| σύντομη περιγραφή: και μετά θα πάμε στις μημόνιμες ροές. Διαβάζω την εκφώνηση. Ποια είναι, λοιπόν, η μέγιστη παροχή που μπορούμε να λύσουμε μέσα του πηγαδιού α από τον ημιαίσθητο. Ποια είναι, λοιπόν, η μέγιστη παροχή που μπορούμε να λύσουμε μέσα του πηγαδιού α από τον ημιαίσθητο. Ποια είναι, λοιπόν, η μέγιστη παροχή που μπορούμε να λύσουμε μέσα του πηγαδιού α από τον ημιαίσθητο. Ποια είναι, λοιπόν, η μέγιστη παροχή που μπορούμε να λύσουμε μέσα του πηγαδιού α από τον ημιάπειρο υδροφορέα που φαίνεται σε κάτωψη στο σχήμα ώστε να πληρούνται συγχρόνως οι ακόλουθοι περιορισμοί. Πρώτον, οι πτώσεις στάθμισης να μην ξεπερνά τα 31 μέτρα σε κανένα σημείο του υδροφορέα και δεύτερον οι πτώσεις στάθμισης στην προστατευόμενη περιοχή να μην ξεπερνά τα 17 μέτρα. Είναι 50 μέτρα και ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας 10 στιγμίων τετάρτη, η υδραυλική εισαγωγημότητας, όπως θέλετε πείτε το, πάνω στη μέρα των εικόνων. Η ακτήνα του πηγαδιού είναι 0,20 μέτρα και η ακτήνα επιρροής 3.000 μέτρα. Η ροή είναι μόνιμη και γίνεται παντού υποπίεση. Ο σημείο ελέγχου για την προστατευόμενη περιοχή θα θεωρηθεί το β, δηλαδή το πλησιέστερο, στο πηγάδι. Αυτή είναι λοιπόν η άσκηση που έχουμε να κάνουμε. Θα ήθελα να μου πείτε τι γίνεται στη μέρα των εικόνων με τα φανταστικά πηγάδια. Πόσα φανταστικά πηγάδια θα έχουμε. Βλέπετε τώρα ότι τα υπογονεία 90 μοιρών. Και πού θα είναι αυτά. Πολύ σωστά. Μάλιστα, σωστά εδώ. Σωστά. Άρα θα έχουμε συνολικά τέσσερα πηγάδια. Για να κάνω μια ερώτηση ακόμα. Αν είχαμε ένα όριο, θα είχαμε μία εικόνα. Αυτή εδώ. Και αν είχαμε το άλλο όριο, πάλι μία εικόνα. Αυτή εδώ. Και τι είδους πηγάδια θα ήταν αυτά, αφού είναι αδιαπέρατα τα όρια. Άντληση στο άλφα, ναι. Αντίθετα, συμφωνούμε όλοι. Οι ίδια θα είναι. Γιατί ουσιαστικά θέλουμε να κλέβουν το νερό, που αν είναι ο υδροφορέας ήταν άπειρος. Γιατί με τις εικόνες, με τα φανταστικά πηγάδια, ουσιαστικά απαλασσόμαστε από τα όρια και μπορούμε να δουλέψουμε με τύπου συστημάτων πηγαδιών σε άπειρο υδροφορέα, μόνο που το τίμιμα που πληρώνουμε είναι ότι αυξάνεται ο αριθμός των πηγαδιών. Αυτά λοιπόν τα πηγάδια θα κλέβουν από το που έτσι το νερό, και αν κανονικά ήταν άπειρος ο υδροφορέας θα έρχονταν από αυτή τη μεριά στον χώρο που βρίσκεται το πραγματικό πηγάδι άντλησης. Και είπαμε ακόμα ότι τοποθετώντας κατάλληλα αυτά τα πηγάδια πετυχαίνουμε να πληρούνται οι οριακές συνθήκες. Δηλαδή, ποιες είναι οι οριακοί πρέπει να πληρούνται σε αυτό το όριο και σε αυτό το όριο και αν είναι η οριακή συνθήκη να μην υπάρχει ταχύτητα τα νερού κάθετα σε αυτό το όριο. Να μην διασχίζει, να μην διασχίζουν μόρια νερού από τον αδιαπέρατο σχηματισμό που πρακτικά δεν υπάρχουν προς το πραγματικό πεδίο ροής. Ε, τότε τι το χρειαζόμαστε και αυτό εδώ το πηγάδι. Δεν θα μπορούσαμε να το παραλείψουμε. Ναι. Ωραία. Ακριβώς, και ας το εξηγήσουμε. Ας πούμε ότι καταργούμε πρώτα αυτό το όριο. Τότε έχουμε δύο πηγάδια, αυτό και αυτό, και μετά ως προς το άλλο, θα πρέπει να πάρουμε άλλες δύο εικόνες. Και θα πρέπει, για να ισχύει η μέοδος των εικόνων, είτε ακολουθήσουμε τη μία πορεία, είτε την άλλη, δηλαδή είτε διώξουμε πρώτα αυτό το όριο, είτε ετούτο, να καταλήγουμε στο ίδιο σύστημα πηγαδιών. Και όντως καταλήγουμε, γιατί και αυτό το όριο να διώξουμε πρώτα, έχουμε τα δυο πηγάδια άντλησης εδώ, και θέλουμε τις δύο εικόνες που επίσης θα είναι πηγάδια άντλησης. Αυτό από την άποψη της προσωμίωσης, δηλαδή της μαθηματικής θεώρησης του προβλήματος. Ας το δούμε και λίγο από φυσική άποψη. Αν δεν βάζαμε αυτό το πηγάδι, τότε οι ταχύτητες πάνω σε αυτό το όριο, δεν θα ήταν μηδενικές οι εγκαρσίες ταχύτητες. Γιατί? Γιατί θα είχαμε ένα πηγάδι εδώ, ένα πηγάδι εδώ, του οποίου η επίδραση θα εξιωδευτερώ, θα του οποίου η επίδραση θα εξιωδευτερώνταν από εκείνο, αλλά αυτό δεν θα εξιωδευτερώνταν. Αυτό το πηγάδι λοιπόν, το φανταστικό, θα δημιουργούσε ταχύτητες νερού πάνω σε αυτό το όριο. Εντάξει? Και ομοίως αυτό και αυτό εξιωδευτερώνονται, και αυτό θα δημιουργούσε ταχύτητες και σε αυτό το όριο. Άρα λοιπόν, για να πληρούνται οι συνθήκες που θέλουμε, να λειτουργούν όντως οι δύο άξονες όσα διαπέρατα όρια, θα πρέπει οπωσδήποτε να έχουμε και το τέταρτο πηγάδι. Σύμφωνοι? Όπως δηλαδή και αν το εξετάσουμε, θα πρέπει να υπάρχουν ένα, δύο, τρία φανταστικά πηγάδια. Το λέω αυτό και επιμένω, σε εξετάσεις συνήθως αυτό το πηγάδι, το τέταρτο, ξεχνιέται. Ακούω, τι ήθελες να πεις. Αυτό που θέλω να πεις είναι ότι σε κάποιο περίπτωση, δηλαδή, πρέπει να χρωτάς εικόνες. Μαζί με τα πραγματικά. Ναι, συγγνώμη. Οι εικόνες είναι μόνος αριθμός. Οι εικόνες είναι μόνος αριθμός, ναι, συμφωνώ. Είτε έχουμε δηλαδή ένα όριο, θα έχουμε ένα συν ένα δύο, είτε αν έχουμε δύο όρια, θα έχουμε ένα συν τρία τέσσερα. Σύμφωνοι. Λοιπόν, για να δούμε πώς θα λύσουμε το συγκεκριμένο πρόβλημα. Πρέπει να βρούμε, κατ' αρχαία να πω το εξής, τα δύο αδιαπέρατα όρια είναι φυσικά. Είναι κάτι που υπάρχει στο πεδίο διακόπου του ειδροφορέας, πως πούμε από ένα αργυλικό στρώμα ή από ένα γρανιτικό στρώμα πραγματικά δεν κινείται νερό. Εκείνο το διακοικομένο, που είναι το όριο της προστατευόμενης περιοχής, το λαμβάνει υπόψη του όταν το νερό? Όχι, βεβαίως, γιατί είναι ένα όριο το οποίο προέρχεται από νομοθέτηση. Αποφάσισες το Δημοτικό Συμβούλιο να πεις ότι ξέρεις, από γι' εκεί πέρα αυτή την περιοχή θέλω να την προστατεύσω πως να μην δημιουργούνται μεγάλες πτώσεις. Άρα βάζω κάποιους περιορισμούς. Το νερό δεν έχει διαβάσει τον αντίστοιχο νόμο, άρα από φυσική άψη δεν το λαμβάνουμε υπόψη μας. Ένα άλλο λάθος που βλέπω μερικές φορές στις εξετάσεις, όταν δίνουμε τέτοια όρια να εμφανίζονται εικόνες και ως προς αυτό το όριο. Φυσικά δεν χρειάζονται εικόνες ως προς αυτό το όριο, όχι δεν χρειάζονται, είναι λάθος. Το νερό καταλαβαίνει τι υπάρχει στη φύση, δεν καταλαβαίνει τι αποφασίζουνε κάποια νομοθετικά σώματα. Άρα λοιπόν ας δούμε πρώτα τη μορφή του τύπου, αυτή εδώ πάνω, που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε. Έχουμε τέσσερα πηγάδια, είναι όλα πηγάδια άντλησης, άρα θα έχουμε τέσσερις όρους, ένα για κάθε πηγάδι, τους οποίους όμως μπορούμε να συμμαζέψουμε σε έναν, γιατί ξέρουμε ότι λογάριθμος του α' συν λογάριθμος του β είναι, πόσο κάνει? Το λογάριθμος του α επί β, και επί γ και επί δ. Έτσι λοιπόν έχω μαζέψει τους τέσσερις όρους, έχω το άλλο στην τετάρτη εδώ πέρα, γιατί υπάρχει ένα α' κεφαλό που άρρει ακτή να επιρροείς σε κάθε έναν από αυτούς εδώ τους όρους, και εδώ προσέξτε αυτός είναι στο πραγματικό πηγάδι, αυτός με το χσχα, ψχα, ποιος είναι? Ποιο πηγάδι είναι? Ο δεύτερος όρος σε αυτό, σε αυτό ή σε τούτο αντιστοιχεί? Ο δεύτερος όρος που είναι χσχα, ψχα, ποιος είναι? Είναι αυτό το πηγάδι, αυτός εδώ ο όρος είναι τούτος, αυτό το πηγάδι και εδώ έχουμε το άλλο πηγάδι. Άρα λοιπόν αυτός είναι ο γενικός τύπος, θα μπορούσαμε να βάλουμε τις συνεταγμένες του πηγαδιού, που είναι 50-50, και να πάμε να εξετάσουμε καταρχήν στην παριά του πηγαδιού, γιατί μας λέει ποιο είναι οι μεγαλύτεροι πτώσεις στάθμις στο πεδίο ροής, είναι το ένα κριτήριο. Και φυσικά ξέρουμε ότι οι μέγιστοι πτώσεις στάθμις είναι οπωσδήποτε σε παριά πηγαδιού. Θα μου πείτε αν είχαμε πέντε πηγάδια, που θα ξέραμε σε ποιο από όλα εκεί, είτε θα έπρεπε με κάποια κριτήρια να πιστούμε ότι κάποια πηγάδια, είτε λόγω μικρής παροχής, είτε λόγω θέσεσης προς τα όρια και τα λοιπά, δεν είναι τα πιο επικίνδυνα ή αν θέλετε τα πιο κρίσιμα σημεία και θα μπορούσαμε να τα αποκλείσουμε με λογικές σκέψεις και να ελέγξουμε τα υπόλοιπα, ή αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε με μια εξέταση με λογικά επιχειρήματα, τότε θα πρέπει να κάνουμε ελέγχους, δοκιμές σε όλα τα πηγάδια. Φυσικά για μας έχουμε μόνο ένα πηγάδι, άρα λοιπόν πηγαίνουμε στην παρειά του πηγαδιού και κάνουμε τον έλεγχο που θέλουμε. Εδώ ουσιαστικά έχω εφαρμόσει αυτόν τον τύπο, αλλά τον έχω συμμαζέψει κάπως, υπενθυμίζοντας τη γεωμετρία. Ο πρώτος όρος είναι η επίδραση του πηγαδιού στον εαυτό του, άρα πηγαίνουμε στην ακτή ναυπηροείς, γι' αυτό είναι το άρνηδαν. Ο δεύτερος όρος είναι αυτό και αυτό το πηγάδι, γι' αυτό υπάρχει ο συντελεστής 2, 50 και 50% η απόσταση. Και ο τρίτος όρος είναι η υποτίνουσα ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγόνου και επομένως είναι 100 ρίζα 2 στην αριθμητική βέβαια 2R. Κάνοντας τις πράξεις βγαίνουν αυτά εκεί τα νούμερα, είναι εύλογα, γιατί λέω ότι είναι εύλογα, δεν υπάρχει ένδειξη λάθους, γιατί η επίδραση του πηγαδιού στον εαυτό του προφανώς είναι η μεγαλύτερη και πολύ μεγαλύτερη από τις άλλες και αυτό εδώ είναι λίγο μεγαλύτερο από αυτό, γιατί το 3401 είναι λίγο μεγαλύτερο από το 3055. Γιατί όταν με το μηχανάκι βρήκα αυτά τα νούμερα είπα ότι εντάξει καλά είμαι. Και γιατί η απόσταση του πηγαδιού είναι ακριβώς... Ακριβώς. Όσο μεγαλύτερη είναι η απόσταση ενός πηγαδιού από το εξεταζόμενο σημείο, τόσο μικρότερη είναι η επίδραση που έχει στην πτώση στάθμιση. Σύμφωνοι. Άρα λοιπόν θέτω Sα, δηλαδή την πτώση στάθμιση στην παρειά του πηγαδιού Α, ίση με το όριο που μας δίνει τα 31 μέτρα και καταλήγω στο ότι η παροχή που επιτρέπεται με βάση τον πρώτο περιορισμό, η μέγιστη παροχή που μπορώ να αντλήσω, είναι 0,05 κυβικά μέτρα το δευτερόλεπτο. Υπάρχει κάποια πορεία έως εδώ? Όχι. Για να ελέγξουμε τώρα και τον δεύτερο περιορισμό. Το σημείο ελέγχουμε στο υποδεικνύει για να μην μπερδευόμαστε και λογικό είναι το σημείο Β, το οποίο είναι το πλησιέστερο σημείο της προστατευόμενης περιοχής στο πηγάδι άντλησης. Αν λοιπόν εκεί έχουμε την οριακώς επιτρεπόμενη πτώση στάθμιση, σε όλη την υπόλοιπη περιοχή τα πράγματα θα είναι καλύτερα. Εντάξει. Λοιπόν, πάλι το ίδιο τύπο που είδαμε προηγουμένως εφαρμόζουμε, με συνδεταγμένες για μέν το πηγάδι ΙΚΑΨΑΤΟ50 και το 50 και εδώ πέρα θα έχουμε το 50 συν 40 διαρίζα 2 και από την άλλη μεριά πάλι 50 συν 40 διαρίζα 2. Ή αν παίξουμε λίγο με τη γεωμετρία και πάρουμε, αυτό βέβαια είναι 40 κατευθείαν, αυτός εδώ ο όρος, η απόσταση από αυτό το πηγάδι είναι 100 ρύζα 2 συν το 40 και από τα άλλα δύο πηγάδια, ίσες αποστάσεις, προκύπτουν από το ορθογώνιο τρίγωνο, αυτό είναι 40 διαρίζα 2, συν 40 διαρίζα 2, υποτίνουσα εν τέλει του ορθογωνίου τριγώνου, προκύπτει τόσο. Βάζουμε εδώ στη συνέχεια την οριακή τιμή. Βλέπετε πάλι είναι λογικά τα νούμερα, αυτό είναι το πιο κοντινό, άρα έχει τη μεγαλύτερη επίδραση, μετά τα άλλα δύο, μετά το πιο μακρινό και βρίσκουμε ότι με βάση το δεύτερο κριτήριο, η μέγιστη παροχή που μπορούμε να αντλήσουμε είναι 0,04 κυβικά μέτρα το δευτερόλεπτο. Άρα, η τελική απάντηση που θα δώσουμε, ποια είναι? Το πέντε ή το τέσσερα είναι η μέγιστη παροχή που μπορούμε να αντλήσουμε. Το τέσσερα, η μέγιστη παροχή είναι η μικρότερη από τις δύο. Εντάξει, γιατί αν πάρουμε τη μεγαλύτερη δεν θα πληρούνται το άλλο κριτήριο. Επιμένω σε κάποια πράγματα τα οποία φαίνονται απλά γιατί έχω μάθει από τα λάθη των εξετάσεων. Όλα αυτά που μπορεί σε εσάς που παρακολουθείτε το μάθημα να φαίνονται πολύ απλοϊκά, έχουν γραφεί λάθος στις εξετάσεις και με έχουν προβληματίσει ως εκ τούτου. Εντάξει, υπάρχει λοιπόν κάποια απορία για την πρώτη άσκηση. Να κάνουμε λοιπόν άλλη μία άσκηση και με αυτήν να χαιρετήσουμε τη μέθοδο των εικόνων. Για να διαβάσουμε την εκφώνηση, ξαναλέω ότι όλα αυτά θα ανεβούνε στον διαδίκτυο, απλά κρατάτε κάποιες σημειώσεις για να παρακολουθείτε το μάθημα. Στο αγροτεμάχιο ΑΒΓΔ που φαίνεται σε κάτωψη στο σχήμα, λειτουργεί η γεώτρηση ε, από την οποία αντλείται παροχή Qε ίσως 44 λίτρα το δευτερόλεπτο. Σε ποιο σημείο του αγροτεμαχίου θα δούμε το σχήμα στη συνέχεια. Πρέπει να γίνει μια δεύτερη γεώτρηση από την οποία θα αντλείται πρόσθετη παροχή 32 λίτρα το δευτερόλεπτο, ώστε οι πτώσεις στάθμις στην παρειά της να είναι οι μικρότεροι δυνατοί. Πώς είναι αυτή η πτώση στάθμις. Δίνεται το πάχο στη τροφορέα που επικοινωνεί οι δραυλικά με τη λίμνη, θα δούμε το σχήμα είναι 50 μέτρα. Ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας 10 στιγμίων τετάρτη, μέτρα το δευτερόλεπτο. Η ακτίνα κάθε πηγαδιού 0,20 μέτρα. Η ροή είναι μόνιμη και γίνεται παντού υποπίεση. Και δίνονται οι συνεταγμένες τόσο των κορυφών του τετραπλεύρου τραπέζιου, είναι όπως θα δούμε στο σχήμα, που ορίζει το αγροτεμάχιο και το ε όπου βρίσκεται η αρχική γεώτρηση. Ας δούμε όμως το σχήμα εδώ πέρα. Και ας δούμε ποια είναι τα σημεία τα οποία πρέπει να ελέγξουμε. Καταρχήν και εδώ πρέπει να εφαρμόσουμε τη μέθοδο των εικόνων. Πάλι θα έχουμε όπως είπαμε και προηγουμένως τρεις εικόνες. Απλά θέλω να ακούσω από εσάς, για το πηγάδι ε μιλάω μόνο, έτσι αν έχουμε μόνο το πηγάδι ε, για να ακούσω από εσάς τι είδους θα είναι αυτές οι εικόνες. Στην προηγουμένη φορά και οι τρεις εικόνες είναι πηγάδια άντλησης. Εδώ έχουμε δύο όρια τα οποία είναι σταθερού φορτίου, ή αλλιώς όρια δεξαμενής, από τα οποία έρχεται περίσσια νερού προς τον πραγματικό υδροφορέα σε σχέση με τον άπειρο υδροφορέα, στον οποίο αναγώμαστε με τη μέθοδο των εικόνων. Εδώ λοιπόν τι εικόνες έχουμε, ναι. Φόρτισης που αδιοκρατεύει νερό. Εδώ δηλαδή. Και αυτό εδώ. Θα είναι όμιμου τεπιστοθέναι άντλησης. Ας εξηγήσουμε και πάλι γιατί. Ας πούμε ότι διώχνουμε πρώτα αυτό το όριο. Εδώ λοιπόν έχουμε ένα πηγάδι άντλησης και ένα πηγάδι φόρτισης. Μετά πάμε να διώξουμε και το δεύτερο όριο. Θα βάλουμε εδώ ένα πηγάδι φόρτισης ως εικόνα του πηγαδιού άντλησης. Και εδώ αφού το πηγάδι εδώ, το εντός εισαγωγικών υπάρχων είναι φόρτισης, η εικόνα του θα είναι αντίθετη, θα είναι άντλησης. Και ας εξηγήσουμε και γιατί. Τι σημαίνει όριο δεξαμένης, η λίμνη, σημαίνει ότι ανεξάρτητα από την άντληση που κάνουμε εμείς, η στάθμη του νερού δεν θα πέσει, θα παραμείνει σταθερή. Αν λοιπόν βάζαμε μόνο ένα πηγάδι φόρτισης και ένα πηγάδι φόρτισης εδώ, τότε αυτό και αυτό θα εξουδετερωνόταν, αλλά αυτό το πηγάδι θα είναι φόρτισης, θα ανεβάσει τη στάθμη, γιατί μπαίνει νερό υποτίθετα από εδώ, άρα θα ανεβάσει και τη στάθμη. Είναι σαν να υπάρχει δηλαδή μόνο αυτό σε ό,τι αφορά το όριο και από μένα στο τέλος θα ανεβάσει τη στάθμη. Ομοίως, αν εξετάσουμε τι γίνεται σε αυτό το όριο, αυτό και τούτο εξουδετερώνονται, αλλά αυτό το πηγάδι φόρτισης θα ανεβάσει τη στάθμη. Άρα δεν πληρούνται ιωριακές συνθήκες. Όχι, όλα ήταν άντλησης, εκεί ήταν και τα τρία άντλησης. Γι' αυτό ήταν και στον αριθμητή τέσσερις ώρες και στον παρανομαστή το αρτετάρτης. Εδώ λοιπόν, για να μη συμβαίνει αυτή η ενισορροπία, να πληρούνται ιωριακές συνθήκες, μας χρειάζεται εδώ το άλλο πηγάδι άντλησης, που ακριβώς θα διασφαλίζει ότι εδώ η μεταβολή της στάθμης θα είναι μηδέν και ότι εδώ επίσης η μεταβολή της στάθμης θα είναι μηδέν. Και είναι η περίπτωση, που έχουμε αυτόν εδώ τον τύπο, τα δύο πηγάδια άντλησης εμφανίζονται στον αριθμητή, τα δύο πηγάδια φόρτισης στον παρανομαστή με την προϋπόθεση, βέβαια, ότι εδώ έχει μίον, αν βγάλω το μίον θα αλλάξουν οι όρες στο λογάριθμο. Εντάξει, μη μπερδέψετε δηλαδή αν δείτε σε άλλα βιβλία ανάποδα το λογάριθμο ή και ακόμα αν δείτε ότι τον τύπο αυτό χωρίς ρίζες, με μία ακόμη μεταβολή. Ή να κάνω αλλιώς την ερώτηση, αν δεν θέλω να έχω ρίζες εδώ πέρα, θα αλλάξω στον τύπο για να είναι σωστός πάλι. Ναι, άρα πώς θα το ισορροπήσω αυτός να είναι σωστός ο τύπος. Θέλω να ισχύει αυτή η σχέση εδώ, οι πτώσεις τάθμις να είναι ίσοι με κάποιον ώρα εδώ πέρα σε αυτό το λογάριθμο ίδιο αλλά χωρίς τις ρίζες. Τι άλλη αλλαγή θα κάνει στον τύπο, η αλλαγή? Θα γίνει το 4. Και θα γίνει? Θα γίνει 4, αυτό ακριβώς. Καλώς είναι και σάργησε. Λοιπόν, άρα μην ξαφνιαστείτε, αν δείτε σε κάποια βιβλία και τη γραφή χωρίς ρίζες εδώ, αλλά προσοχή εδώ το 4. Εντάξει. Και βλέπετε ότι αφού έχουμε όριο δεξαμενής, δεν επισέρχεται στον τύπο η ακτή να επιρροείς. Γιατί έχουμε στον παρονομαστή αυτού και στον παρονομαστή αυτού R, τα οποία θα απλοποιηθούν με τα R που υπάρχουν στους άλλους όρους. Αυτό από μαθηματική άποψη. Από φυσική άποψη, αυτό συμβαίνει γιατί, αν το πω, γιατί δεν χρειάζεται να γίνει η παραδοχή της ύπαρξης μιας σταθερής ακτή να σε επιρροείς. Γιατί το νερό που εντέλει αντλούμε προέρχεται από τη λίμνη. Έτσι. Δεν έρχεται από κάπου μακριά, έρχεται όλο τελικά από τη λίμνη. Και αν έρχεται και κάποια τέτοια γραμμή ροής, από εδώ θα ξεκινάει και θα πηγαίνει να μπαίνει στο πηγάδι. Σύμφωνοι? Άρα λοιπόν, έχουμε αυτήν εδώ την κατάσταση, αυτός είναι ο τύπος που θα χρησιμοποιήσουμε και μάλιστα, επειδή θα βάλουμε και ένα δεύτερο πηγάδι κάπου, θα έχουμε δύο τέτοιους όρους. Βλέπετε εδώ υπάρχει το άθρησμα, θα έχουμε ένα έως δύο. Εντάξει? Θα έχουμε δύο τέτοιους όρους. Πριν όμως πάμε να γράψουμε αυτούς τους τύπους και να κάνουμε πράξεις, και αυτό ήταν άσκηση εξετάσων, και όχι πολύ παλιά μάλιστα, να δούμε ποια σημεία πρέπει να ελέγξουμε. Ποια είναι οι πιθανές θέσεις, όπου θα πρέπει να τοποθετήσουμε το πηγάδι, το πρόσετο πηγάδι, ώστε να πληρούνται οι συνθήκοι που αναφέρθηκε, ακούω. Ακριβώς αυτό όπως είπε ο συνάδελφος. Τα κρίσιμα σημεία ή αν θέλετε οι πιθανές θέσεις τοποθέτησης του νέου πηγαδιού είναι είτε το β, γιατί εκεί αν δουλώντας συγκεκριμένη παροχή, θα έχουμε την επίδραση της λίμνης που θα περιορίζει την πτώση στάθμις, θα είναι εντονότερη αν θέλετε η επίδραση της λίμνης, και από την άλλη μεριά στο δ, που μπορεί να είναι πιο μακριά από τη λίμνη, αλλά συγχρόνως είναι και πιο μακριά από το ε, από το υπάρχον πηγάδι, το οποίο αν εξετάστητε τους αριθμούς που έδωσα, που δόθηκαν στην άσκηση για τις συνδεταγμένες του ε, το ε είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του ορθογωνίου, αυτό εδώ, αν ήταν ορθογώνιο δηλαδή, το ε θα ήταν το σημείο τομής των διαγωνίων, που σημαίνει ότι απέχει ίση απόσταση από το α, το β και το γ. Και γι' αυτό άλλωστε δεν χρειάζεται να ελέγξουμε στο γ και στο α. Ότι απέχουν ίση απόσταση από το ε με το β, αλλά σε σχέση με τη λίμνη δέχονται το α και το γ μικρότερη ανακουφιστική επίδραση. Εντάξει. Άρα λοιπόν, είτε στο β είτε στο δ. Δεν έχουμε λοιπόν παρά να εφαρμόσουμε τον τύπο αυτόν. Βλέπετε εδώ έχουμε τους δύο όρους. Την πτώση στάθμιση καταρχήν στο β υπολογίζουμε, την πτώση στάθμιση αν το πηγάδι κατασκευαστεί στο β στην παρειά αυτού του πηγαδιού. Άρα εδώ έχουμε το Qβ, την παροχή του πηγαδιού, εδώ είναι η ακτίνα του πηγαδιού και οι άλλοι όροι είναι οι αποστάσεις, προκύπτουν εύκολα από τη γεωμετρία. Εδώ είναι η επίδραση του πηγαδιού ε και των εικόνων του στο πηγάδι β. Στην παρειά του πηγαδιού β και μάλιστα όπως έχουμε πει πολλές φορές όταν εξετάζουμε την επίδραση ενός πηγαδιού σε ένα άλλο, δεν χρειάζεται να λαμβάνουμε υπόψιμος, όχι ότι είναι λάθος, δεν χρειάζεται να λαμβάνουμε υπόψιμος την ακτίνα του εξεταζόμενου πηγαδιού, αλλά αν μιλάμε για την επίδραση ενός πηγαδιού στον εαυτό του και δεν βάλουμε την ακτίνα, προφανώς βγάλαμε λογάριθμα του μηδενός, μίον, άπειρο και τελείωση στην τελετή, εντάξει. Σε αυτή την περίπτωση βρίσκουμε ότι οι πτώσεις στάθμις θα ήταν 9,12 μέτρα. Αν πάμε τώρα να φτιάξουμε το πηγάδι στο δ, η επίδραση του πηγαδιού στον εαυτό του, συν την επίδραση του ε και των εικόνων του στο πηγάδι που βρίσκεται στο δ, κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε ότι οι πτώσεις στάθμις θα είναι 8,97. Άρα το τελικό συμπέρασμα, αυτό δηλαδή που θα πούμε σε όποιον έκανε το ερώτημα, είναι κατασκεύαση του πηγάδι στο δ, βρίσκοντας τις πράξεις βρίσκοντας τις πτώσεις στάθμις. Άρα το τελικό συμπέρασμα, αυτό δηλαδή που θα πούμε σε όποιον έκανε το ερώτημα, είναι κατασκεύαση του πηγαδιού στο δ, κάνοντας τις πράξεις βρίσκοντας τις πτώσεις στάθμις. Άρα το τελικό συμπέρασμα, αυτό δηλαδή που θα πούμε σε όποιον έκανε το ερώτημα, είναι κατασκεύαση του πηγαδιού στο δ, βρίσκοντας τις πτώσεις στάθμις. Άρα το τελικό συμπέρασμα, αυτό δηλαδή που θα πούμε σε όποιον έκανε το ερώτημα, είναι κατασκεύαση του πηγαδιού στο δ, κάνοντας τις πτώσεις στάθμις. Αυτός ο τύπος, πάλι, ένας τέτοιος όρος υπάρχει για κάθε πηγάδι. Έχουμε δύο όρια δεξαμενής και πάλι προκύπτουν από το είδος των ορίων που συνεπάγεται, αντίστοιχα, είδος εικόνων. Εδώ, όπως είπαμε, έχουμε πηγάδι άντλησης, φόρτισης, φόρτισης, άντλησης. Γι' αυτό έχουμε δύο όρους στον αριθμητή και δύο στον προνομαστή. Στο προηγούμενο, εδώ πέρα πάνω, που είχαμε τρία συν ένα πηγάδια άντλησης, όλοι οι όροι πηγαίνουν στον αριθμητή οι ρίζες και κάτω στον προνομαστή εμφανίζεται το αρτετάρτης. Δηλαδή, κατά μίζουνα λόγω θα έλεγα ότι εδώ ισχύει η παραδοχή της ακτίνας επιρροής για το μόνιμο φαινόμενο. Τώρα, ποια άλλη περίπτωση θα μπορούσαμε να έχουμε, ένα να είναι όριο δεξαμενής και ένα να είναι αδιαπέρατο. Ας την θυμηθούμε και αυτή την περίπτωση, απλώς ως προς το είδος των εικόνων. Αν λοιπόν αυτό είναι όριο δεξαμενής και αυτό αδιαπέρατο όριο. Πείτε ότι από εδώ έχουμε μια λίμνη, πάει μέχρι κάτω, εδώ έχουμε την ιδροφορέα μας και εδώ έχουμε ένα γρανίτι. Για κάποιο λόγο, τι εικόνες θα είχαμε εδώ. Ας διώξουμε πρώτα αυτό το όριο, εντάξει. Θα είχαμε, αφού αυτό είναι πηγάδι άντλησης, αυτό τι θα είναι. Άντλησης. Άρα έχουμε τώρα δύο πηγάδια άντλησης και θέλουμε να διώξουμε ένα όριο δεξαμενής. Τι θα ξεφυτρώσει. Δύο πηγάδια φόρτισης εδώ και εδώ. Και λύστε μου και μια απορία με την ευκαιρία. Όταν έχουμε είπαμε δύο πηγάδια, δύο όρια αδιαπέρατα, έχουμε τρεις εικόνες που είναι και οι τρεις άντλησης. Όταν έχουμε διπλό όριο δεξαμενής, έχουμε δύο εικόνες φόρτισης και μη άντλησης. Αλλά και αν έχουμε ένα όριο δεξαμενής και ένα αδιαπέρατο όριο, πάλι το ίδιο. Είναι το ίδιο. Ορίστε. Λέω. Έχουν άλλες θέσεις, δεν είναι το ίδιο. Άρα γιατί και μάλιστα ποια είναι η διαφορά. Ότι εδώ θα έχω πηγάδι άντλησης εδώ, πηγάδι φόρτισης εδώ και πηγάδι φόρτισης εδώ. Ας πω ότι αυτό θα είναι το ίδιο με την προηγούμενη περίπτωση. Όμως αυτά τα δύο θα έχουν διαφορετική θέση. Τι σημαίνει αυτό το πράγμα? Το πηγάδι φόρτισης θα είναι πιο κοντά στο πραγματικό πηγάδι. Άρα όντως συμφωνεί με τη λογική ότι αν έχουμε ένα όριο σταθερού φορτίου και ένα αδιαπέρατο όριο, τότε θα έχουμε μεγαλύτερη πτώση σταθμής από την περίπτωση που θα έχουμε δύο όρια δεξαμενής ή σταθερού φορτίου. Δηλαδή, ναι μεν ο αριθμός των πηγαδιών τελικά είναι ίδιος, δύο φόρτσες, δύο άντλησης, δύο περιπτώσεις, αλλά επειδή είναι διαφορετικές οι θέσεις, έχουμε και διαφορετικό αποτέλεσμα στον πραγματικό ιδροφορέα και αυτό είναι που μας ενδιαφέρει. Πώς προκύπτει? Γιατί είναι πρώτον ο χριστός πάνω από το τελάδι? Γιατί, σε αυτή την περίπτωση που είναι ίσως αυτές οι δύο είναι η υποτίνουσα του ενός ορθογωνίου τριγόνου, άρα σίγουρα είναι πιο μεγάλη από την πλευρά. Αλλά και να μην ήταν έτσι, αυτό ήταν 80 και αυτό 50. Θα είχαμε την εικόνα αυτή στα 50 συν 50% Εντάξει, από εδώ θα είχαμε 80 και 80, 160 και αυτό εδώ πέρα θα ήταν 100 στο τετράγωνο συν 160 στο τετράγωνο ρίζα. Πάλι η υποτίνουσα ορθογωνίου τριγόνου πάρει μεγαλύτερη απόσταση. Αυτό σίγουρα δηλαδή είναι το πιο απομακρυσμένο από τον πραγματικό ιδροφορέα και από τα πραγματικά πηγάδια. Και αυτό είναι που μας ενδιαφέρει. Εντάξει, εδώ δεν κάνουμε υπολογισμούς και αν κάνουμε υπολογισμούς δεν έχουν φυσικό αντίκρισμα. Εδώ δεν υπάρχει νερό, δεν υπάρχει ιδροφορέας. Ή αν υπάρχει λίμνη, το νερό της λίμνης δεν υπακούει στους νόμους κίνησης του υπόγειου νερού και μάλιστα το θεωρούμε ότι δεν επηρεάζεται καν η στάθμη της λίμνης ή του ποταμού ή της θάλασσας από την άδληση που κάνουμε εμείς. Κάτι που μπορεί να είναι αληθές, μπορεί και να μην είναι σωρισμένα, γιατί αν έχουμε ένα νερόλακο, την κορώνια όπως είχε καταντήσει με βάθος μισό μέτρο, ξέρω εγώ, θα το επηρεάζουμε, θα το αποτελειώναμε. Αλλά όταν λέμε ότι πράγματι υπάρχει ένα όριο δεξαμενής, τότε θεωρούμε ότι υπάρχει μια μάζε επιφανειακού νερού, η οποία για το εξεταζόμενο χρονικό διάστημα ουσικά κατουσίαν δεν επηρεάζεται από την άδληση που κάνουμε εμείς. Σύμφωνοι? Υπάρχει κάποια άλλη απορία? Εδώ έχουμε τις περιπτώσεις που αναφέραμε προηγουμένως. Εδώ λίμνη, είτε μπορεί να συνεχίζεται εδώ η λίμνη, είτε να συνεχίζεται εδώ το αδιαπέρατο όριο, και από εδώ αδιαπέρατο όριο, εδώ δυο αδιαπέρατο όρια και εδώ δυο όριο δεξαμενές με λίμνη και λίμνη, είμαστε σε ένα ας πω ακροτήριο κάπως. Λοιπόν, έχω ζωγραφίσει και τις εικόνες πώς θα είναι, όπως συζητήσαμε με βάση την απορία σου στην προηγούμενη ώρα. Εδώ φαίνεται ότι στη μία περίπτωση έχουμε αυτό και αυτό το πηγάδι απέχουνε λιγότερο από ότι αυτό και σε σύγκριση με αυτήν εδώ την περίπτωση, τα πηγάδια φόρτισης είναι πιο κοντά στο πραγματικό πηγάδι, ενώ εδώ είναι κοντινά ένα πηγάδι φόρτισης και ένα πηγάδι αντίθεσης. Αυτό διαφοροποιεί τις καταστάσεις στις δύο περιπτώσεις, ως προς τα αποτέλεσμα, ξαναλέω, μόνο στον πραγματικό ιδροφορέα, γιατί αυτό μόνο μας ενδιαφέρει. Τώρα, αν γράψουμε τους τύπους, σε πόσους από αυτούς τους τρεις τύπους εμφανίζεται η ακτίνα επιρροής και σε πόσους όχι. Τη μία περίπτωση, αυτή εδώ, πάνω στην νεοκρατήση εκεί πέρα, τι βλέπετε, δεν υπάρχει η ακτίνα, δεν παίζει η ακτίνα επιρροής. Εδώ παίζει, σίγουρα παίζει η άλλη άσκηση που είδαμε εδώ. Ναι ή όχι. Και τέλει και γιατί, εκείνη η απορία μου. Γιατί το ναι ή όχι, μπορείτε να το απαντήσετε και λίγο, τεχνικά ας το πω, ναι. Στον έναν όρο. Στον έναν όρο. Άλλο, ας πούμε, εκείνη την απόσταση μεταξύ τα δύο κλάτια ανθλίσεις. Δεν υποσχεσιάζεται τώρα να μας τις δηφέρονται. Το κρατάμε αυτό, για πες. Δεν εμφανίζεται. Δεν εμφανίζεται, γιατί? Γιατί έχουμε δύο και δύο. Έχουμε δύο και δύο. Άρα, δύο λογάριθμοι αυτό διά αρ, όπως αυτή την περίπτωση είναι στον αριθμητή, δύο στον παρονομιζότητα, άρα προποιούνται. Απλά η διαφόρα είναι ότι δεν έχουμε αυτό στον αριθμητή, αλλά έχουμε ένα από τα άλλα δύο, εξαρτάται πού είναι το όριο, δεξαμενές και πού είναι το αδιαπέρατο όριο και αυτό είναι οπωσδήποτε στον παρονομαστή που είναι το πιο μακρινό. Από φυσική άποψη τι σημαίνει αυτό το πράγμα, γιατί συμβαίνει αυτό. Μαθηματικά έτσι είναι ακριβώς όπως το είπαμε. Αν σκεφτείτε είχαμε πει ότι σε αυτήν εδώ την περίπτωση δεν επισέρχεται η ακτή να επιρροείς, γιατί όλη η τροφοδοσία, όλο το νερό που αντλούμε προέρχεται από τη λίμνη. Άρα, δεν έρχεται τεντικά νερό από μακριά. Υπάρχει μια πηγή τροφοδοσίας για το νερό. Εδώ πάλι το ίδιο. Υπάρχει η πηγή τροφοδοσίας. Το νερό που τελικά θα πάρουμε είναι το νερό της λίμνης. Εντάξει. Αυτό το πηγάδι κλέβει το νερό που δίνει αυτό εδώ. Άρα, σ' ό,τι αφορά τον πραγματικό υδροφορέα, έρχεται νερό από εδώ. Εντάξει. Ακόμα δηλαδή και το νερό που μπαίνει στο πηγάδι από πίσω, ας πούμε πίσω μεριά ως προς αυτό το όριο, θα έρχεται κάπως έτσι. Σύμφωνοι. Άρα, λοιπόν, στις δύο από τις τρεις περιπτώσεις, αυτή βέβαια μπορεί να θεωρηθεί διπλή περίπτωση, δεν υπησέρχεται η ακτίνα επιρροής, γιατί υπάρχει η πηγή τροφοδοσίας. Υπάρχει το επιφανειακό σώμα νερού, λίμνη, θάλασσα, ποτάμι, που μας δίνει το νερό που εμείς, αν δούμε, σύμφωνοι. Άρα, νομίζω ότι διευκρινίστηκε πλήρως, θα φανεί στο διαγώνισμα, στο τεστ, διευκρινίστηκε πλήρως το θέμα της μεθόδου των εικόνων. Μαθηματικά προκύπτει, σαφώς προκύπτει μαθηματικά, αλλά να καταλαβαίνουμε ή να εξηγούμε γιατί, από φυσική άποψη, προκύπτει κάτι μαθηματικά. Εδώ τα μαθηματικά, κατά κάποιο τρόπο, είναι οι πειρέτες της φυσικής. Εντάξει. Άρα, λοιπόν, ξαναλέω, ότι στις δύο από τις τρεις περιπτώσεις, δεν επισέρχεται η ακτήνα επιρροής, γιατί υπάρχει η πηγή τροφοδοσίας. Πάμε, λοιπόν, να δούμε, τώρα, τις μη μόνιμες ροές. Μέχρι τώρα, κάναμε την παραδοχή ότι είχαμε μόνιμη ροή που η οποία δεν μεταβάλλεται με τον χρόνο. Αυτό σίγουρα είναι παραδοχή, η οποία μπορεί να είναι μια πολύ καλή παραδοχή, είτε με βάση το ερώτημα το οποίο καλούμαστε να απαντήσουμε, είτε με βάση το χρονικό διάστημα που εξετάζουμε και ότι συμβαίνει σε αυτό το χρονικό διάστημα. Εντάξει. Κάνουμε μία άντληση, δεν μας ενδιαφέρει τι γίνεται τις πρώτες λίγες ώρες, μας ενδιαφέρει από κει και πέρα το περίπου έχουν σταθεροποιηθεί οι στάθμεις, τι έχουμε, οπότε κάνουμε την προσέγγιση της μόνιμης ροής. Ή μας ρωτάει κάποιος, ξέρεις, αν αντλήσω πέντε ώρες, με αυτή την παροχή θα πέσει η στάθμη πάνω από 30 μέτρα. Μπορούμε να ερελέγξουμε το μόνιμο φαινόμενο και αν για το μόνιμο φαινόμενο, το οποίο σημαίνει πολύ μεγάλης διάρκειας άντληση, έχουμε πτώσει στάθμεις 28 μέτρα, το οποίο εντάξει, no problem, δεν θα έχεις θέμα. Αν βρούμε όμως ότι για το μόνιμο φαινόμενο είναι 35, τότε θα πρέπει να πάμε να ερελέγξουμε το μη μόνιμο φαινόμενο. Σύμφωνο? Ή αν έχουμε αντλήσεις περιορισμένης διάρκειας, ή όπως τα τελευταία μαθήματα θα δούμε, αν έχουμε την περίπτωση που θέλουμε να προσδιορίσουμε τα χαρακτηριστικά ενός ιδροφορέα, την αποθηκευτικότητα, την μεταφορικότητα, και κάνουμε κάποιες δοκιμές παιδίου, τις λεγόμενες δοκιμαστικές αντλήσεις. Δηλαδή, πάμε εμείς, κάνουμε άντληση και μετράμε πώς ανατακτά κρονικά διαστήματα, πώς αυξάνεται η πτώση στάθμις, πώς πέφτει δηλαδή η στάθμη, και αν και επίσης πολλές φορές αν διακόψουμε την άντληση, πώς στη συνέχεια ανεβαίνει σιγά σιγά η στάθμη. Είναι η λεγόμενη υποληματική πτώση στάθμηση, θα αναφερθώ σε αυτό σε λίγο. Άρα λοιπόν, πρώτα θα ξεκινήσουμε από έναν ιδροφορέα υποπίεση. Πάντα η ιδροφορέας υποπίεση είναι η απλούστερη περίπτωση. Και η αρχική στάθμη είναι εδώ, έχουμε το πηγάδι, αρχίζουμε την άντληση και βλέπουμε να πέφτει η στάθμη, γρήγορα σχετικά, επειδή η αποθηκευτικότητα των ιδροφορέων υποπίεση είναι μικρή. Θυμάται κανείς να μου πει, αν σας έλεγα ένας ιδροφορέας είναι υποπίεση, πείτε μου μια τιμή για την αποθηκευτικότητα, τι θα μου λέγατε. Για το S κεφαλαίο σε αντιδιαστολή με το S μικρό. Τι τιμή θα μου λέγατε. Το έχουμε πει στα πρώτα μαθήματα και έχουμε επιμείνει λίγο. Πες μια τιμή. 10 στιγμών 3, 10 στιγμών 4, πάρα πολύ καλή απάντηση. Αν ήταν ιδροφορέας με ελεύθερη επιφάνεια τι θα μου λέγατε. Ορίστε. Με ελεύθερη επιφάνεια είναι σχετικά μεγάλη. 0,2 ας πούμε. Γιατί όταν έχουμε ιδροφορέας με ελεύθερη επιφάνεια τότε η αποθηκευτικότητα ταυτίζεται με το ενεργό πορόδες. Ας επαναλάβω τον αρισμό της αποθηκευτικότητας, γιατί τον έχουμε ξεχάσει τόσο καιρό που μιλάμε πάλι για μόνιμες ροές. Μετά από λίγη ζήτηση θα κάνω κι άλλη μία ερώτηση πάνω σε αυτό το θέμα. Γιατί ξεχάσαμε δηλαδή στις μόνιμες ροές την αποθηκευτικότητα. Τι σημαίνει αποθηκευτικότητα. Παίρνουμε έναν τετραγωνικό μέτρο στον ιδροφορέα μας και λέμε αν ανεβεί η στάθμη στον φρεάτιο στην ιδροφορέα με ελεύθερη επιφάνεια κατά ένα μέτρο πόσο επιπλέον νερό θα αποθηκευθεί. Πώς θα αποθηκευθεί λοιπόν. Θα γεμίσουν όλοι οι καινοί χώροι που υπάρχουν και είναι διαθέσιμοι στο νερό σε αυτό το ένα μέτρο. Σύμφωνοι. Πώς είναι οι καινοί χώροι εξ ορισμού που είναι διαθέσιμοι είναι ίση με το ενεργό πορόδας. Ο ορισμός του ενεργού πορόδου είναι οι καινοί χώροι που υπάρχουν σε ένα εξεταζόμενο όγκο διά του όγκου αυτό. Και μάλιστα όχι όλοι οι καινοί χώροι γιατί αν πάρουμε όλους τους καινούς χώρους είναι το πορόδας. Το ενεργό πορόδας είναι το πορόδας από το οποίο έχουμε αφαιρέσει το νερό που συγκρατείται πάνω στους κόκκους του εδάφους και με δυνάμιση νάφιας και δεν μπορούμε να το αποσπάσουμε κάνοντας άντληση. Εντάξει. Αντίθετα, όταν έχουμε υδροφορέα υποπίεση, αυτόν εδώ, το σάντουιτς, πάνω κάτω αδιαπέρατο όριο, όλο αυτό είναι τελείως γεμάτο και μάλιστα αν ανοίξουμε μία τρύπα, αν φτιάξουμε ένα πηγάδι και φτιάσουμε μέχρι εδώ το νερό από μόνο του και δεν κάνουμε άντληση εμείς, τα ανέβει εδώ πέρα πάνω. Σύμφωνοι, αυτό σημαίνει υδροφορέας υποπίεση, το αντίστοιχο του σωλήνα υδραφής που το τρυπάμε και πετάγεται το νερό. Ενώ το αντίστοιχο της ροήσης με ελεύθερη επιφάνεια το έχουμε στα δίκτυα αποχέτευσης, όταν λειτουργούν υποκανονικές συνθήκες βεβαίως και όχι όπου λειτουργούν μερικές φορές σε περιπτώσεις έντονης βροχόπτωσης. Λοιπόν, σε αυτή την περίπτωση, αν ανεβεί η στάθμη όχι πλέον της ελεύθερης επιφάνειας που δεν υπάρχει, αλλά της πιεζομετρικής επιφάνειας κατά ένα μέτρο, τότε θα αποθηκευθεί λίγο παραπάνω νερό στον υδροφορέα μας. Αλλά πώς, γιατί θα συμπιεστεί λίγο το νερό, είναι ένα από τις περιπτώσεις που θυμόμαστε ότι το νερό δεν είναι ασυμπιεστό. Έχουμε κάνει στην τραβλική συνέχεια, τους κάνουμε την παραδοχή ότι το νερό είναι ασυμπιεστό τόσο πολύ που το έχουμε πιστέψει. Ενώ δεν είναι στην πραγματικότητα, έχει μια μικρή συμπιεστότητα ακόμα και ο εδραφικός σκελετός έχει κάποια μικρή συμπιεστότητα, οπότε αυτά αθροιζόμενα επιτρέπουν, η ελαστικότητα δηλαδή που υπάρχει, επιτρέπει καθώς εμείς το ζουπάμε περισσότερο να μπει λίγο παραπάνω νερό, αλλά πολύ λίγο. Για αυτή η αποθηκευτικότητα είναι της τάξης που είπε ο συναδερφός 10 στιγμήων 3, 10 στιγμήων 4, στους συνδροφορείς υποπίεση. Αντίθετα, στους συνδροφορείς με ελεύθερη επιφάνεια είναι όσους το ενεργό πορόδος 0.2, 0.15, άρα κατά τάξη μεγέθους μεγαλύτερη. Λοιπόν, πέφτει η στάθμη στο πηγάδι κάνοντας εδώ την άντληση και δημιουργείται μια τέτοια κατάσταση και νερό έρχεται γύρω από παντού, προς τη θέση του πηγαδιού, προς το χαμηλό σημείο. Αν λίγο νερό είναι εν τέλει αποθηκευμένο και μπορεί να αποδοθεί για σημαντική πτώση της στάθμης, τότε αφενός μεν το φαινόμενο θα προχωρήσει γρήγορα. Και για να πάρουμε μια συγκεκριμένη παροχή θα πρέπει να έχουμε, αν το πω ανάποδα δηλαδή το ίδιο πράγμα, θα πρέπει να έχουμε αρκετά μεγάλη ταπείνωση της πιεζομετρικής επιφάνειας. Για κάθε όγκο αυτού του στερεού, όπου έχουμε κατά κάποιο τρόπο αποσυμπίεση και όπου έχει αποδοθεί κάποιο νερό, αυτό το νερό θα είναι λίγο σε σχέση με την περίπτωση που θα έχουμε την ελεύθερη επιφάνεια, μέχρι στο εδώ η υδροφορέα με ελεύθερη επιφάνεια, και για να πέσει αντίστοιχα η στάθμη θα φεύγει σχετικά πολύ περισσότερο νερό προς το πηγάδι μας. Για να το πω με άλλα λόγια, η απόκριση του φρεάτου υδροφορέα στην άντληση που κάνουμε εμείς, άρα στην αφαίρεση μιας ποσότητας νερού στη μονάδα του χρόνου είναι πιο αργή, γιατί έχει πιο πολλή νερό να δώσει κοντά, ας πούμε, από την περιοχή γύρω στη υγειότρεση σε σχέση με τον υδροφορέα υποπίεση, όπου χρειάζεται μια αρκετά μεγάλη αποσυμπίεση για να πάρουμε κάποια ποσότητα νερού. 0,2, 0,15 η αποθηκευτικότητα, 10 στιγμήων 3, 10 στιγμήων 4, είναι πολύ μεγαλύτερη. Όχι, η ελεύθερη επιφάνεια είναι το ενεργό πορόδες, άρα είναι 0,2, 0,15. Είναι 10 στιγμήων 3, 10 στιγμήων 4. Ας το πάρουμε αλλιώς, ας το ξανακούν αυτό, αυτό είναι γεμάτο με νερό το στρώμα, έτσι, υποπίεση υδροφορέας, άρα δεν υπάρχουν και οι χώροι να γεμίσουν με νερό, έτσι. Απλά, ανεβαίνει η στάθμη για κάποιο λόγο, άρα τι σημαίνει ανεβαίνει η στάθμη, αυξάνεται η πίεση εδώ πέρα μέσα. Αφού αυξάνεται η πίεση, λίγο συμβεί στο νερό, ακόμα λιγότερο ο εδαφικός σκελετός και επομένως χωράει στο ίδιο χώρο λίγο παραπάνω νερό, αλλά πολύ λίγο παραπάνω. Εντάξει, ενώ αν είχαμε υδροφορέα με ελεύθερη επιφάνεια και ανέβαινε η στάθμη κατά ένα μέτρο, τότε θα γέμιζαν και οι χώροι. Ποιο είναι το ποσό των γενών χώρων που είναι διαθέσιμη στο νερό. Είναι ίση με τον ενεργό πορόδο στο ποσοστό και επειδή είναι λόγος όγκος προς όγκο, γι' αυτό είναι και αδιάστατη το μέγεθος η αποδικαιυτικότητα. Θα είναι λοιπόν 0.2, 0.15, άρα υπάρχει πολύ μεγάλη διαφορά. Η εξίσουση που καλούμαστε να λύσουμε, ευτυχώς το έχουν κάνει οι άλλοι για μας πιο νωρίς, είναι αυτή εδώ. Η γενική εξίσουση βλέπετε σε σχέση με το μόνιμο φαινόμενο, υπάρχει και αυτός εδώ ο όρος. Φυσικά είναι πάλι γραμμένη σε κλινδρικές συντεταγμένες για να εκμεταλλευτούμε τη συμμετρία που υπάρχει. Εντάξει, είπαμε ότι ξεφεύγουμε από τα καρτασιανά συστήματα, τα οποία είναι ο τρόπος που αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο, χιψιζέτ, όταν κάτι κερδίζουμε και αυτό που κερδίζουμε είναι ότι κλητώνουμε κάποιους παραγώγους. Στην περίπτωση αυτή εδώ που έχουμε συμμετρία ως προς τον άξονα του πηγαδιού. Και αντί να χρησιμοποιήσουμε το Φ, που είναι η στάθμη, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και ουσιαστικά τη μεταβολή της στάθμης, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μεταβολή της πτώσης στάθμης. Γιατί, ας ξαναδούμε το προηγούμενο σχήμα, αυτή είναι η στάθμη, αρχικά εδώ, μετά εδώ, μετά εδώ. Από εδώ έως εδώ, αν μετράω τη στάθμη με αφετηρία αυτό το επίπεδο, το πιθυμένο του υδροφορέα, εδώ η στάθμη είναι τόσο, αλλιώς τόσο, αρχικά τόσο. Εντάξει. Πώς μεταβάλλεται η στάθμη με το χρόνο, με τον ίδιο τρόπο αλλά αντίθετο πρόσημο, γιατί το ένα μειώνεται, το άλλο αυξάνει, που μεταβάλλεται η πτώση στάθμης από πάνω κομμάτι, αφού το άθλισμά του είναι σταθερό. Σε μία θέση η πτώση στάθμης συν τη στάθμη είναι όσο το αρχικό. Άρα λοιπόν η εξίσουση που αρχικά είναι γραμμένη για το Φ, τη στάθμη, εξίσουσου καλά μπορεί να γραφεί και για το S μικρό τη πτώση στάθμης και ξαναλέω ότι άλλο το S κεφαλαίω, και αυτό δυστυχώς το βλέπω στις εξετάσεις να μπερδεύεται, που είναι η αποθηκευτικότητα και άλλο το S μικρό που είναι η πτώση στάθμης σε κάποια θέση κάποια χρονική στιγμή. Ξεκαθάρισε τουλάχιστον αυτό το σημείο. Έχουμε λοιπόν, είναι τέτοια εξίσουση, κακό πράγμα και δεν είναι μόνο ότι πρέπει να λύσουμε την εξίσουση, αλλά έχουμε και τις οριακές και αρχικές συνθήκες αφού μιλάμε για μη μόνιμο φαινόμενο. Άρα λοιπόν, αρχικά έχουμε ότι σε οποιαδήποτε απόσταση άρα από το πηγάδι, στο χρόνο 0 η πτώση στάθμης είναι 0, να είναι μία συνθήκη, η αρχική συνθήκη, ότι σε άπειρη απόσταση από το πηγάδι και για οποιοδήποτε χρόνο η πτώση στάθμης είναι 0 και εν τέλει αυτό εδώ όλο μας λέει, και θα επιμείνω στα μαθηματικά, ότι η παροχή που κάθε χρονική στιγμή αντλούμε από το πηγάδι είναι ίση με την δεδομένη με Q0. Θεωρούμε, καταρχήν ότι έχουμε σταθερή παροχή, θέλουμε να βρούμε λύση, αν για το εξεταζόμενο χρονικό διάστημα, τις 2 ώρες, τις 5 ώρες, τις 10 ώρες, η παροχή άντλησης είναι σταθερή, εντάξει. Λοιπόν, υπάρχει ένας καλός κύριος, υπήρχε μάλλον μακαρίτης, ο Τάης, ο οποίος κατάφερε να λύσει αυτή την εξίσουση και το S είναι η πτώση στάθμης σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή και σε οποιαδήποτε απόσταση από το πηγάδι, δίνεται από αυτήν εδώ τη σχέση, προσέξτε εδώ είναι 4πτ, όχι 2πτ, και ο 0 η αντλούμενη παροχή, επί W του U, όπου U είναι το S κεφαλαίο, η αποθηκευτικότητα, επί R τετράγωνο, η απόσταση του εξεταζόμενου σημείου από το πηγάδι, T κεφαλαίο είναι η μεταφορικότητα χαρακτηριστικότητα όπως και το S κεφαλαίο, και T είναι ο χρόνος. Για το U ξέρουμε ότι είναι αν θέλετε σημειώσετε το αυτό, να το έχετε μπροστά σας και όταν γράψουμε το τεστ. U λοιπόν είναι S κεφαλαίο αποθηκευτικότητα, R τετράγωνο προς 4πτ. Εντάξει, βλέπετε λοιπόν ότι πλέον στον υπολογισμό της πτώσης στάθμης του μικρού S υπησέρχεται η αποθηκευτικότητα η οποία δεν έμπαινε στα προβλήματα της μόνιμης ροής. Γιατί δεν υπησέρχεται η αποθηκευτικότητα στα προβλήματα της μόνιμης ροής, ναι? Όχι άπειρη παροχή. Ακριβώς, όχι δεν έχουμε πτώση στάθμης, αλλά δεν έχουμε μεταβολή στην πτώση στάθμης. Δεν αδειάζει ούτε γεμίζει τίποτα. Εντάξει, αφού δεν αδειάζει ούτε γεμίζει, δεν μας ενδιαφέρει η αποθηκευτική ικανότητα που έχει ο ιδροφορέας μας. Ό,τι είναι, είναι σταθερή η στάθμη, είτε της πιεζομετρικής επιφάνειας, είτε της ελεύθερης επιφάνειας, άρα το S-κεφαλαίο η αποθηκευτικότητα στα προβλήματα μόνιμου ροών δεν μας ενδιαφέρει και σωστά δεν επισέρχεται στους τύπους. Εδώ όμως το γενικό πρόβλημα, γιατί το γενικό πρόβλημα είναι το μη μόνιμο, που η στάθμη μπορεί να ανέβει ή να κατέβει, να γεμίσει δηλαδή με νερό ή να αποδοθεί νερό, είτε λόγω συμπίεσης, είτε λόγω αποσυμπίεσης, είτε λόγω στάθμη για ροή υποπίεση, οπωσδήποτε επισέρχεται το S-κεφαλαίο. Αμέσως αυτό πρόκειται να δείξω. Το W λοιπόν του U έχει αυτήν την περίεργη μορφή και λίγο τρομακτική. Μίον Γ, που το Γ είναι μια γνωστή σταθερά, μίον λογάριθμος του U, το U που γράψατε προηγουμένως, και μίον το άθρυσμα απείρων ώρων, βλέπετε 1 ίσον 1 ως άπειρο, του μίον 1 ιστινή επί Υ, ιστινή δια 1 επί 1 παραγωντικό. Θυμάστε τι είναι το 1 παραγωντικό, τι είναι το 5 παραγωντικό, για πείτε μου. Ακριβώς 1 επί 2, 3, 4, 5. Το 5 παραγωνικό. Άρα κανείς λέει, οχ αμάν τώρα, πώς θα το υπολογίζουμε αυτό το πράγμα. Καταρχήν μπορείτε να το υπολογίσετε πολύ εύκολα με το μηχανάκι ή να γράψετε ένα προγραμματάκι, το πρώτο είναι σταθερό το γ, το λογάριθμο του U μπορείτε να το υπολογίσετε, και επομένως τι μένει αυτός εδώ, θα πείτε, μα εδώ είναι το πρόβλημα θα μου πείτε, άπειρους όρους. Εάν πάρετε καμιά εικοσαριά όρους αρκεί, γιατί βλέπετε πώς ομοιώνονται με το 1 αυτή η όρη, αφού έχουμε το 1 παραγωντικό στον παρονομαστή και το 1 στον παρονομαστή και μάλιστα επιπλέον είναι σύμπλιν οι όροι. Στους σιγούς αριθμούς το μίον 1 είναι 1, στους περιτούς παραμένει μίον 1. Οπότε βλέπετε ότι και πολλοί μικραίνουν και ο 1 και οι διαδιοχικοί αριθμοί έχουν αντίθετο πρόσημο. Άρα λοιπόν, παίρνοντας λίγους όρους μόνο, και αυτό πάρα πολύ εύκολα προγραμματίζεται, μπορείτε να υπολογίζετε από το W to U. Τι θα κάνουμε όμως στις εξετάσεις, αν μπει κάτι τέτοιο. Υπάρχει ένας πίνακας, δεν είναι πολύ ευδιάκριτος εδώ πέρα, ο οποίος είναι μέσα στο βιβλίο σας. Λοιπόν, στις τελευταίες σελίδες, σε παράτημα, υπάρχει ο πίνακας αυτός εδώ. Θα το χρησιμοποιήσουμε σε μία άσκηση για να είμαι σίγουρος ότι καταλάβατε περί τείνος πρόκειται, βέβαια δεν είναι και τόσο ευκρινής. Αν έχετε βιβλία μαζί σας θα βοηθηθείτε περισσότερο. Και από αυτό το πίνακα μπορούμε να πάρουμε τις τιμές του W to U, ξέροντας το U. Η είσοδος είναι το U, εντάξει. Ας πούμε εδώ είναι ν'επιδέκαστιν εβδόμην, ενάμιση επιδέκαστιν μίον εβδόμην. Εδώ πέρα και βρίσκετε 15,1354, ας πούμε. Εδώ είναι δέκα εις την πέμπτην, επί δυόμιση η επιτρισίμης, τρισίμιση επιδέκαστιν μίον πέμπτην, βγαίνει 9,6830. Είναι απλή η χρήση του πίνακα, θα το διαπιστώσετε ότι είναι απλή στην διάρκεια μιας άσκησης που θα κάνουμε στη συνέχεια. Λοιπόν, ευτυχώς για μας όμως, αν το U είναι πολύ μικρό, αν είναι μικρότερο από το 0,01, δηλαδή αν είμαστε πολύ κοντά στο πηγάδι και είναι μια συχνή περίπτωση να ψάχνουμε την πτώση στάθμιση στο πηγάδι σε πάρα πολλά προβλήματα, αυτό μας ενδιαφέρει. Εντάξει. Τότε μπορούμε, αντί να παιδευτούμε με το W του U, να πάμε σε αυτόν εδώ τον τύπο που απλώς έχει μέσα τον λογάριθμο. Εντάξει. Αυτό είναι το ίδιο πράγμα με αυτό, απλώς το 4 έγινε 2 και εκεί πήγε η ρίζα, ανάλαβα με αυτό που είχαμε συζητήσει στην προηγούμενη ώρα για τη μέθοδο των εικόνων, όπου το 4 πάλι γινόταν 2 ή το 2 μάλλον γινόταν 4 και έφευγαν οι ρίζες. Τώρα πώς προέκυψε αυτό εδώ. Όταν το U είναι πολύ μικρό, κάτω από 0,01, τότε στην ουσία μπορούμε κατευθείαν να παραλείψουμε όλον αυτόν τον όρο. Εκεί είναι η προσέγγιση που κάνουμε. Παίρνουμε μόνο αυτούς τους δύο όρους. Οπότε επειδή το Γ είναι περίπου ίσο με το λογάριθμο του 4 δια 2,25 και εδώ μπαίνει μια μικρή προσέγγιση, ουσιαστικά έχουμε, βγάζοντας το μείο να παίξω, λογάριθμος του 4 δια 2,25 συν λογάριθμος του R τράγωνο επί S κεφαλαίο δια 4ΤΤ, οπότε αυτά όλα κάνουν, οι δύο λογάριθμοι προσθένεται, κάνουν λογάριθμο του γινωμένου, οπότε βλέπει το 4 με το 4 φεύγει και παραμένει το 2,25, οι άλλοι όροι είναι ίδιοι. Εντάξει. Θα ξαναπω ότι το Τ κεφαλό είναι η μεταφορικότητα του ιδροφορέα και το Τ μικρό είναι ο χρόνος. Άρα λοιπόν, όταν είμαστε πολύ κοντά στο πηγάδι, που σημαίνει ότι το Υ είναι πολύ μικρό, μικρότερο από 0,01, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον προσυγγιστικό τύπο στις δύο ομορφές του και η εξήγηση είναι αυτή που φαίνεται εδώ. Παραλείπουμε ουσιαστικά το άθλησμα των απειρών ώρων και οι άλλοι δύο όροι μας δίνουν αυτό εδώ το αποτέλεσμα. Να κάνω και μία ακόμα παρατήρηση. Στο Υ δεδομένα είναι το S και το Τ κεφαλαίο. Άρα λοιπόν για να έχουμε μικρό Υ πρέπει να έχουμε πολύ μικρό R ή πρέπει να έχουμε πολύ μεγάλο Τ. Δηλαδή μπορεί να είμαστε σε απόσταση 10 μέτρα από το πηγάδι και μετά από μία ώρα να προκύπτει ότι δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον προσυγγιστικό τύπο, αλλά μετά από τρεις ώρες μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε γιατί μεγάλωσε το Τ. Είναι συνάρτηση λοιπόν και της απόστασης που θέλουμε να κάνουμε τον υπολογισμό από το πηγάδι, αλλά και του χρόνου. Κρατήστε το και αυτό στο πίσω μέρος του κεφαλιού σας. Υπάρχει κάποια απορία έως εδώ? Ας δούμε λοιπόν την περίπτωση τώρα της διακεκομένης άντλησης. Κάναμε ο τύπος αυτός, οι τύποι μάλλον που είδαμε μέχρι τώρα, έχουν να κάνουν με την περίπτωση που το Q, η παροχή που αντλούμε είναι σταθερή σε όλη τη διάρκεια που εξετάζουμε. Αντλούμε πέντε ώρες και τις πέντε ώρες. Τι γίνεται στην περίπτωση που έχουμε μεταβολή, όχι συνεχόμενη αλλά μεταβολή κατά βαθμίδες. Στην αρχή ας πούμε αντλούμε 30 λίτρα το δευτερόλεπτο, μετά το κάνουμε 20 και μετά το ξανακάνουμε 40. Πώς μπορούμε να βρούμε, ποια είναι η σκέψη, αυτή είναι η τύπη που προκύπτουνε, με την οποία μπορούμε να καταλήξουμε σε αυτούς τους τύπους και μάλιστα πιο πολύ φαίνεται στον πρώτο τύπο. Ας πούμε ότι ξεκινάμε καταρχήν να ανοίγουμε 40 λίτρα το δευτερόλεπτο, μετά 20 και μετά 30, την πρώτη ώρα 40, τη δεύτερη 20 και την άλλη 30. Μπορούμε να κάνουμε την εξής παραδοχή, ότι, θυμάστε είχαμε πει κάτι περί αρχής επαλληλείας, δηλαδή αν έχουμε τρία πηγάδια στον χώρο και θέλουμε να βρούμε την πτώση στάθμις σε ένα σημείο που βρίσκεται μεταξύ των πηγαδιών αυτόν ή και στην παρεία κάποιου πηγαδιού, τότε μπορούμε να θρήσουμε τις επιδράσεις των τριών πηγαδιών και να πούμε ότι ισχύει η αρχή της επαλληλείας, επομένως η τελική πτώση στάθμις σε αυτό το σημείο θα είναι όσοι θα προκαλούσε μόνο το αυτό, συν όσοι θα προκαλούσε μόνο το εκείνο, συν όσοι θα προκαλούσε μόνο το άλλο. Εντάξει. Αυτή είναι η αρχή της επαλληλείας. Είναι ξεκάθαρο αυτό. Εδώ πάμε και κάνουμε μια χρονική επαλληλεία. Έχουμε ένα πηγάδι. Στην αρχή αντλούμε την πρώτη ώρα 40 λεπτά το δευτερόλεπτο, έτσι. Το να αντλήσουμε τη δεύτερη ώρα 20 λεπτά το δευτερόλεπτο, απ' το ίδιο πηγάδι βέβαια, δεν είναι σαν να έχουμε ένα πηγάδι από το οποίο και για τις δύο ώρες αντλούμε 40, αλλά τη δεύτερη ώρα βάζουμε 20. Έχουμε ένα δεύτερο πηγάδι πάνω στο πρώτο πηγάδι, που απ' το πρώτο αντλούμε 40 και για τη δεύτερη ώρα, ενώ από την πρώτη μέχρι τη δεύτερη ώρα μπαίνει εκεί ένα άλλο πηγάδι που βάζει 20. Και την τελευταία ώρα μπαίνει ένα τρίτο πηγάδι, αν θέλετε, που αντλεί 10. Γιατί 40 μειών 20 συν 10 κάνει το 30. Με αυτή ακριβώς τη σκέψη προκύπτει αυτός εδώ ο τύπος. Δεν είναι κάτι το πολύ εξεζητημένο, απλά βασίζεται σε αυτό που είπα, στην χρονική επαλληλεία. Και στην ίδια θέση, αντί να πούμε ότι για μία ώρα αντλούμε 40 για την άλλη 20 και την άλλη 30, λέμε τρεις ώρες αντλούμε 40, δύο ώρες στη συνέχεια βάζουμε 20 και την τελευταία ώρα αντλούμε άλλα 10. Εντάξει. Και προκύπτουν αυτή εδώ οι όροι όπου βλέπετε για το 40 λίτρα εδώ θα είχαμε ταφ σκέτο. Εδώ στις υπόλοιπες θα έχουμε τα-1 όπου αυτός εδώ είναι ο χρόνος που αρχίζει η λειτουργία του πρόσθετου ας το πούμε έτσι πηγαδιού. Εντάξει. Γιατί δεν θέλουμε να πούμε ότι όλα τα πηγάδια αυτό που αντλεί 40, αυτό που βάζει 20 και αυτό που αντλεί 10 θα λειτουργήσουνε επί τρεις ώρες. Θέλουμε να πούμε ότι το πρώτο θα λειτουργήσει 3 ώρες, το δεύτερο 2 ώρες και το τρίτο 1 ώρα. Ε, αυτό το κανονίζουμε με αυτό εδώ. Μια άλλη μορφή αυτού του τύπου είναι αυτού τι εδώ. Η ιδέα είναι όμως η ιδέα από την οποία προέκυψε ο τύπος φαίνεται καθαρά εδώ. Δεν βλέπω χαρούμενα πρόσωπα. Να το ξαναπώ. Ναι. Βρήκαμε τον τύπο, το βρήκε ο κ. Στάης για εμάς, ο οποίος δίνει την πτώση στάθμις αν έχουμε έναν υδροφορέα με ένα πηγάδι που αντλεί σταθερά παροχή Q, ίσον Q0 για κάποιο χρονικό διάστημα. Είναι αυτό εδώ. Τι γίνεται αν μέσα από αυτό το διάστημα που μας ενδιαφέρει δεν έχουμε σταθερή παροχή αλλά αυτή η παροχή αλλάζει, ας πούμε κάθε μία ώρα. Έτσι. Να βρούμε λοιπόν ένα τύπο βασισμένο στον αρχικό τύπο που ισχύει για σταθερή παροχή που να λαμβάνει υπόψη του την καταβαθμίδες μεταβολή της παροχής. Αυτό θέλουμε να κάνουμε. Να επεκτείνουμε τον τύπο που ισχύει, που έδωσε ο Τάης και ισχύει μόνο για Q σταθερό και όταν το Q μεταβάλλεται αλλά όχι συνεχώς, κάνει διαστήματα. Και οι σκέψεις στην οποία βασιζόμαστε είναι ότι αν για παράδειγμα, αυτό μου φαίνεται στέκεται καλύτερα, αν δούμε αρχικά για μία ώρα 40 λίτρα το δεύτερο λόγο, τη δεύτερη ώρα 20 και την άλλη 30, τότε αυτό είναι το ίδιο σαν να έχουμε όχι ένα πηγάδι αλλά τρία πηγάδια στην ίδια θέση. Το πρώτο ξεκινάει και για τις τρεις ώρες μας ενδιαφέρον να αντλεί 40, το δεύτερο παίρνει μπροστά μία ώρα αργότερα και λειτουργεί επομένως για δύο ώρες, αλλά πώς λειτουργεί, βάζει νερό τα 20 λίτρα για να έχουμε άντληση 40 μίον 20 ή 20 τη δεύτερη ώρα και την τρίτη ώρα μπαίνει από πάνω και ένα τρίτο πηγάδι το οποίο αντλεί 10, ώστε 40 μίον 20 συν 10 να κάνει τα 30 το οποίο θα δουλέψει μόνο η τελευταία ώρα. Εντάξει τώρα? Ε, αυτό μας λέει ετούτος ο τύπος, όλο και όλο. Και ας δούμε δύο πολύ χαρακτηριστικές περιπτώσεις με τα διαγράμματά τους. Αυτή είναι η μία περίπτωση, όπου για κάποιο χρονικό διάστημα μέχρι το τ'1, τ'1 μάλλον, αν δούμε παροχή Q01 και μετά η παροχή αυξάνεται, πάει στο Q02. Θα δούμε ότι στην αρχή πέφτει γρήγορα η στάθμη, αυξάνεται η πτώση στάθμης, πάει κάπως να σταθεροποιηθεί και μόλις ξανά αυξήσουμε την παροχή, πάλι έχουμε γρήγορη μεταβολή ώστε να σταθεροποιηθεί πάλι σχεδόν σε μια πιο χαμηλή στάθμη. Και εδώ είναι η περίπτωση που έχουμε διακοπή άντλησης τη χρονική στιγμή τ'1. Ουσιαστικά θεωρούμε ότι μέχρι χρόνο τ'1 και αυτό γίνεται έχουμε άντληση Q0 και από εκεί και πέρα έχουμε διοχέτευση παροχής Q0. Η εικόνα που παίρνουμε είναι αυτή εδώ. Ασυμπτωτικά, που μετά από κάποιο χρόνο θα ξαναφτάσει στην αρχική στάθμη. Δηλαδή κλείνοντας την διοότρηση, την αντλία μάλλον, δεν θα ανεβεί αυτόματε στάθμη εκεί που ήταν, θα έχει μια σταδιακή μεταβολή. Στην αρχή θα ανεβαίνει πιο γρήγορα, μετά πιο αργά και ούτω κάθε εξής. Αυτή λοιπόν είναι μια χαρακτηριστική εικόνα και η αντίστοιχη τύπη είναι αυτή εδώ. Η πρώτη περίπτωση που έχουμε αύξηση της άνλυσης μέχρι τον χρόνο T1, που βάζουμε πιο δυνατά το μωτέρ και αντλίμ με μεγαλύτερη παροχή, είναι αυτός ο τύπος. Ένα πηγάδι με σταθερή παροχή. Από εκεί και πέρα αυτός ο όρος παραμένει, αλλά μπαίνει και αυτός εδώ ο όρος που βλέπετε όμως θα λειτουργήσει μέχρι τη χρονική στιγμή που μετράμε, μέχρι τη μιάμιση ώρα, αλλά ξεκινώντας από τη μία ώρα. Στη μία ώρα επάνω δυναμώσαμε την παροχή. Και αν έχουμε διακοπή της άνλυσης, όσο διαρκεί η άνλυση μέχρι, ας πούμε, T1 ίσον μία ώρα αυτός εδώ ο τύπος, από εκεί και πάνω θα έχουμε αυτόν εδώ τον τύπο που φυσικά θα έχουμε, αφού διακόπτουμε την άνλυση, θα έχουμε δυοχέτευση υποτίθεται ίσης παροχής, άρα το μίον υπάρχει εδώ, το Q βγαίνει κοινός παράγον. Εντάξει. Και αυτή είναι η υπολυματική πτώση στάθμας. Ένα σημείο που θέλω να συζητήσουμε, μετά θα κάνουμε μία ασκησία, είχα προγραμματίσει δύο, αλλά δεν μας παίρνει ο χρόνος, και μετά θα πάμε για το τεστ. Εάν το U και το U1, το U αυτό και το U αυτό, αν θέλετε, είναι μικρά, τότε βεβαίως μπορούμε να περάσουμε στον προσεγγιστικό τύπο, το λογάριθμο που είδαμε εδώ πέρα. Εντάξει. Οπότε θα υπάρχει αυτό ως κοινός παράγον. Η απόσταση R είναι η ίδια, η αποθηκευτικότητα προφανώς δεν αλλάζει, το τάφ δεν αλλάζει, έχουμε διαφορά λογαρίθμων, λογάριθμος στο α, μ, λογάριθμος στο β, λογάριθμος στο α, δ, β, όλα αυτά θα απλοποιηθούν και τελικά θα μείνει αυτός εδώ ο όρος. Ότι η πολυματική πτώση στάθμις είναι Q024πΤ, επί λογάριθμος του τε του χρόνου, ας πούμε κάναμε 60 λεπτά άντληση και θέλουμε να δούμε τι γίνεται 40 λεπτά μετά το τέλος της άντλησης. Άρα αυτό θα είναι το 100 και στον παρενομαστή θα είναι το 100-60. Στα 60 λεπτά σταματήσαμε να κάνουμε άντληση. Πολύ απλός τύπος, αλλά δεν σας δημιουργεί ένα πρόβλημα εμένα όταν μου δημιουργήσε ένα πρόβλημα, όταν τον είδα αυτό τον τύπο. Λέω κάτι δεν πάει καλά, βέβαια τελικά πάει καλά υπό όρους. Δηλαδή, τι μας λέει αυτός ο τύπος ότι οι πτώσεις στάθμις που παραμένει, οι πολυματικοί πτώσεις στάθμις είναι ανεξάρτητοι από το R, από την ακτίνα. Α, εξαρτάται μόνο από το χρόνο, είναι σαν να μας λέει ότι ξέρεις έχεις το πηγάδι εδώ, έκανες άντλησης, κάνω ένα σχήμα καλύτερα. Το πηγάδι έχει φτάσει μέχρι εδώ κάτω, σταματάς την άντληση και μετά από κάποιο χρόνο, όπου και να μετρήσεις, θα βρίσκεις ίδια στάθμι. Αυτό μας λέει ο τύπος. Είναι σωστό. Λέω ότι μου λέει ο τύπος αυτός, αν δω μόνο αυτόν τον τύπο, μου λέει ότι αν τλούσες, ας πούμε, η εθνική στάθμη είναι εδώ πέρα πάνω. Αν τλούσεις για μια ώρα, πέφτει σταδιακά η στάθμη, πολύ στη γεώτρηση, λιγότερο πιο μακριά, έχεις μια τέτοια μορφή. Και μετά από τα 60 λεπτά που άνοιξες, μετά από 10 λεπτά, για παράδειγμα, θες να βρεις πώς είναι η στάθμη, πώς επανέρχεται ουσιαστικά η στάθμη. Σίγουρα θα είναι πιο πάνω από αυτήν την αδότη θέση. Και για να το βρεις αυτό, δεν έχεις πάνω να χρησιμοποιήσεις αυτόν εδώ τον τύπο, στον οποίο μπαίνει μέσα μόνο ο χρόνος. Δεν μπαίνει το Ά, η απόσταση από το πηγάδι. Δηλαδή, είναι σαν να μου λέει ότι είτε πάω εδώ, είτε πάω εδώ, είτε πάω εδώ, είτε πάω εδώ, θα έχω η ίδια στάθμη. Ότι η στάθμη θα είναι κάπως έτσι. Σας αρέσει αυτό? Εμένα δεν μ' αρέσει. Ναι. Μπράβο. Μπράβο. Έχει ένα περιορισμό ότι το Υ, και αυτό και αυτό το Υ, πρέπει να είναι μικρότερο από 0,01, που σημαίνει ότι για ένα δεδομένο χρόνο τε, ισχύει για μία περιοχή κοντά στο πηγάδι, η οποία γίνεται όλο και μεγαλύτερη προϊόντος του χρόνου. Δηλαδή αυτό, αμέσως μετά τη διακοπή της άνδησης, θα έχω μια κατάσταση τέτοια, ας πούμε περίπου. Εύλογο. Εντάξει. Άρα, σε αυτό εδώ το κομμάτι, κοντά στη γεώτρηση, πράγματι η στάθμη είναι περίπου σταθερή και ανεξάρτητη από το Ά. Αλλά μόνο για όσο Ά καλύπτει αυτόν τον περιορισμό, όπως είπε ο συνάδελφος, μετά από περισσότερο χρόνο θα έχει γίνει μια εξομάλυνση, ας πούμε, σε ένα μεγαλύτερο κομμάτι. Εντάξει. Άρα λοιπόν, ενώ φαίνεται παράξενος ο τύπος, δεν είναι τόσο παράξενος να αναλογιστούν ότι ισχύει για Υ μικρότερο από 0,01. Σύμφωνοι? Η εικόνα είναι σωστή, νέα ζώνη κοντά στο πηγάδι, όλο και ευρύτερη καθώς προχωράει ο χρόνος, αλλά δεν ισχύει σε οποιαδήποτε θέση του ιδροφορέα. Εντάξει. Υπάρχει κάποιο απορίος εδώ. Νομίζω τα πρόσωπα είναι κάπως πιο χαρούμενα. Καλά το βλέπω? Ωραία. Ας κάνουμε λοιπόν και μία άσκηση. Διαβάζω την εκφώνηση. Τα πηγάδια Α, Β και Γ που φαίνονται σε κάτω ψησοσχήμα, έχουν ακτήνα R0 ίσον 0,25 μέτρα και μπορούν να αντλήσουν νερό από περιορισμένο ιδροφορέα μεγάλης έκτασης. Ο ιδροφορέας αυτός έχει μεταφορικότητα 2,5 x 10 στη μήνων τρίτη μέτρα τετράγωνα το δευτερόλεπτο και αποθηκευτικότητα S 10 στη μήνων τετάρτιν αδιάστατη. S κεφαλαίο, έτσι. Την χρονική στιγμή T ίσον 0 αρχίζει η αντλήση με παροχή Qβ ίσον 0,05 κυβικά μέτρα το δευτερόλεπτο από το πηγάδι Β. Και μετά από μισή ώρα ακόμη, δηλαδή για T ίσον 3.600, αρχίζει η αντλήση με παροχή QΓ από το πηγάδι Γ. Ποια είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή που μπορεί να έχει η QΓ ώστε η πτώση στάθμισης για τη χρονική στιγμή του ιδροφορέα, που θα είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του ιδροφορέα, η QΓ, ώστε η πτώση στάθμισης για τη χρονική στιγμή 7.200, να μην ξεπερνά τα 32 μέτρα σε κανένα σημείο του ιδροφορέα. Αυτό είναι λοιπόν το ερώτημα. Πριν ξεκινήσουμε, να κάνω εγώ μια ερώτηση γενική. Το είπαμε και στην προηγούμενη ώρα, αλλά θέλω να το υπερθυμίσω. Ποια είναι τα κρίσιμα σημεία που πρέπει να πάμε να ελέγξουμε για τη μεγαλύτερη πτώση στάθμισης σε οποιοδήποτε χρονική στιγμή? Παρίας πηγαδιών. Άρα, οπωσδήποτε, θα πάμε να ελέγξουμε στα Α, Β και Γ. Χρειάζεται να ελέγχθει η παρία του πηγαδιού Α. Γιατί να μη χρειάζεται. Αν θέλουμε να είμαστε προς τη μεριά της ασφαλείας στις εξετάσεις, για παράδειγμα, θα τις ελέγξουμε όλες. Το πρόβλημα είναι ότι θα χάσουμε χρόνο. Αν, λοιπόν, μπορούμε με πιστικά επιχειρήματα να αποδείξουμε ότι η πτώση στάθμισης σε ένα πηγάδι θα είναι οπωσδήποτε μικρότερα από την πτώση στάθμισης σε κάποιο άλλο πηγάδι, τότε το αποδεικνύουμε γράφοντας ένα σύντομο κείμενο και πάμε να κάνουμε πράξεις για τα υπόλοιπα. Βλέποντας, λοιπόν, τα δεδομένα σωστά, έχει νόημα να ελέγξουμε στο πηγάδι Α. Ναι, πολύ σωστό, είναι αυτό, αλλά δεν αρκεί μόνο αυτό. Τι άλλο, ναι. Είναι πιο απομακρυσμένο από το Γ, επηρεάζεται απομένως λιγότερο από το Γ σε σχέση με το Β, όταν μπει στη λειτουργία και το πηγάδι Γ. Και τι άλλο. Βιβέως, η παροχή του Α είναι μικρότερη από την παροχή του Β. Πρέπει να ισχύουν και οι τρεις όροι. Αν δεν ισχύει ένας από τους όρους αυτούς, τότε θα πρέπει να κάνουμε έλεγχο και στο Α. Αλλά εδώ και μικρότερη παροχή έχει, και αργότερα ξεκινάει, και πιο μακριά είναι από το Γ, άρα δέχεται μικρότερη επίδραση από το Γ. Άρα, λοιπόν, μπορούμε να αποφύγουμε τον έλεγχο στην παρειά του πηγαδιού Α. Πάμε, λοιπόν... Έχω την ερώτηση με κόκκινο για να θυμάστε την απάντηση εσείς. Και το θέμα δεν είναι να θυμάστε την απάντηση, αλλά να έχετε την ικανότητα να κρίνετε. Αυτό προσπαθούμε να κάνουμε. Να εξετάσετε μια άλλη περίπτωση, όχι τη συγκεκριμένη, προφανώς. Με βάση στη συγκεκριμένη, γενικά να μπορείτε να αξιολογήσετε διάφορες άλλες περιπτώσεις. Άρα στο Β, όμως, πρέπει να κάνουμε έλεγχο, οπωσδήποτε, και βέβαια θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους που είδαμε προηγουμένως. Αυτή είναι η επίδραση του Β στον εαυτό του. Βλέπετε εδώ μπαίνει η ακτίνα του πηγαδιού και βέβαια η παροχή του Β. Αυτή είναι η επίδραση του Ά στο Β. Εξετάζουμε τη χρονική στιγμή τε ίσον 7200. Το πηγάδι Β δουλεύει 7200 όλο το χρονικό διάστημα. Το πηγάδι Ά εδώ θα είχε το 7200 μίον το 1800. Άρα 5400. Το γράφω κατευθείαν, η απόστασή του και η παροχή του. Και το πηγάδι Γ, η απόστασή του, η παροχή του, και δουλεύει μόνο για 3600. Είναι 7200 μίον 3600 εδώ πέρα. Κάνοντας κάποιες πράξεις, βλέπουμε ότι εδώ η τιμή του Υ είναι πάρα πολύ μικρή. Άρα μπορούμε να πάμε στον αντίστοιχο λογάριθμο. Είναι σαφώς μικρότερο από το 0,01. Εδώ έχουμε ήδη 10 στη μειον 1. Το 0,25 στο τετράγωνο είναι κάτι πολύ μικρό. Διαιρούμε και με 7200 και με 10. Σίγουρα είναι κάτι πολύ μικρό. Άρα μπορούμε να πάμε στον λογάριθμο. Εδώ όμως υποχρεωτικά θα πάμε να βρούμε τα αποτελέσματα από τους πίνακες. Γράψτε αυτά τα νούμερα, γιατί θέλω να μου πείτε εσείς τα αποτελέσματα από τον πίνακα, που θα δείξω στη συνέχεια. Γράψτε τις τιμές του Υ αυτή και αυτή εδώ. Αυτό είναι 1,185 επί 10 στη μειον 2. Και αυτό είναι 2,25 πάλι επί 10 στη μειον 2. Άρα λοιπόν πάμε τώρα να ψάξουμε εδώ στον πίνακα, να δω τι θα ακούσω. Ακυριολεξία, αλλά βλέπετε ότι το δω δεν έχει την έννοια του αντιλαμβάνουμε με τα μάτια μας, αλλά της προσδοκίας κάποιου γεγονότος. Λοιπόν, για να ακούσω τιμές στο περίπου, μεταξύ ποιών τιμών θα είμαστε. Οι πάλι είναι στο γήπεδό σας. Θα αφήσετε λιγότερο χρόνο για το τεστ, αν δεν προχωρήσετε γρήγορα. 4,037,9 και 3,063,74, κάπου εκεί ανάμεσα το 1. Αν κάνετε γραμμική παρεμβολή θα το δείξω στη συνέχεια πόσο. Και αντίστοιχα για το άλλο, το οποίο μπορείτε να το βρείτε και πιο εύκολα. Πάλι με γραμμική παρεμβολή, αλλά εκεί βολεύει λίγο παραπάνω η γραμμική παρεμβολή. Πείτε μου τις τιμές. 3,2 θα βγει περίπου, σωστά. Άρα λοιπόν, να τες και οι τιμές εδώ πέρα. Όπως σωστά είπε η συνάδελφος, 3,2, 3,24 και εδώ είναι 3,9 στην πραγματικότητα, αυτό που βγαίνει. Άρα καταλήγουμε σε αυτήν εδώ τη σχέση. Εμείς οριακά θέλουμε το Σβ, στο τέλος του εξεταζόμενου χρόνου, να είναι 32 το πολύ. Άρα θέτω Σβ ίσον 32, έχω μια εξίσωση με ανάγνωστο και βγαίνει αντίστοιχα η παροχή. 0,02 για το Άλφα είπαμε δεν χρειάζεται να ελέγξουμε, αλλά θα πρέπει να ελέγξουμε τι γίνεται στο σημείο Γ. ίδια όπως και προηγουμένως. Πάλι ο πρώτος όρος είναι πολύ μικρός, μέσω του λογαρίθμου πηγαίνουμε. Οι άλλοι δύο όροι πάλι από τον πίνακα δεν θα κάνω το ίδιο παιχνίδι, θα το κάνετε ίσως μόνοι σας σπίτι, αξίζει τον κόπο. Και βγάζουμε αυτήν εδώ τη σχέση και αν θέσουμε Σγ ίσον 32, προκύπτει μία παροχή 0,0475. Επομένως η μεγαλύτερη δυνατή τιμή είναι η μικρότερη από τις δύο. Εντάξει. Προφανώς. Πάλι δεν βλέπω χαρούμενα πρόσωπα. Αν αντμίσουμε 0,0475 στο τέλος του εξεταζόμενου χρονικού διαστρίματος, θα έχω ακριβώς 32 μέτρα πτώσης στάθμης στο Γ, αλλά θα έχω ξεπεράσει τα 32 μέτρα στο Β. Και το ερώτημα που τίθεται είναι γιατί τόσο μεγάλη διαφορά ανάμεσα στα δύο. Και μια απάντηση είναι η εξής. Το Γ αρχίζει να λειτουργεί πολύ αργότερα από ότι το Β. Το Β, λοιπόν, ήδη έχει από μόνο του πλησιάσει αρκετά της στάθμης των 32 μέτρων, οπότε λίγο να του δώσει παραπάνω το Γ, το πετάει εκτός ορίων. Ενώ εδώ το πηγάδι Γ εξαρτάται κυρίως περισσότερο από την άλυση που θα γίνει από το ίδιο. Οπότε επειδή ξεκινάει αυτό πιο αργά, έχουμε μεγαλύτερο περιθώριο. Είναι η διαφορά της χρονικής στιγμής έναρξης της άλυσης που κάνει τόσο μεγάλη τη διαφορά, υπερδιπλάση αυτή εδώ πέρα από την άλλη, ανάμεσα στις δύο τιμές που βρίσκουμε. Σύμφωνοι? Υπάρχει κάποια απορία ως εδώ? Αν δεν υπάρχει κάποια απορία, θα κάνουμε διάλειμμα πέντε λεπτών και θα έρθουμε τα τέστε. |
