| Διάλεξη 13: Από τι βλέπω, προτιμάτε τις ορεινές θέσεις, όπως το παλιό το Γαλλικό Κοινοβούλιο, δικαίωμά σας. Την τελευταία φορά είχαμε μιλήσει για μία τυπική γλώσσα που αποτελεί από κάποια σύμβολα, εκείνα το M, το I και το U. Είχαμε μιλήσει για κάποιες ασκήσεις. Υπάρχει κανένας που μπήκε στον κόπο να δει εκείνη τις ασκήσεις αλλήνονται. Ποια είναι η απάντηση? Και βρήκατε ότι έχεις δίκιο. Το ένα λύνει το όντως, με τέσσερα-πέντε βήματα έζησες. Το άλλο όσο και να το παλέψεις, όσο και να το πολεμήσεις δεν βγαίνει. Που σημαίνει η άλλη πρόταση, το M-U, δεν συνιστά θεώρημα στα πλαίσια της γλώσσας. Δηλαδή δεν μπορεί κανένας να το αποδείξει αρχινώντας από την αρχική πρόταση. Άρα κάνετε καλά την δουλειά σας. Αν κάποιος από τους συναδέλφους σου θέλει κάτι να μάθει μπορείς να το μεταφέρεις στον τρόπο πως έγινε η αποδείξη και μάλλον πως δεν υπάρχει αποδείξη για την άλλη πρόταση. Σήμερα θα περάσουμε και θα μιλήσουμε για το θεωρήμα του Γκέντελ. Εκ των προτέρων σας λέω ότι είναι το πιο δύσκολο κομμάτι στο μάθημα και στις παραδόσεις. Σας ξαναθυμίζω ότι προέχομαι από τη Φυσική, άρα δεν είμαι οικείως με τα μαθηματικά και με τη λογική των μαθηματικών. Παρ' όλα αυτά θα προσπαθήσουμε να το περιγράψουμε, τουλάχιστον να έχουμε μια διέστηση το τι παίχτηκε και ποια είναι η ουσία του θεωρήματος του Γκέντελ. Απλώς για να θυμηθούμε το όλο περιβάλλον, δηλαδή στις αρχές του 20ου αιώνα υπήρχε μια βαθιά πίστη ή έστω μια κάποια προσπάθεια στα πλαίσια της μαθηματικής επιστήμης να διασφαλίσουν την εγκυρότητα του μαθηματικού λόγου ότι ο μαθηματικός λόγος μπορεί να διαφεύγει από αντινομίες και αντιφάσεις που συναντάμε στην καθημερινή μας τη γλώσσα και εκτός από τον Χίλμπερτ που σας ανέφερα για την προσπάθειά του να αποκαθάρει τα μαθηματικά υπήρχε μια πραγματεία των Χουάιτχετ και Ράσελ πρισίπια μαθημάτικα όπου πάλι συναντάμε την ίδια προσπάθεια της θεμελίωσης της μαθηματικής γνώσης. Απλώς για να σας μεταφέρω το ιστορικό γεγονός πως ο Χουάιτχετ μάλλον και το μετάνιωσε και κάπου στη δεκαετία του 20 και αργότερα εγκατέλειψε και ο ίδιος αυτή την προσπάθεια της αξιωματικής διαμόρφωσης των μαθηματικών. Το πλήρες κτύπημα όμως ήρθε το 1931 από ένα νεαρό μαθηματικό τον Κουρν Γέντελ ο οποίος γεννήθηκε στο Μπρνό που τώρα νίκησε στην Τζεχία, τότε ήταν κομμάτι της Αυστρίας και εκείνο που έδειξε ήταν ακόμα και στα πλαίσια της μαθηματικής σκέψης υπάρχουν μη αποκρίσιμες προτάσεις. Τώρα θα δούμε σε λίγο το τι μπορεί για να σημαίνει μη αποκρίσιμες προτάσεις, αλλά στην ουσία εκείνο που έδειξε ήταν οι ελπίδες που είχαν συντηρηθεί λοιπόν στην αξιωματική θεμελίωση ότι δεν είναι βάσιμες και συνεχώς υπάρχουν όρια τα οποία προέρχονται όχι απ' έξω αλλά από τη λογική την ίδια. Δεν είναι μια κάποια κριτική ενός φιλοσόφου προς τους μαθηματικούς ή προς τη μαθηματική σκέψη αλλά είναι κάτι που βγαίνει μέσα από την ίδια την λογική. Μπορούμε λοιπόν να αρχίσουμε από την εξής παρατήρηση ότι στα πλαίσια λοιπόν μιας τυπικής λογικής ή μιας τυπικής μαθηματικής θεωρίας ότι έχουμε στη διάθεσή μας σύμβολα. Σύμβολα όπως έχουμε σε μια γλώσσα. Μιλάμε εδώ τα ελληνικά όλοι και ξέρουμε πως η γλώσσα μας που μας εκφράζει και τη μιλάμε αποτελείται από κάποια γράμματα α, β, γ και τα λοιπά και συνεχώς δεν υπάρχει περίπτωση να βρούμε κείμενο της γλώσσας μας που να μην περιέχει αυτά τα 24 γράμματα. Καταπαραπλίζει ο τρόπος λοιπόν μπορούμε να φανταστούμε ότι μια μαθηματική θεωρία έχει τα δικά της τα σύμβολα, το ίσον, το Συν, το Μιον, το εάν τότε, δηλαδή αν είσαι αυτό τότε. Τους βασικούς αριθμούς, το μηδέντα, ένα, δύο, τρία και τα λοιπά. Και αυτό που έκανε ο Γκέντελ είναι λοιπόν να θεωρήσει τα σύμβολα που υπάρχουν στην τυπική, την μαθηματική γλώσσα και να αντιστοιχήσει σε κάθε σύμβολο ένα αριθμό. Άρα λοιπόν αντί να κάνω και το παράδειγμα του βιβλίου που είναι κάπως μπλεγμένο, να θεωρήσουμε κάτι ακόμα πιο απλό, ότι έχουμε λοιπόν το μαθηματικό σύμβολο ίσον. Και λέμε αυτό το ίσον με τρόπο δικό μας, αυθαίρετο, εντάξει. Λέμε ότι στο ίσον αυτό αντιστοιχώ τον αριθμό ένα. Στη συνέχεια έχω το σύμβολο τον αριθμό μηδέν. Εδώ πηγαίνω και κολλάω τον αριθμό δύο. Τον αριθμό των ένα, πηγαίνω αντιστοιχώ στο σύμβολο το ένα, τον αριθμό τρία. Την διάζυξη που σημαίνει ί, ή α ή ίβ. Στην διάζυξη λοιπόν το ί πάω και κολλάω τον αριθμό και το τέσσερα. Ότι υπάρχει κάτι. Υπάρχει Ι και τα λοιπά. Αυτό το υπάρχει. Ας πούμε ότι πάμε και βάζουμε τον αριθμό το πέντε. Και υπάρχουν μια σειρά από μεταβητές, Ι, Ψ, Ζ κτλ. Όπου μπορώ να φανταστώ ότι βάζω τον αριθμό έξι, επτά, επτά κτλ. Άρα έχω λοιπόν ένα σύνολο από σύμβολα. Έχω κάθε ένα σύμβολο αντιστοιχό έναν αριθμό. Στη συνέχεια αν κάποιος μου δώσει την μαθηματική πρόταση. Το ξαναλέω, η μαθηματική πρόταση είναι μια παράταξη συμβόλων. Είναι λοιπόν σύμβολα στη σειρά όπου έχω το πρώτο σύμβολο, το δεύτερο σύμβολο, το τρίτο σύμβολο κτλ. Ας πάρουμε λοιπόν αυτή τη μαθηματική πρόταση την απλή. Ότι το 1 είναι ίσον με 1. Αυτό που πέτυχε ο Γκέντελ είναι το εξής. Σε αυτή τη μαθηματική την πρόταση μπόρεσε να αντιστοιχίσει τον αριθμό Γκέντελ. Που σημαίνει η πρόταση η ίδια έχει τον δικό της αριθμό. Πώς το πέτυχε αυτό? Πήρε τους πρώτους αριθμούς. Δεν ξέρω αν τα παιδιά της Φιλοσοφικής θυμούνται από την ύλη του Γυμνασίου. Τι είναι πρώτος αριθμός? Πρώτος αριθμός τι είναι παιδιά, ναι? Είναι οι αριθμοί που διαιρούνται μόνο από το 1 και από τον εαυτό τους. Άρα αν πάμε λοιπόν στους φυσικούς αριθμούς, οι πρώτοι αριθμοί είναι το 2, είναι το 3, το 4 προφανώς δεν είναι γιατί μπορούμε να το διαιρέσουμε με ένα 2. Πάμε μετά στο 5, το 6 δεν είναι πρώτος, θα πάμε στο 7, το 8 δεν είναι πρώτος, είναι κάτι που διαιρείται προφανώς, το 4, το 2, το 9 δεν είναι πρώτος γιατί μπορούμε να το διαιρέσουμε με το 3, το 10 δεν είναι πρώτος, θα το διαιρέσουμε με το 5 και με το 2, μετά πάμε στο 11 που είναι πρώτος, μετά θα πάμε στο 13 κτλ κτλ. Μετά εκείνο που κάνουμε είναι να γράψουμε ένα γινόμενο όπου θα έχουμε τους πρώτους αριθμούς με τη σειρά που τους έχω γράψει. Δηλαδή θα είναι ένα γινόμενο από διάρκεια, από τριάρκεια, από πεντάρκεια κτλ. Εάν έχω τρία σύμβολα θα έχω μονάχα το 2, 3, 5. Εάν έχω στην εξήγησή μου, στην μαθηματική μου πρόταση, ας πούμε πως έχω πέντε σύμβολα θα πάρω το 2, το 3, το 5 και το 7. Στην δικιά μας περίπτωση έχουμε ένα, δύο, τρία σύμβολα. Στον πρώτο αριθμό, το 2 που είναι ο πρώτος αριθμός, στον εκθέτη θα πάω να βάλω το αριθμό κέντλ του σύμβολου 1. Ποιο είναι το 3. Άρα λοιπόν θα βάλω 2 στην τρίτη. Το δεύτερο σύμβολο, εντάξει, έχει για αριθμό κέντλ που είναι το ίσον το 1. Άρα λοιπόν θα πάρω το αριθμό το 3 και τον υψώνω στην δύναμη 1. Σωστά. Πηγαίνω μετά στο τρίτο σύμβολο που είναι το 1 και συνεπώς θα πάρω το 5 στην τρίτη δύναμη. Αυτός είναι ο αριθμός κέντλ που αντιστοιχεί στην πρόταση αυτή εδώ. Μπορώ να κάνω τις πράξεις. Θα με βοηθήσετε τώρα κι εσείς λίγο. Συνεπώς στην τρίτη είναι το 8, επί 3, το 5 στην τρίτη είναι 125 και συνεπώς είναι 3,8,24 επί 125. Ποιος θα μπει στο κινητό όταν κάνει τις πράξεις ή αν έχει κάτι μαζί του. 24 επί 125. 3.000. Ακριβώς 3.000. Είστε τρομεροί. 3.000 λοιπόν είναι ο αριθμός κέντλ της πρότασης αυτής. Πρόκειται για κάτι παραπάνω από την ταυτότητα που έχουμε εμείς, εντάξει, που είναι ένα κάποιο νούμερο που πάνε και μας κολλάνε. 3.000 είναι ο αριθμός κέντλ της πρότασης. Που σημαίνει στην πράξη τι. Ότι αν κάποιος μας δώσει τους κοντικούς αυτούς, δηλαδή μας πει ότι στη δικιά μου τη γλώσσα, στη δικιά μου τη θεωρία, πως έχω τα σύμβολα αυτά εδώ και στο κάθε ένα σύμβολο πήγα και κόλλησα τους αριθμούς κέντλ για τα σύμβολα αυτά εδώ και μου πει ότι έχω μια μαθηματική πρόταση που είναι το 3.000. Εγώ μπορώ να πάρω το 3.000, να το αναλύσω σαν γινόμενο από πρώτους αριθμούς και να βρω ποια είναι η πρόταση αυτή. Εκείνο που θα κάνω είναι να διαιρέσω πρώτα το 3.000 δια 2. Την πρώτη φορά θα πάω να μου δώσει το 1.500, ξαναδιαιρώ δια 2, θα πάρω… 750, έλα σωστά, θα πάρω το 750, διαιρώ ξανά δια 2. Πόσο? Συμφωνείτε μεταξύ σας πόσο βγήκε? 3.075. Το κοιτάω και το νούμερο αυτό, βλέπω ότι δεν γίνεται άλλη διαιρέση με διάρυ και συμπερένω ότι μέσα στον αριθμό κέντλ υπάρχουν 3 διάρυα. Λοιπόν, καταλαβαίνω ότι το πρώτο σύμβολο που υπάρχει στην πρόταση μου, αφού βρήκα ότι έχω 3 διάρυα, δεν είναι τίποτα άλλο παρά το 1. Αφού τέλησα τώρα με τα διάρυα, πηγαίνω να βρω πόσα τριάρυα πάνε και κρύβονται εδώ μέσα. Διαιρώ δια 3, το 3.075 το μου δώσει, στα 300 είναι το 100, στο 75 είναι… πόσο? 125. Άρα λοιπόν, όταν διαιρέσω το 3.075 διάτρυα, θα πάρω 125. Συμφωνούμε όλοι? Ναι, σωστά. Πάω να διαιρέσω ξανά το 125 διάτρυα και δεν μου βγαίνει. Ορίστε. Κόμμα. Το κόμμα δεν επιτρέπεται. 125 λοιπόν, διάτρυα. Φυσάχνουμε να βρούμε μια διαιρέση με ακέρω υπόλοιπο, δεν ψάχνουμε για τους εικαδικούς αριθμούς. Λέμε αν το 125 διαιρείται, διάτρυα. Δεν διαιρείται. Διαιρείται. Ορίστε. Δεν διαιρείται. Άρα λοιπόν, κοιτάμε πόσα τριάρια έχουμε. Ένα. Δηλαδή, ένα τριάρι κρύβεται εδώ μέσα. Και συνεπώς το δεύτερο σύμβολο, εντάξει, είναι ο Άσος. Βρήκα ένα τριάρι και συνεπώς το σύμβολο αντιστοιχεί στο ένα που είναι το ίσον. Άρα πάω και γράφω ίσον και πάω για να βρω το τρίτο σύμβολο και πρέπει τώρα να διαιρέσω με τα πεντάρια. 125 δια 5. Πόσο? 125 δια 5. Πώς είπατε? 25. Συνεχίζω να διαιρώ δια 5. Ελέγχω και την προπεδιά σας. Πάω στο 5. Ξαναδιαιρώ ξανά με ένα 5. Πηγαίνω στο 1. Εντάξει. Και παρατηρώ ότι έκανα 3 διαιρέσεις, άρα το τρίτο σύμβολο αντιστοιχεί στο 3 που είναι το 1. Άρα λοιπόν η πρόταση είναι στο 1 και δεν συνεχίσω πιο πέρα γιατί έχω φτάσει στο 1 και έχω τελειώσει. Προφανώς δεν σημαίνει ότι ένας αριθμός τυχαίως είναι αριθμός Γκέντελ. Αριθμός Γκέντελ είναι εφόσον μπορεί να γραφτεί σε μια τέτοια μορφή. Εντάξει. Ότι είναι γινόμενο από πρώτους αριθμούς. Συμφωνεί. Άρα λοιπόν κάνοντας αυτήν την διαιρέση και βρίσκοντας πόσα διάρια μέσα υπάρχουν. Πάω και βρίσκω και το πρώτο σύμβολο. Πόσα τριάρια υπάρχουν. Βρίσκω το δεύτερο σύμβολο. Πόσα πεντάρια υπάρχουν. Πάω και βρίσκω το τρίτο σύμβολο. Πόσα εφτάρια υπάρχουν. Πάω και βρίσκω το τέτατο σύμβολο. Πόσα έντεκα υπάρχουν. Θα βρω το πέμπτο σύμβολο κτλ κτλ. Άρα έχουμε πετύχει κάτι εξαιρετικά σημαντικό. Αυτό που έχουμε πετύχει είναι η αριθμητικοποίηση μιας τυπικής γλώσσας. Εντάξει. Άρα, αντί να γράφουμε τις μαθηματικές μας προτάσεις, μπορούμε να γράφουμε τους αριθμούς κέντερ που αντιστοιχούν στη μαθηματική την πρόταση. Στεθερά σύμβολα μπορούμε να βάλουμε ένα τυπικό κτλ κτλ. Ναι, μπορεί κάποιος αν θέλει και έχει κέφια μπορεί για να συνεχίσει να βάλει 0,1,2,3,4,5. Μια κάποια στιγμή ήρθε ένα σκόπο για να σταματήσει. Δηλαδή, αν βάλει τους 10 αριθμούς, μετά μπορεί να βρει ένα τρόπο με μαθηματικές πράξεις για να ορίζει και τους επόμενους. Δηλαδή το 32 να το ορίσει μέσα από μαθηματική πράξη. Θα έχει βάλει μέσα και το σύμβολο επί. Εντάξει, το σύμβολο επί, το σύμβολο δια. Άρα μπορεί να παίξει με τους αριθμούς που έχει στη διαθεσία του και να πει το 32 είναι τρεις φορές το 10, το 3 το έχει, το 10 το έχει, το επί το έχει, το έχει το συν, συν 2. Και ορίζει έτσι τον αριθμό αυτόν εδώ. Απλώς σας έβαλα ένα παιχνίδι που μοιάζει λίγο με τη δουλειά του Γκέντελ. Όπως εσείς για να μιλήσετε στη γλώσσα σας δεν κάνετε χρήση παραπάνω από οι 24 γράμματα. Ένας Κινέζος θα ερχόταν και θα σας έλεγε 24 μόνο. Εμείς έχουμε 3.000, ηρεμήστε. Εμείς δεν έχουμε ανάγκη από 3.000 σύμβολα γιατί έχουμε φτάσει στο σημείο αντί να περιγράφουμε και τα πράγματα με εικόνες να τα περιγράφουμε με τα φωνήντα και με τα συμφόνα. Και με βάση αυτά τα 24 γράμματα πάμε και φτιάχνουμε λέξεις, με βάση μετά τους κανόνες της γραμματικής και του συντακτικού πάμε και φτιάχνουμε προτάσεις. Ανεξάρτητα άμα τα πιτσίριακια δεν κάνουν πολύ καλή χρήση των κανόνων συντακτικής και γραμματικής, αλλά υπάρχουν κανόνες για να συντάξουμε τις προτάσεις με βάση κάποια σύμβολα. Το ίδιο συμβαίνει και στην τυπική γλώσσα, έχει τα δικά της σύμβολα. Έχει τους συνδέσμους, έχει την διάζεξη, έχει την ένωση, έχει το υπάρχει, έχει τις παρενθέσεις που θα βάλουμε να ξεχωρίσουμε μια πρόταση από μια άλλη πρόταση. Άρα λοιπόν μπορούμε να φανταστούμε, έχουμε μια τυπική γλώσσα με 30 σύμβολα ίσως και με βάση αυτά τα 30 σύμβολα μπορούμε να φτιάξουμε τις μαθηματικές προτάσεις. Άλλο, αν κάτι είναι flu είναι καλύτερα να με σταματήστε και να το κουβεριάσουμε. Ποιο είναι τώρα το πάρα πολύ σημαντικό που προφανώς θα φέρει σε λησφορία το φίλο μας τον Χίλμπερτ. Αν έχουμε μια μεταμαθηματική πρόταση που είναι ένα σχόλιο πάνω στις μαθηματικές προτάσεις. Εμείς όμως τις μαθηματικές προτάσεις τις αντιστοιχίσαμε σε αριθμούς και συνεπώς το μεταμαθηματικό σχόλιο θα είναι μια σχέση ανάμεσα στους αριθμούς. Και συνεπώς σε μια σχέση ανάμεσα στους αριθμούς μπορούμε για να την εντάξουμε στη μαθηματική μας γλώσσα. Άρα εκείνη η απέτηση να ξεχωρίσω τα μεταμαθηματικά από τα μαθηματικά καταραίει. Εντάξει, γιατί παίζω και με τους αριθμούς και ένα κάποιο σχόλιο πάνω στις μαθηματικές προτάσεις. Θα είναι πάλι μια κάποια σχέση ανάμεσα στους αριθμούς που μπορεί να πάρει λοιπόν αυτή τη μαθηματική δομή. Άρα μια κάποια στιγμή δεν μπορούμε για να ξεχωρίσουμε τι. Μια πρόταση της θεωρίας των αριθμών από μια πρόταση που αναφέρεται στην πρόταση της μαθηματικής θεωρίας. Από ένα σχόλιο δηλαδή που γίνεται πάνω στην πρόταση την ίδια. Ας θεωρήσουμε τώρα το εξής, ότι είμαστε λοιπόν στα πλαίσια της μαθηματικής θεωρίας και αυτό που ψάχνουμε είναι για να αποδείξουμε μια μαθηματική πρόταση που ο αριθμός κέντρα της πρότασης είναι ζ. Ζ μπορεί να είναι αυτό το 3.000, μπορεί να είναι το 125.266. Άρα λοιπόν έχουμε αυτή τη μαθηματική πρόταση ζ που έχει το δικό της τον αριθμό κέντρα. Και θέλουμε να δούμε αν αυτή την πρόταση μπορούμε και να την αποδείξουμε στα πλαίσια λοιπόν της μαθηματικής μας της θεωρίας. Τι σημαίνει αποδείξη είναι εκείνο και το παράδειγμα που κάνατε με την τυπική τη γλώσσα με τα M, τα A και τα U, ότι θα αρχίσω από το αξίωμα και κάνοντας χρήση των κανόνων θα παράγω μια σειρά από προτάσεις, από τη μια πρόταση θα πηγαίνω στην άλλη πρόταση με βάση στους κανόνες που είναι σωστή και τους αποδεχόμαστε, μέχρι που στο τέλος θα φτάσω στην πρόταση ζ. Άρα λοιπόν υπάρχει μια ακολουθία από προτάσεις και όπως στην κάθε μια πρόταση πήγα και κόλλησα τον αριθμό Γκέντελ, στο σύνολο τώρα και των προτάσεων μπορώ εγώ να πάω να ακολουθήσω τον αριθμό Γκέντελ για το σύνολο λοιπόν των προτάσεων αυτόν και συνεπώς να φτάσω στη μεταμαθηματική πρόταση ότι μια ακολουθία από τύπους, μαθηματικούς τύπους, μια ακολουθία τύπων με αριθμό Γκέντελ x είναι απόδειξη λοιπόν για το τύπο με αριθμό Γκέντελ ζ. Αν θέλετε λίγο για να το δείτε με ένα άλλο τρόπο, όλοι έχετε γράψει προγράμματα στους υπολογιστές, παλιά τα γράφουμε συνήθως σε ένα πρόγραμμα φόρτρα, παλιά πηγαίναμε και τα γράφαμε και σε κάρτες και όλες πριν από δεκαετίες δεν τα έχετε συναντήσει εσείς, αλλά σε ένα πρόγραμμα φόρτρα τι έχουμε, αρχίζουμε από μια πρόταση, πάμε σε μια άλλη πρόταση, είναι μια άλλη εντολή, από την εντολή αυτή πάμε σε μια άλλη εντολή και στο τέλος φτάνουμε στην τελική μας πρόταση και σταματάει εκεί και το πρόγραμμα, εντάξει. Μπορούμε να φανταστούμε αυτό το πρόγραμμα που γράψαμε σαν μια λογική πρόταση, όπου αρχίζω από πάνω με μια πρόταση και μετά λέω κάνε αυτό, κάνε το άλλο, κάνε το άλλο και φτάνουμε στην τελική μας και την πρόταση ζ και κλείνει και το πρόγραμμα. Κάτι παραπλήτως συμβαίνει και σε μια απόδειξη που γίνεται στα πλαίσια των μαθηματικών, αρχίζω με ένα αξίωμα ή μια πρόταση που τη δέχομαι και με βάση τους κανόνες και του παιχνιδιού πάω σε μια άλλη, σε μια άλλη, σε μια άλλη και φτάνω λοιπόν στην τελική πρόταση ζ. Άρα αυτό που θέλω τώρα, για να σας πω, είναι αυτό όλο το πράγμα θεωρώ ότι είναι μια σχέση, την οποία γράφω χζ. Απόδειξη λοιπόν χζ σημαίνει ότι υπάρχει μια ακολουθία από προτάσεις που της λέω χ, που με οδηγούν στο τέλος την πρόταση ζ. Αν υπάρχει αυτή η σχέση, σημαίνει ότι ο ζ αποδεικνύεται στα πλαίσια της μαθηματικής μας θεωρίας. Αν δεν υπάρχει, πηγαίνω και βάζω μπροστά την άρνηση, δεν υπάρχει απόδειξη χζ, που σημαίνει δεν υπάρχει μια ακολουθία από προτάσεις για να ξεκινήσουμε από κάπου να φτάσουμε σε κάποια χ και στο τέλος να βγάλουμε και το ζ. Για παράδειγμα, η πρόταση μυ δεν αποδεικνύεται στα πλαίσια της γλώσσας που βάλαμε με το μ, το i και το u. Λοιπόν, τι σημαίνει αποδεικνύω μια πρόταση ζ? Σημαίνει ότι πρέπει να βρω έναν αριθμό Γκέντελ, σας θυμίζω ότι το χ αυτό είναι αριθμός Γκέντελ, που αντιστοιχεί σε μια ακολουθία από προτάσεις και ο αριθμός Γκέντελ χ μαζί με τον αριθμό Γκέντελ ζ, που μας πάει στο τελικό θεώρημα, συνδέονται μεταξύ τους μέσα από τη σχέση απόδειξη. Αν είναι αφηρημένο, είναι. Είναι η μαθηματική διατύπωση ότι το ζ αποδεικνύεται, ότι υπάρχουν σχέσεις, εκείνο και το χ δηλαδή μπορώ και γράφω από την κατοχή ποιο είναι και αν από τις προτάσεις που συνιστούν και το χ, που είναι ο αριθμός Γκέντελ για το σύνολο των προτάσεων φτάσα στο ζ, σημαίνει μπορώ να αποδείξω το ζ χάρης λοιπόν στο σύνολο αυτών των προτάσεων χ. Και φυσικά και να πούμε ότι δεν υπάρχει η ακολουθία χ ώστε χάρη στην ακολουθία χ να αποδείξουμε και το ζ. Σημαίνει ότι το ζ λοιπόν δεν αποδεικνύεται. Το επόμενο βήμα του Γκέντελ είναι το βήμα του Γκέντελ μοιάζει λίγο πολύ με τη δουλειά του Κάντορ. Στηρίζεται στο διαγώνιο λήμμα. Υπάρχει κανένας μαθηματικός για να μας θυμίσει τι είναι το διαγώνιο λήμμα. Διαγώνιο λήμμα. Λοιπόν, έχουμε μια πρόταση α. Βλέπω τα σύμβολα που είναι μέσα στην πρόταση α και υπολογίζω τον αριθμό Γκέντελ της πρότασης α. Και το αριθμό Γκέντελ της πρότασης α και το γράφω έτσι. Σημαίνει αυτό το πράγμα όλο είναι ένας αριθμός. Είναι ο αριθμός που αντιστοιχεί στην πρόταση α. Τώρα, γράφω μία μαθηματική πρόταση β, που είναι συνάδηση του χ. Το χ είναι ελεύθερη μεταβλητή. Μπορώ κάλληστα να φανταστώ πως υπάρχει ένας μαθηματικός τύπος, ο οποίος εκτός από τα σύμβολα που έχω γράψει εδώ, το 2, το 3 κτλ, έχει μια ελεύθερη μεταβλητή χ. Έχουμε λύσει όλοι οι ασκήσεις όπου υπάρχει ένα χ, εντάξει, το οποίο δεν έχει μια ορισμένη τιμή. Ελεύθερη μεταβλητή. Λοιπόν, το διαγώνιο λήμα, το λέω αργά αργά, το διαγώνιο λήμα μας λέει ότι αν κάποιος μας δώσει, αυτό είναι εδώ και το τύπο, το τύπο αυτό που έχει την ελεύθερη μεταβλητή χ, το διαγώνιο λήμα μας διασφαλίζει ότι υπάρχει ένας τύπος α, που είναι γνωστό σαν το σταθερό σημείο του βx. Άρα λοιπόν μπορώ να φανταστώ πως το χ αλλάζει τιμές. Και μας λέει λοιπόν και το εξής, ότι στα πλαίσια της θεωρίας που τη γράφω ταφ, υπάρχει ένας τύπος α, ο οποίος αποδεικνύεται ότι είναι θεώρημα. Γιατί? Γιατί, πώς αποδεικνύεται? Επειδή ο αριθμός Γκέντελ της πρώτης α ικανοποιεί τη σχέση αυτή εδώ. Όποιος το έχει καταλάβει για να σηκώστε χέρι. Μπράβο. Άλλος. Το ξαναλέω. Έχω το βx τύπος. Αυτό εδώ μπορεί για να πάρει διάφορες τιμές. Και καθώς αλλάζει το χ, το διαγώνιο λήμα μου λέει ότι υπάρχει περίπτωση στο χ μέσα να πέσω πάνω σε αριθμό Γκέντελ μιας πρότασης α και αν συμβεί αυτό το πράγμα τότε αυτό σημαίνει ότι η πρόταση α αποτελεί θεώρημα στα πλαίσια της θεωρίας και ότι η πρόταση α αποδεικνύεται στα πλαίσια της θεωρίας. Μοιάζει λίγο με την ιστορία του Κάντορ που είχε πάρει εκεί με το άπειρο είχε πάρει και τα διαγώνια στοιχεία. Δεν είναι ακριβώς το ίδιο αλλά έχει την ίδια ρίζα. Ας αφαίσουμε λίγο το πράγμα. Η διαγώνια λήμα μου λέει ότι υπάρχει περίπτωση στο χ μέσα να πέσω πάνω σε αριθμό Γκέντελ μιας πρότασης α και αν συμβεί αυτό το πράγμα τότε αυτό σημαίνει ότι η πρόταση α αποτελεί θεωρημα στα πλαίσια της θεωρίας και ότι η πρόταση α αποτελεί θεωρημα στα πλαίσια της θεωρίας. Αυτό που κάνει και εσείς είναι ότι εμείς θέλουμε μια αντικεική γλώσσα. Μια? Μια αντικεική γλώσσα οπότε έχουμε βάλει κάποια συμβόλια να τα αποβολήσει. Ύστερα αυτά τα συμβόλια θα τη συμβουλήσουν και η τοξί και τα λοιπά. Παίρνει με τα ορτές. Παίρνει με διάφορες στιγμές. Παίρνει με κάτω τίποτες σχέση με τη διαθέτη μας γλώσσα. Από εκεί πέρα μας λέει όταν σκεφτόμαστε ότι εμείς θέλουμε να αποκλείσουμε το οδοντασιακό πολιτισμό, δηλαδή ποιο κάποιον μέρος μας εκτράζει. Επομένως θέλουμε να διαλαστήσουμε αυτές τις μεταβολητές ή με κάποιους αντιπροσώπους. Ενώ λίγη του δεν θα κατάλαβε ότι γενική περίπτωση ένας αντιπρόσωπος μας λέει ότι παίρνουμε μια εγκεκή περίπτωση. Όταν αποδεικνύουμε ότι κάποιοι είναι μας εχθροί γέντερους, εξαιτικά αποδεικνύουμε ακριβώς ότι υστέχει τελεγικά αυτή η πρόταση. Αυτό δηλαδή ότι εμείς βρίσκουμε έναν αντιπρόσωπο ακριβώς σημαίνει ότι αποδεικνύεται. Αντίστοιχα, αυτό που λέει να παράγνει τα αποδείγματα σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε όλους σαν αντιπροσώπους. Εκεί πέρα είναι η διαφορά και της πληρότητας και της συνέντευσης. Εδώ πέρα λέμε ότι το άπα αποδεικνύεται, που λαβείνει, είναι στεφαίες από τότε. Που ψάχνουμε να βρούμε κάτι να την διαλαστήσουμε μέσα εδώ πέρα. Φυσικά όλο αυτό στρέπεται στον Διαμόνιο και στον Ιόνιο με το οποίο είναι το περίπτυμα και τις κλάσσες. Αντιπρόσωπος τώρα, τι είναι στα πλαίσια της δικιάς σας γλώσσας? Είναι μια στεφερά. Εμείς φτάνουμε τον ειδικό πράγμα. Εδώ πέρα βγαίνει κάποιος συγκεκριμένος αντιπροσώπος. Η αντιπροσώπηση που διάλεξε να κάνει, ήταν να χρησιμοποιήσει τη διπλώση της αχνητικής, δηλαδή τη θεωρία λοιπόν, να κάνει την αντιπροσώπηση της τελικής μαγικής. Και αποτείνει, πέρα, ότι αυτή εδώ πέρα είναι αντιπροστοπή μου. Είπω ότι τις μεταβλητές της σκη, της τυποποίησης είναι από συγκεκριμένους αντιπροσώπους. Συγκεκριμένες σταθερές παραμένου. Είτε αντιπροσφωνούμε, είτε έχουμε σταθερά, είτε έχουμε παραμένους, να έχουμε ακριβώς τέτοιο πράγμα. Είναι μεταβλητή. Το κάτι συγκεκριμένο που το βάλουμε, είναι μια παράμετρος, μια σταθερά. Αυτό σαν πρόταση μας φαίνεται κάτι το εύλογο, ότι μπορούμε για να το δεχτούμε στα πλαίσια της θεωρίας, ότι την ώρα που έχω τον τύπο β και μέσα έχω μια κάποια παράμετροχή που παίζει, εάν δω ότι ο αριθμός γκέντελ της πρώτης α, ικανοποιεί αυτή τη σχέση, αυτό συνεπάγεται ότι το α είναι θεώρημα της γλώσσας. Αυτό το είπα, αριθμός γκέντελ είναι αντιπρόσπολος που χρησιμοποιείς. Να συμφωνήσουμε όμως ότι σαν αντιπρόσπολος διάλεξε κάτι το ιδιοφυές, δηλαδή του επέτρεψε να περιγράφει πράγματα. Δεν διηγεί όλη τη δυσκολία σου, ότι άμα είχαμε κάποιον ανθρώπινο που θα μπορούμε να αφήσουμε τον συγκεκριμένο αντιπρόσωπο, θα μπορούμε να αναπαράγουμε τον αντιπρόσωπο. Εγώ πιστεύω πως μοιάζει λίγο πολύ με την ιστορία με τον Καρτέσιο, όπου όλη η ζωγραφή είναι με καμπύλες και μια κάποια στιγμή και με σύμπετ τις καμπύλες εγώ μπορώ να τις περιγράψω και με σχέσεις. Άρα το χ τετράγωνο, σι τετράγωνο, ίσως με α τετράγωνο, είναι η αλγευρική σχέση που περιγράφει τον κύκλο. Κανένας δεν είχε μιλήσει για κύκλο μέσα από σχέσεις της άλγευρας. Και κάτι παραπλήσεως συμβαίνει και εδώ. Έχουμε λοιπόν τη μαθηματική μας δομή, τη λογική, και τη λογική αυτή την περιγράφουμε με τους αριθμούς, τους αριθμούς Γκέντε βέβαια. Να συνεχίσω όμως για να προλάβω και να το τελειώσω και να μην το ξαναπιάσουμε. Άρα λοιπόν αυτό που βρίσκουμε και είναι εξαιρετικά ιδιόριθμο είναι ότι το γεγονός ότι ο α είναι θεόρημα έχει να κάνει με τον αριθμό Γκέντε της α να ικανοποιεί και τον τύπο του β και παρατηρούμε ότι ο α αυτοαναφέρεται. Άρα λοιπόν έχουμε μια σχέση για το α και μέσα σφήνα μπαίνει λοιπόν ο αριθμός Γκέντε του α και έχουμε φτάσει λοιπόν στο σημείο της αυτοαναφοράς και γνωρίζουμε όλοι ότι όταν κάπου υπάρχει το στοιχείο της αυτοαναφοράς τα πράγματα μπλέκουνε και ίσως καταλήγουμε και σε μία κατάρευση της θεωρίας. Το επόμενο βήμα έχοντας γράψει λοιπόν αυτή τη σχέση της εδοσκόπησης, της αυτοεξέτασης είναι ότι ο Γκέντε πρότεινε ότι στα πλαίσια της θεωρίας και τώρα μιλάμε για την πρόταση Γκέντε υπάρχει μία πρόταση Γκέντε που αυτό αναφέρεται ως μη θεώρημα της θεωρίας. Μπορείτε δηλαδή να φανταστείτε πως η πρόταση του Γκέντε είναι η ειδική περίπτωση της πιο πάνω σχέσης και λέει κάτι το εξαιρετικά ιδιόριθμο που τυνάζει και τα πάτα στον αέρα στα πλαίσια της θεωρίας. Έχω ένα θεώρημα G το οποίο στα πλαίσια της θεωρίας αυτό αναφέρεται σαν ένα θεώρημα που δεν υπάρχει στα πλαίσια της θεωρίας. Καταλαβαίνετε λοιπόν ότι έχουμε φτάσει σε αυτό που είπαμε στην αρχή σε μη αποκρίσιμη πρόταση που σημαίνει ότι είμαστε στα πλαίσια μιας πρότασης για την οποία δεν ξέρουμε αν είναι αληθής ή αν είναι ψευβής που είναι η απέτηση από την λογική του Αριστοτέλη και από την κλασική λογική. Μοιάζει λίγο, μοιάζει και το ξαναλέω μοιάζει με εκείνη την ιστορία όλοι οι κριτικοί λένε ψέματα. Εάν αυτός που το λέει είναι και ο ίδιος κριτικός σημαίνει πως λέει ψέματα. Εφόσον λέει ψέματα όμως σημαίνει πως η πρόταση που μόλις είπε πως είναι ψευδής. Άρα η πρόταση όλοι οι κριτικοί λένε ψέματα είναι ψευδής άρα οι κριτικοί λένε αλήθεια. Εφόσον όμως οι κριτικοί λένε αλήθεια η πρόταση που είπε οι κριτικοί λένε ψέματα είναι η αληθής πρόταση. Άρα οι κριτικοί λένε ψέματα και συνεπώς μπλέκουμε λοιπόν στην ιστορία αυτήν εδώ που αρχίζουμε με την υπόθεση ότι η πρόταση είναι η αληθής. Καταλήγουμε πως είναι ψευδής. Μόλις πούμε πως είναι ψευδής θα καταλήξουμε πίσω ότι είναι η αληθής πρόταση. Απλώς για να τονίσω ότι αυτό εδώ είναι ένα λόγο πέγνιο στην περίπτωση του Γκέντλ είναι μια αστηρή μαθηματική πρόταση από την οποία δεν μπορεί για να ξεφύγει κανένας. Μια κάποια στιγμή θα πρέπει να διαλέξουμε και τι να κάνουμε. Ή παίρνουμε αυτές τις μη αποκρίσιμες προτάσεις και τις αγνοούμε. Οπότε θα έχουμε μια μαθηματική θεωρία που θα είναι συνεπής αλλά δεν είναι πλήρης. Ή θα έχουμε μια θεωρία που θα είναι πλήρης που θα έχει μέσα όλες τις προτάσεις αλλά δεν θα είναι συνεπής γιατί μέσα θα έχει αυτές τις αντινομίες και τις μη αποκρίσιμες προτάσεις. Άρα επειδή μπόρεσε για να σωματώσει τα μεταμαθηματικά στα μαθηματικά αυτό τον επέτρεψε για να τηνάξει στον αέρα την απέτηση αυτής της καθαρής μαθηματικής σκέψης και συνεπώς στην τυπική γλώσσα που έχουμε μπορούμε να εντάξουμε στοιχεία της μεταγλώσσας. Διαβάζω εδώ από τις δικές μου σημειώσεις το θεώρημα του Γκέντλ. Διαβάζω δεν πρέπει να εκλειφθεί σαν ομολογία αδυναμίας. Αντίθετα το θεώρημα του Γκέντλ μας καθιστά κατόπους της αλήθειας ότι η ύπειρος της αλήθειας δεν μπορεί να κατογραφηθεί μόνο με την αξιωματική μέθοδο. Άρα λοιπόν φτάνουμε σε ένα συμπέροσμα που λέει τι? Ότι υπάρχουν αληθείς προτάσεις που δεν μπορούμε να τις αποδείξουμε και συνεπώς ο αριθμός των αληθών προτάσεων είναι πιο μεγάλος από τον αριθμό των προτάσεων που μπορούμε να τις αποδείξουμε. Ο αριθμός των αληθών προτάσεων είναι πιο μεγάλος από τον αριθμό των προτάσεων που μπορούμε να αποδείξουμε στα πλαίσια της μαθηματικής θεωρίας. Άρα μας λέει κάτι άλλο. Μας λέει ότι συμφωνεί να καταφύγουμε στην λογική, να καταφύγουμε στην αξιωματική θεμελίωση αλλά συνάμα πρέπει να ξέρουμε λίγο και τα όρια του εχειρήματος. Ότι κατά κάποιον τρόπο θα πρέπει να μάθουμε και πώς να χρησιμοποιούμε και πώς να καταφεύγουμε σε αυτή την απέτηση της αξιωματικής θεμελίωσης της γνώσης. Πώς το βλέπετε το γκέντελ και το θεώρημά του, το θεώρημα του γκέντελ. Έχει και μια παρατήρηση ή κανένα σχόλιο για το γκουρτ γκέντελ. Δεν ξέρω αν μας... Ναι. Μασικά δύο ερωτήσεις. Η μία είναι αν είναι χωρίς το θεώρημα μπορεί να έρχεται η λογισκή μάνα που σημαίνει μόνο στην εαυτότητα, στον περασμένο σχόλιο των αριθμών, γιατί επειδή συμπεριβαίνει αυτό που μπορεί να το διηγηθεί μέσα από αρχαρτικές προτάσεις, ή αν μπορεί να συνεχιστεί σε άλλα παιδεία, δηλαδή αν υπάρχει κάποια κινησιμότητα δηλαδή από τις δημιουργικές κέντρες. Και να δείτε να το πείτε, ποιο είναι το τέτοιο τέχνο που εργαζόμαστε όταν βάζουμε το χέρι, για ποιο λόγο παίρνουμε τους πρώτους αριθμούς, παιδί και ο γκουρτ να αφήσουν ένα σπάσιασμα για σέντρωση, ας είναι τους πρώτους αριθμούς, γιατί να βάζεις εχθρός, δηλαδή να τους έβρουν πρώτους. Στο πρώτο το ρώτημα είναι μια άσκηση που έγινε στα πλαίσια της τυπικής λογικής, αυτό που μελέτησε ήταν το σύστημα των αριθμών, είναι το πιο απλό σύστημα και στα μαθηματικά, στο στρατ είναι η φυσική, οι αριθμοί. Νομίζω ότι εδώ πέρα ο Σκάμπ που σε συγκρότησε έτσι γιατί το σύστημα είναι στο πάνω λάθος και απέλαβε αυτό το σύστημα, το διπέρος του δηλαδή τα μαθηματικά όταν φύγουν και χάθηκαν. Αν είσαι εμείς στην περαιόδοτα και όμως αυτό το σύστημα είναι εύκολο και ευλοζέτημα. Εδώ το χειρακτήριά μου είναι τελείως έντονος και στρατιώται να πει να πει κάτι. Το δημοκρατικό λογισμό είναι το δασιακό λογισμό. Αυτό το υπογγένει και εμείς είναι να το δημιουργήσουμε συγκάντα, το δασιακό λογισμό κάτω μπορεί να εγκαταλειθεί, να την μπορούμε να αποδέσουμε από τέτοιες συμμετέσεις αλλά από τέτοιες συμμετέσεις από τέτοιες συγχάμματα. Αυτό σου ελπίζω. Θα έλεγα ότι υπάρχει μεγάλο ρίσκο να πάρουμε κάτι και να το μεταφέρουμε με ευκολία σε άλλα πράγματα. Έκανε μια συγκεκριμένη δουλειά στα πλαίσια της αριθμητικής. Μου φαίνεται ότι έχει ρίσκο να το πάρουμε και να το πάμε καπαλού. Για τους πρώτους αριθμούς το χρησιμοποιούν και η μαθηματική και η φυσική είναι ένας τρόπος να αναλύσει τα φυσικά συστήματα με μονοσύμματο τρόπο. Δηλαδή και στη φυσική για το συναντάσια να καταφεύγουμε στους πρώτους αριθμούς και υπάρχουν θεωρίες ολόκληρες της φυσικής που στηρίζεται μόνο στους πρώτους αριθμούς. Μας επιτρέπει το μονοσύμματο. Άλλη ερώτηση, σχόλιο, παρατήρηση για τον φίλο μας τον Γκέντλ. Μπορεί κάποιος να το δει σαν μια διαμάχη που έγινε ανάμεσα στα πλαίσια των μαθηματικών στις αρχές του 20ου αιώνα και να το κλείσει εκεί, αλλά νομίζω ότι υπάρχει ένα ευβρύτερο μήνυμα κατά πόσο η αναλυτική μέθαδος μπορεί να λύσει όλα και τα προβλήματα και συνεπώς είναι ένα κλειδί, συμφωνία, αλλά πρέπει να ξέρουμε και πώς να το χρησιμοποιούμε και το κλειδί και σε ποια πόρτα το βάζουμε. Δεν είναι το Πασπαρτού, ότι έχω ανακλειδεί όλες τις πόρτες της ξυκλειδώνει. Υποθέτω έχει μαζί του τις οδηγίες χρήσεις, όπως κάθε όργανο που έχουμε στη διαθεσία μας εκεφόρα κυρίως ένα δυτικό τρόπο σκέψης που πιστεύει πάρα πάρα πολύ βαθιά στην ανάλυση. Που τους μπρόξαν πάρα πάρα πολύ μέχρι σε κάποια άκρα. Την ιστορία του Γκέντλ θα πρέπει, για να σας είχα πει το πώς κατέληξε, δεστά, μέσα από την ιστορία της ασυπτίας φοβόταν ότι θα τον εξολοθρέψω άρα την ώρα που κάποιος μελετάει τη λογική δεν σημαίνει ο ίδιος πως είναι λογικός. Άρα πιθανό με κάποια στιγμή να χάσει την επαφή με μια γύρω πραγματικότητα. Υπάρχει κάτι άλλο για την ιστορία με τον Γκέντλ ότι είναι δύσκολο, είναι δύσκολο, δείτε το, αν θέλετε να το κουβεντιάσουμε την άλλη φορά το κάνουμε. Απλώς μετά θα περάσουμε στο τελευταίο κεφάλαιο, το τελευταίο κεφάλαιο θα μιλήσουμε λοιπόν για τις γκβαντικές πραγματικότητες, όπου θα μπω στον κόπο λίγο να εξηγήσω και τα γκβαντικά στο πιο απλά γίνεται για τους μη φυσικούς, όχι πως η φυσική το ξέρουν μεταξύ μας και σε μιλάω ως καθηγητής του φυσικού, αλλά πολύ περισσότερο μια και υπάρχουν φοιτητές από άλλα τμήματα. Να περιγράψω λοιπόν το τι συμβαίνει με τα γκβαντικά και ποια εικόνα αναβείεται λοιπόν από τη μελέτη της φύσης όταν φτάσουμε στο γκβαντικό κόσμο. Και όταν τελειώσουμε αυτό, αυτό που θα κάνουμε είναι συνάδελφή σας όταν θα είναι έτοιμοι να παρουσιάσουν κάποιες δουλειές δικές τους κάπου εκεί στα μέσα Δεκεμβρίου. Εντάξει, αυτά. |
