| Διάλεξη 2: Παρακολουθήστε το κεφάλαιο του βιβλίου. Είχαμε αναφερθεί κυρίως στην πιθανότητα της διαφοράς, που είναι η πιθανότητα του πρώτου, μία είναι η πιθανότητα της τομείς. Και παριστάνει την πιθανότητα να συμβεί μόνο το Άνφα, δηλαδή είναι αυτή η περιοχή. Είχαμε αναφερθεί επίσης την πιθανότητα της Ένωσης. Γενικά δύο γεγονότων. Αναφέρομαι και κάποιους άλλους τύπους σε μπάση περιπτώσει. Θέλω όμως να διευκρινίσουμε λίγο την πιθανότητα, από τρία γεγονότητα ΑΒΒΓ, την πιθανότητα να συμβαίνει μόνο το Άνφα. Είναι η πιθανότητα της διαφοράς ΑΒΒΓ, δηλαδή είναι το σύνολο που περιλαμβάνει η στοιχεία του Α και όχι του Β ή του Γ. Δηλαδή είναι αυτό που έχω γραμμοσκιάσει εδώ πέρα. Αυτό προφανώς είναι η πιθανότητα του Άνφα. Όπως φαίνεται στο σχήμα του συμδιάγραμμα, δηλαδή σκέφτομαι με βάση στο σχήμα πώς μπορώ να βγάλω την πιθανότητα. Είναι η πιθανότητα του Άνφα να αφαιρέσει την πιθανότητα της τομής με το Β, να αφαιρέσει την πιθανότητα της τομής με το Γ και η τομή των τριών αφαιρέθηκε δύο φορές να την προσθέσω μία. Αυτό όμως πρέπει να το αποδείξω και με μαθηματικά, με μαθηματικά όπως γίνεται, με τον τύπο. Είναι η πιθανότητα της διαφοράς. Η πιθανότητα της διαφοράς είναι σύμφωνα με τον τύπο. Είναι η πιθανότητα του πότου με την πιθανότητα της τομής. Είναι η πιθανότητα του Άνφα δηλαδή μειώνει την πιθανότητα της τομής ΒΑΓΑ. Και έχουμε εδώ πέρα την πιθανότητα του Άνφα μειώνει την πιθανότητα. Εδώ πέρα κάνω πράξεις και σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα έχω πιθανότητα του ΒΑΓΑ, ένωση ΓΜΜΑ. Έχω δηλαδή την πιθανότητα του Άνφα μειώνει την πιθανότητα της ένωσης δύο γεγονότων. Και αυτό ισούται με την πιθανότητα του Άνφα μειών την πιθανότητα ΑΤΟΜΙΒ συν πιθανότητα ΑΤΟΜΙΓ, μειών την πιθανότητα της τομής, γιατί η πιθανότητα της ένωσης δύο γεγονότων είναι το άθλησμα των πιθανότητων τους, μειών την πιθανότητα της τομής των δύο παρηθέσιων. Και άμα βγάλουμε τη μεγάλη αγγείλη εδώ πέρα, οδηγούμαστε στο ζητούμενο. Ναι. Εδώ πέρα έχει συν και εδώ έχει πλήν. Υπάρχει απ' έξω ένα πλήν, οπότε άμα βγάλεις την παρέντεση, οδηγούμαστε στο ζητούμενο. Δηλαδή εδώ πέρα το ζητούμενο είναι πιο, ίσουδε τελικά, με την πιθανότητα του Α, μειών την πιθανότητα της τομής, μειών την πιθανότητα της τομής με το Γ, στην την πιθανότητα της τομής και των τριών, όπως είχαμε σκεφτεί και με το σχεδιάγραμμα Β. Αλλά εδώ το αποδεικνύουμε με βάση την πιθανότητα της διαφοράς ή με βάση τον τύπο της πιθανότητας της ένας ή δύο γεγονότων. Τώρα, αν θέλει κανένας να υπολογίσει την πιθανότητα να συμβαίνει μόνο ένα από τα γεγονότα Ά, Β, Γ, μόνο ένα, είτε μόνο το Ά, είτε μόνο το Β, είτε μόνο το Γ, τότε υπολογίζει την πιθανότητα να συμβαίνει μόνο το Ά, θα υπολογίσει και την πιθανότητα να συμβαίνει μόνο το Β, που είναι παρόμοια, θα υπολογίσει και την πιθανότητα να συμβαίνει μόνο το Γ και μετά θα προσθέσει αυτές τις πιθανότητες. Για να βρείτε την πιθανότητα να συμβαίνει μόνο ένα από τα γεγονότα Ά, Β, Γ. Παρόμοια εσείς για εξάσκηση, βρέστε την πιθανότητα να συμβαίνουν μόνο δύο από τα γεγονότα Ά, Β, Γ. Εντάξει, είναι πιο εύκολο αυτό. Αυτά λοιπόν όσα αφορά τους τύπους, τους κανόνες με τους οποίους υπολογίζουμε την πιθανότητα της Ένωσης, τη διαφορά και τα λοιπά δύο ή και περισσότερων γεγονότων. Εδώ πέρα στην πιθανότητα της Ένωσης είπαμε ότι μπορούμε να του παιχτείνουμε για τρία γεγονότα ή και για περισσότερο. Αυτά σχετικά με την ολοκλήρωση της ενότητας που αναφερθήκαμε χθες δηλαδή, στους κανόνες τους οποίους χρησιμοποιούμε για να εκτιμήσουμε την πιθανότητα ενός γεγονότος. Δεδομένο το γεγονός πρέπει να το εκφράσουμε με ένωση, το μη με άλγευρα άλλων απλότερων γεγονότων. Σήμερα θα μιλήσουμε για να περάσουμε σε μία άλλη ενότητα στην δεσμευμένη πιθανότητα ή υποσυνθήκη πιθανότητα. Δεν έχουμε αναφερθεί καθόλου στην πιθανότητα της τομείς. Είπαμε η πιθανότητα της ένωσης έχουμε κάποιον τύπο, η πιθανότητα της διαφοράς. Για την πιθανότητα της τομείς όμως δεν έχουμε μιλήσει. Δεν έχουμε κάποιον τύπο που να μας δίνει την πιθανότητα της τομείς δύο γεγονότων ή και περισσότερων. Για να απαντήσουμε εδώ πέρα, για να βρούμε έναν τύπο, θα ξεκινήσουμε από την δεσμευμένη πιθανότητα, που είναι η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός α, με την πληροφορία της συμβαίνει το β. Εδώ έχουμε δεσμευμένη πιθανότητα, έχουμε υποσυνθήκη πιθανότητα. Δηλαδή, σε μία κτήριση του πειράματος γνωρίζουμε ότι συμβαίνει το γεγονός β, ποια είναι η πιθανότητα να συμβαίνει ταυτόχρονα και το α. Για να απαντήσουμε σε αυτό, μπορούμε να ακολουθήσουμε το εξής σκεπτικό. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε έναν δειγματικό χώρο S και έχουμε και δύο γεγονότα α, β. Το β και το α. Το β είναι ένα σύνολο το οποίο περιλαμβάνει κάποια αποτελέσματα του πειράματος. Το α επίσης είναι ένα σύνολο που περιλαμβάνει κάποια αποτελέσματα ή κάποια δηματοσυμία. Κάποια είναι κοινά εδώ πέρα με α και β. Μπορεί να υπάρχουν δύο ή περισσότερα κοινά. Αυτά είναι τα αποτελέσματα γενικά του πειράματος. Εάν εκτελέσεις εγώ το πείραμα και το αποτέλεσμα ανήκει μέσα στο σύνολο του β, πραγματοποιείται το β. Εάν το αποτέλεσμα ανήκει μέσα στο σύνολο του α, πραγματοποιείται το α. Εάν το αποτέλεσμα ανήκει στον υπόλοιπο χώρο, τότε δεν πραγματοποιείται ούτε το α, ούτε το β. Πραγματοποιείται κάποιο άλλο γεγονός. Τώρα, αν εκτελέσεις εγώ το πείραμα τύχης και το αποτέλεσμα ανήκει μέσα στο σύνολο του β, δηλαδή συμβαίνει το β. Εκτελώ το πείραμα τύχης και συμβαίνει το β, δηλαδή το αποτέλεσμα ανήκει μέσα στο σύνολο του β. Ποια είναι η πιθανότητα να συμβαίνει και το α. Η πιθανότητα να συμβαίνει και το α, το α συμβαίνει αν το αποτέλεσμα αυτό που ανήκει μέσα στο β, αν το αποτέλεσμα αυτό ανήκει στο β αλλά σε αυτήν την περιοχή, η οποία είναι η α το μυβ, αν ανήκει σε αυτήν την περιοχή, τότε πραγματοποιείται και το α. Συμφωνείτε μέχρι εδώ στο σκεπτικό. Είναι ένα πρακτικό σκεπτικό πώς θα μπορούσα να υπολογίσω την πιθανότητα του α με την προϋπόθεση ότι το αποτέλεσμα του πειράματος ανήκει μέσα στο β. Δηλαδή αφού συμφωνούμε σε αυτό το σκεπτικό, μπορούμε να πούμε ότι δεν μας ενδιαφέρει ο υπόλοιπος δειγματοχώρος και μπορούμε να πούμε ότι έχουμε σε ρίκνωση του αρχικού δειγματοχώρου S σε ένα νέο δειγματοχώρο που είναι ο β. Αφού έχω την πληροφορία ότι το αποτέλεσμα ανήκει μέσα στο β, όλα τα δυνατά ενδεχόμενα τώρα είναι αυτά εδώ που έχω γράψει. Όλα τα δυνατά ενδεχόμενα είναι αυτά εδώ. Δηλαδή έχω μια συρρήκνωση όπως θα έλεγα του S σε ένα νέο δειγματοχώρο β. Γιατί το αποτέλεσμα δεν μπορεί να ανήκει αλλού πουθενά γιατί έχω την πληροφορία ότι ανήκει μέσα στο σύνολο β. Δεν με ενδιαφέρει ο υπόλοιπος χώρος. Για να υπολογίσω λοιπόν την πιθανότητα να συμβαίνει και το α, μπορώ από αυτόν τον νέο δειγματοχώρο με τον κλασικό τρόπο να διαρρέσω τον αριθμό δειγματοσημείων της τομής προς τον αριθμό δειγματοσημείων του β που είναι όλα τα δυνατά ενδεχόμενα. Συμφωνείτε σε αυτό. Λογικό δεν είναι. Ωραία. Είναι λογικό λοιπόν να διαρρέσω τον αριθμό δειγματοσημείων της τομής προς τον αριθμό όλων των δυνατών ενδεχομένων που είναι όλα τα δυνατά ενδεχόμενα του β. Άρα λοιπόν η πιθανότητα που ζητώ σύμφωνα με το σκεπτικό με το οποίο συμφωνείτε είναι να έχω έναν καινούργιο δειγματικό χώρο γιατί όλα τα δυνατά αποτελέσματα λοιπόν συρρικνώθηκαν εδώ. Γιατί έχω την πληροφορία ότι συμβαίνει το β, έχω την πληροφορία ότι το αποτέλεσμα του πειράματος ανήκει εδώ μέσα. Για να συμβαίνει και το γεγονός α θα πρέπει αυτό το αποτέλεσμα να ανήκει συγκεκριμένα εδώ. Και σύμφωνα με το κλασικό τρόπο, για να βρω την πιθανότητα να συμβαίνει αυτό το γεγονός, αυτό το γεγονός που συμβολίζεται με α, μ, β, σε σχέση με όλα τα δυνατά ενδεχόμενα με το καινούργιο δειγματοχώρο που είναι το β, είναι σύμφωνα με το κλασικό τρόπο. Ήταν 1α προς 1s, τώρα το s είναι το β και το α είναι το α το μη β. Αν συμφωνείτε με αυτό ότι η πιθανότητα που ψάχνω να βρω να συμβαίνει το α δεδομένου ότι συμβαίνει το β είναι αυτό το κλάσμα. Αν δεν διαρέσω αριθμητή και παρανομαστή με τον ίδιο αριθμό, αν διαρέσω τον αριθμητή με τον αριθμό του δειγματοσημείων του s και διαρέσω τον παρανομαστή με τον αριθμό δειγματοσημείων του s, στον αριθμητή έχω αριθμό δειγματοσημείων ενός γεγονότος α, μ, δ προς τον αριθμό δειγματοσημείων του s μου κάνει την πιθανότητα του γεγονότος α, μ, β. Ο αριθμός δειγματοσημείων ενός γεγονότος προς τον αριθμό δειγματοσημείων του s είναι η πιθανότητα του γεγονότος σύμφωνα με την κλασική μέθοδο που είπαμε χθες. Παρόμοια και στον παρανομαστή έχουμε την πιθανότητα του β, γιατί είναι ο αριθμός δειγματοσημείων του β προς τον αριθμό δειγματοσημείων του s σύμφωνα με την κλασική μέθοδο είναι η πιθανότητα του β. Άρα λοιπόν έχω καταλήξει σε έναν τύπο για την δεσμευμένη πιθανότητα, για την υποστηθήκη πιθανότητα. Συμπερασματικά δηλαδή έχω ότι η πιθανότητα του α δεδομένου του β ισούται με π α το μ β με την πιθανότητα της τομής τους προς την πιθανότητα του β. Και από εδώ αν λύσω ως προς τον αριθμητή έχω την πιθανότητα της τομής που ξεκίνησα στην αρχή και ενδιαφερόμουν να δω ποιος είναι ο τύπος της, είναι η πιθανότητα του β επί την πιθανότητα του α δεδομένου του β αλλά μπορώ να το γράψω όμως και με διαφορετική σειρά με την πιθανότητα του α επί την πιθανότητα του β δεδομένου συμβαίνει του α. Σ' ένα πρόβλημα η πιθανότητα της τομής μπορώ να τη γράψω με τη μία σειρά με την άλλη ανάλογα με το οποίες πληροφορίες έχω στο πρόβλημα. Αυτός είναι ο τύπος λοιπόν της υποσυνθήκης πιθανότητας και της πιθανότητας της τομής. Μπορούμε να πούμε κάποια παραδείγματα μικρά και να προχωρήσουμε και στην πιθανότητα όχι μόνο της τομής δύο γεγονότων αλλά και περισσότερων. Α, γενικεύσουμε δηλαδή τον τύπο. Ένα απλό παράδειγμα θα ήτανε από ένα κυβώτιο το οποίο έχει δεκαπέντε καλά ανταλλακτικά και πέντε ελαττωματικά όπως αναφέραμε χθες σε ένα άλλο παράδειγμα. Ποια είναι η πιθανότητα και τα δύο ανταλλακτικά που θα επιλέξουμε τυχαία να πάρουμε έναν ανταλλακτικό, συνεχίζω να πάρω ακόμα ένα να είναι ελαττωματικά. Αν α,ν είναι το γεγονός ότι στην πρώτη φυλογύρη έχουμε ελαττωματικό το μη και στη δεύτερη επιλογή να έχουμε ελαττωματικό. Το γεγονός ότι θα επιλέξουμε δύο ελαττωματικά είναι η το μη του α1 α2. Α1 είναι η πρώτη επιλογή παίρνουμε ελαττωματικό, α2 ότι στη δεύτερη επιλογή παίρνουμε ελαττωματικό. Σύμφωνα με το τύπο που βγάραμε εκεί πέρα είναι η πιθανότητα του πρώτου επί την πιθανότητα του δευτέρου δεδομένου ότι συμβαίνει το πρώτο. Και αυτό με τη ίσοτερ πιθανότητα του πρώτου, αν επιλέξουμε για πρώτη φορά να είναι ελαττωματικό είναι πέντε ή κοστά. 20 είναι όλα, πέντε είναι τα ελαττωματικά, η πιθανότητα το πρώτο που θα πάρουμε ελαττωματικό είναι πέντε ή κοστά. Επί την πιθανότητα δεδομένου ότι το α2 δεδομένου ότι συμβαίνει το α1, δεδομένου ότι έφυγε έξω το ένα ελαττωματικό, έμεναν τέσσερα. Σε σύνολο 19 είναι τέσσερα δέκα τα ένατα. α1 επί την πιθανότητα α2 δεδομένου ότι συμβαίνει το α1. Έτσι λοιπόν μπορούμε να γυρίσουμε την πιθανότητα, αλλά θα μπορούσαμε να τη βρούμε και με τον κλασικό τρόπο. Δηλαδή η πιθανότητα του α1 το μη α2, ισούτε με τον κλασικό τρόπο όλες οι δυνατές διάδες, να πάρουμε όλες οι δυνατές διάδες που μπορούμε να βγάλουμε έξω είναι συνδυασμοί των 20 ανα 2. Που είναι 20 παραγοντικό προς 20-2 παραγοντικό επί 2 παραγοντικό. Κάνουμε πράτση και βρίσκουμε πως είναι όλες οι δυνατές διάδες που μπορούμε να πάρουμε από το κιβώτιο. Και στον αριθμητή πως είναι όλες οι δυνατές διάδες όπου κάθε διάδα έχει δύο ελαττωματικά. Και τα δύο να είναι ελαττωματικά. Είναι συνδυασμοί των 5 ανα 2. Μπορούμε και με τον κλασικό τρόπο να υπολογίσουμε την πιθανότητα. Έχετε καμία απορία σχετικά με τη λεσμοευμένη πιθανότητα, με την υποστητική πιθανότητα, με το σκεπτικό που βγάλαμε τον τύπο θα μπορούσατε μόνοι σας μετά το μάθημα από μόνοι σας να ακολουθήσετε το σκεπτικό και να δείτε αν μπορείτε να καταφέρετε και μόνοι σας για να δοκιμάσετε τον εαυτό σας αν κατάλαβε αυτές τις έννοιες. Το ίδιο πρέπει να κάνετε. Αυτό είναι πολύ μεθοδικά έτσι να διαβάζετε και να καταλαβαίνετε τις έννοιες. Λέγε. Είπαμε ότι είναι η πιθανότητα του α2 με την προϋπόθεση ότι συμβαίνει το α1. Το βλέπεις. Το α1 τι σημαίνει ότι στην πρώτη επιλογή πήραμε ελαττωματικό. Έφυγε δηλαδή το 1 ελαττωματικό και μήρανε από τα πέντε 4. Και σύνολος στο κυβώτιο έχουμε 19 ενταλλακτικά. Άρα η πιθανότητα στη δεύτερη επιλογή δεδομένου ότι έφυγε το 1 ελαττωματικό και μήρανε 4. Και δεδομένου ότι όλα τα ενταλλακτικά είναι 19, τώρα είναι 4 δεκαταένατα. Στον κλασικό τρόπο είναι όλα ισοπίθανα. Με την προϋπόθεση ότι είναι ισοπίθανα. Απλώς εδώ πέρα είναι πρακτικός ο τρόπος αλλά είναι ένας καλός τρόπος για να οδηγηθούμε στον τύπο της υποσιτήκης πιθανότητας. Συνδυασμή, combination. Είναι συνδυασμή, τα είπαμε εχθές. Δεν είπαμε χρήση στους συνδυασμούς. Α, δεν μιλήσαμε χρήση. Ναι, εντάξει, θα μιλήσουμε, είναι συνδυασμή. Είχα την εντύπωση ότι μιλήσαμε για τις αρχές απαρίθμησης, δεν είπαμε. Να ολοκληρώσουμε λίγο εδώ πέρα και θα μιλήσουμε για τις αρχές απαρίθμησης. Τώρα, αν έχουμε 1 γεγονότα, η πιθανότητα της τομής 1 γεγονότων είναι το γινόμενο Πα1 επί Πα2. Δεδομένως συμβαίνει το α1 επί Πα3. Δεδομένως συμβαίνει το α1 το μη α2 επί κλπ. Επί την πιθανότητα του α1, δεδομένως συμβαίνει το α1 το μη α2 το μη α1-1. Αυτός είναι ο νόμος της, ο προπλασιαστικός κανόνας όπως λέμε. Δηλαδή, για να βρούμε την πιθανότητα της τομής 1 γεγονότων, προπλασιάζουμε την πιθανότητα του πρώτου επί την πιθανότητα του δευτέρου. Δεδομένως συμβαίνει το πρώτο και ούτω κανείς εξής. Και αυτό αποδεικνύεται με βάση την πιθανότητα της τομής 2 γεγονότων. Στην αποδείξη υπάρχει ένα μαθηματικό τρικ όπου οδηγούμαστε σε αυτήν εδώ πέρα την εξίσωση. Και θα επανέλθουμε λίγο στις αρχές απαρίθμησης να ολοκληρώσουμε με ένα παράδειγμα εδώ για να κλείσουμε την ενότητα με την δεσμευμένη πιθανότητα και ή με τον προπλασιαστικό κανόνα. Ας πούμε μερικά απλά παραδείγματα. Δύο παίχτες παίζουν ένα παιχνίδι. Πραβάνε μία σφαίρα από μία κάλπη. Έχουμε μία κάλπη η οποία έχει δύο λευκές σφαίρες και τρεις μαύρες. Δύο παίχτες αλφαβήτα τραβάνε με τη σειρά τυχαία μία σφαίρα. Ο πρώτος που θα επιλέξει τη λευκή κερδίζει το παιχνίδι. Αν α'Α και β'Α είναι το γεγονός ότι στην α επιλογή του παιχνιδιού ο α πέκτης ή ο β επιλέψουν τη λευκή σφαίρα, τότε ο γεγονός ότι θα κερδίσει ο α πέκτης, μπορώ να του πω Wα ή τότε να το εκφράσω με άλγυβα τον αΑ και βΑ, ότι στην πρώτη επιλογή θα πάρει τη λευκή σφαίρα ο πρώτος πέκτης και κερδίζει. Ή αν στην πρώτη επιλογή δεν πάρει την άσπρη σφαίρα το συμπλήρωμα του αΕ και το μη στην δεύτερη επιλογή του παιχνιδιού ο δεύτερος δεν πάρει τη λευκή σφαίρα και στην τρίτη επιλογή ο α πέκτης πάρει τη λευκή σφαίρα. Δύο τρόποι υπάρχουν για να κερδίσει το παιχνίδι ο α Πέκτης δεδομένο ότι ξεκινά πρώτος την επιλογή. Στην πρώτη επιλογή να πάρει τη λευκή σφαίρα και να κερδίσει ή ένας άλλος τρόπος είναι στην πρώτη επιλογή να μην πάρει τη λευκή και ο δεύτερος στη δεύτερη επιλογή του παιχνιδιού να μην πάρει τη λευκή, γιατί αν πάρει τη λευκή σταματάει το παιχνίδι δεν κερδίζει ο α κερδίζει ο β και στην τρίτη επιλογή του παιχνιδιού να πάρει τη λευκή σφαίρα ο α Πέκτης και να κερδίσει. Άλλο αντεχόμενο δεν υπάρχει γιατί αν στην τρίτη επιλογή δεν πάρει τη λευκή σφαίρα στην τέταρτη επιλογή του παιχνιδιού σίγουρα θα την πάρει ο β γιατί έχουν φύγει οι τρεις μαύρες έξω, αν ισχύουν αυτά, έχουν φύγει οι τρεις μαύρες έξω και στην τέταρτη επιλογή του παιχνιδιού ο β Πέκτης θα πάρει τη λευκή και θα κερδίσει. Άρα άλλος τρόπος για να κερδίσει ο α Πέκτης δεν υπάρχει. Και πώς θα υπολογίσω εγώ την επιθανότητα να κερδίσει αφού πρώτα το έχω εκφράσει το γεγονός με άλγυβρα τον α ΒΑΑ, τώρα η επιθανότητα να κερδίσει είναι η πιθανότητα της ένωσης δύο γεγονότων. Να το ένα γεγονός, να και το άλλο. Η πρώτη και η δεύτερη παρένθεση είναι η άνωση. Η πιθανότητα της ένωσης δύο γεγονότων είναι η πιθανότητα του πρώτου, σύν την πιθανότητα του δευτέρου, το είχαμε γράψει προηγούμενα, μη είναι η πιθανότητα της τομής. Πιθανότητα της τομής όμως δεν υπάρχει εδώ. Γιατί δεν υπάρχει. Γιατί εδώ λέει να συμβαίνει το α1 και εδώ λέει να μη συμβαίνει. Άρα τα δύο είναι ξένα μεταξύ τους, δεν μπορούν να συμβούνε ταυτόχρονα. Άρα έχω για την πιθανότητα της ένωσης, είναι η πιθανότητα του πρώτου, που είναι το α1, σύν την πιθανότητα της άλλης παρένθεσης, που είναι αυτή εδώ. Και έχουμε, για την πιθανότητα του α1, στην πρώτη φυλογή να πάρει τη λευκή, είναι δύο πέμπτα. Και εδώ έχουμε την πιθανότητα της τομής, σύμφωνο με το προβλημασιαστικό κανόνα, είναι η πιθανότητα του πρώτου, επί την πιθανότητα του δευτέρου, δεδομένου συμβαίνει το πρώτο, επί την πιθανότητα του τρίτου, δεδομένου συμβαίνουν τα άλλα δύο. Και έχουμε δύο πέμπτα. Συν, πιο επιθανότητα να μην επιλέξει τη λευκή στην πρώτη φυλογή, είναι να πάρει μία από τις τρεις μαύρες, σε σύνολο πέντε σφαιρών. Μετά, δεδομένου ότι επέλεξε τη μαύρη στην πρώτη φυλογή ο Άνθα και την έβγαλε έξω, έμεναν δύο μαύρες μέσα. Άρα, η πιθανότητα και ο δεύτερος να επιλέξει μαύρη είναι δύο στις τέσσερις που έμειναν. Και μετά έχουμε την πιθανότητα να επιλέξει, εδώ έχουμε τρία, στην τρίτη επιλογή, δεδομένου ότι φύγαν οι δύο μαύρες έξω, έμεναν συνολικά τρεις σφαίρες, δύο λευκές και μία μαύρη, αλλά να επιλέξει τη λευκή είναι δύο τρίτα. Αν κάνουμε και λίγο απλοποίηση εδώ, εδώ έχουμε δύο πέμπτα, συν ένα πέμπτο, ίσον τρία πέμπτα. Αν εδώ έχουμε, η πιθανότητα να κερδίσει λοιπόν ο πρώτος παίκτης, ο επειδή ξεκινάει και πρώτος στην επιλογή, έχει παρεσσότερο από πριν ένα τσισεκατό, έχει τρία πέμπτα. Εσείς μπορείτε να υπολογίσετε, αφού εκφράσετε με άλγευρα τον ΑΑΙΒΙΑΙ, όπως είπαμε, είπαμε τα γεγονότα, να εκφράσετε το γεγονός ότι θα κερδίσει ο ΒΙΤΑ παίκτης. Να το εκφράσετε με άλγευρα τον ΑΑΙΒΙΑΙ και στη συνέχεια ποια επιθανότητα να κερδίσει. Κάποιος βέβαια μπορούσε να πει, γιατί να τα κάνω όλα αυτά, αφού η πιθανότητα να κερδίσει ο ΑΑΙΒΙΑΙ είναι τρία πέμπτα, η πιθανότητα του συμπληρωματικού που είναι να κερδίσει ο ΒΙΤΑ είναι δύο πέμπτα. Θα ήθελα έτσι για εξάσκηση να το δουλέψετε για το γεγονός ότι θα κερδίσει ο ΒΙΤΑ παίκτης. Αυτό κάνετε για εξάσκηση. Για να δούμε ένα λίγο πιο σύνθετο παράδειγμα με την πιθανότητα της τομείς εν γεγονότον. Αν υποθέσουμε ότι ρίξουμε ένα ζάρι έξι φορές. Ρίχνουμε ένα ζάρι λοιπόν έξι φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε έξι διαφορετικά νούμερα. Δηλαδή να έχουμε το ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι. Την πρώτη ρίψη ένα, στη δεύτερη δύο κτλ. Ή θα μπορούσαμε να έχουμε στην πρώτη δύο, στην άλλη ένα, στην άλλη τρία κτλ. Ή θα μπορούσαμε να έχουμε τα νούμερα αυτά, τα έξι διαφορετικά νούμερα με διαφορετικές σειρές. Θα έχουμε τέσσερα, δύο, πέντε, έξι, ένα, τρία. Υπάρχουν πολύ διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορούμε να βάλουμε τα έξι νούμερα σε μία σειρά. Υπάρχουν πολλοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να συμβεί το γεγονός ότι όταν ρίξουμε ένα ζάρι έξι φορές, θα έχουμε έξι διαφορετικά νούμερα. Επίσης, αυτή είναι όλη η διαφορετική τρόπη με τους οποίους συμβαίνει το γεγονός α, το οποίο ζητάμε την πιθανότητα. Δηλαδή, το γεγονός α, το οποίο ζητάμε την πιθανότητα, έχει πόσα στοιχεία, πόσα δηματοσυμεία, όλες αυτές τις δυνατές εξάδες, όπου η κάθε εξάδα έχει έξι διαφορετικά νούμερα. Από το ένα μέχρι το έξι. Από την άλλη πλευρά έχουμε και το δειγματικό χώρο s, ο οποίος άριξουμε ένα ζάρι έξι φορές, έχει όλα τα δυνατά ενδεχόμενα. Μπορεί ένα ενδεχόμενο να είναι όλα 1, 1, 1, να είναι άση, ή να είναι βιάρια, ή να επαναλαμβάνουν τα νούμερα. Δύο άσος, τέσσερα, τέσσερα, τέσσερα. Είναι όλες οι δυνατές εξάδες, όπου μπορεί να επαναλαμβάνονται τα νούμερα, να επαναλαμβάνονται και με διαφορετική σειρά και ούτω κατ' εξής. Άρα λοιπόν, για να υπολογίσω εγώ την πιθανότητα όταν αριξω έναν ζάρι να έχω έξι διαφορετικά νούμερα, είναι να διαρέψω με τον κλασικό τρόπο, όλες τις δυνατές εξάδες όπου έχουμε διαφορετικά νούμερα, προς τον αριθμό όλων των δυνατών περιπτώσεων, όλων των δυνατών εξάδων, όπου μπορεί και να επαναλαμβάνονται και να βρω την πιθανότητα. Αλλά πρέπει να τα αριθμίσουμε όμως αυτά. Εάν δεν μπορεί κανένας να τα αριθμίσει, μπορεί εύκολα να εφαρμόσει την προπολεσιαστικό κανόνα, την πιθανότητα της τομής δηλαδή, έξι γεγονότων και να τα υπολογίσει. Δηλαδή, αν κάποιος δεν έχει την ευκαιρία να υπολογίσει όλους τους δυνατούς συνδυασμούς, μπορεί πιο εύκολα με τη μυθοδολογία που αναπτύξαμε να τα υπολογίσει. Θεωρεί ότι α1 είναι το γεγονός ότι στην πρώτη ρήψη θα έρθει ένα ή αδίποτε νούμερο. ΑΙ για η μεγαλύτερο ίσον του 2 είναι το γεγονός ότι στην Ά ρήψη, στη 2 ή στη 3 κτλ, θα έρθει νούμερο διάφορο από την Ά-1, Ά-2 κτλ ρήψη. Ά-2 είναι το γεγονός ότι στην 2η ρήψη θα έρθει νούμερο διάφορο από την προηγούμενη, από την Ά-1. Ά-3 είναι το γεγονός ότι στην 3η ρήψη θα έρθει νούμερο διάφορο από την 2η ρήψη, διάφορο από την 1η ρήψη και ούτω κατεξής. Άρα το γεγονός ότι θα έχω 6 διαφορετικά νούμερα στις 6 ρήψεις, συμβολίζεται αν το συμβολήσω με Ά, μπορώ να το συμβολήσω με άλγευρα τον ΑΙ, δηλαδή στην 1η ρήψη να έχω ένα ή αδίποτε νούμερο και το μή, στη 2η ρήψη να έχω νούμερο διάφορο από την προηγούμενη και το μή το Ά-3, ότι στην 3η ρήψη να έχω νούμερο διάφορο από το 2, διάφορο από το 1 και στην 4η ρήψη να έχω νούμερο διάφορο από τις προηγούμενες, το ίδιο και στην 5η, το ίδιο, και στην 6η ρήψη να έχω νούμερο διάφορο από την 5, διάφορο από την 4, διάφορο από την 3, διάφορο από το 2, διάφορο από το 1. Συμφωνείτε ότι το γεγονός ότι θα έχω 6 διαφορετικά νούμερα, συμβολίζεται με την κομμή των Ά-1, Ά-2, Ά-6. Αν συμφωνείτε σε αυτό, μπορώ να απολογίσω και την πιθανότητά του. Έχω εκφράσει το γεγονός με τις τομέσσες των Ά-2, Ά-6. Πρέπει να καταλάβει κανένας τι σημαίνει το Ά-1 ή είναι το γεγονός ότι στην πρώτη ρήψη έχω ένα ή οδήποτε νούμερο. Και Ά-i, Ά-2, Ά-3 κτλ είναι ότι στη 2-3 κτλ ρήψη να έχω νούμερο διάφορο από ότι φέραν οι προηγούμενες. Και έτσι απολογίζω την πιθανότητα του Ά, που είναι η πιθανότητα της τομής 6 γεγονότων. Και αυτό εδώ πέρα ισούται με την πιθανότητα του Ά-1 επί την πιθανότητα του Ά-2, δεδομένου ότι συμβαίνει το Ά-1, επί κτλ επί την πιθανότητα του Ά-6, δεδομένου ότι συμβαίνουν όλα τα προηγούμενα σύμφωνα με το προορισιαστικό κανόν. Και έχουμε, ποια είναι η πιθανότητα του Ά-1, ποια είναι η πιθανότητα να ρίξει το Ζ να φέρει ένα ή οδήποτε νούμερο. Ένα, ένα έκτο, πόσο είναι. Δηλαδή υπάρχει πιθανότητα να μην φέρει ένα ή οδήποτε νούμερο. Ένα ή έξι έκτο. Είναι ένα. Θα φέρει ένα νούμερο. Δεν μπορεί να μην φέρει ένα νούμερο. Ρίξει το Ζ, θα δεις θα φέρει κάποιο νούμερο. Ποια είναι η πιθανότητα του Ά-2, δεδομένου ότι συμβαίνει το Ά-1. Αν δηλαδή στην πρώτη ρίψη σίγουρα έθελε ένα νούμερο, ποια είναι η πιθανότητα στη δεύτερη να φέρει διάφορο. Θα φέρει ένα από τα υπόλοιπα πέντε. Που είναι πέντε έκτα. Μετά είναι τέσσερα έκτα. Και εδώ πέρα ποια είναι η πιθανότητα να συμβαίνει το Ά-6, δεδομένου ότι στις προηγούμενες ρίψεις έφερε διάφορα νούμερα. Έφερε όλα τα νούμερα σε κάθε ρίψη αντίστοιχα. Έχουν εξαντληθεί τα προηγούμενα πέντε νούμερα. Έμεινε μόνο ένα. Άρα είναι ένα έκτο. Η πιθανότητα στην έκτη ρίψη να φέρει νούμερο διάφορα από τα προηγούμενα, είναι να φέρει μόνο ένα νούμερο το οποίο δεν το έφερε στις προηγούμενες πέντε διαφορετικές ρίψεις. Δηλαδή έχουν φύγει πέντε διαφορετικά νούμερα. Έμεινε ένα. Άρα πρέπει στην έκτη ρίψη να φέρει αυτό το συγκεκριμένο που έχει πιθανότητα ένα έκτο. Άρα άμα κάνω πράξεις εδώ πέρα αυτό ισούται τελικά με έξι παραγοντικό προς έξι στην έκτη. Είναι πιθανότητα αυτού του γεγονότος και το βρήκαμε μεθοδολογικά στηριζόμενοι στη μεθοδολογία που αναπτύξαμε και στον Πολοβυζαντικό Κανόνα. Αφού τον γεγονός το εκφράσαμε με άλγυβρα άλλων απλούστερων γεγονότων μετά εφαρμόσουμε τον Πολοβυζαντικό Κανόνα και το εκτιμήσαμε. Μπορεί κάποιος εάν δεν ξέρει αυτή τη μεθοδολογία να το βρει πιο πρακτικά με τον κλασικό τρόπο. Άρα για να πούμε για τον κλασικό τρόπο πρέπει να σας αναφέρω κάποιες αριθμίσεις απαρίθυμησης όλων εκείνων των δυνατών περιπτώσεων που είναι λίγο δύσκολο κάποιος από μόνος του να τα υπολογίσει και χρειαζόμαστε κάποια εργαλεία από τη συνδυαστική. Τα εργαλεία είναι τα εξής. Ποιος μπορεί να μου πει εδώ πέρα τώρα κάτι με τις αρχές απαρίθυσης. Πρώτον είναι το καρτισεανό γινόμενο. Αν ένα πείραμα είναι σύνθετο και αποτελείται από την εκτέλεση κάπα απλούστερων γεγονότων ο δειγματικός το χώρος θα είναι το καρτισεανό γινόμενο τον κάπα απλούστερων δειγματικών χώρων. Κι αν αυτό εδώ πέρα έχει 1 δίγματο σημεία, το άλλο έχει όλες οι διδρεταγμένες χιάνδες. Το γινόμενο 1,1,1,2,k όπου 1,1,1,k είναι τα δίγματο σημεία των αντίστοιχων απλούστερων δειγματοχώρων μου δίνουν συνολικά τον αριθμό δειγματοσημείων S του σύνθετου δειγματοχώρου. Μπορούμε να κάνουμε ένα απλό παράδειγμα. Άρα ρίξουμε ένα νόμισμα και ένα ζάρι και παρατηρούμε την ένδειξη. Ο δειγματικός χώρος θα είναι καρτισεανό γινόμενο κεφαλή γράμμα με το δειγματικό χώρο του ζαριού που είναι 1,2,3,4,5,6. Και αν πάρουμε τα διδρεταγμένα ζευγάρια θα είναι κεφαλή 1, κεφαλή 2 ή κεφαλή 6 ή γράμμα 1 μέχρι γράμμα 6 δώδεκα δηλαδή. Θα είναι δύο επί έξι. Θα είναι δώδεκα όλα τα δυνατά ενδεκόμενα. Κάποιος βέβαια μπορούσε να κάνει και δέντρο εδώ για να βρει να καταγράψει όλα τα δυνατά ενδεκόμενα. Θα μπορούσε να πει ότι αν ρίξω το νόμισμα έχω κεφαλή ή γράμμα το γράμμα μπορώ να έχω 1,2,3. Να έχω δηλαδή κεφαλή 1, κεφαλή 2 μέχρι κεφαλή 6. Και εδώ να έχει πάλι 1,2 που θα είναι το γράμμα 1, γράμμα 2 και ούτω κατεξής. Μπορεί να κάνει το δέντρο. Αλλά όταν είναι πιο σύνθετα τα γεγονότα δεν μπορεί να κάνει δέντρο. Είναι γι' αυτό μια γραφική παράσταση αλλά κανονικά πρέπει να ξέρει τον κανόνα του καρτισιανού γινωμένου. Ότι το καρτισιανό γινόμενο κ συνόλων δίνει όλες τις διαταγμένες κοιάδες που μπορούν να προκύψουν και ο αριθμός όλων των δυνατών διαταγμένων κοιάδων είναι 1,1 πιάν 2 πιάν κ. Έτσι θα μπορούσε κανένας να μας πει στον Προπό πόσες στήλες πρέπει να συμπληρώσουμε για να κερδίσουμε σίγουρα στον Προπό. Βεδομένου ότι στον Προπό έχουμε πόσα πειράματα πόσους αγώνες 13. Ο κάθε αγώνας πόσα δυνατά αποτελέσματα έχει 3. 1,2,x και ο άλλος έχει πάλι 1,2,x, ο άλλος έχει 1,2,x. Άρα ο δειγματικός χώρος όπου θα καταγράψουμε όλες τις διαταγμένες δεκατριάδες θα είναι 1,1 πιάν 2 πιάν 3 κτλ. Θα είναι δηλαδή 3 πιάν 3 πιάν 3, 3 εις τη 13η το οποίο είναι κάπου 1.500.000 κτλ. Άρα έτσι όταν έχουμε σύνδετο δειγματοχώρο αποτελείται από την εκτέλεση απλούστερων πειραμάτων για να καταγράψουμε ή για να απαριθμίσουμε όλα τα δειγματοσημεία του εφαρμόζουμε το νόμο του Καρτισιανού Γυνωμένου. Των απλούστερων πειραμάτων παίρνουμε όλες τις διαταγμένες κοιάδες και ούτω κατεξής. Αυτός είναι ένας κανόνας για αυτή την περίπτωση. Επίσης υπάρχει και ο κανόνας των μεταθέσεων. Τρεις μεταθέσεις, permutations δηλαδή πραγμάτων. Αν έχουμε εν διαφορετικά πράγματα με πόσες διαφορετικές σειρές, με πόσες διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να βάλουμε στη σειρά. Θα βάλουμε το πρώτο, το δεύτερο μέχρι το ενιωστό ή με διαφορετική σειρά να τα βάλουμε. Υπάρχουν πολλοί τρόποι. Στην πρώτη θέση μπορεί να βάλουμε 1 από τα 1. Την άλλη να την πάρει 1 από τα 1-1. Την άλλη να την πάρει 1 από τα 1-2 που μένουν και ούτω κατεξής. Άρα όλη η διαφορετική τρόπη είναι αυτό το γινόμενο, το οποίο είναι εν πραγματικό. Μετά μπορεί να έχουμε τις μεταθέσεις, δηλαδή με πόσες διαφορετικούς τρόπους. Από τα 1 να τα πάρουμε 1κ και να τα βάλουμε με διαφορετική σειρά. Την πρώτη να την πάρει 1 από τα 1, την άλλη 1 από τα 1-1 και ούτω κατεξής. Αλλά τώρα είναι κ τα πράγματα, δεν είναι εν. Και τελικά αυτό είναι εν, επί 1-1, επί 1-κ-1 είναι η διαφορετική τρόπη, το οποίο είναι εν πραγματικό προς εν-κ παραγωτικό. Και τέλος ο πιο χρήσιμος κανόνας από τη συνδυαστική είναι οι συνδυασμοί εν πραγμάτων αλλά κ. Δηλαδή παίρνουμε αυτά εν πράγματα κ, με πόσες διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να πάρουμε, πόσες διαφορετικές ομάδες των κ πραγμάτων μπορούμε να πάρουμε αυτά εν διαφορετικά πράγματα, αλλά εδώ μας ενδιαφέρει η σειρά. Μας ενδιαφέρει η ομάδα των κ διαφορετικών πραγμάτων που παίρνουμε. Αυτό προκύπτει από αυτό το τύπο γιατί είναι κ παραγωτικό λιγότερο από αυτό. Γιατί εδώ τα κ πράγματα, την ομάδα των κ πραγμάτων μπορούμε να την πάρουμε με κ παραγωτικό διαφορετικούς τρόπους, αν τα βάζουμε σε διαφορετική σειρά. Άρα είναι ο ίδιος τύπος, αλλά να το διαρρέσουμε με κ παραγωτικό, να το διαρρέσουμε με κ παραγωτικό, γιατί την κάθε ομάδα των κ πραγμάτων που παίρνουμε, όπως εδώ, δεν μας ενδιαφέρει, δεν προκύπτουν κ παραγωτικό περισσότεροι τρόποι, δεν μας ενδιαφέρει σειρά. Άρα είναι αυτός ο τύπος των συνδυασμών εν πραγμάτων ανακάπα, δηλαδή εν διαφορετικά πράγματα, πόσες διαφορετικές ομάδες των κάβα πραγμάτων μπορούμε να πάρουμε. Ναι. Φόραξε δυνατά. Combination. Είναι διεθνή συμβολισμή, αυτό είναι permutation, το π. Το π φαριστάνει permutation μέσα στην παρένθεση εν ανακάπα και τα λοιπά. Είναι διεθνής αυτή η συμβολισμή. Με. Το δεύτερο. Αν έχουμε τρία πράγματα α, β, γ και πάρουμε δύο από αυτά, α, β, βα, α, γ, γα, και β, γ, γα, β. Δηλαδή από τα τρία παίρνω δύο, αλλά με ενδιαφέρει και η σειρά που τα παίρνω. Εντάξει. Εδώ έχουμε τρία και θα πάρω δύο, το α, β, το α, γ, το β, γ. Εδώ δεν με ενδιαφέρει η σειρά. Με ενδιαφέρει ποια πήρα, ποιες δυάδες πήρα. Αυτοί είναι οι τρεις βασικοί κανόνες που χρησιμοποιούμε καθώς και το καρτισενό γινόμενο. Βέβαια στις συνδυαστικοί υπάρχουν πολύ πιο δύσκολα προβλήματα σε πολύ σύνθετες περιπτώσεις άλλες. Εμείς δεν πρόκειται να χρησιμοποιήσουμε άλλους κανόνες εκτός από αυτούς και κυρίως αυτόν περισσότερο. Θα κάνουμε ένα διάλειμμα και θα συνεχίσουμε με αρκετά παραδείγματα και προβλήματα. Ας πούμε για τις μεταθέσεις που είπαμε για το καρτισενό γινόμενο για τους συνδυασμούς. Πότε θα εφαρμόσουμε το καρτισενό γινόμενο, πότε τις μεταθέσεις, πότε τους συνδυασμούς. Αναφέραμε εκεί πέρα τις περιπτώσεις, αλλά για να δούμε και στην πράξη. Από πέντε ψηφία που έχουμε, πώς μπορούμε να φτιάξουμε τριψήφιους αριθμούς με επαναλαμβανόμενα τα ψηφία. Να πάρουμε δηλαδή τυχαία τρεις και φτιάχνουμε ένα τριψήφιο. Μπορεί να επαναλαμβάνονται τα ψηφία τα ίδια, να είναι ξέρω εγώ 666 ή 777 ή 33 ή να είναι 367 με διαφορετική σειρά κτλ. Πόσους διαφορετικούς τριψήφιους μπορούμε να κάνουμε από τα πέντε ψηφία που έχω γράψει όπου μπορεί να επαναλαμβάνονται τα ψηφία. Με ποιον τύπο, με ποια αρχή επαρρίθμησης θα το βρω. Προφανώς με το καρτισιανό γινόμενο. Ποιο καρτισιανό γινόμενο. Μάλλον το 34567, καρτισιανό γινόμενο 34567, καρτισιανό γινόμενο 34567. Και όλα τα δυνατά ενδεχόμενα, δηλαδή ο δειγματικός χώρος, όλες οι δυνατές τριάδες είναι τα ιδεταγμένα τσεβγάρια, ας πούμε, τρία, τρία, τρία, ένας αριθμός. Ο άλλος είναι τρία, τρία, τέσσερα. Όλες οι δυναταγμένες τριάδες. Εμένα με ενδιαφέρει πόσες είναι. Είναι πέντε επί πέντε, επί πέντε. Δηλαδή όλες οι δυναταγμένες τριάδες είναι πέντε εις την τρίτη. Άρα λοιπόν μπορώ να φτιάξω 125 διαφορετικούς τριψήφιους με επαναλαμβανόμενα ψηφία ενδεχομένως. Πόσους τριψήφιους μπορώ να κάνω αν δεν επαναλαμβάνω τα ψηφία. Πόσους τριψήφιους μπορώ να κάνω από τα πέντε, άρα τα πέντε ψηφία επιλέξω τυχαία τρία. Πόσους τριψήφιους μπορώ να κάνω, αλλά χωρίς να επαναλαμβάνω τα ίδια ψηφία όπως εδώ. Απλώς θα παίρνω τυχαία τρία από αυτά και θα τα βάζω με διαφορετική σειρά. Αυτό μπορώ να το λύσω με τις μεταθέσεις. Θέλω πραγμάτων ανακάπα. Δηλαδή να πάρω permutations πέντε ανατρία. Από τα πέντε παίρνω τυχαία τρία και μπορώ να την βάλω με διαφορετική σειρά. Βέβαια δεν επαναλαμβάνω τέτοια στοιχεία εδώ. Και έχω πέντε παραγοντικό προς πέντε μειον τρία παραγοντικό επί τρία παραγοντικό. Όχι, αυτά είναι συνδυασμοί. Είναι αρκετό. Εδώ πέρα έχουμε πέντε μειον τρία μου κάνει δύο. Πάνω εμένει αυτό εδώ πέρα. Αν κάνουμε πράξεις, τρία επί τέσσερα επί πέντε, τρία επί τέσσερα επί πέντε, τρία επί πέντε, είκοσι ίσον εξήντα. Άρα λοιπόν έχω εξήντα διαφορετικούς τριψήφιους που μπορώ να φτιάξω όπου δεν επαναλαμβάνονται τα ψηφία. Ας προχωρήσουμε λίγο παρακάτω. Ή εδώ να σας δώσω ένα παράδειγμα εγώ. Έχουμε εφτά γραφεία. Και εκεί πέρα θα βάλουμε μέσα τέσσερις φοιτητές να δουλέψουν. Έχουμε εφτά γραφεία και εκεί πέρα θα πάρουμε τέσσερις μετοπτιακούς φοιτητές να δουλέψουν, να τους βάλουμε μέσα. Με πόσο διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να το κάνουμε αυτό. Αυτό το έχετε σαν παράδειγμα, σαν εξάσκηση μετά. Μετά. Έχουμε μία ομάδα στο μπάσκετ, η οποία στο μπάγκο έχει 10 παίκτες. Πόσες διαφορετικές πεντάδες μπορούμε να φτιάξουμε. Πόσες διαφορετικές ομάδες μπορούμε να φτιάξουμε. Από τους 10 παίκτες που διαθέτει η ομάδα. Ξέρει κανένας. Στο μπάσκετ πας καθόλου, παρακολουθείς. Ας υποθέσουμε ότι έχει 10 παίκτες στο μπάγκο. Στο παιχνίδι όμως θα παίξουν 5. Πόσες διαφορετικές ομάδες μπορεί να φτιάξει ο προπονητής. Πόσες. Δεν πηγαίνετε στο μπάσκετ ρε παιδιά. Δεν ρωτήσατε τον προπονητή. Πόσες διαφορετικές ομάδες μπορεί να φτιάξεις από τους 10 παίκτες. Ε πάντε ρωτήστε, τώρα άμα δεν κάνει πέστετε να τον απολύσεις, να πάω έναν άλλον προπονητή. Δεν ξέρεις από 10 παίκτες πόσες διαφορετικές ομάδες μπορείς να φτιάξεις. Συνδυασμοί 10 να 5, δεν είναι. Από τα 10 πράγματα να πάρουμε 5, δεν μας ενδιαφέρει η σειρά ακόμα, δεν μίλησα για σειρά. Θα πάρω τον α, π, το β, το γ, το δ, αυτοί τους 10. Έχουμε δηλαδή συνδυασμούς 10 ανά 5. Δηλαδή 10 παραγοντικό προς 10-5 παραγοντικό, επί 5 παραγοντικό. Τώρα αν στην κάθε 50 με ενδιαφέρει και η σειρά που βάζω τους παίκτες, τα νούμερα που βάζω, το σχηματισμό που κάνω μέσα. Αν πάρω μια 50 στη διακριμένη πόσες διαφορετικούς σχηματισμούς μπορώ να κάνω. Δηλαδή να αλλάξουνε νούμερα μεταξύ τους θέσεις. Πέντε παραγοντικό, γιατί είναι πέντε παίκτες, θα τους βάλω με διαφορετική σειρά μέσα στο γήπεδο. Άρα λοιπόν, εδώ πέρα έχουμε permutations, δηλαδή θα μπορούσαμε και εδώ. Αν αυτό το προβλασιάσω με πέντε παραγοντικό, το οποίο βέβαια πέντε και πέντε φεύγει, είναι οι μεταθέσεις 10-5. Δηλαδή, όχι μόνο πια 5 θα πάρω απ' τους 10, αλλά και με ποια σειρά θα τους βάλω να παίξουνε. Πόσες δραστούς σχηματισμούς έχω, έχω επί 5 παραγοντικό, ή αυτό μπορώ να του πω ότι είναι permutations 10-5, το οποίο είναι 10 παραγοντικό προς 10-5 παραγοντικό. Φεύγει από ένα, δύο, μέχρι πέντε και μένει πάνω 6, επί 7, επί 8, επί 9, επί 10. Άρα λοιπόν, μπορούμε να φτιάξουμε τόσες διαφορετικούς σχηματισμούς των πέντε παιχτών. Αν δεν μας ενδιαφέρει ο σχηματισμός και είναι στάνταρ η θέση που θα πάρει ο καθένας, τότε έχουμε συνδυασμούς 10-5. Αν όμως μπορούμε να τους αλλάξουμε σειρά, νούμερο που λέμε, η θέση, όπως θέλετε πες το, τότε έχουμε παραπάνω τρόπους, είναι 6, επί 7, επί 8, επί 9. Ενώ το προηγούμενο ήταν 6, επί 7, επί 8, επί 9, επί 10. Φεύγουν, γίνεται απλοποίηση εδώ και μένει αυτό στον αριθμητή και κάτω έχουμε 1, επί 2, επί 3, επί 4, επί 5. Και όταν κάνεις απλοποίηση μπορείς να κάνεις πράξεις και να το βρεις. Και τώρα εσείς θα βρείτε πόσους δυνατούς σχηματισμούς έχουμε, αν δύο παίκτες θα συμμετέχουν σίγουρα μέσα στην πεντάδρα. Να βρείτε πόσους δυνατούς σχηματισμούς έχουμε εδώ, αν δύο παίκτες θα συμμετέχουν σίγουρα στην ομάδα. Και ας πάμε σε ένα άλλο πρακτικότερο πρόβλημα. Αν έχουμε 15 καλά ανταλλακτικά και 5 ελαττωματικά, σε ένα κυβότιο έχουμε 20 ανταλλακτικά, χρειαζόμαστε 3 από αυτά. Ποια η πιθανότητα να είναι και τα δύο που θα πάρουμε να είναι καλά. Η πιθανότητα του γεγονότους α είναι σύμφωνο με την κλασικό τρόπο, ο αριθμός σχηματοσυμμείων περιπτώσεων του α προς τον αριθμό των δυνατών ενδεχομένων. Σύμφωνο με την κλασικό τρόπο είναι να διαιρέσω όλες τις δυνατές τριάδες όπου και τα τρία είναι καλά, προς όλες τις δυνατές τριάδες όπου μπορεί κάποια να είναι καλά, κάποια να μην είναι αυτά 20 ανταλλακτικά. Εδώ πέρα έχω στον παρομαστή όλες τις δυνατές δυνατούς συνδυασμούς των 20 ανά 5. Καλά, εις ήρθαμε ανά 3. Όλες τις δυνατές τριάδες που μπορούμε να πάρουμε τα 20. Είναι όλες τις συνδυνατές τριάδες, συνδυασμοί 20 ανά 3. Στον αριθμητή θα έχω όλες τις δυνατές τριάδες όπου και τα τρία είναι καλά, δηλαδή οι δυνατές τριάδες που προκύπτουν απ' τα 15 καλά. Όλες τις δυνατές τριάδες απ' τα 15 είναι περιπτώσεις όπου και τα τρία είναι καλά. Και έτσι μπορώ να βρω την πιθανότητα και τα τρία να είναι καλά. Ή κάποιος αν δεν μπορεί να το υπολογίσει, μπορεί να πάρει την πιθανότητα της τομής το πρώτο να είναι καλό, το μή το δεύτερο να είναι καλό, το μή το τρίτο που θα επιλέξω να είναι καλό. Σύμφωνο με τον προβλημασιστικό κανόνα είναι η πιθανότητα του α1, επί την πιθανότητα του α2, δεδομένως συμβαίνει το α1, επί την πιθανότητα του α3, δεδομένως συμβαίνει το α1 και α2. Και έχουμε εδώ πέρα 15-20, επί 14-19, επί 13-18. Γιατί εδώ έχει φύγει το 1 καλό έμεναν 14 και συνολικά έμεναν 19. Άρα είναι 14-19 και ο τοκαδιτσής. Μπορεί να επιλέξει από τους δύο τρόπους. Είναι ότι από τα 1 πράγματα θα τα πάρουμε 1 κ, επιλέγουμε κ και επίσης θα βάζουμε και στη διαφορετική σειρά τα κ. Μας ενδιαφέρει και η σειρά που παίρνουμε τα κ πράγματα. Αυτό δεν είπαμε. Ενώ στους συνδυασμούς δεν μας ενδιαφέρει η σειρά των κ πράγματων, δεν μας ενδιαφέρει ποια κ διαφορετικά πράγματα παίρνουμε κάθε φορά. Όπως και στην ομάδα, εδώ πέρα με ενδιαφέρει από τα πέντε να επιλέξω τρία ψηφία, αλλά και η σειρά που τα βάζω στα ψηφία μου δίνουν διαφορετικό αριθμό. Άρα, αν επιλέξω τρία ψηφία, ο αριθμός που θα σχηματίσω μπορεί να αλλάξω εγώ τη σειρά των ψηφίων και να έχω διαφορετικό αριθμό. Δηλαδή, αν πάρω το 3, 4, 5 έχω το 3, 45. Άρα μπορεί να πάρω τρία ψηφία και να φτιάξω το 335. Ή να φτιάξω το 543. Δηλαδή, αν θα βάλω τρία ψηφία με διαφορετική σειρά, φτιάχνω διαφορετικούς αριθμούς. Και επειδή εδώ δεν ενδιαφέρει πόσα αριθμούς μπορώ να φτιάξω με τρία ψηφία που θα πάρω, άρα έχω permutations πέντε πραγμάτων έναν τρία. Βλέπετε ότι ανάλογα με το πόλεμο θα χρησιμοποιήσουμε καρτισιανόγενωμενο ή permutations ή συνδυασμούς. Αλλά τα προβληματάκια βέβαια, με το τα που μου μία φορά, δεν λύνετε το... δεν καταλαβαίνουμε. Δεν θα φτιάχνουμε εργαλείο μας. Θα πρέπει να ασχοληθούν αυτά, θα πρέπει αυτά που σας είπα εγώ τώρα να πάτε στο σπίτι και να φτιάξετε ό,τι είπα εγώ, ό,τι αποδειξούλες έκανα, τύπους, το σκεφτικό που τα ανέπτυξα, το ίδιο να κάνετε κι εσείς. Και να δείτε τι δεν καταλάβατε ακριβώς και που έχετε τη σχέδια και να το συζητήσουμε. Λοιπόν, εδώ τώρα ένα κυβώτιο έχει 15 καλά και 5 ελαττηματικά. Επιλέγω δύο ανταλλακτικά, πάω να τα χρησιμοποιήσω στη δουλειά μου, σε ένα σύστημα και εκεί πέρα διαπιστώνω ότι καθώς βάζω το ένα από αυτά, το ένα από αυτά πάω να το αποδειχθώ, βλέπω ότι είναι ελαττωματικό. Ποια είναι η πιθανότητα και το άλλο να είναι ελαττωματικό. Είπαμε από το κυβώτιο που έχει 15 καλά και 5 ελατωματικά, ένας μηχανικός επιλέγει τυχαία, παίρνει δύο από αυτά και πάει να το αποδειχθεί στο σύστημά του. Διαπιστώνει ότι το ένα από αυτά είναι ελατωματικό. Και ρωτάμε ποια είναι η πιθανότητα και το άλλο να είναι ελατωματικό. Αυτό μπορείτε να το απολογίσετε με τον κλασικό τρόπο, δηλαδή να βρούμε όλες τις δυνατές βιάδες και να πάρουμε το κλάσμα των ευνοϊκών περιπτώσεων προς όλες τις δυνατές περιπτώσεις. Για να σας βοηθήσω λίγο εγώ, είναι όλες οι δυνατές περιπτώσεις αφού διαπιστώσαμε ότι στη βιάδα το ένα είναι ελατωματικό, αυτή η βιάδα μπορεί να είναι μία από πόσες βιάδες. Από όλες τις βιάδες όπου τουλάχιστον το ένα είναι ελατωματικό. Πόσες βιάδες το ένα τουλάχιστον είναι ελατωματικό, πόσες βιάδες είναι αυτές που μπορούν να προκύψουν. Είναι οι βιάδες εκείνες όπου και τα δύο είναι ελατωματικά και οι βιάδες εκείνες όπου και τα δύο είναι ελατωματικά είναι συνδυασμοί πέντε ανά δύο, συν τις βιάδες εκείνες όπου μόνο το ένα είναι ελατωματικό. Δηλαδή το ένα απ' τα πέντε είναι ελατωματικό και το άλλο δεν είναι, είναι ένα απ' τα δεκαπέντε. Δηλαδή αυτές οι βιάδες όπου το ένα είναι ελατωματικό και το άλλο είναι ένα απ' τα δεκαπέντε είναι πέντε επί δεκαπέντε. Συμφωνείτε ότι αυτός είναι ο αριθμός των βιάδων όπου το ένα τουλάχιστον είναι ελατωματικό. Είναι η περίπτωση όπου και τα δύο είναι ελατωματικά. Οι βιάδες όπου και τα δύο είναι ελατωματικά είναι συνδυασμοί πέντε ανά δύο, γιατί πέντε είναι ελατωματικά. Όλες οι δυνατές βιάδες όπου και τα δύο είναι ελατωματικά είναι συνδυασμοί πέντε ανά δύο. Μετά, θέλω να συμπεριλάβω μέσα και τις βιάδες όπου μόνο το ένα είναι ελατωματικό, γιατί συνολικά έχω όλες τις δυνατές βιάδες όπου τουλάχιστον το ένα είναι ελατωματικό. Αυτό σημαίνει ή και τα δύο είναι ελατωματικά και τόσοι είναι οι τρόποι με τους οποίους και τα δύο είναι ελατωματικά, συν τους τρόπους με τους οποίους τουλάχιστον ένα είναι ελατωματικό, δηλαδή το ένα είναι απ' τα πέντε και το άλλο το ένα είναι απ' τα δεκαπέντε. Εδωμένο ότι εδώ δεν με ενδιαφέρει η σειρά, με ενδιαφέρει στη διάδα ποια είναι. Άρα αυτές είναι όλες τις δυνατές βιάδες όπου τουλάχιστον το ένα είναι ελατωματικό. Τώρα, στον αριθμητή πώς είναι όλες οι βιάδες οι ευνοϊκές που πραγματοποιείται το γεγονός στο οποίο ζητάει την πιθανότητα. Τι ζητάω, δεδομένο ότι στη διάδα το ένα που βλέπω είναι ελατωματικό, ζητώ την πιθανότητα του γεγονότητας ότι και το άλλο είναι ελατωματικό, δηλαδή ζητώ την πιθανότητα και τα δύο να είναι ελατωματικά. Πώς είναι όλες τις δυνατές περιπτώσεις όπου και τα δύο είναι ελατωματικά, είναι συνδυασμοί. Τον πέντε ένα δύο. Και αν κάνουμε πράξεις εδώ πέρα, πάρουμε τους συνδυασμούς, αυτό βγαίνει, νομίζω, ένα έβδομο. Ή τρία, ή κοστά πρώτα. Κάπως έτσι βγαίνει να κάνετε τις πράξεις. Αυτό είναι διαφορετικό από το να πάρω έναν ανταλλακτικό το πρώτο και διαπιστώνω ότι είναι πιο πιθανότητα το δεύτερο να είναι ελατωματικό, αν το πρώτο είναι ελατωματικό. Το γεγονός στο οποίο ζήτησα την πιθανότητα εδώ είναι διαφορετικό από το γεγονός αν πάρω έναν ανταλλακτικό το πρώτο και διαπιστώνω ότι είναι ελατωματικό. Ποια είναι η πιθανότητα και το δεύτερο που θα πάρω μετά να είναι ελατωματικό. Είναι τρία, δέκατα, έναντα, τέσσερα. Γιατί δεδομένου ότι έφυγε το έναν ανταλλακτικό από την πρώτη επιλογή και αν πιθανότητα το δεύτερο που θα πάρω είναι έναν ανταλλακτικό είναι τέσσερα, δέκατα, έναντα. Ενώ η πιθανότητα όταν έχω δύο ανταλλακτικά που πήρα και βλέπω ότι το ένα από αυτά είναι ελατωματικό πια η πιθανότητα να είναι και το άλλο, δεν είναι το ίδιο. Θα μου πει κάποιος τι θα κάνω. Εγώ ακολουθώ τη μεθοδολογία και είπα πως είναι όλες οι δυνατές βιάδες όπου τουλάχιστον το ένα είναι ελατωματικό. Γιατί βλέπω ότι το ένα είναι ελατωματικό. Πόσες είναι όλες οι δυνατές βιάδες, τόσες. Πόσες είναι όλες οι δυνατές βιάδες όπου και τα δύο είναι ελατωματικά. Γιατί το γεγονός αυτό που του οπίζω τότε η πιθανότητα συμβαίνει αν και τα δύο είναι ελατωματικά. Γιατί ξέρω τι είναι το ένα, ποια είναι η πιθανότητα να είναι και το άλλο, δηλαδή ότι η δυάδα έχει δύο ελατωματικά. Διαιρώνω και βρίσκω ελεύθερο. Αυτή είναι η πιθανότητα. Δεν μπορεί κάποιος να με υποχρεώσει να μου πει όχι θα είναι αυτή. Αυτό είναι έναν διαφορετικό γεγονός. Ότι εγώ δεν είπα ότι διαπιστώνω ότι το πρώτο είναι ελατωματικό. Ποια είναι η πιθανότητα όταν θα πάω να πιλέξω και το δεύτερο είναι ελατωματικό. Κάποιος αν είναι νεολογικά του σκέφτεται ότι είναι το ίδιο. Είπαμε όμως από την αρχή ότι δεν προχωράμε νεολογικά, έχουμε μεθοδολογία και προχωράμε με βάση τη μεθοδολογία. Αν το προβλασιάσουμε, πρέπει να δικαιολογήσεις κάτι πώς το κάνεις. Πρέπει να το εκφράσεις με άλγευρα. Λοιπόν, τι θες να κάνω, λέγε. Το Πα1. Αυτό είναι πια η πιθανότητα που υπολόγησα πριν όταν πάρω δύο ανταλλακτικά να είναι ελατωματικά και τα δύο. Δεν είπα εγώ αυτό. Αυτό το είπα στο προηγούμενο παράδειγμα. Αυτό το είπα εδώ. Εδώ δεν το είπα ότι αν έχω ένα κυβώτιο και επιλέξω ή είπα κάτι παρόμοιο, κάπου το είπα. Η μάση περιπτώσει αυτό εδώ πέρα είναι το γεγονός ότι επιλέγω δύο ανταλλακτικά. Ποια είναι η πιθανότητα και τα δύο να είναι ελατωματικά. Αυτό το γεγονός. Αυτό είναι το γεγονός ποιο. Επιλέγω το πρώτο και είναι ελατωματικό. Ποια είναι η πιθανότητα και το δεύτερο να είναι ελατωματικό. Αυτό είναι ποιο. Επιλέγω δύο ανταλλακτικά. Πάω να το τοποθετήσω στο σύστημά μου και βλέπω ότι το ένα από αυτά είναι ελατωματικό. Ποια είναι η πιθανότητα και το άλλο να είναι. Και σας λέω ότι μπορεί κάποιος εννοιολογικά να τα βρίσκει τα ίδια αλλά εγώ προστατεύομαι από τη μεθοδολογία. Και εγώ δυσκολεύομαι να το καταλάβω εννοιολογικά γιατί είναι διαφορετικά. Αλλά έτσι είναι στα γεγονότα που θα ακολουθήσουν στα συστήματα και τα λοιπά του μηχανικού. Θα υπάρξει μπέρδευμα μεγάλο. Δεν πρόκειται εννοιολογικά να τα σκεφτείς όλα να τα καταλαβαίνεις και να προκοράς διαισθητικά. Τι καταλαβαίνω. Είναι η καλαβάση της μεθοδολογίας που φτιάχνουμε. Η μεθοδολογία θα σε διευκολύνει να κάνεις, να πάρεις το σωστό δρόμο. Ναι. Ναι, είναι το αποτέλεσμα, η πιθανότητα το άλλο ανταλλακτικό να είναι ελαττωματικό δεδομένου ότι το ένα από αυτά ήταν ελαττωματικό. Δεν ξέρω. Είπα πριν ότι κι εγώ δυσκολεύομαι να το καταλάβω και επειδή είμαι και κάποιας ηλικίας τώρα λίγο μπερδεύομαι. Λοιπόν, λίγο μπερδεύομαι, πολλοί μπερδεύονται, περισσότεροι μπερδεύονται, αλλά προχωράμε με βάση τη μεθοδολογία. Αν έρθει και με ρωτήσει τη πιθανότητα ενός γεγονότος ενός άλλου σύνδετου μηχανικού, μικρολογικού κλπ. Εγώ θα βάλω κάτω τη μεθοδολογία, θα ορίσω τα γεγονότα, θα εφαρμόσω έναν τύπο ιδίο, ό,τι μου λένε οι τύποι. Δεν θα σκέφτουμε ενειλογικά ή λυστιστικά πώς θα μπορούσα να το κάνω πρακτικά. Γιατί έτσι, όταν το ένα γεγονός μοιάζει με το άλλο, εγώ με το μυαλό μου δεν μπορώ ενειλογικά να τα ξεχωρίσω. Και πράγματι αυτό εδώ, για αυτός το είπα, γιατί δεν ξεχωρίζουν εύκολα ενειλογικά να τους σκεφτείς και κάποιοι μπορεί να το καταλαβαίνουν, ούτε κι εγώ μπορώ να το καταλαβαίνω. Αλλά προστατεύομαι όμως από τη μεθοδολογία. Η μεθοδολογία μου λέει τι πρέπει να κάνω. Και πάμε τώρα λίγο στο παράδειγμα με το ζάρι που ρίξαμε έξι φορές. Ρίχνουμε ένα ζάρι έξι φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε έξι διαφορετικά νούμερά. Ο δειγματικός χώρος, άνοιξε ένα ζάρι έξι φορές, είναι ένα πείραμα σύνθετο, το οποίο αποτελείται από έξι απλά πειράματα, από έξι ρίψεις. Κάθε ρίψη έχει δειγματικό χώρο ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι. Καρτιανό γινόμενο, δηλαδή, εδώ έχουμε όλες τις δυνατές εξάδες που μπορούν να προκύψουν, όπου μπορεί να επαναλαμβάνονται τα ψηφία ή να μην είναι διαφορετικά με διαφορετική σειρά, ή να επαναλαμβάνονται και επίσης με διαφορετική σειρά. Είναι όλες τις διαταγμένες εξάδες που μπορούν να προκύψουν από εδώ. Όταν ρίχνω το ζάρι έξι φορές, είναι ένα σύνθετο πείραμα και ο δειγματικός του χώρος, ο οποίος θέλει να βάλει όλες τις δυνατές εξάδες που μπορεί να έρθουν, είναι το Καρτιανό γινόμενο που μπορεί να προκύψει από κάθε ρήψη. Έχουμε έξι ρήψεις, έχουμε το Καρτιανό γινόμενο έξι δειγματικών χώρων που αντιστοιχούν στην κάθε ρήψη. Βέβαια, είναι η ίδια η δειγματική χώρα. Αλλά εμένα με ενταφέρουν πόσες είναι όλες αυτές οι δυνατές εξάδες που μπορούν να προκύψουν από το πείραμα. Είναι όπως είχαμε πει 1, 1, πιν, 2, πιν, κ, δηλαδή έξι εις την έξι. Έξι εις την έκτη είναι όλες οι δυνατές εξάδες που μπορούν να προκύψουν. Πόσες είναι όλες οι δυνατές εξάδες στο γεγονός α που ζητάμε την πιθανότητα, δηλαδή όλες οι δυνατές εξάδες όπου έχουν διαφορετικά νούμερα μέσα. Δηλαδή έχουν τα έξι νούμερα με διαφορετική σειρά. Όλες οι δυνατές εξάδες που μπορούν να προκύψουν με έξι διαφορετικά νούμερα είναι έξι παραγωτικό. Δηλαδή έχουμε το ένα, το δύο, το τρία, το τέσσερα, το πέντε, το έξι. Έξι διαφορετικά πράγματα. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τα βάλουμε στη σειρά που παριστάνει όλους τους δυνατούς τρόπους όπου ρίχνουμε το ζάρι έξι φορές και φέρνουμε έξι διαφορετικά νούμερα. Μπορούμε να τα φέρνουμε με αυτή τη σειρά. Μπορούμε να τη φέρνουμε με άλλη σειρά. Και ούτε καν και εξής. Πώς είναι όλη αυτή τη δυνατή τρόπη? Έξι παραγωτικό. Άρα η πιθανότητα του Άλθα που λέγαμε πριν και το λύσαμε βέβαια με τη μηθετωλογία της τομής των γεγονότων και του προβλημασιαστικού κανόνα μπορώ τώρα να το λύσω και να πω είναι όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί του Άλθα προς όλους αυτούς τους συνδυασμούς των δυνατών εξάδων που είναι έξι παραγωτικό προς έξι στην έκτη. Και με βάση αυτό το παράδειγμα εσείς θα κάνετε το εξής. Για να έχετε κάποια βουλίτσα και στο σπίτι έστω ότι έχουμε ένα τετράγωνο και το χωρίζουμε σε κάπα ζώνες. Μια ζώνη, δύο, τρεις, τέσσερες, μέχρι. Το χωρίζουμε σε κάπα ή σε ζώνες. Το χωρίζουμε σε κάπα ζώνες. Σε κάθε ζώνη μέσα ρίχνουμε τυχαία ένα σημείο. Στην πρώτη ζώνη ρίχνουμε ένα σημείο, τυχαία. Στην άλλη ρίχνουμε εδώ, τυχαία ένα σημείο. Στην άλλη εδώ. Στην άλλη εδώ, τυχαία. Και μετά χωρίζουμε το τετράγωνο σε κάπα ίσες στήλες. Πρώτη στήλη, δεύτερη, τρίτη, κάπα στήλη. Και όταν το χωρίζουμε σε κάπα στήλες, πιάει πιθανότητα κάθε στήλη να έχει τώρα ένα σημείο μέσα. Πιάει πιθανότητα κάθε στήλη να έχει, δεδομένο ότι είναι, ίδιο πλάτος οι στήλες. Ένα, μόνο ένα. Όταν λέμε ένα, δεν νομίζουμε κανένα, ή δύο, ή τουλάχιστον δύο. Άντε θα σας έλεγα πιάει πιθανότητα να έχει τουλάχιστον ένα. Πιάει πιθανότητα, εν πάσης περιπτώσει, να έχει μόνο ένα σημείο. Είναι το ίδιο πρόβλημα που λύσαμε και πριν. Το ίδιο είναι. Μπορείς να βρεις όλες τις δυνατές δυνατούς τρόπους που είναι κάπα παραγοντικό, κάπα στην κάπα, όπως είχαμε μπει με το ζάρι, και μετά όλες τις δυνατές περιπτώσεις όπου... Γιατί εδώ, αν είναι σε κάθε στήλη, όλες οι ευνοϊκές περιπτώσεις είναι το πρώτο να έχει μία θέση, το πρώτο να έχει μία θέση, όπως το ζάρι να πάρει έναν αριθμό από τα έξι, τη δεύτερη θέση να έχει μία θέση από τις Κ-1 που μένουνε, και ούτω κατεξής, δηλαδή είναι το ίδιο ακριβώς με το ζάρι που ρίξαμε. Άρα λύστε αυτό και με τους δύο τρόπους. Να δείτε ότι είναι κάπα παραγοντικό προς κάπα στην κάπα η πιθανότητα, όπως ήταν και στο ζάρι, έξι παραγοντικό προς έξι στην έκτη. Είναι ακριβώς το ίδιο σκεπτικό. Επίσης, εδώ θα ορίσετε και τα γεγονότα Α1, Α2, ΑΚ, όπου το Α1 είναι ότι σε κάποια στήλη η πρώτη ζώνη το έχει σε κάποια στήλη από τις Κ, το σημείο. Α2 είναι ότι στη δεύτερη ζώνη το έχει σε στήλη διάφορα από την προηγούμενη, και ούτω κατεξής, δηλαδή είναι το ίδιο σκεπτικό. Είπαμε ότι το χωρίζουμε σε Κ ή σε ζώνες και ρίχνουμε τυχαία σε κάθε ζώνη ένα σημείο. Ας πούμε και ένα ή δύο παραδείγματα ακόμη σχετικά. Ή ας δούμε το φιλάδιο, μήπως έχουμε κανένα από το φιλάδιο το τεστ. Είπαμε ότι σε ένα κυβότιο έχουμε πέντε σφαίρες αριθμημένες. Επιλέγουμε τυχαία τρεις από αυτές και σημειώνουμε τη μέγιστη ένδειξη. Έχουμε το γεγονός α ότι η μέγιστη ένδειξη μπορεί να είναι το τρία. Ένα γεγονός άλλο, ότι το μέγιστο είναι το τέσσερα. Και ένα γεγονός άλλο, ότι το μέγιστο είναι το πέντε. Επιλέγουμε τρεις σφαίρες τυχαία από το κυβότιο, όπου παρατηρούμε τη μέγιστη ένδειξη. Τα γεγονότα που μπορούν να προκύψουν είναι το α, β, γ. Ένα γεγονός ότι η μέγιστη ένδειξη μπορεί να είναι το τρία. Το β το γεγονός ότι η μέγιστη ένδειξη είναι το τέσσερα και γ το γεγονός ότι η μέγιστη ένδειξη είναι το πέντε. Άλλα γεγονότα μπορούν να σχηματιστούν όταν παρατηρούμε τη μέγιστη ένδειξη. Το δύο δεν μπορεί να είναι, το ένα σε καμία περίπτωση, γιατί είναι τρεις σφαίρες που επιλέγουμε. Αν δεν υπάρχει ερώτηση, να απαριχμίσουμε ποια είναι εδώ πέρα όλα τα δυνατά στοιχεία του α, του β και τα λοιπά και να απολογίσουμε τις πιθανότητές τους. Καταρχήν, όλες τις δυνατές τριάδες είναι το ένα, δύο, τρία, το ένα, δύο, τέσσερα, το ένα, δύο, πέντε, το δύο, τρία, τέσσερα, το δύο, τέσσερα, πέντε, το τρία, τέσσερα, πέντε, έχουμε πόσες, τρεις και τρεις σε έξι, δύο, τρία, τέσσερα, δύο, τέσσερα, πέντε, τρία, τέσσερα, πέντε, ένα, δύο, τρία, ένα, δύο, τέσσερα, εδώ πρέπει να έχουμε παραπάνω, ένα, δύο, πέντε, ένα, τρία, πέντε και ένα, τέσσερα, πέντε. Αν και είπα ότι είμαι κάποιες ηλυχίες, αλλά τα βρήκα, πρέπει να είναι δέκα, ένα, δύο, τρία, τρία και τρία, έξι, οκτώ, πρέπει να έχουμε κι άλλα, ποιο, ένα, τρία, τέσσερα, ακόμα ένα, όχι, δεν αλλάζουμε σειρά μια στιγμή, δεν μας συνδιαφέρει η σειρά, μας συνδιαφέρει ποια είναι, εν πάση περιπτώσει είναι δέκα, είναι όλες οι συνδυασμίες τριάδες από τα πέντε, συνδυασμί πέντε πραγμάτων ανά τρία, είναι όλες οι συνδυασμίτες, δεν μας ενδιαφέρει η σειρά, άρα είναι δέκα είναι συνολικά όλα, πρέστα ποια είναι. Στη συνέχεια, το γεγονός έχει μόνο το ένα, δύο, τρία, το γεγονός β έχει το ένα, δύο, τέσσερα, το ένα, τρία, τέσσερα, το δύο, τρία, τέσσερα. Το γεγονός α έχει ένα στοιχείο, το β έχει τρία και το άλλο βέβαια έχει έξι, για να υπολογίσετε την πιθανότητα του α, πιθανότητα του β, πιθανότητα του γ. Κάνετε αυτό, είναι μία άσκηση από το τέστο που θα πάρετε, οπότε καταλαβαίνετε πώς θα το ολοκληρώσετε. Θα προχωρήσουμε παρακάτω, μία ράβδος σπάει τυχαία σε ένα σημείο. Ποια η πιθανότητα το πρώτο κομμάτι να είναι μεγαλύτερο από το δεύτερο. Αν τη χωρίσουμε στη μέση, ο δειγματικός χώρος μπορεί να σπάσει ράβδος το πρώτο ήμιση ή να σπάσει το δεύτερο ήμιση η ράβδος. Όλα τα δυνατά ανεχόμενα μπορώ να πω ότι είναι δύο, ότι η ράβδος θα σπάσει το πρώτο ήμιση ή να σπάσει το δεύτερο ήμιση η ράβδος. Όλα τα δυνατά ανεχόμενα μπορώ να πω ότι είναι δύο, ότι η ράβδος θα σπάσει το πρώτο ήμιση ή να σπάσει το δεύτερο ήμιση. Βέβαια κάποιοι μπορεί να τα αναλύσεις σε περισσότερα κομμάτια που μπορεί να σπάσει ή σε άπερα σημεία μπορεί να σπάσει. Αλλά δεν θέλω να πάρω αναλυτικά όλα τα αποτελέσματα του δειγματικού χώρου. Αυτό είναι επιλογή μου. Μπορεί λοιπόν να σπάσει στο πρώτο κομμάτι ή στο δεύτερο βέβαια ισοπίθενα εννοείται ότι μπορεί να σπάσει σε οποιοδήποτε σημείο. Το γεγονός το οποίο ζητά την πιθανότητα α αποτελείται ότι αυτή θα σπάσει εδώ έτσι ώστε το πρώτο κομμάτι να είναι μεγαλύτερο από το δεύτερο. Άρα εδώ έχει μόνο το α2. Συλλεπάγεται λοιπόν ότι η πιθανότητα του α ισοτε με ένα δεύτερο. Αφού όλες οι δευταίες περιπτώσεις είναι δύο, οι αυνοϊκές περιπτώσεις όπου συμβαίνει το γεγονός α είναι μία, άρα λοιπόν είναι ένα δεύτερο. Τώρα πια η πιθανότητα ένα από τα δύο να είναι μεγαλύτερο από το α4. Αν α είναι το μήκος της ράδου, ένα από τα δύο να είναι μεγαλύτερο από α4. Όχι και τα δύο να είναι μεγαλύτερα από α4. Ένα από τα δύο. Εδώ λίγο πρέπει να διαμορφώσω διαφορετικά τη ράδο, ότι μπορεί να σπάσει σε τέσσερα ίσια κομπάτια. Να σπάσει ή εδώ, ή εδώ, ή εδώ, ή εδώ. Πάρει περίπτωση να σπάσει εδώ, ή εδώ, ή εδώ, ή εδώ. Το s αποτελείται από το α1, α2, α3, α4. Το γεγονός α αποτελείται από ποιά κομμάτια, από το α1 και α4. Αν σπάσει εδώ, το δεύτερο είναι μεγαλύτερο από α4. Αν σπάσει εδώ, το πρώτο είναι μεγαλύτερο από α4. Δεν υπάρχουν αυτά τα δύο, γιατί αν σπάσει εδώ και το πρώτο είναι μεγαλύτερο από α4 και το δεύτερο. Άρα συνεχάει την πιθανότητα ίσουτε με δύο πέταρτα. Και τέλος θα το χωρίσετε διαφορετικά στο ερώτημα. Ένα από τα δύο να είναι τουλάχιστον τριπλάσιον του άλλου. Ένα από τα δύο να είναι τουλάχιστον τριπλάσιον του άλλου. Θα τη χωρίσετε στα ανάλογα κομμάτια πάλι, όπου μόνο το ένα θα είναι το γεγονός άλλο θα έχει εκείνα τα κομμάτια. Οπότε αν σπάσει εκεί μέσα, τότε ένα από τα δύο θα είναι τουλάχιστον τριπλάσιον του άλλου. Δεν θα σπάσει τα τέσσερα, σε ένα σημείο θα σπάσει. Απλώς εγώ χωρίζω την ράβδο σε τέσσερα ίσια κομμάτια. Και παίρνω σαν δειγματικό χώρο ότι η ράβδος θα σπάσει μέσα σε ένα από τα τέσσερα ίσια κομμάτια. Έτσι ώστε τα τέσσερα είναι δεχόμενα να σπάσει στο πρώτο. Το δεχόμενο α1, α2, α3, α4 είναι ισοπίθανα, γιατί είναι ισομικοί τα κομμάτια. Δεν είπα ότι η ράβδος θα σπάσει σε τέσσερα κομμάτια. Είπα ότι θα σπάσει και το σημείο κοπής, ας του είπα στις περιπτώσεις, θα βρίσκεται μέσα σε ένα από τα τέσσερα. Κάποιος μπορεί να πει ότι θα είναι ένα από τα άπειρα σημεία. Παράχρησα μου πίσω, άπειρα όμως. Δεν μπορώ να κάνω πράξεις εδώ. Δεν μπορώ να βάλω εδώ πέρα ένα προς άπειρο. Αν και το α θα έχει και αυτό άπειρα σημεία. Το γεγονός α εδώ έχει άπειρα σημεία. Και ο δειγματικός χώρος όλος έχει άπειρα σημεία. Πώς θα παρουσιάσω την κλασική μέτωδο, πώς θα κάνω πράξεις με το άπειρο. Για αυτό το δειγματικό χώρο μπορώ να τον εκφράσω πιο περιληπτικά. Όπως και όταν ο δειγματικός χώρος έχει επελληλογή κάποιων στοιχείων, κάποιων ανταλλακτικών από ένα κυβώτιο. Το δειγματικό χώρο μπορώ να πάρω τις 30 όπου δεν με ενδιαφέρει η σειρά και παίρνω combinations. Κάποιος μπορεί να πάρει και permutations. Δηλαδή να πει το δειγματικό χώρο θα τον αναλύσω και με τη σειρά που παίρνω τα ανταλλακτικά. Αλλά επειδή δεν με ενδιαφέρει η σειρά, με ενδιαφέρει ποια παίρνω, για αυτό τον δειγματικό χώρο θέλω να πω ότι μπορώ να τον αναλύσω όσο θέλω ή να τον εκφράσω περιληπτικότερα. Αρκεί να μην λείψουν κάποια ενδεχόμενα μέσα στο δειγματικό ή αρκεί να μην επαναλαμβάνω τα ίδια ενδεχόμενα. Αυτός είναι ο ορισμός και η χρήση του δειγματικού χώρου. Να βάλεις μέσα όλα τα δυνατά ενδεχόμενα και να μην επαναλαμβάνεις τα ίδια ενδεχόμενα κάπου, κατά λάθος, αλλά είναι επιλογή σου άνθρωπο να εκφράσεις περιληπτικότερα ή αναλυντικότερα. Και εσείς τώρα μια που δεν πήρατε πολύ δουλειά στο σπίτι, παρόμοια να βρείτε, αυτό είναι και στο τεστ, ότι σε έναν κύκλο ακτήρας R επιλέγω δύο σημεία τυχαία αλφα βήτα. Ποια επιθανότητα η χορδήποτα ενώνει να είναι μικρότερη της ακτήρας του κύκλου. Αυτό σαν άσκηση. Σε έναν κύκλο επιλέγω τυχαία δύο σημεία. Ποια επιθανότητα η χορδήποτα ενώνει να είναι μικρότερη της ακτήρας του κύκλου. Λύνεται παρόμοια και εδώ. Τα σημεία επιθυμίζω που θα επιλέξω το άρθα και βήτα έχουν άπειρες θέσεις πάνω στον κύκλο. Εγώ όμως τον κύκλο θα τον χωρίσω σε 360 κομματάκια, σε 360 μοίρες. Δεν θα εκφράσω το δειγματικό χώρο πολύ αναλυτικά, γιατί δεν θα μπορέσω να κάνω πράξη με το άπειρο. Και μετά που πρέπει, αν πάρω το άλθα σε μία θέση, σε πόσες μοίρες ενδεξιά η αριστερά πρέπει να πέσει το β για να είναι μικρότερο της ακτήρας η χορδή. Αφέρομαι τις ακτήρες, σχηματίζονται ισόπλευρα τρίγωνα με 60 μοίρες από εδώ και από εκεί. Άρα είναι 120 προς 360. Κάντε πιο αναλυτικά και τα λέμε την επόμενη Πέμπτη. |
