| Κεφάλαιο 5 , #1 , 08/04/14 (από 16,42 εως τέλος): Και έχουμε ξαφνικά φτάσει στο 16ο αιώνα. Έτσι έχουμε ξεπεράσει τον μεσαίωνα, τον έχουμε ξεχάσει και προχωράμε στην αναγέννηση. Και στην αναγέννηση μεγάλη δύναμη στα μαθηματικά είναι η Ιταλία. Και ήθελα να αναφέρω τον Καντάνο, ο οποίος πολύ μετριόφρανα ονόμασε το βιβλίο του «Το μεγάλο έργο, μεγάλη τέχνη» που είχε για τους κανόνες μέσα της Άλγυβρας. Το βιβλίο αυτό βγήκε το 1545 και μέσα σε αυτό το βιβλίο βλέπουμε και τους κανόνες, περιγράφει πώς να λύσει κανείς την τρίτο βάθμια και την τεπτάτο βάθμια. Εξίσουσα. Ήδη για τη μία τριτοβάθμια μιλήσαμε για το πώς να τη λύσει κανείς. Χρησιμοποιώντας το σημείο τομής, κύβου και κύκλου. Έχουμε ακριβή τύπο, έχουμε τύπο. Αν χρησιμοποιήσει κανείς αυτό το σημείο τομής του κύβου και της παραβολής, παίρνει τον ακριβή τύπο ή παίρνει απλά ότι αυτές τις συνδεταγμένες ικανοποιούν την τρίτο βάθμια εξίσως. Σκεφτείτε λοιπόν, αυτό που κάναμε προηγουμένως, δείξαμε ότι το σημείο τομής της παραβολής και του κύκλου έχει συνδεταγμένει, ικανοποιεί αυτή την τρίτο βάθμια εξίσως. Αυτό που ρωτάω τώρα είναι το εξής, εντάξει στο σημείο τομής ικανοποιεί αυτή την εξίσωση, αλλά λέγοντας αυτό το πράγμα, έχουμε βγάλει κανόνα για το ποια είναι αυτή η συνδεταγμένη σε σχέση με το σε και με το μπ. Έχουμε βρει ποια είναι η λύση σε σχέση με το σε και με το μπ. Στο βιβλίο αυτό ο Καρντάνο λέει πως να βρεθεί κανείς η λύση και αυτό είναι το κύριο πράγμα που ήθελα να συζητήσουμε ή μάλλον θα συζητήσουμε πάνω σε αυτό και τις επόμενες διαλέξεις γιατί έχουν ενδιαφέρον και γιατί πραγματικά έγινε μια μικρή επανάσταση με αυτό εδώ. Ο Καρντάνο στον οποίο το βιβλίο είναι αυτό στο οποίο που περιέχει αυτός τους κανόνες ήταν μια φυσιογνωμία η οποία αμφιλεγόμενη φυσιογνωμία και ακόμη και η λύση της δεδοβάθμιας είχε ξεσπάσει ένα σκάνδαλο. Το σκάνδαλο είναι ότι ο Καρντάνο ήδη στο βιβλίο του παραδέχεται ότι την πήρε αυτή τη λύση, ότι αυτή τη λύση την έδωσε ο Τατάλι. Ο Τατάλι έλεγε ότι του την έκλεψε τη λύση. Την εποχή εκείνη για να μπορέσεις να επιβιώσεις σαν μαθηματικός πουλούσες γνώση. Στην πραγματικότητα, αυτό λέω για να το κρατήσουμε στην άγγλη του μυαλού μας, στην πραγματικότητα λέω τη λύση της τριτοπάθμιας, θα έπρεπε να πω για μια μορφή τριτοπάθμιας. Να θυμίσω, εντάξει χρησιμοποιούμε τις αφαιρέσεις στον τύπο, τις χρησιμοποιούσαν και οι Άραβες, αλλά δεν είμαστε πολύ άνετοι, δεν είμαστε άνετοι με αρνητικούς συνδελαιστές. Έτσι, αρνητικούς συνδελαιστές δεν τους έχουμε ακόμη αποτεχτεί. Έτσι, οπότε, έχουμε διάφορους τύπους εξισώσεων, τριτοβάθμιων εξισώσεων. Οπότε, εδώ αυτό που γράφω στην δεύτερη παράγραφο, ότι τη λύση στην τριτοβάθμια την είχε ανακαλύψει ο Δελφέρο, είχε βρει τη λύση σε έναν τύπο τριτοβάθμιας, θα το δούμε στην αμέσως επόμενη διαφάνεια. Ο Δελφέρο δεν ήταν κακός μαθηματικός, ήταν καλός μαθηματικός, αλλά βέβαια το κρατούσε εφτασφάγιστο μυστικό, επειδή λοιπόν όταν αρρώστησε, έτσι λίγο πριν πεθάνει, μετέφερε τον τρόπο της λύσης στον μαθητή του, τον Φιό. Τώρα ο Φιό δεν ήταν τόσο ικανός μαθηματικός ως ο δασκανός του, αλλά κατήχε αυτό, τη λύση μιας τριτοβάθμιας εξίσωσης. Ο Τατάλια, όποιος το όνομα του βγήκε γιατί είχε πρόβλημα στην ομιλία, τέλος πάντων και γι' αυτό τον κορογιδεύανε, είχε τέτοιου είδους ζητήματα, είχε προχωρήσει κι αυτός με την τριτοβάθμια και παινευόταν κι ο ένας κι ο άλλος, και αυτό που γινόταν τότε είναι ότι έγινε μια δημόσια μονομαχία, στην οποία τους δίνανε εξισώσεις και ποιος θα δώσει τις λύσεις αυτού του είδους μονομαχίας, όχι με όπλα, ποιος θα καταφέρει να δώσει λύσεις εξισώσεις. Σε αυτή τη μονομαχία νίκησε ο Τατάλιο. Η μονομαχία έγινε το 1535. Ο Καντάνο που ανάμεσα στα άλλα, έτσι όπως είπα ήταν μια φιλευόμενη φυσιογνωμία, είχε φίλο και τον Πάπα εκείνης της εποχής, αλλά για παράδειγμα ο γιος του είχε κατηγορηθεί ότι είχε σκοτώσει, τον εφωνεί στη γυναίκα του, τελικά κρεμάσανε το γιο του, ο ίδιος είχε κάνει ανάμεσα στα άλλα και το οροσκόπλο του Χριστού, εντάξει αστρολογία, όχι αστρονομία, αστρολογία, έτσι πολλά πράγματα, και υποτίθεται ότι είχε προβλέψει και την ομερομηνία του θανάτου του και το κατά πώς λέει η ιστορία, όταν ήρθε και η ομερομηνία, για να μην αποδειχθεί ότι έκανε λάθος, οφτουκτώνησε την ημέρα του θανάτου του, έτσι. Αλλά η όλη μονομαχία και το τι έγινε εκεί, κίνησε τον ενδιαφέρον. Και προσπάθησε μεταμανίας να πείσει τον Τατάλια να του πει το μυστικό, έτσι τον τύπο, πώς βρίσκε κανείς αυτές τις λύσεις. Ο Τατάλια δεν το κρατούσε, γιατί κατάλαβα να ήταν το χαρτί που είχε. Έτσι, τον έπεισε ο Καντάνο ότι θα τον βοηθήσει με δουλειές και με αυτά, γιατί ο Καντάνο είχε τις άκρες του, έτσι. Είπα πριν, φίλους του πάπα. Τελικά, τον έφερε, υποτίθεται, τον έφερε στο σπίτι του, τον πότισε, του έδωσε κανογεύμα, τον πότισε πολύ κρασί, και κάποια στιγμή ο Τατάλι θα έδωσε το μυστικό. Και ενώ υποτίθεται ότι το βιβλίο θα το γράφουν μαζί και ούτω καθεξής, ο Καντάνο, επειδή κατάφερε, εκτός από τον τύπο που του έδωσε ο Τατάλια, και βασισμένος σε αυτό, άμα δεις το τι γίνεται σε μια περίπτωση, κατάφερε και το προχώρηση. Και έδωσε τη λύση και στους άλλους τύπους της τριτοβάθμας, εξίσουσες, και αφού το έκανε αυτό, θεώρησε ότι δεν δεσμευόταν πια από αυτήν την υπόσχεση που είχε δώσει στον Τατάλια και προχώρησε και έβγαλε το βιβλίο μόνος του. Εντάξει, από εκεί ξεκίνησε η διαμάχη. Νάτος ο Τατάλιος, ο οποίος δεν πήρε τη φήμη, γιατί η φήμη πήγε στον Καντάνο. Το βιβλίο του είναι αυτό το οποίο έχει τη λύση της τριτοβάθμας εξίσωσης, και όχι μόνο, έχει τη λύση της τετάτω βάθμας εξίσωσης. Όχι μόνο έλυσε όλες τις τριτοβάθμιας, αλλά έλυσε και όλες τις εξισώσεις τετάτου βαθμού. Σε αυτό το βιβλίο, και δεν έχει πρόβλημα ο Καντάνο, στο βιβλίο του να παραδεχτεί ότι τη λύση της τετάτω βάθμας εξίσωσης, της εξίσωσης πολυονήμων που ξεκινάνε με χ στην τετάτη, οφείλεται στα μαθητή του, έτσι το παραδέχεται στον Φεράη. Αυτό το γράφει στο βιβλίο, εντάξει δεν το κρύδει. Λοιπόν, για τη μονομαχή που σας έλεγα, ο Φιόρ, είχε πάρει από τον δάσκαλό του, ήξερε πως να λύνει το χ τρίτη συνσύ επί χ ίσον με ν. Αλλά ο Τατάλι, εκτός από αυτές εδώ τις εξισώσεις, μπορούσε να λύσει κι αυτόν εδώ τον τύπο, μπορούσε να λύσει κι αυτές που έλεινε ο Φιόρ, αλλά μπορούσε να λύσει κι αυτές εδώ. Άραξε, αναγκαστικά, λοιπόν, ο Τατάλιε του έδωσε όλα τα προβλήματα που είχαν να κάνουν με αυτόν τον τύπο εξίσωσης, που δεν μπορούσε να τις λύσει ο Φιόρ, ο Φιόρ του έδωσε τον τύπο που μπορούσε να λύσει, βγήκε και αναγάλωσε και της ο Τατάλιε σε αυτή τη μονομαχία, για να δούμε τον τύπο. Δεν είναι κάτι που θα σας ζητήσω να αποστηθήσετε, έτσι, εκείνο το οποίο θα πρέπει όμως να ξέρουμε και να μας μείνει, είναι ότι υπάρχει τύπος για την έβρεση της τριτοβάθμας εξίσωσης. Εντάξει, και όχι υπό περιπτώσεις, ο Καντάννας τους έχει χωρίσει σε διάφορες περιπτώσεις. Υπάρχει ένας γενικευμένος τύπος που θα μας δώσει, όχι προσέγγιση, την ακριβή λύση, σε σχέση μεριζικά, με ένας τύπος ο οποίος θα έχει να κάνει μεριζικά και που θα έχει τους συντελεστές της εξίσωσης και θα μας δώσει το αριθμός που άμα τους αντικαταστήσουμε στην εξίσωση θα μας δώσει στο τέλος 0. Υπάρχει λοιπόν αυτός ο τύπος και για την τριτοβάθμια εξίσωση. Και υπάρχει και ένα τύπος για μια εξίσωση τετάτου βαθμού. Για να δούμε λίγο για την εξίσωση του τρίτου βαθμού. Γιατί με εξίσωση που λέει ο κύβος και πρώτη δύναμη, ζούτα, αριθμό, αυτός εδώ είναι ο τύπος. Και μάλιστα επειδή αυτά τα σύμβολα ακόμη, έτσι δεν χρησιμοποιόντουσαν. Έχουμε προχωρήσει, εντάξει, έχουμε ψηφία, αλλά δεν έχουμε γράψει όλοι τον λιβρικό τρόπο γραφής. Για να περιγράψει αυτόν εδώ τον τύπο γέμισε δύο σελίδες στο βιβλίο του Καντάνο. Δύο σελίδες έπαιναν για να περιγράψει όλη αυτήν την δουλειά την οποία θα κάνει. Είναι πολύ πλόκος ο τύπος, αλλά ο τύπος έχει να κάνει μέσα με ρυζικά. Βλέπουμε τρίτου βαθμού, ρυζικά δευτέρου βαθμού και με τους συντελεστές. Στους οποίους μπορεί να υψώσει κάποιες δυνάμεις και προσθέτει κάποια άλλα πράγματα. Συν τη δεύτερα βλέπουμε στο ένα ρυζικό, μίον τη δεύτερα στο άλλο. Αν πάρει λοιπόν αυτό εδώ το χ και το αντικαταστήσει επάνω στην εξίσουσι, στο τέλος θα βγάλει ότι όντως χ στην τριτή παίρνει αυτό, το υψώνει στην τρίτη. Προσθέτει σύ επί χ, θα βγάλει στο τέλος ότι είναι ίσου με τον τί. Ακριβώς ίσου με τον τί. Έτσι, δεν προσπαθεί να τα υπολογήσει σαν προσέγγιση δεκαδικά ή οτιδήποτε. Αν το πάρει αυτό, θα βγάλει την ακριβή λύση. Θα ήθελα να συζητήσω για το πως βγήκε αυτή η λύση, αλλά δεν είναι αυτό το οποίο σήμερα θέλω να καταλήξω στο σημερινό μάθημα. Θέλω να δείξω τι μας δίνει αυτός ο τύπος. Στην περίπτωση που πάρω την εξίσουσι, χ τρίτη συνέξει χ ίσο μήλικος. Ο τύπος είναι γραμμένος δίπλα για να τον παρακολουθήσει κανείς. Τα υπολογίζει αυτά, βγάζει το δι δεύτερα, το δέκα λοιπόν στο τετράγωνο, τα προσέφτει όλα αυτά και βγαίνει αυτό το πράγμα για το χ. Κι από κάτω έχω βάλει μια άσχεση γιατί αν έχετε χρόνο θα ήθελα λίγο να το σκεφτείτε. Έτσι και αν θέλετε να το προσπαθήσουμε ακόμα και τώρα, λέω το δύο είναι ίσο μ' αυτό. Το δύο είναι αυτό το πράγμα. Πώς προκύπτει αυτό και γιατί είναι αυτό αλήθεια καταρχήν. Για να βεβαιωθούμε ότι αυτό που γράφω και σας ζητάω να αποδείξετε ως άσπηση ότι αυτό ισχύει. Λέω ότι το χ' είναι 6x και 6x% με 20. Εντάξει. Εμείς ξέρουμε από σήμερα. Θεμελιώντος θεώρημα της Άλληβρας, στους Μηγαδικούς, ξέρουμε ότι έχουμε τρεις ακριβώς λύσεις. Εντάξει, το ξέρουμε, έχουμε τρεις λύσεις. Τώρα θα δεχτούμε και αυτό που λέει ο Καρντάνας, ο τύπος, ότι αυτό που δίνει σε αυτόν εδώ το τύπο είναι μία από τις τρεις λύσεις. Τους βλέπουμε, βλέπουμε τον τύπο και επίσης αναγνωρίζουμε, γιατί έχουμε τα εργαλεία, ότι αυτό που δίνει από αυτόν τον τύπο είναι σίγουρα ένας πραγματικός αριθμός. Εμείς ξέρουμε ότι έχει τρεις λύσεις και αυτός ο τύπος είναι σίγουρα ένας πραγματικός αριθμός. Από τον τύπο προκύπτει μία ρίζα, έτσι μία ρίζα μας έδωσε ο καντάνο με τον τύπο και αυτή η ρίζα είναι σίγουρα πραγματικός αριθμός. Εντάξει, το βάζουμε στην άκρη. Μετά λέω ότι το 2, έτσι το λέω νωερά γιατί δεν είναι γραμμένο, το 2 είναι επίσης ρίζα του χ3 συνεξιχείσον με 20. 2 στην τρίτη είναι 8, 8 και 12, 6 επί 2 είναι 20, έτσι το 2 λοιπόν είναι σίγουρα ρίζα του χ3 συνεξιχείσον με 20. Και μετά λέω και αυτό είναι που σε ζητάω σαν άσκηση, είναι ότι το 2 είναι τρίτη ρίζα 100 της ρίζας του 108 στις 10 μίον τρίτη ρίζα του 108 μίον 10, έτσι. Καταρχήν, εγώ θα σας, θα πω ότι αν δεχτώ ότι αυτό είναι ρίζα, θέλω να σας πείσω, μιας και ξέρω ότι και το 2 είναι ρίζα, θέλω να πείσω ότι ισχύει ισότητα. Αλλά εκείνο το οποίο ενοχλεί και θα ήθελα να προσπαθήσετε, να προσπαθήσετε γιατί με αυτόν τον τρόπο θα εκτιμήσετε και πως το δείξανε. Έτσι, να προσπαθήσετε με τα εργαλεία που έχετε ή με αυτά που βιορίζετε, να αποδείξετε ότι το 2 είναι ίσο με αυτό. Για να, καταρχήν, για να το απλοποιήσω παρόλο που δεν θα μου χρειαστεί καθόλου η απλοποίηση γι' αυτό που θα πω μετά, το 108 μπορώ να βγάλω τίποτα, είναι, έχει, ναι. Το 10 μπορώ να το βάλω, είναι σαν 100 ρίζα, μπορώ να το βάλω μικρό. Θα μπορούσαμε να το βάλουμε αυτό, εντάξει, θα μπορούσαμε και να το απλοποιήσουμε. Ας μην πάμε σε αυτό εδώ το δρόμο, να αφήσω να πω κάτι, έτσι, θα μπορούσα να τα πάρω αυτά, να τα πάρω στην τρίτη, να προσπαθήσω να διώξω τις ρίζες, έτσι. Δοκιμάστε να δείτε πόσο θα πάτε μακριά, δοκιμάστε πάτε δύο στην τρίτη, αυτό εδώ στην τρίτη αν θέλετε φέτε το ένα από τη μια μεριά υψώστο στην τρίτη, δοκιμάστε να δείτε μέχρι πού θα πάει, δεν νομίζω ότι θα πάει πολύ μακριά, έτσι. Να σας πείσω όμως, χωρίς να το κάνω αυτό το κομμάτι, θα το δούμε αναλυτικά, μην, θα το δούμε, θα δούμε από που προκύπτει, θα το δούμε αλληλεπτικά από που προκύπτει, ότι είναι ίσα, δεν θα το δούμε σήμερα, θέλω να το προσπαθήσετε να προσπαθήσει ο καθένας από μόνος, τα ατομικά, έτσι. Αλλά εκτός από αυτή την προσπάθεια, θέλω να σας πείσω γιατί το δύο είναι ίσα με αυτό και γιατί δεν είναι μία από τις άλλες ρίζες, έτσι. Λέω ότι οι άλλες ρίζες του χ τρίτης συνέξει χ ίσον με 20, οι άλλες δύο ρίζες δεν είναι πραγματική αριθμή, εντάξει. Οι άλλες δύο ρίζες δεν είναι πραγματική αριθμή, γιατί, εντάξει, μπορείτε να δείτε το πώς πηγαίνει το χ τρίτης και να δείτε ότι θα διασχίσει, θα διασχίσει τον άξονα τον χ ακριβώς μία φορά, έτσι, ή μπορείτε να σκεφτείτε το χ τρίτης από τη μία μεριά. Θέλουμε να δούμε πότε το χ τρίτης είναι ίσο με το 20 μίον 6χ, εντάξει. Και θα δείτε ότι αυτά εδώ μπορεί να τένονται, εδώ έχετε μία ευθεία, έχετε μία ευθεία, εδώ έχετε μία καμπύλη τρίτου βαθμού, έτσι, καμπύλη τρίτου βαθμού, μία ευθεία. Θέλουμε, λέμε, το χ τρίτης είναι ίσο με αυτό εδώ, θέλουμε λοιπόν σημεία το μισ. Εντάξει, μπορεί να υπάρχει μόνο ένα σημείο. Και αφού το δύο είναι ρίζα, πρέπει να είναι το μοναδικό. Ένας άλλος τρόπος για να το κάνετε είναι να πάρετε την παραγωλή χ τρίτης, να πάρετε την καμπύλη χ τρίτης είναι 6χ-20. Αν δεν σας ικανοποιεί αυτό, ότι θέλω σημεία το μισ μιας ευθείας και κάτι τρίτου βαθμού, πάει μόνο ένα τέτοιο σημείο το μισ, αν δεν σας ικανοποιεί αυτό, πάρτε αυτήν εδώ την καμπύλη, έτσι, προσπαθήστε να κάνετε το γράφημα, να δείτε ότι θα αυξάνεται και ότι μπορεί να τένει τον άξονα, τον χ μόνο μία φορά, έτσι, εναλλακτικά λοιπόν μπορείτε να το δείξετε και έτσι. Και εφόσον λοιπόν έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα και το δύο είναι ρίζα και το άλλο είναι επίσης πραγματικό για λόγους απλά ότι πρέπει να είναι μία πραγματική ρίζα, αυτό εδώ είναι ίσον αυτό εδώ. Αυτό λοιπόν το οποίο ρωτάω και ξαναλέω, προσπαθήστε να το κάνετε, είναι αλγευρικά, έτσι γιατί αυτό έχει να κάνει με το γράφημα της εξίσουσης, με γεωμετρία έχει να κάνει ή με το γράφημα της εξίσουσης, να πούμε λογισμό, προσπαθήστε να δείξετε αλγευρικά ότι αυτή εδώ η έκφραση ισούται με το δύο. Η έκφραση αυτή εδώ είναι ίσμα το δύο, έτσι είναι ενδιαφέρον αυτό. Όπως επίσης, για να δούμε και το επόμενο. Αν κανείς, έτσι, αν κανείς πάρει αυτήν εδώ την εξίσουση, το χ τρίτης ίσον με δεκαπέντε χ συν τέσσερα, έτσι και εφαρμόσει τον τύπο του καρδάνο, βγάζει αυτό εδώ το πράγμα. Έχουμε εδώ κάτι πολύ πιο ενδιαφέρον, έτσι, για να γράψω την λύση που παίρνει κανείς, αυτήν εδώ την περίπτωση. Έτσι, βγάζει λοιπόν τρίτη ρίζα του δύο συν έντεκα, έτσι σήμερα, γιατί τότε ρίζα αρνητικού αριθμού, ρίζα αρνητικού αριθμού σοφιστία, έτσι. Και αυτό είναι ο τίτλος σοφιστίας, αλλά σήμερα εμείς δεν θα έχουμε πρόβλημα να το γράψουμε έντεκα I. Αν εφαρμόζε κανείς τον τύπο του καρδάνο, θα έβγαζε το μίον 21 και ρίζα του μίον 21, σκάνδαλο και αυτό, δύο μίον 11 API. Εκείνο λοιπόν το οποίο ισχυρίζουμε τώρα, ότι αν πάρω την τρίτη ρίζα αυτού μου εδώ, έτσι, αν κάνω αυτήν εδώ, αυτές εδώ, ό,τι μου λέει αυτό εδώ το πράγμα, θα βγάλω ότι αυτός εδώ αριθμός είναι 4. Εντάξει, προηγουμένως εξήγησα ότι έχω μόνο μία πραγματική ρίζα, ο τύπος του καρδάνου μόνο μου δίνει πραγματικό αριθμό, άρα το δύο θα ήταν εκεί. Εδώ πέρα τα πράγματα γίνονται πιο πολύ πλοκα, έτσι, γιατί δεν είναι ξεκάθερο από αυτό που έγραψα, γιατί να είναι αυτό πραγματικό μου, έτσι. Ο καρδάνου ήξερε ότι το 4 είναι ρίζα και όλοι υποθέσανε ότι αυτούς εδώ ο τύπος σου δίνει το 4. Αλλά πώς γίνεται αυτό, πώς γίνεται να έχεις αυτόν εδώ τον φανταστικό αριθμό με το I, να τα κάνεις αυτά και να δείχνεις ότι αυτό εδώ είναι το 4. Αυτή λοιπόν ήταν η μέθοδος της Αυφυστίας, ποιο είναι το συμπέρασμα από αυτά. Καταρχήν, τι κύρια, έτσι. Από τους Άραβες έχουμε φύγει από το κόβλαξι να χρησιμοποιούμε τι έχουμε μέσα στα ρυζικά, τα χρησιμοποιούμε. Μα αυτό εδώ γεννιούνται οι φανταστικοί, οι μηγαδικοί αριθμοί, έτσι. Φαίνονται ότι οι αριθμοί αυτοί όταν έχουν μέσα στα ρυζικά ακόμη και ανητικές ποσότητες, ότι βγαίνει κάτι το οποίο είναι χρήσιμο, έτσι. Ξεκινάμε λοιπόν να τα χρησιμοποιούμε. Και ακριβώς και η προηγούμενη διαφάνεια, ότι χρησιμοποιώντας γινόμαστε πιο, έχουμε, αποκτάμε ευφέροια, σαν να χρησιμοποιούμε τα ρυζικά. Αυτό λοιπόν εδώ θα συνεχίσουμε περίπου σε αυτό εδώ το σημείο, να εξηγήσουμε πώς βγήκε ο τύπος για την 3ο βάθμια και την 4ο βάθμια, όταν γυρίσουμε μετά το Πάσχα και αύριο θα κάνουμε τις, να κοιτάξουμε ασχήσεις, ερωτήσεις, ότι έχετε προσπαθείς να τα φέρετε, να τα συζητήσουμε. |
