| : [♪ Μουσική Γεια σας, παιδιά. Ποια είναι η καθετομετρία και πιο συγκεκριμένα με την καθετότητα και την παραλληλία, δηλαδή με τις κάθετες και τις παράλληλες ευθείες. Πάμε να δούμε τι ονομάζουμε κάθετες ευθείες. Όταν δύο ευθείες τέμνονται με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να σχηματίζουν τέσσερις ίσες γωνίες, τότε η κάθε γωνία είναι ορθή. Και η μία ευθεία ονομάζεται κάθετης στην άλλη. Παρατηρήστε την εικόνα. Η πορτοκαλή ευθεία είναι οριζόντια. Και η κόκκινη ευθεία είναι κατακόρυφη. Τέμνονται με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να σχηματίζουν τέσσερις ίσες γωνίες. Αυτές οι γωνίες είναι ορθές, είναι δηλαδή ενενήντα μοίρες. Και οι ευθείες είναι κάθετες. Που συναντάμε όμως ευθείες κάθετες στην καθημερινή μας ζωή. Παρατηρήσατε ότι στο προηγούμενο σχήμα οι κάθετες ευθείες έμοιαζαν με σταυρό. Κάθετες ευθείες συναντάμε συχνά στο σταυρό της ελληνικής ημέας, αλλά και σε άλλες ημέες άλλων χωρών, όπως για παράδειγμα της Νορβηγίας. Κάθετες ευθείες συναντάμε στα σταυροδρόμια, αλλά και στο αναλογικό ρολόι, όταν η ώρα δείχνει 3 ακριβώς, 9 ακριβώς, 3.5 ή 9.5. Πώς όμως μπορούμε να χαράξουμε και εμείς με τη σειρά μας κάθετες ευθείες? Θα χρειαστούμε κάποια πραγματάκια. Θα χρειαστούμε ένα χάρακα, ένα γνώμονα, ένα χαρτί και ένα μολύβι. Και πάμε να ξεκινήσουμε. Για να ξεκινήσουμε θα πρέπει λίγο να μιλήσουμε για το γνώμονα. Ο γνώμονας είναι ένα γεωμετρικό εργαλείο που μοιάζει με ορθογώνιο τρίγωνο. Έχει δηλαδή μία ορθή γωνία. Και οι δύο από τις τρεις πλευρές του είναι κάθετες. Αυτό θα πρέπει να το κρατήσουμε στο μυαλό μας, γιατί θα μας βοηθήσει πάρα πολύ στις επόμενες δραστηριότητες. Πρώτη δραστηριότητα που μπορείτε να κάνετε και εσείς είναι η βάρκα με το πανί. Θα σχεδιάσουμε λοιπόν μία βαρκούλα με ένα πανί. Και πάμε να ξεκινήσουμε. Με το χαρακά μας χαράσουμε μία ευθεία έψιλον πάνω στο χαρτί μας. Στη συνέχεια πάνω στην ευθεία έψιλον σημειώνουμε ένα σημείο. Αυτό το σημείο το ονομάζουμε α με α κεφαλαίου. Στη συνέχεια παίρνουμε το γνωμονά μας. Αλλά τον τοποθετούμε με τέτοιο τρόπο πάνω στην ευθεία, έτσι ώστε η μία κάθετη πλευρά του να εφάπτεται στην ευθεία έψιλον. Στη συνέχεια ολισθένουμε το γνωμονά μας μέχρι να συναντήσει το σημείο α. Δηλαδή ο γνωμονάς μας ταξιδεύει πάνω στην ευθεία έψιλον μέχρι να συναντήσει το σημείο α. Όταν το συναντήσει σταματάμε εκεί και παίρνουμε το μολύβι μας. Τότε σχεδιάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα με τη βοήθεια της άλλης κάθετης πλευράς του γνώμονα. Το ευθύγραμμο τμήμα αυτό το ονομάζουμε αβ. Μπορούμε να προεκτείνουμε και από τις δύο πλευρές και από τις δύο μεριές, δηλαδή το ευθύγραμμό μας τμήμα και να έχουμε έτσι την ευθεία δ. Αυτή η ευθεία είναι κάθετη στην ευθεία ε. Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να έχουμε ξανά την ευθεία μας ε, την οποία έχουμε σχεδιάσει στο χαρτί μας, και αυτή τη φορά να έχουμε ένα σημείο α, όχι πάνω στην ευθεία, αλλά έξω από αυτή, στην πάνω πλευρά της. Σημειώνουμε λοιπόν με το μολυβάκι μας το σημείο α έξω από την ευθεία ε. Στη συνέχεια ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με το γνώμονα μας. Δηλαδή τοποθετούμε το γνώμονα μας με τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε η μία κάθετη πλευρά του να εφάπτεται στην ευθεία ε. Στη συνέχεια μετακινούμε το γνώμονα μας μέχρι να φτάσει στο σημείο α, δηλαδή ο γνώμονας μας ταξιδεύει πάνω στην ευθεία μέχρι να φτάσει στο σημείο α. Όταν το συναντήσει, με το μολύβι μας σχεδιάζουμε το ευθύγραμο τμήμα αβ, με τη βοήθεια της άλλης κάθετης πλευράς του γνώμονα. Το ευθύγραμο τμήμα μπορούμε να το προεκτείνουμε και από τις δύο πλευρές, και έτσι να δημιουργήσουμε την ευθεία δ, η οποία είναι κάθετη στην ε. Και τώρα ήρθε η ώρα για να εμφανιστεί η βαρκούλα μας. Με το μολυβάκι μας φτιάχνουμε τη βάση της βαρκούλας. Δηλαδή για βάση φτιάχνουμε ένα τραπέζιο και για πανί μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το σχήμα από το γνώμονα μας και να φτιάξουμε έναν τριγωνικό πανί, το οποίο να έχει σχήμα ορθογωνίου τριγών. Στην κορυφή μπορούμε να βάλουμε και μια τριγωνική σημεούλα. Τώρα χρησιμοποιούμε τη φαντασία μας για να χρωματίσουμε τη βαρκούλα μας και είναι έτοιμη. Πάμε τώρα να μιλήσουμε για τις παράλληλες ευθείες. Παρατηρήστε τις διπλανές εικόνες. Οι διαγραμμήσεις του αυτοκινητοδρόμου στη διπλανή εικόνα συναντώνται κάπου, τέμνονται κάπου. Η απάντηση είναι όχι, γιατί οι διαγραμμήσεις του αυτοκινητοδρόμου είναι παράλληλες μεταξύ τους. Το ίδιο συμβαίνει και με τις διαγραμμήσεις στη διάβαση πεζών. Βλέπετε εδώ μία εικόνα με δύο παιδάκια που μοιάζουν μάλλον με ευθείες, οι οποίες κολυμπούν μέσα σε μία πισίνα. «Πότε θα σε συναντήσω», ρωτάει μία ευθεία την άλλη. «Πότε», της απαντάει η άλλη, «γιατί φυσικά είναι παράλληλες». Που αλλού συναντάμε όμως παράλληλες ευθείες στην καθημερινή μας ζωή? Οι παράλληλες ευθείες υπάρχουν πολύ στη μουσική. Παράλληλες ευθείες είναι οι γραμμές του πενταγράμου, εκεί δηλαδή που γράφουμε τις νότες μας. Επίσης, παράλληλες ευθείες συναντάμε στα πλήκτρα του πιάνου, αλλά και στο μεταλλόφωνο. Παράλληλες ευθείες συναντάμε στα έγχορδα, όπως είναι η άρπα, αλλά και στα πλήκτρα του ακορντεών. Θα μπορούσε κάποιος να πει ότι τα σαλιγκαράκια μας περπατάνε πάνω στις γραμμές του πενταγράμου. Και αυτά τα σαλιγκαράκια, δηλαδή τα σαλιγκαράκια που περπατάνε στην πάνω ευθεία, δεν θα συναντήσουν ποτέ τα σαλιγκαράκια που περπατούν στην κάτω ευθεία του πενταγράμου, γιατί αυτές είναι παράλληλες μεταξύ τους. Τέλος, ευθείες παράλληλες συναντάμε και στις γραμμές των τετραδίων που γράφουμε. Πάμε να δούμε τον ορισμό για τις παράλληλες ευθείες. Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου λέγονται παράλληλες, όταν όσο κι αν τις προεκτείνουμε δεν θα έχουν κανένα κοινό σημείο. Πώς συμβολίζουμε την παραλληλία δύο ευθείων? Για να δηλώσουμε ότι δύο ευθείες η ε1 και η ε2 είναι παράλληλες, χρησιμοποιούμε το σύμβολο της διπλής πλάγιας γραμμής. Έτσι γράφουμε ότι η ε1 είναι παράλληλη με την ε2. Αντίθετα, αν δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που έχουν ένα κοινό σημείο, όταν τις προεκτείνουμε, δεν τις ονομάζουμε παράλληλες, αλλά τις ονομάζουμε τεμνόμενες. Και το σημείο στο οποίο τέμνονται ονομάζεται σημείο το μης των δύο ευθείων. Παράλληλες και κάθετες ευθείες συναντάμε στα γεωμετρικά μας σχήματα. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμα. Βλέπουμε ότι η πλευρά αβ είναι παράλληλη της πλευράς ΔΓ. Επίσης η πλευρά αδ είναι παράλληλη της πλευράς ΒΓ. Το ίδιο ισχύει και για τις πλευρές του τετραγών. Επιστρέφουμε στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμα. Πάμε να δούμε τις κάθετες ευθείες. Η πλευρά αβ είναι κάθετη με την πλευρά ΒΓ. Βλέπετε εκεί ότι έχει ένα κόκκινο τετραγωνάκι. Αυτό συμβολίζει ότι έχουμε μια ορθηγωνία εκεί. Η πλευρά ΒΓ είναι κάθετη με την πλευρά ΓΔ. Ξανά εκεί έχουμε ένα κόκκινο τετραγωνάκι που σημαίνει ότι έχουμε εκεί ορθή γωνία. Η πλευρά ΓΔ είναι και αυτή κάθετη με την πλευρά ΔΑ. Και ξανά εμφανίζεται το κόκκινο τετραγωνάκι της ορθής γωνίας. Τέλος η πλευρά ΔΓ είναι κάθετη με την πλευρά ΑΒ. Και έχουμε και την τέταρτη ορθή γωνία του ορθογωνίου παραλληλογράμμου μας. Το ίδιο ισχύει και για το τετράγωνο που υπάρχει δίπλα. Ας δούμε τώρα παράλληλες και κάθετες γραμμές σε ένα γήπεδο χειροσφαίρισης, δηλαδή handball. Όλες οι πράσινες γραμμές είναι μεταξύ τους παράλληλες. Όπως επίσης παράλληλες μεταξύ τους είναι και οι κόκκινες γραμμές. Κάθε κόκκινη γραμμή είναι κάθετη σε κάθε πράσινη γραμμή. Παράλληλες και κάθετες ευθείες συναντάμε και στη ρημοτομία των πόλεων, όταν βλέπουμε τα οικοδομικά τετράγων. Βλέπετε εδώ ότι οι οδή που έχουν έντονο κόκκινο χρώμα είναι παράλληλες μεταξύ τους. Και όλες μαζί είναι κάθετες προς την κεντρική ηλεοφόρο που είναι η οδός αναλήψεως. Πώς όμως χαράσουμε και φτιάχνουμε παράλληλες ευθείες. Και εδώ θα χρειαστούμε ένα χαρτί, ένα μολύβι, ένα χάρακα και ένα γνώμονα. Και πάμε να τις φτιάξουμε. Πρώτος τρόπος. Με το χάρακα μου χαράσω μία ευθεία ε. Στη συνέχεια τοποθετώ το γνώμονά μου με τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε η μία κάθετη πλευρά του να εφάπτεται στην ευθεία ε. Με το μολυβάκι μου και με τη βοήθεια της άλλης κάθετης πλευράς του γνώμονα, σχεδιάζω και χαράσω μία ευθεία που θα την ονομάσω α. Στη συνέχεια μετακινώ λίγο πιο δίπλα το γνώμονά μου. Με τη βοήθεια ξανά της κάθετης πλευράς σχεδιάζω μία ευθεία β. Παρατηρούμε ότι η ευθεία β και η ευθεία α είναι κάθετες στην ίδια ευθεία, δηλαδή στην ε. Άρα είναι και μεταξύ τους παράλληλες. Και γράφουμε ότι η α είναι παράλληλη με τη β. Δεύτερος τρόπος που μπορούμε να φτιάξουμε παράλληλες ευθείες. Σχεδιάζουμε ξανά στο χαρτί μας μία ευθεία ε. Στη συνέχεια τοποθετούμε το γνώμονά μας με τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε η μία κάθετη πλευρά του να εφάπτεται στην ευθεία ε. Με τη βοήθεια της άλλης κάθετης πλευράς σχεδιάζουμε μία ευθεία α. Η οποία α είναι με τη σειρά της κάθετη προς την ε. Και εδώ παιδιά είναι το σημείο που πρέπει να προσέξουμε πιο πολύ. Εδώ πρέπει να έχουμε στο μυαλό μας τη μέθοδο του π, δηλαδή το γράμμα π. Βλέπουμε ότι έχουμε ξανά την ευθεία ε και την ευθεία α που είναι κάθετη σε αυτή. Και τοποθετούμε το γνώμονά μας με τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε η μία κάθετη πλευρά του να εφάπτεται στην ευθεία α. Και η άλλη κάθετη πλευρά του να μας βοηθήσει να φτιάξουμε μία τρίτη ευθεία, την ευθεία β. Χαράσουμε λοιπόν με το μολυβάκι μας την ευθεία β, η οποία είναι κάθετη στην α. Παρατηρούμε ότι η ευθεία β και η ευθεία ε είναι κάθετες στην ίδια ευθεία, δηλαδή στην ευθεία α. Άρα η ευθεία β και η ευθεία ε είναι και παράλληλες μεταξύ τους. Γράφουμε λοιπόν ότι η β είναι παράλληλη με την ε. Οι παράλληλες και οι κάθετες ευθείες υπάρχουν και σε διάσημους πίνακες ζωγραφικής. Όπως βλέπετε εδώ τον πίνακα του Ρώσου καλλιτέχνη Βασίλη Καντίνσκη. Ο Βασίλη Καντίνσκη χρησιμοποιεί στα έργα του γραμμές οι οποίες είναι παράλληλες, κάθετες αλλά και τεμνόμενες. Μπορείτε σε αυτό τον πίνακα να βρείτε που είναι οι ευθείες οι οποίες είναι παράλληλες, κάθετες ή τεμνόμενες. Για να δούμε. Μπορούμε να δούμε τρεις παράλληλες γραμμές που τις έχουμε επισημάνει με πράσινο χρώμα. Επίσης μπορούμε να δούμε δύο κάθετες ευθείες τις οποίες έχουμε επισημάνει με μπλε χρώμα. Ενώ επίσης μπορούμε να δούμε και δύο τεμνόμενες ευθείες τις οποίες έχουμε επισημάνει με κόκκινο χρώμα. Φυσικά δεν είναι οι μοναδικές, υπάρχουν και άλλες τέτοιες μέσα σε αυτό τον πίνακα. Πάμε τώρα να ζωγραφίσουμε και εμείς όπως ο Μοντριάν. Εσείς πάρτε ένα λευκό χαρτί, ένα μολύβι, ένα χάρακα, ένα γνώμονα, τα χρώματα και φυσικά να έχετε μαζί τη φαντασία σας. Εγώ θα πάρω το μαρκαδόρο μου και το γνώμονα μου. Έχω εδώ στον πίνακα φτιάξει ήδη μία ευθεία γραμμή και μία κάθετη σε αυτή. Σβήνω την ορθή γωνία αλλά και τις παράλληλες που είναι από κάτω και πάμε να σχεδιάσουμε. Αυτό που μας βίστηκε το ξανασχεδιάζουμε. Έχω πάντα υπόψη μου ότι εκμεταλλεύομαι τις δύο κάθετες πλευρές του γνώμονα. Οι δύο κάθετες πλευρές του γνώμονα είναι μία αυτή και μία αυτή. Εδώ ο γνώμονας έχει ορθή γωνία. Άρα εκμεταλλεύομαι αυτά τα χαρακτηριστικά του γνώμονα. Συνεχίζουμε. Μετακινούμε το γνώμονα μας δεξιά και φτιάχνουμε άλλη μία κάθετη. Συνεχίζουμε. Μετακινούμε το γνώμονα μας, άλλη μία κάθετη. Και μετακινούμε το γνώμονα μας και σε άλλες θέσεις. Πάντα η μία κάθετη πλευρά του γνώμονα στηρίζεται και εφάπτεται πάνω στην ευθεία την αρχική. Συνεχίζουμε και πάμε στην κάτω πλευρά. Εδώ πάλι θα εκμεταλλευτούμε τις δύο κάθετες πλευρές του γνώμονα. Άρα τοποθετούμε τη μία κάθετη πλευρά του γνώμονα να εφάπτεται στην αρχική ευθεία και συνεχίζουμε να σχεδιάζουμε. Μετακινούμε ξανά το γνώμονα και ξανά. Αριστερά και δεξιά. Όλες αυτές οι ευθείες που έχω φτιάξει είναι κάθετες στην ευθεία μου την αρχική που είναι η οριζόντια. Πάμε τώρα να τοποθετήσουμε το γνώμονα μας κατάλληλα για να εμφανιστούν και άλλες ευθείες. Πάμε τώρα και στην πάνω πλευρά. Χρησιμοποιούμε τις δύο κάθετες πλευρές του γνώμονα. Η μία κάθετη πλευρά εφάπτεται στη μία ευθεία και με την άλλη κάθετη πλευρά του γνώμονα σχεδιάζουμε την άλλη ευθεία. Μπορούμε να δημιουργήσουμε ορθογώνια παραλληλόγραμμα διαφορετικού μεγέδους. Τώρα μπορούμε να χρωματίσουμε με τη φαντασία μας τα τετραγωνάκια με διαφορετικό χρώμα ή κάποια να τα αφήσουμε λευκά. Διαλέγουμε κάποια να τα κάνουμε πράσινα, κάποια να τα κάνουμε μαύρα ή όπως αυτό εδώ. Και κάποια να τα κάνουμε κόκκινα. Έτσι ο καθένας από εμάς μπορεί να φτιάξει το δικό του εργοτέχνης χρησιμοποιώντας τη φαντασία του, τα χρώματά του και τα γεωμετρικά του εργαλεία. Καλή επιτυχία! Σας ευχαριστούμε που παρακολουθήσατε και αυτό το μάθημα. Γεια σας! |
