| Διάλεξη 4: Σήμερα θα ολοκληρώσουμε την ενότητα με τη Μηθαδολογία Κτίμησης Πιθανότητας. Θα μιλήσουμε για ανεξάρτητα γεγονότα την πρώτη ώρα, την δεύτερη. Θα συνεχίσουμε με μια επανάληψη. Θα συνεχίσουμε με μια επανάληψη. Θα συνεχίσουμε με μια επανάληψη. Θα συνεχίσουμε με μια επανάληψη. Θα συνεχίσουμε με μια επανάληψη σε ασκήσεις και προβλήματα για να ολοκληρώσουμε την ενότητα αυτήν. Την άλλη εβδομάδα θα περάσουμε στιχές με τα βλητές. Το σποδιότερο όμως είναι ότι πρέπει να κάνετε εξάσκηση πάνω σε αυτά που κάναμε, να κάνετε εξάσκηση. Να λύνεται όλο και περισσότερο ασκήσεις. Αν έχουμε σε ένα πείραμα τύχης, έχουμε έναν αδειγματικό χώρο και έχουμε δύο γεγονότα α και β. Τώρα η πιθανότητα του β είναι διάφορη του μηδέν. Όπως και του α. Η πιθανότητα του α είναι διάφορη του μηδέν. Σε μία εκτέλεση του πειράματος, η πιθανότητα του β, αν γνωρίζω ότι πραγματοποιείται το α με τί ή ούτε. Ξέρομαι ότι τα α και β είναι ξέρα μεταξύ τους, δεν μπορούν να συμβούνται αυτοχρονά. Σε μία εκτέλεση του πειράματος, αν γνωρίζω ότι το αποτέλεσμα ανήκει μέσα στο α, δηλαδή συμβαίνει το α, αν συμβαίνει το α σε μία εκτέλεση, κι άλλη πιθανότητα να συμβαίνει και το β. Βλέγε, είναι μηδέν. Βλέπουμε δηλαδή ότι η εμφάνιση πραγματοποίηση του α, επηρεάζει την πιθανότητα πραγματοποίησης του β. Δεδομένα, ότι η πιθανότητα του β είναι διάφορο του μηδέν, η εμφάνιση του α μηδενίζει την πιθανότητα πραγματοποίησης του β. Σε μία άλλη περίπτωση, αν έχουμε διαφορετικά γεγονότα α, β, όπως αυτό εδώ πέρα, αυτό είναι το β και εδώ κάπου είναι το α. Ξέρω ότι η πιθανότητα του β είναι μικρότερον της μονάδος. Η πιθανότητα όμως του β, αν γνωρίζω ότι το αποτέλεσμα του πειράματος ανήκει εδώ, δηλαδή αν γνωρίζω ότι συμβαίνει το α, τότε η πιθανότητα να συμβαίνει και το β είναι 1 και όχι μικρότερον του 1. Βλέπω δηλαδή ότι η εμφάνιση πραγματοποίηση του α, επηρεάζει την πιθανότητα πραγματοποίησης του β. Πολλές φορές δηλαδή η πραγματοποίηση ενός γεγονότος επηρεάζει την πιθανότητα να συμβεί ένα άλλο γεγονός. Άλλες φορές πάλι δεν επηρεάζει. Η πραγματοποίηση ενός γεγονότος δεν επηρεάζει την πιθανότητα πραγματοποίησης ενός άλλου γεγονότος. Γι' αυτό είναι ανάγκη να ορίσουμε τα ανεξάρτητα γεγονότα α, β. Γενικά δίνουμε τον ορισμό της ενεξαρτησίας δύο γεγονότων. Αν έχουμε ένα πείραμα, ένα δειγματικό χώρο και έχουμε και εκεί πέρα κάποια γεγονότα α, β, λέγουμε ότι είναι ανεξάρτητα αν η πιθανότητα της τομής ισούται με την πιθανότητα του α επί την πιθανότητα του β. Ενώ στον πολλοπροβλασιαστικό κανόνα η πιθανότητα της τομής είναι η πιθανότητα του α επί την πιθανότητα του β, δεδομένως συμβαίνει το α. Αλλά εδώ όμως πρόκειται για ανεξάρτητα γεγονότα και ορισμός της ανεξαρτησίας δίνεται από αυτή την εκθίσωση. Επίσης ισοδύναμος ορισμός είναι ότι η πιθανότητα του β, δεδομένως συμβαίνει του α, ισούται με την πιθανότητα του β. Ο ορισμός λοιπόν για ανεξάρτητα είναι ο πρώτος ή ο δεύτερος, είναι ισοδύναμος. Εδώ βλέπουμε καθαρά ότι η εμφάνιση του α δεν επηρεάζει την πιθανότητα του β. Τα ανεξάρτητα γεγονότα είναι ορισμός πιθανολογικός, δηλαδή θα πρέπει να ισχύει η εξίσωση αυτών των πιθανοτήτων. Είναι ανεξάρτητα μόνο και μόνο τότε όταν ισχύει η εξίσωση, ενώ τα ασυβίβαστα ή οτιδήποτε άλλο ήταν εννοιολογικός ορισμός, δηλαδή οι δύο γεγονότα είναι ασυβίβαστα όταν δεν προλύνουν να πραγματοποιηθούν μαζί κατά την εκτέληση του πειράματος. Δηλαδή, μ'αλήξω ένα ζάρι να έρθει άρτιος ή περιπτώστες τα δύο γεγονότα, είναι ασυβίβαστα. Το καταλαβαίνω ότι είναι ασυβίβαστα. Δεν χρειάζεται να ελέγξω κάτι, είτε πολύ πολύ να δω άριστο μύτος, είτε το κενό, αν είναι το κενό, είναι ασυβίβαστα. Ενώ στα ανεξάρτητα γενικά δεν μπορώ να καταλάβω πότε δύο γεγονότα, δεν μπορώ να καταλάβω εννοιολογικά πότε είναι ανεξάρτητα. Αυτά εδώ πέρα τα γεγονότα γενικά δεν μπορώ να καταλάβω αν είναι ανεξάρτητα ή δεν είναι, για να το ελέγξω πρέπει να δω αν ισχύει αυτή η εξίσωση. Επίσης εδώ πέρα πριν κλείσω να πω ότι όταν είναι ασυβίβαστα τα γεγονότα, όταν είναι ασυβίβαστα όπως έδειξα πριν, τότε δεν ισχύει αυτή η εξίσωση. Όταν είναι ασυβίβαστα. Διότι η πληθυρότητα της τομής, το αριστερό μέρος είναι 0, ενώ το δεξιό μέρος δεν είναι 0, γιατί είναι η πιθανότητα του Ά, επί την πιθανότητα του Β, που είναι διάφορα του 0. Άρα λοιπόν τα ασυβίβαστα δεν είναι ανεξάρτητα. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει και να μην τα μπερδεύουμε τα ασυβίβαστα με τα ανεξάρτητα. Κάτι θέλατε να ρωτήσετε. Για αυτό πρέπει να άρχισε να κάνουμε το μηχάνημα οικονομική του συνδροδοκού, που πρώτος έδωσε και δεύτερος έδωσε, δηλαδή ήταν δύο ανεξάρτητα. Όταν η συνδροδοκός γνωρίζουμε τι είναι, αν η συνδροδοκός είναι καλή, η πιθανότητα του θ1 και θ2 που είχαμε εκεί πέρα ήταν ανεξάρτητα. Ναι, επειδή όταν εκεί πέρα ήταν δεδομένο ότι είναι ανεξάρτητα. Πώς ήταν δεδομένο, ξέρομαι ότι το μηχάνημα όταν ελέγχει συνδροδοκό καλή, και στο πρώτο έλεγχο η πιθανότητα να δείξει θετικό είναι 0,10. Και δεύτερο έλεγχο να κάνουμε, εάν ξέρουμε ότι η συνδροδοκός είναι καλή, για να βγει θετικό είναι 0,10. Και τρίτο έλεγχο και τέταρτο έλεγχο να κάνουμε είναι πάνω τε 0,10. Αυτό το ξέραμε από την αρχή. Δεν δοκιμάσαμε δηλαδή κανιά πιθανολογική ή κανιά εξίσωση πιθανολογικά να το διαφιστώσουμε. Το ξέραμε από το πρόβλημα. Ναι, άμα δίνεται από το πρόβλημα μπορεί να το ξέρει ότι είναι ανεξάρτητα. Αλλά σε ένα πείραμα τύχης γενικά, αν υπάρχουν γεγονότα α, β για να ελέγξεις αν είναι ανεξάρτητα πρέπει να δεις αν ισχύει η εξίσωση. Όταν δει ο γεγονότας θέλω να δω αν είναι ασυβίβαστα, δεν χρειάζεται να διαπιστώσω αν ισχύει κάποια εξίσωση. Το βλέπω ότι είναι ασυβίβαστα. Ή ξέρω ότι δεν μπορώ να συμβούν ταυτόχρονα, το καταλαβαίνω. Δεν χρειάζεται τίποτα ιδιαίτερο να ελέγξω. Ενώ θα είναι ανεξάρτητα πρέπει να ελέγξεις. Ας υποθέσουμε ότι ρίχνουμε τρία αντικείμενα στη σειρά α, β, γ. Ας υποθέσουμε ότι W είναι το γεγονός ότι το β βρίσκεται δεξιά του α. Και ένα άλλο γεγονός R ότι το γ βρίσκεται δεξιά του α. Ρίχνουμε τρία αντικείμενα στη σειρά. Μπορεί να είναι α β γ, μπορεί να είναι α β γ. Ή α γ β ή β α γ ή β γ α. Ή γ α β ή γ β α. Το W είναι το β βρίσκεται δεξιά του α. Λοιπόν αυτός είναι ο δειγματικός χώρος θα μην το ξαναγράφω. Περιλαμβάνει όλα τα δειγματοσυμμεία αυτά εδώ πέρα. Το γεγονός W περιλαμβάνει ποιες περιπτώσεις το α β γ, το α γ β. Το β να είναι δεξιά του α όχι κατ' ανάγκη δίπλα του μπορεί να είναι και έτσι. Το γ α β είναι τρεις περιπτώσεις. Υπάρχει άλλη, δε βλέπω άλλη. Το R έχει το α β γ, το α γ β και εδώ έχει το β α γ. Και το μ W το μ R θέλουμε να δούμε δηλαδή αν τα δύο γεγονότα αυτά είναι ανεξάρτητα. Δεν μπορώ να καταλάβω αν είναι ανεξάρτητα. Πρέπει να διεπιστώσω άλλη πιθανότητα της τομείς τους ή σούτε με το γινόμενο των πιθανότητας τους. Το γεγονός αυτό περιλαμβάνει τρία δειγματοσυμμεία τα οποία νησοφύθανα. Το R περιλαμβάνει τρία τα οποία νησοφύθανα. Οι τομεί τους σαν γεγονός περιλαμβάνει πιο το α β γ και το α γ β. Αυτό εδώ πέρα δεν περιλαμβάνεται μέσα στην τομή. Γιατί εδώ το γ είναι δεξιά του α αλλά δεν είναι και το β. Και έτσι η πιθανότητα του W το μη R ισούται με δύο έκτα ενώ η πιθανότητα του W ισούται με ένα δεύτερο. Η πιθανότητα του R ισούται με ένα δεύτερο. Αυτό εδώ πέρα, αυτή η πιθανότητα είναι διάφορη από το πιθανότητα W επί την πιθανότητα του R. Γιατί αυτό είναι εν δεύτερον επί εν δεύτερον, μου κάνει ένα τέτατο αυτό εδώ και το άλλο μου κάνει ένα τρίτο. Άρα τα δύο γεγονότα δεν είναι ανεξάρτητα. Δεν ισχύει η εξίσωση, άρα δεν είναι ανεξάρτητα. Έτσι λοιπόν, αρκετές φορές δεν μπορούμε να δούμε αν είναι ανακαταλάβουμεν λογικά ή διαισθητικά και θα πρέπει να το ελέγξουμε. Βέβαια κάθε γεγονός είναι ανεξάρτητο με το σίγουρο γεγονός. Κάθε γεγονός είναι ανεξάρτητο με το S. Δηλαδή όμα συμβαίνει το S επηρεάζεται η πιθανότητα εμφάνισης του Ά. Είναι ανεξάρτητα, γιατί το S πάνω δεν συμβαίνει οπότε δεν μπορεί να επηρεάζει. Εδώ τυχαίνει και να το καταλαβαίνουν λίγο, αλλά η πιθανότητα δηλαδή οποιοδήποτε γεγονότος με το S είναι ανεξάρτητο με το σίγουρο γεγονός. Είναι η σχή ΠΑ επί ΠΕΣ η σχή. Γιατί αυτή η τομή εδώ πέρα είναι το Ά και εδώ αυτό είναι 1 είναι το ΠΑ. Ξεχάσαμε να πούμε ότι ο ορισμός της ελεξαρτησίας η σχή όταν το ΠΑ είναι διάφορο του 0 και το ΠΒ είναι διάφορο του 0. Όπως και η υποσυντή και η πιθανότητα που είχαμε πει ότι η ΠΑ δεδομένο Β σχετικά με ΠΑ το ΜΒ προς ΠΒ εκείνο πάλι ίσχυε όταν το ΠΒ ήταν διάφορο του 0. Γιατί δεν μπορούσαμε να ράφουμε στον παρονομαστή κάτι που είναι 0. Εν πάση περίπτωση ο ορισμός εδώ πέρα ισχύει όταν το ΠΑ και ΠΒ είναι διάφορο του 0. Και μπορούμε να κάνουμε ένα παράδειγμα. Έστω ότι μία δοκός σπάει στο δεύτερο ήμιση κομμάτι. Σπάει τυχαία σε ένα σημείο. Β είναι το γεγονός ότι σπάει εδώ πέρα, κάπου εδώ. Ά είναι το γεγονός ότι σπάει σε ένα συγκεκριμένο σημείο, εδώ, στο πρώτο ήμιση. Ά είναι το γεγονός ότι σπάει σε ένα συγκεκριμένο σημείο στο πρώτο ήμιση. Β είναι το γεγονός ότι σπάει στο δεύτερο οπουδήποτε μέσα στο δεύτερο. Τα δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα. Η εμφάνιση του ενός απαγορεύει την πραγματοποίηση του άλλου. Άρα δεν είναι ανεξάρτητα, είναι εξαρτημένα. Δηλαδή η πιθανότητα του Β, ισουτέ όπως είχαμε πει, με ένα δεύτερο. Η πιθανότητα του Ά, ισουτέ με ένα προς άπειρο. Η πιθανότητα του Ά είναι απεροελάχιστη, είναι μηδενική. Το Ά είναι ότι σπάει στο συγκεκριμένο σημείο που βλέπετε. Το συγκεκριμένο σημείο που βλέπεις είναι ένα προς όλες αυτές τις περιπτώσεις που είναι άπειρες. Είναι μηδεν. Επίσης ξέρω ότι η πιθανότητα του Β, δεδομένο ότι έσπασε στο Ά, το Ά όμως δεν είναι αδύνατο, προσέξτε, το γεγονός Ά δεν είναι αδύνατο, παρόλο που έχει πιθανότητα μηδενική, δεν είναι αδύνατο, μπορεί να συμβεί. Δηλαδή, είναι αδύνατο να σπάσει η ράβδος σε ένα σημείο, αυτό εδώ πέρα, δεν είναι αδύνατο, γιατί το γεγονός Ά δεν είναι το κενό σύνολο, μέσα του έχει ένα σημείο, ποιο, αυτό εδώ. Το γεγονός Ά είναι κενό, είναι υποσύνολο του S, είναι κενό, όχι, έχει ένα σημείο, ποιο. Αυτό εδώ πέρα που έχω φωτουγραφίσει εδώ, άρα αδύνατο είναι ποιο γεγονός, αυτό που είναι κενό. Αλλά η πιθανότητά του όμως, αν πάω να την υπολογίσω, πόσο βγαίνει. Μηδέν, τώρα όταν λέμε ένα προσάπηρο τι είναι, λέμε σχεδόν μηδέν και περίπου μηδέν, μηδέν λέμε. Είναι μηδενική η πιθανότητα. Η πιθανότητα του Β είναι 1 δεύτερο, να σπάσει κάπου μέσα του δευτεροίμπιση. Η πιθανότητα του Β, εδώ σημαίνει του Ά, είναι μηδέν. Δηλαδή, η εμφάνιση του Ά επηρεάζει την πιθανότητα του Β. Δηλαδή, αυτά τα δύο είναι διάφορα, αλλά δεν είναι ανεξάρτητα, είναι εξαρτημένα. Αν, όμως, πάρω την άλλη συνθήκη που ελέγχω, η πιθανότητα Ά το μη Β, αν είναι ίσον με ΠΑ επί ΠΒ, τότε τα δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα. Ποια είναι η πιθανότητα να συμβούν και τα δύο μαζί, μηδέν. Ποια είναι η πιθανότητα του γενωμένου, μηδέν επί ένα δεύτερο, αυτό μου κάνει μηδέν. Άρα, σύμφωνα με αυτήν την εξίσωση, τον ορισμό, είναι ανεξάρτητα. Αλλά είπαμε ότι αυτή η εξίσωση είναι ο ορισμός της ενεξαρτησίας, αν τα ΠΑ και τα ΠΒ είναι διάφορα του μηδέν. Την περίπτωση που το ΠΑ είναι μηδέν, δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω αυτήν την εξίσωση για να ελέγξω αν τα Ά και Β είναι ανεξάρτητα. Αυτό ισχύει όταν τα ΠΑ και ΠΒ από μόνο τους είναι διάφορα του μηδέν. Και εδώ βλέπουμε ότι ισχύει η εξίσωση, αλλά δεν είναι ανεξάρτητα. Είναι εξαρτημένα όπως παραδεχθήκαμε πριν. Γιατί η εμφάνιση του Ά μηδενίζει την πραγματοποίηση του Β. Και ας δούμε τώρα, για να χρησιμοποιήσω την εξίσωση τα ΠΑ και Β είναι άλλοι διάφορα του μηδέν. Για ποιες είναι οι δύο που υποθέσεις να μιλάς. Όχι, αυτά τα δύο είναι ισοδύναμα. Μπορείς να πάρεις το ένα από τα δύο. Δηλαδή, αν ισχύει αυτό εδώ είναι αρκετό. Αν χρησιμοποιήσεις όμως την εξίσωση, παρακάτω, θα πρέπει αυτή την εξίωση να χρησιμοποιείς όταν τα ΠΑ και τα ΠΒ είναι διάφορα του μηδέν. Εντάξει. Δηλαδή, για να χρησιμοποιήσεις αυτή την εξίωση όπως χρησιμοποιήσαμε πριν, για να δούμε αν τα W και R είναι ανεξάρτητα χρησιμοποιήσαμε αυτή την εξίωση. Εκεί όμως τα ΠΑ, W και τα ΠΑ ήταν από ένα δεύτερο. Δεν ήταν κανένα μηδέν. Αν κάποια από αυτά είναι μηδέν, δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω αυτή την εξίσωση. Είναι προφανές γιατί δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω. Γιατί βγαίνει, εδώ μηδενίζεται το γινόμενο, λόγω του μηδέν. Εδώ, αν ισχύει αυτό εδώ, όταν ισχύει αυτό εδώ, είναι ανεξάρτητα. Αν ισχύει, εδώ πέρα έχουμε ΠΒ, εδώ δεν ισχύει η εξίσωση αλλά δεν είναι ανεξάρτητα. Εν πάση περιπτώσει μπορείς να χρησιμοποιήσεις αυτή τη συνθήκη ή αυτή εδώ. Αν χρησιμοποιήσεις αυτή, όμως, θα πρέπει τα ΠΑ και ΠΒ από μόνο τους να είναι διάφορο του μηδέν. Εντάξει. Τώρα, αν τα Ά και Β είναι ανεξάρτητα, το Ά με το Β συμπλήρωμα είναι ανεξάρτητα. Κάποιος λέει, αφού τα Ά και Β είναι ανεξάρτητα και το Ά με το Β συμπλήρωμα είναι ανεξάρτητα κι αυτά. Αλλά, είπαμε ότι δεν μπορούμε να το καταλάβουμε εννοιολογικά, πρέπει να το αποδείξουμε. Δηλαδή, πρέπει να αποδείξουμε ότι ισχύει η εξίσωση ΠΑΤΟΜΙΒΟΧΙ, ισούται με ΠΑ επί ΠΒ. Για να το ελέγξω, πρέπει να το αποδείξω ότι το ΠΑΤΟΜΙΒΟΧΙ συμπλήρωμα, ισούται με ΠΑ επί ΠΒ συμπλήρωμα. Ξεκινώ με τον πολλοπλοσιαστικό κανόνα που ισχύει στα σίγουρα και θα οδηγηθώ στο ζητούμενο. Ξεκινώ με τον πολλοπλοσιαστικό κανόνα. Ξεκινάμε εδώ πέρα και λέμε ότι η πιθανότητα της τομής, σύμφωνα με τον πολλοπλοσιαστικό κανόνα, είναι αυτό εδώ. Η πιθανότητα του πρώτου επί την πιθανότητα του δευτέρου, δεδομένως συμβαίνει το πρώτο. Αλλά, γράφουμε το ΠΑ, η πιθανότητα του συμπληρωματικού Β, δεδομένως συμβαίνει το Ά, είναι 1 διότι η πιθανότητα του συμπληρωματικού που είναι του Β, δεδομένως συμβαίνει το Ά. Λέω, η πιθανότητα του συμπληρωματικού του Β, εις ούτε εμένα μία την πιθανότητα του Β. Η συνθήκη δεν μας πειράζει εκεί πέρα. Είχαμε πει ότι η πιθανότητα της Ένωσης είναι ΠΑΣΙΠΑΙΒΙΔΑΙΜΙΑ κτλ. Η πιθανότητα της διαφοράς είναι αυτή. Είπαμε κάποιους κανόνες, συνολική πιθανότητα και ούτω κατ' εξής. Και είπαμε ότι όλοι αυτοί οι κανόνες, εξισώσεις κτλ. ισχύουν για την υποσυνθήκη πιθανότητα. Δηλαδή η πιθανότητα του Β συμπληρωματικού είναι 1-ΠΒ. Αλλά αυτό ισχύει και για την υποσυνθήκη. Δηλαδή αν δέχουμε μία συνθήκη Ά και εκεί βάλουμε πάλι τη συνθήκη Ά, ισχύει αυτό που είπαμε. Η πιθανότητα του συμπληρωματικού είναι 1-ΠΑ, δεδομένο κάποιας συνθήκης. Δηλαδή ό,τι μάθαμε μέχρι τώρα κανόνες, ισχύουν την διαφοροσυνθήκη. Γι' αυτό η πιθανότητα του Β, δεδομένο το Ά, μπορώ να το γράψω και έτσι. Τι ερώτηση ήθελες να κάνεις? Για το Ά- με τη διαφορά. Δεν λέμε μίον, λέμε διαφορά. Ά-διαφορά Β. Να βρούμε την πιθανότητα Ά-διαφορά Β. Ναι, αυτό εδώ πέρα είναι η πιθανότητα, ένας άλλος τρόπος. Αυτό εδώ πέρα είναι η πιθανότητα Ά-διαφορά Β. Αυτό ίσως με ΠΑ- ΠΑΤΜΙΒ. Από εδώ τι θα βγάλεις? Μετά η ΠΑΤΜΙΒ είναι ΠΑΤΜΙΒ και πάλι η διαφορά είναι ΠΑ- ΠΑΤΜΙΒ. Και βγάζεις σχοινό παράγοντα το ΠΑ και τα πας από εδώ και τα λοιπάει. Ναι, είναι ένας διαφορετικός τρόπος που κυρήθηκε για να το βγάλεις. Αλλά και εδώ βγαίνει αρκετά εύκολα. Εδώ τώρα έχω ΠΑ. 1- ΠΒ δεδομένα του Ά, αυτά είναι ανεξάρκητα. Ά θα βάλω 1- ΠΒ. 1- ΠΒ γιατί τα Β και Ά είναι ανεξάρκητα. Αλλά αυτό κάνει ΠΒ συμπλήρωμα. Αυτό εδώ είναι ΠΒ συμπλήρωμα. Άρα οδηγήθηκα στο γεγονόμενο ΠΑ επί ΠΒ συμπλήρωμα. ΠΑ επί ΠΒ συμπλήρωμα. Βγαίνει και ο άλλος τρόπος ότι αυτό εδώ πέρα είναι μόνο να συμβεί το Ά, είναι η πιθανότητα Ά διαφορά Β. Προξορισμού είναι ΠΑ- ΠΑ το ΜΒ. Αυτά επειδή δεν είναι ανεξάρκητα, τα γράφεται ΠΑ επί ΠΒ. Βγαίνει κοινό παράγοντας το ΠΑ. Μέσα μένει 1- ΠΒ, το ΠΒ συμπλήρωμα. Είναι ένας άλλος τρόπος παρόμοιος με αυτό εδώ. Τώρα εσείς να αποδείξετε ότι και τα συμπληρωματικά είναι ανεξάρτητα. Εσείς τώρα να αποδείξετε αυτό. Επίσης επειδή σας άρεσε πολύ η ανεξαρτησία που βλέπω, να αποδείξετε ότι αν έχουμε ένα τετράειδρο που έχει η μία πλευρά πράσινο, η άλλη έχει κόκκινο, η άλλη έχει μαύρο και η άλλη έχει χρώμα, έχει εδώ τρία χρώματα, έχουμε ένα τετράπλευρο το οποίο έχει, τώρα δεν έκανα καλά τις πλευρές, σε πάση περιπτώσει η μία έχει μαύρο χρώμα, η άλλη κόκκινο, η άλλη πράσινο και η άλλη έχει τα τρία χρώματα. Ρίχνουμε το τετράπλευρο τυχαία να πέσει στο έδαφος και έρχεται η μία επιφάνεια προφανώς, έρχεται σε επαφή με το έδαφος. Το γεγονός, έχουμε τα γεγονότα π, τα γεγονότα κ και μ. Π είναι το γεγονός ότι το πράσινο χρώμα έρχεται σε επαφή με το έδαφος. Κ είναι ότι το κόκκινο χρώμα έρχεται σε επαφή με το έδαφος. Είναι το γεγονός ότι το μαύρο χρώμα έρχεται σε επαφή με το έδαφος. Είναι τα γεγονότα αυτά αναδίως τα πάρουμε ανεξάρτητα. Είναι τα γεγονότα αυτά αναδίως ανεξάρτητα. Προσέξτε ποια είναι τα γεγονότα π, μ, κ. Ότι το χρώμα κ ξέρω, ο κόκκινο έρχεται σε επαφή με το έδαφος. Δεν λέω μόνο το κόκκινο. Όταν έρχεται και με αυτή την πλευρά πάλι το κόκκινο έρχεται σε επαφή. Και ούτω κατ' εξής. Δέστε αν είναι ανεξάρτητα, όταν πρόκειται για τρία γεγονότα, για να είναι ανεξάρτητα πρέπει να ισχύει η εξίσωση πα το μι βίτα ανα δύο και ανα τρία πμ το μι κ το μι μ θα πρέπει να σούζεται με πκ επί πμ επί πκ. Δηλαδή θα πρέπει η πιθανότητα της τομής των τριών να ισούται με το γινόμενο των τριών πιθανοτήτων. Επίσης και ανα δύο πρέπει να ισχύει η εξίσωση. Όταν πρόκειται για να ελέγξουμε για την ανεξαρτησία τριών γεγονότων ή για την ανεξαρτησία κ γεγονότων θα πρέπει ανα δύο να είναι ανεξάρτητα, θα πρέπει ανα τρία να είναι ανεξάρτητα, θα πρέπει ανα κ να είναι ανεξάρτητα. Βάση περιπτώση δεν θα προχωρήσουμε πέρα από τρία απλώς δοκιμάστε κάντε αυτή την εξάσκηση εδώ πέρα. Και δεν έχουμε να πούμε περισσότερα για την ανεξαρτησία. Θα θέλα να πω μόνο ότι γενικά αυτοσχηδιάγραμμα δεν μπορούμε να καταλάβουμε αν είναι ανεξάρτητα μόνο αν είναι συμβίβαστα. Τότε δεν είναι ανεξάρτητα. Στην άλλη περίπτωση πρέπει να δούμε για αυτή τη συνθήκη αυτή που είπαμε. Και τώρα ας προχωρήσουμε να φτιάξουμε να λύσουμε κάποιες ασκήσεις. Να κάνουμε μια επανάληψη σε μάση περιπτώσεις στα προηγούμενα. Μια που την επόμενη εβδομάδα θα περάσουμε σε άλλο κεφάλαιο. Αν έχετε απορίες από τα προηγούμενα μπορείτε να με ρωτήσετε. Ό,τι θέλετε. Οποιουδήποτε άσχηνε. Βασικά σ' αυτός το πρόγραμμα που ήσαμε να ρωτήσετε αλφα και βήτα. Εδώ θα συζητήθηκε ποια είναι η πιθανότητα. Πρέπει να είναι διαφορετική η πιθανότητα. Όταν είναι τρία ήταν γεγονότα. Όχι, όχι. Ότι το α και το συμπληρωματικό του β. Του ασυμπληρωματικά α και β. Για τα συμπληρωματικά πρέπει η πιθανότητα της τομής. Σας είπα ότι απομόρυσες να αποδείξετε ότι το συμπληρώμα α και το β είναι ανεξάρτητα. Αν τα α και β είναι ανεξάρτητα, ό,τι και τα συμπληρωματικά τους είναι ανεξάρτητα. Πριν δείξαμε το α με το συμπληρώμα β. Όχι και τα δύο συμπληρωματικά. Πριν αποδείξαμε ότι αυτό εδώ τελικά είσουτε με πΑ επί πΒ. Δεν έχουμε κανένα περιορισμό. Τα α β είναι ανεξάρτητα με βάση εκείνη την ιδιότητα χρησιμοποιήσαμε εκεί πέρα και αποδείξαμε αυτό πέρα το πράγμα. Υσχύει αν πάρεις και το αντίστροφο, πάλι το ίδιο θα κάνεις. Αλλά τώρα εσείς να αποδείξετε ότι και τα συμπληρωματικά τους είναι ανεξάρτητα. Αν τα α β είναι ανεξάρτητα και αυτά είναι ανεξάρτητα και εδώ πρέπει να κάνετε το ίδιο πράγμα. Αλλά εδώ όμως άμα πάρετε έτσι το προβλησιαντικό κανόνα. Εδώ αυτό είσουτε με 1-πΒ. Τώρα δεν μπορείς να πεις ότι αυτό είσουτε με πΒ συμπλήρωμα γιατί είναι το συμπληρωματικό. Εκτός και αν πεις ότι προηγούμενα απέδειξα ότι αυτά είναι ανεξάρτητα. Αν χρησιμοποιήσεις την προηγούμενη απόδειξη μπορείς. Αν όμως δεν χρησιμοποιήσεις την προηγούμενη απόδειξη πρέπει κάτι να κάνεις εδώ. Είναι διαφορετικό το τρίκ που θα χρησιμοποιήσεις. Εκτός και αν πεις ότι προηγούμενα αποδείξαμε ότι το Α με το Β είναι ανεξάρτητα. Ναι. Τι κάνει, εσύ θα το φτιάξεις. Δες μου πως είναι το bias, δες το ένα, δες το άλλο. Εγώ το είχα κάνει κάποτε, τώρα το ξέχασα. Λοιπόν, αν υποθέσουμε ότι έχουμε ένα βάρος W. Ένα βάρος θέλουμε να το ανυψώσουμε με ένα σχοινί Α. Αυτό τραβάει το βάρος προς τα πάνω. Αν κοπεί όμως το σχοινί Α, ενεργεί το σχοινί Β για να το ανυψώσει. Και αν κοπεί και το Β, δεν μπορούμε να το ανυψώσουμε. Η πιθανότητα να κοπεί το Α, ισούτε με 4%. Η πιθανότητα να μην κοπεί είναι 96%. Δηλαδή με πιθανότητα 96%, θα το ανυψώσει το σχοινί Α, θα ανυψώσει το βάρος. Η πιθανότητα να κοπεί το Β σχοινί, όταν βέβαια κόβεται το Α, ισούτε με 20%. Η πιθανότητα να κοπεί το Β, όταν δεν κόβεται το Ά, είναι 0. Επειδή το Β δεν τραβάει το βάρος, εάν δεν κοπεί το Ά, το Β δεν πρόκειται να κοπεί. Αυτά ισχύουν σε αυτό το πρόβλημα. Ποια είναι η πιθανότητα ανύψωσης του βάρους? Ας το σημειώσω την ανύψωση σαν Ά, είναι να μην κοπεί το Ά, ένας τρόπος είναι το Ά τραβάει το βάρος να μην κοπεί. Ένας τρόπος. Ένας άλλος τρόπος είναι να κοπεί το Ά και να μην κοπεί το Β. Δηλαδή η ανύψωση του βάρους είναι με έναν τρόπος, ένας τρόπος για να το ανυψώσουμε είναι το συμπληρωματικό του Ά, να μην κόπει το Ά, οπότε θα το ανυψώσει. Ή κόβεται το Ά, Ά είναι ότι κόβει το σχοινί και ενεργεί το Β βέβαια, αλλά να μην κοπεί το Β και θα το ανυψώσει το Β. Άλλος τρόπος δεν υπάρχει. Η πιθανότητα λοιπόν του Ά, με τι ίσοτε, είναι η πιθανότητα της ένασης. Είναι η πιθανότητα του πρώτου. Τι είναι η πιθανότητα του δευτέρου, της δεύτερης παρένθησης, που είναι αυτό εδώ πέρα. Έχω να αφαιρέσω την πιθανότητα της τομείς των δύο. Αυτά είναι ξένα, γιατί εδώ λέει δεν κόβεται το Ά, εδώ λέει κόβεται. Άρα είναι ξέρα, άλλη πιθανότητα της τομείς της είναι το 0. Εδώ έχω 0, να μην κοπεί είναι 0.96, συν πρωτασιαστικός κανόνας εδώ έχω την πιθανότητα του Ά, επί την πιθανότητα του Β, όχι δεδομένο το Ά. Εδώ είναι 0.96, να κοπεί είναι 40%. Εδώ η πιθανότητα να μην κοπεί το Β, όταν κόπει και το Ά είναι, να μην κοπεί είναι 80%. Και έτσι βρίσκουμε την πιθανότητα ότι είναι παραπάνω από 96 βέβαια. Εγώ ρωτώ τώρα το εξής, μπορεί κάποιος να κάνει το σχεδιάγραμμα Β από τα Ά και Β? Μπορεί να κάνει σχεδιάγραμμα Β πώς είναι τη γεγονότα? Δεν είναι προφανώς όπως το βλέπαμε Ά, Β, το Μ. Μήπως το ένα είναι μέσα στο άλλο, ξέρω εγώ. Ποιο είναι μέσα στο άλλο, το Ά ή το Ά συμπλήρωμα? Σκεφτείτε λίγο, το Ά είναι μέσα στο Β, το Ά συμπληρωματικό ή το Ά σκέτο. Α, περιμένω λίγο, ε. Λοιπόν, αυτό το Β είναι, όντως συμβαίνει το 1, ε, αν το Β κοπεί, αν πει το Β, το Β είναι κόβεται. Όταν συμβαίνει το Β, σίγουρα συμβαίνει το Ά, κόβεται το Ά. Άρα το Ά είναι εδώ. Και εδώ είναι οι περιπτώσεις που κόβεται, που δεν κόβεται το Β, κόβεται το Ά. Εδώ είναι η περίπτωση όπου κόβεται το Ά και δεν κόβεται το Β. Κάπως έτσι νομίζω ότι πρέπει να είναι στη διάγραμμα, δεν είναι? Ποιο? Τα ορίσαμε, Ά και Β είναι ότι κόβεται το σκηνή Ά, Β το κόβεται το σκηνή Β. Άρα θα μπορούσαμε έτσι να το σχεδιάσουμε, αυτό σημαίνει ότι κόβεται το σκηνή Ά. Εδώ. Αλλά δεν κόβεται το Β εδώ. Εδώ, αν κόβεται το Β, σίγουρα έχει κοπεί το Ά. Βέβαια κάπως έτσι μπορούμε να φτιάξουμε το συμβιάγραμμα Β. Θα προχωρήσουμε να κάνουμε κάποιες ασκήσεις πριν κάνουμε το διάλειμμα να σας πω κάτι που δεν το είπατε την προηγούμενη φορά. Το γράμμα με ένα γράμμα μέσα στα πέντε σερτάδια το είπαμε, έτσι? Το είπαμε. Τώρα θεωρείστε ένα σωματίδιο που κινείται πίσω μπρος μια απόσταση 0,1. Ο νόμος κίνησης εδώ είναι ότι η απόσταση είναι τάφ τετράγωνο. Όταν γυρίζει πίσω έχει διαφορετική ταχύτητα και η απόσταση από την αρχή μέχρι το τέλος είναι τάφ τρίτης. Ένα σωματίδιο κινείται από το 0 στο 1, από το 1 στο 0, από το 0 στο 1, από το 1 στο 0. Από το 0 στο 1 πάει, ο νόμος κίνησης είναι ες η απόσταση από το 0, ες η απόσταση από το 0, ίσουτε με την χρονική στιγμή, με το χρόνο που πέρασε όταν εγκατέλειψε το 0, εις το τετράγωνο. Ο νόμος κίνησης από το 1 στο 0 είναι ότι η απόσταση από την αρχή εκκίνησης εδώ, εις ούτε με τάφ τρίτη, όπου τάφ είναι ο χρόνος που εγκατέλειψε το 1. Κάποια στιγμή, ναι. Το δεύτερο έργλο δίνει απόσταση από το σημείο 1. Ναι, από την αρχή εκκίνησης όταν κινείται αντιδίστροφο. Κάποια στιγμή, κοιτάζετε το σωματίδιο. Ποια είναι η πιθανότητα να βρίσκεται στο πρώτο ίμιση. Ποια είναι η πιθανότητα να βρίσκεται από δω μεριά. Κάποια στιγμή κοιτάζετε να δείτε το σωματίδιο. Εκείνη τη στιγμή ποια είναι η πιθανότητα να το βρείτε στο πρώτο ίμιση της διαδρομής. Αυτό να το λύσετε με τον κλασικό τρόπο. Δηλαδή, θα πάρετε όλες τις δυνατές περιπτώσεις που μπορεί να βρίσκεται το σωματίδιο. Θα πάρετε τις ευνοϊκές περιπτώσεις. Ποιο είναι το ποσοστό των ευνοϊκών προς όλες τις δυνατές περιπτώσεις. Πρέπει λίγο να το φτιάξετε έτσι. Αλλά δεν είναι προφανές αμέσως τι είναι αυτό. Κάνουμε ένα διάλειμμα και θα κάνουμε ασκήση ό,τι απορίες έχετε σχετικά με αυτά που έχουμε πει μέχρι στιγμής. Το σωματίδιο κινείται από το μηδέν στο ένα και από το ένα στο μηδέν. Ο συνολικός χρόνος που κάνει από το μηδέν στο ένα και από το ένα στο μηδέν, ο συνολικός χρόνος είναι δύο λεπτά. Ένα λεπτό από το μηδέν στο ένα σύμφωνα με τον όμο κίνησης. Επίσης, ένα λεπτό από το ένα στο μηδέν σύμφωνα με τον δεύτερο όμο κίνησης. Γιατί οι αποστάσεις είναι ένα και ένα. Βέβαια, έχει διαφορετική επιτάγκυση και ταχύτητα στο πήγαινε και διαφορετική στο έλα. Γι' αυτό είναι διαφορετικός ο χρόνος που βρίσκεται στο δεύτερο αριστερό ήμιση και διαφορετικός ο χρόνος που βρίσκεται στο δεύτερο δεξιό ήμιση. Δεν έχει σημασία. Η μονάδα μέτρησης είναι η ίδια. Όποια επιλέξεις, είπαμε ότι είναι ένα λεπτό. Είναι λεπτό. Πες που είναι λεπτό. Από το μηδέν μέχρι το ένα δεύτερο ο χρόνος δίνεται από εδώ. Δηλαδή, από το μηδέν στο ένα δεύτερο η απόσταση που διανύει είναι ένα δεύτερο. Από το μηδέν στο ένα δεύτερο η απόσταση είναι ένα δεύτερο και τη διανύει σε πόσο χρονικό διάστημα κάνει να έρθει από το μηδέν στο ένα δεύτερο. Ένα χρόνο τάφ. Στην επάγγελση το τάφ που κάνει από το μηδέν στο ένα δεύτερο απόσταση είναι ρίζα του ένα δεύτερο. Ρίζα ισούτε με ο χρόνος είναι αυτός. Μετά ο χρόνος που κάνει από εδώ πίσω από το ένα δεύτερο στο μηδέν γιατί θέλουν να βρίσκεται, το γεγονός είναι ότι να βρίσκεται εδώ πέρα είτε πηγαίνοντας είτε γυρίζοντας. Μπορώ να υπολογίσω αυτόν τον χρόνο και αν τον αφαιρέσω από τη μονάδα που είναι όλος ο χρόνος όταν γυρίζει θα βρω το χρόνο που βρίσκεται εδώ μέσα όταν γυρίζει. Αυτός ο χρόνος εδώ πέρα είναι από αυτή την εξίσωση είναι ένα δεύτερο ίσον με τάφ τρίτα. Συνεπάγει ότι το τάφ ισούται με κυβική ρίζα του ένα δεύτερο. Είναι ο χρόνος που κάνει από το ένα στο ένα δεύτερο. Αν το αφαιρέσεις από τη μονάδα αυτό είναι ο χρόνος από το ένα δεύτερο στο μηδέν. Άρα καθώς γυρίζει βρίσκεται στο αριστερό ήμιση για αυτόν τον χρονικό διάστημα. Καθώς πηγαίνει βρίσκεται στο αριστερό ήμιση για αυτόν τον χρονικό διάστημα. Άρα η πιθανότητα που ζητώ εφόσον όλος ο χρόνος που πάει και γυρίζει είναι δύο λεπτά. Στο αριστερό μέρος βρίσκεται για χρονικό διάστημα ένα δεύτερο. Συν για χρονικό διάστημα ένα πλιν τρίτη ρίζα του ένα δεύτερο. Να πάει από το μηδέν στο ένα και να γυρίσει συνολικά κάνει δύο λεπτά. Και βρίσκω σύμφωνα με το νόμο κίνησης που είναι δύο διαφορετικοί νόμοι καθώς πηγαίνει και καθώς γυρίζει. Βρίσκω το χρονικό διάστημα που κάνει να πάει από το μηδέν εδώ και το χρονικό διάστημα που κάνει καθώς γυρίζει να βρίσκεται στο αριστερό ήμιση. Τα προσθέτω και έτσι είναι υπνοϊκές περιπτώσεις πως προς όλες τις δυνατές περιπτώσεις τα μπορούσα να πω σύμφωνα με την κλασική μέθοδο. Δεν έχω τίποτα άλλο. Βλέπετε εδώ πέρα χρησιμοποιώ την κλασική μέθοδο. Βέβαια δεν είναι ακριβώς όπως λέγαμε ο αριθμός δείγματος σημείων του α, πως ο αριθμός δείγματος σημείων του ε, σε όλες τις δυνατές περιπτώσεις θα μπορούσε να πει ότι ο δειγματικός χώρος είναι το πείραμα. Καθώς κοιτάζω εγώ εδώ δύο είναι ας πούμε μπορεί να πηγαίνει και να είναι εδώ ή καθώς πηγαίνει να είναι εδώ ή καθώς γυρίζει να είναι εδώ. Αυτά εδώ πέρα τα δυνατά αποτελέσματα όταν κοιτάζω εγώ που μπορεί να βρίσκεται μπορώ να πω ότι είναι σε χρόνο δύο. Εντάξει. Ο χρόνος δύο. Το πρώτα δευτερόλεπτα είναι αυτά που αντιστοιχούν εδώ. Το ένα λεπτό είναι εδώ. Το ένα και κάτι είναι εδώ. Το δεύτερο λεπτό είναι εδώ. Δηλαδή είναι όλα αυτά τα σημεία να πηγαίνει και να γυρίζει. Τι μπορώ να το φορμάζω το πρόβλημα και να το λύσω. Κάθε πρόβλημα το ένα με το άλλο μπορεί να έχει μια ιδιαιτηρότητα ξεχωριστή και πρέπει λίγο να το αναλύσεις, να το εκφράσεις με κάποια άλγυβρα να χρειαστεί και τα λοιπά. Ας προχωρήσουμε να κάνουμε τέτοιες ασκησούλες και να δούμε τι μπορούμε να καταφέρουμε. Έχουμε κάνει αυτήν με το κύκλωμα, ένα μικρό κύκλωμα που έχει εδώ πέρα ένα διακόπτη. Κάναμε νομίζω ένα παρόμοιο αλλά δεν ξέρω αν αυτό το κάναμε. Το κάναμε αυτό. Όχι. Έχουμε ένα κύκλωμα το άλφα στο βήτα. Ροηρεύματος. Έχουμε διακόπτη 1, διακόπτη 2, διακόπτη 3. Τα γεγονότα ΔΑ1, ΔΑ2, ΔΑ3 είναι ότι υπάρχει διακοπή ρεύματος στους αντίστοιχους διακόπτες 1, 2, 3. Το γεγονός ότι έχουμε διακοπή ροής από το άλφα στο βήτα μπορώ να συμβολήσω ότι υπάρχει διακοπή στον 1. Διακόπτη και διακοπή τουλάχιστον σε 1 από τους 2. Διακοπή ροής ρεύματος από το άλφα στο βήτα συμβαίνει με την εξής άλγευρα τον ΔΑ1, ΔΑ2, ΔΑ3. Ότι έχουμε διακοπή εδώ και διακοπή από κάτω. Ποιο από κάτω όμως έχουμε όταν συμβαίνει διακοπή τουλάχιστον σε 1 από τους 2 διακόπτες. Και αυτό άμα κάνω με την επιμεριστική διότητα έχω ΔΑ1, αν θέλω κάνω και την πράξη, το ΜΔ2 ένωση ΔΑ1 το ΜΔ3. Τώρα, ποια επιθανότητα διακοπής ροής ισούται με την πιθανότητα του ΔΑ1 το ΜΔ2 συν την πιθανότητα του ΔΑ1 το ΜΔ3 μίον την πιθανότητα της τομής και των 2 που είναι το ΔΑ1 το ΜΔ2 το ΜΔ3. Και αν το κάθε διακόπτης λειτουργεί ανεξάρτητα από τον άλλον, αυτό είναι η πιθανότητα ΔΑ1 με η πιθανότητα ΔΑ2 αν είναι ανεξάρτητη. Και αν υπάρχει πιθανότητα π να είναι κλειστό στην διακοπή, είναι π στο Δετράγωνο, 2π στο Δετράγωνο, μίον π στον κύβο, με την προϋπόθεση ότι τα γεγονότα αυτά είναι ανεξάρτητα. Δηλαδή, πώς το καταλαβαίνει ο μηχανικός, μπορεί να ξέρει ότι αν χαλάσει ο ένας δεν επηρεάζει τον άλλον να κλείσει ή να ανοίξει. Αν το ξέρει αυτό, η πιθανότητα είναι αυτή. Τώρα, αν υποθέσουμε ότι υπάρχει διακοπή ρεύματος, ποια είναι η πιθανότητα ότι συμβαίνει το ΔΑ1, αν έχουμε διακοπή ρεύματος από το άλθος στο βήτα. Δεν χρειάζεται και πολλή σκέψη. Αν έχω διακοπή ρεύματος, σίγουρα συμβαίνει το ΔΑ1, σίγουρα υπάρχει διακοπή εδώ. Διότι αν δεν υπήρχε, θα περνούσε το ρεύμα από εκεί. Άρα λοιπόν, αυτό ίσως είναι με τη μονάδα. Αλλά ας το αποδείξουμε όμως. Είναι υποσυνθήκη πιθανότητα, έχω την πιθανότητα, είναι υποσυνθήκη πιθανότητα, έχω την πιθανότητα του ΔΑ1, το μη ρ. Και στο παρανομαστή έχω την πιθανότητα του ρ. Αυτό εδώ πέρα, στον αριθμητή έχω την πιθανότητα ΔΑ1 το μη ρ. Αν τμίσω, ποιο είναι το ρ, το ρ είναι αυτό εδώ. Αν τμίσω το ΔΑ1, αν το τμίσω με αυτό εδώ πέρα, με την ένωση αυτήν. Αν εφαρμόσω την επιμεριστική διότητα, έχω ΔΑ1 το μη. Αυτή την παρένθηση, που είναι η ίδια, γιατί έχει ΔΑ1 εδώ. Δηλαδή, η το μη του ΔΑ1 με το ρ, είναι το ίδιο το ρ. Άρα έχω πιθανότητα ρ, λοσπε Ά. Το οποίο ισοδε με 1. Τώρα, αν υποθέσω το άλλο ερώτημα, ποιο είναι το ρ. Τώρα, αν υποθέσω το άλλο ερώτημα που θα κάνετε εσείς, είναι ποια είναι η πιθανότητα, βεβαιωμένο ότι έχω διακοπή ρ οίστρευματος από το Ά στο Β, να συμβαίνει το ΔΑ2. Με τον ίδιο τρόπο, έχουμε πιθανότητα του Ά. Με τον αριθμητή έχω την πιθανότητα του ΔΑ2 το μη ρ. Άμα τμίσω το ρ, άμα το τμίσω με το ΔΑ2, όπως και εδώ, αν βάβω ΔΑ2, έχω το ΔΑ2, άμα το τμίσω με αυτό εδώ πέρα, παραμένει η ίδια παρέντηση, διότι εδώ υπάρχει το ΔΑ2. Άρα λοιπόν είναι ΔΑ1 το μη ΔΑ2 ένωση ΔΑ1 το μη ΔΑ3 το μη ΔΑ2. Δηλαδή αυτό είναι η πιθανότητα ΔΑ1 ένωση ΔΑ2, έχουμε το μη ένωση ΔΑ1 το μη ΔΑ2 το μη ΔΑ3. Δηλαδή στην αριθμητή εδώ έχουμε την πιθανότητα της ένωσης, είναι η πιθανότητα του ΔΑ1 το μη ΔΑ2, συνπιθανότητα ΔΑ1 το μη ΔΑ2 ΔΑ3, αλλά πριν προχωρήσω όμως έτσι είναι πιο καλό να πω ότι εδώ μέσα ΔΑ1 το μη ΔΑ2, άμα το ενώσω με αυτό εδώ πέρα, μου κάνει το ίδιο το ΔΑ1 ΔΑ2. Λέω το ΔΑ1 το μη ΔΑ2 αν το ενώσω με την το μη το ΔΑ1 ΔΑ2 ΔΑ3, που είναι κάτι μικρότερο που περιέχεται εδώ μέσα, μου κάνει το ίδιο το ΔΑ1 ΔΑ2. Άρα εδώ έχω την πιθανότητα του ΔΑ1 το μη ΔΑ2 προς ΠΑ. Κι αυτά είναι ανεξάρτητα, αυτό δηλαδή είναι π. τετράγωνο και από κάτω είναι τα γνωστά. Διαφορετικά κάποιος θα μπορούσε να πάρει την πιθανότητα του πρώτου, στην πιθανότητα του δευτέρου με την πιθανότητα της το μης και πρέπει να οδηγηθεί στο ίδιο αποτέλεσμα. Αλλά πριν προχωρήσουμε στην πιθανότητα της ένωσης, διαπιστώνουμε ότι η ένωση αυτή είναι το ίδιο το ΔΑ1 ΔΑ2, γιατί αυτό είναι η το μη που ανήκει εδώ μέσα, δηλαδή αν κάτι το ενώσεις με ένα μικρό κομματάκι που περιέχεται μέσα, το είναι το ίδιο το σύνολο ΔΑ1 το μη ΔΑ2. Μπορούσα να κάνεις και συδιάγραμμα ΒΕΝ και να το δεις. Ναι. Είναι ανεξάρτητα. Είπαμε ότι παραδεχόμαστε ότι οι διακόπτες, το τι κάνει ο ένας δεν επηρεάζει την πιθανότητα του τι θα κάνει ο άλλος. Ισοπίθανο, ναι. Έστω τι είναι ισοπίθανο. Ναι. Άμα κάνεις και διάγραμμα ΒΕΝ, εδώ είναι το ΔΑ1, εδώ είναι το ΔΑ2, εδώ είναι το ΔΑ3. ΔΑ1 το μη ΔΑ2 είναι αυτό εδώ. ΔΑ1 το μη ΔΑ2. ΔΑ1 το μη ΔΑ2. Αν το ενώσω με το μικρό που εμπεριέχεται εδώ μέσα, παραμείνει το ΔΑ1, άμα το ενώσω με ένα κομματάκι που εμπεριέχεται μέσα του, δεν αλλάζει τίποτα, παραμείνει το ΔΑ1 το μη ΔΑ2. Σε αυτές τις περιπτώσεις το βλέπουμε τι μπορεί να προκύψει, αν έχει πάρει ανάγκη κάνουμε το συδιάγραμμα ΒΕΝ και το καταλαβαίνουμε. Εν πάσης περιπτώση όμως, εμείς τώρα δεν πρόκειται να έχουμε δύσκολες πράξεις και στις εξετάσεις ακόμα. Είναι απλές αυτές οι πράξεις που κάνουμε. Εμείς κάνουμε μια εξάσκηση τώρα να δούμε πώς μπορούμε να δουλέψουμε, να χρησιμοποιήσουμε τη Μεθοδολογία. Αλλά εντέχεται όμως στο μέλλον, σαν μηχανικός, να έχει και πιο σύνδυντες πράξεις. Από τη Συνολοθεωρία θα κάνει κάποιες πραξούλες και θα βρει το γεγονός, την άλγυβρα του γεγονότος, του οποίου ζητάει την πιθανότητα. Και θα εφαρμόσει τον κανόνα. Αυτό με τον κύκλο που ρίχνουμε εν σημεία μέσα, το κάναμε? Που έχουμε έναν μεγάλο κύκλο που ρίχνουμε εν σημεία μέσα. Δεν το κάναμε αυτό. Ε, σας έχω αδικήσει τότε. Τότε σας έχουμε αδικήσει. Που έχουμε έναν κύκλο μεγάλο που έχει ακτίνα λάμδα στην εν δεύτερον. Έχω έναν κύκλο ο οποίος έχει ακτίνα λάμδα επεινή στην εν δεύτερον. Και ρίχνω τυχαία μέσα στον κύκλο εν σημεία. Αν υπάρχει μια επιφάνεια α, ποια επιθανότητα ότι κανένα σημείο δεν θα πέσει μέσα στο α. Αν υπάρχει μια επιφάνεια α όπως βλέπετε στο σχήμα μέσα στον κύκλο, ποια επιθανότητα ότι κανένα σημείο δεν θα πέσει μέσα στο α. Εδώ πως δουλεύουμε. Λέμε ότι αν ρίξω ένα σημείο τυχαία ποια επιθανότητα να πέσει μέσα στο α. Είναι η επιφάνεια του α προς όλη την επιφάνεια του κύκλου που είναι πι λάμδα δεύτερον στην εν. Λέω αν πετάξω ένα σημείο τυχαία ποια επιθανότητα να πέσει μέσα στο α ή να διαιρέσω την επιφάνεια του α με όλη την επιφάνεια του κύκλου. Αυτή είναι η επιθανότητα ένα σημείο που θα ρίξω να πέσει μέσα στο α. Ποια είναι η επιθανότητα να μην πέσει μέσα στο α. Είναι ένα μίον αυτό εδώ. Η επιθανότητα να μην πέσει μέσα στο α είναι ένα μίον την επιθανότητα που είπαμε πριν. Αν τώρα κάνω αυτό για ένα σημείο ρίχνω και ξαναρίχνω ποια επιθανότητα κανένα να μην πέσει είναι η επιθανότητα της τομής ένα σημείο και επειδή είναι ανεξάρτητα τα σημεία το που θα πέσει στο ένα είναι ανεξάρτητα από πού έπισε το προηγούμενο είναι λογικό αυτό. Τότε η επιθανότητα της τομής των εν γεγονότων είναι το γινόμενο τους είναι το γινόμενο των πιθανότητων τους που το κάθε ένα έχει την ίδια πιθανότητα. Άρα είναι αυτό ή στην εν. Άρα λοιπόν αυτή είναι η πιθανότητα αν ρίξω εγώ εν σημεία κανένα να μην πέσει μέσα στο α. Και αν το εν είναι πολύ μεγάλο είναι στο άπειρο το όριο αυτής της πιθανότητας. Αν το εν είναι πολύ μεγάλο και τα χωρίσουμε λίγο εδώ. Αυτό πέρα προσεγγίζει το εν εις τιμίων άνθα προς πί λάνο δε τράγων. Αυτή η πιθανότητα προσεγγίζει το όριο της ισούτε με αυτό όταν το εν είναι στο άπειρο το εν πολύ μεγάλο. Γιατί όπως ξέρετε ένα μίον άλφα διανή εις τη μη ισούτε με ένα με έις τη μίον άλφα αν το άλφα διαιρείται με το εν. Εδώ το άλφα ακριβώς είναι άλφα προς πί λάνο δε τράγων γι' αυτό έχουμε εδώ πέρα άλφα προς πί λάνο δε τράγων. Αυτό θα το χρειαστούμε και παρακάτω όταν θα θέλουμε όταν ρίξουμε εν σημεία μέσα να βρούμε την απόσταση του κάθε σημείου από το γειτονικό του. Η απόσταση του κάθε σημείου που θα πέσει από το γειτονικό του είναι μια τυχαία μεταβλητή και θα θέλουμε να βρούμε τη συνάρτηση την κατανομή πιθανότητας. Πόσο μεγάλη είναι αυτή η απόσταση τι πιθανότητα υπάρχει να είναι μεγάλη ή μικρή κλπ. Για να το κάνουμε αυτό ξεκινάμε με αυτή τη βάση όπως θα δούμε στα επόμενα μαθήματα θα το χρησιμοποιήσουμε. Λοιπόν, θα δούμε κάτι ακόμα όσα αφορά με ένα σχήμα σε ένα τμήμα παροχής ρεύματος. Ξέρω αν το κάναμε επειδή σας μπερδεύω λίγο με το άλλο τμήμα που έχω κάνει. Από το α έχουμε ρεύμα προς το β, εδώ έχουμε κάποιους διακόπτες, εδώ έχουμε μία ράβδο, το κάναμε αυτό. Εδώ έχουμε διακόπτη και εδώ έχουμε διακόπτη και εδώ το β. Έχουμε διακόπτη 1, διακόπτη 2, διακόπτη 3, διακόπτη 4. Εδώ έχουμε συδερήνια ράβδο η οποία μπορεί να κινηθεί προς τα κάτω με πιθανότητα Q. Λοιπόν, σε ένα κύκλωμα από το α στο β υπάρχει ροή ρεύματος ΔΑ1, ΔΑ2, ΔΑ3, ΔΑ4 είναι το γεγονό το ότι υπάρχει διακοπή στους αντίστοιχους διακόπτες με πιθανότητα P, όπως είχαμε πει και πριν. Υπάρχει ΠΔΑ1 ίσο με ΠΔΑ2 ίσο με ΠΔΑ3 ίσο με ΠΔΑ4 με πιθανότητα P. Και ας υποθέσουμε και εδώ ότι λειτουργούν ανεξάρτητα ο ένας διακόπτης από τον άλλον. Τώρα, αν δεν υπάρχει ροή ρεύματος από εδώ, ο μηχανικός δοκιμάζει μήπως να μετακινήσει τη ραβδο κάτω, η οποία δεν είναι σίγουρα να μετακινηθεί, μετακινήται με πιθανότητα Q. Και ενδεκομένως να δοκιμάζει αν μπορεί να περάσει από κάτω το ρέμα αν από εδώ είναι κλειστό. Αλλά δεν είναι σίγουρα ότι μπορεί να μετακινήσει τη ραβδο. Το γεγονός ότι υπάρχει ροή ρεύματος από το άλφα στο βήτα. Το γεγονός ότι υπάρχει ροή, το συμβολίζομαι α, έχουμε ροή από το άλφα στο βήτα. Με ποια άλγευρα αυτών των γεγονότων μπορώ να συμβολίσω. Με την εξής άλγευρα. Ότι περνάει, έχω ροή από το άλφα, εδώ σβάλουμε α βήτα γ ε ε. Λοιπόν, για να έχουμε ροή από το άλφα στο βήτα πρέπει να έχουμε ροή από το άλφα στο γ και από το γ το β. Με την ενσυρά τα δύο κομμάτια. Για να έχω ροή από το άλφα στο γ έχω, αν τουλάχιστον ο ένας από τους δύο είναι κλειστός, δηλαδή αν ισχύει το δέλτα ένα, τουλάχιστον ο ένας από τους δύο να είναι κλειστός. Γιατί δέλτα ένα είναι ότι είναι ανοιχτή και έχουμε διακοπή. Εάν ισχύει τουλάχιστον ένα από αυτό και το μή δηλαδή, επειδή είναι ενισυρά, έχουμε την τομή να ισχύει και από εδώ να υπάρχει ροή, που σημαίνει ότι θα έχω ροή από το γ στο β, αν τουλάχιστον έχω ροή από πάνω ή από κάτω. Τουλάχιστον ένα από τα δύο. Από πάνω έχω ροή, αν ισχύει το δέλτα τρία. Ή από κάτω έχω ροή, αν ισχύει το γ γε το μή δέλτα τέσσερα όχι. Πεταλάβατε. Τώρα η ράδος θα πει κάποιος δεν μπορεί να είναι εδώ και εδώ. Αν θα είναι εδώ δεν θα είναι εκεί. Αλλά το γεγονός ότι μπορεί να διέλθει δεύτερον από γ στο δέλτα είναι το σίγουρο γεγονός. Δεν έχει πιθανότητα ένα μειοκιού, επειδή μπορεί να μετακινήσει προθεκά από τη ράδο. Βέβαια αν το βλέπει έτσι ότι το γεγονός γ δέλτα δεν είναι σίγουρο. Για αυτό δεν το έχω εδώ πέρα το γ δέλτα. Έχω το γ ε. Το γ ε δεν είναι σίγουρο. Συμβαίνει με πιθανότητα q. Ροή ρεύματος από το γ στο ε. Το γ ε είναι στοχαστικό γεγονός και συμβαίνει με πιθανότητα q. Το γ δέλτα δεν είναι στοχαστικό γεγονός. Ροή ρεύματος από το γ στο δέλτα μπορεί να περάσει σίγουρα, εάν το θέλω. Από στοχαστικής πλευράς δεν υπάρχει πρόβλημα, είναι το σίγουρο γεγονός. Άρα η ροή από το α στο β μπορώ να συμβολήσω με την άλγευρα αυτών των γεγονότων. Για να απολογίσω τη πιθανότητα του α, μπορώ να πω ότι είναι η πιθανότητα της πρώτης παρένθεσης. Επί την πιθανότητα της δεύτερης, δεν εξαρτάται η δεύτερη από την πρώτη παρένθεση, γιατί είπαμε ότι λειτουργούν ανεξάρτητα οι διακόπτες. Και επομένως, στο πρώτον όρο του γεγονόμένου έχω την πιθανότητα της Ένωσης, την πιθανότητα του πρώτου, την πιθανότητα του δεύτερου, που μείνει την πιθανότητα της τομής. Μπορώ να απολογίσω την τομή και το γεγονόμενο γιατί είναι ανεξάρτητα. Επί την πιθανότητα αυτή που είναι η πιθανότητα της Ένωσης, πάλι φαρμόζω τον κανόνα της πιθανότητας της Ένωσης και τα απολογίζω. Γνωρίζετε την τομή, μπορείτε να την ολοκληρώσετε την άσκηση στο σπίτι και να βρείτε ποια είναι η πιθανότητα ροής ρέγματος από το α' στο β'. Εκείνο που ήθελα να τονίσω είναι με την ΔΟΚΟ, με τη ΡΑΒΔΟ, η οποία από το γ' στο δ' σίγουρα περνάει ρέβμα, δεν υπάρχει πρόβλημα. Από το γ' στο ε, θεωρούμε ότι μπορεί να περάσει ρέβμα με πιθανότητα Q. Το γ' ε είναι ιστογραστικό γεγονός. Τι ήθελες να ρωτήσεις? Όπως και πριν, θεωρούμε ότι οι διακόπτες, ο ένας δεν επηρεάζει τον άλλο. Δηλαδή η πιθανότητα να δουλέψει ή να διακόψει ή να κλείσει ο ένας, δεν εξαπτάνεται από τον άλλο. Αλλά επειδή από την αρχή φαγωθήκατε γιατί οι διακόπτες είναι ανεξάρτητοι, τώρα θα σας δώσω μια άσκηση που είναι λίγο δυσκολούτσια να την κάνετε στο σπίτι, όπου οι διακόπτες επηρεάζει ο ένας τον γειτονικό του. Επειδή φαγωθήκατε και εγώ έλεγα να μη σας το πω, αλλά επειδή από την αρχή μου λέτε γιατί είναι ανεξάρτητοι οι διακόπτες, γιατί είναι ανεξάρτητοι, ωραία, εγώ δεν χαράχω ατήρια. Έχουμε εδώ ένα κύκλωμα. Εδώ υπάρχει διακοπή, διακοπή, διακοπή. Ποια είναι η πιθανότητα διακοπής ροήις αν η πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ1, χωρίς καμιά άλλη πληροφορία, εισούτε η πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ2, εισούτε η πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ3, εισούτε, ξέρω εγώ, με π. Αλλά δεν είναι ανεξάρτητοι. Η πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ1, δεδομένου ότι ο γειτονικός του έχει βλάδι, διπλασιάζεται αν ο γειτονικός του. Η πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ3, αν εισχύει του ΔΕΛΤΑ2, εισούτε με δύο π. Γενικά η πιθανότητα του ΔΕΛΤΑΑΙ, αν ο γειτονικός του έχει βλάδι, ο γειτονικός του είναι δύο π. Ποια είναι η πιθανότητα ρωής ραίωματος από το Α στο Β? Και ποια είναι η πιθανότητα ρωής ραίωματος από το Α στο Β? Ποια είναι η πιθανότητα ρωής ραίωματος από το Α στο Β? Αλλά για να απαντήσουμε εδώ, πρέπει να απαντήσουμε ποια είναι η πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ3 όταν συμβαίνει το ΔΕΛΤΑ1. Ποια είναι η πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ3 όταν συμβαίνει όχι το γειτονικό του, το ΔΕΛΤΑ1. Γιατί, αν σκεφτούμε λίγο, όταν συμβαίνει το ΔΕΛΤΑ1, αυξάνει την πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ2. Και στη συνέχεια το ΔΕΛΤΑ2 αυξάνει την πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ3. Ποια είναι η πιθανότητα διακοπής ροής ρέμματος από το Ά' στο Β' ή να συμβαίνει η διακοπή του 1 ή διακοπή του 2 ή διακοπή του 3. Αυτό είναι άλλο, άλλη ερώτηση αυτή είναι άλλη. Αυτή είναι η πιθανότητα διακοπής ροής ρέμματος από το Ά' στο Β'. Είναι η πιθανότητα να συμβαίνει τουλάχιστον 1 από τα 3. Η πιθανότητα ροής ρέμματος είναι η πιθανότητα να μην συμβαίνει το συμπλήρωμα ΔΕΛΤΑ1, το μη το συμπλήρωμα ΔΕΛΤΑ2 και τα λοιπά. Και αν πάω να υπολογίσω εκείνο το γινόμενο ΠΔΕΛΤΑ1 επί ΠΔΕΛΤΑ2, δεν ξέρω αν μπορώ να το βρω. Ας δοκιμάσω λίγο. Εδώ βέβαια, για να βρω την πιθανότητα διακοπής, θα μπορούσα να βρω την πιθανότητα να μην έχω διακοπή και να το φέρω από τη μονάδα. Δηλαδή η πιθανότητα διακοπής ισούται με 1, μειώνει την πιθανότητα ΔΕΛΤΑ1 όχι, το μη ΔΕΛΤΑ2 όχι, το μη ΔΕΛΤΑ3 όχι. Και αυτό ισούται με 1, μειώνει την πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ1 όχι. Με τι ίσουται η πιθανότητα ΔΕΛΤΑ1 όχι? ΕΡΑΜΙΩΠΗ. Ο πλησιαστικός κανόνας επί την πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ2 όχι, δεδομένως το ΔΕΛΤΑ1 είναι όχι. Αυτό με τι ίσουται? ΕΡΑΜΙΩΠΗ στο δετράγωνο. Τα ΔΕΛΤΑ1 και ο ΔΕΛΤΑ2 δεν είναι ανεξάρτητο. Και τα συμπληρωματικά τους πάλι και αυτά δεν μπορεί να είναι ανεξάρτητα, εξαρτώνονται τώρα. Αν πας να το βρεις με την υποστητή και πιθανότητα, θα έχεις στον αριθμητή πΕΔΕΛΤΑ2 το μη ΔΕΛΤΑ1. Πάλι το γινόμενο, την πιθανότητα δεν μπορείς να την υπολογίσεις. Δεν μπορείς να προχωρήσεις εδώ πέρα. Μπερδεύονται τα πράγματα γιατί είναι εξαρτημένα, δεν μπορείς. Πας κατευθείαν εδώ πέρα. Θέλεις πΕΔΕΛΤΑ1 συν πΕΔΕΛΤΑ2 συν πΕΔΕΛΤΑ3 μίον πΕΔΕΛΤΑ1 το μη ΔΕΛΤΑ2 μίον πΕΔΕΛΤΑ2 το μη ΔΕΛΤΑ3 μίον πΕΔΕΛΤΑ1 το μη ΔΕΛΤΑ3. Μίον την πιθανότητα της ομής ΔΕΛΤΑ1 το μη ΔΕΛΤΑ2 το μη ΔΕΛΤΑ3. Να δούμε μπορούμε να προχωρήσουμε από εδώ ή πάλι θα συναντήσουμε εμπόδιο. Γιατί δεν είναι ανεξάρτητα τώρα. Εδώ έχουμε 3π μίον πΕΔΕΛΤΑ1 επί πΕΔΕΛΤΑ1 είναι π. Επί πΕΔΕΛΤΑ2 δεδομένου συμβαίνει το ΔΕΛΤΑ1 είναι 2π. 2π τετράγωνον. Εδώ πΕΔΕΛΤΑ2 είναι π. Επί πΕΔΕΛΤΑ3 δεδομένου συμβαίνει το ΔΕΛΤΑ2 το γειτονικό του είναι 2π. 2π τετράγωνον. Εδώ τώρα πΕΔΕΛΤΑ1 επί πΕΔΕΛΤΑ3 δεδομένου συμβαίνει το ΔΕΛΤΑ1 αυτό δεν μπορώ να το υπολογίσω είναι αυτό εδώ που πρέπει να το υπολογίσω δεν είναι το γειτονικό του. Εδώ τώρα έχω πΕΔΕΛΤΑ1 από τον πραστασικός κανόνας π. Επί πΕΔΕΛΤΑ2 δεδομένου συμβαίνει το ΔΕΛΤΑ1 2π. Επί πΕΔΕΛΤΑ3 δεδομένου συμβαίνει το ΔΕΛΤΑ2 1 και ΔΕΛΤΑ1 πάλι 2π γιατί συμβαίνεται και το γειτονικό του. Εδώ είναι π, επί δύο π, επί δύο π. Γιατί να πάει επί τέσσερα π. Γιατί όταν συμβαίνει το γειτονικό του, είχε δύο π πιθανότητα να γίνει, αλλά αυτό έχει διπλάσει αψίω. Α, εσύ πας τώρα διαισθητικά και σκέφτεσαι και λες. Εσύ αλλάζεις τα δεδομένα τώρα σύμφωνα με το δικό σου σκεπτικό. Μα αφήνεις να σου πω την αρχική υπόθεση. Η αρχική υπόθεση είναι ότι η πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ1 ή ΔΕΛΤΑ2 ή ΔΕΛΤΑ3 χωρίς καμία άλλη πληροφορία είναι π. Με την πληροφορία ότι συμβαίνει το γειτονικό του είναι δύο π και τίποτα άλλο. Το υπόλοιπο που βάζεις εσύ λες, επειδή είναι το γειτονικό του, αδιαφορείς γι' αυτό που σου είπα εγώ ότι είναι κατευθείαν δύο π του ΔΕΛΤΑ3, δεδομένα συμβαίνει το ΔΕΛΤΑ2, λες εσύ ότι μήπως είναι και τέσσερα π επειδή συμβαίνει το γειτονικό του και το πιο γειτονικό του, εγώ δεν ανέφερα. Λες αυτό, είπα ότι ερμήνας από την αρχή υπόθεση ότι όταν το διπλανό του έχει πρόβλημα τότε διπλασιάζεται απλά η πιθανότητα. Ναι και το διπλανό του, εγώ θέλω και την πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ3, η πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ3 σύμφωνα με αυτά που λες, διπλασιάζεται η πιθανότητά του, συμφωνώ και εδώ. Διπλασιάζεται από το ΔΕΛΤΑ2 που έχει διπλασιαστεί ήδη, άλλα τέτρα πλασιάζεται. Όχι, όχι, μην το μπερδεύεις, μην το μπερδεύεις. Η πιθανότητα, έχουμε ΔΕΛΤΑ1 επί την πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ2, δεδομένου συμβαίνει το ΔΕΛΤΑ1, ακολουθούμε τη μεθοδολογία και τον τύπο. Επί την πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ3, δεδομένου συμβαίνει το ΔΕΛΤΑ2, το μη ΔΕΛΤΑ1. Η πιθανότητα του ΔΕΛΤΑ3, όταν συμβαίνουν τα προηγούμενα, όχι με ποια πιθανότητα συμβαίνουν τα προηγούμενα, όταν συμβαίνουν τα προηγούμενα, το προηγούμενο, έστω και το πιο προηγούμενο, δεν με ενδιαφέρει με ένα, εμένα τι με ενδιαφέρει, συμβαίνει το προηγούμενο, συμβαίνει. Δύο π, εδώ συμβαίνει το προηγούμενο, δύο π, δεν πρόκειται όπως λες εσύ αν με ποια πιθανότητα θα συμβεί, συμβαίνει το προηγούμενο, συμβαίνει, είναι σίγουρο. Και εδώ συμβαίνει το προηγούμενο, όχι ότι εδώ συμβαίνει με μεγαλύτερη πιθανότητα το προηγούμενο, το προηγούμενο συμβαίνει και εδώ και εκεί. Άρα είναι δύο π και δύο π και π. Το θέμα είναι εδώ. Πώς απολογίσουμε τώρα την πιθανότητα του Δ3, δεδομένου συμβαίνει το Δ1. Αυτό δεν μπορείς να πάρεις υπό συνθήκη πιθανότητα, διότι στην αριθμητή πάλι θα έχεις το πρόβλημα, πΔΤ3ΜΔΤ1, που δεν μπορείς να το πάρεις. Όπως και να το πάρεις, έχεις αυτό το πρόβλημα. Δεν μπορώ τώρα. Δέστε το κι εσείς θα το κάνουμε την άλλη φορά. Υπάρχει νομίζω μέσα στο βιβλίο, κάπου θα υπάρχει, ότι εδώ νομίζω, για να απαντήσουμε σε αυτό, τώρα εσύ μου πάρκει ημέρα κάποιο χρόνο, για να απαντήσω σε αυτό πρέπει να βρω την πιθανότητα του Δ1, όταν το προηγούμενο δεν συμβαίνει. Την πιθανότητα του Δ1 όταν το προηγούμενο δεν συμβαίνει, μπορείς να την βρεις. Μπορούμε να πούμε ότι η πιθανότητα του Δ1ΤΜΔΤ3 είναι το αρχικό για την πιθανότητα Δ1ΤΜΔΤ3 και να έχουμε έξι δύο σέντες. Ποια πέτμα το 1-1, αυτό είναι η πιθανότητα Δ3ΤΜΔΤ1. Στον αριθμητή τι έχουμε. Από πού. Χειαστή να την πάμε. Εκεί τι θα βγάλεις από εδώ. Πιθάνομαι ότι αυτή η πιθανότητα είναι ίσο με 3Π-4ΠΤ-ΠΩ. Μια στιγμή, μια στιγμή λίγο. Εδώ πέρα βγάζεις ότι η πιθανότητα της τομής, ίσο ότι με την πιθανότητα αυτήνου, με την πιθανότητα αυτήνου. Αλλά την πιθανότητα αυτήν την ξέρεις, δεν την ξέρεις. Είναι η ίδια με την αρχική που ψάχνουμε, όταν ψάχνουμε. Ποια, με ποια αρχική. Αυτό ψάχνουμε να βρούμε. Και εδώ το ίδιο, αυτό ψάχνουμε να βρούμε. Δεν οδηγήσει πουθενά έτσι. Μπορείς να το βρεις. Αυτό ψάχνουμε να βρούμε. Αυτό ψάχνουμε να βρούμε. Πώς θα το βρεις. Αυτό μπορείς να το βρεις. Πιθανότητα δεν είναι δεδομένο ότι δεν συμβαίνει το ΔΑ2. Πρέπει να είναι μικρότερη από π. Όχι μεγαλύτερη. Για να δούμε. Είναι η πιθανότητα της τομείς. Προς την πιθανότητα είναι ΔΑ2. Και αυτό ισούτε. Στον πανωμαστή έχω ένα μειωπί. Στον αλφητή έχω π ΔΑ1 επί π ΔΑ2. Δεδομένο ότι συμβαίνει το ΔΑ1. Και ισούτε. Αυτό είναι π. Αυτό είναι 1. Μειωδοσημπληρωματικό του 1-2π. Προς ένα μειωπί. Η πιθανότητα του διπλανού εδώ πέρα είναι 1- ΔΑ2. Δεδομένο ότι το γεγονικό του συμβαίνει. Που είναι 2π. 1-2π. Επί π. Δια ένα μειωπί. Που είναι αυτό εδώ. Άρα αυτό το βρήκα. Αυτό είναι π. Χωρίς καμία άλλη πληροφορία. Εδώ ακριβολογώ ποιά είναι τα γεγονότα. Και ακριβώς δίνω τις πιθανότητες πΕΔΑ1, πΕΔΑ2, πΕΔΑ3 χωρίς καμία άλλη πληροφορία. Ότι είναι π. Όταν έχω την πληροφορία ότι το γεγονικό του έχει βλάβει, αυξάνεται. 2π. Εδώ τώρα δεν έχει το γεγονικό του βλάβει. Έχει το πιο πέρα βλάβει. Θα το επηρεάσει διότι επηρεάζει το ΔΑ2 ενδιάμεσο και το ενδιάμεσο επηρεάζει το ΔΑ3. Άρα η πιθανότητα του ΔΑ3 όταν το ΔΑ1 έχει βλάβει, επειδή θα επηρεάσει το ΔΑ2, θα αυθύσει την πιθανότητα του ΔΑ2 να έχει βλάβει. Και επειδή το ΔΑ2 με τη σειρά θα επηρεάσει το ΔΑ3, η πιθανότητα του ΔΑ3 ενδιάμεσο του ΔΑ1 αυξάνει. Επίσης, εγώ θα το αποδείξω και μαθηματικώς ότι αυξάνει. Αλλά πώς να το αποδείξω τώρα εδώ πέρα. Το αποδεικνύω ως εξής. Αυτήν την πιθανότητα μπορώ να την βρω. Τώρα, εδώ θέλω την πιθανότητα, αυτό εδώ πέρα. Θέλω αυτήν την πιθανότητα, το ΔΑ3-ΔΑ1. Έχουμε το ΔΑ3, το ΔΑ1 και το ΔΑ2. Θέλω την πιθανότητα, αυτήν εδώ βασικά. Αυτή η πιθανότητα έχει εδώ μέσα, αυτό είναι το ΔΑ2. Το γεγονός να μην συμβαίνει το ΔΑ2 είναι αυτό εδώ. Εγώ θέλω την πιθανότητα αυτήν εδώ. Πιθανότητα ΔΑ3, το ΜΔΑ1 εδώ. Βλέπετε αυτή η τωμή, εισούτε, τωμή, να μην συμβαίνει, αυτή η τωμή που θέλω ΔΑ3, τωμή ΔΑ1, εισούτε με ΔΑ1 ένωση συμβαίνει το ΔΑ2 εδώ, εδώ μέσα συμβαίνουν και τα 2 και εκεί δεν συμβαίνει. Είναι η ένωση λοιπόν να συμβαίνει το ΔΑ1, τωμή ΔΑ2, τωμή ΔΑ3. Προσπαθώ εδώ μέσα να πάρω την ένωση της τωμής και των τριών που μπορώ να την υπολογίσω την τωμή και των τριών με τη σειρά. Είναι αυτή η τωμή των δυο, είναι η τωμή και των τριών, ένωση η τωμή ΔΑ1, ΔΑ3, τωμή ΔΑ2 όχι. Έχουμε ΔΑ1, τωμή ΔΑ2 όχι, τωμή ΔΑ3. Η τωμή που ψάχνουν ΔΑ1, ΔΑ3 είναι αυτή η ένωση. Τώρα νομίζω μπορείς να υπολογίσεις την πιθανότητα ΔΑ1, ΔΑ3 χρησιμοποιώντας κάπου εδώ και αυτήν την πιθανότητα που την υπολόγησες. Είναι λίγο πιο σύνθετο, αλλά με αυτόν τον τρόπο θα το βρεις. Διαφορετικά κολάσια εκεί πέρα που είπαμε ποιο γονός αυτό. |
