Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις / Διάλεξη 2 / Εισαγωγή στις συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις. Εξοικείωση με τη χρήση και την κατασκευή γραφικών παραστάσεων τριγωνομετρικών, εκθετικών, σύνθετων και πεπλεγμένων συναρτήσεων.

Εισαγωγή στις συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις. Εξοικείωση με τη χρήση και την κατασκευή γραφικών παραστάσεων τριγωνομετρικών, εκθετικών, σύνθετων και πεπλεγμένων συναρτήσεων.: Είχαμε μείνει στο περασμένο μάθημα ότι έχουμε δύο τύπους γενικούς φαινομένων στη φυσική και η μία είναι τα περ...

Πλήρης περιγραφή

Λεπτομέρειες βιβλιογραφικής εγγραφής
Κύριος δημιουργός:	Βλάχος Λουκάς (Καθηγητής)
Γλώσσα:	el
Φορέας:	Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Είδος:	Ανοικτά μαθήματα
Συλλογή:	Φυσικής / Γενικά Μαθηματικά I
Ημερομηνία έκδοσης:	ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 2014
Θέματα:	γραφικές παραστάσεις τριγωνομετρικές σύνθετη Φυσική γενικά πεπλεγμένες συναρτήσεις εκθετική μαθηματικά Ανοικτά μαθήματα
Άδεια Χρήσης:	Αναφορά-Παρόμοια Διανομή
Διαθέσιμο Online:	https://delos.it.auth.gr/opendelos/videolecture/show?rid=4813baff

id	0ab9830a-dc80-42f0-b8bb-ee0c37984e41
title	Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις / Διάλεξη 2 / Εισαγωγή στις συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις. Εξοικείωση με τη χρήση και την κατασκευή γραφικών παραστάσεων τριγωνομετρικών, εκθετικών, σύνθετων και πεπλεγμένων συναρτήσεων.
spellingShingle	Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις / Διάλεξη 2 / Εισαγωγή στις συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις. Εξοικείωση με τη χρήση και την κατασκευή γραφικών παραστάσεων τριγωνομετρικών, εκθετικών, σύνθετων και πεπλεγμένων συναρτήσεων. γραφικές παραστάσεις τριγωνομετρικές σύνθετη Φυσική γενικά πεπλεγμένες συναρτήσεις εκθετική μαθηματικά Βλάχος Λουκάς
publisher	ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
url	https://delos.it.auth.gr/opendelos/videolecture/show?rid=4813baff
publishDate	2014
language	el
thumbnail	http://oava-admin-api.datascouting.com/static/3f65/79b5/74a4/d596/eeb0/e2f6/9d06/e2c6/3f6579b574a4d596eeb0e2f69d06e2c6.jpg
topic	γραφικές παραστάσεις τριγωνομετρικές σύνθετη Φυσική γενικά πεπλεγμένες συναρτήσεις εκθετική μαθηματικά
topic_facet	γραφικές παραστάσεις τριγωνομετρικές σύνθετη Φυσική γενικά πεπλεγμένες συναρτήσεις εκθετική μαθηματικά
author	Βλάχος Λουκάς
author_facet	Βλάχος Λουκάς
hierarchy_parent_title	Γενικά Μαθηματικά I
hierarchy_top_title	Φυσικής
rights_txt	License Type:(CC) v.4.0
rightsExpression_str	Αναφορά-Παρόμοια Διανομή
organizationType_txt	Πανεπιστήμια
hasOrganisationLogo_txt	http://delos.it.auth.gr/opendelos/resources/logos/auth.png
author_role	Καθηγητής
author2_role	Καθηγητής
relatedlink_txt	https://delos.it.auth.gr/
durationNormalPlayTime_txt	01:27:57
genre	Ανοικτά μαθήματα
genre_facet	Ανοικτά μαθήματα
institution	Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
asr_txt	Είχαμε μείνει στο περασμένο μάθημα ότι έχουμε δύο τύπους γενικούς φαινομένων στη φυσική και η μία είναι τα περιοδικά φαινόμενα και η άλλη είναι τα φαινόμενα τα οποία έχουμε απότομη κατάρρευση, συνεχή κατάρρευση ή έχουμε έκρηξη. Οπότε να δούμε αυτές τις συναρτήσεις οι οποίες θα περιγράψουν τέτοια φαινόμενα. Και ας ξεκινήσουμε με τις τριγωνωμετρικές συναρτήσεις, τις οποίες ξέρετε φυσικά, τις οποίες γνωρίζετε και μια γρήγορη επανάληψη θα κάνουμε σήμερα στις ειδικές συναρτήσεις για να φύγουμε από αυτό το χώρο και να μπούμε σε άλλα θέματα. Αλλά από την άλλη μεριά παρόλο ότι γνωρίζω ότι τις ξέρετε χρειάζεται να κάνετε και μερικές επαναλήψεις γιατί ορισμένα πράγματα πιθανότατα να μην τα έχετε τα φωμιώσει. Η τριγωνωμετρική συναρτήση θα είναι μια συναρτήση σαν αυτή. ΚΑΠΑΧΙ ΣΙΝΦΙ. Και σε αυτήν εδώ τη συναρτήση βλέπουμε ότι έχουμε το τλάτος, η γραφική της παράσταση θα είναι μια τέτοια ταλάτοση. Οπότε θέλουμε να αναγνωρίσουμε τους όρους. Το πρώτο και σημαντικό είναι το πλάτος. Μετά εδώ πέρα αυτός είναι ο κύματάριθμος. Ο κύματάριθμος ΚΑΠΑ θα τον γράψουμε 2πΔΑΛ. Και γι' αυτό εδώ πέρα αυτή η σχέση μπορεί χρησιμοποιώντας την ανάλυση να την γράψουμε 2πΔΑΛ. Άρα αν αναλύσουμε το ΚΑΠΑ με αυτόν τον τρόπο η συναρτήση θα γραφτεί ΑΜΙΔΕΝ, η μύτωνο του 2π και το ΧΙ με το ΛΑΜΤΑ συν το ΦΙ. Το ΧΙ λοιπόν είναι ο άξιωνας αυτός ο ΧΙ, αυτός είναι ο ΨΙ, αυτό είναι το μήκος κύματος. Και φυσικά το ΧΙ και το ΛΑΜ πρέπει να μετρηθούν στο ίδιο σύστημα μονάδων. Είτε μέτρα είτε σαντιμέτρα κανά λόγα τι πρόβλημα σε τι μονάδες δουλεύεται. Και τέλος έχουμε το ΦΙ που είναι η αρχική φάση, δηλαδή αν είμαστε στην αρχή εδώ η αρχική φάση είναι 0. Αλλά αν ξεκινήσουμε από κάποιο άλλο σημείο, αν ξεκινήσουμε αυτή την καμπύλη από αυτό το σημείο, θα έχουμε μια μετατόπιση φυσικά και αυτή η μετατόπιση θα μετρήσει τη φάση. Ένα κύμα που περιγράφεται με αυτό τον τρόπο, αν κάποιος δεν σας το δώσει με μια μαθηματική έκφραση, αλλά σας το πει με λόγια, πώς λέγεται, ποια λέξη φυσικής περιγράφουμε με ένα τέτοιο κύμα. Πέστε μου εσείς, πέστε και το όνομά σας θα το λέτε συνέχεια. Ναι Αλέξανδρε, ναι αρμονική είναι η ταλάντωση αυτή, αλλά πώς λέγουμε ένα κύμα τέτοιο, όχι. Πέστε μου εσείς, πώς, όχι αυτό ακριβώς δεν είναι, ακριβώς το αντίθετο περίμενα να πείτε, στάσιμο, έτσι. Αυτό είναι ένα στάσιμο κύμα, λοιπόν γιατί είναι στάσιμο κύμα, γιατί δεν υπάρχει ο χρόνος. Και αν θέλουμε να το κάνουμε, ένα κύμα το οποίο, αν το αλλάξουμε αυτό, αν αλλάξουμε αυτή την έκφραση και τη γράψουμε α0, η μύτωνο, το kx, το κύματάριθμος μίον ωμέγα τάφ, συν φι, τώρα συμπληρώσαμε ένα κύμα, βάζαμε και το χρόνο μέσα, το α0 παραμένει σταθερός αριθμός. Αυτό είναι ένα κύμα το οποίο διαδίδεται, η διαφορά αυτών των δύο κυμάτων μπορείτε να τη φανταστείτε, δηλαδή τι θα διαφέρει αυτό το κύμα, το οποίο το είπατε τρέχον, αν είχα δηλαδή μια δυνατότητα να το δω, να εξελίσετε αυτό το κύμα στο χρόνο, πώς το φαντάζεστε ότι θα, τι θα φαντάζεστε ότι θα γινότανε. Γιατί λέγεται τρέχον, δηλαδή τι είναι αυτό το τρέχον, πες το μέσα. Γιατί κάποια σημεία του μέσου, κάποια δυνατικά στάσματα, είναι το πραγματικό να εκτελεί και θα μη εταλάντωσης. Ναι, κάποια ήτανε στάσημα, δηλαδή τι εννοείς, ότι αυτό το σημείο θα κάνει και αυτό μη εταλάντωση τώρα, αυτό εννοείς, αυτό εννοείς. Ναι, άρα λοιπόν αυτά όλα τα σημεία εδώ πέρα θα εκτελούν με το συγκεκριμένο. Αυτή η καμπύλη, επειδή για κάθε χρονική στιγμή, αν τη δείτε αυτό, αφάλλω μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, τα φένα, αυτό εδώ πέρα προσθήθεται στη φάση. Άρα είναι σαν να φεύγει αυτό το κύμα και να έρχεται, να ανεβαίνει αυτή τη μία εδώ πέρα, να ανεβοκατεβαίνει αυτό. Οπότε το κύμα αυτό, ουσιαστικά, την επόμενη χρονική στιγμή θα είναι έτσι, θα έχει μετατοπιστεί λίγο. Και αν συνεχίσει θα μετατοπίζεται, αλλά θα φαίνεται, αν το δείτε με, αν φτιάξετε ένα movie, μια ταινία με αυτό το κύμα, στο χρόνο, μια ταινία, γιατί η ταινία είναι όταν μπαίνει ο χρόνος μέσα σε μια συνάρτηση, όταν μπαίνει ο χρόνος, σημαίνει ότι έχουμε εξέλιξη στο χρόνο. Εξέλιξη στο χρόνο σημαίνει ταινία, οπότε αν το δείτε αυτό σε ταινία, αν θέλετε μπορείτε να το ψάξετε και να το βρείτε, θα δείτε λοιπόν αυτό το πραγματικά να ταξιδεύει. Το ω τί είναι τώρα δε, το ω ποια ποσότητα είναι, το κ είπαμε λέγεται κύματάριθμος. Αυτό το ω πως λέγεται, κυκλική συχνότητα και με τι είναι η ίση, 2π προσθέει περίοδος. Η άλλη γραφή είναι 2π επί νι, που νι είναι η συχνότητα. Εντάξει, τα γράφουμε αυτά, τα γράφουμε και τα ξέρουμε και μένουν αυτά, δεν τα γράφουμε για να περάσουμε το μάθημα, έτσι. Σας παρακαλώ αυτά πράγματα δεν είναι για το μάθημα μόνο, αλλά είναι για να μείνουν πραγματικά στην περιγραφή τέτοιων κυμάτων. Ωραία. Λοιπόν, υπάρχουν ορισμένες ταυτότητες στις νοικονομετρικές, σε οποία είπατε ότι ήταν εκτός ήλιης και δεν τις κάνατε στο λύγιο. Στο βιβλίο όμως που θα πάρετε υπάρχουν αυτές οι ταυτότητες και το πρώτο πράγμα που θα θέλαμε είναι να ορίσουμε μέσα από αυτές, ορίσαμε το ημήτωνο και το συνημήτωνο. Αυτά τα δύο είναι δύο κλασικές συναρτήσεις, οι οποίες βέβαια θα μας χρειαστεί σε έναν κύκλο με ακτίνατη μονάδα. Το ημήτωνο και το συνημήτωνο μπορούμε εύκολα να τα βρούμε όπως εδώ θα είναι το ψ και εδώ θα είναι το χ. Θα μπορούμε να βρούμε ποια είναι οι τιμές, αυτό είναι η ακτίνα του κύκλου που μπορούμε να τον πάρουμε μονάδα. Οπότε εκεί μέσα ορίζεται το ημήτωνο και το συνημήτωνο. Τα θεωρώ γνωστά και δεν θα προσπαθήσω να τα ορίσω πάλι. Θα σας παρακαλέσω να γυρίσετε να επαναλάβετε στο λύκειο, στο βιβλίο που διαβάσατε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Να θυμηθείτε το ημήτωνο και το συνημήτωνο και το τριγωνομετρικό κύκλο, όσοι δεν τα θυμάστε. Τώρα, αν συνεχίσουμε θα πρέπει να ορίσουμε και μερικές ακόμα συναρτήσεις. Και αυτές επίσης τις γνωρίζετε εκτός από το ημήτωνο και το συνημήτωνο. Θα ορίσουμε την εφαπτομένη μιας γωνίας χ. Τώρα έγραψα χ εδώ πέρα. Αν αυτό είναι αριθμός 1, 2, 3, τι σημαίνει 1, 2, 3 σαν γωνία. Μήρες σημαίνει το χ άμα λέμε 1. Συνήθως όταν λέμε 1, 2, 3 και δεν λέμε για μήρες, δηλαδή οι μήρες θα είναι 30, 40 κτλ, θα είναι σε διαφορετικές τιμές, αλλά σωστά, και εγώ δεν ήμουν πάρα πολύ, δεν ήμουν σαφής στην ερώτηση. Το χ λοιπόν αν μετρύται σε ακτίνια και θέλουμε να το μετατρέψουμε σε γωνίες. Πώς θα μετατρέψουμε τα ακτίνια σε γωνίες. Ποιος θα μας πει πώς θα μετατρέψουμε αν το χ έχει μετρηθεί σε ακτίνια, πώς θα το μετατρέψουμε σε γωνίες. Εγώ προσωπικά χρησιμοποιώ μέθοδο των τριών και λέω τα 360 μήρες 2π ακτίνια, χ μήρες τόσα ακτίνια. Η χ μήρες πόσα, έτσι ας το πούμε είναι φι εδώ πέρα ή αν θέλουμε να πούμε σε ακτίνια αν μας δοθεί το χ πόσες θα είναι ποιά θα είναι η γωνία. Όταν το χ μετρηθεί σε ακτίνια θα βρούμε τη γωνία. Το π φυσικά ξέρετε είναι το 3 και 14 έτσι. Άρα αυτά είναι τα ακτίνια έτσι θα κάνουμε αναγωγή τα ακτίνια σε μήρες. Σωστά. Όπου υπάρχουν ερωτήσεις, όπου διαφωνείτε, όπου έχετε κάτι άλλο να πείτε όχι επειδή το είπα εγώ δεν μιλάμε σίγουρα θα καταθέστε ότι διαφωνείτε. Εδώ πέρα λοιπόν έχουμε το ημήτωνο χ με το συνημήτωνο χ. Έχουμε και τη συνεφαπτομένη η οποία θα κρατήσουμε τους αγγλικούς όρους. Η συνεφαπτομένη θα γράφεται έτσι στα αγγλικά. Και θα είναι το συνημήτωνο χ με το ημήτωνο χ. Αυτά νομίζω μαζί με το ημήτωνο και το συνημήτωνο αυτά είναι πασίγνωστα. Εκείνο που δεν είναι πολύ γνωστό είναι πως θα ονομάσουμε το 1 δια ημήτωνο χ και το 1 δια συνημήτωνο χ. Θα θυμάται κανένας πως θα ονομάζουμε. Πέστε μου εσείς το τέλος και πέστε και το ονομάζουμε. Άρα λοιπόν στα αγγλικά θα έχουν τους όρους το 1 δια ημήτωνο είναι έτσι γράφεται στα αγγλικά και το 1 είναι σεκ γράφεται στα αγγλικά σεκ του χ που είναι το 1 δια συνημήτωνο. Και το άλλο είναι σεκ δηλαδή έχει σεκ είναι η δεδειγμένη όρη για το 1 δια ημήτωνο και το 1 δια συνημήτωνο. Ωραία τώρα είχαμε πει και κάποιες ταυτότητες μερικές είναι πολύ γνωστές αλλά δεν είναι όλες. Παραδείγματος χάρη αυτή η ταυτότητα η μήτωνο τετράγωνο χ συν συνημήτωνο τετράγωνο χ αυτό είναι ίσο με τη μονάδα είναι μια από τις πιο γνωστές ταυτότητες. Υπάρχουν και άλλες όμως που δεν τις ξέρετε δεν τις έχετε εύκολα στο μυαλό σας οι οποίες βγαίνουν από αυτήν η εφαπτωμένη τετράγωνο χ είναι ίση με το σεκ τετράγωνο χ. Αυτή εδώ η ταυτότητα πως αποδεικνύεται δεν θα καθίσουμε τώρα να τις αποδείξουμε είναι πάρα πολύ εύκολο να αποδειχθούν φυσικά και υπάρχουν στο βιβλίο. Όσοι δεν θέλετε και δεν πρέπει να παπαγαλίσετε μερικές από αυτές τις ταυτότητες θα ξέρετε να τις αποδεικνύετε εάν τις χρειάζεστε. Έτσι λοιπόν ένας εφαπτωμένη τετράγωνο χ είναι ίσον με το σεκ τετράγωνο χ. Άλλη μία είναι ένας το κότ τετράγωνο χ είναι ίσον με το σεκ τετράγωνο χ. Λοιπόν αυτές είναι δύο ταυτότητες άλλη μία πολύ χρήσιμη ταυτότητα είναι πως θα ορίσει κανένας το ημύτωνο του δύο χ με τι είναι ίσον. Το ημύτωνο του δύο χ ποιος το θυμάται. Θυμάται κανένας πως είναι το ημύτωνο του δύο χ. Ήταν εκτός ύλης και δεν χρειάστηκε. Όταν είναι εκτός ύλης είναι εκτός ύλης. Λοιπόν τώρα θα την βάλουμε εντός ύλης αυτά όλα θα σας στείλω ένα κείμενο με τις ταυτότητες αυτές τις τριγωνομετρικές. Οι οποίες υπάρχουν σε πίνακα και μέσα στο βιβλίο έτσι. Άρα στο βιβλίο που θα πάρετε ή αν δεν το έχετε ήδη αναζητήσει από συναδέλφους σας αυτές οι ταυτότητες το ημύτωνο του δύο χ παράδειγμα τους χάρη σηκώσατε αρκετή το χέρι ένας από εσάς που σήκωσε το χέρι για να δω ποιος είναι που δεν έχετε μιλήσει εσείς πέστε μου. Δύο ημύτωνο χ επί συν ημύτωνο χ. Το ίδιο θέλω να πουν και οι υπόλοιποι φαντάζομαι έτσι. Υπάρχει όμως και το συν ημύτωνο του δύο χ. Αυτό με τι είναι ίσον. Ωραία νομίζω ότι χρειαζόμαστε την επανάληψη είναι ολοφάνερο αυτό είναι το συν ημύτωνο τετράγωνο χ μειον ημύτωνο τετράγωνο χ. Στις διπλάσσες γωνίες πρέπει να βρούμε την εφαπτωμένη του δύο χ. Άρα λοιπόν θα πρέπει να ξέρουμε τα διπλάσσια γινόμενα των γωνιών. Υπάρχει κι άλλο ένα ενδιαφέρον στοιχείο το οποίο πρέπει να το συζητήσουμε. Είναι τι θα γίνει αν έχουμε το ημύτωνο μιας γωνίας α στην γωνία β. Το ημύτωνο του α στην β. Έτσι με το πως θα αναλύσουμε μια τέτοια σχέση. Αυτά όλα θα τα βάλω εγώ και θα σας τα στείλω σε όσους έχετε γραφτεί στο blackboard. Θα τα βάλω στο blackboard σε εκεί που λέει υλικά του μαθήματος. Ένας πίνακας με όλες αυτές τις ταυτότητες που χρειάζεται να επαναλάβετε, να θυμηθείτε. Και αν θέλετε τη γνώμη μου είναι μέσα στο υλικό που όταν ένας φοιτητής διαβάζει όλο το εξάμινο, δουλεύει τις ασκήσεις κτλ δεν χρειάζεται πολλές μέρες για να δώσει εκστάσεις. Γιατί ουσιαστικά ανά πάσα στιγμή το υλικό το έχει στο μυαλό του μπορεί να δώσει. Χρειάζεται όμως 2-3 μέρες να κάνει μια επανάληψη σε πράγματα που δεν είναι στο τυπολόγιο που θα σας μοιράσουμε και θα πρέπει να πείτε ότι σε κάθε κεφάλαιο που διαβάζετε αυτό το υλικό ξέρω να το αποδεικνύω, το γνωρίζω, δεν χρειάζεται να το επαναλάβω στις εξετάσεις και γι' αυτό παρακολουθείτε όλο το εξάμινο γιατί αυτό το υλικό το έχετε δουλέψει όλο το εξάμινο. Αλλά υπάρχουν σημεία όπως κάποιες ταυτότητες, κάποιες σημεία μέσα στο βιβλίο. Αυτά συνήθως αν δείτε τα βιβλία τα έχουν ακόμα και στα εξώφυλλα, δηλαδή όγκους, επιφάνιες, στερεών σχημάτων κτλ. Άρα λοιπόν χρειαζόμαστε αυτές τις ταυτότητες να τις επαναλάβουμε παραμονές των εξετάσεων γιατί μπορεί να τις βρούμε μπροστά και να χάσουμε την απόδειξη μιας άσκησης μόνο και μόνο γιατί δεν θυμόμαστε αυτές τις ταυτότητες. Αυτές τις ταυτότητες λοιπόν επαναλαμβάνω που θα τις βρείτε, θα τις βρείτε στο, έγραψα και την εφαπτωμένη του 2x που είναι αυτή εδώ που λέει 2 εφαπτωμένη χ, 1 μοιον εφαπτωμένη στο τετράγωνο χ. Αυτές τις σχέσεις μπορείτε και να τις αποδείξετε. Λοιπόν, άρα να επανέλθουμε θέλω να ασκηθείτε στις τριγωνομετρικές ταυτότητες. Τώρα, τη γραφική παράσταση του ημητώνου, του συνημητώνου, της εφαπτωμένης πρέπει να τις ξέρετε και τις ξέρετε. Αυτά είναι γνωστά. Ένα ακόμα πράγμα θέλα και να αφήσουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Ένα πράγμα ακόμα να σας υποδείξω, ότι μπορούμε να ορίσουμε εκτός από την τριγωνομετρική συναρτήση και την αντίστροφη τριγωνομετρική συναρτήση. Και αυτή λέγεται τόξο του ημητώνου χ, τόξο του συνημητώνου χ και έχει διάφορες γραφές. Αυτή είναι η αντίστροφη συναρτήση μοιον 1, αυτό είναι η αντίστροφη συναρτήση του ημητώνου. Ημητώνω στη μοιον 1 χ είναι η αντίστροφη συναρτήση. Αυτή λοιπόν η συναρτήση έχει, ποιο είναι το πεδίο ορισμού αυτής της συναρτήσης. Της αντίστροφης συναρτήσης του ημητώνου χ ποιο είναι το πεδίο ορισμού. Εσείς πεςτε μου, εσείς. Από το μοιον 1 μέχρι το 1. Μπράβο, από το μοιον 1 μέχρι το 1. Λοιπόν, άρα τις αντίστροφες συναρτήσεις, το αυτό που είπαμε επίσης πρέπει να ξέρετε ότι υπάρχουν. Ή αυτό γράφεται και arc ημήτωνο χ. Αυτή είναι η άλλη έκφραση. Στα ελληνικά είναι το τόξον του ημητώνου χ. Έτσι. Λοιπόν, αυτό είναι η αντίστροφη του συνημητώνου χ. Εδώ υπάρχουν και στις αντίστροφες ταυτότητες. Αλλά επειδή αρχίζει και γίνεται δύσκολο το παιχνίδι, στο τυπολόγιο που υπάρχει στην πρώτη σελίδα στα υλικά του μαθήματος στο blackboard, δείχνουμε ποια πράγματα θα τα έχετε μαζί σας στις εξετάσεις. Οπότε δεν χρειάζεται να τα απομοιμωνεύσετε. Κάποιους από τους τύπους που λέμε τώρα, δηλαδή κάποιες από τις ταυτότητες, υπάρχουν στο τυπολόγιο, οπότε αυτές δεν θα χρειαστεί να τις θυμάστε απέξω. Αυτή είναι η αντίστροφη και ήθελα και τις γραφικές τις παραστάσεις να μπορείτε να κάνετε. Θα τις μαζέψετε και θα τις κάνετε και αυτές. Άρα λοιπόν, κρατάμε από σήμερα ότι τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τις γραφικές τους παραστάσεις, τα πεδία ορισμού, τις αντίστροφες τριγωνομετρικές και τις ταυτότητες των τριγωνομετρικών και των αντιστρόφων. Αυτό όλο το υλικό πρέπει να γίνει επανάληψη. Και αν δεν είχε διαβαστεί λόγο το ότι είχε βγει εκτός ύλης, να διαβαστεί τώρα. Έτσι δεν είναι τίποτα, είναι ορισμοί από αυτές τις ειδικές συναρτήσεις. Ερωτήσεις. Ναι. Είναι το τόξο, είναι η ίδια έκφραση, είναι το ημήτωνο μίον ένα σαν γραφή. Πώς γράφουμε το τόξο του τόξου ημητώνου χ. Στα Αγγλικά γράφεται είτε ΖΑΙΝ μίον ένα χ, έτσι θα το βρείτε, είτε ΆΡΚ του ημητώνου χ. Έτσι. Πρέπει να εξεκιωθούμε με τους Αγγλικούς όρους, οπότε δεν συζητάω καθόλου τις ελληνικές μεταφράσεις αυτών των όρων. Άλλη παρατήρηση. Ωραία. Να φύγουμε λοιπόν από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, οι οποίες όπως είπαμε θα περιγράφουν αυτό που συζητήσαμε ήδη, θενόμενα τα οποία έχουν πάρα πολλά όπως είπατε και την περασμένο μάθημα στη φύση. Έχουμε φαινόμενα τα οποία έχουνε περιοδικότητα, η κίνηση των πλανητών γύρω από τον ήλιο, η ηλεκτρομαγνητισμός, ο ήχος και όλα αυτά έχουν ταλαντώσεις, αυτές οι ταλαντώσεις έχουν μια περιοδικότητα. Πέστε μου. Με συγχωρείτε Μίροξ, που θέλετε να κάνουμε και τελευταία που μας είχατε δώσει και για ψαντίστρα, για συναρτήσεις αυτών των πλανητών, είναι με αυτό το υλικό το οποίο θα πάρουμε... Μπράβο, μπράβο, ναι, ναι, βέβαια, όλο αυτό το υλικό υπάρχει και η παράκληση δική μου είναι, θυσιάστε, συζητήστε με συμφοιτητές σας που είναι στο δεύτερο ή μεγαλύτερο έτος και παρακαλέστε τους να σας δανείσουν για μερικές εβδομάδες, μέχρι να πάρετε από τον εύδοξο τα βιβλία, να σας δανείσουν το βιβλίο. Θα το χρειαστείτε οπωσδήποτε. Κάποιες μικρές σημειώσεις που έχω γράψει εγώ, τις οποίες τις παίρνετε μέσα από το blackboard, δεν έχουν σκοπό να ξαναγράψουν το βιβλίο. Δεν είχα καμία τέτοια διάθεση να κάνω κάτι τέτοιο, αλλά είχα ένα φόβο όταν τις έγραψα, ότι επειδή το βιβλίο μπορεί να αφιερώσει και 30 σελίδες σε ένα θέμα γιατί θέλει να το εισάγει αναλυτικά και να βάλει πολύ υλικό, νομίζω τρομάζει ένα βιβλίο που για κάθε θέμα έχει τόσο πολύ υλικό και ήθελα να σας επισημάνω ποιο από αυτό το υλικό μας είναι πάρα πολύ χρήσιμο. Γι'αυτό έγραψα αυτές τις σημειώσεις και όπου θέλω να διαβάσετε κάτι από το βιβλίο λέω κοιτάξτε τις σελίδες τάδε και τάδε. Σας παραπέμπω στις συγκεκριμένες σελίδες το βιβλίο αντί να επαναλάβω και εγώ το βιβλίο. Ερωτήσεις, άλλη ερώτηση υπάρχει? Να αφήσουμε τις συγκρονομετρικές συναντήσεις, αλλά πριν τις αφήσουμε να ρωτήσουμε τι θα γίνει, πως θα περιγράψουμε και πού θα μπει η πληροφορία μιας ταλάντωσης η οποία δεν έχει σταθερό πλάτος. Το πλάτος είναι πάντα σταθερό στην ταλάντωση, δεν είναι. Όταν το πλάτος δεν είναι σταθερό τι σας έρχεται στο νου ότι μπορεί να περιγράφει μια ταλάντωση της οποίας το πλάτος δεν είναι σταθερό. Τι μπορεί να περιγράφει, πέστε μου ένα φαινόμενο το οποίο φυσικά το πλάτος είναι ή πράγματι είναι μια ταλάντωση που συζητήσαμε νομίζω και κάποιος από εσάς, το είπε και την περασμένη φορά, πως θα λέμε τις ταλαντώσεις οι οποίες δεν έχουν σταθερό πλάτος. Αρκετοί το ξέρουν, πέστε μου εσείς δεν έχετε μιλήσει, πέστε και το όνομά σας. Εξαναγκασμένη είναι μια ταλάντωση η οποία, ποιά λέμε εξαναγκασμένη ταλάντωση, ποιά λέμε εξαναγκασμένη ταλάντωση, πέστε μου εσείς. Είναι ταλάτσια που αποστάθηκαν εμείς εμένα να πραγματοποιήσουμε. Ναι, δηλαδή, και πέστε μου μια τέτοια ταλάντωση. Το ΥΟΥΟ. Αυτή λοιπόν είναι μια ταλάντωση στην οποία ασκείται μια δύναμη η οποία την κρατάει σε αυτή την περιοδική κίνηση. Οπότε ό,τι χάσιμο ενέργειας έχει πιθανότητα να το αναπληρώσει. Αλλά υπάρχουν κάποιες άλλες ταλαντώσεις οι οποίες παρόλο ότι δεν είναι εξαναγκασμένη, ακριβώς το αντίθετο δεν τις εξαναγκάζει κανένας, η εξαναγκασμένη ταλάντωση μπορεί να δίνεις ενέργεια από τη δύναμη οπότε να επαναφέρεις ότι χάνεται από το σύστημα. Αν όμως χάνεται σε μια ταλάντωση ενέργεια, τι μορφή παρουσιάζει αυτή η ταλάντωση? Εσείς. Φθύνουσα ταλάντωση, έτσι. Άρα λοιπόν έχουμε ταλαντώσεις φθύνουσες όταν το πλάτος της ταλάντωσης αλλάζει με το χρόνο. Αυτή λοιπόν είναι μια φθύνουσα ταλάντωση και την ξέρετε πως είναι η φθύνουσα ταλάντωση. Μπορείτε να μου πείτε ένα σύστημα στη φύση που εξασκεί αυτή τη φθύνουσα ταλάντωση. Δηλαδή τι μπορεί να αναγκάσει μια ταλάντωση να γίνει φθύνουσα. Συνεχίστε εσείς που είπατε. Η κούνια, ναι, υπάρχει μια αντίσταση δηλαδή. Το τελευταίο πολύ ενδιαφέρον πριν αφήσουμε τις ταλαντώσεις είναι ότι αυτά τα φυσικά φαινόμενα δημιουργούμε και στο τρίτο εξάμινο θα έχετε ολόκληρο μάθημα πάνω σε αυτά. Διουργούμε κάποιες εξισώσεις, τις λέμε διαφορικές εξισώσεις να περιγράφουν φυσικά φαινόμενα. Υπάρχει λοιπόν μια διαφορική εξίσθηση. Τι εννοούμε διαφορική εξίσθηση είναι ότι έχει παραγώγους. Τις οποίες γνωρίζετε τι είναι οπότε μου επιτρέπετε να προχωρήσω λίγο παρακάτω. Υπάρχουν λοιπόν παράγωγοι όπως είναι η ταχύτητα, είναι η παράγωγος της θέσης. Αυτό είναι παράγωγος. Άρα λοιπόν η επιτάχυνση είναι δεύτερη παράγωγω της θέσης, σωστά. Ωραία. Όταν θέλω να γράψω μια τέτοια εξίσωση, μια διαφορική εξίσωση. Παράγωγος με παραγώγους πρώτης, δεύτερης τάξης και απλές χωρίς να έχουμε παραγώγους. Ξέρει κανένας αν του δείξω μια διαφορική εξίσωση να μου πει, α αυτή η διαφορική εξίσωση έχει λύσει αρμονική ταλάντωση. Ποια είναι η διαφορική εξίσωση που έχει σαν λύση την τριγωνομετρική συνάρτηση. Το ξέρει κανένας. Όχι. Την κάνω πάλι την ερώτηση, μήπως σας μπέρδεψα με την ερώτηση. Λέω ότι υπάρχει μια διαφορική εξίσωση. Τώρα όταν λέμε διαφορική εξίσωση, καταλαβαίνετε τι εννοούμε. Εννοούμε μια εξίσωση που έχει μέσα, αντί να έχει χ και ψ και τα λοιπά, έχει παραγώγους και χ παράγωγος και ψ παράγωγος και οτιδήποτε. Αυτό να το σημειώσετε, δεν είναι ανάγκη να το μάθετε σήμερα από εμένα, αλλά να σημειώσετε ότι υπάρχει μια διαφορική εξίσωση. Θα την γράψω τώρα εγώ. Η δεύτερη παράγωγος του ψ ως προς χ τετράγωνο είναι συν κ τετράγωνο χ ίσως με το μηδέν. Αυτή εδώ η έκφραση όπου τη δείτε, αν δείτε μια τέτοια διαφορική εξίσωση, δεύτερη παράγωγος του ψ, εδώ ψ έπρεπε να βάλω, δεύτερη παράγωγος του ψ ως προς χ τετράγωνον συν κ τετράγωνο, το κ είναι ο κιματάριθμος, επί ψ, αυτή εδώ η έκφραση έχει σαν λύση α0 ψ ίσον α0 συν ημήτωνο κχ συν φ. Πώς θα αποδείξω εγώ ότι η λύση αυτής της εξίωσης είναι η αρμονική αυτή την ταλάντωση ψ ίσον α0, πώς θα μπορώ να αποδείξω ότι αυτή η διαφορική εξίωση έχει αυτή λύση, πώς μπορώ να το αποδείξω. Όταν σας δώσω τη λύση μιας διαφορικής εξίωσης, πώς θα αποδεικνύετε αν είναι η πράγματι η λύση. Καλά θα ήταν να ξέρατε, αυτό θα μάθετε στις διαφορικές εξίωσεις, όταν σας δίνω μια διαφορική εξίωση να βρίσκετε ποια είναι η λύση, αλλά εγώ σας έχω δώσει και τη διαφορική εξίωση και τη λύση της και θέλω να κάνω επαλήθευση ότι αυτή που σας έδωσα σαν λύση είναι η λύση της διαφορικής εξίωσης, πέστε μου εσείς. Όχι με ολοκληρώματα, άλλος τρόπος. Θα την παραγωγήσουμε δύο φορές. Δηλαδή αυτό που μας λέει να κάνουμε διαφορική εξίωση απάνω στην ψ, να το κάνουμε. Να πάρουμε την πρώτη παράγο, την δεύτερη παράγο, να αντικαταστήσουμε εκεί πέρα και να πρέπει να δείξουμε ότι πράγματι αυτή εδώ επαλήθευει αυτή, αυτή είναι η έκφραση, ότι αυτή η λύση επαλήθευει αυτή την εξίσωση. Το λέω αυτό γιατί επειδή στη φυσική ένα πάρα πολύ ενδιαφέρον πράγμα συμβαίνει. Όλη, όλη η φυσική, θα το ξαναπούμε αυτό λίγο αργότερα και το άλλο εξάμινο, όλη, όλη η φυσική μαζεύεται σε πολύ λίγες διαφορικές εξώσεις. Εμείς τα μοντέλα που φτιάχνουμε στη φύση με πολύ λίγες διαφορικές εξώσεις περιγράφουμε τη φύση, η αρμονική ταλάδωση. Τώρα, εάν θέλει κανένας αυτή λοιπόν είναι μια φθύνουσα αρμονική ταλάδωση. Και εδώ τι σημαίνει στη φθύνουσα ότι τα πλάτη συνεχώς μειώνονται με έναν πιθανότατα νόμο και γι' αυτό το αλφα μηδέν, όπως είπαμε και στο άλλο μάθημα, μπορεί να είναι μια εκθετική συνάρτηση η οποία πέφτει συνεχώς. Αυτή είναι η φθύνουσα ταλάδωση. Ωραία, πάρα πολύ ωραία. Να αντισβήσουμε αυτή και να πάμε πολύ γρήγορα επίσης στις εκθετικές συναρτήσεις. Μια εκθετική συναρτήση θα είναι η γενική της μορφή ψ. Οι εκθετικές συναρτήσεις έχουν τη μορφή ψ ίσον α ή στην χ. Το α είναι ένας πραγματικός αρυθμός συνήθως. Είναι μεγαλύτερο του μηδενός το α. Οπότε έχουμε ψ ίσον α ή στην χ. Αυτές είναι εκθετικές συναρτήσεις. Το α στη φυσική διαλέγουμε τις περισσότερες φορές να πάρει δύο χαρακτηριστικές τιμές. Στα περισσότερα προβλήματα που εμείς δουλεύουμε δύο τιμές παίρνει αυτό το α. Ποιες είναι? ψ ίσον α ή στην χ. Πολύ σπάνια χρησιμοποιούμε το α ένα γενικευμένο αριθμό. Πέστε και το όνομά σας. Ναι Τάνια. Το ψ είναι το 2,70 και κάτι. Το α λοιπόν μία τιμή που διαλέγουμε να του δώσουμε είναι το ε. Αυτό το ψ πώς λέγεται? Πέστε μου εσείς. Και είναι 2,2,70 και κάτι. Εγώ ένα πρόβλημα θα ήθελα λίγο να το σκεφτείτε και να δουλέψετε και μόνοι σας. Γιατί μας προέκυψε όπως το π, όπως το γ, διάφορες σταθερές. Αυτό το ψ πώς μας προέκυψε, γιατί προέκυψε αυτή η σταθερά. Από πού προέκυψε αυτή η σταθερά. Θα μην το απαντήσουμε τώρα για να δώσουμε χρόνο να το σκεφτείτε και μόνοι σας. Γιατί μου αρέσει αυτή η διαδικασία να σκέφτεστε ορισμένα πράγματα και μόνοι σας να το ψάχνετε. Δηλαδή, πώς βρέθηκε αυτό το ψ να είναι τόσο χαρακτηριστικό στη φυσική και να έχει μια πολύ χαρακτηριστική τιμή. Το άλλη τιμή του α που συνήθως χρησιμοποιούμε. Ποιος δεν έχει μιλήσει, εσείς οι περισσότεροι που σηκώσετε το χέρι. Έλα και οι υπόλοιποι το ξέρετε, απλώς σας παρακαλώ μη συνομπάρετε να σηκώσετε το χέρι. Σίγουρα δεν τρέπεστε αλλά φαντάζομαι ότι δεν θέλετε καν να συμμετέχετε. Πέστε μου εσείς το 10. Άρα λοιπόν έχουμε δύο χαρακτηριστικές τιμές. Ωραία, αυτές είναι οι συναρτήσεις. Ένα πράγμα που θα ήθελα εγώ να σιγουρέψω είναι ότι σε αυτές τις εκθετικές συναρτήσεις έχουμε κάποια πράγματα τα οποία πρέπει να τα θυμάστε. Είναι, ας χρησιμοποιήσουμε το ε που είναι τόσο γνωστό και χαρακτηριστικό σε εμάς. Το ε στη μηδενική είναι ίσον με τι. Πες εδώ. Ένα. Λοιπόν το ε στην α επί ε στη δήτα είναι ίσον με τι. Ωραία, αρκετοί το ξέρετε, μια χαρά είμαστε. Πέστε μου εσείς. Εψιλον ε στην α στην β. Μπράβο. Εψιλον ε στην α συν β. Και έχουμε και το ε στην α δια ε στην β και αυτά είμαι σίγουρος ότι τα ξέρετε αλλά δεν πειράζει ας τα ξαναπούμε. Αυτό το ε στην α δια ε στην β. Εσείς, πες τα εσείς. Εσείς. Εψιλον ε στην α μειον β. Και επίσης άλλο ένα πράγμα που ήθελα να δω, το ε αν έχουμε το ε στην α και όλο αυτό είναι υψωμένο στο α. Εψιλον ε στην α και όλο έχει υψωθεί στο α. Εσείς. Είναι ε στην α επί α. Ωραία, ε στην α επί α. Ωραία, μια χαρά, αυτά τα θυμάστε πολύ ωραία, αντίθετα ήταν εντός υλής μάλλον, εντάξει. Ωραία, μια χαρά. Τώρα έχουμε και τις αντίστροφες από τις εκθετικές συναρτήσεις. Και αυτές οι αντίστροφες ποιες είναι οι αντίστροφες των εκθετικών συναρτήσεων, γνωστές μας, πεςτε μας. Οι λογαριθμικές. Ωραία. Άρα και στις λογαριθμικές, όπως έχουμε δύο χαρακτηριστικές, μπορούμε να ορίσουμε γενικά μια λογαριθμική συναρτήση, φυσικά. Όπως κάναμε γενικά το ψ ίσον α ή στην χ, μπορούμε να ορίσουμε ότι το ψ ίσον ο λογαριθμός με βάση το α χ. Άρα λοιπόν έχουμε και αυτό το γενικό ορισμό. Αν το α εδώ όμως έχουμε διαλέξει ειδικά σύμβολα, γιατί όταν το α είναι ε, ο εμπέριος λογαριθμός, αυτός είναι ο εμπέριος λογαριθμός, αυτό το ε δίνει μια πολύ χαρακτηριστικό λόγγ. Πώς θα το ονομάσουμε, θα το ονομάσουμε στα αγγλικά ψ ίσον λν, έτσι αυτό θα είναι το σύμβολο που διαλέγουμε, του χ. Όταν βρέσκεται αυτό το σύμβολο, θεωρείτε ότι το α είναι το ε. Άρα και το άλλο, για να είναι το α το ε, το λν, ο εμπέριος λογαριθμός του α στην χ, θα μας δίνει αφού είναι το αντίστροφο πόσο, ο εμπέριος λογαριθμός του ε, του γνωστού μας ε, είναι στην χ. Με τι θα είναι ίσον, εσείς πέστε, με το χ. Πάρα πολύ ωραία. Λοιπόν, υπάρχει και για το δέκα, με τη βάση του δέκα, δεν βάζουμε το δέκα, χρησιμοποιούμε λογ του χ, που αυτό το λογ είναι αυτό που διαλέγουμε για να θεωρήσουμε ότι η βάση είναι το δέκα. Άρα, όπως είπαμε το α, όταν γίνει ε και δέκα, παίρνει δύο χαρακτηριστικές τιμές το ε στην χ και το δέκα στην χ, έτσι και οι λογαριθμοί που είναι οι αντίστροφοι μας δίνουν αυτές εδώ τις σχέσεις. Τώρα, μια πολύ ενδιαφέρουσα δουλειά που δείχνει ποιοι έχατε μάθει να αποδεικνύετε πράγματα και όχι να απομνημονεύετε πράγματα όταν ήσασταν στο Λύκειο. Θέλω να αλλάξω βάση, δηλαδή κάποιος μου δίνει το λογαριθμό του δύο ε στην χ, μια με βάση το δύο δηλαδή, και θέλει να του γράψω το λογαριθμό με μία άλλη βάση, δηλαδή να μεταφερθώ από τη βάση α να πάω στο λογαριθμό στη βάση β. Θέλω να αλλάξω βάση στην έκφραση του λογαρίθμου. Θυμάται κανένας τον τύπο και καλά μετά βλέπουμε πώς αποδεικνύεται. Εσείς που σήκωσε το χέρι και πέστε και το όνομά σας. Ναι παρύγια πες μου πώς θα αλλάξω βάση. Λογάριθμος με τη νέα βάση. Λογάριθμος, κάτσε σιγά σιγά να γράφω, λογάριθμος με τη βάση αx ίσον, η άλλη είναι το β, έτσι πες μου τι θα γίνει. Λογάριθμος με τη βάση αx ίσον. Πολύ ωραία. Το θυμάστε και οι υπόλοιποι ή όχι. Ήταν και φέκτος ίλισσε. Ήταν και φέκτος ίλισσε. Λοιπόν, τώρα η ερώτηση είναι αυτή να την αφήσουμε σαν άσκηση να μην τη θυμάστε, ποτέ δεν πρέπει να τη θυμάστε αλλά μπορούμε να το αποδείξουμε αυτό. Εσείς που το θυμάστε μπορείς να το αποδείξεις. Από πού θα αρχίσουμε για να το αποδείξουμε αυτό. Ξεκινάμε από το λογάριθμο α του x, τον οποίο είναι το ψ. Αυτό λοιπόν, αν θέλετε το λογάριθμος με βάση του αx είναι ίσον ψ. Αν θέλω να γράψω, μπορώ να γράψω επίσης ότι το α ψ σε αυτή την περίπτωση είναι ίσον με το x. Αυτά τα δύο είναι ισοδύναμα. Συμφωνείτε? Ναι ή όχι. Τώρα παίρνουμε το λογάριθμο με βάση του β και στα δύο μέλη. Και από εδώ και πέρα συνεχίστε μόνοι σας. Το λογάριθμο του β με βάση του β του αx ίσον λογάριθμος με βάση του βx. Άρα λοιπόν έγραψα ότι λογάριθμος με βάση του αx ίσον ψ. Το έγραψα έτσι και μετά πήρα το λογάριθμο και στα δύο μέλη του λογάριθμου με βάση του β του αx ίσον με λογάριθμο με βάση του βx. Άλφα εις την ψ. Άλφα εις την ψ. Τώρα έχετε δίκιο. Συγγνώμη, ευχαριστώ. Λοιπόν, από εδώ και πέρα μπορείτε να συνεχίσετε. Είπα ότι πήρα αρχικά το λογάριθμο με βάση του αx και το είπα ψ. Μετά έγραψα από κάτω α εις την ψ ίσον χ. Γιατί αυτές οι δύο σχέσεις μπορούν να μετατραπούν μια στην άλλη, το ξέρουμε. Και μετά πήρα το λογάριθμο με βάση του β μέσα σε παρένθεση α εις την ψ ίσον με το λογάριθμο του βx. Οπότε μάλλον έχω ολοκληρώσει, έτσι δεν είναι. Πες μου ξανά το όνομά σου που μου πες. Πάρι. Πάρι. Μπορείς από εδώ και πέρα να τελειώσεις εσύ αφού το... Άρα, πες το πάλι. Μεγάλιστο β το α ίσον. Οκ, αυτή είναι η σχέση που έχουμε. Και μετά. Ναι. Λύνουμε ως προς ψ, δεν μπορούμε να λύσουμε ως προς ψ. Οπότε θα έχουμε το ότι έχει στον αριθμητή. Λογάριθμος του βx και λογάριθμος με βάση το β το α. Οπότε το ψ αυτό είναι αυτό που ξεκινήσαμε, είναι το λογάριθμος με α του χ. Να λοιπόν η απόδειξη. Ωραία. Λοιπόν, έχουμε λοιπόν και τις συναρτήσεις αυτές τις δύο, τις σημαντικές, το λογάριθμο και την εκθέτη. Τι άλλο και νομίζω ότι με αυτές μπορούμε να σταματήσουμε εδώ. Νομίζω ότι αυτές μας φτάνουν για αυτά που έχουμε. Και να κάνουμε εδώ ένα διάλειμμα, να συζητήσουμε δύο άλλες συναρτήσεις, τρεις άλλες συναρτήσεις, αυτό από την επόμενη ώρα και τα μοντέλα που είναι αυτό που θέλουμε, αυτό που θέλουμε να τελειώσουμε σήμερα. Λοιπόν, επαναλαμβάνουμε στο σπίτι με βάση ότι βιβλίο βρείτε. Τις τριγωνωμετρικές, τις εκθετικές και τις λογαριθμικές συναρτήσεις με τις ιδιότητές τους και τις γραφικές παραστάσεις. Αυτά τα παίρνετε μαζί και τα κάνετε μια καινούργια επανάληψη. Και από εδώ και πέρα αυτά δεν είναι εκτός ύλης. Είναι όλα εντός ύλης και μάλιστα να ξεκαθαρίσουμε το θέμα της ύλης. Εδώ ό,τι συζητάμε πρέπει να μπει σε μια κατηγορία πραγμάτων που να μην βρεθείτε στη δυσάρεστη θέση, να είστε στο τρίτο έτος, να έχετε διδαχθεί ορισμένα πράγματα από εδώ από αυτό το μάθημα και να έχετε δώσει εξετάσεις, να έχετε περάσει το μάθημα και να έχετε κάνει delete σε όλο αυτό το υλικό. Οπότε σε ένα μάθημα φυσικής ή μαθηματικών στο τρίτο έτος να μην μπορείτε να κάνετε τίποτα ή να μην θυμάστε κανένα από αυτούς τους τύπους. Αυτό θα είναι πολύ δυσάρεστο. Οπότε υπάρχουν και ειδικά τυπολόγια τα οποία αν θέλετε όταν δουλεύετε στο σπίτι. Στο σπίτι ξέρετε ότι έχω το βιβλίο αυτό στη βιβλιοθήκη μου που έχει αυτό το υλικό και όταν θέλετε γιατί στο σπίτι θα δουλεύετε περισσότερες φορές να ανατρέξετε για αυτό το υλικό. Ξέρετε σε ποιο βιβλίο σας τη βιβλιοθήκη είναι. Τότε το βιβλίο γίνεται από βιβλίο χρήσιμο για να περάσεις εξετάσεις, ένα βιβλίο αναφοράς στη βιβλιοθήκη σας. Κάθε βιβλίο που διαβάζετε από εδώ και πέρα στον μαθηματικό το βάζετε στη βιβλιοθήκη για βιβλίο αναφοράς λέγεται. Διότι φυσικά δεν μπορείτε να θυμάστε όλες αυτές τις πληροφορίες αλλά ξέρετε που θα βρείτε αν το χρειάζεστε, σε ποιο βιβλίο στη βιβλιοθήκη σας βρίσκετε αυτό το υλικό, το κατεβάζετε και συνεχίζετε τη δουλειά σας αν έχετε να κάνετε μια δουλειά στο σπίτι. Λοιπόν, να κάνουμε ένα μικρό διάλειμμα και να επιστρέψουμε. Σας παρακαλώ λίγο ησυχία. Υπάρχει μια άλλη κατηγορία συναρτήσεων, οι οποίες δεν ξέρω αν τους δώσατε όνομα, τις ξέρετε, τις έχετε δουλέψει, ξέρετε να κάνετε πολλά πράγματα με αυτές, λέγονται σύνθετες συναρτήσεις. Η γενική γραφή μιας σύνθετης συναρτήσης θα είναι ότι το F υπάρχει μια συναρτήση Φ του Χ, αυτή είναι η γενική γραφή. Δηλαδή αντί να έχω F του Χ έχω μια συναρτήση η οποία είναι του Χ επίσης. Παράδειγμα αν βάλετε Ψ ίσον τετραγωνική ρίζα μέσα Χ τετράγωνον συν 3X-7 βλέπετε ότι αυτή εδώ η συναρτήση, αυτή είναι μια συναρτήση, οπότε μπορείτε να γράψετε τετραγωνική ρίζα του Φ του Χ και να ορίσετε χωριστά ότι το ορισμός του Φ του Χ είναι το υπόριζο ποσότητας αυτήν εδώ την τετραγωνική ρίζα. Άρα ποιο θα είναι, θα είναι το Χ τετράγωνο συν 3X-7. Λοιπόν αυτές είναι σύνθετε συναρτήσεις, άλλο ένα παράδειγμα, Ε στην 3X-2 Χ τετράγωνο-Χ τρίτης συν 7 και αυτή είναι μια σύνθετη συναρτήση F του Χ η οποία είναι της μορφής Ε στην Φ του Χ, Φ ελληνικό εννοώ, οπότε το Φ του Χ είναι όλα αυτά εδώ το πράγμα, αυτές είναι οι σύνθετες συναρτήσεις. Ερωτήσεις, απορίες, τις έχετε δουλέψει τις σύνθετες συναρτήσεις, δεν ξέρω αν τις λέγατε και έτσι στο Λύκειο, αλλά ξέρετε πολλά πράγματα γι' αυτές, ξέρετε πως να παραγωγήσετε μια σύνθετη συναρτήση αλλά θα έρθουμε σε αυτά αργότερα. Αυτές είναι οι σύνθετες συναρτήσεις που αυτό που είναι το όρισμα της συναρτήσης είναι επίσης μια συναρτήση. Ωραία, είναι πάρα πολύ χρήσιμο να ξέρουμε την σύνθετη συναρτήση πως θα αντιχειριστούμε αργότερα στις παραγωγήσεις, αλλά εδώ να την ορίσουμε απλώς. Απορίες, θα πρέπει να με σταματάτε και να ρωτάτε και νομίζω ότι μια χαρά πάμε στην αλληλεπίδραση προς το παρόν και θα συνεχίσουμε έτσι να συζητάμε λίγο στο μάθημα. Υπάρχει μια άλλη κατηγορία συναρτήσεων πάρα πολύ χρήσιμη, τις συναντάμε πολύ ταχτικά στη φυσική και αυτές είναι λεγόμενες παραμετρικές συναρτήσεις. Παραμετρικές συναρτήσεις. Και αυτές τις έχετε γνωρίσει αλλά δεν τους δώσατε όνομα πιθανόν. Μπορούμε να έχουμε χ του τε και ψ του τε. Να βλέπετε ότι αυτές εδώ οι συναρτήσεις περιγράφουν, αυτές είναι πάρα πολύ χρήσιμες στη φυσική και θα σας εξηγήσω αμέσως γιατί. Είναι συναρτήσεις του χρόνου και δείχνουν την εξέλιξη του χ και του ψ χωριστά σαν συναρτήση του χρόνου. Αν θέλουμε να φτιάξουμε μια κλασική συναρτήση και δεν είναι πάντα εύκολο αλλά αν θέλουμε να φτιάξουμε μια συναρτήση ψ του χ μέσα από μια παραμετρική τι θα κάνουμε. Τι έπρεπε να κάνουμε θεωρητικά για να φτιάξουμε μια συναρτήση κλασικού τύπου ψ ή ψ του χ αν έχουμε τις παραμετρικές. Τι θα κάνουμε. Πώς θα περάσουμε το ερώτημα από παραμετρική γραφή συναρτήσεων σε μια γραφή η οποία είναι παραδοσιακή ψ ίσον Φ του Χ. Ποιοι θέλουν να απαντήσουν. Αργύρη θέλεις να πεις κάτι. Ναι νομίζω ότι δεν πρέπει να δώσουμε κάποιες συγκεκριμένες τιμές τις παραμέτρικους αλλιώς. Όχι. Και κάτι άλλο μπορούμε να κάνουμε. Αν δώσουμε συγκεκριμένες τιμές απλώς θα παρακολουθούμε τις τιμές του ψ και του χ πάνω στην καμπύλη. Αυτό που λέει ο Αργύρης. Αλλά δεν είναι αυτό που σας ζήτησα εγώ. Είναι πως μπορώ να γυρίσω σε μια συναρτήση κλασική έχοντας τις παραμετρικές. Θέλετε να πείτε κάτι. Δεν πειράζει αν δεν είναι σωστό. Αν θέσουμε ψ ή ψ. Αν θέσουμε ψ. Τι είπατε δεν σας πείτε δεν σας κατάλαβα καλά. Αν θέσουμε ψ του τ τι να κάνουμε. Όχι. Ένα άλλο γράμμα ας πούμε ω. Ίσως με χ τ. Όχι δεν έχει. Δεν ξέρω αν θα θεγηθούμε στις ίδιες εξισώσεις. Νομίζω ότι όταν σας το πω θα πείτε όλοι αυτό ήταν τόσο απλό δηλαδή. Αν βάζαμε μία τιμή αρχικά. Μετά να βάζαμε όπου τ έησουν το κ και να βάζουμε το όπου τ έησουν το κ συνέμι. Δεν ξέρω αν αυτό μου λέτε. Να δώσω στο τ χαρακτηριστικές τιμές. Τ έησουν κ και μετά θα γίνει χ του κ ψ του κ. Δεν με νοιάζει το τ έημενα. Έχουμε δύο συναρτήσεις. Χ α συνειμήτωνο ω τ. Να μία συναρτήσεις χ του τ. Και η άλλη είναι ψ του τ ίσον α ημήτωνο ω τ. Να λοιπόν δύο παραμετρικές εξισώσεις. Τις βλέπετε. Αυτό είναι. Αυτό συζητάμε. Και μήπως ξέρετε και τι περιγράφουν αυτές. Που έγραψα η χ του τ ίσον α συνειμήτωνο ω τ και η ψ του τ ίσον α ημήτωνο ω τ. Τι περιγράφουν αυτές. Τι κίνηση περιγράφουν αυτές οι δύο. Μιλήστε και πέστε και λάθος. Δεν πειράζει. Εδώ είμαστε για να πούμε τα λάθη. Στις εξετάσεις δεν τα κάνουμε λάθη. Τα λάντωση είναι. Τα λάντωση είναι. Αλλά επειδή έχετε το ίδιο α μπορεί να πούμε ότι είναι μια κυκλική κίνηση. Γιατί είναι μια κυκλική κίνηση. Είναι μια ταλάντωση όπως το είπε ο συναδελφός σας. Πολύ σωστά το είπε. Απλώς εγώ λέω ότι πάρτε το κύκλο με ακτίνα α. Πάρτε το υλικό σημείο που κινείται και το ω τ τι λέει εδώ πέρα. Τι είναι το ω σε αυτή την κυκλική κίνηση. Είναι η γωνιακή ταχύτητα. Έτσι δεν είναι. Άρα το ω τ είναι αυτό εδώ το τόξο. Ω τ. Άρα λοιπόν αυτό το υλικό σημείο α κάνει μια περιστροφή σε ένα κύκλο με ακτίνα α. Και αν θέλω να περιγράψω αυτή την κίνηση θα γράψω χ ίσον α. Δεν το έχω πάρει σωστά νομίζω. Το χ πρέπει να είναι το συνημίτωνο. Καλά το έχω και το ψ ίσον α ή μήτων ω τ. Το βλέπετε ή δεν το βλέπετε. Αν δεν το βλέπετε. Ψηκώ στο χέρι και σήμερα λέει. Συγγνώμη μπορείτε να μιλήσετε ελληνικά γιατί μέχρι τώρα μιλάτε κινέζικα. Είναι κάποιος που δεν καταλαβαίνει τι είπα. Πέστε μου δεν με καταλαβαίνετε. Δεν θα μπορούσα να μιλήσω προβολή του σημείου. Ακριβώς είναι οι προβολές. Αυτό το χ και το ψ δηλαδή είναι ότι αυτό το υλικό σημείο που διαγράφει αυτή την κίνηση γύρω στον κύκλο. Έχει μια προβολή εδώ που είναι το χ. Και θα το γράψω χ ίσον α επειδή έχω ένα τρίγωνο εδώ πέρα. Το χ λοιπόν αυτό θα δώσει χ α α είναι αυτή η ακτίνα. Συνημίτωνο ω τ. Νάτη λοιπόν η μία. Και η άλλη προβολή όπως είπες είναι το ψ. Το οποίο είναι αυτό εδώ πέρα να μην το ξαναγράφω. Άρα είναι οι δύο προβολές. Παρακολουθώ λοιπόν τις προβολές όπως αυτό κάνει μια κυκλική κίνηση με ω τ. Με ω τη χαρατηγωνιακή ταχύτητα και τ χ. Αυτές οι δύο κίνησης τι θες να πεις Αργύρη. Φαίνομαι ότι για το προηγούμενο και αυτό που είπατε για το την αυτό με τις παραμετηριές τους μπορούμε να το κάνουμε μια εξήγηση. Μπράβο. Που δεν είναι σύνθεση πρακτικά. Σύνθεση αλλά πως την εννοείς εσύ εγώ. Θα βάλουμε αν έχουμε ας πούμε την f του x και την x του t θα κάνουμε την f σύνθεση, f του x σύνθεση με την x του t. Οπότε σημαντικά όταν βάζουμε κάτι θα μπαίνει πρώτα στη μία στη x του t για παράδειγμα. Και αυτό που θα βγαίνει όσα ποτέ θα μπαίνει κατευθείαν στην άλλη. Το φέρνεις γύρω γύρω αλλά δεν το λες. Λέω ότι μπορούμε να λύσουμε αυτές τις δύο. Θα πρέπει να απαλείψουμε για να γυρίσουμε στις παλιές πρέπει να απαλείψουμε το ταφ. Αν λύσω λοιπόν τη x του t ως προς ταφ και την αντικαταστήσω στο ψυμ πιθανόν αυτό να έλεγε ο Γιώργιος αλλά δεν το κατάλαβα έτσι. Λύνω την πρώτη τη x του t ως προς τε και φτιάχνω μία συνάρτηση ταφ. Ίσον αφού παίρνω την τ έχω την έχω αντιστρέψει μία συνάρτηση καινούργια f του x. Παίρνω λοιπόν το ταφ εδώ στην ψ και στη θέση του ταφ βάζω αυτήν που αντιστρέψα έχω αντιστρέψει. Τη βάζω μέσα και γίνεται ψ του x. Απαλείφω το ταφ είναι η λέξη. Θα διώξω το ταφ από τις παραμετρικές εξωτές. Πώς μπορώ να το διώξω. Να λύσω την πρώτη ως προς ταφ και να αντιγράψω ταφ ίσον με κάτι του x. Να πάρω το ταφ να το ρίξω μέσα στη θέση του ψ ψ ταφ και θα γίνει ψ του x. Με καταλάβατε τώρα. Αυτό θα πρέπει να μπορέσουμε να το κάνουμε και θα το κάνουμε. Θα δώσουμε παραδείγματα και ασκήσεις. Ασκήσεις δεν θα λύνουμε σε αυτό το μάθημα. Μόνο θα ανακοινώνουμε καινούργια πράγματα. Όχι θα λύνουμε ασκήσεις. Απλώς προσπαθούμε να καλύψουμε κάποιο υλικό και μετά να γυρίσουμε να λύσουμε ασκήσεις. Δηλαδή την Παρασκευή θα ξεκινήσουμε με το να λύσουμε ασκήσεις αυτά που είπαμε και σήμερα αν δεν προλάβουμε πολλές και θα μπούμε στα όρια τα οποία θα τα τρέξουμε πάρα πολύ γιατί δεν αξίζει να αφιερώσουμε πάρα πολύ χρόνο στα όρια. Θα πούμε με πέντε κουβέντες και θα φύγουμε. Λοιπόν, άρα σκοπός μου είναι την Παρασκευή να τελειώσουμε και με τα όρια και να μπούμε την άλλη εβδομάδα και μάλλον να πω ότι είδα ο κ. Τσάγκας είχε κάνει μάθημα προηγουμένως. Αυτοί έχουν προφτάσει στα όρια. Θα τους φτάσουμε και εμείς την άλλη Παρασκευή. Λοιπόν, το καταλάβαμε αυτό ότι μπορούμε να αντιστρέψουμε. Τώρα, από εδώ και πέρα έχω μια ερώτηση να σας κάνω και εδώ αυτή η παραμετρικές εξώσεις στη φυσική της συναντάμε συνεχώς. Γιατί? Γιατί ένα από τα πράγματα που κάνει το μάθημα της κλασικής μηχανικής είναι να βρει την κίνηση υλικού σημείου. Η κίνηση υλικού σημείου στο χώρο περιγράφεται με ένα διάνυσμα που λέγεται διάνυσμα θέσεως. Και να σας πω αυτές τις κουβέντες, τις περίεργες της των φυσικών, πώς θα τις δούμε σε μαθηματικό επίπεδο. Προσέξτε, ότι έκανε το υλικό σημείο που έκανε κυκλική κίνηση, θα το γενικεύσουν. Μην κάνει κυκλική κίνηση, να κάνει μια τυχαία κίνηση. Άρα λοιπόν, εδώ είναι το χ, έναν άξονα φτιάχνω, εδώ είναι το ψ. Και ένα υλικό σημείο ξεκινάει από αυτό το σημείο, χ μηδέν ψ μηδέν, τη χρονική στιγμή τ άφησαν με μηδέν και εκτελεί μια περίεργη καμπύλη. Αυτή η καμπύλη είναι η τροχιά του, απάνω στο επίπεδο ψ χ. Και αυτή λέγεται τροχιά και έχει διάνισμα θέσης, λέμε. Ένα διάνισμα που είναι συνάρτηση του χρόνου, που λέγεται χ του τ έχει συμψή του τ έψι. Το χ τι μου δείχνει, αυτό είναι το μοναδιέο διάνισμα εχ στον άξονα χ. Αυτό είναι το μοναδιέο διάνισμα στον άξονα ψ. Και η κίνηση του υλικού σημείου δίνεται από ένα διάνισμα το οποίο λέγεται διάνισμα θέσης. Περιγράφει τη θέση σε κάθε χρονική στιγμή του υλικού σημείου που κινείται, κάνει μια τυχαία τροχιά. Και αυτή η κίνηση τη λέμε στην φυσική τροχιά. Δηλαδή η καμπύλη που περιγράφει και η συνάντηση που περιγράφει την κίνηση ενός υλικού σημείου στη φυσική λέγεται τροχιά. Και έχει ένα διάνισμα θέσης που είναι το ρ, το οποίο έχει σαν συνισθώσες τη χ και την ψ και η ερώτηση η δική μου είναι και πως ένας φυσικός θα βρει τη χ και την ψ για να ξέρει την τροχιά ενός υλικού σημείου. Ποια είναι εκείνη η εξίσωση, πάλι διαφορική, θα τις λέμε αυτές γιατί μας αρέσουν, ποια είναι η εξίσωση, διαφορική, όλα αυτά τα ξέρετε αλλά απλώς δεν τα ξέρετε με αυτά τα λόγια. Έτσι όλα αυτά που σας λέω τώρα τα ξέρετε αλλά τα ξέρετε με άλλες κουβέντες, τα έχετε δει με άλλη εικόνα, τώρα θα τους αλλάξουμε εικόνα. Λοιπόν, ένας φυσικός λοιπόν για να βρει την κίνηση ή την τροχιά ενός υλικού σημείου τι πρέπει να ξέρει, τι τροχιά θα διαγράψει, πέστε μου εσείς. Ακρότετα θα βρει αν έχει μεγίστα και λάχιστα, αυτή η καμπυλή είναι άλλο θέμα αλλά λέω εγώ για να παρακολουθήσω τι κίνηση θα κάνει ένα υλικό σημείο χρειάζομαι να ξέρω τι. Την ταχύτητα χρειάζεται να την ξέρω αλλά αν ξέρω την ταχύτητα θα ξέρω τη θέση, θα ξέρω και την ταχύτητα αλλά αυτό είναι που χρειάζομαι. Για να περιγράψω την κίνηση ενός υλικού σημείου, την ταχύτητα πώς θα την βρω παραδείγματος χάρη. Για να βρω την ταχύτητα ενός υλικού σημείου κάτι χρειάζομαι για να δω τι ταχύτητα θα έχει, τι είναι αυτό που χρειάζομαι, τι καθορίζει τι ταχύτητα θα έχει ένα υλικό σημείο. Την καμπύλη θα είναι το αποτέλεσμα αλλά ποιος θα αναγκάζει ένα υλικό σημείο να μπει σε μια καμπύλη. Ποιος αναγκάζει ένα υλικό σημείο να κάνει αυτή την καμπύλη και ένα άλλο υλικό σημείο να κάνει κυκλική τροχιά και ένα άλλο υλικό σημείο να πάει έτσι εκθετικά. Ποιος το είπε, η δύναμη. Η δύναμη η οποία ασκείται σε ένα υλικό σημείο το αναγκάζει να εκτελέσει μια συγκεκριμένη τροχιά. Ποιος αναγκάζει εμάς να ακολουθήσουμε μια συγκεκριμένη τροχιά, εμάς τη γη εννοώ. Η έλξη ποιονού πράγματος, του ήλιου. Άρα ο ήλιος αναγκάζει εμάς να εκτελέσουμε γύρω του μια κυκλική τροχιά, σχεδόν κυκλική. Συμφωνείτε. Άρα λοιπόν η δύναμη είναι αυτή η οποία, άρα αφού εμείς θα ψάξουμε σε ένα ολόκληρο κεφάλαιο της φυσικής, στην κλασική μηχανική να μελετήσουμε τις τροχές αλλά και στην ηλεκτρομαγνητισμό φορτίων ή σωματιδίων, πως κινούνται στο χώρο, μας ενδιαφέρει να ξέρουμε να λύσουμε μια χαρακτηριστική εξίσωση από την οποία θα βγάλουμε τις τροχές. Ποια είναι αυτή. Μπράβο αυτό είναι. Η συνάδελφός σας είπε ΜΑΖΑ επί την επιτάχυνση θα είναι ίσο με το άθρισμα των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό το υλικό σημείο. Σωστά. Αυτό είναι όλο. Πολύ όμορφα. Την επιτάχυνση, εγώ σας είπα, τη μεν ταχύτητα τη γράφουμε πρώτη παράγωγο του R, του διανύσματος θέσεις και την επιτάχυνση τη γράφουμε δεύτερη παράγωγο του διανύσματος θέσεις. Δεύτερη παράγωγο του R ως προς τάφ, αυτή εδώ είναι η επιτάχυνση και η ταχύτητα, ήδη θα έχετε αρχίσει να τα κάνετε αυτά στην κλασική μηχανική αν αρχίσετε μαθήματα μηχανικής, η ταχύτητα είναι δε ρο δε τάφ, ποιο είναι αυτό το ρο, είναι το διανύσμα θέσεις που λέγαμε. Έτσι, ανά από εδώ, από μια διαφορική εξίσουση που λέει μάζα επί δεύτερη παράγωγος του ρο, του διανύσματος θέσεις, ως προς το χρόνο στο τετράγωνο, ίσον με τη δύναμη ή το άσθρισμα των δυνάμεων που είπε η συνάδελφός σας. Αυτή είναι λοιπόν η εξίσουση του Νεύτωνα, έτσι δεν είναι μάζα επί επιτάχυνση, ίσον δύναμη. Η λύση της εξίσουσης του Νεύτωνα είναι το R του τε, είναι η τροχιά, η οποία εξαρτάται από το χ και το τε, τα οποία είναι οι παραμετρικές εξώσεις. Να γιατί οι παραμετρικές εξώσεις είναι πάρα πολύ σοβαρές για εμάς. Συνοηθήκαμε? Απορίες να κάνετε συνεχώς και διορθώσεις και συμπληρώσεις. Πέστε μου. Η λύση αυτής της διαφορικής εξίσουσης, η λύση αυτής εδώ που λέει μάζα επί επιτάχυνση, ίσον δύναμη, είναι το R του τε. Και έχει συγκινιστώσε στοιχεί τε και την ψ τε, που είναι οι παραμετρικές εξώσεις. Αυτή μπορώ να την αναλύσω. Αν αναλύσω το διάνισμα σε δύο, αυτή μπορώ να την σπάσω σε δύο. Δηλαδή τη δεύτερη παράγωγη του erγ προς τε τετράγωνο. Πώς μπορώ να την κάνω mmm δεύτερη παράγωγη του χτ τ τ τε τε τε τράγωνο, ίσον, εδώ τι θα βάλω τώρα όμως άμα την αναλυσω και γράψω μιά ως προς χ και είρα выйναι ως προς ψ. Τετράγωνο. Ίσον F του T όμως. Τι θα πάρω εδώ, θα πάρω πάλι το δημιουργείσμα του F όχι. Τι θα πάρω, τις συγκυστώσεις. F του X λοιπόν εδώ και F του Ψ εδώ. Έφτιαξα λοιπόν από μία εξίσωση σαν αυτή, έφτιαξα δύο εξισώσεις που αν τις λύσω, οι λύσεις τις είναι οι παραμετρικές εξισώσεις που συζητάμε. Το X του T δηλαδή και το Ψ του T. Και για την Αργύρη πες μου. Δηλαδή έτσι όπως το αντιλαμβάνομαι εγώ, αν έχουμε μια κίνηση στον χώρο, ουσιαστικά, η κίνηση του σημείου περιγράφεται και στον κάθε άξονα από μία διαφορετική εξίσωση που είναι η συναρτήση του χρόνου. Ακριβώς. Και το άθεσμα αυτό μας δίνει. Όχι το άθεσμα, το διαγκυσματικό άθεσμα. Το διαγκυσματικό άθεσμα μας δίνει τις συνδεταμένες του Άρα. Του διαγκύσματος θέσης. Μπράβο, αυτό είναι. Άρα δηλαδή το διαγκύσμα θέσης αναλύεται σε δύο συναρτήσεις. Η μία είναι Χ του T, η άλλη είναι Ψ του T. Αυτές τις δύο συναρτήσεις τις λέμε παραμετρικές εξισώσεις που περιγράφουν παραμετρικές συναρτήσεις, οι οποίες περιγράφουν την κίνηση του υλικού σημείου στο επίπεδο. Αν θέλαμε να την περιγράψουμε στον χώρο, τι θα βάζαμε ακόμα. Το Ζ του T. Έτσι, Άρα θα βάζαμε και το Ζ του T. Ένα διαγκύσμα λοιπόν που περιγράφει μια κίνηση στον χώρο είναι Άρα, διαγκύσμα, ίσον, Χ του T εχ, Συν Ψ του T εχ, Συν Ζ του T εζ. Θέλατε να ρωτήσετε κάτι. Το Χ του T και το Ψ του T, τι μορφή θα έχουμε? Α, να γράψουμε, ποιος θέλει να προτείνει, αφθαίρετα εννοείται, φαντάζομαι αφθαίρετα εννοείται, έτσι δεν είναι. Δηλαδή, Χ του T να μια συνάρτηση, τρία ταφ, Συν δύο και Ψ του T ίσον ταφ τετράγωνο. Νάτες, αυτές είναι δύο εξισώσεις που περιγράφουν μια κίνηση. Και αυτό που σας έλεγα προηγουμένως, το Χ του T, ίσον τρία, ο συνάδελφός σας ρώτησε, αυτό έπρεπε να το κάνω αλλά το ξεχνάω, έπρεπε να επαναλαμβάνω την ερώτησή σας, επειδή μόνο εγώ έχω μικρόφωνο εδώ πέρα, μόνο με ένα γράφι η κάμερα και πρέπει να σας επαναλαμβάνω τι ρωτάτε. Οπότε ο συνάδελφός σας ρώτησε, δώστε μας παραδείγματα του Χ του T και Ψ του T να δούμε πώς είναι αυτές οι συναρτήσεις. Λοιπόν, μια συνάντηση πάρα πολύ απλή, του Χ του T είναι τρία τε Συν δύο και η Ψ του T είναι ίσον ταφ τετράγωνο. Όπως σας είπα την περασμένη φορά, λύνω ως προς τε την πάνω, πώς θα τη λύσω ως προς τε, θα πάω το δύο από εκεί, θα γίνει Χ-2 και θα διαιρέσω με το τρία. Εάν πάρω το ταφ ίσον Χ-2δ3 που είναι η λύση του Χ του T, πάρω αυτό το ταφ και το βάλω από κάτω, θα φτιάξω μια συνάντηση που θα είναι Χ-2δ3 και όλος το τετράγωνο. Άρα, γύρισα στην Ψ του Χ. Τη βλέπετε? Αυτό εννοούσα προηγουμένως. Στη λύση. Εντάξει. Λοιπόν, ερωτήσεις, προεκτάσεις, συμπληρώσεις. Ακούω. Πέστε. Σε αυτές τις δείξεις τόση Χ-2δ3 του Τ είναι η θέση σημείου στο μάξο του Χ-Ψ. Μπράβο, όπως το είπα, γύρισες προηγουμένως. Ναι. Αν παραγωγήσουμε το Χ του Τ θα βγάλουμε τι? Το Β του Χ. Β του Χ. Αν παραγωγήσουμε το Ψ του Τ θα βγάλουμε τη Β του Ψ. Και αν πάρουμε τη δεύτερη παράγωγή του Χ του Τ θα βγάλουμε την Α του Χ. Και τη δεύτερη παράγωγή του Ψ την Α του Ψ. Και αν τις γράψουμε και τις δύο σαν διαφορευξώση στην εύθονα, αναλύουμε την κίνηση σε μία στο Χ και στη μή. Και επειδή προσθήθονται αυτές για να μας δώσουν τη συνολική, προσθήθονται και φτιάχνουν την κίνηση απάνω στο επίπεδο. Εάν, έτσι να το σιγουρέψουμε ότι το ξέρουμε, το είμαι σίγουρος ότι το ξέρετε όλοι, να ρωτήσω λοιπόν ποια είναι η δύναμη που ουσιαστικά θα γράφουμε σαν σ' αυτές τις εξής ώσεις για να παρακολουθήσουμε την κίνηση μιας μάζας γύρω από μια άλλη. Αν κινούνται αυτό που κινείται, δηλαδή το Χ του Τ, αυτή τη δύναμη, το άχρημα των δυνάμεων που πρέπει στην αδελφό σας, θέλουμε να παρακολουθήσουμε όμως ένα πολύ συγκεκριμένο πράγμα, να ξέρουμε και κάτι συγκεκριμένο. Και αυτό είναι η κίνηση ενός υλικού σημείου με μάζα M γύρω από ένα άλλο υλικό σημείο με μάζα M επίσης. Πώς θα κινείται το ένα γύρω στο άλλο, ποια δύναμη έλκει δύο υλικά σημεία ώστε να βρούμε την εξίσουση κίνησης και να λύσουμε τις τροχές για να βρούμε, πέστε μου εσείς το τέλος. Πώς είναι η ελκύση του μιτζέι στον χαράσταρ, πάντωνιμος έλκυσης, ετοιμάζε ένα, ετοιμάζε δύο, σαν τετράγωνο. Μια χαρά το είπες, με ένα πολύ σημαντικό, αυτή πώς μου την περιέγραψες, είναι λοιπόν η εξίσουση που περιγράφει την έλκυση δύο σωμάτων, έχει ένα μειον μπροστά, είναι λοιπόν F, γράφω λοιπόν, είναι μειον, G, μη 1 η μία μάζα, μη 2 η άλλη, τετράγωνο ονομασθή και ένα διάνισμα θέσεις. Αυτό είναι επειδή η δύναμη μεταξύ δύο μαζών είναι ελκτική έχω βάλει ένα μειον εδώ και εδώ έχω βάλει ένα ε, γιατί η δύναμη που έλκει δύο μάζες είναι κατά μήκος της ακτίνας που τη συνδέει. Ωραία, αυτά θα τα μάθετε και στο μάθημα της μηχανικής, δεν χρειάζεται να μπούμε εμείς σε άλλα χωράφια, απλώς να συνδέσουμε τα μαθηματικά μας με τη φυσική. Λοιπόν, εντάξει με τις παραμετρικές, εντάξει με τις σύνθετες, να πούμε την τελευταία μια άλλη μορφή συναρτήσεων, που είναι και η τελευταία που θα αναφέρομαι σήμερα και μετά να μιλήσουμε λίγο για τα μοντέλα, που είναι για μένα το κυρίαρχο θέμα για εσάς όλα αυτά τα μαθηματικά τα κάνετε για τα μοντέλα. Λοιπόν, να δούμε τι είναι αυτό το περίεργο, που ήταν το αστείο να το αφομιώσουμε και εμείς. Σας ακούω, όχι δεν είναι τροπή να γελάστε, όλοι θέλουμε να γελάσουμε, αλλά πέστε το και σε εμάς. Όχι το μοντέλο, εσείς το μοντέλο πήγατε σε άλλα μοντέλα, δεν εννοούσα αυτά τα μοντέλα που εννοούσατε εσείς. Λοιπόν, υπάρχουν λοιπόν μια άλλη συνακατηγορία συναρτήσεων που λέει Fx, ψ του x ίσον με το μηδέν. Παράδειγμα, το x τετράγωνο συν ψ τετράγωνο ίσον με r τετράγωνο, η εξίσουση δηλαδή του κύκλου, αυτή είναι μια εξίσωση, μια ειδική ορίζει με κάποιο ιδιαίτερο τρόπο την ψ του x. F κεφαλαίο, x κόμμα ψ του x κλείνει η παρένθεση ίσο με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι αυτή εδώ η εξίσωση ορίζει λέμε πεπλεγμένα, αυτή είναι η έκφραση, πεπλεγμένα μια νέα συναρτήση την ψ του x. Αυτή εδώ η σχέση ορίζει x τετράγωνο συν ψ τετράγωνο x ίσον r τετράγωνο, το ψ μπορεί να λυθεί αυτή η σχέση εδώ και να μας δώσει ψ του x ίσον με συν πλήν, αυτή είναι δύο κλάδι, r τετράγωνο μειών x τετράγωνο. Κρατάμε τον ένα κλάδο για να είναι μονότιμη συναρτήση. Ψ λοιπόν ίσον x τετραγωνική ρίζα του ρο τετράγωνο μειών χ τετράγωνο. Βλέπετε ότι η εξίσιο του κύκλου ορίζει πεπλεγμένα, έτσι λέμε, αυτές λέγονται πεπλεγμένες συναρτήσεις, γιατί μέσα από αυτή τη σχέση x κομμα ψ του x ίσον με το μηδέν ορίζεται μια συναρτήση πεπλεγμένα. Να γράψω και άλλες πεπλεγμένες συναρτήσεις, x τετράγωνο ψ A εις την χ ψ συν ημήτωνο χ ψ ίσον με το μηδέν. Έγραψα λοιπόν μια συναρτήση που λέει x τετράγωνον επί ψ. A εις την χ ψ συν ημήτωνο χ ψ. Αυτή εδώ η σχέση ορίζει το ψ σαν συναρτήση του χ αν λυθεί. Ναι αλλά είναι πάρα πολύ δύσκολο να λυθεί και εμείς θα μάθουμε ωραία πράγματα, τουλάχιστον να μην τη λύνουμε αλλά να βρίσκουμε την παράγο μιας πεπλεγμένης συναρτήσης που είναι κάτι πάρα πολύ ωραίο. Ξέρετε που τη συναντήσατε αυτή την πεπλεγμένη σχέση αυτών των δύο συναρτήσεων. Τη συναντήσετε χωρίς να την ορίστε χωρίς να κάνετε όλα αυτά. Θα το δούμε και εμείς σαν παράδειγμα στην εφαρμογή όταν έχετε μια σκάλα η οποία γλιστράει από τον άξιο να τον ψη. Αυτή η σκάλα ορίζει, συνδέει πεπλεγμένα το ψη μέσα από το χ. Και είναι μια μορφή αυτών των θεμάτων που συζητήσαμε τώρα. Λοιπόν, θα τα δούμε πάλι αυτά όλα. Δεν τα αφήνουμε, θα γυρίσουμε σε αυτά. Απλώς θα τα θέλω εγώ να κατοχυρώσω τώρα ότι εσείς εκτός από τα πολυόνιμα, εκτός από την ευθεία, εκτός από την τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις αντίστροφες τους, εκτός από το λογαριθμικό και τις εκθετικές, έχουμε μάθει επίσης τι είναι οι σύνθετες συναρτήσεις, τι είναι οι παραμετρικές συναρτήσεις και τι είναι οι πεπλεγμένες συναρτήσεις. Σαν εικόνες προς το παρόν θα τις χρησιμοποιήσουμε σε λίγο. Εντάξει, μέχρι εδώ ερωτήσεις. Τώρα θα σας ζητήσω να κάνουμε κάτι το οποίο το βιβλίο αυτό που έχετε θα πάρετε δίνει πάρα πολύ έμφαση σε αυτό, γιατί έχω την εντύπωση κι αυτό διδάσκουμε τους φυσικούς μαθηματικά. Κατά τη γνώμη σας η φύση μας δίνει μια σειρά αποδεδομένα, τα οποία πρέπει να τα μαζέψουμε μέσα από το εργαστήριο, να τα οργανώσουμε με κάποιο τρόπο και μετά, αφού πάρουμε αυτά τα δεδομένα, να φτιάξουμε ένα μοντέλο της φύσης, που σημαίνει να γράψουμε αυτά τα μοντέλα, να γράψουμε μια μαθηματική έκφραση που περιγράφει αυτό που συζητάμε. Να σας θυμίσω ποιος το έκανε αυτό και με ποιο τρόπο, να σας θυμίσω ένα μεγάλο παράδειγμα από τότε που έγινε αυτό, όλη η φυσική κινήθηκε μέσα σε αυτό το τρόπο. Αργύρι θες να πεις κάτι. Νομίζω ήταν ο τυχόπραχε που σημαίνει από 20 χρόνια. Μάζευε τα δεδομένα. Και μετά ο Κέπλερ τα οργάνωσε και ουσιαστικά αναλύοντας αυτά τα δεδομένα έβγαλε τους τρεις νόμους του Κέπλερ. Άρα λοιπόν τι προσέφερε ο ένας. Ο ένας προσέφερε τα δεδομένα από τα 20 χρόνια για τη θέση των πλανητών. Αυτές είναι οι παρατηρήσεις. Ο Κέπλερ ήρθε και βρήκε μέσα στις παρατηρήσεις κάποιες κανονικότητες, που αυτή τη στιγμή η δουλειά του Κέπλερ και του παρατηρητή και του τύχοπραχε σε έναν καλό παρατηρητή, σε έναν καλό που κάνει εργαστήριο που του αρέσει, το εργαστήριο αυτές οι δύο δουλειές της κάνει συγχρόνως, δηλαδή κοιτάζει πώς να οργανώσει τα δεδομένα, για να μιλήσει σε κάποιον που θέλει να του δώσει ένα μοντέλο, μια θεωρία. Ποιος ήρθε και έφτιαξε το μοντέλο. Ο τύχος ήταν αυτός που σε έμαδεψε τα δεδομένα και ο Νεύτωνας. Ο Νεύτωνας λοιπόν ήρθε και είπε, κοιτάξε το μοντέλο είναι αυτό που λέγαν προηγουμένως. Αυτή είναι η δύναμη λέει, αυτή είναι. Και μαζε επιπιτάχυνση στον δύναμη. Αυτά τα δύο τους τα βάζει αυτός σαν δικούς του νόμους και φτιάχνει ένα μοντέλο. Ποιο είναι αυτό, για να πετύχει το μοντέλο τι έπρεπε να κάνει ο Νεύτωνας. Ξεκινήσει από αυτά και να αποδείξει αυτά που είχαν οι παρατηρήσεις. Καταρχήν να επιβεβαιώσει τους νόμους του Κέπλερ. Άρα λοιπόν ο Νεύτωνας έφτιαξε ένα μοντέλο. Και γιατί το λέμε μοντέλο και δεν το λέμε τη τελική έκφραση των πάντων. Γιατί είναι μοντέλο. Γιατί λέμε τη λέξη μοντέλο. Γιατί προφανώς μπορεί να καταρριφθεί. Πρώτον μπορεί να καταρριφθεί και πιθανόταν να έχει και περιορισμένη εμβέλεια στην εφαρμογή του. Δηλαδή η θεωρία του Νεύτωνα, η νευτόνια περιγραφή της φύσης, είναι περιορισμένη. Για αυτό είναι μοντέλο, είναι περιορισμένη. Είναι περιορισμένη γιατί είναι περιορισμένη. Πέστε μου εσείς. Δεν ισχύει στον μικρόκοσμο, δηλαδή δεν ισχύει μόνο μέσα στη γη, στο μικρόκοσμο. Όχι στο μικρόκοσμο, στο μικρόκοσμο δεν ισχύει πάλι. Από το μικρόκοσμο έχουμε άλλη θεωρία. Έχουμε στη μέση την κλασική φυσική που έχουμε τον Νεύτωνα. Και πάμε στον μικρόκοσμο που καλά το είπες, που εκεί ποιος έφτιαξε το νέο μοντέλο για το μικρόκοσμο. Κι άλλοι, κι άλλοι να σηκώνετε χέρι. Πέστε το, δεν πειράζει, δεν πειράζει. Ας πείτε λάθη, δεν μας πεινάζουν τα λάθη, μας πεινάζουν να μιλάτε, να είστε εδώ, να μην είστε απλώς θεατές. Αυτό με πειράζει. Θα μιλήσετε κάποιοι άλλοι, θα μιλήσετε εσείς. Εσείς δεν έχετε μιλήσει καθόλου. Ποιος έφτιαξε για το μικρόκοσμο ένα μοντέλο να επεκτείνει τη θεωρία του Νεύτωνα. Πες το. Ο Αλμπερ Ταϊνστάιντ. Ο Αλμπερ Ταϊνστάιντ. Και πώς την είπε αυτή τη θεωρία. Γενική θεωρία σχετικότητας. Γιατί, τι πρόβλημα είχε ο Νεύτωνας που δεν μπορούσε να το λύσει και τον βασάνιζε και είπε, σας έδωσαμε ένα μοντέλο, καλά δουλεύει, αλλά έχει ένα πρόβλημα. Ποιο πρόβλημα είχε το μεγαλύτερο πρόβλημα που είχε το μοντέλο του Νεύτωνα, ποιο ήτανε. Όχι οι δύο, να σηκώνετε μόνο δύο τα χέρια, να σηκώσετε και οι άλλοι. Πες το εμε εσείς. Κανένα χτερό δεν μόνο σε εκείνη το παραχείριδι. Όχι, όχι. Τι δεν ήξερε η Νευτόνια, τι δεν μπορεί να προσδιορίσει. Προσέχεται, έχεις ένα σώμα εδώ πέρα, τον ήλιο και κινείται ένας πλανήτης. Πώς του λέει, ξέρεις είμαι κι εγώ εδώ, στρίψε, μη προχωρείς σε ευθύγραμμα, σε έλκω. Πώς του λέει ότι τον έλκει, πώς του μεταδίδει αυτή την πληροφορία. Δεν μπορούσε να το απαντήσει αυτό ο Νευτωνας. Ακεί σε αυτή την εξήλωση GM, MDR, 4 δεν υπάρχει αυτή η πληροφορία. Να σταματήσουμε εδώ και να σας αφήσω και σας σκεφτείτε. Πώς ο Einstein κατάφερε να δώσει στον Νευτωνα την απάντηση που δεν είχε. Δηλαδή δεν ξέρει το σώμα ότι κινείται δίπλα από ένα, από τον ήλιο και κάπως του το μεταφέρει ότι είμαι κι εγώ εδώ και σε τραβάω. Αυτό θα το έχετε δει σε εικόνες ωραίες κτλ, αλλά θα το πρέπει να το ανακαλύψετε κι εσείς και να το βάλουμε στο σωστό context. Λοιπόν, η Γενική Θεωρία Σχετικότητας λύνει αυτό το πρόβλημα. Διότι λέει μια πολύ ισχυρή μάζα όπως ο ήλιος καμπυλώνει το χώρο. Και αυτό το καμπυλώνει είναι αυτό που κάνει το νερό, το πολύ καλά καταλαβαίνει όταν πάντες και ανοίξετε στη βρύση. Όταν είναι μέσα σε ένα πεδίο βαρύτητος το οποίο λόγω της παρουσίας μιας μάζας έχει καμπυλωθεί, αυτή εδώ καταλαβαίνει ότι δεν βρίσκεται σε επίπεδο χώρο, βρίσκεται σε έναν καμπύλο χώρο και αυτή η καμπυλότητα του δείχνει ότι εγώ σε τραβάω στο πηγάδι. Είναι όπως δηλαδή σε ένα πηγάδι αν μπείτε με μια αρχικά μεγάλη ταχύτητα θα κάνετε αυτή την κίνηση σε ένα πηγάδι. Αν δεν έχανε ενέργεια εκεί που βλέπετε το νερό στο μπάνιο όταν βγάζετε το καπάκι είναι πολύ δύσκολη η έκφραση, το τάμπ ας πούμε. Λοιπόν όταν βγάζουμε το καπάκι βλέπουμε το νερό να κάνει αυτή τη δουλειά. Αυτό κάνει και γιατί βρίσκεται μέσα σε ένα βαρυτικό πεδίο που θέλει να το στείλει προς τα κάτω. Άρα λοιπόν έχουμε αυτή την έκφραση. Άρα λοιπόν το μοντέλο είναι περιορισμένης, είναι για επίπεδο χώρο, είναι ευτόνια μηχανική, ο καμπύλος χώρος η γενική θεωρία σχετικότητας γενικεύει αυτά όλα. Γιατί τα λέμε όλα αυτά. Γιατί θέλω να σας παρακαλέσω να αφήσουμε αυτά τα μεγάλα και τα φοβερά και τα υπόλοιπα και να σας παρακαλέσω να κάνετε κάτι που νομίζω από εκεί γεννιέται ένας φυσικός. Είναι να ασχοληθείτε κι εσείς με τη δημιουργία μοντέλων για την καθημερινότητα. Και ήθελα να φέρω ένα παράδειγμα και να μου πείτε αν σε αυτό το παράδειγμα που θα σας δώξω τώρα, θέλατε να μαζέψετε εσείς δεδομένα, να τα περιγράψετε σε καμπύλες και μετά να γράψετε μια θεωρία, να κάνετε δηλαδή τον τείχο Μπράχε, τον Γκέμπλερ και τον Νεύτωνα εσείς. Ποιο προβληματάκι ήθελα να σας δώσω να το κάνετε αυτό. Ήθελα λοιπόν και είναι σαν εργασία στο μάθημα να αφήσουμε από δύο μέτρα μία μπάλα του τέννης. Την βλέπετε και την αφήνουμε και κάνει... Τι κίνηση ήταν αυτή. Η μπάλα του τέννης που την άφησα από τα δύο μέτρα και πηδούσε. Τι κίνηση ήτανε καταρχήν. Από αυτά που είπαμε όλα, ποιες συναρτήσεις θα περιέγραφαν το ύψος. Πέστε μου και το όνομά σας. Εσείς. Είναι η φθύνουσα ταλάντωση. Πάρα πολύ ωραία. Δήμητρα αν ήθελες τώρα, εντάξει το είπαμε φθύνουσα ταλάντωση. Θα ήθελες τώρα να μαζεύσεις δεδομένα για αυτή τη φθύνουσα ταλάντωση. Να φτιάξεις τις καμπύλες, να τη δεις τη φθύνουσα ταλάντωση. Και να την ερμηνεύσεις με βάση τα μαθηματικά και τη φυσική που ξέρεις τώρα ήδη. Τι θα έκανες, δηλαδή θα χρειαζώ σε μία μπάλα του τέννης, ναι σίγουρα. Τι άλλο θα χρειαζώ. Να μαζεύσεις δεδομένα από αυτό το πείραμα που σας έδειξα, αυτή την παλίτσα που πηδάει. Να την κάνουμε με ακρίβεια, γιατί φυσική είμαστε. Δεν λέμε στο περίπου είναι μία φθύνουσα ταλάντωση, είναι πράγματι, είχε δίκιο. Αλλά θέλουμε να την καταλάβουμε, να μαζεύσουμε δεδομένα. Πώς θα μαζεύσουμε δεδομένα από αυτή την πάλα που πηδάει. Έλα Δήμητρα. Ένα κανόνα, μπράβο. Βάζουμε ένα κανόνα στον πηδάκα, εδώ. Ένα κανόνα εδώ πέρα, τον βάλαμε. Τι άλλο χρειαζόμαστε. Μπορείς απάνω σε αυτό τον κανόνα που τη βλέπεις την πάλα εσύ, να βλέπεις και πού, πόσο ύψος ανεβαίνει κάθε φορά. Μπορείς. Δύσκολο δεν είναι. Τι θα έκανες για να το καταγράψεις. Μπράβο. Μια βίντεο κάμερα. Άρα θέλουμε ένα χάρακα μεγάλο, να τον βάλουμε στον τείχο. Θέλουμε έναν συνάδελφό μας να παίρνει βίντεο όπως κάνουμε τώρα εδώ για το μάθημα, απέναντι. Θέλουμε να αφήνουμε την πάλα απ' τα δύο μέτρα και να καταγράφουμε κάθε φορά σε τι ύψος, επειδή προβάλλεται στον χάρακα, να γράφει κάποιος τις τιμές του ύψους που πηδάει. Αργύρη. Εγώ θα μπορούσα να βάλω ένα εισιτήρα κίνηση στο πάτωμα. Ναι. Και να κάνει τι. Οπότε ο εισιτήρας κίνησης θα έβλεπε από πάνω το μπαλάκι το οποίο θα πήγαινε ερχόταν. Ναι, αλλά εμείς μας χρειάζονται ποιες τιμές μας χρειάζονται. Ο εισιτήρας κίνησης δεν θα μας έδινε. Εμείς τι θα... Θα ψάξουμε τα μέγιστα του... Αυτό είναι το δεδομένα. Δηλαδή θέλουμε έναν πίνακα που να καταγράφει εδώ, να καταγράφεις αυτό το πείραμα. Το ένα είναι το H την κάθε χρονική στιγμή. Άρα λοιπόν ξεκινάει με 2 στις χρονική στιγμή 0 και μετά γράφουμε σε τι ύψος έφτασε την επόμενη χρονική στιγμή που έφτασε στο μέγιστο. Και ποια χρονική στιγμή έφτασε στο μέγιστο. Χρονόμετρο. Χρονόμετρο. Άρα λοιπόν χρειαζόμαστε να πάρουμε αυτές εδώ τις μετρήσεις, να τις ζωγραφίσουμε σε πραγματική καμπύλη, που εδώ να είναι το 2 που ξεκινάει, 2 μέτρα. Και να δώσουμε αυτές τις αναπηδήσεις, γιατί δεν πάει από φυσική άποψη, γιατί δεν πάει στο ίδιο ύψος που ξεκινάει. Πού πήγε αυτή η ενέργεια και χάσαμε εδώ ενέργεια. Πού πήγε. Που πήγε. Ε, όταν τύψεις τέρας έγινε θερμότητα. Έγινε θερμότητα. Να έχω αντιστάσει το αέρα. Α, ενενδιαφέρον εδώ πέρα. Οι αντιστάσεις του αέρα θα ήθελα να τις υπολογίσω και να τις συγκρίνω με τι, για να δω αν παίζουν κανένα ρόλο, ή να μη χάνω το χρόνο μου να υπολογίζω κάτι το οποίο είναι σχεδόν 0. Θα ήθελα λοιπόν την αντίσταση του αέρα σε μια μπάλα που κινείται μέσα σε αυτό το δωμάτιο μπορώ να την υπολογίσω να δω πόση είναι για τις ταχύτητες που τρέχει αυτό το πράγμα, μπορώ. Οπότε λοιπόν θα αποφασίσω αν μου χρειάζεται αυτή η δύναμη ή δεν μου χρειάζεται συγκρίνοντάς τη με τι άλλο, με την βαρύτητα. Οράβο, άρα δύο δυνάμεις στο άθλησμα των δυνάμεων κινούν αυτό το σωματίδιο, η μία είναι η βαρύτητα και η άλλη η αντίσταση του αέρα και την οποία βέβαια θα αποφασίσω αφού συγκρίνω αυτές τις δύο αν η αντίσταση του αέρα έχει καμία σημασία. Μπορεί να μην έχει και να την πετάξω αμέσως. Βεβαίως, αυτά τα μοντέλα που θα δημιουργήσετε είναι εσείς, αν πάρετε και υπολογίσετε εδώ είναι μια δυναμική ενέργεια στα δύο μέτρα, τη δεύτερη φορά που θα πηδήσει αυτή η συγκεκριμένη μπάλα θα πάει σε ένα ύψος χαμηλότερο από τα δύο μέτρα. Αυτό θα σας δώσει πόση ενέργεια χάθηκε στο χτύπημα. Γιατί θα αφαιρέσετε τις δυναμικές ενέργειες σε αυτά τα δύο σημεία και θα βρείτε πόση ενέργεια χάθηκε στο χτύπημα. Βέβαιος, δεν θα είναι και πολύ χρονοφόρο αυτό το πείραμα που με έτσι, γιατί ανάλογα με το μπαλάκι, ανάλογα τώρα θα φουσκούνε κάτω, ανάλογα θα μπορούμε να κάνουμε συγχειρικές συνθήκες, να το κάνουμε στο ιστορικό περιβάλλον, οπότε θα έχουμε συνέχεια διαφορετικά μοντέλα. Όχι διαφορετικά μοντέλα, θα προκύπτουν διαφορετικές καμπύλες και τα ύψη αν πάρετε μία μπάλα η οποία δεν είναι αυτή αλλά είναι μία άλλη, το ύψος αυτό θα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο. Φυσικά κάθε μάζα η αλληλεπίδρασή της με το έδαφος θα δώσει διαφορετική η ελαστικότητα με την οποία είναι η μπάλα αυτή, θα πιέζει, θα αφήσει κάποια ενέργεια κάτω από αυτή την κρούση που θα έχουμε η οποία δεν είναι ελαστική, είναι μη ελαστική. Άρα λοιπόν η μη ελαστική κρούση που γίνεται μας χάνουμε ύψος, το γενικό προτσές, το γενικό φυσικό πρόβλημα θα αλλάξει αλλάζοντας μόνο παραμέτρους πλέον, έτσι δεν θα αλλάξει όμως η όλη περιγραφή. Λοιπόν μαζέψαμε τα δεδομένα με την κάμερα, το χρονόμετρο, την παλίτσα, τη ζυγίσαμε, βρήκαμε τη μάζα της, είχαμε και μια ζυγαριά και βρήκαμε τα ύψη τα οποία ανεβαίνει, κάναμε την καμπύλη μας και τώρα πρέπει να την μοντελοποιήσουμε. Πρέπει να φτιάξουμε αυτή τη μοντελοποίηση που θα ταιριάζει σε αυτό. Να σας αφήσω λοιπόν να το κάνετε αυτό το πείραμα, εδώ είναι το μεγάλο πρόβλημα και εντάξει θα πάτε και σε άλλο εξάμινο, θα πάτε σε πειράματα τα οποία είναι λίγο πολύ, επειδή δεν ξέρουμε πόσο αγαπάτε ή δεν αγαπάτε τη φυσική, το φυσικό έχει φτιάξει και ένα φυσικό για αυτόν ο οποίος ήρθε εδώ πέρα να πάρει βαθμούς, πρέπει να έχει και ένα τέτοιο φυσικό, δεν τον ενδιαφέρει η φυσική. Αλλά ο άλλος που ήρθε, οι υπόλοιποι από εσάς που ήρθατε γιατί θέλετε να το αγαπάτε, θα έπρεπε εγώ να αντιστρέψω την ερώτησή μου και να πω, υπάρχει κάποιο πρόβλημα της καθημερινότητας που από φυσικής άποψης σας βασανίζει. Αν δεν υπάρχει, δεν είμαστε στο καλό του μήμα, πρέπει δηλαδή περπατώντας κάθε μέρα να υπάρχουν φαινόμενα από αυτά που ζούμε στην καθημερινότητα που να λέτε εσείς και αυτό πως γίνεται. Αν δεν το κάνετε αυτό, το εγκαταλείψατε ή δεν το είχατε ποτέ ή δεν σας το δημιούργησαν κανένας, δεν είστε στο σωστό του μήμα. Στο σωστό του μήμα θα πρέπει εσείς να είστε συνεχώς με ένα γιατί και κάποια από αυτά τα φαινόμενα να σας χτυπήσουν τόσο βαθιά στο κεφάλι που να μην μπορείτε να ηρεμίσετε. Μπορεί να κοιμηθείτε. Γιατί ρε σύ, τι γίνεται εδώ πέρα. Πράγμα το σχαρή, ποιος από εσάς έχει χάσει τον ύπνο του για να ερμηνεύσει τον κεραυνό και την αστραπή. Ούτε καν σας ενδιαφέρει ο Αργιέσης, πάω μέσα τώρα. Έχεις χάσει τον ύπνο σου με ένα φαινόμενο. Ποια, πες το. Κάτσε τώρα, αν το ξέχασες κιόλας, πώς έχασες τον ύπνο σου. Αργιέρη, εσύ με τι έχεις χάσει τον ύπνο σου. Έχω χάσει τον ύπνο μου πρώτα, όταν βασικά προσπαθούσα να αποδείξω κάτι πάνω στη γεωμετρία. Και η γεωμετρία στα ύπνα έτσι είναι πολύ... Έχεις δίκιο, ναι. Και επίσης ήταν μια αστραπή φυσικής που ήταν πολύ δύσκολο και πολύ ενδιαφέρουσα και τη σκεφτόμουν πάρα πολύ. Ναι, λοιπόν, αυτό πέστε μου εσείς. Αυτό το σχέδιο του πίσω γιατί στροπλίζεται το νερό, όταν μπαίνει στη μπανιέρα, φέγεται το μανιάλος. Και δεν πάει κατευθείαν κάτω. Ναι, αυτά είναι, ήθελα λοιπόν να προκαλέσω δύο πράγματα. Είναι ενδιαφέρον και αυτό μπορείτε να το βρείτε, αλλά υπάρχει λόγος για τον οποίον το κάνει και αυτό και πώς χάνει την ενέργειά του και πέφτει τελικά, γιατί αν δεν έχανε ενέργεια θα έκανε μια κυκλική κίνηση και δεν θα πέφτε ποτέ κάτω στη μπανιέρα. Για μένα, η παρατήρηση, η καθημερινή, προσέξτε, αφήστε τον Κέπλερ, αφήστε τον Τίχο Μπράχι, αφήστε τον Εύθονα. Μιλάμε για την καθημερινότητα και τη σύνδεση της φυσικής που μαθαίνετε με την καθημερινότητα. Υπάρχουν λοιπόν πολύ ωραία βιβλία που λέει «The physics of everyday life». Πολύ όμορφα βιβλία τα οποία προσπαθούν να βάλουν μέσα από γενική φυσική να εξηγήσουνε καθημερινά φαινόμενα στη φύση. Γιατί όταν τρέχουμε στο ποδήλατο μια χαρά το πάμε και όταν πέσει ταχύτητα παπ πέφτουμε και εμείς. Θέλω να σας φέρω σε αυτό το επίπεδο και τώρα να αφήσουμε μια εργασία που να μαζευτείτε σε ομάδες μέχρι τα Χριστούγεννα και μετά τα Χριστούγεννα να αρθείτε να παρουσιάσετε αυτή την εργασία που την έχω περιγράψει εγώ, θα την περιγράψω, θα σας τη δώσω μέσα στο blackboard που είναι η αναπήδηση αυτής της μπάλας, να μαζέψουμε τα δεδομένα, να τη φτιάξουμε τη γραφική παράσταση και να δούμε θεωρητικά πως ερμηνεύεται αυτό που βλέπουμε, αυτό που μαζέψαμε. Θα το κάνουμε αυτό? Όσοι θέλετε κάνετε το, εγώ θα σας τη δώσω και εσείς κάνετε ό,τι θέλετε. Με συνεργασία με εμένα μπορούμε να φτιάξουμε τέτοια προβληματάκια και άλλα και άμα συνεργαστούμε μπορούμε αυτά τα προβληματάκια να δούμε πόσα επιτυχία θα έχουν, να φωνάξουμε και άλλους συμφιτητές σας και να κάνουμε μια παρουσιάσιο. Να σας πω λοιπόν ένα πρόβλημα, τρία λεφτά έχουμε, δύο λεφτά έχουμε, να σας πω ένα πρόβλημα το οποίο δεν θέλω να πάτε να το βρείτε λιμμένο, θέλω να το συζητήσετε εσείς, να το διαβάστε και να το συζητήσουμε την Παρασκευή. Λοιπόν το πρόβλημα λέει μια εταιρεία, να δείτε δηλαδή ότι ο φυσικός είναι ένας χρήσιμος άνθρωπος και όλα αυτά που λέμε δεν τα λέμε για να περάσουμε το μάθημα, μια εταιρεία παράγει σούπες και θέλει να τις διαθέσει στην αγορά σε κυλινδρικά κουτάκια που θα χωράνε, ο όγκος του κουτιού αυτού πρέπει να είναι συγκεκριμένος 500 κυβικά εκατοστά. Μας ζητά να βρούμε την ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου ώστε να χρησιμοποιηθεί το ελάχιστο υλικό κατασκευής των κουτιών. Να την διαβάσω άλλη μια φορά. Μια εταιρεία παράγει σούπες και θέλει να τις διαθέσει στην αγορά σε κυλινδρικά κουτάκια που θα χωράνε 500 κυβικά εκατοστά. Μας ζητά να βρείτε την ακτίνα της βάσης του κυλινδρικού δοχείου ώστε να χρησιμοποιηθεί το ελάχιστο υλικό στην κατασκευή των κουτιών. Μας ζητά να βρούμε την ακτίνα της βάσης του κυλινδρικού δοχείου ώστε να χρησιμοποιηθεί το ελάχιστο υλικό κατασκευής των κουτιών.
_version_	1782817643383750656
description	Εισαγωγή στις συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις. Εξοικείωση με τη χρήση και την κατασκευή γραφικών παραστάσεων τριγωνομετρικών, εκθετικών, σύνθετων και πεπλεγμένων συναρτήσεων.: Είχαμε μείνει στο περασμένο μάθημα ότι έχουμε δύο τύπους γενικούς φαινομένων στη φυσική και η μία είναι τα περιοδικά φαινόμενα και η άλλη είναι τα φαινόμενα τα οποία έχουμε απότομη κατάρρευση, συνεχή κατάρρευση ή έχουμε έκρηξη. Οπότε να δούμε αυτές τις συναρτήσεις οι οποίες θα περιγράψουν τέτοια φαινόμενα. Και ας ξεκινήσουμε με τις τριγωνωμετρικές συναρτήσεις, τις οποίες ξέρετε φυσικά, τις οποίες γνωρίζετε και μια γρήγορη επανάληψη θα κάνουμε σήμερα στις ειδικές συναρτήσεις για να φύγουμε από αυτό το χώρο και να μπούμε σε άλλα θέματα. Αλλά από την άλλη μεριά παρόλο ότι γνωρίζω ότι τις ξέρετε χρειάζεται να κάνετε και μερικές επαναλήψεις γιατί ορισμένα πράγματα πιθανότατα να μην τα έχετε τα φωμιώσει. Η τριγωνωμετρική συναρτήση θα είναι μια συναρτήση σαν αυτή. ΚΑΠΑΧΙ ΣΙΝΦΙ. Και σε αυτήν εδώ τη συναρτήση βλέπουμε ότι έχουμε το τλάτος, η γραφική της παράσταση θα είναι μια τέτοια ταλάτοση. Οπότε θέλουμε να αναγνωρίσουμε τους όρους. Το πρώτο και σημαντικό είναι το πλάτος. Μετά εδώ πέρα αυτός είναι ο κύματάριθμος. Ο κύματάριθμος ΚΑΠΑ θα τον γράψουμε 2πΔΑΛ. Και γι' αυτό εδώ πέρα αυτή η σχέση μπορεί χρησιμοποιώντας την ανάλυση να την γράψουμε 2πΔΑΛ. Άρα αν αναλύσουμε το ΚΑΠΑ με αυτόν τον τρόπο η συναρτήση θα γραφτεί ΑΜΙΔΕΝ, η μύτωνο του 2π και το ΧΙ με το ΛΑΜΤΑ συν το ΦΙ. Το ΧΙ λοιπόν είναι ο άξιωνας αυτός ο ΧΙ, αυτός είναι ο ΨΙ, αυτό είναι το μήκος κύματος. Και φυσικά το ΧΙ και το ΛΑΜ πρέπει να μετρηθούν στο ίδιο σύστημα μονάδων. Είτε μέτρα είτε σαντιμέτρα κανά λόγα τι πρόβλημα σε τι μονάδες δουλεύεται. Και τέλος έχουμε το ΦΙ που είναι η αρχική φάση, δηλαδή αν είμαστε στην αρχή εδώ η αρχική φάση είναι 0. Αλλά αν ξεκινήσουμε από κάποιο άλλο σημείο, αν ξεκινήσουμε αυτή την καμπύλη από αυτό το σημείο, θα έχουμε μια μετατόπιση φυσικά και αυτή η μετατόπιση θα μετρήσει τη φάση. Ένα κύμα που περιγράφεται με αυτό τον τρόπο, αν κάποιος δεν σας το δώσει με μια μαθηματική έκφραση, αλλά σας το πει με λόγια, πώς λέγεται, ποια λέξη φυσικής περιγράφουμε με ένα τέτοιο κύμα. Πέστε μου εσείς, πέστε και το όνομά σας θα το λέτε συνέχεια. Ναι Αλέξανδρε, ναι αρμονική είναι η ταλάντωση αυτή, αλλά πώς λέγουμε ένα κύμα τέτοιο, όχι. Πέστε μου εσείς, πώς, όχι αυτό ακριβώς δεν είναι, ακριβώς το αντίθετο περίμενα να πείτε, στάσιμο, έτσι. Αυτό είναι ένα στάσιμο κύμα, λοιπόν γιατί είναι στάσιμο κύμα, γιατί δεν υπάρχει ο χρόνος. Και αν θέλουμε να το κάνουμε, ένα κύμα το οποίο, αν το αλλάξουμε αυτό, αν αλλάξουμε αυτή την έκφραση και τη γράψουμε α0, η μύτωνο, το kx, το κύματάριθμος μίον ωμέγα τάφ, συν φι, τώρα συμπληρώσαμε ένα κύμα, βάζαμε και το χρόνο μέσα, το α0 παραμένει σταθερός αριθμός. Αυτό είναι ένα κύμα το οποίο διαδίδεται, η διαφορά αυτών των δύο κυμάτων μπορείτε να τη φανταστείτε, δηλαδή τι θα διαφέρει αυτό το κύμα, το οποίο το είπατε τρέχον, αν είχα δηλαδή μια δυνατότητα να το δω, να εξελίσετε αυτό το κύμα στο χρόνο, πώς το φαντάζεστε ότι θα, τι θα φαντάζεστε ότι θα γινότανε. Γιατί λέγεται τρέχον, δηλαδή τι είναι αυτό το τρέχον, πες το μέσα. Γιατί κάποια σημεία του μέσου, κάποια δυνατικά στάσματα, είναι το πραγματικό να εκτελεί και θα μη εταλάντωσης. Ναι, κάποια ήτανε στάσημα, δηλαδή τι εννοείς, ότι αυτό το σημείο θα κάνει και αυτό μη εταλάντωση τώρα, αυτό εννοείς, αυτό εννοείς. Ναι, άρα λοιπόν αυτά όλα τα σημεία εδώ πέρα θα εκτελούν με το συγκεκριμένο. Αυτή η καμπύλη, επειδή για κάθε χρονική στιγμή, αν τη δείτε αυτό, αφάλλω μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, τα φένα, αυτό εδώ πέρα προσθήθεται στη φάση. Άρα είναι σαν να φεύγει αυτό το κύμα και να έρχεται, να ανεβαίνει αυτή τη μία εδώ πέρα, να ανεβοκατεβαίνει αυτό. Οπότε το κύμα αυτό, ουσιαστικά, την επόμενη χρονική στιγμή θα είναι έτσι, θα έχει μετατοπιστεί λίγο. Και αν συνεχίσει θα μετατοπίζεται, αλλά θα φαίνεται, αν το δείτε με, αν φτιάξετε ένα movie, μια ταινία με αυτό το κύμα, στο χρόνο, μια ταινία, γιατί η ταινία είναι όταν μπαίνει ο χρόνος μέσα σε μια συνάρτηση, όταν μπαίνει ο χρόνος, σημαίνει ότι έχουμε εξέλιξη στο χρόνο. Εξέλιξη στο χρόνο σημαίνει ταινία, οπότε αν το δείτε αυτό σε ταινία, αν θέλετε μπορείτε να το ψάξετε και να το βρείτε, θα δείτε λοιπόν αυτό το πραγματικά να ταξιδεύει. Το ω τί είναι τώρα δε, το ω ποια ποσότητα είναι, το κ είπαμε λέγεται κύματάριθμος. Αυτό το ω πως λέγεται, κυκλική συχνότητα και με τι είναι η ίση, 2π προσθέει περίοδος. Η άλλη γραφή είναι 2π επί νι, που νι είναι η συχνότητα. Εντάξει, τα γράφουμε αυτά, τα γράφουμε και τα ξέρουμε και μένουν αυτά, δεν τα γράφουμε για να περάσουμε το μάθημα, έτσι. Σας παρακαλώ αυτά πράγματα δεν είναι για το μάθημα μόνο, αλλά είναι για να μείνουν πραγματικά στην περιγραφή τέτοιων κυμάτων. Ωραία. Λοιπόν, υπάρχουν ορισμένες ταυτότητες στις νοικονομετρικές, σε οποία είπατε ότι ήταν εκτός ήλιης και δεν τις κάνατε στο λύγιο. Στο βιβλίο όμως που θα πάρετε υπάρχουν αυτές οι ταυτότητες και το πρώτο πράγμα που θα θέλαμε είναι να ορίσουμε μέσα από αυτές, ορίσαμε το ημήτωνο και το συνημήτωνο. Αυτά τα δύο είναι δύο κλασικές συναρτήσεις, οι οποίες βέβαια θα μας χρειαστεί σε έναν κύκλο με ακτίνατη μονάδα. Το ημήτωνο και το συνημήτωνο μπορούμε εύκολα να τα βρούμε όπως εδώ θα είναι το ψ και εδώ θα είναι το χ. Θα μπορούμε να βρούμε ποια είναι οι τιμές, αυτό είναι η ακτίνα του κύκλου που μπορούμε να τον πάρουμε μονάδα. Οπότε εκεί μέσα ορίζεται το ημήτωνο και το συνημήτωνο. Τα θεωρώ γνωστά και δεν θα προσπαθήσω να τα ορίσω πάλι. Θα σας παρακαλέσω να γυρίσετε να επαναλάβετε στο λύκειο, στο βιβλίο που διαβάσατε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Να θυμηθείτε το ημήτωνο και το συνημήτωνο και το τριγωνομετρικό κύκλο, όσοι δεν τα θυμάστε. Τώρα, αν συνεχίσουμε θα πρέπει να ορίσουμε και μερικές ακόμα συναρτήσεις. Και αυτές επίσης τις γνωρίζετε εκτός από το ημήτωνο και το συνημήτωνο. Θα ορίσουμε την εφαπτομένη μιας γωνίας χ. Τώρα έγραψα χ εδώ πέρα. Αν αυτό είναι αριθμός 1, 2, 3, τι σημαίνει 1, 2, 3 σαν γωνία. Μήρες σημαίνει το χ άμα λέμε 1. Συνήθως όταν λέμε 1, 2, 3 και δεν λέμε για μήρες, δηλαδή οι μήρες θα είναι 30, 40 κτλ, θα είναι σε διαφορετικές τιμές, αλλά σωστά, και εγώ δεν ήμουν πάρα πολύ, δεν ήμουν σαφής στην ερώτηση. Το χ λοιπόν αν μετρύται σε ακτίνια και θέλουμε να το μετατρέψουμε σε γωνίες. Πώς θα μετατρέψουμε τα ακτίνια σε γωνίες. Ποιος θα μας πει πώς θα μετατρέψουμε αν το χ έχει μετρηθεί σε ακτίνια, πώς θα το μετατρέψουμε σε γωνίες. Εγώ προσωπικά χρησιμοποιώ μέθοδο των τριών και λέω τα 360 μήρες 2π ακτίνια, χ μήρες τόσα ακτίνια. Η χ μήρες πόσα, έτσι ας το πούμε είναι φι εδώ πέρα ή αν θέλουμε να πούμε σε ακτίνια αν μας δοθεί το χ πόσες θα είναι ποιά θα είναι η γωνία. Όταν το χ μετρηθεί σε ακτίνια θα βρούμε τη γωνία. Το π φυσικά ξέρετε είναι το 3 και 14 έτσι. Άρα αυτά είναι τα ακτίνια έτσι θα κάνουμε αναγωγή τα ακτίνια σε μήρες. Σωστά. Όπου υπάρχουν ερωτήσεις, όπου διαφωνείτε, όπου έχετε κάτι άλλο να πείτε όχι επειδή το είπα εγώ δεν μιλάμε σίγουρα θα καταθέστε ότι διαφωνείτε. Εδώ πέρα λοιπόν έχουμε το ημήτωνο χ με το συνημήτωνο χ. Έχουμε και τη συνεφαπτομένη η οποία θα κρατήσουμε τους αγγλικούς όρους. Η συνεφαπτομένη θα γράφεται έτσι στα αγγλικά. Και θα είναι το συνημήτωνο χ με το ημήτωνο χ. Αυτά νομίζω μαζί με το ημήτωνο και το συνημήτωνο αυτά είναι πασίγνωστα. Εκείνο που δεν είναι πολύ γνωστό είναι πως θα ονομάσουμε το 1 δια ημήτωνο χ και το 1 δια συνημήτωνο χ. Θα θυμάται κανένας πως θα ονομάζουμε. Πέστε μου εσείς το τέλος και πέστε και το ονομάζουμε. Άρα λοιπόν στα αγγλικά θα έχουν τους όρους το 1 δια ημήτωνο είναι έτσι γράφεται στα αγγλικά και το 1 είναι σεκ γράφεται στα αγγλικά σεκ του χ που είναι το 1 δια συνημήτωνο. Και το άλλο είναι σεκ δηλαδή έχει σεκ είναι η δεδειγμένη όρη για το 1 δια ημήτωνο και το 1 δια συνημήτωνο. Ωραία τώρα είχαμε πει και κάποιες ταυτότητες μερικές είναι πολύ γνωστές αλλά δεν είναι όλες. Παραδείγματος χάρη αυτή η ταυτότητα η μήτωνο τετράγωνο χ συν συνημήτωνο τετράγωνο χ αυτό είναι ίσο με τη μονάδα είναι μια από τις πιο γνωστές ταυτότητες. Υπάρχουν και άλλες όμως που δεν τις ξέρετε δεν τις έχετε εύκολα στο μυαλό σας οι οποίες βγαίνουν από αυτήν η εφαπτωμένη τετράγωνο χ είναι ίση με το σεκ τετράγωνο χ. Αυτή εδώ η ταυτότητα πως αποδεικνύεται δεν θα καθίσουμε τώρα να τις αποδείξουμε είναι πάρα πολύ εύκολο να αποδειχθούν φυσικά και υπάρχουν στο βιβλίο. Όσοι δεν θέλετε και δεν πρέπει να παπαγαλίσετε μερικές από αυτές τις ταυτότητες θα ξέρετε να τις αποδεικνύετε εάν τις χρειάζεστε. Έτσι λοιπόν ένας εφαπτωμένη τετράγωνο χ είναι ίσον με το σεκ τετράγωνο χ. Άλλη μία είναι ένας το κότ τετράγωνο χ είναι ίσον με το σεκ τετράγωνο χ. Λοιπόν αυτές είναι δύο ταυτότητες άλλη μία πολύ χρήσιμη ταυτότητα είναι πως θα ορίσει κανένας το ημύτωνο του δύο χ με τι είναι ίσον. Το ημύτωνο του δύο χ ποιος το θυμάται. Θυμάται κανένας πως είναι το ημύτωνο του δύο χ. Ήταν εκτός ύλης και δεν χρειάστηκε. Όταν είναι εκτός ύλης είναι εκτός ύλης. Λοιπόν τώρα θα την βάλουμε εντός ύλης αυτά όλα θα σας στείλω ένα κείμενο με τις ταυτότητες αυτές τις τριγωνομετρικές. Οι οποίες υπάρχουν σε πίνακα και μέσα στο βιβλίο έτσι. Άρα στο βιβλίο που θα πάρετε ή αν δεν το έχετε ήδη αναζητήσει από συναδέλφους σας αυτές οι ταυτότητες το ημύτωνο του δύο χ παράδειγμα τους χάρη σηκώσατε αρκετή το χέρι ένας από εσάς που σήκωσε το χέρι για να δω ποιος είναι που δεν έχετε μιλήσει εσείς πέστε μου. Δύο ημύτωνο χ επί συν ημύτωνο χ. Το ίδιο θέλω να πουν και οι υπόλοιποι φαντάζομαι έτσι. Υπάρχει όμως και το συν ημύτωνο του δύο χ. Αυτό με τι είναι ίσον. Ωραία νομίζω ότι χρειαζόμαστε την επανάληψη είναι ολοφάνερο αυτό είναι το συν ημύτωνο τετράγωνο χ μειον ημύτωνο τετράγωνο χ. Στις διπλάσσες γωνίες πρέπει να βρούμε την εφαπτωμένη του δύο χ. Άρα λοιπόν θα πρέπει να ξέρουμε τα διπλάσσια γινόμενα των γωνιών. Υπάρχει κι άλλο ένα ενδιαφέρον στοιχείο το οποίο πρέπει να το συζητήσουμε. Είναι τι θα γίνει αν έχουμε το ημύτωνο μιας γωνίας α στην γωνία β. Το ημύτωνο του α στην β. Έτσι με το πως θα αναλύσουμε μια τέτοια σχέση. Αυτά όλα θα τα βάλω εγώ και θα σας τα στείλω σε όσους έχετε γραφτεί στο blackboard. Θα τα βάλω στο blackboard σε εκεί που λέει υλικά του μαθήματος. Ένας πίνακας με όλες αυτές τις ταυτότητες που χρειάζεται να επαναλάβετε, να θυμηθείτε. Και αν θέλετε τη γνώμη μου είναι μέσα στο υλικό που όταν ένας φοιτητής διαβάζει όλο το εξάμινο, δουλεύει τις ασκήσεις κτλ δεν χρειάζεται πολλές μέρες για να δώσει εκστάσεις. Γιατί ουσιαστικά ανά πάσα στιγμή το υλικό το έχει στο μυαλό του μπορεί να δώσει. Χρειάζεται όμως 2-3 μέρες να κάνει μια επανάληψη σε πράγματα που δεν είναι στο τυπολόγιο που θα σας μοιράσουμε και θα πρέπει να πείτε ότι σε κάθε κεφάλαιο που διαβάζετε αυτό το υλικό ξέρω να το αποδεικνύω, το γνωρίζω, δεν χρειάζεται να το επαναλάβω στις εξετάσεις και γι' αυτό παρακολουθείτε όλο το εξάμινο γιατί αυτό το υλικό το έχετε δουλέψει όλο το εξάμινο. Αλλά υπάρχουν σημεία όπως κάποιες ταυτότητες, κάποιες σημεία μέσα στο βιβλίο. Αυτά συνήθως αν δείτε τα βιβλία τα έχουν ακόμα και στα εξώφυλλα, δηλαδή όγκους, επιφάνιες, στερεών σχημάτων κτλ. Άρα λοιπόν χρειαζόμαστε αυτές τις ταυτότητες να τις επαναλάβουμε παραμονές των εξετάσεων γιατί μπορεί να τις βρούμε μπροστά και να χάσουμε την απόδειξη μιας άσκησης μόνο και μόνο γιατί δεν θυμόμαστε αυτές τις ταυτότητες. Αυτές τις ταυτότητες λοιπόν επαναλαμβάνω που θα τις βρείτε, θα τις βρείτε στο, έγραψα και την εφαπτωμένη του 2x που είναι αυτή εδώ που λέει 2 εφαπτωμένη χ, 1 μοιον εφαπτωμένη στο τετράγωνο χ. Αυτές τις σχέσεις μπορείτε και να τις αποδείξετε. Λοιπόν, άρα να επανέλθουμε θέλω να ασκηθείτε στις τριγωνομετρικές ταυτότητες. Τώρα, τη γραφική παράσταση του ημητώνου, του συνημητώνου, της εφαπτωμένης πρέπει να τις ξέρετε και τις ξέρετε. Αυτά είναι γνωστά. Ένα ακόμα πράγμα θέλα και να αφήσουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Ένα πράγμα ακόμα να σας υποδείξω, ότι μπορούμε να ορίσουμε εκτός από την τριγωνομετρική συναρτήση και την αντίστροφη τριγωνομετρική συναρτήση. Και αυτή λέγεται τόξο του ημητώνου χ, τόξο του συνημητώνου χ και έχει διάφορες γραφές. Αυτή είναι η αντίστροφη συναρτήση μοιον 1, αυτό είναι η αντίστροφη συναρτήση του ημητώνου. Ημητώνω στη μοιον 1 χ είναι η αντίστροφη συναρτήση. Αυτή λοιπόν η συναρτήση έχει, ποιο είναι το πεδίο ορισμού αυτής της συναρτήσης. Της αντίστροφης συναρτήσης του ημητώνου χ ποιο είναι το πεδίο ορισμού. Εσείς πεςτε μου, εσείς. Από το μοιον 1 μέχρι το 1. Μπράβο, από το μοιον 1 μέχρι το 1. Λοιπόν, άρα τις αντίστροφες συναρτήσεις, το αυτό που είπαμε επίσης πρέπει να ξέρετε ότι υπάρχουν. Ή αυτό γράφεται και arc ημήτωνο χ. Αυτή είναι η άλλη έκφραση. Στα ελληνικά είναι το τόξον του ημητώνου χ. Έτσι. Λοιπόν, αυτό είναι η αντίστροφη του συνημητώνου χ. Εδώ υπάρχουν και στις αντίστροφες ταυτότητες. Αλλά επειδή αρχίζει και γίνεται δύσκολο το παιχνίδι, στο τυπολόγιο που υπάρχει στην πρώτη σελίδα στα υλικά του μαθήματος στο blackboard, δείχνουμε ποια πράγματα θα τα έχετε μαζί σας στις εξετάσεις. Οπότε δεν χρειάζεται να τα απομοιμωνεύσετε. Κάποιους από τους τύπους που λέμε τώρα, δηλαδή κάποιες από τις ταυτότητες, υπάρχουν στο τυπολόγιο, οπότε αυτές δεν θα χρειαστεί να τις θυμάστε απέξω. Αυτή είναι η αντίστροφη και ήθελα και τις γραφικές τις παραστάσεις να μπορείτε να κάνετε. Θα τις μαζέψετε και θα τις κάνετε και αυτές. Άρα λοιπόν, κρατάμε από σήμερα ότι τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τις γραφικές τους παραστάσεις, τα πεδία ορισμού, τις αντίστροφες τριγωνομετρικές και τις ταυτότητες των τριγωνομετρικών και των αντιστρόφων. Αυτό όλο το υλικό πρέπει να γίνει επανάληψη. Και αν δεν είχε διαβαστεί λόγο το ότι είχε βγει εκτός ύλης, να διαβαστεί τώρα. Έτσι δεν είναι τίποτα, είναι ορισμοί από αυτές τις ειδικές συναρτήσεις. Ερωτήσεις. Ναι. Είναι το τόξο, είναι η ίδια έκφραση, είναι το ημήτωνο μίον ένα σαν γραφή. Πώς γράφουμε το τόξο του τόξου ημητώνου χ. Στα Αγγλικά γράφεται είτε ΖΑΙΝ μίον ένα χ, έτσι θα το βρείτε, είτε ΆΡΚ του ημητώνου χ. Έτσι. Πρέπει να εξεκιωθούμε με τους Αγγλικούς όρους, οπότε δεν συζητάω καθόλου τις ελληνικές μεταφράσεις αυτών των όρων. Άλλη παρατήρηση. Ωραία. Να φύγουμε λοιπόν από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, οι οποίες όπως είπαμε θα περιγράφουν αυτό που συζητήσαμε ήδη, θενόμενα τα οποία έχουν πάρα πολλά όπως είπατε και την περασμένο μάθημα στη φύση. Έχουμε φαινόμενα τα οποία έχουνε περιοδικότητα, η κίνηση των πλανητών γύρω από τον ήλιο, η ηλεκτρομαγνητισμός, ο ήχος και όλα αυτά έχουν ταλαντώσεις, αυτές οι ταλαντώσεις έχουν μια περιοδικότητα. Πέστε μου. Με συγχωρείτε Μίροξ, που θέλετε να κάνουμε και τελευταία που μας είχατε δώσει και για ψαντίστρα, για συναρτήσεις αυτών των πλανητών, είναι με αυτό το υλικό το οποίο θα πάρουμε... Μπράβο, μπράβο, ναι, ναι, βέβαια, όλο αυτό το υλικό υπάρχει και η παράκληση δική μου είναι, θυσιάστε, συζητήστε με συμφοιτητές σας που είναι στο δεύτερο ή μεγαλύτερο έτος και παρακαλέστε τους να σας δανείσουν για μερικές εβδομάδες, μέχρι να πάρετε από τον εύδοξο τα βιβλία, να σας δανείσουν το βιβλίο. Θα το χρειαστείτε οπωσδήποτε. Κάποιες μικρές σημειώσεις που έχω γράψει εγώ, τις οποίες τις παίρνετε μέσα από το blackboard, δεν έχουν σκοπό να ξαναγράψουν το βιβλίο. Δεν είχα καμία τέτοια διάθεση να κάνω κάτι τέτοιο, αλλά είχα ένα φόβο όταν τις έγραψα, ότι επειδή το βιβλίο μπορεί να αφιερώσει και 30 σελίδες σε ένα θέμα γιατί θέλει να το εισάγει αναλυτικά και να βάλει πολύ υλικό, νομίζω τρομάζει ένα βιβλίο που για κάθε θέμα έχει τόσο πολύ υλικό και ήθελα να σας επισημάνω ποιο από αυτό το υλικό μας είναι πάρα πολύ χρήσιμο. Γι'αυτό έγραψα αυτές τις σημειώσεις και όπου θέλω να διαβάσετε κάτι από το βιβλίο λέω κοιτάξτε τις σελίδες τάδε και τάδε. Σας παραπέμπω στις συγκεκριμένες σελίδες το βιβλίο αντί να επαναλάβω και εγώ το βιβλίο. Ερωτήσεις, άλλη ερώτηση υπάρχει? Να αφήσουμε τις συγκρονομετρικές συναντήσεις, αλλά πριν τις αφήσουμε να ρωτήσουμε τι θα γίνει, πως θα περιγράψουμε και πού θα μπει η πληροφορία μιας ταλάντωσης η οποία δεν έχει σταθερό πλάτος. Το πλάτος είναι πάντα σταθερό στην ταλάντωση, δεν είναι. Όταν το πλάτος δεν είναι σταθερό τι σας έρχεται στο νου ότι μπορεί να περιγράφει μια ταλάντωση της οποίας το πλάτος δεν είναι σταθερό. Τι μπορεί να περιγράφει, πέστε μου ένα φαινόμενο το οποίο φυσικά το πλάτος είναι ή πράγματι είναι μια ταλάντωση που συζητήσαμε νομίζω και κάποιος από εσάς, το είπε και την περασμένη φορά, πως θα λέμε τις ταλαντώσεις οι οποίες δεν έχουν σταθερό πλάτος. Αρκετοί το ξέρουν, πέστε μου εσείς δεν έχετε μιλήσει, πέστε και το όνομά σας. Εξαναγκασμένη είναι μια ταλάντωση η οποία, ποιά λέμε εξαναγκασμένη ταλάντωση, ποιά λέμε εξαναγκασμένη ταλάντωση, πέστε μου εσείς. Είναι ταλάτσια που αποστάθηκαν εμείς εμένα να πραγματοποιήσουμε. Ναι, δηλαδή, και πέστε μου μια τέτοια ταλάντωση. Το ΥΟΥΟ. Αυτή λοιπόν είναι μια ταλάντωση στην οποία ασκείται μια δύναμη η οποία την κρατάει σε αυτή την περιοδική κίνηση. Οπότε ό,τι χάσιμο ενέργειας έχει πιθανότητα να το αναπληρώσει. Αλλά υπάρχουν κάποιες άλλες ταλαντώσεις οι οποίες παρόλο ότι δεν είναι εξαναγκασμένη, ακριβώς το αντίθετο δεν τις εξαναγκάζει κανένας, η εξαναγκασμένη ταλάντωση μπορεί να δίνεις ενέργεια από τη δύναμη οπότε να επαναφέρεις ότι χάνεται από το σύστημα. Αν όμως χάνεται σε μια ταλάντωση ενέργεια, τι μορφή παρουσιάζει αυτή η ταλάντωση? Εσείς. Φθύνουσα ταλάντωση, έτσι. Άρα λοιπόν έχουμε ταλαντώσεις φθύνουσες όταν το πλάτος της ταλάντωσης αλλάζει με το χρόνο. Αυτή λοιπόν είναι μια φθύνουσα ταλάντωση και την ξέρετε πως είναι η φθύνουσα ταλάντωση. Μπορείτε να μου πείτε ένα σύστημα στη φύση που εξασκεί αυτή τη φθύνουσα ταλάντωση. Δηλαδή τι μπορεί να αναγκάσει μια ταλάντωση να γίνει φθύνουσα. Συνεχίστε εσείς που είπατε. Η κούνια, ναι, υπάρχει μια αντίσταση δηλαδή. Το τελευταίο πολύ ενδιαφέρον πριν αφήσουμε τις ταλαντώσεις είναι ότι αυτά τα φυσικά φαινόμενα δημιουργούμε και στο τρίτο εξάμινο θα έχετε ολόκληρο μάθημα πάνω σε αυτά. Διουργούμε κάποιες εξισώσεις, τις λέμε διαφορικές εξισώσεις να περιγράφουν φυσικά φαινόμενα. Υπάρχει λοιπόν μια διαφορική εξίσθηση. Τι εννοούμε διαφορική εξίσθηση είναι ότι έχει παραγώγους. Τις οποίες γνωρίζετε τι είναι οπότε μου επιτρέπετε να προχωρήσω λίγο παρακάτω. Υπάρχουν λοιπόν παράγωγοι όπως είναι η ταχύτητα, είναι η παράγωγος της θέσης. Αυτό είναι παράγωγος. Άρα λοιπόν η επιτάχυνση είναι δεύτερη παράγωγω της θέσης, σωστά. Ωραία. Όταν θέλω να γράψω μια τέτοια εξίσωση, μια διαφορική εξίσωση. Παράγωγος με παραγώγους πρώτης, δεύτερης τάξης και απλές χωρίς να έχουμε παραγώγους. Ξέρει κανένας αν του δείξω μια διαφορική εξίσωση να μου πει, α αυτή η διαφορική εξίσωση έχει λύσει αρμονική ταλάντωση. Ποια είναι η διαφορική εξίσωση που έχει σαν λύση την τριγωνομετρική συνάρτηση. Το ξέρει κανένας. Όχι. Την κάνω πάλι την ερώτηση, μήπως σας μπέρδεψα με την ερώτηση. Λέω ότι υπάρχει μια διαφορική εξίσωση. Τώρα όταν λέμε διαφορική εξίσωση, καταλαβαίνετε τι εννοούμε. Εννοούμε μια εξίσωση που έχει μέσα, αντί να έχει χ και ψ και τα λοιπά, έχει παραγώγους και χ παράγωγος και ψ παράγωγος και οτιδήποτε. Αυτό να το σημειώσετε, δεν είναι ανάγκη να το μάθετε σήμερα από εμένα, αλλά να σημειώσετε ότι υπάρχει μια διαφορική εξίσωση. Θα την γράψω τώρα εγώ. Η δεύτερη παράγωγος του ψ ως προς χ τετράγωνο είναι συν κ τετράγωνο χ ίσως με το μηδέν. Αυτή εδώ η έκφραση όπου τη δείτε, αν δείτε μια τέτοια διαφορική εξίσωση, δεύτερη παράγωγος του ψ, εδώ ψ έπρεπε να βάλω, δεύτερη παράγωγος του ψ ως προς χ τετράγωνον συν κ τετράγωνο, το κ είναι ο κιματάριθμος, επί ψ, αυτή εδώ η έκφραση έχει σαν λύση α0 ψ ίσον α0 συν ημήτωνο κχ συν φ. Πώς θα αποδείξω εγώ ότι η λύση αυτής της εξίωσης είναι η αρμονική αυτή την ταλάντωση ψ ίσον α0, πώς θα μπορώ να αποδείξω ότι αυτή η διαφορική εξίωση έχει αυτή λύση, πώς μπορώ να το αποδείξω. Όταν σας δώσω τη λύση μιας διαφορικής εξίωσης, πώς θα αποδεικνύετε αν είναι η πράγματι η λύση. Καλά θα ήταν να ξέρατε, αυτό θα μάθετε στις διαφορικές εξίωσεις, όταν σας δίνω μια διαφορική εξίωση να βρίσκετε ποια είναι η λύση, αλλά εγώ σας έχω δώσει και τη διαφορική εξίωση και τη λύση της και θέλω να κάνω επαλήθευση ότι αυτή που σας έδωσα σαν λύση είναι η λύση της διαφορικής εξίωσης, πέστε μου εσείς. Όχι με ολοκληρώματα, άλλος τρόπος. Θα την παραγωγήσουμε δύο φορές. Δηλαδή αυτό που μας λέει να κάνουμε διαφορική εξίωση απάνω στην ψ, να το κάνουμε. Να πάρουμε την πρώτη παράγο, την δεύτερη παράγο, να αντικαταστήσουμε εκεί πέρα και να πρέπει να δείξουμε ότι πράγματι αυτή εδώ επαλήθευει αυτή, αυτή είναι η έκφραση, ότι αυτή η λύση επαλήθευει αυτή την εξίσωση. Το λέω αυτό γιατί επειδή στη φυσική ένα πάρα πολύ ενδιαφέρον πράγμα συμβαίνει. Όλη, όλη η φυσική, θα το ξαναπούμε αυτό λίγο αργότερα και το άλλο εξάμινο, όλη, όλη η φυσική μαζεύεται σε πολύ λίγες διαφορικές εξώσεις. Εμείς τα μοντέλα που φτιάχνουμε στη φύση με πολύ λίγες διαφορικές εξώσεις περιγράφουμε τη φύση, η αρμονική ταλάδωση. Τώρα, εάν θέλει κανένας αυτή λοιπόν είναι μια φθύνουσα αρμονική ταλάδωση. Και εδώ τι σημαίνει στη φθύνουσα ότι τα πλάτη συνεχώς μειώνονται με έναν πιθανότατα νόμο και γι' αυτό το αλφα μηδέν, όπως είπαμε και στο άλλο μάθημα, μπορεί να είναι μια εκθετική συνάρτηση η οποία πέφτει συνεχώς. Αυτή είναι η φθύνουσα ταλάδωση. Ωραία, πάρα πολύ ωραία. Να αντισβήσουμε αυτή και να πάμε πολύ γρήγορα επίσης στις εκθετικές συναρτήσεις. Μια εκθετική συναρτήση θα είναι η γενική της μορφή ψ. Οι εκθετικές συναρτήσεις έχουν τη μορφή ψ ίσον α ή στην χ. Το α είναι ένας πραγματικός αρυθμός συνήθως. Είναι μεγαλύτερο του μηδενός το α. Οπότε έχουμε ψ ίσον α ή στην χ. Αυτές είναι εκθετικές συναρτήσεις. Το α στη φυσική διαλέγουμε τις περισσότερες φορές να πάρει δύο χαρακτηριστικές τιμές. Στα περισσότερα προβλήματα που εμείς δουλεύουμε δύο τιμές παίρνει αυτό το α. Ποιες είναι? ψ ίσον α ή στην χ. Πολύ σπάνια χρησιμοποιούμε το α ένα γενικευμένο αριθμό. Πέστε και το όνομά σας. Ναι Τάνια. Το ψ είναι το 2,70 και κάτι. Το α λοιπόν μία τιμή που διαλέγουμε να του δώσουμε είναι το ε. Αυτό το ψ πώς λέγεται? Πέστε μου εσείς. Και είναι 2,2,70 και κάτι. Εγώ ένα πρόβλημα θα ήθελα λίγο να το σκεφτείτε και να δουλέψετε και μόνοι σας. Γιατί μας προέκυψε όπως το π, όπως το γ, διάφορες σταθερές. Αυτό το ψ πώς μας προέκυψε, γιατί προέκυψε αυτή η σταθερά. Από πού προέκυψε αυτή η σταθερά. Θα μην το απαντήσουμε τώρα για να δώσουμε χρόνο να το σκεφτείτε και μόνοι σας. Γιατί μου αρέσει αυτή η διαδικασία να σκέφτεστε ορισμένα πράγματα και μόνοι σας να το ψάχνετε. Δηλαδή, πώς βρέθηκε αυτό το ψ να είναι τόσο χαρακτηριστικό στη φυσική και να έχει μια πολύ χαρακτηριστική τιμή. Το άλλη τιμή του α που συνήθως χρησιμοποιούμε. Ποιος δεν έχει μιλήσει, εσείς οι περισσότεροι που σηκώσετε το χέρι. Έλα και οι υπόλοιποι το ξέρετε, απλώς σας παρακαλώ μη συνομπάρετε να σηκώσετε το χέρι. Σίγουρα δεν τρέπεστε αλλά φαντάζομαι ότι δεν θέλετε καν να συμμετέχετε. Πέστε μου εσείς το 10. Άρα λοιπόν έχουμε δύο χαρακτηριστικές τιμές. Ωραία, αυτές είναι οι συναρτήσεις. Ένα πράγμα που θα ήθελα εγώ να σιγουρέψω είναι ότι σε αυτές τις εκθετικές συναρτήσεις έχουμε κάποια πράγματα τα οποία πρέπει να τα θυμάστε. Είναι, ας χρησιμοποιήσουμε το ε που είναι τόσο γνωστό και χαρακτηριστικό σε εμάς. Το ε στη μηδενική είναι ίσον με τι. Πες εδώ. Ένα. Λοιπόν το ε στην α επί ε στη δήτα είναι ίσον με τι. Ωραία, αρκετοί το ξέρετε, μια χαρά είμαστε. Πέστε μου εσείς. Εψιλον ε στην α στην β. Μπράβο. Εψιλον ε στην α συν β. Και έχουμε και το ε στην α δια ε στην β και αυτά είμαι σίγουρος ότι τα ξέρετε αλλά δεν πειράζει ας τα ξαναπούμε. Αυτό το ε στην α δια ε στην β. Εσείς, πες τα εσείς. Εσείς. Εψιλον ε στην α μειον β. Και επίσης άλλο ένα πράγμα που ήθελα να δω, το ε αν έχουμε το ε στην α και όλο αυτό είναι υψωμένο στο α. Εψιλον ε στην α και όλο έχει υψωθεί στο α. Εσείς. Είναι ε στην α επί α. Ωραία, ε στην α επί α. Ωραία, μια χαρά, αυτά τα θυμάστε πολύ ωραία, αντίθετα ήταν εντός υλής μάλλον, εντάξει. Ωραία, μια χαρά. Τώρα έχουμε και τις αντίστροφες από τις εκθετικές συναρτήσεις. Και αυτές οι αντίστροφες ποιες είναι οι αντίστροφες των εκθετικών συναρτήσεων, γνωστές μας, πεςτε μας. Οι λογαριθμικές. Ωραία. Άρα και στις λογαριθμικές, όπως έχουμε δύο χαρακτηριστικές, μπορούμε να ορίσουμε γενικά μια λογαριθμική συναρτήση, φυσικά. Όπως κάναμε γενικά το ψ ίσον α ή στην χ, μπορούμε να ορίσουμε ότι το ψ ίσον ο λογαριθμός με βάση το α χ. Άρα λοιπόν έχουμε και αυτό το γενικό ορισμό. Αν το α εδώ όμως έχουμε διαλέξει ειδικά σύμβολα, γιατί όταν το α είναι ε, ο εμπέριος λογαριθμός, αυτός είναι ο εμπέριος λογαριθμός, αυτό το ε δίνει μια πολύ χαρακτηριστικό λόγγ. Πώς θα το ονομάσουμε, θα το ονομάσουμε στα αγγλικά ψ ίσον λν, έτσι αυτό θα είναι το σύμβολο που διαλέγουμε, του χ. Όταν βρέσκεται αυτό το σύμβολο, θεωρείτε ότι το α είναι το ε. Άρα και το άλλο, για να είναι το α το ε, το λν, ο εμπέριος λογαριθμός του α στην χ, θα μας δίνει αφού είναι το αντίστροφο πόσο, ο εμπέριος λογαριθμός του ε, του γνωστού μας ε, είναι στην χ. Με τι θα είναι ίσον, εσείς πέστε, με το χ. Πάρα πολύ ωραία. Λοιπόν, υπάρχει και για το δέκα, με τη βάση του δέκα, δεν βάζουμε το δέκα, χρησιμοποιούμε λογ του χ, που αυτό το λογ είναι αυτό που διαλέγουμε για να θεωρήσουμε ότι η βάση είναι το δέκα. Άρα, όπως είπαμε το α, όταν γίνει ε και δέκα, παίρνει δύο χαρακτηριστικές τιμές το ε στην χ και το δέκα στην χ, έτσι και οι λογαριθμοί που είναι οι αντίστροφοι μας δίνουν αυτές εδώ τις σχέσεις. Τώρα, μια πολύ ενδιαφέρουσα δουλειά που δείχνει ποιοι έχατε μάθει να αποδεικνύετε πράγματα και όχι να απομνημονεύετε πράγματα όταν ήσασταν στο Λύκειο. Θέλω να αλλάξω βάση, δηλαδή κάποιος μου δίνει το λογαριθμό του δύο ε στην χ, μια με βάση το δύο δηλαδή, και θέλει να του γράψω το λογαριθμό με μία άλλη βάση, δηλαδή να μεταφερθώ από τη βάση α να πάω στο λογαριθμό στη βάση β. Θέλω να αλλάξω βάση στην έκφραση του λογαρίθμου. Θυμάται κανένας τον τύπο και καλά μετά βλέπουμε πώς αποδεικνύεται. Εσείς που σήκωσε το χέρι και πέστε και το όνομά σας. Ναι παρύγια πες μου πώς θα αλλάξω βάση. Λογάριθμος με τη νέα βάση. Λογάριθμος, κάτσε σιγά σιγά να γράφω, λογάριθμος με τη βάση αx ίσον, η άλλη είναι το β, έτσι πες μου τι θα γίνει. Λογάριθμος με τη βάση αx ίσον. Πολύ ωραία. Το θυμάστε και οι υπόλοιποι ή όχι. Ήταν και φέκτος ίλισσε. Ήταν και φέκτος ίλισσε. Λοιπόν, τώρα η ερώτηση είναι αυτή να την αφήσουμε σαν άσκηση να μην τη θυμάστε, ποτέ δεν πρέπει να τη θυμάστε αλλά μπορούμε να το αποδείξουμε αυτό. Εσείς που το θυμάστε μπορείς να το αποδείξεις. Από πού θα αρχίσουμε για να το αποδείξουμε αυτό. Ξεκινάμε από το λογάριθμο α του x, τον οποίο είναι το ψ. Αυτό λοιπόν, αν θέλετε το λογάριθμος με βάση του αx είναι ίσον ψ. Αν θέλω να γράψω, μπορώ να γράψω επίσης ότι το α ψ σε αυτή την περίπτωση είναι ίσον με το x. Αυτά τα δύο είναι ισοδύναμα. Συμφωνείτε? Ναι ή όχι. Τώρα παίρνουμε το λογάριθμο με βάση του β και στα δύο μέλη. Και από εδώ και πέρα συνεχίστε μόνοι σας. Το λογάριθμο του β με βάση του β του αx ίσον λογάριθμος με βάση του βx. Άρα λοιπόν έγραψα ότι λογάριθμος με βάση του αx ίσον ψ. Το έγραψα έτσι και μετά πήρα το λογάριθμο και στα δύο μέλη του λογάριθμου με βάση του β του αx ίσον με λογάριθμο με βάση του βx. Άλφα εις την ψ. Άλφα εις την ψ. Τώρα έχετε δίκιο. Συγγνώμη, ευχαριστώ. Λοιπόν, από εδώ και πέρα μπορείτε να συνεχίσετε. Είπα ότι πήρα αρχικά το λογάριθμο με βάση του αx και το είπα ψ. Μετά έγραψα από κάτω α εις την ψ ίσον χ. Γιατί αυτές οι δύο σχέσεις μπορούν να μετατραπούν μια στην άλλη, το ξέρουμε. Και μετά πήρα το λογάριθμο με βάση του β μέσα σε παρένθεση α εις την ψ ίσον με το λογάριθμο του βx. Οπότε μάλλον έχω ολοκληρώσει, έτσι δεν είναι. Πες μου ξανά το όνομά σου που μου πες. Πάρι. Πάρι. Μπορείς από εδώ και πέρα να τελειώσεις εσύ αφού το... Άρα, πες το πάλι. Μεγάλιστο β το α ίσον. Οκ, αυτή είναι η σχέση που έχουμε. Και μετά. Ναι. Λύνουμε ως προς ψ, δεν μπορούμε να λύσουμε ως προς ψ. Οπότε θα έχουμε το ότι έχει στον αριθμητή. Λογάριθμος του βx και λογάριθμος με βάση το β το α. Οπότε το ψ αυτό είναι αυτό που ξεκινήσαμε, είναι το λογάριθμος με α του χ. Να λοιπόν η απόδειξη. Ωραία. Λοιπόν, έχουμε λοιπόν και τις συναρτήσεις αυτές τις δύο, τις σημαντικές, το λογάριθμο και την εκθέτη. Τι άλλο και νομίζω ότι με αυτές μπορούμε να σταματήσουμε εδώ. Νομίζω ότι αυτές μας φτάνουν για αυτά που έχουμε. Και να κάνουμε εδώ ένα διάλειμμα, να συζητήσουμε δύο άλλες συναρτήσεις, τρεις άλλες συναρτήσεις, αυτό από την επόμενη ώρα και τα μοντέλα που είναι αυτό που θέλουμε, αυτό που θέλουμε να τελειώσουμε σήμερα. Λοιπόν, επαναλαμβάνουμε στο σπίτι με βάση ότι βιβλίο βρείτε. Τις τριγωνωμετρικές, τις εκθετικές και τις λογαριθμικές συναρτήσεις με τις ιδιότητές τους και τις γραφικές παραστάσεις. Αυτά τα παίρνετε μαζί και τα κάνετε μια καινούργια επανάληψη. Και από εδώ και πέρα αυτά δεν είναι εκτός ύλης. Είναι όλα εντός ύλης και μάλιστα να ξεκαθαρίσουμε το θέμα της ύλης. Εδώ ό,τι συζητάμε πρέπει να μπει σε μια κατηγορία πραγμάτων που να μην βρεθείτε στη δυσάρεστη θέση, να είστε στο τρίτο έτος, να έχετε διδαχθεί ορισμένα πράγματα από εδώ από αυτό το μάθημα και να έχετε δώσει εξετάσεις, να έχετε περάσει το μάθημα και να έχετε κάνει delete σε όλο αυτό το υλικό. Οπότε σε ένα μάθημα φυσικής ή μαθηματικών στο τρίτο έτος να μην μπορείτε να κάνετε τίποτα ή να μην θυμάστε κανένα από αυτούς τους τύπους. Αυτό θα είναι πολύ δυσάρεστο. Οπότε υπάρχουν και ειδικά τυπολόγια τα οποία αν θέλετε όταν δουλεύετε στο σπίτι. Στο σπίτι ξέρετε ότι έχω το βιβλίο αυτό στη βιβλιοθήκη μου που έχει αυτό το υλικό και όταν θέλετε γιατί στο σπίτι θα δουλεύετε περισσότερες φορές να ανατρέξετε για αυτό το υλικό. Ξέρετε σε ποιο βιβλίο σας τη βιβλιοθήκη είναι. Τότε το βιβλίο γίνεται από βιβλίο χρήσιμο για να περάσεις εξετάσεις, ένα βιβλίο αναφοράς στη βιβλιοθήκη σας. Κάθε βιβλίο που διαβάζετε από εδώ και πέρα στον μαθηματικό το βάζετε στη βιβλιοθήκη για βιβλίο αναφοράς λέγεται. Διότι φυσικά δεν μπορείτε να θυμάστε όλες αυτές τις πληροφορίες αλλά ξέρετε που θα βρείτε αν το χρειάζεστε, σε ποιο βιβλίο στη βιβλιοθήκη σας βρίσκετε αυτό το υλικό, το κατεβάζετε και συνεχίζετε τη δουλειά σας αν έχετε να κάνετε μια δουλειά στο σπίτι. Λοιπόν, να κάνουμε ένα μικρό διάλειμμα και να επιστρέψουμε. Σας παρακαλώ λίγο ησυχία. Υπάρχει μια άλλη κατηγορία συναρτήσεων, οι οποίες δεν ξέρω αν τους δώσατε όνομα, τις ξέρετε, τις έχετε δουλέψει, ξέρετε να κάνετε πολλά πράγματα με αυτές, λέγονται σύνθετες συναρτήσεις. Η γενική γραφή μιας σύνθετης συναρτήσης θα είναι ότι το F υπάρχει μια συναρτήση Φ του Χ, αυτή είναι η γενική γραφή. Δηλαδή αντί να έχω F του Χ έχω μια συναρτήση η οποία είναι του Χ επίσης. Παράδειγμα αν βάλετε Ψ ίσον τετραγωνική ρίζα μέσα Χ τετράγωνον συν 3X-7 βλέπετε ότι αυτή εδώ η συναρτήση, αυτή είναι μια συναρτήση, οπότε μπορείτε να γράψετε τετραγωνική ρίζα του Φ του Χ και να ορίσετε χωριστά ότι το ορισμός του Φ του Χ είναι το υπόριζο ποσότητας αυτήν εδώ την τετραγωνική ρίζα. Άρα ποιο θα είναι, θα είναι το Χ τετράγωνο συν 3X-7. Λοιπόν αυτές είναι σύνθετε συναρτήσεις, άλλο ένα παράδειγμα, Ε στην 3X-2 Χ τετράγωνο-Χ τρίτης συν 7 και αυτή είναι μια σύνθετη συναρτήση F του Χ η οποία είναι της μορφής Ε στην Φ του Χ, Φ ελληνικό εννοώ, οπότε το Φ του Χ είναι όλα αυτά εδώ το πράγμα, αυτές είναι οι σύνθετες συναρτήσεις. Ερωτήσεις, απορίες, τις έχετε δουλέψει τις σύνθετες συναρτήσεις, δεν ξέρω αν τις λέγατε και έτσι στο Λύκειο, αλλά ξέρετε πολλά πράγματα γι' αυτές, ξέρετε πως να παραγωγήσετε μια σύνθετη συναρτήση αλλά θα έρθουμε σε αυτά αργότερα. Αυτές είναι οι σύνθετες συναρτήσεις που αυτό που είναι το όρισμα της συναρτήσης είναι επίσης μια συναρτήση. Ωραία, είναι πάρα πολύ χρήσιμο να ξέρουμε την σύνθετη συναρτήση πως θα αντιχειριστούμε αργότερα στις παραγωγήσεις, αλλά εδώ να την ορίσουμε απλώς. Απορίες, θα πρέπει να με σταματάτε και να ρωτάτε και νομίζω ότι μια χαρά πάμε στην αλληλεπίδραση προς το παρόν και θα συνεχίσουμε έτσι να συζητάμε λίγο στο μάθημα. Υπάρχει μια άλλη κατηγορία συναρτήσεων πάρα πολύ χρήσιμη, τις συναντάμε πολύ ταχτικά στη φυσική και αυτές είναι λεγόμενες παραμετρικές συναρτήσεις. Παραμετρικές συναρτήσεις. Και αυτές τις έχετε γνωρίσει αλλά δεν τους δώσατε όνομα πιθανόν. Μπορούμε να έχουμε χ του τε και ψ του τε. Να βλέπετε ότι αυτές εδώ οι συναρτήσεις περιγράφουν, αυτές είναι πάρα πολύ χρήσιμες στη φυσική και θα σας εξηγήσω αμέσως γιατί. Είναι συναρτήσεις του χρόνου και δείχνουν την εξέλιξη του χ και του ψ χωριστά σαν συναρτήση του χρόνου. Αν θέλουμε να φτιάξουμε μια κλασική συναρτήση και δεν είναι πάντα εύκολο αλλά αν θέλουμε να φτιάξουμε μια συναρτήση ψ του χ μέσα από μια παραμετρική τι θα κάνουμε. Τι έπρεπε να κάνουμε θεωρητικά για να φτιάξουμε μια συναρτήση κλασικού τύπου ψ ή ψ του χ αν έχουμε τις παραμετρικές. Τι θα κάνουμε. Πώς θα περάσουμε το ερώτημα από παραμετρική γραφή συναρτήσεων σε μια γραφή η οποία είναι παραδοσιακή ψ ίσον Φ του Χ. Ποιοι θέλουν να απαντήσουν. Αργύρη θέλεις να πεις κάτι. Ναι νομίζω ότι δεν πρέπει να δώσουμε κάποιες συγκεκριμένες τιμές τις παραμέτρικους αλλιώς. Όχι. Και κάτι άλλο μπορούμε να κάνουμε. Αν δώσουμε συγκεκριμένες τιμές απλώς θα παρακολουθούμε τις τιμές του ψ και του χ πάνω στην καμπύλη. Αυτό που λέει ο Αργύρης. Αλλά δεν είναι αυτό που σας ζήτησα εγώ. Είναι πως μπορώ να γυρίσω σε μια συναρτήση κλασική έχοντας τις παραμετρικές. Θέλετε να πείτε κάτι. Δεν πειράζει αν δεν είναι σωστό. Αν θέσουμε ψ ή ψ. Αν θέσουμε ψ. Τι είπατε δεν σας πείτε δεν σας κατάλαβα καλά. Αν θέσουμε ψ του τ τι να κάνουμε. Όχι. Ένα άλλο γράμμα ας πούμε ω. Ίσως με χ τ. Όχι δεν έχει. Δεν ξέρω αν θα θεγηθούμε στις ίδιες εξισώσεις. Νομίζω ότι όταν σας το πω θα πείτε όλοι αυτό ήταν τόσο απλό δηλαδή. Αν βάζαμε μία τιμή αρχικά. Μετά να βάζαμε όπου τ έησουν το κ και να βάζουμε το όπου τ έησουν το κ συνέμι. Δεν ξέρω αν αυτό μου λέτε. Να δώσω στο τ χαρακτηριστικές τιμές. Τ έησουν κ και μετά θα γίνει χ του κ ψ του κ. Δεν με νοιάζει το τ έημενα. Έχουμε δύο συναρτήσεις. Χ α συνειμήτωνο ω τ. Να μία συναρτήσεις χ του τ. Και η άλλη είναι ψ του τ ίσον α ημήτωνο ω τ. Να λοιπόν δύο παραμετρικές εξισώσεις. Τις βλέπετε. Αυτό είναι. Αυτό συζητάμε. Και μήπως ξέρετε και τι περιγράφουν αυτές. Που έγραψα η χ του τ ίσον α συνειμήτωνο ω τ και η ψ του τ ίσον α ημήτωνο ω τ. Τι περιγράφουν αυτές. Τι κίνηση περιγράφουν αυτές οι δύο. Μιλήστε και πέστε και λάθος. Δεν πειράζει. Εδώ είμαστε για να πούμε τα λάθη. Στις εξετάσεις δεν τα κάνουμε λάθη. Τα λάντωση είναι. Τα λάντωση είναι. Αλλά επειδή έχετε το ίδιο α μπορεί να πούμε ότι είναι μια κυκλική κίνηση. Γιατί είναι μια κυκλική κίνηση. Είναι μια ταλάντωση όπως το είπε ο συναδελφός σας. Πολύ σωστά το είπε. Απλώς εγώ λέω ότι πάρτε το κύκλο με ακτίνα α. Πάρτε το υλικό σημείο που κινείται και το ω τ τι λέει εδώ πέρα. Τι είναι το ω σε αυτή την κυκλική κίνηση. Είναι η γωνιακή ταχύτητα. Έτσι δεν είναι. Άρα το ω τ είναι αυτό εδώ το τόξο. Ω τ. Άρα λοιπόν αυτό το υλικό σημείο α κάνει μια περιστροφή σε ένα κύκλο με ακτίνα α. Και αν θέλω να περιγράψω αυτή την κίνηση θα γράψω χ ίσον α. Δεν το έχω πάρει σωστά νομίζω. Το χ πρέπει να είναι το συνημίτωνο. Καλά το έχω και το ψ ίσον α ή μήτων ω τ. Το βλέπετε ή δεν το βλέπετε. Αν δεν το βλέπετε. Ψηκώ στο χέρι και σήμερα λέει. Συγγνώμη μπορείτε να μιλήσετε ελληνικά γιατί μέχρι τώρα μιλάτε κινέζικα. Είναι κάποιος που δεν καταλαβαίνει τι είπα. Πέστε μου δεν με καταλαβαίνετε. Δεν θα μπορούσα να μιλήσω προβολή του σημείου. Ακριβώς είναι οι προβολές. Αυτό το χ και το ψ δηλαδή είναι ότι αυτό το υλικό σημείο που διαγράφει αυτή την κίνηση γύρω στον κύκλο. Έχει μια προβολή εδώ που είναι το χ. Και θα το γράψω χ ίσον α επειδή έχω ένα τρίγωνο εδώ πέρα. Το χ λοιπόν αυτό θα δώσει χ α α είναι αυτή η ακτίνα. Συνημίτωνο ω τ. Νάτη λοιπόν η μία. Και η άλλη προβολή όπως είπες είναι το ψ. Το οποίο είναι αυτό εδώ πέρα να μην το ξαναγράφω. Άρα είναι οι δύο προβολές. Παρακολουθώ λοιπόν τις προβολές όπως αυτό κάνει μια κυκλική κίνηση με ω τ. Με ω τη χαρατηγωνιακή ταχύτητα και τ χ. Αυτές οι δύο κίνησης τι θες να πεις Αργύρη. Φαίνομαι ότι για το προηγούμενο και αυτό που είπατε για το την αυτό με τις παραμετηριές τους μπορούμε να το κάνουμε μια εξήγηση. Μπράβο. Που δεν είναι σύνθεση πρακτικά. Σύνθεση αλλά πως την εννοείς εσύ εγώ. Θα βάλουμε αν έχουμε ας πούμε την f του x και την x του t θα κάνουμε την f σύνθεση, f του x σύνθεση με την x του t. Οπότε σημαντικά όταν βάζουμε κάτι θα μπαίνει πρώτα στη μία στη x του t για παράδειγμα. Και αυτό που θα βγαίνει όσα ποτέ θα μπαίνει κατευθείαν στην άλλη. Το φέρνεις γύρω γύρω αλλά δεν το λες. Λέω ότι μπορούμε να λύσουμε αυτές τις δύο. Θα πρέπει να απαλείψουμε για να γυρίσουμε στις παλιές πρέπει να απαλείψουμε το ταφ. Αν λύσω λοιπόν τη x του t ως προς ταφ και την αντικαταστήσω στο ψυμ πιθανόν αυτό να έλεγε ο Γιώργιος αλλά δεν το κατάλαβα έτσι. Λύνω την πρώτη τη x του t ως προς τε και φτιάχνω μία συνάρτηση ταφ. Ίσον αφού παίρνω την τ έχω την έχω αντιστρέψει μία συνάρτηση καινούργια f του x. Παίρνω λοιπόν το ταφ εδώ στην ψ και στη θέση του ταφ βάζω αυτήν που αντιστρέψα έχω αντιστρέψει. Τη βάζω μέσα και γίνεται ψ του x. Απαλείφω το ταφ είναι η λέξη. Θα διώξω το ταφ από τις παραμετρικές εξωτές. Πώς μπορώ να το διώξω. Να λύσω την πρώτη ως προς ταφ και να αντιγράψω ταφ ίσον με κάτι του x. Να πάρω το ταφ να το ρίξω μέσα στη θέση του ψ ψ ταφ και θα γίνει ψ του x. Με καταλάβατε τώρα. Αυτό θα πρέπει να μπορέσουμε να το κάνουμε και θα το κάνουμε. Θα δώσουμε παραδείγματα και ασκήσεις. Ασκήσεις δεν θα λύνουμε σε αυτό το μάθημα. Μόνο θα ανακοινώνουμε καινούργια πράγματα. Όχι θα λύνουμε ασκήσεις. Απλώς προσπαθούμε να καλύψουμε κάποιο υλικό και μετά να γυρίσουμε να λύσουμε ασκήσεις. Δηλαδή την Παρασκευή θα ξεκινήσουμε με το να λύσουμε ασκήσεις αυτά που είπαμε και σήμερα αν δεν προλάβουμε πολλές και θα μπούμε στα όρια τα οποία θα τα τρέξουμε πάρα πολύ γιατί δεν αξίζει να αφιερώσουμε πάρα πολύ χρόνο στα όρια. Θα πούμε με πέντε κουβέντες και θα φύγουμε. Λοιπόν, άρα σκοπός μου είναι την Παρασκευή να τελειώσουμε και με τα όρια και να μπούμε την άλλη εβδομάδα και μάλλον να πω ότι είδα ο κ. Τσάγκας είχε κάνει μάθημα προηγουμένως. Αυτοί έχουν προφτάσει στα όρια. Θα τους φτάσουμε και εμείς την άλλη Παρασκευή. Λοιπόν, το καταλάβαμε αυτό ότι μπορούμε να αντιστρέψουμε. Τώρα, από εδώ και πέρα έχω μια ερώτηση να σας κάνω και εδώ αυτή η παραμετρικές εξώσεις στη φυσική της συναντάμε συνεχώς. Γιατί? Γιατί ένα από τα πράγματα που κάνει το μάθημα της κλασικής μηχανικής είναι να βρει την κίνηση υλικού σημείου. Η κίνηση υλικού σημείου στο χώρο περιγράφεται με ένα διάνυσμα που λέγεται διάνυσμα θέσεως. Και να σας πω αυτές τις κουβέντες, τις περίεργες της των φυσικών, πώς θα τις δούμε σε μαθηματικό επίπεδο. Προσέξτε, ότι έκανε το υλικό σημείο που έκανε κυκλική κίνηση, θα το γενικεύσουν. Μην κάνει κυκλική κίνηση, να κάνει μια τυχαία κίνηση. Άρα λοιπόν, εδώ είναι το χ, έναν άξονα φτιάχνω, εδώ είναι το ψ. Και ένα υλικό σημείο ξεκινάει από αυτό το σημείο, χ μηδέν ψ μηδέν, τη χρονική στιγμή τ άφησαν με μηδέν και εκτελεί μια περίεργη καμπύλη. Αυτή η καμπύλη είναι η τροχιά του, απάνω στο επίπεδο ψ χ. Και αυτή λέγεται τροχιά και έχει διάνισμα θέσης, λέμε. Ένα διάνισμα που είναι συνάρτηση του χρόνου, που λέγεται χ του τ έχει συμψή του τ έψι. Το χ τι μου δείχνει, αυτό είναι το μοναδιέο διάνισμα εχ στον άξονα χ. Αυτό είναι το μοναδιέο διάνισμα στον άξονα ψ. Και η κίνηση του υλικού σημείου δίνεται από ένα διάνισμα το οποίο λέγεται διάνισμα θέσης. Περιγράφει τη θέση σε κάθε χρονική στιγμή του υλικού σημείου που κινείται, κάνει μια τυχαία τροχιά. Και αυτή η κίνηση τη λέμε στην φυσική τροχιά. Δηλαδή η καμπύλη που περιγράφει και η συνάντηση που περιγράφει την κίνηση ενός υλικού σημείου στη φυσική λέγεται τροχιά. Και έχει ένα διάνισμα θέσης που είναι το ρ, το οποίο έχει σαν συνισθώσες τη χ και την ψ και η ερώτηση η δική μου είναι και πως ένας φυσικός θα βρει τη χ και την ψ για να ξέρει την τροχιά ενός υλικού σημείου. Ποια είναι εκείνη η εξίσωση, πάλι διαφορική, θα τις λέμε αυτές γιατί μας αρέσουν, ποια είναι η εξίσωση, διαφορική, όλα αυτά τα ξέρετε αλλά απλώς δεν τα ξέρετε με αυτά τα λόγια. Έτσι όλα αυτά που σας λέω τώρα τα ξέρετε αλλά τα ξέρετε με άλλες κουβέντες, τα έχετε δει με άλλη εικόνα, τώρα θα τους αλλάξουμε εικόνα. Λοιπόν, ένας φυσικός λοιπόν για να βρει την κίνηση ή την τροχιά ενός υλικού σημείου τι πρέπει να ξέρει, τι τροχιά θα διαγράψει, πέστε μου εσείς. Ακρότετα θα βρει αν έχει μεγίστα και λάχιστα, αυτή η καμπυλή είναι άλλο θέμα αλλά λέω εγώ για να παρακολουθήσω τι κίνηση θα κάνει ένα υλικό σημείο χρειάζομαι να ξέρω τι. Την ταχύτητα χρειάζεται να την ξέρω αλλά αν ξέρω την ταχύτητα θα ξέρω τη θέση, θα ξέρω και την ταχύτητα αλλά αυτό είναι που χρειάζομαι. Για να περιγράψω την κίνηση ενός υλικού σημείου, την ταχύτητα πώς θα την βρω παραδείγματος χάρη. Για να βρω την ταχύτητα ενός υλικού σημείου κάτι χρειάζομαι για να δω τι ταχύτητα θα έχει, τι είναι αυτό που χρειάζομαι, τι καθορίζει τι ταχύτητα θα έχει ένα υλικό σημείο. Την καμπύλη θα είναι το αποτέλεσμα αλλά ποιος θα αναγκάζει ένα υλικό σημείο να μπει σε μια καμπύλη. Ποιος αναγκάζει ένα υλικό σημείο να κάνει αυτή την καμπύλη και ένα άλλο υλικό σημείο να κάνει κυκλική τροχιά και ένα άλλο υλικό σημείο να πάει έτσι εκθετικά. Ποιος το είπε, η δύναμη. Η δύναμη η οποία ασκείται σε ένα υλικό σημείο το αναγκάζει να εκτελέσει μια συγκεκριμένη τροχιά. Ποιος αναγκάζει εμάς να ακολουθήσουμε μια συγκεκριμένη τροχιά, εμάς τη γη εννοώ. Η έλξη ποιονού πράγματος, του ήλιου. Άρα ο ήλιος αναγκάζει εμάς να εκτελέσουμε γύρω του μια κυκλική τροχιά, σχεδόν κυκλική. Συμφωνείτε. Άρα λοιπόν η δύναμη είναι αυτή η οποία, άρα αφού εμείς θα ψάξουμε σε ένα ολόκληρο κεφάλαιο της φυσικής, στην κλασική μηχανική να μελετήσουμε τις τροχές αλλά και στην ηλεκτρομαγνητισμό φορτίων ή σωματιδίων, πως κινούνται στο χώρο, μας ενδιαφέρει να ξέρουμε να λύσουμε μια χαρακτηριστική εξίσωση από την οποία θα βγάλουμε τις τροχές. Ποια είναι αυτή. Μπράβο αυτό είναι. Η συνάδελφός σας είπε ΜΑΖΑ επί την επιτάχυνση θα είναι ίσο με το άθρισμα των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό το υλικό σημείο. Σωστά. Αυτό είναι όλο. Πολύ όμορφα. Την επιτάχυνση, εγώ σας είπα, τη μεν ταχύτητα τη γράφουμε πρώτη παράγωγο του R, του διανύσματος θέσεις και την επιτάχυνση τη γράφουμε δεύτερη παράγωγο του διανύσματος θέσεις. Δεύτερη παράγωγο του R ως προς τάφ, αυτή εδώ είναι η επιτάχυνση και η ταχύτητα, ήδη θα έχετε αρχίσει να τα κάνετε αυτά στην κλασική μηχανική αν αρχίσετε μαθήματα μηχανικής, η ταχύτητα είναι δε ρο δε τάφ, ποιο είναι αυτό το ρο, είναι το διανύσμα θέσεις που λέγαμε. Έτσι, ανά από εδώ, από μια διαφορική εξίσουση που λέει μάζα επί δεύτερη παράγωγος του ρο, του διανύσματος θέσεις, ως προς το χρόνο στο τετράγωνο, ίσον με τη δύναμη ή το άσθρισμα των δυνάμεων που είπε η συνάδελφός σας. Αυτή είναι λοιπόν η εξίσουση του Νεύτωνα, έτσι δεν είναι μάζα επί επιτάχυνση, ίσον δύναμη. Η λύση της εξίσουσης του Νεύτωνα είναι το R του τε, είναι η τροχιά, η οποία εξαρτάται από το χ και το τε, τα οποία είναι οι παραμετρικές εξώσεις. Να γιατί οι παραμετρικές εξώσεις είναι πάρα πολύ σοβαρές για εμάς. Συνοηθήκαμε? Απορίες να κάνετε συνεχώς και διορθώσεις και συμπληρώσεις. Πέστε μου. Η λύση αυτής της διαφορικής εξίσουσης, η λύση αυτής εδώ που λέει μάζα επί επιτάχυνση, ίσον δύναμη, είναι το R του τε. Και έχει συγκινιστώσε στοιχεί τε και την ψ τε, που είναι οι παραμετρικές εξώσεις. Αυτή μπορώ να την αναλύσω. Αν αναλύσω το διάνισμα σε δύο, αυτή μπορώ να την σπάσω σε δύο. Δηλαδή τη δεύτερη παράγωγη του erγ προς τε τετράγωνο. Πώς μπορώ να την κάνω mmm δεύτερη παράγωγη του χτ τ τ τε τε τε τράγωνο, ίσον, εδώ τι θα βάλω τώρα όμως άμα την αναλυσω και γράψω μιά ως προς χ και είρα выйναι ως προς ψ. Τετράγωνο. Ίσον F του T όμως. Τι θα πάρω εδώ, θα πάρω πάλι το δημιουργείσμα του F όχι. Τι θα πάρω, τις συγκυστώσεις. F του X λοιπόν εδώ και F του Ψ εδώ. Έφτιαξα λοιπόν από μία εξίσωση σαν αυτή, έφτιαξα δύο εξισώσεις που αν τις λύσω, οι λύσεις τις είναι οι παραμετρικές εξισώσεις που συζητάμε. Το X του T δηλαδή και το Ψ του T. Και για την Αργύρη πες μου. Δηλαδή έτσι όπως το αντιλαμβάνομαι εγώ, αν έχουμε μια κίνηση στον χώρο, ουσιαστικά, η κίνηση του σημείου περιγράφεται και στον κάθε άξονα από μία διαφορετική εξίσωση που είναι η συναρτήση του χρόνου. Ακριβώς. Και το άθεσμα αυτό μας δίνει. Όχι το άθεσμα, το διαγκυσματικό άθεσμα. Το διαγκυσματικό άθεσμα μας δίνει τις συνδεταμένες του Άρα. Του διαγκύσματος θέσης. Μπράβο, αυτό είναι. Άρα δηλαδή το διαγκύσμα θέσης αναλύεται σε δύο συναρτήσεις. Η μία είναι Χ του T, η άλλη είναι Ψ του T. Αυτές τις δύο συναρτήσεις τις λέμε παραμετρικές εξισώσεις που περιγράφουν παραμετρικές συναρτήσεις, οι οποίες περιγράφουν την κίνηση του υλικού σημείου στο επίπεδο. Αν θέλαμε να την περιγράψουμε στον χώρο, τι θα βάζαμε ακόμα. Το Ζ του T. Έτσι, Άρα θα βάζαμε και το Ζ του T. Ένα διαγκύσμα λοιπόν που περιγράφει μια κίνηση στον χώρο είναι Άρα, διαγκύσμα, ίσον, Χ του T εχ, Συν Ψ του T εχ, Συν Ζ του T εζ. Θέλατε να ρωτήσετε κάτι. Το Χ του T και το Ψ του T, τι μορφή θα έχουμε? Α, να γράψουμε, ποιος θέλει να προτείνει, αφθαίρετα εννοείται, φαντάζομαι αφθαίρετα εννοείται, έτσι δεν είναι. Δηλαδή, Χ του T να μια συνάρτηση, τρία ταφ, Συν δύο και Ψ του T ίσον ταφ τετράγωνο. Νάτες, αυτές είναι δύο εξισώσεις που περιγράφουν μια κίνηση. Και αυτό που σας έλεγα προηγουμένως, το Χ του T, ίσον τρία, ο συνάδελφός σας ρώτησε, αυτό έπρεπε να το κάνω αλλά το ξεχνάω, έπρεπε να επαναλαμβάνω την ερώτησή σας, επειδή μόνο εγώ έχω μικρόφωνο εδώ πέρα, μόνο με ένα γράφι η κάμερα και πρέπει να σας επαναλαμβάνω τι ρωτάτε. Οπότε ο συνάδελφός σας ρώτησε, δώστε μας παραδείγματα του Χ του T και Ψ του T να δούμε πώς είναι αυτές οι συναρτήσεις. Λοιπόν, μια συνάντηση πάρα πολύ απλή, του Χ του T είναι τρία τε Συν δύο και η Ψ του T είναι ίσον ταφ τετράγωνο. Όπως σας είπα την περασμένη φορά, λύνω ως προς τε την πάνω, πώς θα τη λύσω ως προς τε, θα πάω το δύο από εκεί, θα γίνει Χ-2 και θα διαιρέσω με το τρία. Εάν πάρω το ταφ ίσον Χ-2δ3 που είναι η λύση του Χ του T, πάρω αυτό το ταφ και το βάλω από κάτω, θα φτιάξω μια συνάντηση που θα είναι Χ-2δ3 και όλος το τετράγωνο. Άρα, γύρισα στην Ψ του Χ. Τη βλέπετε? Αυτό εννοούσα προηγουμένως. Στη λύση. Εντάξει. Λοιπόν, ερωτήσεις, προεκτάσεις, συμπληρώσεις. Ακούω. Πέστε. Σε αυτές τις δείξεις τόση Χ-2δ3 του Τ είναι η θέση σημείου στο μάξο του Χ-Ψ. Μπράβο, όπως το είπα, γύρισες προηγουμένως. Ναι. Αν παραγωγήσουμε το Χ του Τ θα βγάλουμε τι? Το Β του Χ. Β του Χ. Αν παραγωγήσουμε το Ψ του Τ θα βγάλουμε τη Β του Ψ. Και αν πάρουμε τη δεύτερη παράγωγή του Χ του Τ θα βγάλουμε την Α του Χ. Και τη δεύτερη παράγωγή του Ψ την Α του Ψ. Και αν τις γράψουμε και τις δύο σαν διαφορευξώση στην εύθονα, αναλύουμε την κίνηση σε μία στο Χ και στη μή. Και επειδή προσθήθονται αυτές για να μας δώσουν τη συνολική, προσθήθονται και φτιάχνουν την κίνηση απάνω στο επίπεδο. Εάν, έτσι να το σιγουρέψουμε ότι το ξέρουμε, το είμαι σίγουρος ότι το ξέρετε όλοι, να ρωτήσω λοιπόν ποια είναι η δύναμη που ουσιαστικά θα γράφουμε σαν σ' αυτές τις εξής ώσεις για να παρακολουθήσουμε την κίνηση μιας μάζας γύρω από μια άλλη. Αν κινούνται αυτό που κινείται, δηλαδή το Χ του Τ, αυτή τη δύναμη, το άχρημα των δυνάμεων που πρέπει στην αδελφό σας, θέλουμε να παρακολουθήσουμε όμως ένα πολύ συγκεκριμένο πράγμα, να ξέρουμε και κάτι συγκεκριμένο. Και αυτό είναι η κίνηση ενός υλικού σημείου με μάζα M γύρω από ένα άλλο υλικό σημείο με μάζα M επίσης. Πώς θα κινείται το ένα γύρω στο άλλο, ποια δύναμη έλκει δύο υλικά σημεία ώστε να βρούμε την εξίσουση κίνησης και να λύσουμε τις τροχές για να βρούμε, πέστε μου εσείς το τέλος. Πώς είναι η ελκύση του μιτζέι στον χαράσταρ, πάντωνιμος έλκυσης, ετοιμάζε ένα, ετοιμάζε δύο, σαν τετράγωνο. Μια χαρά το είπες, με ένα πολύ σημαντικό, αυτή πώς μου την περιέγραψες, είναι λοιπόν η εξίσουση που περιγράφει την έλκυση δύο σωμάτων, έχει ένα μειον μπροστά, είναι λοιπόν F, γράφω λοιπόν, είναι μειον, G, μη 1 η μία μάζα, μη 2 η άλλη, τετράγωνο ονομασθή και ένα διάνισμα θέσεις. Αυτό είναι επειδή η δύναμη μεταξύ δύο μαζών είναι ελκτική έχω βάλει ένα μειον εδώ και εδώ έχω βάλει ένα ε, γιατί η δύναμη που έλκει δύο μάζες είναι κατά μήκος της ακτίνας που τη συνδέει. Ωραία, αυτά θα τα μάθετε και στο μάθημα της μηχανικής, δεν χρειάζεται να μπούμε εμείς σε άλλα χωράφια, απλώς να συνδέσουμε τα μαθηματικά μας με τη φυσική. Λοιπόν, εντάξει με τις παραμετρικές, εντάξει με τις σύνθετες, να πούμε την τελευταία μια άλλη μορφή συναρτήσεων, που είναι και η τελευταία που θα αναφέρομαι σήμερα και μετά να μιλήσουμε λίγο για τα μοντέλα, που είναι για μένα το κυρίαρχο θέμα για εσάς όλα αυτά τα μαθηματικά τα κάνετε για τα μοντέλα. Λοιπόν, να δούμε τι είναι αυτό το περίεργο, που ήταν το αστείο να το αφομιώσουμε και εμείς. Σας ακούω, όχι δεν είναι τροπή να γελάστε, όλοι θέλουμε να γελάσουμε, αλλά πέστε το και σε εμάς. Όχι το μοντέλο, εσείς το μοντέλο πήγατε σε άλλα μοντέλα, δεν εννοούσα αυτά τα μοντέλα που εννοούσατε εσείς. Λοιπόν, υπάρχουν λοιπόν μια άλλη συνακατηγορία συναρτήσεων που λέει Fx, ψ του x ίσον με το μηδέν. Παράδειγμα, το x τετράγωνο συν ψ τετράγωνο ίσον με r τετράγωνο, η εξίσουση δηλαδή του κύκλου, αυτή είναι μια εξίσωση, μια ειδική ορίζει με κάποιο ιδιαίτερο τρόπο την ψ του x. F κεφαλαίο, x κόμμα ψ του x κλείνει η παρένθεση ίσο με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι αυτή εδώ η εξίσωση ορίζει λέμε πεπλεγμένα, αυτή είναι η έκφραση, πεπλεγμένα μια νέα συναρτήση την ψ του x. Αυτή εδώ η σχέση ορίζει x τετράγωνο συν ψ τετράγωνο x ίσον r τετράγωνο, το ψ μπορεί να λυθεί αυτή η σχέση εδώ και να μας δώσει ψ του x ίσον με συν πλήν, αυτή είναι δύο κλάδι, r τετράγωνο μειών x τετράγωνο. Κρατάμε τον ένα κλάδο για να είναι μονότιμη συναρτήση. Ψ λοιπόν ίσον x τετραγωνική ρίζα του ρο τετράγωνο μειών χ τετράγωνο. Βλέπετε ότι η εξίσιο του κύκλου ορίζει πεπλεγμένα, έτσι λέμε, αυτές λέγονται πεπλεγμένες συναρτήσεις, γιατί μέσα από αυτή τη σχέση x κομμα ψ του x ίσον με το μηδέν ορίζεται μια συναρτήση πεπλεγμένα. Να γράψω και άλλες πεπλεγμένες συναρτήσεις, x τετράγωνο ψ A εις την χ ψ συν ημήτωνο χ ψ ίσον με το μηδέν. Έγραψα λοιπόν μια συναρτήση που λέει x τετράγωνον επί ψ. A εις την χ ψ συν ημήτωνο χ ψ. Αυτή εδώ η σχέση ορίζει το ψ σαν συναρτήση του χ αν λυθεί. Ναι αλλά είναι πάρα πολύ δύσκολο να λυθεί και εμείς θα μάθουμε ωραία πράγματα, τουλάχιστον να μην τη λύνουμε αλλά να βρίσκουμε την παράγο μιας πεπλεγμένης συναρτήσης που είναι κάτι πάρα πολύ ωραίο. Ξέρετε που τη συναντήσατε αυτή την πεπλεγμένη σχέση αυτών των δύο συναρτήσεων. Τη συναντήσετε χωρίς να την ορίστε χωρίς να κάνετε όλα αυτά. Θα το δούμε και εμείς σαν παράδειγμα στην εφαρμογή όταν έχετε μια σκάλα η οποία γλιστράει από τον άξιο να τον ψη. Αυτή η σκάλα ορίζει, συνδέει πεπλεγμένα το ψη μέσα από το χ. Και είναι μια μορφή αυτών των θεμάτων που συζητήσαμε τώρα. Λοιπόν, θα τα δούμε πάλι αυτά όλα. Δεν τα αφήνουμε, θα γυρίσουμε σε αυτά. Απλώς θα τα θέλω εγώ να κατοχυρώσω τώρα ότι εσείς εκτός από τα πολυόνιμα, εκτός από την ευθεία, εκτός από την τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις αντίστροφες τους, εκτός από το λογαριθμικό και τις εκθετικές, έχουμε μάθει επίσης τι είναι οι σύνθετες συναρτήσεις, τι είναι οι παραμετρικές συναρτήσεις και τι είναι οι πεπλεγμένες συναρτήσεις. Σαν εικόνες προς το παρόν θα τις χρησιμοποιήσουμε σε λίγο. Εντάξει, μέχρι εδώ ερωτήσεις. Τώρα θα σας ζητήσω να κάνουμε κάτι το οποίο το βιβλίο αυτό που έχετε θα πάρετε δίνει πάρα πολύ έμφαση σε αυτό, γιατί έχω την εντύπωση κι αυτό διδάσκουμε τους φυσικούς μαθηματικά. Κατά τη γνώμη σας η φύση μας δίνει μια σειρά αποδεδομένα, τα οποία πρέπει να τα μαζέψουμε μέσα από το εργαστήριο, να τα οργανώσουμε με κάποιο τρόπο και μετά, αφού πάρουμε αυτά τα δεδομένα, να φτιάξουμε ένα μοντέλο της φύσης, που σημαίνει να γράψουμε αυτά τα μοντέλα, να γράψουμε μια μαθηματική έκφραση που περιγράφει αυτό που συζητάμε. Να σας θυμίσω ποιος το έκανε αυτό και με ποιο τρόπο, να σας θυμίσω ένα μεγάλο παράδειγμα από τότε που έγινε αυτό, όλη η φυσική κινήθηκε μέσα σε αυτό το τρόπο. Αργύρι θες να πεις κάτι. Νομίζω ήταν ο τυχόπραχε που σημαίνει από 20 χρόνια. Μάζευε τα δεδομένα. Και μετά ο Κέπλερ τα οργάνωσε και ουσιαστικά αναλύοντας αυτά τα δεδομένα έβγαλε τους τρεις νόμους του Κέπλερ. Άρα λοιπόν τι προσέφερε ο ένας. Ο ένας προσέφερε τα δεδομένα από τα 20 χρόνια για τη θέση των πλανητών. Αυτές είναι οι παρατηρήσεις. Ο Κέπλερ ήρθε και βρήκε μέσα στις παρατηρήσεις κάποιες κανονικότητες, που αυτή τη στιγμή η δουλειά του Κέπλερ και του παρατηρητή και του τύχοπραχε σε έναν καλό παρατηρητή, σε έναν καλό που κάνει εργαστήριο που του αρέσει, το εργαστήριο αυτές οι δύο δουλειές της κάνει συγχρόνως, δηλαδή κοιτάζει πώς να οργανώσει τα δεδομένα, για να μιλήσει σε κάποιον που θέλει να του δώσει ένα μοντέλο, μια θεωρία. Ποιος ήρθε και έφτιαξε το μοντέλο. Ο τύχος ήταν αυτός που σε έμαδεψε τα δεδομένα και ο Νεύτωνας. Ο Νεύτωνας λοιπόν ήρθε και είπε, κοιτάξε το μοντέλο είναι αυτό που λέγαν προηγουμένως. Αυτή είναι η δύναμη λέει, αυτή είναι. Και μαζε επιπιτάχυνση στον δύναμη. Αυτά τα δύο τους τα βάζει αυτός σαν δικούς του νόμους και φτιάχνει ένα μοντέλο. Ποιο είναι αυτό, για να πετύχει το μοντέλο τι έπρεπε να κάνει ο Νεύτωνας. Ξεκινήσει από αυτά και να αποδείξει αυτά που είχαν οι παρατηρήσεις. Καταρχήν να επιβεβαιώσει τους νόμους του Κέπλερ. Άρα λοιπόν ο Νεύτωνας έφτιαξε ένα μοντέλο. Και γιατί το λέμε μοντέλο και δεν το λέμε τη τελική έκφραση των πάντων. Γιατί είναι μοντέλο. Γιατί λέμε τη λέξη μοντέλο. Γιατί προφανώς μπορεί να καταρριφθεί. Πρώτον μπορεί να καταρριφθεί και πιθανόταν να έχει και περιορισμένη εμβέλεια στην εφαρμογή του. Δηλαδή η θεωρία του Νεύτωνα, η νευτόνια περιγραφή της φύσης, είναι περιορισμένη. Για αυτό είναι μοντέλο, είναι περιορισμένη. Είναι περιορισμένη γιατί είναι περιορισμένη. Πέστε μου εσείς. Δεν ισχύει στον μικρόκοσμο, δηλαδή δεν ισχύει μόνο μέσα στη γη, στο μικρόκοσμο. Όχι στο μικρόκοσμο, στο μικρόκοσμο δεν ισχύει πάλι. Από το μικρόκοσμο έχουμε άλλη θεωρία. Έχουμε στη μέση την κλασική φυσική που έχουμε τον Νεύτωνα. Και πάμε στον μικρόκοσμο που καλά το είπες, που εκεί ποιος έφτιαξε το νέο μοντέλο για το μικρόκοσμο. Κι άλλοι, κι άλλοι να σηκώνετε χέρι. Πέστε το, δεν πειράζει, δεν πειράζει. Ας πείτε λάθη, δεν μας πεινάζουν τα λάθη, μας πεινάζουν να μιλάτε, να είστε εδώ, να μην είστε απλώς θεατές. Αυτό με πειράζει. Θα μιλήσετε κάποιοι άλλοι, θα μιλήσετε εσείς. Εσείς δεν έχετε μιλήσει καθόλου. Ποιος έφτιαξε για το μικρόκοσμο ένα μοντέλο να επεκτείνει τη θεωρία του Νεύτωνα. Πες το. Ο Αλμπερ Ταϊνστάιντ. Ο Αλμπερ Ταϊνστάιντ. Και πώς την είπε αυτή τη θεωρία. Γενική θεωρία σχετικότητας. Γιατί, τι πρόβλημα είχε ο Νεύτωνας που δεν μπορούσε να το λύσει και τον βασάνιζε και είπε, σας έδωσαμε ένα μοντέλο, καλά δουλεύει, αλλά έχει ένα πρόβλημα. Ποιο πρόβλημα είχε το μεγαλύτερο πρόβλημα που είχε το μοντέλο του Νεύτωνα, ποιο ήτανε. Όχι οι δύο, να σηκώνετε μόνο δύο τα χέρια, να σηκώσετε και οι άλλοι. Πες το εμε εσείς. Κανένα χτερό δεν μόνο σε εκείνη το παραχείριδι. Όχι, όχι. Τι δεν ήξερε η Νευτόνια, τι δεν μπορεί να προσδιορίσει. Προσέχεται, έχεις ένα σώμα εδώ πέρα, τον ήλιο και κινείται ένας πλανήτης. Πώς του λέει, ξέρεις είμαι κι εγώ εδώ, στρίψε, μη προχωρείς σε ευθύγραμμα, σε έλκω. Πώς του λέει ότι τον έλκει, πώς του μεταδίδει αυτή την πληροφορία. Δεν μπορούσε να το απαντήσει αυτό ο Νευτωνας. Ακεί σε αυτή την εξήλωση GM, MDR, 4 δεν υπάρχει αυτή η πληροφορία. Να σταματήσουμε εδώ και να σας αφήσω και σας σκεφτείτε. Πώς ο Einstein κατάφερε να δώσει στον Νευτωνα την απάντηση που δεν είχε. Δηλαδή δεν ξέρει το σώμα ότι κινείται δίπλα από ένα, από τον ήλιο και κάπως του το μεταφέρει ότι είμαι κι εγώ εδώ και σε τραβάω. Αυτό θα το έχετε δει σε εικόνες ωραίες κτλ, αλλά θα το πρέπει να το ανακαλύψετε κι εσείς και να το βάλουμε στο σωστό context. Λοιπόν, η Γενική Θεωρία Σχετικότητας λύνει αυτό το πρόβλημα. Διότι λέει μια πολύ ισχυρή μάζα όπως ο ήλιος καμπυλώνει το χώρο. Και αυτό το καμπυλώνει είναι αυτό που κάνει το νερό, το πολύ καλά καταλαβαίνει όταν πάντες και ανοίξετε στη βρύση. Όταν είναι μέσα σε ένα πεδίο βαρύτητος το οποίο λόγω της παρουσίας μιας μάζας έχει καμπυλωθεί, αυτή εδώ καταλαβαίνει ότι δεν βρίσκεται σε επίπεδο χώρο, βρίσκεται σε έναν καμπύλο χώρο και αυτή η καμπυλότητα του δείχνει ότι εγώ σε τραβάω στο πηγάδι. Είναι όπως δηλαδή σε ένα πηγάδι αν μπείτε με μια αρχικά μεγάλη ταχύτητα θα κάνετε αυτή την κίνηση σε ένα πηγάδι. Αν δεν έχανε ενέργεια εκεί που βλέπετε το νερό στο μπάνιο όταν βγάζετε το καπάκι είναι πολύ δύσκολη η έκφραση, το τάμπ ας πούμε. Λοιπόν όταν βγάζουμε το καπάκι βλέπουμε το νερό να κάνει αυτή τη δουλειά. Αυτό κάνει και γιατί βρίσκεται μέσα σε ένα βαρυτικό πεδίο που θέλει να το στείλει προς τα κάτω. Άρα λοιπόν έχουμε αυτή την έκφραση. Άρα λοιπόν το μοντέλο είναι περιορισμένης, είναι για επίπεδο χώρο, είναι ευτόνια μηχανική, ο καμπύλος χώρος η γενική θεωρία σχετικότητας γενικεύει αυτά όλα. Γιατί τα λέμε όλα αυτά. Γιατί θέλω να σας παρακαλέσω να αφήσουμε αυτά τα μεγάλα και τα φοβερά και τα υπόλοιπα και να σας παρακαλέσω να κάνετε κάτι που νομίζω από εκεί γεννιέται ένας φυσικός. Είναι να ασχοληθείτε κι εσείς με τη δημιουργία μοντέλων για την καθημερινότητα. Και ήθελα να φέρω ένα παράδειγμα και να μου πείτε αν σε αυτό το παράδειγμα που θα σας δώξω τώρα, θέλατε να μαζέψετε εσείς δεδομένα, να τα περιγράψετε σε καμπύλες και μετά να γράψετε μια θεωρία, να κάνετε δηλαδή τον τείχο Μπράχε, τον Γκέμπλερ και τον Νεύτωνα εσείς. Ποιο προβληματάκι ήθελα να σας δώσω να το κάνετε αυτό. Ήθελα λοιπόν και είναι σαν εργασία στο μάθημα να αφήσουμε από δύο μέτρα μία μπάλα του τέννης. Την βλέπετε και την αφήνουμε και κάνει... Τι κίνηση ήταν αυτή. Η μπάλα του τέννης που την άφησα από τα δύο μέτρα και πηδούσε. Τι κίνηση ήτανε καταρχήν. Από αυτά που είπαμε όλα, ποιες συναρτήσεις θα περιέγραφαν το ύψος. Πέστε μου και το όνομά σας. Εσείς. Είναι η φθύνουσα ταλάντωση. Πάρα πολύ ωραία. Δήμητρα αν ήθελες τώρα, εντάξει το είπαμε φθύνουσα ταλάντωση. Θα ήθελες τώρα να μαζεύσεις δεδομένα για αυτή τη φθύνουσα ταλάντωση. Να φτιάξεις τις καμπύλες, να τη δεις τη φθύνουσα ταλάντωση. Και να την ερμηνεύσεις με βάση τα μαθηματικά και τη φυσική που ξέρεις τώρα ήδη. Τι θα έκανες, δηλαδή θα χρειαζώ σε μία μπάλα του τέννης, ναι σίγουρα. Τι άλλο θα χρειαζώ. Να μαζεύσεις δεδομένα από αυτό το πείραμα που σας έδειξα, αυτή την παλίτσα που πηδάει. Να την κάνουμε με ακρίβεια, γιατί φυσική είμαστε. Δεν λέμε στο περίπου είναι μία φθύνουσα ταλάντωση, είναι πράγματι, είχε δίκιο. Αλλά θέλουμε να την καταλάβουμε, να μαζεύσουμε δεδομένα. Πώς θα μαζεύσουμε δεδομένα από αυτή την πάλα που πηδάει. Έλα Δήμητρα. Ένα κανόνα, μπράβο. Βάζουμε ένα κανόνα στον πηδάκα, εδώ. Ένα κανόνα εδώ πέρα, τον βάλαμε. Τι άλλο χρειαζόμαστε. Μπορείς απάνω σε αυτό τον κανόνα που τη βλέπεις την πάλα εσύ, να βλέπεις και πού, πόσο ύψος ανεβαίνει κάθε φορά. Μπορείς. Δύσκολο δεν είναι. Τι θα έκανες για να το καταγράψεις. Μπράβο. Μια βίντεο κάμερα. Άρα θέλουμε ένα χάρακα μεγάλο, να τον βάλουμε στον τείχο. Θέλουμε έναν συνάδελφό μας να παίρνει βίντεο όπως κάνουμε τώρα εδώ για το μάθημα, απέναντι. Θέλουμε να αφήνουμε την πάλα απ' τα δύο μέτρα και να καταγράφουμε κάθε φορά σε τι ύψος, επειδή προβάλλεται στον χάρακα, να γράφει κάποιος τις τιμές του ύψους που πηδάει. Αργύρη. Εγώ θα μπορούσα να βάλω ένα εισιτήρα κίνηση στο πάτωμα. Ναι. Και να κάνει τι. Οπότε ο εισιτήρας κίνησης θα έβλεπε από πάνω το μπαλάκι το οποίο θα πήγαινε ερχόταν. Ναι, αλλά εμείς μας χρειάζονται ποιες τιμές μας χρειάζονται. Ο εισιτήρας κίνησης δεν θα μας έδινε. Εμείς τι θα... Θα ψάξουμε τα μέγιστα του... Αυτό είναι το δεδομένα. Δηλαδή θέλουμε έναν πίνακα που να καταγράφει εδώ, να καταγράφεις αυτό το πείραμα. Το ένα είναι το H την κάθε χρονική στιγμή. Άρα λοιπόν ξεκινάει με 2 στις χρονική στιγμή 0 και μετά γράφουμε σε τι ύψος έφτασε την επόμενη χρονική στιγμή που έφτασε στο μέγιστο. Και ποια χρονική στιγμή έφτασε στο μέγιστο. Χρονόμετρο. Χρονόμετρο. Άρα λοιπόν χρειαζόμαστε να πάρουμε αυτές εδώ τις μετρήσεις, να τις ζωγραφίσουμε σε πραγματική καμπύλη, που εδώ να είναι το 2 που ξεκινάει, 2 μέτρα. Και να δώσουμε αυτές τις αναπηδήσεις, γιατί δεν πάει από φυσική άποψη, γιατί δεν πάει στο ίδιο ύψος που ξεκινάει. Πού πήγε αυτή η ενέργεια και χάσαμε εδώ ενέργεια. Πού πήγε. Που πήγε. Ε, όταν τύψεις τέρας έγινε θερμότητα. Έγινε θερμότητα. Να έχω αντιστάσει το αέρα. Α, ενενδιαφέρον εδώ πέρα. Οι αντιστάσεις του αέρα θα ήθελα να τις υπολογίσω και να τις συγκρίνω με τι, για να δω αν παίζουν κανένα ρόλο, ή να μη χάνω το χρόνο μου να υπολογίζω κάτι το οποίο είναι σχεδόν 0. Θα ήθελα λοιπόν την αντίσταση του αέρα σε μια μπάλα που κινείται μέσα σε αυτό το δωμάτιο μπορώ να την υπολογίσω να δω πόση είναι για τις ταχύτητες που τρέχει αυτό το πράγμα, μπορώ. Οπότε λοιπόν θα αποφασίσω αν μου χρειάζεται αυτή η δύναμη ή δεν μου χρειάζεται συγκρίνοντάς τη με τι άλλο, με την βαρύτητα. Οράβο, άρα δύο δυνάμεις στο άθλησμα των δυνάμεων κινούν αυτό το σωματίδιο, η μία είναι η βαρύτητα και η άλλη η αντίσταση του αέρα και την οποία βέβαια θα αποφασίσω αφού συγκρίνω αυτές τις δύο αν η αντίσταση του αέρα έχει καμία σημασία. Μπορεί να μην έχει και να την πετάξω αμέσως. Βεβαίως, αυτά τα μοντέλα που θα δημιουργήσετε είναι εσείς, αν πάρετε και υπολογίσετε εδώ είναι μια δυναμική ενέργεια στα δύο μέτρα, τη δεύτερη φορά που θα πηδήσει αυτή η συγκεκριμένη μπάλα θα πάει σε ένα ύψος χαμηλότερο από τα δύο μέτρα. Αυτό θα σας δώσει πόση ενέργεια χάθηκε στο χτύπημα. Γιατί θα αφαιρέσετε τις δυναμικές ενέργειες σε αυτά τα δύο σημεία και θα βρείτε πόση ενέργεια χάθηκε στο χτύπημα. Βέβαιος, δεν θα είναι και πολύ χρονοφόρο αυτό το πείραμα που με έτσι, γιατί ανάλογα με το μπαλάκι, ανάλογα τώρα θα φουσκούνε κάτω, ανάλογα θα μπορούμε να κάνουμε συγχειρικές συνθήκες, να το κάνουμε στο ιστορικό περιβάλλον, οπότε θα έχουμε συνέχεια διαφορετικά μοντέλα. Όχι διαφορετικά μοντέλα, θα προκύπτουν διαφορετικές καμπύλες και τα ύψη αν πάρετε μία μπάλα η οποία δεν είναι αυτή αλλά είναι μία άλλη, το ύψος αυτό θα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο. Φυσικά κάθε μάζα η αλληλεπίδρασή της με το έδαφος θα δώσει διαφορετική η ελαστικότητα με την οποία είναι η μπάλα αυτή, θα πιέζει, θα αφήσει κάποια ενέργεια κάτω από αυτή την κρούση που θα έχουμε η οποία δεν είναι ελαστική, είναι μη ελαστική. Άρα λοιπόν η μη ελαστική κρούση που γίνεται μας χάνουμε ύψος, το γενικό προτσές, το γενικό φυσικό πρόβλημα θα αλλάξει αλλάζοντας μόνο παραμέτρους πλέον, έτσι δεν θα αλλάξει όμως η όλη περιγραφή. Λοιπόν μαζέψαμε τα δεδομένα με την κάμερα, το χρονόμετρο, την παλίτσα, τη ζυγίσαμε, βρήκαμε τη μάζα της, είχαμε και μια ζυγαριά και βρήκαμε τα ύψη τα οποία ανεβαίνει, κάναμε την καμπύλη μας και τώρα πρέπει να την μοντελοποιήσουμε. Πρέπει να φτιάξουμε αυτή τη μοντελοποίηση που θα ταιριάζει σε αυτό. Να σας αφήσω λοιπόν να το κάνετε αυτό το πείραμα, εδώ είναι το μεγάλο πρόβλημα και εντάξει θα πάτε και σε άλλο εξάμινο, θα πάτε σε πειράματα τα οποία είναι λίγο πολύ, επειδή δεν ξέρουμε πόσο αγαπάτε ή δεν αγαπάτε τη φυσική, το φυσικό έχει φτιάξει και ένα φυσικό για αυτόν ο οποίος ήρθε εδώ πέρα να πάρει βαθμούς, πρέπει να έχει και ένα τέτοιο φυσικό, δεν τον ενδιαφέρει η φυσική. Αλλά ο άλλος που ήρθε, οι υπόλοιποι από εσάς που ήρθατε γιατί θέλετε να το αγαπάτε, θα έπρεπε εγώ να αντιστρέψω την ερώτησή μου και να πω, υπάρχει κάποιο πρόβλημα της καθημερινότητας που από φυσικής άποψης σας βασανίζει. Αν δεν υπάρχει, δεν είμαστε στο καλό του μήμα, πρέπει δηλαδή περπατώντας κάθε μέρα να υπάρχουν φαινόμενα από αυτά που ζούμε στην καθημερινότητα που να λέτε εσείς και αυτό πως γίνεται. Αν δεν το κάνετε αυτό, το εγκαταλείψατε ή δεν το είχατε ποτέ ή δεν σας το δημιούργησαν κανένας, δεν είστε στο σωστό του μήμα. Στο σωστό του μήμα θα πρέπει εσείς να είστε συνεχώς με ένα γιατί και κάποια από αυτά τα φαινόμενα να σας χτυπήσουν τόσο βαθιά στο κεφάλι που να μην μπορείτε να ηρεμίσετε. Μπορεί να κοιμηθείτε. Γιατί ρε σύ, τι γίνεται εδώ πέρα. Πράγμα το σχαρή, ποιος από εσάς έχει χάσει τον ύπνο του για να ερμηνεύσει τον κεραυνό και την αστραπή. Ούτε καν σας ενδιαφέρει ο Αργιέσης, πάω μέσα τώρα. Έχεις χάσει τον ύπνο σου με ένα φαινόμενο. Ποια, πες το. Κάτσε τώρα, αν το ξέχασες κιόλας, πώς έχασες τον ύπνο σου. Αργιέρη, εσύ με τι έχεις χάσει τον ύπνο σου. Έχω χάσει τον ύπνο μου πρώτα, όταν βασικά προσπαθούσα να αποδείξω κάτι πάνω στη γεωμετρία. Και η γεωμετρία στα ύπνα έτσι είναι πολύ... Έχεις δίκιο, ναι. Και επίσης ήταν μια αστραπή φυσικής που ήταν πολύ δύσκολο και πολύ ενδιαφέρουσα και τη σκεφτόμουν πάρα πολύ. Ναι, λοιπόν, αυτό πέστε μου εσείς. Αυτό το σχέδιο του πίσω γιατί στροπλίζεται το νερό, όταν μπαίνει στη μπανιέρα, φέγεται το μανιάλος. Και δεν πάει κατευθείαν κάτω. Ναι, αυτά είναι, ήθελα λοιπόν να προκαλέσω δύο πράγματα. Είναι ενδιαφέρον και αυτό μπορείτε να το βρείτε, αλλά υπάρχει λόγος για τον οποίον το κάνει και αυτό και πώς χάνει την ενέργειά του και πέφτει τελικά, γιατί αν δεν έχανε ενέργεια θα έκανε μια κυκλική κίνηση και δεν θα πέφτε ποτέ κάτω στη μπανιέρα. Για μένα, η παρατήρηση, η καθημερινή, προσέξτε, αφήστε τον Κέπλερ, αφήστε τον Τίχο Μπράχι, αφήστε τον Εύθονα. Μιλάμε για την καθημερινότητα και τη σύνδεση της φυσικής που μαθαίνετε με την καθημερινότητα. Υπάρχουν λοιπόν πολύ ωραία βιβλία που λέει «The physics of everyday life». Πολύ όμορφα βιβλία τα οποία προσπαθούν να βάλουν μέσα από γενική φυσική να εξηγήσουνε καθημερινά φαινόμενα στη φύση. Γιατί όταν τρέχουμε στο ποδήλατο μια χαρά το πάμε και όταν πέσει ταχύτητα παπ πέφτουμε και εμείς. Θέλω να σας φέρω σε αυτό το επίπεδο και τώρα να αφήσουμε μια εργασία που να μαζευτείτε σε ομάδες μέχρι τα Χριστούγεννα και μετά τα Χριστούγεννα να αρθείτε να παρουσιάσετε αυτή την εργασία που την έχω περιγράψει εγώ, θα την περιγράψω, θα σας τη δώσω μέσα στο blackboard που είναι η αναπήδηση αυτής της μπάλας, να μαζέψουμε τα δεδομένα, να τη φτιάξουμε τη γραφική παράσταση και να δούμε θεωρητικά πως ερμηνεύεται αυτό που βλέπουμε, αυτό που μαζέψαμε. Θα το κάνουμε αυτό? Όσοι θέλετε κάνετε το, εγώ θα σας τη δώσω και εσείς κάνετε ό,τι θέλετε. Με συνεργασία με εμένα μπορούμε να φτιάξουμε τέτοια προβληματάκια και άλλα και άμα συνεργαστούμε μπορούμε αυτά τα προβληματάκια να δούμε πόσα επιτυχία θα έχουν, να φωνάξουμε και άλλους συμφιτητές σας και να κάνουμε μια παρουσιάσιο. Να σας πω λοιπόν ένα πρόβλημα, τρία λεφτά έχουμε, δύο λεφτά έχουμε, να σας πω ένα πρόβλημα το οποίο δεν θέλω να πάτε να το βρείτε λιμμένο, θέλω να το συζητήσετε εσείς, να το διαβάστε και να το συζητήσουμε την Παρασκευή. Λοιπόν το πρόβλημα λέει μια εταιρεία, να δείτε δηλαδή ότι ο φυσικός είναι ένας χρήσιμος άνθρωπος και όλα αυτά που λέμε δεν τα λέμε για να περάσουμε το μάθημα, μια εταιρεία παράγει σούπες και θέλει να τις διαθέσει στην αγορά σε κυλινδρικά κουτάκια που θα χωράνε, ο όγκος του κουτιού αυτού πρέπει να είναι συγκεκριμένος 500 κυβικά εκατοστά. Μας ζητά να βρούμε την ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου ώστε να χρησιμοποιηθεί το ελάχιστο υλικό κατασκευής των κουτιών. Να την διαβάσω άλλη μια φορά. Μια εταιρεία παράγει σούπες και θέλει να τις διαθέσει στην αγορά σε κυλινδρικά κουτάκια που θα χωράνε 500 κυβικά εκατοστά. Μας ζητά να βρείτε την ακτίνα της βάσης του κυλινδρικού δοχείου ώστε να χρησιμοποιηθεί το ελάχιστο υλικό στην κατασκευή των κουτιών. Μας ζητά να βρούμε την ακτίνα της βάσης του κυλινδρικού δοχείου ώστε να χρησιμοποιηθεί το ελάχιστο υλικό κατασκευής των κουτιών.

Open Access AudioVisual Archive

Πλατφορμα διάχυσης οπτικοακουστικού υλικού ανοικτής πρόσβασης με χρήση τεχνολογιών αναγνώρισης λόγου

Παρόμοια τεκμήρια

Open Access AudioVisual Archive

Πλατφορμα διάχυσης οπτικοακουστικού υλικού ανοικτής πρόσβασης με χρήση τεχνολογιών αναγνώρισης λόγου