| Παραγώγιση συναρτήσεων μιας μεταβλητής, εισαγωγή στην κατασκευή διαφορικών εξισώσεων.: Υπόσχεσαι, κύριέ μου, να μιλήσω, να μιλήσω, να μιλήσω, να μιλήσω, να μιλήσω, να μιλήσω, να μιλήσω, να μιλήσω, να μιλήσω, να μιλήσω, να μιλήσω... Πολλές φορές εμείς συνεχίζουμε να λέμε το δικό μας τραγούδι, αλλά μπορεί να μην κάθεται καλά σε εσάς. Θέλω λοιπόν να ξεκινήσω από εσάς τώρα. Είπαμε δυο πράγματα για την πεπλεγμένη. Μπορείτε να μου πείτε μια πεπλεγμένη συνάντηση, ένα παράδειγμα, μια πεπλεγμένη συνάντηση. Μπορείτε να μου πείτε εσείς ένα παράδειγμα πεπλεγμένη συνάντηση. Μπορώ να προσπαθήσω. Για να προσπαθήσεις. Αυτό θέλω, αυτό θέλω. Για πες μου. Χ ή ίσον. Χ ή ίσον. Εφτά Ψι. Εφτά Ψι. Συν ημίτωνο Ψι τετράγωνο σημαίνει. Χ τετράγωνο σημαίνει. Ε, ναι, εντάξει. Χ τετράγωνο σημαίνει. Λοιπόν, ο συνάδελφός σας είπε, Χ ή ίσον, εφτά Ψι, ημίτωνο, Χ τετράγωνο σημαίνει ένα. Και είπε ότι αυτή είναι μια πεπλεγμένη συνάντηση. Συμφωνείτε μαζί του. Αν συμφωνείτε, πέστε μου. Αν διαφωνείτε, πέστε μου εσείς για ένα παράδειγμα μιας πεπλεγμένης συνάντησης. Αργύρι, πες και σε ένα παράδειγμα. Συμφώνω εγώ. Ηλάχιστον, ας πούμε, θα μπορούσε να είναι το Χ τετράγωνο, ας πούμε, προς τέσσερα, Συν Ψι τετράγωνο προς τρία, ίσον με ένα. Ωραία, που είναι Ψι τετράγωνο προς τρία, που είναι, τι σχήμα είναι αυτό, Αργύρι? Αυτό είναι μια έλλειψη. Που είναι μια έλλειψη. Να, λοιπόν, είναι μια πεπλεγμένη συνάντηση πάλι. Και αυτή είναι μια πεπλεγμένη συνάντηση. Τι ορίζει πεπλεγμένη συνάντηση, όπως το μικρό σου? Ο Ιορδάνης. Όπως την όρισε ο Ιορδάνης ή όπως την όρισε ο Αργύρις ή όπως την ορίζετε εσείς. Ορίζει μία από τις δύο μεταβλητές, αν τις γράψω και τις δύο, με μία γενικότερη σχέση, που έχει το Χ μόνο του και το Ψι, αλλά το Ψι τώρα είναι συνάντηση του Χ και είναι ίσον με μηδέν. Δηλαδή, αν θα πάτε όλα αυτά στο άλλο μέλλος, θα γίνει Χ τετράγωνον δια τέσσερα, που είπε ο Αργύρις, Ψι τετράγωνον δια τρία μίον ένα ίσο με το μηδέν. Άρα τι θα είναι αυτή, μία συνάντηση Χ κόμμα Ψι ίσο με το μηδέν. Αυτό είναι. Και αυτό που είπε ο Ιορδάνης είναι Χ μίον εφτά Ψι μίον ημίτων Χ τετράγωνον συν ένα ίσο με το μηδέν. Είναι δηλαδή στη γενική κατηγορία F παρένθεση Χ κόμμα Ψι του Χ παρένθεση ίσο με το μηδέν. Το βλέπετε, είναι αυτής τις κατηγορίες αυτές τις συνάντησεις. Και τι κάνουν αυτές τις συνάντησεις, ορίζουμε μία από τις δύο μεταβλητές, διαλέγουμε ποια θέλουμε να δούμε, αν ορίζεται πεπλεγμένα. Πεπλεγμένα είναι γιατί είναι πεπλεγμένης, δηλαδή μία είναι μέσα από την άλλη. Λοιπόν, άρα διαλέγουμε ποια από τις δύο, εμείς σας διαλέξουμε τώρα, μπορούσαμε να διαλέξουμε και την αντίθετη, την Ψι να είναι συνάντηση του Χ. Άρα λοιπόν, ρωτάμε αν ορίζεται μέσα από την συνάντηση από την Εξίωση Υπομούδας ο Ιορδάνης, που είναι Χ ίσον 7 Ψ Ι Σ Ι η Μήτωνο παρένθεση Χ τετράον συν ένα κλήνι παρένθεση, αν εδώ μέσα ορίζεται το Ψ μέσα από αυτήν. Και το ίδιο και με την έλλειψη που είπα ο Αργύρις. Άρα λοιπόν αυτό θέλουμε να ψάξουμε και αν θέλαμε τώρα να πάρουμε, να δούμε πώς μπορεί να γίνει, να δούμε πρώτα-πρώτα αν ορίζεται η παράγωγος Ψ του Χ. Θέλουμε να παραγωγήσουμε μία τέτοια συνάντηση πεπλεγμένη. Έτσι ορίζεται πεπλεγμένη, θέλω να την παραγωγήσουμε. Πέστε μου εσείς πώς θα παραγωγήσετε, ας αφήσουμε το κοινικό τύπο και ας πάρουμε τις δύο ειδικές περιπτώσεις που έχουν γράψει οι συνάδελφοί σας. Πώς θα τις παραγωγίζατε ως προς Χ. Η μία είναι, αν είναι απλή, έτσι ας σαν αυτές που έχουν δώσει τα συμπιδητές σας, να λύσουμε ως προς Ψ και να πάμε όλα τα Χ στο άλλο μέλος. Αυτές που έχουν δώσει, εύκολα μπορούν να μπουν σε αυτή την κατηγορία. Να πάμε δηλαδή το ΙΜΙΤΟΝΟ, το Χ, μίον ΙΜΙΤΟΝΟ ΧΤΕΤΕΤΡΑΓΟΝΟΝ ΣΕΝΑ, να το διαιρέσουμε με το 7 και φτάξαμε μία συνάντηση του Ψ του Χ. Και είναι μία συνάντηση Ψ του Χ όπως πάντα. Εάν όμως δεν ήταν τόσο απλή και είχε βάλει και εδώ ένα ΨΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ ΧΤΕΤΡΑΓΟΝΟ το τεψήντε χ, το τεψήντε χ είναι ίσον με ένα μίον συνειμήτωνο, πάω αυτό απ' το άλλο μέλλο, συνειμήτωνο του χ τετράγωνο συν ένα δύο χ, το πάω και το διαιρώμενο το εφτά. Εδώ δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα και κανένας περιορισμός, θα μπορούσε όμως σε μια πιο σύνθετη περίπτωση όπως αυτή, το τεψήντε χ εδώ μέσα να έχει μία παρένθεση με όρους, δηλαδή να είναι συντελεστής και εδώ μέσα να έχει μία συνάρτηση. Αυτή η συνάρτηση έπρεπε να εξασφαλίσω ότι δεν είναι διάφορη του μηδενός για το σημείο που θέλω να βάλω την πεπλεγμένη παραγώγηση. Και μόνο τότε θα μπορεί πεπλεγμένα μία συνάρτηση να γίνει η παράγωγος της σε ένα σημείο. Σε πρέπει σε αυτό το σημείο να μη διαιρώ για να βρω το τεψήντε χ, έτσι γιατί θα το βγάλω κοινό παράγοντα και θα μείνει κάτι, επί τεψήντε χ ήσον κάτι. Όταν με κοιτάω έτσι, παθαίνω κάτι, δεν ξέρω δηλαδή, λέω μόνος μου μιλάω, είναι εδώ, πρέπει να κάνετε έτσι λίγο τα κουνιές, να κάνετε λίγο, να βάλουμε και λίγο rock μουσικιά στο background, να σας δω ρωτήσω ζωντανή, πως έχετε πεθάνει ρε παιδί μου, λέω ότι σας πέθαναν οι πεπλεγμένες. Λοιπόν, δεν είναι όλα καλά τα αστεία, είναι και λίγο αμερικάνικα, αλλά δεν πηρώνετε και τίποτα, τζάμπα είναι εντάξει, δεν έχετε βγάλει συστηρίο. Λοιπόν, πάμε παρακάτω. Σε μια συνάντηση πιο πολυπλοκή, θα μπορεί να δοκιμάσετε να κάνετε αυτήν εδώ, τη χ ίσον 7 ψ του χ, A στην ψ του χ, ψ τετράγωνο χ, όλο αυτό το πράγμα, αν θέλετε κάντε το. Το τε ψ τε χ, όταν θα την αναπτύξουμε όλοι με τον ίδιο τρόπο που είπα ο Θομάς, θα έχει παρένθεση, μια συνάντηση εδώ μέσα, επί τε ψ τε χ, ίσον κάτι στο άλλο μέλος. Και πρέπει να διαιρέσουμε με το συντελεστή, τη συνάντηση που είναι συντελεστή στον τε ψ τε χ, για να βρούμε την παραγώγηση. Εάν όμως το σημείο μας έχουν ζητήσει, η συνάντηση που είναι μπροστά στον τε ψ τε χ, δηλαδή αυτό θα μετατραπεί, αν κάνουμε τις πράξεις, σε μια συνάντηση Φ ελληνικό του χ, τε ψ τε χ, ίσον στο άλλο μέλος θα έχει μια νέα συνάντηση Φ1 του χ. Άρα λοιπόν όλη μας η δουλειά θα καταλήγει σε κάτι τέτοιο, που μπορεί αυτό να είναι, εδώ στην περίπτωση αυτή, ήταν 7 μόνο. Αυτό δεν υπάρχει περίπτωση, πάντα υπάρχει πεπλεγμένη. Πάντα ορίζεται πεπλεγμένη από αυτή την απλή εξίσουση που μου έδωσε ο Ιορδάνης και την έκανε ο χωμάς. Σε αυτήν εδώ όμως που έχω Φ του χ, μια συνάντηση, επί τε ψ τε χ ίσον Φ1 του χ, έτσι είναι δηλαδή μετά την παραγώγηση εκεί κατέληξα, θα πρέπει το Φ του χ να είναι διάφορο του μηδενός στο σημείο που μου ζητάνε να απαντήσω αν ορίζεται πεπλεγμένα η συνάντηση. Εάν το Φ του χ στο χ0 που μου ζητάνε να πω την παραγώγηση είναι 0, θα απαντήσω ότι αυτή η συνάντηση αρχικά που μου δώσατε, η μεγάλη, αυτή μια από αυτές που μου δώσατε εσείς, είναι για άλλες. Στο σημείο 0-0, στο σημείο χ ίσον 0 ή στο σημείο χ ίσον 1 δεν ορίζεται πεπλεγμένα. Άρα η πεπλεγμένη συνάντηση είναι υποόρους, αν ορίζεται ή δεν ορίζεται, από τη σχέση που μου δίνεις. Μου δίνεις εσύ μια σχέση, η οποία μπορεί να ορίζει και μπορεί να μην ορίζει πεπλεγμένα μια συνάντηση. Που θα το αποφασίσω, θα πάνω να την παραγωγήσω έτσι όπως είπαμε και λύνοντάς τη, διαιρώντας με μια συνάντηση, πρέπει αυτή η συνάντηση στο σημείο που μου έχετε δώσει να μην μηδενίζεται. Γιατί αν η φύτου χ που είναι μπροστά στον τε ψυντεχή μηδενισθεί, δεν έχω πεπλεγμένη συνάντηση. Δεν ορίζεται πεπλεγμένη συνάντηση. Το μηδένισε το τε ψυντεχή, οπότε τι τε ψυντεχή να υπολογίσω. Λοιπόν, αυτή λοιπόν είναι η πεπλεγμένη συνάντηση. Και είπαμε πως γίνεται η παραγώγη σύπηση. Και αν θέλω να πάω στη δεύτερη παράγωγο, έτσι κάναμε την πρώτη, θα συνεχίσω άλλη μια φορά να πάρω όλα ως προς ψη και θα βγει η δεύτερη παράγωγος. Δηλαδή και τα δύο μέλη της σχέσης θα παραγωγήσω ως προς ψη. Λοιπόν, για να δούμε ένα πρόβλημα και να δούμε αν αυτό που λέμε τώρα έχει καμία αξία ή είναι ένα πράγμα το οποίο δεν μας χρησιμεύει ποτέ ή δεν είναι ενδιαφέρον. Σας το είχα πει, σας το είχα προναγγείλει και το έχετε λύσει νομίζω στο λίκιο. Αλλά δεν πειράζει, ας το κάνουμε τώρα με όλη τη μεγαλοπρέπεια. Το παράδειγμα λέει, σκάλα. Μια σκάλα λοιπόν, ακουμπάς τον τείχο. Νάτη, μια σκάλα, εδώ είναι ο τείχος, εδώ είναι το πάτωμα και εδώ είναι η σκάλα. Λοιπόν, μια σκάλα ακουμπάς τον τείχο και στο έδαφος, όπως αυτή εδώ που έχω ζωγραφίσει. Νάτη, ακουμπάει εδώ και ακουμπάει και εδώ και αυτή είναι η σκάλα. Έχει μήκος πέντε μέτρα. Και το σημείο, έχει το σημείο εδώ πέρα α και β. Ακουμπάει το α είναι στον τείχο και το β είναι στο δάπεδο. Και λέει το πρόβλημα, εάν το β, ολιστένει, δηλαδή αυτό που ακουμπάει στο δάπεδο, ολιστένει με ταχύτητα ένα μέτρο ανασεκόντ, δηλαδή γλιστράει η σκάλα προς τα δώ με ένα μέτρο ανασεκόντ, με αυτήν την ταχύτητα. Με πόση ταχύτητα θα ολιστένει το σημείο α, το σημείο α που είναι στον τείχο, με πόση ταχύτητα θα ολιστένει αυτό το σημείο, πότε όμως όταν το χ βρίσκεται στην απόσταση των δύο μέτρων από την αρχή των αξώνων. Νάτος, το χ είναι αυτό και το ψ μπορεί να ονομάσουμε αυτό. Λοιπόν, διαβάζω την άσκηση, έχουμε λοιπόν μια σκάλα η οποία ακουμπάει στον τείχο στο α, ακουμπάει στο δάπεδο στο β, έχει μήκος πέντε μέτρα και όταν βρίσκεται, κινείται το β με ένα μέτρο ανασεκόντ και μας ρωτάει με τι ταχύτητα κατεβαίνει, ολιστένει στον τείχο το α στη στιγμή που το β περνάει από τη θέση χ ίσον δύο μέτρα. Ποια λύστα είναι αυτή την άσκηση? Ποιο ένα είναι, όχι, όχι, είναι πολύ πιο κοντά, δηλαδή το σημείο είναι πολύ πιο κοντά στην αρχή, δεν το ρίζει αυτό, δηλαδή είναι πριν από τα δύο μέτρα, για να ολιστένει και να φτάσει σε μια συγκεκριμένη στιγμή, το ξεκίνημα είναι στο χ σε μικρότερα από τα δύο μέτρα απόσταση. Αυτό με ρώτησες ή όχι? Ναι, αυτό ρώτησα. Στην αρχή των αξώνων, δηλαδή, το χ είναι μικρότερο από τα δύο μέτρα, γιατί δεν μπορούσε να φτάσει στο δύο ολιστένοντας, καταλάβατε, άρα το χ, η αρχική θέση, το β δηλαδή, βρίσκεται μπροστά από τα δύο μέτρα πριν ξεκινήσει και στη πορεία σε κάποια στιγμή περνάει και από τα δύο μέτρα. Εκείνη τη στιγμή περνάει από τα δύο μέτρα με τη ταχύτητα κατεβαίνει η σκάλα. Δεν δίνεται εδώ το αρχικό. Θα μπορούσαμε να το δώσουμε, όμως, για να είμαστε απόλυτα ορισμένοι. Δηλαδή, στην αρχική στιγμή τάφησον με μηδέν, το χ ας πούμε να είναι ένα μέτρο, αλλά δεν θα παίξει ρόλο, το μόνο που παίζει είναι ότι συναντάει το σημείο δύο μέτρα στην πορεία της εξέλιξης και αυτό πρέπει να το πούμε. Η ταχύτητα στο χ είναι σταθερή? Η ταχύτητα στο χ είναι σταθερή, ναι. Λοιπόν, για να το λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Άρα, λοιπόν, ξεκινάμε με το πιθαγόριο που λέει το χ τετράγωνον συμψεί τετράγωνο ίσον με 25. Συμφωνούμε σε αυτό. Μέχρι εδώ φτάσαμε. Τώρα τι θα κάνουμε. Θα παραγωγήσουμε ως προσθέ και τα δύο μέλη, ό,τι όπως είναι, όπως έλεγε προηγουμένως ο Θωμάς. Θα έχουμε δύο χ συν δύο ψ δε ψ δύο χ δχ τε σύν δύο ψ δε ψ τε ίσον με το μηδέν. Συμφωνούμε? Τι δύο που είχατε προτείνει να το λύσετε το είχατε λύσει έτσι, δηλαδή είχατε ξεκινήσει, ο Αργύριος είχες ξεκινήσει αλλιώς. Είχα σκεφτεί αφού να ολοκληρώσουμε την αξίωση της ταχύτητας το χ, να βρούμε σχέση μεταξύ θέσης και χρόνους το χ, να βρούμε τη συνάρτηση σωστικά και μετά έχοντας αυτή τη συνάρτηση χρησιμοποιούμε το χ τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε τε μία σταθερατή σταθερά σερ δηλαδή όλες αυτοί αυτοί έχω το τε το τε χ τε τε που είναι το βε μη δεν που μου έχει δώσει είναι το βε μη δεν αυτό μπορώ να βρω το χ του τε θα είναι βε μη δεν επί τε συν σε αυτό το σε το σε μπορώ να το πρέπει διότι έχω μια τιμή διαστηματικά χ και τα σωστό και άρα μετά βρίσκω τη συνάρτηση χ χωρίς να έχω μέσα άγνωστα πράγματα σωστό και μετά τι θα κάνεις Εκφράζομαι χ, συναρτήση του ψ και του τ, με τη σχέση χ΄΄΄Τ4΄ΠΕΤ. Ναι. Και βάζεις, εντάξει, πας όμως, μάλλον κάνεις χ΄΄΄ΠΕΤ, πιο εύκολο γίνεται έτσι, σίγουρα, το βλέπετε. Αλλά εδώ πέρα είναι πάρα πολύ πιο εύκολο, διότι ούτε κάν την αρχική της συνθήκη χρειαζόμουνα, διότι αν λύσω, επαναλαμβάνω τι έκανα, πήρα το Πιθαγόριο θεώρημα σε μια τυχαία θέση, χ΄΄΄ΠΕΤ, ίσον 25, και εδώ βρήκα συνεχώς τη σύνδεση των δύο ταχυτήτων, το 2χ΄΄ΠΕΤ ίσον 2ψ΄΄ΠΕΤ, και αν θέλετε λύνω τώρα το 2ψ΄΄ΠΕΤ και μου βγάζει αριθμητής θα είναι το μίον 2χ΄΄ΠΕΤ και παρονομαστής θα είναι το 2ψ΄΄ΠΕΤ. Διώχνω τα χ και τα α. Οπότε έχω εδώ πέρα μία σχέση που λέει χ΄΄ΠΕΤ, δε ψήντε τε, οπότε αυτά δίνουν μίον λοιπόν χ΄΄ΠΕΤ, δε χ΄΄ΠΕΤ. Όλα γίνονται παιδιά, πάντως το είδατε πώς βγαίνει, όλα γίνονται, είναι μια απλή άσκηση, αλλά εγώ δεν ήθελα να αντιλήσουμε, έτσι όπως περιέγραφε ο Γρηγόρης, για να χρησιμοποιήσουμε αυτήν εδώ τη σχέση. Και το χ΄ΠΕΤ στη συγκεκριμένη τιμή μπορούσε να βρεθεί μέσα από αυτήν τη σχέση, να αντικαταστήσουμε κατευθείαν απάνω, ό,τι θέλετε κάνω. Δηλαδή βάζοντας το ψήν από εδώ πέρα, επειδή είναι θετικό το ψήν και το χ΄ΠΕΤ, μπορούμε εδώ πέρα να βγάλουμε τετραγωνική ρίζα του 25 μίον χ΄΄ΠΕΤ και ό,τι θέλετε μπορούν να κάνουν. Το χ΄ΠΕΤ τώρα το ξέρουμε είναι το 2, τον τε ψήντε τε το ξέρουμε είναι η ταχύτητα που σας έδωσα, βρήκαμε τον τε ψήντε τε. Το βλέπετε ή όχι, ναι ή όχι. Ωραία, είναι χαρά. Λοιπόν, τώρα, δεν πειράζει, δεν πειράζει. Εφόσον είναι συμβαϊκής αυτή η βεσκάλα, μπορούμε να πούμε ότι η οριζόντια ταχύτητα στο α είναι ίση με την οριζόντια ταχύτητα στο μήτρα. Όχι, δεν είναι. Οριζόντια ταχύτητα. Η οριζόντια ποια είναι η οριζόντια ταχύτητα, δεν κάνεται η οριζόντια ταχύτητα το α, αφού πέφτει μόνο κατά κόρυφα. Και αυτό είναι η δέσμευση που έχει. Το ένα δεσμεύει το άλλο. Δεσμός λέγεται αυτός. Τοτιδένονται αυτές οι δύο ταχύτητες. Αυτό έκανε και αυτή η παραγωγήση. Σύνδεσε τη μία με την άλλη. Μέσα από μια κοινή σχέση που είναι το παιθαγόριο θεόρημα. Οπότε αυτό το παιθαγόριο θεόρημα αποτελεί ένα δεσμό μεταξύ του χ και του ψ. Και αυτό μεταφέρθηκε και στις ταχύτητες. Δεν μπορέσαν ελεύθερα. Ναι, με την παράγωγο. Λοιπόν, κάτι άλλο. Θέλω να ξεκαθαρίσουμε ένα πράγμα το οποίο έχει μεγάλη σημασία και δεν ξέρω πιθανόντα να το καταλαβαίνετε, αλλά εάν σας δώσω μία σχέση που λέει ότι η δεύτερη παράγωγος του ψ δέχει τετράγωνο. Συν ψ ίσον με μίον δύο ημίτωνο χ. Αυτό που έγραψα στον πίναγκα. Το δεύτερη παράγωγος του ψ ως προς χ τετράγωνο. Συν ψ του χ. ίσον μίον δύο ημίτωνο χ. Αυτή εδώ η σχέση. Αυτή ξέρει κανένας πώς λέγεται στα μαθηματικά, αυτό που έγραψα στον πίναγκα. Αυτό λέγεται διαφορική εξίσουση. Έτσι αυτός είναι ο όρος της διαφορική εξίσουσης λέγεται. Και τι καθαμάθετε στο μάθημα των διαφορικών εξίσουσεων, θα μάθετε μία σχέση σαν αυτή, ξεκινώντας από αυτή να βρείτε ποια είναι η λύση της λένε. Τι σημαίνει ότι αν βάλω τη λύση σε αυτή την εξίσουση, την επαληθεύει. Βέβαια, αν κάποιος σου τη δώσει, όπως θα κάνω εγώ τώρα, θα σας πω ότι η λύση είναι το ψ ίσον χ συγνημίτωνο του χ, σας τη λέω εγώ τη λύση. Δεν με πιστεύετε, αν δεν με πιστεύετε, υπάρχει ένας τρόπος να αποδείξετε αν είμαι σωστός ή όχι. Να πάρετε το ψ ίσον χ, να το βάλετε πάνω, να κάνετε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο, να την αντικαταστήσετε και να βγείτε ότι αυτό βγαίνει. Η αντίστροφη δουλειά είναι, εμείς από τις φυσικές διαδικασίες, στείνουμε μία διαφορική εξίσωση. Αυτή που είναι στον πίνακα, ξέρετε ποια διαφορική εξίσωση είναι, αυτή που είναι στον πίνακα, ή να πάρω μία πιο απλή πριν από αυτήν. Η δεύτερη παράγωγος του ψ δχ τετράγωνο συν ψ, να βάλω και ένα κ τετράγωνο εδώ, χ ίσον με το μηδέν. Η άλλη γραφή της, να την γράψω πάλι την ίδια, δε ψ δεύτερη παράγωγο του ψ ως προς το χρόνο, συν ω τετράγωνο ψ ίσον με το μηδέν. Βάζει κάποιες εξισώσεις στον πίνακα, διαφορικές τώρα. Λοιπόν, καταρχήν η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης, αν σας δοθεί, μπορώ να την αντικαταστήσω στην διαφορική εξίσωση και να βρω αν την επαληθεύει ή όχι. Αλλά αυτό πρέπει κάποιος να μου τη δώσει. Εκείνο που θα μάθετε εσείς στο μάθημα στο τρίτο εξάμιο διαφορικές εξίσωσης, να παίρνετε μία διαφορική εξίσωση και να τη βγάζετε τη λύση. Αυτό είναι το μάθημα και είναι από τα πιο σημαντικά μαθήματα. Ένα πολύ σημαντικό μάθημα για τους μαθηματικούς, το να τους δώσει μια διαφορική εξίσωση και να βρουν τη λύση είναι χαρά από μόνη της. Σε εμάς δεν δημιουργεί ιδιαίτερη χαρά να λύσω μία άσχετη διαφορική εξίσωση. Εκείνη που θα μου δημιουργούσε άπειρη χαρά είναι να περιγράψω ένα φυσικό φαινόμενο σαν μία διαφορική εξίσωση και να βρω τη λύση της. Οπότε τότε ξέρω πώς συμπεριφέρεται η φύση. Γιατί η διαφορική εξίσωση περιγράφει την εξέλιξη ενός φυσικού φαινομένου και λύνοντας τη διαφορική εξίσωση. Τώρα θα μου πεις και εγώ πώς την έφτιαξα τη διαφορική εξίσωση, έλα δε αυτό είναι όλη, αυτή είναι όλη η δουλειά σας. Η δουλειά σας δεν είναι να τις λύνετε που πρέπει να τις λύνετε κιόλας, αλλά να τις φτιάχνετε. Και από πού θα τις φτιάξουμε, από την περιγραφή ενός φαινομένου. Από την περιγραφή ενός φαινομένου ο φυσικός δημιουργεί μία διαφορική εξίσωση. Και από αυτή τη διαφορική εξίσωση προσπαθεί να καταλάβει την απάντηση. Να σας πω μία διαφορική εξίσωση που μπορεί να δημιουργεί σε ένα πράγμα που ξέρετε από το Λύκειο. Φανταστείτε ότι έχετε ένα ελατήριο, ένα ελατήριο, να το, που είναι στον τείχο καρφωμένο, να το το ελατήριο. Έχει μια σταθερά κάπα του ελατήριο και εδώ είναι μια μάζα, η οποία είναι δεμένη στο ελατήριο. Αν τραδίξω αυτή τη μάζα, τι θα κάνει, τι κίνηση θα κάνει. Τι θα κάνει η κίνηση, άμα τραδίξω τη μάζα αυτή λίγο, 0.1 ΔΧ και την αφήσω. Τι κίνηση θα κάνει. Ταλάντωση. Ωραία. Έχει διαφορική εξίσωση αυτή η οποία έχει λύσει την ταλάντωση, την είδα κιόλας, έμαθα και τη λύση της. Η ίδια όμως, αυτό το φαινόμο μου σας είδα. Μπορώ να το περιγράψω εγώ με μία διαφορική εξίσωση. Ποια θα είναι. Ναι, σωστό, αλλά για πες μου εσύ, αν πάρτε το νόμο του Νεύτωνα. Ξεκινήστε από το νόμο του Νεύτωνα. Μάζα λέει ο νόμος του Νεύτωνα, επί επιτάχυνσης στον δύναμη. Σωστά. Ωραία. Η επιτάχυνση, να τη μάζα λοιπόν, να τη επιτάχυνση, είναι δεύτερη παράγωγο, εδώ έχουμε μόνο μία διάσταση το χ, τε τε τε τράγωνο, αυτή είναι επιτάχυνση ως προς χ, δεν είναι. Μάζα επιτάχυνση, ίσον δύναμη. Ποια δύναμη έλκει το ελατήριο, πώς είναι η δύναμη που έλκει το ελατήριο τη μάζα. Πώς, πώς, πώς. Μιον ΚΧ. Έφτιαξα μια διαφορική εξίση. Έφτιαξα μια διαφορική εξίση. Μάζα επί επιτάχυνση, είναι η δεύτερη παράγωγος του προσδοχή, ίσον μιον ΚΧ. Πηγαίνετε τα και τα δύο μέλη, και τις δύο από τα δύο μέλη, ίσον θα έρθει το μιον από εδώ, θα γίνει συν ΚΗ σταθερά του ελατειρίου διαρρημένη με τη μάζα, επί Χ, ίσον με το μηδέν. Ωραία, τι περιγράφει αυτή η εξίσουση, που την είδατε, πειραματικά είδατε τι κάνει. Τι είπατε ότι κάνει? Ταλάντωση. Πώς γράφω, πώς θα είναι το Χ, αν θέλω να γράψω στο Χ μία ταλάντωση, ποια θα είναι. Χ ίσον, πώς θα είναι μία ταλάντωση. Μια σταθερά α, και θα βάλετε είτε συν ημήτωνο ή ημήτωνο, εδώ πέρα επειδή είναι στο χρόνο όλα αυτά, θα τα βάλετε με ένα ΩΜΕΓΑΤΑΦ. Αυτό τι είναι τώρα που το βλέπατε εσείς, τραβήξατε το ελατήριο και το είδατε να κάνει μία ταλάντωση, είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης. Ποιας διαφορικής εξίσωσης, μάζα, επί πιτάχυνσης, ισον δύναμη. Να τα βάλουμε και τα δυο μαζί. Αν εγώ ψάξω λοιπόν σε αυτή τη διαφορική εξίσωση για λύσεις, αυτό το ΩΜΕΓΑ στο ελατήριο αυτό, θυμάστε πόσο ήταν από το λίκιο απ' έξω. Μάλιστα. Αυτό το θυμάστε όμως. Από εδώ φαίνεται, άρα δηλαδή η εξίσωση που λέει δεύτερη παράγωγος του χίος προς το χρόνο, συν κάτι ΩΜΕΓΑΤΕΤΡΑΓΟΝΟ επί χί ίσον με μηδέν, είναι η διαφορική εξίσωση της αρμονικής ταλάντωσης. Και έχει λύσει την αρμονική ταλάντωση. Το ψ ίσον ΆΛΦΑ ή ΜΙΤΑΝΟ. Καταλάβατε γιατί όλα αυτά. Άρα εγώ όταν καταλήξω σε μία εξίσωση που είναι έτσι, θα προσπαθήσω να καταλάβω, δηλαδή θα προσπαθήσω να αισθήσω την εξίσωση και να προσπαθήσω να καταλάβω τη λύση της. Μην κοιτάξετε τώρα που έχουμε κάνει το πείραμα και το πείραμα με τις δυνάμεις μας έβγαλε τον αρμονικό ταλαντοτή. Δηλαδή οποτεδήποτε στη φυσική επειδή ο αρμονικός ταλαντοτής μας είναι καθημερινότητα, ο αρμονικός ταλαντοτής σαν διαφορική, εξίσου είναι να τον σκέφτεστε, η δεύτερη παράγω του ψίος προς το χρόνο ή του χίος προς το χρόνο ανάλογα που γίνεται η ταλάντωση, ΣΙΚΩΜΕΓΑΤΕΤΡΑΓΟΝΟ, ΕΠΙΨΤΗ ίΣΩΝ ΜΙΤΟ ΜΙΝΕΝ. Και το ΩΜΕΓΑ αυτό που είναι η συχνότητα ταλάντωσης, την ξέρατε από το ΛΙΚΙΩ, εδώ βγαίνει. Πώς θα βγάλω εγώ από αυτήν τη διαφορική που τη στήσαμε μαζί, θα βγάλω τη συχνότητα ταλάντωσης της ΜΑΖΑΣ που τη κρατάει αυτό το ΚΔΜ που μου είπατε, πώς θα το βγάλω. Θα θεωρήσω ότι η λύση είναι ΧΙΣΩΝΑΛΦΑΧΩΙΣΙΝΙΜΙΤΟΝ ΩΜΕΓΑΤΑΦ, θα τα βάλω όλα εδώ, έτσι και θα ψάξω να λύσω για το ΩΜΕΓΑ που είναι η συντελεστή ταλάντωσης και θα το βγάλω αυτό, δηλαδή το ΚΔΜ θα μου βγει από αυτήν τη διαφορική, πώς, θα πάρω τη δεύτερη παράογο του ΧΙ που είναι η λύση, θα την αντικαταστήσω εδώ, θα διώξω τα Χ, θα διώξω τα Α και θα μου μείνει ΩΜΕΓΑΤΕΤΡΑΓΟΝΟΝ ίσον ΚΔΜ. ΜΙΩΝ ΩΜΕΓΑΤΕΤΕΤΡΑΓΟΝ ΣΙΝ ΚΔΜ ίσον ΜΙΤΟΜΙΔΕΝ. Θα πάω στο ΚΚ, θα διώξω τα ΜΙΩΝ, θα βγάλω τη τετραγωνική ρίζα, να το το αποτέλεσμα. Άρα δεν χρειάζεται να θυμάμαι το ΚΔΜ, αρκεί να θυμάμαι ότι αυτή είναι η αρμονική ταλάντωση και η διαφορική αξίωση της αρμονικής ταλάντωσης είναι αυτή και τη στείνω μέσα από την εκκλήσωση του Νεύτωνα. Εντάξει, μέχρι εδώ. Ωραία. Τώρα, εάν στο πρόβλημά μας μπαίνουν δύο στοιχεία, κοιτάξτε τώρα πώς στείνουμε διαφορικές αξιώσεις. Είναι πολύ όμορφο αυτό, αρκεί να μάθετε να το κάνετε. Να το κάνετε κι εσείς, όχι το κάνω εγώ και να σας το δείχνω και να πείτε τι καλώς. Δεν με ενδιαφέρει να μου πείτε τι καλώς. Δεν με ενδιαφέρει εσείς να μπορείτε να κάνετε αυτή τη δουλειά. Δύο πληροφορίες αν μπούν σε αυτόν τον αρμονικό ταλαντοτή. Η μία είναι ότι έχει τριβή. Πώς θα βάλω την τριβή εδώ πέρα και θα δείξω ότι η αρμονική ταλάντωση πέφτει. Πώς θα βάλω την τριβή εδώ πέρα. Ερώτημα. Δεν θέλω να το απαντήσω. Δεν θέλω να το κάνω εγώ τη δουλειά για εσάς. Θα μου πεις, δικό σου ερώτημα είναι. Εμείς δεν είχαμε αυτήν την απορία, όπως σας είχα και εγώ προηγουμένως. Οπότε εντάξει, μην το κάνετε. Αφού ήταν δικό μου ερώτημα, μην το κάνετε. Όταν θα βρεθείτε λοιπόν στη φθύνουσα ταλάντωση, θα καταλάβετε ότι η φθύνουσα έρχεται από κάτι, οπότε πρέπει να βάλετε αυτήν την τριβή. Θα δείτε δηλαδή στο μάθημα του μηχανικής, πώς μπαίνει η τριβή απάνω στην ταλάντωση. Το άλλο είναι αν η δύναμη, δεν ήταν όπως η δύναμη που, ας πω και μια έξτρα δύναμη, εκτός από τη δύναμη που ασκεί το ελατήριο, ας πω και μια άλλη ακόμα έξτρα δύναμη, η οποία πιθανότατα θα πρέπει να μπει σαν δεύτερο μέλος, εκτός από το μίον ΚΧ που την κάνει το ελατήριο, μπορούσε να μπει και μια άλλη δύναμη περιοδική που μπορεί να τραβάει αυτή τη μάζα και αν βάλουμε και μια δεύτερη περιοδική, μπορεί να υπάξουν συντονισμοί και ένα σωρό ωραία πράγματα. Άρα δηλαδή, στείλουμε μέσα από μια πολύ στοιχειώδη διαφορική εξίσωση που ξέρουμε τι κάνει, στείλουμε την υπόλοιπη φύση. Δεν είναι ενδιαφέρον αυτό που σας λέω, αν και δεν το βλέπετε, αλλά δεν πειράζει, τώρα θα το δείτε σιγά σιγά. Λοιπόν, και θέλω να ολοκληρώσω κάτι, αφού τα είπαμε αυτά όλα. Στο ίδιο μότο, υπάρχει και άλλος ένας ταλαντοτής, στο ίδιο μοτίβο, που κι αυτόν ξέρετε απ' έξω τη συγχεινότητα, αλλά δεν ξέρετε πώς βγαίνει. Ποιος είναι αυτός ο ταλαντοτής? Να λοιπόν η οροφή του σπιτιού, κρεμάσατε ένα σκηνάκι που δεν έχει και βάλατε μια μάζα στο τέλος του σκηνιού. Κατακόρυφο το σκηνί. Ωραία, η οροφή, ένα σκηνάκι, μια μάζα στο τέλος, κρεμασμένη και τα λοιπά. Την απομακρύνετε κατά μία μικρή γωνία, το σκηνάκι δεν αλλάζει, είναι το ίδιο. Και την πάτε έξω από την κατακόρυφο, τη βγάζετε δηλαδή κατά μία γωνία θ, την απομακρύνετε από την κατακόρυφο. Ωραία, με το νόμο του Νεύτωνα, αν στήσουμε σε αυτήν, ό,τι κάναμε δηλαδή με το ελατήριο. Αν πάμε να το κάνουμε εδώ, καταρχήν ξέρετε τι κίνηση θα κάνει αυτό. Πάλι, θέλω τώρα να τη φτιάξουμε όμως να δούμε γιατί εδώ εύκολα μας έδωσε την εξίσθηση της ταλάντοσης, την οποία σας είπα ποιά είναι, είναι η δεύτερη παράγωση του χ, συνωμέγα τετράγωνο, χ ίσο με το μηδένα. Αυτός είναι ο ορμονικός ταλαντοτής. Τώρα που βλέπετε αυτή την εξίσθηση λες, α, ναι, ο ορμονικός ταλαντοτής, με συχνά τα Ω. Εντάξει, λοιπόν, τώρα, εδώ πέστε μου γιατί κάνει ταλάντοση αυτό το πράγμα. Δηλαδή, ποιες δυνάμεις θα σκούνται, αναλύστε τις δυνάμεις στο εκραιμές. Καταρχήν η δύναμη η μόνη που ασκείται πάνω στο εκραιμές είναι η βαρύτητα, έτσι δεν είναι, μπράβο. Λοιπόν, έχουμε δύο δυνάμεις που έχετε μάθει να αναλύετε στο εκραιμές, φέρνουμε αυτό το κύκλο που είναι, γιατί έχει σταθερό, το σχοινί έχει σταθερό μήκος, και αναλύουμε τη δύναμη της βαρύτητας σε δύο, σε μία εφαπτόμενη προς την περιφέρεια αυτού του κύκλου, πάνω στον οποίο είναι υποχρωμένο λόγω του σχοινιού που είναι σταθερό, αναλύουμε τη βαρύτητα που είναι βάση, η βάρος ΜΑΖΑ επί G, ΜΑΖΑ είναι αυτό το σφαιρίδιο, επί G, η σταθερά της βαρύτητας, θα αναλύουμε αυτή σε δύο συγκινιστώσεις. Και γράφουμε το νόμο του Νεύτωνα, πάλι ΜΑΖΑ επί, εδώ θα είναι το μήκος, αυτό είναι το μήκος απάνω σε ένα τόξο τώρα, έτσι, άρα θα το βάλω S, δεύτερη παράγωση επιτάχυνση, δηλαδή θα γίνεται, κοίταξτε αυτή είναι ίση και αντίθετη, δεν πρόκειται να σπάσει το σχοινί, οπότε η παράλληλος προς το σχοινί δεν μας ενδιαφέρει. Εκείνη που θα αναγκάσει το εκκρεμές να κάνει και η αρμονική ταλάνταση είναι η προβολή της βαρύτητας απάνω στην εφαπτωμένη, στην τροχιά του, έτσι δεν είναι, συμφωνείτε, παιδιά, σας παρακαλώ λίγο ένταση τώρα, μη βάλω να χειροκροτάτε κιόλας, δηλαδή να πάρω μυρωδιά μπορώ να βάλω σε ένα λαμπάκι και να τα ανάβω, αν θέλω να βάλω χειροκρότη, όπως κάνει ο Λαζόπουλος στην εκκομπή του. Πάμε παρακάτω. Λοιπόν, άρα η δύναμη ΜΑΖΑ επί επιτάχυνσης είναι δύναμη λέμε. Ποια είναι η δύναμη επαναφοράς εδώ, η δύναμη επαναφοράς ήταν μειών ΚΑΧ στο ελαττήριο. Εδώ ποια είναι η δύναμη επαναφοράς? Το ΜΑΖΑ επί G, αλλά είναι η προβολή του απάνω σε αυτό εδώ, το στην έχω αναλύσει, είναι αυτή η προβολή του όμως, πόσο είναι αυτή. Φανταστείτε ότι αυτό είναι θ, όχι θ, ακριβώς θ, ή είναι το ημύτωνο του θ. Α, ωραία. Και το S, επειδή είναι το τόξο ενός κύκλου, με βάση και το μήκος αυτού εδώ πέρα του πράγματος που είναι L, πόσο είναι το S αυτό το τόξο εδώ πέρα, πόσο είναι το S σε ένα τόξο που ξέρω την ακτίνα και ξέρω και τη γωνία θ. L επί θ. Παραγωγίζω λοιπόν το S εδώ πέρα που είναι η ακτίνα που κινείται εδώ πέρα, την παραγωγίζω δύο φορές, το L είναι σταθερό, θ δύο φορές. Ωραία, πάμε μια χαρά. Μάζα επί L, επί θ δεύτερη παραώ, ίσον, Μάζα επί G, επί ημύτωνο θ. Τη Μάζα θα τη διώξω και μας έμεινε αυτό. Αυτό όμως λέει L, θ δεύτερη παραώ, ίσον, G, ημύτωνο θ. Δεν είναι όμως όπως σας είπα εγώ η γνωστή εξίστο αρμονική ταλαντοτή, κάτι λείπει γιατί το ημύτωνο θ δεν είναι ακριβώς αυτό που θέλω, η εξίστο αρμονική ταλαντοτή θα έπρεπε να είναι θ δεύτερη παράγωγος, σύνομα 1 τετράγωνο, επί θ ίσο με το μηδέν. Μπορώ από αυτή την εξίσοση... Αυτή είναι η εξίστο αρμονική ταλαντοτή. Γενικά, συμπαράμετρο θ αυτή τη στιγμή, γιατί αυτή παρακολουθώ να τα κάνει ταλάντος, το θ κάνει ταλάντος. Και αυτό θέλω να μου πείτε, εδώ είναι το σημείο το ωραίο, γιατί προηγουμένου, ας πούμε στο πρώτο μάθημα όταν μιλούσα για προσεγγίσεις, ήσασταν πολύ διστακτικοί να τις δεχτείτε. Λοιπόν λ επί δεύτερη παράγωγος του θ, μέχρι εδώ έχουμε πάει καλά, ίσον G επί ημύτωνο θ. Δεν μοιάζει όμως με την πάνω. Το ημύτωνο θ στην πρώτη του προσέγγιση πόσο είναι, η γραμμική προσέγγιση του ημύτωνο θ πόσο είναι, πόσο είναι η γραμμική προσέγγιση του θ. Θυμάστε όταν είπαμε να αναπτύξουμε μια συνάντηση, όταν θέλουμε να αναπτύξουμε μια συνάντηση γραμμική προσέγγιση, που είχατε πει εσείς ότι είναι ψ-ψ0, ίσον παράγωγος του ψ ως πλος χ, χ-χ0. Και αν το χ0 ψ0 είναι ας πούμε το μηδέν, έτσι, γιατί το θ έχει κινείται γύρω από το μηδέν. Άρα λοιπόν, σε αυτή την περίπτωση, το ημύτωνο θ μπορείτε να το αναπτύξετε, να το προσεγγίζετε στην αρχή των αξώνων, στο θ ίσο μηδέν, με τι θα είναι ίσον. Ποια είναι η γραμμική προσέγγιση του ημύτωνο θ. Δηλαδή με αυτήν εδώ τη σχέση που είχαμε πει ότι αυτή είναι η γραμμική προσέγγιση, πόσο είναι η ημύτωνο θ στην αρχή των αξώνων, πώς θα προσεγγιστεί. Θ. Θα το βρείτε μόνοι σας στο σπίτι. Το ημύτωνο θ, η γραμμική του προσέγγιση στην αρχή των αξώνων, στη γειτονιά του θ ίσο μηδέν, είναι θ. Γράψτε το και αποδείξτε το στο σπίτι, γιατί η ώρα τελείωσε και υπάρχει ένα σεμινάριο μετά. Ναι, αργήρι κάτσε να τελειώσω. Λοιπόν, προσέξτε εδώ τι θα κάνω. Δεχτείτε ή αποδείξτε μόνοι σας ότι το ημύτωνο θ έχει γραμμική προσέγγιση το θ. Πρέπει να το αποδείξετε εσείς. Πολύ κοντά στην αρχή των αξώνων, το ημύτωνο θ είναι ίσο με το θ. Έτσι, και θα το κάνετε με τη γραμμική προσέγγιση της συνάντησης ζ θ, ημύτωνο θ. Θα βγει L, δεύτεροι παράγωγο του θ ίσον G, μειών G, γιατί έχει ένα μειών εδώ, το μειών το ξεχάσαμε, μειών G θ. Προσέξτε, πάω στο αδεύτερο μέλος και βγάζω θ από δεύτεροι παράγωγο, συν G διά λάμδα, το μήκος, επί θ. Και αν αυτό είναι το ω τετράγωνο, βρήκα κάτι που το ξέρω από το λύγιο, ότι στο εκκρεμές τετραγωνική ρίζα του G διά L είναι η συχνότητα καλάντωσης των εκκρεμούς. Το μειών είναι γιατί είναι η δύναμη όπως ήταν εδώ πέρα και στο νόμο του λατηρίου, τραβάει αντίθετα, δηλαδή είναι ελκτική η δύναμη, τραβάει προς την αρχή. Αυτές είναι θετικές και αυτές είναι αρνητικές, ο άξονος είναι αυτός εδώ. Οπότε είναι προς τα αρνητικά, γιατί αν δεν τραβούσε, δεν ήταν ελκτική δηλαδή αυτή η δύναμη στην αρχή, δεν το πήγαινε δηλαδή προς την αρχή, δεν υπήρχε περίπτωση έναν χορμονική ταλάντωση. Λοιπόν, το συζητάμε, δυστυχώς θα σας στείλω και το email επειδή θα υπάρχει άλλο ένα συνέδριο εντός της Ελλάδος, στην Ξάνθη αυτή τη στιγμή, τη Δευτέρα θα το χρωστάω το μάθημα. Θα πάμε κατευθείαν Παρασκευή και τη Δευτέρα δεν θα κάνουμε εμείς μάθημα. Έτσι, θα το επαναλάβουμε το μάθημα μέσα στο εξάμινο, αλλά δεν πρόκειται να χάσουμε άλλο, εκτός και είναι γιορτές και τα λοιπά, άλλο πράγμα. Αλλά αυτό το μάθημα της Δευτέρας δεν θα γίνει. |
