| Διάλεξη 12: Προσέγγισε τον κ. Παραδείγμα του ΔΝΤΕ και του κ. Παραδείγματος του ΕΚΤΕ. Παραδείγμα του ΔΝΤΕ. Παραδείγμα του ΔΝΤΕ. Για να κλείσουμε οριστικά αυτό το κεφάλαιο σήμερα των μεγίστων και αλαχίστων με μερικά παραδείγματα θα ήθελα να ξεκινήσουμε μαζί με τα απλούστερα δυνατά παραδείγματα και σιγά σιγά να χτίσουμε δυσκολία ώστε να φτάσουμε στο επίπεδο που νομίζω ότι πρέπει, τουλάχιστον σε αυτή τη φάση, να έχετε ξεκαθαρίσει. Ένα παράδειγμα, μια συνάρτηση ΖΚΙΚΟΜΑΠΣΗ, στην οποία τι πράγματα θα πρέπει εμείς να προσέξουμε. Να δούμε το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης, οπότε και εκεί πέρα πρέπει να ψάξουμε για μέγιστα και λάχιστα, εκεί που ορίζεται η συνάρτηση. Άρα λοιπόν το πρώτο πράγμα που μας ενδιαφέρει είναι να δούμε ποιο είναι το πεδίο ορισμού της, ξεκινώντας από την αρχή, μετά να σιγουρευτούμε ότι υπάρχουν αυτές οι παράγωγοι και πρώτης όλες και δεύτερης τάξης, ότι όλα αυτά μέσα στο πεδίο ορισμού επίσης ορίζονται. Άρα, εάν αυτά μας είναι γνωστά, ξεκινάμε τότε να ψάξουμε για άκρες τιμές, με το να λύσουμε αυτό εδώ το σύστημα. Και βλέπουμε αν υπάρχουν λύσεις μέσα στο πεδίο ορισμού. Και αν αυτές οι λύσεις τις βρούμε, και υποθέσουμε ότι αυτές είναι διάφορες, τότε είπαμε ότι προσπαθούμε να βρούμε την τιμή σε αυτά τα σημεία της διακρίνουσας Δ, η οποία είναι αυτή εδώ, αν είναι θετική ή αρνητική. Όλα αυτά τα υπολογίζουμε σε κάθε ένα από αυτά τα σημεία και προσπαθούμε να δούμε τι πρόσημο έχει αυτή η διακρίνουσα, αν είναι θετική, αρνητική ή μη 0. Και στο επόμενο που έχουμε είναι να υπολογίσουμε, αν αυτή η διακρίνουσα είναι αρνητική, να υπολογίσουμε το πρόσημο του Fxx, στο έδια σημεία. Οπότε πρώτα κοιτάζουμε αν υπάρχει μέγη στο ελάχιστο ή σαγματικό σημείο, ή δεν μπορούμε να δώσουμε απάντηση από την ανάλυση αυτή. Και στο τέλος ξετάζουμε το πρόσημο αυτής εδώ, την πρόσημη αυτής της συνάντησης, να δούμε αν το ακρότατο είναι μέγιστο ή ελάχιστο. Αυτή είναι η διαδικασία. Εκείνο που θα ήθελα εγώ τώρα να προχωρήσουμε, είναι να δούμε έναν άλλο τύπου προβλήματα. Να βρεθεί, λέει, η ελάχιστη απόσταση του σημείου 1,0-2 από το επίπεδο, το οποίο είναι το x συν 2ψ, συν z ίσον με 4. Άρα λοιπόν, ζητάμε την ελαχίστη απόσταση του σημείου αυτό, να βρούμε πώς είναι η ελαχίστη απόσταση του σημείου αυτό από αυτό το επίπεδο. Μια απλή σχετικά άσχηση, την οποία θα ήθελα να μου την λύσετε μέχρι τέλους. Να μου πείτε δηλαδή ποια είναι αυτή η απόσταση. Θέλω νούμερο όμως, έτσι δεν θέλω να μου πείτε γενικότητες, τότε να μου πείτε τον τρόπο που θα εντολίσω. Ακούω αποτελέσματα, θέλω το αποτέλεσμα, την απόσταση, ποιος την έχει βρει και πόσο την έχει βρει. Καταρχήν να το θέσουμε ποιο είναι το πρόβλημα, ποια είναι η συνάρτηση που μας ενδιαφέρει. Θα μας πει κάποιος ποια συνάρτηση δούλεψε με ποια συνάρτηση του Χριστού. Ποιος είναι με ποια συνάρτηση του Χριστού. Αυτό δεν είναι. Κανονικά αυτό θέλουμε να ελεγχιστοποιήσουμε. Οπότε το επόμενο βήμα είναι να πάρουμε το Ζ από εδώ, να το αντικαταστήσουμε εδώ και να βγάλουμε μια συνάρτηση. Αυτή τη συνάρτηση την βγάλατε, ποια σημεία βρήκατε, ποια βρήκατε να είναι τα κριτικά σημεία. Αυτό είπαμε, φυσικά το Ζ θα το αντικαταστήσουμε, άρα το τετράγωνο θα είναι χ-1 στο τετράγωνο, συν ψ τετράγωνο, συν στη θέση του Ζ, από εδώ, θα βγάλουμε το Ζ να είναι 4-χ-2ψ, και αυτό θα το αντικαταστήσουμε εδώ 4-χ-2ψ-2, και όλο στο τετράγωνο. Οπότε η συνάρτηση που βγαίνει στο τέλος για το τετράγωνο, θα είναι χ-1, χ-1 στο τετράγωνο, συν ψ τετράγωνο, συν στο τέλος θα έχουμε 6-χ-2ψ, 6-χ-2ψ και όλο στο τετράγωνο. Αυτή είναι η συνάντησή μας, συμφωνούμε σε αυτό. Το F του Χ ίσο με το μηδέν και το F του Ψ ίσο με το μηδέν, μας δίνει το σημείο 11-6-5-30. 11-6-5-30. Και βέβαια αν θέλουμε να αντικατεστούμε εδώ, να βρούμε τα αυτές τις τιμές για να βρούμε και το Ζ ποιο είναι. Τώρα αυτό το σημείο, το συγκεκριμένο, αν να κάνουμε τις αντικαταστάσεις μας δίνει ότι το F του Χ Ψ τετράγωνο μίον το F του Χ Ψ, F του Ψ Ψ, αυτό το βρίσκουμε να είναι αρνητικό. Και τώρα με αυτά τα σημεία και βλέποντας ότι το F του Χ Ψ, εδώ βρίσκουμε ότι είναι το F του Χ Ψ στην περίπτωσή μας, πραγματικά είναι τέσσερα και είναι θετικό. Και η απόσταση δε που ψάχαμε ποια είναι? 5-6-6. 5-6-6. Θέλετε αυτό εδώ πέρα να το λύσουμε βήμα-βήμα ολό, ή νομίζω ότι όμως είναι χαρακτηριστικό, ότι αν υπάρχει το σημείο, ας πούμε ο ξενοβάρ μας δίνεται ότι θέλω την απόσταση από αυτό το σημείο, σημαίνει ότι τα σημεία που ψάχουμε, υπάρχει και άλλος τρόπος να τη λύσουμε. Αυτή με τις πολλαπλασιαστές Lagrange, αλλά δεν χρειάζεται να μπούμε σε αυτή τη διαδικασία. Σας είχα πει, όταν το σύστημά μας μπορούμε να το λύσουμε με μία από τις συνδεταγμένες και να κατεβάσουμε τον αριθμό των αγνώστων από 3 σε 2. Χάθηκες. Θέλετε επειδή ουσιαστικά εδώ πέρα δουλεύουμε να εξασκήσουμε ορισμένα εργαλεία. Ο άλλος τρόπος είναι να πάρετε τη συνάρτηση αυτή όπως είναι. Δεν το θεωρώ ότι είναι ο καλύτερος, γιατί πιθανόταν να έχει πιο πολλές πράξεις. Να πάρετε αυτή τη συνάρτηση, z συν 2 και να προσθέσετε εδώ ένα λάμβα και να βάλετε ότι το 4-x-2x-z, να το βάλετε εδώ πέρα και να δουλέψετε αυτή τη συνάρτηση f2x,z,z-0 και βέβαια εδώ πέρα θα πρέπει να λύσετε και να δούμε αν αυτό, μια και ξέρετε την απάντηση, μπορείτε τώρα ο συνάδελφός σας ήταν κάτω από πίεση τώρα εδώ πέρα στο πίνακα ή στην ταχύτητα με την οποία πρέπει να δουλέψουμε εδώ πέρα, γιατί βάζω την ερώτηση αμέσως και δεν έχετε χρόνο να τη δουλέψετε και βλέπετε ότι αυτή η λύση ολοκληρώνεται και δίνει αυτά τα αποτελέσματα, η ερώτηση είναι γιατί να μην τη χρησιμοποιήσω ως ανάσκηση για να εξασκήσω τον εαυτό μου σε αυτό το μότο να δω αν θα βγάλω τα ίδια αποτελέσματα, δηλαδή αυτό πρέπει να βγάζει ακριβώς τα ίδια αποτελέσματα και αυτός είναι ο τρόπος να στήσουμε την άσκηση. Και όταν σε χρειάζεσαι, αναγώνησες το 7, πάντα το δεσμό. Δίνει πάντα το δεσμό φυσικά, αυτός είναι και ο σκοπός της να τεθεί έτσι ώστε να δώσει πάλι το δεσμό. Λοιπόν, να βρεθεί η μεγίστη απόσταση των σημείων της επιφάνειας 2x τετράγωνο, συν 3x τετράγωνο, συν 2z τετράγωνο, συν 2x ψ, xz ίσο με το 0. 2x τετράγωνο, 3x ψ τετράγωνο, 2z τετράγωνο, συν 2x ζ ίσο με 0. Μας δίνουν λοιπόν αυτή την επιφάνεια και μας ζητάνε να βρούμε τη μεγίστη απόσταση των σημείων της επιφάνειας από το επίπεδο ζ ίσο με 0. Πώς θα στήσουμε αυτή την άσκηση, ποια συνάρτηση θέλουμε να βρούμε το μεγίστο και λάχιστο και πώς θα στήσουμε αυτό το πρόβλημα πριν κάνουμε τις πράξεις, πώς θα δουλέψουμε σε ένα τέτοιο πρόβλημα. Αν θέσουμε ζ ίσο με 0 πάνω σχέση, τότε θα σημαίνει ότι ψάχνουμε σημεία που να βρίσκεται πάνω στο ζ ίσο με 0 επίπεδο. Άρα, αν υπάρχει λύση για αυτό, δηλαδή 2x τετράγωνο, συν 2x ψ τετράγωνο, 0, θα υπάρχει ισχυρή πράγμα διαχείριση όταν και τους ίσους με 0 παίρνουμε λύση του 0. Άρα, η απόσταση είναι 0. Ωραία. Εσείς τι λέτε, όχι την ακρότατη, μέγιστη ή ελάχιστη. Λοιπόν, τι λέτε για αυτή τη σκέψη που έκανε ο συνάδελφός σας, η οποία, δηλαδή, ψάχνουμε την ακρότατη απόσταση, δηλαδή αν υπάρχει μέγιστο ή ελάχιστο από το σημείο ζ ίσο με 0. Καταρχήν, σαν σκέψη, ακούσατε τι είπε, είπε δοκίμασε να δει τι γίνεται με το ζ ίσο με 0. Το ζ ίσο με 0 ποιο επίπεδο είναι, καταρχήν, το χύψι. Αυτό που είπε είναι ότι αυτή η ευθεία περνάει από το σημείο χύψι, από το σημείο επίπεδο ζ ίσο με 0. Δηλαδή, είναι μια ευθεία η οποία φτάνει μέχρι αυτό το σημείο. Δηλαδή, αν τη ζωγραφίσουμε είναι μια καμπύλη, δεν τη ζωγραφίσουμε ακριβώς, αλλά, τελος πάντων, έχει μία τομή στο ζ ίσο με 0. Αν βάλουμε λοιπόν το ζ ίσο με 0, το αντικατέστημα βρήκε ότι υπάρχει ένα τέτοιο σημείο, το οποίο το βρίσκει να είναι, αν βάλει το ζ ίσο με 0, θα βρει από εδώ ότι και το χ είναι 0, αλλά δεν είναι ένα τύχαιο σημείο εδώ πέρα, περνάει από την αρχή δηλαδή. Έτσι δεν είναι. Συμφωνείτε ότι γίνεται αυτό. Άρα, έδωσε την απάντηση. Θα μπορούσαμε όμως να τη βγάλουμε αυτή την απάντηση και αλλιώς. Πώς αλλιώς θα μπορούσαμε να στήσουμε την άσκηση και νομίζω ότι είναι πάρα πολύ ωραίο αυτό που έκανε πριν μπει στις πράξεις, μ' αρέσει αυτό που έκανε, διότι τι έκανε πρώτα, πρώτα ότι σκέφτηκε την άσκηση, έτσι. Πρώτα σκέφτηκε να δει για τι πράμα συζητάμε, αν μπορεί να τη σκεφτεί γεωμετρικά, αν μπορεί να δει πραγματικά τι κάνει αυτή η συνάσταση, αν μπορεί να τη ζωγραφίσει. Δηλαδή πρώτα τη δούλεψε με αυτόν τον τρόπο πριν μπει στο θέμα των μεγίστων ελαχίστων. Αν ήθελε όμως αυτό που βρήκε να το επιβεβαιώσει και αναλυτικά μέσα από τη θεωρία των μεγίστων και ελαχίστων. Η απάντηση για μένα είναι ότι αν έδινε αυτή την απάντηση θα ήτανε σωστή απάντηση, είναι σωστή απάντηση φυσικά και θα ήτανε μια χαρά η άσκηση. Αλλά επειδή ζητάει να αντιπαληθεύσουμε μέσα από τα μεγίστα και ελαχίστα θα ήταν καλό να δοκιμάσουμε πως αλλιώς θα μπορούσαμε να θέσουμε αυτό το πρόβλημα. Ρωτάω και τους υπόλοιπους λοιπόν πως αλλιώς μπορούσαμε να το θέσουμε εκτός από την σκέψη την οποία έκανε ο συνάδελφος να επιβεβαιώσουμε αυτό το αποτέλεσμα. Ποια συνάντηση θα ψάχαμε τα μεγίστα και ελαχίστα εμείς εδώ πέρα. Άρα λοιπόν έχουμε αυτόν τον δεσμό εδώ πέρα 2Χ τετράγωνο συν 3Χ τετράγωνο συν 2Ζ τετράγωνο συν 2ΧΖ αυτός εδώ. Όταν θέλουμε να υπολογίσουμε την απόσταση μιας υποθέσουμες ότι αυτή είναι μια τυχαία καμπύλη από το επίπεδο Ζσ με 0 ποιο πράγμα θα πρέπει να πάρουμε. Αυτή δεν είναι η απόσταση του από το ΧΨ. Αυτή εδώ πέρα τι είναι όμως. Γιατί είναι ΧΨ. Αυτό που είπες το ΧΨ τετράγωνο συν Ψ τετράγωνο ποιο σημείο είναι αυτό. Αυτό που μας ενδιαφέρει φόσον έχουμε το Ζ είναι το Ζ τετράγωνο. Έτσι δεν είναι η απόσταση ενός σημείου από το επίπεδο είναι αυτή εδώ. Πότε θα ήταν η απόσταση από τι θα ήταν να είναι το ΧΨ τετράγωνο συν Ψ τετράγωνο. Ποια απόσταση είναι αυτή. Αυτή η απόσταση είναι τούτοι εδώ. Της προβολής. Δεν είναι. Δηλαδή δεν έχει καμία σχέση με τη σημεία στον χώρο. Μόνο αν ξεραίμε ότι η ευθεία είναι απάνωστο επίπεδο. Και τότε ζητούσαμε να αρχίτων αξώνων. Δεν έχουμε τέτοιο πρόβλημα. Ζητάμε την απόσταση από το επίπεδο. Η απόσταση λοιπόν αυτών των σημείων από το επίπεδο έχει αυτό το Ζ. Αυτή είναι η απόσταση. Δεν χρειάζεται το Ζ τετράγωνο. Το έβαλα εγώ γιατί είναι απόσταση και δεν θέλω να πάρω αρνητικά. Όταν μιλάω για απόσταση μιλάω για θετικό αριθμό. Και γι' αυτό το έβαλα Ζ να το επιβεβαιώσω. Να το έχω σίγουρο. Ή θα πάρετε ένα Ζ το οποίο θα είναι πάντα θετικό. Το Ζ με το Ζ θετικό. Θα βάλετε Ζ εδώ αλλά δεν θα δεχτείτε αρνητικές λύσεις άλλες. Αυτό είναι το πρόβλημά μας. Αν θέλετε πρέπει να επιβεβαιώσετε εδώ μέσα από αυτή τη διαδικασία το σημείο 000. Δηλαδή αυτό που τελικά βγαίνει είναι πράγματι το 000 και αυτό το σημείο πρέπει να το βρείτε και με αυτή τη διαδικασία. Η απάντηση κατευθείαν θα ήταν σωστή αλλά θα ήθελα να το δούμε και έτσι. Εντάξει. Λοιπόν ας το αφήσουμε εδώ πέρα. Αν έχει λίγο δουλίτσα το κάνετε στο σπίτι. Αλλά αυτός είναι ο τρόπος και ο τρόπος έτσι όπως το βγάλαμε στην κουβέντα είναι πρώτα δοκιμάζω να καταλάβω ποια είναι αυτή η επιφάνεια και τι ακριβώς συμβαίνει. Και από πού περνάει και τι σχέση έχει με το Ζ με το πίπεδο ΧΨ και μετά προσπαθώ αναλυτικά μέσα από αυτόν τον τρόπο να βρω την απόσταση αυτή. Εάν σας ζητούσα να βρούμε το ίδιο πρόβλημα αλλά να βρούμε την απόσταση από τον άξονα ΩΜΧ ή οποιοδήποτε άλλο επίπεδο φυσικά θα αλλάζαμε το Ζ με το αντίστοιχο άλλο επίπεδο. Αν σας έλεγα να βρείτε την μεγίστη ή ελαχίστη απόσταση από την ευθεία ΩΜΙΚΡΟΝΖΕΤ από τον άξονα ΩΜΙΚΡΟΝΖΕΤ τι θα κάνατε. Μια επιφάνεια στον χώρο, θέλουμε να βρούμε ένα τυχαίο σημείο και να βρούμε την απόσταση της από τον άξονα ΩΜΙΚΡΟΝΖΕΤ. Πώς θα ήταν αυτή. Τώρα δεν είναι πρόβλημα μέγιστα καιλά, είναι πρόβλημα αναλυτικής γεωμετρίας νομίζω. Πήγαμε σε άλλα θέματα τώρα. Αν θέλετε δηλαδή να βρείτε από μια επιφάνεια που είναι στο χώρο την ελαχίστη ή μεγίστη απόσταση από τον άξονα ΩΜΙΚΡΟΝΖΕΤ τι θα πάρετε. Συμφωνείτε όλοι. Άρα δεν θα έβρισκε την απόσταση από το επίπεδο ΖΕΤ ίσον 0, θα έβρισκε από τον άξονα ΩΜΙΚΡΟΝΖΕΤ την απόσταση όπως αυτό που είπε προηγουμένως. Κατανοητό. Άρα λοιπόν προσέξτε τα λιγάκι αυτά. Αν θέλετε να κάνουμε ένα μικρό διάλειμμα και να συνεχίσουμε με μια σειρά ακόμα τέτοια προβλήματα ενδεικτικά τα οποία θα νομίζω ότι θα σας δώσουν. Έχουμε να βρούμε. Άρα λοιπόν εδώ δοκιμάσουμε μερικά τέτοια παραδείγματα. Θα δοκιμάσουμε μερικά κομμά μεγίστα και λάχιστα που παρατηρούνται δεσμοί. Έχουμε να βρούμε μεγίστα και λάχιστα όταν είναι επεπλεγμένες οι συναρτήσεις και ένα άλλο σημαντικό θέμα να βρούμε μεγίστα και λάχιστα όταν το πεδίο ορισμού της συναρτήσεις εμείς το περιορίζουμε. Δηλαδή θέλουμε να βρούμε το μεγίστα και λάχιστα της συναρτήσεις μέσα σε ένα συγκεκριμένο πεδίο κλειστό το οποίο εμείς έχουμε επιβάλλει. Δηλαδή ψάχνω να βρω, παραδείγματος χάρη αυτό δεν το έχουμε δουλέψει καθόλου, ψάχνω να βρω το μεγίστα και λάχιστα μια συναρτήσεις όταν θέλω τα ακρότατα να βρίσκονται μέσα σε αυτό εδώ το τρίγωνο. Έτσι τι θα κάνω για να βρω το μεγίστα και λάχιστα όταν θέλω τα πι και ψη τα σημεία δηλαδή που με ενδιαφέρουν να βρίσκονται μέσα σε ένα συγκεκριμένο περιορισμένο χώρο σαν αυτό εδώ. Να το συζητήσουμε και αυτό να το καταλάβουμε πως θα ψάξουμε για μεγίστα και λάχιστα μια επιφάνειας αν θέλουμε να περιορίσουμε το χώρο στον οποίο θέλουμε να συζητήσουμε τα μεγίστα και λάχιστα δηλαδή το πεδίο ορισμού της μέσα σε αυτό εδώ το συγκεκριμένο σχήμα. Λοιπόν αυτά είναι που θέλουμε να δουλέψουμε κάποιες ασκήσεις, να κάνουμε ένα διάλειμμα και να επανέλθουμε. Έχετε λοιπόν ένα ορθογώνιο παραλιλόγραμμο, ένα κουτί το οποίο είναι ορθογώνιο παραλιλόγραμμο, δεν έχει σκέπασμα, έχουμε δηλαδή στη διάθεσή μας 12 τετραγωνικά μέτρα ξύλο, θέλουμε να φτιάξουμε ένα κουτί που να μην έχει καπάκι και θέλουμε να βρούμε πως πρέπει να το κατασκευάσουμε για να έχει το μεγίστο όγκο. Άρα πρέπει να δούμε πως θα το κατασκευάσουμε αυτό το κουτί και το κουτί αυτό δεν έχει καπάκι, αυτά είναι τα χαρακτηριστικά του. Υπάρχουν πολλοί τρόποι που μπορεί να δώσει την ίδια άσκηση κανένας, θα μπορούσε να τη δώσει και αλλιώς, να σας πω άλλο είναι μια διατύπωση μιας παρόμοιας άσκησης, να βρεθούν οι διαστάσεις του ώστε να γίνει μέγιστος ο όγκος, ώστε το κόστος της κατασκευής να είναι ελάχιστο. Το κόστος της κατασκευής να είναι ελάχιστο σημαίνει τότε ένα αντίστροφο πρόβλημα, δύο προβλήματα μπορούμε να θέσουμε μέσα στο ίδιο περιβάλλον. Είναι αυτό που είπα εγώ, δηλαδή θέλουμε το ξύλο που θα χρησιμοποιήσουμε για την κατασκευή αυτού του ξύλινου ορθογώνιου παραλίλεου πιπέδου να είναι 12 τετραγωνικά μέτρα και να είναι μέγιστος ο όγκος του. Πρέπει να μας πείτε ποια κατασκευή, ποιες θα είναι οι διαστάσεις του για να το κάνουμε αυτό. Ο άλλος τρόπος διατύπωσης είναι και τα ίδια λέει, θέλουμε να φτιάξουμε πάλι με ένα ίδιο ορθογώνιο παραλίλε πίπεδο, θέλουμε να έχουμε μέγιστο όγκο, αλλά το κόστος της κατασκευής να είναι ελάχιστο. Είναι το ίδιο πρόβλημα διατυπωμένο με δύο διαφορετικούς τρόπους. Λοιπόν για λύστε μου αυτό που σας έχω δώσει τις διαστάσεις από το ξύλο στο οποίο θα το κόψω για να φτιάξω αυτό το κουτί, είναι 12 τετραγωνικά μέτρα και θέλω να φτιάξω ένα κουτί το οποίο να μην έχει καπάκι και να είναι 12, να έχει το μέγιστο όγκο. Λοιπόν, ποιος θα δουλέψα το και θα σηκώσε τα χέρια όποιοι είστε έτοιμοι να μου πείτε τι έχετε κάνει. Λοιπόν, ας πούμε να είναι συνοπής παραλίλε πίπεδο. Ορθογώνιο παραλίλε πίπεδο, ναι. Να μετατρέψουμε αυτή την ποιοτική περιγραφή σε ένα πρόβλημα μαθηματικό και αυτό είναι ένα από αυτά τα πράγματα τα οποία εσείς πρέπει να συγκυθείστε να λύνετε. Βέβαια, το παραλίλε πίπεδο πάντα, τρεις διαστάσεις έχει. Ποια είναι η συνάρτηση που πρέπει να βρούμε τα μέγιστα και ελάχιστα και αν αυτή η συνάρτηση να βρούμε τα μέγιστα και ελάχιστα ποιος είναι ο περιορισμός που έχουμε σε αυτό το πρόβλημα. Ωραία, αυτό το εμβαδόν θα είναι, για πες μου πόσο, εγώ θα φτιάξω ένα, θα φτιάξουμε ένα τέτοιο κουτί. Ωραία. Θα πούμε ότι αυτή είναι η χ, αυτή είναι η ψ και αυτή είναι η ζ, έτσι. Λοιπόν, το εμβαδόν πόσο θα είναι, το καπάκι του δεν υπάρχει, οπότε πόσο θα είναι το εμβαδόν. Πες μου, η κάτω πλευρά θα έχει έπιψει. Για πες μου τις υπόλοιπες. Θα είναι δύο χζ και δύο ψζ. Ωραία. Λοιπόν ο συνάδελφός σας λέει ότι πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε αυτή τη συνάντηση με αυτόν τον προορισμό. Αυτό είναι το πρόβλημά μας. Εντάξει, πώς θα το κάνουμε, διαλέξτε λοιπόν να την αλύσετε προς ποια μεταβλητία, ας υποθέσουμε ότι το ζ μπορεί να λύσετε ως προς ζ και αυτό να σας δώσει να απελευθερωθείτε από τις άλλες δύο και να αντικαταστήσετε εδώ. Λοιπόν αυτό θα κάνουμε, θα λύσουμε ως προς ζ αυτή, θα αντικαταστήσουμε το ζ εδώ και θα προσπαθήσουμε να βρούμε το μέγιστο και λάχιστο του συνάντησης χύψη που θα προκύψει από αυτή την αντικατάσταση. Και για βρέστε μου τα ακρότατα, λες δηλαδή να ορίσουμε μόνο πρέπει αυτό να είναι το β, β, α και α και το γ να είναι οι άλλες δύο. Ωραία και τι θα γίνει τώρα, θα βγάλεις αυτές τις σχέσεις, δηλαδή πάλι τρεις μεταβλητές δεν θα έχεις. Ναι, αλλά δεν θα είναι συμμορπήσεις που έχουν χύψει... Ναι, δεν θα νομίζω ότι θα αλλάξει τίποτα, απολύτως τίποτα δεν θα αλλάξει. Δεν έχω αντίδραση να το κάνεις έτσι, τελείωσε το να μας πεις όμως ποιες θα είναι οι επιφάνιες αυτές, δηλαδή αυτά τα κομμάτια πρέπει να βρεις εσύ αφού θα το πάσεις με το α, β, γ να μας πεις αυτά τα α, β, γ πόσο θα είναι, τι επιφάνιες θα είναι. Το τελείωσε κανένας, βρήκε δηλαδή σε αυτή τη συνάντηση η οποία θα είναι χύψει, πι μίον δώδεκα, πι μίον δώδεκα δύο ψ συν χ. Δεν έχει μίον, θα πάρω το χύψει θα το πάω από εδώ, είναι έτσι, σωστά, έχετε δίκιο. Αλλά και κάτω που το αλλάξατε είναι δώδεκα μίον χύψει. Ναι, ναι είναι δώδεκα μίον χύψει. Λοιπόν είναι ένα παραγωγή σε αυτή τη συνάντηση ως προς χ και ως προς ψ και να βρείτε πότε με ποιες τιμές του χ και ψ αυτή η συνάντηση παράγωση θυτα β θυτα χ είναι ίση με μηδέν και ίση με τη θυτα β θυτα ψ. Όποιος το έχει τελειώσει και έχει βρει τα σημεία να μας σηκώσει το χέρι. Το σημείο. Το σημείο με ενδιαφέρει, ναι. Ποιο είναι? Το 2,2,1. Μάστα. Ο συναδερφός σας βρήκε ένα σημείο. Και το οποίο τότε έχει διαστατεί ο όγκος του θα είναι τέσσερα κυβικά μέτρα. Λοιπόν για να δούμε οι υπόλοιποι το επαληθεύεται. Τέσσερα. Αυτό είναι τέσσερα. Συν οχτώ. Γιατί δεν βγάζει 12. Γιατί δεν βγάζει 12. Τέσσερα, τέσσερα, τέσσερα. Η θ β θ χ θα δώσει παρονομαστή 2χ συν ψ και όλος το τετράγωνο και αριθμητή ψ τετράγωνο και μέσα θα έχει το 12 μίον 2χ ψ μίον ψ χ τετράγωνο. Οπότε για να γίνει αυτό μηδέν αρκεί να γίνει το 12 μίον 2χ ψ μίον χ τετράγωνο ίσο με το μηδέν. Ομοια βγάζουμε και άλλη μια σχέση η οποία είναι 12 μίον 2χ ψ μίον ψ τετράγωνο ίσο με το μηδέν. Και το να λύσουμε αυτές τις σχέσεις βγάζουν πράγματι το χ ίσον 2 το ψ ίσον 2 και το ζ ίσον 1. Λοιπόν αυτή εδώ την τελειώσαμε αυτό είναι όλο αυτό είναι το αποτέλεσμα δουλέψτε το και στο σπίτι κάντε τις πράξεις επαναλάβετε έχουμε λοιπόν αυτή εδώ τη συναρτηση. Θέλουμε να βρούμε το απόλυτο μέγιστο και το απόλυτο ελάχιστο αυτής της συναρτησης όταν το χ περιορίζεται μεταξύ του 0 και του 3 και το ψ περιορίζεται επίσης στις ίδιες τιμές. Μάλλον θα βάλουμε δύο εδώ για να έχουμε το ίδιο πρόβλημα που έχει και εδώ. Λοιπόν το χ είναι περιορισμένο εδώ και το ψ είναι περιορισμένο εδώ. Ζητάμε λοιπόν να βρούμε τα μέγιστα και ελάχιστα μια συναρτησης όταν τα χ και τα ψ περιορίζονται και συμπεριλαμβάνεται φυσικά και τα ίσια εδώ πέρα. Ποιο είναι ακριβώς το πρόβλημα που πάμε να λύσουμε θέλω να μου πει κάποιος ποιο πρόβλημα πάμε να λύσουμε. Έχουμε μια συγκεκριμένη συναρτηση αυτή εδώ επιφάνεια και μπορείτε να μου πείτε αυτό εδώ πέρα τι είναι δηλαδή αυτό που σας είχα πει προηγουμένως τα χ και ψ. Αυτή είναι επιφάνεια τα χ και ψ πώς είναι ακριβώς δηλαδή σε ποια σημεία τι σημαίνουν αυτή οι περιορισμοί εκεί πέρα ότι ψάχνουμε να βρούμε σε ποια περιοχή ψάχνουμε να βρούμε τα μέγιστα και ελάχιστα. Αυτό είναι λοιπόν το 3 αυτό είναι το 2 άρα λοιπόν πρέπει να βάλουμε πρέπει να βάλουμε περιορισμό ότι πρέπει να κινηθούμε εδώ μέσα. Ποιο είναι το καινούργιο στοιχείο που δεν το είχαμε συζητήσει μέχρι τώρα. Το γεγονός ότι μια επιφάνεια λόγω του ότι την κόβουμε σε αυτά εδώ τα σημεία μπορεί να έχει μέγιστο ή ελάχιστο παρόλο ότι μέσα στην δεν ξέρω αν είναι αυτή η περίπτωση αλλά θέλω να καταλάβετε τι σημαίνει αυτό το πράγμα. Σημαίνει ότι αν έψαχα για μια συνάρτηση παντού και πήγαινε από το μειον άπειρο στο συν άπειρο ήταν μια επιφάνεια η οποία ήταν ένα επίπεδο το πήγαινε από το μειον άπειρο στο συν άπειρο θα βρίσκα ότι δεν έχει μέγιστα και ελάχιστα. Αλλά επειδή περνάει ας πούμε αυτό εάν δείτε πως κόβει εμάς μας ενδιαφέρον αυτά εδώ τα επίπεδα μπορεί η συνάρτηση όπως περνάει να κάνει μια τέτοια στροφή που όταν φεύγει από εδώ αυτό το σημείο να περνάει κάπως έτσι. Να φεύγει από αυτό την κλειστή περιοχή με το να χτυπάει αυτό το σημείο αυτό το σημείο ή εδώ σε αυτές εδώ τις επιφάνειες να χτυπάει σε συγκεκριμένες καμπύλες οι οποίες να έχουνε μέγιστα και ελάχιστα. Άρα οι τομες πρέπει να ψάξουμε για αυτή την περίπτωση στο εσωτερικό τι γίνεται παίρνοντας δηλαδή θήτα F θήτα H θήτα W θήτα C και βρίσκοντας αν υπάρχουν μέγιστα και ελάχιστα και μετά κρατώντας από αυτά που υπάρχουν αν υπάρχουν αυτά που είναι μέσα στην περιοχή. Άρα δηλαδή αν μου δίνει 10 σημεία τα 2 αν δηλαδή πάρω τα μέγιστα και ελάχιστα αυτής της συνάτης γενικώς και βρω ότι έχει 10 από αυτά τα 2 πιθανόν να είναι μέσα στο σε αυτό εδώ τον περιορισμό τα κρατάω αυτά. Μετά κοιτάζω τι θα συμβεί σε κάθε μία από αυτές τις γραμμές δηλαδή σε κάθε ένα από αυτά τα επίπεδα και πώς θα ψάξω τα μέγιστα και ελάχιστα εδώ πάνω. Πώς θα ψάξω τα μέγιστα και ελάχιστα αυτής της συνάτησης σε αυτό το σημείο, σε αυτό το επίπεδο, σε εκείνο το επίπεδο και σε εκείνο το επίπεδο. Πώς θα τα ψάξω. Δηλαδή εδώ θα ψάξω τρία πράγματα. Θα ψάξω τα μέγιστα και ελάχιστα γενικώς, δηλαδή θα ψάξω το θ' φ θ' χ ίσο με το μηδέν, το θ' φ θ' ψ ίσο με το μηδέν και θα δω αν υπάρχουν λύσεις που να πέφτουν εδώ μέσα. Εντάξει αυτό το έκανα. Αυτό είναι το πρώτο που θα κάνω. Μετά όμως ποιες άλλες συναρτήσεις θα ψάξω για μέγιστα και ελάχιστα. Θα ψάξω τέσσερις ακόμα συναρτήσεις μπορείτε να μου πείτε ποιες θα είναι. Ποιες άλλες τέσσερις συναρτήσεις θα ψάξω για μέγιστα και ελάχιστα. Αν θέλω να ψάξω τα μέγιστα και ελάχιστα σε αυτό εδώ το επίπεδο, σε αυτήν εδώ την περιοχή, τι θα βάλω για αυτήν εδώ τη συναρτήση, πες μου. Ψίσο με μηδέν. Να, θα ψάξω λοιπόν τα μέγιστα και ελάχιστα για ψήσω με μηδέν. Για αυτήν εδώ την γραμμή τι θα ψάξω. Χ ίσον με μηδέν. Μετά πρέπει να ψάξω αυτήν εδώ την ευθεία. Πόσο είναι αυτή. Αυτό είναι δύο θυμάστε και αυτό είναι τρία. Πόσο είναι αυτή εδώ. Πρέπει να ψάξω εδώ πάνω. Πες μου. Ψίσον δύο και χ ίσον τρία. Άρα τέσσερα σημεία θα ψάξω σε τέσσερες με τέσσερα με αυτά θα τα αντικαταστήσω εδώ. Θα προκύψουν συναρτήσεις μιας μεταβλητής και θα ψάξω σε αυτές τις συναρτήσεις να βρω μέγιστα και ελάχιστα. Αν θέλετε να το τελειώσετε αυτή την άσκηση στο σπίτι γιατί είναι μια άσκηση που είναι χαρακτηριστική και ενδιαφέρουσα. Οπότε για εμένα αυτό που θα ήθελα να σας πω είναι ότι έχουμε να ψάξουμε σε τρεις άλλες συναρτήσεις. Χ ίσον τρία, Ψ ίσον δύο, Χ ίσον με μηδέν και Ψ ίσον με μηδέν. Να ψάξουμε αυτή δηλαδή σε αυτές τις τέσσερες ευθείες και να ψάξουμε και αυτό εδώ πέρα γιατί είναι μια χαρακτηριστική άσκηση που λέει πως θα βρω μέγιστα και ελάχιστα μιας συναρτήσεις όταν μου προσδιορίσουν ένα συγκεκριμένο χώρο στο επίπεδο Χ και Ψ. Θα μπορούσα δηλαδή να σας πω να βρείτε τα μέγιστα και ελάχιστα αυτή συναρτήσεις μέσα στο δακτήλιο που είναι το Χ ίσον Ψ μίον δύο στο τετράγωνο ίσον τέσσερα. Τι σας έχω ζητήσει, σας έχω να βρείτε τα μέγιστα και ελάχιστα μια συναρτήσεις αλλά και στο εσωτερικό και στην περιφέρεια αυτού εδώ το συγκεκριμένο κύκλου. Αυτός λοιπόν είναι ένας κύκλος στο επίπεδο Χ Ψ ο οποίος έχει συντεταγμένες το Χ ίσον 1 και το Ψ ίσον 2 και έχει μια ακτίνα 2. Άρα ζητάω τα μέγιστα και ελάχιστα εδώ μέσα. Πώς θα το βρω αυτό, θα ψάξω να πάρω τα μέγιστα και ελάχιστα αυτή συναρτήσεις να δω αν υπάρχει κανένα εδώ μέσα. Μπορεί να υπάρχει ή μπορεί να μην υπάρχει. Και μετά θα ψάξω σε αυτόν εδώ τον κύκλο, δηλαδή θα χαμηλώσω τις συντεταγμένες αυτές εδώ, κατά μία θα μου πληροκύψει μια συναρτή σε μιας μεταβλητής γιατί πρέπει να επαληθεύει και αυτή εδώ το δεσμό. Οπότε θα μπορώ να το βάλω Χ-2XΨ-2XΨ-ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ Υπάρχουν λύσεις στην περιφέρεια. Θέλω να βρω τα μέγιστα και λάχιστα μια συνάντηση στην περιφέρεια. Εκεί πέρα επειδή είναι απλός δεν χρησιμοποιούν όλα αγκρατσιανοί. Αλλά σε αυτό το πράγμα να βρω τα μέγιστα και λάχιστα αυτή συνάντηση στην περιφέρεια αυτού του κύκλου, φυσικά θέλω να το βρω και στο εσωτερικό. Το εσωτερικό είναι απλό γιατί θα πάρω το θ'ΕΦθΙΤΑΧΙ ίσον με μηδέν, το θ'ΕΦθΙΤΑΨΠΙ ίσον με μηδέν και θα ψάξω να δω αν υπάρχουν λύσεις που να είναι στο εσωτερικό. Αυτό είναι απλό. Θα υπάρχουν ή δεν θα υπάρχουν. Μετά όμως θέλω να δω τι γίνεται στην περιφέρεια του κύκλου. Και για να επιβάλλω στα χ και ψ να βρίσκονται στην περιφέρεια του κύκλου πρέπει να πάω με αυτόν τον τρόπο. Ή να το αναπτύξετε αυτό, να λύσετε και να αντικαταστήσετε στην άλλη που είναι πιο δύσκολο. Τα ΜΕΙΣΤΕΚ ΛΑΙΣΤΕΚ είναι όμως αυτή η συνάρτηση σε αυτά τα παιδεία που θέλουμε. Σε εκείνο το προηγούμενο, ναι. Μπορεί να είναι διαφορετικά από τα ΜΕΙΣΤΕΚ ΛΑΙΣΤΕΚ, τα γενικότητα της συνάρτησης. Βέβαια. Κι αυτό. Δημιουργούμε δηλαδή... Εμείς συνέξαμε τα... Για ποιο μιλάμε τώρα, για αυτό το πρόβλημα ή γενικώς τώρα για αυτή την κατηγορά. Γενικώς λοιπόν για αυτή την κατηγορία, πράγματι, αν δεν βάζαμε τον κύκλο, δηλαδή αν δεν βάζαμε αυτή, τι έχουμε ψάξει. Κοιτάξτε, έχω μια επιφάνεια εγώ, να το δώσω λίγο γεωμετρικά, ακολουθήστε με. Έχω μια επιφάνεια, η οποία μπορεί να μην έχει καθόλου μεγίστα και λάχιστα. Να πηγαίνει από το μειονάπερο στο συνάπερο, έτσι, μια επιφάνεια συνεχώς. Πάω και την κόβω με ένα κύλινδρο. Όμως ο κύλινδρος αυτόματα δημιούργησε μεγίστα και λάχιστα. Γιατί δημιούργησε ένα λάχιστα στην κάτω μεριά και ένα μεγίστα στην πάνω. Άρα με το που το υπεριόρισα, μια συνάρτηση που δεν είχε μεγίστα και λάχιστα, έφτιαξε μεγίστα και λάχιστα. Με καταλάβατε? Αυτό ψάχνουμε να κάνουμε, αναλυτικά. Απλώς στην περιφέρεια του κύκλου, γιατί βάζουμε το πολυπροσχέσιο στη Λευκά? Για να επιμείνουμε, δεν είμαστε υποχρεωμένοι να το κάνουμε έτσι. Δεν είμαστε υποχρεωμένοι. Η άλλη λύση θα ήταν να αναπτύξουμε αυτό, να λύσουμε μία από τις μεταβλητές και να την καταστήσουμε μέσα. Αλλά μπορεί να είναι πολύ πιο δύσκολο. Μέσα σε αυτήν εδώ τη σχέση. Δηλαδή εμείς θέλουμε να επιβάλλουμε τα χ και ψ να ακολουθούν την περιφέρεια του κύκλου. Δύο τρόποι υπάρχουν με αυτό. Να λύσουμε το κύκλο ως προς μία από τις μεταβλητές, να το αντικαταστήσουμε εδώ μέσα και να έχουμε μία συνάδηση μία συμμεταβλητής. Εδώ, εδώ, σε αυτήν. Δύο ίδια έχω πάρει. Έχω πάρει την ίδια βασική συνάδηση. Μία φορά την έκοψα με αυτό εδώ και την άλλη την έκοψα με αυτό το κύκλο. Λοιπόν, θέλω να λύσω αυτήν, αν μπορέσω να βρω το χ και να το αντικαταστήσω, ώστε να έχω μία συνάντηση ως προς ψ και να πάρω τα μέγιστα και λάχιστα. Όταν το κάνω έτσι, αντικαταστήσω το χ από εδώ και έχω μία συνάντηση ως προς ψ, τότε πράγματι κινούμε απάνω στην περιφέρεια. Αλλά αυτό μπορεί να είναι πιο δύσκολο, αν θες δοκίμασε αυτό για να δεις ποιο είναι το πιο εύκολο και αν βρίσκεις τα ίδια αποτελέσματα. Πολλές φορές, αν το έκοβε, αν ήταν αυτά οι απλές γραμμές, δεν χρειάζονται λαγκράντς. Γιατί αμέσως αντικαταστώ το ψ 0, ψάχνω μία συνάντηση. Το χ 0, τακ τακ 4 συναρτήσεις, τις ψάχνω, είναι μιας μεταβλητής και βρίσκω αν εκεί μέσα υπάρχουν μέγιστα και λάχιστα. Τα συγκρίνω όλα και βρίσκω το απόλυτο, μέγιστο, το απόλυτο, το ελάχιστο. Αυτό είναι διαφορετικό. Εάν είναι σύνθετη όμως η συνάντηση της περιφέρειας, τότε χρειάζομαι τη λαγκρατζιανή, διότι αυτό θα μας βγει πιο δύσκολο. Και αν θέλετε δοκιμάστε τώρα να βρείτε αν έχω δίκιο ή όχι. Και να δοκιμάστε να βγάλετε τα ίδια αποτελέσματα. Ναι, αλλά ένα μέγιστο μπορεί και να μην είναι μεγιστο που θα βρούμε αφυσκέτατη συνάντηση, αλλά και να μην είναι στην περιφέρεια της... Δεν μπορεί, αυτό που λες δεν μπορεί να συμβεί. Δηλαδή, αν σε καταλάβα καλά, λες ότι τελικά αυτό πάλι με τον περιορισμό μια οποιαδήποτε επιφάνεια μπορεί να έχει μια επιφάνεια η οποία θα κάνει σε αυτήν εδώ την περίπτωση... Να ο κύκλος μου. Και μια επιφάνεια έρχεται, ας πούμε, είναι ένας κόνος έτσι, ο οποίος τέμνει της επιφάνει... Τι τέμνει αυτός εδώ ο κύλινδρος όπως τον σηκώνω τέμνει σε αυτά τα σημεία. Οπότε έχω ένα μέγιστο μέσα στον κύκλο και δύο σημεία, το οποίο το ένα είναι πιθανόντα το απόλυτο ελάχιστο, αυτό είναι μια τιμή η οποία δεν είναι μέγιστη και εδώ έχω το απόλυτο μέγιστο. Λοιπόν, άρα λέω, ή θα έχω ένα τέτοιο, μια τέτοια περίπτωση, ή θα έχω μια τέτοια περίπτωση, οπότε ο κύλινδρος όπως τον σηκώνω θα έχει ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο. Δεν υπάρχει περίπτωση, άμα κόψω μια επιφάνεια με έναν τέτοιο κύλινδρο ή με ένα κουτί, όπως είναι αυτό, αυτό είναι ένα κουτί που σηκώνεται πάνω και κόβει την επιφάνεια. Δεν υπάρχει περίπτωση να μου δημιουργεί μέγιστα και ελάχιστα. Φυσικά θα δημιουργεί, αλλά μπορεί αυτά να μην βρίσκονται ούτε στην περιφέρεια του κύκλου, να βρίσκονται μέσα στον κύκλο, αλλά και να μην είναι μέγιστα τις ίδιες συνάρτησες, υπολογιζοντάς τα ξεχωριστά. Δηλαδή έπρεπε να βάλουμε όλο το κυκλικό δίσκο, αυτό θέλω να πω. Όλο το κυκλικό δίσκο, όχι, όχι, όχι. Είπα πρώτα ψάχνω αυτό εδώ πέρα και ψάχνω να βρω αν υπάρχουν σημεία μέσα στον κυκλικό δίσκο. Μπορεί αυτά να μην βγαίνουν όμως μέσα στον κυκλικό δίσκο. Δεν υπάρχει περίπτωση, πώς είναι δυνατόν, δηλαδή ο κυκλικός δίσκος ή θα έχει μέγιστα και ελάχιστα μέσα, εδώ, αυτά θα είναι με όλα μέσα. Αν έχει και ένα εδώ έξω δεν με ενδιαφέρει. Άρα ή είμαστε σε αυτή την περίπτωση, ή είμαστε σε μια που δεν έχει, αυτό εδώ πέρα δεν βγάζει, είμαστε έτσι, και την κόβουμε στα δύο σημεία στα άκρα. Άρα υπάρχει περίπτωση να έχει στο εσωτερικό του δίσκου μέγιστα και ελάχιστα και στην περιφέρεια. Ή να έχει μόνο στην περιφέρεια και τίποτα άλλο. Αυτό είναι. Λοιπόν, την πέμπτη συνεχίζουμε. Ναι, έγινε. Που ήμασταν στο τελευταίο μάθημα. Είμασταν ότι σε ένα πρόβλημα, το οποίο σας είχα γράψει στον πίνακα, και το οποίο σας είπα να το κοιτάξετε, αν προλάβατε να το κοιτάξετε στο σπίτι. Θέλουμε να βρούμε τα μέγιστα και ελάχιστα μια συνάντηση, που ήταν αυτή εδώ. Χ τετράγωνο, μίον, δύο Χ ψ, συν δύο ψ. Είχαμε πει ότι έχουμε μια τέτοια συνάντηση. Και θέλουμε να βρούμε σε ένα πολύ συγκεκριμένο πεδίο, το οποίο το ζωγράφησα στον πίνακα, το οποίο έχει την εξής μορφή, είναι τα Χ και τα ψ. Το Χ είναι μεταξύ του μηδέν, το Χ περιορίζεται μεταξύ του μηδέν και του τρία, και το ψ περιορίζεται μεταξύ πάλι του μηδέν και του δύο. Άρα αυτό είναι δύο και αυτό είναι τρία. Θα θέλω μέσα σε αυτόν εδώ το χώρο και στις πλευρές να βρω τα μέγιστα και ελάχιστα αυτής της συνάντησης. Άμα το κοιτάξετε έτσι, είναι ένα αναλυτικό πρόβλημα, γεωμετρικά. Θα ήθελα ένας από εσάς ή μία από εσάς να μου πει γεωμετρικά τι ακριβώς κάνουμε. Να πάρουμε δηλαδή μια τέτοια συνάντηση και να βρούμε τα μέγιστα και ελάχιστα όταν τα Χ και τα ψ είναι περιορισμένα μέσα σε αυτό το χώρο. Αυτή πρέπει να τους χάρη τι εκφράζει και τι ακριβώς έχουμε προσθέσει στον έρευνα και τα μέγιστα και ελάχιστα με το να περιορίσουμε το χώρο στον οποίο μας ενδιαφέρει μέσα σε αυτό το κουτί. Ακούω. Βοηθήστε με να μου πείτε γεωμετρικά τι ακριβώς κάνουμε. Για πες το. Φυσικά είναι σαν να περιορίσουμε την καμπύλη στον χώρο. Καταρχήν δεν είναι καμπύλη είναι επιφάνεια έτσι. Έχουμε λοιπόν στο χώρο μια επιφάνεια. Όποια είναι αυτή ξέρω εγώ έβαλα σε μια τυχαία. Να βρούμε τις τομέες επιφάνειας με το καινόγεωχτο επίπεδο εδώ το χυψί. Εδώ λοιπόν αυτό εδώ πέρα αυτό εδώ πέρα μπορώ εγώ να το σηκώσω απάνω στο Ζ δηλαδή να το σηκώσω έτσι. Να σηκώσω αυτές τις ακμές και αυτό εδώ πέρα είναι ένα τετράγουνο κουτί το οποίο φανταστείτε ότι το σηκώνω απάνω και κόβει από όλο αυτό το επίπεδο μου κόβει αυτό το κομμάτι δηλαδή αν αυτό το επίπεδο έκανε και τέτοια πράγματα εδώ πέρα ας πούμε ήτανε το επίπεδο αυτό είχε έξω από αυτό το κουτί είχε μέγιστα ελάχιστα και τα λοιπά αυτά δεν με ενδιαφέρον. Με ενδιαφέρον τα μέγιστα και ελάχιστα αν έχει μέσα σε αυτό το κουτί και τι πρόσθεσε το κουτί πρόσθεσε και κάτι ενδιαφέρον. Εκεί που κόβει το κουτί την επιφάνεια μπορεί να παρουσιαστούν καινούργια μέγιστα και ελάχιστα που αν το αφαιρέσω δεν υπήρχαν. Το βλέπετε. Ή με αυτούς ή εδώ πέρα δεν χρειάζονται οι πρόσθεσσες λατσλάνς γιατί είναι πάρα πολύ απλή η σχέση των πλευρών. Οπότε για δουλέψτε αυτή την άσκηση να μου πείτε αυτό που θέλω να σας κατευθύνω είναι ότι πρέπει να βρείτε γενικά τα μέγιστα και ελάχιστα αυτής της συνάντησης χωρίς να υπήρχαν περιορισμοί και να ρωτήστε αν έχει που μπορεί να μην είχε αν υπάρχει κανένα που πέφτει μέσα στο κουτί. Δηλαδή το πρώτο που με ενδιαφέρει είναι αν αυτή η επιφάνεια δημιουργεί μέγιστο ή ελάχιστο μέσα στο κουτί. Μπορεί να έχει έξω αλλά αυτά δεν με ενδιαφέρουν. Φανταστείτε μια επιφάνεια στο χώρο η οποία να έρχεται από μακριά να κάνει ένα μέγιστο εδώ πέρα και μετά να κάνει κάτι τέτοιο. Και να ζητάω να την κόψω με αυτό το κουτί που σας έγραφα προηγουμένως. Αυτό το κουτί που έχει τις διαιράσεις αυτό που μας έλεπε η Ελπίνε Λόπι. Άρα λοιπόν κόβοντάς τη ξαφνικά αυτή που δεν είχε εδώ πέρα τίποτα δημιούργησε ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο. Δηλαδή αυτός ο περιορισμός σε μια επιφάνεια αν είχα φτιάξει έναν κύλινδρο είναι σαν να κόβω μια γενικότητα στην επιφάνεια να την κόβω με τον κύλινδρο. Αυτό πως θα το ψάξω αυτό. Αυτό είναι το πρόβλημά μας σήμερα. Δηλαδή θέλω να μάθω θέλω να φτιάξω μια διαδικασία ή δύο διαδικασίες ή περισσότερες. Πως θα ψάξω στο εσωτερικό του χώρου που με ενδιαφέρει αυτού του τετραγών, αυτού του σχήματος εδώ πέρα. Πως θα ψάξω στο εσωτερικό του αλλά πως θα ψάξω όπως είπε ο συνάδελφός σας και στις άκρες αυτού εδώ πέρα. Δηλαδή πρέπει να βρω ένα μηχανισμό και αυτός αλλού να ανακαλύψετε τώρα πως θα ψάξω όχι μόνο στο εσωτερικό του αλλά και στην περίμετρο. Πως θα το κάνω αυτό. Αυτό άμα το ξέρουμε εμείς ξεκαθαρίσαμε πως λέγεται αυτή η ανάλυση που σας λέω. Είναι μέγιστα και ελάχιστα στα οποία ουσιαστικά είναι περιορισμένος ο χώρος μέσα στον οποίο θέλω να ψάξω τα μέγιστα και ελάχιστα. Λοιπόν αν το έχετε κάνει όποιος το έχει κάνει αυτό να μας πει πρώτον πως θα ψάξω για το εσωτερικό και μετά πως θα ψάξω για την περίμετρο. Αυτά θέλω να μου πείτε. Λοιπόν αυτή είναι η συναρτησία μας όπως είπαμε και ψάχνουμε πρώτα να βρούμε αν αυτή έχει μέγιστα και ελάχιστα και αν αυτά τα μέγιστα και ελάχιστα πέφτουν μέσα στο χώρο μας για να δούμε αν μας ενδιαφέρουν ή δεν μας ενδιαφέρουν. Ωραία το πρώτο ελότιμα λοιπόν που θα κάνουμε είναι αυτό θα αγνοήσουμε τον περιορισμό και θα ψάξουμε γενικά για αυτήν για μέγιστα και ελάχιστα για ακρότατα και θα δούμε αν είναι μέσα στο χώρο που μας ενδιαφέρουν. Αν δεν είναι θα πούμε αυτό τελείωσε αυτό το ψάξιμο και μετά θα μπούμε σε ένα δεύτερο ψάξιμο που θα το ξηγήσουμε ποιο θα είναι. Βρήκες λοιπόν ένα σημείο το ποιο είναι ένα, ωραία αυτό το σημείο το 1-1 το 1-1 είναι μάλλον ένα σημείο εδώ πέρα στο οποίο έχουμε ένα πρώτο σημείο το οποίο μπορείς να υπολογίσεις τι είναι αν είναι τι είδους σημείο είναι μέγιστο ελάχιστο προς το παρόν είναι σαγματικό το σημείο. Άρα λοιπόν έχουμε ένα σαγματικό σημείο στο κέντρο ωραία το βρήκαμε τώρα πως θα πάμε για την περιφέρεια της περιφέρειας πέστε μου λοιπόν την ιδέα και μετά να την υλοποιήσουμε. Άρα τα αρχίζουμε όλα το 1 είναι να ψάξουμε χ ίσον με 0 ψ ίσον με 0 ψ ίσον 2 και χ ίσον 3 θα δούμε τι γίνεται στις πλευρές. Ωραία κάντε το και αυτό δηλαδή βάλετε αυτή η απλοποιητή πάρα πολύ συνάντηση με το να τις βάλουμε όλα αυτές τις περιορισμούς και να ψάξουμε την καινούργια συνάντηση που θα είναι μια συνάντηση μιας μεταβλητής δηλαδή μας πάει στο περασμένο εξάμινο και μέσα σε αυτό θα απολογίσουμε τι άλλο συμβαίνει για αυτές εδώ τις πλευρές εκτός από τον σαγματικό σημείο το οποίο το βρήκαμε ήδη που είναι μέσα στο κουτί. Λοιπόν ακούω ποιοι έχουν τελειώσει τι γίνεται στην περίμετρο αυτό του κουτιού τι έχετε βρει αν έχετε βρει άλλα σημεία και σε ποιο σημείο έχει το απόλυτο μέγεστο ή απόλυτο ελάχιστο ή αν υπάρχει τέτοιο πράγμα για την περιφέρεια. Βρήκα το μηδέν μηδέν και το δύο κομμα δύο. Ναι μερικά δεν μου χαλάει την δεύτερη την παραγωγή γιατί είναι μηδέν. Ναι καλά αλλά γενικά τι βρήκες αυτά τα σημεία και στο δύο ελάχιστα το μηδέν πράγματι το μηδέν δύο δεν το βρήκε κανένας δεν υπάρχει και ένα μηδέν δύο έχουμε και το σημείο το δύο δύο και υπάρχει και ένα σημείο που λέει ότι είναι το μηδέν δύο το οποίο μας δίνει αν κάνουμε και αντικατάσταση σε όλες αυτές τις τιμές που βρήκαμε σαν άκρες τιμές βρίσκουμε ότι στην αντικατάσταση οι τιμές της συναρτήσεις είναι και αυτός ένας τρόπος να δείτε τι κάνουν οι συναρτήσεις. Στις τιμές της συναρτήσεις βγαίνει και το μηδέν δύο τέσσερα έτσι και το μηδέν μηδέν βγαίνει μηδέν. Άρα λοιπόν μπορούμε να δούμε ότι αν αυτές είναι οι τιμές το δύο δύο δεν το βλέπω εγώ να είναι λύση εδώ πέρα το βρήκε κανένας άλλος. Το δύο δύο και εγώ το βρήκα. Το οποίο τι βγαίνει να είναι. Στην πιζαβερά ψήσον δύο. Σε αυτήν εδώ δηλαδή. Βρήκε το δύο δύο. Το δύο δύο που είναι είναι εδώ δηλαδή. Το χ είναι δύο που είναι εδώ και το ψ είναι δύο. Είναι αυτό το σημείο δηλαδή. Είναι στην κορυφή αυτή εδώ έτσι δεν είναι. Και τι δίνει η συνάρτηση σε αυτό το σημείο. Εάν το δώσουμε είναι δύο γίνεται τέσσερα. Γίνεται μειον τέσσερα. Συν τέσσερα. Όχι αυτό είναι οχτώ. Ναι δίνει μειον οχτώ. Οπότε έχουμε μηδέν. Άρα η τιμή αυτή υπάρχει. Υπάρχει αυτό το σημείο αλλά όταν μισθήσουμε όλα θα το βάλουμε και αυτό. Αν από όλα αυτά ζητήσουμε το απόλυτο μέγιστο και το απόλυτο ελάχιστο δεν θα μπει σε αυτό γιατί νομίζω το μηδέν δύο μας δίνει τέσσερα. Καταλάβατε οπότε το δύο δύο θα το κρατήσουμε μέσα αλλά δεν θα είναι το απόλυτο μέγιστο και το απόλυτο ελάχιστο θα πάρουμε το ελάχιστο και το μέγιστο που είναι τα πιο μεγάλα και πιο μικρό από όλα. Συμφωνείτε? Ένα ενδιαφέρον πράγμα, αν έχετε ευκαιρία και θέλετε να παίξετε λίγο περισσότερο με αυτή την ανάλυση, πηγαίνετε στο σπίτι και ζητήστε στη μαθημάτικα να σας το ζωγραφίσει αυτό το κουτί. Δηλαδή δώστε όρια στο plot σε τρεις διαστάσεις, βάλτε το x και το ψ να είναι δεσμευμένο με αυτές τις τιμές και κοιτάξτε την επιφάνεια πως είναι. Είναι ωραία να τη ζωγραφίσετε και να τη δείτε και σε τρεις διαστάσεις να δείτε πραγματικά ότι αυτά που τα λελούνα που βγάλατε συμφωνούν με αυτό που έχετε βγάλει. Να το δείτε το σαγματικό σημείο, να δείτε τις άκρες, εντάξει. Για να βρούμε τα ακρότητα στις άκρες πήραμε αυτή τη συνάντηση, αν βάλουμε το x ίσον με 0 αυτή θα μας δώσει ένα 2 ψ. Έτσι, οπότε έχουμε λοιπόν σε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις, πάρουμε τη συνάντηση αυτή και βάζουμε το x ίσον με το 0 και το ψ ελεύθερο. Μας δίνει λοιπόν μια συνάντηση 2 ψ. Στην περίοδο που είμαστε στο x ίσον με 0, ποιο είναι το x ίσον με 0, το x ίσον με 0 είναι αυτή εδώ η καμπύλη. Άρα τι κάνει το 2 ψ, είναι μια συγκεκριμένη γραμμή απάνω σε αυτό το επίπεδο. Δεν ανάγκει όλα, όταν έχετε ένα γεωμετρικό σχήμα, δεν ανάγκει όλα να βγαίνουν με τις παραγώγους, πρέπει να καταλάβετε τι έχουμε κάνει εδώ πέρα. Στην περίπτωση που βάλεις x ίσον 3 βγάζεις μια καινούργια συνάντηση. Κοιτάζεις αυτή η συνάντηση που είναι μια καμπύλη, πώς συμπεριφέρεται. Παραδείγματος χάρη για το ψ ίσον με 0, φτιάχνουμε μια συνάντηση η οποία είναι το x τετράγωνο, η οποία περιορίζεται στο x από 0 μέχρι 3. Έχω λοιπόν μια συνάντηση f του x για το ψ ίσον με 0, έχω μια συνάντηση στο x η οποία είναι x τετράγωνο και το x όμως είναι δεσμευμένο μεταξύ του 0 και του 3. Άρα καταλαβαίνετε τι κάνει αυτή η συνάντηση. Πάει δηλαδή και φτιάχνει ένα μέγιστο όταν πάει με το x με το 3, στο 3 έχει μια μεγάλη τιμή που είναι το 9. Καταλαβαίνετε. Άρα δεν βγαίνει μέσα από το διακρίνουσα και όταν έχεις ένα γεωμετρικό σχήμα. Δηλαδή εγώ όταν σου δώσω μια γραμμή, σου δώσω αυτό εδώ πέρα το σχήμα που πάει από το πλυν άπειρο στο ώψιν άπειρο στις συναντήσεις που είχατε στην πρώτη και σου περιορίσω εδώ ενώ αυτό δεν έχει μέγιστα και λάχιστα είναι μια γραμμή που πάει από το μειον άπειρο από το συν άπειρο στο μειον άπειρο έχω μια τέτοια γραμμή και σου λέω έχει αυτή μέγιστα και λάχιστα και μου λες όχι δεν έχει. Αν σου πω όμως για να μελέτησαι τι μέσα σε αυτό εδώ το περιεχόμενο θα μου πεις φυσικά έχει ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο χωρίς παραγόγους και δουλειές. Με καταλάβατε. Δηλαδή υπάρχει μια ανάλυση η οποία είναι από κοινός νους δεν χρειάζεται να κάνω διερεύνηση με παραγόγους όπου μπορείτε να αποφύγετε γιατί είναι ολοφάνερο όπως πραγματικά αν σας δώσω δύο επιφάνειες ή μία επιφάνεια και ένα σημείο και σας πω βρέστε την ελαχίστη απόσταση ουσιαστικά αυτό το πράγμα καταλαβαίνετε ότι έχω μία επιφάνεια και ένα σημείο δεν χρειάζεται να πάτε στις δεύτερες παραγόγους. Πρέπει δηλαδή τη δεύτερη παράγωγω αν υπάρχει λόγος είναι μια συνάσταση που δεν σου λέει τίποτα γεωμετρικά και δεν μπορείς να αποφασίσεις με κανέναν άλλο τρόπο για να πας στη δεύτερη βρήκεις τα ακρότατα και θες να δεις αν είναι μέγιστα ή ελάχιστα. Αυτό μπορείς να το δεις και με την φαντασία σου και είναι δεκτή απάντηση αυτή να πεις ότι εγώ το σχήμα είναι κάπως έτσι δηλαδή νομίζω στο περασμένο μάθημα κάναμε ένα παράδειγμα. Πήραμε μια επιφάνεια η οποία και εσείς το είδατε ότι ήταν ένα παραβολοϊδές χέτσι. Εγώ από τη στιγμή που κατάλαβα ότι είναι αυτό έχω ουσιαστικά καταλάβει τι θα ψάξω και τι θα βρω. Θα βρω πραγματικά ένα ελάχιστο, θα βρω δηλαδή αυτό το ακρότητο στο παραβολοϊδές και δεν χρειάζεται να κάνω τίποτα άλλο χωρίς δεύτερες παραγώγους και διακρίνουσες αυτό είναι πραγματικά η ελάχιστη απόσταση από το επίπεδο χωμικρον ψ. Αν λοιπόν μου ζητούσε σε αυτή την επιφάνεια να βρω την ελάχιστη απόσταση από το επίπεδο χωμικρον ψ, έχει μια διερεύνηση μαθηματική την περίπτωση του άλλου μάθημα αλλά δεν χρειάζεται να πας στις παραγώγους δεύτερης τάξης και να ψάξεις γιατί διακρίνουσα και όλα αυτά διότι το σχήμα το έχεις καταλάβει ποιο είναι και είναι αυτό εδώ το οποίο δεν έχει τίποτα άλλο παρά αυτήν εδώ τη δομή. Τώρα εάν εγώ έβαζα ένα περιορισμό για να συνδέσω με το σημερινό μας μάθημα, έβαζα ένα δεσμό και έλεγα να βρείτε τα μέγιστα και ελάχιστα αυτής της συνάρτησης στον κύκλο ο οποίος έχει κέντρο αυτό το σημείο και ακτίνα 1, ουσιαστικά σας έβαζα στη διαδικασία να βρείτε κάτι καινούριο διότι αυτό εδώ πέρα θα δημιουργήσει μια καινούργια τομή εδώ σε αυτό το πράγμα δηλαδή αυτός ο κύλιντρος θα ανέβει επάνω θα δημιουργήσει μια καινούργια τομή και αυτόματα αυτό το πρόβλημα έχει αλλάξει διότι στο προηγούμενο είχα μόνο ένα ακρότατο τώρα έχω και ένα δεύτερο ακρότατο το οποίο εμφανίζεται μόνο στην περιφέρεια του κύκλου και είναι αυτά εδώ. Τα σημεία τα οποία είναι τα μεγίστα μια απλή επιφάνεια που παρουσιάζει ένα ελάχιστο εγώ όμως δεν θέλω να μελετήσω αυτό θέλω να μελετήσω να προσθέσω σε αυτή την πόση πώς είπαμε όταν τη μελετήσουμε αυτή την επιφάνεια είχαμε πει στο περασμένο μάθημα ότι Ζ είναι η απόσταση αυτή και ψάξαμε να βρούμε το Ζ τετράγωνο με τον περιορισμό που μας έδινε η επιφάνεια αυτή εδώ η οποία ήταν η συγκεκριμένη. Άρα λοιπόν το δεύτερο που ήθελα εγώ να σας πω τώρα είναι τι θα γίνει εάν σε αυτή τη μελέτη που είχαμε κάνει προηγουμένως θέλω να περιορίσω και να βάλω ότι θέλω τα σημεία που με ενδιαφέρουν να είναι σε αυτόν εδώ τον κυκλικό δίσκο. Και είχαμε πει ότι όταν έχουμε κυκλικούς δίσκους παίρνουμε να βρούμε τα μέγιστα και λάχιστα αυτής της επιφάνειας αλλά η περιφέρεια του κυκλικού δίσκου που εδώ ήταν χ-α στο τετράγωνο συν ψ-β στο τετράγωνο ίσον ας το πούμε 4 γιατί αυτός ο δίσκος τα α και β είναι τα σημεία το έχω καθορίσει εγώ να είναι τα σημεία που είναι τα ελάχιστο αυτής της επιφάνειας και βάζω εδώ σαν περί σαν δεσμό θέλω να βρω λοιπόν αυτή την επιφάνεια τα μέγιστα και λάχιστα με δεσμό ποιον το χ-α στο τετράγωνο συν ψ-β στο τετράγωνο μοιον 4 και ψάχω και τα μέγιστα και λάχιστα μιας καινούργιας συνάρτησης που έχει μέσα και το l. Άρα το να βρω μέσα σε αυτό το κυκλικό δίσκο και στην περιφέρειά του τα μέγιστα και λάχιστα πρόσθεσα την περιφέρεια αυτού του κύκλου που είναι αυτό εδώ την πρόσθεσα μέσα στους δεσμούς της συνάρτησης αυτής οπότε ψάχω για αυτήν εδώ τη συνάρτηση να βρω τα μέγιστα και λάχιστα. Να υπολογιστεί, να υπολογιστούν οι άκρες τιμές μιας συνάρτησης που είναι η χ τετράγωνο συν ψ, αυτή είναι η συνάρτησή μου f του χ ψ, όταν τα χ και τα ψ είναι περιορισμένα τα ψάχουμε απάνω σε αυτήν την περιφέρεια του κύκλου. Ψάχω λοιπόν τα μέγιστα και λάχιστα αυτής της συνάρτησης με τον περιορισμό ότι τα χ και τα ψ να ακολουθούν να βρίσκονται σε αυτήν την περιφέρεια. Καταρχήν θα ήθελα και να το λύσετε αλλά επειδή είναι πολύ απλή η σχέση να μου πείτε και τι γίνεται, τι είναι αυτό, γραφικά πώς είναι αυτό το πρόβλημα. Δηλαδή δύο πράγματα να μου κάνετε τώρα και να μου βρείτε την απάντηση αναλυτικά έτσι όπως το κάνουμε αλλά να μου πείτε και γεωμετρικά για ποιο σχήμα μιλάμε. Φαντάζομαι ότι όλοι δουλεύετε με τον τρόπο που έχουμε το χ, ψ, λ και έχουμε βάλει τη χ τετράγωνο συμ ψ συ λ του χ τετράγωνο συμ ψ τετράγωνο μίον 1. Αυτή είναι η συνάντησή μας ενδιαφέρει. Έχετε πάρει τις παραγώγους ως προς χ, ως προς ψ και ως προς λ και έχετε προσδιορίσει τις τιμές. Αυτή είναι η συνάντηση μας ενδιαφέρει. Βρήκες ότι είναι αυτά τα δύο το σημείο βρήκες το ψήσον εν δεύτερο το ψήσον 1 είναι για το χ ψ μη 0 τώρα αυτά τα σημεία πως θα τα αξιολογήσεις ποιά είναι πως είναι τα σημεία που έχεις γράψει αυτά όλα τα σημεία που έχουν βρει να τα αξιολογήσεις. Βλέπω δύο όπου βγάζει το ένα στην συνάντηση μία και το άλλο ένα είναι στην περιφέρεια του κύκλου είναι στη μία κτήνα και στην άλλη κτήνα αυτό θα μπορεί να θεωρθεί ως ελάχιστο και αυτό ως μείστο. Τα άλλα σημεία? Τα άλλα που είναι σηκωμένα δεύτερα. Ποιος είναι ο άλλος τρόπος. Αυτό το έχετε καταλάβει τι έκανε εδώ πέρα δηλαδή πήρε τους παραγώγους εδώ έφτιαξε αυτή τη σχέση αυτή η σχέση μας δίνει δύο φορές δεν το μηδέν μία είναι το l ίσον μη 1 και το άλλο είναι το χ ίσον μη μη 0 τα κρατάμε αυτά. Πηγαίνουμε σε αυτήν η οποία δίνει το 2l οπότε την έχουμε αυτήν την ψ και πρέπει να βρούμε σημεία και από αυτήν την περίπτωση και από αυτήν την περίπτωση χωριστά δηλαδή αν το l ίσον μη 1 θα μας δώσει το ψ και το χ ποιο θα είναι αν το χ ίσον μη μη 0 θα μας δώσει τις άλλες λύσεις. Αυτές οι λύσεις είναι αυτές εδώ όλες και τις οποίες πρέπει εμείς ουσιαστικά να τις δοκιμάσουμε σε αυτή τη συνάντηση σε αυτό το ζ να δούμε ποια είναι τα μεγίστα και ποια είναι τα ελάχιστα. Το 1 είναι μη 1 και το χ μη 0 ταυτόμαστε. Όχι ναι αλλά δεν νομίζω ότι θα δώσει τίποτα τίποτα καινούριο δηλαδή τι θα δώσει θα δώσει άλλες τιμές. Δεν δίνει άλλες τιμές. Δεν νομίζω ότι θα μας βοηθήσει τίποτα. Ναι αλλά αυτό θα είναι μια ειδική περίπτωση την οποία δεν ξέρω αν θα βγάλει αυτό που είπα να σου λέω. Άννα βάλεις ταυτόχρονα το λ1 και το χ ίσον μη μη 0 εάν το ψ θα αλλάξει τιμή δεν θα αλλάξει τίποτα. Όχι απλά το ψ θα βγάζει διαφορετικές τιμές στιγμές. Για μια στιγμή αν βάλω εγώ το χ ίσον μη μη 0 εδώ το ψ δεν εμπλέκεται έτσι το ψ έχει βρεθεί από αυτήν εδώ τη σχέση. Οπότε και το λ το βάλω μη 1 θα μου δώσει πάλι αυτές τις τιμές του ψιβου βρήκα. Δεν νομίζω θα αλλάξει τίποτα στα αποτελέσματα αυτό εμπιστεύω. Ωραία δεν αλλάζει τίποτα αυτό μας ενδιαφέρει εντάξει οπότε δεν έχουμε τίποτα. Ναι σαν ξεχωριστές οι οποίες αν πάω και κοιτάξω και τα δύο να είναι μη 0 δεν θα αλλάξει τίποτα. Μπορούμε να ελευθήσουμε τις λύσεις ως 30 τελικών και μετά τις βάλουμε στη Λακρατζιανή. Μπορούμε να πούμε ότι όπου θα έχει η Λακρατζιανή μέγιστο ή ελάχιστο αντίστοιχα θα έχουμε και στις άλλες συναρτήσεις. Ψάχνουμε για το μέγιστο και ελάχιστο όχι της Λακρατζιανής αυτής εδώ της συναρτήσεις. Άρα αυτή πρέπει να διερευνήσουμε στο τέλος. Αν είναι Λακρατζιανή λόγω ότι αυτή τη συναρτή φαντάζομαι. Ναι όπως αν πάρουμε λ-1 τότε όταν πάμε στη δεύτερη σχέση Fψ, μία από τις δύο τιμές που έχουμε πάνω ως προστοχή κ.ψ δεν θα είναι ελεκτή. Και αν λ-1 το πάρουμε λ-1 θα φύγει. Θα βγάλουμε μία συναρτήση η οποία θα έχει Ψ-Τ, λ-Ψ-Τ, μ-1 είναι αυτό, μ-Ψ-Τ, Σ-Ψ και εδώ θα έχει μ-Λ το οποίο με το μ-1 θα δώσει Σ-Ε. Έχουμε λοιπόν αυτήν εδώ τη συναρτήση για το x ψ και το λ-1. Ωραία. Τι θέλετε να πείτε τώρα. Ήθελα να πω το τι. Κάτω πως έχουμε, δεν χρειάζομαι να γνωρίζω κάτι, όμως έχουμε την έφυση κάτω. Κάτω που εννοείτε, που εννοείτε. Και εκεί παραβάχουμε τις θέσεις παραγωγούς. Ναι, ναι, ναι. Παίρνουμε λ-1. Ωραία. Σε από πάνω ακριβώς. Άρα η μία από τις δύο τιμές του ψ που ορίσαμε δίπλα δεν είναι δεκτή. Δεν σε καταλαβαίνω, συγγνώμη. Είπαμε, είπαμε λ-1. Από αυτήν το λ-1, αυτό παίρνω, ξεκινάμε από αυτό. Παρακάτω. Πήραμε κάποιες λύσεις. Από τη δεύτερη. Πήραμε αυτήν. Και με το λ-1 αυτό γίνεται ψ-1. Ναι, βγάζουμε κάποιες σχέσεις. Ωραία. Αλλά πάμε μετά το δύσκολο του ψ στο μπιδέ, τότε οι σχέσεις στις διάλδα λ-1 θα είναι διαφορετικές. Θα το δούμε μαζί στο διάλειμμα. Λοιπόν, είπατε ότι ακολουθήσατε μία άλλη μέθοδο, μία άλλο τρόπο. Ποιος ήτανε? Επειδή το χ τετράγωνο είναι εύκολο, έλειψα στο χ τετράγωνο και το αντιμετώπισα στην άρση. Και δούλεψα όπως εκείνο. Α, μάλιστα. Ωραία. Έχουμε λοιπόν την fx, ψ. Πήρε το χ τετράγωνο στις ψ. Και επειδή ο δεσμός είναι βολικός, θεώρησε ότι το χ τετράγωνο είναι ίσον 1 μίον ψ τετράγωνο. Οπότε έκανες αντικατάσταση εκεί και βρήκες μία συνάντηση f του ψ, ψ του ψ. Η οποία ήτανε 1 μίον ψ τετράγωνο, συν ψ. Αυτή που είχα γράψει κι εγώ εκεί πέρα. Λοιπόν, βρήκες από εδώ τα μέγιστα και λάχιστα του ψ και μετά γύρισες σε αυτήν για να βρεις το χ. Ναι, βρήκα πρώτα τη ίσια τετράγωνο. Ωραία, βρήκες τα ίδια νούμερα. Ναι, ναι. Είναι χαρά. Νομίζω και οι δύο προσπάθειες, εάν μπορούμε να λύσουμε, σας το έχω πει, και να αντικαταστήσουμε εύκολα από το δεσμό στην αρχική εξίσωση, αυτό θα είναι το καλύτερο που θα κάνουμε και νομίζω ότι καλά το κάνετε και το κάνετε έτσι. Είναι καλά και τα έχουμε και τα δύο εδώ πέρα. Το σχήμα είναι το εξής. Αυτές οι επιφάνειες, έχουμε ένα κύκλο εδώ. Και αν ζωγραφίσετε αυτές τις επιφάνειες, όπως τις έχει εδώ στο σχήμα, είναι επιφάνειες οι οποίες έχουν τομες, να κάνω τις ίδιες, εάν δώσετε διάφορες τιμές, είναι κάτι τέτοιες επιφάνειες στον χώρο. Αυτό φανταστείτε, αυτό είναι η τομή του στο επίπεδο. Φανταστείτε και αυτό πάει στον χώρο. Και είναι αυτές εδώ επιφάνειες οι οποίες έχουν τομες. Με διάφορες τιμές, για διάφορες τιμές, αυτές εδώ πέρα οι επιφάνειες, επειδή έχουν το Z, αυτοί είναι επιφάνειες που έχουν Z, ίσον X τετράγωνο συν Ψ. Οπότε έχουμε αυτές εδώ τις επιφάνειες που δημιουργούνται στο χώρο, αυτές φανταστείτε τους να ανεβαίνουν στο Z. Έχουμε λοιπόν αυτήν εδώ, και έχουμε και αυτήν εδώ, και έχουμε και αυτήν εδώ. Οπότε αυτές θα παρουσίαζαν όλες μία συγκεκριμένη με ένα συγκεκριμένο μέγιστο ή ελάχιστο, και τώρα που το κόψαμε έχουμε και τα καινούργια τα οποία μπήκαν λόγω της τομής. Αν θέλετε λάτε στο διάλειμμα να το δείτε εδώ πέρα, αν δεν το βουζογραφείς καλά. Εντάξει, λοιπόν να κάνουμε ένα μικρό διάλειμμα και να επανέλθουμε. Θέλω να μου πείτε πώς θα στήσουμε μία άσκηση που έχει την εξής εκφώνηση. Να βρεθούν τα σημεία στη σφαίρα τα οποία είναι σε κοντινότεροι και στην επίπληση έστερα και τα πιο απομακρυσμένα από το σημείο 3-1-1. Μας δίνει λοιπόν μία σφαίρα στο χώρο και μας ζητάει από ένα συγκεκριμένο σημείο π, το οποίο έχει στεταγμένες 3-1-1-1. Θέλω να βρούμε το κοντινότερο και το πιο απομακρυσμένο από αυτή τη σφαίρα. Αυτό είναι το πρόβλημά μας. Δεν θέλω να το λύσετε, θέλω να μου πείτε, να σηκώσετε χέρι να μου πείτε πώς θα το ξεκινήσουμε, πώς θα το γράψουμε να το κάνουμε αναλυτικά και να μου πείτε και γεωμετρικά ποιο είναι το πρόβλημά μας. Λοιπόν, ακούω προτάσεις για το πώς θα το ξεκινήσουμε, από πού θα ξεκινήσουμε να ψάξουμε αυτή τη λύση. Πες μας. Αρχικά γιατί όσοι θέλουμε μέχρι και λάχιστη απόσταση θα χρειαστούμε ένα τύπο απόστασης. Οπότε θα πω ότι το τετράγωνο είναι χ-3 στο τετράγωνο. 3 στο τετράγωνο. Συν ψ-1 στο τετράγωνο. Συν ζ-1 στο τετράγωνο. Συν ζ-1 και όλος στο τετράγωνο. Αυτή είναι η απόσταση στο τετράγωνο. Το γεωμετρικό τόπο που τον ορίσουμε όσοι έχει μικρό χ-ψ-ζ είναι ίσο με χ-τετράγωνο σύν ψ-τετράγωνο σύν ζ-τετράγωνο μειών 4 ίσου 0. Και ο δεσμός είναι αυτός εδώ. Οπότε θα γράψουμε το χ-3 και όλος το τετράγωνο σύν ψ-1 και όλος το τετράγωνο σύν ζ-1 και όλος το τετράγωνο με το δεσμό που θα είναι το χ-τετράγωνο σύν ψ-τετράγωνο σύν ζ-τετράγωνο μειών 1. Αυτό πηγαίνετε το μέχρι τέλους και τηλεφωνηθείτε μεταξύ σας να δείτε αν θα βρείτε την ίδια απόσταση. Χωριστά ο καθένας το κάνει ή κανονίζεται ότι ένας φωνάζει και παίρνει μια πίτσα και μαζεύεστε όλοι και την πληρώνει αυτός που δεν βρήκε το σωστό αποτέλεσμα. Λοιπόν το δεύτερο ερώτημα αυτό γεωμετρικά καταλαβαίνετε ποιο είναι έχουμε μια σφαίρα έχουμε ένα σημείο στο χώρο έχουμε μια σφαίρα η οποία είναι αυτή εδώ και έχουμε και κάποιο σημείο εκεί πέρα και βασικά ψάχνουμε αυτό το σημείο το κοντινότερο και το μακρύτερο από αυτά τα δύο. Οπότε και γεωμετρικά αν θέλετε να ελέγξετε το αποτέλεσμά σας θα πρέπει να μπορείτε και γεωμετρικά να βρείτε αυτές τις αποστάσεις. Έτσι και τελείωσε το πρόβλημα αυτό. Δεν θα επιμείνω περισσότερο είναι ένα σύστημα τριών εξισώσεων και τέσσερις εξισώσεων με τέσσερους αγνώστους. Δεύτερο ερώτημα μόνο να το θέσουμε και να μην το λύσουμε και αυτό. Να βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης. Προσέξτε σας λέει να βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει τρόπος καταλαβαίνετε τι ρωτάει. Να μην πάτε και απαντήσετε μια πολύ γενικότερη απάντηση από αυτή που σας ρωτάει γιατί θα χάσετε χρόνο χωρίς λόγο. Ζωητάει λοιπόν να βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης αυτής εδώ. Όταν σας λέει τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης ψάχνετε τα ακρότατα και τα βάζετε μέσα στη συνάρτηση να βρείτε πότε γίνεται μέγιστη. Καταλαβαίνετε δεν ψάχνουμε και για άλλα πράγματα μην ψάξετε δηλαδή διακρίνουσας και σου είπα δεν θα σε ενδιαφέρονται. Δεν τη ρώτησε αυτό. Λοιπόν η ερώτηση είναι εξής. Να βρείτε λοιπόν τα μέγιστα αυτής της συνάρτησης όταν τα x, y και z βρίσκονται απάνω στην τομή ενός επιπέδου και ενός κυλίνδρου. Για να σας δώξω ποιο είναι το πρόβλημά μας. Μας λέει λοιπόν ότι βρέστε τη μέγιστη τιμή αυτής εδώ της συνάρτησης η οποία είναι η x συν 2ψ συν 3z όταν τα x, ψ και ζ είναι υποχρεωμένα να βρίσκονται στην τομή του επιπέδου χ-ψ συν z ίσον 1 και το χ τετράγωνον συν ψ τετράγωνο ίσον 1. Προσέξτε έχουμε να θέλουμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή, τη μέγιστη τιμή μάλλον, find the maximum, τη μέγιστη τιμή αυτής της συνάρτησης όταν τα x και ψ και ζ δεν είναι τελείως ελεύθερα αλλά κινούνται απάνω στην τομή αυτών των δύο. Αυτός είναι ένας κύλινδρος και τον τέμνη μία συγκεκριμένη, ένα συγκεκριμένο επίπεδο είναι το μή. Άρα η τομή αυτών των δύο δημιουργεί μια καμπύλη. Απάνω σε αυτή την καμπύλη θέλουμε να βρούμε ποιο είναι η τιμή η μεγίστη αυτής της συνάρτησης. Πώς θα το θέσουμε το πρόβλημα. Η λύση θα είναι κάτι το οποίο και αυτό θα το κάνετε στο σπίτι. Πώς θα το θέσουμε. Πες μας όχι. Αυτή λοιπόν είναι η συνάρτησή μας. Εντάξει από εδώ και πέρα τα υπόλοιπα είναι πράξεις και θα βρείτε μόνο τα ακρότατα και απάνω σε αυτά τα ακρότατα θα αντικαταστείστε να βρείτε το μέγιστο αυτής της συνάρτησης. Και τελειώσατε αυτό είναι όλο. Θέλουμε το μέγιστο αυτής της συνάρτησης, το maximum λοιπόν. Θέλουμε το μέγιστο αυτής της συνάρτησης όταν τα x, ψ και ζ βρίσκονται στην τομή αυτών των δύο επιφανιών. Για σας μόνο θα ήθελα να δοκιμάσετε και να βάλετε έτσι κάποια προβλήματα να δούμε αν ξέρετε μεθοδολογικά να βρίσετε και ένα άλλο πρόβλημα. Έχω μια σφαίρα και την τέμνω με ένα επίπεδο. Δημιουργεί μια καμπύλη στο χώρο. Μπορείτε να φανταστείτε μια σφαίρα που την τέμνει ένα επίπεδο με κλείσει το επίπεδο. Δημιουργείται μια καμπύλη στο χώρο από την τομή τους. Αυτή η καμπύλη θέλω να ψάξουμε αν έχει μέγιστα και λάχιστα. Εδώ τι θα κάνουμε. Μέγιστα και λάχιστα από τι όμως. Μέγιστη και λάχιστη απόσταση ας πούμε από το επίπεδο χιόμικρον ψ. Έχω λοιπόν μια σφαίρα που έχει κέντρο το κέντρο του 0,0,0. Έχω ένα επίπεδο το οποίο τέμνει αυτό το οποίο είναι το επίπεδο αυτό θα έχει τη μέση ΑΧΚΒΣΓΔ. Και αυτό το ξέρουμε και θέλουμε τώρα να βρούμε τη μέγιστη και λάχιστη απόσταση από το επίπεδο χι ψ. Τι θα κάνουμε σε αυτή την περίπτωση. Το έχουμε πει. Αυτό το είπαμε επανάληψη. Έχουμε λοιπόν δύο επιφάνειες που τέμνουν. Είναι αντίστοιχο παράδειγμα αλλά εδώ μας έλεγε ποια συνάντηση θέλει να βρούμε το μέγιστο. Εγώ σε αυτό που θα σας λέω είναι να το φανταστείτε είναι αυτό εδώ το οποίο το τέμνουμε με ένα επίπεδο το τέμνουμε με ένα επίπεδο αυτή την επιφάνεια. Αυτή δημιουργεί μια καμπύλη που είναι η τομή τους και ζητάμε το μέγιστο και λάχιστο από το επίπεδο χι ψ. Πώς θα το θέσουμε αυτό το πρόβλημα. Συν λάμδα τον ένα δεσμό συν μη τον άλλο δεσμό. Σωστά. Συμφωνείτε όλοι αυτό ή κάτι άλλο θα βάλουμε εδώ. Το ζε τετράγωνο το είχαμε κάνει και ο λάθος αυτό ήδη. Αυτό που λες εσύ είναι η απόσταση από αυτόν τον άξονα. Εντάξει το ξεκάθαρα αυτά. |
