| : . Καλή σου μέρα! Τι κάνεις μαθητάκι μου πως είσαι? Χαίρομαι πολύ που τα ξαναλέμε. Είμαι ο Γιώργος Ανδρίκος και σήμερα θα δούμε τα κλάσματα απ' την αρχή. Θα ξεκινήσουμε με μια εισαγωγή. Θα πάμε λίγο στο βάθος του χρόνου. Να δούμε λίγο την αιτημολογία της λέξης. Σου έχω ξαναπεί ότι εμένα ως μικρό με προβλημάτιζαν διάφορα. Ένα από αυτά ήταν ότι δεν θυμόμουν αυτά που δεν μπορούσα να καταλάβω τι ακριβώς σημαίνουν. Έτσι λοιπόν, σήμερα θα ξεκινήσω λίγο τη λέξη κλάσμα. Από το τι σημαίνει. Πάμε λοιπόν να δούμε το ρήμα που τη γέννησε. Είναι το ρήμα κλάω, κλω, που σημαίνει χωρίζω σε ίσα μέρη. Η παράγωγη λέξη, όπως καταλαβαίνεις, είναι η λέξη κλάσμα. Το ίσο δηλαδή κομμάτι. Για να δούμε λίγο τι ακριβώς εννοούμε όταν λέμε δηλαδή κλάσμα. Θα σπάρουμε ένα τετράγωνο, θα το χωρίσουμε σε τέσσερα ίσα μέρη και θα πάρουμε το ένα από τα τέσσερα. Όπως πολύ σωστά έχεις καταλάβει λοιπόν, κάθε ένα από αυτά είναι ένα κλάσμα. Ένα ίσο μερίδιο. Αυτό κράτα το καλά. Ξαναλέμε, είναι ένα ίσο μερίδιο. Από τα τέσσερα λοιπόν, πήρα το ένα, το οποίο είναι κλάσμα, δηλαδή ίσο μέρος. Τι θα συνέβαινε αν χώριζα την ακέραιη μονάδα. Κράτα εδώ μια μικρή παρένθεση για την ακέραιη μονάδα. Θα μιλήσουμε σε λίγο για το τι ακριβώς είναι η ακέραιη μονάδα και πώς την ορίζω ακριβώς. Για να πάρουμε λοιπόν ένα άλλο παράδειγμα, θα χωρίσουμε λοιπόν ένα άλλο ολόκληρο κομμάτι. Πάλι σε κάποια μέρη. Ένα, δύο, τρία, τέσσερα. Και εδώ θα πάρω το ένα από τα τέσσερα. Πιστεύεις ότι έχω πάρει κλάσμα. Πολύ σωστά, δεν έχω πάρει κλάσμα. Και δεν έχω πάρει κλάσμα γιατί? Γιατί τα τέσσερα αυτά με ρίδια δεν είναι ίσα. Πάρα πάρα πολύ σωστά. Θα φτιάξω τώρα ένα μικρό σηματάκι, το οποίο θα το έχεις δει επανειλημμένος. Είναι ακριβώς αυτό το σύνολο. Αυτό που βλέπεις λοιπόν, αυτό το μικρό σύμβολο, είναι αυτό το οποίο από εδώ και πέρα δεν θα φεύγει με τίποτα από το μυαλό μας. Με τίποτα όμως. Είναι η διέρεση και στη μέση υπάρχει μια κλασματική γραμμή. Από εδώ και πέρα λοιπόν, θα κρατήσουμε αυτές τις πέντε λέξεις σαν κάτι πάρα πάρα πολύ σημαντικό. Κάθε κλάσμα συμβολίζει μια διέρεση. Ξανά, κάθε κλάσμα συμβολίζει μια διέρεση του αριθμητή δια τον παρονομαστή. Ας πάρουμε τα πράγματα με τη σειρά. Ας γράψω ένα κλάσμα. Νομίζω πως έχω ήδη ένα εδώ. Ας πάρω αυτό. Μια χαρά είναι. 1 τέταρτο. Το κλάσμα 1 τέταρτο μου δηλώνει το εξής. Έχω χωρίσει την ακέραιη μονάδα. Πώς είναι αυτή η ακέραιη μονάδα όσοι εγώ κάθε φορά την ορίσω. Ακέραιη μονάδα, καλή μου φίλε και καλέ μου φίλε, μπορεί να είναι ένα μήλο. Ακέραιη μονάδα, επειδή μπορεί να μην μπορείς να φας όλο το μήλο στο διάλειμμα, μπορεί να είναι το μισό σου μήλο. Ακέραιη μονάδα μπορεί να είναι το 1 τέταρτο του μήλου, το οποίο θέλεις να χωρίσεις να φας τα τέσσερα διάλειμματά σου. Άρα η ακέραιη μονάδα είναι ένα όλο, ένα σύνολο, το οποίο εγώ ορίζω. Ακέραιη μονάδα μπορεί να είναι ένα τελάρο με μήλα. Ακέραιη μονάδα ακόμη μπορεί να είναι ένα μεγάλο φορτηγό, που έχει μέσα τελάρα, που είναι γεμάτα μήλα, αλλά ακόμα και ένα πλοίο, που είναι γεμάτο με φορτηγά, που έχουν μέσα τελάρα, που έχουν μέσα μήλα. Όλο αυτό μπορεί να είναι μια ακέραιη μονάδα. Επιστρέφουμε λοιπόν. Κλάσμα, μερίδιο, ίσο μερίδιο, κομμάτι. Ο αριθμός που βρίσκεται κάτω, παρονομαστής, παρά του ονόματος, παρονομαστής, η ταυτότητά του, η ταυτότητα του κλάσματος, μου δείχνει σε πόσα είσα μεριχώρησα. Ο αριθμός από πάνω, αριθμητής, παρονομαστής και αριθμητής. Η κλασματική μου γραμμή, που είναι ουσιαστικά το σύμβολο της διαίρεσης. Αυτό σου είπα Κράτα, το είναι πάρα πολύ σημαντικό. Δεν μπορείς να φανταστείς πόσα πολλά προβλήματα θα μας λύσει. Αυτό λοιπόν το έχουμε, το κρατάμε και συνεχίζουμε στο επόμενο. Τα κλάσματα θα τα γνωρίσω ως εξής. Η πρώτη κατηγορία κλασμάτων είναι αυτά που ονομάζω γνήσια κλάσματα. Δηλαδή αυτά που έχουν αριθμητή, μικρότερα από τον παρονομαστή. 3-5, 4-8. Η επόμενη κατηγορία κλασμάτων είναι αυτά που έχουν αριθμητή, ίσο με τον παρονομαστή. Όπως θα καταλάβεις, στα κλάσματα αυτά χώρισα σε έξι ίσα μέρη και πήρα και τα έξι. Ξαναλέμε, κάθε κλάσμα συμβολίζει μια διαίρεση. Κάθε κλάσμα συμβολίζει μια διαίρεση. Πέντε πολύ σημαντικές λέξεις. Έξι δια έξι, ένα. Δέκα δια δέκα, ένα. Έχω πάρει όλη την ακέραια η μονάδα. Τρίτη κατηγορία είναι τα καταχρηστικά κλάσματα. Είναι κλάσματα τα οποία έχουν μεγαλύτερο αριθμητή από τον παρονομαστή. Αυτά τα κλάσματα μου δίνουν όταν διαιρεθούν μικτούς ή και ακαιρέους. Αυτό μας θα το δούμε στη συνέχεια. Για την ώρα κρατάμε αυτά. Γνήσια, ίσα με την ακέραια η μονάδα και καταχρηστικά. Τα έχουμε, τα κρατάμε, δεν τα ξεχνάμε και συνεχίζουμε. Ένα κλάσμα θα παρατηρήσεις ότι έχει μεγάλη αξία όταν έχω πάρει μεγάλο μέρος της ακέραιας μονάδας. Όταν λοιπόν επιθυμώ να συγκρίνω δύο κλάσματα, τα οποία έχουν τον ίδιο παρονομαστή, θα δω το εξής. Ανάμεσα στο κλάσμα 2-5 και στο κλάσμα 4-5, πολύ εύκολα διακρίνω ότι μεγαλύτερο είναι το κλάσμα 4-5. Χώρισα σε πέντε ίσα μέρη και πήρα τέσσερα. Άρα λοιπόν είναι μεγαλύτερο. Εδώ επίσης να θυμίσουμε ότι αυτά τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή ονομάζονται ομώνυμα. Ομώνυμα λοιπόν αυτά τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Και να σου πω και κάτι άλλο, είναι τελικά και αυτά τα οποία μπορώ να συγκρίνω. Αλλιώς δεν μπορώ να τα συγκρίνω. Εκτός βέβαια και αν έχω πάρει το ίδιο κομμάτι, έχω πάρει τον ίδιο αριθμητή. Θα το δούμε όμως στη συνέχεια όλο αυτό. Ανάμεσα στα κλάσματα και δεν μπορούν να υπάρχει σύγκριση αυτή τη στιγμή. Καταλαβαίνεις ότι αν μου πει κάποιος τι προτιμάς να πάρεις, τα τέσσερα έβδομα ή τα δύο τέταρτα. Βέβαια στο κλάσμα δύο τέταρτα μου χτυπάει ένα μικρό καμπανάκι, γιατί βλέπω ότι έχω πάρει το μισό. Θα ξαναθυμίσουμε ότι κάθε φορά που παίρνω το μισό από την ακέραιη μονάδα, όλο αυτό μου δηλώνει ότι έχω πάρει φυσικά ακριβώς το μισό. Δεν το ξεχνάω. Κάθε φορά που ο αριθμητής μου είναι ο μισός από τον παρονομαστή, μου δηλώνει ότι έχω πάρει το μισό της ακέραιης μονάδας. Καλό θα ήταν όμως να μπορέσω να τα συγκρίνω. Για να τα συγκρίνω πρέπει να τα κάνω ομώνυμα. Θα φτάσουμε σε λίγο σε αυτό. Ένα κλάσμα, καλέ μου φίλε και καλοί μου φίλοι, δεν μπορεί να έχει παρονομαστή το μηδέν. Καταλαβαίνεις ότι για να συμβεί κάτι τέτοιο, αν γράψω τέσσερα μηδέν ή κοστά, είναι απλά αδύνατο. Δεν μπορώ να χωρίσω σε μηδέν και να πάρω τέσσερα, άρα κάτι τέτοιο δεν ισχύει. Ένα κλάσμα όμως θα μπορούσε να έχει αριθμητή το μηδέν. Παραδείγματος χάρη, μηδέν τέταρτα. Τι ακριβώς μου δηλώνει αυτό το κλάσμα, ότι χώρισα σε τέσσερα εισαμέρη και απλά δεν πήρα κανένα. Το κλάσμα μου έχει μηδενική αξία. Αξία έχει, η αξία το όμως είναι απλά μηδενική. Πάμε ξανά, πριν προχωρήσουμε, στο επόμενο. Από το ρήμα κλάο κλω, η λέξη κλάσμα, το ίσο κομμάτι της ακέραιης μονάδας, ότι εγώ έχω ορίσει όμως ως ακέραιη μονάδα, ως όλο, ως ολόκληρο, κλάσματα, έχω τα εξής, γνήσια, με μικρότερο αριθμητή από τον παρονομαστή, ίσα με την ακέραιη μονάδα, με αριθμητή και παρονομαστή ίδιους ακριβώς, ξαναθυμίζουμε ότι κάθε κλάσμα συμβολίζει μια διέρεση. Αυτό δεν φεύγει καθόλου από το μυαλό μου, γιατί συνέχεια μου δίνει ότι 6x6 ίσον με 1. 10x10 ίσο με 1. Και τέλος, τα καταχρηστικά, τα οποία έχουν αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή. Να ξαναθυμίσουμε ότι σε ένα κλάσμα, όταν ο αριθμητής του είναι μεγαλύτερος από τον αριθμητή του άλλου, και έχουν τους ίδιους παρονομαστές, αυτά τα κλάσματα λέγονται ομώνυμα λοιπόν. Το κρατάμε αυτό, σβήνουμε τον πίνακά μας και συνεχίζουμε. Ελπίζω να τα θυμάσαι όλα αυτά. Βλέπεις, η επανάληψη βοηθάει πολύ. Για να πάμε λοιπόν τώρα να δούμε τα υπόλοιπα. Είδαμε πριν από λίγο κάποια κλάσματα τα οποία τα ονομάσαμε καταχρηστικά. Θα κρατήσουμε πάλι στο μυαλό μας, δεν θα φεύγει ποτέ το σύμβολο αυτό, το οποίο όπως θα θυμάσαι, μου συμβολίζει τη διέρεση. Στα κινητά μας τηλέφωνα, στους υπολογιστές μας, στα tablet μας, το σύμβολο της διέρεσης είναι ακριβώς αυτό. Είναι το 2 και στη μέση κλασματική γραμμή. Όταν με λίγα λόγια θέλω να γράψω ένα κλάσμα σε ένα κινητό τηλέφωνο ή σε έναν υπολογιστή, τη γράφω ουσιαστικά τρία τέταρτα. Εκείνη τη στιγμή λοιπόν αυτό το οποίο συμβαίνει είναι το εξής. Μου διαιρεί τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Γιατί ξαναλέμε ότι κάθε κλάσμα συμβολίζει μια διέρεση. Να τη δούμε λίγο. Το 4 στο 3 δεν χωράει, άρα βάζουμε 0 στο πηλίκο. Υποδιαστολή, το 4 στο 30 χωράει 7 φορές. 4 φορές το 7,28 από 30, 2. Βρίσκομαι ήδη στον κόσμο των δεκαδικών, άρα λοιπόν μπορώ να δώσω το μηδενικό μου ως δώρο. Το 4 στο 25, 4,5,20 από 20,0. Άρα λοιπόν το 3,4 είναι ίσο με 75 εκατοστά. Ή αλλιώς με 0,75 όπως έγραψα εκεί ή ίσο με το 75 της 100 της ακέραιης μονάδας. Δες λίγο πόσο πολύ με βοηθάει η διέρεση. Και μόνο η διέρεση μου τα δίνει όλα αυτά με πολύ μεγάλη ευκολία. Πάμε τώρα λοιπόν, όπως έλεγα πριν, να δούμε τι γίνεται με τα καταχρηστικά κλάσματα. Παίρνω λοιπόν ένα κλάσμα στην τύχη. Θέλεις να πάρουμε το κλάσμα 13,4. Τι ακριβώς μου δηλώνει εμένα το 13,4. Πάμε να το δούμε λίγο μαζί. Για να δούμε. Μου λέει καταρχάς ότι η ακέραιη μονάδα έχει χωριστεί σε 4 σαμέρη. Α, πάρα πολύ ωραία λέω εγώ. Να το δούμε λίγο τι σημαίνει αυτό. Να τη μία, να τη δύο, να τη τρεις, τέσσερα, και τέσσερα οχτώ, και τέσσερα δώδεκα. Δεν μου φτάσαν όμως. Έχω πάρει άλλη μια ακέραιη μονάδα, από την οποία έχω πάρει μόνο το ένα της. Έχω πάρει 13 λοιπόν, τέταρτα. Ένα τέταρτο, ένα τέταρτο, ένα τέταρτο, ένα τέταρτο, ένα τέταρτο. Να μην κουραζόμαστε, αυτό, εδώ, εδώ, εδώ, εδώ, εδώ, εδώ. Και από εδώ πήρα μόνο ένα τέταρτο. Άρα λοιπόν πήρα τέσσερα τέταρτα, δηλαδή πήρα μία ακέραιη μονάδα, πήρα άλλα τέσσερα τέταρτα, πήρα άλλη μία ακέραιη μονάδα, πήρα ακόμα τέσσερα τέταρτα, άλλη μία ακέραιη μονάδα, και από την τελευταία ακέραιη μονάδα πήρα μόνο ένα τέταρτο. Πήρα λοιπόν ένα, δύο, τρία και ένα τέταρτο. Ο αριθμός αυτός που αποτελείται από ακέραιο και κλασματικό μέρος ονομάζεται μικτός. Αριθμός. Θα μου πεις τώρα, Γιώργο, αν κάτσω εγώ κάθε φορά και γράφω τις ακέραιες μονάδες και ψάχνω να το βρω, θα κάνω δέκα χρόνια. Όχι φίλε μου, δεν θα το κάνεις έτσι. Πρόσεξε λοιπόν να δεις τι θα κάνεις, για τα πράγματα είναι πολύ πιο απλά. Πάμε ξανά. Κάθε κλάσμα συμβουλίζει μια διέρεση. Αυτό δεν το ξεχνάμε. Για να τη δούμε λοιπόν, παιδιά, που είναι αυτή η διέρεση. Δέκα, τρία, δύα, τέσσερα. Το τέσσερα στο δεκατρία πόσες φορές χωράει? Τρεις φορές. Τρεις, τέσσερις, δώδεκα. Από δέκα, τρία, ένα. Να λοιπόν μια περίπτωση που δεν θα τη συνεχίσω τη διέρεσή μου, γιατί η διέρεση αυτή μου λέει με πολύ απλά λόγια ότι πήρα τρεις φορές την ακέραιη μονάδα και από μια τέταρτη ακέραιη μονάδα, την οποία όμως δεν έχω πάρει ολόκληρη, πήρα μόνο ένα από τα τέσσερά της. Να λοιπόν πώς μου προκύπτει ο μικτός αριθμός τρία και ένα τέταρτο. Και μπορείς πάρα πολύ εύκολα εδώ να καταλάβεις το εξής, ότι αν θέλεις να περάσω τώρα από το μικτό στο κλάσμα, αυτό που έχω να κάνω ουσιαστικά τι είναι? Να πολλαπλασιάσω τον παρονομαστή με το ακέραιο μέρος και να του προσθέσω τον αριθμητή. Πάμε να το δούμε. Από εδώ εκεί πολλαπλασιάζω και από εκεί εκεί προσθέτω. Τρεις, τέσσερις, δώδεκα. Και ένα δεκατρία, τέταρτα. Να λοιπόν πώς πέρασα από τον μικτό στο καταχρηστικό μου κλάσμα. Ξαναθυμίζουμε. Κάθε κλάσμα μια διαίρεση. Με το που εκτελώ τη διαίρεσή μου, βλέπω ότι ακριβώς μου βγαίνει και βλέπω ότι για παράδειγμα το τρία, τέταρτα, φτάνει να γίνει 75 εκατοστά ή 0,75 ή 75%! Ερχόμενος τώρα να δω λίγο τα καταχρηστικά μου κλάσματα, παρατηρώ ότι έναν καταχρηστικό κλάσμα κρύβει μέσα του κάποιες ακέραιες μονάδες. Αυτές τις ακέραιες μονάδες λοιπόν καλούμε να τις βγάλω, να τις δω. Μία, δύο, τρεις και ένα τέταρτο. Άρα λοιπόν έρχομαι, εκτελώ τη διαίρεσή μου, 13, 24, 3 και 1 τέταρτο. Να τόσο μικτός μου, να πως ακριβώς ξαναγίνεται καταχρηστικό κλάσμα. Ρίξεις μια ματιά και πιστεύω ότι έχεις καταλάβει, δεν νομίζω ότι είναι δύσκολα. Τα ξαναθυμάσαι σιγά σιγά και αυτό είναι πάρα πολύ βασικό. Κάτι το οποίο θα ήθελα να δούμε πάλι μαζί, είναι το εξής. Αυτό θα το αφήσω, και αυτό θα το αφήσω γιατί θα σου είναι χρήσιμο να το θυμόμαστε συνεχώς. Μην το ξεχνάμε, είναι οι πέντε λέξεις που θα μας λύσουν τα χέρια. Κάθε κλάσμα συμβολίζει μια διαίρεση. Και τώρα θα μου πεις, εσύ Γιώργο, τελικά όλα τα κλάσματα, όλα μα όλα τα κλάσματα, τι γίνεται, είναι ίδια. Θα σου πω ότι, κοίτα ξαναδείς, υπάρχουν κάποια κλάσματα τα οποία έχουν μεταξύ τους την ίδια αξία. Αυτά τα κλάσματα που έχουν την ίδια αξία, τα ονομάζω ισοδύναμα. Είναι σαν να έχουνε ισυδύναμη το ένα με το άλλο. Θέλεις να δούμε ένα τέτοιο ζευγάρι κλασμάτων, πρόσεξε. Θα πάρω το κλάσμα 5-8 και το κλάσμα 10-16. Τα δύο αυτά κλάσματα θα παρατηρήσεις ότι έχουν την ίδια αξία. Και πώς θα το παρατηρήσεις αυτό, πρόσεξέ με. Μια προσεκτική ματιά, θα μου δώσει να καταλάβω ότι το 5 πολλαπλασιάστηκε με τον αριθμό 2, και έγινε 10, και το 8 πολλαπλασιάστηκε και αυτό με τον αριθμό 2 και έγινε 16. Αυτά λοιπόν τα κλάσματα που μεγαλώνω τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή τους, λέγονται ισοδύναμα. Επίσης, εν αισοδύναμο κλάσμα μπορώ να το πάρω αν μικρύνω τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο ακριβώς αριθμό. Αν διαιρέσω δηλαδή αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό, θα ξαναπάρω ένα ισοδύναμο κλάσμα. Πρόσεξε όμως κάτι που συμβαίνει στα ισοδύναμα κλάσματα. Θα ξαναγράψω από κάτω ένα μικρότερο λίγο κλασματάκι, θα σγράψω το κλάσμα 2, 5 και ας γράψω το κλάσμα 4, 10. Κοίταξε τι παρατηρούμε. Αν πολλαπλασιάσω τον αριθμητή του ενός επί τον παρονομαστή του άλλου και ακριβώς το ίδιο, το γινόμενό τους είναι ίσο, 2 επί 10, 20, 4 επί 5, 20. Τα δύο αυτά κλάσματα λοιπόν είναι ισοδύναμα. Με λίγα λόγια έχουν ακριβώς την ίδια αξία. Φαντάσου τώρα ότι όπως ξέρεις πολύ καλά και το έχεις μάθει και το θυμάσαι, οι πράξεις μας είναι ζευγάρια. Το πρώτο ζευγάρι είναι η πρόσθεση και αφαίρεση, το έχουμε, το δεύτερο ζευγάρι ο πολλαπλασιασμός και η διέρεση, επίσης το κρατάμε. Σκέψου τώρα λοιπόν τι θα συνέβαινε αν, ξέροντας ότι αυτό το οποίο ονομάζεται χειαστή ή αλλιώς σταυρωτά γινόμενα, ισχύει πάντα σε μια ισότητα, πάντα σε μια ισοδυναμία, τι θα συνέβαινε αν μου έλειπε ένας όρος λοιπόν, για να δούμε. Η ισότητα μου εξασφαλίζει ότι είναι ισοδυναμία, αυτό είναι πολύ σημαντικό. Εδώ τι θα κάνω λοιπόν, για να δω. Από τη στιγμή που υπάρχει το ίσον, πρόσεξέ με, έρχεται και μου λέει ότι 4 x 8 κάνει 32, άρα είναι σίγουρο ότι 2 x κάτι, δεν ξέρω πόσο, ή μάλλον ξέρω, θα το δω τώρα, μου κάνει και αυτό 32. Έχω λοιπόν και λέω ότι 4 x 8 κάνει 32, και το επόμενο στοιχείο που έχω είναι ότι 2 x κάτι που δεν γνωρίζω, μου κάνει και αυτό 32. Λοιπόν, θυμάσαι το ζευγάρι του πολλαπλασιασμού και της διέρεσης που λέγαμε πριν, η μία είναι η αντίστροφη πράξη της άλλης. Έτσι λοιπόν, για να βρω τον αριθμό μου εδώ, έλα, έλα, πες το, ακριβώς, θα κάνω διέρεση, πολύ σωστά. Για να δούμε λοιπόν, αν διερέσω το 32 με το 2, θα μου δώσει 16, και για να δούμε, 2 x 16, 2 x 10, 20, 2 x 6, 12, 32, 4 x 8, 32, bingo, το έχουμε, ακριβώς, είναι σωστό, η ισότητά μου ισχύει. Έτσι λοιπόν, παίρνω ισοδύναμα κλάσματα, πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Τα ομώνυμα κλάσματα που είδαμε λίγο πριν είναι ισοδύναμα. Να λοιπόν όμως μια ευκαιρία να τα πούμε ξανά σε κάποια άλλη συνάντησή μας. Να έχεις μια υπέροχη μέρα. Γεια σου! |
