Διάλεξη 2 / Διάλεξη 2 / Διάλεξη 2 - Κρεστενίτης Γιάννης (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2015)
Διάλεξη 2: Το πρώτο αντικείμενο με το οποίο ασχολούμαστε σε αυτό το μάθημα που έχει τον γενικό τίτλο Ακτομεχανική και Ελλημενικά Έργα είναι η επιφανειακή κυματισμή ή όπως έχει επικρατήσει απλώς να μιλάμε και να αναφερόμαστε σε αυτό, τα κύματα. Τι είναι η επιφανειακή κυματισμή? Ως επιφανειακούς κυματισμούς αναφέρουμε μια διαταραχή της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας γιατί θα δούμε αργότερα ότι εκτός από τις διαταραχές της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας μπορεί να υπάρχουν και όμοιες ή αντίστοιχες αν θέλετε διαταραχές κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας, αυτά που θα δούμε τότε ότι ο αντίστοιχος όρος είναι εσωτερικά κύματα Εδώ λοιπόν μιλάμε για τους επιφανειακούς κυματισμούς, τα απλώς κύματα, τις διαταραχές που υπάρχουν στην ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας αυτές οι διαταραχές μπορεί να είναι περιοδικές ή όχι, θα δούμε στη συνέχεια πότε έχουμε τη μία περίπτωση ή πότε έχουμε την άλλη Ένα χαρακτηριστικό μέγεθος αυτών των διαταραχών είναι η χρονική κλίμακα μεταβολής της τάθμης της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας Η κλίμακα αυτή είναι η περίοδος στην περίπτωση που έχουμε περιοδικές μεταβολές της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας δηλαδή έχουμε περιοδικά κύματα ενώ δεν είναι η περίοδος στην περίπτωση προφανώς που έχουμε μη περιοδικές διαταραχές της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας Ανάλογα με ποιο είναι το αίτιο που προκαλεί αυτούς τους κυματισμούς δηλαδή αυτές τις διαταραχές στην ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας η κλίμακα αυτή η χρονική κλίμακα μπορεί να έχει μέγεθος μερικών δευτερολέπτων έως πολλών ωρών ή ακόμα και ημερών Έτσι λοιπόν στα κύματα που είναι και τα πιο συνηθισμένα που προκαλούνται από τον άνεμο της ανεμογενής λοιπόν διαταραχές της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας ή αν θέλετε τους ανεμογενείς κυματισμούς, σε αυτούς τους κυματισμούς η περίοδος είναι της τάξης μερικών δευτερολέπτων 2 έως 15 δευτερολέπτα ενώ σε κύματα που προκαλούνται από παλληριακές μεταβολές που σχετίζονται με τις μεταβολές της βαρύτητας λόγω της περιστροφής της γης γύρω από τον ήλιο και της ελλήνης γύρω από τη γη η αντίστοιχη χρονική κλίμακα δηλαδή η χρονική κλίμακα μεταβολής της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας έχει τάξη μεγεθους αρκετών ωρών έως και ημερών Μια εικόνα όπου φαίνονται κυματισμοί που μπορούν να εμφανιστούν στην ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας και μάλιστα οι εικόνες είναι πως εμφανίζονται αυτές οι διαταραχές όταν αυτοί οι κυματισμοί πλησιάζουν την ακτή, πλησιάζουν δηλαδή τις περιοχές όπου το βάθος της θάλασσας μικραίνει σε σχέση με αυτό που είχε η θαλάσσια περιοχή μακριά από την ακτή πως αυτοί οι κυματισμοί εμφανίζονται κάτι που προφανώς έχετε όλοι δει σε μια παράχτια περιοχή σε περίοδο που φυσούν άνεμοι και τα κύματα πλησιάζουν την ακτή αυτοί οι κυματισμοί λοιπόν που εμφανίζονται κοντά στην ακτή συνήθως έχουν τη γένεσή τους στους πνέοντες στην περιοχή ανέμου είναι αυτό που λίγο πριν ανέφερα ως διαταραχές της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας ως επιφανειακούς κυματισμούς ή απλά ως κύματα Οι διαταραχές αυτές της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας μπορεί να αφίλονται σε διάφορα αίτια όπως είναι ο άνεμος, όπως είναι ο σεισμί που μπορεί να συμβούν και να προκαλέσουν τις μεταβολές της στάθμις του θαλάσσιου πυθμένα ή κατολιστήσεις μεγάλων τμήματων εδάφους εντός της θαλάσσιας μάζας να αφίλονται σε θύελλες δηλαδή σε μετεραιολογικές μεταβολές της ατμονσφαιρικής πίεσης και να αφίλονται και στην αστρονομική παλήρια δηλαδή σε αυτό που και λίγο πριν ονόμασα και θα το δούμε λίγο αργότερα ενώ σε κάποια επόμενα μαθήματα στις μεταβολές της θαλάσσιας, της βαρύτας, του πεδίου βαρύτας της γης λόγω της περιστροφής της γης γύλου από τον ήλιο και της ελήνης γύρω από τη γη. Έχουμε λοιπόν από διάφορα αίτια τέτοιου είδους κύματα, τέτοιου είδους επιφανειακούς κυματισμούς δηλαδή διαταραχές της ελεύθερης επιφάνειας θάλασης. Αυτοί που είναι και οι πιο διαδεδομένοι και που συνήθως μας απασχολούν πιο πολύ στην μελέτη ενός τεχνικού έργου που θα φτιάξουμε στην ανοιχτή θάλασσα ή στον παράκτυο χώρο, είναι οι κυματισμοί που οφείλονται στον άνεμο. Είναι και αυτοί οι οποίοι έχουν μικρή χρονική κλίμακα της τάξης μερικών δευτερολέμφτων και εμφανίζουν την μεγαλύτερο περιεχόμενο ενέργειας σε σχέση με τους άλλους κυματισμούς, δηλαδή τους κυματισμούς που οφείλονται σε άλλα αίτια. Άρα κυρίως θα ασχοληθούμε στα επόμενα με τα κύματα που οφείλονται στον άνεμο, με τους επιφανειακούς κυματισμούς δηλαδή που οφείλονται στον άνεμο ή απλά όπως ονομάζονται με τους ανεμογενείς κυματισμούς. Στο σχήμα εδώ φαίνεται μία γραφική απεικόνιση της στάθμις της θάλασσας. Η μπλε γραμμή λοιπόν στο διάγραμμα αυτό είναι η στάθμη της θάλασσας όταν υπάρχει αυτή η διαταραχή σε σχέση με τη στάθμη της θάλασσας που έχουμε όταν η θάλασσα είναι ακίνητη δηλαδή όταν δεν υπάρχει διαταραχή και η επιφάνεια της θάλασσας αντιστοιχεί μες στην κατάσταση ηρεμίας σε αυτό το οριζόντιο επίπεδο. Η γραμμή αυτή λοιπόν είναι η μεταβολή της στάθμης της θάλασσας όταν επικρατεί κύμα. Για να χαρακτηρίσουμε το κύμα χρησιμοποιούμε διάφορες παραμέτρους. Μία από τις παραμέτρες που χρησιμοποιούμε είναι το ύψος του κύματος. Το ύψος του κύματος είναι η απόσταση ανάμεσα στο χαμηλότερο σημείο του κύματος και στο υπόμενο υψηλότερο σημείο δηλαδή αυτή η κατακόρυφη απόσταση ανάμεσα στο χαμηλή στάθμη της θάλασσας όταν υπάρχει ο κυματισμός και στην υψηλή στάθμη της θάλασσας είναι το ύψος του κύματος, είναι δηλαδή η απόσταση ανάμεσα στην κορυφή του κύματος και στην κοιλιά του κύματος. Άλλο μέγεθος του κύματος είναι η απόσταση που συνδέει δύο γειτονικές κορυφές. Αυτή είναι μια κορυφή, η γειτονική της είναι αυτή η κορυφή. Η απόσταση που συνδέει λοιπόν δύο γειτονικές κορυφές, το μήκος αυτής της απόστασης είναι το μήκος του κύματος. Οι επόμενοι παράμετρος του κύματος που χρησιμοποιούμε και για να το περιγράψουμε είναι η ταχύτητα με την οποία ταξιδεύει το κύμα. Την ταχύτητα του κύματος, για να την γίνει κατανοητό, είναι η ταχύτητα με την οποία βλέπουμε να μετακινούνται οι κορυφές ή αντίστοιχα οι κοιλιές του κύματος. Αυτό που αντιλαμβάνει λοιπόν ένας παρατηρητής που βρίσκεται σε ένα σταθερό σημείο, βλέπει την επιφάνεια της θάλασσας και βλέπει τις κορυφές του κύματος ή αντίστοιχα τις κοιλιές του κύματος να ταξιδεύουν. Η ταχύτητα με την οποία ταξιδεύουν οι κορυφές του κύματος ή οι κοιλιές του κύματος είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Προφανώς το κύμα χαρακτηρίζεται για την κατεύθυνση που έχει, δηλαδή προς τα που ταξιδεύει στην ανοιχτή θάλασσα και η χρονική κλίμακα με την οποία βλέπουμε να γίνονται οι μεταβολές, ή παρατηρούμε ή μετρούμε να γίνονται αυτές οι μεταβολές στις στάθμεις της θάλασσας, δηλαδή η χρονική κλίμακα με την οποία σε ένα σταθερό σημείο βλέπουμε τον χρόνο που χρειάζεται να περάσει η κορυφή έως την επόμενη κορυφή ή η κοιλιά έως την επόμενη κοιλιά. Αυτή είναι η χρονική κλίμακα και στην περίπτωση που έχουμε περιοδικά κύματα, η περίοδος του κύματος. Το μήκος του κύματος και η περίοδός του συνδέονται από αυτή τη σχέση που λέει ότι το μήκος του κύματος είναι ίσο με ταχύτητα διάδοση του κυματισμού επί την περίοδό του. Εκτός από την περίοδο μπορεί να χρησιμοποιήσει κανένας που έχει μονάδες χρόνου προφανώς εδώ, μπορεί να χρησιμοποιήσει κανένας την κυκλική συχνότητα, το 1 προς τε, το 1 προς την περίοδο, ή τη γωνιακή συχνότητα που είναι το 2π επί τε. Και βέβαια ενδιαφέρει σε αρκετές περιπτώσεις εκτός από την ταχύτητα διάδοσης του κύματος, αυτό που συμβολίζεται με σε, και η ταχύτητα που έχουν το νερό κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας. Διότι καθώς υπάρχει αυτή η διαταραχή στην στάθμη της θάλασσας, μπορεί, θα δούμε στη συνέχεια, να αναπτύσσονται και ταχύτητες κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας και επομένως τα μόρια του νερού ή αν θέλετε τα σωματίδια του νερού, οι σωματίδια που υπάρχουν μέσα στο νερό παρασύρονται αντίστοιχα με την ταχύτητα που έχει η θαλάσσια μάζα λόγω αυτού του κύματος. Το φαινόμενο στην πραγματικότητα ως φυσικό φαινόμενο που συμβαίνει στον πραγματικό θάλασσιό χώρο είναι ατριδιάστατο φαινόμενο, άρα αν θέλαμε να το περιγράψουμε, δηλαδή να περιγράψουμε τις ταχύτητες που εμφανίζονται κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας, θα έπρεπε σε ένα καρτεσιανό σύστημα συνδεταγμένων, σε ένα ορθογώνιο σύστημα συνδεταγμένων x, y, z, με τους δύο άξονες x και y ή αν θέλετε x και y στο οριζόντιο επίπεδο και τον z στο κατακόρυφο, να έχουμε αντίστοιχα τρεις συνισθώσεις της ταχύτητας. Στα πιο πολλά παραδείγματα, στις πιο πολλές θεωριτικές αντιμετωπίσεις του φαινομένου αυτού των ανεμογενών κυματισμών, γίνεται η παραδοχή ότι έχουμε ένα άπειρο πεδίο κατά τη μία οριζόντια διεύθυνση, κατά την ψή, άρα αντιμετωπίζουμε το φαινόμενο ως ένα διδιάστατο φαινόμενο, δηλαδή έχουμε τους κυματισμούς να διαδίδονται στο οριζόντιο επίπεδο και κατά τη μία διεύθυνση του οριζόντιου επίπεδου οι κυματισμοί να παραμένουν αναλείωτοι και να μεταβάλλονται μόνο κατά τη διεύθυνση του άξονα x και κατά του κατακόρυφου του κάθετος αυτούν άξονα, κατά την κατακόρυφο του z. Αν δούμε στον διδιάστατο χώρο ή αν θέλετε στο οριζόντιο επίπεδο τους κυματισμούς, τους διδιάστατους αυτούς τους κυματισμούς, αυτό που ξεχωρίζει είναι η γραμμή των κορυφών, αυτή η κίτρινη γραμμή που βλέπετε στο διάγραμμα που είναι η κύματο κορυφή, το αποτύπωμα της κορυφής του κύματος σε όλο το οριζόντιο επίπεδο, οι διάφορες κυματοκορυφές λοιπόν του κύματος και αντίστοιχα η διεύθυνση στην οποία διαδίδεται ο κυματισμός, που στην ουσία δεν είναι τίποτα άλλο παρά είναι η κάθετος στην κύματο κορυφή, τουλάχιστον σε περιοχές που ο κυματισμός είναι αδιατάραχτος, αυτή η κάθετος στην κυματοκορυφή θα τη δείτε να ορθογόνια ή ορθογονική γραμμή και στην ουσία σηματοδοτεί τη διεύθυνση στην οποία διαδίδεται αυτός ο κυματισμός. Ποιες είναι οι παράμετροι που χαρακτηρίζουν το κύμα και θα δούμε πού μας χρησιμεύουν αυτοί οι παράμετροι για να φτάσουμε από αυτές ή από τα μεγέθη αυτών των παραμέτρων στις θεωρίες που μπορεί να χρησιμοποιήσει κανένας για να περιγράψει αυτούς τους κυματισμούς. Να πω αυτοίς αμέσως θα το δούμε στη συνέχεια ότι όταν μιλάμε για θεωρία περιγραφής των κυματισμών δεν είναι τίποτα άλλο παρά είναι κάποιες αλγευρικές σχέσεις, μαθηματικές σχέσεις με τις οποίες μπορεί να περιγράψουμε αυτήν την διαταραχή της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας, το πώς δηλαδή αυτός ο κυματισμός, τα χαρακτηριστικά που έχει αυτός ο κυματισμός και είπα λίγο πριν ποιά είναι τα χαρακτηριστικά του, το ύψος του κύματος το μήκος του κύματος και η περίοδος του και η ταχύτητα διάδοσής του και στη συνέχεια θα δούμε πώς αυτό συνδέεται αφενός με το αίτιο που το προκαλεί στη συγκεκριμένη περίπτωση με τον άνεμο, αλλά το πιο σημαντικό εδώ που μιλάμε για τις θεωρίες είναι να δούμε πώς συνδέονται αυτά τα χαρακτηριστικά με το βάθος της θάλασσας στην οποία εμφανίζεται αυτός ο κυματισμός και πώς αυτά τα χαρακτηριστικά αλλάζουν όταν αλλάζει το βάθος γιατί ο κυματισμός δημιουργείται σε μια θαλάσσια περιοχή και διαδίδεται αφού η θάλασσα είναι και το νερό εκεί, είναι ένα συνεχές μέσο διαδίδεται προς όλες τις διευθύνσεις μέσα στο θαλάσσιο χώρο. Οι παράμετροι λοιπόν που χρησιμοποιούμε για να χαρακτηρίσουμε το κύμα είναι τρεις. Είναι καταρχήν ο λόγος του ύψους του κύματος προς το βάθος της θαλάσσιας περιοχής στην οποία εμφανίζεται, είναι το βάθος της θάλασσας προς το μήκος του κύματος, το βάθος της θάλασσας στην οποία εμφανίζεται και το μήκος του κύματος, ξαναθυμίζω μήκος του κύματος είναι η απόσταση ανάμεσα σε δύο γειτονικές κορυφές και τέλος είναι η καμπυλότητα του κύματος, είναι δηλαδή ο λόγος του ύψους του κύματος προς το μήκος του κύματος, αυτό ονομάζεται ως καμπυλότητα του κύματος. Ως προς το πρώτο λόγο που είναι το ύψος του κύματος προς το βάθος της θάλασσας. Ανάλογα με το μέγεθος λοιπόν αυτό που έχει το ε, οι κυματισμοί διακρίνονται ως απειροστού πλάτους και ως πεπερασμένου πλάτους. Ως απειροστού πλάτους λέμε όταν αυτός ο λόγος είναι πάρα πολύ μικρός και ως πολύ μικρό εννοούμε κάτι που είναι κάτω από το 10 στη μειον 1, ενώ ως πεπερασμένου πλάτους τους κυματισμούς που το μέγεθος αυτό είναι πάνω από 10 στη μειον 1. Ως προς τον δεύτερο λόγο που συμβολίζεται με β, τον λόγο του βάθος της θάλασσας ως προς το μήκος του κύματος, οι κυματισμοί χαρακτηρίζονται ως βραχείς ή ως μακροί κυματισμοί. Ως βραχοί κυματισμοί είναι αυτοί που ο λόγος β βάθος προς μήκος κύματος είναι μικρότερος από το 10 στη μειον 2, ενώ ως μακροί κυματισμοί όταν ο λόγος β είναι μεγαλύτερος από το 10 στη μειον 2. Υποτίθεται ότι και στη μία περίπτωση και στην άλλη εννοώ και για τον λόγο ε και για τον λόγο β, είναι προφανές ότι είχε εκφράσει κανένας τα δύο μεγέθη, στην πρώτη περίπτωση το ύψος και το βάθος και στη δεύτερη περίπτωση το βάθος και το μήκος του κύματος, στις ίδιες μονάδες, δηλαδή είναι μέτρα, εκατοστά ή χιλιοστά ή οτιδήποτε άλλο, αλλά στις ίδιες μονάδες και οι δύο λόγοι για να κάνει τη διαίρεση και να τον κατατάξει είτε στην περιοχή του απειροστού υπεπερασμένου ή στην περιοχή των βραχέων ή των μακρών κυματισμών. Και τέλος η καμπυλότητα, το R, ο λόγος δηλαδή του ύψους του κύματος ως προς το μήκος του κύματος, είναι ένας λόγος που χαρακτηρίζει την ευστάθεια του κύματος, την ευστάθεια της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας. Θα δούμε λοιπόν ότι όταν ο λόγος αυτός υπερβεί κάποιες τιμές, το κύμα χάνει την ευστάθειά του και εμφανίζεται το φαινόμενο που θα δούμε αργότερα, το φαινόμενο της τράφησης των κυματισμών. Είπαμε και λίγο πριν ότι οι πιο διαδεδομένοι λόγω των αιτείων που υπάρχουν κυματισμοί στη φύση είναι αυτοί που οφείλονται στον άνεμο ή ανεμογενείς κυματισμοί, αν θέλετε οι επιφανειακοί κυματισμοί που οφείλονται στον άνεμο ή τα ανεμογενεί κύματα, όπως είπαμε, με τα οποία θα ασχοληθούμε στη συνέχεια. Αυτοί οι κυματισμοί λοιπόν μπορούν να περιγραφούν με αυτό που ονομάζεται και θα δούμε στη συνέχεια τι περιλαμβάνει, την κλασική θεωρία των κυματισμών ή θεωρία κυματισμών αίειρη ή θεωρία κυματισμών στόκ πρώτης τάξης, αυτές είναι ονοματολογίες της θεωρίας που θα δούμε στη συνέχεια, θεωρίες λοιπόν που περιγράφουν αυτό που λέμε στην αρχή, τους γραμμικούς κυματισμούς απειροστού πλάτος. Δηλαδή είναι κυματισμοί καταρχήν στους οποίους ο λόγος ε χ προς δ, δηλαδή ύψος κύματος προς βάθος θάλασσας είναι πολύ μικρός και αντίστοιχα ο λόγος ύψος του κύματος προς μήκος του κύματος έχει κι αυτός μικρές τιμές. Αυτή η κυματισμή λοιπόν είναι η λεγόμενη γραμμική κυματισμή απειροστού πλάτος. Η θεωρία που θα δούμε πώς διατυπώνεται, δηλαδή σε ποιες εξώσεις καταλήγει, δέχεται ότι η θάλασσα στην οποία εμφανίζονται αυτή η κυματισμή είναι μια θάλασσα με σταθερό βάθος. Το φαινόμενο είναι όπως το είπα και λίγο πριν διδιάστατο φαινόμενο, δηλαδή εξελίσσεται στη διεύθυνση την χή που ταυτίζεται με τη διεύθυνση που κινείται ο κυματισμός και την κάθεται σε αυτή, κατά την έννοια της κατακορύφου διεύθυνσης Z. Κατά τη διάσταση του οριζόντιου επίπεδου οι κυματισμοί αυτοί παραμένουν αναλείωτοι. Ότι το νερό, η θάλασσα δηλαδή στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι ένα τέλειο ρευστό, έχουμε αστρόβηλη κίνηση και ότι το νερό αυτό, η θάλασσα αυτή μάζα, η δάτινη αυτή μάζα, είναι ένα συμπιεστό ρευστό, δηλαδή δεν έχουμε συμπιεστότητα αυτού του ρευστού. Κάτω από αυτές λοιπόν τις παραδοχές ανάπτυξης αυτών των κυματισμών, ισχύει η γραμμική θεωρία των κυματισμών. Τι λέει αυτή η γραμμική θεωρία των κυματισμών, ότι υπάρχει μία συνάρτηση, η συνάρτηση δυναμικού, τη συμβολίζουμε εδώ με φ κεφαλαίο. Παράγωγοι της συνάρτησης αυτής αποτελούν την ταχύτητα, η πρώτη της παράγωγος προς χ είναι η ταχύτητα κατά τη διεύθυνση του άξων χ, ενώ η παράγωγος του δυναμικού ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση ζ είναι η κατακόρυφη ταχύτητα της μεταβολής της θαλάσσιας μάζας λόγω του κυματισμού. Και για αυτή τη συνάρτηση δυναμικού, τη φ κεφαλαίο, που η μονάδας της είναι μέτρα στο δεδράγωνο ένα δευτερόλεπτο, ισχύει στο συγκεκριμένο πεδίο, σε αυτό το πεδίο που αναπτύσσονται η γραμμική κεματισμία πυροστού πλάτους που η ροή είναι αστρόβυλη και το ρευστό είναι ασυμπίεστο, ισχύει η εξίσωση λαπλάς που είναι αυτή που εμφανίζεται εδώ, που λέει η δεύτερη παράγωγος ως προς χ συν τη δεύτερη παράγωγος ως προς ζ της συνάρτησης δυναμικού είναι ίσον με μηδέν. Αυτή είναι λοιπόν η εξίσωση λαπλάς η οποία ισχύει στο θαλάσσιο αυτό χώρο, στο θαλάσσιο αυτό πεδίο, στο οποίο αναπτύσσονται οι γραμμικοί κεματισμοί. Και οι οριακές συνθήκες γιατί αυτό το πεδίο στο οποίο αναπτύσσονται, εμφανίζονται αυτοί οι κεματισμοί και επομένως στο πεδίο στο οποίο αναζητούμε τα χαρακτηριστικά αυτών των κεματισμών που είδαμε, που αναφέραμε λίγο πριν, τους γραμμικούς κεματισμούς. Υπάρχουν οριακές συνθήκες και αυτές είναι τα δύο όρια του πεδίου, το πάνω όριο που είναι η ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας και το κάτω όριο αυτού του πεδίου που είναι ο θαλάσσιος πυθμένας. Αυτές είναι λοιπόν οι δύο συνθήκες που ισχύουν στο πάνω όριο, στην επιφάνεια της θάλασσας και στο κάτω όριο, στον πυθμένα της θάλασσας. Στην επιφάνεια της θάλασσας στην ουσία λέει ότι ισχύει η εξίδουση Μπερνούλη, αυτό το ΔΕΦΤΕΤΕΣ είναι ΖΕΠΙΖΕΤ, ίσον σταθερό στην ουσία ισχύει η εξίδουση Μπερνούλη στην ελεύθερη επιφάνεια και αντίστοιχα ότι η κατακόρυφη συνισθόσα της ταχύτητας, της ταχύτητας με την οποία κινείται το νερό, στο πάνω όριο, στην ελεύθερη επιφάνεια δεν είναι τίποτα άλλο παρά η μετατόπιση της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας, δηλαδή της μεταβολής της στάθμις της θάλασσας. Το η εδώ συμβολίζει την μεταβολή της στάθμις της θάλασσας πάνω από το οριζόντιο επίπεδο στο οποίο θα βρισκόταν η στάθμη της θάλασσας όταν δεν υπήρχε το εξωτερικό αίτιο το οποίο προκαλούσε αυτούς τους κυματισμούς. Και στο κάτω όριο, στον πυθμένα της θάλασσας, η συνθήκη αυτή, η οριακή συνθήκη λέει ότι η ταχύτητα, η κατακόρυφη ταχύτητα, η κατακόρυφη συνστώσα της ταχύτητας, για να είμαι ακριβής, είναι ίσον με μηδέν εκεί όπου το βάθος της θάλασσας είναι ίσο με το βάθος το οποίο βρίσκεται ο θαλάσσιος πυθμένας. Αυτή η εξίσουση δυναμικού, λοιπόν, στην οποίαν ισχύει η εξίσουση λαπλάς και ισχύουν αυτές οι συνθήκες στην ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας και στις αντίστοια οριακές συνθήκες στον πυθμένα της θάλασσας, ίσουτε με αυτή την παράσταση που βλέπετε τώρα, όπου βλέπετε το βάθος, ίσουτε με αυτή την παράσταση που βλέπετε εδώ, στην οποίαν ειπισέρχονται οι εξής παράμετρη. Το δυναμικό λοιπόν αυτό, η παράγωγος των οποίων θα μας δώσει τις ταχύτητες, την οριζόντια συνισθόσα και την κατακόρυφη συνισθόσα με την οποίαν κινείται το νερό, περιγράφεται από αυτή την εξίωση. Στην εξίωση αυτή, λοιπόν, μία από τις παραμέτρους είναι το ύψος του κύματος, το H κεφαλαίο, το J η επιτάχηση της βαρύτητας, το σίγμα που είναι στον παρανομαστή του πρώτου μέλους είναι η γωνιακή συχνότητα, δηλαδή είναι συνάρτηση της περιόδου του κύματος, αφού η γωνιακή συχνότητα σίγμα είναι το 2π προς τε, όπου τεει περίοδος του κύματος. Στο δεύτερο τύμα της εξίσωσης, το οποίο είναι στον αρθμητή, έχει ένα υπερβολικό συνειμήτωνο και στον παρανομαστή ένα υπερβολικό συνειμήτωνο επίσης. Επισέρχεται η παράμετρος D που είναι το βάθος της θάλασσας, το Z είναι το σημείο στο οποίο βρισκόμαστε σε σχέση με την ελεύθερη επιφάνεια, με το σημείο 0 στο οποίο βρίσκεται η ελεύθερη επιφάνεια όταν δεν υπάρχει το αίτιο, και το K που είναι ο λεγόμενος αρθμός του κύματος, το K η λατινικό εδώ, K, ο αρθμός του κύματος στον οποίο συσσούται με το 2π προς L, όπου L κεφαλαίω το μήκος του κύματος. Και τέλος ο τελευταίος όρος αυτής της συνάρτησης είναι ένας τριγωνομετρικός αρθμός, το ημύτωνο αυτής της γωνίας Kx-ΣΤ, το K και το Σ το εξηγήσαμε λίγο πριν, το Χ είναι η χωρική μεταβολή, το πώς μεταβάλλεται λοιπόν το κύμα στον χώρο και το Τ εδώ είναι πώς μεταβάλλεται το κύμα στον χρόνο. Να δείτε μερικές φορές κάποια από τα συγγράμματα ή και αλλού παρακάτω σε κάποιες διαφάνειες που θα δούμε στη συνέχεια, ότι αντίτως του όρου αυτού εδώ μέσα στο ημύτωνο του Kx-ΣΤ να δει κανένας μόνο ένα αρθμό το Θ, αυτός ονομάζεται γωνία φάσης του κυματισμού, είναι δηλαδή το Kx-ΣΤ ή αν θέλετε πλήρως αναπτυγμένο είναι το 2ΠΧΠ-2ΠΤ μικρόν προς τε κεφαλαίο και ξαναλέω και πάλι η Χ είναι η μεταβολή στον χώρο και Τ είναι η μεταβολή στον χρόνο. Για αυτό το κύμα λοιπόν, το οποίο είναι ένα απλό ημητονοϊδές προωθούμενο κύμα με ταχύτητα Σ και περίοδο Τ, η μεταβολή της στάθμισης της θάλασσας δίνεται από αυτή την απλή τριγωνομετρική εξίωση, χάτω ύψος του κύματος και μέσα στην παρένθεση του συνημητώνου είναι η γωνία φάσης η Θ. Αυτή λοιπόν είναι οι δύο βασικές εξισώσεις της γραμμικής θεωρίας των κυματισμών, οι δύο εξισώσεις που περιγράφουν αυτά τα κύματα που παρουσιάζονται στον θαλάσσιο χώρο με μικρό ύψος κύματος σε σχέση προς το μήκος, δηλαδή αυτή η συνθήκη του μικρού ύψους σε σχέση με το μήκος και του μικρού βάθους σε σχέση με το μήκος του κύματος της συγκεκριμένης θαλάσσιας περιοχής. Στη διαφάνεια αυτή βλέπετε τις υπερβολικές συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται στην περιγραφή των διαφόρων παραμέτρων του κύματος, μια υπενθύμηση από τις υπερβολικές τριγμωμετρικές συναρτήσεις, δηλαδή του υπερβολικού αιμίτωνο της παράστασης χ, του υπερβολικού συνημίτωνο της παράστασης χ και υπερβολική εφαπτομένη της ποσότητας χ, που είναι συναρτήσεις του αι στην χ αντίστοιχα και του αι στην μειον χ που χρησιμοποιούνται στην περιγραφή αυτών των εξισώσεων του αρμονικού κύματος στη θαλάσσια περιοχή και δηλαδή στη γραφική παραστάση των τριών υπερβολικών τριγμωμετρικών συναρτήσεων του υπερβολικού συνημιτώνου και της υπερβολικού αιμιτώνου και της υπερβολικής εφαπτομένης. Αν δει κανένα σε ένα βιβλίο θαλάσσια συντραβλητής, ακτομηχανικής κτλ κυματομηχανικής θα δει ότι εκτός από τη γραμμική θεωρία των κυματισμών που είναι και οι πιο διαδρασμένοι και οι πιο παλιά που αναπτύχθηκε για την περιγραφή αυτών των φαινομένων και που εξακολουθεί να χρησιμοποιείται παρά ότι θα δούμε στη συνέχεια ότι έχει κάποιες ατέλειες, υπάρχουν και άλλες θεωρίες, θα δούμε στη συνέχεια κάποιες από αυτές, που περιγράφουν αυτούς τους κυματισμούς. Εδώ είναι ένα διάγραμμα που δείγνει το εύρος ισχύος αυτών των θεωριών, των κυματικών θεωριών. Η περιοχή λοιπόν στην οποία αντιστοιχεί η γραμμική θεωρία κυματισμών, η θεωρία air ή αν θέλετε η θεωρία Stokes πρώτης τάξης, είναι αυτή η περιοχή του διαγράμματος. Εδώ είναι ένα διάγραμμα στο οποίο είναι ταξινομιμένοι οι κυματισμοί σε σχέση με το ύψος του κύματος προς την περίοδο. Στον άξονα δηλαδή της τον ψ είναι ο λόγος ύψος του κύματος και στον παρανομαστή το J επί τάχης βαρύτητας επί το T στο τετράγωνο η περίοδος του κύματος το τετράγωνο. Ενώ στον άξονα τον χ είναι το βάθος της τάλασσας και στον παρανομαστή πάλι το J επί τετράγωνο. Κατατάσσοντας λοιπόν τους κυματισμούς με βάση τις τιμές που έχουν σε αυτό το διάγραμμα, αυτή η περιοχή εδώ η κάτω δηλαδή δεξιά γωνία αυτού του διαγράμματος είναι περιοχή που αντιστοιχεί στους κυματισμούς που μπορούν να περιγραφούν από την γραμμική θεωρία των κυματισμών. Ενώ αν βρισκόμαστε σε άλλες περιοχές αυτού του διαγράμματος, δηλαδή έχουμε κυματισμούς σε διαφορετικά βάθη θάλασσας ή με διαφορετικά ύψη και τους κατατάσσει σε κάποια από τις άλλες περιοχές αυτού του διαγράμματος, η γραμμική θεωρία των κυματισμών δεν είναι η καλύτερη που μπορούν να χρησιμοποιήσουμε για την περιγραφή τέτοιου είδους κυματισμών. Άρα λοιπόν λίγο πριν ότι η γραμμική θεωρία των κυματισμών καταλήγει σε αυτή την απλή τριγωνομετρική εξίωση με την οποία περιγράφει την μεταβολή της στάθμισης της θάλασσας όταν υπάρχει ένα τέτοιο είδους κύμα στην ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας. Αυτή την τριγωνομετρική εξίωση μπορούμε να την παραστήσουμε γραφικά είτε όπως είναι το πάνο διάγραμμα είτε όπως είναι το κάτω διάγραμμα ανάλογο δηλαδή αν την εκφράσουμε ως συνάρτηση του χρόνου δηλαδή το χ εδώ είναι ο χρόνος, άρα θεωρούμε, συγγνώμη ο χώρος άρα εδώ είναι το σίγμα επί τε το θεωρούμε ότι είναι σταθερό και δεν μεταβάλλεται άρα έχουμε στην ουσία την απεικόνιση του συνειμητώνου ως προς την μεταβολή του χ δηλαδή του χώρου της απόστασης ενώ στο κάτω διάγραμμα είναι η απεικόνιση της στάθμισης της θάλασσας όσον αφορά τον χρόνο δηλαδή το κ επί χ το κ επί χ έμεινε σταθερό. Και άλλαξε μόνο το σίγμα επί τε ως προς το χρόνο. Ξαναλέω και πάλι το κ είναι το 2π προς ε και το σίγμα είναι το 2π προς τε. Αν θέλετε η πάνω είναι μια χωρική μεταβολή του κύματος και το κάτω είναι μια χρονική μεταβολή του κύματος ή εδώ είναι πως θα έβλεπε εδώ είναι μια στιγμιαια απεικόνιση της στάθμισης της θάλασσας δηλαδή αν πέραμε μια φωτογραφία κάποια στιγμή στη στάθμιση της θάλασσας θα βλέπαμε λοιπόν τα κύματα ως προς το χώρο ενώ εδώ είναι πως θα βλέπε ένας ακίνητος παρατηρητής να μεταβάλλετε η στάθμη της θάλασσας λόγω των κυμάτων που περνούν μπροστά από το οπτικό πεδίο του παρατηρητή. Άρα εδώ έχουμε μία μεταβολή χρονική και εδώ μία μεταβολή χωρική. Άρα και στη μία και στην άλλη μεταβολή η κατακόρυφη απόσταση ανάμεσα στην κορυφή και την κοιλιά του κύματος είναι το ύψος του κύματος το χ κεφαλαίο ενώ στην χωρική απεικόνιση του κύματος η απόσταση ανάμεσα σε δύο κορυφές ή σε δύο κοιλίες είναι το μήκος του κύματος ενώ στην κάτω απεικόνιση ανάμεσα στις δύο κοιλίες ή ανάμεσα στις δύο κορυφές του κύματος εδώ είναι η απεικόνιση ως προς το χρόνο, η απόσταση αυτή λοιπόν είναι η περίοδος του κύματος. Έχετε λοιπόν τις δύο απεικονίσεις του κύματος στο χώρο και στο χρόνο. Θα μπορούσε βέβαια να κάνει κανένας μια μηχτή απεικόνιση του κύματος ως προς τη γωνία φάσης όπως την είχα πει λίγο πριν, τη γωνία θ δηλαδή το άθρισμα Κχ-ΣΤ, άρα με βάση τις τιμές που παίρνει αυτή η παράσταση θ ανάλογα με το ποιο είναι ο χώρος και ποιο είναι η απόσταση να αποτυπώσει το κύμα και εδώ λοιπόν είναι η απεικόνιση του κύματος ως προς τη μεταβολή της γωνίας θ. Βλέπει λοιπόν κανένας ότι όταν η γωνία θ είναι 0 έχετε την κορυφή του κύματος, όταν η γωνία θ είναι πιδεύτερα έχετε το κύμα, η στάθμη της θάλασσας να διέρχεται από την στάθμη ρεμίας εκεί που θα ήταν δηλαδή αν δεν υπήρχε κυματισμός. Το Ζ' με 0 λοιπόν που είναι αυτή η οριζόντια γραμμή. Όταν το θ είναι 3πιδεύτερα ξαναανέρχεται και φτάνει πάλι στο ίδιο επίπεδο ενώ όταν είναι πιδεύτερα είναι στην κατώτατη σημεία του δηλαδή στην κοιλιά του κύματος και αντίστοιχα συνεχίζει αυτό καθώς μεταβάλλεται η γωνία θ από 0 έως πολλά ακτίνια. Είπαμε ότι από την εξίσωση δυναμικού μπορεί να υπολογίσει κανένας από το δυναμικό παραγωγίζοντάς το μπορεί να υπολογίσει τις ταχύτητες, τις δύο συνισθώσεις της ταχύτητας του κύματος. Έτσι λοιπόν η οριζόντια ταχύτητα του κύματος είναι η παράγωγος ως προσχήτη του δυναμικού ενώ η κατακόρυφη είναι η παράγωγος του Φ ως προς το Ζ. Από την εξίσωση δυναμικού λοιπόν από τις αντίστοιχες παραγωγήσεις είτε ως προσχήτη είτε ως προζέτη προκύπτουν αυτές οι εξισώσεις της ταχύτητας, της οριζόντιας συνισθώσας και της κατακόρυφης συνισθώσας που και αυτές επίσης είναι συναρτήσεις του ύψους του κύματος, της περιόδου του κύματος, του μήκους του κύματος, του βάθους στην οποία αναπτύσσετε, του βάθους της θάλασσας που αναπτύσσετε αυτό το κύμα και της γωνίας φάσης που είναι ο τελευταίος όρος και στη μία και στην άλλη εξίωση. Άρα έχει κανένας αφού φτιάξαμε την εξίωση δυναμικού δηλαδή αφού η θεωρία των γραμμικών κυματισμών μας έδωσε την εξίωση με την οποία περιγράφεται το Φ, μπορούμε να έχουμε στη συνέγεια τις αντίστοιχες εξίωσες με τις οποίες περιγράφονται οι δύο συνισθώσες του νερού κάτω από την επίδραση του κύματος, οι οριζόντια συνισθώσα και οι κατακόρυφοι συνισθώσα της ταχύτητας λόγω ύπαρξης αυτού του κυματισμού. Και βέβαια παραγωγίζοντας και τις ταχύτητες ως προς τον χρόνο, όπως βλέπετε εδώ, μπορεί να έχουμε και τις αντίστοιχες εξισώσεις της επιτάχυνσης, την επιτάχυνση κατά την διεύθυνση του χ, την οριζόντια διεύθυνση δηλαδή που διαδίδεται το χύμα και αντίστοιχα την συνισθώσα της επιτάχυνσης κατά την κατακόρυφη, εδώ εκφρασμένη στο δεύτερο μέρος με τη γωνία φάση στη θ, που είπα και ξαναλέω και πάλι ότι το θ είναι το kx-σγτ, θα μπορούσε κανείς να βάλει στη θ, λοιπόν, αυτή την παράσταση και στη μία και στη δεύτερη εξίωση. Και το μεσαίο μέρος των εξισώσεων είναι πάλι υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις των αντίστοιχων παραστάσεων, όπου οι παράμετρες που αλλάζει από τη θέση που βρίσκεται κάθε φορά το κύμα είναι το βάθος της θάλασσας, της περιοχής στην οποία αναπτύσσεται αυτού του είδους ο κυματισμός. Εδώ μια γραφική απεικόνιση του κύματος σαν συναρτήση της γωνίας φάσης της θ δηλαδή. Βλέπει κανένας τι συμβαίνει με το στάθμι του κύματος όταν η γωνία θ έχει διάφορες τιμές και αντίστοιχα ποιες είναι οι τιμές της ταχύτητας και ποιες είναι τις επιτάχυνσεις των μωρίων του νερού κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας. Βλέπει κανένας λοιπόν ότι όταν το κύμα βρίσκεται στην κορυφή του όπως είναι εδώ, η μεν οριζόντια συνισθόσα της ταχύτητας έχει τη μέγιστη τιμή της και είναι θετική, η δεκατακόρυφη συνισθόσα η W είναι μηδενική. Αντίστοιχα στην ίδια θέση όταν το κύμα βρίσκεται στην κορυφή του εδώ λοιπόν και έχουμε αυτές τις συνθήκες όσον αφορά τις δύο συνισθόσες της ταχύτητας, οι αντίστοιχες συνισθόσες της επιτάχυνσης είναι η επιτάχυνση κατά το οριζόντιο επίπεδο είναι μηδενική και η συνισθόσα κατά την κατακόρυφη διεύθυνση έχει τη μέγιστη τιμή της και είναι αρνητική. Και αντίστοιχα πώς μεταβάλλεται όταν η γωνία φάσης βρίσκεται στα π δεύτερα π, τρία π και ούτω καθεξής και πώς μεταβάλλονται οι τιμές των δύο συνισθοσών της ταχύτητας στον πάνω γραμμή του πίνακα και οι τιμές της επιτάχυνσης των δύο συνισθοσών της επιτάχυνσης κατά κόρυφης και οριζόντιας στην κάτω γραμμή του πίνακα αυτού εδώ που βλέπετε. Θα μπορούσε κανένας έχοντας την εξίσωση που περιγράφει τις εξισώσεις μάλλον που περιγράφουν τις δύο συνισθόσες της ταχύτητας με την οποία κινείται το νερό κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας όταν υπάρχει αυτός ο γραμμικός κιματισμός να υπολογίσει ποια είναι η μετατόπιση που θα συμβεί καθώς τα μόρια του νερού, τα σωματίδια που είναι μέσα στο νερό κινούνται με βάση τις ταχύτητες που έχει η μάζα του νερού λόγω του κύματος, δηλαδή στην ουσία τι να κάνει να ολοκληρώσει την μετακίνηση αυτή που είναι το ου επί δε τε και αντίστοιχα το W επί δε τε στην περίοδο αφού το κύμα αυτό είναι περιοδικό και να ολοκληρώσει λοιπόν το ου δε τε και το W δε τε στην περίοδο του κύματος και έτσι να υπολογίσει τη συνολική μετατόπιση κατά την οριζόντια και την συνολική μετατόπιση κατά την κατακόρυφο η συνολική μετατόπιση κατά την οριζόντια συμβολίζεται εδώ με Ξ και η κατακόρυφη μετατόπιση δηλαδή το ολοκλήρωμα στην περίοδο του W επί δε τε συμβολίζεται εδώ με Ζ έτσι λοιπόν ολοκληρώνοντας τις δύο αυτές εξισώσεις που δίνουν την οριζόντια και την κατακόρυφη συνοιστώση της ταχύτητας σε μία περίοδο του κύματος υπολογίζει το Ξ και το Ζ και έχει αυτές τις δύο εξισώσεις πάλι έχουν το υπερβολικό τους τμήμα και την τριγωνομετρικό τους τμήμα οι δύο αυτές εξισώσεις και το πρώτος όρος είναι συνάρτηση του ύψους του κύματος της περίοδου και του μήκους έχει λοιπόν τις μετατοπίσεις του νερού λόγω ύπαρξης του κύματος. Αν δει κανένας την ολοκλήρωση αυτή δηλαδή τις τιμές αυτών των δύο παραμέτρων Ξ και Ζ θα δει και υπολογίσει λοιπόν αυτά τα ολοκληρώματα στη διάρκεια μίας περίοδου θα δει ότι αυτό στην ουσία δεν είναι τίποτα άλλο παρά μία κλειστή τροχεία που διαγράφουν τα μόρια του νερού, τα σωματίδια που είναι μέσα στο νερό και κινούνται με βάση στις ταχύτητες του νερού στη διάρκεια μίας περίοδου. Είναι αυτό λοιπόν η έλλειψη που περιγράφει αυτό εδώ το κινούμενο σημείο κατά τη διάρκεια μίας περίοδου. Αφού λοιπόν οι τροχιές που ακολουθούν τα σωματίδια, τα μόρια του νερού λόγω ύπαρξης αυτού του γραμμικού κύματος στην επιφάνεια της θάλασσας είναι κλειστές τροχιές σημαίνει ότι όταν εμφανίζονται αυτού του είδους οι κυματισμοί, δηλαδή αυτοί γραμμικοί κυματισμοί, αυτοί κυματισμοί που περιγράφονται από τη θεωρία πρώτης τάξης δεν υπάρχει μεταφορά μάζας κατά τη διεύθυνση που διαδίδεται ο κυματισμός. Ξαναλέω και πάλι αυτό προκύπτει αν ολοκληρώσουμε για μία περίοδο την μετατόπιση, την ταχύτητα ως προς το χρόνο στην οριζόντια και στην κατακόρυφη συνστώσα δηλαδή αν υπολογίσουμε το συνολικό δρόμο που διαγράφει ένα σωματίδιο που έχει αυτές τις ταχύτητες που προκύπτουν από τη γραμμική θεωρία των κυματισμών αυτός ο δρόμος, αυτές οι τροχιές που θα ακολουθήσουν αυτά τα σωματίδια είναι κλειστές τροχιές, είναι σαν αυτοί που φαίνεται εδώ σε αυτό το διάγραμμα. Άρα δηλαδή αν είχαμε, όπως δείγνει επίσης το σκίτσο αυτό, ένα αντικείμενο σε αυτό το μπουκάλι το οποίο είναι μισό βυθισμένο μέσα στο νερό και μισό είναι έξω και εμείς προφανώς θα βλέπαμε μόνο το κομμάτι το οποίο είναι έξω από το νερό, θα το βλέπουμε αυτό ανάλογα με το ποια είναι η ταχύτητα των σωματιδίων του νερού κατά την κατακόρυφη δηλαδή που το επηρεάζουν το κομμάτι του μπουκαλίου που είναι βυθισμένο μέσα στο νερό, θα το βλέπουμε αυτό να ταλατώνεται περί την θέση ισορροπίας χωρίς να μετακινείται στον χώρο. Δηλαδή να έχουμε ότι δεν υπάρχει μεταφορά μάζας κατά τη διεύθεση που διαδίδεται ο κυματισμός, γιατί κυματισμός διαδίδεται κατά τη φορά από αριστερά προς τα δεξιά στον πίνακα που βλέπουμε εδώ. Άρα η γραμμική θεωρία των κυματισμών οδηγεί στο να περιγράψει κύματα που όταν συμβαίνουν σε μια θαλάσσια περιοχή σημαίνει ότι δεν έχουμε μεταφορά μάζας. Όμως ξέρουμε τουλάχιστον από το φυσικό φαινόμενο που συμβαίνει στο θαλάσσιο χώρο και μπορούμε εύκολα να το παρατηρήσουμε ότι όταν συμβαίνουν κύματα στο θαλάσσιο χώρο έχουμε και μεταφορά μάζας για τις αντικείμενα που επιπλέον είναι μισοβυθισμένα σε αυτή τη θαλάσσια μάζα. Άρα η γραμμική θεωρία των κυματισμών δεν μπορεί να περιγράψει αυτό που πραγματικά συμβαίνει στο πραγματικό πεδίο που είναι η μεταφορά μάζας που συμβαίνει λόγω ύπαρξης του κύματος. Αυτό είναι μία από τις βασικές ατέλειες της γραμμικής θεωρίας των κυματισμών ή αν θέλετε ένα από τα φαινόμενα που δεν μπορεί αυτή η θεωρία να περιγράψει και γι' αυτό όταν διαπιστώθηκε αυτή η αν θέλετε ατέλειά της έχουν προκύψει και θεωρίες που μπορούν να περιγράψουν με κάποιον τρόπο και αυτό το φαινόμενο της μεταφοράς μάζας όταν στη θαλάσσια περιοχή υπάρχουν κυματισμοί. Από τη γραμμική θεωρία των κυματισμών και όλα αυτά που είπαμε λίγο πριν περί του δυναμικού και τα λοιπά των ταχυτήτων και της σχέσης που συνδέουν τις ταχύτητες με τα βάθη και τα λοιπά, προκύπτει και μία αξίωση η οποία στη βιβλιογραφία έχει καθιερωθεί να ονομάζεται σχέθηση διασποράς και είναι μία από τις βασικές εξώσεις που την χρησιμοποιούμε για να περιγράψουμε τις μεταβολές του κυματισμού καθώς αυτός μετακινείται από μία θέση Α σε μία θέση Β που έχει διαφορετικό βάθος. Αυτή η σχέση διασποράς, λοιπόν, συνδέει τα χαρακτηριστικά του κύματος με το βάθος της θάλασσας. Τα χαρακτηριστικά του κύματος, ξαναλέω, είναι το ύψος του κύματος, η περίοδος του, η ταχύτητα διάδοσης του, το μήκος του κύματος. Βέβαια αυτά συνδέονται μεταξύ τους. Έτσι, αν γνωρίζουμε την ταχύτητα διάδοσης και την περίοδο του κύματος, μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος του κύματος, γιατί το μήκος του κύματος είναι το γινόμενο ταχύτητα διάδοσης επί την περίοδο. Άρα, αν γνωρίζουμε τα δύο από αυτά, βρίσκουμε το τρίτο από αυτή την απλή σχέση που συνδέει το μήκος με την ταχύτητα διάδοσης και την περίοδο. Και το επόμενο που χρειαζόμαστε είναι να συνδέσουμε αυτά τα μεγέθη με το βάθος της θάλασσας. Αυτό το κάνει η εξίσουσις διασποράς. Η εξίσουσις διασποράς μπορεί να έχει μία από τις τρεις μορφές που βλέπετε σε αυτόν τον πίνακα και που η μία προκύπτει από την άλλη, αν κάνουμε αυτή την αντικατάσταση που λέει ότι η ταχύτητα διάδοσης είναι ο λόγος του μήκους προς την περίοδο ή ανάποδα αν θέλετε ότι το μήκος του κύματος είναι η ταχύτητα διάδοσης επί την περίοδο. Άρα από την πρώτη σχέση αν αντικαταστήσουμε λοιπόν όπου σε το 2π προς τε προκύπτει η δεύτερη η σε που είναι το ελ προς τε ή από τη δεύτερη προκύπτει η τρίτη που είναι το ελ που είναι η εξίσουσις διασποράς εκφρασμένη ως προς το ελ στο αριστερό μέλος, που είναι το μήκος του κύματος, η περίοδος και το βάθος της θάλασσας. Η τρίτη εξίσουσις είναι η πιο συνηθισμένη ίσως γιατί είναι και πιο εύκολα απομνημονεύσιμη ή η δεύτερη πιθανόν που λέει στην ουσία ότι το μήκος του κύματος είναι συνάρτηση αυτής της παράστασης τζέπι τε τετράγωνο δια δύο πι επί την επερβολική εφαπτομένη αυτού του παράσταση που είναι μέσα στο παρένθεση που είναι το 2π ελ το μήκος του κύματος και τε το βάθος της θάλασσας. Και μόνο από την παρατήρηση αυτών των εξώσων προκύπτει αυτό που είναι γραμμένο στο τέλος της διαφάνειας αυτής ότι η φασική ταχύτητα, η ταχύτερα λοιπόν διάδοσης του κύματος που ονομάζεται και φασική ταχύτητα είναι συνάρτηση της περιόδου δηλαδή όσο μεγαλύτερη είναι η περίοδος του κύματος τόσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα. Άρα ένας κυματισμός μεγαλύτερης περιόδου διαδίδεται γρηγορότερα από ένα κυματισμό μικρότερης περιόδου. Προκύπτει λοιπόν από αυτή εδώ την εξίωση. Και οι τρεις όμως αυτές εξώσεις που η μία προκύπτει από την άλλη είναι αυτό που ονομάζουμε στην κύματο-μηχανική σχέση διασποράς και δεν είναι τίποτα άλλο παρά είναι μία βασική σχέση με την οποία μπορούμε να υπολογίζουμε τα χαρακτηριστικά του κύματος ως συνάρτηση του βάθους της τάλασης. Δηλαδή αν ξέρουμε ένα κύμα την περίοδό του μπορούμε να υπολογίσουμε τι μήκος έχει σε μια συγκεκριμένη θέση που το βάθος είναι παραίωμα σχ. 10 μέτρα ή είναι 20 μέτρα. Θα δούμε στη συνέχεια πώς γίνεται αυτό. Από την εξίσωση διασποράς που είδαμε λίγο πριν προκύπτουν τα εξής ανάλογα με τις τιμές που παίρνουν τα χαρακτηριστικά μεγέθη του κύματος και τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά μεγέθη της τάλασης. Εδώ το μόνο χαρακτηριστικό μέγεθος της τάλασσας που επισέρχεται είναι το βάθος της τάλασης. Έτσι λοιπόν προκύπτει το εξής ότι θα μπορούσαμε να χωρίσουμε τη θάλασσα, τη θαλάσσια περιοχή μάζοστον για να είμαι ακριβής. Ξαναλέω και πάλι εδώ συζητάμε τώρα για μια θαλάσσια περιοχή η οποία έχει στην πραγματικότητα δύο διαστάσεις. Την διάσταση κατά την οποία διαδίδεται το χύμα, την χ, και τη διάσταση την κάθετη σε αυτό, τη ζ. Άρα στην ουσία οι μόνοι παράμετρος που επισέρχεται εδώ είναι το βάθος της τάλασσας. Με βάση λοιπόν το βάθος της τάλασσας και το κύμα που εμφανίζεται σε αυτή τη θαλάσσια περιοχή, μπορούμε να χωρίσουμε να διακρίνουμε τη θαλάσσια περιοχή σε δύο τεμίματα. Στο τμήμα όπου ο λόγος «δε προσέλ βάθος τάλασσας προς μήκος κύματος είναι μεγαλύτερος από ένα δεύτερο» και την περιοχή που το βάθος της τάλασσας προσέλ είναι μικρότερο από ένα δεύτερο. Στην πρώτη περιοχή, αυτή που ο λόγος «δε προσέλ είναι μεγαλύτερος από ένα δεύτερο», αν λύσει κανένας της μέχρι τώρα εξισώσης που είδαμε θα διαπιστώσει τα εξής. Ότι οι τροχές των σωματιδίων που είδαμε λίγο πριν ότι είναι κλειστές τροχές, σε αυτή την περιοχή είναι κύκλοι και μάλιστα ο κύκλος αυτός έχει τη μεγαλύτερη διάμετρό του για ένα σωματίδιο, για ένα σημείο της θάλασσας το οποίο βρίσκεται κοντά στην ελεύθερη επιφάνεια και γίνεται ο κύκλος όσο πηγαίνουμε προς τον πυθμένα μικρότερος. Ενώ στην περιοχή που το βάθος της θάλασσας προς το μήκος του κύματος είναι μικρότερο από τον δεύτερο, αυτές οι τροχές είναι ελλείψεις που όσο κατεβαίνουμε από την επιφάνεια προς τον πυθμένα, αυτές οι ελλείψεις γίνονται πιο πεπλατισμένες, δηλαδή μεγαλώνει ο άξονας κατά την διεύθεση που διαδίδεται το κύμα και μικρένει η έλλειψη ως προς το κατακόρυφη της διάστασης, δηλαδή προς την άξονα το Ζ. Αντίστοιχα προκύψουν και μεταβολές στις ενδιάμεσες περιοχές. Εδώ βλέπετε λοιπόν μια γραφική απεικόνιση αυτόν που έλεγα λίγο πριν. Η κάτω δεξιά παράσταση δείγνει μια περιοχή που το βάθος της θάλασσας είναι πολύ μεγάλο. Εδώ λοιπόν έχουμε δέ προ σελ μεγαλύτερο του εν δεύτερον. Η κίνηση, οι τροχές των κινήσεων που γίνονται στις διάφορες στάθμες κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια είναι κύκλοι και καθώς κατεβαίνουμε ο κύκλος αυτός μικρένει, η διάμετρος αυτού του κύκλου μικρένει. Στην περιοχή που το δε προ σελ είναι αρκετά μικρό, οι τροχές αυτές είναι κύκλοι και στην ενδιάμεση περιοχή οι τροχές ξεκινούν με κύκλους και σιγά σιγά γίνονται ελλείψεις. Από τη γραμμική θεωρία των κυματισμών και την εξίσουση διασποράς, θυμίζω η εξίσουση διασποράς γραμμένη έως προς την ταχύτητα είναι σε ταχύτητα διάδοση, όταν ο λόγος δε προ σελ είναι μικρότερος από 0,05 και είναι η περιοχή που χαρακτηρίζεται ως περιοχή ριχών νερών, τότε η υπερβολική εφαπτομένη του k προς δε είναι περίπου ίση με το k προς δε. Αν αντικαθιστώντας εδώ σε περιοχή ριχών νερών, δηλαδή περιοχή όπου το k προς ε είναι μικρότερο από 0,05, προκύπτει ότι η ταχύτητα διάδοσης αυτού του κύματος είναι ίση με τετραγωνική ρίζα j πιν δε. Δηλαδή η ταχύτητα διάδοσης του κυματισμού σε μια περιοχή που έχουν το βάθος της θάλασσας ως προς το μήκος του κύματος είναι πολύ μικρό, είναι μικρότερα από το 0,05, είναι συνάρτηση μόνο του βάθος της θάλασσας και όχι των άλλων χαρακτηριστικών του κύματος, δηλαδή του ύψουστο. Εδώ λοιπόν η ήτης περιόδουτο. Εδώ έχετε λοιπόν την ταχύτητα με την οποία διαδίδεται το κύμα σε μια περιοχή που ονομάζεται περιοχή των ριχών νερών, δηλαδή μια περιοχή που το βάθος της θάλασσας είναι μικρότερο από 0,05 ως προς το μήκος του κύματος. Ενώ αντίθετα σε μια περιοχή που το βάθος της θάλασσας είναι μεγάλο ως προς το μήκος του κύματος, δηλαδή είναι μεγαλύτερο από το λόγος Δεπροσέλ από το 0,05, τότε η υπερβολική εφαρτωμένη του ΚΕΠΕΝΤΕ είναι 1, οπότε απ' την εξίσωση διασποράς γραμμένη ως προς το μήκος του κύματος, αφού η υπερβολική εφαρτωμένη του ΚΕΠΕΝΤΕ είναι 1, προκύπτει ότι το μήκος του κύματος σε αυτή την περιοχή που ο λόγος Δεπροσέλ είναι μεγαλύτερο από 0,05 είναι τζ'ΕΠΕΝΤΕΤΡΑΓΟΝΟ δια 2π. Ο λόγος αυτός, ο όρος αυτός μάλλον τζ'ΕΠΕΝΤΕΤΡΑΓΟΝ δια 2π, θα τον δείτε να συμβολίζεται με l0 και είναι στην ουσία αυτό που ονομάζουμε το μήκος του κύματος, περιόδου τ, κεφαλαίο, στα βαθιά νερά. Το l0 λοιπόν είναι το μήκος του κύματος σε μια περιοχή βαθιών νερών ή αν θέλετε είναι το μήκος του κύματος στα βαθιά νερά. Και ισχύει στην περίπτωση που το βάθος της θάλασσας προς το μήκο του κύματος είναι μεγαλύτερο από 0,5. Που σημαίνει λοιπόν ότι εδώ σε αυτή την περιοχή που ο λόγος δε προσελ είναι μεγαλύτερος από 0,5 ότι το κύμα εμφανίζει ένα μήκος το οποίο είναι αμετάβλητο και είναι συναρτησιμόνο της περιόδου, δεν αλλάζει από το βάθος της θάλασσας. Να πω ένα παράδειγμα. Ας πούμε ότι έχετε ένα μήκος κύματος 100 μέτρα σε μια θαλάσσια περιοχή και το νε, για να είναι το νε προσελ μεγαλύτερο από 0,5 θα πρέπει το βάθος της θάλασσας να είναι μεγαλύτερο από 50. Ώστε 50 προς 100 να είναι 0,5, άρα οπουδήποτε το βάθος της θάλασσας είναι μεγαλύτερο από 50 μέτρα, έχετε το λόγο νε προσελ μεγαλύτερο από 0,5. Άρα σε μια θαλάσσια περιοχή με ένα μήκος κύματος 100 μέτρα, είτε βρίσκεστε σε περιοχή που το βάθος είναι 50 μέτρα, είτε το βάθος είναι 60 μέτρα, είτε 100 μέτρα, είτε 1.000 μέτρα, προκύπτει από αυτή την εξίδουση ότι το μήκος κύματος θα παραμένει αναλείωτο και θα είναι συνάρτηση μόνο της περιόδου και όχι του βάθους της θάλασσας. Αντίθετα σε περιοχή ριχών νερών, δηλαδή όταν το νε προσελ είναι μικρότερα από 0,05, η ταχύτητα θα είναι συνάρτηση μόνο του βάθους της θάλασσας και όχι του μήκους του κύματος ή της περιόδου του συγκεκριμένου κύματος που εμφανίζεται στην περιοχή. Και βέβαια η περιοχή που είναι ανάμεσα σε αυτά τα δύο όρια, μεταξύ 0,05 και 0,5 του λόγου νε προσελ, είναι αυτή που λέμε η περιοχή των ενδιάμεσων νερών. Εδώ σε αυτό το διάγραμμα και υπάρχουν αυτές οι διαφάνειες και στο ηλεκτρονικό υλικό του μαθήματος αλλά και στο βιβλίο, βλέπετε πώς απλοποιούνται οι αντίστοιχες εξισώσεις των ταχυτήτων και των μετατοπίσεων στην περιοχή των ριχών νερών και στην περιοχή των βαθιών νερών. Στην περιοχή των βαθιών νερών το βασικό είναι ότι το έλμη δεν είναι ΖΕΤΕΤΕΤΡΑΓΟΝΟ διαδιοπεί και αντίστοιχα πώς απλοποιούνται οι εξισώσεις της ταχύτητας και της μετατόπισης και αντίστοιχα στην περιοχή των ριχών νερών οι εξισώσεις της ταχύτητας και της μετατόπισης. Και υπομορφήν πινάκων. Στα βαθιά νερά είναι η περιοχή που το ΔΕΠΡΟΣΕΛ έχει τιμές από 0.5 έως άπειρο, έως πολύ μεγάλες τιμές. Ο λόγος ΚΑΠΑΝΤΕ, ο παράγοντας ΚΑΠΑΕΠΙΝΤΕ, ΚΑΠΑ είναι το 2πδλ έχει τιμές από π έως άπειρο και η υπερβολική εφαρπτωμένη αυτού του λόγου της παράστασης ΚΑΠΑΕΠΙΝΤΕ έχει τιμές 1 ανεξάρτα ποιο είναι το βάθος της θάλασσας. Στα ενδιάμασσα νερά είναι η περιοχή που είστε από 0.05 ο λόγος ΔΕΠΡΟΣΕΛ έως 0.5 το ΚΑΠΑΕΠΙΝΤΕ μεταβάλλεται από το π 10 έως π και η υπερβολική εφαρπτωμένη έχει μια απεπερασμένη τιμή του όρου ΚΑΠΑΕΠΙΝΤΕ ενώ στα ρηχά νερά που το ΔΕΠΡΟΣΕΛ είναι από 0 έως 0.05 η παράσταση ΚΑΠΑΕΠΙΝΤΕ είναι από 0 έως π10 και η υπερβολική εφαρπτωμένη είναι περίπου ίση με το ΚΑΠΑΕΠΙΝΤΕ δεν χρειάζεται κανένας να πάει στους πίνακες να υπολογίσει την υπερβολική εφαρπτωμένη του ΚΑΠΑΕΠΙΝΤΕ. Πώς υπολογίζει κανένας τα χαρακτηριστικά του κύματος όταν έχετε περιοχές συγκεκριμένου βάθους τάλασης. Για να κάνει αυτόν τον υπολογισμό κάποιος και θα δούμε ότι από κάπου πρέπει να ξεκινήσει, η βασική παράμετρος που πρέπει να ξέρει και είναι μια παράμετρος που θα δούμε στη συνέχεια ότι μπορεί να τη βρει όταν συσχετίσει το κύμα με το αίτιο που το προκαλεί είναι η περίοδος του κύματος. Άρα χρειάζεται τουλάχιστον αυτή την παράμετρο. Χρειάζεται λοιπόν να ξέρει την περίοδο του κύματος. Ας πούμε λοιπόν ότι μας έχει δοθεί, επειδή ξέρουμε το αίτιο που το έχει προκαλέσει, την περίοδο του κύματος που εμφανίζεται σε μια θαλάσσια περιοχή και μας ζητούν να υπολογίσουμε ποιο είναι το μήκος του κύματος στα βαθιά νερά και ποιο είναι το μήκος του κύματος σε μια συγκεκριμένη περιοχή που το βάθος της θάλασσας είναι ντε. Για να το κάνουμε αυτό πρέπει να επιλύσουμε την εξίσουση διασποράς. Είδαμε λίγο πριν ότι η εξίσουση διασποράς έχει τρεις μορφές, άρα θα πρέπει κανένας για να μην πελαγοδρομή να επιλέξει κάθε φορά την κατάλληλη μορφή που έχει η εξίσουση διασποράς. Η πιο εύχρηστη και πιο απλά ανταποκρινόμενη σε αυτό το ερώτημα που μας έχει τεθεί είναι να χρησιμοποιήσει κανένας την εξίσουση διασποράς που συνδέει το μήκος κύματος με την περίοδο και το βάθος. Είναι αυτή η εξίσουση που βλέπετε τώρα που λέει ότι L ίσον J ΕΠΤ τετράγωνο δια 2Π επί την υπερβολική επαφετωμένη του K ΕΠΤ. Για βαθιά νερά δηλαδή εκεί που ο λόγος δε προσέλ είναι μεγαλύτερος από το 0.5 είδαμε λίγο πριν ότι ισχύει αυτή η σχέση L ίσον J τετράγωνο δια 2Π. Αυτή είναι και η εξίσουση στην πραγματικότητα με την οποία μπορεί να απαντήσει κανένας στο πρώτο ερώτημα που λέει ποιο είναι το μήκος του κύματος στα βαθιά νερά. Τώρα το μήκος του κύματος υπολογίζεται από αυτή την απλή σχέση που συνδέει μήκος κύματος στα βαθιά νερά και περίοδο του κύματος που είναι το δεδομένο στη συγκεκριμένη περίπτωση. Για το βάθος δε προφανώς πρέπει να λύσει κανένας το σύνολο της εξίωσης. Αντικατέστησα στη δεύτερη εμφάνιση αυτής της εξίωσης τον αριθμό κ με την πλήρη του μορφή που είπα είναι το 2Π προ Σ, άρα μέσα στην παρένθεση της υπερβολικής εφαπτομένης είναι το 2Π πιντε προ Σ. Η εξίωση αυτή όπως βλέπετε έχει το εξής, ας πούμε επιτραπεί ο όρος μειονέκτημα για να μπορέσει να τη λύσει κανένας. Έχει το άγνωστο αυτό που μας ζητούν δηλαδή το μήκος του κύματος και στο αριστερά της μέλος και στο δεξιά της. Άρα έχουμε και το L αριστερά και το L δεξιά. Αυτή η εξίωση δεν έχει αναλυτική λύση, άρα ο μόνος τρόπος για να μπορέσει να τη λύσει κανένας είναι με δοκιμές. Τι εννοώ εδώ με δοκιμές, υποθέτει κανένας ότι στο συγκεκριμένο βάθος το μήκος του κύματος είναι ας πούμε 10 μέτρα, υπολογίζει αφού ξέρει το βάθος ας πούμε ότι 2 μέτρα. Ξέρει λοιπόν το 2 προς L, το βάθος προς το L, 2 είπαμε και το μήκος του κύματος έκανε την υπόθεση ότι είναι 10 μέτρα, υπολογίζει λοιπόν το δεξιά μέλος της εξίωσης, κάνει τις πράξεις, βρήκε το 10 που υπέθεσε με το οποίο ξεκίνησε. Αν δεν το βρήκε προφανώς η υπόθεσή του ήταν λάθος, άρα πρέπει να κάνει μια επόμενη δοκιμή, δηλαδή να κάνει μια νέα υπόθεση, ένας τρόπος είναι να ξεκινήσει τη δεύτερη παραδοχή χρησιμοποιώντας αυτό που βρήκε από την πρώτη ή το ημιάθρισμά τους είναι θέμα πόσο γρήγορα θα συγκλίνει και με τι ακρίβεια ζητάει κανένας αυτόν τον υπολογισμό. Ένας άλλος πιο γρήγορο τρόπος με βέβαια μεγαλύτερη ασάφια είναι να χρησιμοποιήσει, να κάνει μια γραφική επίλυση από διαγράμματα που υπάρχουν στα διάφορα συγγράμματα και στο σύγγραμμα στο οποίο αναφέρθηκα λίγο πριν. Σε αυτό, είναι το διάγραμμα 2.4 στη αλήδα 20, υπάρχει αυτή η απεικόνιση διαφόρων χαρακτηριστικών του κύματος. Για την συγκεκριμένη επίλυση μας χρειάζονται στην πραγματικότητα ένα μέρος αυτού συνολικού διαγράμματος. Στην ουσία μας χρειάζονται οι δύο άξονες κατά την έννοια του χ, που βρίσκονται στο κάτω μέρος αυτού του διαγράμματος. Ο κάτω άξονας είναι οι τιμές του λόγου δε προσέλ μηδέν, ενώ από πάνω άξονας του είναι οι τιμές του λόγου δε προσέλ. Άρα από την απάντηση στο πρώτο ερώτημα, ή ακόμα και αν δεν υπήρχε το πρώτο ερώτημα, με βάση το δεδομένο που είναι η περίοδος του κύματος, μπορεί κανένας να υπολογίσει το μήκος του κύματος στην ανοιχτή θάλασσα στα βαθιά νερά, το l0, τζε επί τετράγωνο δια 2π. Εφόσον ξέρει το βάθος της θάλασσας, για το οποίο του ζητούν να κάνει τον υπολογισμό τον δε προς τον τε, μπορεί να υπολογίσει την τιμή που έχει ο λόγος δε προσέλ μηδέν, ας πούμε ότι είναι λάμτα 1, η τιμή αυτού του λόγου που βρήκε τον τε είναι δεδομένο, είναι το βάθος το οποίο του ζητούν να κάνει τον υπολογισμό, το l0 είναι το μήκος του κύματος στα βαθιά νερά για το κύμα που έχει περίοδο ταφ κεφαλαίο, άρα μπορεί να βρει αυτόν τον αριθμό λάμτα 1. Από τον αριθμό λάμτα 1 μπορεί να τον τοποθετήσει στον κάτω άξονα που είναι η γραφική απεικόνιση των λόγων δε προσέλ μηδέν για όλα τα κύματα που εμφανίζονται σε μια περιοχή, άρα έχει βρει το σημείο αυτό του κάτω άξονα που αντιστοιχεί στην τιμή λάμτα 1. Φαίνοντας την κάθετο στον άξονα βρίσκει την τομή του στον πάνω άξονα που είναι η γραφική απεικόνιση των λόγων δε προσέλ μηδέν, άρα μπορεί γραφικά να εκτιμήσει την τιμή που έχει αυτό το σημείο που τέμνει η κάθετο στον πάνω άξονα που ας πούμε είναι η τιμή λάμτα 2. Άρα έχει βρει στην πραγματικότητα ποιος είναι ο λόγος δε προσέλ για το συγκεκριμένο κύμα. Το δε το ξέρει, ήταν αυτό που χρησιμοποίησε για να βρει το λάμτα 1, άρα από αυτή τη σχέση αφού εκτίμησε γραφικά το λάμτα 2 και αφού ξέρει το δε μπορεί προφανώς να υπολογίσει το λάμτα, το λ, το μήκος του κύματος, λ ίσον λοιπόν λάμτα 2 προς, συγγνώμη, δε προς λ λάμτα 2 που είναι το μήκος του κύματος στη θέση που ζητάμε. Προφανώς αυτή η διαδικασία είναι ταχύτερη αλλά έχει την αβεβαιότητα της σωστής γραφικής εκτίμησης πάνω και στην πρώτη κλίμακα του αριθμού λάμτα 1, του δε προς λ0 και στον δεύτερο άξονα της τιμής του λάμτα 2, δηλαδή του λόγου δε προς λ, λ είναι το ζητούμε. Εμπάσιο τόσο αυτή είναι μια γρήγορη μεθοδολογία. Βέβαια στα διάφορα συγγράμματα εκτός από το διάγραμμα αυτό εδώ που μπορεί να το βρει κανένας ίσως και σε καλύτερη και πιο μεγαλύτερη απεικόνιση άρα να έχει μια πιο καλύτερη εκτίμηση των αριθμών λ1 και λ2, υπάρχουν και πίνακες που στην ουσία δεν έχουν κάνει τίποτα άλλο παρά να επιλύσσουν για μια σειρά τιμών την προηγούμενη εξίσουση που είχαμε δείξει. Αυτή εδώ, έχοντας λοιπόν διάφορες τιμές του λόγου στην ουσία της παράστασης της υπερβολικής αφαπτομένης μέσα εδώ, δηλαδή των λόγων δε προς λ ή δε προς λ0, ανάλογα ποιο χρησιμοποιεί κανένας. Υπάρχουν τέτοιοι πίνακες που μπορεί κανένας αντί των διαγραμμάτων να χρησιμοποιήσει αυτούς τους πίνακες, δηλαδή να πετύχει ταχύτερα προφανώς από την επίλυση με δοκιμές, την επίλυση αυτής της εξίωσης χρησιμοποιώντας τους πίνακες και πετυχαίνοντας καλύτερη ακρίβεια από το γράφημα που έδειξα λίγο πριν. Και τελειώνοντας αυτές τις πρώτες απαρουσιάσεις της γραμμικής θεωρίας των γηματισμών θα ήθελα να δείξω και μια άλλη σχέση που χρησιμοποιούμε αρκετές φορές στην γραμμική θεωρία των γηματισμών και είναι αυτή που περιγράφει το πώς μεταβάλλεται η πίεση κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας στην περίπτωση που η ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας ταλαντώνεται λόγω ενός κυματισμού, σαν αυτούς τους κυματισμούς που μέχρι τώρα είδαμε, δηλαδή κυματισμούς που ακολουθούν τη γραμμική θεωρία των κυματισμών. Αναφερόμενο στην εξίωση από την οποία ξεκινάμε, σε αυτή την εξίωση δυναμικού, είπα ότι η εξίωση δυναμικού επιλύεται έχοντας υπόψη του κανένας ότι αναφερόμαστε σε μια υδάτινη μάζα, η οποία περιορίζεται από την ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας πάνω από την οποίαν υπάρχει ο αέρας και από την στάθμη του πυθμένα, ο οποίος είναι αμετακίνητος, έχετε δηλαδή τον σταθερό πυθμένα της θάλασσας. Στην ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας η οριακή συνθήκη που ισχύει είναι αυτή που φαίνεται στο διάγραμμα ότι η πρώτη παράγωση του δυναμικού, συν τζέπη, ζ είναι σταθερή και στην ουσία δεν είναι τίποτα άλλο παρά ότι ισχύει η εξίωση περνούλι, από την οποίαν μπορεί κανένας στη συνέχεια να υπολογίζει την πίεση. Η πίεση λοιπόν που ασκείται σε μια επιφάνεια η οποία βρίσκεται βυθισμένη μέσα στο νερό κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας, αποδίδεται από αυτήν εδώ την συνολική παράσταση. Αυτή η συνολική παράσταση έχει ένα πρώτο μέλος και ένα δεύτερο μέλος. Το πρώτο μέλος το οποίο είναι το τζέ, επιτάχηση βαρύτητας επί ρο, ρο η πυκνότητα της θάλασσας, ζ, το βάθος το οποίο βρίσκεται αυτό το σημείο στο οποίο υπολογίζουμε την πίεση, δεν είναι τίποτα άλλο παρά ο υδροστατικός όρος, είναι δηλαδή στην ουσία η πίεση που θα δεχόταν αυτή η επιφάνεια που βρίσκεται ζ απόσταση κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας μέσα σε αυτό το νερό, αν δεν υπήρχε η κίνηση του νερού λόγω κύματος. Είναι λοιπόν η υδροστατική πίεση. Ενώ ο δεύτερος όρος, ο οποίος είναι συνάρτηση των χαρακτηριστικών του κύματος και του βάθους της θάλασσας στο οποίο αυτό το κύμα εμφανίζεται, είναι αυτό που ονομάζουμε ο υδροδυναμικός όρος ή αν θέλετε η υδροδυναμική πίεση. Άρα η πίεση που αναπτύσσεται, που δέχεται μια επιφάνεια που είναι βυθισμένη κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας και στην περίπτωση που η επιφάνεια της θάλασσας μετακινείται, υπάρχει αυτή η διαταραχή του γραμμικού κυματισμού, δέχεται μια πίεση που είναι άθεσμα της υδροστατικής, αυτής δηλαδή που θα δεχόταν έτσι κι αλλιώς και να μην υπήρχε το κύμα, συν της πίεσης που δέχεται λόγω ύπαρξης του κύματος και που είναι συνάρτηση του ύψους κύματος του K, εδώ μέσα έχει μπει το μήκος του κύματος, άρα και η περίοδος του κύματος και του βάθος του θάλασσας στο οποίο βρίσκεται. Στο διάγραμμα που ακολουθεί βλέπει κανένα στη γραφική παράσταση αυτών των δύο όρων. Με το τρίγωνο εδώ είναι η γραφική απεικόνιση της υδροστατικής πίεσης, η οποία αυξάνει καθώς πηγαίνουμε από την ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας προς τον πυθμένα, ενώ το κομμάτι αυτής της παραβολής είναι η επιπλέον προσθήκη της πίεσης λόγω της ύπαρξης κύματος. Και βλέπει κανένας εδώ δύο ξεχωριστές θέσεις του τι συμβαίνει σε μια επιφάνεια που είναι βυθισμένη κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας, στην περίπτωση που πάνω από αυτό το σημείο υπάρχει το κύμα στην κορυφή του ή το κύμα στην κοιλιά του. Στην πραγματικότητα, λοιπόν, στην πρώτη περίπτωση το νερό αντί να είναι εδώ θα ήταν αν δεν υπήρχε κίνηση, δηλαδή στην ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας, την αδιατάραχτη ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας βρίσκεται κάτι παραπάνω όσο είναι το μισό του ύψος του κύματος, ενώ εδώ βρίσκεται μισό ύψος του κύματος κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια. Έχετε λοιπόν την υδροστατική συν την υδροδοδυναμική, ενώ εδώ έχετε την υδροστατική, μίον την υδροδοδυναμική, άρα θα δεχτεί λίγο μικρότερη πίεση από την περίπτωση της υδροστατικής πίεσης. Επίσης, αν κάνει κανένα στη γραφική απεικόνιση της υδροστατικής πίεσης καθώς μετακινείται από το Ζ' με 0 προς τιμές που το βάθος μεγαλώνει, η απόσταση από την ελεύθερη επιφάνεια μεγαλώνει, θα δει ότι η καμπύλη αυτή που παριστάνει την υδροδυναμική πίεση τύνει να έχει μηδενικές τιμές καθώς μεγαλώνει το βάθος από ένα σημείο που είναι μεγαλύτερο από το Ζ' είναι το μήκος του κύματος του κύματος που εμφανίζεται εδώ. Που σημαίνει λοιπόν ότι η υδροδυναμική πίεση έχει σημαντική συνεισφορά στη συνολική τιμή της πίεσης όταν βρίσκεστε σε αυτό το στρώμα της θάλασσας, το οποίο είναι από την ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας μέχρι ένα βάθος D ίσον με το L δεύτερα με το μισό του μήκους κύματος του κύματος που εμφανίζεται στη συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή. Η υδροδυναμική πίεση και η αυξομίωση της, γιατί είδαμε εδώ ότι αυξομιώνεται καθώς το κύμα μετακινείται, η στάθμη δηλαδή άλλοτε εμφανίζει κορυφή, άλλοτε εμφανίζει κοιλιά, είναι μία παράμετρος που χρησιμοποιείται σε διάφορα όργανα για να μετρά το ύψος του κύματος σε μία θαλάσσια περιοχή. Για να αποτυπώσει κανένας τη μεταβολή της ελεύθερης επιφάνειας, δηλαδή για να καταγράψει το κύμα στη φύση, χρειάζεται να μπορεί να παρατηρήσει αυτές τις μεταβολές. Ξαναλέω και πάλι ότι στην περίπτωση που συζητάμε για τους ανεμογενείς κυματισμούς, δηλαδή κυματισμούς που οφείλονται στον άνεμο, αυτοί οι κυματισμοί έχουν χρονική κλίμακα μεταβολής στις τάξεις με δικών δευτερολέπτων. Άρα αν έχετε, παραδείγματος χάρη, να καταγράψετε ένα κύμα που η περίοδος του είναι 10 δευτερολεπτά, σημαίνει ότι η χρονική απόσταση ανάμεσα στην κορυφή και την κοιλιά είναι 5 δευτερολεπτά το μισό της περιόδου. Άρα θα έπρεπε ένας παρατηρητής, ας πούμε, αν τον είχατε εκεί και είχε έναν μετρητή σαν αυτούς τους κλασικούς, που βάζουμε, βλέπουμε τη στάθμη σε μια λίμνη, σε ένα ποτάμι, δηλαδή ένα μέτρο, μια σταδία, στην οποία παρατηρούμε κάθε φορά που έχει φτάσει το νερό, θα έπρεπε να έχει την άνεση μέσα σε 5 δευτερολεπτά, να δει τη στάθμη στο υψηλό σημείο και τη στάθμη στο χαμηλό σημείο, πράγμα που είναι δύσκολο, έως αδύνατο, πόσο μάλλον όταν η περίοδος του κύματος είναι πολύ μικρότερη, δηλαδή με τις τάξεις των 2-3 δευτερολέπτων. Άρα θα πρέπει να χρησιμοποιείς μια άλλη διαδικασία μέτρησης της πίεσης στάθμης της θάλασσας, δηλαδή το πώς μεταβάλλεται η στάθμη της θάλασσας λόγω κυματισμού. Μία μεθοδολογία λοιπόν είναι να μετράει κανένας την πίεση. Θα δούμε στη συνέχεια στο επόμενο μάθημα και σχετική άσκηση. Άρα, αν ξέρει το βάθος της θάλασσας στην οποίαν τοποθετείται η συσκευή του, ο μετρητής πίεσης, ξέρει το βάθος κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια στον οποίο τοποθέτησε τον μετρητή και καταγράψει στη διάρκεια πολλών περιόδων την πίεση, μπορεί να υπολογίσει στη συνέχεια, αφού ξέρει λοιπόν την υδροστατική πίεση, γιατί ξέρει σε ποιο βάθος βύθισε τον μετρητή. Ξέρει αυτή την καταγραφή, θα δούμε στη συνέχεια πως μπορούμε να πάμε από την καταγραφή της, ξέρει δηλαδή τη συνολική πίεση, ξέρει την υδροστατική, άρα ξέρει το κομμάτι της υδροδυναμικής πίεσης, ξέρει το βάθος, ξέρει και το ζ, μπορεί να υπολογίσει την περίοδο, μάλλον η περίοδος του κύματος είναι η ίδια με την περίοδο της καταγραφής που έχει κάνει της πίεσης, μπορεί να υπολογίσει το ύψος του κύματος, το μήκος του κύματος και ούτω καθεξής, από την μεταβολή της υδροδυναμικής πίεσης. Το μόνο που πρέπει να ξέρει ο παρατηρητής, αυτός δηλαδή που θα τοποθετήσει το όργανο για την καταγραφή της πίεσης, για να μπορέσει να καταγράφει το κύμα, θα είναι ότι εκεί που θα το τοποθετήσει πρέπει να καταγράφει η υδροδυναμική πίεση. Που σημαίνει λοιπόν ότι πρέπει να τοποθετήσει σε αυτό το στρώμα της θάλασσας, αυτό που έχει βάθος από το 0 έως το l δεύτερα, γιατί αν το τοποθετήσει κάτω από αυτό, ο μετρητής δεν θα καταγράφει η υδροδυναμική πίεση, δηλαδή δεν θα έχει καμιά καταγραφή που θα αλλάζει στη διάρκεια του χρόνου, θα είναι μια σταθερή καταγραφή, και το μόνο που θα έχει καταγράψει θα είναι η υδροστατική πίεση και όχι η υδροδυναμική πίεση. Άρα, καταγράφοντας η υδροδυναμική πίεση, δηλαδή εφόσον ο μετρητής του είναι μεταξύ του 0 της επιφάνειας θάλασσας και του l δεύτερα, μπορεί από εκεί, τι θα δούμε στη συνέχεια, να έχει τα στοιχεία του κύματος, και αυτό και όλα στα σύγχρονα όργανα μέτρησης της στάθμισης της θάλασσας λόγω κυματισμών, στηρίζονται στην καταγραφή της υδροδυναμικής πίεσης, που προκαλείται λόγω της ταλάντωσης της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας λόγω του υπάρχοντος κυματισμού στην επιφάνεια της θάλασσας, ο οποίος μπορεί να οφείλεται στον άνεμο που φυσάει στη συγκεκριμένη περιοχή. Αυτή είναι η πρώτη προσέγγιση, θα έλεγε κανένας, της περιγραφής των επιφανειακών κυματισμών, των κυμάτων, που εμφανίζονται στην ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας και που είπα λίγο πριν τις παραδοχές, στις οποίες στηρίζεται η γραμμική θεωρία των κυματισμών και με βάση αυτή μπορούμε να έχουμε τα χαρακτηριστικά του κύματος στην θαλάσσια περιοχή. Μέχρι τώρα βέβαια αυτό που είδαμε είναι πώς τα χαρακτηριστικά αυτά συνδέονται με το βάθος της θάλασσας. Θα δούμε σε επόμενα μαθήματα, επειδή το βάθος της θάλασσας καθώς ο κυματισμός δεν διαδίδεται γιατί δεν παραμένει εκεί, οι στάσεις μας αλλάζουν, πηγαίναμε από περιοχή μεγάλιτερου βάθος ή μεγαλύτερο σε μικρότερο, θα δούμε ποια άλλα είναι τα φαινόμενα που εμφανίζονται σε αυτό το κύμα καθώς διαδίδεται από την περιοχή που γεννιέται και συνήθως μακριά από την ακτή καθώς ταξιδεύει προς την ακτή μια και οι πιο πολλές κατασκευές τις οποίες μελετάμε και κατασκευάζουμε βρίσκονται κοντά ή επί της ακτής άρα θέλουμε να ξέρουμε το κύμα το οποίο γεννήθηκε σε κάποια απόσταση μακριά από την ακτή και ταξιδεύει προς την ακτή με ποια χαρακτηριστικά θα φτάσει και θα επηρεάσει ή όχι και πόσο την κατασκευή που εμείς σκεφτόμαστε ή έχουμε αποφασίσει να βάλουμε σε μία περιοχή ή πως μπορεί να αλληώσει τα χαρακτηριστικά της περιοχής ενώ αν η περιοχή έχει αμόδι πυθμένα και αμόδι παραλιακή ζώνη πως είναι πιθανόν η κινούμενη μάζα λόγω των κυματισμών να μεταφέρει αυτό το υλικό και έτσι να εμφανιστούν φαινόμενα απόθεσης ή διάβρωσης της παραλιακής περιοχής. Άρα εκτός από τα χαρακτηριστικά του κύματος στην περιοχή που αυτός γεννιέται μας ενδιαφέρουν και τα χαρακτηριστικά του κύματος καθώς αυτός πλησιάζει την ακτή και θα δούμε ότι υπησέρχονται και άλλες αλλαγές που δεν είναι μόνο το βάθος της θάλασσας στην μεταβολή των χαρακτηριστικών του για να φτάσει με διαφορετικά χαρακτηριστικά από αυτά που είχε στην ανοιχτή θάλασσα. Εννοώ ότι έχει διαφορετικό ύψος και διαφορετικό μήκος την ώρα που θα φτάσει σε περιοχή που έχει διαφορετικά χαρακτηριστικά σε σχέση με αυτή που ήταν στην ανοιχτή θάλασσα. Αυτή λοιπόν είναι η πρώτη μας προσέγγιση στους επιφανειακούς σκηματισμούς και στην γραμμική θεωρία που περιγράφει αυτούς τους γραμμικούς σκηματισμούς.