Διάλεξη 2 / Διάλεξη 2 / Διάλεξη 2

Διάλεξη 2: Υπόσχεσαι να μιλήσεις με το σύστημα που θα δουλέψουμε, το οποίο έχετε γνωρίζει όλοι το SI, επαναλαμβάνω πριν κάνουμε οτιδήποτε από εδώ και πέρα, η πρώτη μας δουλειά θα είναι να μετατρέψουμε τις μονάδες στο SI, να μιλήσουμε, να μιλήσουμε, να μιλήσουμε, να μιλήσουμε, να μιλήσουμε, να μιλήσο...

Πλήρης περιγραφή

Λεπτομέρειες βιβλιογραφικής εγγραφής
Κύριος δημιουργός:	Παπαζάχος Κωνσταντίνος (Καθηγητής)
Γλώσσα:	el
Φορέας:	Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Είδος:	Ανοικτά μαθήματα
Συλλογή:	Γεωλογίας / Φυσική
Ημερομηνία έκδοσης:	ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 2013
Θέματα:	εισαγωγή φυσική γεωλογία Γεωεπιστήμες και Επιστήμες Περιβάλλοντος Ανοικτά μαθήματα
Άδεια Χρήσης:	Αναφορά-Παρόμοια Διανομή
Διαθέσιμο Online:	https://delos.it.auth.gr/opendelos/videolecture/show?rid=4a5c9535

id	7ff6d007-42f9-4858-9a41-e67f5534fc41
title	Διάλεξη 2 / Διάλεξη 2 / Διάλεξη 2
spellingShingle	Διάλεξη 2 / Διάλεξη 2 / Διάλεξη 2 εισαγωγή φυσική γεωλογία Γεωεπιστήμες και Επιστήμες Περιβάλλοντος Παπαζάχος Κωνσταντίνος
publisher	ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
url	https://delos.it.auth.gr/opendelos/videolecture/show?rid=4a5c9535
publishDate	2013
language	el
thumbnail	http://oava-admin-api.datascouting.com/static/b5fc/9163/56d0/a0af/53cf/dd1f/94c4/cb52/b5fc916356d0a0af53cfdd1f94c4cb52.jpg
topic	εισαγωγή φυσική γεωλογία Γεωεπιστήμες και Επιστήμες Περιβάλλοντος
topic_facet	εισαγωγή φυσική γεωλογία Γεωεπιστήμες και Επιστήμες Περιβάλλοντος
author	Παπαζάχος Κωνσταντίνος
author_facet	Παπαζάχος Κωνσταντίνος
hierarchy_parent_title	Φυσική
hierarchy_top_title	Γεωλογίας
rights_txt	License Type:(CC) v.4.0
rightsExpression_str	Αναφορά-Παρόμοια Διανομή
organizationType_txt	Πανεπιστήμια
hasOrganisationLogo_txt	http://delos.it.auth.gr/opendelos/resources/logos/auth.png
author_role	Καθηγητής
author2_role	Καθηγητής
relatedlink_txt	https://delos.it.auth.gr/
durationNormalPlayTime_txt	02:08:41
genre	Ανοικτά μαθήματα
genre_facet	Ανοικτά μαθήματα
institution	Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
asr_txt	Υπόσχεσαι να μιλήσεις με το σύστημα που θα δουλέψουμε, το οποίο έχετε γνωρίζει όλοι το SI, επαναλαμβάνω πριν κάνουμε οτιδήποτε από εδώ και πέρα, η πρώτη μας δουλειά θα είναι να μετατρέψουμε τις μονάδες στο SI, να μιλήσουμε, να μιλήσουμε, να μιλήσουμε, να μιλήσουμε, να μιλήσουμε, να μιλήσουμε. Και μετά δεν χρειάζεται να γράφουμε μονάδες, ξέρουμε ότι εγγυημένα το αποτέλεσμα είναι στο SI. Είπαμε δυο κουβέντες για την ακρίβεια των ψηφίων, δεν έχει νόημα να κρατάμε δεκαδικά ψηφία, όταν οι αριθμοί έχουν σχετική ακρίβεια μικρότερη ο ένας από τον άλλον, δεν έχει νόημα να προσθέτουμε ένα πολύ, να κρατάμε ψηφία σε ένα ρυθμό που η αριθμό ήταν στο πρώτο δεκαδικό, από τα άλλα ψηφία είναι πρακτικώς άχρηστα. Είδαμε δύο κατηγορίες μεγεθών, τα βαθμοτά μεγέθιο που η πράξη είναι αριθμητικές, δηλαδή περιπτώσεις όπου χρειαζόμαστε απλά να κάνουμε προσθέσεις αφαιρέση και τα λοιπά και διανοηματικά μεγέθιο, που είδαμε ότι οι πράξεις είναι γεωμετρικές, π.χ. πώς προσθέτουμε διανύσματα, αλλά στην πράξη αντικαταστήσαμε το διανύσμα από τις συνεισθώσες και δείξαμε ότι τουλάχιστον η πρόσθεση και η αφαίρεση ανάγονται σε πρόσθεση των αντίστοιχων συνεισθωσών. Δείξαμε επίσης ότι αν πάρει κανείς τα μοναδία αδειέματα στους τρεις άξονες που λέγονται I, J, K μπορεί να γράψει το διανύσμα σε αυτή τη μορφή, σαν άθλησμα τριών διανυσμάτων, που είναι άλφα χι φορές το I, άλφα ξι φορές το J και άλφα ζες φορές το K, αυτά τα τρία νούμερα είναι οι συνεισθώσες, και με αυτό το κόλπ που χρησιμοποιήθηκε στις συνεισθώσες δείξαμε ότι αν μπορούμε να γραφίσουμε δύο γινόμενα, το εσωτερικό γινόμενο, όπου είναι το μέτρο του ενός διανύματος με το άλλο, επί το στιγμή των σγωνιών που σχηματίζουν, μας βοηθάει να υπολογίσουμε την καθετότητα, όταν είναι 0 τότε τα διανύματα είναι κάθετα και κυρίως μπορεί να υπολογιστεί από τις συνεισθώσες. Όταν έχω δύο διανύματα, κάνοντας απλούς πολλαπλασιασμούς και αθρίσεις των τριών συνεισθωσών μεταξύ τους, μπορώ να το υπολογίσω και έτσι να ελέγξω αν είναι κάθετα, γεωμετρία, ή να υπολογίσω την γωνία ανάμεσα τα δύο διανύματα, εφόσον αυτό υπολογίζεται από τις συνεισθώσες και τραμέτρα υπολογίζεται από τις συνεισθώσες. Πώς? Τετράγωνο, τετράγωνο, αθρίσμα ρίζα. Αυτό που δεν είδαμε είναι αυτό. Θα το πούμε λίγο πιο αναλυτικά σήμα, γιατί δεν προλάβαμε την προηγούμενη φορά. Το εξωτερικό γινόμενο σε αντίθεση με το εσωτερικό δεν είναι ένα νούμερο, δεν είναι πέντε, εφτά, δεκατρία, τριανταδύο, μίον, τρία, μη δέγναμα είναι κάθετα. Είναι ένα διανύσμα. Άρα βάζω στην κουβά δύο διανύσματα και μου βγάζουν ένα άλλο διανύσμα, όχι ένα νούμερο. Και αυτό εισήχθηκε και εφευρέθηκε για λόγους α γεωμετρικούς, μαθηματικούς, πρακτικούς, θα τους δούμε, και β για λόγους για να μας διευκολύνει να εκφράσουμε συγκεκριμένους φυσικούς νόμους με πιο απλό τρόπο, με πιο συμπαγή τρόπο. Πώς ορίζεται αυτό το διανύσμα? Ας υποθέσουμε πάλι ότι έχουμε τα ίδια δύο διανύσματα, το α και το β. Ο εσωτερικός ήταν το γινόμενο το μέτρο επί το συντημήτων της γωνίας, το εξωτερικό είναι ένα διανύσμα. Θα τα φέρουμε το ένα δίπλα στο άλλο και θα φτιάξουμε το διανύμα στις δεξίς. Θα πάρουμε το χεράκι μας στο δεξί, οι αριστερόχειρες βάζουν το χέρι από πίσω γιατί έχουν την τάση να βγάζουν το αριστερό μπροστά, ο κόμμος έχει φτιαχτεί για τους δεξιόχειρες και όχι για τους αριστερόχειρες, συγγνώμη. Θα πάρτε το δεξί χεράκι λοιπόν και ο κανόνας δεξιούχεριου, τουλάχιστον εγώ έτσι δεν εφαρμόζω, όταν τα δάχτυλα τα τέσσερα δείχνουν τη φορά κίνησης ο αντίχειρας δείχνει το διανύσμα. Δηλαδή καθώς από το α πηγαίνουμε προς το β, ο αντίχειρας δίνει τη φορά που έχει το διανύσμα αυτό εδώ. Άρα αν αυτά δίνουν τα δυνάμματα το α και το β, καθώς πάμε από το α προς το β ο αντίχειρας, αυτός είναι για μένα κανόνας δεξιούχεριου, δείχνει τη διέρυση του διανύσματος, έτσι. Το διανύσμα αυτό είναι κάθετο στο επίπεδο που σχηματίζουν τα άλλα δύο και συμβολίζεται α, χ, β όπως το βλέπετε ακριβώς εδώ. Λέγεται διανυσματικό διανύσμα ή εξωτερικό, διανυσματικό γινόμενο με συγχωρείτε, ή εξωτερικό γινόμενο. Και το διανύσμα αυτό που είναι κάθετο έχει μέτρο, μέτρο όχι το διανύσμα το ίδιο, το μέτρο του αν το υπολογίσω. Δηλαδή αν μου το έδινες και έπαιρνα τετράγων, τετράγων, τετράγων ρίζα, το μέτρο του είναι το μέτρο του α επί το μέτρο του β επί το ίμι των της γωνίας που σχηματίζουν μεταξύ τους. Άρα με αυτόν τον τρόπο ξέρουμε και το μέτρο. Σαν διεύθυνση είναι κάθετος το επίπεδο που σχηματίζουν τα δύο άλλα διανύσματα. Άρα μπορώ γεωμεντικά να το φτιάξω, αρκεί να πάρω το ένα διανύσμα, το άλλο διανύσμα, να βρω το επίπεδο, να σχεδιάσω το κάθετο και να το κάνω πόσο μεγάλο, τόσο. Ήδη ξέρω τα μέτρα αυτά να τα βρίσκω και τη γωνία ξέρω να την βρίσκω, πηχή από το εσωτερικό γενόμενο, θα δούμε και πως αλλιώς και μπορώ να το σχεδιάσω. Θα μου πεις πάλι γεωμετρία. Πριν σας πω για τη γεωμετρία να σας πω ότι είναι το πρώτο γενόμενο που θα δείτε στη ζωή σας, το οποίο δεν σχεεί αντιμεταχειτική ιδιότητα. Δηλαδή, το α εξωτερικός β και το β εξωτερικός α δεν είναι το ίδιο πράγμα. Το α εξωτερικός β δείχνει προς τα πάνω, το β εξωτερικός α εδώ δείχνει προς τα κάτω, γιατί από το β πρέπει να πας το α. Άρα, δεν είναι ίδιο το α εξωτερικός β και το β εξωτερικός α, γιατί είναι ακρίβεια, εφόσον το ένα είναι κάθετο προς τα πάνω και το άλλο είναι κάθετο προς τα κάτω, αλλά έχουν ίδιο μέτρο, α επί β ή το ημίτων της γωνίας, θα είναι μεταξύ τους αντίθετα. Άρα, είναι το πρώτο γινόμενο που αν αλλάξεις τη σειρά, πρέπει να βάλεις και ένα πλήν. Δεν το έχετε ξανά συναντήσει αυτό, δεν υπάρχει. 3-5-15-5-3-15 μαθαίνει κανείς στην τρίτη δημοτικού. Δεν έχεις συναντήσει κανείς γινόμενα που να αλλάζει η σειρά. Αλλάζουν τα πρόσημα, με συγχωρείτε, όταν αλλάζει το γινόμενο. Εδώ, έτσι είναι τα πράγματα. Το γινόμενο αλλάζει πρόσημο, άμα αλλάξει τη σειρά. Άρα, μπορεί να την αλλάξεις, θα βάλεις ένα πλήν. Υπάρχουν άλλα γινόμενα, π.χ. στους πίνακες, που δεν μπορείς να τα αλλάξεις απλά. Εδώ μπορείς, αλλά θα βάλεις και ένα πλήν. Ας έρθουμε τώρα να δούμε πώς το υπολογίζουμε. Αν η γωνία είναι 180, ή η γωνία είναι 0, δηλαδή αν τα διανύσματα είναι παράλληλα, είτε έχουν την ίδια φορά, είτε έχουν αντίθετη φορά, εύκολα βλέπει κανείς ότι το ημίτον αυτό είναι 0, άρα το εξωτερικό γινόμενο είναι 0. Υθικό δίδαγμα, όπως για την καθετότητα, η σχέση είναι Ά-Ε-Β-Ε-Ν-Ν, αυτή ορίζει, περιγράφει από εδώ και πέρα για εσάς την καθετότητα, έτσι την παραλληλότητα, το ότι είναι δύο παράλληλα, θα την ορίζει αυτή η σχέση. Το Ά-Ε-Β-Ε-Ν-Ν, αύριο μεθαύριο θα διαβάσετε ενδεχομένως κάπου σε μια εργασία, σε ένα βιβλίο κάπου, και θα λέει τα διανύσματα είναι κάθετα Ά-Ε-Β-Ε-Ν-Ν, το Ά-Ε-Β-Ε-Ν εξηγήσαμε που οφείλεται. Κάπου αλλού θα λέει τα διανύσματα είναι παράλληλα Ά-Ε-Β-Ε-Ν-Ν, ξεκινάνε από τον ορισμό, έτσι γράφεται στα βιβλία η παραλληλότητα. Σε ένα μαθηματικό βιβλίο, όχι μαθηματικό του υπαίδου, του γυμνασίου, δεν γράφουν το Ά-Ε-Β-Ε-Β-Ε-Ν, το γράφουν έτσι και θεωρούν ότι ο αναγνώστης καταλαβαίνει αυτομάτως ότι οι Ά-Ε-Β-Ε-Ν είναι παράλληλα, είτε με την ίδια είτε με αντίθετη φορά. Πώς υπολογίσουμε στην πράξη στο εξωτερικό γεγονόμενο. Πάλι κάνουμε το ίδιο κόλπο. Ας ξεκινήσουμε τα μοναδιέα διανύματα και ας τα δούμε μεταξύ τους τι κάνουμε. Για να το υπολογίσουμε λοιπόν χρειαζόμαστε όπως και στο εξωτερικό να δούμε τι κάνουν τα μοναδιέα. Ας μου πει κάπου στο Ά εξωτερικός Ά πόσο πιστεύετε ότι είναι. Πες το. Γιατί. Με τον εαυτό του. Προφανώς. Το διανύμα και ο εαυτός του είναι παράλληλα. Άρα εφόσον είναι αυτό με τον εαυτό του, προφανώς θα δώσει μηδέν. Η γωνία που σχηματίζει με τον εαυτό του είναι μηδέν. Άρα είναι μηδέν. Τα διανύματα λοιπόν να τα πάρεις στο εξωτερικό γεγονόμενο με τον εαυτό τους, και το μοναδιέο το Ι δίνει πάντα μηδέν. Ας δούμε το ίδιο προφανώς και το Ζ εξωτερικός Ζ και το Κ εξωτερικός Κ. Ας δούμε τι κάνουν όταν πάρεις το Ά με το Ζ. Για να δούμε το Ά εξωτερικός Ζ. Ψάχνουμε έναν διανύμα που είναι. Δεξί χέρι. Καθώς πάμε από το Ά προς το Ζ να είναι κάθετο. Τι μέτρο να έχει αυτό λέει. Το μέτρο του πρώτου ένα. Επί το μέτρο του δεύτερου ένα. Επί το ημίτων των ενταμυρών ένα. Δηλαδή ένα επί ένα επί ένα ένα. Ποιο διανύμα κοιτάει προς τα πάνω και έχει μέτρο ένα. Το Κ. Αυτό. Άρα το Ά εξωτερικός Ζ πρέπει να δώσει, εφόσον ισχύουν αυτά που σας είπα πρέπει να δώσει το Κ. Άρα αυτό με αυτό θα δώσει το Κ. Το Ζ με το Κ θα δώσει το Ά. Το Κ με το Ά θα δώσει το Ζ. Άρα προσέξτε το Ά με το Ζ θα δώσει το Κ. Αλλά να το κάνεις ανάποδα. Ζ στο 20Α θα κοιτάει προς τα κάτω. Θυμηθείτε καθώς τα αλλάζεις μπαίνει απλή μπροστά. Έτσι. Άρα αυτά έχουν μια κυκλική σειρά. Το ΆΖΚ δίνει το ΚΑΙ, το ΖΚ δίνει το Ά, το ΚΑΙ δίνει το Ζ. Είναι μια τέτοια αλληλουχία. Συνεπώς και αυτά μπορεί να τα υπολογίσει κάποιος σχετικά εύκολα. Από το ΆΖΚ φτιάχνει το ΚΑΙ, από το ΖΚ φτιάχνει το Ά και από το ΚΑΙ φτιάχνει το Ζ. Αν χρησιμοποιήσεις αυτές τις ιδιότητες και πας να ψάξεις το γενικό εξωτερικό γινόμενο, όπως κάναμε και με το εσωτερικό, δηλαδή αν πάρει τεχνίστεκάνη αυτό εδώ και βάλει όλο αυτό εδώ επί όλο αυτό εδώ, πάλι είναι εννέα γινόμενα. Αυτός ο όρος με αυτόν τον όρο πόσο θα δώσει... Πόσο? Γιατί το ΆΙ με το ΆΙ θα δώσουνε μηδέν. Έφυγαν. Το ΖΚ με το ΖΚ θα δώσουνε μηδέν, το ΚΑΙ με το ΚΑΙ θα δώσουνε μηδέν. Θα μείνουν άλλοι έξι όροι. Είναι πολλοί. Δεν είναι λίγοι. Αν τους πάρεις και τους ομαδοποιήσεις και ξεχωρίσεις μετά, δηλαδή το ΆΙ με το ΖΚ θα δώσουνε το ΚΑΙ και τα λοιπά, και κάνεις όλα αυτά εδώ, δηλαδή αντικαταστήσεις αυτά που είναι μηδενικά και τα υπόλοιπα που είναι μη μηδενικά, καταλήγεις, μη το γράψετε, δεν υπάρχει περίπτωση να το θυμάστε, σε αυτόν τον μικρό τύπο, ο οποίος λέει το εξωτερικό γινόμενο, το ΆΙ είναι διάνισμα, δεν είναι νούμερο, είναι ένα ολόκληρο διάνισμα. Ή θα θυμάσαι αυτό, πράγμα απίθανο, ή θα το κάνεις με την ορίζουσα, είναι πιο εύκολο αυτό, γιατί είναι εύκολο να τη φτιάξεις, για να φτιάξεις αυτή την ορίζουσα που δίνει το ίδιο πράγμα, κάνεις το εξής, γράφεις IJK τα τρία διάνισματα, γράφεις το πρώτο διάνισμα, γράφεις και το δεύτερο διάνισμα, άρα έχεις να υπολογίσεις αυτό το τέρας εδώ, δεν είναι τόσο δύσκολο, θα σας πω πως το κάνω εγώ, αν θυμάστε, μία ορίζουσα τρία επί τρία, κάνετε στο λίκιο για αυτές, τσου, δύο επί δύο μόνο, κάνετε την προηγούμενη εβδομάδα, εντάξει τι πράγμα είναι, πώς θα θυμάμαι εγώ αυτές τις μία, δύο, τρεις υποορίζουσες, με το εξής κόλπο, για μένα, ας πούμε το συντελεστή του I, νατος, παίρνεις και σβήνεις την αντίστοιχη γραμμή και την αντίστοιχη στήλη, τη σβήνεις με το μυαλό σου, αυτό που περισσεύει μπαίνει εδώ μπροστά, πάμε να βρούμε το συντελεστή του J, παίρνεις την αντίστοιχη γραμμή και την αντίστοιχη στήλη και τη σβήνεις, αυτό που περισσεύει μπαίνει εδώ, αυτό υπάρχει και στο διαδίκτυο διαδραστικά να το επαναλάβετε και μόνοι σας, παίρνεις και το συντελεστή του K, σβήνεις αυτό και αυτό, αυτό που περισσεύει μπαίνει εδώ μπροστά, το μόνο που πρέπει να θυμάσαι είναι ότι αφού το κάνεις αυτό, πρέπει να αλλάξει τα πρόσημα, πάνε συν, πλιν, συν, και αν είχε και άλλο πλιν, συν, πλιν, συν, πλιν, συν, αλλάζουν τα πρόσημα συνεχώς. Μόνο αυτό πρέπει να θυμάσαι. Άρα αυτός ο όρος δυστυχώς είχε ένα πλιν μπροστά. Αν θυμηθείς αυτό το κολπάκι, δηλαδή πρώτη διαγραφή, δεύτερη διαγραφή, τρίτη διαγραφή, φτιάχνεις τρεις ορίουσες. Αυτές πρέπει να ξέρετε πώς υπολογίζονται. Αυτό έπει, αυτό μειών, αυτό έπει, αυτό όσο είναι, αυτό έπει, αυτό μειών, αυτό έπει, αυτό όσο είναι, αυτό έπει, αυτό μειών, αυτό έπει, αυτό, και βγάζει αυτό εδώ το τέρας. Αλλά επειδή αυτό είναι δύσκολο να το θυμάσαι, εμένα μου φαίνεται πιο εύκολο να θυμάμαι αυτό. Δηλαδή, έχω άρφα ξερικών γρήφα, β, i, j, k, το πρώτο διάνυσμα, το δεύτερο διάνυσμα. i, επισβήνω γραμμή και στήλη, να είναι μια υποορίδουσα, τη βάζω εδώ. j, γραμμή και στήλη, να τη άλλη υποορίδουσα, τη βάζω εδώ. Ε, αυτές ξέραν να τις υπολογίζω, αφού βάλω ένα πρόσημο πλήν στο μεσαίο. Έτσι το θυμάμαι εγώ. Με αυτόν τον τρόπο, τώρα βλέπετε στη σαρφαχία φαψιά, εδώ θα υπάρχουν νούμερα 5, 2, 3, 1, 0, 7. Άμα τα βάλεις, τελικά θα σου βγει ένα νούμερο εδώ, ένα νούμερο εδώ και ένα νούμερο εδώ. Οι τρεις συνεισθώσεις του διανύσματος. Τι μέτρο θα έχει? Τετράγωνο, τετράγωνο, τετράγωνο, ό,τι βγει, ρίζα. Άρα, και το εξωτερικό γινόμενο υπολογίζεται από τις συνεισθώσεις. Όλα άθροισμα, αφαίρεση, εξωτερικό, εξωτερικό, υπολογίζεται από τις συνεισθώσεις. Ανάγεται σε απλές προσθέσεις και αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και αθρίσματα που υπάρχουν εδώ. Γι' αυτό και αντικαθιστούμε τη γεωμετρία με αυτά εδώ. Ξεχνάμε τη γεωμετρία και κάνουμε απαρθυνητικές πράξεις. Παράδειγμα, να το διάνισμα α3 2-1. Να και το διάνισμα β-2 2-2. Τι πρέπει να φτιάξω, να φτιάξω αυτή την ορίζουσα. Πάνω θα μπουν τα i, j, k. Α, παρέθεση, μεταξύ τους αυτά είχαμε δείξει ότι είναι κάτι, θα το επαληθεύσουμε. 3 πρώτη με την πρώτη, δεύτερη με τη δεύτερη, τρίτη με την τρίτη. 3 πριν μειών 2 κάνει μειών 6, 2 πριν 2 κάνει 4 και μειών 6 μας κάνει μειών 2. Μειών 1 πριν μειών 2 κάνει 2 και μειών 2 κάνει μηδέν. Άρα το ιστορικό γεωμενο βγαίνει μηδέν. Αυτά είναι κάθετα μεταξύ τους. Το α, εξελικός β, τι θα είναι στα λαδείο. Στα διάνισμα, κάθετο. Άρα κάθετο το α στο β, κάθετο και το διάνισμα θα φτιάξουμε στα λαδείο. Τα τρία μεταξύ τους θα είναι κάθετα. Σαν τον άξορα χ, ψ και ζ. Να το α, να το β, να και το κάθετο σε αυτά τα δυο. Και τα α μεταξύ τους κάθετα, έτσι. Θυμάται κανείς αυτό εδώ, αυτό τον δυσκολέδει. Εγώ το έχω κάνει με την ορίουσα. Α, δεν το έκανα με την ορίουσα. Ωραία. Κάντε μου τη χάριση παρακαλώ πάρα πολύ. Εδώ έχω κάνει κατευθείαν αντικενταστάσεις από τον τύπο. Γράψτε το IJK. Το 3-2-1, το 2-2-2. Και κάντε μόνοι σας τις πράξεις. Λογικά πρέπει να βγάλετε το ίδιο αποτέλεσμα. 2-8-10. Αυτό το διάνισμα είναι το αξιδικός β, που εγγυημένα είναι κάθετος στο α και εγγυημένα είναι κάθετος στο β. Είναι κάθετος στο επίπεδο που σηματίζουν τα ραδιοδιανίσματα. Γεωμεντική εφαρμογή. Αν έχω δύο διανήματα και ψάχνω ένα κάθετο σε αυτά, να ένας τρόπος με απλές προσθέσεις και πολλαπλασιασμούς να το κατασκευάσω. Είπαμε λοιπόν αυτό που έφτιαξα τώρα μόλις είναι κάθετο και στο α και στο β. Που α είναι αυτό και β είναι αυτό εδώ. Ας πάμε να συνεχίσουμε. Στο σημερινό μάθημα θα ξεκινήσουμε να πούμε μερικά πράγματα τα οποία σχετίζονται με την πολύ απλή μηχανική τα επόμενα μαθήματα και το πρώτο μάθημα θα περιοριστεί νομίζω και κλειό από το επόμενο στην κινηματική. Η κινηματική είναι το κομμάτι εκείνο της μηχανικής που εξετάζει μόνο τις κινήσεις. Δηλαδή είναι μια θεωρία χαζή που παρατηρεί. Δεν έχει άλλην επιδράση, δεν έχει τίποτα. Είμαστε παρατηρητές. Ήταν το πρώτο που ιστορικά αναπτύχθηκε γιατί αυτό μπορούσαν να κάνουν οι άνθρωποι. Να βλέπουν τα σώματα όπως κουνούνται. Ουράνια σώματα ήτανε. Οι μηχανικοί ξεκίνησαν να σκοτώσουν τον άλλον πως να ρίξουμε το βλήμα να πετύχουμε τον άλλον. Γι'αυτό και αναπτύχθηκε πάρα πολύ από τους μηχανικούς του πυροβολικού. Θα παραθούμε τα πράγματα παρατηρησιακά και απλά. Είναι απλά και ταυτόχρονος είναι λίγο δύσκολα γιατί έχετε μπερδεμένες κάποιες σκέψεις στο μυαλό σας που θα προχειρήσουμε να τις ξεκαθαρίσουμε όλες εδώ. Η πιο απλή κινήση που εξετάζει η μηχανική είναι που ξέρετε από τα πρώτα στάδια της φυσικής και είναι η ευθύγραμη κινήση. Έχεις μία μπάλα που είναι κάπου, η αρχή μπορεί να είναι σε χρονική στιγμή 0 σεκόντ το αρχής του χρόνου δεν υπάρχει, είναι όλα αυτά αφθαίρετα λέμε από τώρα μπαμ, ο αφέτης πατάει το κουμπί και λέει 0 σεκόντ τώρα, έτσι. Σε ένα σεκόντ πάει λίγο παραπέρα, σε δύο λίγο παραπέρα, κινείται σε ευθεία γραμμή πάντως το σώμα. Ξεκινάει την κινήση σε μία διάσταση. Αφθαίρετα συνήθως τα βάζουμε όλα και ορίζουμε αυτόν τον άξινο και τον ομάζουμε το όνομα X. Δηλαδή ορίζουμε μια ευθεία αφθαίρετη που τη λέμε X συνήθως για πρακτικούς σκοπούς και εκεί πάνω κινείται το σώμα. Θα μπορούσε να είναι ένα ευθύγραμο τούνελ που δεν έχει καμία δυνατότητα να πας δεξιά αριστερά. Κινείται μόνο ευθύγραμο. Και η κινήση αυτή δεν χρειάζεται να σταθερή. Μπορεί το πρώτο δευτερό ώρα να κινήθηκες δύο μέτρα, το επόμενο τέσσερα μέτρα και το επόμενο τρία μέτρα. Γιατί επιτάχυνες, ελβράδινες, έκανες ό,τι ήθελες. Το πρώτο και πιο απλό νουμπεράκι που ορίζεται και περιγράφει μία κινήση πέρα από το που είσαι σε κάθε χρονική στιγμή είναι η λεγόμενη μέση ταχύτητα. Η μέση ταχύτητα αφορά δύο συγκεκριμένες χρονικές στιγμές. Την ένα και τη δύο. Αν λοιπόν το σώμα, η θέση του περιγράφει μία συνάντηση χύτου ταφ και σε διάφορες χρονικές στιγμές είναι σε διάφορες θέσεις, η μέση δεν υπάρχει γενικά μέση ταχύτητα. Υπάρχει η μέση ταχύτητα που αναφέρεται σε δύο χρονικές στιγμές. Δύο. Την ένα και τη δύο. Αλλάζοντας οποιοδήποτε από τα δύο, αλλάζει και η μέση ταχύτητα. Τόσο τι είναι η μέση ταχύτητα αυτό που ξέρετε από πολύ νωρίς. Πόση απόσταση έκανες χ2 μη χ1 σε πόσο χρόνο. Εδώ πιχύ έκανες 2 και 4 και 3, είσαι στα εννέα μέτρα. Την χρονική στιγμή τρία σεκόντ. Ξεκίνησες από τα μηδέν μέτρα. Ας υποθέσουμε ότι εδώ είναι η αρχή των αξώνων. Θα μπορούσαμε να μην ξεκινάσουμε από τα μηδέν μέτρα. Την χρονική στιγμή μηδέν σεκόντ. Άρα αυτά δεν είναι πάντα μηδέν. Προσέξτε γιατί πολύ οι δύο της εξετάσεις έχουν την τάση αυτά να τα βάζουν μηδέν. Δεν ξεκινάνε πάντα την χρονική στιγμή μηδέν. Ούτε ξεκινάνε πάντα το μέτρο μηδέν. Θα τα δεις εκείνη την ώρα που είναι. Θα κάνεις αφαιρέση και θα βγάζεις έναν νούμερο. Τρία μέτρα ασεκόντ. Τι σημαίνει αυτό ότι από εδώ μέχρι εδώ κατά μέσο όρο κινήθηκες με τρία μέτρα ασεκόντ. Κατά μέσο. Έτσι. Άρα αν αυτή είναι η συναρτήση που περιγράφει το πού είστε κάθε χρονική στιγμή. Εδώ οι συναρτήσεις θα μπούνε να υπηρετήσουν τη φυσική. Έχουμε λοιπόν μια συναρτήση, μια μηχανή που βάζουμε χρόνους και μας δίνει θέσεις. Την χρονική στιγμή τα φένα είμαι εκεί, τα δύο είμαι εκεί, τα τρία είμαι εκεί. Είναι μια συναρτήση. Εδώ είναι το τα φένα και εδώ είναι το χιένα. Εδώ είναι το τα δύο και εδώ είναι το χιδύο. Απλά θέλουμε αυτή την απόσταση του χρόνων και αυτή την απόσταση των αποστάσεων. Χιδύο μηχανή 1, να το, αυτό εδώ. Τα δύο μηχανή 1, να το. Αυτό το τριγωνάκι εδώ, η κλήση του όχι σε μοίρες, διαγράφτε τις μοίρες. Ο ρυθμός μεταβολής τόσο σε τόσο είναι αυτό που ορίζουμε σαν μέση ταχύτητα. ΔΑΧΠΡΟΣ ΔΑΤΤΑΦ. Κατωπίστε μέσα στο μυαλό σας ότι αν βάλετε τις χρονικές στιγμές και σχηματίσετε αυτό το τριγωνάκι εδώ, ο λόγος αυτής της πλευράς προς αυτή την πλευρά, ξεχάστε ότι ο λόγος αυτής της πλευράς προς αυτή την πλευρά είναι η εκφαπτομένη αυτής εδώ της γωνίας απέναντι προς πλαϊνή. Οι εκφαπτομένες και οι γωνίες υπάρχουν όταν έχεις μέτρα και μέτρα, χιλιόμετρα και χιλιόμετρα, χιλιωστά και χιλιωστά. Εδώ έχεις μέτρα και χρόνος. Ποια γωνία, τι γωνία είναι αυτή, τι τρίγωνο που έχει πλευρά σε μέτρα και σε δευτερόλεπτα. Θα το διαγράψετε από το μυαλό σας αυτό το πράγμα το οποίο το συναντάμε συνέχεια και δημιουργεί προβλήματα. Κάποιοι φοιτητές δε κάνουν το απίστευτο, παίρνουν το μυρογνωμόνιο, το κοτσάρουν εδώ και βρίσκουν την εκφαπτομένη της γωνίας και σου λένε η παράγωγος, γιατί κάπου το μάθανε αυτό, σχοιμώνος και γεωμεντικά σχήματα, είναι αυτό. Θα το διαγράψετε από το μυαλό σας, θα το ξεχάσετε. Ακόμα και μέτρα να είναι, προσέξτε τι συμβαίνει. Στη γεωγραφία στο επόμενο εξάμινο θα κάνετε χάρτες όπου εδώ η κλίμακα είναι σε μέτρα και εδώ σε χιλιόμετρα. Γιατί, γιατί αλλάζει λίγο η μορφολογία και αναγκάρυση να βάζει διαφορετική κλίμακα. Στο θεσσαλικό κάμπο, έχει ξέρω, πέντε μέτρα ύψος σε τρία χιλιόμετρα και κάνουν πέντε διατρία και βγάζουν μια γωνία σαράντα μοίρες. Δηλαδή, ο θεσσαλικός κάμπος έχει γωνία σαράντα μοίρων. Έτσι, που μιλάμε πας και είναι παντού με τα πάντα ίσια. Θα το ξεχάσετε αυτό με την εχαρτομένηχη, έχει καταστρέψει γενιές φοιτητών. Έτσι, τελείως. Όχι μόνο πρέπει να είναι μέτρα και μέτρα, αλλά έτσι είναι άπειροι φοιτητές. Έχουν βγάλει μορφολογικές κλίσεις σε παιδιά δεσσαράντα, πενήντα, εξήντα μοίρες. Κάτσε ρε συ, εξήντα μοίρες στον κάπο που τις βρήκες. Ούτε δύο δεν υπάρχουν εκεί. Όχι μόνο πρέπει να είναι μέτρα και μέτρα, πρέπει να είναι και ίδια κλίμακα. Μέτρα και μέτρα και με την ίδια ακριβώς κλίμακα. Μέτρα και με την ίδια ακριβώς κλίμακα που δεν γίνεται πάντοτε σαν ολοχημάτα η ίδια κλίμακα. Ξαναλέω λοιπόν αυτή είναι η μέση ταχύτητα. Προσέξτε δύο σώματα που έχουν διαφορετική ιστορία. Αυτό κινήθηκε δύο, τέσσερα και τρία μέτρα. Και ένα άλλο σώμα που κινήθηκε με άλλη ιστορία. Πρώτα πέντε μετά δύο και μετά δύο μέτρα. Συνολικά διένει σε ενέα και αυτό, ενέα και αυτό στα τρία δεσσαράντα. Η μέση ταχύτητα είναι η ίδια. Η μέση ταχύτητα εξαρτάται από την αρχή και το τέλος. Αν εγώ και εσύ φτάσαμε στην Αθήνα σε πέντε ώρες, έχουμε και η ίδιο τη μέση ταχύτητα. Εγώ μπορώ να σταμάτω στη Σατέμπι να πιω ένα καφέ και εσύ μπορείς να σταμάτεις και απ' αλλού. Δεν κάνουμε την ιδιαπορία. Η μέση όμως ταχύτητα μπορεί να είναι καλή στα ίδια, έτσι. Η μέση εξαρτάται από την αρχή και το τέλος, κάθε φορά. Να δύο γραφικές παραστάσεις. Να μία και να μία άλλη. Αυτή τη συνάρτηση ακολούθησα εγώ. Αυτή τη συνάρτηση ακολούθησε κάποιος άλλος συνάδελφος. Τη ειχονικής δημηταφέναμος και τα δύο ήμασταν συμπτωματικώς σύδυες θέσεις. Η μέση ταχύτητα που είναι αυτό εδώ δια αυτό εδώ είναι ακριβώς η ίδια παρόλο που οι πορείες που ακολουθήσαμε είναι διαφορετικές, έτσι. Ενωλήγεις μέση ταχύτητα αν ο δρόμος Αθήνα-Σαωνή ήταν ευθεία γραμμή που δεν είναι, έτσι. Αν και γενικεύεται και για μικρή ακαμπίλευση τα δρομές, είναι πόσο απέχει η Αθήνα 505 χιλιόμετρα. Πόση ώρα έκανες? 5 ώρες. Άρα 101 χιλιόμετρα την ώρα. Μέση ταχύτητα. Σου δίνει μια αίσθηση. Αλλού πήγαινες με 140, αλλού πήγαινες με 40. Αλλά κατά μέσο όρο πήγαινες με 101. Αυτό που είπα τώρα, αλλού πήγαινες με 140, αλλού πήγαινες με 40. Προφανώς δεν συνέχεται σε δύο χρονικές στιγμές. Συνέχεται μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Τώρα τι κάνω? Τώρα πόσο γρήγορα πηγαίνω? Πώς θα βρω ένα σώμα που μου έχουν δώσει μια συνάντηση αυτή τη στιγμή τι κάνει? Ούτε μετά, ούτε πριν. Τώρα. Αυτό γίνεται γενικεύοντας από τη σχέση που έχει δέλτα και δέλτα όταν τα παίρνεις για πολύ μικρές χρονικές στιγμές. Και σε οδηγεί στην παράογα. Γραφικά για να το δείτε. Είναι σαν να έχεις αυτό το χρονικό διάστημα που έχεις αυτό το ΔΤ και αυτό το ΔΤ. Αφορά αυτή τη χρονική στιγμή και αυτή τη χρονική στιγμή. Αν αυτό γίνει μικρότερο, έλα λίγο, και μικρότερο και πολύ πολύ πολύ πολύ πολύ πολύ πολύ μικρό, απυρωστό όπως σκέφτηκε ο Λάιμπνιτς και ο Νεύτωνας τότε που το σκέφτηκαν μαζί και ανεξάρτητα, το τριγωνάκι αυτό γίνεται πάρα πάρα πάρα πολύ μικρό. Και αυτή εδώ η γραμμούλα τι γίνεται οριακά για την καμπύλη, για τη συνάρτησή σου. Εφαρτωμένη. Γίνεται αυτό. Στο όριο αυτό το τριγωνάκι, που είναι πολύ πολύ μικρό και αφορά ένα απυρωστό χρονικό διάστημα, σχεδόν μια χρονική στιγμή, έτσι, γίνεται αυτή η γραμμούλα, αυτή η υποτήρουσα γίνεται εφαρτωμένη. Και αυτό το συμβολίζεται σαν δεχεί δε τάφη. Δηλαδή, στο όριο αυτά είναι πολύ μικρά. Είναι απυρωστά. Παρόλο που είναι πολύ μικρά, έχουν έναν λόγο συγκεκριμένο, τρία, πέντε, εφτά. Αυτός ο λόγος που είναι ένα νούμερο είναι η ταχύτητα. Η στιγμιαία ταχύτητα, όπως λέγεται. Είναι η ταχύτητα που έχει μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Τώρα εσείς δεν χρειάζεται να πάρετε απυρωστά, ξέρετε να παραγωγήσετε, ή θα έπρεπε να ξέρετε να παραγωγήσετε συναρτήσεις. Εννοείται φυσικά ότι δεν μπορεί κανείς να προχωρήσει αν δεν ξέρει καλά να παραγωγίζει. Άρα αν έχουμε κενάς παραγωγούς πρέπει να κάνετε να δούμε πίσω. Έτσι, πρέπει να ανοίξετε ξανά τα βιβλιαράκια σας, γιατί δεν μπορείτε να υπολογίσετε τα απλά στιγμιαίες ταχύτητες. Έτσι, δεν τα κπετάμε όσα μάθαμε στο λυγείο, καλός ή κακός, μάλλον καλός. Επαναλαμβάνω, η παράγωση μας δίνει τη στιγμιαία ταχύτητα, αυτή τη χρονική στιγμή τη στιγμιαία ταχύτητα έχω. Τρέχομαι πέντε προς τα μπρος, τρέχομαι μίον τρία προς τα πίσω, ή είμαι ακίνητος και έχω ταχύτητα μηδέν. Κάτι ακόμα, πολλοί σκόμους μπερδεύεται, μπερδεύεται πάρα πολύ. Και θεωρεί ότι αν η μετατόπιση είναι μηδέν και η ταχύτητα είναι μηδέν, είχε επιτάχυνση αργότερα και ούτω καθεξής. Δεν έχει καμία σχέση το χει, το που είσαι, με το πόσο γρήγορα τρέχεις. Παράδειγμα, δείτε ένα σώμα, αυτό είναι η θέση του. Πήγε τη χρονική στιγμή μηδέν, είναι κάπου εδώ, πλην κάτι, μετά φτάνει εδώ, πιάνει αμέγη στη θέση και γυρίζει πίσω. Είναι ένα σώμα που ξεκίνησε από το πλην κάτι, πήγε μέχρι το μηδέν, έφτασε μέχρι κάποια απόσταση και άρχισε να γυρίζει προς το μηδέν. Η παράογος, η κλήση, σε κάθε εικονική στιγμή, είναι η ταχύτητα. Εδώ, από χει, έχει μια ταχύτητα θετική, η κλήση είναι προς τα πάνω, ενώ η θέση του είναι αρνητική, καμία σχέση. Εδώ η θέση του είναι στο μηδέν, περνάει από εκεί, από την αρχή των αξώνων. Γιατί το χει είναι μηδέν. Η κλήση όμως έχει μεγάλη τυνή, μεγάλη θετική ταχύτητα. Τι σημασία έχει αν το χει είναι μηδέν. Είναι μηδέν ή είναι πλην πέντε, είναι όσο θέλει. Όταν φτάσεις στο σημείο σε εδώ, τι ταχύτητα έχει μηδέν, γιατί είναι μηδέν. Η ταχύτητα εδώ. Γιατί είναι παράγωση μηδέν. Είναι παράγωση μηδέν στο χει. Και τι σημαίνει σε αυτό το σημείο. Ποια είναι αυτά τα σημεία που είναι παράγωση μηδέν. Δώσατε εξετάσεις άθωνα σε αυτό το σημείο, πες το. Ποια είναι αυτά τα σημεία που είναι παράγωση μηδέν. Τι. Ποια είναι αυτά τα σημεία που είναι παράγωση μηδέν. Σωστό. Ποια σημεία είναι αυτά που είναι παράγωση μηδέν και έχουν παράγωση μηδέν. Πες το. Όχι. Πες το. Ακριά σε εσένα. Ακριά σε εσένα. Όχι δηλαδή ακριά σε εσένα. Έχω άνομα. Ακρότατα. Μέγιστα και λάκιστα ρε παιδιά. Έλεος. Τα φάγατε με το κουτάλι αυτά στο λίκ και υποτίθεται. Πώς βρίσκετε. Αυτό κάθε χρονιά το συναντάω. Άμα κάνεις την ευθεία ερώτηση όλοι απαντάνε. Πώς βρίσκω τα μέγιστα και λάκιστα περνούν την παράγωση μηδέν. Θα σου απαντήσει κάποιος. Άμα του πεις εκεί που έχω την παράγωση μηδέν τι συμβαίνει. Όπω όλοι κολλάνε. Τι συμβαίνει εσύ. Έχεις μέγιστα και λάκιστα. Άρα αν σε κάποια άσκηση σας ρωτήσουν τώρα στο πανεπριστήμιο πού αυτό έχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή. Πρέπει να πεις εκεί που η παράγωγός του είναι μηδέν. Κατευθείαν. Το ξαναλέω. Επειδή τον ρωτάω και όλοι το ξεχνάνε. Αυτό πότε έχει την μέγιστη τιμή μούγκα. Εκεί που η παράγωγός του είναι μηδέν. Αν η δεύτερη παράγωση είναι αρνητική είναι μέγιστο. Αν η πρώτη παράγωση είναι αρνητική είναι ελάχιστο. Άμα θες να βρεις και τι είναι. Αλλά αυτόνοιτος εκεί που η παράγωση είναι μηδέν έχουμε ένα μέγιστο. Είναι η μέγιστη απόσταση που φτάνει το χ. Πήγαινε σε αυτή τη μέγιστη απόσταση σταμάτησε και τώρα σιγά σιγά γυρίζει πίσω. Εντάξει. Πρακτική εφαρμογή. Με κάποιο μαγικό τρόπο είναι παράδειγμα από το βιβλίο. Κάποιος που είδε μια λεωπάρταλη να ξεκινάει και να τρέχει να κυνηγήσει μια αντιλόπι. Ανακάλυψε ή είδε ή υπολόγησε δεν μας ενδιαφέρει πως. Ότι αν εδώ είναι το μηδέν και ξεκινάει τη χρονική στιγμή. Κάποια χρονική στιγμή. Η θέση της αντιλόπισης είναι 20 συν πέντε δευτετράγωνο. Πρώτο ερώτημα. Τη χρονική στιγμή 0 πού είναι η αντιλόπιση. Η θέση της χ είναι 20 συν πέντε δευτετράγωνο. Πες το. Άρα δεν είναι στο μηδέν. Υθικό δίδαγμα δεν ξεκινάμε να λέμε τη χρονική στιγμή 0 είναι στην αρχή των αξών. Ποιος το είπε. Το βρήκες. Μην κάνετε τέτοια αυτονόητα αλλά θα έχετε συνηθίσει στις πιο πολλές εκφωνήσεις τη χρονική στιγμή 0 στην αρχή των αξών. Ενάπου δεν είναι. Γιατί αυτό σώρησε την αρχή των αξών εδώ. Εκεί που είναι αυτός. Και είπε θα μετράω τις αποστάσεις από εδώ. Γιατί. Εκεί είχε το μηχάνημα λέιζερ που χτύπαγε πάνω στην αντιλόπιση και μπορούσε να υπολογεί τις αποστάσεις. Στην λεωπάρδαλη. Μήπως πήγε την πυραγκαλιά την λεωπάρδαλη για να μετρήσει τις αποστάσεις. Από μαγειρά το έκανε. Από μαγειρά το έκανε. Άρα είπε το μηδέν εδώ. Εδώ είναι η θέση 20 που αρχίζω να μετράω τα πράγματα. Να λοιπόν η θέση. Άρα αν βάλω τάφ θα βγάλω και χ που είναι η αντιλόπιση. Να βγάλουμε. Μας ρωτάει. Ποια η μέση ταχύτητα ανάμεσα στο πρώτο και στο τέτοιο εθνότητο της κίνησης. Που είναι στο πρώτο. Χ1 βάζουμε εδώ 1. 25 επί 1, 25. Που είναι στα 2 σεκόντ βάζουμε στο τάφ 2. 25 επί 2 στο δετράγωνο κάνει 40. Άρα είναι στο 25 μέτρο τη χρονική στιγμή 1, 1 σεκόντ. Και είναι στο 40 μέτρο τη χρονική στιγμή στιγμή 2. Άρα ανάμεσα στο πρώτο και στο δεύτερο εθνότητο έτρεχε με 15 μέτρα το δευτερό. Η συγκεκριμένη Λεωπάρδαν. Απλή αστεία εφαρμογή. Δεύτερο. Ποια είναι η στιγμή 1 ταχύτητα στο 1 και στα 2. Εδώ δε ρωτάμε ένα διάστημα τι συνέβη. Και ότι από εδώ μέχρι εδώ κατά μέσο όρο έτρεχε με 15 μέτρα σεκόντ. Ψάχνουμε εδώ και εδώ πόσο έτρεχε. Πρέπει να παραγωγήσεις. Ποια η παράγωση του 20 συν 5 τετράγωνο. 10 τάφ. 10 τάφ του 20 σταθερά φεύγει. Του τάφ δετράγωνο 2 τάφ. Άρα η στιγμή 1 ταχύτητα είναι 10 τάφ. Μπορεί να μην φαίνεται εκεί πίσω. Λέει 10 τάφ. Άρα αυτός είναι ο τύπος της στιγμίας ταχύτητας. Βάζε τη μέση του τάφ και θα σου δώσει τη μέση της ταχύτητας. Αν βάλεις 1, 10 επί 1 τρέχει 10. Αν βάλεις 2, 10 επί 2 τρέχει 20. Άρα στο 1 έτρεχε με 10 και επιτάχυνε και έφτασε στο 2. Βλέπετε λοιπόν από τον τύπο που σου δίνει την κίνηση και τις μέσες τιμές και τις στιγμιές τιμές με απλή παραγώγηση των υπολογίσεων. Κάνετε μια τέτοια άσκηση. Βγάψτε όποια συνάρτηση θέλετε από μόνη σας με ημήτωνα με δεν ξέρω τι και κάνετε δυο απλούς υπολογισμούς. Το βιβλίο έχει άπλαια παραδείγματα αλλά και μόνος σου μπορεί να κάνεις τέτοιες ασκήσεις. Είναι αστείο να κάνεις τη μέση και τη στιγμία ταχύτητα. Στην ευθύγραμη κίνηση πέρα από τη μέση και τη στιγμία ταχύτητα υπάρχει φυσικά και η έννοια της επιτάχυνσης. Η επιτάχυνση είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα μόνο που δεν μπαίνει με το Χ αλλά με το Β με την ταχύτητα. Δεν παρατηρούμε ή το σώμα πού είναι αλλά πόσο γρήγορα τρέχει. Τα νούμερα είναι ακριβώς τα ίδια ανάμεσα τη στιγμή τα Φ1 που έχει ταχύτητα Β1 και τη στιγμή τα Β2 που έχει ταχύτητα Β2 αν βάλεις πάλι το τα Φ1 Β1 και το τα Β2 Β2 και πάρεις αυτό το διάστημα και αυτό το διάστημα το Β2-Β1 και τα Β2-Β1 αυτό ορίζεται αντίστοιχα ως μέση επιτάχυνση. Πόσο μεταβάλλεται η ταχύτητα. Πόσο δυνατά πατάει τον γκάζι ο άλλος εκεί στην φόρμουλα και επιταχύνει. Επιταχύνει 4 μέτρα αν σε εκείνο τετράγωνο. Όπως θα έχετε φυσικά ακούσει σε πολλές περιπτώσεις και στη γεωφυσική θα δείτε στο επόμενο έτος μετράμε την επιτάχυνση σαν μονάδα χρησιμοποιούμε το G το 10 μέτρα αν σε εκείνο τετράγωνο. Άρα επιτάχυνση 1 G σημαίνει 10 μέτρα αν σε εκείνο τετράγωνο. Επιτάχυνση 100 μέτρα αν σε εκείνο τετράγωνο το λέμε 100 G. Εσύ δεκα G. Πιχείο το να φρενάρουνε. Από ότι ξέρω φρενάρουνε μέχρι 10 G. Ξημαίνει ότι νιώθουνε δεκαπλάσιο βάρος σε κάθε διέθυνση όταν φρενάρουνε. Γι' αυτό και είναι όλοι καλογυμνασμένοι. Πολλά τέτοια παραδείγματα. Πατάει ο άλλος πυράμπλους για τρία δεύτερα στο διάστημα. Ασκεί μια σταθερή επιτάχυνση ο πυράμπλος, όποια είναι, επί τρία προκαλεί μια μεταρβολή Δ. Άρα μπορείς να πεις πόσο άλλαξε η ταχύτητα αυτού που κινείται στο διάστημα. Στην φόρμουλα, πατάει ο άλλος τον γκάζι, κατά τρία δευτερόλεπτα, ασκεί μια σταθερή επιτάχυνση, επί τρία μετρά ανσεκόντ, αλλάζει την ταχύτητα κατά 21 μετρά ανσεκόντ. Τα ίδια που ισχύουν, ισχύουν και εδώ. Φυσικά, όπως υπάρχει η μέση επιτάχυνση, ανάμεσα σε δύο χρονικές στιγμές, υπάρχει και η στιγμιαία επιτάχυνση. Η εφαρτωμένη της καμπύλης V του τάφ, όχι X του τάφ, V του τάφ, η παράγωση με λίγα λόγια της ταχύτητας, σου δίνει τη στιγμιαία επιτάχυνση. Πώς επιταχύνομαι τώρα, καθώς κινούμαι εγώ και τρέχω πιο γρήγορα, μια χρονική στιγμή, πώς επιταχύνομαι ή πώς επιβαραδίνω. 1 μετρά ανσεκόντ, μίον μισό μετρά ανσεκόντ, μηδέν μετρά ανσεκόντ, τετράγωνο, συγγνώμη. Άρα πρέπει να παραγωγήσεις την ταχύτητα, για να βρεις την επιτάχυνση και πότε να την βρεις την ταχύτητα, θα παραγωγήσεις την μετάθεση. Άρα θα κάνεις μία και άλλη μία παράγωση και θα βρεις την επιτάχυνση. Άρα θα παρεις την ταχύτητα, θα την παραγωγήσεις μία φορά να βρεις την ταχύτητα, θα την παραγωγήσεις άλλη μία φορά για να βρεις την επιτάχυνση. Θα κάνεις δυό φορές την ίδια δουλειά, για να βρεις τη στιγμιαία επιτάχυνση. Θες μια δεύτερη παράγωση. Πάρτε την αντιλόπιση και θα τη δούμε και τώρα. Πάρτε μία ιταλιάστιξη και κάντε μία δυο πρακτικές εφαρμογές. Να σιγουρευτείτε ότι το κατέχετε. Το ζητάμε και ακίνονται πεδαριώδη λάθη. Μην επιτρέπετε στον εαυτό σας να κάνετε τόσο απλά λάθη. Παράδειγμα. Κάποιος μας έδωσε ότι η μετάθεση είναι πενήντα, συν δέκα ταφ, συν ένα ταφ τετράγωνο, μίον ένα εξικοστό ταφ τρίτης. Είναι αυτό το τέρας. Τα τέρατα όσο μεγάλα και να είναι, δεν μας τρομάζουν όταν μας τα δίνουν σε αυτή τη μορφή. Μπορούμε να βρούμε σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή που είναι το σώμα, βεβαίως. Βάλε τα τάφ εδώ για ένα, δύο, τρία, πέντε. Κάνε με προσοχή της πράξης, προσοχή της πράξης και βγάλε ένα νούμερο. Που είναι το σώμα όποια στιγμή θέλεις. Μπορούμε να βρούμε τη στιγμιαία ταχύτητα. Τι πρέπει να κάνω τη στιγμιαία να το παραγωγήσουμε. Η παράγωση του πενήντα μηδέν, του δέκα ταφ δέκα, του ταφ τετράγωνο ποιο είναι το τετράγωνο, δύο ταφ και το ταφ τρίτης τρία ταφ τετράγωνο. Πόσα ύδα έβαλα αυτή τη μέση στις τελευταίες εξετάσεις. Πόσα ύδα που ο άλλος πάνω στην πιασίνη του έγραψε ότι παράγωγω δύο ταφ τετράγωνο πάνω στο μπανικό. Λίγη ψυχραιμία, του ταφ τρίτης τρία ταφ τετράγωνο. Αν το κάνεις αυτό, αυτό έφυγε, το δέκα ταφ δίνει δέκα, το ταφ τετράγωνο δίνει δύο ταφ και το τρία ταφ τετράγωνο, τρία με το εξήντα δίνει ένα εικοστό, ένα εικοστό ταφ τετράγωνο. Άλλη μία φορά, το ξαναπαραγωγίζεις, αυτό φεύγει, το δύο ταφ θα δώσει δύο, το ταφ τετράγωνο θα δώσει δύο ταφ, το δύο με το ένα εικοστό δίνει ένα δέκα. Δύο και δύο ταφ να είναι τρεις τύποι, με δύο απλές παραγωγήσεις. Άρα, αν να πάει στα χρονική στιγμή, ξέρω πού είναι, πόσο γρήγορα τρέχει και τι επιτάχεση έχει. Να τα συναρτήσεις. Αν τις σχεδιάσεις κιόλας είναι κάπως έτσι. Αυτή είναι μια απλή γραμμική συναρτήση, δύο που είναι ένα δέκα ταφ πάει κάπως έτσι. Αυτή είναι η ταχύτητα, είναι μια παραβολή, ανά από δύο προς τα κάτω. Είναι μια καμπύλη τίτου βαθμού που είναι κάπως έτσι. Ερώτηση. Πότε το κινητό έχει τη μέγιστη ταχύτητα. Πες το πες το. Που η παράγωση είναι μηδέν. Το βλέπει κανείς πού είναι μηδέν. Πες το. Σε αυτό ναι. Να σου πω ακριβώς πού είναι. Ποια είναι η παράγωση ταχύτητας. Επιτάχυνση. Άρα η επιτάχυνση να είναι μηδέν. Που είναι μηδέν. Εκεί που κόβει τον άξονα εδώ στο είκοσι. Δηλαδή να το βλέπεις το λέει εδώ ρε φίλε είναι μηδέν. Η επιτάχυνση είναι μηδέν. Άρα η ταχύτητα είναι υποχρεωμένη να έχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή. Στην συγκεκριμένη περίπτωση αν το ξαναπαραγωγήσεις βγαίνει μίον ένα δέκατο. Άρα είναι μέγιστο. Άρα δες το. Δες αυτό εδώ. Βάλε αυτό να είναι μηδέν και το βρήκες. Δεν θέλει πολύ φιλοσοφία. Η πραγματικότητα είναι ότι θα έπρεπε να τελειώσει το μάθημα εδώ. Δεν θα τελειώσει για ένα λόγο. Οι οποίες ξέρετε εσείς και έχετε διδαχτεί μέχρι τώρα δεν είναι τέτοιες. Στο λύκειο δεν κάνετε γενικά εκκινήσεις ή στο γυμνάσιο που να έχουνε μεταβαλόμενη επιτάχυνση. Είστε μη εξικοιωμένοι με προβλήματα που η επιτάχυνση μεταβάλλεται. Γιατί αν θα μάθουμε στη δυναμική μεταβάλλεται η επιτάχυνση σημαίνει μεταβάλλεται η δύναμη. Δύναμη σωμάζεται επιτάχυση θα δούμε αργότερα. Το ξέρετε καλά. Δεν είστε εξικοιωμένοι με τα προβλήματα που τα πράγματα αλλάζουν. Είστε εξικοιωμένοι με προβλήματα που οι δυνάμεις παραμένουν σταθερές. Στη γεωλογία γενικά υπάρχουν περιπτώσεις που οι δυνάμεις αλλάζουν γρήγορα ή που αλλάζουν αρκετά αργά που για κάποια διαστήματα μπορούμε να θεωρήσουμε περίπου σταθερές. Και αυτό δεν συμβαίνει μόνο στην γεωλογία. Συμβαίνει σε πολλές επιστήμες. Η δύναμη σταθερή σημαίνει επιτάχυση σταθερή. Γι' αυτό και σας έχουν φλωμώσει το μυαλό με αυτή την περίπτωση. Με την περίπτωση της κίνησης με σταθερή επιτάχυση. Προσέξτε! Αν καταλήξετε σε κάτι τέτοιο, σημαίνει ότι επιτάχυση μεταβάλλεται. Εδώ δεν λέει 2. Λέει 2 πριν 10 το ταφ. Αλλάζει με το ταφ. Αν δείτε κάτι τέτοιο, θα καταργήσετε από το μυαλό σας όλους τους τύπους που έχουν σταθερή επιτάχυση. Και τους οποίους έχετε μάθει κατά κόρο στα λυκαιακά σας χρόνια. Αν φτάσετε εδώ, όλα αυτά που θα δούμε στη συνέχεια θα τα κάνεις χει. Μην διανοηθείς να τα χρησιμοποιήσεις. Έμεινες εδώ. Αλλά θα μάθουμε τα επόμενα. Ο κίνδυνος από τα επόμενα, που είναι τα πιο εύκολα, είναι για σταθερή επιτάχυση ΑΙΔ. Ο κίνδυνος είναι ότι έτσι τους μαθαίνετε τους τύπους και μετά τους εφαρμόζετε παντού. Δεν πάει έτσι το πράγμα. Αν η κίνηση είναι τέτοια και δίνει όχι μόνο μεταφανόμενο ταχύτητα, αλλά σταθερή επιτάχυση, κυρίως δεν μπορείς να αφαρμόσεις τους τύπους που θα δούμε. Αλλιώς δεν μπορείς. Αυτή όμως η περίπτωση είναι πολύ συχνή. Για αυτό και την παρακολουθούμε λίγο περισσότερο. Είναι πολύ συχνό το φαινόμενο που οι δυνάμεις είναι σταθερές, δίνει σταθερή δύναμη με το αυτοκίνητο, άρα η επιτάχυση είναι σταθερή. Πολύ συχνή. Και την έχετε μάθει πάρα πολλές φορές. Δηλαδή, αυτή εδώ η περίπτωση που παραγωγίζω την ταχύτητα και βγάζω ένα νούμερο 2, 5, 3, μίον 7, είναι πολύ συχνή. Έτσι. Για αυτό και την έχετε μάθει, την έχετε φάει με το κουτάλι. Κάνοντας κάποιους απλούς πειραματισμούς, μπορείτε εύκολα να δείξετε ότι, σε αυτή την περίπτωση, οι αποδείξεις δεν μας ενδιαφέρονται στο συγκεκριμένο μάθημα, ότι ο τύπος είναι αυτός εδώ. Το θυμάστε. ΒΕΙΣΟΒΕΜΙΔΕΝΣΗΝΑΛΦΑΤΑΦ. Με βΕΜΙΔΕΝΗ αρχική ταχύτητα, το έχετε ακούσει πολλές φορές, και αυτός είναι το τύπο. Απαγορεύεται. Αν όμως η επιτάχυση είναι σταθερή, τότε ισχύει ο τύπος των νοικιακών σου χρόνων, γυμνασιακών. ΒΕΙΣΟΒΕΜΙΔΕΝΣΗΝΑΛΦΑΤΑΦ. ΒΕΜΙΔΕΝ αρχική ταχύτητα, κάποια χρονική στιγμή, λοιπόν, 0, αν βάλεις 0 εδώ, αυτό φεύγει, η ταχύτητα είναι ΒΜΙΔΕΝ. Ξέρουμε την ταχύτητα κάποια χρονική στιγμή, ξέρουμε και την επιτάχυση, και μπορώ σε κάθε χρονική στιγμή, 1, 3, 5, να το βάλω αυτό εδώ, και να σου δώσω πια η τρέχουσα τη στιγμή της ταχύτητας. Επαναβάνω, είναι συχνό το φαινόμονο αυτό, γι' αυτό και το μελετάμε ξεχωριστά. Αυτό ισχύει για την ταχύτητα, που σημαίνει ότι είναι μια ευθεία γραμμή η γραφική παράσταση ταχύτητας. Η γραφική της παράστασης ταχύτητα με χρόνο είναι ΒΜΙΔΕΝ, αυτό εδώ είναι το ΒΜΙΔΕΝ, τη χρονική στιγμή δεν έχει ταχύτητα ΒΜΙΔΕΝ, και είναι μια ευθεία γραμμή που η κλήση της, όχι από το μπεριφί, η κλήση της, ο ρυθμός ανταβολής είναι Ά. Άρα ΒΜΙΔΕΝ έχει στην αρχή και ΆΤΑΦ κερδίει στη συνέχεια, έτσι, και βγαίνει αυτή η σχέση. Είναι μια πολύ πολύ απλή γραφική παράσταση. Θα κάνουμε διάλειμμα σε 5 λεπτά. Αντίστοιχα, δεν χρειάζεται η απόδειξη με ολοκληρώσεις καταλήγης στον τύπο που ξέρετε, που είναι το Χ, ότι είναι ΧΜΙΔΕΝ, συμβέ μηδέν ΕΠΙΤΑΦ, συν εν δεύτερον από τα θετράγωνα. Πάλι, αυτός ο τύπος ισχύει μόνο, μόνο, όταν η επιτάχηση είναι σταθερή. Ποτέ άλλοτε. Είναι ασγενικός τύπος που ισχύει για αυτή την ειδική περίπτωση. ΧΜΙΔΕΝ, τη χρονική στιγμή μηδέν, αν βάλεις μηδέν εδώ, αυτά φεύγουν, είσαι στη θέση μηδέν. Έχεις ταχύτητα ΒΜΙΔΕΝ, αρχική ταχύτητα, πρέπει να ξέρεις και που είσαι, και τι αρχική ταχύτητα έχεις, και μπορεί να προβλέψεις τη θέση σου να πάς σε χρονική στιγμή. Τον έχετε δει πολλές φορές, αυτός ο συγκεκριμένος τύπος, σωστά, σε διάφορες τάξεις. Συνοψίζοντας αυτοί οι ένα, δύο, τρεις τύποι ισχύουν μόνο για την περίπτωση που η επιτάχηση είναι σταθερή. Και σου δίνουν την επιτάχηση σταθερή, την ταχύτητα και τη θέση σου αν να πάς σε χρονική στιγμή. Προφανώς αυτό εδώ είναι μια παραβολή, κάπως έτσι. Και υπάρχουν διάφοροι ενδιάμεση τύποι που προκύπτουν αν κάνεις κολπάκια. Αν χρησιμοποιείς αυτόν τον τύπο και αυτόν τον τύπο και διώκεις το τάφ, μπορεί να βρεις έναν τύπο που συνδέει την ταχύτητα με τη μετάθεση, χωρίς να περάσεις αυτό το χρόνο. Σε πολλά προβλήματα, όταν σου δίνουν τη μετάθεση και πρέπει να βρεις την ταχύτητα, αν πας να βρεις το χρόνο πρέπει να λύσεις ένα πολυόνιμο δευτέρο βαθμό. Άχι τετράγωνο και βιταχί και γάμα ίσο μηδέν. Μιον βήτας συγκληρίζει δέλτα δυα δύο άλφα. Πολλοί μπερδεύονται και κάνουν λάθος τη διαδικασία αυτή. Βρίσκουν λάθος χρόνους, οπότε βάζουν λάθος χρόνος εδώ και βρίσκουν λάθος ταχύτητες. Για να το γλιτώσεις αυτό μπορείς από τη μετάθεση να βρεις κατευθείαν την ταχύτητα χωρίς να περάσεις από το χρόνο. Αντίστοιχα, άμα δεν ξέρεις την επιτάχυνση ή είναι σταθερή αλλά την ξέρεις, υπάρχει τρόπος να περάσεις από την ταχύτητα στην μετάθεση μέσω του χρόνου, γλιτώνοντας την επιτάχυνση. Επειδή πολλοί θα με ρωτήσετε, ξέρεις, έχω πρόβλημα. Δεν θυμάμαι ρε παιδί με εγώ αυτό το πράγμα. Η μνήμη μου είναι αδύνατη. Δεν είμαι καλός όταν θυμάμαι τύπους. Σας λέω προκαταβολικά ότι κάνουμε το ατόπιμα και στις εξετάσεις πλέον μοιράζουμε τυπολόγια. Άρα όλοι οι τύποι θα είναι στη διαθέσή σας. Δεν έχουν ταμπέλες, δεν λένε εγώ είμαι ο τύπος σταθερής επιτάχυνσης, αλλά οι τύποι είναι εκεί. Απλώς θα τον αναγνωρίσεις, δηλαδή να διαβάζεις και να τον αντιγράψεις σωστά. Υπάρχει μια λογική σε αυτό. Μετά από έξι μήνες, μετά από ένα χρόνο, όταν φύγετε από εδώ, είναι σίγουρο ο Θερασμήνη ένα πράγμα. Θα έχετε ξεχάσει πάρα πολλά πράγματα. Κάποια στιγμή θα δεις ένα θέμα. Αύριο μεθαύριο κάνεις, ιδιαίτερα ξεκινάς. Θα κάνεις, αρχίζεις να διαβάζεις και λες ο τύπος αυτός και λες κάτι μου λέγε εκείνος ο παπαδράχος. Κάπου το θυμάμαι. Τι θα κάνεις τότε? Θα ανοίξεις το εβιβλίο και το διαβάσεις. Πρέπει να ξέρεις ότι το είδες και να ξέρεις πού θα το βρεις. Ούτε εμείς θυμόμαστε τα πάντα απ' έξω. Είναι αδύνατο. Η λογική λοιπόν είναι που σας δίνουμε τους τύπους, όχι για να σας κολακέψουμε ή να σας ευνοήσουμε. Είναι και πιο δύσκολο ξέρετε όταν σου δίνουν μερικές εκατοντάδες τύπους. Είναι κυρίως γιατί δεν απαιτούμε να θυμάσαι τις λεπτομέρειες απ' έξω. Το απ' έξω βοηθάει. Να μην παραξηγηθώ. Όποιος θυμάται απ' έξω τα πράγματα κάνει πολύ πιο γρήγορα τις πράξεις και στην καθημερινότητα. Στην καθημερινότητα την εργασιακή, την επαγγελματική. Αλλά αν δεν θυμάσαι τουλάχιστον ξέρεις πού να ανοίξεις για να το βρεις. Άρα τύποι όπως αυτοί εδώ και όλοι τύποι, όλοι τύποι θα σας δοθούνε. Πρέπει απλώς να τους αναγνωρίσετε. Είναι πολύ πιο εύκολα δηλαδή να πω ότι ήταν σε αυτό το επίπεδο της σχέσης με τα ελικιακά σας χρόνια έτσι. Φυσικά εννοείται ότι οι κομπιτεράκια επιτρέπονται και θα χρησιμοποιείται κανονικά. Δεν μας ενδιαφέρει καθόλου αν κάνετε πράξεις με το κομπιτεράκι ή όχι. Αυτός που κάνει πράξεις στο μυαλό κάνει ενδεχομένως και πάντα πιο γρήγορα αλλά δεν μας πειράζει καθόλου. Κάνετε όπως θέλετε. Το πιο γνωστό παράδειγμα αυτής της κίνησης που αφορά και την γεωλογία είναι αυτό. Αυτό που δεν έγινε ποτέ. Το πείραμα της ελεύθερης πτώσης. Η ελεύθερη πτώση είναι ένα κλασικό παράδειγμα κίνησης με σταθερή επιτάχεση. Περίπου. Περίπου. Δηλαδή, λέει ο Γαλληλέος να είναι καλά, όλα τα σώματα λέει έχουν την ίδια επιτάχεση κατά την ελεύθερη πτώση. Το τεράστιο διανοητικό επίτευμα δεν έχει και πολύ σημασία. Όλα πέφτουν με την ίδια επιτάχεση. Αυτό που δεν είπε είναι, δεν το ήξερε αυτόν τον άνθρωπος, για πτώση μικρής σε σχέση με την ακτία της γης. Δεν ισχύει αν πέφτει κάτι, δηλαδή, από 500-600 χιλιόμετρα μακριά. Οι επιτάχεσεις βαλύντας μειώνουν τόσο φύγουν μακριά από τη γη. Πάω να καλύψω νεύθονας. Αλλά όταν είσαι αρκετά κοντά στην επιφάνεια, είναι περίπου σταθερός ο ρυθμός, σταθερή επιτάχεση. Άρα, λίγο πολύ, πρέπει να είσαι κοντά στην επιφάνεια της γης. Και δεύτερον, δεν μας ενδιαφέρει τίποτε άλλο ποιοί ο αέρας. Οπότε, χρησιμοποιούν τη γνωστή τιμή 9,8-9,81, 10, μια χαρά, βάρτε 10. Το σφάμα είναι 2% αδιάφορο. Αν κάνετε στη σελήνη είναι 1,62 και στον ήλο είναι 274. Προτιμώ να πάω στη σελήνη, θα δείχνουν ελαφρύτερος φυσικά. Ότι βγαίνει παραβολή, μπορεί να αποδείξετε με διάφορους τρόπους. Έχει αποδειχθεί πειραγματικά. Δεν βλέπετε σε ίσως χρονικές στιγμές μια μπάλα που τα διαστήματα αυξάνουν. Ακριβώς επειδή η σχέση είναι μια παραβολή. Δηλαδή, ανεβαίνουν τα διαστήματα με το τάφι στο ετράγωνο, οπότε μεγαλώνουν τα διαστήματα. Οι τύποι είναι οι ίδιοι, μόνο που αντί για α έχετε τζέ. Επόμενη παρεξήγηση. Το α είναι τζέ όταν η μόνη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι η βαρέτητα. Αν στο πρόβλημάς υπάρχουν και άλλα πράγματα, τριβές, ελατήρια, κολοκύθια, μην μου βάζετε τζέ εδώ. Είναι α κάποια, θα το βρούμε. Το τζέ υπάρχει για ελεύθερη πτώση, ελεύθερη σημαίνει ελεύθερη. Δεν υπάρχει τίποτε άλλο πέρα από τη βαρέτητα και πέφτει. Σε αυτή την περίπτωση, ναι το α είναι τζέ. Και αυτή η τύπη είναι λάθος, αλλά αυτό θα το δούμε στη συνέχεια. Έχει μεγάλες παγίδες. Τους μαθαίνετε έτσι, έτσι και έδισα το πρώτο μου πεντοχίλιαρο σεστήχημα από ένα τέτοιο τύπο. Θα σας πω την ιστορία σε δυο λεπτά. Λύνοντας αυτή την άσκηση. Μάλλον θα κάνουμε άδειά ή μαξελαμπικάρουμε και θα λύσουμε την άσκηση μετά. Είναι και τέταρτο παρακαλώ και μισή όλοι. Λοιπόν, ας λύσουμε ένα απλό, πολύ απλό και ταυτόχρονα δύσκολο πρόβλημα μόνο με όρους κινηματικής. Θα δούμε το ίδιο πρόβλημα ότι λύνεται και με άλλους τρόπους αργότερα, ενεργιακούς. Κάποια πράγματα με το πρόβλημα αυτό. Αλλά σίγουρα πλήρως λύνεται μόνο έτσι. Θα δούμε τι σημαίνει πλήρως. Το πρόβλημα είναι αστείο, πάλι προέρχεται το ειβλίο. Στην ταράτσα μιας πολυκατοικίας, κρατάει η καρβεδάκι μία μπάλα ή εμίθερος πάντων. Το πετάμε προς τα πάνω με 15 μ.α.σ. Σημειώστε ότι δεν μας δίνει πόσο μεγάλη είναι η μπάλα, 1-2-3 κιλά, πόσο βαριά είναι με συγχωρείτε, το πετάμε προς τα πάνω με 15 μ.α.σ. Αυτό πάει μέχρι κάποιο ύψος και αρχίζει και πέφτει. Και πέφτει ξιστά από το κτίριο. Μας ενδιαφέρει μόνο η κατακόρυφη του κίνηση, άρα μας ενδιαφέρει μόνο αυτό. Τώρα εδώ είναι συμπορισμένο σαν Ζ, μπορεί να ήταν και σαν Ζ και σαν πέτρος. Δεν με ενδιαφέρει, είναι μία μεταβλητής από τον άξονα. Πέφτει λοιπόν παράλληλα με το κτίριο και μας ρωτάει πού είναι η μπάλα 1.4 λεπτά μετά, δεύτερον τι ταχύτητα έχει στα 5 μ.α. από το κτίριο και τρίτον πόσο ψηλά έφτασε η μπάλα, απλά ερωτήματα. Για να απαντήσεις όλα αυτά τα ερωτήματα τα οποία έχουν να κάνουν σχέση με απλούς αριθμητικούς υπολογισμούς, δεν έχεις παρανά γράψεις τους τύπους. Οι τύποι είναι οι τύποι της επιταγγινόμενης κίνησης στο πεδίο βαρύτητας, δηλαδή το Α ή το Ζ. Το πρώτο όμως που θα κάνετε πρέπει να αποφασίσετε εσείς από πού θα μετράτε τις αποστάσεις, από πού θα μετράτε τους χρόνους και πώς θα βάλετε το σύστημά σας. Όλα αυτά θέλουν κάποιο σύστημα αξώνων. Όταν σου δίνει κάποιος ένα πρόβλημα δεν σου λέει ποιο σύστημα θα χρησιμοποιήσεις. Όποιο θες εσύ θα πει κάποιος να πάρει έναν κατακόρυφο άξονα από πού να μετράω τις αποστάσεις, πού να είναι το μηδέν, να είναι εδώ, να είναι εκεί, να είναι εδώ, πού να είναι, στη γη, όπου θες, αλλά βάλ' το και αποφάσισε λέει κάποιος. Θα το βάλω στην ταράτσα, θα μετράω όλες τις αποστάσεις σε σχέση με την ταράτσα. Ωραία, το μηδέν είναι εδώ. Πού είναι τα συν, πού είναι τα πλήν. Προς τα πάνω θα μετράω τα μήκη, προς τα κάτω να αποφασίσεις. Ας υποθέσουμε ότι εσύ, έτσι επειδή γουστάρεις, είπες θετικά προς τα πάνω, αρνητικά προς τα κάτω. Πρώτη σας δουλειά να αποφασίσετε πού και πότε. Δηλαδή, όταν φεύγει θα το βάλω τάφ μηδέν, ωραία, πού φεύγει από εδώ, θα βάλω εδώ το μηδέν, πολύ ωραία. Θετικά προς τα πάνω, αρνητικά προς τα κάτω, οκ. Θες θετικά προς τα κάτω, αρνητικά προς τα πάνω, κανένα πρόβλημα. Αλλά αποφάσισε εσύ πως θα το κάνεις. Ας υποθέσουμε ότι κάνετε αυτή την επιλογή. Επισημένω, όλες οι απαντήσεις θα είναι σωστές, ανεξάρτητα πως εσύ επέλεξες να βάλεις το σύστημά σου. Όλες. Αλλά πρέπει να συνεννοούμαστε. Δεν μπορώ να μετράω εγώ αποστάσεις από εδώ και εσύ από εκεί και ο άλλος παραπέρα και να περιμένουμε να συμφωνήσουμε και μεταξύ μας. Έτσι. Επιλέγουμε λοιπόν κάποιο σύστημα. Ας υποθέσουμε λοιπόν το μηδέν στην ταράτσα, τα σύν προς τα πάνω και τα βρύμε στα κάτω. Πρώτη επιλογή. Άρα πρώτον α, κεφαλαίο. Επιλέγουμε πού είναι η αρχή των αξώνων και τι κατεύθυνση έχει αυτός ο άξονας. Πρώτον. Κεφαλαιώδες. Δεύτερον. Γράφουμε τους τύπους. Προσοχή λοιπόν αυτό. Η επιλογή είναι αυθαίρετη αλλά πολύ προσοχή. Δεύτερον. ΒΕΙΣΟΝΒΕΝΗΔΕΝ ΣΙΝ ΤΖΕ ΕΠΙ ΤΑΦ γιατί τζέ δεν υπάρχει καμία άλλη δύναμη πέρα από τη βαρύτητα. Αυτό είναι λάθος. Θα το δούμε αμέσως μετά. Γιατί πολύ προσοχή. Ναι με γράφετε αυτούς τους τύπους αλλά θα αλλάζετε μετά μόνοι σας τα πρόσημα ανάλογα με το που κοιτάει η κάθε ποσότητα. Παράδειγμα. Ο θετικός άξοδος κοιτάει πάνω ή κάτω. Εδώ. Πάνω. Η βαρύτητα που κοιτάει θα τη βάλεις με πλήνη. Αυτό είναι λάθος. Δηλαδή τους τύπους μπορείς να τους μάθατε έτσι αλλά αυτό που δεν ξέρα να σας είπα στο λύκειο είναι τα πρόσημα να τους παίζουν. Εδώ η βαρύτητα τζέ είναι ανάποδη από τον άξοδο. Άρα εδώ θα μπει με πλήν. Το ίδιο και εδώ. Να τα πρόσημα. 1, 2. Το ένα σωστό το άλλο λάθος. Γιατί ρε σωστό το βε μηδέν. Πες το. Την έριξε προς τα πάνω. Άρα την έριξε παράλληλα με τον άξοδο. Θα μπει στην. Το τζέ είναι προς τα κάτω θα μπει πλήν. Αν την έριχνε προς τα κάτω την μπάλα. Τι θα βάσαμε εδώ. Το πρόβλημα λοιπόν αλλάζει αν πρέπει προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Το ίδιο πρόβλημα θα έχει άλλες λύσεις αν την έριχνε 15 μέτρα προς τα πάνω ή 15 μέτρα προς τα κάτω. Ποιος δεν εμπόδιζε να την ρίχνει προς τα κάτω. Κανείς. Είσαι λοιπόν 7 χρονών στο σπίτι σου, έχεις πάρει τη γλάστρα και την ρίχνεις πάνω από το μπαλκόνι. Δικαίωμα σου. Άμα θέσαμε στην πετάς και πάνω. Μπράβο. Η λύση διαφορετική. Που θα αλλάξει η λύση. Εδώ θα αλλάξει η λύση. Στο συν ή πλήν. Αν τα είχες πάρει ανάποδα. Ήτανε συν αυτό προς τα κάτω και πλήν προς τα πάνω. Αυτό θα γίνονταν πλήν και αυτό θα γίνονταν συν. Πάλι θα έβρισκες τις ίδιες απαντήσεις. Μην έχεις τα εμβολία. Το σύστημα δεν επηρεάζει τη λύση. Την ίδια λύση θα βρεις. Αλλά πρέπει να είσαι συνεπής. Άρα πολύ πολύ πολύ προσοχή. Ο καθορισμός των θετικών και αρνητικών διευθύνσεων του άξονα επηρεάζει τα πρόσημα όλων των ποσοτήτων. Και αυτού και αυτού και αυτού. Εντάξει. Προφανώς και αυτού. Δεν το είπα τότε εδώ. Είναι συν. Άρα μπαίνει με συν εδώ πέρα. Άπαξ και τα κάνεις αυτά. Τα υπόλοιπα είναι εύκολα. Αντικαδιστάς. Το τελευταίο δρόμο που πρέπει να καθορίσεις είναι πού είναι στην αρχή. Δηλαδή λέει εδώ αρχική θέση. Πού είναι τη χωνική στην μηδέν. Εδώ. Τι θέση έχει εδώ. Μηδέν. Γιατί έτσι το όρισες είπες. Θα τα μετράω όλα από την ταράτσα. Δεν τα μετράω από τη γη. Το μηδέν είναι στην ταράτσα. Η γη πού είναι. Αν είναι κάπου εδώ η γη. Πού. Στο μίον 25. Εδώ είναι το μηδέν. Προς τα πάνω είναι θετικά. Προς τα κάτω είναι θετικά. Είναι στο μίον 25 η γη. Εκεί έχει φτάσει στη γη. Τι αρχική ταχύτητα έχει. Λέει 15. Προς τα πάνω θετική. Και τι επιτάχεση έχει. Πραφανώς μίον. Είναι προς τα κάτω. 9,8 έτσι. Άρα τύποι είναι. Β' 15 για το μηδέν. Μίον 9,8 τάφ. Και ψη ίσον αντί γαχυρόρα ψή ίσον ψη ίσον ψη μηδέν. Που είναι μηδέν. Φεύγει. Συν 15 τάφ. Να το. Πλιν 9,8 έτσι. 4,9 τάφ τετράγωνο. Αν θέλετε εσείς θα βάλτε το τζέ 10 αυτό θα είναι 5 και αυτό θα είναι 10. Αυτοί είναι οι δυο τύποι που λύνουν τα πάντα. Με αυτούς σαν εργαλείο. Οι απαντήσεις μετά είναι απλές. Όλοι κάνουν λάθος στο να φτάσουν σε αυτούς. Όλοι. Όχι όλοι. Πολλοί. Η παγίδα είναι να τους φτιάξεις. Άμα και τους φτιάξεις τα ερωτήματα απαντούνται εύκολα. Πρώτο ερώτημα ας πούμε. Λέει. Α. Χρήσιμος είναι και αυτός ο ενδιάμεσος τύπος που σας είπα προηγουμένως. Το ΒΕΙΣΟΝ ΦΕΜΕΙΤΕΤΕΤΕΤΡΑΓΩΝΟ. Απλά το Ά εδώ πάλι πάει με πλιν για την αρνητικό ποστά και γίνεται μήν 19,6. Θα το δούμε που χρειάζεται. Έτσι. Πάμε να δούμε. Λέει. Που είναι η μπάλα 1 και 4 δευτερόρτα μετά. Το που είναι αυτό. Που σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές το τσιμπάμε αυτόν τον τύπο και τον εφαρμόζουμε για 1 και για 4 δευτερόρτα. Μας δίνει απαντήσεις. Αν βάλεις 1 και κάνεις τις πράξεις βγάζει 10,1. Που είναι λοιπόν η μπάλα 1 δευτερόρτα μετά. Πες το. Προστα πάνω ή προστα κάτω. Προστα πάνω βγήκε συν. Είναι 10 μέτρα πάνω από τα ράτσα. 4 δευτερόρτα μετά βγαίνει μήν 18,4. Είναι μήν 18 δηλαδή πού είναι. Είναι κάπου εδώ. Αυτό σημαίνει το συν και το πλήν. Αν είχατε επιλέξει το μηδένα να είναι εδώ δεν θα έβγαινε πλήν 18,4 θα έβγαινε 6,6. Πάντως μπορεί να πεις ότι αυτό είναι εδώ και να συμφωνήσεις για τη θέση άσχετα με το πώς πήρε στο σύστημα. Άρα το πρώτο ερώτημα. Πού είναι θέλει χρόνο και βρίσκεις το πού είναι. Δεύτερο ερώτημα. Τι ταχύτητα έχει 5 μέτρα θες το τύπο της ταχύτητας. Ο τύπος της ταχύτητας όμως συνδέεται με το χρόνο. Είπα ότι υπάρχει και αυτός ο ενδιάμεσος τύπος που συνδέει απευθείας την ταχύτητα με τη θέση. Είναι χρήσιμο να το χρησιμοποιείτε. Αλλιώς πρέπει από τη θέση να βρεις το χρόνο με το πολυόνιμο και να βάλεις το χρόνο στο τύπο της ταχύτητας. Πιο πολύ δουλειά. Εξικοιωθείτε με αυτόν τον τύπο, ο οποίος αν βάλεις ποσότητες τη δίνει 11,27. Εδώ υπάρχει μια παγίδα. Η ρίζα αχού του αριθμού είναι 11,27. Τι σημαίνει το συν και πλήν? Πολύ σωστά. Δηλαδή στα 5 μέτρα θα περάσει δύο φορές. Μία ανεβαίνοντας και μία κατεβαίνοντας. Για αυτό παίρνεις δύο νούμερα εδώ. Το συν προς τα πάνω, το πλήν προς τα κάτω σε άλλες χρονικές στιγμές. Αλλά εδώ δεν μας είπες πότε, μας είπες πού. Στα 5 μέτρα θα περάσει ανεβαίνοντας και κατεβαίνοντας. Για αυτό εδώ βγαίνει συν και πλήν. Έχει νόημα και η λύση με συν και και η λύση με πλήν. Ναι, είναι πάνω. Στα πέντε μέτρα πάνω εδώ δέστω πώς πάει η μπάλα, περνάει ανεβαίνοντας, όπ να τα πέντε μέτρα είμαι και κινούμε προς τα πάνω. Το πού είσαι δεν σημαίνει και πώς κινείσαι. Μπορεί να είσαι πάνω και να κινείσαι στιγμή προς τα κάτω, πέφτοντας. Πόσο ψηλά έφτασε η μπάλα, εδώ πάνω. Τι χαρακτηστικό έχει, η ταχύτητα είναι μηδέν. Δύο τρόπους έχεις να το βρεις, να βρεις το χρόνο που έγινε και από το χρόνο την μετάθεση ή κατευθείαν, από την ίδια σχέση, αν βάλεις την ταχύτητα να είναι μηδέν, πού μηδενίζεται η ταχύτητα, πάει πάει πάει πάει, φτάνει, σταματάει και αρχίζει να πέφτει. Στο μέγιστο της μετάθεσης η παράγωγος, η ταχύτητα, αυτή είναι η παράγωγος, είναι μηδέν. Είναι μέγιστο για τη μετάθεση. Η παράγωγος, η ταχύτητα είναι μηδέν. Άρα να βάλει ταχύτητα μηδέν και θα βρεις ότι το ψήνει 11,48 μέτρα. Άμα η άσκηση ρωτούσε τι ταχύτητα έχει στα 14 μέτρα, τι θα πρέπει να απαντήσουμε, τι ταχύτητα έχει η μπάλα 14 μέτρα πάνω από το κτίριο. Δεν βλέπει κανείς κανένα παράδοξο. Δεν φτάνει ποτέ. Αφού φτάνει στα 11,5, πώς θα φτάνει στα 14 μέτρα. Αφού πήγε μέχρι τα 11,5 και έπεσε. Αν επιχειρίζετε να βάλετε στον τύπο 15, τι θα βρείτε ξέρετε. ΒΤΕΤΡΑΓΟΝ ίΣΩΜΙΩΝ 17, ξέρω εγώ. Θα φτάσει σε μια αδύνατη εξίσουση. Γιατί προσέξτε, ο παπαζάχος μπορεί να σου ζητήσει πρώτα να βρεις αυτό, οπότε αν το βρεις αυτό και σου πει τι ταχύτητα έχεις στα 15, θα πεις έλα ρε φίλε δεν πάει στα 15. Πάει μέχρι τα 11,5. Μπορεί όμως και να μη σου ζητήσει αυτό. Και να σου πει κατ' αθήνα τι ταχύτητα έχεις στα 15, όταν το υπολογείς θα βγάλεις βΤΕΤΡΑΓΟΝ ίΣΩΜΙΩΝ 200. Μπορεί να πεις, οπ, αδύνατη άρα δεν φτάνει στα 15. Έτσι. Κάπως έτσι είναι η μετάθεση, η απαραμβολή, κάπως έτσι είναι η ταχύτητα αν μας σχεδιάσεις αντίστοιχες συναρτήσεις. Αυτά περί σταθερής επιτάχυνσης. Σε πολλές περιπτώσεις η ταχύτητα ή η επιτάχυνση δεν είναι σταθερή. Δεν είναι. Ή δεν έχουμε τη μετάθεση να την πάρουμε, να την παραγογίσουμε να πάμε στην ταχύτητα, να την παραγογίσουμε να πάμε στην επιτάχυνση. Μας δίνουνε κάτι άλλο. Ποιοι μας δίνουνε την ταχύτητα. Ας μου δώσουν την ταχύτητα, για να μπεις στην επιτάχυνση τι πρέπει να κάνεις, να παραγογίσεις. Για να πας πίσω να μπεις στην μετάθεση, δυστυχώς, παραγόγους όλοι υπολογίζουν εύκολα, ολοκληρώματα μας κάνουν στο στωμάχι. Είναι πιο δύσκολο. Το θέμα είναι ότι πρέπει να πάρεις την ταχύτητα και να την ολοκληρώσεις για να μπεις στην μετάθεση. Αυτή είναι η μεγάλη δυσκολία. Αντίστοιχα, πρέπει να ολοκληρώσεις την επιτάχυνση για να βρεις την ταχύτητα. Άρα, ας σου δώσουν επιτάχυνση, θες μια ολοκλήρωση για την ταχύτητα και μια δεύτερη ολοκλήρωση για την μετάθεση. Είναι πολύ πιο δύσκολα τα πράγματα. Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα. Είναι το ίδιο που κάναμε πριν ανάποδα. Η επιτάχυνση είναι 2 πιν ένα 10 ταφ. Είναι το ίδιο υπαναλαμβάνω. Μας δίνουν την επιτάχυνση. Μας λένε ότι τη χρονική στιγμή 0, είχε αρχική ταχύτητα Β0 10 και αρχική μετάθεση Β0 50. Πρέπει να σου πούνε. Όταν ολοκληρώνεις, πρέπει να σου δώσουν θέσεις αρχικές και ταχύτητες. Δεν μπορείς να λύσεις το πρόγραμμα. Σε αυτή την περίπτωση, λοιπόν, η ταχύτητα είναι η αρχική ταχύτητα και το ολοκλήρωμα της επιτάχυνσης. Να ολοκληρώσουμε την επιτάχυνση. Ποιο το ολοκλήρωμα του 2? Δύο τάφ. Ανάποδα πάμε τώρα. Ποιο το ολοκλήρωμα του τάφ? Τάφ τετράγωνο δεύτερα. Άρα, το 1 θα δώσει δύο τάφ. Νάτο. Και το 1 θα δώσει τάφ τετράγωνο δεύτερα. Αυτά, λοιπόν, πρέπει να υπολογίσεις. Να προσθέσεις και την αρχική ταχύτητα που συνέβησαν 10 και να βρεις τον τύπο της ταχύτητας. Που βγαίνει αυτό εδώ. Το 10 συν 2 τάφ. Και το τάφ τετράγωνο δεύτερα. Το 2 θα πάρεις στον παρονομασιστή του 10 και θα γίνει 20. Και να πάρεις αυτόν τον τύπο. Αντίστοιχα με μια δεύτερη ολοκλήρωση αυτό θα γίνει... Το τάφ τετράγωνο τι γίνεται? Τάφ 3 της 3η. Το τάφ τετράγωνο της 5η της 5η. Το τάφ 8 της 9η της 9η. Το τάφ τετράγωνο δεύτερα. Το 10, 10 τάφ. Άρα πρέπει να μάθεις να πας μπροστά και να μάθεις να γυρίσεις και πίσω. Αυτά στην περίπτωση που η ταχύτητα που η επιτάχυνση δεν είναι σταθερή. Επαναλαμβάνω. Είναι σταθερή η επιτάχυνση. Εύκολα. Τύπι λυκείου. X ίσον X μη 0 Συν Β μη 0 Επι τάφ Συν εν δετρό γάμα τάφ τετράγωνο. Ψυ Β ίσον Β μη 0 Συν γάμα τάφ. Άλφα τάφ, συγγνώμη. Τύπι λυκείου, αν είναι σταθερή. Προσέχουμε τους άξονες και τα πρόσημα. Δεν είναι σταθερή. Παραγωγίζω για να πάω ταχύτητα, μετάθεση, ταχύτητα, επιτάχυνση. Ολοκληρώνω για να πάω ταχύτητα, μετάθεση, ταχύτητα, επιτάχυνση. Λύστε αυτές τις ασκήσεις να σιγουρευτείτε ότι ξέρετε να κάνετε τέτοια προβλήματα. 100% Σας έχω πει για τις προόδους. Ναι. Θα τα πω ξανά σε λίγο. Αντίστοιχα να πάρεις το χ, την ταχύτητα, που είναι δύο τάφ και ένα 20 τετράγωνο και την ολοκληρώσεις. Όπως είπαμε το δύο τάφ θα δώσει δύο τάφ τετράγωνο, δεύτερα θα δώσει τάφ. Το τάφ τετράγωνο θα δώσει τάφ την τρίτα και θα καταλήξουμε στο γνωστό τύπο. Έτσι. Που ξεκινήσαμε όταν λύσαμε την πρώτη άσκηση. Μερικά αστεία προβλήματα για σταθερές επιταχύσεις. Αυτό είναι αστείο, θα δούμε και ένα λίγο πιο δύσκολο. Μια σελινάκατος λέει, κατεβαίνει, κατεβαίνει, κατεβαίνει, κατεβαίνει, κατεβαίνει, κατεβαίνει. Στα πέντε μέτρα έχει ταχύτητα δύο μετρά σεκόντ. Σβήνει τις μηχανές ο πιλόντος και πέφτει. Έτσι, σελήνη. Τη σέσβησε εδώ. Με το που τη σέσβησε, ποια είναι η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω του? Τη σελήνης. Προσέξτε, σελήνη δεν σημαίνει 10, σημαίνει 1,62, 1,6. Άρα, το τζε είναι το τζε της σελήνης. Έτσι. Τύπι. Οι γνωστοί. Ζε σελήνης. Ρωτάω, πού να βάλω το μηδέν. Εσείς πού θα το βάζατε. Εκεί. Ξέρεις τι. Προσπάθησε να βάζετε το μηδέν σε πράγματα που δεν αλλάζουν. Το να λες εκεί πάνω είναι το μηδέν, δεν είναι και πολύ. Δεν θα σε συσορήσει. Να λες συνήθως, εγώ το κάνω πάντα ακόμα κι αν έχω ταράτση πολύ κατυχισμένη, βάζω το μηδέν στη γη. Με βολεύει με ένα ψυχολογικά. Λέω, μηδέν είναι εδώ. Κάτω από τη γη αρνητικά, πάνω από τη γη δεντικά. Μηδέν. Στη σελήνη. Συνήθως μπορείς να βάλεις το μηδέν εδώ. Αν βάλεις το μηδέν εδώ, τώρα τα θετικά αρνητικά δεν περιμένω, ας πούμε θετικά προς τα πάνω, αρνητικά προς τα κάτω. Αν βάλεις το μηδέν εδώ, τη χρονική στιγμή μηδέν, όταν έλειψε τη μηχανή. Σε ποια θέση βρίσκεται αν είναι εδώ το μηδέν. Αυτός εδώ πού είναι. Στα πέντε μέτρα. Α το χ μηδέν είναι πέντε. Συνή πλειν πέντε. Συνή πάνω, γιατί βάλαμε τα θετικά προς τα πάνω. Έτσι θα χτίζεται τη λογική, έτσι. Αν βάλεις τώρα αυτόν τον τύπο εδώ, αυτό εδώ πρέπει να αλλάξει να γίνει μίον, γιατί η επιτάχεινση είναι προς τα κάτω. Οπότε εδώ θα γίνει... Εγώ φίλε παιδιά με συγχωρείτε, είναι λάθος αυτό εδώ. Όχι, δεν είναι λάθος, εγώ φταίω. Έχω πάρει τα πάντα με συγχωρείτε, εγώ φταίω. Έχω πάρει τα πάντα να είναι θετικά προς τα κάτω. Τα πήρα θετικά προς τα κάτω, οπότε και αυτό είναι θετικό και αυτό είναι θετικό. Σε αυτή την περίπτωση λοιπόν βγαίνει, έβαλα μηδέν εδώ, σύν προς τα κάτω, πλιν προς τα πάνω. Οπότε όλα είναι θετικά και βγαίνει κατευθείαν 4,47 μέτρα σε κομμετράγωνο. Άρα αυτό εδώ είναι το 1,6, αυτό εδώ είναι κάτω πιν πάνω, είναι 5 μέτρα, αυτό εδώ είναι επίσης θετικό και βγαίνει το αποτέλεσμα το οποίο θέλουμε. Πάμε σε μία, θα τη δούμε αργά αυτή γιατί ο κόμος κάνει συνέχεια λάθος, συνέχεια λάθος. Έχεις ένα αερόστατο που ανεβαίνει προς τα πάνω πέντε μέτρα να στεκώνει σαθερά. Έχει ανοίξει τη μηχανή και ανεβαίνει, ανεβαίνει, ανεβαίνει, είσαι και εσύ μέσα στο αερόστατο. Ξαχνικά λοιπόν στα 40 μέτρα παίρνεις ένα σακί αμμό, την περίφημη σαβούρα ή έρμα που έχουν τα αερόστατα και την πετάς. Επαναλαμβάνω, ανεβαίνεις, ανεβαίνεις, ανεβαίνεις, στα 40 μέτρα από το έδαφος αποφασίζεις και παίρνεις ένα σακί και το πετάς. Και κάνει την εξυπληκτική ερώτηση, τι θέση και τι ταχύτητα θα έχει το σακί μισό και έναντε χρόνια από το μετά και πότε θα χτυπήσει το έδαφος. Γιατί γίνονται τα λάθη θα καταλάβετε πολύ σύντομο. Να ξεκινήσουμε, πού να βάλω το μηδέν, στη γη, ας το βάλουμε στη γη, στα 40 μέτρα είναι αυτός, άρα ξεκινάει από το χη μηδέν 40. Ας βάλουμε τα θετικά προς τα πάνω, τα αρνητικά προς τα κάτω, συν και πλήν, οπότε να καθορίσουμε τις αρχικές συνθήκες. Το σακί, την ώρα που το διώχνεις εσύ, πού είναι στα 40 μέτρα προς τα πάνω. Τι ταχύτητα έχει το σακί όταν το διώχνεις. Γιατί ρε φίλε έχει μηδέν. Αν εγώ τρέχουμε μαζί με 100 χιλιόμετρα και σε πετάξει στο παράθυρο, θα κάτσεις ήσυχα στον δρόμο, δεν θα φας τα μούτρα σου. Σε σχέση με τη γη, γίνεται ο αρχισμός του σύστημα, δεν κινείται. Θα φας τα μούτρα σου, δεν υπάρχει αυβολία, κομμάτια θα γίνεις. Δηλαδή ξαφνικά το σακί πήγαινε με πέντε προς τα πάνω, το πετάξαμε και το σακί, είπε τι λένε θα κάτσεις ακίνητος, πως γίνεται αυτό. Δεν γίνεται, δεν υπάρχει τρόπος. Αυτό είναι το πρώτο λάθος που κάνουν όλοι. Όταν τρέχεις με κάποιον μαζί και σε αφήσει αυτό ο κάποιος, στιγμή συνεχίζεις και κινείς με μία ταχύτητα. Αν έχεις ένα τρένο που πηγαίνει 100 χιλιόμετρα την ώρα και κόψει με βαγόνι, αρχικά το βαγόνι στιγμία τρέχει με 100 χιλιόμετρα την ώρα. Μετά θα σταματήσεις σιγά σιγά. Σωστά, βέβαια, είπε ποιος συνάδελφος, είπε σε σχέση με ποιον, σε σχέση με την ακίνητη γη, έτσι. Δηλαδή για το αερόστατο όντως είναι μηδέν, για μένα που αφήνω το σακί το βλέπω η σχετική μας ταχύτητα είναι μηδέν. Αλλά για τη γη, εσύ κινείς στιγμία με πέντε, άρα στιγμία το σακί πού κινείται, προς τα πού, προς τα πάνω κινείται στιγμία. Πάμε εκεί δύο προς τα πάνω με πέντε, το αφήνω στιγμία, στιγμία πάει προς τα πάνω με πέντε, στιγμία. Θα δούμε πως θα εξελιχθεί αυτό. Η παγίδα είναι όχι εδώ, όλοι σκέφτονται είναι σαν τα μέτρα πάνω από το έδαφος, η παγίδα είναι εδώ. Άλλοι βάζουν μηδέν, ότι είναι ακίνητο, άλλοι βάζουν πλή πέντε, ότι αρχίζει αμέσως να κινείται προς τα πάνω. Μα δεν αρχίζει να κινείται προς τα πάνω, συνεχίζει να κινείται προς τα πάνω για κάποιον που το βλέπει από τη γη. Στιγμία, εκείνη τη χωρική στιγμή. Αυτό είναι το μεγάλο πρόβλημα. Και αυτό είναι πάνω από τη γη, συν 40, και αυτό στιγμία κοιτάει προς τα πάνω. Στιγμία δηλαδή κινεί το σακί προς τα πάνω. Στιγμία πάνω απάνω, για αυτόν που το παρατηρεί από κάπου αλλού. Αν τα κρατήσεις αυτά σωστά, η τύπη μετά είναι αυτή. Έχει μίον στο τζ και στις δύο περιπτώσεις, γιατί το τζ είναι προς τα κάτω. Ανάποδα προσοχής μας δαγμαίνω. Ένα, δεύτερο, και το βε μηδέν και το χι μηδέν είναι θετικά, είναι προς τα πάνω. Με αυτούς τους τύπους, ρωτάει η άσκηση, πού είναι μισό δευτερό ώρα το μετά, βάλετε εδώ το 40, εδώ το 5 και εδώ το 10, και θα δείτε ότι αν βάλουμε μισό δευτερό ώρα το, η ταχύτητα βγαίνει μηδέν κομμαδίου μέτρα αεροσεκόν. Πόσο κινείται. Προς τα πού κοιτάει αυτή, προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Τι βγήκε, θετική ή αρνητική. Θετική, προς τα πάνω. Προσέξτε, παόλο που πέρασε μισό δευτερό ώρα το, το σακί εξακολουθείται και ανεβαίνει προς τα πάνω. Έχει κόψει, αλλά όχι πολύ. Εσύ που είσαι κάτω και τους κοιτάς και βλέπεις ο σακί, το εξακολουθείς, όταν βλέπεις να ανεβαίνει. Γιατί έχει αρνητική ταχύτητα 5. Του την τρώει η βαρύτα, αλλά δεν προλάγει να το τυφάει αρκετά. Εξακολουθεί και είναι προς τα πάνω. Που είναι, βάλε στο χί τα νούμερα, βγαίνει 41,28. Ανέβηκε, προφανώς και ανέβηκε. Γιατί έχει αρνητική φόρα και συνεχίζει να ανεβαίνει προς τα πάνω. Άρα, αυτό που δε συνειδητοποιεί ο κομμουσιότης, στιγμία το σακί εξακολουθεί και ανεβαίνει πριν αρχίσει να πέφτει. Και εδώ είναι το πρώτο πρόγραμμα. Ρωτάς τις εξετάσεις πού φτάνει το σακί. Πολλές φορές δεν ρωτάμε αυτό. Λένε πού φτάνει το σακί, σε ποιο ύψος φτάνει. Και σου λένε όλοι, ε, σε 40 το άφησα, σε 40 φτάνει. Γιατί έχει νιώθει την επέστωση. Πιο καλέ, αυτό εδώ. Μπορεί. Όχι, μπορεί σίγουρα, έχεις δίκιο. 0,1 πρέπει να είναι, έχεις δίκιο. Να θυμηθώ να το διορθώσω. Και αυτό εδώ είναι σαν 11,28. Αντίθετα, στα δύο δευτερόλεπτα, αν βάλεις τον τύπο, βγάζει μίον 14,6. Προς τα πού κινείται τώρα? Προς τα κάτω. Μίον βγήκε με 14,6. Ανάποδα, προς τα δώ κινείται. Έχει πάρει πλέον την κάτω βόλτα και έρχεται προς τα κάτω. Πού είναι, βάλε δύο στον τύπο, στα 30,4. Κατέβηκε. Έχει περάσει αρκετός χρόνος, ανέβηκε λίγο και τώρα ξαναπέφτει. Και είναι στα 30 μέτρα από τη γη. Κάπου εδώ. Έχετε κατευθείαν για μας κάτω. Και με ταχύτητα, στιγμία, μίον προς τα κάτω 14,6. Εξυκληρωθείτε, κάνετε αυτό το πρόβλημα πολλές φορές. Εξυκληρωθείτε με τα sink και τα πλήν είναι το πιο εύκολο να την πατήσετε τόσο απλά, πολύ απλά προβλήματα. Πιθαίαν, βάλεις το πέντε προς τα κάτω. Είναι σαν αυτός να το στείλεμε προς τα κάτω με πέντε μέτρα ένα σεκόντ. Και μάλιστα, για αυτόν με δέκα. Πέντε ανέβαινε, δέκα το έστειλε, πέντε κέρδισε το σακί. Θα καταλήξει τελείως άλλα αποτελέσματα. Πότε θα χτυπήσεις το έδαφος. Στο έδαφος τι συμβαίνει. Το χ είναι μηδέν. Βάλες τον τύπο μηδέν. Θα σου βγει μια εξίσωση εδώ. 40 μίον πέντε πιτάφ μίον τόσο. Θα λύσεις ως προστάφ. Πάντα σε αυτές τις εξίσωσεις πρέπει να έχεις έναν άγνωστο. Δύο δεν γίνεται. Άρα αν φτάσεις στο μηδέν, στο έδαφος δηλαδή εδώ κάτω. Και βάλεις εδώ που είναι 40, αυτό είναι πέντε. 9,8 θα βγάλεις μίον βίτα σύμπλην ρίζα δέλτα. Θα βγουν δύο ρίζες. Μία θετική μία αρνητική. Την αρνητική την ξεχνάμε. Τι αρνητική πότε πριν. Θετική 3,41. Σε 3,5 περίπου δέντρα θα σκάσει στο έδαφος. Έτσι. Και όταν σκάσει, με τι ταχύτητα θα σκάσει. Πάρ' το χρόνο και βάλ' τον εδώ. Θα δεις ότι θα σκάσει με μίον 28 μέτρα αν σεκόντ. Ξαναλέω. Δυστυχώς όταν βάζεις αποστάσεις και θες χρόνο. Πρέπει να λύσεις ρίζες διονύμου. Μίον βίτα σύμπλην ρίζα βίτα ετράγωνο μίον τέσσερα αγάμα δια δύο άλφα. Τύπος διονύμου. Θα βγουν δύο ρίζες. Μία θετική αυτή και μία αρνητική. Την αρνητική την ξεχνάμε. Ξεκινήσαμε τη χρονική στην 0. Έτσι. Άμα βρεις το χρόνο μετά αυτούς τους τύπους εφαρμόζεται εύκολα. Βάζεις την ταχύτητα εδώ και βρίσκετε αδερφή την ταχύτητα. Μίον 20. Το μίον πάλι σημαίνει ότι είναι προς τα κάτω. Έτσι. Παρακαλώ λύστε και ξαναλύστε και ξαναλύστε αυτή την άσκηση πολλές φορές. Έτσι. Τώρα να μη σας σοκάρω αλλά αυτά τα πράγματα εύκολα, εύκολα επεκτείνονται στις τρεις διαστάσεις. Το πρόβλημα δεν είναι η πράξη της. Το πρόβλημα είναι το εξής διπλοπρότονο. Ζωρίζονται όλοι με τις τρεις διαστάσεις. Ζωρίζονται. Δυσκολεύονται να δουν πράγματα σε τρεις διαστάσεις. Για να μη ζωρίζεστε να βλέπετε πράγματα στις τρεις διαστάσεις, θα τις ξεχάσετε όσο μπορείτε και θα δουλεύουμε με τις αντίστοιχες συνιστώσεις. Για να γίνει αυτό μόνο, θέλει μια μικρή αλλαγή. Όταν κινείς επάνω σε έναν άξονα και περπατάς, η θέση σου περιγράφεται αποτοχή. Μία στραμμένη. Βάζεις τη μες στο τάφ, σου βγάζει μια στραμμένη. Βάζεις τη μες στο τάφ, σου βγάζει τη μες στο χ. Έλα ρε παιδιά! Υπολογείς τη μες στο χ. Όταν όμως είσαι στο χώρο και έχεις εδώ που είμαι και ένα χ, και ένα ψ, και ένα ζ, ο κέντρο βάρος μου ας πούμε, τότε τι κάνουμε. Σε αυτή την περίπτωση χρειάζεσαι ένα, δύο, τρία νούμερα για να περιγράψεις τη θέση σου. Και το χ, και το ψ, και το ζ. Ανάλογα σε πολλές περιπτώσεις, όταν μιλάμε σε δύο διαστάσεις, δουλεύουμε με δύο νούμερα. θ, και ψ. Αν είμαστε στις διάστασεις θέλουμε τρία νούμερα. θ, και ψ, και ζ. Αυτό το διάνισμα που ξεκινάει από την αρχή των αξώνων και είναι καρφωμένο πάνω μου, που ξεκινάει από αρχή την παρακολουθή και όπου πάω είναι ένα σουρφιάνος ο οποίος είναι συνέχεια μαζί μου, λέγεται στα μαθηματικά διάνισμα θέσης. Είναι ένα διάνισμα που συμβολίζεται με αρ, το οποίο δείχνει συνέχεια το πού είσαι. Είναι ένα τεράστιο δάχτυλο το οποίο είναι κολλημένο εκεί και είναι κολλημένο πάνω μου, δεν μπορώ να ξεφύγω με τίποτα, και όπου και να πάω λέει είναι στη θέση 1753-22. Τώρα πήγε εκεί, τώρα πήγε εκεί, τώρα πήγε εκεί. Έχω συγκεκριμένο χ, συγκεκριμένο ψ, και συγκεκριμένο ζ. Και με παρακολουθεί συνέχεια. Είναι το διάνισμα που έχει ο συνιστώσες το χ, το ψ και το ζ. Είναι δηλαδή αυτό το διάνισμα. Χ επί Ι και ψ επί Ι και ζ επί K. Και λέγεται διάνισμα θέσης. Προφανώς στις δύο διαστάσεις έχουμε αυτό. Στις τρεις διαστάσεις έχουμε αυτό. Στη μία διάσταση έχουμε αυτό, οπότε μας χρειάζεται μόνο το χ. Είναι το διάνισμα που μας παρακολουθεί συνέχεια. Χρησιμοποιώντας αυτό το διάνισμα θέσης, μπορούμε να τεκτείνουμε όλα αυτά για τις στιγμιές, μέσες, ταχύτητες και επιταγχύνσεις από τη μία διάσταση στις τρεις διαστάσεις. Δεν μας νοιάζει πόσο άλλαξε μόνο το χ, μας νοιάζει πόσο άλλαξε και το ψ, πόσο άλλαξε και το ζ. Δηλαδή, παράδειγμα. Είμαι τη χρονική στιγμή τα φένα στη θέση ρ1 και έχω συνεργμένες χ1, ψ1, ζ1. Εδώ. Σηκώθηκα εγώ και με κάποιο τρόπο κάνοντας διάφορες βόλτουλες, ήρθα στη θέση 2 και έχω συνεργμένες χ2, ψ2, ζ2. Το διάνισμα θέσης στη μία περίπτωση ήταν αυτό, το διάνισμα θέσης στη δεύτερη περίπτωση είναι αυτό. Να το ρ1, κοιτάει εδώ, έχει συνεργμένες χ1, ψ1, ζ1. Να το ρ2, έχει συνεργμένες χ2, ψ2, ζ2. Πόσο άλλαξε το διάνισμα θέσης, άλλαξε κατά Δ ρ. Όπως ξέρετε αυτό το Δ ρ είναι η διαφορά των δύο διάνισματών. Θυμηθείτε, όταν έχεις δύο διάνισματα, η μεγάλη διαγώνιος είναι το άθροισμα, η μικρή διαγώνιος, αυτή που πάει από το τέλος του ενός στο τέλος του άλλου, είναι η διαφορά. Με λίγα λόγια, το Δ ρ σαν διάνισμα, το πόσο άλλαξε δηλαδή, είναι το ρ2 μίον το ρ1. Η διαφορά γεωμετρικά, αν πάρεις τη διαφορά αυτού από αυτό, είναι αυτό εδώ το διάνισμα. Πόσο άλλαξε η θέση σου. Πήγες από τη θέση 3-5-7, στη θέση 10-15-53. Αυτό το διάνισμα, είναι το Δ ρ, το πόσο άλλαξε το διάνισμα θέσης. Με τον ίδιο τρόπο, αν διαρρέξει το Δ ρ με το Δ Τ, το διάνισμα που βρίσκεις ονομάζεται μέση ταχύτητα, ενώ αν παραγωγήσεις το Δ ρ, ονομάζεται στιγμή α ταχύτητα. Αν αυτά είχαν εχεί εδώ, θυμίζουν τους άλλους τύπους. Τώρα έχουν ρ, ένα διάνισμα. Καλά, τι είναι αυτό το Δ ρ ή το Δ ρ, πώς θα το υπολογήσω στην πράξη. Η απάντηση είναι απλή. Είδαμε ότι οι αφαιρέσεις ή οι παραγωγήσεις, ανάγονται στο να κάνεις τα ίδια όχι μία, αλλά απλώς τρεις φορές. Το πέδεμα από τη μία στις τρεις διαστάσεις είναι ότι απλώς όλα γίνονται ιστρυπλούν. Αυτή είναι η βασική δυσκολία. Δηλαδή πρέπει να επαναλάβεις αυτό το πράγμα τρεις φορές. Στην περίπτωση της διάστασης της κίνησης, η στιγμή α ταχύτητα είναι πάλι η εφαρτωμένη, αλλά η εφαρτωμένη όχι σε μία καμπύλη στο επίπεδο, αλλά σε μία καμπύλη στο χώρο. Φανταστείτε ότι εγώ κινούμαι συνέχεια. Υπάρχει μία καμπύλη που δείχνει την κίνηση στο χώρο. Σε κάθε ένα σημείο, αν φέρνεις την εφαρτωμένη, δείχνει προς τη στιγμή α διανισματική, όμως. Έχει και χ, έχει και ψ, έχει και ζ, συνήθως, α ταχύτητα. Άρα τα πράγματα είναι ακριβώς τα ίδια. Πάλι για εφαρτωμένη είναι η στιγμή α ταχύτητα, μόνο που είναι εφαρτωμένη στο χώρο. Καθώς στρίβει το αυτοκίνητό σας σε μία στροφή, αν εκεί που στρίβεις, πάρεις την εφαρτωμένη, αυτή δείχνει στιγμή α προς τα που κινείσαι. Στιγμή α κινείσαι προς τα εκεί, προς τον κρεμό. Βέβαια στρίβεις στο διμόνι και γυρίζεις. Θα δούμε γιατί. Αλλά στιγμή α, αν δεν ήξερες, φωτογραφικά κινείσαι προς τα εκεί, άσχετα αν το αυτοκίνητο σιγά σιγά σιγά σιγά στρίβει. Στιγμή α επαναλαμβάνω, αν πάρεις την εφαρτωμένη, παρόλο που εσύ κινείσαι σε καμπύλι, σου δείχνει πως θα πω κινείσαι και αυτή είναι η στιγμή α ταχύτητα. Έτσι. Η λογική είναι ακριβώς η ίδια. Σε μικρά διαστήματα το δελταρό γίνεται ντερό, οπότε η ταχύτητα είναι εδώ πάνω, είναι εφαρτωμένη της στροχιάς. Άρα σε κάθε ένα σημείο, αν θα σχεδιάσω την κίνηση ενός σώματος, σε οποιοδήποτε σημείο αρκεί να φέρετε την εφαρτωμένη. Ή προς τα εδώ κινείται, αν πάει κάπως έτσι, ή προς τα εκεί κινείται, αν πάει κάπως έτσι. Η εφαρτωμένη σου δείχνει κάθε φορά πως θα πω ποια είναι η ταχύτητα. Πρακτικά, πως θα το κάνω, είπαμε, αντί να το κάνεις μία φορά, θα το κάνεις τρεις φορές. Δηλαδή, για να υπολογίσεις τη στιγμή α ταχύτητα, δεν θα κάνεις μία παραγώγηση της χ του ταφ. Θα κάνεις τρεις παραγωγίσεις, της χ του ταφ, της ψή του ταφ και της ζ του ταφ. Πρέπει να σου δώσουν όχι μία συναρτήση, τρεις συναρτήσεις. Τι κίνηση κάνει κατά χ, τι κατά ψή, τι κατά ζ. Δεν μπλέκονται αυτές. Πρέπει να σκεφτείτε, όπως παίζουν οι επόπτες γραμμών, στα γήπεδα βόλε ή στα γήπεδα τέννης. Ο επόπτες που κοιτάει αυτή τη γραμμή, αν περάσει η μπάλα σε αυτή τη διέθυνση, δεν τον ενδιαφέρει αν η μπάλα περνάει έτσι, έτσι, έτσι, έτσι, έτσι. Τον νοιάζει η κίνηση μόνο σε αυτή τη διέθυνση. Στη διέθυνση έχουμε μια ψή, όλα τα άλλα τα αγνοεί. Κοιτάει μόνο τη γραμμή. Άρα παρατηρεί μόνο την κίνηση κατά ψή. Ο άλλος επόπτες, δεν τον νοιάζει αν η μπάλα ανεβαίνει, κατεβαίνει, τι κάνει. Κοιτάει μόνο την κίνηση κατά παράλληλα με τον χ. Μόνο αυτή τον ενδιαφέρει. Θα μπορούσε να υπάρχει και ένας τίτος επόπτες, αραχτός και ξαπλωμένος, ο οποίος να κοιτάει μόνο την κίνηση κατά ζ. Αλλά επειδή στο τένις και στο βόλιμπάλα είναι μόνο πάνω από τη γη, δεν μας πω λοινιάζει πού ακριβώς είναι. Εκτός από αυτή που είναι στο ταβάν. Αλλά οι επόπτες... Βλέπετε την κάθε μία κίνηση σαν μία απλή ευθύγραμη κίνηση. Μία κατά χ, μία κατά ψ και μία κατά ζ. Τα πράγματα ή τα έχουμε απλοπίσει, ξεχωρίζουν τα πράγματα. Άλλος κοιτάει το χ, άλλος κοιτάει το ψ, άλλος κοιτάει το ζ. Θες τα αχιδητά, θα παραγωγήσεις και εδώ, θα παραγωγήσεις και εδώ, θα παραγωγήσεις και εδώ. Και έτσι ξεχνάς τη χεομετρία. Φυσικά πρέπει να κάνεις την ίδια πράξη απλά τρεις φορές. Και θα φτιάξεις ένα διάνισμα που θα έχει εδώ μία συνάρτηση, εδώ μία συνάρτηση και εδώ μία συνάρτηση, που θα σου δίνει την ταχύτητα. Βάζοντας τιμές το χρόνο, θα παίρνεις τιμές του διάνισματος της ταχύτητας. Και αν θέλεις να βρεις το μέτρο, το πόσο τρέχεις εκείνη την ώρα... Τετράγωνο, τετράγωνο, τετράγωνο ρίζα. Άρα η χ, η ψ και η ζ έτσι είναι η ώρα της ταχύτητας. Πόσο τρέχει σε αυτή τη διέθνυση, πόσο σε αυτή και πόσο σε αυτή. Είναι τρεις παραγωγήσεις. Μία, δύο, τρεις. Ξεχωριστές. Εντάξει. Το μέτρο μόλις το είπα. Πιο απλά σας τρέχεται σε δύο διαστάσεις. Σε δύο διαστάσεις, χ και ψ ξεχνάμε τη ζ. Έχεις τη χ στην ιστοστά και την ψ στην ιστοστά της ταχύτητας. Η τύπη είναι ακριβώς η ίδια μόνο που κόβουμε το τελευταίο κομμάτι, το ξαφανίζουμε. Μία παράγωγος κατά του χ και μία παράγωγος του ψ. Αντίστοιχα το μέτρο, αυτό είναι το ετράγωνο και αυτό είναι το ετράγωνο ρίζα. Δηλαδή είναι τα ίδια κομπένα κατά ένα. Αν ο χώρος ήταν τετραδιάστατος θα είχαμε και ένα πράγμα ακόμα, αν ήταν πενταδιάστατος και ένα ακόμα. Και έτσι τουλεύουν σε χώρες με παραπάνω διαστάσεις. Είναι η ίδια ακριβώς λογική. Ας το δούμε συγκεκριμένα για να μην μπερδευτούμε. Είστε λοιπόν μικροί, πάντα σε ένα ωραίο γυπαιδάκι. Αυτό το γυπαιδάκι είναι γύπαιδο τέννης, άχι υποσημασία. Και ο μπαμπάς εκεί πέρα παίζει με ένα αυτοκινητάκι το οποίο κινείται στο γύπαιδο και κάνει αυτή την τροχιά. Για να την περιγράψετε έχετε βάλει έναν X άξονα και έναν Ψ άξονα παράλληλα με τις τακμές του γυπαιδού. Δηλαδή είναι αυτό το επίπεδο εδώ κάτω. Έχουμε πάρει αυτό σαν X άξονα και αυτό σαν Ψ άξονα. Δύο άξοδες. Ο Ζ θα που κοιτάει αν υπάρχει? Κάτω. Κάτω! Δεξί χέρι από το X στο Ψ. Κάτω. Έτσι το βρίσκεις. Από το δεξί. Από το X στο Ψ βρίσκεις το Ζ. Έτσι. Στην περίπτωση μας δεν χρειάζεται. Κάποιος που παρατηρεί σου λέει ότι το Ψ, η Ψ είναι η στώσα, ο linesman που κοιτάει μόνο τη X διεύθυνση, δίνεται από τη συνάντηση 3 συνδύωτα τετράγωνο. Ο άλλος που κοιτάει μόνο τη Ψ διεύθυνση σου λέει ότι το Ψ είναι 10Τ0 25Τ3. Άρα έχεις δύο συναρτήσεις. Σε ρωτάμε πού είναι τα αυτοκίνητα, τα πιο απλά. Καταρχήν πού είμαστε στα δύο δευτερόλεπτα. Παιδιά σας παρακαλώ κάνετε λίγο εσυχή. Είμαστε πάρα πολύ και κουράζουμε πάρα πολύ να φωνάσω δυνατά. Στα δύο δευτερόλεπτα πού είναι τα αυτοκίνητο δεν έχεις πάνω να κάνεις απλές αντικαταστάσεις. Αν βάλεις το δύο εδώ, δύο στο τετράγωνο, τέσσερα. Επιδύο, οχτώ και τρία, έντεκα. Δύο στην τρίτη, οχτώ, επί μηδέν, οικοσπέντε κάνει. Δύο και δέκα, δώδεκα. Άρα είμαι στο σημείο... 22, με συγχωρείτε. Τι έκανα? Δύο στην τρίτη, οχτώ, επί μηδέν, οικοσπέντε, δύο και δέκα. Α, και δέκα επί δύο, με συγχωρείτε, εγώ είχα ένα πάθος εδώ. Είμαι στο σημείο 11-22. Άρα, καταρχήν, πρέπει να μπορούμε απλά να πούμε πού είμαστε. Είναι λοιπόν, την εικονική στιγμή, στο 11 και 22. Κάπου εδώ. Δεν είναι αποσυνδετικό. Είναι κάπου εδώ. Άρα, πρέπει να μπορούμε να πούμε πού είσαι. Το διάειμισμα θέσης, λοιπόν, έχει χ11 και ψ, έχει 22. Πόσο απέχουμε από την αρχή των αξώνων? Είμαι στο σημείο 11-22. Από εδώ, πόσο απέχω? Πες το. 11 είναι κατά εδώ το μήκος και 22 είναι κατά εδώ. Άμα απέχεις 11 μέτρα από εδώ και 22 εδώ, είσαι κάπου εδώ. Τι θέλεις? Το μέτρο του διανύματος θέσης. Δηλαδή, 11 στον τετράγωνο και 22 στον τετράγωνο ρίζα. Τώρα, ποια είναι η στιγμιαία ταχύτητα? Πρέπει να παραγωγήσεις ξεχωριστά το χ, και ξεχωριστά το ψ. Ποια είναι η παράγωση του χ? Ποια είναι η παράγωση όλου αυτού εδώ? 4Τ. Ποια είναι η παράγωση αυτού εδώ? 3 το τετράγωνο βγάζει εδώ, 3 από 0.25 κάνει 0.75. 10Τ κάνει 10, 10 και 0.75 το τετράγωνο. Να ο τύπος, η χ είναι η στόσα, η ψ είναι η στόσα. Βάζοντας τιμές έχεις και τη χ, και τη ψ. Πόσο γρήγορα τρέχει κατά χ, πόσο γρήγορα τρέχει κατά ψ. Ο ένας παρατηρεί μόνο το χ, ο άλλος παρατηρεί μόνο το ψ. Συνολικά όμως τρέχει και τόσο και τόσο, άρα πηγαίνει κάπου λοξά. Τι μέτρο έχει αυτή η ταχύτητα, πόσο τρέχει στη γμιαία με τη ταχύτητα στα δύο δευτερόλεπτα. Καταρχήν τι χ η στόσα έχει στα δύο δευτερόλεπτα. Οχτώ. Τι ψ η στόσα, 2 το τετράγωνο κάνει 4 από 0.95 κάνει 3 και 10 δεκατρία. Άρα τρέχει δεκατρία μέτρα να στεκόνται προς τα δώ και οχτώ μέτρα προς τα κ. Προσέξτε, ο ένας βλέπει μόνο το οχτώ, ο άλλος βλέπει μόνο το δεκατρία. Συνολικά πόσο γρήγορα τρέχει, πες το. Δεκατρία στο τετράγωνο και οχτώ στο τετράγωνο ρίζα. Τόσο, πηγαίνει περίπου 15 μέτρα. Σπάσοντας τις κινήσεις, τις ανεξάρτητες κινήσεις καταχύ, καταψή και καταχύ, μπορούμε να τα βλέπουμε ξεχωριστά. Πρώτον, γιατί κάποιος μπορεί να φέρει μόνο αυτή η κινήση. Δεύτερον, μας επιτρέπει να εμπεκτείνουμε όλα αυτά, στον επολογίστη με τη συνολική ταχύτητα. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος να το χειριστείτε. Πρέπει να κάνετε ξεχωριστά τις παραχωγήσεις και να επολογίσετε τη συνολική ταχύτητα σαν μέτρο αυτού εδώ του διανύμετου. Οχτώ στο τετράγωνο και δεκατρία στο τετράγωνο ρίζα. Αντίστοιχα, άρα τη χρονική στιγμή ταφ μηδέν, αν βάλετε εδώ μηδέν, αυτό είναι τρία και αυτό είναι μηδέν. Ξεκινάμε από το σημείο τρία-μηδέν, εδώ είμαστε. Να που είμαστε! Πού είμαστε! Πάμε τη χρονική στιγμή τάφη στον ένα. Βάλε ένα εδώ, πέντε βγάζει εδώ και εδώ βγάζει 10,25. Πέντε, 10,25. Εδώ είμαστε. Τη χρονική στιγμή τάφη στον δύο βγαίνει 11,22, το είδαμε πριν. Εκεί είμαστε. Πώς σχεδιάσανε το υπόλοιπο? Ποιος το σχεδίασε, εγώ? Ο υπολογιστής. Πώς το έκανε, ξέρετε? Δηλαδή τα στιγμάτα που βλέπετε στα εργασίσεις πώς γίνονται, ξέρετε? Οι υπολογιστές. Δεν ξέρω να σχεδιάζω συναρτήσεις. Κουκίδες ξέρω να σχεδιάζουν. Έχουν σχεδιάσει πολλές, πολλές, πολλές κουκίδες. Το έχουν κάνει για πολλές χρονικές στιγμές. Εσείς, όταν στο Λύκειο σας έδιναν μια γραφική παράσταση ψήτου χ, πώς σχεδιάσατε? Πέρατε αρκετά επικοινές στιγμές, τα έβαλε στα σημεία, τα ακολούσες με το χέρι που είχε αυτή την τάση να τα ενώνει όλα με ευθείες γραμμές. Και έκανες ένα στιγμό. Το χέρι πάντα ευθείες γραμμές κάνει. Δεν υπάρχει μαθητής να δώσει πέντε σημεία και να μην τραβήξει ευθείες γραμμές. Πρώτον, γιατί υπάρχει εργαλείο, λέγεται χάρακας, υπάρχει αδυναχιότητα. Δεύτερον, γιατί υπάρχει αυτή η τάση να τα ενώνουν όλα με ευθείες γραμμές. Το οποίο δεν είναι σωστό, όπως ανακαλύψτε αργότερα, αλλά αυτά θα δείτε σε μεταγενέστερα μαθήματα. Στην πράξη, όμως, ο υπολογιστής έχει βάλει τόσα πολλά σημεία εδώ και τα έχει ενώσει με τόσες πολλές ευθείες γραμμές που εσύ δεν το βλέπεις. Υπάρχει, λοιπόν, η οφαλμαπάτη ότι αυτό είναι μια συνεχόμενη γραμμή. Αν πάρεις φακό και δεις με πολλή προσοχή ακόμα και στο χαρτί, μπορείς σε κάποιες ερπητώσεις να δεις πώς ο υπολογιστής χάραξε. Είναι τόσο βεαλμοσκαλή εκτυπωτές σήμερα που δεν το βλέπεις. Στην πράξη, λοιπόν, αυτό που κάναμε για τρία σημεία, ο υπολογιστής έχει κάνει για πολλά και τα έχει ενώσει με μία καφέ γραμμή. Τη χρώμα έχει, δεν βλέπω, γιατί έχω και τη χρωματοψία. Και λέει αυτό που λέει, ό,τι πρέπει να πει. Αυτά για το πού είμαστε. Είμαστε εδώ, είμαστε εδώ, είμαστε εδώ. Το διάνυσμα θέσης λέει πού είσαι. Η παράγωγός του μας δίνει τις δύο συνισθώσεις σταχύτητας. Τη χρονική στιγμή 0, που είμαστε εδώ. Εδώ είμαστε. Τι ταχύτητα έχουμε? Καταχύ πόσο είναι? Τέσσερα τάφη είναι. Τη χρονική στιγμή 0? Μηδέν. Μηδέν. Δεν υπάρχει χ συνισθώσα σε ταχύτητα. Ψ συνισθώσα πόσο βγαίνει? Αν βάλεις μηδέν εδώ, δέκα. Άρα, αν το σχεδιάσω, είναι μηδέν και έχει δέκα προς τα εκεί. Κάπως έτσι είναι το διάνυσμα. Πάει έτσι. Έχει από το μενικό σύντομα και την κοιτάει προς τα πάνω. Με ένα μήκος που το έχω σχεδιάσει είναι δέκα. Όταν σχεδιάζεις τέτοιες προσότητες, βάζεις μια κλίμακα και λες εγώ αυτό θα το πω δέκα. Αλλά το μισό το σχεδιάζεις στο πέντε, το διπλάστο το σχεδιάζεις στο είκοσι. Πρέπει να αποφασίσεις εσύ την κλίμακα που θα χρησιμοποιήσεις. Πάμε τε χρονική στιγμή τάφη στον ένα. Είναι εδώ. Στο πέντε δέκα κόμμα εβδομητα πέντε. Το βρήκα βάζω το ένα εδώ. Να βάλω ένα και εδώ. Τι χισινιστόσα έχει ταχύτητα? Τέσσερα. Τι ψησινιστόσα έχει? Δέκα κόμμα εβδομητα πέντε. Άρα πρέπει να σχεδιάσεις ένα τέσσερα εδώ και ένα δέκα κόμμα εβδομητα πέντε εδώ. Και βγαίνει κάπως έτσι. Αυτό το πράγμα έχει μία χισινιστόσα που είναι τέσσερα και μία ψησινιστόσα που είναι δέκα κόμμα εβδομητα πέντε. Παραλαμβάνω πρέπει μόνος σου να αποφασίσεις την κλίμακα. Το σίγουρο πάντως είναι ότι αν φέρεις την εφαρτομένη κάπως έτσι θα πηγαίνει. Στη γμιαία λοιπόν κινείται προς τα εκεί. Τε χρονική στιγμή τάφη στον δύο που είναι στο 1122. Το βρήκα να βάλω εδώ το δύο. Είναι εδώ. Αν βάλουμε δύο εδώ έχει οχτώ συνιστό στα καταχύ και αν βάλεις δύο εδώ έχει δεκατρία συνιστό στα καταψύ. Είναι κάπως έτσι. Πάλι χρονομενικό στροχιά. Άρα αυτή η προσέγγιση σου επιτρέπει να βρίσκεις πού είναι χ του τάφ και ψ του τάφ και αν χρειαστεί και ζ του τάφ. Και σου επιτρέπει με απλές παραγωγήσεις να βρίσκεις πόσο γρήγορα κινείται. Αν πάει σε χρονική στιγμή. Με την ίδια λογική ακριβώς αν ξαναπαραγωγήσεις άλλη μια φορά, δηλαδή έχει μία αρχική ταχύτητα V1 και μετά έχει μία ταχύτητα V2, η μεταβολία αυτής της ταχύτητας σε αναμονάμενου χρόνου είναι η επιτάχυνση. Είναι αυτό που αλλάζει την ταχύτητα. Ενώ εσύ πηγαίνεις με ταχύτητα 5, κάτι σε κάνει, σε τραβάει προς τα κ, και λέω τραβάει γιατί κάποια δύναμη δίνει την επιτάχυνση και σου αλλάζει την ταχύτητα. Ενώ έχεις ένα V1, ξαφνικά αποκτάσεις ένα V2. Έτσι στρίβουμε, έτσι στρίβει το αυτοκίνητο. Το αυτοκίνητο στιγμή, αυτοκίνηται προς τα κ. 15 μέτρα σεκόντ. Τι στρίβει? Μία δύναμη που μετατρέπεται σε επιτάχυση, αλλάζει την ταχύτητα. Υπάρχει, άρα προκαλεί ένα ΔΕΛΤΑΒΕ, σε αλλάζει και σου αλλάζει την ταχύτητα και δεν σε αφήνει να πας στον κρεμό. Η επιτάχυνση λοιπόν είναι κάτι που κάθε φορά θα αλλάξει την ταχύτητα και θα σε οδηγήσει στο να στρίψεις. Πάλι φυσικά με αντίστοιχη λογική. Αν αυτή είναι η αρχική σου ταχύτητα και αυτή είναι η νέα σου ταχύτητα, αυτό το ΔΕΛΤΑΒΕ δείχνει προς τα πού σε τράβηξε η επιτάχυνση για να στρίψεις. Περιτό να πω ότι αν η καμπύλη πάει κάπως έτσι, η επιταχύνση είναι προς τα κ. και σε τραβάνε για να στρίψεις αριστερά. Αν πήγαινε έτσι η καμπύλη σε τραβάει για να αλλάξει την ταχύτητα προς τα δεξιά. Η επιτάχυνση είναι που θα αλλάξει την ταχύτητα. Άρα αυτή η επιτάχυνση θα σε τραβήξει προς τα μέσα, θα σου αλλάξει την ταχύτητα. Πώς την υπολογίζουμε, άλλη μία παράδοση. Δεν έχεις πάρα να πάρεις τους τύπους, να πάρεις τη μετάθεση, μία παραγώγηση θα σου δώσει την ταχύτητα και μία δεύτερη παραγώγηση της ταχύτητας, μία διπλή παραγώγηση, δηλαδή θα σου δώσει την επιτάχυνση. Κάνεις τα ίδια πάλι τρεις φορές. Ας δούμε το προηγούμενο παράδειγμα, είχαμε αυτή την ταχύτητα και αυτό το χ και αυτό το ψ. Παραγωγίζοντας, υπολογήσαμε την ταχύτητα 4τ από εδώ, 10-0-75 τετράγωνο από εκεί. Για να βρεις την επιτάχυνση, άλλη μία παραγώγηση. Η παράδοση του 4τ ποια είναι και του 10-0-75 τετράγωνο 1,5τ. Μισό λεπτό λιγάκι. Η χ επιτάχυνση είναι τέσσερα. Τι είναι δηλαδή? Άρα ισχύουν όλοι οι τίτλοι που μάθουν από το Λύκειο. Η ψ επιτάχυνση τι είναι? 1,5 τ μεταβάλλονται. Μπορώ να χρησιμοποιήσω το τίτλος από το Λύκειο. Όχι είναι η απάντηση. Να λοιπόν που το σώμα είναι τρελό. Στην μία διεύθυνση κίνδυνε με σταθερή επιτάχυνση, στην άλλη κίνδυνε με μεταβαλόμενη επιτάχυνση. Δεν μπορείς λοιπόν να το χρησιμοποιήσεις όπως το Λύκειο. Δεν έχεις πάρα να το παραγωγείς. Το τέσσερα δίνει τέσσερα και το 0,75τ δίνει 1,5τ. Τι μέτρο έχει η επιτάχυνση σε κάθε χρονική στιγμή? Τέσσερα στο τετράγωνο και 1,5τ τετράγωνο ρίζα. Τι έχει τη χρονική στιγμή ίσον δύο. Αυτό αλλάζει? Τέσσερα. Αυτό δύο επί ενάμιση τρία. Έχει τέσσερα μέτρα ανταστακών τετράγωνο στοιχεί διεύθυνση επιτάχυνση. Τόσο επιταχύνεται και τρία μέτρα ανταστακών σε αυτήν. Σύνολο τέσσερα στο τετράγωνο ρίζα πέντε. Άρα η συνολική του επιτάχυνση είναι πέντε μέτρα ανταστακών. Επαναβάνω να την επαναλάβετε αυτή τη δυνάσταση. Γιατί είναι το ίδιο που κάνουμε σε μία διάσταση μία, δύο, τρεις φορές. Αν είμαστε σε τρεις διάστασεις μία, δύο, αν είμαστε σε δύο διάστασεις. Δεν έχετε καμία άλλη δυνατότητα παρά να την επαναλάβετε. Άρα αυτή είναι η τύπη πλέον. Μια παραγώγηση μας έδωσε την ταχυτητά που έχει χει και ψήσει στην ιστόσα. Στο προηγούμενο παράδειγμα που ήμασταν εδώ, τη χρονική στιγμή 0, ας δούμε την επιτάχυνση. Πώς είναι η επιτάχυνση της χρονικής στιγμής 0. Τι χει στην ιστόσα έχει. Ψη. Άρα έχει μόνο χει στην ιστόσα, δεν έχει ψη. Είναι ένα βελάκι τέτοιο που τραβάει προς τα μέσα, προφανώς. Το σώμα αν το άφηνες πού θα πήγαινε. Αν δεν υπήρχε επιτάχυνση πού θα πήγαινε. Θα πήγαινε ίσια. Κάτι μετέβολε την ταχύτητα. Προκάλεσε να θέλει να βρει αυτός που τραβάει από εδώ. Ωπ τον έστειψε δεξιά. Σας θυμίζει κάτι αυτό το σχήμα. Κάποια πολύ γνωστή κίνηση. Να κινήσει και να σε στρίβει κάποιος με μια επιτάχυνση προς τα μέσα. Σας θυμίζει την κυκλική κίνηση που γυρίζει με ταχύτητα και ο κεντρομόλος σε στρίβει συνέχεια προς τα μέσα. Αυτό είναι. Είναι κάτι περίπου αντίστοιχο. Εδώ όταν είσαι και είχαμε υπολογίσει αυτήν την ταχύτητα. Προς τα πού θα κοιτάει η επιτάχυνση. Πάλι προς τα μέσα. Γιατί πάλι το στρίβει δεξιά. Αν το υπολογίσεις κοιτάει κάποια στιγμή. Αυτό φαίνεται περίεργο. Έχει σίγουρα μια συνειστώσα κάθετη που τραβάει προς τα μέσα. Έχει όμως και μια παράλληλη συνειστώσα. Η παράλληλη τι του κάνει. Του δίνει και άλλη ταχύτητα. Άρα κάτι το στρίβει και κάτι το επιταχύνει. Ο μπαμπάς επειδή μπορεί να επηγηθεί ο τεκίλες. Στην συστροφή μπορεί να πατάει και τον κάζει. Και να στρίβει και να επιταχύνει. Και να επιταχύνει. Άρα η επιτάχυνση πρέπει να κάνει δύο πράγματα. Ένα να τον στρίψει και ένα να του δώσει και λίγο παραπάνω ενέργεια. Ή αν είναι προς τα δώ να του κόψει. Να τον φρενάρει κιόρας δηλαδή. Αντίστοιχα αν πάμε τη χρονική στιγμή. Τα άφησαν δύο. Έχει χείσει συνειστώσα πάλι τέσσερα. Ίδια δεν αλλάζει. Έχει ψήσει συνειστώσα δύο επί ενάμιση τρία. Άρα η επιτάχυνση είναι κάπως έτσι. Έχει χείσει συνειστώσα τέσσερα. Έχει ψήσει συνειστώσα τρία. Επαναβαίνω. Φροντίστε να εξηγηωθείτε με τους υπολογισμούς. Και όχι μόνο με τους υπολογισμούς. Μπορεί να σας ρωτήσω παράδειγμα. Σε αυτή τη χρονική στιγμή. Τι γωνία σχηματίζει η ταχύτητα και η επιτάχυνση. Πώς βρίσκουμε γωνίες ανάμεσα σε δύο διανύσματα. Προηγούμενο. Πες το. Ωραία. Να τη ταχύτητα. 8 συν 13 ταφ. 8ι συν 13τζ. Η επιτάχυνση ήταν 4 και 3. Ξεχνάμε τελείως τη γεωμετρία. Η ταχύτητα είναι 8ι και 13τζ. Η επιτάχυνση είναι 4ι και 3τζ. Πώς θα βρούμε τη γωνία. Το εσωτερικό γινόμενο. Είναι το μέτρο του πρώτου. Επί το μέτρο του δεύτερου. Επί το συνειμήτων της γωνίας που σχηματίζουν μεταξύ τους. Ποιο το μέτρο της ταχύτητας. 8ι13τζ. Το μέτρο της επιτάχυνσης. 4ι13τζ. Βγαίνει 5τζ. Το εσωτερικό γινόμενο. Πώς σημαίνει το υπολογίζουμε. Πολαπλασιάζουμε τις αντίστοιχες συνεισθώσεις. Αυτήν με αυτήν και αυτήν με αυτήν. 8ι13τζ. Και αθρίζουμε 8ι13τζ. Ίσον. Άρα αυτό το νούμερο. Ό,τι βγει είναι αυτό. Επί αυτό επί το συνειμήτων. Άρα μπορούμε να βρουμε το συνειμήτων. Μπορούμε στο κοπτεράκι να κάνουμε αντίστοιχο συνειμήτων. Και να βρούμε τη γωνία. Αυτό πρέπει να κάνεις Παρακαλώ παιδιά να μην χαλαρωθείτε Όπως σας είπα σε κάθε περίπτωση η επιτάχυνση μπορεί να αναλυθεί σε 2 συνισθώσεις Μια κάθετη συντροχιά που είναι σαν την κεντρομόλο που τραβάει και υποχρεώνει το σώμα να στρίψει και μια παράλληλη με την τροχιά που είναι πάνω στο κινητό και μπορεί να του δώσει ή να του πάρει ταχύτητα Άρα αυτό το μόνο που κάνει είναι να το στρίβει η κάθετη συντροχιά ενώ η παράλληλη με την τροχιά του δίνει ταχύτητα Άρα μπορείς κάθε φορά την επιτάχυνση να τη χωρίσεις σε ένα παράλληλο με την ταχύτητα και σε ένα κάθετο με την ταχύτητα κομμάτι Το κάθετο την στρίβει, το παράλληλο της δίνει ή της παίρνει ταχύτητα Άρα ερώτηση ή κρίσεως Το σώμα πάει κάπως έτσι, είμαι εδώ, η ταχύτητα πώς θα τη σχεδιάσω, εφαρτωμένη Κάπως έτσι είναι η ταχύτητα, γιατί προς ταχύτητα, γιατί πάει προς ταχύτητα Αν η επιτάχυνση είναι έτσι, καταχύνει η επιτάχυνση, πρέπει να κοιτάει από εκείνη την μεριά ή από εδώ Από κάτω, γιατί το στρίβει δεξιά Αν είναι έτσι, τι κάνει, αυτή η συνιστοσά το στρίβει, αυτή η συνιστοσά το επιταχύνει, δηλαδή του αυξάνει την ταχύτητα Αν δεν είναι έτσι και είναι έτσι, αυτή η συνιστοσά το στρίβει Αυτή η συνιστοσά το επιταχύνει Άρα, αν κοιτάει προς τα μπρος ή προς τα πίσω επιτάχυνση, καταλαβαίνεις κατευθείαν και ποιοτικά, ότι του δίνει ή του παίρνει ταχύτητα Μα άλλα λόγια, αν είναι κάπως έτσι η κατάσταση, αν είναι έτσι η επιτάχυνση, το στρίβει και του δίνει ταχύτητα Αν είναι έτσι η επιτάχυνση, το στρίβει και του παίρνει ταχύτητα Άρα κατευθείαν καταλαβαίνεις και από το σχήμα το τι ακριβώς συμβαίνει Παλιότερα κάναμε πολλές τέτοιες κινήσεις, φέτος επειδή κατάλαβα ότι είναι βαριά, κάναμε μόνο μία Που την ξέρετε, την έχετε φάει με το κουτάλι, αλλά πρέπει να την ξέρετε πολύ καλά, γιατί συνδέεται με σειρά από φαινόμενα που ισχύουν στη γη Πρώτον γιατί η γη είναι σφαιρική και περιστρέφεται σε 24 ώρες με σταθερή ταχύτητα Η πιο διάσημη κίνηση που η τροχιά δεν είναι ευθύγραμη, είναι αυτή που γίνεται πάνω σε κύκλο Και λέγεται ομαλή κυγλική κίνηση! Όχι απλώς κυκλική ότι κινούμαι πάνω σε έναν κύκλο και γυρίζω γύρω, γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω το πόσο τρέχεις είναι σταθερό δεν αλλάζει προσέξτε η διεύθυνση αλλάζει το μέτρο δεν αλλάζει τρέχεις με τη νέα ταχύτητα σαν μέτρο πέντε στιγμές να στεκώνε τράγων είναι αυτή εδώ η κίνηση που το β1 και το β2 ενώ σαν διανύσματα αλλάζουν γιατί κάποιος θα στρίβει μια επιτάγνιση το μέτρο τους είναι το ίδιο το πολύ χαρακτηριστικό λοιπόν είναι ότι το κυκλική σημαίνει κίνηση πάνω σε κύκλο και το ομαλή σημαίνει ότι το μέτρο είναι σταθερό αυτό τα δύο συνδετικά προσδιορίζουν την ποιότητα της κίνησης σε αυτή την περίπτωση το μέτρο που είναι σταθερό από την ομοιότητα δεν έχει καμία σημασία αποδεικνύεται ότι η επιτάχυνση αυτή που τραβάει δηλαδή προς τα μέσα είναι τελικά βε τετράγωνο προς ρο δεν έχει σημασία η αποδείξη ούτε μας ενδιαφέρει ούτε τη ζητάμε αυτό λοιπόν που τραβάει προς τα μέσα και αναγκάζει το στόμα να στρίψει συνέχεια λέγεται κεντρομόνος επιτάχυνση και είναι βε τετράγωνο προς ρο μάλλα λόγια αν πάρεις μία στροφή με διπλάσια ταχύτητα τι επιτάχυνση κεντρομόνο πρέπει να ασκούν τα λάστιχα μέσα της τρυβής για να σε κρατήσουν μέσα αν είναι διπλάσια η ταχύτητα πες το ποιος το είπε παιδιά τετραπλάσια δηλαδή αν αντι για 30 μπεις με 60 τα λάστιχα έχουν τέσσερις φορές μεγαλύτερες απαιτήσεις για να σε κρατήσουν δεν είναι τόσο απλό δεν θες απλώς διπλάσια δύναμη στα λάστιχα θες τραπλάσια και αν πεις με τριπλάσια ταχύτητα θες μία πλάσια δύναμη στα λάστιχα μία τάξη μεγέθους τα λάστιχα έχουν μία οριακή τρυβή παραπάνω δεν μπορούν να ασκήσουν την ξεπέραστης έφυγες δεν υπάρχει κεντρομόνος να σε γυρίσει δεύτερον, αν η στροφή είναι απότομη άλλη αυτή η στροφή και άλλη αυτή η στροφή αυτή έχει ακτίναρο 1 αυτή έχει ακτίναρο 2 αυτή που έχει μεγαλύτερη ακτίνα έχει η μικρότερη απέντηση για κεντρομόνο στρίβεις πιο χαλαρά στις ανοικτές τροφές στις κλειστές τροφές θες πιο μεγάλη τρυβή στα λάστιχα ο παροναμαστής είναι μικρότερος άρα θες μεγαλύτερη κεντρομόνο να σε τραβήξει ποιος την κάνει τη δουλειά η τρυβή στα λάστιχα, άλλως δεν υπάρχει δεύτερον, ποιος την κάνει τη δουλειά ποιος την κάνει τη δουλειά, η τρυβή στα λάστιχα, άλλως δεν υπάρχει κατά συνέπεια χρειαζόμαστε μια επιτάχυση προς τα μέσα που τη λέμε κεντρομόνο κοιτάει προς το κέντρο του κύκλου πάνω στο οποίο κινείσαι είναι κάθε συνακτίνα στην ασυνταχυτητά προφανώς είναι φαπτόμενη και ακτίνα και από τη γεωμετρία ο Αρχιμίδης βρήκω ότι είναι κάθετες έτσι και πόσοι πρέπει να είναι τόσοι βάλε την αχύτητα, βάλε και την ακτίνα και θα σου πω με την ομαλική γλυκή κίνηση που γυρίζεις και γυρίζεις και γυρίζεις και γυρίζεις συνδέονται μερικές ποσότητες οι ποσότητες αυτές είναι η περίοδος πόσο χρόνο κάνει για να κάνεις ένα πλήρη κύκλο είναι η συχνότητα το ανάποδο της περίοδου και το 2πιεφ ονομάζεται και γωνιακή συχνότητα ή κυγλική συχνότητα προφανώς μία ολόκληρη περίμετρος δύο πυρό, έλεος, μην μπερδεύετε περίμετρους και εμβαδά δύο πυρό η περίμετρος η πιεπιδιάμετρος, πύρο, τετράγωνο, το εμβαδό μη δω καμιά κοτσάντα που τα βλέπω στις συχνάσεις εξετάσεις αν πάρεις το μήκος που διανοείς δύο πυρό και διαρρέσεις με την περίοδο θα βρεις την ταχύτητα περιστροφής η ταχύτητα που έχει η περιστροφή στις γης είναι 40 εκατομμύρια μέτρα που είναι η περιφέρεια διά 24 ώρες υπολογίστε πόσο είναι πόσο βγαίνει 40.000 χιλιόμετρα διά 24 ώρες και τρέχει με 1670 χιλιόμετρα την ώρα εμείς τώρα τρέχουμε με 1670 χιλιόμετρα την ώρα καλά είναι μέσα στο μυαλό μας συχνότητα πέντε δευτερόλεπτα πέντε ώρες, πέντε μέρες πέντακόσα χρόνια, πέντε χιλιάδες χρόνια και η περίοδος και η συχνότητα το 1 διά τάφ ας τα έχουμε ξεκαθαρισμένα το ανάποδο του εκών λέγεται χέρς το ανάποδο της ώρας δεν λέγεται τίποτα δεν έχει όνομα άρα μπορούμε να υπολογίσουμε αν ξέρουμε την περιφέρεια και την περίοδο την ταχύτητα και μπορούμε να υπολογίσουμε την κεντρομόλου επιτάχυση αν μάλιστα αντικαταστήσεις αυτό στον τύπο υπάρχουν πολλοί ισοδυναμοι τύποι ω τετράγωνο επί ρο και ούτω καθεξής αντικαθιστώντας το β τετράγωνο επί ρο υπάρχουν πάρα πάρα πολλοί τύποι πάνω από το σχάρι σε ένα λούνα παρκ αυτό είναι λούνα παρκ του τρόμου βέβαια λέει ότι ο τροχός είναι πέντε μέτρα και γυρίζουμε σε τέσσερα δευτερόαρα θα ήταν λίγο τρελό να κάνεις σε έναν τροχό σε τέσσερα δευτερόαρα είναι λίγο παρανοϊκό αν το κάνατε έτσι η επιτάχυνση καταχύν αν τον πρώτο τύπο θα βρεις την ταχύτητα δύο πυρό ακτίνα λέει πέντε μέτρα δύο επί τρία κομμαδάκατες τρία λεπιπέντε περίοδος πόσο κάνει μια πλήρη περιστροφή σε τέσσερα θα βρεις την ταχύτητα 7,9 μέτρα ανσεκόντ πολύ 8 μέτρα νεστροέαρτο και αν βάλεις αυτό στο βερτετράγωνο προστάρ θα υπολογίσεις και την κυτροβόνη επιτάχυνση 12 μέτρα ανσεκόντ 1,2 γι τρελό 1,2 γι να σε τραβάνε είναι πολύ σκέψου ότι στο κατώτερο σημείο σε τραβάει γι γι άρα τι δύναμη πρέπει να σου ασκεί ο τροχός για να έχει το 1,2 γι προς τα μέσα το καταλαβαίνετε το έβαλα μια φορά στις εξετάσεις το έβαλα μια φορά στις εξετάσεις μόλις υπολογίσαμε ότι με την ταχύτητα αυτή σε αυτόν τον τροχό που είναι 5 μέτρα και γυρίζει σε 4 δευτερόλεπτα την περίοδο η κεντροβόνη επιτάχυνση που θέλουμε είναι 1,2 γι 12 μέτρα ανσεκόντ άρα εδώ όταν είσαι πρέπει να σε τραβήξουν τόσο πως τα μέσα πρέπει ποιος να σε τραβήξει το σίδερο που είναι συνδεδεμένο με την καρέκλα πρέπει να υπάρχει μία επιτάχυνση προς τα μέσα υπάρχει μία επιτάχυνση προς τα κάτω το βάρος σου εσύ λοιπόν κάθεσαι στην καρέκλα και η γη σας τραβάει με γι επιτάχυνση πόσο πρέπει να σε τραβήξει ο άλλος έτσι στο σύνολο να πιάσει τα 1,2 γι δεν το καταλαβαίνετε? σωστό είναι αυτό που λες και είναι περίπου το εξής αν αυτό προς τα πάνω είναι χι και αυτό προς τα κάτω είναι γι πρέπει το χι που τραβάει προς τα πάνω πριν το γι να δώσει αυτό το 1,2 γι άρα το χι βγαίνει δηλαδή 1,2 γι και γι δηλαδή 2,2 γι ενωλήγεις όταν φτάσεις εδώ κάτω τι πίεση ασκεί το η καρέκλα πάνω σου 2,2 γι αν είσαι 100 κιλά και κάτω νιώθεις 220 νιώθεις ότι έχεις λιώσει, ότι έχουν κολλήσει στην καρέκλα γιατί σε τραβάει προς τα πάνω ο τροχός με 2,2 γι θα το ξαναδούμε αυτό όταν κάνουμε δυνάμεις πιο αναλυτικά δεν θα σας πω τίποτα άλλο σας αφήνω στο τέλος του κεφαλαίου στο τέλος του κεφαλαίου υπάρχει πάντα μια σύνοψη μετά τη σύνοψη το μάθημα αυτό εδώ πέρα από τις ασκήσεις που έχει μέσα σας έχω δυο... αυτό δεν υπάρχει, συγγνώμη σας έχω έλα ρε εσύ σας έχω δυο τρεις ασκήσεις κατεβάζετε στο διαδίκτυο επιχειρίστε μία πίχη για τη γυγλική κίνηση είναι δύο ασκήσεις στο τέλος μαζί με τα παραδείγματα σας υπερκαλείπτουν για αυτό το διάστημα καλή ξεκούρα!
_version_	1782818291661668352
description	Διάλεξη 2: Υπόσχεσαι να μιλήσεις με το σύστημα που θα δουλέψουμε, το οποίο έχετε γνωρίζει όλοι το SI, επαναλαμβάνω πριν κάνουμε οτιδήποτε από εδώ και πέρα, η πρώτη μας δουλειά θα είναι να μετατρέψουμε τις μονάδες στο SI, να μιλήσουμε, να μιλήσουμε, να μιλήσουμε, να μιλήσουμε, να μιλήσουμε, να μιλήσουμε. Και μετά δεν χρειάζεται να γράφουμε μονάδες, ξέρουμε ότι εγγυημένα το αποτέλεσμα είναι στο SI. Είπαμε δυο κουβέντες για την ακρίβεια των ψηφίων, δεν έχει νόημα να κρατάμε δεκαδικά ψηφία, όταν οι αριθμοί έχουν σχετική ακρίβεια μικρότερη ο ένας από τον άλλον, δεν έχει νόημα να προσθέτουμε ένα πολύ, να κρατάμε ψηφία σε ένα ρυθμό που η αριθμό ήταν στο πρώτο δεκαδικό, από τα άλλα ψηφία είναι πρακτικώς άχρηστα. Είδαμε δύο κατηγορίες μεγεθών, τα βαθμοτά μεγέθιο που η πράξη είναι αριθμητικές, δηλαδή περιπτώσεις όπου χρειαζόμαστε απλά να κάνουμε προσθέσεις αφαιρέση και τα λοιπά και διανοηματικά μεγέθιο, που είδαμε ότι οι πράξεις είναι γεωμετρικές, π.χ. πώς προσθέτουμε διανύσματα, αλλά στην πράξη αντικαταστήσαμε το διανύσμα από τις συνεισθώσες και δείξαμε ότι τουλάχιστον η πρόσθεση και η αφαίρεση ανάγονται σε πρόσθεση των αντίστοιχων συνεισθωσών. Δείξαμε επίσης ότι αν πάρει κανείς τα μοναδία αδειέματα στους τρεις άξονες που λέγονται I, J, K μπορεί να γράψει το διανύσμα σε αυτή τη μορφή, σαν άθλησμα τριών διανυσμάτων, που είναι άλφα χι φορές το I, άλφα ξι φορές το J και άλφα ζες φορές το K, αυτά τα τρία νούμερα είναι οι συνεισθώσες, και με αυτό το κόλπ που χρησιμοποιήθηκε στις συνεισθώσες δείξαμε ότι αν μπορούμε να γραφίσουμε δύο γινόμενα, το εσωτερικό γινόμενο, όπου είναι το μέτρο του ενός διανύματος με το άλλο, επί το στιγμή των σγωνιών που σχηματίζουν, μας βοηθάει να υπολογίσουμε την καθετότητα, όταν είναι 0 τότε τα διανύματα είναι κάθετα και κυρίως μπορεί να υπολογιστεί από τις συνεισθώσες. Όταν έχω δύο διανύματα, κάνοντας απλούς πολλαπλασιασμούς και αθρίσεις των τριών συνεισθωσών μεταξύ τους, μπορώ να το υπολογίσω και έτσι να ελέγξω αν είναι κάθετα, γεωμετρία, ή να υπολογίσω την γωνία ανάμεσα τα δύο διανύματα, εφόσον αυτό υπολογίζεται από τις συνεισθώσες και τραμέτρα υπολογίζεται από τις συνεισθώσες. Πώς? Τετράγωνο, τετράγωνο, αθρίσμα ρίζα. Αυτό που δεν είδαμε είναι αυτό. Θα το πούμε λίγο πιο αναλυτικά σήμα, γιατί δεν προλάβαμε την προηγούμενη φορά. Το εξωτερικό γινόμενο σε αντίθεση με το εσωτερικό δεν είναι ένα νούμερο, δεν είναι πέντε, εφτά, δεκατρία, τριανταδύο, μίον, τρία, μη δέγναμα είναι κάθετα. Είναι ένα διανύσμα. Άρα βάζω στην κουβά δύο διανύσματα και μου βγάζουν ένα άλλο διανύσμα, όχι ένα νούμερο. Και αυτό εισήχθηκε και εφευρέθηκε για λόγους α γεωμετρικούς, μαθηματικούς, πρακτικούς, θα τους δούμε, και β για λόγους για να μας διευκολύνει να εκφράσουμε συγκεκριμένους φυσικούς νόμους με πιο απλό τρόπο, με πιο συμπαγή τρόπο. Πώς ορίζεται αυτό το διανύσμα? Ας υποθέσουμε πάλι ότι έχουμε τα ίδια δύο διανύσματα, το α και το β. Ο εσωτερικός ήταν το γινόμενο το μέτρο επί το συντημήτων της γωνίας, το εξωτερικό είναι ένα διανύσμα. Θα τα φέρουμε το ένα δίπλα στο άλλο και θα φτιάξουμε το διανύμα στις δεξίς. Θα πάρουμε το χεράκι μας στο δεξί, οι αριστερόχειρες βάζουν το χέρι από πίσω γιατί έχουν την τάση να βγάζουν το αριστερό μπροστά, ο κόμμος έχει φτιαχτεί για τους δεξιόχειρες και όχι για τους αριστερόχειρες, συγγνώμη. Θα πάρτε το δεξί χεράκι λοιπόν και ο κανόνας δεξιούχεριου, τουλάχιστον εγώ έτσι δεν εφαρμόζω, όταν τα δάχτυλα τα τέσσερα δείχνουν τη φορά κίνησης ο αντίχειρας δείχνει το διανύσμα. Δηλαδή καθώς από το α πηγαίνουμε προς το β, ο αντίχειρας δίνει τη φορά που έχει το διανύσμα αυτό εδώ. Άρα αν αυτά δίνουν τα δυνάμματα το α και το β, καθώς πάμε από το α προς το β ο αντίχειρας, αυτός είναι για μένα κανόνας δεξιούχεριου, δείχνει τη διέρυση του διανύσματος, έτσι. Το διανύσμα αυτό είναι κάθετο στο επίπεδο που σχηματίζουν τα άλλα δύο και συμβολίζεται α, χ, β όπως το βλέπετε ακριβώς εδώ. Λέγεται διανυσματικό διανύσμα ή εξωτερικό, διανυσματικό γινόμενο με συγχωρείτε, ή εξωτερικό γινόμενο. Και το διανύσμα αυτό που είναι κάθετο έχει μέτρο, μέτρο όχι το διανύσμα το ίδιο, το μέτρο του αν το υπολογίσω. Δηλαδή αν μου το έδινες και έπαιρνα τετράγων, τετράγων, τετράγων ρίζα, το μέτρο του είναι το μέτρο του α επί το μέτρο του β επί το ίμι των της γωνίας που σχηματίζουν μεταξύ τους. Άρα με αυτόν τον τρόπο ξέρουμε και το μέτρο. Σαν διεύθυνση είναι κάθετος το επίπεδο που σχηματίζουν τα δύο άλλα διανύσματα. Άρα μπορώ γεωμεντικά να το φτιάξω, αρκεί να πάρω το ένα διανύσμα, το άλλο διανύσμα, να βρω το επίπεδο, να σχεδιάσω το κάθετο και να το κάνω πόσο μεγάλο, τόσο. Ήδη ξέρω τα μέτρα αυτά να τα βρίσκω και τη γωνία ξέρω να την βρίσκω, πηχή από το εσωτερικό γενόμενο, θα δούμε και πως αλλιώς και μπορώ να το σχεδιάσω. Θα μου πεις πάλι γεωμετρία. Πριν σας πω για τη γεωμετρία να σας πω ότι είναι το πρώτο γενόμενο που θα δείτε στη ζωή σας, το οποίο δεν σχεεί αντιμεταχειτική ιδιότητα. Δηλαδή, το α εξωτερικός β και το β εξωτερικός α δεν είναι το ίδιο πράγμα. Το α εξωτερικός β δείχνει προς τα πάνω, το β εξωτερικός α εδώ δείχνει προς τα κάτω, γιατί από το β πρέπει να πας το α. Άρα, δεν είναι ίδιο το α εξωτερικός β και το β εξωτερικός α, γιατί είναι ακρίβεια, εφόσον το ένα είναι κάθετο προς τα πάνω και το άλλο είναι κάθετο προς τα κάτω, αλλά έχουν ίδιο μέτρο, α επί β ή το ημίτων της γωνίας, θα είναι μεταξύ τους αντίθετα. Άρα, είναι το πρώτο γινόμενο που αν αλλάξεις τη σειρά, πρέπει να βάλεις και ένα πλήν. Δεν το έχετε ξανά συναντήσει αυτό, δεν υπάρχει. 3-5-15-5-3-15 μαθαίνει κανείς στην τρίτη δημοτικού. Δεν έχεις συναντήσει κανείς γινόμενα που να αλλάζει η σειρά. Αλλάζουν τα πρόσημα, με συγχωρείτε, όταν αλλάζει το γινόμενο. Εδώ, έτσι είναι τα πράγματα. Το γινόμενο αλλάζει πρόσημο, άμα αλλάξει τη σειρά. Άρα, μπορεί να την αλλάξεις, θα βάλεις ένα πλήν. Υπάρχουν άλλα γινόμενα, π.χ. στους πίνακες, που δεν μπορείς να τα αλλάξεις απλά. Εδώ μπορείς, αλλά θα βάλεις και ένα πλήν. Ας έρθουμε τώρα να δούμε πώς το υπολογίζουμε. Αν η γωνία είναι 180, ή η γωνία είναι 0, δηλαδή αν τα διανύσματα είναι παράλληλα, είτε έχουν την ίδια φορά, είτε έχουν αντίθετη φορά, εύκολα βλέπει κανείς ότι το ημίτον αυτό είναι 0, άρα το εξωτερικό γινόμενο είναι 0. Υθικό δίδαγμα, όπως για την καθετότητα, η σχέση είναι Ά-Ε-Β-Ε-Ν-Ν, αυτή ορίζει, περιγράφει από εδώ και πέρα για εσάς την καθετότητα, έτσι την παραλληλότητα, το ότι είναι δύο παράλληλα, θα την ορίζει αυτή η σχέση. Το Ά-Ε-Β-Ε-Ν-Ν, αύριο μεθαύριο θα διαβάσετε ενδεχομένως κάπου σε μια εργασία, σε ένα βιβλίο κάπου, και θα λέει τα διανύσματα είναι κάθετα Ά-Ε-Β-Ε-Ν-Ν, το Ά-Ε-Β-Ε-Ν εξηγήσαμε που οφείλεται. Κάπου αλλού θα λέει τα διανύσματα είναι παράλληλα Ά-Ε-Β-Ε-Ν-Ν, ξεκινάνε από τον ορισμό, έτσι γράφεται στα βιβλία η παραλληλότητα. Σε ένα μαθηματικό βιβλίο, όχι μαθηματικό του υπαίδου, του γυμνασίου, δεν γράφουν το Ά-Ε-Β-Ε-Β-Ε-Ν, το γράφουν έτσι και θεωρούν ότι ο αναγνώστης καταλαβαίνει αυτομάτως ότι οι Ά-Ε-Β-Ε-Ν είναι παράλληλα, είτε με την ίδια είτε με αντίθετη φορά. Πώς υπολογίσουμε στην πράξη στο εξωτερικό γεγονόμενο. Πάλι κάνουμε το ίδιο κόλπο. Ας ξεκινήσουμε τα μοναδιέα διανύματα και ας τα δούμε μεταξύ τους τι κάνουμε. Για να το υπολογίσουμε λοιπόν χρειαζόμαστε όπως και στο εξωτερικό να δούμε τι κάνουν τα μοναδιέα. Ας μου πει κάπου στο Ά εξωτερικός Ά πόσο πιστεύετε ότι είναι. Πες το. Γιατί. Με τον εαυτό του. Προφανώς. Το διανύμα και ο εαυτός του είναι παράλληλα. Άρα εφόσον είναι αυτό με τον εαυτό του, προφανώς θα δώσει μηδέν. Η γωνία που σχηματίζει με τον εαυτό του είναι μηδέν. Άρα είναι μηδέν. Τα διανύματα λοιπόν να τα πάρεις στο εξωτερικό γεγονόμενο με τον εαυτό τους, και το μοναδιέο το Ι δίνει πάντα μηδέν. Ας δούμε το ίδιο προφανώς και το Ζ εξωτερικός Ζ και το Κ εξωτερικός Κ. Ας δούμε τι κάνουν όταν πάρεις το Ά με το Ζ. Για να δούμε το Ά εξωτερικός Ζ. Ψάχνουμε έναν διανύμα που είναι. Δεξί χέρι. Καθώς πάμε από το Ά προς το Ζ να είναι κάθετο. Τι μέτρο να έχει αυτό λέει. Το μέτρο του πρώτου ένα. Επί το μέτρο του δεύτερου ένα. Επί το ημίτων των ενταμυρών ένα. Δηλαδή ένα επί ένα επί ένα ένα. Ποιο διανύμα κοιτάει προς τα πάνω και έχει μέτρο ένα. Το Κ. Αυτό. Άρα το Ά εξωτερικός Ζ πρέπει να δώσει, εφόσον ισχύουν αυτά που σας είπα πρέπει να δώσει το Κ. Άρα αυτό με αυτό θα δώσει το Κ. Το Ζ με το Κ θα δώσει το Ά. Το Κ με το Ά θα δώσει το Ζ. Άρα προσέξτε το Ά με το Ζ θα δώσει το Κ. Αλλά να το κάνεις ανάποδα. Ζ στο 20Α θα κοιτάει προς τα κάτω. Θυμηθείτε καθώς τα αλλάζεις μπαίνει απλή μπροστά. Έτσι. Άρα αυτά έχουν μια κυκλική σειρά. Το ΆΖΚ δίνει το ΚΑΙ, το ΖΚ δίνει το Ά, το ΚΑΙ δίνει το Ζ. Είναι μια τέτοια αλληλουχία. Συνεπώς και αυτά μπορεί να τα υπολογίσει κάποιος σχετικά εύκολα. Από το ΆΖΚ φτιάχνει το ΚΑΙ, από το ΖΚ φτιάχνει το Ά και από το ΚΑΙ φτιάχνει το Ζ. Αν χρησιμοποιήσεις αυτές τις ιδιότητες και πας να ψάξεις το γενικό εξωτερικό γινόμενο, όπως κάναμε και με το εσωτερικό, δηλαδή αν πάρει τεχνίστεκάνη αυτό εδώ και βάλει όλο αυτό εδώ επί όλο αυτό εδώ, πάλι είναι εννέα γινόμενα. Αυτός ο όρος με αυτόν τον όρο πόσο θα δώσει... Πόσο? Γιατί το ΆΙ με το ΆΙ θα δώσουνε μηδέν. Έφυγαν. Το ΖΚ με το ΖΚ θα δώσουνε μηδέν, το ΚΑΙ με το ΚΑΙ θα δώσουνε μηδέν. Θα μείνουν άλλοι έξι όροι. Είναι πολλοί. Δεν είναι λίγοι. Αν τους πάρεις και τους ομαδοποιήσεις και ξεχωρίσεις μετά, δηλαδή το ΆΙ με το ΖΚ θα δώσουνε το ΚΑΙ και τα λοιπά, και κάνεις όλα αυτά εδώ, δηλαδή αντικαταστήσεις αυτά που είναι μηδενικά και τα υπόλοιπα που είναι μη μηδενικά, καταλήγεις, μη το γράψετε, δεν υπάρχει περίπτωση να το θυμάστε, σε αυτόν τον μικρό τύπο, ο οποίος λέει το εξωτερικό γινόμενο, το ΆΙ είναι διάνισμα, δεν είναι νούμερο, είναι ένα ολόκληρο διάνισμα. Ή θα θυμάσαι αυτό, πράγμα απίθανο, ή θα το κάνεις με την ορίζουσα, είναι πιο εύκολο αυτό, γιατί είναι εύκολο να τη φτιάξεις, για να φτιάξεις αυτή την ορίζουσα που δίνει το ίδιο πράγμα, κάνεις το εξής, γράφεις IJK τα τρία διάνισματα, γράφεις το πρώτο διάνισμα, γράφεις και το δεύτερο διάνισμα, άρα έχεις να υπολογίσεις αυτό το τέρας εδώ, δεν είναι τόσο δύσκολο, θα σας πω πως το κάνω εγώ, αν θυμάστε, μία ορίζουσα τρία επί τρία, κάνετε στο λίκιο για αυτές, τσου, δύο επί δύο μόνο, κάνετε την προηγούμενη εβδομάδα, εντάξει τι πράγμα είναι, πώς θα θυμάμαι εγώ αυτές τις μία, δύο, τρεις υποορίζουσες, με το εξής κόλπο, για μένα, ας πούμε το συντελεστή του I, νατος, παίρνεις και σβήνεις την αντίστοιχη γραμμή και την αντίστοιχη στήλη, τη σβήνεις με το μυαλό σου, αυτό που περισσεύει μπαίνει εδώ μπροστά, πάμε να βρούμε το συντελεστή του J, παίρνεις την αντίστοιχη γραμμή και την αντίστοιχη στήλη και τη σβήνεις, αυτό που περισσεύει μπαίνει εδώ, αυτό υπάρχει και στο διαδίκτυο διαδραστικά να το επαναλάβετε και μόνοι σας, παίρνεις και το συντελεστή του K, σβήνεις αυτό και αυτό, αυτό που περισσεύει μπαίνει εδώ μπροστά, το μόνο που πρέπει να θυμάσαι είναι ότι αφού το κάνεις αυτό, πρέπει να αλλάξει τα πρόσημα, πάνε συν, πλιν, συν, και αν είχε και άλλο πλιν, συν, πλιν, συν, πλιν, συν, αλλάζουν τα πρόσημα συνεχώς. Μόνο αυτό πρέπει να θυμάσαι. Άρα αυτός ο όρος δυστυχώς είχε ένα πλιν μπροστά. Αν θυμηθείς αυτό το κολπάκι, δηλαδή πρώτη διαγραφή, δεύτερη διαγραφή, τρίτη διαγραφή, φτιάχνεις τρεις ορίουσες. Αυτές πρέπει να ξέρετε πώς υπολογίζονται. Αυτό έπει, αυτό μειών, αυτό έπει, αυτό όσο είναι, αυτό έπει, αυτό μειών, αυτό έπει, αυτό όσο είναι, αυτό έπει, αυτό μειών, αυτό έπει, αυτό, και βγάζει αυτό εδώ το τέρας. Αλλά επειδή αυτό είναι δύσκολο να το θυμάσαι, εμένα μου φαίνεται πιο εύκολο να θυμάμαι αυτό. Δηλαδή, έχω άρφα ξερικών γρήφα, β, i, j, k, το πρώτο διάνυσμα, το δεύτερο διάνυσμα. i, επισβήνω γραμμή και στήλη, να είναι μια υποορίδουσα, τη βάζω εδώ. j, γραμμή και στήλη, να τη άλλη υποορίδουσα, τη βάζω εδώ. Ε, αυτές ξέραν να τις υπολογίζω, αφού βάλω ένα πρόσημο πλήν στο μεσαίο. Έτσι το θυμάμαι εγώ. Με αυτόν τον τρόπο, τώρα βλέπετε στη σαρφαχία φαψιά, εδώ θα υπάρχουν νούμερα 5, 2, 3, 1, 0, 7. Άμα τα βάλεις, τελικά θα σου βγει ένα νούμερο εδώ, ένα νούμερο εδώ και ένα νούμερο εδώ. Οι τρεις συνεισθώσεις του διανύσματος. Τι μέτρο θα έχει? Τετράγωνο, τετράγωνο, τετράγωνο, ό,τι βγει, ρίζα. Άρα, και το εξωτερικό γινόμενο υπολογίζεται από τις συνεισθώσεις. Όλα άθροισμα, αφαίρεση, εξωτερικό, εξωτερικό, υπολογίζεται από τις συνεισθώσεις. Ανάγεται σε απλές προσθέσεις και αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και αθρίσματα που υπάρχουν εδώ. Γι' αυτό και αντικαθιστούμε τη γεωμετρία με αυτά εδώ. Ξεχνάμε τη γεωμετρία και κάνουμε απαρθυνητικές πράξεις. Παράδειγμα, να το διάνισμα α3 2-1. Να και το διάνισμα β-2 2-2. Τι πρέπει να φτιάξω, να φτιάξω αυτή την ορίζουσα. Πάνω θα μπουν τα i, j, k. Α, παρέθεση, μεταξύ τους αυτά είχαμε δείξει ότι είναι κάτι, θα το επαληθεύσουμε. 3 πρώτη με την πρώτη, δεύτερη με τη δεύτερη, τρίτη με την τρίτη. 3 πριν μειών 2 κάνει μειών 6, 2 πριν 2 κάνει 4 και μειών 6 μας κάνει μειών 2. Μειών 1 πριν μειών 2 κάνει 2 και μειών 2 κάνει μηδέν. Άρα το ιστορικό γεωμενο βγαίνει μηδέν. Αυτά είναι κάθετα μεταξύ τους. Το α, εξελικός β, τι θα είναι στα λαδείο. Στα διάνισμα, κάθετο. Άρα κάθετο το α στο β, κάθετο και το διάνισμα θα φτιάξουμε στα λαδείο. Τα τρία μεταξύ τους θα είναι κάθετα. Σαν τον άξορα χ, ψ και ζ. Να το α, να το β, να και το κάθετο σε αυτά τα δυο. Και τα α μεταξύ τους κάθετα, έτσι. Θυμάται κανείς αυτό εδώ, αυτό τον δυσκολέδει. Εγώ το έχω κάνει με την ορίουσα. Α, δεν το έκανα με την ορίουσα. Ωραία. Κάντε μου τη χάριση παρακαλώ πάρα πολύ. Εδώ έχω κάνει κατευθείαν αντικενταστάσεις από τον τύπο. Γράψτε το IJK. Το 3-2-1, το 2-2-2. Και κάντε μόνοι σας τις πράξεις. Λογικά πρέπει να βγάλετε το ίδιο αποτέλεσμα. 2-8-10. Αυτό το διάνισμα είναι το αξιδικός β, που εγγυημένα είναι κάθετος στο α και εγγυημένα είναι κάθετος στο β. Είναι κάθετος στο επίπεδο που σηματίζουν τα ραδιοδιανίσματα. Γεωμεντική εφαρμογή. Αν έχω δύο διανήματα και ψάχνω ένα κάθετο σε αυτά, να ένας τρόπος με απλές προσθέσεις και πολλαπλασιασμούς να το κατασκευάσω. Είπαμε λοιπόν αυτό που έφτιαξα τώρα μόλις είναι κάθετο και στο α και στο β. Που α είναι αυτό και β είναι αυτό εδώ. Ας πάμε να συνεχίσουμε. Στο σημερινό μάθημα θα ξεκινήσουμε να πούμε μερικά πράγματα τα οποία σχετίζονται με την πολύ απλή μηχανική τα επόμενα μαθήματα και το πρώτο μάθημα θα περιοριστεί νομίζω και κλειό από το επόμενο στην κινηματική. Η κινηματική είναι το κομμάτι εκείνο της μηχανικής που εξετάζει μόνο τις κινήσεις. Δηλαδή είναι μια θεωρία χαζή που παρατηρεί. Δεν έχει άλλην επιδράση, δεν έχει τίποτα. Είμαστε παρατηρητές. Ήταν το πρώτο που ιστορικά αναπτύχθηκε γιατί αυτό μπορούσαν να κάνουν οι άνθρωποι. Να βλέπουν τα σώματα όπως κουνούνται. Ουράνια σώματα ήτανε. Οι μηχανικοί ξεκίνησαν να σκοτώσουν τον άλλον πως να ρίξουμε το βλήμα να πετύχουμε τον άλλον. Γι'αυτό και αναπτύχθηκε πάρα πολύ από τους μηχανικούς του πυροβολικού. Θα παραθούμε τα πράγματα παρατηρησιακά και απλά. Είναι απλά και ταυτόχρονος είναι λίγο δύσκολα γιατί έχετε μπερδεμένες κάποιες σκέψεις στο μυαλό σας που θα προχειρήσουμε να τις ξεκαθαρίσουμε όλες εδώ. Η πιο απλή κινήση που εξετάζει η μηχανική είναι που ξέρετε από τα πρώτα στάδια της φυσικής και είναι η ευθύγραμη κινήση. Έχεις μία μπάλα που είναι κάπου, η αρχή μπορεί να είναι σε χρονική στιγμή 0 σεκόντ το αρχής του χρόνου δεν υπάρχει, είναι όλα αυτά αφθαίρετα λέμε από τώρα μπαμ, ο αφέτης πατάει το κουμπί και λέει 0 σεκόντ τώρα, έτσι. Σε ένα σεκόντ πάει λίγο παραπέρα, σε δύο λίγο παραπέρα, κινείται σε ευθεία γραμμή πάντως το σώμα. Ξεκινάει την κινήση σε μία διάσταση. Αφθαίρετα συνήθως τα βάζουμε όλα και ορίζουμε αυτόν τον άξινο και τον ομάζουμε το όνομα X. Δηλαδή ορίζουμε μια ευθεία αφθαίρετη που τη λέμε X συνήθως για πρακτικούς σκοπούς και εκεί πάνω κινείται το σώμα. Θα μπορούσε να είναι ένα ευθύγραμο τούνελ που δεν έχει καμία δυνατότητα να πας δεξιά αριστερά. Κινείται μόνο ευθύγραμο. Και η κινήση αυτή δεν χρειάζεται να σταθερή. Μπορεί το πρώτο δευτερό ώρα να κινήθηκες δύο μέτρα, το επόμενο τέσσερα μέτρα και το επόμενο τρία μέτρα. Γιατί επιτάχυνες, ελβράδινες, έκανες ό,τι ήθελες. Το πρώτο και πιο απλό νουμπεράκι που ορίζεται και περιγράφει μία κινήση πέρα από το που είσαι σε κάθε χρονική στιγμή είναι η λεγόμενη μέση ταχύτητα. Η μέση ταχύτητα αφορά δύο συγκεκριμένες χρονικές στιγμές. Την ένα και τη δύο. Αν λοιπόν το σώμα, η θέση του περιγράφει μία συνάντηση χύτου ταφ και σε διάφορες χρονικές στιγμές είναι σε διάφορες θέσεις, η μέση δεν υπάρχει γενικά μέση ταχύτητα. Υπάρχει η μέση ταχύτητα που αναφέρεται σε δύο χρονικές στιγμές. Δύο. Την ένα και τη δύο. Αλλάζοντας οποιοδήποτε από τα δύο, αλλάζει και η μέση ταχύτητα. Τόσο τι είναι η μέση ταχύτητα αυτό που ξέρετε από πολύ νωρίς. Πόση απόσταση έκανες χ2 μη χ1 σε πόσο χρόνο. Εδώ πιχύ έκανες 2 και 4 και 3, είσαι στα εννέα μέτρα. Την χρονική στιγμή τρία σεκόντ. Ξεκίνησες από τα μηδέν μέτρα. Ας υποθέσουμε ότι εδώ είναι η αρχή των αξώνων. Θα μπορούσαμε να μην ξεκινάσουμε από τα μηδέν μέτρα. Την χρονική στιγμή μηδέν σεκόντ. Άρα αυτά δεν είναι πάντα μηδέν. Προσέξτε γιατί πολύ οι δύο της εξετάσεις έχουν την τάση αυτά να τα βάζουν μηδέν. Δεν ξεκινάνε πάντα την χρονική στιγμή μηδέν. Ούτε ξεκινάνε πάντα το μέτρο μηδέν. Θα τα δεις εκείνη την ώρα που είναι. Θα κάνεις αφαιρέση και θα βγάζεις έναν νούμερο. Τρία μέτρα ασεκόντ. Τι σημαίνει αυτό ότι από εδώ μέχρι εδώ κατά μέσο όρο κινήθηκες με τρία μέτρα ασεκόντ. Κατά μέσο. Έτσι. Άρα αν αυτή είναι η συναρτήση που περιγράφει το πού είστε κάθε χρονική στιγμή. Εδώ οι συναρτήσεις θα μπούνε να υπηρετήσουν τη φυσική. Έχουμε λοιπόν μια συναρτήση, μια μηχανή που βάζουμε χρόνους και μας δίνει θέσεις. Την χρονική στιγμή τα φένα είμαι εκεί, τα δύο είμαι εκεί, τα τρία είμαι εκεί. Είναι μια συναρτήση. Εδώ είναι το τα φένα και εδώ είναι το χιένα. Εδώ είναι το τα δύο και εδώ είναι το χιδύο. Απλά θέλουμε αυτή την απόσταση του χρόνων και αυτή την απόσταση των αποστάσεων. Χιδύο μηχανή 1, να το, αυτό εδώ. Τα δύο μηχανή 1, να το. Αυτό το τριγωνάκι εδώ, η κλήση του όχι σε μοίρες, διαγράφτε τις μοίρες. Ο ρυθμός μεταβολής τόσο σε τόσο είναι αυτό που ορίζουμε σαν μέση ταχύτητα. ΔΑΧΠΡΟΣ ΔΑΤΤΑΦ. Κατωπίστε μέσα στο μυαλό σας ότι αν βάλετε τις χρονικές στιγμές και σχηματίσετε αυτό το τριγωνάκι εδώ, ο λόγος αυτής της πλευράς προς αυτή την πλευρά, ξεχάστε ότι ο λόγος αυτής της πλευράς προς αυτή την πλευρά είναι η εκφαπτομένη αυτής εδώ της γωνίας απέναντι προς πλαϊνή. Οι εκφαπτομένες και οι γωνίες υπάρχουν όταν έχεις μέτρα και μέτρα, χιλιόμετρα και χιλιόμετρα, χιλιωστά και χιλιωστά. Εδώ έχεις μέτρα και χρόνος. Ποια γωνία, τι γωνία είναι αυτή, τι τρίγωνο που έχει πλευρά σε μέτρα και σε δευτερόλεπτα. Θα το διαγράψετε από το μυαλό σας αυτό το πράγμα το οποίο το συναντάμε συνέχεια και δημιουργεί προβλήματα. Κάποιοι φοιτητές δε κάνουν το απίστευτο, παίρνουν το μυρογνωμόνιο, το κοτσάρουν εδώ και βρίσκουν την εκφαπτομένη της γωνίας και σου λένε η παράγωγος, γιατί κάπου το μάθανε αυτό, σχοιμώνος και γεωμεντικά σχήματα, είναι αυτό. Θα το διαγράψετε από το μυαλό σας, θα το ξεχάσετε. Ακόμα και μέτρα να είναι, προσέξτε τι συμβαίνει. Στη γεωγραφία στο επόμενο εξάμινο θα κάνετε χάρτες όπου εδώ η κλίμακα είναι σε μέτρα και εδώ σε χιλιόμετρα. Γιατί, γιατί αλλάζει λίγο η μορφολογία και αναγκάρυση να βάζει διαφορετική κλίμακα. Στο θεσσαλικό κάμπο, έχει ξέρω, πέντε μέτρα ύψος σε τρία χιλιόμετρα και κάνουν πέντε διατρία και βγάζουν μια γωνία σαράντα μοίρες. Δηλαδή, ο θεσσαλικός κάμπος έχει γωνία σαράντα μοίρων. Έτσι, που μιλάμε πας και είναι παντού με τα πάντα ίσια. Θα το ξεχάσετε αυτό με την εχαρτομένηχη, έχει καταστρέψει γενιές φοιτητών. Έτσι, τελείως. Όχι μόνο πρέπει να είναι μέτρα και μέτρα, αλλά έτσι είναι άπειροι φοιτητές. Έχουν βγάλει μορφολογικές κλίσεις σε παιδιά δεσσαράντα, πενήντα, εξήντα μοίρες. Κάτσε ρε συ, εξήντα μοίρες στον κάπο που τις βρήκες. Ούτε δύο δεν υπάρχουν εκεί. Όχι μόνο πρέπει να είναι μέτρα και μέτρα, πρέπει να είναι και ίδια κλίμακα. Μέτρα και μέτρα και με την ίδια ακριβώς κλίμακα. Μέτρα και με την ίδια ακριβώς κλίμακα που δεν γίνεται πάντοτε σαν ολοχημάτα η ίδια κλίμακα. Ξαναλέω λοιπόν αυτή είναι η μέση ταχύτητα. Προσέξτε δύο σώματα που έχουν διαφορετική ιστορία. Αυτό κινήθηκε δύο, τέσσερα και τρία μέτρα. Και ένα άλλο σώμα που κινήθηκε με άλλη ιστορία. Πρώτα πέντε μετά δύο και μετά δύο μέτρα. Συνολικά διένει σε ενέα και αυτό, ενέα και αυτό στα τρία δεσσαράντα. Η μέση ταχύτητα είναι η ίδια. Η μέση ταχύτητα εξαρτάται από την αρχή και το τέλος. Αν εγώ και εσύ φτάσαμε στην Αθήνα σε πέντε ώρες, έχουμε και η ίδιο τη μέση ταχύτητα. Εγώ μπορώ να σταμάτω στη Σατέμπι να πιω ένα καφέ και εσύ μπορείς να σταμάτεις και απ' αλλού. Δεν κάνουμε την ιδιαπορία. Η μέση όμως ταχύτητα μπορεί να είναι καλή στα ίδια, έτσι. Η μέση εξαρτάται από την αρχή και το τέλος, κάθε φορά. Να δύο γραφικές παραστάσεις. Να μία και να μία άλλη. Αυτή τη συνάρτηση ακολούθησα εγώ. Αυτή τη συνάρτηση ακολούθησε κάποιος άλλος συνάδελφος. Τη ειχονικής δημηταφέναμος και τα δύο ήμασταν συμπτωματικώς σύδυες θέσεις. Η μέση ταχύτητα που είναι αυτό εδώ δια αυτό εδώ είναι ακριβώς η ίδια παρόλο που οι πορείες που ακολουθήσαμε είναι διαφορετικές, έτσι. Ενωλήγεις μέση ταχύτητα αν ο δρόμος Αθήνα-Σαωνή ήταν ευθεία γραμμή που δεν είναι, έτσι. Αν και γενικεύεται και για μικρή ακαμπίλευση τα δρομές, είναι πόσο απέχει η Αθήνα 505 χιλιόμετρα. Πόση ώρα έκανες? 5 ώρες. Άρα 101 χιλιόμετρα την ώρα. Μέση ταχύτητα. Σου δίνει μια αίσθηση. Αλλού πήγαινες με 140, αλλού πήγαινες με 40. Αλλά κατά μέσο όρο πήγαινες με 101. Αυτό που είπα τώρα, αλλού πήγαινες με 140, αλλού πήγαινες με 40. Προφανώς δεν συνέχεται σε δύο χρονικές στιγμές. Συνέχεται μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Τώρα τι κάνω? Τώρα πόσο γρήγορα πηγαίνω? Πώς θα βρω ένα σώμα που μου έχουν δώσει μια συνάντηση αυτή τη στιγμή τι κάνει? Ούτε μετά, ούτε πριν. Τώρα. Αυτό γίνεται γενικεύοντας από τη σχέση που έχει δέλτα και δέλτα όταν τα παίρνεις για πολύ μικρές χρονικές στιγμές. Και σε οδηγεί στην παράογα. Γραφικά για να το δείτε. Είναι σαν να έχεις αυτό το χρονικό διάστημα που έχεις αυτό το ΔΤ και αυτό το ΔΤ. Αφορά αυτή τη χρονική στιγμή και αυτή τη χρονική στιγμή. Αν αυτό γίνει μικρότερο, έλα λίγο, και μικρότερο και πολύ πολύ πολύ πολύ πολύ πολύ πολύ μικρό, απυρωστό όπως σκέφτηκε ο Λάιμπνιτς και ο Νεύτωνας τότε που το σκέφτηκαν μαζί και ανεξάρτητα, το τριγωνάκι αυτό γίνεται πάρα πάρα πάρα πολύ μικρό. Και αυτή εδώ η γραμμούλα τι γίνεται οριακά για την καμπύλη, για τη συνάρτησή σου. Εφαρτωμένη. Γίνεται αυτό. Στο όριο αυτό το τριγωνάκι, που είναι πολύ πολύ μικρό και αφορά ένα απυρωστό χρονικό διάστημα, σχεδόν μια χρονική στιγμή, έτσι, γίνεται αυτή η γραμμούλα, αυτή η υποτήρουσα γίνεται εφαρτωμένη. Και αυτό το συμβολίζεται σαν δεχεί δε τάφη. Δηλαδή, στο όριο αυτά είναι πολύ μικρά. Είναι απυρωστά. Παρόλο που είναι πολύ μικρά, έχουν έναν λόγο συγκεκριμένο, τρία, πέντε, εφτά. Αυτός ο λόγος που είναι ένα νούμερο είναι η ταχύτητα. Η στιγμιαία ταχύτητα, όπως λέγεται. Είναι η ταχύτητα που έχει μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Τώρα εσείς δεν χρειάζεται να πάρετε απυρωστά, ξέρετε να παραγωγήσετε, ή θα έπρεπε να ξέρετε να παραγωγήσετε συναρτήσεις. Εννοείται φυσικά ότι δεν μπορεί κανείς να προχωρήσει αν δεν ξέρει καλά να παραγωγίζει. Άρα αν έχουμε κενάς παραγωγούς πρέπει να κάνετε να δούμε πίσω. Έτσι, πρέπει να ανοίξετε ξανά τα βιβλιαράκια σας, γιατί δεν μπορείτε να υπολογίσετε τα απλά στιγμιαίες ταχύτητες. Έτσι, δεν τα κπετάμε όσα μάθαμε στο λυγείο, καλός ή κακός, μάλλον καλός. Επαναλαμβάνω, η παράγωση μας δίνει τη στιγμιαία ταχύτητα, αυτή τη χρονική στιγμή τη στιγμιαία ταχύτητα έχω. Τρέχομαι πέντε προς τα μπρος, τρέχομαι μίον τρία προς τα πίσω, ή είμαι ακίνητος και έχω ταχύτητα μηδέν. Κάτι ακόμα, πολλοί σκόμους μπερδεύεται, μπερδεύεται πάρα πολύ. Και θεωρεί ότι αν η μετατόπιση είναι μηδέν και η ταχύτητα είναι μηδέν, είχε επιτάχυνση αργότερα και ούτω καθεξής. Δεν έχει καμία σχέση το χει, το που είσαι, με το πόσο γρήγορα τρέχεις. Παράδειγμα, δείτε ένα σώμα, αυτό είναι η θέση του. Πήγε τη χρονική στιγμή μηδέν, είναι κάπου εδώ, πλην κάτι, μετά φτάνει εδώ, πιάνει αμέγη στη θέση και γυρίζει πίσω. Είναι ένα σώμα που ξεκίνησε από το πλην κάτι, πήγε μέχρι το μηδέν, έφτασε μέχρι κάποια απόσταση και άρχισε να γυρίζει προς το μηδέν. Η παράογος, η κλήση, σε κάθε εικονική στιγμή, είναι η ταχύτητα. Εδώ, από χει, έχει μια ταχύτητα θετική, η κλήση είναι προς τα πάνω, ενώ η θέση του είναι αρνητική, καμία σχέση. Εδώ η θέση του είναι στο μηδέν, περνάει από εκεί, από την αρχή των αξώνων. Γιατί το χει είναι μηδέν. Η κλήση όμως έχει μεγάλη τυνή, μεγάλη θετική ταχύτητα. Τι σημασία έχει αν το χει είναι μηδέν. Είναι μηδέν ή είναι πλην πέντε, είναι όσο θέλει. Όταν φτάσεις στο σημείο σε εδώ, τι ταχύτητα έχει μηδέν, γιατί είναι μηδέν. Η ταχύτητα εδώ. Γιατί είναι παράγωση μηδέν. Είναι παράγωση μηδέν στο χει. Και τι σημαίνει σε αυτό το σημείο. Ποια είναι αυτά τα σημεία που είναι παράγωση μηδέν. Δώσατε εξετάσεις άθωνα σε αυτό το σημείο, πες το. Ποια είναι αυτά τα σημεία που είναι παράγωση μηδέν. Τι. Ποια είναι αυτά τα σημεία που είναι παράγωση μηδέν. Σωστό. Ποια σημεία είναι αυτά που είναι παράγωση μηδέν και έχουν παράγωση μηδέν. Πες το. Όχι. Πες το. Ακριά σε εσένα. Ακριά σε εσένα. Όχι δηλαδή ακριά σε εσένα. Έχω άνομα. Ακρότατα. Μέγιστα και λάκιστα ρε παιδιά. Έλεος. Τα φάγατε με το κουτάλι αυτά στο λίκ και υποτίθεται. Πώς βρίσκετε. Αυτό κάθε χρονιά το συναντάω. Άμα κάνεις την ευθεία ερώτηση όλοι απαντάνε. Πώς βρίσκω τα μέγιστα και λάκιστα περνούν την παράγωση μηδέν. Θα σου απαντήσει κάποιος. Άμα του πεις εκεί που έχω την παράγωση μηδέν τι συμβαίνει. Όπω όλοι κολλάνε. Τι συμβαίνει εσύ. Έχεις μέγιστα και λάκιστα. Άρα αν σε κάποια άσκηση σας ρωτήσουν τώρα στο πανεπριστήμιο πού αυτό έχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή. Πρέπει να πεις εκεί που η παράγωγός του είναι μηδέν. Κατευθείαν. Το ξαναλέω. Επειδή τον ρωτάω και όλοι το ξεχνάνε. Αυτό πότε έχει την μέγιστη τιμή μούγκα. Εκεί που η παράγωγός του είναι μηδέν. Αν η δεύτερη παράγωση είναι αρνητική είναι μέγιστο. Αν η πρώτη παράγωση είναι αρνητική είναι ελάχιστο. Άμα θες να βρεις και τι είναι. Αλλά αυτόνοιτος εκεί που η παράγωση είναι μηδέν έχουμε ένα μέγιστο. Είναι η μέγιστη απόσταση που φτάνει το χ. Πήγαινε σε αυτή τη μέγιστη απόσταση σταμάτησε και τώρα σιγά σιγά γυρίζει πίσω. Εντάξει. Πρακτική εφαρμογή. Με κάποιο μαγικό τρόπο είναι παράδειγμα από το βιβλίο. Κάποιος που είδε μια λεωπάρταλη να ξεκινάει και να τρέχει να κυνηγήσει μια αντιλόπι. Ανακάλυψε ή είδε ή υπολόγησε δεν μας ενδιαφέρει πως. Ότι αν εδώ είναι το μηδέν και ξεκινάει τη χρονική στιγμή. Κάποια χρονική στιγμή. Η θέση της αντιλόπισης είναι 20 συν πέντε δευτετράγωνο. Πρώτο ερώτημα. Τη χρονική στιγμή 0 πού είναι η αντιλόπιση. Η θέση της χ είναι 20 συν πέντε δευτετράγωνο. Πες το. Άρα δεν είναι στο μηδέν. Υθικό δίδαγμα δεν ξεκινάμε να λέμε τη χρονική στιγμή 0 είναι στην αρχή των αξών. Ποιος το είπε. Το βρήκες. Μην κάνετε τέτοια αυτονόητα αλλά θα έχετε συνηθίσει στις πιο πολλές εκφωνήσεις τη χρονική στιγμή 0 στην αρχή των αξών. Ενάπου δεν είναι. Γιατί αυτό σώρησε την αρχή των αξών εδώ. Εκεί που είναι αυτός. Και είπε θα μετράω τις αποστάσεις από εδώ. Γιατί. Εκεί είχε το μηχάνημα λέιζερ που χτύπαγε πάνω στην αντιλόπιση και μπορούσε να υπολογεί τις αποστάσεις. Στην λεωπάρδαλη. Μήπως πήγε την πυραγκαλιά την λεωπάρδαλη για να μετρήσει τις αποστάσεις. Από μαγειρά το έκανε. Από μαγειρά το έκανε. Άρα είπε το μηδέν εδώ. Εδώ είναι η θέση 20 που αρχίζω να μετράω τα πράγματα. Να λοιπόν η θέση. Άρα αν βάλω τάφ θα βγάλω και χ που είναι η αντιλόπιση. Να βγάλουμε. Μας ρωτάει. Ποια η μέση ταχύτητα ανάμεσα στο πρώτο και στο τέτοιο εθνότητο της κίνησης. Που είναι στο πρώτο. Χ1 βάζουμε εδώ 1. 25 επί 1, 25. Που είναι στα 2 σεκόντ βάζουμε στο τάφ 2. 25 επί 2 στο δετράγωνο κάνει 40. Άρα είναι στο 25 μέτρο τη χρονική στιγμή 1, 1 σεκόντ. Και είναι στο 40 μέτρο τη χρονική στιγμή στιγμή 2. Άρα ανάμεσα στο πρώτο και στο δεύτερο εθνότητο έτρεχε με 15 μέτρα το δευτερό. Η συγκεκριμένη Λεωπάρδαν. Απλή αστεία εφαρμογή. Δεύτερο. Ποια είναι η στιγμή 1 ταχύτητα στο 1 και στα 2. Εδώ δε ρωτάμε ένα διάστημα τι συνέβη. Και ότι από εδώ μέχρι εδώ κατά μέσο όρο έτρεχε με 15 μέτρα σεκόντ. Ψάχνουμε εδώ και εδώ πόσο έτρεχε. Πρέπει να παραγωγήσεις. Ποια η παράγωση του 20 συν 5 τετράγωνο. 10 τάφ. 10 τάφ του 20 σταθερά φεύγει. Του τάφ δετράγωνο 2 τάφ. Άρα η στιγμή 1 ταχύτητα είναι 10 τάφ. Μπορεί να μην φαίνεται εκεί πίσω. Λέει 10 τάφ. Άρα αυτός είναι ο τύπος της στιγμίας ταχύτητας. Βάζε τη μέση του τάφ και θα σου δώσει τη μέση της ταχύτητας. Αν βάλεις 1, 10 επί 1 τρέχει 10. Αν βάλεις 2, 10 επί 2 τρέχει 20. Άρα στο 1 έτρεχε με 10 και επιτάχυνε και έφτασε στο 2. Βλέπετε λοιπόν από τον τύπο που σου δίνει την κίνηση και τις μέσες τιμές και τις στιγμιές τιμές με απλή παραγώγηση των υπολογίσεων. Κάνετε μια τέτοια άσκηση. Βγάψτε όποια συνάρτηση θέλετε από μόνη σας με ημήτωνα με δεν ξέρω τι και κάνετε δυο απλούς υπολογισμούς. Το βιβλίο έχει άπλαια παραδείγματα αλλά και μόνος σου μπορεί να κάνεις τέτοιες ασκήσεις. Είναι αστείο να κάνεις τη μέση και τη στιγμία ταχύτητα. Στην ευθύγραμη κίνηση πέρα από τη μέση και τη στιγμία ταχύτητα υπάρχει φυσικά και η έννοια της επιτάχυνσης. Η επιτάχυνση είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα μόνο που δεν μπαίνει με το Χ αλλά με το Β με την ταχύτητα. Δεν παρατηρούμε ή το σώμα πού είναι αλλά πόσο γρήγορα τρέχει. Τα νούμερα είναι ακριβώς τα ίδια ανάμεσα τη στιγμή τα Φ1 που έχει ταχύτητα Β1 και τη στιγμή τα Β2 που έχει ταχύτητα Β2 αν βάλεις πάλι το τα Φ1 Β1 και το τα Β2 Β2 και πάρεις αυτό το διάστημα και αυτό το διάστημα το Β2-Β1 και τα Β2-Β1 αυτό ορίζεται αντίστοιχα ως μέση επιτάχυνση. Πόσο μεταβάλλεται η ταχύτητα. Πόσο δυνατά πατάει τον γκάζι ο άλλος εκεί στην φόρμουλα και επιταχύνει. Επιταχύνει 4 μέτρα αν σε εκείνο τετράγωνο. Όπως θα έχετε φυσικά ακούσει σε πολλές περιπτώσεις και στη γεωφυσική θα δείτε στο επόμενο έτος μετράμε την επιτάχυνση σαν μονάδα χρησιμοποιούμε το G το 10 μέτρα αν σε εκείνο τετράγωνο. Άρα επιτάχυνση 1 G σημαίνει 10 μέτρα αν σε εκείνο τετράγωνο. Επιτάχυνση 100 μέτρα αν σε εκείνο τετράγωνο το λέμε 100 G. Εσύ δεκα G. Πιχείο το να φρενάρουνε. Από ότι ξέρω φρενάρουνε μέχρι 10 G. Ξημαίνει ότι νιώθουνε δεκαπλάσιο βάρος σε κάθε διέθυνση όταν φρενάρουνε. Γι' αυτό και είναι όλοι καλογυμνασμένοι. Πολλά τέτοια παραδείγματα. Πατάει ο άλλος πυράμπλους για τρία δεύτερα στο διάστημα. Ασκεί μια σταθερή επιτάχυνση ο πυράμπλος, όποια είναι, επί τρία προκαλεί μια μεταρβολή Δ. Άρα μπορείς να πεις πόσο άλλαξε η ταχύτητα αυτού που κινείται στο διάστημα. Στην φόρμουλα, πατάει ο άλλος τον γκάζι, κατά τρία δευτερόλεπτα, ασκεί μια σταθερή επιτάχυνση, επί τρία μετρά ανσεκόντ, αλλάζει την ταχύτητα κατά 21 μετρά ανσεκόντ. Τα ίδια που ισχύουν, ισχύουν και εδώ. Φυσικά, όπως υπάρχει η μέση επιτάχυνση, ανάμεσα σε δύο χρονικές στιγμές, υπάρχει και η στιγμιαία επιτάχυνση. Η εφαρτωμένη της καμπύλης V του τάφ, όχι X του τάφ, V του τάφ, η παράγωση με λίγα λόγια της ταχύτητας, σου δίνει τη στιγμιαία επιτάχυνση. Πώς επιταχύνομαι τώρα, καθώς κινούμαι εγώ και τρέχω πιο γρήγορα, μια χρονική στιγμή, πώς επιταχύνομαι ή πώς επιβαραδίνω. 1 μετρά ανσεκόντ, μίον μισό μετρά ανσεκόντ, μηδέν μετρά ανσεκόντ, τετράγωνο, συγγνώμη. Άρα πρέπει να παραγωγήσεις την ταχύτητα, για να βρεις την επιτάχυνση και πότε να την βρεις την ταχύτητα, θα παραγωγήσεις την μετάθεση. Άρα θα κάνεις μία και άλλη μία παράγωση και θα βρεις την επιτάχυνση. Άρα θα παρεις την ταχύτητα, θα την παραγωγήσεις μία φορά να βρεις την ταχύτητα, θα την παραγωγήσεις άλλη μία φορά για να βρεις την επιτάχυνση. Θα κάνεις δυό φορές την ίδια δουλειά, για να βρεις τη στιγμιαία επιτάχυνση. Θες μια δεύτερη παράγωση. Πάρτε την αντιλόπιση και θα τη δούμε και τώρα. Πάρτε μία ιταλιάστιξη και κάντε μία δυο πρακτικές εφαρμογές. Να σιγουρευτείτε ότι το κατέχετε. Το ζητάμε και ακίνονται πεδαριώδη λάθη. Μην επιτρέπετε στον εαυτό σας να κάνετε τόσο απλά λάθη. Παράδειγμα. Κάποιος μας έδωσε ότι η μετάθεση είναι πενήντα, συν δέκα ταφ, συν ένα ταφ τετράγωνο, μίον ένα εξικοστό ταφ τρίτης. Είναι αυτό το τέρας. Τα τέρατα όσο μεγάλα και να είναι, δεν μας τρομάζουν όταν μας τα δίνουν σε αυτή τη μορφή. Μπορούμε να βρούμε σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή που είναι το σώμα, βεβαίως. Βάλε τα τάφ εδώ για ένα, δύο, τρία, πέντε. Κάνε με προσοχή της πράξης, προσοχή της πράξης και βγάλε ένα νούμερο. Που είναι το σώμα όποια στιγμή θέλεις. Μπορούμε να βρούμε τη στιγμιαία ταχύτητα. Τι πρέπει να κάνω τη στιγμιαία να το παραγωγήσουμε. Η παράγωση του πενήντα μηδέν, του δέκα ταφ δέκα, του ταφ τετράγωνο ποιο είναι το τετράγωνο, δύο ταφ και το ταφ τρίτης τρία ταφ τετράγωνο. Πόσα ύδα έβαλα αυτή τη μέση στις τελευταίες εξετάσεις. Πόσα ύδα που ο άλλος πάνω στην πιασίνη του έγραψε ότι παράγωγω δύο ταφ τετράγωνο πάνω στο μπανικό. Λίγη ψυχραιμία, του ταφ τρίτης τρία ταφ τετράγωνο. Αν το κάνεις αυτό, αυτό έφυγε, το δέκα ταφ δίνει δέκα, το ταφ τετράγωνο δίνει δύο ταφ και το τρία ταφ τετράγωνο, τρία με το εξήντα δίνει ένα εικοστό, ένα εικοστό ταφ τετράγωνο. Άλλη μία φορά, το ξαναπαραγωγίζεις, αυτό φεύγει, το δύο ταφ θα δώσει δύο, το ταφ τετράγωνο θα δώσει δύο ταφ, το δύο με το ένα εικοστό δίνει ένα δέκα. Δύο και δύο ταφ να είναι τρεις τύποι, με δύο απλές παραγωγήσεις. Άρα, αν να πάει στα χρονική στιγμή, ξέρω πού είναι, πόσο γρήγορα τρέχει και τι επιτάχεση έχει. Να τα συναρτήσεις. Αν τις σχεδιάσεις κιόλας είναι κάπως έτσι. Αυτή είναι μια απλή γραμμική συναρτήση, δύο που είναι ένα δέκα ταφ πάει κάπως έτσι. Αυτή είναι η ταχύτητα, είναι μια παραβολή, ανά από δύο προς τα κάτω. Είναι μια καμπύλη τίτου βαθμού που είναι κάπως έτσι. Ερώτηση. Πότε το κινητό έχει τη μέγιστη ταχύτητα. Πες το πες το. Που η παράγωση είναι μηδέν. Το βλέπει κανείς πού είναι μηδέν. Πες το. Σε αυτό ναι. Να σου πω ακριβώς πού είναι. Ποια είναι η παράγωση ταχύτητας. Επιτάχυνση. Άρα η επιτάχυνση να είναι μηδέν. Που είναι μηδέν. Εκεί που κόβει τον άξονα εδώ στο είκοσι. Δηλαδή να το βλέπεις το λέει εδώ ρε φίλε είναι μηδέν. Η επιτάχυνση είναι μηδέν. Άρα η ταχύτητα είναι υποχρεωμένη να έχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή. Στην συγκεκριμένη περίπτωση αν το ξαναπαραγωγήσεις βγαίνει μίον ένα δέκατο. Άρα είναι μέγιστο. Άρα δες το. Δες αυτό εδώ. Βάλε αυτό να είναι μηδέν και το βρήκες. Δεν θέλει πολύ φιλοσοφία. Η πραγματικότητα είναι ότι θα έπρεπε να τελειώσει το μάθημα εδώ. Δεν θα τελειώσει για ένα λόγο. Οι οποίες ξέρετε εσείς και έχετε διδαχτεί μέχρι τώρα δεν είναι τέτοιες. Στο λύκειο δεν κάνετε γενικά εκκινήσεις ή στο γυμνάσιο που να έχουνε μεταβαλόμενη επιτάχυνση. Είστε μη εξικοιωμένοι με προβλήματα που η επιτάχυνση μεταβάλλεται. Γιατί αν θα μάθουμε στη δυναμική μεταβάλλεται η επιτάχυνση σημαίνει μεταβάλλεται η δύναμη. Δύναμη σωμάζεται επιτάχυση θα δούμε αργότερα. Το ξέρετε καλά. Δεν είστε εξικοιωμένοι με τα προβλήματα που τα πράγματα αλλάζουν. Είστε εξικοιωμένοι με προβλήματα που οι δυνάμεις παραμένουν σταθερές. Στη γεωλογία γενικά υπάρχουν περιπτώσεις που οι δυνάμεις αλλάζουν γρήγορα ή που αλλάζουν αρκετά αργά που για κάποια διαστήματα μπορούμε να θεωρήσουμε περίπου σταθερές. Και αυτό δεν συμβαίνει μόνο στην γεωλογία. Συμβαίνει σε πολλές επιστήμες. Η δύναμη σταθερή σημαίνει επιτάχυση σταθερή. Γι' αυτό και σας έχουν φλωμώσει το μυαλό με αυτή την περίπτωση. Με την περίπτωση της κίνησης με σταθερή επιτάχυση. Προσέξτε! Αν καταλήξετε σε κάτι τέτοιο, σημαίνει ότι επιτάχυση μεταβάλλεται. Εδώ δεν λέει 2. Λέει 2 πριν 10 το ταφ. Αλλάζει με το ταφ. Αν δείτε κάτι τέτοιο, θα καταργήσετε από το μυαλό σας όλους τους τύπους που έχουν σταθερή επιτάχυση. Και τους οποίους έχετε μάθει κατά κόρο στα λυκαιακά σας χρόνια. Αν φτάσετε εδώ, όλα αυτά που θα δούμε στη συνέχεια θα τα κάνεις χει. Μην διανοηθείς να τα χρησιμοποιήσεις. Έμεινες εδώ. Αλλά θα μάθουμε τα επόμενα. Ο κίνδυνος από τα επόμενα, που είναι τα πιο εύκολα, είναι για σταθερή επιτάχυση ΑΙΔ. Ο κίνδυνος είναι ότι έτσι τους μαθαίνετε τους τύπους και μετά τους εφαρμόζετε παντού. Δεν πάει έτσι το πράγμα. Αν η κίνηση είναι τέτοια και δίνει όχι μόνο μεταφανόμενο ταχύτητα, αλλά σταθερή επιτάχυση, κυρίως δεν μπορείς να αφαρμόσεις τους τύπους που θα δούμε. Αλλιώς δεν μπορείς. Αυτή όμως η περίπτωση είναι πολύ συχνή. Για αυτό και την παρακολουθούμε λίγο περισσότερο. Είναι πολύ συχνό το φαινόμενο που οι δυνάμεις είναι σταθερές, δίνει σταθερή δύναμη με το αυτοκίνητο, άρα η επιτάχυση είναι σταθερή. Πολύ συχνή. Και την έχετε μάθει πάρα πολλές φορές. Δηλαδή, αυτή εδώ η περίπτωση που παραγωγίζω την ταχύτητα και βγάζω ένα νούμερο 2, 5, 3, μίον 7, είναι πολύ συχνή. Έτσι. Για αυτό και την έχετε μάθει, την έχετε φάει με το κουτάλι. Κάνοντας κάποιους απλούς πειραματισμούς, μπορείτε εύκολα να δείξετε ότι, σε αυτή την περίπτωση, οι αποδείξεις δεν μας ενδιαφέρονται στο συγκεκριμένο μάθημα, ότι ο τύπος είναι αυτός εδώ. Το θυμάστε. ΒΕΙΣΟΒΕΜΙΔΕΝΣΗΝΑΛΦΑΤΑΦ. Με βΕΜΙΔΕΝΗ αρχική ταχύτητα, το έχετε ακούσει πολλές φορές, και αυτός είναι το τύπο. Απαγορεύεται. Αν όμως η επιτάχυση είναι σταθερή, τότε ισχύει ο τύπος των νοικιακών σου χρόνων, γυμνασιακών. ΒΕΙΣΟΒΕΜΙΔΕΝΣΗΝΑΛΦΑΤΑΦ. ΒΕΜΙΔΕΝ αρχική ταχύτητα, κάποια χρονική στιγμή, λοιπόν, 0, αν βάλεις 0 εδώ, αυτό φεύγει, η ταχύτητα είναι ΒΜΙΔΕΝ. Ξέρουμε την ταχύτητα κάποια χρονική στιγμή, ξέρουμε και την επιτάχυση, και μπορώ σε κάθε χρονική στιγμή, 1, 3, 5, να το βάλω αυτό εδώ, και να σου δώσω πια η τρέχουσα τη στιγμή της ταχύτητας. Επαναβάνω, είναι συχνό το φαινόμονο αυτό, γι' αυτό και το μελετάμε ξεχωριστά. Αυτό ισχύει για την ταχύτητα, που σημαίνει ότι είναι μια ευθεία γραμμή η γραφική παράσταση ταχύτητας. Η γραφική της παράστασης ταχύτητα με χρόνο είναι ΒΜΙΔΕΝ, αυτό εδώ είναι το ΒΜΙΔΕΝ, τη χρονική στιγμή δεν έχει ταχύτητα ΒΜΙΔΕΝ, και είναι μια ευθεία γραμμή που η κλήση της, όχι από το μπεριφί, η κλήση της, ο ρυθμός ανταβολής είναι Ά. Άρα ΒΜΙΔΕΝ έχει στην αρχή και ΆΤΑΦ κερδίει στη συνέχεια, έτσι, και βγαίνει αυτή η σχέση. Είναι μια πολύ πολύ απλή γραφική παράσταση. Θα κάνουμε διάλειμμα σε 5 λεπτά. Αντίστοιχα, δεν χρειάζεται η απόδειξη με ολοκληρώσεις καταλήγης στον τύπο που ξέρετε, που είναι το Χ, ότι είναι ΧΜΙΔΕΝ, συμβέ μηδέν ΕΠΙΤΑΦ, συν εν δεύτερον από τα θετράγωνα. Πάλι, αυτός ο τύπος ισχύει μόνο, μόνο, όταν η επιτάχηση είναι σταθερή. Ποτέ άλλοτε. Είναι ασγενικός τύπος που ισχύει για αυτή την ειδική περίπτωση. ΧΜΙΔΕΝ, τη χρονική στιγμή μηδέν, αν βάλεις μηδέν εδώ, αυτά φεύγουν, είσαι στη θέση μηδέν. Έχεις ταχύτητα ΒΜΙΔΕΝ, αρχική ταχύτητα, πρέπει να ξέρεις και που είσαι, και τι αρχική ταχύτητα έχεις, και μπορεί να προβλέψεις τη θέση σου να πάς σε χρονική στιγμή. Τον έχετε δει πολλές φορές, αυτός ο συγκεκριμένος τύπος, σωστά, σε διάφορες τάξεις. Συνοψίζοντας αυτοί οι ένα, δύο, τρεις τύποι ισχύουν μόνο για την περίπτωση που η επιτάχηση είναι σταθερή. Και σου δίνουν την επιτάχηση σταθερή, την ταχύτητα και τη θέση σου αν να πάς σε χρονική στιγμή. Προφανώς αυτό εδώ είναι μια παραβολή, κάπως έτσι. Και υπάρχουν διάφοροι ενδιάμεση τύποι που προκύπτουν αν κάνεις κολπάκια. Αν χρησιμοποιείς αυτόν τον τύπο και αυτόν τον τύπο και διώκεις το τάφ, μπορεί να βρεις έναν τύπο που συνδέει την ταχύτητα με τη μετάθεση, χωρίς να περάσεις αυτό το χρόνο. Σε πολλά προβλήματα, όταν σου δίνουν τη μετάθεση και πρέπει να βρεις την ταχύτητα, αν πας να βρεις το χρόνο πρέπει να λύσεις ένα πολυόνιμο δευτέρο βαθμό. Άχι τετράγωνο και βιταχί και γάμα ίσο μηδέν. Μιον βήτας συγκληρίζει δέλτα δυα δύο άλφα. Πολλοί μπερδεύονται και κάνουν λάθος τη διαδικασία αυτή. Βρίσκουν λάθος χρόνους, οπότε βάζουν λάθος χρόνος εδώ και βρίσκουν λάθος ταχύτητες. Για να το γλιτώσεις αυτό μπορείς από τη μετάθεση να βρεις κατευθείαν την ταχύτητα χωρίς να περάσεις από το χρόνο. Αντίστοιχα, άμα δεν ξέρεις την επιτάχυνση ή είναι σταθερή αλλά την ξέρεις, υπάρχει τρόπος να περάσεις από την ταχύτητα στην μετάθεση μέσω του χρόνου, γλιτώνοντας την επιτάχυνση. Επειδή πολλοί θα με ρωτήσετε, ξέρεις, έχω πρόβλημα. Δεν θυμάμαι ρε παιδί με εγώ αυτό το πράγμα. Η μνήμη μου είναι αδύνατη. Δεν είμαι καλός όταν θυμάμαι τύπους. Σας λέω προκαταβολικά ότι κάνουμε το ατόπιμα και στις εξετάσεις πλέον μοιράζουμε τυπολόγια. Άρα όλοι οι τύποι θα είναι στη διαθέσή σας. Δεν έχουν ταμπέλες, δεν λένε εγώ είμαι ο τύπος σταθερής επιτάχυνσης, αλλά οι τύποι είναι εκεί. Απλώς θα τον αναγνωρίσεις, δηλαδή να διαβάζεις και να τον αντιγράψεις σωστά. Υπάρχει μια λογική σε αυτό. Μετά από έξι μήνες, μετά από ένα χρόνο, όταν φύγετε από εδώ, είναι σίγουρο ο Θερασμήνη ένα πράγμα. Θα έχετε ξεχάσει πάρα πολλά πράγματα. Κάποια στιγμή θα δεις ένα θέμα. Αύριο μεθαύριο κάνεις, ιδιαίτερα ξεκινάς. Θα κάνεις, αρχίζεις να διαβάζεις και λες ο τύπος αυτός και λες κάτι μου λέγε εκείνος ο παπαδράχος. Κάπου το θυμάμαι. Τι θα κάνεις τότε? Θα ανοίξεις το εβιβλίο και το διαβάσεις. Πρέπει να ξέρεις ότι το είδες και να ξέρεις πού θα το βρεις. Ούτε εμείς θυμόμαστε τα πάντα απ' έξω. Είναι αδύνατο. Η λογική λοιπόν είναι που σας δίνουμε τους τύπους, όχι για να σας κολακέψουμε ή να σας ευνοήσουμε. Είναι και πιο δύσκολο ξέρετε όταν σου δίνουν μερικές εκατοντάδες τύπους. Είναι κυρίως γιατί δεν απαιτούμε να θυμάσαι τις λεπτομέρειες απ' έξω. Το απ' έξω βοηθάει. Να μην παραξηγηθώ. Όποιος θυμάται απ' έξω τα πράγματα κάνει πολύ πιο γρήγορα τις πράξεις και στην καθημερινότητα. Στην καθημερινότητα την εργασιακή, την επαγγελματική. Αλλά αν δεν θυμάσαι τουλάχιστον ξέρεις πού να ανοίξεις για να το βρεις. Άρα τύποι όπως αυτοί εδώ και όλοι τύποι, όλοι τύποι θα σας δοθούνε. Πρέπει απλώς να τους αναγνωρίσετε. Είναι πολύ πιο εύκολα δηλαδή να πω ότι ήταν σε αυτό το επίπεδο της σχέσης με τα ελικιακά σας χρόνια έτσι. Φυσικά εννοείται ότι οι κομπιτεράκια επιτρέπονται και θα χρησιμοποιείται κανονικά. Δεν μας ενδιαφέρει καθόλου αν κάνετε πράξεις με το κομπιτεράκι ή όχι. Αυτός που κάνει πράξεις στο μυαλό κάνει ενδεχομένως και πάντα πιο γρήγορα αλλά δεν μας πειράζει καθόλου. Κάνετε όπως θέλετε. Το πιο γνωστό παράδειγμα αυτής της κίνησης που αφορά και την γεωλογία είναι αυτό. Αυτό που δεν έγινε ποτέ. Το πείραμα της ελεύθερης πτώσης. Η ελεύθερη πτώση είναι ένα κλασικό παράδειγμα κίνησης με σταθερή επιτάχεση. Περίπου. Περίπου. Δηλαδή, λέει ο Γαλληλέος να είναι καλά, όλα τα σώματα λέει έχουν την ίδια επιτάχεση κατά την ελεύθερη πτώση. Το τεράστιο διανοητικό επίτευμα δεν έχει και πολύ σημασία. Όλα πέφτουν με την ίδια επιτάχεση. Αυτό που δεν είπε είναι, δεν το ήξερε αυτόν τον άνθρωπος, για πτώση μικρής σε σχέση με την ακτία της γης. Δεν ισχύει αν πέφτει κάτι, δηλαδή, από 500-600 χιλιόμετρα μακριά. Οι επιτάχεσεις βαλύντας μειώνουν τόσο φύγουν μακριά από τη γη. Πάω να καλύψω νεύθονας. Αλλά όταν είσαι αρκετά κοντά στην επιφάνεια, είναι περίπου σταθερός ο ρυθμός, σταθερή επιτάχεση. Άρα, λίγο πολύ, πρέπει να είσαι κοντά στην επιφάνεια της γης. Και δεύτερον, δεν μας ενδιαφέρει τίποτε άλλο ποιοί ο αέρας. Οπότε, χρησιμοποιούν τη γνωστή τιμή 9,8-9,81, 10, μια χαρά, βάρτε 10. Το σφάμα είναι 2% αδιάφορο. Αν κάνετε στη σελήνη είναι 1,62 και στον ήλο είναι 274. Προτιμώ να πάω στη σελήνη, θα δείχνουν ελαφρύτερος φυσικά. Ότι βγαίνει παραβολή, μπορεί να αποδείξετε με διάφορους τρόπους. Έχει αποδειχθεί πειραγματικά. Δεν βλέπετε σε ίσως χρονικές στιγμές μια μπάλα που τα διαστήματα αυξάνουν. Ακριβώς επειδή η σχέση είναι μια παραβολή. Δηλαδή, ανεβαίνουν τα διαστήματα με το τάφι στο ετράγωνο, οπότε μεγαλώνουν τα διαστήματα. Οι τύποι είναι οι ίδιοι, μόνο που αντί για α έχετε τζέ. Επόμενη παρεξήγηση. Το α είναι τζέ όταν η μόνη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι η βαρέτητα. Αν στο πρόβλημάς υπάρχουν και άλλα πράγματα, τριβές, ελατήρια, κολοκύθια, μην μου βάζετε τζέ εδώ. Είναι α κάποια, θα το βρούμε. Το τζέ υπάρχει για ελεύθερη πτώση, ελεύθερη σημαίνει ελεύθερη. Δεν υπάρχει τίποτε άλλο πέρα από τη βαρέτητα και πέφτει. Σε αυτή την περίπτωση, ναι το α είναι τζέ. Και αυτή η τύπη είναι λάθος, αλλά αυτό θα το δούμε στη συνέχεια. Έχει μεγάλες παγίδες. Τους μαθαίνετε έτσι, έτσι και έδισα το πρώτο μου πεντοχίλιαρο σεστήχημα από ένα τέτοιο τύπο. Θα σας πω την ιστορία σε δυο λεπτά. Λύνοντας αυτή την άσκηση. Μάλλον θα κάνουμε άδειά ή μαξελαμπικάρουμε και θα λύσουμε την άσκηση μετά. Είναι και τέταρτο παρακαλώ και μισή όλοι. Λοιπόν, ας λύσουμε ένα απλό, πολύ απλό και ταυτόχρονα δύσκολο πρόβλημα μόνο με όρους κινηματικής. Θα δούμε το ίδιο πρόβλημα ότι λύνεται και με άλλους τρόπους αργότερα, ενεργιακούς. Κάποια πράγματα με το πρόβλημα αυτό. Αλλά σίγουρα πλήρως λύνεται μόνο έτσι. Θα δούμε τι σημαίνει πλήρως. Το πρόβλημα είναι αστείο, πάλι προέρχεται το ειβλίο. Στην ταράτσα μιας πολυκατοικίας, κρατάει η καρβεδάκι μία μπάλα ή εμίθερος πάντων. Το πετάμε προς τα πάνω με 15 μ.α.σ. Σημειώστε ότι δεν μας δίνει πόσο μεγάλη είναι η μπάλα, 1-2-3 κιλά, πόσο βαριά είναι με συγχωρείτε, το πετάμε προς τα πάνω με 15 μ.α.σ. Αυτό πάει μέχρι κάποιο ύψος και αρχίζει και πέφτει. Και πέφτει ξιστά από το κτίριο. Μας ενδιαφέρει μόνο η κατακόρυφη του κίνηση, άρα μας ενδιαφέρει μόνο αυτό. Τώρα εδώ είναι συμπορισμένο σαν Ζ, μπορεί να ήταν και σαν Ζ και σαν πέτρος. Δεν με ενδιαφέρει, είναι μία μεταβλητής από τον άξονα. Πέφτει λοιπόν παράλληλα με το κτίριο και μας ρωτάει πού είναι η μπάλα 1.4 λεπτά μετά, δεύτερον τι ταχύτητα έχει στα 5 μ.α. από το κτίριο και τρίτον πόσο ψηλά έφτασε η μπάλα, απλά ερωτήματα. Για να απαντήσεις όλα αυτά τα ερωτήματα τα οποία έχουν να κάνουν σχέση με απλούς αριθμητικούς υπολογισμούς, δεν έχεις παρανά γράψεις τους τύπους. Οι τύποι είναι οι τύποι της επιταγγινόμενης κίνησης στο πεδίο βαρύτητας, δηλαδή το Α ή το Ζ. Το πρώτο όμως που θα κάνετε πρέπει να αποφασίσετε εσείς από πού θα μετράτε τις αποστάσεις, από πού θα μετράτε τους χρόνους και πώς θα βάλετε το σύστημά σας. Όλα αυτά θέλουν κάποιο σύστημα αξώνων. Όταν σου δίνει κάποιος ένα πρόβλημα δεν σου λέει ποιο σύστημα θα χρησιμοποιήσεις. Όποιο θες εσύ θα πει κάποιος να πάρει έναν κατακόρυφο άξονα από πού να μετράω τις αποστάσεις, πού να είναι το μηδέν, να είναι εδώ, να είναι εκεί, να είναι εδώ, πού να είναι, στη γη, όπου θες, αλλά βάλ' το και αποφάσισε λέει κάποιος. Θα το βάλω στην ταράτσα, θα μετράω όλες τις αποστάσεις σε σχέση με την ταράτσα. Ωραία, το μηδέν είναι εδώ. Πού είναι τα συν, πού είναι τα πλήν. Προς τα πάνω θα μετράω τα μήκη, προς τα κάτω να αποφασίσεις. Ας υποθέσουμε ότι εσύ, έτσι επειδή γουστάρεις, είπες θετικά προς τα πάνω, αρνητικά προς τα κάτω. Πρώτη σας δουλειά να αποφασίσετε πού και πότε. Δηλαδή, όταν φεύγει θα το βάλω τάφ μηδέν, ωραία, πού φεύγει από εδώ, θα βάλω εδώ το μηδέν, πολύ ωραία. Θετικά προς τα πάνω, αρνητικά προς τα κάτω, οκ. Θες θετικά προς τα κάτω, αρνητικά προς τα πάνω, κανένα πρόβλημα. Αλλά αποφάσισε εσύ πως θα το κάνεις. Ας υποθέσουμε ότι κάνετε αυτή την επιλογή. Επισημένω, όλες οι απαντήσεις θα είναι σωστές, ανεξάρτητα πως εσύ επέλεξες να βάλεις το σύστημά σου. Όλες. Αλλά πρέπει να συνεννοούμαστε. Δεν μπορώ να μετράω εγώ αποστάσεις από εδώ και εσύ από εκεί και ο άλλος παραπέρα και να περιμένουμε να συμφωνήσουμε και μεταξύ μας. Έτσι. Επιλέγουμε λοιπόν κάποιο σύστημα. Ας υποθέσουμε λοιπόν το μηδέν στην ταράτσα, τα σύν προς τα πάνω και τα βρύμε στα κάτω. Πρώτη επιλογή. Άρα πρώτον α, κεφαλαίο. Επιλέγουμε πού είναι η αρχή των αξώνων και τι κατεύθυνση έχει αυτός ο άξονας. Πρώτον. Κεφαλαιώδες. Δεύτερον. Γράφουμε τους τύπους. Προσοχή λοιπόν αυτό. Η επιλογή είναι αυθαίρετη αλλά πολύ προσοχή. Δεύτερον. ΒΕΙΣΟΝΒΕΝΗΔΕΝ ΣΙΝ ΤΖΕ ΕΠΙ ΤΑΦ γιατί τζέ δεν υπάρχει καμία άλλη δύναμη πέρα από τη βαρύτητα. Αυτό είναι λάθος. Θα το δούμε αμέσως μετά. Γιατί πολύ προσοχή. Ναι με γράφετε αυτούς τους τύπους αλλά θα αλλάζετε μετά μόνοι σας τα πρόσημα ανάλογα με το που κοιτάει η κάθε ποσότητα. Παράδειγμα. Ο θετικός άξοδος κοιτάει πάνω ή κάτω. Εδώ. Πάνω. Η βαρύτητα που κοιτάει θα τη βάλεις με πλήνη. Αυτό είναι λάθος. Δηλαδή τους τύπους μπορείς να τους μάθατε έτσι αλλά αυτό που δεν ξέρα να σας είπα στο λύκειο είναι τα πρόσημα να τους παίζουν. Εδώ η βαρύτητα τζέ είναι ανάποδη από τον άξοδο. Άρα εδώ θα μπει με πλήν. Το ίδιο και εδώ. Να τα πρόσημα. 1, 2. Το ένα σωστό το άλλο λάθος. Γιατί ρε σωστό το βε μηδέν. Πες το. Την έριξε προς τα πάνω. Άρα την έριξε παράλληλα με τον άξοδο. Θα μπει στην. Το τζέ είναι προς τα κάτω θα μπει πλήν. Αν την έριχνε προς τα κάτω την μπάλα. Τι θα βάσαμε εδώ. Το πρόβλημα λοιπόν αλλάζει αν πρέπει προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Το ίδιο πρόβλημα θα έχει άλλες λύσεις αν την έριχνε 15 μέτρα προς τα πάνω ή 15 μέτρα προς τα κάτω. Ποιος δεν εμπόδιζε να την ρίχνει προς τα κάτω. Κανείς. Είσαι λοιπόν 7 χρονών στο σπίτι σου, έχεις πάρει τη γλάστρα και την ρίχνεις πάνω από το μπαλκόνι. Δικαίωμα σου. Άμα θέσαμε στην πετάς και πάνω. Μπράβο. Η λύση διαφορετική. Που θα αλλάξει η λύση. Εδώ θα αλλάξει η λύση. Στο συν ή πλήν. Αν τα είχες πάρει ανάποδα. Ήτανε συν αυτό προς τα κάτω και πλήν προς τα πάνω. Αυτό θα γίνονταν πλήν και αυτό θα γίνονταν συν. Πάλι θα έβρισκες τις ίδιες απαντήσεις. Μην έχεις τα εμβολία. Το σύστημα δεν επηρεάζει τη λύση. Την ίδια λύση θα βρεις. Αλλά πρέπει να είσαι συνεπής. Άρα πολύ πολύ πολύ προσοχή. Ο καθορισμός των θετικών και αρνητικών διευθύνσεων του άξονα επηρεάζει τα πρόσημα όλων των ποσοτήτων. Και αυτού και αυτού και αυτού. Εντάξει. Προφανώς και αυτού. Δεν το είπα τότε εδώ. Είναι συν. Άρα μπαίνει με συν εδώ πέρα. Άπαξ και τα κάνεις αυτά. Τα υπόλοιπα είναι εύκολα. Αντικαδιστάς. Το τελευταίο δρόμο που πρέπει να καθορίσεις είναι πού είναι στην αρχή. Δηλαδή λέει εδώ αρχική θέση. Πού είναι τη χωνική στην μηδέν. Εδώ. Τι θέση έχει εδώ. Μηδέν. Γιατί έτσι το όρισες είπες. Θα τα μετράω όλα από την ταράτσα. Δεν τα μετράω από τη γη. Το μηδέν είναι στην ταράτσα. Η γη πού είναι. Αν είναι κάπου εδώ η γη. Πού. Στο μίον 25. Εδώ είναι το μηδέν. Προς τα πάνω είναι θετικά. Προς τα κάτω είναι θετικά. Είναι στο μίον 25 η γη. Εκεί έχει φτάσει στη γη. Τι αρχική ταχύτητα έχει. Λέει 15. Προς τα πάνω θετική. Και τι επιτάχεση έχει. Πραφανώς μίον. Είναι προς τα κάτω. 9,8 έτσι. Άρα τύποι είναι. Β' 15 για το μηδέν. Μίον 9,8 τάφ. Και ψη ίσον αντί γαχυρόρα ψή ίσον ψη ίσον ψη μηδέν. Που είναι μηδέν. Φεύγει. Συν 15 τάφ. Να το. Πλιν 9,8 έτσι. 4,9 τάφ τετράγωνο. Αν θέλετε εσείς θα βάλτε το τζέ 10 αυτό θα είναι 5 και αυτό θα είναι 10. Αυτοί είναι οι δυο τύποι που λύνουν τα πάντα. Με αυτούς σαν εργαλείο. Οι απαντήσεις μετά είναι απλές. Όλοι κάνουν λάθος στο να φτάσουν σε αυτούς. Όλοι. Όχι όλοι. Πολλοί. Η παγίδα είναι να τους φτιάξεις. Άμα και τους φτιάξεις τα ερωτήματα απαντούνται εύκολα. Πρώτο ερώτημα ας πούμε. Λέει. Α. Χρήσιμος είναι και αυτός ο ενδιάμεσος τύπος που σας είπα προηγουμένως. Το ΒΕΙΣΟΝ ΦΕΜΕΙΤΕΤΕΤΕΤΡΑΓΩΝΟ. Απλά το Ά εδώ πάλι πάει με πλιν για την αρνητικό ποστά και γίνεται μήν 19,6. Θα το δούμε που χρειάζεται. Έτσι. Πάμε να δούμε. Λέει. Που είναι η μπάλα 1 και 4 δευτερόρτα μετά. Το που είναι αυτό. Που σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές το τσιμπάμε αυτόν τον τύπο και τον εφαρμόζουμε για 1 και για 4 δευτερόρτα. Μας δίνει απαντήσεις. Αν βάλεις 1 και κάνεις τις πράξεις βγάζει 10,1. Που είναι λοιπόν η μπάλα 1 δευτερόρτα μετά. Πες το. Προστα πάνω ή προστα κάτω. Προστα πάνω βγήκε συν. Είναι 10 μέτρα πάνω από τα ράτσα. 4 δευτερόρτα μετά βγαίνει μήν 18,4. Είναι μήν 18 δηλαδή πού είναι. Είναι κάπου εδώ. Αυτό σημαίνει το συν και το πλήν. Αν είχατε επιλέξει το μηδένα να είναι εδώ δεν θα έβγαινε πλήν 18,4 θα έβγαινε 6,6. Πάντως μπορεί να πεις ότι αυτό είναι εδώ και να συμφωνήσεις για τη θέση άσχετα με το πώς πήρε στο σύστημα. Άρα το πρώτο ερώτημα. Πού είναι θέλει χρόνο και βρίσκεις το πού είναι. Δεύτερο ερώτημα. Τι ταχύτητα έχει 5 μέτρα θες το τύπο της ταχύτητας. Ο τύπος της ταχύτητας όμως συνδέεται με το χρόνο. Είπα ότι υπάρχει και αυτός ο ενδιάμεσος τύπος που συνδέει απευθείας την ταχύτητα με τη θέση. Είναι χρήσιμο να το χρησιμοποιείτε. Αλλιώς πρέπει από τη θέση να βρεις το χρόνο με το πολυόνιμο και να βάλεις το χρόνο στο τύπο της ταχύτητας. Πιο πολύ δουλειά. Εξικοιωθείτε με αυτόν τον τύπο, ο οποίος αν βάλεις ποσότητες τη δίνει 11,27. Εδώ υπάρχει μια παγίδα. Η ρίζα αχού του αριθμού είναι 11,27. Τι σημαίνει το συν και πλήν? Πολύ σωστά. Δηλαδή στα 5 μέτρα θα περάσει δύο φορές. Μία ανεβαίνοντας και μία κατεβαίνοντας. Για αυτό παίρνεις δύο νούμερα εδώ. Το συν προς τα πάνω, το πλήν προς τα κάτω σε άλλες χρονικές στιγμές. Αλλά εδώ δεν μας είπες πότε, μας είπες πού. Στα 5 μέτρα θα περάσει ανεβαίνοντας και κατεβαίνοντας. Για αυτό εδώ βγαίνει συν και πλήν. Έχει νόημα και η λύση με συν και και η λύση με πλήν. Ναι, είναι πάνω. Στα πέντε μέτρα πάνω εδώ δέστω πώς πάει η μπάλα, περνάει ανεβαίνοντας, όπ να τα πέντε μέτρα είμαι και κινούμε προς τα πάνω. Το πού είσαι δεν σημαίνει και πώς κινείσαι. Μπορεί να είσαι πάνω και να κινείσαι στιγμή προς τα κάτω, πέφτοντας. Πόσο ψηλά έφτασε η μπάλα, εδώ πάνω. Τι χαρακτηστικό έχει, η ταχύτητα είναι μηδέν. Δύο τρόπους έχεις να το βρεις, να βρεις το χρόνο που έγινε και από το χρόνο την μετάθεση ή κατευθείαν, από την ίδια σχέση, αν βάλεις την ταχύτητα να είναι μηδέν, πού μηδενίζεται η ταχύτητα, πάει πάει πάει πάει, φτάνει, σταματάει και αρχίζει να πέφτει. Στο μέγιστο της μετάθεσης η παράγωγος, η ταχύτητα, αυτή είναι η παράγωγος, είναι μηδέν. Είναι μέγιστο για τη μετάθεση. Η παράγωγος, η ταχύτητα είναι μηδέν. Άρα να βάλει ταχύτητα μηδέν και θα βρεις ότι το ψήνει 11,48 μέτρα. Άμα η άσκηση ρωτούσε τι ταχύτητα έχει στα 14 μέτρα, τι θα πρέπει να απαντήσουμε, τι ταχύτητα έχει η μπάλα 14 μέτρα πάνω από το κτίριο. Δεν βλέπει κανείς κανένα παράδοξο. Δεν φτάνει ποτέ. Αφού φτάνει στα 11,5, πώς θα φτάνει στα 14 μέτρα. Αφού πήγε μέχρι τα 11,5 και έπεσε. Αν επιχειρίζετε να βάλετε στον τύπο 15, τι θα βρείτε ξέρετε. ΒΤΕΤΡΑΓΟΝ ίΣΩΜΙΩΝ 17, ξέρω εγώ. Θα φτάσει σε μια αδύνατη εξίσουση. Γιατί προσέξτε, ο παπαζάχος μπορεί να σου ζητήσει πρώτα να βρεις αυτό, οπότε αν το βρεις αυτό και σου πει τι ταχύτητα έχεις στα 15, θα πεις έλα ρε φίλε δεν πάει στα 15. Πάει μέχρι τα 11,5. Μπορεί όμως και να μη σου ζητήσει αυτό. Και να σου πει κατ' αθήνα τι ταχύτητα έχεις στα 15, όταν το υπολογείς θα βγάλεις βΤΕΤΡΑΓΟΝ ίΣΩΜΙΩΝ 200. Μπορεί να πεις, οπ, αδύνατη άρα δεν φτάνει στα 15. Έτσι. Κάπως έτσι είναι η μετάθεση, η απαραμβολή, κάπως έτσι είναι η ταχύτητα αν μας σχεδιάσεις αντίστοιχες συναρτήσεις. Αυτά περί σταθερής επιτάχυνσης. Σε πολλές περιπτώσεις η ταχύτητα ή η επιτάχυνση δεν είναι σταθερή. Δεν είναι. Ή δεν έχουμε τη μετάθεση να την πάρουμε, να την παραγογίσουμε να πάμε στην ταχύτητα, να την παραγογίσουμε να πάμε στην επιτάχυνση. Μας δίνουνε κάτι άλλο. Ποιοι μας δίνουνε την ταχύτητα. Ας μου δώσουν την ταχύτητα, για να μπεις στην επιτάχυνση τι πρέπει να κάνεις, να παραγογίσεις. Για να πας πίσω να μπεις στην μετάθεση, δυστυχώς, παραγόγους όλοι υπολογίζουν εύκολα, ολοκληρώματα μας κάνουν στο στωμάχι. Είναι πιο δύσκολο. Το θέμα είναι ότι πρέπει να πάρεις την ταχύτητα και να την ολοκληρώσεις για να μπεις στην μετάθεση. Αυτή είναι η μεγάλη δυσκολία. Αντίστοιχα, πρέπει να ολοκληρώσεις την επιτάχυνση για να βρεις την ταχύτητα. Άρα, ας σου δώσουν επιτάχυνση, θες μια ολοκλήρωση για την ταχύτητα και μια δεύτερη ολοκλήρωση για την μετάθεση. Είναι πολύ πιο δύσκολα τα πράγματα. Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα. Είναι το ίδιο που κάναμε πριν ανάποδα. Η επιτάχυνση είναι 2 πιν ένα 10 ταφ. Είναι το ίδιο υπαναλαμβάνω. Μας δίνουν την επιτάχυνση. Μας λένε ότι τη χρονική στιγμή 0, είχε αρχική ταχύτητα Β0 10 και αρχική μετάθεση Β0 50. Πρέπει να σου πούνε. Όταν ολοκληρώνεις, πρέπει να σου δώσουν θέσεις αρχικές και ταχύτητες. Δεν μπορείς να λύσεις το πρόγραμμα. Σε αυτή την περίπτωση, λοιπόν, η ταχύτητα είναι η αρχική ταχύτητα και το ολοκλήρωμα της επιτάχυνσης. Να ολοκληρώσουμε την επιτάχυνση. Ποιο το ολοκλήρωμα του 2? Δύο τάφ. Ανάποδα πάμε τώρα. Ποιο το ολοκλήρωμα του τάφ? Τάφ τετράγωνο δεύτερα. Άρα, το 1 θα δώσει δύο τάφ. Νάτο. Και το 1 θα δώσει τάφ τετράγωνο δεύτερα. Αυτά, λοιπόν, πρέπει να υπολογίσεις. Να προσθέσεις και την αρχική ταχύτητα που συνέβησαν 10 και να βρεις τον τύπο της ταχύτητας. Που βγαίνει αυτό εδώ. Το 10 συν 2 τάφ. Και το τάφ τετράγωνο δεύτερα. Το 2 θα πάρεις στον παρονομασιστή του 10 και θα γίνει 20. Και να πάρεις αυτόν τον τύπο. Αντίστοιχα με μια δεύτερη ολοκλήρωση αυτό θα γίνει... Το τάφ τετράγωνο τι γίνεται? Τάφ 3 της 3η. Το τάφ τετράγωνο της 5η της 5η. Το τάφ 8 της 9η της 9η. Το τάφ τετράγωνο δεύτερα. Το 10, 10 τάφ. Άρα πρέπει να μάθεις να πας μπροστά και να μάθεις να γυρίσεις και πίσω. Αυτά στην περίπτωση που η ταχύτητα που η επιτάχυνση δεν είναι σταθερή. Επαναλαμβάνω. Είναι σταθερή η επιτάχυνση. Εύκολα. Τύπι λυκείου. X ίσον X μη 0 Συν Β μη 0 Επι τάφ Συν εν δετρό γάμα τάφ τετράγωνο. Ψυ Β ίσον Β μη 0 Συν γάμα τάφ. Άλφα τάφ, συγγνώμη. Τύπι λυκείου, αν είναι σταθερή. Προσέχουμε τους άξονες και τα πρόσημα. Δεν είναι σταθερή. Παραγωγίζω για να πάω ταχύτητα, μετάθεση, ταχύτητα, επιτάχυνση. Ολοκληρώνω για να πάω ταχύτητα, μετάθεση, ταχύτητα, επιτάχυνση. Λύστε αυτές τις ασκήσεις να σιγουρευτείτε ότι ξέρετε να κάνετε τέτοια προβλήματα. 100% Σας έχω πει για τις προόδους. Ναι. Θα τα πω ξανά σε λίγο. Αντίστοιχα να πάρεις το χ, την ταχύτητα, που είναι δύο τάφ και ένα 20 τετράγωνο και την ολοκληρώσεις. Όπως είπαμε το δύο τάφ θα δώσει δύο τάφ τετράγωνο, δεύτερα θα δώσει τάφ. Το τάφ τετράγωνο θα δώσει τάφ την τρίτα και θα καταλήξουμε στο γνωστό τύπο. Έτσι. Που ξεκινήσαμε όταν λύσαμε την πρώτη άσκηση. Μερικά αστεία προβλήματα για σταθερές επιταχύσεις. Αυτό είναι αστείο, θα δούμε και ένα λίγο πιο δύσκολο. Μια σελινάκατος λέει, κατεβαίνει, κατεβαίνει, κατεβαίνει, κατεβαίνει, κατεβαίνει, κατεβαίνει. Στα πέντε μέτρα έχει ταχύτητα δύο μετρά σεκόντ. Σβήνει τις μηχανές ο πιλόντος και πέφτει. Έτσι, σελήνη. Τη σέσβησε εδώ. Με το που τη σέσβησε, ποια είναι η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω του? Τη σελήνης. Προσέξτε, σελήνη δεν σημαίνει 10, σημαίνει 1,62, 1,6. Άρα, το τζε είναι το τζε της σελήνης. Έτσι. Τύπι. Οι γνωστοί. Ζε σελήνης. Ρωτάω, πού να βάλω το μηδέν. Εσείς πού θα το βάζατε. Εκεί. Ξέρεις τι. Προσπάθησε να βάζετε το μηδέν σε πράγματα που δεν αλλάζουν. Το να λες εκεί πάνω είναι το μηδέν, δεν είναι και πολύ. Δεν θα σε συσορήσει. Να λες συνήθως, εγώ το κάνω πάντα ακόμα κι αν έχω ταράτση πολύ κατυχισμένη, βάζω το μηδέν στη γη. Με βολεύει με ένα ψυχολογικά. Λέω, μηδέν είναι εδώ. Κάτω από τη γη αρνητικά, πάνω από τη γη δεντικά. Μηδέν. Στη σελήνη. Συνήθως μπορείς να βάλεις το μηδέν εδώ. Αν βάλεις το μηδέν εδώ, τώρα τα θετικά αρνητικά δεν περιμένω, ας πούμε θετικά προς τα πάνω, αρνητικά προς τα κάτω. Αν βάλεις το μηδέν εδώ, τη χρονική στιγμή μηδέν, όταν έλειψε τη μηχανή. Σε ποια θέση βρίσκεται αν είναι εδώ το μηδέν. Αυτός εδώ πού είναι. Στα πέντε μέτρα. Α το χ μηδέν είναι πέντε. Συνή πλειν πέντε. Συνή πάνω, γιατί βάλαμε τα θετικά προς τα πάνω. Έτσι θα χτίζεται τη λογική, έτσι. Αν βάλεις τώρα αυτόν τον τύπο εδώ, αυτό εδώ πρέπει να αλλάξει να γίνει μίον, γιατί η επιτάχεινση είναι προς τα κάτω. Οπότε εδώ θα γίνει... Εγώ φίλε παιδιά με συγχωρείτε, είναι λάθος αυτό εδώ. Όχι, δεν είναι λάθος, εγώ φταίω. Έχω πάρει τα πάντα με συγχωρείτε, εγώ φταίω. Έχω πάρει τα πάντα να είναι θετικά προς τα κάτω. Τα πήρα θετικά προς τα κάτω, οπότε και αυτό είναι θετικό και αυτό είναι θετικό. Σε αυτή την περίπτωση λοιπόν βγαίνει, έβαλα μηδέν εδώ, σύν προς τα κάτω, πλιν προς τα πάνω. Οπότε όλα είναι θετικά και βγαίνει κατευθείαν 4,47 μέτρα σε κομμετράγωνο. Άρα αυτό εδώ είναι το 1,6, αυτό εδώ είναι κάτω πιν πάνω, είναι 5 μέτρα, αυτό εδώ είναι επίσης θετικό και βγαίνει το αποτέλεσμα το οποίο θέλουμε. Πάμε σε μία, θα τη δούμε αργά αυτή γιατί ο κόμος κάνει συνέχεια λάθος, συνέχεια λάθος. Έχεις ένα αερόστατο που ανεβαίνει προς τα πάνω πέντε μέτρα να στεκώνει σαθερά. Έχει ανοίξει τη μηχανή και ανεβαίνει, ανεβαίνει, ανεβαίνει, είσαι και εσύ μέσα στο αερόστατο. Ξαχνικά λοιπόν στα 40 μέτρα παίρνεις ένα σακί αμμό, την περίφημη σαβούρα ή έρμα που έχουν τα αερόστατα και την πετάς. Επαναλαμβάνω, ανεβαίνεις, ανεβαίνεις, ανεβαίνεις, στα 40 μέτρα από το έδαφος αποφασίζεις και παίρνεις ένα σακί και το πετάς. Και κάνει την εξυπληκτική ερώτηση, τι θέση και τι ταχύτητα θα έχει το σακί μισό και έναντε χρόνια από το μετά και πότε θα χτυπήσει το έδαφος. Γιατί γίνονται τα λάθη θα καταλάβετε πολύ σύντομο. Να ξεκινήσουμε, πού να βάλω το μηδέν, στη γη, ας το βάλουμε στη γη, στα 40 μέτρα είναι αυτός, άρα ξεκινάει από το χη μηδέν 40. Ας βάλουμε τα θετικά προς τα πάνω, τα αρνητικά προς τα κάτω, συν και πλήν, οπότε να καθορίσουμε τις αρχικές συνθήκες. Το σακί, την ώρα που το διώχνεις εσύ, πού είναι στα 40 μέτρα προς τα πάνω. Τι ταχύτητα έχει το σακί όταν το διώχνεις. Γιατί ρε φίλε έχει μηδέν. Αν εγώ τρέχουμε μαζί με 100 χιλιόμετρα και σε πετάξει στο παράθυρο, θα κάτσεις ήσυχα στον δρόμο, δεν θα φας τα μούτρα σου. Σε σχέση με τη γη, γίνεται ο αρχισμός του σύστημα, δεν κινείται. Θα φας τα μούτρα σου, δεν υπάρχει αυβολία, κομμάτια θα γίνεις. Δηλαδή ξαφνικά το σακί πήγαινε με πέντε προς τα πάνω, το πετάξαμε και το σακί, είπε τι λένε θα κάτσεις ακίνητος, πως γίνεται αυτό. Δεν γίνεται, δεν υπάρχει τρόπος. Αυτό είναι το πρώτο λάθος που κάνουν όλοι. Όταν τρέχεις με κάποιον μαζί και σε αφήσει αυτό ο κάποιος, στιγμή συνεχίζεις και κινείς με μία ταχύτητα. Αν έχεις ένα τρένο που πηγαίνει 100 χιλιόμετρα την ώρα και κόψει με βαγόνι, αρχικά το βαγόνι στιγμία τρέχει με 100 χιλιόμετρα την ώρα. Μετά θα σταματήσεις σιγά σιγά. Σωστά, βέβαια, είπε ποιος συνάδελφος, είπε σε σχέση με ποιον, σε σχέση με την ακίνητη γη, έτσι. Δηλαδή για το αερόστατο όντως είναι μηδέν, για μένα που αφήνω το σακί το βλέπω η σχετική μας ταχύτητα είναι μηδέν. Αλλά για τη γη, εσύ κινείς στιγμία με πέντε, άρα στιγμία το σακί πού κινείται, προς τα πού, προς τα πάνω κινείται στιγμία. Πάμε εκεί δύο προς τα πάνω με πέντε, το αφήνω στιγμία, στιγμία πάει προς τα πάνω με πέντε, στιγμία. Θα δούμε πως θα εξελιχθεί αυτό. Η παγίδα είναι όχι εδώ, όλοι σκέφτονται είναι σαν τα μέτρα πάνω από το έδαφος, η παγίδα είναι εδώ. Άλλοι βάζουν μηδέν, ότι είναι ακίνητο, άλλοι βάζουν πλή πέντε, ότι αρχίζει αμέσως να κινείται προς τα πάνω. Μα δεν αρχίζει να κινείται προς τα πάνω, συνεχίζει να κινείται προς τα πάνω για κάποιον που το βλέπει από τη γη. Στιγμία, εκείνη τη χωρική στιγμή. Αυτό είναι το μεγάλο πρόβλημα. Και αυτό είναι πάνω από τη γη, συν 40, και αυτό στιγμία κοιτάει προς τα πάνω. Στιγμία δηλαδή κινεί το σακί προς τα πάνω. Στιγμία πάνω απάνω, για αυτόν που το παρατηρεί από κάπου αλλού. Αν τα κρατήσεις αυτά σωστά, η τύπη μετά είναι αυτή. Έχει μίον στο τζ και στις δύο περιπτώσεις, γιατί το τζ είναι προς τα κάτω. Ανάποδα προσοχής μας δαγμαίνω. Ένα, δεύτερο, και το βε μηδέν και το χι μηδέν είναι θετικά, είναι προς τα πάνω. Με αυτούς τους τύπους, ρωτάει η άσκηση, πού είναι μισό δευτερό ώρα το μετά, βάλετε εδώ το 40, εδώ το 5 και εδώ το 10, και θα δείτε ότι αν βάλουμε μισό δευτερό ώρα το, η ταχύτητα βγαίνει μηδέν κομμαδίου μέτρα αεροσεκόν. Πόσο κινείται. Προς τα πού κοιτάει αυτή, προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Τι βγήκε, θετική ή αρνητική. Θετική, προς τα πάνω. Προσέξτε, παόλο που πέρασε μισό δευτερό ώρα το, το σακί εξακολουθείται και ανεβαίνει προς τα πάνω. Έχει κόψει, αλλά όχι πολύ. Εσύ που είσαι κάτω και τους κοιτάς και βλέπεις ο σακί, το εξακολουθείς, όταν βλέπεις να ανεβαίνει. Γιατί έχει αρνητική ταχύτητα 5. Του την τρώει η βαρύτα, αλλά δεν προλάγει να το τυφάει αρκετά. Εξακολουθεί και είναι προς τα πάνω. Που είναι, βάλε στο χί τα νούμερα, βγαίνει 41,28. Ανέβηκε, προφανώς και ανέβηκε. Γιατί έχει αρνητική φόρα και συνεχίζει να ανεβαίνει προς τα πάνω. Άρα, αυτό που δε συνειδητοποιεί ο κομμουσιότης, στιγμία το σακί εξακολουθεί και ανεβαίνει πριν αρχίσει να πέφτει. Και εδώ είναι το πρώτο πρόγραμμα. Ρωτάς τις εξετάσεις πού φτάνει το σακί. Πολλές φορές δεν ρωτάμε αυτό. Λένε πού φτάνει το σακί, σε ποιο ύψος φτάνει. Και σου λένε όλοι, ε, σε 40 το άφησα, σε 40 φτάνει. Γιατί έχει νιώθει την επέστωση. Πιο καλέ, αυτό εδώ. Μπορεί. Όχι, μπορεί σίγουρα, έχεις δίκιο. 0,1 πρέπει να είναι, έχεις δίκιο. Να θυμηθώ να το διορθώσω. Και αυτό εδώ είναι σαν 11,28. Αντίθετα, στα δύο δευτερόλεπτα, αν βάλεις τον τύπο, βγάζει μίον 14,6. Προς τα πού κινείται τώρα? Προς τα κάτω. Μίον βγήκε με 14,6. Ανάποδα, προς τα δώ κινείται. Έχει πάρει πλέον την κάτω βόλτα και έρχεται προς τα κάτω. Πού είναι, βάλε δύο στον τύπο, στα 30,4. Κατέβηκε. Έχει περάσει αρκετός χρόνος, ανέβηκε λίγο και τώρα ξαναπέφτει. Και είναι στα 30 μέτρα από τη γη. Κάπου εδώ. Έχετε κατευθείαν για μας κάτω. Και με ταχύτητα, στιγμία, μίον προς τα κάτω 14,6. Εξυκληρωθείτε, κάνετε αυτό το πρόβλημα πολλές φορές. Εξυκληρωθείτε με τα sink και τα πλήν είναι το πιο εύκολο να την πατήσετε τόσο απλά, πολύ απλά προβλήματα. Πιθαίαν, βάλεις το πέντε προς τα κάτω. Είναι σαν αυτός να το στείλεμε προς τα κάτω με πέντε μέτρα ένα σεκόντ. Και μάλιστα, για αυτόν με δέκα. Πέντε ανέβαινε, δέκα το έστειλε, πέντε κέρδισε το σακί. Θα καταλήξει τελείως άλλα αποτελέσματα. Πότε θα χτυπήσεις το έδαφος. Στο έδαφος τι συμβαίνει. Το χ είναι μηδέν. Βάλες τον τύπο μηδέν. Θα σου βγει μια εξίσωση εδώ. 40 μίον πέντε πιτάφ μίον τόσο. Θα λύσεις ως προστάφ. Πάντα σε αυτές τις εξίσωσεις πρέπει να έχεις έναν άγνωστο. Δύο δεν γίνεται. Άρα αν φτάσεις στο μηδέν, στο έδαφος δηλαδή εδώ κάτω. Και βάλεις εδώ που είναι 40, αυτό είναι πέντε. 9,8 θα βγάλεις μίον βίτα σύμπλην ρίζα δέλτα. Θα βγουν δύο ρίζες. Μία θετική μία αρνητική. Την αρνητική την ξεχνάμε. Τι αρνητική πότε πριν. Θετική 3,41. Σε 3,5 περίπου δέντρα θα σκάσει στο έδαφος. Έτσι. Και όταν σκάσει, με τι ταχύτητα θα σκάσει. Πάρ' το χρόνο και βάλ' τον εδώ. Θα δεις ότι θα σκάσει με μίον 28 μέτρα αν σεκόντ. Ξαναλέω. Δυστυχώς όταν βάζεις αποστάσεις και θες χρόνο. Πρέπει να λύσεις ρίζες διονύμου. Μίον βίτα σύμπλην ρίζα βίτα ετράγωνο μίον τέσσερα αγάμα δια δύο άλφα. Τύπος διονύμου. Θα βγουν δύο ρίζες. Μία θετική αυτή και μία αρνητική. Την αρνητική την ξεχνάμε. Ξεκινήσαμε τη χρονική στην 0. Έτσι. Άμα βρεις το χρόνο μετά αυτούς τους τύπους εφαρμόζεται εύκολα. Βάζεις την ταχύτητα εδώ και βρίσκετε αδερφή την ταχύτητα. Μίον 20. Το μίον πάλι σημαίνει ότι είναι προς τα κάτω. Έτσι. Παρακαλώ λύστε και ξαναλύστε και ξαναλύστε αυτή την άσκηση πολλές φορές. Έτσι. Τώρα να μη σας σοκάρω αλλά αυτά τα πράγματα εύκολα, εύκολα επεκτείνονται στις τρεις διαστάσεις. Το πρόβλημα δεν είναι η πράξη της. Το πρόβλημα είναι το εξής διπλοπρότονο. Ζωρίζονται όλοι με τις τρεις διαστάσεις. Ζωρίζονται. Δυσκολεύονται να δουν πράγματα σε τρεις διαστάσεις. Για να μη ζωρίζεστε να βλέπετε πράγματα στις τρεις διαστάσεις, θα τις ξεχάσετε όσο μπορείτε και θα δουλεύουμε με τις αντίστοιχες συνιστώσεις. Για να γίνει αυτό μόνο, θέλει μια μικρή αλλαγή. Όταν κινείς επάνω σε έναν άξονα και περπατάς, η θέση σου περιγράφεται αποτοχή. Μία στραμμένη. Βάζεις τη μες στο τάφ, σου βγάζει μια στραμμένη. Βάζεις τη μες στο τάφ, σου βγάζει τη μες στο χ. Έλα ρε παιδιά! Υπολογείς τη μες στο χ. Όταν όμως είσαι στο χώρο και έχεις εδώ που είμαι και ένα χ, και ένα ψ, και ένα ζ, ο κέντρο βάρος μου ας πούμε, τότε τι κάνουμε. Σε αυτή την περίπτωση χρειάζεσαι ένα, δύο, τρία νούμερα για να περιγράψεις τη θέση σου. Και το χ, και το ψ, και το ζ. Ανάλογα σε πολλές περιπτώσεις, όταν μιλάμε σε δύο διαστάσεις, δουλεύουμε με δύο νούμερα. θ, και ψ. Αν είμαστε στις διάστασεις θέλουμε τρία νούμερα. θ, και ψ, και ζ. Αυτό το διάνισμα που ξεκινάει από την αρχή των αξώνων και είναι καρφωμένο πάνω μου, που ξεκινάει από αρχή την παρακολουθή και όπου πάω είναι ένα σουρφιάνος ο οποίος είναι συνέχεια μαζί μου, λέγεται στα μαθηματικά διάνισμα θέσης. Είναι ένα διάνισμα που συμβολίζεται με αρ, το οποίο δείχνει συνέχεια το πού είσαι. Είναι ένα τεράστιο δάχτυλο το οποίο είναι κολλημένο εκεί και είναι κολλημένο πάνω μου, δεν μπορώ να ξεφύγω με τίποτα, και όπου και να πάω λέει είναι στη θέση 1753-22. Τώρα πήγε εκεί, τώρα πήγε εκεί, τώρα πήγε εκεί. Έχω συγκεκριμένο χ, συγκεκριμένο ψ, και συγκεκριμένο ζ. Και με παρακολουθεί συνέχεια. Είναι το διάνισμα που έχει ο συνιστώσες το χ, το ψ και το ζ. Είναι δηλαδή αυτό το διάνισμα. Χ επί Ι και ψ επί Ι και ζ επί K. Και λέγεται διάνισμα θέσης. Προφανώς στις δύο διαστάσεις έχουμε αυτό. Στις τρεις διαστάσεις έχουμε αυτό. Στη μία διάσταση έχουμε αυτό, οπότε μας χρειάζεται μόνο το χ. Είναι το διάνισμα που μας παρακολουθεί συνέχεια. Χρησιμοποιώντας αυτό το διάνισμα θέσης, μπορούμε να τεκτείνουμε όλα αυτά για τις στιγμιές, μέσες, ταχύτητες και επιταγχύνσεις από τη μία διάσταση στις τρεις διαστάσεις. Δεν μας νοιάζει πόσο άλλαξε μόνο το χ, μας νοιάζει πόσο άλλαξε και το ψ, πόσο άλλαξε και το ζ. Δηλαδή, παράδειγμα. Είμαι τη χρονική στιγμή τα φένα στη θέση ρ1 και έχω συνεργμένες χ1, ψ1, ζ1. Εδώ. Σηκώθηκα εγώ και με κάποιο τρόπο κάνοντας διάφορες βόλτουλες, ήρθα στη θέση 2 και έχω συνεργμένες χ2, ψ2, ζ2. Το διάνισμα θέσης στη μία περίπτωση ήταν αυτό, το διάνισμα θέσης στη δεύτερη περίπτωση είναι αυτό. Να το ρ1, κοιτάει εδώ, έχει συνεργμένες χ1, ψ1, ζ1. Να το ρ2, έχει συνεργμένες χ2, ψ2, ζ2. Πόσο άλλαξε το διάνισμα θέσης, άλλαξε κατά Δ ρ. Όπως ξέρετε αυτό το Δ ρ είναι η διαφορά των δύο διάνισματών. Θυμηθείτε, όταν έχεις δύο διάνισματα, η μεγάλη διαγώνιος είναι το άθροισμα, η μικρή διαγώνιος, αυτή που πάει από το τέλος του ενός στο τέλος του άλλου, είναι η διαφορά. Με λίγα λόγια, το Δ ρ σαν διάνισμα, το πόσο άλλαξε δηλαδή, είναι το ρ2 μίον το ρ1. Η διαφορά γεωμετρικά, αν πάρεις τη διαφορά αυτού από αυτό, είναι αυτό εδώ το διάνισμα. Πόσο άλλαξε η θέση σου. Πήγες από τη θέση 3-5-7, στη θέση 10-15-53. Αυτό το διάνισμα, είναι το Δ ρ, το πόσο άλλαξε το διάνισμα θέσης. Με τον ίδιο τρόπο, αν διαρρέξει το Δ ρ με το Δ Τ, το διάνισμα που βρίσκεις ονομάζεται μέση ταχύτητα, ενώ αν παραγωγήσεις το Δ ρ, ονομάζεται στιγμή α ταχύτητα. Αν αυτά είχαν εχεί εδώ, θυμίζουν τους άλλους τύπους. Τώρα έχουν ρ, ένα διάνισμα. Καλά, τι είναι αυτό το Δ ρ ή το Δ ρ, πώς θα το υπολογήσω στην πράξη. Η απάντηση είναι απλή. Είδαμε ότι οι αφαιρέσεις ή οι παραγωγήσεις, ανάγονται στο να κάνεις τα ίδια όχι μία, αλλά απλώς τρεις φορές. Το πέδεμα από τη μία στις τρεις διαστάσεις είναι ότι απλώς όλα γίνονται ιστρυπλούν. Αυτή είναι η βασική δυσκολία. Δηλαδή πρέπει να επαναλάβεις αυτό το πράγμα τρεις φορές. Στην περίπτωση της διάστασης της κίνησης, η στιγμή α ταχύτητα είναι πάλι η εφαρτωμένη, αλλά η εφαρτωμένη όχι σε μία καμπύλη στο επίπεδο, αλλά σε μία καμπύλη στο χώρο. Φανταστείτε ότι εγώ κινούμαι συνέχεια. Υπάρχει μία καμπύλη που δείχνει την κίνηση στο χώρο. Σε κάθε ένα σημείο, αν φέρνεις την εφαρτωμένη, δείχνει προς τη στιγμή α διανισματική, όμως. Έχει και χ, έχει και ψ, έχει και ζ, συνήθως, α ταχύτητα. Άρα τα πράγματα είναι ακριβώς τα ίδια. Πάλι για εφαρτωμένη είναι η στιγμή α ταχύτητα, μόνο που είναι εφαρτωμένη στο χώρο. Καθώς στρίβει το αυτοκίνητό σας σε μία στροφή, αν εκεί που στρίβεις, πάρεις την εφαρτωμένη, αυτή δείχνει στιγμή α προς τα που κινείσαι. Στιγμή α κινείσαι προς τα εκεί, προς τον κρεμό. Βέβαια στρίβεις στο διμόνι και γυρίζεις. Θα δούμε γιατί. Αλλά στιγμή α, αν δεν ήξερες, φωτογραφικά κινείσαι προς τα εκεί, άσχετα αν το αυτοκίνητο σιγά σιγά σιγά σιγά στρίβει. Στιγμή α επαναλαμβάνω, αν πάρεις την εφαρτωμένη, παρόλο που εσύ κινείσαι σε καμπύλι, σου δείχνει πως θα πω κινείσαι και αυτή είναι η στιγμή α ταχύτητα. Έτσι. Η λογική είναι ακριβώς η ίδια. Σε μικρά διαστήματα το δελταρό γίνεται ντερό, οπότε η ταχύτητα είναι εδώ πάνω, είναι εφαρτωμένη της στροχιάς. Άρα σε κάθε ένα σημείο, αν θα σχεδιάσω την κίνηση ενός σώματος, σε οποιοδήποτε σημείο αρκεί να φέρετε την εφαρτωμένη. Ή προς τα εδώ κινείται, αν πάει κάπως έτσι, ή προς τα εκεί κινείται, αν πάει κάπως έτσι. Η εφαρτωμένη σου δείχνει κάθε φορά πως θα πω ποια είναι η ταχύτητα. Πρακτικά, πως θα το κάνω, είπαμε, αντί να το κάνεις μία φορά, θα το κάνεις τρεις φορές. Δηλαδή, για να υπολογίσεις τη στιγμή α ταχύτητα, δεν θα κάνεις μία παραγώγηση της χ του ταφ. Θα κάνεις τρεις παραγωγίσεις, της χ του ταφ, της ψή του ταφ και της ζ του ταφ. Πρέπει να σου δώσουν όχι μία συναρτήση, τρεις συναρτήσεις. Τι κίνηση κάνει κατά χ, τι κατά ψή, τι κατά ζ. Δεν μπλέκονται αυτές. Πρέπει να σκεφτείτε, όπως παίζουν οι επόπτες γραμμών, στα γήπεδα βόλε ή στα γήπεδα τέννης. Ο επόπτες που κοιτάει αυτή τη γραμμή, αν περάσει η μπάλα σε αυτή τη διέθυνση, δεν τον ενδιαφέρει αν η μπάλα περνάει έτσι, έτσι, έτσι, έτσι, έτσι. Τον νοιάζει η κίνηση μόνο σε αυτή τη διέθυνση. Στη διέθυνση έχουμε μια ψή, όλα τα άλλα τα αγνοεί. Κοιτάει μόνο τη γραμμή. Άρα παρατηρεί μόνο την κίνηση κατά ψή. Ο άλλος επόπτες, δεν τον νοιάζει αν η μπάλα ανεβαίνει, κατεβαίνει, τι κάνει. Κοιτάει μόνο την κίνηση κατά παράλληλα με τον χ. Μόνο αυτή τον ενδιαφέρει. Θα μπορούσε να υπάρχει και ένας τίτος επόπτες, αραχτός και ξαπλωμένος, ο οποίος να κοιτάει μόνο την κίνηση κατά ζ. Αλλά επειδή στο τένις και στο βόλιμπάλα είναι μόνο πάνω από τη γη, δεν μας πω λοινιάζει πού ακριβώς είναι. Εκτός από αυτή που είναι στο ταβάν. Αλλά οι επόπτες... Βλέπετε την κάθε μία κίνηση σαν μία απλή ευθύγραμη κίνηση. Μία κατά χ, μία κατά ψ και μία κατά ζ. Τα πράγματα ή τα έχουμε απλοπίσει, ξεχωρίζουν τα πράγματα. Άλλος κοιτάει το χ, άλλος κοιτάει το ψ, άλλος κοιτάει το ζ. Θες τα αχιδητά, θα παραγωγήσεις και εδώ, θα παραγωγήσεις και εδώ, θα παραγωγήσεις και εδώ. Και έτσι ξεχνάς τη χεομετρία. Φυσικά πρέπει να κάνεις την ίδια πράξη απλά τρεις φορές. Και θα φτιάξεις ένα διάνισμα που θα έχει εδώ μία συνάρτηση, εδώ μία συνάρτηση και εδώ μία συνάρτηση, που θα σου δίνει την ταχύτητα. Βάζοντας τιμές το χρόνο, θα παίρνεις τιμές του διάνισματος της ταχύτητας. Και αν θέλεις να βρεις το μέτρο, το πόσο τρέχεις εκείνη την ώρα... Τετράγωνο, τετράγωνο, τετράγωνο ρίζα. Άρα η χ, η ψ και η ζ έτσι είναι η ώρα της ταχύτητας. Πόσο τρέχει σε αυτή τη διέθνυση, πόσο σε αυτή και πόσο σε αυτή. Είναι τρεις παραγωγήσεις. Μία, δύο, τρεις. Ξεχωριστές. Εντάξει. Το μέτρο μόλις το είπα. Πιο απλά σας τρέχεται σε δύο διαστάσεις. Σε δύο διαστάσεις, χ και ψ ξεχνάμε τη ζ. Έχεις τη χ στην ιστοστά και την ψ στην ιστοστά της ταχύτητας. Η τύπη είναι ακριβώς η ίδια μόνο που κόβουμε το τελευταίο κομμάτι, το ξαφανίζουμε. Μία παράγωγος κατά του χ και μία παράγωγος του ψ. Αντίστοιχα το μέτρο, αυτό είναι το ετράγωνο και αυτό είναι το ετράγωνο ρίζα. Δηλαδή είναι τα ίδια κομπένα κατά ένα. Αν ο χώρος ήταν τετραδιάστατος θα είχαμε και ένα πράγμα ακόμα, αν ήταν πενταδιάστατος και ένα ακόμα. Και έτσι τουλεύουν σε χώρες με παραπάνω διαστάσεις. Είναι η ίδια ακριβώς λογική. Ας το δούμε συγκεκριμένα για να μην μπερδευτούμε. Είστε λοιπόν μικροί, πάντα σε ένα ωραίο γυπαιδάκι. Αυτό το γυπαιδάκι είναι γύπαιδο τέννης, άχι υποσημασία. Και ο μπαμπάς εκεί πέρα παίζει με ένα αυτοκινητάκι το οποίο κινείται στο γύπαιδο και κάνει αυτή την τροχιά. Για να την περιγράψετε έχετε βάλει έναν X άξονα και έναν Ψ άξονα παράλληλα με τις τακμές του γυπαιδού. Δηλαδή είναι αυτό το επίπεδο εδώ κάτω. Έχουμε πάρει αυτό σαν X άξονα και αυτό σαν Ψ άξονα. Δύο άξοδες. Ο Ζ θα που κοιτάει αν υπάρχει? Κάτω. Κάτω! Δεξί χέρι από το X στο Ψ. Κάτω. Έτσι το βρίσκεις. Από το δεξί. Από το X στο Ψ βρίσκεις το Ζ. Έτσι. Στην περίπτωση μας δεν χρειάζεται. Κάποιος που παρατηρεί σου λέει ότι το Ψ, η Ψ είναι η στώσα, ο linesman που κοιτάει μόνο τη X διεύθυνση, δίνεται από τη συνάντηση 3 συνδύωτα τετράγωνο. Ο άλλος που κοιτάει μόνο τη Ψ διεύθυνση σου λέει ότι το Ψ είναι 10Τ0 25Τ3. Άρα έχεις δύο συναρτήσεις. Σε ρωτάμε πού είναι τα αυτοκίνητα, τα πιο απλά. Καταρχήν πού είμαστε στα δύο δευτερόλεπτα. Παιδιά σας παρακαλώ κάνετε λίγο εσυχή. Είμαστε πάρα πολύ και κουράζουμε πάρα πολύ να φωνάσω δυνατά. Στα δύο δευτερόλεπτα πού είναι τα αυτοκίνητο δεν έχεις πάνω να κάνεις απλές αντικαταστάσεις. Αν βάλεις το δύο εδώ, δύο στο τετράγωνο, τέσσερα. Επιδύο, οχτώ και τρία, έντεκα. Δύο στην τρίτη, οχτώ, επί μηδέν, οικοσπέντε κάνει. Δύο και δέκα, δώδεκα. Άρα είμαι στο σημείο... 22, με συγχωρείτε. Τι έκανα? Δύο στην τρίτη, οχτώ, επί μηδέν, οικοσπέντε, δύο και δέκα. Α, και δέκα επί δύο, με συγχωρείτε, εγώ είχα ένα πάθος εδώ. Είμαι στο σημείο 11-22. Άρα, καταρχήν, πρέπει να μπορούμε απλά να πούμε πού είμαστε. Είναι λοιπόν, την εικονική στιγμή, στο 11 και 22. Κάπου εδώ. Δεν είναι αποσυνδετικό. Είναι κάπου εδώ. Άρα, πρέπει να μπορούμε να πούμε πού είσαι. Το διάειμισμα θέσης, λοιπόν, έχει χ11 και ψ, έχει 22. Πόσο απέχουμε από την αρχή των αξώνων? Είμαι στο σημείο 11-22. Από εδώ, πόσο απέχω? Πες το. 11 είναι κατά εδώ το μήκος και 22 είναι κατά εδώ. Άμα απέχεις 11 μέτρα από εδώ και 22 εδώ, είσαι κάπου εδώ. Τι θέλεις? Το μέτρο του διανύματος θέσης. Δηλαδή, 11 στον τετράγωνο και 22 στον τετράγωνο ρίζα. Τώρα, ποια είναι η στιγμιαία ταχύτητα? Πρέπει να παραγωγήσεις ξεχωριστά το χ, και ξεχωριστά το ψ. Ποια είναι η παράγωση του χ? Ποια είναι η παράγωση όλου αυτού εδώ? 4Τ. Ποια είναι η παράγωση αυτού εδώ? 3 το τετράγωνο βγάζει εδώ, 3 από 0.25 κάνει 0.75. 10Τ κάνει 10, 10 και 0.75 το τετράγωνο. Να ο τύπος, η χ είναι η στόσα, η ψ είναι η στόσα. Βάζοντας τιμές έχεις και τη χ, και τη ψ. Πόσο γρήγορα τρέχει κατά χ, πόσο γρήγορα τρέχει κατά ψ. Ο ένας παρατηρεί μόνο το χ, ο άλλος παρατηρεί μόνο το ψ. Συνολικά όμως τρέχει και τόσο και τόσο, άρα πηγαίνει κάπου λοξά. Τι μέτρο έχει αυτή η ταχύτητα, πόσο τρέχει στη γμιαία με τη ταχύτητα στα δύο δευτερόλεπτα. Καταρχήν τι χ η στόσα έχει στα δύο δευτερόλεπτα. Οχτώ. Τι ψ η στόσα, 2 το τετράγωνο κάνει 4 από 0.95 κάνει 3 και 10 δεκατρία. Άρα τρέχει δεκατρία μέτρα να στεκόνται προς τα δώ και οχτώ μέτρα προς τα κ. Προσέξτε, ο ένας βλέπει μόνο το οχτώ, ο άλλος βλέπει μόνο το δεκατρία. Συνολικά πόσο γρήγορα τρέχει, πες το. Δεκατρία στο τετράγωνο και οχτώ στο τετράγωνο ρίζα. Τόσο, πηγαίνει περίπου 15 μέτρα. Σπάσοντας τις κινήσεις, τις ανεξάρτητες κινήσεις καταχύ, καταψή και καταχύ, μπορούμε να τα βλέπουμε ξεχωριστά. Πρώτον, γιατί κάποιος μπορεί να φέρει μόνο αυτή η κινήση. Δεύτερον, μας επιτρέπει να εμπεκτείνουμε όλα αυτά, στον επολογίστη με τη συνολική ταχύτητα. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος να το χειριστείτε. Πρέπει να κάνετε ξεχωριστά τις παραχωγήσεις και να επολογίσετε τη συνολική ταχύτητα σαν μέτρο αυτού εδώ του διανύμετου. Οχτώ στο τετράγωνο και δεκατρία στο τετράγωνο ρίζα. Αντίστοιχα, άρα τη χρονική στιγμή ταφ μηδέν, αν βάλετε εδώ μηδέν, αυτό είναι τρία και αυτό είναι μηδέν. Ξεκινάμε από το σημείο τρία-μηδέν, εδώ είμαστε. Να που είμαστε! Πού είμαστε! Πάμε τη χρονική στιγμή τάφη στον ένα. Βάλε ένα εδώ, πέντε βγάζει εδώ και εδώ βγάζει 10,25. Πέντε, 10,25. Εδώ είμαστε. Τη χρονική στιγμή τάφη στον δύο βγαίνει 11,22, το είδαμε πριν. Εκεί είμαστε. Πώς σχεδιάσανε το υπόλοιπο? Ποιος το σχεδίασε, εγώ? Ο υπολογιστής. Πώς το έκανε, ξέρετε? Δηλαδή τα στιγμάτα που βλέπετε στα εργασίσεις πώς γίνονται, ξέρετε? Οι υπολογιστές. Δεν ξέρω να σχεδιάζω συναρτήσεις. Κουκίδες ξέρω να σχεδιάζουν. Έχουν σχεδιάσει πολλές, πολλές, πολλές κουκίδες. Το έχουν κάνει για πολλές χρονικές στιγμές. Εσείς, όταν στο Λύκειο σας έδιναν μια γραφική παράσταση ψήτου χ, πώς σχεδιάσατε? Πέρατε αρκετά επικοινές στιγμές, τα έβαλε στα σημεία, τα ακολούσες με το χέρι που είχε αυτή την τάση να τα ενώνει όλα με ευθείες γραμμές. Και έκανες ένα στιγμό. Το χέρι πάντα ευθείες γραμμές κάνει. Δεν υπάρχει μαθητής να δώσει πέντε σημεία και να μην τραβήξει ευθείες γραμμές. Πρώτον, γιατί υπάρχει εργαλείο, λέγεται χάρακας, υπάρχει αδυναχιότητα. Δεύτερον, γιατί υπάρχει αυτή η τάση να τα ενώνουν όλα με ευθείες γραμμές. Το οποίο δεν είναι σωστό, όπως ανακαλύψτε αργότερα, αλλά αυτά θα δείτε σε μεταγενέστερα μαθήματα. Στην πράξη, όμως, ο υπολογιστής έχει βάλει τόσα πολλά σημεία εδώ και τα έχει ενώσει με τόσες πολλές ευθείες γραμμές που εσύ δεν το βλέπεις. Υπάρχει, λοιπόν, η οφαλμαπάτη ότι αυτό είναι μια συνεχόμενη γραμμή. Αν πάρεις φακό και δεις με πολλή προσοχή ακόμα και στο χαρτί, μπορείς σε κάποιες ερπητώσεις να δεις πώς ο υπολογιστής χάραξε. Είναι τόσο βεαλμοσκαλή εκτυπωτές σήμερα που δεν το βλέπεις. Στην πράξη, λοιπόν, αυτό που κάναμε για τρία σημεία, ο υπολογιστής έχει κάνει για πολλά και τα έχει ενώσει με μία καφέ γραμμή. Τη χρώμα έχει, δεν βλέπω, γιατί έχω και τη χρωματοψία. Και λέει αυτό που λέει, ό,τι πρέπει να πει. Αυτά για το πού είμαστε. Είμαστε εδώ, είμαστε εδώ, είμαστε εδώ. Το διάνυσμα θέσης λέει πού είσαι. Η παράγωγός του μας δίνει τις δύο συνισθώσεις σταχύτητας. Τη χρονική στιγμή 0, που είμαστε εδώ. Εδώ είμαστε. Τι ταχύτητα έχουμε? Καταχύ πόσο είναι? Τέσσερα τάφη είναι. Τη χρονική στιγμή 0? Μηδέν. Μηδέν. Δεν υπάρχει χ συνισθώσα σε ταχύτητα. Ψ συνισθώσα πόσο βγαίνει? Αν βάλεις μηδέν εδώ, δέκα. Άρα, αν το σχεδιάσω, είναι μηδέν και έχει δέκα προς τα εκεί. Κάπως έτσι είναι το διάνυσμα. Πάει έτσι. Έχει από το μενικό σύντομα και την κοιτάει προς τα πάνω. Με ένα μήκος που το έχω σχεδιάσει είναι δέκα. Όταν σχεδιάζεις τέτοιες προσότητες, βάζεις μια κλίμακα και λες εγώ αυτό θα το πω δέκα. Αλλά το μισό το σχεδιάζεις στο πέντε, το διπλάστο το σχεδιάζεις στο είκοσι. Πρέπει να αποφασίσεις εσύ την κλίμακα που θα χρησιμοποιήσεις. Πάμε τε χρονική στιγμή τάφη στον ένα. Είναι εδώ. Στο πέντε δέκα κόμμα εβδομητα πέντε. Το βρήκα βάζω το ένα εδώ. Να βάλω ένα και εδώ. Τι χισινιστόσα έχει ταχύτητα? Τέσσερα. Τι ψησινιστόσα έχει? Δέκα κόμμα εβδομητα πέντε. Άρα πρέπει να σχεδιάσεις ένα τέσσερα εδώ και ένα δέκα κόμμα εβδομητα πέντε εδώ. Και βγαίνει κάπως έτσι. Αυτό το πράγμα έχει μία χισινιστόσα που είναι τέσσερα και μία ψησινιστόσα που είναι δέκα κόμμα εβδομητα πέντε. Παραλαμβάνω πρέπει μόνος σου να αποφασίσεις την κλίμακα. Το σίγουρο πάντως είναι ότι αν φέρεις την εφαρτομένη κάπως έτσι θα πηγαίνει. Στη γμιαία λοιπόν κινείται προς τα εκεί. Τε χρονική στιγμή τάφη στον δύο που είναι στο 1122. Το βρήκα να βάλω εδώ το δύο. Είναι εδώ. Αν βάλουμε δύο εδώ έχει οχτώ συνιστό στα καταχύ και αν βάλεις δύο εδώ έχει δεκατρία συνιστό στα καταψύ. Είναι κάπως έτσι. Πάλι χρονομενικό στροχιά. Άρα αυτή η προσέγγιση σου επιτρέπει να βρίσκεις πού είναι χ του τάφ και ψ του τάφ και αν χρειαστεί και ζ του τάφ. Και σου επιτρέπει με απλές παραγωγήσεις να βρίσκεις πόσο γρήγορα κινείται. Αν πάει σε χρονική στιγμή. Με την ίδια λογική ακριβώς αν ξαναπαραγωγήσεις άλλη μια φορά, δηλαδή έχει μία αρχική ταχύτητα V1 και μετά έχει μία ταχύτητα V2, η μεταβολία αυτής της ταχύτητας σε αναμονάμενου χρόνου είναι η επιτάχυνση. Είναι αυτό που αλλάζει την ταχύτητα. Ενώ εσύ πηγαίνεις με ταχύτητα 5, κάτι σε κάνει, σε τραβάει προς τα κ, και λέω τραβάει γιατί κάποια δύναμη δίνει την επιτάχυνση και σου αλλάζει την ταχύτητα. Ενώ έχεις ένα V1, ξαφνικά αποκτάσεις ένα V2. Έτσι στρίβουμε, έτσι στρίβει το αυτοκίνητο. Το αυτοκίνητο στιγμή, αυτοκίνηται προς τα κ. 15 μέτρα σεκόντ. Τι στρίβει? Μία δύναμη που μετατρέπεται σε επιτάχυση, αλλάζει την ταχύτητα. Υπάρχει, άρα προκαλεί ένα ΔΕΛΤΑΒΕ, σε αλλάζει και σου αλλάζει την ταχύτητα και δεν σε αφήνει να πας στον κρεμό. Η επιτάχυνση λοιπόν είναι κάτι που κάθε φορά θα αλλάξει την ταχύτητα και θα σε οδηγήσει στο να στρίψεις. Πάλι φυσικά με αντίστοιχη λογική. Αν αυτή είναι η αρχική σου ταχύτητα και αυτή είναι η νέα σου ταχύτητα, αυτό το ΔΕΛΤΑΒΕ δείχνει προς τα πού σε τράβηξε η επιτάχυνση για να στρίψεις. Περιτό να πω ότι αν η καμπύλη πάει κάπως έτσι, η επιταχύνση είναι προς τα κ. και σε τραβάνε για να στρίψεις αριστερά. Αν πήγαινε έτσι η καμπύλη σε τραβάει για να αλλάξει την ταχύτητα προς τα δεξιά. Η επιτάχυνση είναι που θα αλλάξει την ταχύτητα. Άρα αυτή η επιτάχυνση θα σε τραβήξει προς τα μέσα, θα σου αλλάξει την ταχύτητα. Πώς την υπολογίζουμε, άλλη μία παράδοση. Δεν έχεις πάρα να πάρεις τους τύπους, να πάρεις τη μετάθεση, μία παραγώγηση θα σου δώσει την ταχύτητα και μία δεύτερη παραγώγηση της ταχύτητας, μία διπλή παραγώγηση, δηλαδή θα σου δώσει την επιτάχυνση. Κάνεις τα ίδια πάλι τρεις φορές. Ας δούμε το προηγούμενο παράδειγμα, είχαμε αυτή την ταχύτητα και αυτό το χ και αυτό το ψ. Παραγωγίζοντας, υπολογήσαμε την ταχύτητα 4τ από εδώ, 10-0-75 τετράγωνο από εκεί. Για να βρεις την επιτάχυνση, άλλη μία παραγώγηση. Η παράδοση του 4τ ποια είναι και του 10-0-75 τετράγωνο 1,5τ. Μισό λεπτό λιγάκι. Η χ επιτάχυνση είναι τέσσερα. Τι είναι δηλαδή? Άρα ισχύουν όλοι οι τίτλοι που μάθουν από το Λύκειο. Η ψ επιτάχυνση τι είναι? 1,5 τ μεταβάλλονται. Μπορώ να χρησιμοποιήσω το τίτλος από το Λύκειο. Όχι είναι η απάντηση. Να λοιπόν που το σώμα είναι τρελό. Στην μία διεύθυνση κίνδυνε με σταθερή επιτάχυνση, στην άλλη κίνδυνε με μεταβαλόμενη επιτάχυνση. Δεν μπορείς λοιπόν να το χρησιμοποιήσεις όπως το Λύκειο. Δεν έχεις πάρα να το παραγωγείς. Το τέσσερα δίνει τέσσερα και το 0,75τ δίνει 1,5τ. Τι μέτρο έχει η επιτάχυνση σε κάθε χρονική στιγμή? Τέσσερα στο τετράγωνο και 1,5τ τετράγωνο ρίζα. Τι έχει τη χρονική στιγμή ίσον δύο. Αυτό αλλάζει? Τέσσερα. Αυτό δύο επί ενάμιση τρία. Έχει τέσσερα μέτρα ανταστακών τετράγωνο στοιχεί διεύθυνση επιτάχυνση. Τόσο επιταχύνεται και τρία μέτρα ανταστακών σε αυτήν. Σύνολο τέσσερα στο τετράγωνο ρίζα πέντε. Άρα η συνολική του επιτάχυνση είναι πέντε μέτρα ανταστακών. Επαναβάνω να την επαναλάβετε αυτή τη δυνάσταση. Γιατί είναι το ίδιο που κάνουμε σε μία διάσταση μία, δύο, τρεις φορές. Αν είμαστε σε τρεις διάστασεις μία, δύο, αν είμαστε σε δύο διάστασεις. Δεν έχετε καμία άλλη δυνατότητα παρά να την επαναλάβετε. Άρα αυτή είναι η τύπη πλέον. Μια παραγώγηση μας έδωσε την ταχυτητά που έχει χει και ψήσει στην ιστόσα. Στο προηγούμενο παράδειγμα που ήμασταν εδώ, τη χρονική στιγμή 0, ας δούμε την επιτάχυνση. Πώς είναι η επιτάχυνση της χρονικής στιγμής 0. Τι χει στην ιστόσα έχει. Ψη. Άρα έχει μόνο χει στην ιστόσα, δεν έχει ψη. Είναι ένα βελάκι τέτοιο που τραβάει προς τα μέσα, προφανώς. Το σώμα αν το άφηνες πού θα πήγαινε. Αν δεν υπήρχε επιτάχυνση πού θα πήγαινε. Θα πήγαινε ίσια. Κάτι μετέβολε την ταχύτητα. Προκάλεσε να θέλει να βρει αυτός που τραβάει από εδώ. Ωπ τον έστειψε δεξιά. Σας θυμίζει κάτι αυτό το σχήμα. Κάποια πολύ γνωστή κίνηση. Να κινήσει και να σε στρίβει κάποιος με μια επιτάχυνση προς τα μέσα. Σας θυμίζει την κυκλική κίνηση που γυρίζει με ταχύτητα και ο κεντρομόλος σε στρίβει συνέχεια προς τα μέσα. Αυτό είναι. Είναι κάτι περίπου αντίστοιχο. Εδώ όταν είσαι και είχαμε υπολογίσει αυτήν την ταχύτητα. Προς τα πού θα κοιτάει η επιτάχυνση. Πάλι προς τα μέσα. Γιατί πάλι το στρίβει δεξιά. Αν το υπολογίσεις κοιτάει κάποια στιγμή. Αυτό φαίνεται περίεργο. Έχει σίγουρα μια συνειστώσα κάθετη που τραβάει προς τα μέσα. Έχει όμως και μια παράλληλη συνειστώσα. Η παράλληλη τι του κάνει. Του δίνει και άλλη ταχύτητα. Άρα κάτι το στρίβει και κάτι το επιταχύνει. Ο μπαμπάς επειδή μπορεί να επηγηθεί ο τεκίλες. Στην συστροφή μπορεί να πατάει και τον κάζει. Και να στρίβει και να επιταχύνει. Και να επιταχύνει. Άρα η επιτάχυνση πρέπει να κάνει δύο πράγματα. Ένα να τον στρίψει και ένα να του δώσει και λίγο παραπάνω ενέργεια. Ή αν είναι προς τα δώ να του κόψει. Να τον φρενάρει κιόρας δηλαδή. Αντίστοιχα αν πάμε τη χρονική στιγμή. Τα άφησαν δύο. Έχει χείσει συνειστώσα πάλι τέσσερα. Ίδια δεν αλλάζει. Έχει ψήσει συνειστώσα δύο επί ενάμιση τρία. Άρα η επιτάχυνση είναι κάπως έτσι. Έχει χείσει συνειστώσα τέσσερα. Έχει ψήσει συνειστώσα τρία. Επαναβαίνω. Φροντίστε να εξηγηωθείτε με τους υπολογισμούς. Και όχι μόνο με τους υπολογισμούς. Μπορεί να σας ρωτήσω παράδειγμα. Σε αυτή τη χρονική στιγμή. Τι γωνία σχηματίζει η ταχύτητα και η επιτάχυνση. Πώς βρίσκουμε γωνίες ανάμεσα σε δύο διανύσματα. Προηγούμενο. Πες το. Ωραία. Να τη ταχύτητα. 8 συν 13 ταφ. 8ι συν 13τζ. Η επιτάχυνση ήταν 4 και 3. Ξεχνάμε τελείως τη γεωμετρία. Η ταχύτητα είναι 8ι και 13τζ. Η επιτάχυνση είναι 4ι και 3τζ. Πώς θα βρούμε τη γωνία. Το εσωτερικό γινόμενο. Είναι το μέτρο του πρώτου. Επί το μέτρο του δεύτερου. Επί το συνειμήτων της γωνίας που σχηματίζουν μεταξύ τους. Ποιο το μέτρο της ταχύτητας. 8ι13τζ. Το μέτρο της επιτάχυνσης. 4ι13τζ. Βγαίνει 5τζ. Το εσωτερικό γινόμενο. Πώς σημαίνει το υπολογίζουμε. Πολαπλασιάζουμε τις αντίστοιχες συνεισθώσεις. Αυτήν με αυτήν και αυτήν με αυτήν. 8ι13τζ. Και αθρίζουμε 8ι13τζ. Ίσον. Άρα αυτό το νούμερο. Ό,τι βγει είναι αυτό. Επί αυτό επί το συνειμήτων. Άρα μπορούμε να βρουμε το συνειμήτων. Μπορούμε στο κοπτεράκι να κάνουμε αντίστοιχο συνειμήτων. Και να βρούμε τη γωνία. Αυτό πρέπει να κάνεις Παρακαλώ παιδιά να μην χαλαρωθείτε Όπως σας είπα σε κάθε περίπτωση η επιτάχυνση μπορεί να αναλυθεί σε 2 συνισθώσεις Μια κάθετη συντροχιά που είναι σαν την κεντρομόλο που τραβάει και υποχρεώνει το σώμα να στρίψει και μια παράλληλη με την τροχιά που είναι πάνω στο κινητό και μπορεί να του δώσει ή να του πάρει ταχύτητα Άρα αυτό το μόνο που κάνει είναι να το στρίβει η κάθετη συντροχιά ενώ η παράλληλη με την τροχιά του δίνει ταχύτητα Άρα μπορείς κάθε φορά την επιτάχυνση να τη χωρίσεις σε ένα παράλληλο με την ταχύτητα και σε ένα κάθετο με την ταχύτητα κομμάτι Το κάθετο την στρίβει, το παράλληλο της δίνει ή της παίρνει ταχύτητα Άρα ερώτηση ή κρίσεως Το σώμα πάει κάπως έτσι, είμαι εδώ, η ταχύτητα πώς θα τη σχεδιάσω, εφαρτωμένη Κάπως έτσι είναι η ταχύτητα, γιατί προς ταχύτητα, γιατί πάει προς ταχύτητα Αν η επιτάχυνση είναι έτσι, καταχύνει η επιτάχυνση, πρέπει να κοιτάει από εκείνη την μεριά ή από εδώ Από κάτω, γιατί το στρίβει δεξιά Αν είναι έτσι, τι κάνει, αυτή η συνιστοσά το στρίβει, αυτή η συνιστοσά το επιταχύνει, δηλαδή του αυξάνει την ταχύτητα Αν δεν είναι έτσι και είναι έτσι, αυτή η συνιστοσά το στρίβει Αυτή η συνιστοσά το επιταχύνει Άρα, αν κοιτάει προς τα μπρος ή προς τα πίσω επιτάχυνση, καταλαβαίνεις κατευθείαν και ποιοτικά, ότι του δίνει ή του παίρνει ταχύτητα Μα άλλα λόγια, αν είναι κάπως έτσι η κατάσταση, αν είναι έτσι η επιτάχυνση, το στρίβει και του δίνει ταχύτητα Αν είναι έτσι η επιτάχυνση, το στρίβει και του παίρνει ταχύτητα Άρα κατευθείαν καταλαβαίνεις και από το σχήμα το τι ακριβώς συμβαίνει Παλιότερα κάναμε πολλές τέτοιες κινήσεις, φέτος επειδή κατάλαβα ότι είναι βαριά, κάναμε μόνο μία Που την ξέρετε, την έχετε φάει με το κουτάλι, αλλά πρέπει να την ξέρετε πολύ καλά, γιατί συνδέεται με σειρά από φαινόμενα που ισχύουν στη γη Πρώτον γιατί η γη είναι σφαιρική και περιστρέφεται σε 24 ώρες με σταθερή ταχύτητα Η πιο διάσημη κίνηση που η τροχιά δεν είναι ευθύγραμη, είναι αυτή που γίνεται πάνω σε κύκλο Και λέγεται ομαλή κυγλική κίνηση! Όχι απλώς κυκλική ότι κινούμαι πάνω σε έναν κύκλο και γυρίζω γύρω, γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω,γύρω το πόσο τρέχεις είναι σταθερό δεν αλλάζει προσέξτε η διεύθυνση αλλάζει το μέτρο δεν αλλάζει τρέχεις με τη νέα ταχύτητα σαν μέτρο πέντε στιγμές να στεκώνε τράγων είναι αυτή εδώ η κίνηση που το β1 και το β2 ενώ σαν διανύσματα αλλάζουν γιατί κάποιος θα στρίβει μια επιτάγνιση το μέτρο τους είναι το ίδιο το πολύ χαρακτηριστικό λοιπόν είναι ότι το κυκλική σημαίνει κίνηση πάνω σε κύκλο και το ομαλή σημαίνει ότι το μέτρο είναι σταθερό αυτό τα δύο συνδετικά προσδιορίζουν την ποιότητα της κίνησης σε αυτή την περίπτωση το μέτρο που είναι σταθερό από την ομοιότητα δεν έχει καμία σημασία αποδεικνύεται ότι η επιτάχυνση αυτή που τραβάει δηλαδή προς τα μέσα είναι τελικά βε τετράγωνο προς ρο δεν έχει σημασία η αποδείξη ούτε μας ενδιαφέρει ούτε τη ζητάμε αυτό λοιπόν που τραβάει προς τα μέσα και αναγκάζει το στόμα να στρίψει συνέχεια λέγεται κεντρομόνος επιτάχυνση και είναι βε τετράγωνο προς ρο μάλλα λόγια αν πάρεις μία στροφή με διπλάσια ταχύτητα τι επιτάχυνση κεντρομόνο πρέπει να ασκούν τα λάστιχα μέσα της τρυβής για να σε κρατήσουν μέσα αν είναι διπλάσια η ταχύτητα πες το ποιος το είπε παιδιά τετραπλάσια δηλαδή αν αντι για 30 μπεις με 60 τα λάστιχα έχουν τέσσερις φορές μεγαλύτερες απαιτήσεις για να σε κρατήσουν δεν είναι τόσο απλό δεν θες απλώς διπλάσια δύναμη στα λάστιχα θες τραπλάσια και αν πεις με τριπλάσια ταχύτητα θες μία πλάσια δύναμη στα λάστιχα μία τάξη μεγέθους τα λάστιχα έχουν μία οριακή τρυβή παραπάνω δεν μπορούν να ασκήσουν την ξεπέραστης έφυγες δεν υπάρχει κεντρομόνος να σε γυρίσει δεύτερον, αν η στροφή είναι απότομη άλλη αυτή η στροφή και άλλη αυτή η στροφή αυτή έχει ακτίναρο 1 αυτή έχει ακτίναρο 2 αυτή που έχει μεγαλύτερη ακτίνα έχει η μικρότερη απέντηση για κεντρομόνο στρίβεις πιο χαλαρά στις ανοικτές τροφές στις κλειστές τροφές θες πιο μεγάλη τρυβή στα λάστιχα ο παροναμαστής είναι μικρότερος άρα θες μεγαλύτερη κεντρομόνο να σε τραβήξει ποιος την κάνει τη δουλειά η τρυβή στα λάστιχα, άλλως δεν υπάρχει δεύτερον, ποιος την κάνει τη δουλειά ποιος την κάνει τη δουλειά, η τρυβή στα λάστιχα, άλλως δεν υπάρχει κατά συνέπεια χρειαζόμαστε μια επιτάχυση προς τα μέσα που τη λέμε κεντρομόνο κοιτάει προς το κέντρο του κύκλου πάνω στο οποίο κινείσαι είναι κάθε συνακτίνα στην ασυνταχυτητά προφανώς είναι φαπτόμενη και ακτίνα και από τη γεωμετρία ο Αρχιμίδης βρήκω ότι είναι κάθετες έτσι και πόσοι πρέπει να είναι τόσοι βάλε την αχύτητα, βάλε και την ακτίνα και θα σου πω με την ομαλική γλυκή κίνηση που γυρίζεις και γυρίζεις και γυρίζεις και γυρίζεις συνδέονται μερικές ποσότητες οι ποσότητες αυτές είναι η περίοδος πόσο χρόνο κάνει για να κάνεις ένα πλήρη κύκλο είναι η συχνότητα το ανάποδο της περίοδου και το 2πιεφ ονομάζεται και γωνιακή συχνότητα ή κυγλική συχνότητα προφανώς μία ολόκληρη περίμετρος δύο πυρό, έλεος, μην μπερδεύετε περίμετρους και εμβαδά δύο πυρό η περίμετρος η πιεπιδιάμετρος, πύρο, τετράγωνο, το εμβαδό μη δω καμιά κοτσάντα που τα βλέπω στις συχνάσεις εξετάσεις αν πάρεις το μήκος που διανοείς δύο πυρό και διαρρέσεις με την περίοδο θα βρεις την ταχύτητα περιστροφής η ταχύτητα που έχει η περιστροφή στις γης είναι 40 εκατομμύρια μέτρα που είναι η περιφέρεια διά 24 ώρες υπολογίστε πόσο είναι πόσο βγαίνει 40.000 χιλιόμετρα διά 24 ώρες και τρέχει με 1670 χιλιόμετρα την ώρα εμείς τώρα τρέχουμε με 1670 χιλιόμετρα την ώρα καλά είναι μέσα στο μυαλό μας συχνότητα πέντε δευτερόλεπτα πέντε ώρες, πέντε μέρες πέντακόσα χρόνια, πέντε χιλιάδες χρόνια και η περίοδος και η συχνότητα το 1 διά τάφ ας τα έχουμε ξεκαθαρισμένα το ανάποδο του εκών λέγεται χέρς το ανάποδο της ώρας δεν λέγεται τίποτα δεν έχει όνομα άρα μπορούμε να υπολογίσουμε αν ξέρουμε την περιφέρεια και την περίοδο την ταχύτητα και μπορούμε να υπολογίσουμε την κεντρομόλου επιτάχυση αν μάλιστα αντικαταστήσεις αυτό στον τύπο υπάρχουν πολλοί ισοδυναμοι τύποι ω τετράγωνο επί ρο και ούτω καθεξής αντικαθιστώντας το β τετράγωνο επί ρο υπάρχουν πάρα πάρα πολλοί τύποι πάνω από το σχάρι σε ένα λούνα παρκ αυτό είναι λούνα παρκ του τρόμου βέβαια λέει ότι ο τροχός είναι πέντε μέτρα και γυρίζουμε σε τέσσερα δευτερόαρα θα ήταν λίγο τρελό να κάνεις σε έναν τροχό σε τέσσερα δευτερόαρα είναι λίγο παρανοϊκό αν το κάνατε έτσι η επιτάχυνση καταχύν αν τον πρώτο τύπο θα βρεις την ταχύτητα δύο πυρό ακτίνα λέει πέντε μέτρα δύο επί τρία κομμαδάκατες τρία λεπιπέντε περίοδος πόσο κάνει μια πλήρη περιστροφή σε τέσσερα θα βρεις την ταχύτητα 7,9 μέτρα ανσεκόντ πολύ 8 μέτρα νεστροέαρτο και αν βάλεις αυτό στο βερτετράγωνο προστάρ θα υπολογίσεις και την κυτροβόνη επιτάχυνση 12 μέτρα ανσεκόντ 1,2 γι τρελό 1,2 γι να σε τραβάνε είναι πολύ σκέψου ότι στο κατώτερο σημείο σε τραβάει γι γι άρα τι δύναμη πρέπει να σου ασκεί ο τροχός για να έχει το 1,2 γι προς τα μέσα το καταλαβαίνετε το έβαλα μια φορά στις εξετάσεις το έβαλα μια φορά στις εξετάσεις μόλις υπολογίσαμε ότι με την ταχύτητα αυτή σε αυτόν τον τροχό που είναι 5 μέτρα και γυρίζει σε 4 δευτερόλεπτα την περίοδο η κεντροβόνη επιτάχυνση που θέλουμε είναι 1,2 γι 12 μέτρα ανσεκόντ άρα εδώ όταν είσαι πρέπει να σε τραβήξουν τόσο πως τα μέσα πρέπει ποιος να σε τραβήξει το σίδερο που είναι συνδεδεμένο με την καρέκλα πρέπει να υπάρχει μία επιτάχυνση προς τα μέσα υπάρχει μία επιτάχυνση προς τα κάτω το βάρος σου εσύ λοιπόν κάθεσαι στην καρέκλα και η γη σας τραβάει με γι επιτάχυνση πόσο πρέπει να σε τραβήξει ο άλλος έτσι στο σύνολο να πιάσει τα 1,2 γι δεν το καταλαβαίνετε? σωστό είναι αυτό που λες και είναι περίπου το εξής αν αυτό προς τα πάνω είναι χι και αυτό προς τα κάτω είναι γι πρέπει το χι που τραβάει προς τα πάνω πριν το γι να δώσει αυτό το 1,2 γι άρα το χι βγαίνει δηλαδή 1,2 γι και γι δηλαδή 2,2 γι ενωλήγεις όταν φτάσεις εδώ κάτω τι πίεση ασκεί το η καρέκλα πάνω σου 2,2 γι αν είσαι 100 κιλά και κάτω νιώθεις 220 νιώθεις ότι έχεις λιώσει, ότι έχουν κολλήσει στην καρέκλα γιατί σε τραβάει προς τα πάνω ο τροχός με 2,2 γι θα το ξαναδούμε αυτό όταν κάνουμε δυνάμεις πιο αναλυτικά δεν θα σας πω τίποτα άλλο σας αφήνω στο τέλος του κεφαλαίου στο τέλος του κεφαλαίου υπάρχει πάντα μια σύνοψη μετά τη σύνοψη το μάθημα αυτό εδώ πέρα από τις ασκήσεις που έχει μέσα σας έχω δυο... αυτό δεν υπάρχει, συγγνώμη σας έχω έλα ρε εσύ σας έχω δυο τρεις ασκήσεις κατεβάζετε στο διαδίκτυο επιχειρίστε μία πίχη για τη γυγλική κίνηση είναι δύο ασκήσεις στο τέλος μαζί με τα παραδείγματα σας υπερκαλείπτουν για αυτό το διάστημα καλή ξεκούρα!

Διάλεξη 2 / Διάλεξη 2 / Διάλεξη 2

Open Access AudioVisual Archive

Πλατφορμα διάχυσης οπτικοακουστικού υλικού ανοικτής πρόσβασης με χρήση τεχνολογιών αναγνώρισης λόγου

Διάλεξη 2 / Διάλεξη 2 / Διάλεξη 2

Παρόμοια τεκμήρια

Open Access AudioVisual Archive

Πλατφορμα διάχυσης οπτικοακουστικού υλικού ανοικτής πρόσβασης με χρήση τεχνολογιών αναγνώρισης λόγου