Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2ο Μέρος) / Διάλεξη 19 / Εφαρμογές των ολοκληρωμάτων στον υπολογισμό μήκους καμπύλης και όγκου, εμβαδού επιφάνειας από περιστροφή. - Βλάχος Λουκάς (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, 2014)
Εφαρμογές των ολοκληρωμάτων στον υπολογισμό μήκους καμπύλης και όγκου, εμβαδού επιφάνειας από περιστροφή.: Λοιπόν, με αυτό το μάθημα απόψε θα ολοκληρώσουμε τα μαθήματα και θα ήθελα να παρακαλέσω όσοι από εσάς, θέλετε ή όποιες από εσάς, θέλετε να βρεθούμε να κουβετιάσουμε ερωτήσεις που πιθανόν να έχουν δημιουργηθεί, νομίζω ότι πρέπει να μου στείλετε ένα email να κανονίσουμε ένα ραντεβού και πριν τα Χριστούγεννα αλλά και μετά τα Χριστούγεννα. Μετά τα Χριστούγεννα, δεν θα κάνουμε μάθημα την Παρασκευή, αυτό εδώ πέρα είναι το τελευταίο μας μάθημα, τουλάχιστον πριν από τα Χριστούγεννα. Το τελευταίο σέντ των ασκήσεων έχει ήδη ανεβεί, οι λύσεις από το 1 το έχουν επίσης ανεβεί, μένει να δουλέψετε το τελευταίο σέντ, το οποίο βέβαια πολύ λίγια, αρχίσατε πλέον να μην παραδίδετε ασκήσεις, εντάξει αυτό είναι δικαιομά σας φυσικά, οπότε μετά τις γιορτές θα γίνουνε κάποια επαναληπτικά μαθήματα και ερωτήσεις κυρίως που θα έχετε δημιουργείς εσείς. Το ωραίο θα είναι να βρείτε χρόνο μέσα στις γιορτές, να κάνετε μια καλή επανάληψη, να συγκεντρώσετε ερωτήσεις και απορίες και να μπορέσουμε να μιλήσουμε μετά τις γιορτές για αυτές τις ερωτήσεις και τις απορίες γιατί καινούργια πράγματα δεν έχουμε τίποτα να πούμε, ό,τι έχουμε να πούμε θα τα ολοκληρώσουμε απόψε. Αυτός είναι ο προγραμματισμός. Έχετε κάποια ερωτήσεις σε σχέση με αυτά? Λοιπόν, να επανέλθω σε μερικά πράγματα που είπαμε την Παρασκευή και τώρα να κάνουμε κάποιες ασκήσεις. Το πρώτο πράγμα που ήθελα να δούμε ότι έχει γίνει κατανοητό, γιατί δεν ξέρω ότι για τις πολικές θεταγμένες έχετε αρκετές δυσκολίες, οπότε ήθελα να ξέρω εάν έχει γίνει κατανοητό, εάν μας δώσει κάποιος μία έκφραση ρ ή ρ του θ, που σημαίνει ότι με αυτή την έκφραση περιγράφει μία καμπύλη σε πολικές θεταγμένες και ήθελα να δούμε πώς είναι ο τύπος ο οποίος θα μας δίνει αυτή η καμπύλη περιγράφεται από το ρ σαν συνάτηση του θ και όπως αλλάζει το θ η καμπύλη ρ ακολουθεί αυτή την καμπύλη. Έτσι είχαμε πει ότι για να υπολογίσουμε την επιφάνεια όταν πάμε από μία γωνία θ1 με μικρότερη ίσον του θ μεταβάλλεται από τη μία γωνία θ1 μέχρι τη μία γωνία θ2 για να υπολογίσουμε την επιφάνεια που θα διαγράψει το διάνισμα θέσεις. Όταν πάει από τη γωνία θ1 θ2 και έχουμε την έκφραση του ρ του θ για αυτήν τη σχέση είχαμε δώσει για το εμβαδόν αυτό είχαμε γράψει ότι είναι εν δεύτερον ολοκλήρωμα από το θ1 έως το θ2 του ρ τετράγωνο του θ δ θ. Την σχέση αυτή θυμάστε πως την είχαμε βγάλει επειδή είναι ένα τριγωνάκι αυτό το οποίο θα το θεωρήσουμε ότι είναι ορθογόνιο το μήκος αυτής εδώ τις καμπύλιες ήταν ρ δ θ και αυτή είναι η βάση δηλαδή το ύψος είναι ρ και το εν δεύτερον βάση επί ύψος βάση επί ύψος εν δεύτερον ρ τετράγωνο θα μας βγάλει για τη στοιχειώδη επιφάνεια δ α θα βγάλει εν δεύτερον ρ τετράγωνο δ θ αυτή είναι η στοιχειώδη επιφάνεια. Η όλη διαδικασία για τις επιφάνειες τους όγκους και τις επιφάνειες που δημιουργούνται από την περιστροφή είναι να καταλάβουμε ποιο είναι το στοιχειώδες έτσι από εκεί θα ξεκινάμε και αν καταφέρετε και μπορείτε αυτό να το βγάζετε εύκολα τότε έχουμε τελειώσει το πρόβλημά μας. Ωραία να δώσουμε κάποιες εφαρμογές για αυτό το πρόβλημα γιατί το είπαμε και στο περασμένο μάθημα αλλά δεν δουλέψαμε εφαρμογές. Πώς θα μας δοθεί μια τέτοια άσκηση και τι θα ζητήσει από εμάς. Αν μας δοθεί λοιπόν το καρδιοειδές που είναι το ρ το ρ του θ λοιπόν μας δίνεται που είναι ένα μίον σιγημί των θ. Αυτό λοιπόν είναι ένα συγκεκριμένο επειδή θέλω τώρα να σας να μην καθίσουμε να το κάνουμε από την αρχή. Αυτό το καρδιοειδές είναι αυτό εδώ. Δεν είναι συμμετρικό είναι. Λοιπόν αυτό είναι το καρδιοειδές που μας δίνει το ρθ ένα μίον σιγημί των θ. Εμείς τουλάχιστον στο επίπεδο των εξετάσεων δεν πρόκειται να δώσουμε πολύ ψαγμένες σχέσεις για το ρ του θ. Δηλαδή να κάθεστε εκείνη την ώρα να φτιάχνετε ένα πολύ περίεργο σχήμα για το ρ του θ. Θα παίξουμε κυρίως με κύκλος καρδιοειδή και αυτά που έχει μέσα τα φύλλα αυτά τα πολλαπλά φύλλα που έχουμε συζητήσει θα δούμε κι ανασήμερα. Αυτά λοιπόν που έχει το βιβλίο ζωγραφισμένα τα τέσσερα πέντε είδη σχημάτων με το που θα βλέπετε εσείς το μόνο που ζητάω από εσάς είναι όταν θα βλέπετε αυτή τη σχέση εδώ πέρα θα μπορείτε εύκολα αμέσως σχεδόν να μην κάθεστε να κάνετε στις σκήσεις να μην κάθεστε να κάνετε το σχήμα από το μηδέν. Έτσι διότι αν δεν το θυμάστε καθόλου θα πρέπει να καθίστε προσεχτικά να φτιάξετε πίνακες για να φτιάξετε ένα σχήμα σαν αυτό ή να μελετήσετε ένα σχήμα για το πώς μπορούμε να κάνουμε μια τέτοια καμπύλη με τους τρόπους που ξέρουμε για να φτιάξουμε συναρτήσεις. Λοιπόν εγώ τι θέλω να υπολογίσετε. Σας έχω δώσει λοιπόν το ροδοθήτα και θέλω να υπολογίσετε αυτό εδώ το εμβαδόν αυτό που έχω σκιαγραφίσει είναι αυτό που είναι στο πρώτο και στο τέταρτο τεταρτιμόριο. Δηλαδή το κομμάτι αυτό εδώ του καρδιοειδές έχει και ένα κομμάτι του στο πρώτο και στο τέταρτο τεταρτιμόριο. Ένα από τα δύο αν υπολογίστε θα είναι μια χαρά. Θέλω να υπολογίσετε λοιπόν το εμβαδόν από το κομμάτι του καρδιοειδούς που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτιμόριο. Με καταλάβατε τι ζήτησα. Αυτό που έχω σκιαγραφίσει στον πίνακα. Έχω δηλαδή ζητάω αυτό εδώ το εμβαδόν ε1 και αν θέλω και για το κάτω είναι το ίδιο το ε1, είναι δύο φορές το ε1, είναι απολύτως συμμετρικό. Και για αυτό το καρδιοειδές λοιπόν ζητάω να υπολογίσουμε την επιφάνεια που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτιμόριο από αυτό το καρδιοειδές. Λοιπόν πέστε μου και αλλά θέλω να την τελειώσουμε όμως. Θέλω να την τελειώσουμε κιόλας πέστε μου. Θα μπορούμε να κάνουμε το κλείσμα από 0 έως πίδευτερα. Άρα λοιπόν για να βρούμε το εμβαδόν θα πάρουμε 1 δεύτερον. Τα ορθολογκλείσεις θα είναι από 0 μέχρι πίδευτερα. Θα βάλουμε αυτό εδώ πέρα το 1 μοιον συνειμήτωνο θ και όλο στο τετράγωνο δθ. Από εδώ και πέρα είναι να κάνετε αυτές τις πράξεις. Εντάξει δεν είναι καθόλου δύσκολες. Νομίζω ότι μπορείτε να τις κάνετε. Αν θέλετε κάνετε για να τελειώσουμε αυτή την άσκηση και να βρούμε και το τελικό αποτέλεσμα. Να μου πείτε πόσο είναι το τελικό αποτέλεσμα. Ποιος είναι η κοπέλα που είναι από 0 μέχρι πίδευτερα. Τάνια για εξήγησε στον συναδελφό σου γιατί είναι από 0 μέχρι πίδευτερα. Αυτό φοβόμουν και εγώ για αυτό δεν είπα τίποτα. Λοιπόν για πέστε μου εσείς πως αλλιώς θα πλένατε τις γωνίες για να σχεγραφίσουμε αυτό το κομματάκι. Δηλαδή ποια άλλα γωνίες θα περνούσαν από το μυαλό σας. Το π. Εάν πάρω λοιπόν αυτή την καμπύλη και ζωγραφίζω όπου περνάω το βάφω κιόλας έτσι και περνάω να πάω στο π. Δεν θα γράψω όλο αυτό. Καταλαβαίνετε. Άρα αν μου ζητούσαν πράγματι να βρω ολόχληρο το εμβαδόν θα υπολόγιζα από 0 μέχρι πίδευτερα και θα το διπλασίαζα. Καταλάβατε. Οι υπόλοιποι. Ωραία. Αν θέλετε τελειώσετε αυτή την άσκηση να μην την αφήσουμε μισή. Βεβαίως. Εγώ ζήτησα το ε, ζήτησα το κομμάτι του πακαρδιολοίδης το οποίο βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο. Μόνο αυτό ναι. Λοιπόν θέλω όποιος τελειώσει να μου πει το αποτέλεσμα. Δεν θέλω να πάρουμε τις πράξεις στον διάμεσο θέλω να κάνετε τις πράξεις μέχρι τέλος όμως και να μου πείτε το αποτέλεσμα. Να συμφωνήσουμε όλοι στο αποτέλεσμα. Η επιφάνεια για τον τύπο, αυτόν εδώ τον τύπο που είχα γράψει εδώ πέρα, αυτός ο τύπος προκύπτει ως εξής. Θεωρούμε πρώτα να φτιάξουμε αυτό το στοιχειώδες. Βλέπετε ότι έχω, αυτή είναι μια καμπύλη σε πολικές τεταγμένες, η οποία έχει μετατοπιστεί κατά τε θήτα. Αυτό είναι το διάεινισμα θέσεις και αυτή είναι η γωνία θήτα. Οπότε αυτό εδώ πέρα είναι το στοιχειώδες εμβαδών. Το στοιχειώδες εμβαδών ας το πω δε άλφα. Αυτό το στοιχειώδες εμβαδών προκύπτει από το εμβαδόν αυτού εδώ πέρα του τριγόνου. Αυτό το τριγόνο έχει μία βάση, η βάση αυτού του πέρα είναι το τόξο, οπότε το τόξο είναι ρο επί τε θήτα είναι αυτό το στοιχειώδες τόξο που είναι η βάση του τριγόνου. Επειδή το ύψος είναι ρο και επειδή αυτό είναι ένα τρίγωνο θα έχουμε 1 δεύτερο η βάση επί το ρο που είναι το ύψος του. Θα θεωρήσουμε ότι αυτό είναι το ύψος. Οπότε βγαίνει ένα στοιχειώδες τρίγωνο το οποίο είναι 1 δεύτερο ρο δε θήτα επί ρο. Το οποίο θα κάνει για το στοιχειώδες για τη στοιχειώδη επιφάνεια θα είναι 1 δεύτερο ρο τετράγωνο δε θήτα αν τα μαζέψω όλα αυτά. Εάν έχω το στοιχειώδες τώρα για να υπολογίσω το α θα πρέπει να ολοκληρώσω το στοιχειώδες από το θήτα 1 μέχρι το θήτα 2 το δε α. Έτσι κάνω πάντα βρίσκω πόσο εμβαδόν ή πόσο όγκο δημιουργείται τώρα θα μιλήσουμε για όγκους σε λίγο από το στοιχειώδες και αυτό το στοιχειώδες το ολοκληρώνω από την ελεύθερη παράμετρο που είναι το θήτα. Το κάνουμε αναλυτικά θέλετε στον πίνακα ή να τα αφήσουμε και να προχωρήσουμε. Δεν μιλάτε ούτε έτσι ούτε αλλιώς τι θέλετε από τα δύο θέλετε να το κάνουμε αναλυτικά στον πίνακα ή θέλετε να προχωρήσουμε όχι να τα αφήσουμε και να το κάνετε σπίτι συμφωνείτε. Λοιπόν να το αποτέλεσμα αυτό είναι τώρα να στήσουμε ένα ακόμα το οποίο επίσης να το συνεχίσετε στο σπίτι θα σας πω εγώ το σχήμα γιατί δεν θέλω να ασχοληθούμε με αυτό θέλω να ασχοληθούμε με το εμβαδόν του. Θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν της καμπύλης που είναι το συνημίτωνο δύο θήτα. Αυτή η καμπύλη είναι αυτό εδώ πέρα το πράγμα είναι αυτή η πεταλούδα με τέσσερα φύλλα. Τι βλέπετε αυτό λοιπόν το ρο θήτα όταν το ρο θήτα είναι το συνημίτωνο του δύο θήτα είναι μία πέτα... πώς θα το λέγατε εσείς αυτό το σχήμα. Τετράφιλο τριφίλη. Μπορώ να υπολογίσετε από αυτό το σχήμα. Υπέροχο! Δεν το είχα σκεφτεί! Θέλω να υπολογίσετε από αυτό το υπέροχο τετράφελο τριφύλι το εμβαδόν του 1 από αυτά, ότι θα είναι συμμετρικό φυσικά, το πολλαπλασιάζουμε επί 4 αν θέλουμε να βρούμε όλο το εμβαδόν. Για να υπολογίσουμε το 1 από αυτά. Για πέστε μου, αφού ξέρουμε και το ρ του θ, πέστε μου πώς θα το γράψουμε αυτό το πρόβλημα. Λοιπόν, επαναλαμβάνω την ερώτησή μου. Θέλουμε να υπολογίσουμε σε αυτό το τριφύλι, όπως είπαμε, το τετράφελο, το εμβαδόν Λοιπόν, αν υπολογίσουμε το 1 από τα 2, ή έστω ακόμα και το κομμάτι αυτό εδώ, που είναι στο πρώτο τεταρτημόριο πάλι και μετά το πολλαπλασιάζουμε επί 4, επειδή έχει πόσα είναι, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, επί 8. Άρα λοιπόν, μπορείτε να υπολογίσετε και το 1 κομμάτι, που είναι αυτό εδώ πέρα, που είναι στο πρώτο τεταρτημόριο από το πρώτο φύλο. Ή αν θέλετε υπολογίστε το εμβαδόν του πρώτου φύλου. Όποιον θέλετε. Αλλά καλύτερα να υπολογίσετε το εμβαδόν από ένα μικρό κομμάτι, αυτό που είναι από το πρώτο φύλο στο πρώτο τεταρτημόριο. Αυτό εδώ πέρα που έχω σκιάγραμμίσει. Αυτό λοιπόν, πώς θα το υπολογίσουμε. Το ρθ το ξέρουμε, τον τύπο το ξέρουμε, τα όρια είναι το πρόβλημα. Ποιο θες από όλα Άγιερ, για να μην απαντήσω λάθος. Το σχήμα, το συνολικό σχήμα. Το συνολικό σχήμα είναι αυτό το, δεν σου λέει τίποτα εσένα, πώς το είπαμε αυτό το τετράφυλλο, τριφύλι. Αυτό δεν σου λέει τίποτα, δεν σου λέει τίποτα. Λοιπόν, πώς είναι το τριαντάφυλλο, είναι φύλα αυτά, δηλαδή είναι τα φύλα από... Μαργαρίτα. Σαν μαργαρίτα. Ούτε αυτό σου λέει τίποτα. Λοιπόν, πώς θα το κάνω μαργαρίτα, ο θ είναι συνειμήτωνο του δυο θ. Αυτό φτιάχνει, αν βάλω τέσσερα θ, ας πούμε θα γίνει πραγματικά σαν το τριαντάφυλλο. Με φύλα όπως το τριαντάφυλλο. Τι έχετε, βοηθήστε με παιδιά με άλλη έκφραση που να... Το όρτιο και το όρτιο. Ησυχία, ησυχία, σας παρακαλώ. Ποιος ήθελε να πει κάτι, σας παρακαλώ. Προσέξτε, είναι άλλο πράγμα να γελάσουμε με ένα αστείο και άλλο να το γελειοποιήσουμε. Δύο διαφορετικά πράγματα. Είναι άλλο το αστείο και άλλο να μετρέψουμε την εντάξει σε ευχάριστη παρέα που είμαστε σε ένα ωραίο καφέ. Πες. Ωραία. Το έχει καταλάβει εγώ νομίζω. Θα το δώσω στο διάλειμμα, θα το δούμε και λίγο έτσι στον πίνακα. Το ένα όχι και το άλλο κάτω. Τι... Το ένα κάτω και το άλλο ζώντι. Πέστε μου τα όρια για αυτό το σχήμα. Για πέστε μου. Δεν πιστεύω ότι θα πάω εδώ από μηδέν ως πιδεύτερα και θα βρω τα δύο μέρη που έχεις σημασία. Από μηδέν ως πιδεύτερα δεν μπορεί, γιατί δεν μπορεί να σαρώσεις αυτό το κομμάτι, γιατί δεν είναι μέρος του σχήματος. Νομίζω κάτι είναι το και το άλλο κομμάτι που είναι... Όχι. Όχι, όχι. Κοίταξε να δεις. Δεν μπορείς να πας συνεχώς από το μηδέν μέχρι το πιδεύτερας αυτό, διότι δεν είναι... γιατί σταματάει. Πρέπει να πάμε από το μηδέν μέχρι πού θα πάμε. Πρέπει αυτό το κομμάτι να σαρώσουμε. Αλλά αυτό ποιο είναι. Το ένα είναι το μηδέν. Για να φτάσω σε ποιο σημείο αυτή η καμπύλη... Πώς θα το βρείτε ποιο είναι αυτό, καταρχήν, συλλογιστικά, ποιο τρόπο θα το βρείτε. Νίκο, δεν θα πες. Πότε γίνεται το R του θ ίσον με μηδέν. Όταν το θ γίνει πόσο. Πι τέταρτα, μπράβο, αυτό είναι, αυτό είναι, το βρήκες. Άρα λοιπόν, αυτό ξεκινάει από... Η μεγίστη του τιμή είναι στο θ ίσον με μηδέν. Συμφωνείτε? Αυτό το σημείο είναι το θ ίσον με μηδέν. Για να γυρίσει να γίνει το ρ μηδέν. Γιατί εδώ το ρ είναι μηδέν, το βλέπετε. Σε ποιο σημείο το κοζάιν δύο θ γίνεται μηδέν. Όταν το θ γίνει πι τέταρτα. Συμφωνείτε? Άρα για να βρω εγώ το ένα κομματάκι από αυτό το φύλλο. Το 1 όγδο δηλαδή από πολύ την επιφάνειά του. Θα ολοκληρώσω αυτό εδώ. Θα υπολογίσω το ε. Να είναι 1 δεύτερο. Ολοκλήρωμα από... Αυτό είναι το ε1. Από μηδέν μέχρι πι τέταρτα. Του συνημίτωνο δύο θ. Όλο στο τετράγωνο δε θ. Αυτό πρέπει να υπολογίσετε. Και αυτό το ε1 θα το πολλαβλασιάσουμε οχτώ φορές για να βρούμε όλο το σχήμα. Ωραία. Εδώ είναι πλέον οι πράξεις να γίνουν. Οι οποίες χρειάζεται να τις δουλέψετε αρκετά. Είναι πολύ απλό. Κάθε φύλλο του τράπεδου του φύλλου μας είναι ίδιο. Γιατί να μην είναι. Στο δικό μου σχήμα όχι. Όχι. Αυτό θα το πρωτοδείξεις στον πίστευτο. Είχατε εντύπωση προς δύο ότι τα φύλλα ήταν μεγαλύτερα. Μα δεν είναι δυνατόν σε ένα τέτοιο σχήμα να βγούνε τα φύλλα διαφορετικά. Αφού είναι τελείως συμετρικό. Το συνημίτωνο δύο θ δεν μπορεί να δηδώσει ασύμετρα. Εκτός και είχε ρ, είχε κάτι εδώ πέρα. Αν είχε δηλαδή ένα συντελεστή εδώ πέρα που εξαρτάται από τη γωνία. Τότε το πλάτος αυτού του πράγματος θα ήταν διαφορετικό για κάθε γωνία θ. Αλλά πρέπει να είναι πολύ πλοκο το σχήμα τότε. Με καταλάβατε. Εάν γράψω ρ του θ, ίσον με κάποιο ρ τετράγωνο κοζάιν δύο θ. Και πηγαίνετε στη μαθημάτικα που έχει δυνατότητα να ζωγραφήσει. Εκτός από το πλότο απλό η μαθημάτικα έχει και πολλικές συντεταγμένες μπορεί να ζωγραφήσει. Ψάξτε το στα γραφικά της μαθημάτικας στο ίντεξ και βρέστε την δυνατότητα της μαθημάτικας να ζωγραφήσει πολλικές συντεταγμένες. Και με αυτό το πράγμα, γιατί σας το λέω πως μπορείτε να την αξιοποιήσετε τη μαθημάτικα. Μπορείτε να της δώσετε τέτοια σχήματα και να αποχτίσετε λίγο μια εμπειρία από σχήματα που μπορούν να δημιουργηθούν με διαφορετικές εκφράσεις. Δηλαδή να παίξετε, να βάλετε το καρδιοειδές με ένα simple, με ένα plain, με διάφορους συντελεστές και να δείτε τα σχήματα. Οπότε εύκολα να φτιάξετε μερικές παραστάσεις. Αυτό που θα λέγαμε στα αγγλικά templates. Οπότε όταν σου δώσει μια έκφραση ο άλλος αμέσως καταλαβαίνεις ποιο είναι το σχήμα. Το καταλαβαίνετε όλοι ή έχετε και εσείς τη διαφωνία ότι δεν θα είναι απολύτως συμμετρικό. Ξεχάστε το σχήμα το δικό μου. Αλλά το πραγματικό σχήμα αν το ζωγραφίσετε θα είναι απολύτως συμμετρικό. Συμφωνείτε? Ωραία. Απορίες σε αυτό υπάρχει? Λέω, αν ξεκινήσεις, αυτό εδώ πέρα ξεκινάει από εδώ που είναι η μέγιστη τιμή του και πηγαίνει στο μηδέν. Δεν πηγαίνει τώρα, πηγαίνει στο μηδέν. Η γωνία μεγαλώνει. Νάτη. Συμφωνείς? Και ξαφνικά όταν το ρ πηγαίνει στο μηδέν, η γωνία αυτή έχει φτάσει σε ποιο σημείο. Για να πάει αυτό στο μηδέν, τι γωνία πρέπει πρώτη να δώσει αυτό. Πιτέταρτα. Συμφωνείτε? Ωραία. Λοιπόν, πάμε παρακάτω. Ένα ακόμα και μετά τελειώσαμε με τις πολικές εταγμένες. Για πέστε μου πώς θα ζωγραφίσετε το σχήμα που λέει, ακούστε πώς μπορεί να είναι μία άσκηση. Το σχήμα θα το κάνω εγώ, αλλά εσείς θα μου κάνετε τα υπόλοιπα. Λοιπόν, μας δίνει λοιπόν το εξής, να βρείτε την επιφάνεια που είναι μεταξύ του καρδιοειδούς, αρ ίσον τέσσερα συν τέσσερα συνιμήτων ο θίτα και του κύκλου ρ ίσον έξι. Άρα λοιπόν αυτός είναι ένας κύκλος με ακτίνα έξι και το καρδιοειδόες είναι το τέσσερα συν τέσσερα συνιμήτων ο θίτα. Επειδή είναι και θέμα επανάληψης, θέλω αυτό σχήμα, αποτελείται σύνθεση δύο σχημάτων, ενός κύκλου με ακτίνα έξι και το καρδιοειδόες, το οποίο βέβαια είναι το καρδιοειδόες, θα είναι από εδώ το καρδιοειδόες τώρα, αλλά πώς ακριβώς θα είναι σε διαστάσεις, θέλω να το βρείτε εσείς, έτσι θα είναι το καρδιοειδόες. Το καρδιοειδόες δηλαδή θα έχει τώρα στον άξονα Ωχ θα είναι το μέγιστο, αλλά πόσο ακριβώς θα είναι, δηλαδή σε ποια σημεία θα χτυπάει στα τέσσερα σημεία, στον άξονα Ωχ, στον άξονα Ωψ, θα πηγαίνει στο μηδέν, μετά πηγαίνει στον αρνητικό Ωψ και γυρίζει πίσω, αυτό είναι το καρδιοειδόες, αυτή τη φορά είναι στο δεξί μέλος των συντεταγμένων Ωχ Ωψ. Λοιπόν, πρέπει να βρείτε εσείς με βάση το ρ4, τέσσερα, τέσσερα συνειμήτων Ωθ, και να ζωγραφίσετε αυτό και τον κύκλο ρ ίσον 6, μετά πρέπει να βρείτε την τομή που σχηματίζουν αυτά τα σχήματα, γιατί τι θέλουμε, θέλουμε να βρούμε αυτό που ζητά η άσκηση, να βρείτε την επιφάνεια που είναι στο εσωτερικό του καρδιοειδούς και στο εξωτερικό του κύκλου. Έτσι είναι η διατύπωση της άσκησης. Ξαναλέω ποια είναι η άσκηση. Λέει να βρείτε την επιφάνεια στην περιοχή που είναι στο εσωτερικό του καρδιοειδούς ρ4 συν 4 συνειμήτων Ωθ και στο εξωτερικό του κύκλου ρ6. Όποιος έχει βρει πώς είναι το σχήμα αυτό, πριν κάνουμε την ολοκλήρωση, πριν κάνουμε το εμβαδόν, θέλω να ζωγραφίσει κάποιος το σχήμα μόνο, να σηκωθεί πάνω και να ζωγραφίσει το σχήμα. Ή να μου το πει. Πώς είναι το σχήμα. Ο κύκλος ρ6, βέβαια δεν θέλει καμία φαντασία, αλλά το πώς τέμνει αυτό το καρδιοειδές, δηλαδή πού είναι τα σημεία που τέμνει το καρδιοειδές. Παραμένως αυτό το σημείο ποιο είναι εδώ πέρα, που τέμνει τον άσκηση όμικρον χ. Όμικρον χ, πού τον τέμνει τον όμικρον χ. Πόσο είναι αυτό. Πιστεύω, οχτώ. Έτσι εδώ πέρα πόσο είναι το καρδιοειδές. Τέσσερα. Και εδώ πέρα είναι μίον τέσσερα και αυτά, αυτό είναι. Τώρα για ζωγραφίστε εκεί μέσα και έναν κύκλο με ακτίνα έξι. Έτσι αφού είναι το οχτώ, εδώ είναι το τέσσερα, εδώ είναι το έξι και εδώ είναι το δύο. Λοιπόν ζωγραφίστε και έναν κύκλο με ακτίνα έξι. Βλέπετε τώρα πώς θα βρείτε τα σημεία που τέμνονται τα δύο αυτά σχήματα. Πώς θα βρούμε το σημείο το θ, στο οποίο σε ποιο θ θα τέμνονται αυτά τα δύο σχήματα. Λοιπόν θέλω κάποιος να κάνει την εξής δουλειά και να σηκωθεί στον πίνακα να μας τα πει, να μας τα πει από κάτω για να το κάνω εγώ. Λέω, θα βγράψω αυτό το καρδιοειδές το οποίο το φτιάξαμε. Θα βάλουμε και το ρ ίσον έξι που είναι ο κύκλος. Και μετά θα μου πείτε πώς θα βρω τα σημεία τα θ, στα οποία το καρδιοειδές και ο κύκλος τέμνονται. Λοιπόν, ποιος θα μας βοηθήσει εκτός από τον Αργύρη. Κώστα, έλα, θέλεις να σκοθείς απάνω ή θα μου τα πεις από κάτω, πες μου. Λοιπόν, πες μου, καταρχήν πώς θα βρούμε, πώς θα βρούμε την τομή τους. Λοιπόν, ας το πούμε ότι για να είναι το καρδιοείδες, να αντέχει το κύκλος, θα βγαίνει το θ, πώς τότε. Πες το ακριβώς, θέλω την απάντηση. Σωστά, είναι έτσι που θα γίνει όπως το είπες, αλλά... ΠΕΕΚΤΑ, ΑΡΓΕΡΙΣΗ, πώς σου νομίζεις ότι θα είναι. Δεν είναι πίτριτα και μίον πίτριτα. Μάλιστα, πίτριτα και μίον πίτριτα. Άρα η τομή τους είναι στο πίτριτα και στο μίον πίτριτα, σωστά. Ο τρόπος είναι αυτός που είπα και εγώ, σ' αυτός εδώ πέρα θα μπορούμε, οπότε με αυτάς εδώ της πράξης θα βρούμε θ ίσον πίτριτα. Λοιπόν, τώρα το έχουμε. Δεν έχω φτιάξει εγώ το σχήμα εδώ πέρα, γιατί δεν είναι κάπως έτσι θα είναι το σχήμα. Αυτό είναι το σχήμα και αυτό που ζητάμε είναι αυτό εδώ. Συμφωνείτε? Λοιπόν, το υπόλοιπο είναι πράξεις τώρα. Πρέπει να υπολογίσουμε, να βάλουμε, πώς θα στήσουμε το πρόβλημα. Το εμβαδόν θα είναι ίσον με τι, ποιος θα με βοηθήσει από εδώ και πριν, δεύτερον, ολοκλήρωμα. Ας το πάρουμε από το 0 μέχρι π. 30, δεν χρειάζεται να πάμε, αν βρούμε αυτό το κομμάτι το διπλασιάζουμε, έτσι. Αν βρούμε το κομμάτι στο πρώτο Τεταρτημόριο, τότε το διπλασιάζουμε. Λοιπόν, εδώ μέσα τι θα γράψουμε για να βγάλουμε τις πράξεις. Αργήρη, πες μας. Μασικά, αν μπορούμε να γράψουμε το ολοκλήρωμα του καρδίου, 1 δεύτερο στις 4 συνειμήτων θ και όλο στο τετράγωνο δε θ, μίον ολοκλήρωμα από 0 μέχρι π. 2 του 1 δεύτερο έξω στο τετράγωνο δε θ. Ωραία, ή όλο μαζί, όπως το είπες, στο 1 δεύτερο να παίξω. Μέσα ανοίγουμε μία παρένθεση που το ρ1 είναι το ρ1 που είναι το καρδιοειδές στο τετράγωνο, μίον το ρ2 που είναι ο κύκλος στο τετράγωνο, για να φτιάξουμε και ένα γενικό τύπο. Οπότε έχουμε μέσα στην παρένθεση 4 συν 4 συνειμήτων θ και όλο στο τετράγωνο, μίον 6 στο τετράγωνο επί τε θ. Δηλαδή να φτιάξουμε έναν υγεία ολοκλήρωμα. Έλα Κασταπέση. Γιατί, πια πες μας εσύ. Αυτό που λες θα ήταν αν ήταν ο κύκλος πιο μεγάλος και το καρδιοειδές το μικρότερο από μέσα. Δηλαδή ξεκινάμε από το μεγαλύτερο, αυτό είναι το μεγαλύτερο και από αυτό αφαιρούμε αυτό. Δηλαδή, αν κανένας ήθελε να βγάλει αυτό εδώ το κομμάτι, θα αφαιρούσε από το καρδιοειδές ολοόκληρο, θα αφαιρούσε το κομμάτι του κύκλου. Το είδες, το βλέπετε οι υπόλοιποι ή είχατε την ίδια απορία και απλώς δεν ρωτήσατε. Όταν έχουμε δύο σχήματα, αυτό στις Καρδεσιανές, μου είπατε εσείς μόνο, όταν έχω δύο επιφάνειες f1 του x και f2 του x, αφαιρώ τη μεγαλύτερη από τη μικρότερη. Ή, αν θέλετε με τον τρόπο που πήγαινε προηγουμένους ο αργήτης, δεν το κάνω ενιαίο το σχήμα, φτιάχνω πρώτα τι θα γίνει στον καρδιοειδές στο κομμάτι από εδώ μέχρι εδώ. Αυτό δηλαδή, αν έχω το πρώτο, είναι το καρδιοειδές που μου δίνει αυτό εδώ πέρα. Εάν πάρω το πρώτο κομμάτι, μου δίνει αυτό. Συμφωνείς Κασταρ? Πούντος, συμφωνείς? Αυτό είναι το καρδιοειδές και θα βγάλω αυτό το κομματάκι από το υπόλοιπο από τον κύκλο που είναι το 6 τετράγωνο. Άρα, r1 λοιπόν το ένα σχήμα, το απέξω, μειών r2 το από μέσα και αφαιρούνται αυτά τα δύο. Λοιπόν, περιμένω απορίες. Υπάρχουν? Να πούμε ότι τελειώσαμε με αυτά, δεν χρειάζεται άλλα να κάνουμε και να γυρίσουμε να πάμε εκεί που είμασταν την περασμένη φορά ή μάλλον να κάνουμε διάλειμμα και να γυρίσουμε να μιλήσουμε για όγκους και επιφάνειες. Το επόμενο θέμα που θα ήθελα πριν μπούμε σε αυτό που θέλω να τελειώσουμε, τις επιφάνειες και στους όγκους των σχημάτων που δημιουργούνται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα όμικρον χ ή όμικρον ψ ή οποιαδήποτε συγκεκριμένη ευθεία. Πριν δούμε αυτό τελικά θα ήθελα να δούμε και ένα θέμα που έχει να κάνει με την φυσική. Το έργο μας ζητάνε λοιπόν να μας δίνουν μια καμπύλη που αποτελεί την τροχιά της κίνησης ενός σημείου. Άρα λοιπόν ένα σημείο ακολουθεί μια συγκεκριμένη τροχιά και την καμπύλη της τροχιάς αυτής την ξέρουμε. Αυτή είναι η τροχιά που ακολουθεί στο επίπεδο ένα υλικό σημείο. Αν υποθέσουμε ότι στο υλικό σημείο κατά μήκος της τροχιάς ασκείται μια δύναμη F του X την οποία την ξέρουμε και αυτή ας πάρουμε την απλούστερη δυνατή είναι το KX ας πούμε ότι υπάρχει μια δύναμη η οποία σχετίζεται με μια σταθερά K και το X. Θέλω να μου πείτε πως θα βρούμε το έργο που θα παραχτεί εάν το υλικό σημείο κινηθεί σε αυτή την τροχιά με την επίδραση αυτής της δύναμης από το σημείο Α μέχρι το σημείο Β. Βάζω το πρόβλημά μου. Έχω λοιπόν μια τροχιά την οποία την ξέρω είναι η Ψ του X. Γνωστή μου εξίσωση. Και κατά μήκος αυτής της τροχιάς ασκείται μια δύναμη F του X. Θέλω να υπολογίσω το έργο που θα παραχτεί όταν το υλικό σημείο με την επίδραση αυτής της δύναμης κινηθεί από το σημείο Α στο σημείο Β. Πώς θα στήσω αυτό το πρόβλημα. Βλέπω δύο έχουν σηκώσει το χέρι ήδη. Το στοιχειώδες έργο που εκτελείται αν κάνω μια μετατόπιση κατά μήκος αυτής της τροχιάς. Η μετατόπιση πόσο θα είναι. Πώς τη λέμε. Τη στοιχειώδη μήκος στην καμπύλη αυτή. Πώς είναι το στοιχειώδες μήκος. Εσείς έχετε μιλήσει και οι τρεις που σηκώνουν το χέρι. Εσείς δεν έχετε μιλήσει. Πέστε μου. Ποιο θα είναι πιο μεγαλής ακρίβειας. Πάρα πολύ ωραία. Άρα λοιπόν το στοιχειώδες έργο που θα παραχτεί είναι το Φ του Χ και θα πολλαπλασιαστεί με το ΔΕΕΣ. Αυτό είναι το στοιχειώδες μήκος απάνω στην καμπύλη. Είναι ΔΕΕΣ. Και πώς έχουμε πει εμείς ότι το στοιχειώδες μήκος γράφεται ΔΕΕΣ. Πώς θα γράψουμε το στοιχειώδες μήκος Αργύρη. Αυτό θα γράψουμε Φ του Χ τετραγωνική ρίζα του 1 συν Φ τόνους Χ στο τετράγωνο ΔΕΕΣ και θα ολοκληρώσουμε αυτό το στοιχειώδες από Α έως Β. Οπότε εδώ πέρα θα είναι από Α έως Β αυτή η σχέση. Θα αντικαταστήσω αν τώρα η καμπύλη αυτή μου την είχανε δώσει, αν ήταν εξέρωγο το Ψ στον Χ τετράγωνο και ήταν από 0 μέχρι 1 και η Φ του Χ ήταν η ΚΧ θα βάλω εκεί πέρα και θα κάνω το ολοκλήρωμα και τελείωσα. Κατανοητό αυτό για το έργο, για οποιοδήποτε καμπύλη της οποίας ξέρω τη συνάρτηση. Ποιος μίλησε. Θα σε ακούω. Ωραία. Λοιπόν υπάρχουν απορίες σε αυτό. Πες Αργύρη. Αν αυτή η καμπύλη είναι στο χώρο πως θα το βρούμε. Αν είναι στο χώρο δεν είναι εδώ πέρα η δουλειά μας. Θα το συζητήσουμε στο άλλο εξάμινο. Γιατί οτιδήποτε έχει να κάνει με το χώρο θα το μεταφέρουμε στο επόμενο εξάμινο στα γενικά μαθηματικά 2. Αν έχουμε εξίσουση χ μετά, δηλαδή θέση χρόνος, μπορούμε κάπως από αυτή να βρούμε την εξίσουση μετατόπισης και δύναμης. Πώς θελεπολογιστούμε από εκεί το έργο. Και το έργο πάλι μιλάμε. Αυτό δίνει αρχικά την εξίσουση, όχι αυτή την δύναμη μετατόπιση, αλλά δίνει την εξίσουση χ μετά. Ή τη χ και ψή του τάφ ως μανού δίνει μόνο αυροτέρο. Αν θες να φτιάξω μία σύνδεξη μεταξύ εργοκαίνει η εξίσουση χ μετατόπιση. Απλούστατα, αν έχω την εξίσουση χ του τάφ, ό,τι έχω κάνει εδώ πέρα, δηλαδή πες ότι κινείται, έχω τη λύση για την καμπύλη στο χώρο, δεν έχω το ψή του ψή του χ, όπως το έγραψα προηγουμένως, αλλά έχω από τις εξώσεις κινήσεις λύση και έχω βρει το χ του τάφ και το ψή του τάφ. Εάν λοιπόν συμβαίνει αυτό, σε αυτήν εδώ τη σχέση, στη θέση του χ θα βάλω εφ χ του τάφ και εδώ πέρα αυτήν την έκφραση για τον τέες θα την γράψω αλλιώς. Θα την γράψω τετραγωνική ρίζα, γιατί είμαστε στις παραμετρικές εξίσουσεις, οπότε του μεν εφ θα βάλω τη χ του τάφ, τελείωσα με αυτό. Στον τέες όμως θα γράψω δέ χ δέ τε και όλος το τετράγωνο, συν δέ ψι δέ τε και όλος το τετράγωνο, επί δέ τε. Οπότε έτσι θα γράψω το στοιχειοδεσμίκος και θα ολοκληρώσω από τη χρονική στιγμή τάφ 1 στη χρονική στιγμή τάφ 2. Με παρακολουθείτε όλοι, παιδιά δεν έχει καμία αξία να ντρέπεστε να πείτε δεν κατάλαβα τι είπατε, είναι το πιο φυσιολογικό πράγμα. Κούτε κάτι πρώτη φορά, αλίμονο, αλίμονο, εγώ στη θέση σας δεν θα είχα αυτή την άνεση, να ακούσω κάτι πρώτη φορά και αναγκαστικά να το καταλάβω αμέσως. Το μόνο που θα μπορούσατε να πείτε είναι ότι όχι, θέλω να το δουλέψω, επειδή έχω αυτή τη φιλοσοφία σε αυτό το μάθημα, θέλω να το δουλέψω λίγο στο σπίτι, να το νιώσω εγώ μόνος μου και μετά να ρωτήσω. Όλη η τάξη έχει αυτή την προσέγγιση, εγώ είμαι πολύ χαρούμενος μεν, αλλά θέλω να ξέρω ότι αυτό είναι και όχι ότι ντρέπεστε. Για ποιο δεύτερο τύπο λέτε, δεν έχω γράψει το δεύτερο τύπο, εδώ, εδώ, εδώ, ναι, σωστά. Ωραία, εντάξει. Άλλο, πες το. Μάθαμε ότι το αέρα μία δύναμη σαν ανεξάρτατη τροχιά του κινητού είναι ολοκλήρωμα το ΆΠΟΑΤΗΤΑ, τη δύναμη την ΤΕΡΟΤΟ. Το ίδιο πράγμα είναι, το ΤΕΕΣ, δηλαδή το ΡΟ, το ΤΕΡΟ, το διάνυσμα θέσης. Σε αυτή την περίπτωση, αυτός, σε αυτή την περίπτωση, δεν κινείται σε καρτεσιανές, κινείται σε πολικές τεταγμένες. Αν λοιπόν έχετε, μιλάμε για κεντρικές δυνάμεις, τότε είμαστε, πως θα το φτιάξουμε αυτό, αφού το έβαλε στο ερώτημα να το κάνουμε. Είμαστε σε κεντρικές δυνάμεις. Το διάνυσμα λοιπόν, το διάνυσμα είναι ευτουρό τώρα, σωστά. Τώρα λοιπόν, εγώ θέλω το ΤΕΕΣ τώρα, θα το γράψω σε πολικές τεταγμένες, για να μπει και εδώ το ΡΟ. Πως είναι σε πολικές τεταγμένες, τη μετατόπιση απάνω στην καμπύλη. Ποιος το θυμάται, κανένας, δεν πειράζει. Βλέπετε πόσο σημαντική είναι η παράδοση. Λοιπόν, ΡΟ τετράγωνο, ΤΕΡΟ ΔΕΘΕΤΑ, και όλο στο τετράγωνο ΤΕΡΟ. Αυτό είναι η στοιχειότητα της μετατόπισης. Οπότε, για να βρω το έργο εγώ, έτσι όπως λέει ο συνάδελφός σας, θα πάρω το ευτουρό επί τον ΤΕΕΣ, τον ΤΕΕΣ θα βάλω αυτήν εδώ τη σχέση και θα πάω από τη θέση ΡΟ1 στη θέση ΡΟ2. Καταλάβατε? Έχω μεταφερθεί από τις καρτεσιανές που ξεκίνησα εγώ, πήγα μετά στις παραμετρικές και τώρα πάμε στις πολικές. Εντάξει, ωραία. Θα αφήνουμε όλα αυτά πίσω και πάμε σε αυτό που θέλουμε να κλείσουμε. Είπαμε στο προηγούμενο μάθημα ότι θέλουμε να φτιάξουμε κάποιους τύπους με τους οποίους θα μπορούμε να υπολογίσουμε από την περιστροφή μιας καμπύλης γύρω από τον Άξιον ΩΜΚΡΟΝΚΙ ΩΜΚΡΟΝΠΣΙ ή οποιαδήποτε άλλη ευθεία μας δώσουνε, θέλουμε να περιστρέψουμε μια καμπύλη που ξέρουμε την εκφρασή της και από αυτή την καμπύλη, από την περιστροφή της, να βρούμε τον όγκο και την επιφάνεια του στερεού που έχει σχηματιστεί. Από την περιστροφή αυτή σχηματίζεται ένα στερεό και θέλουμε να βρούμε τον όγκο και την επιφάνεια. Λοιπόν, είχαμε πει ότι σαν διαδικασία πια θα ακολουθήσουμε. Το επαναλαμβάνω μερικά πράγματα που τα είπαμε στο περασμένο μάθημα. Να λοιπόν μια καμπύλη την οποία θα περιστρέψω γύρω από τον ΩΜΚΡΟΝΚΙ. Η καμπύλη αυτή είναι ΨΙΕΦΤΟΧΙ και ξεκινάει από το σημείο Α και τελειώνει στο σημείο Β. Έχω λοιπόν ζωγραφίσει μια καμπύλη ΨΙΕΦΤΟΧΙ και θα την περιστρέψω γύρω από τον άξονα ΩΜΙΚΡΟΝΚΙ. Εάν με καταλάβατε πως θα δουλέψω, θα κόψουμε αυτή την καμπύλη σε δύο διαδοχικά σημεία. Το ένα θα είναι ένα τυχαίο σημείο το Ι και το άλλο θα είναι ένα διπλανό σημείο που είναι ΙΣΙΝΔΙΧΙ. Δηλαδή η διαφορά αυτών των δύο είναι ΔΕΧΙ. Το πάχος αυτού του σχήματος είναι ΔΕΧΙ. Άρα δηλαδή έχω δύο ευθείες οι οποίες είναι παράλληλες προς τον άξονα ΩΜΙΚΡΟΝΚΙ και διαφέρουν καταντέχει. Λέω ότι όταν γυρίζω αυτή την καμπύλη γύρω αυτό εδώ πέρα το πραγματάκι θα μου δημιουργήσει στην καμπύλη αυτή στο χώρο ένα μικρό κύλινδρο. Μπορείτε να τον φανταστείτε μαζί μου. Όταν κόψω για να το δούμε σε ένα πιο απλό σχήμα. Ας πούμε ότι πάρουμε πραγματικά μια ευθεία. Αφήστε την καμπύλη. Και την περιστρέψουμε γύρω, η ευθεία είναι στο ΑΙΣΤΡΙ. Νάτη λοιπόν μια ευθεία. Την περιστρέψουμε γύρω από τον άξονα ΩΜΙΚΡΟΝΚΙ. Τι σχήμα θα δημιουργηθεί? Κύλινδρος, έτσι δεν είναι. Ας πούμε ότι είναι στο ύψος και ξεκινάει από το 0 και τελειώνει στο 5. Αν περιστρέψω την ευθεία ψΙΣΩΝΤΡΙ γύρω από τον άξονα ΩΜΙΚΡΟΝΚΙ. Θα δημιουργηθεί ένας κύλινδρος με βάση 3. Έτσι η ακτήνα της βάσης θα είναι 3 και το ύψος θα είναι 5. Ωραία, αν κόψω αυτόν τον κύλινδρο. Αν πάρω μια συγκεκριμένη ευθεία και την περιστρέψω και αυτήν γύρω γύρω. Και μια διπλανή της θα δημιουργηθεί ένας μικρός κύλινδρος, στοιχειώδης κύλινδρος. Του οποίου μπορείτε να μου πείτε αυτός ο στοιχειώδης κύλινδρος, ο πολύ μικρός, πως ίσως είναι ο όγκος του. Ο στοιχειώδης κύλινδρος που δημιουργείται κάθε φορά που κόβω ένα σχήμα και φτιάχνω ένα... Έχει ύψος δΕΧΙ και βάση πόση. Πέστε μου, εσείς. Η βάση του λοιπόν είναι π, στην περίπτωση εδώ είναι το ψ, π επί ψ τετράγωνο και έχει ύψος δΕΧΙ. Αυτός εδώ πέρα εγώ λέω είναι ένας στοιχειώδης όγκος, δΕΧΙ. Το βλέπετε κι εσείς αυτό λοιπόν το στοιχειώδης κύλινδρος που κόπηκε από δύο διαδοχικές τομές. Μια στοχή και μία στοχή συνδέχη. Δημιουργήθηκε ένα μικρό κυλινδράκι. Έχει ύψος δΕΧΙ και βάση π ψ τετράγωνο. Τη βλέπετε όλοι. Ωραία, τι βλέπετε. Αφού λοιπόν τη βλέπετε αυτό λοιπόν το νόγκο για να τον βρω σε κάθε τέτοια σχήμα. Αφού το ψ θα μου το έχεις δώσει, θα είναι οποιαδήποτε καμπύλι. Εδώ είναι μία ευθεία τρία. Το ολοκλήρωμα λοιπόν, το ολοκλήρωμα του ΔΕΧΙ από το σημείο μηδέν έχρι πέντε θα είναι το κύλινδρος. Και αν αντικαταστήσω στον ΔΕΧΙ αυτά που έγραψα προηγουμένως θα βγει το π. Θα βγει το ψ, είναι σταθερό τρία, θα γίνει τρία στο τετράγωνο. Και θα ολοκληρώσω τον ΔΕΧΙ από το μηδέν μέχρι το πέντε. Οπότε θα γίνει π, αυτή ήταν η ακτή αντιπάσεις στο τετράγωνο, α στο τετράγωνο, γενικές περιπτώσεις. Και το μηδέν έως πέντε είναι το ύψος, είναι π α τετράγωνο π h. Που είναι το όγκος του κυλίνδρου. Που υπάρχει δυσκολία. Υπάρχει δυσκολία πουθενά. Εφόσον δεν υπάρχει δυσκολία λύστε μου κι εσείς ένα γνωστό σχήμα. Πάρτε μία ευθεία η οποία τέμνει τον άξονα ψ. Μία ευθεία που τέμνει τον άξονα τον ψ στο σημείο h. Και τον άξονα τον χ στο σημείο α. Περιστρέψτε γύρω από τον όμικρο ψ και φτιάξτε έναν ορθό κόνο. Και βρέστε σε αυτόν τον ορθό κόνο τον όγκο αυτού του κόνου. Δική σας άσκηση τώρα. Αν με καταλάβατε θα το κάνετε αυτό. Αν δεν με καταλάβατε δεν θα το κάνετε. Παίρνω λοιπόν την ευθεία που περνάει στον άξονα χ στο α και στον άξονα ψ στο h. Και την περιστρέφω γύρω από τον άξονα ομικρο ψ. Και δημιουργείται ένας ορθός κόνος. Αυτός ορθός κόνος θέλω να βρω τον όγκο του. Για πέστε μου τι θα κάνω. Θα ξεκινήσετε πάντα με το να φτιάξετε το στοιχειώδες ο όγκο που θα δημιουργηθεί από την περιστροφή μία στοιχαίου σημείου μια στοιχαία σακτίνας ή αν θέλετε από δύο τομές που θα απέχουν μεταξύ τους δέλτα χ σε κάποιο τυχαίο σημείο του άξονα ομικρο ψ. Σε κάποιο τυχαίο σημείο του άξονα ομικρο ψ μεταξύ του 0 και του h θα φέρετε δύο εφαπτόμενα προς την ευθεία μάλλον ομικρον χ θα φέρετε δύο εφαπτόμενες ευθείες δηλαδή θα κάνετε δύο τομές τέτοιες οι οποίες και αυτές θα γυρίσουν γύρω γύρω και θα φτιάξουν ένα μικρό στοιχειώδι όγκο. Πόσος είναι ο όγκος αυτού του στοιχειώδι. Πόσος είναι ο όγκος του στοιχειώδι κυλίνδρου. Αυτός είναι ένας στοιχειώδις κυλίνδρος, έχει ύψος δx και βάση πx τετράγωνο. Επειδή τον περιστρέφω γύρω από το ψ, η βάση αυτού του κυλίνδρου δεν είναι πx τετράγωνο που είπαμε προηγουμένως, είναι πx τετράγωνο. Το βλέπετε αυτό τουλάχιστον, όλοι το βλέπετε. Όποιος δεν το βλέπει και δεν μιλάει δεν κάνει σε κανέναν μας καλό. Εμένα μου δίνει την εντύπωση ότι με έχετε καταλάβει και προχωράω και εσείς δεν έχετε πάρει αυτό που πρέπει να πάρετε. Οπότε δεν κερδίζει κανένας με τη σιωπή σας. Εκτός και το έχετε καταλάβει, οπότε μια χαρά, κερδίζετε όλοι. Ακούω, πέστε μου εσείς πώς θα γράψω. Ο στοιχειώτης όγκος λοιπόν τεβέ θα είναι ίσως. Παρακάτω τώρα πώς θα πάω. Τώρα χρειάζομαι να πάω προς ένα από τις δύο μεταβλητές. Ή θα πάω στη ψ ή θα πάω στη χ. Οπότε χρειάζομαι κάτι ακόμα. Για να μεταφέρω, για να ολοκληρώσω εδώ, πρέπει να συνδέσω το ψ με το χ. Να βρω ποια είναι η σύνδεση του ψ με το χ. Και υπάρχουν πολλοί τρόποι να το κάνω αυτό. Να βρω δηλαδή τη σχέση του ψ με το χ. Την καμπύλη δηλαδή της ευθείας τελικά. Χρειάζομαι την καμπύλη της ευθείας. Λέω λοιπόν ότι παίρνω ένα τυχαίο σημείο εδώ πέρα στον άξονα ομικρών ψ μέσα σε αυτό εδώ. Παίρνω ένα τυχαίο σημείο. Πόσο είναι σε αυτό εδώ πέρα για να ακουμπήσει. Η απόσταση αυτή είναι χ, δεν είναι. Άρα αν αυτό το περιστρέψω γύρω από τον άξονα του θα μου δημιουργήσει ένα κυκλικό δίσκο με ακτίνα χ. Πίχει τετράγωνο είναι το εμβαδόν του. Και το ύψος θα είναι τε ψ. Άρα εδώ είναι το εμβαδόν του κύκλου που δημιουργείται από την περιστροφή αυτή, δηλαδή αυτούν εδώ. Και έχει ύψος τε ψ. Αυτός λοιπόν είναι ο στοιχειώδης όγκος που δημιουργείται από αυτήν εδώ την τομή σε αυτό εδώ το σημείο. Αν πάρετε δύο παράλληλα επιφάνειες προς τον ομικρών χ ομικρών ψ. Αν πάρετε δύο παράλληλα επιφάνειες αυτές θα τμίσουν σε δύο κυκλικούς δίσκους. Οι οποίοι θα παίχουν μεταξύ τους τε ψ. Και θα έχουν βάση ο καθένας π.χ. τετράγωνο. Ο ένας λίγο διαφορετικό όλα θα θεωρήσουμε επειδή είναι το τε ψ απειροστό ότι η διαφορά τους είναι μηδέν. Άρα είναι ένας πολύ συγκεκριμένος κύλινδρος με βάση π.χ. τετράγωνο και ύψος τε ψ. Όλο που μας λείπει τώρα είναι να βρούμε πως θα γράψουμε το ψ σαν συνάρτηση του χ. Για να υπολογίσω το τε ψ ίσον με κάτι τε χ. Βάσο για πες εσύ Βάσο. Ψ ένα προς χ τετράγωνο γιατί τόσο εξωτικό και ευθεία έχουμε. Πραγματικά με εξέπληξες πως το σκέφτηκες. Αλλά εδώ δεν έχουμε πουθενά καμπύλη 1δχ τετράγωνο. Είναι μια πολύ διαφορετική καμπύλη. Αυτό που λες εσύ πως είναι το σχήμα του 1δχ τετράγωνο. Θα είναι κάπως έτσι. Συμφωνείς. Και θα έφτιαχνε ένα άλλο σχήμα. Το οποίο αν το κόψω θα φτιάξει ένα τελείως άλλο σχήμα. Δεν είναι δηλαδή ο ορθός κόνος. Το εμβαδόν του ορθού κόνο το ξέρω. Για αυτό πάω για τον ορθό κόνο. Προσπαθώ να το εφαρμόσω όλα αυτά στη σφαίρα και στον κόνο. Που τα ξέρω τους όγκους τους. Εγώ χρησιμοποίησα μια ευθεία που έχω κάνει την περιστροφή. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας γύρω από την οποία χρησιμοποίησα σαν γυνήτορα του κυλίνδρου. Πέστε μου την εξίσωση της ευθείας. Εσείς δεν έχετε μιλήσει. Ψ. Ψ. Αχ. Αχ. Είναι έτσι. Συμφωνείτε με τον συναδελφό σας όταν είναι Αχ. Οι υπόλοιποι τι λέτε. Κοίταξε εδώ αν πάρω το Χ μηδέν. Έτσι το Χ μηδέν το ψ θα πάει στο Άις. Αλλά εδώ πέρα το Άις καλά είναι. Αν πάρω όμως το ψ μηδέν θα μου βγεί το Χ. Είναι ίσον με πόσο. Θα είναι ίσον με μίον. Άις προς Άλφα. Δεν είναι σωστό αυτό. Είναι. Όχι. Αλλά δεν είναι έτσι η εξίσωση. Παιδιά στο πρώτο μάθημα που κάναμε. Είναι αν σας δώσω δύο σημεία στο επίπεδο. Πώς θα βρείτε την ευθεία που περνάει μέσα από αυτά τα δύο σημεία. Τα σημεία εδώ πέρα είναι. Το ένα είναι το Άλφα που έχει μηδέν Άις. Και το άλλο είναι το Β. Το οποίο έχει Άλφα μηδέν. Ποια είναι η ευθεία που περνάει από αυτά τα δύο σημεία. Πάμε στην αρχή όπως ξεκινήσαμε τώρα και δεν απαντάτε. Με σταναχωρείτε. Θέλω την εξίσωση της ευθείας που περνάει από δύο γνωστά μου σημεία. Το ένα είναι το Άλφα και το άλλο είναι το Β. Αυτό είναι υλικό το οποίο το έχετε δουλέψει το Λύκειο. Και το κάναμε και εμείς στην εξογενικήνυση αυτού του μαθήματος. Πείτε μου εσείς. Η συνάδελφός σας λοιπόν λέει είναι μίον Άς προς Άλφα επί Χ. Συν Άς. Οι μπόλοι που είχατε σηκώσει στα χέρια. Πέστε μου. Τώρα εάν λοιπόν εδώ χρησιμοποιήσω αυτήν την ευθεία. Θα βρω τη σχέση του ΔΕΠΣΙ με τον ΔΕΧΗ. Τι θα βγάλω εδώ πέρα. Θα πάρω τον ΔΕΠΣΙ λοιπόν. Θα είναι ίσον με μίον Άς δια Άλφα ΔΕΧΗ. Τελειώστε το εσείς και βρέστε μου αν βρίσκω το σωστό αποτέλεσμα για τον όγκο του ορθού κυλίντρου. Κυλίντρου λέω. Την ορθού κόνου. Τελειώσετε. Ναι σήκω να το κάνεις. Πάρτε και το χαρτί σου και έλα. Μεγάλα τα γράμματα για να βλέπει και η κοπελίτσα στο τέλος. Το όνομά σου. Πώς? Μαρία. Να βλέπει και η Μαρία. Μεγάλα τα γράμματα. Καλησπέρα. Το μίον τι γιατί μας βγήκε εκεί πέρα. Ποιος θα βοηθήσει το μίον γιατί μας βγήκε εδώ πέρα. Πώς θα βιώξουμε το μίον. Το μίον δεν είναι σωστό βέβαια. Μήπως... Ρωτάω. Πέστε μου. Μπορούμε να πάρουμε την ίδια ευθεία με θετικό συμπεριστή κλίξης. Γιατί ουσιαστικά είναι η άλλη πλευρά. Ναι. Σε αυτήν εδώ δηλαδή... Άρα λοιπόν μπορούσε να είναι αυτό συν. Συμφωνείτε. Συμφωνείτε. Γιατί ο περιορισμός είναι γνωστός. Δηλαδή εμείς δεν λύνουμε ένα απλό μαθηματικό πρόβλημα ότι να είναι. Ο όγκος μας πρέπει να βγει θετικός. Έτσι δεν μπορεί να βγάλουμε αγιετικό όγκο. Πέστε μου. Μπορούσαν να ολοκληρώσει το μίον άλφα στο μηδέν. Πέστε μου πάλι. Μπορούσαν να ολοκληρώσει το μίον άλφα στο μηδέν. Ναι θα μπορούσαν να ολοκληρώσει αυτό ήταν η άλλη λύση. Από το μίον άλφα στο μηδέν. Έτσι. Πάμε τώρα να βρούμε και κάτι ακόμα. Άρα για τους όγκους εδώ δεν νομίζω ότι εμείς μπορούμε να εξαντλήσουμε αυτά τα σχήματα. Εκείνο που θέλω εγώ να ξεκινάτε να βγάλετε όλους τους τύπους που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Θέλω να ξεκινάτε από το στοιχειώδες από την περιστροφή γύρω από τον άξονα που πρέπει να περιστροφεί και να φτιάχνει το στοιχειώδι όγκο. Θέλω από εκεί να ξεκινάτε. Από το στοιχειώδι όγκο. Έτσι. Αν βρούμε χρόνο θα κάνουμε μια άσκηση ακόμα να δούμε πως αντιστήσουμε. Αλλά για να είμαι σίγουρος ότι θα ολοκληρώσουμε. Θέλω να σας πω και κάτι ακόμα. Εάν μας βολεύει να βρούμε ένα σχήμα, να βρούμε τον όγκο ενός σχήματος, πολλές φορές βάζοντας αυτόν τον τρόπο που μόλις διαλέξαμε, που είναι ένας δρόμος, η περιστροφή γύρω από τον άξονα, όποιον άξονα πρόκειται να γυρίσει η καμπύλη για να φτιάξει το στερεό που θέλουμε να δημιουργήσουμε, είναι ένας τρόπος. Υπάρχει και άλλος ένας τρόπος ενδιαφέρον, ο οποίος λέει το εξής. Κοιτάξτε, μπορώ να φτιάξω ένα σχήμα γύρω από την περιστροφή του γύρω από τον άξονα αυτόν εδώ πέρα, δηλαδή να δημιουργηθεί ένα τέτοιο σχήμα. Από την καμπύλη, από μια καμπύλη που είναι αυτή, για να δούμε ποιο είναι το, να παίρνω μια καμπύλη από αυτές που έχει εδώ το βιβλίο σας, για να κάνω την ίδια. Λοιπόν, εάν μας δώσουν την ψ ίσον 3x-x τετράγωνο, ψ ίσον 3x-x τετράγωνο, αυτό δημιουργεί μια καμπύλη σαν αυτή εδώ πέρα, ψ ίσον 3x-x τετράγωνο. Δημιουργεί λοιπόν μια τέτοια καμπύλη, την περιστρέφω γύρω από τον άξονα ομικρον ψ και αν περιστραφεί γύρω από τον άξονα ομικρον ψ θα μου δημιουργήσει κάτι σαν αυτό που δημιουργεί το, νομίζω ποιο, σας θυμίζει καν ένα γλυκό αυτό, άμα το περιστρέψουμε γύρω από τον άξονα, ναι νομίζω ότι όχι ακριβώς έτσι, είναι κάτι σαν το κέικ. Έτσι, αν κόψουμε το μέσον, αν το κάναμε έτσι δηλαδή, θα δημιουργούσε έτσι κάτι σαν το κέικ, αν δεν ενώναμε τις σχέσεις, εντάξει, το βλέπετε, είναι η φόρμα του κέικ ανάποδα, δεν είναι, λάθος κάνω. Άξι ρε παιδιά, πήγα να πω κι εγώ δηλαδή, ήταν το τριαντάφυλλο εδώ πέρα που μας ξέπληξε και τη φόρμα του κέικ, πώς το πούμε τετράφυλλο ε, τετράφυλλο τριαντάφυλλο, φαντάζω να είναι οχτάφυλλο τι έχει να γίνει, το οχτάφυλλο τριαντάφυλλο τι εξίσουση έχει, τι γελάτε, τι εξίσουση έχει το οχτάφυλλο, τέσσερα θήτα. Λοιπόν, ωραία, προσέξτε τώρα τι μπορούμε να κάνουμε για να απλοποιήσουμε τον υπολογισμό του όγκου. Μπορούμε να φτιάξουμε το εξής σχήμα, να πάρουμε και να δημιουργήσουμε ένα φλοιό, ο οποίος θα τον ζωγραφίσω εγώ τώρα, προσέξτε πως είναι, φτιάχνω λοιπόν ένα φλοιό, ο οποίος έχει συγκεκριμένο ύψος Σ, έχει περιφέρεια εδώ πέρα, αυτή εδώ πέρα η περιφέρεια, αυτός είναι η απόσταση Χ. Αυτή είναι η απόσταση Χ, την οποία περιστρέφω γύρω από τον άξονα και πόσος είναι ο όγκος σε αυτόν εδώ το φλοιό, μπορεί κάποιος να με βοηθήσει να τον βρω. Βλέπετε έναν όγκο που έχω δημιουργήσει, ο οποίος τι έχει, έχει ακτίνα όμικρον Χ, τέμνει αυτό το σχήμα που σας είπα που είναι σαν αυτή την ευθεία, αν θέλετε να την πάρουμε έτσι όπως ήταν, να αφήσουμε τα γλυκά γιατί δεν είναι ώρα να την πάρουμε έτσι. Λοιπόν, προσέξτε τι κάνει αυτό, παίρνω και δημιουργώ ένα φλοιό, ο οποίος δημιουργείται από δύο κυλίνδρους με διαφορά σε μήκος Δχ στην περίπτωση αυτή. Βλέπετε δύο κυλίνδρους οι οποίοι είναι ομόκεντροι, έχω δύο ομόκεντρους κυλίνδρους με απόσταση μεταξύ τους Δχ. Δημιουργείται ένας φλοιός, κόβεται ένας φλοιός, ο όγκος αυτού του φλοιού θα με βοηθήσει κάποιος, έστω και αν κάνει λάθος, να μου πει πόσος είναι. Έχω φτιάξει ένα φλοιό που έχει δημιουργηθεί από δύο ομόκεντρους κυλίνδρους, ο ένας έχει ακτίνα Χ και ο άλλος έχει Χ Δχ και ανεβαίνουν απάνω και χτυπάνε την επιφάνεια που μας ενδιαφέρει. Πόσος είναι αυτός ο όγκος, για πες Κώστα, πες μου, για Γιώργο, κοίταξε όμως εδώ, εδώ πέρα αυτό όμα γυρίσει γύρω γύρω θα δημιουργήσει μια περιφέρεια, έτσι δεν είναι, η οποία έχει ακτίνα Χ. Πόσο θα είναι για αυτήν την περιφέρεια αυτό εδώ πέρα, αυτή η καμπύλη εδώ, η περιφέρεια που θα δημιουργηθεί γύρω γύρω. Αν το περιστρέψουμε αυτό εδώ πέρα γύρω από τον άξονα όμικρον Χ, αυτό εδώ πέρα που έχει ύψος Ψ και έχει απόσταση από την αρχή μηδέν Χ, θα δημιουργηθεί ένας κύλινδρος, ο οποίος έχει βάση, το κύλινδρο είναι Χ και το ψήψος του είναι Ψ. Όχι, να το βρούμε συνέχεια, να βρούμε λοιπόν το εσωτερικό, άρα γράφω είναι 2ΠΧ, 2ΠΧ τι είναι, αν Χ είναι αυτό το σημείο, αυτό είναι το σημείο Χ, 2ΠΧ είναι μια περιφέρεια και έχει ύψος Ψ και δέχει είναι το πάχος. Δηλαδή φτιάχνω ένα φλοιό, ο οποίος γυρίζοντας το γύρω γύρω μου φτιάχνει μια περιφέρεια που είναι 2ΠΧ, έχει ύψος Ψ και έχει πάχος δέχει, αυτό δημιουργεί σε ένα μικρό φλοιό. Αυτό δεν μπορούσα να το βρω αλλιώς, με το προηγούμενο τρόπο που δούλευα μπορούσα, αλλά μερικές φορές αυτή η διαδικασία με το να δημιουργήσω αυτούς τους φλοιούς είναι πάρα πολύ πιο εύκολη. Οπότε το βλέπετε γιατί το 2ΠΧ, 2ΠΧ είναι ένα στοιχειώδησο όγκος που έχει δημιουργηθεί από την τομή αυτής της επιφάνειας που έφτιαξα με την οποία την έχουνε κόψει δύο ομόκεντροι κύλιντροι. Το βλέπετε ή δεν το βλέπετε, πέστε μου Γιώργο. Το διαφορετικό ύψος σε αυτό το δέχει δεν θα το πάρουμε υπόψη μας. Δεν θα το πάρουμε εδώ για τους όγκους, για την επιφάνεια θα το πάρουμε υπόψη μας, αλλά για τον όγκο δεν το παίρνουμε υπόψη μας. Θεωρούμε δηλαδή ότι το ύψος της είναι το ίδιο. Λοιπόν, για κοιτάξτε και θέλω να μου φτιάξετε ένα τέτοιο σχήμα αν περιστρέψω στον κύκλο, αν περιστρέψω ένα κύκλο γύρω από τον άξινο ομικρον χ, και θέλω να μην το κάνω με τον κλασικό τρόπο, με την περιστροφή, αλλά θέλω να το κάνω με αυτούς τους ομόκεντρους κυλίδρους. Και εδώ πέρα μπορώ να φτιάξω δύο ομόκεντρους κυλίδρους, να τος ο ένας, να ένας λίγο πιο έξω. Αυτοί εδώ πέρα θα κατεβαίνουν κάτω έτσι και θα δημιουργούν ένα μικρό φλοιό, ο οποίος είναι αυτός εδώ. Λοιπόν, κόβοντας επίσης με δύο ομόκεντρους κυλίδρους που απέχουν μεταξύ τους, που έχουν τον ίδιο κέντρο, την άξονα όμικρον Ψ είναι το κέντρο τους, η ευθεία γύρω από την οποία κινούνται, και έχουν απόσταση τεχύ. Φτιάχνω ένα φλοιό, ο οποίος έχει και εδώ πέρα δύο πηχοί, να το δύο πηχοί, το Ψ είναι το ύψος σε αυτόν εδώ τον κύλιντρο. Αυτό βέβαια είναι το μισό που θα μου δώσεις, το διπλασιάσω για να βρω όλο τον κύκλο. Επί τεχύ, τεχύ είναι αυτή η απόσταση εδώ πέρα, τεχύ. Αυτό που έγραψα εδώ πέρα, άμα το ολοκληρώσω ως προς το τεχύ, θα πρέπει το ψ να το γράψω σαν συνάρτηση του χ, γιατί το ψ είναι η καμπύλη που μου έχουν δώσει, ψ του χ, και με αυτό εδώ πέρα θα ολοκληρώσω για να βρω το μισό ημισφέριο. Αυτά, ναι, Έργυρη. Μήπως όμως να το κάνω από μηδέν ως R, δεν θα μου το δώσει ολόκληρο, επειδή ο κύλιντρος δεν είναι κάτι σημαντικό. Ναι, εγώ δουλεύω σε καρτισιανές, δεν έχω πάει σε κύλιντρο και συλληταγμένες τώρα. Ναι, το ξέρω, το ξέρω. Απλά, εγώ έτσι πως το έχω στο μυαλό μου, επειδή ο κύλιντρος είναι ουσιαστικά, άμα το πάρω δυο πηχοί, επειδή έτσι θα συναρτήσω χ, επειδή έξερα ότι είναι εξίσου το κύκλος, δεν θα μου δώσει αυτό, αν το ολοκληρώσω από μηδέν ως R, δεν θα μου το δώσει ολόκληρο. Το R ποιο θα είναι, το R πως το έβαλες μέσα στο παιχνίδι. Το R είναι ο κύκλος, δεν έχει μια ακτίνα. Ναι, αλλά την ανομάζω χ, εγώ, γιατί κυνείομαι στις καρτισιανές. Θεωρώ ότι η ακτίνα είναι από το μηδέν μέχρι το χ, οπότε το δυο πηχοί είναι ο υπερίμετρος. Κατάλαβες, και το R δεν μπαίνει μέσα. Ναι, R εννοείς το μέγιστο χ. Το μέγιστο χ, ναι. Α, το μέγιστο χ. Αν ολοκληρώσω αυτό από μηδέν έως R, θα μου δώσει όλη τη σφαίρα. Ναι, αυτό εννοείς. Είναι και ολόκληρη σφαίρα. Λοιπόν, αυτό ήταν το επόμενο στοιχείο το οποίο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και να τελειώσω λίγο με την επιφάνεια. Η επιφάνεια, είπαμε ότι αυτό που δεν το δουλέψαμε καθόλου, είναι ότι θέλουμε να δημιουργήσουμε, αν δημιουργήσουμε μια επιφάνεια που έρχεται πάλι από την περιστροφή, η επιφάνεια, η στοιχειώδης επιφάνεια που δημιουργείται από την περιστροφή αυτής της καμπύλης, ψ του χ, η στοιχειώδης επιφάνεια πάλι θα είναι, θα πάρω ένα συγκεκριμένο σημείο, αυτό θα έχει συντεταγμένες ψ του χ. Λοιπόν, θα έχω πάλι π ψ του χ στο τετράγωνο, επί ΔΕΣ, εδώ θα βάλω τον ΔΕΣ, τον ΔΕΣ είναι το στοιχειώδες μήκος εδώ πέρα, δεν θα βάλω, έχω κάνει ένα λαθάκι, θα ζητάω συγγνώμη, για την επιφάνεια θα πάρω την, όπως θα περιστρέφω αυτόν τον κύκλο γύρω γύρω, θα φέρω την περιφέρεια, οπότε θα είναι δύο π επί ψ του χ, επί ΔΕΣ. Αυτή θα είναι η στοιχειώδης επιφάνεια, δεν α να την πω. Γιατί είναι αυτή η στοιχειώδης επιφάνεια, είναι δύο π επί ψ, να το το ψ του χ, γιατί δύο π επί ψ, διότι έχω την περιφέρεια που δημιουργείται από την περιστροφή αυτής της καμπύλης, και τον ΔΕΣ είναι το στοιχειώδες μήκος. Για να ολοκληρώσω αυτόν τον ΔΕΣ θα γράψω δύο π ψ του χ, τετραγωνική ρίζα του 1, συν ψ τόνους στο τετράγωνο ΔΕΧ. Και εδώ έχω ολοκληρώσει για τη στοιχειώδη επιφάνεια. Αυτή τη στοιχειώδη επιφάνεια θα την ολοκληρώσω από το χ να πηγαίνει από το Α μέχρι το Β. Αν την ζητάω λοιπόν την επιφάνεια Α, θα την ολοκληρώσω την στοιχειώδη επιφάνεια από το Α έως Β, ΔΕΑΛΦΑ. Οι τύποι λοιπόν που μας ενδιαφέρουν είναι ο ένας που μας δίνει την στοιχειώδη επιφάνεια από την περιστροφή μιας καμπύλης. Αυτός δημιουργεί μία περιφέρεια που είναι η 2ΠΠΣ, επί ΔΕΕΣ. Αν λοιπόν περιστρέφω γύρω από τον άξονα αυτό το στοιχειώδες θα δημιουργηθεί η επιφάνεια που με ενδιαφέρει, μια στοιχειώδης επιφάνεια η οποία προκύπτει από την τομή πάλι με δύο κάθετες ευθείες αυτής της καμπύλης γύρω γύρω όταν δημιουργηθεί επιφάνεια. Οι τύποι λοιπόν, εγώ σας έχω προτείνει τους τύπους που θα χρησιμοποιείτε κάθε φορά να τους ξεκινάτε από την παραγωγή τους, δηλαδή κοιτάζοντας πως δημιουργείται η στοιχειώδης επιφάνεια από την περιστροφή της καμπύλης γύρω από οποιοδήποτε σημείο περιστρέφεται. Πρώτα φτιάχνετε τη στοιχειώδη επιφάνεια ή τη στοιχειώδη όγκο και μετά ολοκληρώνετε. Και με αυτόν τον τρόπο πρέπει τις κλασικές περιπτώσεις που σας δίνω μια απλή καμπύλη που την περιστρέφω γύρω από τον όμικρον Χ και όμικρον Ψ, πάρα πολύ απλό και για τον όγκο και για την επιφάνεια. Τώρα, ένα άλλο σημείο είναι αυτό το ΔΕΕΣ το μήκος. Εάν με συμφέρει να χρησιμοποιήσω τις σφαιρικές τεταγμένες θα πάρω τον ΔΕΕΣ σε σφαιρικές τεταγμένες. Και αν με συμφέρει να χρησιμοποιήσω αυτόν τον τύπο σε σφαιρικές τεταγμένες, το Ψ σε σφαιρικές τεταγμένες ξέρω πως γράφεται. Πως γράφεται το Ψ σε σφαιρικές τεταγμένες ή το Χ όποιοδήποτε μας χρειάζεται. Στις σφαιρικές τεταγμένες, στις πολικές τεταγμένες δηλαδή, στις πολικές ήθελα να πω και όχι σφαιρικές, στις πολικές τεταγμένες πως γράφουμε το Ψ του Χ. Πως γράφουμε το Ψ στις πολικές τεταγμένες. Γιατί κολλήσατε τώρα, εάν έχω πολικές τεταγμένες, να το το Ρ και να το το Θ και μου ζητάνε το Ψ ή μου ζητάνε το Χ. Αυτό είναι το Ψ και αυτό είναι το Χ. Δεν μπορείτε να γράψετε το Ψ και το Χ σε πολικές τεταγμένες. Πόσο είναι, πες το μου. Ψ λοιπόν ίσον, αυτό. Άρα στον τύπο για το ΔΑ, θα γράψω το ΔΕ σε πολικές τεταγμένες και το Ψ θα το γράψω ΡΟΙΜΙΤΟΝΟΘΗΤΑ. Και θα ολοκληρώσω σπρος τις γωνίες από Θ1 έως Θ2. Οι εφαρμογές που μπορείτε να κάνετε εσείς, για να δείτε ότι μπορείτε να το λύσετε αυτό το πρόβλημα και μη από αυτές, αν θέλετε, τώρα, αν μπορούσατε να, δεν ξέρω αν έχετε χρόνο, ή θα το κάνετε στο σπίτι, πηγαίνετε στο σπίτι και σκεφτείτε πώς θα υπολογίσω την επιφάνεια της σφαίρας. Νομίζω το είπαμε την πρινσμένο μάθημα, το κάναμε την επιφάνεια της σφαίρας, το δουλέψαμε καθόλου. Κάναμε μια αναφορά, δεν το δουλέψαμε. Λοιπόν, η επιφάνεια της σφαίρας... Ναι. Τον τέ στους πολικές. Τον τέ στους πολικές, είναι τετραγωνική ρίζα, τουρό τετράγωνο, συντερό τε θίτα, και όλο στο τετράγωνο τε θίτα. Λοιπόν, ελάτε να κάνουμε την τελευταία εφαρμογή και μετά θα βρεθούμε πάλι μετά τις γιορτές για ερωτήσεις. Εννοείται ότι αν έχετε ερωτήσεις πριν από τα Χριστούγεννα... Ναι, πέστε μου. Το εμβαδό ζητούσαμε. Για κοιτάξτε κάτι. Εάν πάρω εγώ μια καμπύλη και την περιστρέψω γύρω από αυτό και σχηματίζω μια επιφάνεια. Και κόψω αυτή την επιφάνεια με δύο κάθετα όπως είπαν προηγουμένους που είναι δύο διπλανές κάθετες ευθείες. Θα δημιουργηθεί μια λωρίδα δε θα δημιουργηθεί από αυτό το πράγμα. Μια λωρίδα δε θα δημιουργηθεί. Άμα το ανοίξω αυτή την επιφάνεια δεν θα δημιουργηθεί μια λωρίδα. Ποια είναι η βάση της λωρίδας. Η βάση της λωρίδας ποια είναι. Επί ψυχή. Επί ψυχή. Σωστό. Και ποιο είναι το ύψος της λωρίδας. ΔΕΕΣ. Συμφωνείτε. Λοιπόν θέλετε να φύγετε ή θέλετε να κάνουμε τη σφαίρα. Θέλετε να φύγετε. Να κάνουμε τη σφαίρα ή να φύγετε. Λοιπόν να κάνουμε τη σφαίρα. Θέλουμε να βρούμε την επιφάνεια της σφαίρας. Λοιπόν έχουμε τη δημιουργούμε τη σφαίρα. Αν θέλετε για να βρούμε την επιφάνεια παίρνουμε αυτό εδώ πέρα το κομματάκι. Δηλαδή το πρώτο τεταρτημόριο της σφαίρας. Και το περιστρέφουμε. Αυτό εδώ πέρα είναι χ τετράγωνον. Συψή τετράγωνο. Ίσον α τετράγωνο. Αυτή είναι η καμπύλη που μας ενδιαφέρει. Σε πολλικές τεταγμένες ξέρουμε πως γράφεται η σφαίρα. Η σφαίρα σε πολλικές τεταγμένες είναι ρ ίσον α. Και σε πολλικές τεταγμένες. Σε πολλικές τεταγμένες ο τύπος που ζητούσαμε για την επιφάνεια είναι ολοκλήρωμα 2π ρ ημίτωνο θ. Τετραγωνική ρίζα α. Α τετράγωνο. Το άλλο είναι μηδέν. Δ θ. Και το θ θα το πάρουμε από το μηδέν μέχρι πιδεύτερα. Γιατί το γράψα αυτό. Στη θέση του ψή επέγραψα τον τύπο μου σε πολλικές τεταγμένες. Σε πολλικές τεταγμένες είχαμε πει ότι η επιφάνεια σε πολλικές τεταγμένες είναι ολοκλήρωμα 2π ρ ημίτωνο θ. Το ρ ημίτωνο θ είναι το ψή μου το είπε η συνάδελφό σας. Τετραγωνική ρίζα του ρ τετράγωνο συν τ ρ τ θ και όλος το τετράγωνο τ θ. Από θ1 μέχρι θ2. Αυτόν τον τύπο χρησιμοποιώ. Σε πολλικές τεταγμένες πήγα. Γιατί πήγα σε πολλικές τεταγμένες. Η σφαίρα φωνάζει ότι θέλει πολλικές τεταγμένες. Δεν είναι. Δεν χρειάζεται να το... Δεν είναι ότι δεν μπορείτε να το βρείτε και σε καρτεσιανές. Απλώς είναι λίγο πιο δύσκολο. Μπορεί κάποιος να πάρει αυτήν εδώ τη σχέση και να μου αποδείξει το 2π α τετράγωνο ολοκλήρωμα από μηδέν μέχρι πι δεύτερα του ημιτώνου θ. Δεν θ με πόσο είναι. Πόσο είναι το ολοκλήρωμα του ημιτώνου θ από μηδέν μέχρι πι δεύτερα. Απαντήστε παιδιά μου. Δεν σου ακούω τι λες. Ωραία λοιπόν έχουμε 2π α τετράγωνο μειον κοσ θ από μηδέν έως πι δεύτερα. Και αυτό πόσο θα βγάλει. Μειον ένα. Μειον ένα θα βγάλει αυτό το μηδέν. Εντάξει. Οπότε θα μας βγάλει εδώ 2π α τετράγωνο. Και επειδή αυτό είναι το 1 τέταρτον από τη σφαίρα θα το πολλαπλασιάσουμε. Τι έχουμε κάνει. Τι έχουμε κάνει. Έχουμε κάνει κάπου λάθος παιδιά. Έχουμε κάνει κάπου λάθος. Που είναι. Όχι όχι. Το λάθος μας είναι ότι αυτό εδώ πέρα που βρήκαμε είναι η επιφάνεια του 1 τετάρτο. Πρέπει να το πολλαπλασιάσουμε αυτό με 4 και θα βγάλει 8. Θα βγάλει το διπλάσιο. Οπότε κάπου έχουμε κάνει λάθος. Που είναι το λάθος μας όμως. Θα το κοιτάξετε στο σπίτι. Θα το κάνουμε. Θα το κοιτάξετε στο σπίτι λοιπόν. Εντάξει τελειώστε το σπίτι. Κάτι μας έχει φύγει τώρα που δεν το βλέπουμε αμέσως και υπάρχει και πίεση να τελειώσουμε.