| Διάλεξη 3: Λοιπόν, όταν χρησιμοποιώ με αυτόν τον κανόνα, όταν υπάρχει μία διαμέριση του δειγματικού χώρου από κάπα γεγονότα, όπως το σχήμα αυτό, τα γεγονότα ΑΚ αποτελούν διαμέριση του δειγματικού χώρου, και πότε έχουμε διαμέριση, αν τα γεγονότα ΑΑ είναι ξένα μεταξύ τους, δεν έχουν το ΜΕΣ, και αν η ένωσή τους κάνει όλο το δειγματικό χώρο. Αν υπάρχει ένα γεγονός Β, το οποίο τέμνει τη διαμέριση, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα του Β με τον κανόνα που θα φτιάξουμε με τον κανόνα της ολικής πιθανότητας. Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα του Β, παρατηρούμε ότι αποτελείται από τις στωμές με τη διαμέριση ΑΑΙ. Αν ενώσουμε λοιπόν αυτές τις στωμές του Β με τη διαμέριση ΑΑΙ, τότε μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε την πιθανότητα του Β. Το Β παρατηρούμε από το σχήμα λοιπόν ότι είναι η ένωση του ΑΕΝΤΟΜΙΒ, ένωση ΒΤΟΜΙΒ, ένωση ΑΚΤΟΜΙΒ. Επομένως, η πιθανότητα του Β είναι η πιθανότητα της τωμής της Ένωσης όλων των τωμών και έχουμε ότι η πιθανότητα της Ένωσης αυτών των γεγονότων, αυτών των παρενθέσεων, η πιθανότητα της Ένωσης αυτών των Κ γεγονότων, που είναι οι τωμές του Β με τα ΑΑΙ, αυτές οι τωμές όμως είναι ξένες μεταξύ τους. Αυτές οι τωμές που θέλουμε να ενώσουμε είναι ξένες μεταξύ τους, όπως φαίνονται και στο σχεδιάγραμμα, γιατί τα ΑΑΙ είναι ξένα μεταξύ τους. Άρα και οι τωμές, η κάθε τωμή με το Β με την άλλη είναι ξένα μεταξύ τους. Άρα, η πιθανότητα του Β είναι η πιθανότητα της Ένωσης αυτών των τωμών που είναι ξένες μεταξύ τους. Άρα, αν εφαρμόσουμε τον κανόνα της πιθανότητας της Ένωσης δύο ή και περισσότερων γεγονότων, είναι το άτρισμα των πιθανότητων τους, γιατί είναι ξένα μεταξύ τους και δεν έχουμε να αφαιρέσουμε το μέσα να δύο και τα λοιπά. Άρα λοιπόν, έχουμε το άτρισμα των πιθανότητων τους, συν και τα λοιπά, συν την πιθανότητα ΑΚΤΟΝΙΒ. Και ας συνεχίσουμε από εδώ ή μάλλον ας συνεχίσουμε επάνω. Άρα λοιπόν, η πιθανότητα του Β είναι η πιθανότητα της πρώτης τομής, είναι η πιθανότητα της δευτέρας. Δεν έχουμε να αφαιρέσουμε πιθανότητα το μόνο έναν δύο, επειδή είναι ξένες μεταξύ τους. Και έχουμε η πιθανότητα της πρώτης τομής, σύμφωνα με τον προβληθιαστικό κανόνα, είναι η πιθανότητα του πρώτου ΑΕ, επί την πιθανότητα του Β, δεδομένου το ΑΕ1, συν την πιθανότητα του δευτέρου ΑΔ, επί την πιθανότητα του Β, δεδομένου το ΑΔ, συ και τα λοιπά, συν την πιθανότητα ΑΚ, επί την πιθανότητα του Β, δεδομένου το ΑΚ. Και αυτό εδώ πέρα μπορούμε να το γράψουμε και πιο μεθοδοδικά, σαν άθρισμα ΑΕ1-Κ, την πιθανότητα των γεγονότων της διαμέρισης ΑΑΙ, επί την πιθανότητα Β, δεδομένου το ΑΑΙ. Άρα λοιπόν οδηγηθήκαμε σε έναν κανόνα ή σε έναν τύπο, εν πάση περιπτώση, που ονομάζεται κανόνας ολικής πιθανότητας. Και γενικά το χρησιμοποιούμε όταν γνωρίζουμε την πιθανότητα του γεγονότων Β όταν συμβαίνει το ΑΕ1, ή την πιθανότητα του Β όταν συμβαίνει το ΑΤ3, κτλ. Και θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα του Β. Όπως φαίνεται εδώ η πιθανότητα του Β, αν γνωρίζουμε την πιθανότητα του Β, δεδομένου συμβαίνει το ΑΕ1, αν γνωρίζουμε την πιθανότητα του Β όταν συμβαίνει το ΑΔ, κτλ. Εάν τα ΑΕ1 και ΑΔ αποτελούν διαμέριση του διοικηματικού χώρου, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτήν την εξίσουση, αυτόν τον τύπο, για οποιοδήποτε γεγονός Β, εάν τα ΑΕ αποτελούν διαμέριση, όχι μόνο για το Β, αλλά για οποιοδήποτε γεγονός του διοικηματικού χώρου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο. Υπάρχει και μια απορία. Θα το χρησιμοποιήσουμε σε πολλά παραδείγματα ασκήσεις και προβλήματα. Και ας κάνουμε μερικά παραδείγματα. Μια μηχανή ΜΕΕΝΑ σε ένα εργοστάσιο παράγει το 60% ενός προϊόντος. Και το 40% το παράγει μία άλλη μηχανή. Αλλά η πιθανότητα, το ανταλλακτικό που παράγει η μηχανή 1, να είναι αερατωματικό, δεδομένος ότι το παράγει η ΜΕΕΝΑ, είναι 5%. Η πιθανότητα, έναν ανταλλακτικό που παράγει η ΜΕΔΙΟ, είναι 10%. Επαναλαμβάνω λοιπόν ότι σε μία παραγωγή το 60% των ανταλλακτικών παράγεται από τη μηχανή ΜΕΕΝΑ, το 40% από τη μηχανή ΜΕΔΙΟ. Η πιθανότητα των ανταλλακτικών να είναι αερατωματικό όταν παράγεται από την πρώτη μηχανή είναι 5%. Η πιθανότητα να είναι αερατωματικό όταν παράγεται από τη μηχανή ΜΕΔΙΟ, είναι 10%. Παίρνουμε ένα ανταλλακτικό από την παραγωγή τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι αερατωματικό? Από την παραγωγή παίρνουμε τυχαία ένα ανταλλακτικό. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι αερατωματικό? Το έψιλον είναι το γεγονός ότι το ανταλλακτικό που έχω πάρει είναι αερατωματικό. Δεν γνωρίζω αν προέχεται από την πρώτη μηχανή ή από τη δεύτερη. Αφού όμως τα γεγονότα ΜΕΕΝΑ και ΜΕΔΙΟ αποτελούν διαμέριση του διγματικού χώρου, δηλαδή το ανταλλακτικό παράγεται ή από τη ΜΕΕΝΑ ή από τη ΜΕΔΙΟ, δεν μπορεί να παράγεται και από τις δύο. Δεν έχουν το ΜΕΕΕΝΑ από τα δύο γεγονότα. Και επειδή δεν υπάρχει άλλη μηχανή, το 60% και το 40% συμπληρώνουν όλο το διγματικό χώρο, δεν υπάρχει το άλλο περίπτωση το ανταλλακτικό να παράγεται από τη τρίτη μηχανή, γι' αυτό είπα ότι για οποιοδήποτε γεγονός έψιλον του διγματικού χώρου, μπορώ να χρησιμοποιήσω το τύπο της ολικής πιθανότητας. Δηλαδή μπορώ να γράψω πιθανότητα το πρώτο γεγονός της διαμέρισης. Επί την πιθανότητα του έψιλον, δεδομένο το γεγονός της διαμέρισης ΜΕΕΝΑ, αντί για α1 και α2 τώρα έχω ΜΕΕΝΑ και ΜΕΕΔΙΟ, αυτό δεν με υπεράζει. Συν την πιθανότητα του δεύτερου γεγονότος ΜΕΕΔΙΟ, επί την πιθανότητα του γεγονότος που ψάχνουν την πιθανότητα, δεδομένο το ΜΕΕΔΙΟ. Και έχουμε εδώ πέρα αν δικαταστήσουμε 0,60 επί 0,5 συν 0,40 επί 0,10 και τελικά έχουμε 3% συν 4%. Άρα λοιπόν έναν ταλλαχτικό που επιλέγουμε τυχαία από την παραγωγή, η πιθανότητα να είναι ελαττωματικό είναι 7%. Μπορούμε να προχωρήσουμε και σε άλλες ασκήσεις προβλήματα μηχανικού στα οποία αφαρμόζουμε την ολική πιθανότητα. Πρώτα διαπιστώνουμε ποια είναι τα γεγονότα τα οποία αποτελούν διαμέριση του δημοτικού χώρου και μετά αν το γεγονός αυτό εξαρτάται από αυτή τη διαμέριση, αν δηλαδή μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα του γεγονότος με τη συνθήκη ότι συμβαίνουν τα γεγονότα ΆΑ της διαμέρισης, τότε προχωράμε με το κανόνα της ολικής πιθανότητας και υπολογίζουμε τη πιθανότητα. Τώρα, στο ίδιο παράδειγμα, πριν προχωρήσουμε σε άλλες ασκήσεις με την ολική πιθανότητα, μερικές φορές έχουμε το εξής ερώτημα, δεδομένου ότι, ας υποθέσουμε για το ανταλλακτικό, είναι ενατοματικό, αν το ανταλλακτικό που είπαμε ήδη με το προηγούμενο παράδειγμα είναι ενατοματικό, δεδομένου δηλαδή ότι συμβαίνει το γεγονός Ά, αντίστοφα ζητάμε την πιθανότητα να το έχει παράγει η μηχανή 1. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε μη υποσυνθήκη πιθανότητα και μπορεί να γραφεί στον παρανομαστή να έχουμε την πιθανότητα του ε, στον αριθμητή να έχουμε την πιθανότητα της τομής του μη 1 το μη ε, και το οποίο ισούτε αν εφαρμόσουμε τον προπολεσθετικό κανόνα εδώ πέρα είναι η πιθανότητα του μη 1 επί πιθανότητα του ε. Δεδομένου συμβαίνει το μη 1. Και αν αντικαταστήσουμε εδώ πέρα έχουμε, η πιθανότητα του ε είναι 7%, η πιθανότητα στον αριθμητή είναι 60 επί 0,05, και αυτό ισούτε με 0,03, 0,7 ίσον με 3,7. Βλέπουμε λοιπόν ότι σε τέτοιο είδους ερώτηση, δεδομένου ότι το ενταλλακτικό είναι λατωματικό, ποια είναι η πιθανότητα να προέρχεται από την μη ένα μηχανή. Έναν ενταλλακτικό, η πιθανότητα να προέρχεται από την μη ένα μηχανή, είναι χωρίς καμιά άλλη πληροφορία, 60%. Παιδιά να παρακαλέσετε το εξής, εάν θέλετε να φύγετε στο μάθημα, να μην φέρει κάτι στη μέση του μαθήματος, από την έρχεται η επιφασία εσείς στο διάλειμμα για να τελειώσετε το μάθημα, έτσι δεν είναι, να μην ξανασυμβεί αυτό. Παιδιά και λίγο σοβαρότητα δεν πειράζει έτσι, έτσι και τώρα έκανες στο μάθημα. Λοιπόν, δικαιολογίες μπορείς να βρεις όσους θέλεις. Λοιπόν, το θέμα είναι να μην διακόπτετε το μάθημα, να διευκολύνουμε και τα υπόλοιπα παιδιά. Η πιθανότητα έναν τελαστικό να παράγεται από την μη ένα μηχανή, από την πρώτη μηχανή είναι 60%, όταν δεν έχω καμία πληροφορία. Όταν έχω την πληροφορία όμως ότι είναι ελαθωματικό, τότε η πιθανότητα να προέρχεται από την πρώτη μηχανή, αντίφορα με την υποστηθήκη πιθανότητα, διαφοροποιείται. Αυτή η υποσύνδεκη πιθανότητα μπορεί να γραφεί με αυτόν τον τρόπο. Αντικαθιστούμε τις γνωστές πιθανότητες επάνω, κάνουμε πράξεις και βγαίνει ότι είναι τρία έβδομα. Ειδικά αυτή η περίπτωση της υποστηθήκης πιθανότητας όπου γνωρίζουμε το γεγονός του οποίου που λογίσουμε την πιθανότητα με την ολική πιθανότητα και θέλουμε αντίστροφα να προέρχεται από ένα γεγονός της διαμέρισης, ειδικά αυτό ονομάζεται και θεόρημα του μπάιες. Είναι μια υποστηθήκη πιθανότητα συγκεκριμένη η οποία εφαρμόζεται όταν υπολογίζουμε την πιθανότητα του ε με την ολική πιθανότητα και ζητάμε να συμβαίνει ένα από τα γεγονότα της διαμέρισης. Να προχωρήσουμε λίγο σε περισσότερα παραδείγματα και ασκήσεις. Έχουμε μία κάλπη η οποία έχει δύο λευκές σφαίρες και μία δεύτερη κάλπη η οποία έχει μία μαύρη και μία λευκή και μία τρίτη κάλπη η οποία έχει δύο μαύρες σφαίρες. Επιλέγουμε τυχαία μία κάλπη και από την κάλπη επιλέγουμε τυχαία μία σφαίρα. Το γεγονός ότι επιλέγουμε την πρώτη κάλπη το ονομάζουμε α1, το άλλο γεγονός α2, το άλλο γεγονός α3. Τα γεγονότα α1, α2, α3 αποτελούν διαμέριση του διγματικού χώρου διότι μπορεί να επιλέξουμε την πρώτη κάλπη ή την δεύτερη ή την τρίτη. Δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα. Άρα αντικόμενα άλλες κάλπες δεν υπάρχουν για να επιλέξουμε. Άρα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τα γεγονότα αυτά αποτελούν διαμέριση και μάλιστα ισοπίθανα τυχαία επιλέγουμε μία κάλπη. Άρα η πιθανότητα α1 ισούτε με την πιθανότητα α2, ισούτε με την πιθανότητα α3. Και αυτό ισούτε με 1 πλήτων. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλέξουμε μια άσπρη σφαίρα. Δηλαδή παίρνουμε τυχαία μία κάλπη και τυχαία επιλέγουμε μία σφαίρα μέσα από την κάλπη. Ποια είναι η πιθανότητα η σφαίρα που θα πάρουμε να είναι άσπρη. Αφού τα α1, α2, α3 αποτελούν διαμέριση για οποιοδήποτε γεγονός α, β, γ, οτιδήποτε είναι αυτό του δημοτικού χώρου μπορώ να χρησιμοποιήσω την ολική πιθανότητα, τον τύπο της ολικής πιθανότητας. Έχω πιθανότητα α1 επί πιθανότητα να επιλέξω άσπρη όταν πήρα την πρώτη κάλπη. Συν την πιθανότητα να επιλέξω την δεύτερη κάλπη επί την πιθανότητα να πάρω άσπρη σφαίρα όταν έχω πάρει την δεύτερη κάλπη. Συν την πιθανότητα να πάρω την τρίτη κάλπη επί την πιθανότητα να πάρω άσπρη σφαίρα όταν πήρα την τρίτη κάλπη. Πιθανότητα βέβαια αυτή είναι 0 γιατί έχει 2 μαύρες σφαίρες μέσα. Η δεύτερη έχει μία μαύρη και μία λευκή δεδομένου ότι πήραμε την τρίτη κάλπη. Αυτή η πιθανότητα είναι 0 και εδώ πέρα η δεύτερη έχει, εδώ μία λευκή να βάλουμε. Άρα εδώ πέρα έχουμε ένα τρίτο. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε άσπρη, είναι 1 εδώ. Συν την πιθανότητα να επιλέξουμε τη δεύτερη είναι 1 τρίτο. Επί την πιθανότητα είναι να πάρουμε άσπρη από εδώ έχει μία λευκή και μία μαύρη, είναι 1 δεύτερο. Άρα έχουμε ένα έκτο και ένα τρίτο που κάνει τρία έκτα, ίσον αυτό είναι 0. Τελικά αυτή η πιθανότητα ισούνται με ένα δεύτερο. Άρα λοιπόν, σε αυτό το παιχνίδι η πιθανότητα να επιλέξω τελικά την άσπρη σφαίρα είναι 50%. Τώρα. Εντάξει. Ναι, εντάξει, μπορεί να βγαίνει και διαφορετικά. Κάθε πρόβλημα μπορεί να λύνεται και εμπειρικά και πρακτικά. Άρα εδώ ακολουθούμε μία μηθοδολογία για να είμαστε πιο σίγουροι για το αποτέλεσμα, εντάξει. κάνουμε μία μεθοδολογία και αυτό ακολουθούμε. Μπορείς και σύρδυ αισθητικά να καταλάβεις ποια είναι η πιθανόητα. Αλλά σε δυσκολότερες όμως περιπτώσεις, θα πρέπει να ακολουθήσεις τη μεθοδολογία των ολικών τύπων. Ναι. Εντάξει, υπάρχουν διάφορες τρόπους με τους οποίους μπορείς να απαντήσεις και να καταλάβεις ότι είναι πινήναντας τρικατό. Εδώ, όμως, πιο μεθοδοτικά, αναφαρμόζουμε τον τρόπο, τον νόμο της ολικής πιθανότητας. Εντάξει. Και πρέπει να καταλάβεις πότε χρησιμοποιούμε την ολική πιθανότητα. Γιατί σε πιο σύντομιες περιπτώσεις δεν θα μπορέσεις να το καταλάβεις. Λοιπόν, τώρα, αν υποθέσουμε ότι έχουμε επιλέξει άσπρη σφαίρα, ποια είναι η πιθανότητα να προέρχεται από την πρώτη κάλπη. Δεδομένου ότι η πιθανότητα της πρώτης κάλπης, η πιθανότητα να επιλέξουμε την πρώτη κάλπη, είναι ένα τρίτο. Αν έχουμε όμως την πληροφορία ότι η σφαίρα που πήραμε από την κάλπη είναι άσπρη, ποια είναι η πιθανότητα του α1, ποια είναι η πιθανότητα να πήραμε την πρώτη κάλπη. Δεδομένου ότι έχουμε άσπρη σφαίρα, αποκλείεται να έχουμε επιλέξει την τρίτη κάλπη. Γιατί έχει δύο μαύρες μέσα. Επίσης, μοιράζεται η πιθανότητα στις δύο κάλπες 50% και 50%. Αλλά δεν είναι και αυτό ο λόσοστό, γιατί η πρώτη κάλπη έχει περισσότερες λευκές. Άρα, αν είναι να μεράσουμε την πιθανότητα, περισσότερο δίνουμε πιθανότητα στην πρώτη κάλπη, που έχει δύο λευκές. Για να δούμε τι θα μας δώσει ο τύπος που είναι αν εφαρμόσουμε το θεόριμα του Μπάιας. Δηλαδή, στον πανωμαστή έχουμε την πιθανότητα του α, και στον αδημητή έχουμε την πιθανότητα α1, επί πιθανότητα α δεδομένου α1. Και αν αντικαταστήσουμε, έχουμε εδώ πέρα ένα δεύτερο, και εδώ έχουμε ένα τρίτο, επί ένα, και αυτό ισούται με δύο τρίτα. Δηλαδή, αν έχω την πληροφορία ότι η σφαίρα που επέλεξα είναι άσπρη, η πιθανότητα να πήρα στην αρχή την πρώτη κάλπη είναι δύο τρίτα, και όχι ένα τρίτο που ήταν η πιθανότητα χωρίς καμιά άλλη πληροφορία. Αυτή είναι η πιθανότητα να επέλεξα να συμβαίνει το α1, εκ των πρωτέρων, χωρίς καμιά πληροφορία, και αυτή είναι η πιθανότητα εκ των υστέρων, όταν έχουμε την πληροφορία ότι συμβαίνει το γεγονός α, ότι η σφαίρα που πήραμε είναι άσπρη. Και αυτός ο τύπος, το θεώρημα του Μπάιας, έχει πολλές εφαρμογές στους μηχανικούς, στην εξοπληστία, γιατί σε ένα σύστημα, την πιθανότητα να πάθουν βλάβη κάποια συστήματα ή εξοπληστία του συστήματος, με την πάροντα του χρόνου έρχονται πληροφορίες, συμβαίνουν κάποια γεγονότα και αλλάζουν την πιθανότητα. Και έτσι, εδώ έχουμε μεγάλη εφαρμογή του θεωρήματος του Μπάιας, ή υπάρχει η Bayesian στατιστική, η οποία ασχολείται με εκ των υστέρων πληθανότητα, δηλαδή παίρνει διάφορες πληροφορίες και αυτές τις πληροφορίες διαφοροποιούν την πιθανότητα να συμβούν κάποια γεγονότα. Και αυτά βέβαια έχουν σχέση και με την εξοπληστία ενός συστήματος, διότι με την πάροντα του χρόνου αλλάζουν οι συνθήκες και συμβαίνουν κάποια γεγονότα που επηρεάζουν το σύστημα. Δεν θα ασχοληθούμε όμως περισσότερο με την Bayesian στατιστική, αυτό είναι πιο εξεδικημένο μάθημα, θα μπορούσατε να το συναντήσετε ή να το μεριτήσετε αργότερα. Λοιπόν, να συνεχίσουμε τα παραδείγματα. Ας κάνουμε ένα άλλο πιο χρήσιμο που έχει σχέση με τη τηλεπικοινωνία. Στη τηλεπικοινωνία σας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύστημα το οποίο δέχεται σήματα και το οποίο εκπέμπει το σήμα, το αναμεταδύει δηλαδή, κι άλλα υποθέσουμε ότι το σήμα είναι διαδικό, παίρνει τη ΜΕΣ-901, δηλαδή έχουμε ένα σύστημα όπου δεχόμαστε σήματα χ και μετά το μεταδίδουμε το σήμα που παίρνουμε, αλλά μπορεί να το μεταδώσει σαν ψ. Δηλαδή αυτό το ψ πρέπει να είναι το χ, αλλά από λάθος μπορεί να αλλάξει το σήμα. Και αν υποθέσουμε ότι το χ είναι διαδικό και έχει τη ΜΕΣ-0, ή το χ μπορεί να έχει τη ΜΕΣ-1, αν το σήμα είναι 0, το μεταδίδει το σύστημα σαν 0, δηλαδή στην έξοδο εδώ πέρα το ψ είναι 0, αλλά στην έξοδό του το ψ από λάθος μπορεί να είναι 1. Δηλαδή έρχεται ένα σήμα 0 και το μεταδίδει σαν 0 ή σαν 1, με πιθανότητα Q0 το μεταδίδει σωστά, με πιθανότητα P0 το μεταδίδει λάθος. Και το σήμα πάλι 1 που έρχεται, το μεταδίδει σωστά σαν 1 με πιθανότητα Q1, και το μεταδίδει λάθος με πιθανότητα P1. Επίσης είναι γνωστό ότι το σήμα που έρχεται μπορεί να είναι 0 ή 1. Και αν ονομάς το γεγονός της διαμέρισης α0 είναι ότι το χ ίσουτε με 0, το σήμα που έρχεται, αν ονομάς α1 το γεγονός ότι το σήμα χ που έρχεται είναι 1, από εδώ ξέρω ότι η πιθανότητα του α0 είναι π0 και η πιθανότητα του σήμα που έρχεται να είναι 1 είναι π1. Η ερώτηση είναι ποια είναι η πιθανότητα ένας σήμα που εκπέμπεται να είναι 1. Αν ονομάς το γεγονός β ότι το ψ που εκπέμπεται είναι 1, διτάω την πιθανότητα του β. Ένα σήμα εκπέμπεται από το σύστημα. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι το 1. Δεν ξέρω αν αυτό που ήρθε ήταν 1 ή 0 γιατί μπορεί να ήρθε 0 και το εκπέμπησαν 1. Ή μπορεί να ήταν 1 και το εκπέμπησαν 1. Εγώ θέλω ένα σήμα που εκπέμπεται, ποια πιθανότητα να είναι 1. Εφαρμόδω την ολική πιθανότητα αφού τα α0 και α1 αποτελούν διαμέριση. Ένα σήμα που έρχεται μπορεί να είναι 0 ή 1. Δεν υπάρχει άλλη περίπτωση. Ούτε μπορούν να είναι και τα δύο μαζί. Δεν έχουν το μή. Άρα λοιπόν μπορώ να εφαρμόσω εδώ πέρα για την πιθανότητα ή οδήποτε ο γεγονός. Μπορώ να εφαρμόσω τον τύπο της ολικής πιθανότητας. Πε α0 επί πί β δεδομένο α0, συν την πιθανότητα του α1 επί την πιθανότητα του β δεδομένο α1. Εδώ πέρα στην ολική πιθανότητα, αυτή είναι εξίσουση, παραλαμβάνω για πολλές φορές, ότι μπορώ να την εφαρμώσω όχι μόνο για το β αλλά για οδήποτε άλλο γεγονός. Αυτό το γεγονός σε ένα δειγματικό χώρο, σε ένα πείραμα που έχουμε κάποια γεγονότα, εάν τα αα ή α0, αα1 ξελογώ αποτελούν διαμέριση του δειγματικού χώρου, αυτή η εξίσουση ισχύει όχι μόνο για το συγκεκριμένο β αλλά για οδήποτε άλλο γεγονός, του οποίου ενδιαφέρομαι να υπολογίσεις την πιθανότητα φυσικά. Τώρα το πε α0 το γνωρίζουμε. Το πε β εδώ πε α0 έχουμε π0, εδώ έχουμε π1. Εδώ έχουμε δεδομένα ότι είναι 1, δεδομένα ότι είναι μηδέν, να το εκπέμπει σαν 1 είναι q0 εδώ. Και εδώ πέρα να το εκπέμπει 1 δεδομένα ότι είναι 1 είναι q1 εδώ. Εδώ πέρα ένα σήμα που έρχεται να συμβαίνει το α0 είναι π0. Εδώ πέρα ένα σήμα να το εκπέμπει 1 όταν είναι μηδέν είναι π0. Άρα λοιπόν έχω υπολογίσει την πιθανότητα ένα σήμα που εκπέμπεται να είναι το 1. Τώρα ποια η πιθανότητα να ήταν πράγματι 1. Ένα σήμα εκπέμπεται και είναι 1. Τώρα έχουμε το αντίστροφο. Ένα σήμα που εκπέμπεται είναι 1 δηλαδή συμβαίνεται ο β είναι 1. Ποια η πιθανότητα να ήταν αυτό που ήρθε να λάβαμε 1 δηλαδή και σωστά εκπέμπεται. Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Μπάιας έχουμε την πιθανότητα του β. Στον αρνητή έχουμε την πιθανότητα του α1 επί την πιθανότητα του β δεδομένο το α1. Και αυτό έχουμε. Εδώ στον πανωμαστή έχουμε π0 επί π0 στις π1 επί πQ1. Και στον αρνητή το α1 είναι π1 πQ1 π1 πQ1. Ποια η πιθανότητα να είναι 1. Στον αρνητή έχουμε π1 πQ1. Και η άλλη πιθανότητα είναι να είναι το α0 που είναι το π0 πQ0 στον αρνητή. Και τα δύο μαγκάμα θα προσθέσουμε κάνω του μονάδα. Με βάση περιπτώση έτσι μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα δεδομένο ότι ένα σήμα που εκπέμπεται είναι 1. Ποια πιθανότητα να πήραμε και ένα βγαίνει από το θεώρημα του Μπάιας. Ποιος ήθελε να ρωτήσει κάτι. Εδώ α1 α1. Η διαμέριση είναι μόνο α0 α1 μπορείς να την ονομάσεις τα γεγονότα της διαμέρισης και οποιοδήποτε άλλο γεγονός μπορείς να το ονομάσεις όπως θέλεις. Δεν είσαι υποχρεωμένος να χρησιμοποιείς α1 β κτλ. Τώρα ας δούμε κάτι με ηλεκτρικό ρεύμα. Μια πόλη παίρνει ηλεκτρικό ρεύμα από δύο μονάδες παραγωγής όπου οι μονάδες παραγωγής είναι η αδ. Υπάρχει πιθανότητα η α μονάδα να έχει βλάβη. Είναι η ίδια η πιθανότητα να έχει και η δεύτερη μονάδα να βλάβει, η οποία είναι 10%. Η πιθανότητα όμως να έχουν βλάβει και οι δύο μονάδες ταυτόχρονα. Αυτό αισοτε με 2%. Μια πόλη λοιπόν τροφοδοτείται με ρεύμα από δύο μονάδες παραγωγής ρεύματος αδ. Μπορεί οι μονάδες να έχουν βλάβη με πιθανότητα 10% ή να έχουν και οι δύο βλάβες με πιθανότητα 2%. Όταν έχουν βλάβει και οι δύο μονάδες τότε υπάρχει η πιθανότητα 40% η πόλη να έχει κανοπητική παροχή. Η πιθανότητα να έχει κανοπητική παροχή είναι 40%. Όταν έχει μόνο μία μονάδα βλάβη είναι 7%. Και όταν δεν έχει καμία μονάδα βλάβη, δουλεύουν σωστά οι μονάδες παραγωγής ρεύματος, τότε με πιθανότητα 9% έχει κανοπητική παροχή ρεύματος. Το ερώτημα είναι ποια είναι η πιθανότητα η πόλη αυτή τη στιγμή να έχει κανοπητική παροχή ρεύματος. Άρα να ονομάσουμε α0 το γεγονός ότι καμία δεν έχει βλάβη, α1 μόνο μία έχει βλάβη και α2 και οι δύο έχουν βλάβει. Αυτά τα γεγονότα όσα αφορά την κατάσταση των εργοστασίων που παράγουν ενέργεια αποτελούν διαμέριση του δημοτικού χώρου. Γιατί κανένα από τα εργοστάσια δεν έχει βλάβη, μόνο ένα από αυτά έχει βλάβη ή και τα δύο έχουν βλάβη. Άλλη περίπτωση δεν υπάρχει και δεν μπορεί να συμβαίνουν και τα δύο μαζί ή αυτό θα συμβαίνει όπου καμία δεν έχει βλάβη ή μόνο μία από τις δύο μονάδες έχει βλάβη ή και οι δύο έχουν βλάβη. Δηλαδή, αν κάνω το δημοτικό χώρο, ποια είναι η διαμέριση? Αυτά είναι τα εργοστάσια α και β. Παριστάνουν τα γεγονότα ότι οι μονάδες α και β έχουν βλάβη. Εδώ είναι το γεγονός α1. Το α1 καταλαβαίνει δύο κομμάτια. Εδώ μόνο μία έχει, μόνο η α έχει βλάβη. Εδώ μόνο η β έχει βλάβη. Δηλαδή μόνο μία έχει βλάβη εδώ και εδώ. Εδώ συμβαίνει το α0. Καμία δεν έχει βλάβη. Ούτε η α μονάδα ούτε η β. Εδώ είναι και η δύο. Είναι το α2 εδώ. Εδώ μέσα είναι το α2. Άρα λοιπόν το α0, α1 και α2 καταλαβάνουν όλο το δημοτικό χώρο και μπορούμε να απολογίσουμε και την πιθανότητα του α0. Είναι 1 μία την πιθανότητα του συμπληρωματικού. Ποια είναι η πιθανότητα του συμπληρωματικού? Το α0 ποιο έχει συμπληρωματικό? Το α0 σημαίνει ότι καμία δεν έχει βλάβη. Το συμπληρωματικό ποιο είναι αυτό που είναι μέσα εδώ. Δηλαδή η ένωση. 1 μία την ένωση. Και την ένωση εύκολα μπορώ να τη βρω. Η πιθανότητα του α είναι 0,10 στην πιθανότητα του β 0,20 μία την πιθανότητα της τομής που είναι 0,02 είναι 0,18 και αυτό εσύπτει δηλαδή με 0,82. Η πιθανότητα δηλαδή του α0 είναι 1 μία την πιθανότητα του συμπληρωματικού του. Το συμπληρωματικό του α0 έχει το υπόλοιπο κομμάτι αυτό εδώ πέρα που είναι η ένωση αβ. Η πιθανότητα της ένωσης είναι η πιθανότητα του πρώτος, η πιθανότητα του δευτέρου 0,10 και με 0,10 με 0,20 μία την πιθανότητα της τομής και τελικά βγαίνει 0,82. Η πιθανότητα του α1 είναι η πιθανότητα αυτών των δύο κομματιών όπου εδώ πέρα είναι α διαφορά β και εδώ είναι β διαφορά α. Είναι δηλαδή να προσθέσουμε τις δύο πιθανότητες πα στην πβ αλλά να αφαιρέσουμε δύο φορές την πιθανότητα της τομής και έχουμε εδώ πέρα 0,20 μία 0,04 ίσον 0,16. Και μετά τέλος η πιθανότητα α2 νομίζω δύναται είναι η πιθανότητα α το μυ β το οποίο δίνεται και ίσουται με 0,02. Άρα λοιπόν αφού ξέρω την διαμέριση α0 α1 α2 και αφού ξέρω και τις πιθανότητες τους και ζητάω την πιθανότητα να έχουμε ικανοποιητική παροχή ας τον ονομάσω εψηλον είπα ότι αν έχω μια διαμέριση και ζητάω την πιθανότητα ενός γεγονότος εψηλον εδώ πέρα μπορώ να χρησιμοποιήσω την ολική πιθανότητα πα0 επί πεεψηλον δεδομένο το α0 το πεεψηλον άμα συμβαίνει το α0 ή το α1 και τα λοιπά μπορώ να το υπολογίσω. Ναι. Λοιπόν πως δεν μας κάνουν 0,82 συν 0,16 συν 0,2 μας κάνει 1. Λοιπόν συνεχίζουμε εδώ πέρα συν πα1 επί πεεψηλον δεδομένο το α1 συν πα2 επί πεεψηλον δεδομένο το α2. Βλέπουμε ότι πάλι επαναναμπάνω για τη δυσκολία στον μηχανικό είναι πως θα χρησιμοποιήσει τον τύπο της ολικής πιθανότητας. Είναι ότι όταν ζητώ εδώ το πεεψηλον και είναι δύσκολο να το υπολογίσω αλλά αν ξέρω το πεεψηλον δεδομένο ότι συμβαίνει το α0, αν ξέρω το πεεψηλον δεδομένο ότι συμβαίνει το α1, αν ξέρω την πιθανότητα ικανοποιητικής παροχής ότι συμβαίνει το α2 τότε αν τα α0 α1 α2 αποτελούν διαμέριση όπως είπαμε μπορώ να χρησιμοποιήσω αυτή την εξίση και να υπολογίσω το πεεψηλον. Αλλά και οποιοδήποτε άλλο γεγονός που θα ήθελα εδώ πέρα. Κάποιος έχει μια απορία. Αν εξακολουθεί. Εκανοποιητική παροχή της πόλης. Σημειώστε ότι ε είναι το γεγονός ότι η πόλη έχει ικανοποιητική παροχή. Και τώρα έχω τα δεδομένα εδώ. Όταν καμία δεν έχει βλάβει αυτό είναι 0,90. Καμία δεν έχει βλάβει. Πιθανότητα καμία να μην έχει βλάβει είναι 0,82. Συν, η πιθανότητα να έχει βλάβει μόνο μία είναι 0,16. Και η πιθανότητα να έχει ικανοποιητική παροχή όταν έχει μόνο μία είναι 0,70. Συν, την πιθανότητα να έχει ικανοποιητική παροχή όταν και οι δύο έχουν βλάβει είναι 0,40. Και η πιθανότητα και οι δύο να έχουν βλάβει είναι 0,02. Και έτσι μπορώ να βρω την πιθανότητα, κάνω πράξεις, την πιθανότητα να έχει ικανοποιητική παροχή η πόλη. Είναι οι πιθανότητες να έχει ικανοποιητική παροχή ρεύματος η πόλη αν καμία μονάδα δεν έχει βλάβει, 0,99%. Αν μόνο μία μονάδα έχει βλάβει, η πιθανότητα ικανοποιητικής παροχής είναι 0,79%. Και αν και οι δύο έχουν βλάβει, η πιθανότητα ικανοποιητικής παροχής είναι μικρή, είναι 0,4%. Εντάξει. Ε, υπάρχει άλλη απορία. Ας δούμε ένα άλλο πρόβλημα με μία σιδεροδοκό, η οποία όταν είναι ελαττωματική έχει ρογμές, καταστρέφεται, λιώνει, γίνεται σίδερο και πάλι σιδεροδοκός. Σε μία παραγωγή είναι γνωστό ότι το 8% των σιδεροδοκών είναι καλές, το 20% που παράγονται είναι ελαττωματικές. Ας τα συμβολήσω έστω τα γεγονότα. Σε μία παραγωγή σιδεροδοκών το 8% είναι καλές, το 20% έχει ψιλολογωμές μέσες, οι οποίες δεν θέλουν με το μάτι. Γι' αυτό κάθε σιδεροδοκός που τα παράγεται φερνάει από έλεγχο. Και ένα μηχάνημα την ελέγχει και αν ο έλεγχος είναι θετικός, η σιδεροδοκός καταστρέφεται. Βέβαια το μηχάνημα δεν είναι αξιόπιστο και ο έλεγχος είναι θετικός με πιθανότητα 80% όταν είναι ελαττωματική. Όταν είναι ελαττωματική σιδεροδοκός, το μηχάνημα με 80% το ελεγχνεύει. Η πιθανότητα το τεστ ο έλεγχος να είναι θετικός, δηλαδή υποδεικνύει ότι έχει βλάβει η σιδεροδοκός, αυτό συμβαίνει με 80%, ενώ θα έπρεπε να είναι 100% όταν η σιδεροδοκός είναι ελαττωματική. Αλλά επειδή δεν είναι αξιόπιστο το μηχάνημα, μόνο με 80% την ανοιχνεύει μη ελαττωματική. Και επίσης, η πιθανότητα να είναι θετικός ο έλεγχος όταν η σιδεροδοκός είναι καλή που ελέγχει, θα πρέπει να είναι 0. Γιατί αν είναι καλή η σιδεροδοκός, η πιθανότητα ο έλεγχος να βγει θετικός θα πρέπει να είναι 0. Αλλά δεν είναι αξιόπιστο το μηχάνημα και αυτή η πιθανότητα είναι 10%. Βέβαια η πιθανότητα να είναι αρνητικός ο έλεγχος είναι 90% σε αυτή την περίπτωση και στην άλλη είναι 20%. Τώρα, εσείς κάτω από αυτές τις συνθήκες μπορείτε να υπολογίσετε ποιο ποσοστό από την παραγωγή ποιο ποσοστό σιδεροδοκών καταστρέφεται. Λιώνει, φεύγει από την παραγωγή, παράγεται και μετά ξαναγυρίζει πίσω και λιώνει, γίνεται σίδερο. Ποιο ποσοστό από τις σιδεροδοκών? Ποιο? Πρέπει να είναι θετικός ο έλεγχος. Ναι, είναι η πιθανότητα λέω σε ένα αδερφό σας, για να βρω το ποσοστό είναι η πιθανότητα να βρω μία σιδεροδοκός σε οποιαδήποτε. Όταν ελέγχεται, η πιθανότητα ο έλεγχος να βγαίνει θετικός. Δηλαδή, ποια είναι η πιθανότητα κάθε φορά που το μηχάνημα ελέγχει μία σιδεροδοκώ, να βγαίνει θετικός ο έλεγχος, να υποδεικνύει ότι έχει βλάβει. Χωρίς να ξέρουμε τι είναι η σιδεροδοκός, κάθε φορά που ελέγχει το μηχάνημα, ποια είναι η πιθανότητα να δίνει σήμα ότι είναι ελαστροματική. Άρα, η ράδος ξαναγυρίζει πίσω σε αυτή την περίπτωση, άρα αυτό είναι το ποσοστό των θεροδοκών, οι οποίες καταστρέφονται. Και πώς θα το υπολογίσουμε αυτό, μπορούμε να υπολογίσουμε να είναι ελαττωματική επί την πιθανότητα να είναι θετικός όσο είναι ελαττωματική, στην πιθανότητα να είναι καλή, επί την πιθανότητα να είναι θετικό όταν είναι καλή. Το ε και κ, όπως είπαμε, τα γεγονότα της σιδεροδοκός είναι καλή ή ελαττωματική, αποτελούν διαμέριση. Δεν μπορεί να είναι τίποτα άλλο σιδεροδοκός και καλή θα είναι η ελαττωματική. Και η πιθανότητα της σιδεροδοκός είναι 100% αλλά η πιθανότητα ή οδήποτε γεγονό τους θ ή όποιον είναι αυτό, μπορούμε να το βρούμε από αυτόν τον τύπο. Εδώ έχουμε 0.20, εδώ έχουμε 0.80, εδώ έχουμε 0.80, εδώ έχουμε 0.10 και τελικά να κάνουμε πράξη έχουμε 0.24. Δηλαδή 24% από την παραγωγή καταστρέφεται. Αν είσαι σαν μηχανικός και πηγαίνατε στον διευθυντή της μηχανίας και είσαι σαν υπεύθυνος για αυτόν τον έλεγχο σαν μηχανικός με το μηχάνημα, λέγερ κλπ θα σας ρωτούσε ο διευθυντής με αυτήν την τακτική που ακολουθείς ότι αν το λέει δείχνει θετικό ή ράβους καταστρέφεται γιατί έχει ψιλολόγουμες, τα οποία εσύ με καταστρέφεις το 24% της παραγωγής. Δηλαδή στοιχίζει αρκετά έχουμε κόστος να καταστρέφουμε πάλι μία συλλοδοκό. Γιατί μέσα στο 24% δεν είναι το 20% μόνο των ελαττωματικών, μέσα στο 24% που καταστρέφεται δεν έχει το 20% των ελαττωματικών, έχει λιγότερες. Γιατί εκεί μέσα στο 24% που καταστρέφεται υπάρχουν και καλές. Άρα σας λέει ο διευθυντής κάνετε τι θα κάνετε, εγώ θέλω λιγότερες να καταστρέφονται γιατί οι 24% που καταστρέφονται, καμιά δεκαριά, δεκαπέντε μπορεί να είναι ελτωματικές, οι άλλες είναι καλές, δηλαδή καταστρέφεις και καλές πάλι. Και εσείς γυρίζετε πίσω και σκέφτεστε κάτι να κάνετε για να καταστρέφονται λιγότερες. Τι μπορείτε να κάνετε, το μηχάνημα να φερνάει την κάθε συλλοδοκό δύο φορές τον έλεγχο. Να κάνει δύο ελέγχους στην ίδια συλλοδοκό, το ίδιο μηχάνημα. Και αν και οι δύο έλεγχοι είναι θετικοί, τότε να καταστρέφεται η συλλοδοκός. Με πάση περιπτώση θα συνεχίσουμε την άλλη ώρα για να δούμε ποιο ποσοστό από αυτές είναι καλές. Και ποιο ποσοστό καταστρέφεται με δύο ελέγχους. Ένα ενδιαφέρον ερώτημα είναι στο παράδειγμα που είπαμε, ότι από τις συλλοδοκούς που καταστρέφονται, 24% καταστρέφουν, από αυτές που καταστρέφονται, ποιο ποσοστό είναι καλές. Μας ενδιαφέρει αυτό, διότι 24% καταστρέφεται. Αν μόνο τέσσερα για παράδειγμα ήταν ελαττωματικές ή το υπόλοιπο 20% θα ήταν ελαττωματικές, θα ήταν εντάξει. Αλλά μήπως είναι παραπάνω το ποσοστό των καλών και δεν πρέπει να καταστρέφονται τόσοι πολλές. Σε αυτό το ερώτημα, δηλαδή δεδομένου ότι καταστρέφεται μία συλλοδοκός, ο έλεγχος γι' αυτής η συλλοδοκός είναι θετικός, ποιά η πιθανότητα να είναι καλή. Σύμφωνα με το θεώρημα του Μπάγιες, στον παραμαστή έχουμε 0,24 και στον αριθμητή έχω, πιθανότητα του Κ, επί την πιθανότητα θ δεδομένο Κ έχω αυτό εδώ, το γινόμενο. Έχω δηλαδή 0,8 επί 0,10 και αυτό βγαίνει ένα τρίτο. Δηλαδή το ένα τρίτο από αυτές που καταστρέφονται είναι καλές. Είναι μεγάλο το ποσοστό, δηλαδή είναι 8% από όλη την παραγωγή. Το 24% καταστρέφεται συνολικά, το ένα τρίτο από αυτές που είναι το 8% είναι καλές. Δηλαδή από τις καλές συλλοδοκούς το 8% καταστρέφεται. Ή το ένα τρίτο από το 24% που καταστρέφεται είναι καλές. Δηλαδή είναι αρκετά μεγάλο το ποσοστό. Γι' αυτό θα κάνουμε δύο ελέγχους και μία συλλοδοκός θα καταστρέφεται αν και οι δύο ελεχοί είναι θετικοί. Και ο πρώτος έλεγχος και ο δεύτερος θ1 και θ2 είναι τα γεγονότα ότι στον πρώτον έλεγχο της συλλοδοκού με το μηχάνημα έχουμε θετικό έλεγχο. Και στον δεύτερο έλεγχο πάλι αποβαίνει θετικός. Το ποσοστό των ράδων που καταστρέφεται σε αυτή την περίπτωση είναι η πιθανότητα και οι δύο έλεγχοι να είναι θετικοί. Είναι η πιθανότητα της τομής των δύο γεγονότων. Μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα σε μία συλλοδοκό και οι δύο έλεγχοι να αποβαίνουν θετικοί. Πάλι με κοινολική πιθανότητα. Έχουμε την πιθανότητα να είναι καλύτερο η συλλοδοκός επί την πιθανότητα θ1 το μη θ2 συν την πιθανότητα να είναι ελαττωματική επί την πιθανότητα και οι δύο έλεγχοι να βγαίνουν θετικοί. Και έχουμε. Εδώ έχουμε πάνω την πιθανότητα να είναι καλή, είναι 80%. Ποια είναι η πιθανότητα θ1 το μη θ2. Εδώ πρέπει να βάλουμε δεδομένο ότι είναι καλή η συλλοδοκός. Εδώ δεδομένο ότι είναι καλή. Ναι ελαττωματική. Ποια είναι η πιθανότητα της τομής. Έχουμε μάθει για τον πολλοπλασιαστικό κνώνα. Είναι η πιθανότητα του πρώτου επί την πιθανότητα. Εδώ πέρα βέβαια μπορούμε να βάλουμε και τη συνθήκη ότι δεδομένο είναι καλή επί την πιθανότητα του θ2. Δεδομένο ότι στο πρώτος έλεγχος ήταν θετικός, ότι είναι καλή η συλλοδοκός. Η πιθανότητα της τομής σύμφωνα με τον πολλοπλασιαστικό κανόνα είναι η πιθανότητα του πρώτου επί την πιθανότητα του θ2. Δεδομένο ότι συμβαίνει το πρώτο. Αλλά και στα δύο γεγονότα εδώ έχουμε τη συνθήκη ότι είναι καλή η συλλοδοκός. Είχαμε πει νομίζω στα προηγούμενα μαθήματα ότι για κάθε τύπο που έχουμε μάθει για το πολλοπλασιαστικό κανόνα και την πιθανότητα της Ένωσης κτλ, όλες αυτές οι εκκλησσώσεις τύποι ισχύουν και δια την υποσυνθήκη πιθανότητα. Δηλαδή αν περάσουμε μια συνθήκη στο αριστερό μέρος, η συνθήκη μπορούμε να την έχουμε και στο δεύτερο. Στο δεύτερο, ας πούμε, θέλουμε την πιθανότητα ΑΕΕ. Ας πούμε ότι δεδομένως συμβαίνει το γεγονός Γ. Αυτό ισούται με την πιθανότητα του Α, συν την πιθανότητα του Β, δεδομένου του Γ, μειώνει την πιθανότητα της τομής, δεδομένου στη πέντου Γ. Εδώ είναι η πιθανότητα της Ένωσης δύο γεγονότων, που είναι την πιθανότητα του Α στην πιθανότητα του Β, μειώνει την πιθανότητα της τομής. Αν βάλω εδώ μια συνθήκη Γ, μπορώ να την βάλω και εδώ τη συνθήκη Γ και δεν αλλάζει η εξίσωση. Δηλαδή όλοι οι τύποι που έχουμε μάθει, οι κανόνες κτλ, δεν αλλάζουν αν βάλουμε μια συνθήκη στο αριστερό και την ίδια συνθήκη την βάζουμε και στο δεξί μέρος της εξίσωσης. Τώρα, εδώ πέρα έχουμε την πιθανότητα της τομής θ1-θ2, το οποίο με τον προβλησιαστικό κανόνα είναι πιθανότητα θ1, επί την πιθανότητα θ2, δεδομένως το θ1. Αυτός είναι ο προβλησιαστικός κανόνας, η πιθανότητα που υπολογίζει η πιθανότητα της τομής δύο γεγονότων. Είναι η πιθανότητα του πρώτου, επί την πιθανότητα του δεύτερου, δεδομένως το 1. Τώρα, αν εδώ έχω μια συνθήκη ότι η ράβδος είναι καλή, ξέρω εγώ, αυτή η εξίσωση ο τύπος ισχύει αν βάλω και εδώ, δεδομένως είναι καλή, επί την πιθανότητα, δεδομένως είναι καλή. Και αυτή η πιθανότητα να είναι θετικός ο έλεγχος, όταν η καλή συνδροδοκός είναι 0,10. Αυτή η πιθανότητα τι λέει, η πιθανότητα ο δεύτερος ο έλεγχος να είναι θετικός, όταν η συνδροδοκός είναι καλή και ο δεύτερος ο έλεγχος να είναι καλός, είναι πάλι 0,10. Ανεξάρτητα δεν επηρεάζεται από το τι ήταν ο προηγούμενος έλεγχος, αν βάλω μία καλή συνδροδοκός, κάθε φορά που κάνω εγώ τον έλεγχο με το μηχάνημα, με 0,10 θα μου δώσει πιθανότητα ότι είναι ελατωματική. Με 0,10 θα βγει θετικός ο έλεγχος, όταν είναι καλή συνδροδοκός. Κάποιος θα πει ότι εδώ έχουμε και τη συνθήκη ότι ο προηγούμενος έλεγχος ήταν θετικός. Δεν το επηρεάζει το μηχάνημα, γιατί το μηχάνημα επηρεάζεται από το τι είναι η συνδροδοκός που ελέγχει. Αν είναι καλή, με πιθανότητα 10% αποβαίνει θετικός ο έλεγχος. Άρα λοιπόν εδώ έχουμε 10% και εδώ έχουμε 10%. Ναι, το ίδιο είναι, αλλά το έχω σαν πληροφορία εδώ πέρα. Δεδομένα ότι υπάρχουν αυτά τα πράγματα, βάλετε το μη αν θέλετε. Γιατί το τι θα αποβεί ο δεύτερος έλεγχος εξαρτάται, αν ξέρω τι είναι καλή συνδροδοκός είναι 10%. Αν δεν ήξερα τι είναι συνδροδοκός, τότε αλλάζει αυτή η πιθανότητα. Αν δεν ξέρω τι είναι συνδροδοκός που ελέγχω, δεν μπορώ να πω τι είναι 10%. Τα θήτα 1 και θήτα 2 δεν είναι ανεξάρτητα, από μόνο τους δεν είναι ανεξάρτητα. Η πιθανότητα θήτα 2 αυτή βγαίνει 10% δεδομένα ότι είναι καλή συνδροδοκός που ελέγχει. Αν δεν ξέρω τι είναι συνδροδοκός, αυτή η πιθανότητα ο δεύτερος έλεγχος να βγει θετικός, όταν ο πρώτος έλεγχος της συνδροδοκού ήταν θετικός, δεν είναι 10%. Δεν είναι, γιατί φανταστείτε ότι κάνω χίλιους ελέγχους εγώ μία συνδροδοκό, την κάνω χίλιους ελέγχους. Ο πρώτος θετικός, ο δεύτερος θετικός, ο τρίτος θετικός και σου λέω όλοι οι έλεγχοι που έκανα με το μηχάνημα αυτό βγαίνουν θετικοί. Θα κάνω ακόμα έναν έλεγχο. Εξακολουθείς να πιστεύεις ότι είναι καλή συνδροδοκός και εξακολουθείς να πιστεύεις ότι ο επόμενος έλεγχος θα είναι θετικός με 0,10%? Ή δεν μπορεί να είναι, γιατί η συνδροδοκός, όταν οι προηγούμενοι έλεγχοι άρα έκανα πολλούς γέρο θετικοί, αυξάνουν την υπόνοια ότι είναι λατωματικοί οι συνδροδοκός. Και εφόσον είναι λατωματικοί, στον επόμενο έλεγχο επιθανόνταν να είναι θετικός, θα πρέπει να πλησιάζει το 8% που έχω και όχι το 10%. Λοιπόν, έτσι είναι το πρόβλημα, έτσι είναι το μηχάνημα. Αυτή είναι η συνθήκη που επικρατεί εδώ πέρα. Υπάρχει και μια πορεία. Λοιπόν, άρα εδώ πέρα έχουμε 0,10 επί 0,10, 0,80, εδώ μπορούμε να βάλουμε 0,10, εδώ 0,10 και μετά κάτω έχουμε για τον ίδιο λόγο 0,20 επί την πιθανότητα πάλι θ1, θ2 δεδομένου ότι είναι ε, είναι 0,80 επί 0,80 και τελικά αυτό το άθλησμα ισούται περίπου με 0,13 και κάτι. Άρα, 13% των συνδροδοκών καταστρέφεται με την τακτική ότι μία συνδροδοκός καταστρέφεται όταν και οι δύο έλεγχοι είναι θετικοί. Άρα λοιπόν το 13% καταστρέφεται σε αυτή την περίπτωση και τώρα να υπολογίσουμε δεδομένου ότι 13% καταστρέφεται όταν και οι δύο έλεγχοι είναι θετικοί ποιο ποσοστό από αυτές που καταστρέφονται είναι καλές. Ασφαλώς το ποσοστό αυτό πρέπει να είναι αρκετά μικρό. Ποιο ποσοστό από αυτές που καταστρέφεται δηλαδή δεδομένου ότι ο έλεγχος είναι θετικός και στις δύο περιπτώσεις και την πρώτη φορά και την δεύτερη είναι θετικός ο έλεγχος ποιά η πιθανότητα ότι η συνδοδοκός είναι καλή. Σύμφωνα με το θεώρημα του Μπάιας έχουμε την πιθανότητα το παρομαστή 13% να είναι και οι δύο έλεγχοι θετικοί. Στον αριθμητή έχουμε ΠΚ επί ΠΦΤ 1ΦΤ2 δεδομένου του ΚΑΠΑ είναι 0,80 επί 0,10 και αυτό βγαίνει νομίζω πρέπει να είναι 6%. Άρα υπάρχει πιθανότητα 6% όταν η συνδοδοκός, όταν και οι δύο άλλοι είναι θετικοί, η πιθανότητα να είναι καλή είναι 6%. Αυτό είπαμε ότι είναι η πιθανότητα να είναι καλή όταν και οι δύο άλλοι είναι θετικοί ή από αυτές που καταστρέφονται το 6% είναι καλές, το 6%. Και το 94% από αυτές που καταστρέφονται είναι ελαττωματικές. Κοιτάξτε να δείτε τώρα τι γίνεται με τις ελαττωματικές. Με τις καλές είμαστε ευχαριστημένοι, δεν καταστρέφονται πολλές καλές συνδοδοχοί. Έχουμε όφειλος στην παραγωγή, ρίχνουμε το κόστο της παραγωγής διότι μόλις 6% από αυτές που καταστρέφονται είναι καλές αλλά από αυτές που καταστρέφονται το 94% είναι ελαττωματικές. Δηλαδή ενώ παράγουμε 20% ελαττωματικές στην αρχή της παραγωγής ξέρουμε ότι το 20% από αυτές που παράγονται είναι ελαττωματικές. Από το 13% που καταστρέφουμε το 6% από αυτές είναι ελαττωματικές άρα γύρω στο 12% των συνδοδοκών της παραγωγής καταστρέφονται. Άρα περίπου 8% έρχονται στην αγορά, δηλαδή αυτοί που αγοράζουν συνδοδοκούς το 8% είναι ελαττωματικές. Άρα λοιπόν βλέπουμε ότι αυτή η περίπτωση είναι δυο ελχυδεντικοί ρίχνουν το ποσοστό των καλών που καταστρέφονται αλλά αυξάνουν το ποσοστό των ελαττωματικών που φεύγουν στην αγορά. Ρίχνουν δηλαδή την ποιότητα της αγοράς. Και εσείς μπορείτε να απαντήσετε στο εξής. Ποιο ποσοστό από τους συνδοδοκούς που δεν καταστρέφονται είναι ελαττωματικές. Ποιο ποσοστό από τους συνδοδοκούς που δεν καταστρέφονται πότε δεν καταστρέφεται όταν δεν ισχύει η τομή. Να βρείτε ποιο ποσοστό από αυτές που δεν καταστρέφονται είναι ελαττωματικές. Θα το βρείτε με το θεώρημα του Bayes. Θα βρείτε την πιθανότητα του συμπληρωματικού με την ολική πιθανότητα. Και θα μου βρείτε από αυτές που δεν καταστρέφονται και φεύγουν στην αγορά ποιο ποσοστό είναι ελαττωματικές. Γιατί αυτό δείχνει την ποιότητα των συνδοδοκών. Εγώ το είπα πριν πιο πρακτικά αυτό. Εσείς θα το κολληπολογίσετε με την ολική πιθανότητα του συμπληρωματικού θ1, θ2 και με το θεώρημα Bayes αυτό που ζητάμε. Επίσης μπορείτε να το κάνετε και με έναν έλεγχο να βρείτε ποιο ποσοστό όταν κάνουμε έναν έλεγχο από αυτές που φεύγουν, από αυτές που δεν καταστρέφονται ποιο ποσοστό είναι ελατωματικές. Στην περίπτωση που κάνουμε έναν έλεγχο και δεν καταστρέφεται, δηλαδή είναι αρνητικός ο έλεγχος, ποιο ποσοστό είναι ελατωματικές, δηλαδή ζητάμε το ποσοστό αυτών που φεύγουν στην αγορά που είναι ελατωματικές. Και στις δύο περιπτώσεις θα βρείτε αυτά τα ποσοστά. Και θα δείτε ότι στην πρώτη περίπτωση είναι καλύτερη η ποιότητα στην πρώτη περίπτωση. Ενώ στην δεύτερη περίπτωση είναι καλύτερα για την παραγωγή εδώ πέρα, ρίχνουμε το κόστος παραγωγής, αλλά αυξάνουμε, ρίχνουμε την ποιότητα, αυξάνουμε το κόστος στο μάρκετινγκ. Φεύγουν πολλές ελατωματικές στο μάρκετινγκ. Και έτσι κανένας μπορεί να ρυθμίσει στο εργοστάσιο αν θα κάνει έναν έλεγχο ή δύο και τα λοιπά, ανάλογα με το τι θέλει να πετύχει, ποιος είναι ο στόχος, να αυξήσει την ποιότητα ή να ρίξει το κόστος της παραγωγής. Βλέπουμε λοιπόν πόσο χρήσιμη είναι η ολική πιθανότητα και το θεώρημα του πάγιας σε τέτοιες αποφάσεις που παίρνει ο μηχανικός. Υπάρχουν μέσα στο βιβλίο αρκετά προβλήματα στα οποία χρησιμοποιούμε την ολική πιθανότητα. Δεν θα προχωρήσουμε άλλο με την ολική πιθανότητα, θα κάνουμε κάποιες ασκήσεις για να θυμηθούμε λίγο αυτά που είπαμε στο παρελθόν. Και αύριο θα πούμε για τα ανεξάρτα γεγονότα. Θα κάνουμε και κάποιες ασκήσεις για να ολοκληρώσουμε αυτή την ενότητα, γιατί από την άλλη εβδομάδα θα περάσουμε στιγμές μεταβλητές. Αλλά πρέπει όμως να λύσουμε αρκετές ασκήσεις όσο μπορούμε, προβλήματα, για να μην έχουμε ασάθιες. Θα πρέπει, όπως είπαμε, να καταλάβουμε τις έννοιες και όλους τους κανόνες. Αλλά όχι μόνο αυτό, αλλά και να τις χρησιμοποιούμε στα διάφορα προβλήματα. Για να δούμε ένα πιο ευχάριστο πρόβλημα. Ένα γράμμα υπάρχει μέσα σε ένα από τα πέντε συρτάρια. Έχουμε πέντε συρτάρια, όπου μπορεί εδώ μέσα να υπάρχει ένα γράμμα. Με πιθανότητα Q. Με πιθανότητα Q υπάρχει ένα γράμμα μέσα στα πέντε συρτάρια. Υπάρχει δηλαδή η πιθανότητα ένα μειών Q να μην υπάρχει. Κανένα γράμμα μέσα. Λοιπόν, αν ψάξουμε σε ένα συρτάρι, ποια είναι η πιθανότητα να το βρούμε. Α1, Α2 μέχρι Α5 είναι τα γεγονότα ότι το γράμμα βρίσκεται μέσα στο πρώτο συρτάρι, ή στο δεύτερο, ή στο τρίτο, ή στο τέταρτο, ή στο πέμπτο. Υπάρχει πιθανότητα δηλαδή να είναι μέσα στο πρώτο, ή γενικά μέσα στο α συρτάρι, κι αυτής ούτε με Q πέμπτα. Γιατί το γράμμα βρίσκεται ισοπίθανα μέσα σε ένα συρτάρι, μέσα σε ένα από τα πέντε συρτάρια, με πιθανότητα Q. Αν ψάξω στο πρώτο συρτάρι, η πιθανότητα να το βρω, δηλαδή η πιθανότητα του α1, όπως λέω, είναι Q πέμπτα. Η πιθανότητα του α2 είναι Q πέμπτα. Έστω ότι έψαξα στα τέσσερα συρτάρια και δεν το βρήκα, ποια είναι η πιθανότητα να είναι στο πέμπτο συρτάρι. Μη βιάζεσαι να απαντήσεις εσύ. Θα μου πεις ότι είναι ένα, δηλαδή σίγουρα είναι. Θα ήταν ένα, αν το Q ήταν ένα. Δηλαδή αν σίγουρα ήταν εδώ μέσα και αν έψαχνες μέχρι το τέσσερα και δεν το έβρισκες, τότε όλοι θα μου λέγετε η πιθανότητα να είναι στο πέμπτο συρτάρι θα είναι ένα σίγουρα, θα είναι εκεί μέσα. Αλλά η πιθανότητα να είναι μέσα στα συρτάρια και στα πέντε είναι Q. Μπορεί και να μην είναι. Βλέπουμε εδώ πέρα ότι δεν μπορούμε πρακτικά να απαντήσουμε ή ανοιολογικά ή τι δε σανόμαστε. Γι' αυτό θα μας βοηθήσει η μεθοδολογία. Δηλαδή έχουμε την πληροφορία ότι συμβαίνει ποιο γεγονός. Ποια αλγυβρά των α1 α4. Δεν είναι μέσα στο α1 και δεν είναι μέσα στο α2, στο 2. Ούτε το 3α3 συμβαίνει ούτε το 4 συμβαίνει. Βεδομένου ότι συμβαίνει αυτή η τομή δεν είναι μέσα στο πρώτο, δεν είναι μέσα στο δεύτερο και δεν είναι μέσα στο τρίτο κτλ. Ποια η πιθανότητα να είναι στο πέντε. Η πιθανότητα που ψάχνουν είναι υποστητή και η πιθανότητα. Σε αυτό συμφωνείτε. Αυτό ισούτε με την πιθανότητα της τομής α5 τομή α1 όχι. Α1 όχι. Προς την πιθανότητα να μην είναι στο 1, να μην είναι στο 2, να μην είναι στο 3 και να μην είναι στο 4. Αυτή είναι η υποστηθή και η πιθανότητα. Σύμφωνα με τον τύπο της υποστηθής και πιθανότητας έχουμε στον παρανομαστή την πιθανότητα της τομής και στον αριθμητή έχουμε την πιθανότητα της τομής και τον 2. Και μπορούμε τώρα αυτά να τα υπολογίσουμε. Στον παρανομαστή αυτό γράφεται 1 μίαν την πιθανότητα. Η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι 1 μίαν την πιθανότητα του συμπληρωματικού. Αν πάρω το συμπληρωματικό αυτό, που είναι α1, α2, α3, α4, είναι το συμπληρωματικό της τομής. Και στον αριθμητή έχω τον πολοπλοσιαστικό κανόνα. Εδώ εφαρμόζω τον πολοπλοσιαστικό κανόνα. Είναι η πιθανότητα της τομής. Εφαρμόζω τον πολοπλοσιαστικό κανόνα. Η πιθανότητα του πρώτου, του α5, επειδή η πιθανότητα του α1 όχι δεδομένως ιχεί του α5, επειδή και τα λοιπά. Και έχω το πα5, όπως μου είπατε είναι Q, πέμπτα. Την πιθανότητα να μην συμβαίνει το α1, δεδομένου ότι συμβαίνει το α5, είναι 1. Επιβεί με τα 1, επί 1, επί 1. Γιατί η πιθανότητα να μην το βρω στο πρώτο, όταν το βρήκα στο 5, αν υπάρχει στο 5, είναι 1. Η πιθανότητα να μην υπάρχει στο 2, όταν υπάρχει στο 5, είναι 1. Και στον παραμαστή έχω 1-1. Νόμος Δε Μόρκαν είναι το συμπλήρωμα αφών των τομών. Οι τομές θα γίνουν ενώσεις. Και θα πάρω τα συμπληρωματικά των συμπληρωματικών, που είναι α1, α2, α3, α4. Είναι η πιθανότητα της ένωσης των 4 γεγονότων. Και μπορώ να προχωρήσω. Εδώ πέρα τώρα στον ανθλητή τι έχω. Έχω Q5. Στον παραμαστή έχω 1-1. Τη πιθανότητα της ένωσης των 4 γεγονότων. Είναι το άθρησμα τους, σύμφωνα με το αθρηστικό θεώρημα, είναι το άθρησμα τους. Δεν έχω να αφαιρέσω, να προσθέσω το μέσα ένα 2, 3 κτλ. γιατί είναι ξένα μεταξύ τους αυτά. Δηλαδή, εις το αλασιτάρι βρίσκεται, εις το άλλο δεν μπορεί να είναι και στα δύο. Άρα έχω 1- το άθρησμα των 4 πιθανότητων που είναι οι ίδιες και είναι Q5. Άρα 4Q5. Άρα αυτή είναι η πιθανότητα. Q5 προς 1-4Q5. Τώρα, αν το Q ήταν 1, το κλάσμα αυτό τι έβγαινε. Έβγαινε 1. Άρα μη σωστή η απάντηση. Λέω, αν το Q ήταν 1 εδώ πέρα, αν σίγουρα ήταν το γράμμα, η πιθανότητα αυτή που ψάχνω διαισθητικά είναι 1. Γιατί σίγουρα θα ήταν στο 5 αν δεν το είχα βρει μέχρι και το 4. Και απ' τον τύπο εδώ πέρα έχουμε, αν το Q βάλω 1, έχω 1-5 προς 1-4-5-1-5-1-5-1-5 που κάνει τη μονάδα. Έτσι λοιπόν, ναι. Επιθανότητα να εξήγησετε ξανά γιατί είναι 1 ή είναι στα 4 πιθανότητες. Είναι η πιθανότητα, εδώ έχουμε προπλωσιαστικό κανόνα. Εντάξει. Η πιθανότητα του πρώτου, που είναι Q5, επί την πιθανότητα του δευτέρου, δεδομένου συμβαίνει το α'-5, αυτή είναι 1. Είναι η πιθανότητα να μην το βρω στο πρώτο, όταν αυτό υπάρχει στο 5. Σίγουρα δεν θα το βρω στο πρώτο. Είναι η πιθανότητα να μην το βρω στο δεύτερο, όταν υπάρχει είναι 1, 1, 1. Άρα έτσι απαντάμε εδώ πέρα. Βλέπετε ότι δεν είναι δύσκολο, είναι υποσιθήκη πιθανότητα που βάλαμε. Βέβαια εγώ το έχω διαμορφώσει έτσι. Έχω εκφράσει το γεγονός ότι δεν το έχουμε βρει στα 4 θητάρια. Το έχω εκφράσει με ποια άλγευρα, με την τομή των 4α1α2 συμπληρωματικών. Και ζητάω την πιθανότητα να είναι στο 5. Με αυτή την άλγευρα εκφράζω τον γεγονός που το πήρε τότε η πιθανότητα. Και μετά εφαρμόζω την υποσιντήκη πιθανότητα. Εδώ εφαρμόζω τον πρωτοπεστασιαστικό κανόνα. Εδώ εφαρμόζω την πιθανότητα της τομής αυτών. Τώρα αυτά τα γεγονότα κάποιος θα μπορούσε να το βρει με τον πρωτοπεστασιαστικό κανόνα. Αυτό μπορείς να το υπολογίσεις με τον πρωτοπεστασιαστικό κανόνα. Εσένα λέω. Γιατί δεν το υπολόγησα με τον πρωτοπεστασιαστικό κανόνα και πήρα ένα μήρο την πιθανότητα του συμπληρωματικού. Γενικά, όταν θέλω την πιθανότητα της τομής ή της Ένωσης και δεν μπορώ να το υπολογίσω, συνηθίζω να παίρνω ένα μήρο την πιθανότητα του συμπληρωματικού, μήπως μπορώ εκεί να το υπολογίσω. Γιατί την πιθανότητα με τον πρωτοπεστασιαστικό κανόνα εδώ δεν μπορείς να την υπολογίσεις. Είναι η πιθανότητα α1, το μη α2, όχι, το μη α3, όχι, το μη α4, όχι. Αυτό εσύ ότι με τον πρωτοπεστασιαστικό κανόνα με παια1. Τι έχει μέσα, χρήματα? Άμα είναι φέτος την εδώ, εγώ την ξέχασα. Λοιπόν, για χαρά. Έχει τίποτα σημαντικό μέσα. Λοιπόν, γιατί δεν υπολογίσαμε τον πρωτοπεστασιαστικό κανόνα. Δεν έκανα κι αυτό το τρίκ. Είναι η πιθανότητα του πρώτου επί την πιθανότητα του δευτέρου. Πεδομένου συμβαίνει το πρώτο. Επί, επί. Ίσον. Αυτό είναι 1Q5. Άρα το συμπληρωματικό του είναι 1-Q5. Είναι τέσσερα... αυτό 1Q5 είναι 1-Q5. Αφού 1-Q5 είναι να το βρω το α1, το συμπληρωματικό του είναι 1-Q5. Πάμε εδώ. Αυτό με τι ίσιο τε. Εγώ δεν μπορώ να το υπολογίσω εύκολα εκείνο. Γιατί είναι με την πληροφορία ότι δεν βρέθηκε το πρώτο. Να πάρω την υποστηθήκη πιθανότητα. Αν πάρω την υποστηθήκη πιθανότητα, θα έχω πάλι πιθανότητα α1, όχι. Το μη α2, όχι. Προσπαίαν α1, έχω περίπου το ίδιο πρόβλημα που είχα και στην αρχή εδώ πέρα. Δεν μπορώ να το υπολογίσω. Δηλαδή, με αυτόν τον τρόπο, με το προβληθιαστικό κανόνα, δεν μπορώ να το υπολογίσω έτσι. Δυσκολεύομαι εδώ πέρα. Δυσκολεύομαι εδώ πέρα, γιατί αυτή η πιθανότητα δεν είναι 1-Q5 εδώ, γιατί έχω την πληροφορία ότι δεν το βρήκα στο πρώτο. Και αλλάζει η πιθανότητα αν το βρω ή όχι στο δεύτερο. Δεν παραμένει Q5 να βρίσκεται στο δεύτερο και 1-Q5 να μην βρίσκεται στο δεύτερο. Στο πρώτο καλώς. Στο πρώτο που ελέγχω, χωρίς καμιά άλλη πληροφορία, αφού Q5 είναι να το βρω, 1-Q5 είναι να μην το βρω στο πρώτο. Αλλά στο δεύτερο συμβεί με το προβληθιαστικό κανόνα, δεν είναι πΑ2 συμπλήρωμα, είναι δεδομένο ότι συμβαίνει το Α1 συμπλήρωμα. Αυτό το σκέφτεσαι εσύ διασυζητικά. Δεν ακολουθώ, όμως, τη δέση σύμου, ακολουθώ τη μεθοδολογία. Δεν είμαι σίγουρος γι' αυτό που λες και δεν ισχύει αυτό που λες, ότι θα πάει έτσι, θα πρέπει να το τεκμεριώσει πώς θα πάει. Κι άμα πας να το τεκμεριώσει δεν βγαίνει, ναι. Ναι, και εσύ προχωράς πάλι δυστητικά, όπως το εννοιολογικά, δηλαδή έτσι το σκέφτεσαι. Είπαμε όμως στην αρχή ότι πάνω καθένας προσπαθεί, όπως το σκέφτεται, να δώσει μία λύση, θα έχουμε διαφορετικές λύσεις και εφαντήσεις. Ακολουθούμε, όμως, τη μεθοδολογία. Και έδειξα ότι αυτό σίγουρα μπορώ να το εκτιμήσω, όχι με τον πρωπροστασιαστικό κανόνα, με τον πρωπροστασιαστικός κοντά αυτό εδώ πέρα. Ποια είναι η πιθανότητα να μην το βρω στο δύο? Δεν είναι ένα μειών και ο πέμπτε, γιατί έχω την πληροφορία ότι συμβαίνει κάποιο γεγονός. Και είναι υποστητική η πιθανότητα. Είναι αυτή εδώ. Αλλά αυτό εδώ, πάλι δεν μπορώ να το υπολογίσω, αυτό μπορώ να το υπολογίσω, αυτό δεν μπορώ να το υπολογίσω, γιατί έχει μία ισχολία με την τομή. Και είπα ότι αυτό εδώ πέρα είναι ένα μειών την πιθανότητα του συμπληρωματικού, την πιθανότητα της Ένωσης, μπορώ τώρα να την υπολογίσω, που είναι το άθλισμά τους, μειών την πιθανότητα της τομείς. Η τομή όμως δεν υπάρχει, γιατί αυτή την τομή δεν υπάρχει, γιατί εδώ λέει να υπάρχει στο ένα και να υπάρχει και στο δύο. Δεν μπορεί να συμβεί η τομή. Ενώ εδώ βλέπετε συμβαίνει η τομή, η τομή να μην υπάρχει εδώ και η τομή να μην υπάρχει εκεί συμβαίνει. Εδώ όμως δεν μπορεί να συμβεί, φεύγουν οι τομές, που είναι εμπόδιο για μένα, και μένει το άθλισμα των πιθανότητας τους, που το ξέρω, που είναι κυου πέμπτα, κυου πέμπτα, κυου πέμπτα. Δηλαδή, από αυτόν τον δρόμο οδηγούμε στη λύση. Βλέπετε ότι η απάντηση είναι εύκολη, την καταλαβαίνει κανένας αν την πω εγώ. Αλλά πως θα μπορέσετε κι εσείς να φορμάρετε έτσι τα προβλήματα, ή ύστερα από εξάσκηση, ύστερα από εκπαίδευση, κάνοντας τα παραδείγματα που έκανα εγώ, μόνοι σας, κάνοντας ασκησούλες, βλέποντας τις λύσεις από το βιβλίο, κτλ. Εντάξει. Να κάνουμε και μερικές ασκήσεις ακόμα. Υπάρχει απορία? Εδώ. Εδώ. Εδώ. Εδώ είπαμε ότι, έστω ότι ψάξαμε στα τέσσερα συρτάρια και δεν το βρήκαμε. Δηλαδή στο α1 γεγονός και το α2 όχι και το α3 όχι και το α4 όχι. Συμβαίνουν αυτά. Ψάξαμε στα τέσσερα και δεν το βρήκαμε. Δηλαδή είναι η τομή των συμπληρωματικών α1, α2, α4. Γιατί α1 και α2, α4 είναι το γεγονός ότι υπάρχει μέσα στο 1, υπάρχει μέσα στο 2, συρτάρια κτλ. Ποια είναι η πιθανότητα να το βρούμε, να συμβαίνει το α5. Ποια είναι η πιθανότητα να το βρούμε, να συμβαίνει το α5. Να το βρούμε στο πέμπτο συρτάρι. Αυτή είναι υποσυνθήκη πιθανότητα. Υποσυνθήκη πιθανότητα έχει αυτόν τον τύπο. Στον παρανομαστή βάζουμε την πιθανότητα αυτής της τομής. Και στον αριστερτητή βάζουμε την πιθανότητα του α5, το μη, το άλλο γεγονός. Και εδώ εφαρμόζουμε τον προποδοσιαστικό κανόνα. Που είναι η πιθανότητα του πρώτου επί την πιθανότητα του δευτέρου, δεδομένως συμβαίνει το πρώτο. Όπως εδώ. Αλλά η πιθανότητα του α5 είναι Q5. Η πιθανότητα να το βρω στο πέμπτο συρτάρι είναι Q5. Q25. Η πιθανότητα να το βρω στο άλλο συρτάρι, δεδομένως το βρήκα... Η πιθανότητα, συγγνώμη, να μην το βρω στο πρώτο συρτάρι, δεδομένως το βρήκα στο πέμπτο. Είναι το σίγουρο γεγονός. Αφού το βρήκα στο πέντε, η πιθανότητα να μην το βρω στο άλλο συρτάρι, ένα, δύο και τα λοιπά, είναι 1. Είναι μονάδες. Δέστε πάλι, ξαναδιαβάσετε την ασκησούλα, προσπαθήστε να την κάνετε μόνη σας. Σκεφτείτε πάνω εδώ πέρα γιατί έτσι μπορείτε να προχωρείτε τις πιθανότητες. Δεν μπορείτε μία και έξω να δείτε τους κανόνες, τις έννοιες, να κάνετε δύο παραδείγματα και να πείτε έτσι θα κάνω και τα υπόλοιπα του. Κάθε ένα έχει μια ιδιωτηρότητα με την οποία θα το εκφράσεις με μία άλγυβρα γεγονότων, που θα ορίσεις το μη, ένωση κτλ. Και στη συνέχεια θα εφαρμόσεις την ολική πιθανότητα, το υπομυθιαστικό κανόνα ή την πιθανότητα της ένωσης. Λίγοι είναι οι κανόνες που μάθαμε και η άλγυβρα είναι σχετικά εύκολη, αλλά πρέπει να κάνεις εκπαίδευση στα διαφορετικά προβλήματα. Άρα δεν υπάρχει πορεία να πω κάτι, ένα απλό παράδειγμα. Έχουμε μία κάλπη που έχει 15 καλά και 5 ελαττωματικά. Και είπαμε ότι παίρνουμε από αυτήν αν δύο ανταλλαχτικά, χωρίς επανατοποθέτηση. Ποια επιθανότητα είχαμε πει και τα δύο να είναι ελαττωματικά, το είχαμε βρει. Ποια επιθανότητα αν πάρουμε τα δύο και δούμε ότι το ένα είναι ελαττωματικό αν και το άλλο, το είχαμε πει και αυτό. Και τώρα λέω ποια επιθανότητα το δεύτερο να είναι ελαττωματικό. Ποια επιθανότητα το δεύτερο να είναι ελαττωματικό. Αν α1 είναι το πρώτο, έχω μία διαμέριση όσα φορά το πρώτο ανταλλαχτικό που πήρα, μπορεί να είναι ελαττωματικό, μπορεί και να μην είναι. Άρα το α1 και το συμπλήρωμα του α1 αποτελούν διαμέριση του ελαττωματικού χώρου. Δηλαδή, είτε το ένα συμβαίνει ή το άλλο, δεν υπάρχει άλλη περίπτωση. Δεν μπορώ να συμβούν και τα δύο μαζί, όσα φορά την επιλογή του πρώτο ανταλλαχτικού, την επιλογή του πρώτο. Μπορεί να είναι ελαττωματικό, μπορεί και να μην είναι. Θέλουμε και την πιθανότητα να είναι το πρώτο ελατωματικό και να μην είναι, είναι πέντε εικοστά και το άλλο να μην είναι δεκαπέντε εικοστά. Και θέλουμε την πιθανότητα το δεύτερο να είναι ελατωματικό. Αυτή η πιθανότητα, όταν έχω μία διαμέριση, μπορώ με κλειστά μάτια να γράψω την πιθανότητα, την ολική πιθανότητα που είναι η πιθανότητα του α1 επί την πιθανότητα του α2. Δεδομένον ότι συμβαίνει το α1, συν την πιθανότητα του α1 να μην συμβαίνει, επί την πιθανότητα του α2, δεδομένον ότι δεν συμβαίνει το α1. Είπα ότι αν έχω μία διαμέριση, όποια διαμέριση θέλεις του δημοτικού χώρου και ζητώ την πιθανότητα του α2, μπορώ να γράψω αυτήν την εξίσουση της ολικής πιθανότητας. Σίγουρα μπορώ να τη γράψω αυτήν την εξίσουση. Και τώρα εύκολα οδηγούμε στο ζητούμενο, γιατί ποια επιθανότητα το α1, είπαμε ότι είναι 520. Ποια επιθανότητα το δεύτερο είναι αναλογιματικό όταν είναι το πρώτο, σημαίνει έφυγε το ένα αναλογιματικό και έμεναν 4 τα 19. Εδώ, ποια επιθανότητα η πρώτη επιλογή να μην έχει ελαττωματικό, είναι 1520. Επί την πιθανότητα το α2, δεδομένου ότι η πρώτη επιλογή δεν έβγαλε έξω ελαττωματικό αλλά και έβγαλε καλό, άρα μένουν 5 ελαττωματικά στα 19. Άρα λοιπόν έτσι σίγουρα υπολογίζω την πιθανότητα. Κάποιος άλλος θα μπορούσε να την εκτιμήσει με τον κλασικό τρόπο. Η πιθανότητα το α2 είναι όλες οι δυνατές περιπτώσεις του δειγματικού χώρου όσα αφορά τα ζευγάρια και εδώ είναι τα ζευγάρια το α2 όπου το δεύτερο είναι ελαττωματικό. Αν πάρω εγώ δύο ανταλλακτικά που πήρα έξω από τα 20 πώς είναι όλες οι δυνατές διάδες είναι συνδυασμοί των 20 ανα 2. 20 παραγωτικό προς 20-2 παραγωτικό επειδή παραγωτικό. Όλες οι δυνατές διάδες που πήρα έξω από το κυβώτιο. Το γεγονός α2 περιλαμβάνει ποιες διάδες όπου το δεύτερο είναι ελατωματικό όπου το δεύτερο όχι μόνο το δεύτερο το δεύτερο να είναι ελατωματικό. Είναι όλες οι δυνατές διάδες όπου και τα 2 είναι ελατωματικά είναι συνδυασμοί των 5 ανα 2 δηλαδή αν και τα 2 είναι ελατωματικά επειδή είναι 5 όλες οι δυνατές συνδυασμοί είναι 5 ανα 2 συν όλες οι δυνατές διάδες όπου μόνο το 1 το δεύτερο είναι ελατωματικό και το πρώτο καλό όλες οι δυνατές διάδες όπου το δεύτερο είναι ελατωματικό και το πρώτο καλό είναι να έχω το πρώτο ελατωματικό με τα 15 καλά μετά το δεύτερο ελατωματικό με τα 15 καλά και το καλό δηλαδή 15 επί 5. Έτσι λοιπόν στον αριθμητή έχω όλες τις διάδες όπου σίγουρα το δεύτερο είναι ελατωματικό και περιλαμβάνει τις διάδες όπου και τα 2 είναι ελατωματικά συνδυασμοί 5 ανα 2 συν τις διάδες όπου μόνο το δεύτερο είναι ελατωματικό δηλαδή το πρώτο να είναι ξέρω εγώ καλό και το δεύτερο ελατωματικό και αυτό το συνδυάζω με τα 15 την πρώτη θέση μπορεί να την έχει 1 τα 15 καλά και τη δεύτερη θέση μπορεί να την έχει 1 από τα 5 ελατωματικά είναι 15 επί 5. Και το βρίσκουμε το κλασικό τρόπο όποιος όμως δεν μπορεί να σκεφτεί το κλασικό τρόπο αυτούς τους συνδυασμούς ακολουθεί τη μεθοδολογία που μάθαμε και το βρίσκει σίγουρα. Αύριο θα μιλήσουμε για τα ανεξάρτητα γεγονότα θα πούμε κάποιες ασκήσεις ή απορίες που έχετε γιατί από την άλλη εβδομάδα θα περάσουμε στις τυχές μεταβλητές. |
