| Διάλεξη 8: Παιδιά, σήμερα θα ολοκληρώσουμε με ασχήσεις, παραδείγματα, προβλήματα γύρω από τη τυχαία μεταβλητή συνάρτηση κατανομής, χαρακτηριστικά, όπως μέση, τιμή, διάμεση κλπ. Ξεκινάμε με ένα παράδειγμα, έστω μια τυχαία μεταβλητή χ, η οποία έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας στην ευχή, η οποία ισούται με 4x 9-x τετράγωνον προς 81, καθώς το χ παίρνει τιμές από 0 μέχρι 3 και 0 είναι αλλού. Να βρούμε τη μέση τιμή διάμεσο και την επικρατέστερη τιμή. Ξεκινάμε από την επικρατέστερη. Θα πρέπει να παραγωγήσουμε την ευχή ως προς χ και αυτό ισούται, αν πάρουμε την παράγωγο, ισούται με 36-12x τετράγωνον προς 81. Εξισώνουμε με το 0, δεδομένου ότι αυτή η συνάρτηση στρέφει τα κύλα προς τα κάτω, γιατί αν πάρουμε τη δεύτερη παράγωγο είναι αρνητική, άρα μπορούμε να λύσουμε την εξίσουση ως προς χ και να βρούμε για ποιο χ μεγιστοποιείται. Δεδομένου ότι η συνάρτηση στρέφει τα κύλα προς τα κάτω. Και αυτό επιβιβιώνεται, αν πάρουμε τη δεύτερη παράγωγο, θα δούμε ότι πράγματι μπορούμε να εξισώσουμε και να λύσουμε ως προς χ. Είναι μία δευτέρο βαθμό, η οποία δίνει ότι το χ τετράγωνον ισούται. Έχουμε δύο ρήλες με 9 συν πλιν 9 δεύτερα επί τετραγωνική ρίζα του 2. Βέβαια θα κρατήσουμε τη λύση, η οποία βρίσκεται μέσα σε αυτό εδώ το διάστημα, το οποίο είναι το 1,62. Εδώ πέρα η μία ρίζα είναι 9 συν 4,5 πι 1. Το συν δίνει μία τιμή, το οποίο είναι αρκετό μεγάλο. Το πλιν δίνει μία τιμή, το οποίο βρίσκεται στο 9 πλιν 4,5. Θα πάρουμε δηλαδή τη δεύτερη ρίζα. Άρα λοιπόν θα κρατήσουμε τη δεύτερη ρίζα που δίνει χ ίσον με 1,62 περίπου. Το 1,62 είναι κάπου εδώ μέσα, ενώ η άλλη ρίζα πέφτει έξω από το διάστημα. Άρα επικρατέστηρη τιμή είναι το 1,62. Επικρατέστηρη τιμή λοιπόν ισούται με 1,62. Όχι, δεν είναι αυτό. Αυτό είναι για την διάμεσο. Από δώσει να υπάρχει τη κατευθείαν ότι το χ ίσουται. Τριτραγωνική ρίζα να λύσουμε με 1,73. Περίπου 1,73. Τώρα για τη διάμεσο, όπως λέγαμε, για τη διάμεση θα πρέπει, αν πάρουμε το ολοκλήρωμα από 0 μέχρι τη διάμεσο, να ολοκληρώσουμε την 4x. 9-x τετράγωνο. Διαγωνόντα 1, 50x. Αυτό εδώ πέρα, εάν το ολοκληρώσουμε, θα βρούμε ότι αυτό ισούται. Είναι λίγο σύνθετο βέβαια, αλλά πρέπει να βρούμε αυτή τη μορφή. Αυτό εδώ πέρα ισούται. Αν κάνουμε το ολοκλήρωμα με 4-81, τις τρεις παραμέτρους, την επικρατέστηρη τιμή τη βρήκαμε, τώρα πάμε και τη διάμεσο. Ποιο απλό λειτουργιάζουμε. Η διάμεσο θα πρέπει το ολοκλήρωμα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας από 0 μέχρι μη να δώσει 0,5. Θα πρέπει να βρούμε όμως πρώτα το ολοκλήρωμα. Ή θα μπορούμε να βρήσουμε την αφηστική, που είναι το ίδιο ολοκλήρωμα. Αυτό κάναμε εδώ πέρα. Μπορείς να κάνεις λίγες πράξεις εδώ, αλλά για να μην χάσουμε τον χρόνο, ας γράψουμε ποιο είναι το αποτέλεσμα. Να το εξεργαστείτε πιο αναλυτικά για να το βρείτε. Πάνω στην συμμορφή 4 προς 81, 9 χ τετράγωνον προς δεύτερα, μίον χ τετάρτις τέταρτα. Αυτά εδώ πέρα θα πρέπει να βάλουμε από x το μη. Είναι από μη μίον 0. Αυτή είναι η ατριστική με λίγα λόγια. Αν ολοκληρώσεις δηλαδή το 4x9 μίον x τετράγωνο προς 81, εντάξει γίνεται προποίηση. Εγώ σου δίνω την ατριστική ποια είναι. Αυτή εδώ πέρα είναι η ατριστική. Μπορείς μετά να βρεις για την f. Δεν κατάλαβατε ποια είναι η ατριστική? Αν ολοκληρώσεις αυτά εδώ πέρα. Αν ολοκληρώσεις την fx, η fx δεν είναι αυτή εδώ πέρα. Αν την ολοκληρώσεις 4x9 μίον x τετράγωνο, έχει λίγες πραξούλες εδώ πέρα. Αν ολοκληρώσεις από μηδέν μέχρι x, αυτό ή σούτε αυτό εδώ πέρα είναι η ατριστική. Αν θέλεις να βρεις τη διάμεσο, πάλι το ίδιο ολοκλήρωμα είναι. Μπορείς την ατριστική επευθείας να βάλεις το μη. Έχουμε βρει ποια είναι η ατριστική, η οποία είναι 4,81, 9x τετράγωνο μίον x τετάρτις πρός τους 2 μίον x τετάρτα. Συνεπάγεται λοιπόν ότι για να βρω το μη τώρα από εδώ, θα πάρω την ατριστική και αν βάλω στην ατριστική το μη, αυτό ή σούτε με 0,5. Έχω μη εξίσωση. Βάζω εδώ λοιπόν το μη. Συνεπάγεται ότι αν βάλω το μη εδώ, θα έχω 4,81 x 9 μη τετάγωνο πρός 2 μίον μη τετάρτις τέταρτα ίσο με 0,5. Είναι μία διτετράγωνη εξίσωση την οποία μπορούμε να λύσουμε και να βρούμε ότι το μη τετράγωνον ή σούτε. Τελικά θα βγάλουμε από εδώ ότι αυτό ή σούτε είναι η συντετάρτη, βγάζουμε κοινό παράγοντα το μη τετράγωνο, φτιάχνουμε μάλλον έχουμε μία εξίσωση εδώ πέρα τετάρτου βαθμού, λύνουμε και βρίσκουμε δύο ρίζες για το μη τετράγωνο. Να θυμηθείτε λίγο αυτό που μάθατε, εννέα συν πλήν εννέα δεύτερα τετραγωνική ρίζα του δύο και κρατώ τη λύση η οποία δίνει τη μη μέσα εδώ. Γιατί δίνει και άλλες ρίζες εκτός διαστήματος. Θα κρατήσω τη ρίζα που είναι μέσα στο διάστημα είναι περίπου ότι το μη ίσουτε με 1,62. Και τελικά στο ίδιο παράδειγμα μπορούμε να βρούμε και τη μέση τη μη Χ αν ολοκληρώσουμε βέβαια την ΧFx δε Χ από 0 μέχρι 3. Αν κάνεις πράξεις αυτό θα σου δώσει ρίζα μάλλον 1,60. Αν ολοκληρώσουμε την ΧFx έχει λίγες πράξεις αυτό το παράδειγμα. Πράξεις ναι. Είπαμε ότι η διάμεσος η πιθανότητα ότι το Χ είναι ένα μικρότερο ίσον του μη της διαμέσου είναι 0,5. Είναι το 0,5 ποστέο σημείο αυτό δεν είπαμε χθες. Λοιπόν αυτό είναι ένα παράδειγμα έχετε κάνει λίγες πράξεις και είναι λίγο σύνθετη η συνάτηση πικνότητας πιθανότητας. Πάνω βγαίνουμε τη σειρά που το έχουμε. Η διάμεση τιμή είναι το 1,62. Η διάμεσος είναι αν αυτή είναι η συνάτηση πικνότητας πιθανότητας. Η διάμεσος είναι το 1,62. Η μέση τιμή είναι το 1,6. Και η επικρατέστητη τιμή το σχήμα δεν θα είναι όμως έτσι. Θα πρέπει να γέρνει διαφορετικά. Θα πρέπει να γέρνει κάπως έτσι. Εδώ είναι η επικρατέστητη τάφη η οποία είναι το 1,70. Πόσο βρήκαμε 1,73. Εδώ είναι η διάμεσος που είναι 1,62. Στη μέση είναι η διάμεσος. Αυτό είναι το μή. Αυτό είναι το τάφ. Και η μέση τιμή είναι το 1,6. Η διάμεσος είναι στη μέση. Λοιπόν, ας αφήσουμε αυτό το παράδειγμα γιατί έχει λίγες πράξεις να κάνει κανένας. Δεν είναι τόσο ευχάριστο. Ας πάμε σε πιο καλύτερες ασκήσεις. Όπως αυτό που υπάρχει στο test που θα σας δώσω. Υπάρχει μία άσκηση η οποία αφορά την ένταση του ρεύματος και μάλλον αφορά την διατομή ενός καλουδίου όπου η ακτίνα του καλουδίου είναι τυχαία μεταβλητή. Και ως εκ τούτου τυχαία μεταβλητή είναι και η διατομή επιφάνεια της διατομής του καλουδίου που είναι ποιερό τετράγωνο. Αν υποθέσουμε ότι η ακτίνα του καλουδίου χ είναι τυχαία μεταβλητή η οποία έχει συνάστηση πυκνότητας πιθανότητας του αx μίον 2α όπου πρέπει να υπολογίσουμε την παράμετρο α μέχρι 6 και μετά έχει μία σταθερά τιμή η συνάστηση είναι ομοιόμορφη δηλαδή από το 6. Μέχρι το 12 και μηδέν αλλού. Αυτή είναι η συνάστηση πυκνότητας πιθανότητας η οποία είναι αυτής της συμμορφής. Εδώ είναι το 12, εδώ είναι το 6 και ξεκινάει από το 2. Από το 2 μέχρι το 6 ανεβαίνει και μετά είναι σταθερή. Άρα αυτή είναι η συνάστηση πυκνότητας πιθανότητας της χ. Θα πρέπει να βρούμε όμως την παράμετρο α. Έχουμε μία εξίσουση εδώ πέρα που προσπαθούμε να φτιάξουμε. Η εξίσουση είναι η βασική ιδιότητα της συνάστησης πυκνότητας πιθανότητας. Άρα θα πληρώσω από 2 μέχρι 6 την εχ, που είναι αχ-2α, πιντεχ, συν. Από 6 μέχρι 12 την 4αχ, αυτό ισούται με 1. Είναι η βασική ιδιότητα της συνάστησης πυκνότητας. Από 9 ισούται με 1. Και θα πρέπει να βρω τις παραμέτρες της συνάστησης, την παράμετρο α. Άρα ολοκληρώσουμε λοιπόν, έχουμε εδώ πέρα αχ-2α από 2 μέχρι 6, μίον 2αχ από 2 μέχρι 6, συν 4αχ από 6 μέχρι 12, γι' αυτό ισούται με 1. Συνεπάγεται λοιπόν ότι εδώ πέρα έχουμε 36 δεύτερα, μίον 4 δεύτερα, 18 τελικά α, μίον 4 επί 2, 8α, συν, εδώ έχουμε 12, μίον 6, 6, είτες 6, 24, 24α, ίσον με 1. Και αν κάνουμε απλοποίηση εδώ πέρα, έχουμε 10α, συν 24, 34α, άρα α ισούται, έχουμε 18, 10α, συν 24, 34α, άρα α ισούται με 1 προς 34. Πρέπει να κάνουμε και κάποιον έλεγχο εδώ πέρα, 36 μίον 4 δεύτερα, 36 δεύτερα, είναι 18, εδώ μάλλον δεν είναι σωστό αυτό, είναι 36 μίον 4, 32, εδώ είναι 16, έτσι δεν είναι 36 μίον 4, 32, άρα ιδεα 2 είναι 16 εδώ πέρα, 16α είναι 40, εδώ πάει, πρέπει να είναι 32. Λοιπόν, γιατί αν δεν είναι σωστή η παράμετρος α μπορεί η πιθανότητα που θα βγάλουμε να ξεπεράσει το 1 και τα λοιπά, γιατί πρέπει το ροκλήρωμά της να είναι ακριβώς 1 για ένα συνάστηση πυκνότητας πιθανότητας, γι' αυτό πρέπει να προσέξουμε καλά να μην κάνουμε κάνα λάθος εδώ πέρα. Κάναμε την γραφική παράσταση που ζητάει η άσκηση, στη συνέχεια να βρούμε την αφριστική, την διάμεσο, για να δούμε πως θα βρούμε την αφριστική τώρα. Έχουμε δύο ομορφές συνάστηση πυκνότητας πιθανότητας, αφού έχουμε δύο ομορφές θα δώσουμε την αντίστοιχη αφριστική και για τις δύο ομορφές. Έχουμε ότι η αφριστική ισούται με 0 καθώς το χ παίρνει δημές πριν από το 0 και καθώς το χ παίρνει δημές πριν από το 2, μια ομορφή είναι μέχρι το 6. Θα είναι ολοκλήρωμα από 2 μέχρι 6, θα πάρουμε το ολοκλήρωμα αx-2α, βέβαια ξέραμε ποιο είναι το α, επιτέχει και καθώς το χ παίρνει δημές από 6 μέχρι 12, θα πάρουμε το ολοκλήρωμα από 2, μάλλον εδώ ας βάλουμε χ και εδώ u και εδώ u, το α το ξέρομαι, εδώ βάζουμε u αντί για χ αu και θα κάνουμε το ολοκλήρωμα και θα βρούμε μια συνάρτηση ως προς χ που είναι η αφριστική. Για την υπόλοιπη ομορφή η αφριστική είναι από 2 μέχρι 6 ολοκληρώνομαι την αx-2α, δεν χρειάζεται ο χ να είναι u τώρα, συν γιατί ολοκληρώνομαι από 2 μέχρι 6, συν ολοκλήρωμα της 4α από 6 μέχρι χ, τέλειο. Δηλαδή πρέπει να μαζέψουμε σχηματικά, αν το χ είναι εδώ παίρνω αυτό το ολοκλήρωμα, αν το χ είναι εδώ στη δεύτερη μορφή παίρνω όλο το προηγούμενο εμβαδόν που είναι το ολοκλήρωμα του πρώτου εμβαδού και του πρώτου εμβαδόν, συν το ολοκλήρωμα της δεύτερης μορφής 4α. Αυτή είναι η αθριστική, θα πρέπει αυτή συνάρτηση που θα βγάλουμε εδώ πέρα να δούμε αν είναι σωστή, για χ12 θα πρέπει να σου δώσει η μονάδα όλο αυτό. Αν αυτό που θα βγάλεις αυτή συνάρτηση για χ12 δεν σου δίνει τη μονάδα, πάνε να πει ότι έχεις κάνει κάποιο λάθος. Εγώ όταν δίνω τέτοια άσκηση, σε εξετάζει για παράδειγμα, διωθώνω πολύ εύκολα αυτήν την απάντηση. Αμέσως μόλις παίρνω το γραπτό έρχομαι εδώ πέρα και βάζω για χ12 εδώ που έχεις βρει και βλέπω δίνει μονάδα. Αν δίνει μονάδα είναι ολόσωστο. Δεν μπορεί να μείνει είναι. Και αν δεν δίνει μονάδα σημαίνει ότι εντεχομένως να ξέχασες να αθρίσεις αυτό εδώ. Τώρα πόσες από εσάς είστε εδώ ή μισή στις εξετάσεις θα ξεχάσετε να βάλετε αυτό εδώ πέρα. Βάλετε μόνο αυτό. Όλες τις φορές και να το πω, πάλι οι μισοί θα ξεχάσουνε. Και βέβαια είναι 1 για χ πάνω από 12. Για χ πάνω από 12, όχι ότι αν βάλεις εδώ χ πάνω από 12 θα δώσει τη μονάδα. Έξω ορισμού είναι 1. Γιατί είναι το σίγουρο γεγονός όπως εξηγήσαμε στην αθριστική. Τώρα για τη διάμεσο. Ποια είναι η διάμεση εδώ πέρα. Για να βρούμε τη διάμεση όταν έχει δύο μορφές η συνάρτηση, πυκνότητας, πιθανότητας. Ερχόμαστε στο σχήμα και βλέπουμε η διάμεσος βρίσκεται στην πρώτη μορφή ή στην δεύτερη. Αυτό το ξεκαθαρίσουμε από το σχήμα. Εάν δεν είναι διάκριτο από το σχήμα, θα ολοκληρώσουμε το πρώτο κομμάτι να δούμε έχουμε πιάσει το 50%. Άρα βρίσκεται εδώ μέσα. Αν δεν έχουμε πιάσει το 50%, το πρέπει να βρίσκεται στη δεύτερη μορφή η διάμεσος. Εδώ τώρα καταλαβαίνουμε ότι η διάμεσος είναι στη δεύτερη μορφή από 6 μέχρι 12. Αυτό για να βρω τη διάμεσο θα πάρω την αθρηστική, τη δεύτερη μορφή της αθρηστικής εδώ πέρα. Θα πάρω δηλαδή ολοκλήρωμα από 2 μέχρι 6 της x όπως έχουμε εκεί πέρα να μην το ξαναγράφω. Συν ολοκλήρωμα από 6 μέχρι μη της 4αδ. Και αυτό να το ξυσώσουμε 0,5 και θα λύσουμε από εδώ ως προς μη. Θα λύσουμε ως προς μη και θα το βρούμε. Αλλά διευκρινίζω πάλι ότι από το σχήμα θα καταλάβω αν η διάμεσος είναι στη πρώτη μορφή ή στη δεύτερη. Αν συνέβαινε να είναι στη πρώτη μορφή διάμεσος τότε θα έπαιρνα μόνο ένα ολοκλήρωμα ως προς μη. Τώρα αν είναι στη δεύτερη μορφή της συνάντησης πυκνότητας πεθανότητας του σχήματος θα πάρω την αθρηστική όπως την έχω εδώ πέρα. Θα πάρω το πρώτο τρίγωνο, το πρώτο ευαδό. Συν το δεύτερο ευαδό που είναι από 6 μέχρι μη. Και αυτό αισθούνται με 0,5 και θα λύσουμε ως προς μη. Πόσο είναι το μή βρίσκεται μετά το 6 μέχρι 6. Ναι γιατί φαίνεται από το σχήμα σχηματικά ότι το 50% είναι μετά το 6. Εάν δεν μπορείς να το καταλάβεις έτσι ή δεν έχεις σχήμα θα ολοκληρώσεις από 2 μέχρι 6. Και αν αυτή συνάρτηση σου δίνει 60% ολοκλήρωμα σημαίνει ότι το μή βρίσκεται εκεί μέσα. Εάν όμως σου δίνει 30% σημαίνει ότι το μή είναι πιο πέρα στη δεύτερη μορφή. Πολλές φορές το καταλαβαίνουμε από το σχήμα από την αρχή για να μη χρονοδροβούμε και ιδιαίτερα στις εξετάσεις θα φαίνεται ας το πούμε. Και τώρα υπάρχει μια δεύτερη ερώτηση όπου η διατομή είναι μια τυχαία μεταβλητή και ίσουτε με π επί χ τετράγωνο που είναι η ακτίνα. Χ είναι η ακτίνα του καλουδίου. Η διατομή, η επιφάνεια της διατομής του καλουδίου είναι τυχαία ομέγηθος. Γιατί η ακτίνα είναι τυχαία ομέγηθος. Θα είναι η μέση τιμή της διατομής της επιφάνειας του καλουδίου. Θα είναι η μέση τιμή μια συνάρτηση π χ τετράγωνο. Θυμηθείτε λίγο την ιδιότητα όταν έχουμε την gx. Μέση τιμή είναι ολοκλήρωμα gx fx dx που είχαμε πει χθες. Μια ιδιότητα βασική της μέση τιμής. Τώρα έχουμε ολοκλήρωμα από 2 μέχρι 6 της gx που είναι η π χ τετράγωνο. Επί την fx που είναι το 2αχ-2αδσ. Από 6 μέχρι 12 της gx που είναι η π χ τετράγωνο, είναι η π χ τετράγωνο. Επί την 4α την fx δx. Είναι μια βασική ιδιότητα που είχαμε πει για τη μέση τιμή της συνάρτησης στοιχείας μεταβλητής χ. Για να το βρούμε θα πρέπει να πάρουμε το ολοκλήρωμα της συνάρτησης αυτής επί την fx δx. Δεν γνωρίζουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ψ, γνωρίζουμε τη χ ευχή και ολοκληρώνομαι ως προς χ τη συνάρτηση αυτή. Και έτσι προχωράμε και βρίσκουμε τη μέση τιμή. Είναι αx είναι ευχή είναι η πρώτη μορφή που είναι αx-2α. Λοιπόν έτσι αυτή είναι και μία άσκηση από το τεστ. Μπορούμε να προχωρήσουμε να δώσω ένα άλλο παράδειγμα που αφορά την ισχύ σε ένα κύκλωμα. Η ένταση ρέμματος είναι τυχαία μεταβλητή. Η ένταση του ρέμματος. Το κύκλωμα αυτό έχει μία αντίσταση r. Η εκλειόμενη ισχύς του κυκλώματος είναι συνάρτηση της έντασης του ρέμματος και της αντίστασης που υπάρχει στο κύκλωμα. Δηλαδή η εκλειόμενη ισχύς π είναι αν πάρουμε την ένταση ρέμματος επί την αντίσταση που υπάρχει στο κύκλωμα και αν η ένταση του ρέμματος έχει μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας i, fi, αν είναι αυτής η μορφή ξεκινάει από α, πάει μέχρι τρία και πάει μέχρι τέσσερα και έχει αυτή τη μορφή. Αυτή είναι η μορφή της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της έντασης του ρέμματος. Η εκλειόμενη ισχύς είναι πi τετράγωνον r, δηλαδή η ισχύς π είναι και αυτή τυχαία ομέγγυθος, είναι συνάρτηση της i του ρέμματος που είναι τυχαία μεταβλητική του οποίου γνωρίζουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Εμείς θέλουμε να βρούμε την μέση ισχύ του κυκλώματος. Η μέση ισχύ του κυκλώματος θα είναι ολοκλήρωμα, λοιπόν, της i τετράγωνον πi, που είναι η ένταση του ρέμματος. Σύμφωνα με την βασική ιδιότητα που χρησιμοποιήσαμε και πριν, ολοκληρώνουμε ως προς i, για να βρούμε τη μέση ισχύ, τη μέση κλειόμενη ισχύ. Αλλά ποια είναι όμως? Α, έχουμε και τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας εδώ. Την fi, συγγνώμη, την fi δi. Και πρέπει να βρούμε ποια είναι η fi, ναι? Αυτό ήθελες, ε? Την συνάρτηση πυκνότητας. Λοιπόν, αν στη συνέχεια θυμηθείς τι θέλεις να ρωτήσεις, ρωτάς πάλι. Λοιπόν, υπάρχει και μια απορία, ναι. Εδώ πέρα είχαμε πει μια ιδιότητα, την θυμάσαι, που είχαμε πει ότι αx συνβήτα μια ιδιότητα, ισούται με α επί εχ, συνβήτα. Γιατί το β δεν έχει, μες στη μήν η ίδια. Και μετά είχαμε πει ότι αυτό, όταν το επεκτείνουμε, είναι ότι μες στη μήν της gx, ισούται με ολοκλήρωμα στη συνεχή περίπτωση της gx επί fx δεν έχει. Είναι η γενική ιδιότητα της συνάρτησης πυκνότητας πυθενότητας. Γιατί γίνεται αυτό, γιατί η gx, η εύχη είναι η συνάρτηση πυκνότητας πυθενότητας της χ. Για να βρω τη μέση τιμή της gx, η gx είναι ένα στοχαστικό μέγεθος. Είναι μια τυχαία μεταβλητή. Η gx είναι και αυτό μια τυχαία μεταβλητή. Δεν είναι, αφού η χ είναι τυχαία μεταβλητή και η gx είναι τυχαία μεταβλητή. Για να βρω τη μέση τιμή, σύμφωνα με τον ορισμό της μέση τιμής, θα πρέπει να ολοκληρώσω αυτήν την τυχαία μεταβλητή, που την ονομάζουμε τώρα gx, επί τη συνάρτηση πυκνότητας πυθενότητας της. Η gx δεν έχει την ίδια συνάρτηση πυκνότητας πυθενότητας. Όταν ολοκληρώνει μας προσχή. Γιατί οι τιμές που παίρνει η gx για κάθε χ, το gx παίρνει μια τιμή. Με ποια πιθανότητα με την fx, με την πιθανότητα της χ. Υπάρχει μια πιθανότητα που το χ πάρει μια τιμή. Άρα και το gx παίρνει μια τιμή με την ίδια πιθανότητα. Όταν ολοκληρώνουμε ως προσχή βέβαια, όταν αναφερόμαστε ως προσχή, αν όμως αναφερθούμε ως προς ψ, που είναι η gx, τότε πρέπει να βρούμε διαφορετική συνάρτηση πυκνότητας πυθενότητας, που ενδέχεται να είναι η ίδια, ενδέχεται να είναι και διαφορετική, όπως θα δούμε, όπως υπάρχει στο άλλο κεφάλαιο του βιβλίου μέσα. Αλλά εν πάσης περιπτώσει αυτή είναι η βασική ιδιότητα για αυτό, για να βρω τη μέση τιμή της ψ, της π, που είναι σαν gx, είναι αυτό εδώ πέρα. Το gx που έχω εδώ πέρα είναι αυτό εδώ πέρα. Ε, αυτό το βάζω εδώ πέρα. Εδώ δεν έχω χ, αντί για χ τη χ μεταβηλτή έχω το i. Αλλά θα πρέπει όμως να βρω το fi, θα πρέπει να βρω το α ποιο είναι. Για να βρω το α τελικά, αυτοί οι μορφοί εδώ πέρα είναι ένα τέταρτον, αυτό είναι δίνεται ότι είσαι με έναν δεύτερο, άμα δεν διδυνόταν δεν μπορείς να προχωρήσεις και θα πρέπει να βρεις το α. Το α με τι πρέπει να ισούται, θα πρέπει το βαδόν αυτό να ισούται με ένα. Για να είναι ένα αυτό το βαδόν θα πρέπει το ολοκλήρωμα από α του εν τέταρτον. Ολοκλήρωμα από α μέχρι τρία του ένα τέταρτο δι χι δι αυ, συν ολοκλήρωμα από τρία μέχρι τέσσερα του έναν δεύτερον δι αυ να ισούται με ένα. Άμα το λύσεις αυτό, μένει μη άγνωστο εδώ μέσα η α, το οποίο πρέπει να είναι ένα, γιατί αυτό το βαδόν εδώ πέρα είναι έναν δεύτερο, θα πρέπει και αυτό το βαδόν να είναι έναν δεύτερο, θα πρέπει να ολοκληρώσει το εν τέταρτο για να σου δώσει έναν δεύτερο, θα πρέπει το α να είναι ένα. Άρα έχω πλήρως τη μορφή της συνάτησης πυκνότητας, πιθανότητας του ρέμματος, έχω τη μορφή της ακριβώς, άρα μπορώ να ολοκληρώσω την ισχύ, που είναι αυτή εδώ πέρα, την gi να την ολοκληρώσω με την fi από 1 μέχρι 3, ποια είναι η fi, συν ολοκλήρωμα από 3 μέχρι 4 της i τετράγωνον r, το οποίο είναι το ένα δεύτερο, δε i και εδώ είναι το ένα τέταρτο, η συνάτηση. Και αυτή η εκλειόμενη ισχύς θα βγει στην αρτήσει του r, το r είναι μία παράμετρος την οποία δεν μπορώ να βρω, είναι η αντίσταση του κυκλώματος. Να σημειώσω ότι όταν υπάρχει παράμετρος άγνωστη όσα φορά τη συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας εδώ πέρα, υπάρχει το άνθρωπο, πρέπει να το βρω. Στις άλλες περιπτώσεις ήταν η παράμετρη α ή β από τη συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας με βάση τις βασικές ιδιότητες, μπορώ να δημιουργήσω τις εκκλησώσεις και να τις εκτιμήσω. Δεν μπορώ όμως να υπολογίσω η αδύποτε παράμετρο υπάρχει μέσα εδώ πέρα όπως είναι το r. Αυτό το r αφορά την αντίσταση και θα πρέπει ο μηχανικός να ξέρει ποια είναι αυτή η αντίσταση του κυκλώματος ή μπορεί να εμπλέκονται και άλλες παράμετροι μέσα. Όπως σε κάποια προβλήματα ας πούμε στις εκθετάσεις υπήρχε η παράμετρος α ή β για τη συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας, υπήρχαν και κάποιες άλλες παράμετροι που δεν αφορούσαν τη συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας και πολλά παιδιά για να λύσουν το πρόβλημα προσπαθούσαν να εκτιμήσουν φτιάχνοντας κάποια σενάρια άλλαξης ώσεως για να εκτιμήσουν και τις άλλες παράμετρες, οι άλλες παράμετροι ήταν μηχανικές παράμετρες δεν είχαν καμία σχέση με την τυχαία μεταβλητή και με τη συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας άρα δεν είχαν καταλάβει ότι σε ένα πρόβλημα όταν υπάρχουν παράμετροι αυτές τις παράμετρες μπορώ να σε υπολογίσω που αφορούν την τυχαία μεταβλητή και τη συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας με τις γνωστές βασικές ιδιότητες που φτιάχνουν εδώ οι κρυσσόσεις όχι να υπολογίσω οι αδύποτε παράμετροι που υπάρχουν μέσα στο πρόβλημα Εντάξει. Αυτά μέχρι στιγμής. Να δούμε τώρα κάποια άλλα προβλήματα. Δεν έχουμε μιλήσει γι' αυτά καθόλου γιατί στις πιθανότητες υπάρχουν πολλά προβλήματα τα οποία το καθένα έχει μια ιδιαιτηρότητα, το πώς θα το αναλύσει το πρόβλημα, πώς θα το λύσει τελικά Θα μπορούσαμε να αναφέρουμε μερικά. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία μηχανή η οποία δουλεύει όλο το 24 ώρο. Και θέλουμε να δουλέψει ένα 24 ώρο το σύστημά μας Σε τυχαία μέσα στο 24 ώρο μπορεί να χαλάσει η μηχανή. Πατή βλάβεις. Εδώ είναι το 12.30, 12 ώρες. Άρα, αν σημειώσω εγώ με χ, το χρόνο λειτουργίας της μηχανής μέσα στο 24 ώρο με ενδιαφέρει ο χρόνος λειτουργίας να είναι μεγαλύτερος από 12 ώρες. Με ενδιαφέρει το σύστημα να δουλέψει τουλάχιστον 12 ώρες. Τώρα, το σύστημα αυτό, αν χαλάσει τη χρονική στιγμή τ, επισκευάζεται και σε τυχαίο χρόνο, ο χρόνος επισκευής είναι τυχαίως και μετά τυχαία σε κάποια χρονική στιγμή λειτουργεί. Αν χαλάσει επίσης μια χρονική στιγμή τ, είναι σίγουρο ότι θα επισκευαστεί πριν λήξει το 24 ώρο. Και επίσης, ο χρόνος επισκευής είναι ισοπίθανος, τυχαίως, από το τάφ, μέχρι το 24. Λοιπόν, εμένα με ενδιαφέρει κάτω από αυτές τις συνθήκες να βρω τη πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή χ, ο χρόνος δηλαδή καλύτερη λειτουργίας του σύστηματος, να είναι παραπάνω από 12 ώρες. Ποια είναι η πιθανότητα, λοιπόν, αν έχουμε καταλάβει το πρόβλημα, η μηχανή, το σύστημα, να δουλέψει πάνω από 12 ώρες. Δεδομένου ότι χαλάει ισοπίθανα μέσα στο 24, δεδομένου ότι αν χαλάσει σίγουρο θα επισκευαστεί πριν λήξει το 24, και δεδομένου ότι ο χρόνος επισκευής είναι τεχαία ο μέγεθος ισοπίθανο από το τάχο που θα χαλάσει μέχρι το 24. Δηλαδή μπορεί να επισκευαστεί σε αυτό το χρονικό διάστημα, μπορεί να επισκευαστεί σε αυτό ή στο άλλο ισοπίθανα. Ναι, μία φορά. Ναι, να μην πάρουμε την περίπτωση ότι μπορεί να επισκευαστεί και να ξαναχαλάσει και τα λοιπά. Ας υποθέσουμε ότι μία φορά θα χαλάσει σε επισκευαστεί και μετά θα δουλέψει. Γιατί στις πιθανότητες σχέσεις ταστικοί, υπάρχουν κάποιες προϋποθέσεις. Μπορούμε με τις προϋποθέσεις να το κάνουμε απλό ή σύνθετο το πρόβλημα. Τώρα στην προκειμένη περίπτωση, ας μην προχωρήσουμε σε τόσο σύνθετο, ας δούμε αυτό εδώ πέρα. Αυτή η πιθανότητα, ισούτε με έναν δεύτερο, συν. Έναν δεύτερο λέω γιατί μπορεί να χαλάσει. Αν χαλάσει εδώ μέσα, έχει δουλέψει σίγουρα 12 ώρες. Αν χαλάσει μετά την 12η ώρα, σίγουρα έχουν προηγηθεί 12 ώρες καλής λειτουργίας. Και αυτό συμβαίνει, να χαλάσει μετά την 12η ώρα, αφού ισοπίθο να μπορεί να χαλάσει εδώ μέσα, να χαλάσει μετά την 12η, σύμφωνο με την κλασική μέθοδο, είναι το έναν δεύτερο. Συμφωνώ με αυτό. Άρα λοιπόν σίγουρα είναι η πιθανότητα έναν δεύτερο, συν την πιθανότητα να χαλάσει εδώ μέσα, να χαλάσει στη χρονική στιγμή τάφ πριν τις 12, και να επισκευαστεί σε χρονικό διάστημα λιγότερο από 12 ώρες. Θα πρέπει αυτό το διάστημα να είναι λιγότερο από 12 ώρες, αυτό εδώ. Έτσι ώστε το χρονικό διάστημα λειτουργίας που θα μείνει να είναι παραπάνω από 12 ώρες. Άρα λοιπόν υπάρχει περίπτωση να χαλάσει τη χρονική στιγμή τάφ επί την πιθανότητα να επισκευαστεί πριν από 12 ώρες. Να επισκευαστεί πριν από 12 ώρες, να ενδιαρχέσει η επισκευή του λιγότερο από 12, δεδομένου ότι η επισκευή μπορεί να κρατήσει μέχρι 24 μίον τάφ χρόνου. Άμα χαλάσει εδώ, η επισκευή μπορεί να κρατήσει 24 μίον τάφ χρόνου. Θα χαλάσει τη χρονική στιγμή τάφ. Ο χρόνος της επισκευής μπορεί να ενδιαρχέσει μέχρι 24 μίον τάφ χρόνου. Δεν θέλω να επισκευαστεί σε 12 ώρες αφού χαλάσει. Η πιθανότητα λοιπόν να επισκευαστεί σε 12 ώρες. Δεδομένου ότι ο χρόνος της επισκευής μπορεί να ενδιαρχέσει μέχρι 24 μίον τάφ, η πιθανότητα να επισκευαστεί σε λιγότερο από 12, σύμφωνα με την κλασική μέθοδο, είναι αυτή εδώ. Αυτή είναι η πιθανότητα λοιπόν. Αν χαλάσει τη χρονική στιγμή τάφ, να επισκευαστεί σε χρόνο λιγότερο από 12, είναι 12 προς 24 μίον τάφ, που είναι όλες τις δυνατές περιπτώσεις. Γιατί αν χαλάσει τη χρονική στιγμή τάφ, μπορεί να επισκευαστεί σε αυτό το χρονικό διάστημα, στο άλλο, στο άλλο, στο άλλο, στο άλλο, ισοποιήθανα. Εγώ θέλω συγκεκριμένα πριν από τις 12 ώρες. Άρα η πιθανότητα, σύμφωνα με την κλασική μέθοδο, είναι ο αριθμός των ουγνωϊκών περιπτώσεων προς όλες τις δυνατές περιπτώσεις. Τώρα, βλέπω ένα ενδεχόμενο να χαλάσει τη χρονική στιγμή τάφ και να επισκευαστεί πριν από τις 12, οπότε θα δουλέψει πάνω από 12 ώρες. Αυτό το γεγονός έχει πιθανότητα 1 προς 24 επί 12 προς 24. Ποια πιθανότητα είναι αυτή? Είναι η πιθανότητα να χαλάσει τη χρονική στιγμή που βλέπετε τάφ εδώ και να επισκευαστεί πριν από τις 12 ώρες. Είναι αυτή η πιθανότητα. Αυτό μπορεί να συμβεί με πολλούς τρόπους. Το τάφ είναι εδώ, το τάφ είναι εδώ. Άρα πρέπει να μαζέψω όλα αυτά τα ενδεχόμενα όπου χαλάει μια χρονική στιγμή και επισκευάζεται μέσα σε 12 ώρες. Και αυτό το άθλισμα των πιθανότητων μου δίνει την πιθανότητα να χαλάσει πριν από τις 12 ώρες και να επισκευαστεί μέσα σε 12 ώρες, οπότε θα έχει δουλέψει πάνω από 12 ώρες. Άρα αυτή η πιθανότητα να τη μαζέψω, επειδή είναι πολλά αυτά τα τάφ, θα πρέπει να αλοκληρώσω από 0 μέχρι 12, γιατί το τάφ, είπαμε, είναι η περίπτωση που θα συμβεί πριν από τις 12 ώρες. Γιατί μετά τις 12 η πιθανότητα είναι να δουλέψει έναν δεύτερο. Άρα, αν το τάφ είναι μεταξύ 0 και 12, τότε η πιθανότητα να επισκευαστεί σε λιγότερο από 12 ώρες και να δουλέψει πάνω από 12 ώρες είναι από 0 μέχρι 12, το 1 προς 24, επί 12 προς 24 μιον τάφ, επί τέ. Ναι, ρωτάτε ό,τι θέλετε. Ναι, αν χαλάσει πριν τις 12 η ώρα, έστω ότι χάλασε μια χρονική στιγμή τάφ, τότε μπορεί να δουλέψει το μηχάνημα πάνω από 12 ώρες πως, αν επισκευαστεί σε λιγότερο από 12 ώρες. Άρα λοιπόν, οι περιπτώσεις όπου χαλάει πριν το 12, υπάρχουν πολλά ενδεχόμενα ή πολλοί τρόποι να δουλέψει πάνω από 12, αν χαλάσει σε κάθε χρονική στιγμή που χαλάει, να επισκευαστεί πριν από 12 ώρες. Αν μαζέψω όλους αυτούς τους τρόπους, ποιοι είναι όλοι αυτοί οι τρόποι. Οι τρόποι αυτοί καθορίζονται από όλες τις δυνατές περιπτώσεις όπου μπορεί να χαλάσει πριν το 12 η ώρα, οι οποίοι βέβαια οι τρόποι είναι άπειροι, έτσι. Είναι πολλές συγχρονικές στιγμές. Δηλαδή, θα πρέπει να βρω βασικά την πιθανότητα για ένα τάφ να χαλάσει την χρονική στιγμή τάφ και να επισκευαστεί σε 12 ώρες η πιθανότητα για έναν τρόπο που εξηγώ. Ποιον τρόπο στη συγκεκριμένη στιγμή τάφ να χαλάσει που βλέπεις και να επισκευαστεί σε 12 ώρες έχει πιθανότητα το 1 προς 24, ακριβώς δεν είναι το 1 προς 24, είναι το fx επί dt. Αυτή είναι η πιθανότητα να χαλάσει την χρονική στιγμή τάφ, γιατί το fx είναι 1 προς 24, αφού χαλάει τυχαία ισοπίθανα εδώ πέρα, η συνάρτηση είναι σταθερή, είναι 1 προς 24. Να χαλάσει την χρονική στιγμή τάφ είχαμε επίσης συνεχή 0, αλλά αν την εφτέ την προποδοσιάσουμε εφτέ μου δίνει πιθανότητα να χαλάσει στον χρονική στιγμή τάφ. Επί την πιθανότητα να επισκευαστεί μετά το τάφ σε 12 ώρες είναι 12 προς 24 μιον τάφ, αλλά αυτός είναι ένας τρόπος να δουλέψει, να επισκευαστεί πριν 12 ώρες και να δουλέψει πάνω από 12, είναι ένας τρόπος. Υπάρχουν πολλές χρονικές στιγμές που μπορεί να χαλάσει και να επισκευαστεί. Πώς κάναμε πριν για να υπολογίσουμε την πιθανότητα όταν αυτό μπορεί να συμβεί με πολλούς τρόπους. Θρύζουμε όλες αυτούς τους τρόπους. Εδώ δεν μπορούμε να θρύζουμε γιατί είναι άπερη. Θα ολοκληρώσουμε δηλαδή. Θα ολοκληρώσουμε όσες προστατείτε που έχουμε εδώ από 0 μέχρι 12. Εντάξει ή πάλι βλέπω έχεις απορία. Ναι, γιατί άμα χαλάσει η χρονική στιγμή τάφ, όλη η δυνατή χρόνη για να επισκευαστεί είναι από τάφ, είναι από 0 ας το πούμε, μέχρι 24 μίον τάφ. Γιατί άμα χαλάσει μια χρονική στιγμή, εδώ τάφ, θα επισκευαστεί ισοπίθανα μέσα σε αυτό το χρονικό διάστημα σίγουρα. Δηλαδή όλο το δυγματικό χώρος των περιπτώσεων όπου θα επισκευαστεί είναι από 0 μέχρι 24 μίον τάφ. Το 0 ξεκινάει από εδώ. Σε αυτό το χρονικό διάστημα θα επισκευαστεί, στο άλλο, στο άλλο, στο άλλο, στο άλλο. Μέχρι μέσα εδώ σίγουρα θα επισκευαστεί. Αλλά εμείς θέλουμε στις 12 από τις ώρες να επισκευαστεί. Άρα η πιθανότητα σύμφωνα με τον χρονικό τρόπο είναι αυτή εδώ πέρα. Αυτή είναι η πιθανότητα 1 προς 24 πιντε τέ είναι η πιθανότητα να χαλάσει την χρονική στιγμή τάφ. Το προποποσιάζω πιντε τέ γιατί 1 προς 24 η συνάχτηση επικρίνωσης πιθανότητας δεν εκφράζει πιθανότητα. Αν το προποποσιάζουμε πιντε τέ εκφράζει πιθανότητα. Και πώς θα την μαζέψουμε αυτήν την πιθανότητα με ολοκλήρωμα βέβαια. Και παρόμοια μπορώ να σας δώσω μια άλλη άσκηση εάν το καταλάβατε αυτό που λύνεται παρόμοια με αυτό. Μα το ισκεπτικό δύο φίλοι δίνουν ραντεβού από τις 4 μέχρι τις 5 σε ένα σημείο. Αν ο πρώτος που έρθει στο ραντεβού περιμένει 20 λεπτά. Εάν δεν έρθει ο φίλος του φεύγει. Ποια είναι η πιθανότητα να συναντηθούνε. Θα υποθέσω ότι έρχεται ο α πρώτος μια χρονική στιγμή ταφ όπως έχουμε εδώ και θα πρέπει ο φίλος του να έρθει στο διάστημα μετά το ταφ σε 20 λεπτά. Το οποίο πιθανότητα είναι 20 προς 60 λεπτά. Μάλλον είναι 20 προς 60 μίον ταφ. Παρόμοια θα το λύσετε και αυτό εδώ πέρα και μετά αυτή την πιθανότητα θα την διεπλασιάσετε γιατί μπορεί να έρθει ο β πρώτος και ο όρφαν να έρθει δεύτερος. Σκεφτείτε αυτό μπορείτε να το λύσετε με το ίδιο σκεπτικό. Στο βιβλίο υπάρχουν τέτοια παραδείγματα που δεν προλάβαμε να κάνουμε. Την επόμενη ώρα με την κυρία Παπαπέτρο θα κάνετε κάποια από τα προβλήματα ασχήσεις που υπάρχουν και στο βιβλίο. Και την άλλη εβδομάδα θα περάσουμε σε ένα άλλο κεφάλαιο στις χρήσιμες κατανομές ποασών, διονυμική κτλ. Ό,τι απορίες βέβαια έχετε μπορείτε πάλι να με ρωτήσετε είτε εδώ είτε στο γραφείο μου. Έστω ότι έχουμε μία τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή με τις παραμέτρους α και β. Που κατανέμεται στο διάστημα α β έχουμε να υπολογίσουμε τις τιμές α και β αν γνωρίζουμε τα εξής ότι η μέση τιμή της χ είναι μηδέν. Πρώτον γνωρίζουμε αυτό και δεύτερον γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα το χ να είναι μικρότερο του 1 είναι ίσο με 2 τρίτα. Και δεδομένου ότι γνωρίζουμε αυτά τα δύο πρέπει να βρούμε τα α και β. Τώρα πως θα το κάνουμε αυτό. Θα σας δίνετε στις εξετάσεις το τυπολόγιο λογικά το τυπολόγιο σας δίνετε. Οπότε θα σας δίνετε ποια είναι η συνάντηση πυκνότητας πιθανότητας της ομοιόμορφης κατανομής. Η οποία είναι 1 προς β-α όταν το χ είναι ανάμεσα στο α και β και μηδέν αλλού. Και επίσης η μέση τιμή είναι α συν β δεύτερα. Αυτά στη θεωρία τα κάνατε είδατε και πως βγαίνουν λογικά. Αλλά δεν χρειάζεται νομίζω να τα μάθετε αυτά και κυρίως γιατί ας σας τα πει. Αλλά στο τυπολόγιο νομίζω δίνονται όταν ακολουθεί μια τυχαία μεταβλητή κάποια κατανομή. Ποια είναι η συνάντηση πυκνότητας πιθανότητας, ποια είναι η μέση τιμή και ποια είναι η διασπορά θα σας δίνονται. Τώρα έχουμε αυτά τα δεδομένα. Έχουμε ότι η μέση τιμή είναι μηδέν και ότι η πιθανότητα το χ είναι μικρότερο του ένα είναι δύο τρίτα. Ποιες είναι οι δύο εξισώσεις που δημιουργούνται έτσι ώστε να βρούμε το α και β. Η μία είναι πολύ φανερή. Να πούμε πρώτα την πιο εύκολη. Ότι το α και α συμβεί τα δεύτερα είναι ίσο με το μηδέν και θα πάμε μετά στο άλλο. Από τη μέση τιμή, ότι η μέση τιμή είναι ίση με το μηδέν που μας δίνεται από την εκφώνηση. Πάμε α συμβεί τα δεύτερα ίσο με το μηδέν και από εδώ βγαίνει ότι το α είναι ίσο με το μηοβήτα. Αυτό εντάξει. Και τώρα όπως είπε και ο συνάδελφός σας από εδώ πέρα έχοντας ότι η πιθανότητα το χ είναι μικρότερο του ένα ίσο με δύο τρίτα. Έχοντας τη συνάντηση πυκνώντας πιθανότητας θα πάμε από το ολοκλήρωμα. Αλλά επειδή βλέπουμε ότι εδώ έχουμε από α έως β το χ είναι ανάμεσα από α έως β και εδώ έχουμε το χ είναι μικρότερο του ένα. Εμως μας βολεύει να πάμε στο χ να είναι μεγαλύτερο του ένα. Γιατί βλέπουμε ότι εδώ το α είναι ίσο με μηοβήτα δηλαδή αν το α είναι θετικό, αν το β είναι θετικό το α θα είναι αρνητικό. Επομένως το ένα θα είναι ονόμεσα στα α και στα β. Από τον ορισμό της ομοιόμορφης κατανομής το α είναι πάντα μικρότερο του β. Ναι το β είναι μικρότερο του ένα. Βλέπουμε ότι πιθανότητα εδώ το χ να είναι μικρότερο του ένα είναι τα δύο τρίτα. Επομένως πάντα το β θα είναι μετά του ένα. Έχοντας τα δεδομένα πάντα το β βρίσκεται μετά το ένα από τα δεδομένα μας. Έχοντας αυτό τώρα από τα δεδομένα μας βολεύει αντί για το π του χ μικρότερο του ένα να πάμε στο π του χ μεγαλύτερο του ένα. Μεγαλύτερο ίσο του ένα. Όπου αυτό θα είναι ένα μειον πέτου χ μικρότερο του ένα. Όπου αυτό θα είναι ίσο με ένα. Ένα μειον δύο τρίτα ίσο με ένα τρίτο. Τώρα έχοντας το π του χ μεγαλύτερο ίσο του ένα μας βολεύει να πάμε σε αυτή τη συνάτηση πιθανότητας που τη γνωρίζουμε. Και έχοντας τα δεδομένα ότι το β θα είναι πάντα μεγαλύτερο του ένα μπορούμε να πάρουμε το ολοκλήρωμα από ένα έως β. Ένα να γράψω φ του χ δχ ίσον με ένα τρίτο. Έχοντας εδώ πέρα μας λέει ότι η μέση τιμή είναι ίση με το μηδέν. Και βγαίνει ότι το α είναι αντίθετο του β δηλαδή όταν το β είναι θετικό το α θα είναι αρνητικό δηλαδή θα είναι ανάμεσα. Και έχοντας εδώ πέρα και την πιθανότητα ότι όταν το χ είναι μικρότερο του ένα θα είναι δύο τρίτα. Άρα αφού το α πάντα είναι μικρότερο του β και το χ είναι διάμεσα και πάντα υπάρχει πιθανότητα θετική το χ όταν είναι μικρότερο του ένα να υπάρχει πιθανότητα θετική. Άρα πάντα το β θα είναι μετά του ένα μετά της μονάδας. Μίον α. Α έως ένα. Περίμενε λίγο να το σκεφτώ. Ναι πρέπει να βγαίνει το ίδιο λογικά. Ναι λογικά βγαίνει το ίδιο αν το κάνεις. Ναι λογικά αν το κάνεις βγαίνει το ίδιο. Θα το κάνουμε και θα δούμε. Ένα τρίτο προημένως από ένα έως β. Εύχει δεχεί ίσον με ένα τρίτο. Και εδώ πέρα ένα έως β. Ένα β μίον α. Δεχεί ίσον με ένα τρίτο. Και εδώ πέρα το ολοκλήρωμα αυτό με τι θα ισούτε. Αυτό είναι σταθερός όρος. Επομένως έξω. Αυτό βγαίνει έξω. Εδώ μένει το χ από ένα έως β. Και τώρα θα γίνει β-1 προς β-α ίσον με ένα τρίτο. Και η δεύτερή μου εξίσουση είναι 3β-1 ίσον με β-α. Και πάω και αντικαθιστώ όπου α το μίον β. Και έχω 3β-3 ίσον β συν β. Επομένως β ίσον με 3. Και το α ίσον με μίον 3. Και βρήκαμε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, η οποία είναι το 1 έκτο. Όταν το χ είναι από μίον 3 έως 3. Το καταλάβαμε. Και τώρα το δεύτερο ερώτημα μας έλεγε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες πι του χ να είναι ίσο με 0.5 πι του χ μικρότερο του 0.5 πι του χ μικρότερο του 4. Και πι του χ ανάμεσα στο μίον 0.5 και στο 0.5. Όταν το χ είναι ίσο με 0.5, δηλαδή είναι ίσο με ένα σημείο, τότε αυτή η πιθανότητα με τι θα είναι ίση? Θα είναι με 0. Και αυτό γιατί η συνάρτησή μου είναι συνεχής, δηλαδή αν σας δοθεί μια τέτοια ερώτηση, θα απαντήσετε επειδή η συνάρτησή μου είναι συνεχής και επειδή έχουμε ένα σημείο, τότε η πιθανότητά μου θα είναι 0. Δεν μπορώ να έχω ένα διάστημα για να ολοκληρώσω. Η πιθανότητά μου θα είναι 0. Τώρα εδώ, όταν το χ είναι μικρότερο του 0.5, μπορώ να το βρω με το ολοκλήρωμα. Το ολοκλήρωμα θα είναι από, παιδιά μη κοιμάστε, ζωντανέψτε. Είναι εύκολα αυτά. Όταν έχουμε να βρούμε πιθανότητες και ξέρουμε τη συνάρτηση πιθανότητας-πιθανότητας, με το ολοκλήρωμα. Μέχρι 0.5, 1 έκτονται χ. Και εδώ βγάζουμε το 1 έκτο έξω και θα είναι 3.5, γιατί εδώ έχουμε το μειών. Δεν το ξεχνάτε. Να το γράψω πιο αναλυτικά κάποιος που θα το δει πως βγαίνει. Είναι πανεύκολο. Δεν το γράφω. Μιλήστε να το γράψω. Όχι. Τώρα, όταν το χ είναι μικρότερο του 4. Θα είναι το ολοκλήρωμα από μειών 3 έως 3. Από 3 έως 4 είναι 0, οπότε δεν το γράφω. Οπότε θα είναι από 3 έως 3, 1 έκτονται χ. 6 προς 6, ίσον 1. Και όταν είναι από μειών 0.5 έως 0.5, 1 έκτονται χ, θα είναι 1 έκτο. Εντάξει. Μπράβο. Τι γράψατε? Αυτό είναι από την θεωρία. Συνομοιόμορφη κατανομή βγαίνει ότι μέση θυμή είναι α' συμβήτα δεύτερα. Τώρα, ένα άλλο πρόβλημα λέει. Η μηνιαία κατανάλωση πετρελέου χ για θέρμα σε μια σπολκατικία σε χιλιάδες γαλόνια είναι τυχαία μεταβλητή με πυκνότητα. Ποια είναι η αναμενόμενη κατανάλωση πετρελέου για τους πέντε μήνες της χειμερινής περιόδου όπου οι μήνες είναι το ίδιο ψυχρή. Εμάς μας δίνει την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για την μηνιαία κατανάλωση του πετρελέου και θέλει να βρούμε την αναμενόμενη κατανάλωση πετρελέου για πέντε μήνες. Άρα αρχικά όταν σας δίνεται το ερώτημα να βρείτε την αναμενόμενη τιμή το μυαλό σας θα πηγαίνει πάντα στη μέση τιμή. Οπότε τώρα που έχει να βρούμε εδώ πέρα αναμενόμενη κατανάλωση πετρελέου θα πρέπει να βρούμε τη μέση τιμή της τυχίας μεταβλητής χ. Εδώ πέρα όμως μας δίνει την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για την μηνιαία. Εμείς θέλουμε να βρούμε για τους πέντε μήνες. Οπότε αρχικά θα βρούμε για τον ένα μήνα και μετά θα δούμε τι θα κάνουμε για τους πέντε μήνες. Άρα παιδιά μην προσέχετε. Όχι βασικά εσένα θα ρωτήσω να μου πεις την απάντηση. Αυτό το εξλογί που θα βρούμε για τι πράγμα θα είναι. Είπαμε ότι θα είναι για τη μηνιαία κατανάλωση πετρελέου. Και αυτό που μας ζητά η άσκηση θα είναι και για τους πέντε μήνες. Επομένως η μέση τιμή θα είναι γι' αυτό το f του x, αλλά μετά εμείς θα τον αγάπουμε στους πέντε μήνες. Όταν έχουμε συνεχή συνάρτηση η μέση τιμή πώς βρίσκεται. Δε θυμάται κάποιος να μου πει. Είναι x. Από μειονάπηρο συνάπηρο τώρα εμείς θα το κάνουμε από 0 έως 1. Η x είναι η μηνιαία κατανάλωση πετρελέου. Ναι, για τον ένα μήνα. Και τώρα έχουμε να λύσουμε αυτό το ολοκλήρωμα. Αλλά επειδή είναι κάπως δύσκολο αυτό το ολοκλήρωμα να λυθεί έτσι όπως είναι. Αλλά εσείς που κάνατε ολοκληρώματα θα θέσουμε κάτι. Για να λυθεί πιο εύκολα. Εκείνο άμα το αναπτύξουμε. Ναι, για να μην κάνουμε όλο αυτό. Μπορεί κάποιος να μην θυμάται πώς αναπτύσσεται το ολοκλήρωμα στην Δετάρτη. Μπορούμε να κάνουμε κάτι πιο απλό. Θέτουμε το 1-x ίσον με u. Και οπότε το de u θα γίνει μειον de x. Και τώρα τι άλλο θα αλλάξει. Το x θα γίνει ένα μειον u. Και τώρα θα αλλάξουν και τα όρια. Όταν το x τύνει στο μηδέν, το u θα τύνει στο ένα. Αυτό παιδιά όλοι τα καταλαβαίνω. Αν κάποιος έχει πορεία να με ρωτήσει. Και όταν το x τύνει στο μηδέν, το u θα τύνει στο μηδέν. Πείτε μου. Καταστρέφονται δύο φορές τα όρια, οπότε φάνε τα ίδια με. Βγαίνει το μειον έξω. Μειον πέντε. Το x, είπαμε, γίνεται ένα μειον u. Και το ένα μειον x γίνεται u στη Δετάρτη. Και τώρα έχουμε. Μειον πέντε u στη Δετάρτη. Συν πέντε, το πέντε στο έχω ακόμα από έξω. Έχω u στη Δετάρτη, μειον u στη Μπέμπτη. Και τώρα αυτό θα γίνει u στη Μπέμπτη. Πέντα μειον u στην έκτη έκτα. Και τώρα έχω. Ένα μειον πέντε έκτα, είσον ένα έκτο. Οπότε, η μεσητιμή για τη μηνιαία κατανάλωση βγαίνει ένα έκτο. Το ερώτημά μας όμως ήτανε για τους πέντε μήνες της χειμερινής περιόδου, αλλά μας λέει ότι οι μήνες είναι το ίδιο ψυχρή. Από αυτό καταλαβαίνουμε, όταν μας λέει ότι είναι το ίδιο ψυχρή, ότι... Οπότε, από την ιδιότητα που μάθατε στη θεωρία της μέσης τιμής, αν πούμε ότι χει παριστάνει την κατανάλωση που θέλουμε να βρούμε για τους πέντε μήνες και έχει μέσα τον πρώτο μήνα, τον δεύτερο, μέχρι τον πέμπτο. Εμείς έχουμε βρει το εχ1 για τον ένα μήνα, όπου είναι ένα έκτο. Αλλά ξέρουμε ότι και το εχ2 και το εχ3 έως και το εχ5 είναι ένα έκτο, γιατί μας λέει ότι είναι το ίδιο ψυχρή. Από την ιδιότητα που μάθαμε στη θεωρία για τη μέση τιμή, ξέρουμε ότι το εχ μου κάνει εχ1 συνεχ2 συνεχ5. Επομένως, ποια θα είναι η μηνεία κατανάλωση, η μέση μηνεία κατανάλωση? Το άθροισμά τους, πέντε έκτα. Εντάξει. Αν δεν μας λέει για αυτό που είναι η καταψηφόλη, είναι στο ίδιο στόμα. Δεν θα μπορούσαμε να το κάνουμε. Εντάξει. Απορία από αυτήν την άσκηση. Με κοιτάτε με ένα βλέμμα. Αυτή η πτέρυγα. Θα σβήνω. Μια άλλη άσκηση λέει, ένας παιδιτής απαντά σε ένα τέσ πολλαπλής επιλογής, το οποίο αποτελείται από δύο προβλήματα. Το πρώτο πρόβλημα έχει τρεις δυνατές απαντήσεις, ότι έχουμε δύο προβλήματα. Το α και το β. Το πρώτο πρόβλημα έχει τρεις δυνατές απαντήσεις. Άρα η πιθανότητα να απαντήσουμε σωστά ποιά θα είναι το α. Ένα τρίτο. Και η πιθανότητα να μην απαντήσουμε σωστά, δύο τρίτα. Και έχουμε και ένα β πρόβλημα, που έχει πέντε δυνατές απαντήσεις. Πιθανότητα να απαντήσουμε σωστά στο β πρόβλημα, ποιά είναι? Έχει πέντε δυνατές απαντήσεις. Ένα πέμπτα είναι όλα διαφορετικές. Είναι διαφορετικές. Και να απαντήσουμε λάθος, τέσσερα πέμπτα. Όταν σας δίνετε ένα πρόβλημα, καταρχήν κάθε πρόταση θα προσπαθείτε να την ερμηνεύτε. Δηλαδή, σας είχε αυτή την πρόταση. Εσείς θα πάτε, θα γράφετε. Λέει, έχει τρεις δυνατές απαντήσεις. Θα πάτε και θα το ερμηνεύετε αυτό. Δηλαδή, θα γράφετε τις πιθανότητες. Θα γράφετε όμως και την πιθανότητα να μην απαντάτε σωστά. Και την πιθανότητα στο άλλο να μην απαντάτε σωστά. Γιατί σίγουρα θα σας χρειαστεί και αυτό. Μετά λέει, ο φοιτητής επιλέγει τυχαία μία από κάθε πρόβλημα. Μία επιλογή, δηλαδή, έχετε σε κάθε πρόβλημα να απαντήσετε. Να βρεθεί πρώτον η μέση τιμή των σωστών απαντήσεων x του φοιτητή. Έχετε να βρείτε τη μέση τιμή. Εδώ έχουμε τη διακριτή περίπτωση. Όταν θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή σε διακριτή περίπτωση, ποιό τύπο χρησιμοποιούμε? Σίγμα, χι-άι. Αυτό. Άρα εμείς αυτά που μας λείπουμε, ποιά είναι να βρούμε αυτές τις πιθανότητες. Τα χι-άι μου ποιά είναι, δηλαδή τα πιθανά χι-άι ποιά είναι το πεδίο τιμών μου. Είναι να μην απαντήσει σε καμία σωστά, να απαντήσει τουλάχιστον σε μία σωστά και στις δυο σωστά. Άρα το χί μου είναι η μηδέν, η ένα ή δύο. Όχι, όχι. Το μόνο που μας ενδιαφέρει είναι αν απάντησε σε καμία, σε μία ή σε δύο. Επομένως θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα να μην απάντησε σε καμία, σε μία ή σε δύο. Αυτά μας λείπουν. Και πάμε να τα βρούμε. Η πιθανότητα να μην απάντησε σε καμία σωστά, ποιά είναι. Είναι η το μη να μην απάντησε ούτε στο πρώτο πρόβλημα ούτε στο δεύτερο. Εμείς τα έχουμε βρει από πριν αυτά. Άρα είναι η πιθανότητα α συμπληρωματικό επί β συμπληρωματικό. Τα έχουμε βρει από πριν. Αυτά είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Δύο τρίτα επί τέσσερα πέμπτα. Άρα είναι οχτώ δέκατα πέμπτα. Το καταλάβαμε όλοι πώς το βρίσκουμε αυτό. Τώρα, η πιθανότητα να απάντησε τουλάχιστον σε ένα πρόβλημα σωστά. Όχι, αυτό. Το δύο είναι εύκολο μετά. Όχι, θέλω να μάθετε πρώτα το έτσι. Την εύκολη λύση που προσπαθείτε να βρείτε. Να μάθετε πώς το βρίσκουμε. Η ένωση. Μπράβο. Πού ήταν το δύσκολο δηλαδή. Και η ένωση είπαμε με το συν. Και το μή με το πολλοπλασιασμό. Εδώ είναι η πιθανότητα να απαντήσει σωστά στην άλφα, λάθος στη βήτα. Συν, να απαντήσει λάθος στην άλφα, σωστά στη βήτα. Το πέτου άλφα ένα τρίτο, επί τέσσερα πέμπτα. Συν, δύο τρίτα, επί ένα πέμπτο. Έξι δέκα τα πέμπτα. Και το πέχει στον δύο, δηλαδή να απαντήσει και στις δύο σωστά. Από εδώ κάποιος, η πιθανότητα να απαντήσει και εσύ. Πέτου άλφα, επί πέτου βήτα. Ένα τρίτο, επί ένα πέμπτο, ένα δέκατο πέμπτο. Τώρα, για να επαληθεύσουμε αν τα βρήκαμε όντως αυτά σωστά, πρέπει το άνθρωπο αυτό να μου δίνει τη μονάδα. Οπότε το υπολογίσαμε σωστά και εύκολα τώρα μπορώ να υπολογίσω τη μέση τιμή. Το άνθρωπο χ του Ά επί την πιθανότητα. Το χ του Ά είναι το μηδέν, το ένα ή το δύο. Μηδέν, επί οχτώ δέκατα πέμπτα. Συν ένα, επί έξι δέκατα πέμπτα. Συν δύο, επί ένα δέκατο πέμπτο. Και μου κάνει οχτώ δέκατα πέμπτα. Εντάξει, με τη μέση τιμή. Τα βήματα τα καταλάβαμε. Είναι πια η μέση τιμή το να απαντήσουμε σωστά στα δύο προβλήματα. Αυτό. Μηδέν κόμμα κάτι. Γιατί, σχεδόν το μισό, το ενδεύτερο. Και το δεύτερο ερώτημα, είχε να βρούμε τη διακύμαση. Ήταν η μέση τιμή, το να απαντήσεις σε καμία, σε μία ή και στις δύο. Αυτό. Η διακύμαση, θυμάται κάποιος να μου πει από ποιον τύπο βρίσκεται. Γνωρίζουμε τη μέση τιμή. εx τετράγωνο μειών τη μέση τιμή στο τετράγωνο. Τον εύκολο. Αυτό το γνωρίζουμε, το μόνο που έχουμε να βρούμε είναι το εx στο τετράγωνο. Είναι σαν αυτό το τύπο, με τη διαφορά που εδώ πέρα βάζουμε χ ή βάζουμε χ στο τετράγωνο. Επομένως είναι μηδές στο τετράγωνο 8-15 συν 1 στο τετράγωνο 6-15 συν 2 στο τετράγωνο και το αποτέλεσμα είναι 10-15. Επομένως η ιδιακή μας βρίσκεται είναι 10-15 μειών το 8-15 στο τετράγωνο. Το αποτέλεσμα τώρα, κάνετε το ποιος μπορεί να κάνει τον υπολογισμό. Έχει κάποιος σκοπιταράκι. Πόσο βγαίνει. Ναι αυτό πόσο βγαίνει. Αν κάνεις και αυτό δηλαδή. Θα το κάνετε. Θα έχετε όλικο ποιοτεράκι στην τάξη. Μην έρθει κανένα. Τα κινητά δεν επιτρέπονται στις εξετάσεις. Το κάνεις με το μυαλό σου. Πάμε τώρα σε μια άλλη άσκηση. Η μηνιαία κατανάλωσης ηλεκτρικής ενέργειας σε ένα εργοστάσιο είναι τυχαία μεταβλητή με πυκνότητα. Ναι. Να υπολογιστεί αρχικά η μέση τιμή της μηνιαίας κατανάλωσης ηλεκτρικής ενέργειας. Έχουμε να βρούμε πάλι μέση τιμή. Αν γνωρίζαμε εδώ τη συναρτήση πυκνότητας πιθανότητας δεν θα είχαμε πρόβλημα όπως και πριν. Με το ολοκλήρωμα x εφ του x θα υπολογίζουμε και τη μέση τιμή. Εδώ όμως μας λείπει το α. Επομένως γυρνάμε στο προηγούμενο μάθημα, στις προηγούμενες ασκήσεις. Όπου τι κάναμε, ποιος θυμάται. Πάμε στις ιδιότητες της συναρτήσης πυκνότητας πιθανότητας. Επομένως θα πρέπει το ολοκλήρωμα από πλειν άπειρο σε συνάπηρο. εφ του x δεν έχει να μου κάνει τη μονάδα εφόσον είναι η συναρτήση πυκνότητας πιθανότητας. Εδώ πέρα από μηδένε ως ένα, να μου κάνει τη μονάδα. Πάλι θα θέσω, αν θυμάστε είναι ακριβώς η ίδια στην άρτηση πυκνότητας πιθανότητας, με την προηγούμενη άσκηση, την προ-προηγούμενη που κάναμε. Θα θέσω το 1-x με το u για να μου βγει πιο εύκολα τώρα γρήγορα. Το μίον τχ θα γίνει ντυ, πάλι δεν τα γράφω. Το μηδέν θα γίνει ένα και το ένα μηδέν και θα βγει μίον άλφα. u εις την τετάρτη, τε u ίσον με τη μονάδα και εδώ πέρα θα γίνει μίον άλφα. u εις την πέμπτη, πέμπτα από ένας μηδέν, ίσον με τη μονάδα. Άρα εδώ πέρα έχω άλφα πέμπτης ίσον με τη μονάδα και βγαίνει ότι το άλφα είναι ίσον με 5. Δηλαδή ακριβώς όπως στην προηγούμενη άσκηση το ευτουχή μου εδώ πέρα είναι 5. Επομένως όπως υπολογίσαμε τη μέση τιμή στην προηγούμενη άσκηση υπολογίσουμε, να με την ξαναυπολογίσω, την έχετε ήδη κάνει. Ποιο? Αν το χει... Αυτό είναι λόγω της συνάρτησης. Αυτό γιατί, ναι, αυτό της επηράζει σε ένα. Ναι. Δεν ξέρω, το πρόβλημά σου σε ποιο είναι, στα όρια, ότι δεν πρέπει να είναι... Ότι το ολοκλήρωμα βγαίνει, δεν βγαίνει ένα. Η F μπορεί να πάρει την πάνω από ένα. Η F μπορεί να πάρει την πάνω από ένα. Η F δεν σε πειράζει αν πάρει παραπάνω από ένα. Μήπως λίγο το πέρδεψες, εμείς θέλουμε το ολοκλήρωμα να κάνει μονάδα. Η συνάρτηση μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Το F στην ουσία είναι το ψήσου. Αυτό, δηλαδή το ψήσου μπορεί να είναι εδώ πάνω ποιοδήποτε, αυτό. Με τη μέση τιμή, τέλος πάντων, την υπολογίσουμε όπως στην προηγούμενη άσκηση. Και τώρα πάμε στο δεύτερο ερώτημα που αυτό μας ενδιαφέρει. Λέει ποια κατανάλωση ενέργειας δέκα δωδέκα το ποσοστιαίο σημείο δεν ξεπερνιέται στους δέκα μήνες του χρόνου. Θυμάστε το ποσοστιαίο σημείο, πώς το κάνατε στη θεωρία, τι είναι το ποσοστιαίο σημείο. Να το θυμίσω λίγο. Όταν έχω μία συνάρτηση, εδώ πέρα μία συνάρτηση και ψάχνω να βρω το ποσοστιαίο σημείο. Έστω ότι εδώ πέρα είναι το ποσοστιαίο σημείο και θα πρέπει όλο αυτό εδώ πέρα το ολοκλήρωμά του να μου κάνει αυτό εδώ το ποσοστό. Τότε το ολοκλήρωμα από μηδέν μέχρι αυτό το ποσοστιαίο σημείο θα μου κάνει αυτό το συγκεκριμένο ποσοστό. Εδώ πέρα μας ζητάει να βρούμε το ποσοστιαίο σημείο όταν δεν ξεπερνιέται φτιάει κατανάλωση ενέργειας, δηλαδή αυτό το ποσοστιαίο σημείο εμείς θέλουμε να βρούμε το ΧΠ που δεν ξεπερνιέται στους δέκα μήνες του χρόνου. Δηλαδή το ποσοστό μου αυτό οι δέκα μήνες του χρόνου είναι οι δέκα από τους δώδεκα μήνες. Δηλαδή σε εμάς αυτό το Π είναι το δέκα από δέκατα. Άρα πώς θα βρούμε αυτό το ΧΠ. Θα θέλουμε το ολοκλήρωμα από μηδέν έως το ΧΠ να βάλω τη συνάτηση που είναι πέντε ένα μειών Χ στην τετάρτη ΔΧ. Να είναι ίσο με το ποσοστό μου που είναι δέκα από δέκατα. Και τώρα θα λύσω αυτό το ολοκλήρωμα και θα βρω το ΧΠ. Καπνόητο. Πάλι με τον ίδιο τρόπο. Να μην επαναλαμβάνομαι. Μειών πέντε ΧΠ μηδέν Υ στην τετάρτη ΔΥ. Ίσον με δέκα δωδέκατα. Μειών πέντε. Θέλουμε το ολοκλήρωμα από μηδέν μέχρι το ΧΠ τη συνάτηση να μου κάνει αυτό το ποσοστό. Πώς είχαμε εδώ από μηδέν. Περίμενε. Όχι, πες μου λίγο. Περίμενε. Θέτουμε, περιμένε λίγο. Υ ίσον ένα μειών Χ. Οπότε όταν το Χ τύνει στο μηδέν, το Υ θα τύνει στο ένα. Και όταν το Χ τύνει στο ΧΠ, το Υ θα τύνει στο ένα μειών ΧΠ. Και όταν το Χ τύνει στο μηδέν, το Υ θα τύνει στο ένα. Και εδώ πέρα έχουμε. Κάτι που σε βλέπω. Και θα το λύσετε ως προς ΧΠ. Αυτό. Κατανοητό. |
