Συνάρτηση Χρησιμότητας-Συγκριτική Στατική Ανάλυση-2 / 16η διάλεξη
16η διάλεξη: Λοιπόν, ας συνεχίσουμε λίγο την ανάλυση, μια και έχετε προχωρήσει και με τον κύριο Κυρίτσι πια. Λοιπόν, έχουμε πει ότι ξεκινώντας με μια συνάρτηση χρησιμότητας, υπό τον περιορισμό ότι η δαπάνη για την αγορά των αγαθών δεν θα πρέπει να ξεπερνά το εισόδημα ή στην περίπτωση μας πρέπει να ε...
| Κύριος δημιουργός: | |
|---|---|
| Γλώσσα: | el |
| Φορέας: | Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης |
| Είδος: | Ανοικτά μαθήματα |
| Συλλογή: | Οικονομικών Επιστημών / Μικροοικονομική Ι |
| Ημερομηνία έκδοσης: |
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
2013
|
| Θέματα: | |
| Άδεια Χρήσης: | Αναφορά |
| Διαθέσιμο Online: | https://delos.it.auth.gr/opendelos/videolecture/show?rid=6af8da23 |
| id |
70bedffa-1298-4a7b-9937-43ac69a616e3 |
|---|---|
| title |
Συνάρτηση Χρησιμότητας-Συγκριτική Στατική Ανάλυση-2 / 16η διάλεξη |
| spellingShingle |
Συνάρτηση Χρησιμότητας-Συγκριτική Στατική Ανάλυση-2 / 16η διάλεξη Οικονομικά και Διοίκηση Επιχειρήσεων Βαρσακέλης Νικόλαος |
| publisher |
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ |
| url |
https://delos.it.auth.gr/opendelos/videolecture/show?rid=6af8da23 |
| publishDate |
2013 |
| language |
el |
| thumbnail |
http://oava-admin-api.datascouting.com/static/bd58/7600/9703/ffbe/5235/03e5/b525/492f/bd5876009703ffbe523503e5b525492f.jpg |
| topic |
Οικονομικά και Διοίκηση Επιχειρήσεων |
| topic_facet |
Οικονομικά και Διοίκηση Επιχειρήσεων |
| author |
Βαρσακέλης Νικόλαος |
| author_facet |
Βαρσακέλης Νικόλαος |
| hierarchy_parent_title |
Μικροοικονομική Ι |
| hierarchy_top_title |
Οικονομικών Επιστημών |
| rights_txt |
License Type:(CC) v.4.0 |
| rightsExpression_str |
Αναφορά |
| organizationType_txt |
Πανεπιστήμια |
| hasOrganisationLogo_txt |
http://delos.it.auth.gr/opendelos/resources/logos/auth.png |
| author_role |
Αναπληρωτής Καθηγητής |
| author2_role |
Αναπληρωτής Καθηγητής |
| relatedlink_txt |
https://delos.it.auth.gr/ |
| durationNormalPlayTime_txt |
01:14:55 |
| genre |
Ανοικτά μαθήματα |
| genre_facet |
Ανοικτά μαθήματα |
| institution |
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης |
| asr_txt |
Λοιπόν, ας συνεχίσουμε λίγο την ανάλυση, μια και έχετε προχωρήσει και με τον κύριο Κυρίτσι πια. Λοιπόν, έχουμε πει ότι ξεκινώντας με μια συνάρτηση χρησιμότητας, υπό τον περιορισμό ότι η δαπάνη για την αγορά των αγαθών δεν θα πρέπει να ξεπερνά το εισόδημα ή στην περίπτωση μας πρέπει να είναι ίση με το εισόδημα. Τελικά καταλήξαμε στην αριστοποίηση μιας συνάρτησης Lagrange και από την συνάρτηση Lagrange τελικά από την αριστοποίηση της διαδικασίας φτάνουμε στις συνθήκες πρώτης τάξης. Αυτό είναι η μερική παράγωγος προς το χ1, έτσι όπως έχετε κάνει. Τώρα με την επίλυση αυτών βρίσκουμε πόσο είναι το χ1, το χ2, οι συναρτήσεις δηλαδή, ζήτησης. Αυτό το οποίο δεν εξετάσαμε την προηγούμενη φορά που είχαμε προχωρήσει είναι ότι δεν εξετάσαμε εάν ισχύουν οι συνθήκες δεύτερης τάξης. Δηλαδή για να έχουμε μέγιστο θα πρέπει να ισχύουν οι συνθήκες δεύτερης τάξης. Άρα αυτό το οποίο θα πρέπει να πάρουμε, θα πρέπει να πάρουμε την αισιανή ορίζουσα. Έτσι και να δούμε αν αυτή η αισιανή ορίζουσα είναι μεγαλύτερη, μικρότερη ή ίση με το μηδέν. Η αισιανή ορίζουσα είναι οι δεύτερες παράγωγοι προς τις μεταβλητές τις οποίες έχουμε. Άρα η αισιανή ορίζουσα σας θυμίζω μόνο αυτό το οποίο κάνατε με τον κ. Κυρίτσι. Είναι θλ θx1 τετράγωνο, θl θx1 θx2, θl θx1 θl λ. Είναι θλ θx2 x1, θx2 τετράγωνο, θx2 xl και τέλος θλ θλ λ θx1, θλ θλ λ θx2 και θλ θλ λ. Και όπως ξέρουμε αυτή εδώ για να έχουμε μέγιστο θα πρέπει αυτή να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν. Άρα τι κάνουμε, παίρνουμε τις δεύτερες μαρικές παραγώγους της πρώτης εξίσωσης, είναι η πρώτη σειρά της αισιανής, παίρνουμε τις δεύτερες παραγώγους της δεύτερης εξίσωσης, είναι η δεύτερη σειρά της αισιανής, και τις δεύτερες παραγώγους, μερικές παραγώγους, που είναι η τρίτη σειρά της αισιανής. Εάν έτσι έχουν τα πράγματα, τότε αντικαθιστούμε αυτά τα οποία έχουμε με το παράδειγμά μας. Κάνουμε το παράδειγμα τώρα με τις δύο μεταβλητές, αλλά όπως έχουμε πει ότι λέμε για τις δύο μεταβλητές ισχύει για τη ν. Συνεπώς, η αισιανή ορίζουσα είναι η μερική παράγωγος της πρώτης εξίσωσης, ως προς το χ1. Άρα θα είναι uχ1 χ1. Δεν υπάρχει πουθενά αλλού χ1, μόνο αυτό το χ1 βρίσκεται μόνο εδώ στη μερική παράγωγο, δεν υπάρχει πουθενά αλλού. Άρα η δεύτερη μερική παράγωγος είναι uχ1 χ1. Πάμε τώρα η μερική παράγωγος της πρώτης εξίσωσης ως προς το χ2. Εδώ είναι 0, άρα είναι uχ1 χ2. Και η μερική παράγωγος ως προς το λ είναι π1. Πάμε τώρα στη δεύτερη εξίσωση. Η μερική παράγωγος ως προς το χ1 είναι uχ2 χ1. Η μερική παράγωγος ως προς το χ2 είναι uχ2 χ2. Και η μερική παράγωγος ως προς το λ είναι π2. Και τέλος, στην τρίτη εξίσωση η μερική παράγωγος ως προς το χ1 της τρίτης εξίσωσης είναι μίον π1, μόνο εδώ. Η μερική παράγωγος ως προς το χ2 είναι μίον π2. Και επειδή το λ δεν υπάρχει καθόλου, η μερική παράγωγος της τρίτης εξίσωσης ως προς το λ είναι 0. Άρα, η αισιανή ορίζουσα έτσι όπως την έχουμε στις συναρτήσεις χρησιμότητας, στην ουσία είναι οι δεύτερες παράγωγοι και οι τιμές. Δηλαδή, αν θέλετε να έχετε έναν έλεγχο, όταν θα κάνετε ασκήσεις, αν αυτό το οποίο κάνατε βρήκατε ως αισιανή ορίζουσα είναι σωστή ή όχι, ο έλεγχος είναι ότι εδώ, στο πάνω κομμάτι θα πρέπει να βρίσκονται οι μερικές παράγωγοι ως προς τις μεταβλητές και κάθετα και οριζόντια στο τέλος θα πρέπει να κλείνουμε με τις τιμές. Λοιπόν, η αισιανή ορίζουσα, όπως έχετε κάνει στα μαθηματικά, έχει τόσες τέτοιες διαστάσεις, όσες είναι ο αριθμός των εξισώσεων και ο αριθμός των μεταβλητών. Άρα, στο πρόβλημα το οποίο έχουμε είναι τρεις μεταβλητές x1, x2 λάμδα και τρεις εξισώσεις. Άρα η αισιανή ορίζουσα του προβλήματος μας θα έχει διαστάσεις 3x3. Εάν είχαμε, για παράδειγμα, x1, x2, x3, τότε οι διαστάσεις της αισιανής ορίζουσας θα ήταν τρεις οι μεταβλητές που έχουμε στη συνάρτηση χρησιμότας, συν το λάμδα 4, άρα οι διαστάσεις θα ήταν 4x4. Τώρα, το που μπαίνουν οι μερικές παράγωγοι, στην ουσία δεν έχει σημασία. Απλώς, εδώ τώρα, για λόγους απλότητας και παρουσίασης, συνήθως βάζουμε τις μεταβλητές στη σειρά. Δηλαδή, x1, x2, x3 και κάθετα είναι οι εξισώσεις. Δηλαδή, η πρώτη σειρά αντιστοιχεί στην πρώτη εξίσωση, η δεύτερη σειρά αντιστοιχεί στη δεύτερη εξίσωση, η τρίτη σειρά αντιστοιχεί στην τρίτη εξίσωση. Άρα, εδώ θα είναι, για να κάνουμε έτσι, μεταβλητές-εξισώσεις. Μεταβλητές 1, 2, 3, εξισώσεις 1, 2, 3. Άρα, εδώ τι βάζουμε, βάζουμε τη μερική παράγωγο της πρώτης εξίσωσης ως προς την πρώτη μεταβλητή. Εδώ τι βάζουμε, τη μερική παράγωγο της πρώτης εξίσωσης ως προς τη δεύτερη μεταβλητή. Και ούτω καθεξής. Δηλαδή, ο τρόπος είναι αρκετά απλός. Απλώς θέλει κάποιος να... Δύο πράγματα. Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο. Ναι, όχι. Όπως σας είπα, όπως και να τα βάλουμε, δεν επηρεάζει. Απλώς, στα οικονομικά βιβλία, έχουμε συνηθίσει να βάζουμε το μηδέν από την κάτω. Οι μαθηματικοί έχουν συνηθίσει να το βάζουν από πάνω, εμείς από κάτω. Αλλά δεν παίζει κανένα ρόλο. Γιατί θέλουμε να έχουμε μέγιστο. Επειδή, τι ζητάμε, μεγιστοποίηση αυτής της συνάρτησης. Άρα, στο συγκεκριμένο πρόβλημα, έτσι της συνάρτησης κρισιμότητας. Πρώτα έχει δύο και μετά έχει ένα. Δεν το κατάλαβα. Και κάτω, στο τελευταία γραμμή, τελευταία στήλη, το τράγωνο παραναστεί να παίξει. Ποιο το? Ναι, συγγνώμη. Εντάξει, άρα, είμαστε ok. Για να δούμε λοιπόν εδώ, εάν η συνθήκη της αισιανής, ότι για να έχουμε μέγιστο θα πρέπει αυτή να είναι θετική, ισχύει στην περίπτωση της αριστοποίησης της συμπεριφοράς του καταναλωτή με τους περιορισμούς. Λοιπόν, να την γράψουμε εδώ. Λοιπόν, για να πάρουμε την ορίζουσα, έχουμε διάφορους τρόπους, επειδή είναι απλή η ορίζουσα τώρα. Και θέλω να φανεί λίγο καλύτερα. Να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη μεθοδολογία, γιατί θέλω να φανούν καλύτερα τα γινόμενα. Τα γινόμενα προς τα δεξιά, συν τα γινόμενα προς τα δεξιά, μίον τα γινόμενα προς τα αριστερά. Άρα έχουμε αυτό το γινόμενο, συν αυτό το γινόμενο, συν αυτό το γινόμενο. Άρα αυτό είναι μηδέν. Συνεπώς έχουμε μίον επί μίον, συν. Άρα έχουμε ux1x2 επί π1π2, συν μίον επί μίον, συν. Άρα πάλι ux1x2π1π2, μίον αυτά τα γινόμενα. Αυτό είναι μηδέν, μίον επί μίον, συν και το μίον της πράξης μίον. Άρα ux1x1π2, επίσης μίον επί μίον, συν και το μίον της πράξης μίον. π1 τετράγωνο, να είμαστε με τον ίδιο τρόπο, ux2x2π1 τετράγωνο. Και αυτό είναι ίσο με 2ux1x2π1π2, μίον ux1x1π2 τετράγωνο, μίον x2x2π1 τετράγωνο. Αυτό γιατί το ux1x2 είναι ίσο με το ux2x1. Επειδή ισχύει αυτή η σχέση μπορούμε να προχωρήσουμε μετά στα υπόλοιπα. Για να δούμε λοιπόν τι πρόσημο έχει αυτή η παράσταση. Πρώτα πρώτα τα π1π2, επειδή είναι του φυσικού κόσμου, σε εισαγωγικά του φυσικού κόσμου, δεν μπορούν να έχουν αρνητικές τιμές. Άρα το π1π2 είναι θετικό. Ξέρουμε από τις υποθέσεις μας ότι η δεύτερη παράγωγος, ξέρουμε ότι θuθxi είναι μικρότερη από το 0. Φθύνουσα οριακή χρησιμότητα. Άρα αυτό είναι αρνητικό. Όπως επίσης και αυτό είναι αρνητικό. Άρα τι έχουμε. Ένα αρνητικό γινόμενο. Αρνητικό επιθετικό μας κάνει αρνητικό. Και το μείον της πράξης μπροστά. Άρα όλο αυτό το κομμάτι από εδώ και πέρα είναι θετικό. Για δείτε αυτό είναι αρνητικό. Επιθετικό όλο το γινόμενο είναι αρνητικό. Και το μείον της πράξης από μπροστά. Άρα από το μείον και πέρα γίνεται θετικό. Το ίδιο και εδώ. Άρα όλη αυτή εδώ η παράσταση από το μείον και πέρα είναι θετική. Γνωρίζουμε επίσης ότι αυτό είναι θετικό. Το ux1x2. Από τις υποθέσεις μας. Κατά συνέπεια όλος αυτός ο όρος θετικός. Κατά συνέπεια όλη αυτή η παράσταση είναι θετική. Είναι από τις υποθέσεις τις οποίες έχουμε. Δηλαδή η συναρτήση χρησιμότητας τις οποίες έχουμε λένε το εξής. Ότι η οριακή χρησιμότητα ενός αγαθού αυξάνει όταν αυξάνει η ποσότητα του άλλου. Κερδίζω δηλαδή μεγαλύτερη χρησιμότητα από το άλλο. Άρα αυτό είναι πάντα θετικό. Άρα όλη η παρένθεσή μας είναι θετική. Τώρα εάν αντικαταστήσουμε όπου π1 π2 τα ίσα τους από τις συνθήκες ισορροπίας. Οδό προκύπτει ότι το π1 είναι ίσο με ux1 προς λαμδα και το π2 είναι ίσο με ux2 προς λαμδα. Αν αντικαταστήσουμε λοιπόν σε αυτή τη σχέση όπου π1 π2, δηλαδή να βγάλουμε απ' έξω να μην έχουμε καθόλου π1 π2 και να πάμε μόνο με τις χρησιμότητες. Αν αντικαταστήσουμε όπου π1 π2 τα ίσα τους, τότε θα έχουμε δύο ux1 x2, ux1 προς λαμδα επί ux2 προς λαμδα μειον, ux1 x1 π2 ux2 στο τετράγωνο προς λαμδα τετράγωνο μειον, ux2 x2, ux1 τετράγωνο προς λαμδα τετράγωνο και αν βγάλουμε το λαμδα τετράγωνο απ' έξω Επίσης προκύπτει το λαμδα τετράγωνο είναι θετικό, άρα θέλουμε να δούμε αυτή η παρένθεση τι πρόσημο έχει. Το ux1 είναι αρνητικό, το ux2 είναι αρνητικό, αυτό αρνητικό, θετικό, αρνητικό, θετικό και κατά συνέπεια Ο πρώτος όρος είναι θετικός, ο δεύτερος όρος μαζί με το πρόσημο της πράξης είναι θετικός, ο τρίτος όρος μαζί με το πρόσημο της πράξης είναι επίσης θετικός Συνεπώς όλη η παρένθεση είναι θετική Με άλλα λόγια αυτό το οποίο βγάζουμε είναι ότι η συνάρτηση Lagrange και κατά συνέπεια η συνάρτηση χρησιμότητας βρίσκεται στο μέγιστο όταν ισχύει το άριστο σημείο Δηλαδή όταν ισχύουν οι συνθήκες ισορροπίας η συνάρτηση Lagrange και κατά συνέπεια η συνάρτηση χρησιμότητας βρίσκονται στο άριστο Αυτό το οποίο δείχνουμε εδώ πέρα είναι ότι όταν η συνάρτηση Lagrange και κατά συνέπεια η συνάρτηση χρησιμότητας βρίσκονται στην κατάσταση ισορροπίας δηλαδή μηδενίζονται οι συνθήκες πρώτης τάξης τότε αυτή η συνάρτηση σε εκείνο το σημείο έχει μέγιστο Η Lagrange και κατά συνέπεια και η χρησιμότητα, η συνάρτηση χρησιμότητας δηλαδή εκεί όπου έχει Lagrange μέγιστο έχει και η συνάρτηση χρησιμότητας μέγιστο, περιορισμένο όμως το μέγιστο της συνάρτησης χρησιμότητας Άρα με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να ελέγχουμε και στις ασκήσεις που θα υπάρχουν στο τελικό διαγώνισμα θα ελέγχουμε κατά πόσο αυτό το οποίο έχουμε βρει είναι μέγιστο ή δεν είναι μέγιστο Τώρα πάμε να εξετάσουμε αυτό το οποίο ονομάζουμε να κάνουμε μάλλον αυτή την ανάλυση την οποία ονομάζουμε συγκριτική στατική ανάλυση Εδώ υπάρχει κάποια ερώτηση Τίποτα έτσι Τώρα ξεκάθαρα Ναι Ποιο Δεν παίζει ρόλο αυτό το τέτοιο Λοιπόν και πάμε τώρα να εξετάσουμε Ίσως το πιο ενδιαφέρον κομμάτι για τους οικονομολόγους που είναι η συγκριτική στατική ανάλυση Η όλη οικονομική δραστηριότητα που έχουμε ως άνθρωποι Συνήθως έχει δύο βασικά ερωτήματα Συνήθως προσπαθεί μάλλον η ανάλυση της οικονομικής δραστηριότητας Συνήθως προσπαθεί να απαντήσει δύο ερωτήματα Αυτά είναι τα οικονομικά ερωτήματα Πρώτον, εάν ένας καταναλωτής μπορεί να βρει μια άριστη ποσότητα μέσα από μια διαδικασία αριστοποίησης Άρα να βρούμε το άριστο Δηλαδή πόσο θα κατανάλλωνε ο καταναλωτής από το ένα αγαθό και από το άλλο Αυτό είναι το ένα βασικό ερώτημα Και το δεύτερο βασικό ερώτημα που έχουμε στα οικονομικά είναι Τι θα συμβεί στην ισορροπία στην απόφαση του καταναλωτή Εάν κάποιος από τους εξωγενείς παράγοντες που μπαίνουν μέσα στο πρόβλημα μεταβληθεί Επαναλαμβάνω Το πρώτο ερώτημα, δύο είναι τα ερωτήματα των οικονομολόγων Δεν υπάρχουν τίποτα άλλο Για όλα τα οικονομικά θέματα είναι δύο τα ερωτήματα Ποιο είναι το σημείο αριστοποίησης Δηλαδή ποιο είναι το χ αστεράκι το άριστο να το γενικεύσω τώρα Ποιο είναι το χ άριστο για οποιοδήποτε οικονομικό πρόβλημα υπάρχει Ένα και δεύτερον τι θα συμβεί στο χ άριστο Εάν κάποιος από τους εξωγενείς παράγοντες που μπαίνουν μέσα στο πρόβλημα μεταβληθεί Λόγω Δ εξωγενών παραγόντων Όχι οποιοδήποτε εξωγενών παραγόντων Να το ξεκαθαρίζουμε αυτό Είναι εξωγενείς παράγοντες που εισέρχονται μέσα στην ανάλυση του προβλήματος Εδώ θέλει πολύ μεγάλη προσοχή Εξωγενείς παράγοντες υπάρχουν άπειροι σε εισαγωγικά άπειροι Ακόμα και το ότι θα γίνει μια ηλιακή έκρηξη και θα προκληθεί μια μαγνητική ανισορροπία Αυτό αποτελεί ένα εξωγενεί παράγοντα στα οικονομικά Εξωγενεί παράγοντα στην κοινωνία μας διότι ενδεχομένως να επηρεάσει τις τηλεπικοινωνίες Και για κάποιο χρονικό διάστημα ενός λεπτού, δύο λεπτών, μιας ώρας, τριών ωρών Τα συστήματα τηλεπικοινωνιών μπορεί να πέσουν και να έχουμε οικονομικές επιπτώσεις Όμως στα οικονομικά υποδείγματα, στην οικονομική ανάλυση Δεν μπορούμε να έχουμε εξωγενείς παράγοντες οι οποίοι είναι απρόβλεπτοι Με την έννοια ότι δεν υπάρχει μια κατανομή πιθανοτήτων από την οποία να κάνουμε πρόβλεψη Άρα όταν μιλάμε για εξωγενείς παράγοντες στα οικονομικά Αναφερόμαστε σε παράγοντες οι οποίοι είναι εκτός της λύσης του προβλήματος Δηλαδή θεωρούνται ως δεδομένοι για τη λύση του προβλήματος Και δεν επηρεάζονται από τη λύση του προβλήματος Στο συγκεκριμένο παράδειγμα το οποίο έχουμε, που είναι η θεωρία του καταναλωτή Οι εξωγενείς παράγοντες είναι το εισόδημα και οι τιμές Το εισόδημα και οι τιμές καθορίζονται κάπου έξω από τον καταναλωτή Εξωγενώς και δεν επηρεάζονται από το πόσο θα αγοράσει Δεν επηρεάζονται από τη λύση του προβλήματος Είτε λίγο, είτε γραφικά, είτε με την συνάρτηση χρησιμότητας Καταλήξαμε σε 1x1 και 1x2 που ήταν συνάρτηση του M και του P Το M και του P όμως δεν είναι συνάρτηση των ποσοτήτων που έχεις καταναλώσει Δηλαδή το πόσο εισόδημα θα έχεις δεν εξαρτάται από το πόσο θα καταναλώσεις Κατανοητό? Άρα όταν λέμε εξωγενής παράγοντας στα οικονομικά Εννοούμε εκείνους τους παράγοντες των οποίων οι τιμές Τιμές σε εισαγωγικά, η αξία, το μέγεθος δεν επηρεάζονται από τη λύση του προβλήματος Άρα η λύση του προβλήματος στη θεωρία του καταναλωτή είναι να βρούμε πόσο είναι το x1' και το x2' Το ότι βρήκαμε το x1' και το x2' δεν επηρέασε την τιμή Δεν επηρέασε το εισόδημα Αντίθετα υπήρχε επηρεασμός του εισοδήματος πάνω στις μεταβλητές αυτές Άρα έχουμε δύο ειδών μεταβλητές στα οικονομικά προβλήματα Είναι οι ενδογενείς μεταβλητές και οι εξογενείς Οι ενδογενείς μεταβλητές είναι αυτές των οποίων οι τιμές προσδιορίζονται από την επίλυση του υποδείγματος Στο συγκεκριμένο παράδειγμα μας που κάνουμε είναι το x1 και το x2 Δηλαδή πόσοι θα είναι η ζητούμενη ποσότητα για το αγαθό 1 και το αγαθό 2 Αυτές είναι οι ενδογενείς μεταβλητές, δηλαδή για να βρούμε τις τιμές τους πρέπει να λύσουμε το πρόβλημα Οι εξογενείς μεταβλητές, οι τιμές τους έρχονται εκτός λύσης Δηλαδή δεν χρειάζεται να λύσουμε το πρόβλημα για να πάρουμε τις τιμές τους Όπως είναι το εισόδημα και όπως είναι οι τιμές των προϊόντων Από αυτές τις εξογενείς μεταβλητές ορισμένες μεταβλητές θεωρούνται τιμές πολιτικής Άρα εδώ θα ξεχωρίζαμε στις πραγματικές εξογενείς Οι οποίες είναι μεταβλητές πολιτικής, δηλαδή μεταβλητές τις οποίες μπορούμε να τις επηρεάσουμε ως πολιτικοί Και όταν λέω πολιτικοί δεν εννοώ μόνο την κεντρική πολιτική, δηλαδή την κυβέρνηση, αλλά εννοώ την επιχείρηση Δηλαδή πολιτικές της επιχείρησης Για παράδειγμα οι τιμές Οι τιμές καθορίζονται από τις επιχειρήσεις, σε εισαγωγικά καθορίζονται, θέτονται από τις επιχειρήσεις Άρα ανάλογα με τις τιμές τις οποίες θα θέσουμε λύνεται το πρόβλημα της συμπεριφοράς του καταναλωτή Θα δούμε λίγο αργότερα για τις πολιτικές των τιμών Άρα αυτό το οποίο μας ενδιαφέρει εμάς ως οικονομολόγους είναι ποιες είναι αυτές οι μεταβλητές πολιτικής Και πώς επηρεάζουν τις αποφάσεις του προβλήματος Στο συγκεκριμένο πρόβλημα πώς επηρεάζουν οι μεταβλητές πολιτικής τις αποφάσεις του καταναλωτή Και αυτό το οποίο σας είχα πει από το πρώτο πρώτο μάθημα είναι ότι τα οικονομικά δεν έχουν καμία αξία Η μόνη αξία την οποία έχουν τα οικονομικά είναι να μπορούμε να κάνουμε προβλέψεις Και να κάνουμε προτάσεις πολιτικής με βάση της προβλέψεις τίποτε άλλο Τίποτε άλλο είναι άχρηστα Προβλέψεις και προτάσεις πολιτικής με βάση της προβλέψεις Όλα τα υπόλοιπα είναι άλλων επιστυμών Τα οικονομικά τους οικονομολόγους γι' αυτό μας χρειάζεται μια κοινωνία Είτε να κάνουμε προβλέψεις για επίπεδο επιχείρησης Πώς θα εξελιχθούν οι πωλήσεις, τι πρέπει να κάνουμε για να αυξηθούν οι πωλήσεις Αυτό θα γίνει μέσα από μια διαδικασία προβλέψων Ήτε σε επίπεδο χώρας να κάνουμε προβλέψεις και να κάνουμε προτάσεις πολιτικής με βάση αυτές τις προβλέψεις Άρα για τους οικονομολόγους, για τα οικονομικά, οι γενικότητες δεν έχουν νόημα Είναι περισσότερο για τους φιλοσόφους και για τους πολιτικούς επιστήμονες Για τους οικονομολόγους νόημα έχουν μόνο τα υποδείγματα τα οποία μπορούν να σου δώσουν προβλέψεις Του τι έχει μέσα το υπόδειγμα αυτό είναι μια άλλη υπόθεση Αρκεί να μπορεί να σου κάνει καλές προβλέψεις Συνεπώς εάν έτσι έχουν τα πράγματα εμείς οφείλουμε να φτιάχνουμε υποδείγματα Τα οποία είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα δηλαδή δίνουν καλύτερες προβλέψεις Και κατά συνέπεια μπορούν να κάνουν και καλύτερες προτάσεις πολιτικής Έχουμε λοιπόν το διπλό πρόβλημα Το πρόβλημα είναι να βρούμε ποιο είναι το άριστο Και το άριστο για τις ενδογενείς μεταβλητές βγαίνει συναρτήσει των εξογενών μεταβλητών Αυτό είναι το πρώτο Και το δεύτερο πρόβλημα το οποίο έχουμε να λύσουμε Εδώ έχετε πια η πρόταση πολιτικής Τι θα συμβεί εάν κάποια από τις εξογενείς μεταβλητές μεταβληθεί Για παράδειγμα Ας πούμε ότι βρισκόμαστε σε μια κατάσταση α Που είναι μια κατάσταση ισορροπίας Αριστοποιείται μια συμπεριφορά Είτε είναι του καταναλωτή, είτε είναι του παραγωγού, είτε είναι της οικονομίας ολόκληρης Είτε είναι της παγκόσμιας οικονομίας κλπ κλπ Όποια μπορεί να είναι αυτή η κατάσταση Και σε αυτή την κατάσταση αλλάζει κάποια από τις εξογενείς μεταβλητές Επειδή οι τιμές των εξογενών μεταβλητών εισέρχονται μέσα στη λύση Δηλαδή η λύση περιέχει μέσα τις τιμές των εξογενών μεταβλητών Άρα η μεταβολή της θα αλλάξει τη λύση Άρα θα πρέπει να πάμε κάπου αλλού Θα πάμε σε μια νέα κατάσταση ισορροπίας β Τα ερωτήματα τα οποία προκύπτουν εδώ είναι τα εξής Πρώτον θα πάμε σε ένα β Δηλαδή υπάρχει μια νέα κατάσταση ισορροπίας Δεύτερον αυτή η νέα κατάσταση ισορροπίας σε σχέση με την προηγούμενη είναι καλύτερη, χειρότερη ή ίδιο επίπεδο Δηλαδή στην περίπτωση του καταναλωτή η ζητούμενη ποσότητα του αγαθού ένα θα αυξηθεί, θα μειωθεί ή θα παραμείνει η ίδια Άρα το πρώτο ερώτημα είναι αν υπάρχει ένα β Καινούριο Το δεύτερο ερώτημα είναι εάν αυτό το β σε σχέση με το α είναι καλύτερο, χειρότερο ή ίσο Και το τρίτο είναι ποια διαδρομή θα ακολουθήσει η οικονομία για να πάει στο β Θα πάει ευθύγραμμα, θα πάει έτσι, ποιο μονοπάτι θα ακολουθήσει, πρέπει να βρούμε τον δρόμο που θα ακολουθήσει Για να δούμε λίγο αυτό το πράγμα ας κάνουμε ένα μικρό παράδειγμα Ας πούμε ότι έχουμε μία λεκανίτσα με νερό, την ακουμπάμε κάτω ή σε ένα τραπέζι Και αυτή η λεκανίτσα με το νερό έχει μία στάθμη σε αυτό το ύψος Έρχεται μία πέτρα, πετάμε μία πέτρα, είμαστε το εξωτερικός παρατηρητής, πετάμε μία πέτρα Μέσα στη λεκάνη και αρχίζουν και δημιουργούνται κύματα, η πορεία Κυματάκια μέσα στη λεκάνη και σταδιακά τα κυματάκια αρχίζουν και περιορίζονται και στο τέλος Η στάθμη του νερού ανεβαίνει τόσο όσο είναι ο όγκος της πέτρας που έχουμε πετάξει εκεί μέσα Άρα ήμασταν σε μία θέση α, προκλήθηκε μία εξωγενής μεταβολή και πήγαμε σε μία θέση β, μία καινούργια ισορροπία Η οποία είναι υψηλότερη από την προηγούμενη και η διαδρομή που κάναμε ήταν αυτά τα κύματα και ο χρόνος που κάναμε για να ισορροπίσουμε Πολύ ωραία. Στο ίδιο παράδειγμα τώρα, αντί να βάλουμε τη λεκάνη πάνω στο τραπέζι, ας την τοποθετήσουμε πάνω σε ένα ελατήριο Έχουμε ένα ελατήριο και πάνω βάζουμε τη λεκάνη. Τώρα πώς αλλάζουν τα πράγματα Πετάμε την πέτρα μέσα και αρχίζουν και δημιουργούνται κύματα. Καθώς δημιουργούνται κύματα αρχίζει να ταλαντώνεται και το ελατήριο Και καθώς αρχίζει να ταλαντώνεται το ελατήριο τα κύματα αρχίζουν και μεγαλώνουν και καθώς μεγαλώνουν τα κύματα η ταλάντωση γίνεται μεγαλύτερη και στο τέλος και τα νερά πέφτουν και γίνεται χαμός Άρα τι έχουμε λοιπόν εδώ πέρα. Έχουμε ένα σύστημα το πρώτο που είναι πάνω σε ένα σταθερό τραπέζι που είναι ευσταθές Δηλαδή το σύστημα φεύγει από την ισορροπία προκαλούνται τα κύματα αλλά επανέρχεται σε μια νέα κατάσταση ισορροπίας και εδώ έχουμε ένα σύστημα το οποίο είναι ασταθές Δηλαδή από τη στιγμή που θα βγει από την ισορροπία πλέον εκκρίνεται. Άρα εάν έχουμε μία οικονομία, τώρα πάμε στα οικονομικά. Αν έχουμε μία οικονομία η οποία λειτουργεί με αυτόν τον τρόπο δηλαδή έχει μέσα της την αστάθεια και προκαλέσεις μία μεταβολή τότε αυτή η οικονομία καταραίει δηλαδή εκκρίγνεται Εδώ βέβαια μπορούμε να πούμε το εξής σε αυτού του τύπου τα υποδείγματα. Μέχρι ποιο σημείο, ποιο μέγεθος πέτρας πρέπει να πετάξουμε μέσα έτσι ώστε η ταλάντωση να μην είναι τόσο μεγάλη Υπάρχει μία ταλάντωση αλλά η ταλάντωση να είναι τόσο μεγάλη ώστε κάποια στιγμή το σύστημα να επανέλθει σε ισορροπία. Άρα ακόμα και στα ας το πούμε έτσι υποδείγματα τα οποία περιέχουν μέσα την δυνατότητα της αστάθειας Μπορούμε να παρέμβουμε με πολιτική αρκεί όμως να ξέρουμε τα όρια μέσα στα οποία θα παρέμβουμε. Αν ξεπεράσουμε αυτά τα όρια τότε η κατάσταση γίνεται εκκρυκτική Συνεπώς στα οικονομικά τι κάνουμε. Ποιες αναλύσεις κάνουμε. Πρώτη ανάλυση την οποία κάνουμε είναι να βρούμε την ισορροπία. Η δεύτερη ανάλυση την οποία κάνουμε είναι να προκαλέσουμε μεταβολές. Γιατί μας ενδιαφέρει η πολιτική. Αλλά κάνοντας την ανάλυση της πρόκλησης των μεταβολών πρέπει να κάνουμε την ανάλυση της ευστάθειας. Δηλαδή να μελετήσουμε κατά πόσο το σύστημα, το μοντέλο το οποίο έχουμε κάνει είναι ευσταθές ή ασταθές. Και η τρίτη ανάλυση την οποία κάνουμε είναι να δούμε εάν η καινούρια κατάσταση, εάν το σύστημα είναι ευσταθές, η καινούρια κατάσταση είναι καλύτερη, χειρότερη ή ίση από την προηγούμενη. Εμείς εδώ τώρα επειδή αναφερόμαστε μόνο σε μία χρονική περίοδο, η οποία χρονική περίοδος μπορεί να είναι άπειρη, μπορεί να είναι πολύ μικρή, αλλά δεν μας ενδιαφέρει, δεν έχουμε βάλει μέσα το χρόνο, άρα το θέμα της δυναμικής δεν παίζει. Το θέμα της δυναμικής παίζει από τη στιγμή που μέσα στο υπόδειγμά σου βάλεις μέσα το χρόνο. Άρα εμείς εκ των ασφαλούς αυτή τη στιγμή μπορούμε να πούμε, σε αυτό το επίπεδο που βρισκόμαστε στο πρώτο έτος, ότι το σύστημα είναι του καταναλωτή ευσταθές, δεν έχουμε δηλαδή πρόβλημα αστάθειας και συνεπώς μπορούμε να προχωρήσουμε στο δεύτερο κομμάτι της ανάλυσης, που είναι η συγκριτική στατική ανάλυση. Συγκριτική στατική ανάλυση. Δηλαδή συγκρίνουμε δύο στατικές καταστάσεις. Συγκρίνουμε τη στατική κατάσταση Α πριν από τη μεταβολή με τη στατική κατάσταση Β μετά τη μεταβολή. Υποθέτοντας ότι το υπόδειγμα μας της θεωρίας του καταναλωτή, έτσι όπως είναι τώρα, είναι ευσταθές. Δηλαδή το λεκανάκι μας είναι πάνω σε ένα σταθερό τραπέζι και όχι πάνω σε ένα ελατήριο που σημαίνει ότι θα πρέπει να λάβουμε υπόψη μας και άλλα πράγματα αν είναι πάνω στο ελατήριο. Άρα το ερώτημά μας είναι τη συγκριτική στατική. Δηλαδή, αν κατανοούμε πολύ δεν αλλάζει. Όχι. Στην περίπτωσή μας, στο παράδειγμά μας, οι τιμές και το εισόδημα για τον κατανοτή είναι εξωγενός δεδομένες. Δηλαδή, αν πάμε στη λαϊκή, παρεκτός κι αν είναι ο Βαρδίνο Γιάννης για παράδειγμα και κατέβει με 100 εκατομμύρια ευρώ και λέει θα αγοράσω όλη τη λαϊκή. Έτσι, αλλά για έναν μέσο, γιατί γι' αυτό μιλάμε τώρα έτσι, τη συμπεριφορά του ακόμα και του πλούσιου ανθρώπου, τη συμπεριφορά του ως απλού καταναλωτή. Έτσι, δεν θα πάει, ας πούμε, ο πλούσιος άνθρωπος να αγοράσει 2,5 τόνους παντζάρια από την αγορά. Έτσι, θα αγοράσει. Άρα, αν αγόραζε 2,5 τόνους θα μπορούσε να την επηράσει. Αλλά ακόμα και ο πλούσιος άνθρωπος θα αγοράσει τόσα παντζάρια όσα του χρειάζονται. Το τόσα παντζάρια όσα του χρειάζονται είναι μικρό ποσό σε σχέση, μικρή ποσότητα σε σχέση με το μέγεθος της αγοράς και κατά συνέπεια δεν μπορεί να την επηρεάσει. Στην κατάσταση ισορροπίας ισχύουν οι συνθήκες πρώτης τάξης. Στην κατάσταση ισορροπίας ισχύουν οι συνθήκες πρώτης τάξης. Άρα, εδώ βρίσκουμε πώς είναι το χ1, χ2 και το λ. Και αυτό το οποίο μας ενδιαφέρει είναι τι θα συμβεί εάν κάποιος από τους εξωγενείς παράγοντες όπως είναι το M, το π1 και το π2 μεταβληθεί και πώς θα επηρεάσει τις ενδογενές μεταβλητές που είναι το χ1, το χ2 και το λ. Η συγκριτική στατική ανάλυση σημαίνει εφόσον θα μεταβληθούν αυτές οι εξωγενείς μεταβλητές θα προκαλέσουν μια μεταβολή στις άλλες και επειδή οι μεταβολές αυτές είναι μικρές άρα στην ουσία μιλάμε για παραγώγους. Τι κάνουμε λοιπόν για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, παίρνουμε το ολικό διαφορικό των τριών εξισώσεων. Άρα πρώτα ολικό διαφορικό του συστήματος των τριών εξισώσεων. Τώρα πια αφήνουμε όλες τις μεταβλητές να μεταβληθούν. Άρα στην πρώτη εξίσουση θα έχουμε ux1x1-x1 συν ux1x2-x2 μειον πιένα επί τε λάμδα μειον λάμδα δε πιένα. M δεν υπάρχει στην πρώτη εξίσωση και αυτό εδώ είναι ίσο με μηδέν. Το ολικό διαφορικό της δεύτερης εξίσωσης. ux2x1-x1 συν ux2x2-x2 μειον πι δύο δε λάμδα μειον λάμδα δε πι δύο ίσο με μηδέν. Το ολικό διαφορικό της τρίτης εξίσωσης. dm μειον πιένα επί τε χιένα μειον χιένα επί τε πιένα μειον πι δύο επί τε χιδύο μειον χιδύο δε πι δύο ίσο με μηδέν. Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι η ισορροπία. Άρα προκαλούμε μια μεταβολή στην ισορροπία. Μια διαταραχή στην ισορροπία. Αυτή η διαταραχή μπορεί να έχει προέλθει από οποιοδήποτε από τους τρεις εξωγενείς παράγοντες. Από το πιένα το μ και το πι δύο. Άρα θέλουμε να δούμε πώς θα διαταραχθεί αυτή η ισορροπία. Άρα προκαλούμε αυτές τις μεταβολές και θα δούμε τώρα τι θα συμβεί. Τώρα αυτό το σύστημα των τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους το παρουσιάζουμε υπό πορφή πινάκων. Από την μια μεριά θα βάλουμε τις εξωγενείς μεταβλητές δεξιά, θα χωρίσουμε δηλαδή γνωστούς από αγνώστους και από την άλλη μεριά θα βάλουμε τις πενδογενείς μεταβλητές. Άρα εδώ είναι ΔΧ1, ΔΧ2, ΔΛ που είναι οι ενδογενείς μεταβλητές. Από εδώ είναι οι εξωγενείς μεταβλητές που είναι το ΔΕΠΙ1, το ΔΕΠΙ2 και το ΔΙΕΜ. Οι μεταβολές δηλαδή των εξωγενών μεταβλητών. Εδώ θα έχουμε έναν πίνακα τρία επί τρία και εδώ είναι επίσης τρία επί τρία τώρα τυχαίνει να είναι γιατί έχουμε τρεις εξωγενείς μεταβλητές. Άρα η πρώτη γραμμή των πινάκων είναι η πρώτη εξίσωση, η δεύτερη γραμμή των πινάκων είναι η δεύτερη εξίσωση και η τρίτη γραμμή των πινάκων είναι η τρίτη εξίσωση. Στην πρώτη εξίσωση ποιος είναι ο συντελεστής... εδώ θα γραφτεί τώρα η πρώτη εξίσωση. Ποιος είναι ο συντελεστής του ΔΕΧ1 είναι Ux1x1. Ποιος είναι ο συντελεστής του ΔΕΧ2 είναι Ux1x2. Ποιος είναι ο συντελεστής του ΔΛ-Π1. Ποιος είναι ο συντελεστής του ΔΕΠ1 αυτό πάει από την άλλη μεριά άρα γίνεται συν λ. Ποιος είναι ο συντελεστής του ΔΕΠ2 στην πρώτη εξίσωση δεν υπάρχει ΔΕΠ2 άρα ο συντελεστής του είναι 0. Στη δεύτερη εξίσωση ο συντελεστής του ΔΕΧ1 είναι Ux2x1. Ο συντελεστής του ΔΕΧ2 είναι Ux2x2 και ο συντελεστής του ΔΛ είναι ΜΠ2. Ο συντελεστής του ΔΕΠ1 είναι 0 δεν υπάρχει στη δεύτερη εξίσωση ΔΕΠ1. Ο συντελεστής του ΔΕΠ2 αυτό θα πάει από την άλλη μεριά και θα γίνει λ και ο συντελεστής του ΔΕΜ είναι 0. Στην τρίτη εξίσωση ο συντελεστής του ΔΕΧ1 είναι ΜΠ1. Ο συντελεστής του ΔΕΧ2 είναι ΜΠ2, του ΔΛ είναι 0 δεν υπάρχει ΔΛ στην τρίτη. Ο συντελεστής του ΔΕΠ1 είναι X1, ο συντελεστής του ΔΕΠ2 είναι X2 πάνω από την άλλη μεριά άρα αλλάζει το πρόσημο. Το πρόσημο και ο συντελεστής του ΔΕΜ είναι ΜΠ1. Άρα χώρισα γνωστούς από αγνώστους και τώρα οι γνωστοί και οι άγνωστοι είναι οι μεταβολές τους, έτσι δεν είναι τα απόλυτα μεγέθη. Ποιες είναι οι ενδογενείς μεταβλητές θα πάνε από τη μια μεριά, ποιες είναι οι εξογενείς μεταβλητές θα πάνε από την άλλη μεριά. Και μετά, αφού το κάναμε αυτό εδώ, το παρουσιάζουμε το σύστημα υπομορφήν πινάκων. Δεν είναι έσια νέες αυτές, είναι η παρουσίαση του συστήματος υπομορφήν πινάκων. Εδώ έχουμε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Χωρίζω τους άγνωστους από τους γνωστούς. Έπρεπε να το γράψω καλύτερα, τέλος πάντων, δεν πειράζει. Δηλαδή το DP πάει από την άλλη μεριά, το DP2 πάει από την άλλη μεριά, το DP1, DP2 πάει από την άλλη μεριά. Και μετά το παρουσιάζω υπομορφήν πινάκων. Έπρεπε να το παρουσιάσω και το επόμενο βήμα. Και το παρουσιάζω υπομορφήν πινάκων. Προσοχή, αυτό δεν είναι αισιανή, είναι το σύστημα που έχει προέλθει των τριών εξισώσεων, που έχει προέλθει από το λοικό διαφορικό των συνθηκών πρώτης τάξης. Τώρα, αυτό το οποίο μας ενδιαφέρει είναι τα πρόσημα αυτών των παραγόγων. Δηλαδή η συγκριτική στατική ανάλυση ενδιαφέρεται για τα πρόσημα αυτών των παραγόγων. Αυτή είναι η συγκριτική στατική ανάλυση, το αποτέλεσμά της. Το αποτέλεσμα μιας συγκριτικής στατικής ανάλυσης είναι να βρούμε τα πρόσημα των παραγόγων, των ενδογενών μεταβλητών ως προς τις μεταβολές των εξωγενών μεταβλητών. Θα μου πείτε γιατί δεν πέραμε κατευθείαν μία παράγωγο. Διότι όταν μεταβληθεί ας το πούμε έτσι το π1, γιατί χρειάζεται να πάρουμε σύστημα και όχι μία απλή παράγωγο. Ας πούμε ότι μεταβάλλεται το π1, μεταβάλλεται η τιμή του αγαθού 1. Η μεταβολή της τιμής του αγαθού 1 θα επηρεάσει τη ζητουμένη ποσότητα του αγαθού 1, ασφαλώς. Από τη στιγμή όμως που θα μεταβληθεί η ποσότητα του αγαθού 1, τι θα συμβεί στην ποσότητα του αγαθού 2, αν είναι υποκατάστατο το αποτέλεσμα υποκατάστασης, έτσι. Αλλάζει και η ποσότητα του αγαθού 2. Άρα και καθώς αλλάζει ποσότητα του αγαθού 2 μετά ξαναλλάζει ποσότητα του αγαθού 1 και ούτω καθεξής. Άρα δεν μπορώ να πάρω μόνο την μεταβολή τέχη 1, τέπη 1 χωρίς να λάβω υπόψη μου όλες τις αλληλεπιδράσεις που θα γίνουν μεταξύ των δύο αγαθών. Και καθώς μεταβάλλεται η τιμή μεταβάλλεται και το πραγματικό εισόδημα, το εισοδηματικό αποτέλεσμα και ούτω καθεξής. Άρα για να μπορέσω να τα αντιμετωπίσω όλα αυτά εδώ θα πρέπει να λύσω το πρόβλημά μου ως σύστημα και όχι ως μία εξίσωση μόνο. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο αντί να πάρουμε μία μόνο εξίσωση παίρνουμε το σύστημα των τριών εξισώσεων που καθορίζει τη λύση. Άρα προκαλούμε μία μεταβολή και βλέπουμε ολόκληρο το σύστημα πως αλλάζει. Αλλάζει το π1, αλλάζει το χ1, αλλάζει το χ1, αλλάζει το χ2, αλλάζει το χ2, αλλάζει το μ, ξαναλλάζει το χ2, ξαναλλάζει το χ1 και ούτω καθεξής. Όλα αυτά συνεχώς μεταβάλλονται. Πόσο θα μεταβάλλονται είναι η πορεία που είπαμε από το α στο β. Όλες αυτές οι μεταβολές γίνονται στην πορεία από το α στο β και μας μας ενδιαφέρει σε συγκριτική στατική ανάλυση τελικά να δούμε. Αφού έχουν ληφθεί όλες οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ όλων των μεταβλητών, εάν αυτό εδώ είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το μηδέν, δηλαδή η αύξηση της τιμής του αγαθού, πως αύξησε την ζητούμενη ποσότητα, το ίδιο και εδώ, το ίδιο και εδώ, το ίδιο και εδώ, το ίδιο και εδώ, το ίδιο και εδώ. Το ξαναλέω, έτσι, γιατί αν δεν κατανοήσουμε λίγο τη φιλοσοφία, το τεχνικό κομμάτι δεν έχει νόημα. Βρισκόμαστε σε μια κατάσταση Α. Σε αυτήν την κατάσταση Α, για να βρεθούμε, συνετέλεσαν το M, το P1, το P2, το U. Δηλαδή, η συνάρτηση χρησιμότητας. Άρα, οι μερικές παράγωγες και όλα αυτά εδώ. Το Α, λοιπόν, είναι οι συνθήκες Α τάξης. Δηλαδή, η αλληλεπίδραση όλων αυτών των παραγώντων που μας δίνει την ισορροπία Α είναι οι συνθήκες πρώτης τάξης, οι τρεις εξισώσεις. Αυτές οι τρεις εξισώσεις μαζί μας έδωσαν το Α. Και βρήκαμε, ας πούμε, ότι ο κατανοτής θα αγοράσει τρία κιλά ντομάτες και τέσσερα κιλά πορτοκάλια. Τελειώσαμε. Εάν αλλάξει κάτι από τους εξωγενείς παράγοντες, αυτό το οποίο είπαμε ή θα μεταβληθεί η τιμή του αγαθού ή θα μεταβληθεί η τιμή του άλλου αγαθού, ή θα μεταβληθεί το εισόδημα του, θα πρέπει αυτός να επαναϋπολογίσει ολόκληρο το σύστημα. Δηλαδή, όταν κατεβαίνει στην αγορά και βλέπει ένα κιλό ντομάτες είναι 2 ευρώ και ένα κιλό πορτοκάλια είναι 1 ευρώ, έχει στην τσέπη του 20 ευρώ και κάνει τις αγορές του. Και αποφασίζει να αγοράσει τέσσερα κιλά πορτοκάλια και πέντε κιλά ντομάτες. Στη συνέχεια το εισόδημα του αυξάνει, δηλαδή βρίσκει, όπως είχαμε πει στο παράδειγμα το κάναμε με τις καμπύλες αδιαφόρειας, ότι βρίσκεις στο δρόμο ένα 10 ευρώ. Αυτό το 10 ευρώ θα τον κάνει να επαναϋπολογίσει όλο το σύστημα από την αρχή. Δηλαδή δεν θα πάει μόνο στις ντομάτες ή μόνο στα πορτοκάλια, αλλά θα επαναϋπολογίσει ξανά όλο αυτό το σύστημα. Δηλαδή στο παράδειγμα που κάναμε με τη θεωρία των καμπυλών αδιαφορίας, στην ουσία τι έχουμε, επαναϋπολογίζει πού βρίσκεται η επόμενη καλύτερη καμπύλια αδιαφορίας. Ξαναλύνει πάλι δηλαδή το σύστημα από την αρχή, βάζοντας πια μια καινούργια παράμετρο, ότι το εισόδημα του από 20 έγινε 30. Άρα, εάν επαναϋπολογίζει από την αρχηφχή, τότε για να δούμε τις επιδράσεις πλέον τεχνικά, θα πρέπει να δούμε όλες τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους ταυτόχρονα. Άρα, για να δούμε ποια επιδράση θα έχει το εισόδημα πάνω στη ζητούμενη ποσότητα των αγαθών, θα πρέπει να δούμε τις εξισώσεις που καθορίζουν την ισορροπία του. Δηλαδή, τις συνθήκες πρώτης τάξης. Από τη στιγμή που θα έχουμε τις συνθήκες πρώτης τάξης, μετά μπορούμε να κάνουμε τις αλλαγές. Τώρα, η θέση β είναι τα πρόσημα. Δηλαδή, αυτά τα πρόσημα εδώ πέρα μας δίνουν την θέση β, αν είναι καλύτερο, χειρότερο ή ίσο, σε σχέση με πριν. Η πορεία από το α στο β είναι αυτό το οποίο μόλις περιγράψαμε. Δηλαδή, αυξάνει η τιμή του π1, μεταβάλλεται η ζητούμενη ποσότητα του χ1, επειδή μεταβάλλεται η ποσότητα του χ1, μεταβάλλεται η ποσότητα του χ2, γιατί επηρεάζει τη οριακή χρησιμότητα. Μεταβάλλονται αυτές τις ποσότητες, αυξάνει ή μειώνεται το πραγματικό του ισόδημα. Καθώς μειώνεται το πραγματικό του ισόδημα, τι γίνεται με το χ1. Αυξάνει ή μειώνεται. Δηλαδή, βλέπουμε ένα συνεχή κύκλο αλληλεπιδράσεων μέχρι να κατασταλλάξει η μπύλια. Συνεπώς, η πορεία από το α στο β είναι μόλις αυτή η διαδικασία την οποία περιέγραψα. Σε αυτό το στάδιο δεν μας ενδιαφέρει πορεία. Δηλαδή, θεωρούμε ότι πορεία θα υπάρξει. Το πώς θα πάει είναι άλλο ζήτημα. Αν, ξέρω εγώ, είπατε ότι είναι 10 ευρώ, τότε πάει το α στο β. Αν πέραμε 10 ευρώ, θα πηγαίνει το β στο α μέσω της ίδιας διαδρομής ή άλλης? Όχι, ενδεχομένως από άλλη. Αλλά αυτό θα το δούμε από την επίλυση. Ποια θα είναι η διαδρομή. Εντάξει. Είμαστε οκέι? Ναι. Αν είναι ίσο, το α θα πηγαίνει το β. Αν είναι ίσο, μπορεί αυτό να είναι ίσο και αυτό να είναι διαφορετικό. Άρα δεν θα ταυτίζεται. Αν όλα είναι ίσα, τότε ταυτίζεται. Το ξαναλέω. Αν μόνο μία από τις παραγώγους είναι ίση, τότε δεν ταυτίζεται το α και το β. Το α και το β θα ταυτιστούν όταν όλα είναι ίσα με μηδέν. Με άλλα λόγια, δηλαδή το σύστημα είναι ακίνητο. Ό,τι και να γίνει, επανέρχεται στην προηγούμενη κατάσταση ισορροπίας. Δηλαδή είναι σαν να κτυπάμε ένα εκκρεμές, το οποίο κινείται πάνω-κάτω-πάνω-κάτω και επανέρχεται πια στην παλιά θέση ισορροπίας. Άρα εκεί, οι παράγωγοι είναι ίσες με μηδέν. Δηλαδή δεν μεταβάλλεται. Βάλαμε μία δύναμη, πουνήθηκε και στο τέλος επανήλθα στην παλιά κατάσταση ισορροπίας. Είμαστε ok. Είναι κατανοητό τι προσπαθούμε να κάνουμε. Το σημαντικό είναι αυτό εδώ, να κατανοήσουμε τι προσπαθούμε να κάνουμε. Πάμε να δούμε τώρα πώς υπολογίζονται αυτές οι παράγωγοι, λαμβάνοντας υπόψη όλες τις αλληλεπιδράσεις. Δηλαδή θέλουμε πια να υπολογίσουμε αυτές τις παραγώγους λαμβάνοντας υπόψη όλες τις αλληλεπιδράσεις. Η παράγωγος τέχει ένα, τέπει ένα, είναι ίση με ένα κλάσμα στο οποίο στον παρονομαστή είναι η ορίζουσα των συντελεστών, των ενδογενών μεταβλητών. Λοιπόν, στον παρονομαστή είναι η ορίζουσα των συντελεστών, των ενδογενών μεταβλητών. Στον αριθμητή είναι επίσης μια ορίζουσα η οποία προκύπτει ως εξής, στη στήλη των μεταβλητών, της μεταβλητής που θέλουμε να πάρουμε την παραγωγή, άρα θέλουμε να πάρουμε την παράγωγή ως προς το χιένα, οι συντελεστές του χιένα είναι η πρώτη στήλη. Στη στήλη των συντελεστών του χιένα αντικαθιστούμε τους συντελεστές του παρονομαστή λ0x1. Άρα η ορίζουσα επάνω είναι λ0x1 και όλα τα υπόλοιπα παραμένουν σταθερά. Η ορίζουσα Δx2Dm είναι ίση με την ορίζουσα των συντελεστών των ενδογενών μεταβλητών, άρα αυτή είναι η ίδια, γx1 x1 γx1 x2 μx1 γx2 x1 γx2 x2 μx2 μx1 μx2 0. Δηλαδή σε όλες τις παραγώγους ο παρονομαστής είναι ο ίδιος, είναι η ορίζουσα των ενδογενών μεταβλητών. Στον αριθμητή τώρα πήραμε την παράγογο του x2 ως προς το m θέλουμε, άρα στην θέση των συντελεστών του x2, με η δεύτερη στήλη θα μπουν οι συντελεστές του m. Άρα θα είναι γx1 x1 γx2 x1 μx1 0 0 μx1 μx1 μx2 0. Και ούτω καθεξής. Ναι. Όχι βέβαια, απλώς λέω ότι στον παρονομαστή όλων των παραγώγων θα βρίσκεται ο πίνακας, η ορίζουσα μάλλον των ενδογενών μεταβλητών. Δεν είναι ίσα, εδώ είναι το σύστημα των εξισώσεων. Το σύστημα των εξισώσεων παρουσιασμένο υπομορφή πινάκων. Η ονομασία αυτών των παραγώγων στα οικονομικά ονομάζεται πολλαπλασιαστής. Γενικά σε όλα τα οικονομικά υποδείγματα, είτε μιλάμε για καταναλωτή, είτε μιλάμε για παραγωγό, είτε μιλάμε για αγορές, είτε μιλάμε για εθνική οικονομία, οι παράγωγοι των ενδογενών μεταβλητών ως προς τις εξαγωγές της εξωγενής, λαμβάνοντας υπόψη όλες τις αλληλεπιδράσεις, ονομάζονται πολλαπλασιαστές. Είναι αυτό δηλαδή που μας ενδιαφέρει στα οικονομικά. Από εδώ και στο εξής θα ακούτε συνέχεια, ιδιαίτερα στην μακροοικονομική, ότι θέλουμε να προσημάνουμε τον πολλαπλασιαστή. Δηλαδή θέλουμε να δούμε ποιο είναι το πρόσημο αυτής της παραγώγου, η οποία όμως παράγωγος βγαίνει, όχι ως απλή παράγοντος, αλλά λαμβάνοντας υπόψη, δείτε εδώ τώρα, όλες τις αλληλεπιδράσεις. Θα μεταβληθεί το χ1 πώς θα επιράσει το οριακό της χ1, θα μεταβληθεί το χ2 πώς θα επιράσει το χ1, και ούτω καθεξής. Δηλαδή όλες οι αλληλεπιδράσεις του συστήματος είναι μέσα. Δεν είναι μια απλή παράγωγος. Κατανοητό? Άρα η έννοια του πολλαπλασιαστή, η έννοια του πολλαπλασιαστή δεν είναι μια απλή παράγωγος, είναι η παράγωγος εκείνη η οποία βγαίνει μέσα από ένα σύστημα, λαμβάνοντας υπόψη όλες τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μεταβλητών. Παίρνοντας λοιπόν αυτές τις ορίζουσες από τη συνθήκη 2ης τάξης, ο παρονομαστής είναι θετικός πάντα. Εντάξει, από τη συνθήκη αυτή είναι η αισιανή, άρα ο παρονομαστής είναι θετικός. Συνεπώς αυτό το οποίο χρειάζεται για να προσημάνουμε όλες τις παραγώγους είναι να βρούμε το πρόσημο του αριθμητή. Άρα ως ασκησούλα για το σπίτι θα ήταν καλό να προσημάνετε τους πολλαπλασιαστές που γράψαμε προηγουμένως. Άρα για άσκηση στο σπίτι γράψαμε εδώ τους έξι πολλαπλασιαστές. Να προσημάνουμε αυτούς τους πολλαπλασιαστές, να βρούμε δηλαδή ποιό είναι το πρόσημό τους. Άρα θα πρέπει να πάρετε τις ορίζουσες, το ανάπτυγμα των ορίζουσων και να βρείτε ποιό είναι το πρόσημό του κάθε αριθμητή. Στις έξι περιπτώσεις. Σας έδωσα έξι πολλαπλασιαστές. Άρα χρειάζεται μόνο να προσημάνετε τον αριθμητή. Λοιπόν, όσοι έχετε κάνει την άσκηση που σας είχα βάλει την προηγούμενη φορά, δώστε τι μου να δω τι κάνατε. |
| _version_ |
1782817468230664192 |
| description |
16η διάλεξη: Λοιπόν, ας συνεχίσουμε λίγο την ανάλυση, μια και έχετε προχωρήσει και με τον κύριο Κυρίτσι πια. Λοιπόν, έχουμε πει ότι ξεκινώντας με μια συνάρτηση χρησιμότητας, υπό τον περιορισμό ότι η δαπάνη για την αγορά των αγαθών δεν θα πρέπει να ξεπερνά το εισόδημα ή στην περίπτωση μας πρέπει να είναι ίση με το εισόδημα. Τελικά καταλήξαμε στην αριστοποίηση μιας συνάρτησης Lagrange και από την συνάρτηση Lagrange τελικά από την αριστοποίηση της διαδικασίας φτάνουμε στις συνθήκες πρώτης τάξης. Αυτό είναι η μερική παράγωγος προς το χ1, έτσι όπως έχετε κάνει. Τώρα με την επίλυση αυτών βρίσκουμε πόσο είναι το χ1, το χ2, οι συναρτήσεις δηλαδή, ζήτησης. Αυτό το οποίο δεν εξετάσαμε την προηγούμενη φορά που είχαμε προχωρήσει είναι ότι δεν εξετάσαμε εάν ισχύουν οι συνθήκες δεύτερης τάξης. Δηλαδή για να έχουμε μέγιστο θα πρέπει να ισχύουν οι συνθήκες δεύτερης τάξης. Άρα αυτό το οποίο θα πρέπει να πάρουμε, θα πρέπει να πάρουμε την αισιανή ορίζουσα. Έτσι και να δούμε αν αυτή η αισιανή ορίζουσα είναι μεγαλύτερη, μικρότερη ή ίση με το μηδέν. Η αισιανή ορίζουσα είναι οι δεύτερες παράγωγοι προς τις μεταβλητές τις οποίες έχουμε. Άρα η αισιανή ορίζουσα σας θυμίζω μόνο αυτό το οποίο κάνατε με τον κ. Κυρίτσι. Είναι θλ θx1 τετράγωνο, θl θx1 θx2, θl θx1 θl λ. Είναι θλ θx2 x1, θx2 τετράγωνο, θx2 xl και τέλος θλ θλ λ θx1, θλ θλ λ θx2 και θλ θλ λ. Και όπως ξέρουμε αυτή εδώ για να έχουμε μέγιστο θα πρέπει αυτή να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν. Άρα τι κάνουμε, παίρνουμε τις δεύτερες μαρικές παραγώγους της πρώτης εξίσωσης, είναι η πρώτη σειρά της αισιανής, παίρνουμε τις δεύτερες παραγώγους της δεύτερης εξίσωσης, είναι η δεύτερη σειρά της αισιανής, και τις δεύτερες παραγώγους, μερικές παραγώγους, που είναι η τρίτη σειρά της αισιανής. Εάν έτσι έχουν τα πράγματα, τότε αντικαθιστούμε αυτά τα οποία έχουμε με το παράδειγμά μας. Κάνουμε το παράδειγμα τώρα με τις δύο μεταβλητές, αλλά όπως έχουμε πει ότι λέμε για τις δύο μεταβλητές ισχύει για τη ν. Συνεπώς, η αισιανή ορίζουσα είναι η μερική παράγωγος της πρώτης εξίσωσης, ως προς το χ1. Άρα θα είναι uχ1 χ1. Δεν υπάρχει πουθενά αλλού χ1, μόνο αυτό το χ1 βρίσκεται μόνο εδώ στη μερική παράγωγο, δεν υπάρχει πουθενά αλλού. Άρα η δεύτερη μερική παράγωγος είναι uχ1 χ1. Πάμε τώρα η μερική παράγωγος της πρώτης εξίσωσης ως προς το χ2. Εδώ είναι 0, άρα είναι uχ1 χ2. Και η μερική παράγωγος ως προς το λ είναι π1. Πάμε τώρα στη δεύτερη εξίσωση. Η μερική παράγωγος ως προς το χ1 είναι uχ2 χ1. Η μερική παράγωγος ως προς το χ2 είναι uχ2 χ2. Και η μερική παράγωγος ως προς το λ είναι π2. Και τέλος, στην τρίτη εξίσωση η μερική παράγωγος ως προς το χ1 της τρίτης εξίσωσης είναι μίον π1, μόνο εδώ. Η μερική παράγωγος ως προς το χ2 είναι μίον π2. Και επειδή το λ δεν υπάρχει καθόλου, η μερική παράγωγος της τρίτης εξίσωσης ως προς το λ είναι 0. Άρα, η αισιανή ορίζουσα έτσι όπως την έχουμε στις συναρτήσεις χρησιμότητας, στην ουσία είναι οι δεύτερες παράγωγοι και οι τιμές. Δηλαδή, αν θέλετε να έχετε έναν έλεγχο, όταν θα κάνετε ασκήσεις, αν αυτό το οποίο κάνατε βρήκατε ως αισιανή ορίζουσα είναι σωστή ή όχι, ο έλεγχος είναι ότι εδώ, στο πάνω κομμάτι θα πρέπει να βρίσκονται οι μερικές παράγωγοι ως προς τις μεταβλητές και κάθετα και οριζόντια στο τέλος θα πρέπει να κλείνουμε με τις τιμές. Λοιπόν, η αισιανή ορίζουσα, όπως έχετε κάνει στα μαθηματικά, έχει τόσες τέτοιες διαστάσεις, όσες είναι ο αριθμός των εξισώσεων και ο αριθμός των μεταβλητών. Άρα, στο πρόβλημα το οποίο έχουμε είναι τρεις μεταβλητές x1, x2 λάμδα και τρεις εξισώσεις. Άρα η αισιανή ορίζουσα του προβλήματος μας θα έχει διαστάσεις 3x3. Εάν είχαμε, για παράδειγμα, x1, x2, x3, τότε οι διαστάσεις της αισιανής ορίζουσας θα ήταν τρεις οι μεταβλητές που έχουμε στη συνάρτηση χρησιμότας, συν το λάμδα 4, άρα οι διαστάσεις θα ήταν 4x4. Τώρα, το που μπαίνουν οι μερικές παράγωγοι, στην ουσία δεν έχει σημασία. Απλώς, εδώ τώρα, για λόγους απλότητας και παρουσίασης, συνήθως βάζουμε τις μεταβλητές στη σειρά. Δηλαδή, x1, x2, x3 και κάθετα είναι οι εξισώσεις. Δηλαδή, η πρώτη σειρά αντιστοιχεί στην πρώτη εξίσωση, η δεύτερη σειρά αντιστοιχεί στη δεύτερη εξίσωση, η τρίτη σειρά αντιστοιχεί στην τρίτη εξίσωση. Άρα, εδώ θα είναι, για να κάνουμε έτσι, μεταβλητές-εξισώσεις. Μεταβλητές 1, 2, 3, εξισώσεις 1, 2, 3. Άρα, εδώ τι βάζουμε, βάζουμε τη μερική παράγωγο της πρώτης εξίσωσης ως προς την πρώτη μεταβλητή. Εδώ τι βάζουμε, τη μερική παράγωγο της πρώτης εξίσωσης ως προς τη δεύτερη μεταβλητή. Και ούτω καθεξής. Δηλαδή, ο τρόπος είναι αρκετά απλός. Απλώς θέλει κάποιος να... Δύο πράγματα. Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο. Ναι, όχι. Όπως σας είπα, όπως και να τα βάλουμε, δεν επηρεάζει. Απλώς, στα οικονομικά βιβλία, έχουμε συνηθίσει να βάζουμε το μηδέν από την κάτω. Οι μαθηματικοί έχουν συνηθίσει να το βάζουν από πάνω, εμείς από κάτω. Αλλά δεν παίζει κανένα ρόλο. Γιατί θέλουμε να έχουμε μέγιστο. Επειδή, τι ζητάμε, μεγιστοποίηση αυτής της συνάρτησης. Άρα, στο συγκεκριμένο πρόβλημα, έτσι της συνάρτησης κρισιμότητας. Πρώτα έχει δύο και μετά έχει ένα. Δεν το κατάλαβα. Και κάτω, στο τελευταία γραμμή, τελευταία στήλη, το τράγωνο παραναστεί να παίξει. Ποιο το? Ναι, συγγνώμη. Εντάξει, άρα, είμαστε ok. Για να δούμε λοιπόν εδώ, εάν η συνθήκη της αισιανής, ότι για να έχουμε μέγιστο θα πρέπει αυτή να είναι θετική, ισχύει στην περίπτωση της αριστοποίησης της συμπεριφοράς του καταναλωτή με τους περιορισμούς. Λοιπόν, να την γράψουμε εδώ. Λοιπόν, για να πάρουμε την ορίζουσα, έχουμε διάφορους τρόπους, επειδή είναι απλή η ορίζουσα τώρα. Και θέλω να φανεί λίγο καλύτερα. Να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη μεθοδολογία, γιατί θέλω να φανούν καλύτερα τα γινόμενα. Τα γινόμενα προς τα δεξιά, συν τα γινόμενα προς τα δεξιά, μίον τα γινόμενα προς τα αριστερά. Άρα έχουμε αυτό το γινόμενο, συν αυτό το γινόμενο, συν αυτό το γινόμενο. Άρα αυτό είναι μηδέν. Συνεπώς έχουμε μίον επί μίον, συν. Άρα έχουμε ux1x2 επί π1π2, συν μίον επί μίον, συν. Άρα πάλι ux1x2π1π2, μίον αυτά τα γινόμενα. Αυτό είναι μηδέν, μίον επί μίον, συν και το μίον της πράξης μίον. Άρα ux1x1π2, επίσης μίον επί μίον, συν και το μίον της πράξης μίον. π1 τετράγωνο, να είμαστε με τον ίδιο τρόπο, ux2x2π1 τετράγωνο. Και αυτό είναι ίσο με 2ux1x2π1π2, μίον ux1x1π2 τετράγωνο, μίον x2x2π1 τετράγωνο. Αυτό γιατί το ux1x2 είναι ίσο με το ux2x1. Επειδή ισχύει αυτή η σχέση μπορούμε να προχωρήσουμε μετά στα υπόλοιπα. Για να δούμε λοιπόν τι πρόσημο έχει αυτή η παράσταση. Πρώτα πρώτα τα π1π2, επειδή είναι του φυσικού κόσμου, σε εισαγωγικά του φυσικού κόσμου, δεν μπορούν να έχουν αρνητικές τιμές. Άρα το π1π2 είναι θετικό. Ξέρουμε από τις υποθέσεις μας ότι η δεύτερη παράγωγος, ξέρουμε ότι θuθxi είναι μικρότερη από το 0. Φθύνουσα οριακή χρησιμότητα. Άρα αυτό είναι αρνητικό. Όπως επίσης και αυτό είναι αρνητικό. Άρα τι έχουμε. Ένα αρνητικό γινόμενο. Αρνητικό επιθετικό μας κάνει αρνητικό. Και το μείον της πράξης μπροστά. Άρα όλο αυτό το κομμάτι από εδώ και πέρα είναι θετικό. Για δείτε αυτό είναι αρνητικό. Επιθετικό όλο το γινόμενο είναι αρνητικό. Και το μείον της πράξης από μπροστά. Άρα από το μείον και πέρα γίνεται θετικό. Το ίδιο και εδώ. Άρα όλη αυτή εδώ η παράσταση από το μείον και πέρα είναι θετική. Γνωρίζουμε επίσης ότι αυτό είναι θετικό. Το ux1x2. Από τις υποθέσεις μας. Κατά συνέπεια όλος αυτός ο όρος θετικός. Κατά συνέπεια όλη αυτή η παράσταση είναι θετική. Είναι από τις υποθέσεις τις οποίες έχουμε. Δηλαδή η συναρτήση χρησιμότητας τις οποίες έχουμε λένε το εξής. Ότι η οριακή χρησιμότητα ενός αγαθού αυξάνει όταν αυξάνει η ποσότητα του άλλου. Κερδίζω δηλαδή μεγαλύτερη χρησιμότητα από το άλλο. Άρα αυτό είναι πάντα θετικό. Άρα όλη η παρένθεσή μας είναι θετική. Τώρα εάν αντικαταστήσουμε όπου π1 π2 τα ίσα τους από τις συνθήκες ισορροπίας. Οδό προκύπτει ότι το π1 είναι ίσο με ux1 προς λαμδα και το π2 είναι ίσο με ux2 προς λαμδα. Αν αντικαταστήσουμε λοιπόν σε αυτή τη σχέση όπου π1 π2, δηλαδή να βγάλουμε απ' έξω να μην έχουμε καθόλου π1 π2 και να πάμε μόνο με τις χρησιμότητες. Αν αντικαταστήσουμε όπου π1 π2 τα ίσα τους, τότε θα έχουμε δύο ux1 x2, ux1 προς λαμδα επί ux2 προς λαμδα μειον, ux1 x1 π2 ux2 στο τετράγωνο προς λαμδα τετράγωνο μειον, ux2 x2, ux1 τετράγωνο προς λαμδα τετράγωνο και αν βγάλουμε το λαμδα τετράγωνο απ' έξω Επίσης προκύπτει το λαμδα τετράγωνο είναι θετικό, άρα θέλουμε να δούμε αυτή η παρένθεση τι πρόσημο έχει. Το ux1 είναι αρνητικό, το ux2 είναι αρνητικό, αυτό αρνητικό, θετικό, αρνητικό, θετικό και κατά συνέπεια Ο πρώτος όρος είναι θετικός, ο δεύτερος όρος μαζί με το πρόσημο της πράξης είναι θετικός, ο τρίτος όρος μαζί με το πρόσημο της πράξης είναι επίσης θετικός Συνεπώς όλη η παρένθεση είναι θετική Με άλλα λόγια αυτό το οποίο βγάζουμε είναι ότι η συνάρτηση Lagrange και κατά συνέπεια η συνάρτηση χρησιμότητας βρίσκεται στο μέγιστο όταν ισχύει το άριστο σημείο Δηλαδή όταν ισχύουν οι συνθήκες ισορροπίας η συνάρτηση Lagrange και κατά συνέπεια η συνάρτηση χρησιμότητας βρίσκονται στο άριστο Αυτό το οποίο δείχνουμε εδώ πέρα είναι ότι όταν η συνάρτηση Lagrange και κατά συνέπεια η συνάρτηση χρησιμότητας βρίσκονται στην κατάσταση ισορροπίας δηλαδή μηδενίζονται οι συνθήκες πρώτης τάξης τότε αυτή η συνάρτηση σε εκείνο το σημείο έχει μέγιστο Η Lagrange και κατά συνέπεια και η χρησιμότητα, η συνάρτηση χρησιμότητας δηλαδή εκεί όπου έχει Lagrange μέγιστο έχει και η συνάρτηση χρησιμότητας μέγιστο, περιορισμένο όμως το μέγιστο της συνάρτησης χρησιμότητας Άρα με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να ελέγχουμε και στις ασκήσεις που θα υπάρχουν στο τελικό διαγώνισμα θα ελέγχουμε κατά πόσο αυτό το οποίο έχουμε βρει είναι μέγιστο ή δεν είναι μέγιστο Τώρα πάμε να εξετάσουμε αυτό το οποίο ονομάζουμε να κάνουμε μάλλον αυτή την ανάλυση την οποία ονομάζουμε συγκριτική στατική ανάλυση Εδώ υπάρχει κάποια ερώτηση Τίποτα έτσι Τώρα ξεκάθαρα Ναι Ποιο Δεν παίζει ρόλο αυτό το τέτοιο Λοιπόν και πάμε τώρα να εξετάσουμε Ίσως το πιο ενδιαφέρον κομμάτι για τους οικονομολόγους που είναι η συγκριτική στατική ανάλυση Η όλη οικονομική δραστηριότητα που έχουμε ως άνθρωποι Συνήθως έχει δύο βασικά ερωτήματα Συνήθως προσπαθεί μάλλον η ανάλυση της οικονομικής δραστηριότητας Συνήθως προσπαθεί να απαντήσει δύο ερωτήματα Αυτά είναι τα οικονομικά ερωτήματα Πρώτον, εάν ένας καταναλωτής μπορεί να βρει μια άριστη ποσότητα μέσα από μια διαδικασία αριστοποίησης Άρα να βρούμε το άριστο Δηλαδή πόσο θα κατανάλλωνε ο καταναλωτής από το ένα αγαθό και από το άλλο Αυτό είναι το ένα βασικό ερώτημα Και το δεύτερο βασικό ερώτημα που έχουμε στα οικονομικά είναι Τι θα συμβεί στην ισορροπία στην απόφαση του καταναλωτή Εάν κάποιος από τους εξωγενείς παράγοντες που μπαίνουν μέσα στο πρόβλημα μεταβληθεί Επαναλαμβάνω Το πρώτο ερώτημα, δύο είναι τα ερωτήματα των οικονομολόγων Δεν υπάρχουν τίποτα άλλο Για όλα τα οικονομικά θέματα είναι δύο τα ερωτήματα Ποιο είναι το σημείο αριστοποίησης Δηλαδή ποιο είναι το χ αστεράκι το άριστο να το γενικεύσω τώρα Ποιο είναι το χ άριστο για οποιοδήποτε οικονομικό πρόβλημα υπάρχει Ένα και δεύτερον τι θα συμβεί στο χ άριστο Εάν κάποιος από τους εξωγενείς παράγοντες που μπαίνουν μέσα στο πρόβλημα μεταβληθεί Λόγω Δ εξωγενών παραγόντων Όχι οποιοδήποτε εξωγενών παραγόντων Να το ξεκαθαρίζουμε αυτό Είναι εξωγενείς παράγοντες που εισέρχονται μέσα στην ανάλυση του προβλήματος Εδώ θέλει πολύ μεγάλη προσοχή Εξωγενείς παράγοντες υπάρχουν άπειροι σε εισαγωγικά άπειροι Ακόμα και το ότι θα γίνει μια ηλιακή έκρηξη και θα προκληθεί μια μαγνητική ανισορροπία Αυτό αποτελεί ένα εξωγενεί παράγοντα στα οικονομικά Εξωγενεί παράγοντα στην κοινωνία μας διότι ενδεχομένως να επηρεάσει τις τηλεπικοινωνίες Και για κάποιο χρονικό διάστημα ενός λεπτού, δύο λεπτών, μιας ώρας, τριών ωρών Τα συστήματα τηλεπικοινωνιών μπορεί να πέσουν και να έχουμε οικονομικές επιπτώσεις Όμως στα οικονομικά υποδείγματα, στην οικονομική ανάλυση Δεν μπορούμε να έχουμε εξωγενείς παράγοντες οι οποίοι είναι απρόβλεπτοι Με την έννοια ότι δεν υπάρχει μια κατανομή πιθανοτήτων από την οποία να κάνουμε πρόβλεψη Άρα όταν μιλάμε για εξωγενείς παράγοντες στα οικονομικά Αναφερόμαστε σε παράγοντες οι οποίοι είναι εκτός της λύσης του προβλήματος Δηλαδή θεωρούνται ως δεδομένοι για τη λύση του προβλήματος Και δεν επηρεάζονται από τη λύση του προβλήματος Στο συγκεκριμένο παράδειγμα το οποίο έχουμε, που είναι η θεωρία του καταναλωτή Οι εξωγενείς παράγοντες είναι το εισόδημα και οι τιμές Το εισόδημα και οι τιμές καθορίζονται κάπου έξω από τον καταναλωτή Εξωγενώς και δεν επηρεάζονται από το πόσο θα αγοράσει Δεν επηρεάζονται από τη λύση του προβλήματος Είτε λίγο, είτε γραφικά, είτε με την συνάρτηση χρησιμότητας Καταλήξαμε σε 1x1 και 1x2 που ήταν συνάρτηση του M και του P Το M και του P όμως δεν είναι συνάρτηση των ποσοτήτων που έχεις καταναλώσει Δηλαδή το πόσο εισόδημα θα έχεις δεν εξαρτάται από το πόσο θα καταναλώσεις Κατανοητό? Άρα όταν λέμε εξωγενής παράγοντας στα οικονομικά Εννοούμε εκείνους τους παράγοντες των οποίων οι τιμές Τιμές σε εισαγωγικά, η αξία, το μέγεθος δεν επηρεάζονται από τη λύση του προβλήματος Άρα η λύση του προβλήματος στη θεωρία του καταναλωτή είναι να βρούμε πόσο είναι το x1' και το x2' Το ότι βρήκαμε το x1' και το x2' δεν επηρέασε την τιμή Δεν επηρέασε το εισόδημα Αντίθετα υπήρχε επηρεασμός του εισοδήματος πάνω στις μεταβλητές αυτές Άρα έχουμε δύο ειδών μεταβλητές στα οικονομικά προβλήματα Είναι οι ενδογενείς μεταβλητές και οι εξογενείς Οι ενδογενείς μεταβλητές είναι αυτές των οποίων οι τιμές προσδιορίζονται από την επίλυση του υποδείγματος Στο συγκεκριμένο παράδειγμα μας που κάνουμε είναι το x1 και το x2 Δηλαδή πόσοι θα είναι η ζητούμενη ποσότητα για το αγαθό 1 και το αγαθό 2 Αυτές είναι οι ενδογενείς μεταβλητές, δηλαδή για να βρούμε τις τιμές τους πρέπει να λύσουμε το πρόβλημα Οι εξογενείς μεταβλητές, οι τιμές τους έρχονται εκτός λύσης Δηλαδή δεν χρειάζεται να λύσουμε το πρόβλημα για να πάρουμε τις τιμές τους Όπως είναι το εισόδημα και όπως είναι οι τιμές των προϊόντων Από αυτές τις εξογενείς μεταβλητές ορισμένες μεταβλητές θεωρούνται τιμές πολιτικής Άρα εδώ θα ξεχωρίζαμε στις πραγματικές εξογενείς Οι οποίες είναι μεταβλητές πολιτικής, δηλαδή μεταβλητές τις οποίες μπορούμε να τις επηρεάσουμε ως πολιτικοί Και όταν λέω πολιτικοί δεν εννοώ μόνο την κεντρική πολιτική, δηλαδή την κυβέρνηση, αλλά εννοώ την επιχείρηση Δηλαδή πολιτικές της επιχείρησης Για παράδειγμα οι τιμές Οι τιμές καθορίζονται από τις επιχειρήσεις, σε εισαγωγικά καθορίζονται, θέτονται από τις επιχειρήσεις Άρα ανάλογα με τις τιμές τις οποίες θα θέσουμε λύνεται το πρόβλημα της συμπεριφοράς του καταναλωτή Θα δούμε λίγο αργότερα για τις πολιτικές των τιμών Άρα αυτό το οποίο μας ενδιαφέρει εμάς ως οικονομολόγους είναι ποιες είναι αυτές οι μεταβλητές πολιτικής Και πώς επηρεάζουν τις αποφάσεις του προβλήματος Στο συγκεκριμένο πρόβλημα πώς επηρεάζουν οι μεταβλητές πολιτικής τις αποφάσεις του καταναλωτή Και αυτό το οποίο σας είχα πει από το πρώτο πρώτο μάθημα είναι ότι τα οικονομικά δεν έχουν καμία αξία Η μόνη αξία την οποία έχουν τα οικονομικά είναι να μπορούμε να κάνουμε προβλέψεις Και να κάνουμε προτάσεις πολιτικής με βάση της προβλέψεις τίποτε άλλο Τίποτε άλλο είναι άχρηστα Προβλέψεις και προτάσεις πολιτικής με βάση της προβλέψεις Όλα τα υπόλοιπα είναι άλλων επιστυμών Τα οικονομικά τους οικονομολόγους γι' αυτό μας χρειάζεται μια κοινωνία Είτε να κάνουμε προβλέψεις για επίπεδο επιχείρησης Πώς θα εξελιχθούν οι πωλήσεις, τι πρέπει να κάνουμε για να αυξηθούν οι πωλήσεις Αυτό θα γίνει μέσα από μια διαδικασία προβλέψων Ήτε σε επίπεδο χώρας να κάνουμε προβλέψεις και να κάνουμε προτάσεις πολιτικής με βάση αυτές τις προβλέψεις Άρα για τους οικονομολόγους, για τα οικονομικά, οι γενικότητες δεν έχουν νόημα Είναι περισσότερο για τους φιλοσόφους και για τους πολιτικούς επιστήμονες Για τους οικονομολόγους νόημα έχουν μόνο τα υποδείγματα τα οποία μπορούν να σου δώσουν προβλέψεις Του τι έχει μέσα το υπόδειγμα αυτό είναι μια άλλη υπόθεση Αρκεί να μπορεί να σου κάνει καλές προβλέψεις Συνεπώς εάν έτσι έχουν τα πράγματα εμείς οφείλουμε να φτιάχνουμε υποδείγματα Τα οποία είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα δηλαδή δίνουν καλύτερες προβλέψεις Και κατά συνέπεια μπορούν να κάνουν και καλύτερες προτάσεις πολιτικής Έχουμε λοιπόν το διπλό πρόβλημα Το πρόβλημα είναι να βρούμε ποιο είναι το άριστο Και το άριστο για τις ενδογενείς μεταβλητές βγαίνει συναρτήσει των εξογενών μεταβλητών Αυτό είναι το πρώτο Και το δεύτερο πρόβλημα το οποίο έχουμε να λύσουμε Εδώ έχετε πια η πρόταση πολιτικής Τι θα συμβεί εάν κάποια από τις εξογενείς μεταβλητές μεταβληθεί Για παράδειγμα Ας πούμε ότι βρισκόμαστε σε μια κατάσταση α Που είναι μια κατάσταση ισορροπίας Αριστοποιείται μια συμπεριφορά Είτε είναι του καταναλωτή, είτε είναι του παραγωγού, είτε είναι της οικονομίας ολόκληρης Είτε είναι της παγκόσμιας οικονομίας κλπ κλπ Όποια μπορεί να είναι αυτή η κατάσταση Και σε αυτή την κατάσταση αλλάζει κάποια από τις εξογενείς μεταβλητές Επειδή οι τιμές των εξογενών μεταβλητών εισέρχονται μέσα στη λύση Δηλαδή η λύση περιέχει μέσα τις τιμές των εξογενών μεταβλητών Άρα η μεταβολή της θα αλλάξει τη λύση Άρα θα πρέπει να πάμε κάπου αλλού Θα πάμε σε μια νέα κατάσταση ισορροπίας β Τα ερωτήματα τα οποία προκύπτουν εδώ είναι τα εξής Πρώτον θα πάμε σε ένα β Δηλαδή υπάρχει μια νέα κατάσταση ισορροπίας Δεύτερον αυτή η νέα κατάσταση ισορροπίας σε σχέση με την προηγούμενη είναι καλύτερη, χειρότερη ή ίδιο επίπεδο Δηλαδή στην περίπτωση του καταναλωτή η ζητούμενη ποσότητα του αγαθού ένα θα αυξηθεί, θα μειωθεί ή θα παραμείνει η ίδια Άρα το πρώτο ερώτημα είναι αν υπάρχει ένα β Καινούριο Το δεύτερο ερώτημα είναι εάν αυτό το β σε σχέση με το α είναι καλύτερο, χειρότερο ή ίσο Και το τρίτο είναι ποια διαδρομή θα ακολουθήσει η οικονομία για να πάει στο β Θα πάει ευθύγραμμα, θα πάει έτσι, ποιο μονοπάτι θα ακολουθήσει, πρέπει να βρούμε τον δρόμο που θα ακολουθήσει Για να δούμε λίγο αυτό το πράγμα ας κάνουμε ένα μικρό παράδειγμα Ας πούμε ότι έχουμε μία λεκανίτσα με νερό, την ακουμπάμε κάτω ή σε ένα τραπέζι Και αυτή η λεκανίτσα με το νερό έχει μία στάθμη σε αυτό το ύψος Έρχεται μία πέτρα, πετάμε μία πέτρα, είμαστε το εξωτερικός παρατηρητής, πετάμε μία πέτρα Μέσα στη λεκάνη και αρχίζουν και δημιουργούνται κύματα, η πορεία Κυματάκια μέσα στη λεκάνη και σταδιακά τα κυματάκια αρχίζουν και περιορίζονται και στο τέλος Η στάθμη του νερού ανεβαίνει τόσο όσο είναι ο όγκος της πέτρας που έχουμε πετάξει εκεί μέσα Άρα ήμασταν σε μία θέση α, προκλήθηκε μία εξωγενής μεταβολή και πήγαμε σε μία θέση β, μία καινούργια ισορροπία Η οποία είναι υψηλότερη από την προηγούμενη και η διαδρομή που κάναμε ήταν αυτά τα κύματα και ο χρόνος που κάναμε για να ισορροπίσουμε Πολύ ωραία. Στο ίδιο παράδειγμα τώρα, αντί να βάλουμε τη λεκάνη πάνω στο τραπέζι, ας την τοποθετήσουμε πάνω σε ένα ελατήριο Έχουμε ένα ελατήριο και πάνω βάζουμε τη λεκάνη. Τώρα πώς αλλάζουν τα πράγματα Πετάμε την πέτρα μέσα και αρχίζουν και δημιουργούνται κύματα. Καθώς δημιουργούνται κύματα αρχίζει να ταλαντώνεται και το ελατήριο Και καθώς αρχίζει να ταλαντώνεται το ελατήριο τα κύματα αρχίζουν και μεγαλώνουν και καθώς μεγαλώνουν τα κύματα η ταλάντωση γίνεται μεγαλύτερη και στο τέλος και τα νερά πέφτουν και γίνεται χαμός Άρα τι έχουμε λοιπόν εδώ πέρα. Έχουμε ένα σύστημα το πρώτο που είναι πάνω σε ένα σταθερό τραπέζι που είναι ευσταθές Δηλαδή το σύστημα φεύγει από την ισορροπία προκαλούνται τα κύματα αλλά επανέρχεται σε μια νέα κατάσταση ισορροπίας και εδώ έχουμε ένα σύστημα το οποίο είναι ασταθές Δηλαδή από τη στιγμή που θα βγει από την ισορροπία πλέον εκκρίνεται. Άρα εάν έχουμε μία οικονομία, τώρα πάμε στα οικονομικά. Αν έχουμε μία οικονομία η οποία λειτουργεί με αυτόν τον τρόπο δηλαδή έχει μέσα της την αστάθεια και προκαλέσεις μία μεταβολή τότε αυτή η οικονομία καταραίει δηλαδή εκκρίγνεται Εδώ βέβαια μπορούμε να πούμε το εξής σε αυτού του τύπου τα υποδείγματα. Μέχρι ποιο σημείο, ποιο μέγεθος πέτρας πρέπει να πετάξουμε μέσα έτσι ώστε η ταλάντωση να μην είναι τόσο μεγάλη Υπάρχει μία ταλάντωση αλλά η ταλάντωση να είναι τόσο μεγάλη ώστε κάποια στιγμή το σύστημα να επανέλθει σε ισορροπία. Άρα ακόμα και στα ας το πούμε έτσι υποδείγματα τα οποία περιέχουν μέσα την δυνατότητα της αστάθειας Μπορούμε να παρέμβουμε με πολιτική αρκεί όμως να ξέρουμε τα όρια μέσα στα οποία θα παρέμβουμε. Αν ξεπεράσουμε αυτά τα όρια τότε η κατάσταση γίνεται εκκρυκτική Συνεπώς στα οικονομικά τι κάνουμε. Ποιες αναλύσεις κάνουμε. Πρώτη ανάλυση την οποία κάνουμε είναι να βρούμε την ισορροπία. Η δεύτερη ανάλυση την οποία κάνουμε είναι να προκαλέσουμε μεταβολές. Γιατί μας ενδιαφέρει η πολιτική. Αλλά κάνοντας την ανάλυση της πρόκλησης των μεταβολών πρέπει να κάνουμε την ανάλυση της ευστάθειας. Δηλαδή να μελετήσουμε κατά πόσο το σύστημα, το μοντέλο το οποίο έχουμε κάνει είναι ευσταθές ή ασταθές. Και η τρίτη ανάλυση την οποία κάνουμε είναι να δούμε εάν η καινούρια κατάσταση, εάν το σύστημα είναι ευσταθές, η καινούρια κατάσταση είναι καλύτερη, χειρότερη ή ίση από την προηγούμενη. Εμείς εδώ τώρα επειδή αναφερόμαστε μόνο σε μία χρονική περίοδο, η οποία χρονική περίοδος μπορεί να είναι άπειρη, μπορεί να είναι πολύ μικρή, αλλά δεν μας ενδιαφέρει, δεν έχουμε βάλει μέσα το χρόνο, άρα το θέμα της δυναμικής δεν παίζει. Το θέμα της δυναμικής παίζει από τη στιγμή που μέσα στο υπόδειγμά σου βάλεις μέσα το χρόνο. Άρα εμείς εκ των ασφαλούς αυτή τη στιγμή μπορούμε να πούμε, σε αυτό το επίπεδο που βρισκόμαστε στο πρώτο έτος, ότι το σύστημα είναι του καταναλωτή ευσταθές, δεν έχουμε δηλαδή πρόβλημα αστάθειας και συνεπώς μπορούμε να προχωρήσουμε στο δεύτερο κομμάτι της ανάλυσης, που είναι η συγκριτική στατική ανάλυση. Συγκριτική στατική ανάλυση. Δηλαδή συγκρίνουμε δύο στατικές καταστάσεις. Συγκρίνουμε τη στατική κατάσταση Α πριν από τη μεταβολή με τη στατική κατάσταση Β μετά τη μεταβολή. Υποθέτοντας ότι το υπόδειγμα μας της θεωρίας του καταναλωτή, έτσι όπως είναι τώρα, είναι ευσταθές. Δηλαδή το λεκανάκι μας είναι πάνω σε ένα σταθερό τραπέζι και όχι πάνω σε ένα ελατήριο που σημαίνει ότι θα πρέπει να λάβουμε υπόψη μας και άλλα πράγματα αν είναι πάνω στο ελατήριο. Άρα το ερώτημά μας είναι τη συγκριτική στατική. Δηλαδή, αν κατανοούμε πολύ δεν αλλάζει. Όχι. Στην περίπτωσή μας, στο παράδειγμά μας, οι τιμές και το εισόδημα για τον κατανοτή είναι εξωγενός δεδομένες. Δηλαδή, αν πάμε στη λαϊκή, παρεκτός κι αν είναι ο Βαρδίνο Γιάννης για παράδειγμα και κατέβει με 100 εκατομμύρια ευρώ και λέει θα αγοράσω όλη τη λαϊκή. Έτσι, αλλά για έναν μέσο, γιατί γι' αυτό μιλάμε τώρα έτσι, τη συμπεριφορά του ακόμα και του πλούσιου ανθρώπου, τη συμπεριφορά του ως απλού καταναλωτή. Έτσι, δεν θα πάει, ας πούμε, ο πλούσιος άνθρωπος να αγοράσει 2,5 τόνους παντζάρια από την αγορά. Έτσι, θα αγοράσει. Άρα, αν αγόραζε 2,5 τόνους θα μπορούσε να την επηράσει. Αλλά ακόμα και ο πλούσιος άνθρωπος θα αγοράσει τόσα παντζάρια όσα του χρειάζονται. Το τόσα παντζάρια όσα του χρειάζονται είναι μικρό ποσό σε σχέση, μικρή ποσότητα σε σχέση με το μέγεθος της αγοράς και κατά συνέπεια δεν μπορεί να την επηρεάσει. Στην κατάσταση ισορροπίας ισχύουν οι συνθήκες πρώτης τάξης. Στην κατάσταση ισορροπίας ισχύουν οι συνθήκες πρώτης τάξης. Άρα, εδώ βρίσκουμε πώς είναι το χ1, χ2 και το λ. Και αυτό το οποίο μας ενδιαφέρει είναι τι θα συμβεί εάν κάποιος από τους εξωγενείς παράγοντες όπως είναι το M, το π1 και το π2 μεταβληθεί και πώς θα επηρεάσει τις ενδογενές μεταβλητές που είναι το χ1, το χ2 και το λ. Η συγκριτική στατική ανάλυση σημαίνει εφόσον θα μεταβληθούν αυτές οι εξωγενείς μεταβλητές θα προκαλέσουν μια μεταβολή στις άλλες και επειδή οι μεταβολές αυτές είναι μικρές άρα στην ουσία μιλάμε για παραγώγους. Τι κάνουμε λοιπόν για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, παίρνουμε το ολικό διαφορικό των τριών εξισώσεων. Άρα πρώτα ολικό διαφορικό του συστήματος των τριών εξισώσεων. Τώρα πια αφήνουμε όλες τις μεταβλητές να μεταβληθούν. Άρα στην πρώτη εξίσουση θα έχουμε ux1x1-x1 συν ux1x2-x2 μειον πιένα επί τε λάμδα μειον λάμδα δε πιένα. M δεν υπάρχει στην πρώτη εξίσωση και αυτό εδώ είναι ίσο με μηδέν. Το ολικό διαφορικό της δεύτερης εξίσωσης. ux2x1-x1 συν ux2x2-x2 μειον πι δύο δε λάμδα μειον λάμδα δε πι δύο ίσο με μηδέν. Το ολικό διαφορικό της τρίτης εξίσωσης. dm μειον πιένα επί τε χιένα μειον χιένα επί τε πιένα μειον πι δύο επί τε χιδύο μειον χιδύο δε πι δύο ίσο με μηδέν. Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι η ισορροπία. Άρα προκαλούμε μια μεταβολή στην ισορροπία. Μια διαταραχή στην ισορροπία. Αυτή η διαταραχή μπορεί να έχει προέλθει από οποιοδήποτε από τους τρεις εξωγενείς παράγοντες. Από το πιένα το μ και το πι δύο. Άρα θέλουμε να δούμε πώς θα διαταραχθεί αυτή η ισορροπία. Άρα προκαλούμε αυτές τις μεταβολές και θα δούμε τώρα τι θα συμβεί. Τώρα αυτό το σύστημα των τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους το παρουσιάζουμε υπό πορφή πινάκων. Από την μια μεριά θα βάλουμε τις εξωγενείς μεταβλητές δεξιά, θα χωρίσουμε δηλαδή γνωστούς από αγνώστους και από την άλλη μεριά θα βάλουμε τις πενδογενείς μεταβλητές. Άρα εδώ είναι ΔΧ1, ΔΧ2, ΔΛ που είναι οι ενδογενείς μεταβλητές. Από εδώ είναι οι εξωγενείς μεταβλητές που είναι το ΔΕΠΙ1, το ΔΕΠΙ2 και το ΔΙΕΜ. Οι μεταβολές δηλαδή των εξωγενών μεταβλητών. Εδώ θα έχουμε έναν πίνακα τρία επί τρία και εδώ είναι επίσης τρία επί τρία τώρα τυχαίνει να είναι γιατί έχουμε τρεις εξωγενείς μεταβλητές. Άρα η πρώτη γραμμή των πινάκων είναι η πρώτη εξίσωση, η δεύτερη γραμμή των πινάκων είναι η δεύτερη εξίσωση και η τρίτη γραμμή των πινάκων είναι η τρίτη εξίσωση. Στην πρώτη εξίσωση ποιος είναι ο συντελεστής... εδώ θα γραφτεί τώρα η πρώτη εξίσωση. Ποιος είναι ο συντελεστής του ΔΕΧ1 είναι Ux1x1. Ποιος είναι ο συντελεστής του ΔΕΧ2 είναι Ux1x2. Ποιος είναι ο συντελεστής του ΔΛ-Π1. Ποιος είναι ο συντελεστής του ΔΕΠ1 αυτό πάει από την άλλη μεριά άρα γίνεται συν λ. Ποιος είναι ο συντελεστής του ΔΕΠ2 στην πρώτη εξίσωση δεν υπάρχει ΔΕΠ2 άρα ο συντελεστής του είναι 0. Στη δεύτερη εξίσωση ο συντελεστής του ΔΕΧ1 είναι Ux2x1. Ο συντελεστής του ΔΕΧ2 είναι Ux2x2 και ο συντελεστής του ΔΛ είναι ΜΠ2. Ο συντελεστής του ΔΕΠ1 είναι 0 δεν υπάρχει στη δεύτερη εξίσωση ΔΕΠ1. Ο συντελεστής του ΔΕΠ2 αυτό θα πάει από την άλλη μεριά και θα γίνει λ και ο συντελεστής του ΔΕΜ είναι 0. Στην τρίτη εξίσωση ο συντελεστής του ΔΕΧ1 είναι ΜΠ1. Ο συντελεστής του ΔΕΧ2 είναι ΜΠ2, του ΔΛ είναι 0 δεν υπάρχει ΔΛ στην τρίτη. Ο συντελεστής του ΔΕΠ1 είναι X1, ο συντελεστής του ΔΕΠ2 είναι X2 πάνω από την άλλη μεριά άρα αλλάζει το πρόσημο. Το πρόσημο και ο συντελεστής του ΔΕΜ είναι ΜΠ1. Άρα χώρισα γνωστούς από αγνώστους και τώρα οι γνωστοί και οι άγνωστοι είναι οι μεταβολές τους, έτσι δεν είναι τα απόλυτα μεγέθη. Ποιες είναι οι ενδογενείς μεταβλητές θα πάνε από τη μια μεριά, ποιες είναι οι εξογενείς μεταβλητές θα πάνε από την άλλη μεριά. Και μετά, αφού το κάναμε αυτό εδώ, το παρουσιάζουμε το σύστημα υπομορφήν πινάκων. Δεν είναι έσια νέες αυτές, είναι η παρουσίαση του συστήματος υπομορφήν πινάκων. Εδώ έχουμε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Χωρίζω τους άγνωστους από τους γνωστούς. Έπρεπε να το γράψω καλύτερα, τέλος πάντων, δεν πειράζει. Δηλαδή το DP πάει από την άλλη μεριά, το DP2 πάει από την άλλη μεριά, το DP1, DP2 πάει από την άλλη μεριά. Και μετά το παρουσιάζω υπομορφήν πινάκων. Έπρεπε να το παρουσιάσω και το επόμενο βήμα. Και το παρουσιάζω υπομορφήν πινάκων. Προσοχή, αυτό δεν είναι αισιανή, είναι το σύστημα που έχει προέλθει των τριών εξισώσεων, που έχει προέλθει από το λοικό διαφορικό των συνθηκών πρώτης τάξης. Τώρα, αυτό το οποίο μας ενδιαφέρει είναι τα πρόσημα αυτών των παραγόγων. Δηλαδή η συγκριτική στατική ανάλυση ενδιαφέρεται για τα πρόσημα αυτών των παραγόγων. Αυτή είναι η συγκριτική στατική ανάλυση, το αποτέλεσμά της. Το αποτέλεσμα μιας συγκριτικής στατικής ανάλυσης είναι να βρούμε τα πρόσημα των παραγόγων, των ενδογενών μεταβλητών ως προς τις μεταβολές των εξωγενών μεταβλητών. Θα μου πείτε γιατί δεν πέραμε κατευθείαν μία παράγωγο. Διότι όταν μεταβληθεί ας το πούμε έτσι το π1, γιατί χρειάζεται να πάρουμε σύστημα και όχι μία απλή παράγωγο. Ας πούμε ότι μεταβάλλεται το π1, μεταβάλλεται η τιμή του αγαθού 1. Η μεταβολή της τιμής του αγαθού 1 θα επηρεάσει τη ζητουμένη ποσότητα του αγαθού 1, ασφαλώς. Από τη στιγμή όμως που θα μεταβληθεί η ποσότητα του αγαθού 1, τι θα συμβεί στην ποσότητα του αγαθού 2, αν είναι υποκατάστατο το αποτέλεσμα υποκατάστασης, έτσι. Αλλάζει και η ποσότητα του αγαθού 2. Άρα και καθώς αλλάζει ποσότητα του αγαθού 2 μετά ξαναλλάζει ποσότητα του αγαθού 1 και ούτω καθεξής. Άρα δεν μπορώ να πάρω μόνο την μεταβολή τέχη 1, τέπη 1 χωρίς να λάβω υπόψη μου όλες τις αλληλεπιδράσεις που θα γίνουν μεταξύ των δύο αγαθών. Και καθώς μεταβάλλεται η τιμή μεταβάλλεται και το πραγματικό εισόδημα, το εισοδηματικό αποτέλεσμα και ούτω καθεξής. Άρα για να μπορέσω να τα αντιμετωπίσω όλα αυτά εδώ θα πρέπει να λύσω το πρόβλημά μου ως σύστημα και όχι ως μία εξίσωση μόνο. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο αντί να πάρουμε μία μόνο εξίσωση παίρνουμε το σύστημα των τριών εξισώσεων που καθορίζει τη λύση. Άρα προκαλούμε μία μεταβολή και βλέπουμε ολόκληρο το σύστημα πως αλλάζει. Αλλάζει το π1, αλλάζει το χ1, αλλάζει το χ1, αλλάζει το χ2, αλλάζει το χ2, αλλάζει το μ, ξαναλλάζει το χ2, ξαναλλάζει το χ1 και ούτω καθεξής. Όλα αυτά συνεχώς μεταβάλλονται. Πόσο θα μεταβάλλονται είναι η πορεία που είπαμε από το α στο β. Όλες αυτές οι μεταβολές γίνονται στην πορεία από το α στο β και μας μας ενδιαφέρει σε συγκριτική στατική ανάλυση τελικά να δούμε. Αφού έχουν ληφθεί όλες οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ όλων των μεταβλητών, εάν αυτό εδώ είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το μηδέν, δηλαδή η αύξηση της τιμής του αγαθού, πως αύξησε την ζητούμενη ποσότητα, το ίδιο και εδώ, το ίδιο και εδώ, το ίδιο και εδώ, το ίδιο και εδώ, το ίδιο και εδώ. Το ξαναλέω, έτσι, γιατί αν δεν κατανοήσουμε λίγο τη φιλοσοφία, το τεχνικό κομμάτι δεν έχει νόημα. Βρισκόμαστε σε μια κατάσταση Α. Σε αυτήν την κατάσταση Α, για να βρεθούμε, συνετέλεσαν το M, το P1, το P2, το U. Δηλαδή, η συνάρτηση χρησιμότητας. Άρα, οι μερικές παράγωγες και όλα αυτά εδώ. Το Α, λοιπόν, είναι οι συνθήκες Α τάξης. Δηλαδή, η αλληλεπίδραση όλων αυτών των παραγώντων που μας δίνει την ισορροπία Α είναι οι συνθήκες πρώτης τάξης, οι τρεις εξισώσεις. Αυτές οι τρεις εξισώσεις μαζί μας έδωσαν το Α. Και βρήκαμε, ας πούμε, ότι ο κατανοτής θα αγοράσει τρία κιλά ντομάτες και τέσσερα κιλά πορτοκάλια. Τελειώσαμε. Εάν αλλάξει κάτι από τους εξωγενείς παράγοντες, αυτό το οποίο είπαμε ή θα μεταβληθεί η τιμή του αγαθού ή θα μεταβληθεί η τιμή του άλλου αγαθού, ή θα μεταβληθεί το εισόδημα του, θα πρέπει αυτός να επαναϋπολογίσει ολόκληρο το σύστημα. Δηλαδή, όταν κατεβαίνει στην αγορά και βλέπει ένα κιλό ντομάτες είναι 2 ευρώ και ένα κιλό πορτοκάλια είναι 1 ευρώ, έχει στην τσέπη του 20 ευρώ και κάνει τις αγορές του. Και αποφασίζει να αγοράσει τέσσερα κιλά πορτοκάλια και πέντε κιλά ντομάτες. Στη συνέχεια το εισόδημα του αυξάνει, δηλαδή βρίσκει, όπως είχαμε πει στο παράδειγμα το κάναμε με τις καμπύλες αδιαφόρειας, ότι βρίσκεις στο δρόμο ένα 10 ευρώ. Αυτό το 10 ευρώ θα τον κάνει να επαναϋπολογίσει όλο το σύστημα από την αρχή. Δηλαδή δεν θα πάει μόνο στις ντομάτες ή μόνο στα πορτοκάλια, αλλά θα επαναϋπολογίσει ξανά όλο αυτό το σύστημα. Δηλαδή στο παράδειγμα που κάναμε με τη θεωρία των καμπυλών αδιαφορίας, στην ουσία τι έχουμε, επαναϋπολογίζει πού βρίσκεται η επόμενη καλύτερη καμπύλια αδιαφορίας. Ξαναλύνει πάλι δηλαδή το σύστημα από την αρχή, βάζοντας πια μια καινούργια παράμετρο, ότι το εισόδημα του από 20 έγινε 30. Άρα, εάν επαναϋπολογίζει από την αρχηφχή, τότε για να δούμε τις επιδράσεις πλέον τεχνικά, θα πρέπει να δούμε όλες τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους ταυτόχρονα. Άρα, για να δούμε ποια επιδράση θα έχει το εισόδημα πάνω στη ζητούμενη ποσότητα των αγαθών, θα πρέπει να δούμε τις εξισώσεις που καθορίζουν την ισορροπία του. Δηλαδή, τις συνθήκες πρώτης τάξης. Από τη στιγμή που θα έχουμε τις συνθήκες πρώτης τάξης, μετά μπορούμε να κάνουμε τις αλλαγές. Τώρα, η θέση β είναι τα πρόσημα. Δηλαδή, αυτά τα πρόσημα εδώ πέρα μας δίνουν την θέση β, αν είναι καλύτερο, χειρότερο ή ίσο, σε σχέση με πριν. Η πορεία από το α στο β είναι αυτό το οποίο μόλις περιγράψαμε. Δηλαδή, αυξάνει η τιμή του π1, μεταβάλλεται η ζητούμενη ποσότητα του χ1, επειδή μεταβάλλεται η ποσότητα του χ1, μεταβάλλεται η ποσότητα του χ2, γιατί επηρεάζει τη οριακή χρησιμότητα. Μεταβάλλονται αυτές τις ποσότητες, αυξάνει ή μειώνεται το πραγματικό του ισόδημα. Καθώς μειώνεται το πραγματικό του ισόδημα, τι γίνεται με το χ1. Αυξάνει ή μειώνεται. Δηλαδή, βλέπουμε ένα συνεχή κύκλο αλληλεπιδράσεων μέχρι να κατασταλλάξει η μπύλια. Συνεπώς, η πορεία από το α στο β είναι μόλις αυτή η διαδικασία την οποία περιέγραψα. Σε αυτό το στάδιο δεν μας ενδιαφέρει πορεία. Δηλαδή, θεωρούμε ότι πορεία θα υπάρξει. Το πώς θα πάει είναι άλλο ζήτημα. Αν, ξέρω εγώ, είπατε ότι είναι 10 ευρώ, τότε πάει το α στο β. Αν πέραμε 10 ευρώ, θα πηγαίνει το β στο α μέσω της ίδιας διαδρομής ή άλλης? Όχι, ενδεχομένως από άλλη. Αλλά αυτό θα το δούμε από την επίλυση. Ποια θα είναι η διαδρομή. Εντάξει. Είμαστε οκέι? Ναι. Αν είναι ίσο, το α θα πηγαίνει το β. Αν είναι ίσο, μπορεί αυτό να είναι ίσο και αυτό να είναι διαφορετικό. Άρα δεν θα ταυτίζεται. Αν όλα είναι ίσα, τότε ταυτίζεται. Το ξαναλέω. Αν μόνο μία από τις παραγώγους είναι ίση, τότε δεν ταυτίζεται το α και το β. Το α και το β θα ταυτιστούν όταν όλα είναι ίσα με μηδέν. Με άλλα λόγια, δηλαδή το σύστημα είναι ακίνητο. Ό,τι και να γίνει, επανέρχεται στην προηγούμενη κατάσταση ισορροπίας. Δηλαδή είναι σαν να κτυπάμε ένα εκκρεμές, το οποίο κινείται πάνω-κάτω-πάνω-κάτω και επανέρχεται πια στην παλιά θέση ισορροπίας. Άρα εκεί, οι παράγωγοι είναι ίσες με μηδέν. Δηλαδή δεν μεταβάλλεται. Βάλαμε μία δύναμη, πουνήθηκε και στο τέλος επανήλθα στην παλιά κατάσταση ισορροπίας. Είμαστε ok. Είναι κατανοητό τι προσπαθούμε να κάνουμε. Το σημαντικό είναι αυτό εδώ, να κατανοήσουμε τι προσπαθούμε να κάνουμε. Πάμε να δούμε τώρα πώς υπολογίζονται αυτές οι παράγωγοι, λαμβάνοντας υπόψη όλες τις αλληλεπιδράσεις. Δηλαδή θέλουμε πια να υπολογίσουμε αυτές τις παραγώγους λαμβάνοντας υπόψη όλες τις αλληλεπιδράσεις. Η παράγωγος τέχει ένα, τέπει ένα, είναι ίση με ένα κλάσμα στο οποίο στον παρονομαστή είναι η ορίζουσα των συντελεστών, των ενδογενών μεταβλητών. Λοιπόν, στον παρονομαστή είναι η ορίζουσα των συντελεστών, των ενδογενών μεταβλητών. Στον αριθμητή είναι επίσης μια ορίζουσα η οποία προκύπτει ως εξής, στη στήλη των μεταβλητών, της μεταβλητής που θέλουμε να πάρουμε την παραγωγή, άρα θέλουμε να πάρουμε την παράγωγή ως προς το χιένα, οι συντελεστές του χιένα είναι η πρώτη στήλη. Στη στήλη των συντελεστών του χιένα αντικαθιστούμε τους συντελεστές του παρονομαστή λ0x1. Άρα η ορίζουσα επάνω είναι λ0x1 και όλα τα υπόλοιπα παραμένουν σταθερά. Η ορίζουσα Δx2Dm είναι ίση με την ορίζουσα των συντελεστών των ενδογενών μεταβλητών, άρα αυτή είναι η ίδια, γx1 x1 γx1 x2 μx1 γx2 x1 γx2 x2 μx2 μx1 μx2 0. Δηλαδή σε όλες τις παραγώγους ο παρονομαστής είναι ο ίδιος, είναι η ορίζουσα των ενδογενών μεταβλητών. Στον αριθμητή τώρα πήραμε την παράγογο του x2 ως προς το m θέλουμε, άρα στην θέση των συντελεστών του x2, με η δεύτερη στήλη θα μπουν οι συντελεστές του m. Άρα θα είναι γx1 x1 γx2 x1 μx1 0 0 μx1 μx1 μx2 0. Και ούτω καθεξής. Ναι. Όχι βέβαια, απλώς λέω ότι στον παρονομαστή όλων των παραγώγων θα βρίσκεται ο πίνακας, η ορίζουσα μάλλον των ενδογενών μεταβλητών. Δεν είναι ίσα, εδώ είναι το σύστημα των εξισώσεων. Το σύστημα των εξισώσεων παρουσιασμένο υπομορφή πινάκων. Η ονομασία αυτών των παραγώγων στα οικονομικά ονομάζεται πολλαπλασιαστής. Γενικά σε όλα τα οικονομικά υποδείγματα, είτε μιλάμε για καταναλωτή, είτε μιλάμε για παραγωγό, είτε μιλάμε για αγορές, είτε μιλάμε για εθνική οικονομία, οι παράγωγοι των ενδογενών μεταβλητών ως προς τις εξαγωγές της εξωγενής, λαμβάνοντας υπόψη όλες τις αλληλεπιδράσεις, ονομάζονται πολλαπλασιαστές. Είναι αυτό δηλαδή που μας ενδιαφέρει στα οικονομικά. Από εδώ και στο εξής θα ακούτε συνέχεια, ιδιαίτερα στην μακροοικονομική, ότι θέλουμε να προσημάνουμε τον πολλαπλασιαστή. Δηλαδή θέλουμε να δούμε ποιο είναι το πρόσημο αυτής της παραγώγου, η οποία όμως παράγωγος βγαίνει, όχι ως απλή παράγοντος, αλλά λαμβάνοντας υπόψη, δείτε εδώ τώρα, όλες τις αλληλεπιδράσεις. Θα μεταβληθεί το χ1 πώς θα επιράσει το οριακό της χ1, θα μεταβληθεί το χ2 πώς θα επιράσει το χ1, και ούτω καθεξής. Δηλαδή όλες οι αλληλεπιδράσεις του συστήματος είναι μέσα. Δεν είναι μια απλή παράγωγος. Κατανοητό? Άρα η έννοια του πολλαπλασιαστή, η έννοια του πολλαπλασιαστή δεν είναι μια απλή παράγωγος, είναι η παράγωγος εκείνη η οποία βγαίνει μέσα από ένα σύστημα, λαμβάνοντας υπόψη όλες τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μεταβλητών. Παίρνοντας λοιπόν αυτές τις ορίζουσες από τη συνθήκη 2ης τάξης, ο παρονομαστής είναι θετικός πάντα. Εντάξει, από τη συνθήκη αυτή είναι η αισιανή, άρα ο παρονομαστής είναι θετικός. Συνεπώς αυτό το οποίο χρειάζεται για να προσημάνουμε όλες τις παραγώγους είναι να βρούμε το πρόσημο του αριθμητή. Άρα ως ασκησούλα για το σπίτι θα ήταν καλό να προσημάνετε τους πολλαπλασιαστές που γράψαμε προηγουμένως. Άρα για άσκηση στο σπίτι γράψαμε εδώ τους έξι πολλαπλασιαστές. Να προσημάνουμε αυτούς τους πολλαπλασιαστές, να βρούμε δηλαδή ποιό είναι το πρόσημό τους. Άρα θα πρέπει να πάρετε τις ορίζουσες, το ανάπτυγμα των ορίζουσων και να βρείτε ποιό είναι το πρόσημό του κάθε αριθμητή. Στις έξι περιπτώσεις. Σας έδωσα έξι πολλαπλασιαστές. Άρα χρειάζεται μόνο να προσημάνετε τον αριθμητή. Λοιπόν, όσοι έχετε κάνει την άσκηση που σας είχα βάλει την προηγούμενη φορά, δώστε τι μου να δω τι κάνατε. |