| : [♪ Μουσική Παιδιά, γεια σας! Καλώς ήρθατε στο σημερινό μάθημα. Ονομάζομαι Χριστολουκά Ιωάννα και θα κάνουμε μαθηματικά. Συγκεκριμένα, σήμερα θα ασχοληθούμε με ένα τμήμα των μαθηματικών που ονομάζεται Γεωμετρία. Πάμε να δούμε αρχικά, πριν ξεκινήσουμε, τι σημαίνει Γεωμετρία. Γεωμετρία είναι μια σύνθετη λέξη που προέρχεται από τη Γη και το λέξι μετρό. Και είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά τον χώρο που ζούμε. Στην αρχαία εποχή, όταν οι άνθρωποι ήθελαν να οριοθετήσουν την περιουσία τους, ξεκίνησαν να μετράνε τα χωράφικα τους. Έτσι, λοιπόν, ξεκίνησε η Γεωμετρία. Όμως, ως επιστήμη, άρχισε να αναπτύσσεται στην αρχαία Ελλάδα. Οι πρώτοι Έλληνες σοφοί που ασχολήθηκαν με τα μαθηματικά, και συγκεκριμένα για τη Γεωμετρία, ήταν ο Θαλής ο Μιλήσιος και ο Πιθαγόρος ο Σάμιος. Εμείς σήμερα θα ασχοληθούμε με ένα ξεχωριστό κομμάτι της Γεωμετρίας, διότι η Γεωμετρία είναι ένας μεγάλος όγκος πληροφοριών. Θα μάθουμε, λοιπόν, σήμερα για τα Γεωμετρικά Σχήματα. Τα Γεωμετρικά Σχήματα είναι ένα σύνολο στοιχείων στον χώρο που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Τα Γεωμετρικά Σχήματα είναι σημαντικό να γνωρίζουμε πως έχουν μόνο δύο διαστάσεις. Το μήκος και το πλάτος. Δεν έχουν δηλαδή βάθος, δεν μπορούμε να το πιάσουμε. Είναι σε ένα επίπεδο, όπως είπαμε. Πάμε να ξεκινήσουμε, λοιπόν, με την πρώτη κατηγορία των Γεωμετρικών Σχημάτων, που είναι τα τετράπλευρα. Όπως λέει και η ονομασία τους, έχουν τέσσερις πλευρές και τέσσερις γωνίες. Το σημαντικό που πρέπει να θυμάστε είναι πως αν προσθέσουμε τα μέτρα των τεσσάρων γωνιών, θα βρούμε 360 μοίρες. Εδώ θα ήθελα να σημειώσω πως όπως το μήκος μετράμε σε μέτρα, εκατοστά, δεκατόμετρα, έτσι λοιπόν και τις μοίρες, τις μετράμε σε μοίρες. Άρα λοιπόν, αν προσθέσουμε όλες τις γωνίες, θα βρούμε 360 μοίρες. Πάμε να γνωρίσουμε τώρα ποια είναι τα τετράπλευρα. Όπως βλέπετε έχουμε το τετράγωνο, το ρόμβο, το τραπέζιο, το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και το παραλληλόγραμμο. Εμείς τώρα θα δούμε ένα-ένα ξεχωριστά και τα χαρακτηριστικά του. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με το τετράγωνο. Το τετράγωνο έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Στο τετράγωνο το οποίο βλέπετε εδώ, έχουμε ονομάσει τις τέσσερις κορυφές του ως α, β, γ και δ. Άρα λοιπόν οι πλευρές του είναι η αβ, η βγ, η γδ και η δα. Όλες αυτές είναι ίσες. Εκτός από τις πλευρές, ένα τετράγωνο έχει ίσες και όλες του τις γωνιές, οι οποίες είναι ορθές. Τι σημαίνει ορθή γωνία, ότι οι πλευρές τους είναι κάθετες μεταξύ τους. Άρα το μέτρο τους είναι 90 μήρες. Συνεπώς, αν εγώ προσθέσω 4 x 90 ή κάνω πολλαπλασιασμό 4 x 90, θα βρω 360 μήρες όπως είπαμε πριν, που ισχύει για όλα τα τετράπλευρα. Συνεχίζουμε στο επόμενο σχήμα μας που είναι το ορθογώνιο παραλληλόγραμο. Το ορθογώνιο παραλληλόγραμο έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες. Δηλαδή, στο συγκεκριμένο που βλέπετε αυτή τη στιγμή, η αβ έχει την απέναντί της τη γδ. Άρα αυτές οι δύο είναι ίσες μεταξύ τους. Αντίστοιχα, η αδ είναι ίση με τη βγ. Όλες οι γωνίες ενός ορθογώνιου παραλληλόγραμμου είναι ίσες, όπως ακριβώς και του τετραγώνου. Επίσης, είναι ορθές, που σημαίνει ότι είναι 90 μήρες. Και εδώ ισχύει ότι 4 x 90 είναι 360 μήρες. Συνεχίζουμε. Πάμε στο παραλληλόγραμο ή πλάγιο παραλληλόγραμο. Και εδώ, όπως και στο ορθογώνιο παραλληλόγραμο, οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Δηλαδή, αβίτα ίσον δελταγάμα και αδίλτα ίσον βίταγάμα. Εδώ πρέπει να προσέξουμε πως οι γωνίες δεν είναι ορθές. Άρα, γι' αυτό και δεν ονομάζεται και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Οι γωνίες, οι οποίες είναι ίσες, είναι όπως και οι πλευρές. Δηλαδή, όπως είναι οι απέναντι πλευρές ίσες, έτσι και οι απέναντι γωνίες είναι ίσες. Εδώ θέλω να προσέξετε λίγο το σχήμα μας. Όπως βλέπετε, η γωνία που αντιστοιχεί στην κορυφή α, την ονομάζουμε α μικρό. Άρα λοιπόν, η γωνία α μικρό έχει απέναντί της τη γωνία γ μικρό. Επομένως αυτές οι δύο είναι ίσες. Το ίδιο ισχύει και για το άλλο ζευγάρι γωνιών. Η δέλτα γωνία είναι ίση με τη β γωνία. Συνεχίζουμε. Το επόμενο τετράπλευρο με το οποίο θα ασχοληθούμε είναι ο ρόμβος. Έχει όλες τις πλευρές του ίσες, δηλαδή αβ, ίσον βγ, ίσον γδ, ίσον δαα. Και όπως το πλάγιο παραλληλόγραμμο ή σκέτο παραλληλόγραμμο, έχει τις απέναντι γωνίες ίσες. Βλέποντας το σχήμα, η γωνία α είναι ίση με τη γωνία γ και η γωνία β είναι ίση με τη γωνία δ. Αν τις προσθέσω όλες αυτές μαζί, πάλι θα μου δώσει 360 μοίρες. Και πάμε να δούμε και το τελευταίο μας τετράπλευρο για σήμερα, που είναι το τραπέζιο. Το τραπέζιο οφείλει το όνομά του στο σχήμα του που μοιάζει με ένα τραπέζι. Θα μπορούσαμε να το φανταστούμε λοιπόν σαν ένα τραπέζι. Έχουμε μία μικρή πλευρά και μία μεγάλη πλευρά στο σχήμα. Ονομάζεται αβ η μικρή και γδ η δελταγάμα, το ίδιο είναι, η μεγάλη. Αυτές είναι άνησες μεταξύ τους. Οι άλλες δύο, η αδ και η βγ, είναι ίσες μεταξύ τους. Οι άνησες πλευρές είναι μεταξύ τους παράλληλες. Δηλαδή η αβ είναι παράλληλη με τη δελταγάμα. Γιατί τι σημαίνει παράλληλη, ότι όσο και να τις επεκτείνουμε δεν θα συναντηθούν ποτέ. Δεν θα έχουν κανένα κοινό σημείο, δεν θα έχουν κανένα σημείο τομής, όπως το λέμε. Εδώ ολοκληρώνουμε τα τετράπλευρα. Πάμε στην επόμενη ομάδα γεωμετρικών σχημάτων, που είναι τα τρίγωνα. Όπως λοιπόν και τα τετράπλευρα, το έλεγε ήδη το όνομά τους, τα τρίγωνα έχουν τρεις γωνίες, άρα τρεις πλευρές, και το άθρησμα τώρα των γωνιών τους είναι 180 μοίρες. Πάντα είναι κανόνας. Πάμε να γνωρίσουμε τα τρία βασικά είδη των τριγόνων. Έχουμε λοιπόν ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα ισοσκελέστριγωνο και ένα σκαλινό τρίγωνο. Πάμε να δούμε για το καθένα ξεχωριστά τα χαρακτηριστικά του. Το ισόπλευρο τρίγωνο, όπως το λέει και το όνομά του, έχει όλες τις πλευρές ίσες. Άρα, στο τρίγωνο μας, το οποίο το έχουμε ονομάσει ΑΒΓ, η πλευρά ΑΒ είναι ίση με τη ΒΓ και επίσης είναι ίση και με τη ΓΑΑ. Ακόμα έχει όλες τις γωνίες ίσες. Η Α είναι ίση με τη Β, ίση με τη Γ. Επομένως μπορούμε να ξέρουμε ότι πάντα οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγόνου, η κάθε μία ξεχωριστά, θα είναι 60 μοίρες. Γιατί? Γιατί είπαμε ότι το άθροισμα των γωνιών του τριγόνου είναι 180. Αφού και οι τρεις είναι ίσες, μπορώ απλά να κάνω 180 δια 3 και θα μου βγει 60 μοίρες η κάθε μία. Συνεχίζω με το ισοσκελέστριγωνο. Το ισοσκελέστριγωνο έχει τις δύο πλευρές ίσες. Εδώ έχω ονομάσει το τρίγωνο μου ΑΒΓ. Όπως βλέπετε οι πλευρές οι οποίες είναι ίσες είναι η ΑΒ και η ΑΓ. Έτσι όπως το έχουμε σχεδιάσει, μπορούμε να δούμε και από πού προέρχεται και το όνομά του. Ισοσκελές σημαίνει ίσα σκέλη, άρα ίσα πόδια. Όπως βλέπετε η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την ΑΓ, άρα θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι τα πόδια του. Επίσης δεν έχει και τις τρεις γωνίες ίσες, αλλά μόνο τις δύο. Και εδώ μπορείτε να δείτε ότι η Β ισούται με τη Γ. Πάμε να δούμε και το τελευταίο τρίγωνο μας, που είναι το σκαλινό τρίγωνο. Το σκαλινό τρίγωνο δεν έχει καμία πλευρά ίση και δεν έχει και καμία γωνία ίση. Το τελευταίο γεωμετρικό σχήμα με το οποίο θα ασχοληθούμε σήμερα είναι ο κύκλος. Ο κύκλος έχει δύο βασικά στοιχεία, το κέντρο και την ακτίνα. Πάμε να δούμε τι είναι το καθένα ξεχωριστά. Το κέντρο στην εικόνα που βλέπετε μπροστά σας έχει συμπολιστεί με το γκ. Και είναι το σημείο μέσα στον κύκλο μας που απέχει το ίδιο από όλα τα σημεία της γραμμής του κύκλου. Ακτίνα τώρα, που είναι το ρ, είναι η απόσταση ανάμεσα στο κέντρο και στη γραμμή του κύκλου. Συνεπώς, κύκλος ονομάζεται το γεωμετρικό σχήμα που όλα τα σημεία του απέχουν από το κ, δηλαδή από το κέντρο του, απόσταση ίση με το ρ, απόσταση ίση με την ακτίνα του. Να σημειώσω πως ένας κύκλος έχει άπειρες ακτίνες και όλες οι ακτίνες είναι ίσες μεταξύ τους. Πάμε τώρα, λοιπόν, να εξασκηθούμε πάνω σε όσα μάθαμε. Άσκηση 1. Ένα τετραγωνικό οικόπεδο έχει περίμετρο 240 μέτρα. Πόσα μέτρα είναι η κάθε πλευρά του. Εδώ να θυμηθούμε ότι περίμετρος ονομάζεται το άθροισμα, το συνολικό μήκος της γραμμής ενός σχήματος. Με άλλα λόγια, να το πω πιο απλά, το γύρο-γύρο του σχήματος. Άρα, λοιπόν, εμείς γνωρίζουμε ότι σε ένα οικόπεδο, το οποίο είναι τετράγωνο, το γύρο-γύρο του, το άθροισμα των γραμμών του είναι 240 μέτρα. Και εμείς θέλουμε να βρούμε την κάθε μία, τη μία πλευρά. Πάμε να θυμηθούμε τις ιδιότητες του τετραγώνου. Τι ξέρουμε εμείς για το τετράγωνο, ότι όλες οι πλευρές του είναι ίσες. Πόσες πλευρές έχει, παιδιά, το τετράγωνο, το λέει και η λέξη 4. Άρα, λοιπόν, με μία πάρα πολύ απλή πράξη, με μία απλή διέρεση, μπορούμε να βρούμε την πλευρά του. Πάμε να το κάνουμε. Λέμε λοιπόν, η συνολική περίμετρος είναι 240. Πόσες πλευρές έχω, έχω 4. Συνεπώς, αν χωρίσω εγώ το 240 δια 4, δηλαδή σε 4 μέρη, τότε θα βρω τη μία πλευρά. 240 δια 4 είναι πάρα πολύ εύκολο να το βρούμε, διότι βασίζεται στην προπαίδεια, ίσον με 60 μέτρα. Άρα, λοιπόν, με μία απλή πράξη, με μία απλή διέρεση, βρήκα από τη περίμετρο την πλευρά του τετραγώνου. Πάμε σε μία επόμενη άσκηση. Άσκηση 2 λοιπόν. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με περίμετρο 16 μέτρα και μήκος 5 μέτρα, να βρείτε το πλάτος. Στο μεταξύ, λοιπόν, εγώ έχω ήδη σχεδιάσει το σχήμα μας στον πίνακα, για να μην φάμε πολύ χρόνο. Ξέρουμε, λοιπόν, ότι έχουμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, το έχω ονομάσει εγώ α, β, γ, δ. Ξέρω ότι η περίμετρός του π, του α, β, γ, δ είναι 16 μέτρα. Και το μήκος του, δηλαδή η μεγάλη πλευρά, είναι 5 μέτρα. Εμείς θέλουμε να βρούμε το πλάτος του, δηλαδή τη μικρή πλευρά, είτε το α, δ, είτε το β, γ. Εξάλλου είναι ίσες πλευρές. Τι θυμόμαστε εμείς τώρα? Ξέρουμε ότι έχει τέσσερις πλευρές το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Και είναι ανά δύο ίσες, ή απέναντι δηλαδή ίσες. Άρα, εγώ ξέρω τη β, γ. Ποια πλευρά είναι απέναντι, μα φυσικά η α, β. Άρα, λοιπόν, πάω και γράφω ότι και αυτή εδώ είναι 5 μέτρα. Τι πάω και σκέφτομαι. 5 και 5 μέτρα που είναι το μήκος, 5 και 5, μου κάνει 10 μέτρα. Άρα, λοιπόν, από τα 16 της περιμέτρου, εγώ ξέρω ήδη ότι τα 10 μέτρα αντιστοιχούν στο μήκος. Συνεπώς το υπόλοιπο είναι το πλάτος. Κάνω μια γελία αφαίρεση, θα έλεγα, που δεν χρειάζεται καν. Απλώς τι κάνουμε για να είμαστε συνεπείς. 16 μίον 10 μας κάνει 6 μέτρα. Άρα τα 6 μέτρα είναι στο πλάτος. Ξέρω όμως ότι εδώ και το αδ και το βγ που αντιστοιχούν, είναι οι πλευρές που αντιστοιχούν στο πλάτος, είναι ίσες μεταξύ τους. Άρα τι θα πάω να κάνω. Φυσικά θα χωρίσω το 6 δια 2. 6 λοιπόν δια 2, ίσον 3 μέτρα. Βρήκα λοιπόν ότι το πλάτος αυτού του ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 3 μέτρα. Πάω και το γράφω, 3 μέτρα, 3 μέτρα. Και έτσι λοιπόν βρήκα όλες τις διαστάσεις αυτού του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Πάμε στην άσκηση 3. Να βρείτε τις υπόλοιπες γωνίες του ρόμβου. Εδώ μιλάμε για γωνίες. Πάμε να θυμηθούμε. Ο ρόμβος ανήκει στα τετράπλευρα. Τι έχουμε πει παιδιά εμείς για τα τετράπλευρα. Ότι το άθροισμα των γωνιών είναι 360 μήρες. Εδώ ξέρω τις δύο από τις τέσσερις. Ξέρω όμως ότι στον ρόμβο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες. Άρα δεν θα χρειαστεί καν να χρησιμοποιήσω το 360 μήρες. Εδώ λοιπόν έχω την δέλτα γωνία, που είναι 110 μήρες. Άρα οι απέναντί της που είναι β θα είναι και αυτοί 110 μήρες. Και έχω την άγφα γωνία που είναι 70 μήρες. Οπότε και οι ακριβώς απέναντί της που είναι η γάμα θα είναι και αυτοί 70 μήρες. Αυτό μπορώ και να το επαληθεύσω. Αν κάνω την πρόσθεση θα βρω φυσικά ότι το σύνολο είναι 360 μήρες. Συνεχίζω. Άσκηση 4. Να βρείτε τη γωνία β του τριγόνου. Πάμε να θυμηθούμε τώρα για τις γωνίες του τριγόνου. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγόνου είναι πάντα 180 μήρες. Εδώ λοιπόν έχουμε γνωστές δύο γωνίες. Την άλφα που είναι 90 μήρες. Άρα σκεφτόμαστε ότι πρόκειται και για ένα ορθογώνιο τρίγωνο, καθώς έχει μία ορθή γωνία. Και την γάμα πλευρά που είναι 60 μήρες. Τι θα πάω να κάνω. Ξέρω λοιπόν αυτές τις δύο και ξέρω ότι όλες μαζί είναι 180. Και ψάχνω τη γάμα. Πολύ σωστά θα έχετε σκεφτεί ότι για να βρω τώρα την γάμα γωνία, θα πάω να προσθέσω την άλφα και τη γάμα, που είναι γνωστές και μου τις δίνει η άσκηση. Άρα λοιπόν έχω 90 μήρες και 60 μήρες, ίσον 150 μήρες, να βάλουμε και το σημαδάκι. Εμείς θέλουμε να φτάσουμε στο 180. Επομένως το υπόλοιπο, η διαφορά ανάμεσα στο 150 και στο 180, είναι η γωνία που ψάχνουμε, η γωνία β. Με μία απλή αφαίρεση λοιπόν, 180 μήρες μίον 150 μήρες, θα βρω 30 μήρες που είναι ίσο με τη γωνία β. Αυτό το σημαδάκι εδώ, παιδιά, είναι καλό να το βάζουμε όταν μιλάμε για γωνίες. Είναι σαν ένα καπελάκι, διότι έτσι φαίνεται ότι το β είναι γωνία και όχι κάποιο σημείο. Πάμε και στη τελευταία μας άσκηση, που έχει να κάνει με ένα ισοσκελές τρίγωνο. Μας δίνει ότι η γωνία α είναι 40 μήρες. Και εμείς ψάχνουμε τις άλλες δύο. Όπως είχαμε δει στο ισοσκελές τρίγωνο, οι δύο γωνίες, αυτές που είναι προς τη βάση, είναι ίσες. Άρα, άμα βρω εγώ πόσο είναι και οι δύο μαζί, θα μπορώ να βρω και τη κάθε μία ξεχωριστά. Υπενθυμίζω ότι το άθρισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μήρες. Πάμε λοιπόν να δούμε. Αν εγώ από το 180 βγάλω το 40, πόσο θα μου μείνουνε? Πολύ εύκολη πράξη, 140 μήρες. Οι 140 μήρες που βρήκα αντιστοιχούν και στις δύο γωνίες μαζί. Οι οποίες όμως γωνίες, παιδιά, είναι ίσες. Άρα τι θα κάνω. Με μία απλή διέρεση, 142, που μου βγαίνει 70, βρήκα αυτομάτως τη γωνία Γ και τη γωνία Β, του ισοσκελούς τριγώνου στο οποίο αναφερόμαστε. Αυτό λοιπόν ήταν το μάθημά μας. Πιστεύω ότι από εδώ και πέρα δεν θα έχει κανείς πρόβλημα στα γεωμετρικά σχήματα. Ευχαριστώ πολύ. Να περνάτε όμορφα! |
