ο όγγος του Κιου εν, σαν καθισθώντας τη σχέση ενάμεσα στον όγγο του πι εν και στον όγγο του κυν, ότι ο όγγος του Κιου εν είναι μεγαλύτερος από τον όγγο του κυλίνδρου. Όταν φτάσεις σε αυτό εδώ το σημείο σταματάει. Ο όγγος του Κιου εν είναι μεγαλύτερος από τον όγγο του κυλίνδρου. Σταματάει γιατί το Κιου εν είναι μέσα στο κυλίνδρο, είναι για γραμμένο. Άρα ο όγγος του κυλίνδρου είναι αναγκαστικά μεγαλύτερος από τον όγγο του Κιου εν. Θα το δείτε αυτό πιο αναλυτικά στις ασκήσεις, θα σας ζητήσω να συμπληρώσετε αυτές εδώ τις λεπτομέρειες. Αυτό ήταν επίσω στον Εύδοξο, στην αρχή του Ευδόξου, στα στοιχεία του Ευκλήδη, για να τονίσω ότι αυτά ήταν γνωστά. Ήταν γνωστό λοιπόν η σχέση ανάμεσα στον κόνου και στον κυλίνδρο. Το άλλο που ήταν γνωστό είναι ότι ο όγγος της φέρας εξαρτάται από μία σταθερά, εξαρτάται από την τρίτη δύναμη της ακτίνας, αλλά δεν γνωρίζουν ποια είναι αυτή εδώ η σταθερά. Η αρχή λοιπόν πάλι της θησευροπίας, σε αυτήν εδώ την εικόνα, έτσι φαίνεται η σφέρα, γιαγραμμένη μέσα σε αυτόν εδώ τον κύλινδρο, εξωτερικός κύλινδρος, έχει το ύψος του θεωρήματος του αρχημίδη, αλλά είναι πολύ πιο φαρδής από αυτό του αρχημίδη. Αυτή είναι η μέθοδος, αυτή είναι πώς περιέγραψε τη μέθοδό του, πώς ανακάλυψε το θεώρημα που λέει ότι ο όγγος της φέρας είναι ίσως με τα δύο τρίτα του όγγου του κυλίνδρου, μέσα στον οποίο είναι γιαγραμμένος. Ξεκινάει λοιπόν με αυτά εδώ τα σχήματα, μόνο που ο κύλινδρος και ο κόνος, έτσι και ο κύλινδρος, αλλά και με το κόνος τον οποίο θα χρησιμοποιήσει, δεν έχουν την ακτίνα που αντιστοιχεί στο θεώρημά του, αλλά έχει πάρει ένα μεγαλύτερο κύλινδρο, έχει πάρει ένα κύλινδρο ο οποίος έχει βάσει με ακτίνα διπλάση από αυτή του θεωρήματος του αρχημίδη. Θα δούμε το γιατί. Γνωστό λοιπόν ποια είναι η σχέση ανάμεσα στον όγγο του κυλίνδρου και στον όγγο του κόνο. Δεν μας απασχολεί σε αυτή τη φάση, την ιδέα θέλουμε, τις λεπτομέρειες θα τις δούμε την άλλη φορά. Τι κάνει λοιπόν, παίρνει αυτό εδώ το σύστημα, το βάζει λοιπόν σε μια μπάρα, θα το ισορροπίσουμε. Έχει πάρει την κορυφή του κόνου και αυτό είναι το σημείο α, είναι η κορυφή του κόνου ή του κυλινδρού αντίστοιχα. Και έχει πάρει την απόσταση έτσι ώστε το α σε να είναι ίσο με το η α. Έτσι αυτή η μπάρα θέλει να τα ισορροπίσει το σημείο που έχει βάλει το μοχλό ή το σημείο που έχει βάλει η στήριξη είναι στο α. Θέλει να ισορροπίσει όλα αυτά στο α αλλά προσπαθεί να καταλάβει τι γίνεται. Παινεί λοιπόν αυτά τα τρία σχήματα ταυτόχρονα και τα κόβει σε λεπτές φέτες. Φανταστείτε τώρα έχετε έναν κύλινδρο τον έχετε ξαπλώσει και τον κόβετε σε μία λεπτή φέτα. Παίρνετε τον κύλινδρο ξαπλωμένο τον κόβετε σε μία φέτα. Τι σχήμα παίρνετε. Τι είναι αυτό που παίρνετε. Ένα μικρό κύλινδρο είναι τόσο λεπτή φέτα που δεν έχει καθόλου πάχος. Τι είναι το σχήμα μας. Ένας κύκλος παίρνουμε έναν κόνο πάλι τον ξαπλώνουμε. Η κορυφή του είναι εδώ έτσι όπως το βλέπουμε εκεί τον έχουμε ξαπλώσει η βάση είναι εδώ τον κόβω σε μία πολύ λεπτή φέτα. Τι παίρνω πάλι κύκλο και η σφέρα πάλι το ίδιο κύκλος που είναι αυτή εδώ λοιπόν δείτε το. Έτσι για να προσπαθήσω. Ορίστε. Όταν πάμε στο α και κάνουμε την τομή όπως και το ίδιο με τον κόνο ο κύκλος έχει πάει σε ένα σημείο. Αλλά υποτίθεται το κάνω σε κάθε ένα από αυτά και ψάχνω να βρω πού θα ισορροπίσει αυτό εδώ το σύστημα. Έτσι νομίζω έχουμε μια καλύτερη εικόνα για να τη δούμε. Ξεχάστε λίγο τα γράμματα προς το παρόν νομίζω βλέπουμε τις τομές. Έτσι μία το μή του κυλίνδρου είναι αυτό ξεκινάει επάνω το πρέπει να το δει κανείς λίγο πλαγιαστά είναι το μή επάνω πάνω. Κάτω κάτω είναι το μή μή είναι το μή παίρνω λοιπόν την τομή και των τριών την ίδια πολύ λεπτή φέτα. Και έχω για τον μεν κυλίνδρο αυτό εδώ μή μή. Αυτή είναι η τομή του κυλίνδρου η τομή του κόνου είναι είναι μέσα. Το QR και του κύκλου είναι από το π μέχρι το Q. Αυτά είναι τα τρία από εκεί και πέρα. Επειδή είναι γνωστά τα έμβατα. Αυτό θα έρθει λίγο πιο μετά αλλά έχει χρησιμοποιήσει όμια τρίγωνα. Κοιτάζει εκεί την εικόνα και χρησιμοποιεί τα όμια τρίγωνα. Και αυτό που προκύπτει από τις ιδιότητες των ομοίων τριγώνων έτσι έχει και κάποια χρησιμοποιεί και το πιθαγόριο θεώρημα. Από αυτό που προκύπτει λοιπόν από αυτά εδώ βγαίνει ότι το ΑΣ αυτό εδώ ως προς το ΑΕΣ ως προς αυτό εδώ το κομμάτι είναι ίσο με το ΜΕΝ τετράγωνο με αυτό εδώ το τετράγωνο με αυτό εδώ. Αυτό το κομμάτι βγαίνει από τις ιδιότητες των ομοίων τριγώνων που υπάρχουν μέσα σε αυτήν εδώ την εικόνα. Και αν ξέρετε αν ξέρει κανείς τι θέλει να αποδείξει αν το κοιτάξει αρκετά και προσεκτικά μπορεί να βγάλει αυτήν εδώ τη σχέση. Από τη στιγμή που βγάζει αυτή τη σχέση χάρη στα όμια τρίγωνα μετά πάει και χρησιμοποιεί την ιδιότητα των έμβαδων. Πολαπλασιάζει ξέρει αυτό είναι μια ακτίνα η αντίστοιχη ακτίνα του σχήματος τον οποίον θέλει. Ξέρει λοιπόν εντάξει πολλαπλασιάζει με το πίτεταρτα για να μπορέσει να το χρησιμοποιήσει και τι προκύπτει αυτό εδώ. Έτσι τώρα βλέπουμε την τομή ξανοριζόντια τομή είναι το ίδιο σχήμα το έχω βάλει οριζόντια. Τι προκύπτει για κάθε μια από αυτές εδώ τις φετούλες λέει ότι το σύστημα θα ισορροπήσει. Αν θέσει λέει τις φέτες του κυλίνδρου και της σφαίρας έτσι το ΆΣ εκείνο που είπαμε προηγουμένως είναι ίσο με το ΆΣ. Από τη σχέση λοιπόν αυτήν εδώ ΆΣ που ήταν το ΆΣ προηγουμένως ως προς το ΆΣ προκύπτει ότι το σύστημα θα ισορροπήσει αν αυτά που αντιστοιχούν στον παρανομαστή του δεύτερου, δηλαδή η αρχική σφαίρα και οι φέτες της σφαίρας και του κόνου αν τις τοποθετήσω στο ΆΣ. Ό,τι είναι στον παρανομαστή θα τοποθετηθεί στην κορυφή στο ΆΣ. Όλα τα υπόλοιπα θα πρέπει να τοποθετηθούν στο ΆΣ. Θα ήθελα να ξαναγυρίσω αυτό στην επόμενη φορά που θα τα δούμε γιατί πραγματικά είναι μεγαλοποιές αυτό που γίνεται εδώ πέρα. Για να ισορροπήσει το σύστημα σε κάθε μία φέτα πρέπει να τοποθετήσω τον κόνο και τη σφαίρα στο ί, στο ΆΣ. Όλα τα υπόλοιπα στο Σ που είναι το κέντρο βάρους για τη φέτα που κοιτάζουμε για να ισορροπήσει το όλο σύστημα του κυλίνδρου, της σφαίρας και του κόνου. Η μένη σφαίρα και ο κόνος έχουμε ήδη αποφασίσει πρέπει να πάνε στο ί, ο κύλινδρος όμως θα πρέπει να πάει στο κέντρο βάρους και το κέντρο βάρους του κυλίνδρου είναι τελικά το σημείο Κ. Αυτή είναι η βασική ιδέα και μετά χρησιμοποιεί όλους τους τύπους ο οποίος γνωρίζει για να καταλήξει τελικά στο τέλος, θα σας δώσω απλά το τελικό που λέει ότι η σχέση ανάμεσα στον κύλινδρο και στην σφαίρα, ο κύλινδρος είναι τα τρία δεύτερα του όγκου της σφαίρας. Θέλω να ξαναγυρίσω στην αρχημίδη και να εξηγήσω και πάλι μάλλον πιο αναλυτικά το πως ισορροποιεί την σφαίρα, τον κόνο και τον κύλινδρο. Είχαμε πει ότι ήδη από τον Ευκλήδη γνωρίζαν ότι ο όγκος της σφαίρας συνδέεται με τον όγκο του κυλίνδρου και όλοι έχουν να κάνουν κάτι με το π. Με το π που συνδέει το εμβαδό του κυλίνδρου, το εμβαδό της σφαίρας, το εμβαδό του κύκλου μάλλον με την ακτίνα. Αλλά δεν γνωρίζαν τι και αυτό είναι το μεγάλο επίτευμα του αρχημίδη, ότι καθόρισε στην ουσία τον όγκο της σφαίρας. Θυμίζω την αρχή για τις ισορροπίες, ότι για να ισορροπίσει ένα σύστημα ως προς το σημείο ε, όπου έχουμε τοποθετήσει το μοχλό, πρέπει να βάλουμε τα βάρη σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες. Δηλαδή αν βάλουμε το πιο βαρύ στο β, τότε το πιο ελαφρύ θα πρέπει να είναι πιο μακριά. Υπάρχει αυτός ο λόγος γ προς δ, είναι αε προς βε. Τα μεγέθη πρέπει έρχονται σε ισορροπία όταν οι αποστάσεις τους είναι αντιστρόφως ανάλογες προς το βάρος τους. Και αυτό που ήθελε να δώσει είναι αυτό για το οποίο ήταν περισσότερο υπερήφανος από όλα. Ο Αρχιμύρης ήταν η σχέση ανάμεσα στον όγκο της σφαίρας και στον όγκο του κυλίνδρου. Θέλει λοιπόν να τα ισορροπίσει. Τώρα τι γνωρίζουνε. Γνωρίζουνε τη σχέση ανάμεσα στον όγκο του κυλίνδρου και στον όγκο του κόνου. Έτσι αυτό είναι γνωστό. Ο όγκος του κυλίνδρου με τον όγκο του κόνου που έχει την ίδια βάση με τον κύλινδρο και το ίδιο ύψος με τον κύλινδρο. Ο κόνος λοιπόν που έχει την ίδια βάση με τον κύλινδρο και το ίδιο ύψος με τον κόνου. Το γνωρίζουνε είναι στον ευκλήδιο αυτό το κομμάτι ότι ο όγκος του κόνου είναι το ένα τρίτο του όγκου του κυλίνδρου. Οπότε θα συγκρίνει αυτά εδώ τα τρία στερεά. Η σφαίρα δεν είναι γιαγραμμένη σε αυτό το κύλινδρο. Η σφαίρα είναι γιαγραμμένη στον κύλινδρο που έχει ακτίνα R. Το ύψος αυτού του κυλινδρού που κοιτάζουμε σε αυτήν εδώ τη διαφάνεια είναι το ύψος του γιαγραμμένου κυλινδρού, του κυλινδρού στο οποίο εγγράφεται η σφαίρα. Όμως ο συγκεκριμένος κύλινδρος με το κόκκινο έχει ακτίνα δύο φορές στην ακτίνα του κυλινδρού στο οποίο εγγραφεται η σφαίρα. Λοιπόν κοιτάζει αυτό εδώ το σύστημα. Τώρα, είναι ξεκάθαρο ότι η σφαίρα ζυγίζει λιγότερο από το κύλινδρο και ξέρουμε ότι και ο κόνος ζυγίζει λιγότερο από το κύλινδρο. Για να μπορέσουμε να τα φέρουμε σε ισορροπία λοιπόν, μία ιδέα είναι να βάλουμε από τη μια μεριά τον κύλινδρο μόνο του και από την άλλη μεριά τη σφαίρα με τον κόνο. Μια μεριά η σφαίρα και ο κόνος, από την άλλη ο κύλινδρος. Αλλά σε τι αποστάσεις, αυτό είναι το ερώτημα. Λοιπόν, τα τοποθετήσουμε έτσι και πάρουμε τις εγκάνσιες τομές. Πώς τα τοποθετούμε λοιπόν, τα βάζουμε πλαγιαστά, ο κύλινδρος και ο κόνος, η βάση τους να είναι από τη μια μεριά, η κορυφή του κόνου θα είναι στο σημείο αυτό εδώ άλλο. Και η σφαίρα θα είναι ανάμεσα σε αυτά τα δύο σημεία. Τα βάζω λοιπόν εκεί και προσπαθούμε να καταλάβουμε το τι γίνεται. Το κ είναι η μέση του κύλινδρου που έχει ύψος 2r, το ακ είναι το ίδιο με το κσ. Και για να διευκολυνθούμε σε αυτό το σχήμα, γιατί αυτό είναι το σχήμα που θα εμφανιστεί μετά, έχουμε βάλει το η σε απόσταση ίση όσο το ασ, δηλαδή σε απόσταση 2r. Παίρνουμε τις εγκαρσιαστομές και βλέπουμε ότι και οι τρεις εγκαρσιαστομές και για τον κύλινδρο και για τον κόνο και για τη σφαίρα είναι κύκλοι. Μετά κοιτάζει κανείς τα όμοια τριγωνα που σχηματίζονται, τα κοιτάζει και με κάποια προσπάθεια βγάζει αυτήν εδώ τη σχέση. Από τα όμοια τριγωνα βγάζει τη σχέση ότι το α σε, αυτή εδώ η απόσταση α μέχρι το σε ως προς το α προς ε, αυτό εδώ το σημείο, γιατί έχουμε πάρει τις εγκαρσιαστομές ακριβώς εκεί στο s και όλες οι τομες περνάνε από το σημείο s. Βλέπουμε λοιπόν ότι το α σε ως προς το αs είναι ίσο με κάποιο λόγο τετραγώνων. Το 1 ο αριθμητής είναι το μν τετράγωνο, ο παρανομαστής είναι το άθρυσμα 2 τετραγώνων. Έχουμε το σημείο ο π τετράγωνο, έχουμε αυτό εδώ από το ο μικρόν έως το π που έχει να κάνει με την τομή της σπέρας και έχουμε και το qr που έχει να κάνει με την εγκαρσιατομή του κόνου. Ο αριθμητής έχει να κάνει με την εγκαρσιατομή του κυλίνδρου. Τα άλλα δύο που είναι στον παρανομαστή έχουν να κάνουν με τις εγκαρσιαστομές, με ό,τι παίρνουμε κάνοντας τομες τον κόνου και τον κυλίνδρο. Όπως είπα πριν οι εγκαρσιαστομές αυτές είναι όλοι κύκλοι και βλέπουμε και που αντιστοιχούν ο κάθε κύκλος. Αυτό το τετράγωνο αν πολλαπλασιάσω και τον αριθμητή και τον παρανομαστή με το κατάλλο πολλαπλάσιο του π και αριθμητή και παρανομαστή θα είναι τη στοιχή επειδή έχω και αριθμητή και παρανομαστή με το κατάλλο πολλαπλάσιο του π θα πάρω εμβαδό. Εμβαδό τον κύκλο. Πολλαπλασιάζω με το κατάλλο πολλαπλάσιο, παίρνω το εμβαδό του κύκλου που είναι η εγκαρσιατομή του κυλίνδρου στο σημείο S. Το ίδιο πολλαπλάσιο θα μου δώσει το εμβαδό του κύκλου που είναι η τομή με τον κόνου και η τομή με τη σφαίρα. Τώρα τι μου λέει αυτή εδώ η σχέση. Μου λέει ότι θα ισορροπήσουν τα πάντα. Έτσι, γι' αυτή την τομή, το μή ασ έ ως προς το ασ έχω το λόγο είναι μη εν τετράγωνο ως προς τ' άλλα δύο. Για να ισορροπήσουμε λοιπόν αυτές οι φέτες, οι φετούλες που περνάνε όλες από το S, μιας και το ασ είναι ως προς το ασ μου δίνει αυτό, θα πρέπει η μ' φετούλα που αντιστοιχεί στο μ' τετράγωνο, δηλαδή η φετούλα του κυλίνδρου, την βάζω στο S. Τις άλλες δύο φετούλες που αντιστοιχούν στον κόνο και στη σφαίρα πρέπει να τις βάλω σε απόσταση ίση με το ασ. Άξι, και για να ταιριάζει με την εικόνα μας, το ασ, η απόσταση ασ είναι ίση με το αη. Θα βάλω λοιπόν, θα αφήσω τον κύλινδρο εδώ, τη φετούλα του κυλίνδρου εκεί που είναι, στο S, και τις άλλες δύο, τα άλλα δύο μεγέθη θα τα βάλω που είναι ο κόνος και η σφαίρα θα τα βάλω εδώ. Αυτό ισχύει για τις φετούλες. Όμως δεν έχουμε απλά, όλες τις φετούλες αυτές μου φτιάχνουν έναν μεγάλο κύλινδρο. Το S όπου τοποθέτησα την φέτα του κυλίνδρου, το S, πάλι σε αυτήν εδώ την εικόνα, τώρα τα έχω κάθετα, στο S λοιπόν είπα θα βάλω τη φετούλα του κυλίνδρου, στο ί θα βάλω τις φετούλες του κόνο και της σφαίρας. Όμως αυτό το S, αυτό λέω και αυτό παρατηρώ, ότι το S κάθε φορά μεταβάλλεται. Για κάθε φετούλα είναι και διαφορετικό, αν πάρω τη φέτα πιο κάτω θα είναι στο μεσαίο. Τι γίνεται λοιπόν αν πάρω ολόκληρο το στερεό και όχι απλά τις φετούλες. Που θα πρέπει να τα τοποθετήσω. Τι μεν σφαίρα και τον κόνο, δεν έχω απορία γιατί είπα ότι κάθε φορά θα τις βάζω στο ί, για κάθε φετούλα η σφαίρα και ο κόνος θα πρέπει να πάνε στο ί. Εκείνο το οποίο προβληματίζει είναι ότι θα γίνει με τις φετούλες με ολόκληρο το κύλινδρο, γιατί κάθε φετούλα του κυλίνδρου θα την βάλω στο S. Αν κοιτάξω όλο τον κύλινδρο μαζί, πού θα πρέπει να τον βάλω. Στο ποιο σημείο. Τι είναι το S. Είναι η μέση, είναι ακριβώς τη μέση. Που θα πρέπει λοιπόν να βάλω ολόκληρο τον κύλινδρο. Πρέπει να τον βάλω η μέση είναι το κέντρο βάρους. Που θα βάλω λοιπόν ολόκληρο τον κύλινδρο. Ολόκληρος ο κύλινδρος, το κέντρο βάρους ολόκληρο του κύλινδρου, έτσι που ξεκινάει μεγάλος κύλινδρος. L, Q, F, E, ο μεγάλος στο εξωτερικό. Θα πρέπει να πάει στο κέντρο βάρους του που είναι το K. Το σύστημα λοιπόν ισορροπείως προς το Ά, εάν θέσουμε στο ί τα τη σφαίρα και τον κόνο και αν θέσουμε τον κύλινδρο στο K. Εντάξει και μετά είναι απλά θέμα να βάλεις όλες τις σχέσεις που γνωρίζεις. Αφού γνωρίζουμε ότι ο μεγάλος κύλινδρος, καταρχήν ξέρουμε ποιες είναι οι αποστάσεις. Το ΑΚ επί δύο φορές μου δίνει το ίΤΑ. Μετά επίσης ξέρουμε ότι ο κύλινδρος είναι τρεις φορές ο κόνος. Κι αφού ο πρώτος λόγος είναι δύο, ενώ ο κύλινδρος ως προς τον κόνο μόνο του είναι τρεις, αυτό σημαίνει ότι τελικά ο όγκος του μπλε κόνου είναι δύο φορές όγκος της σφαίρας, για να μπορέσει να κανοποιήσει αυτές εδώ τις σχέσεις. Βάζεις λοιπόν όλες τις σχέσεις μαζί και δεν με απασχολεί εκείνο. Εκείνο που ήθελα να δώσω είναι η ιδέα της ισορροπίας και θέλω να το κάνω. Βάζεις όλες τις σχέσεις που γνωρίζεις, να τελειώσω με αυτήν εδώ την πρόταση. Βάζεις τις σχέσεις που γνωρίζεις, χρησιμοποιείς ότι έχεις από τον ευκλίδι για τις σχέσεις για τους όγκους. Όπως είπα προηγουμένως, ξέρεις ποια είναι η σχέση ανάμεσα στον όγκο του κυλίνδρου και του κόνου. Ξέρεις επίσης πώς συγκρίνονται οι όγκοι δύο κυλίνδρων. Έτσι, τα βάζεις όλα αυτά εκεί και στο τέλος σου βγαίνει ακριβώς αυτό που επιθυμούσες. Ότι ο όγκος του κυλίνδρου είναι τρία δεύτερα του όγκου της σφαίρας. Ακριβώς αυτό σου επιτρέπει να πεις και ο όγκος της σφαίρας πόσο είναι σε σχέση με τον κύβο της ακτίνας. Τα ξαναπέρασα μια φορά τώρα, γιατί τα έβαλα λίγο πιο αναλυτικά, προσπάθησα να τα εξηγήσω λίγο παραπάνω, κυρίως όμως γιατί θέλω να σας ενθαρρύνω να διαβάσετε την αντίστοιχη απόδειξη σε σχέση με τις ισορροπίες. Τον τρόπο που ο Αρχιμήδης εμπνεύστηκε αυτό εδώ το κομμάτι που λέει για το εμβαδό ανάμεσα στην παραβολή και στην τέμνος. Με επαναλάβω και αυτό το οποίο είχα πει την προηγούμενη φορά. Αυτή η έμπνευση είναι η μέθοδος, η έθοδος. Αυτό είχε γράψει ο Αρχιμήδης στο γράμμα του στον Ερατοσθένη. Αλλά δεν το θεωρούσαμε το ίδιος. Απόδειξη. Για την απόδειξη πρέπει να κάνεις γεωμετρία. Απλά σου έρχεται η έμπνευση, σου έρχεται το θεώρημα και μετά προσπαθείς και το αποδεικνύεις. Γι' αυτό λοιπόν εδώ το κομμάτι που έχει να κάνει για το εμβαδό ανάμεσα στην παραβολή και στην τέμνοσα εμείς έχουμε ήδη δώσει τη γεωμετρική απόδειξη. Την έχουμε δώσει. Ήταν δυο μαθήματα, δυο διαλέξεις νωρίτερα. Αλλά μπορεί κανείς να το κάνει με τη μύδια και το έχει κάνει, το δείχνει ο Αρχιμήδης και με τη μέθοδο της ισορροπίας. Και έχει δείξει αυτό το οποίο έχουμε δει είναι ότι το εμβαδό ανάμεσα στην παραβολή και στην τέμνοσα είναι ακριβώς τα 4 τρίτα είναι πιο μεγάλο βέβαια από το εμβαδό του αντίστοιχου τριγόνου εκεί μέσα και είναι ακριβώς ίσο με τα 4 τρίτα. Όπως είπα, έχουμε ήδη δώσει την απόδειξη τη γεωμετρική. Θα ήθελα πάρα πολύ να δω κάποιον να δίνει αυτήν την απόδειξη βασισμένη. Μια απόδειξη που να είναι βασισμένη στην έννοια της ισορροπίας, που θα βάλουμε τις φετούλες, ποιες είναι οι σχέσεις που χρησιμοποιούμε για να ισορροπίσει το σύστημα. Αυτό λοιπόν θα είναι μια πολύ ωραία παρουσίαση. Οι λεπτομέρειες είναι ήδη, μπορεί κανείς να τις βρει, άρα απλά μένει να το καταλάβει για να μπορέσει να το παρουσιάσει. Και υπάρχουν και πολλοί τρόποι για να το παρουσιάσει. Έτσι μπορεί να δείξει κανείς τις φετούλες, υπάρχουν πολύ ωραίοι τρόποι για να το παρουσιάσει κανείς και θέλω πραγματικά να σας εμφανίσω να το σκεφτείτε.