| Διάλεξη 9: Αυτό είναι το θέμα το οποίο είναι πάρα πολύ χρήσιμο στη Φυσική και γιατί είναι πολύ χρήσιμο στη Φυσική γιατί ουσιαστικά πάρα πολλά μεγέθη της Φυσικής παρουσιάζονται με τη φυσιολογία της Φυσιολογίας οπότε το πιο σημαντικό είναι να δούμε ποια είναι αυτά τα λεγόμενα διανισματικά πεδία εκτός από τα διανισματικά όλο τον καιρό το μέχρι τώρα μιλούσαμε για αριθμητικά πεδία η λέξη πεδία τι σας λέει εσάς την έχετε ξανακούσει δηλαδή με τη λέξη πεδία τι πιστεύετε ότι εννοούμε και ας γυρίσουμε να δούμε αν ξέρετε όταν ακούστε τη λέξη αριθμητικά πεδία και πέστε μου μια συνάρτηση αριθμητική που ξέρετε από τη φυσική και τι σημαίνει αριθμητικό πεδίο για αυτή τη συνάρτηση πέστε μου μια από τη φυσική αριθμητική συνάρτηση ξέρετε καμία τη δυναμική ενέργεια η δυναμική ενέργεια είναι μια συνάρτηση η οποία αν είναι στο χώρο αν μιλάμε για τη δυναμική ενέργεια στο χώρο μιλάμε για μια τέτοια συνάρτηση και τι σημαίνει αριθμητικό πεδίο σε αυτή τη συνάρτηση είναι ότι αυτή η συνάρτηση ουσιαστικά έχει μια τιμή σε κάθε σημείο του χώρου οπότε μπορούμε αν πάω σε οποιοδήποτε με βάση αυτή την έκφραση μπορώ να δημιουργήσω εδώ πέρα αριθμούς που λέει ότι εδώ πέρα είναι τρία το πεδίο εδώ είναι ξέρω έχει την τιμή πέντε σε αυτές τις θέσεις εννοώ έτσι οπότε μπορείτε να φτιάξετε και καμπύλες που ενώνουν όλα τα πεντάρια οπότε αυτές να είναι ισοσταθμικές καμπύλες με τιμή της συνάρτησης που να είναι πέντε Άρα λοιπόν ένα αριθμητικό πεδίο φανταστείτε ένα πεδίο στο οποίο σε κάθε σημείο το αριθμητικό πεδίο της δυναμικής ενέργειας είναι αριθμητικό διότι δεν ενδιαφέρει η διεύθυνση έχει μια τιμή στο χώρο και αυτή η τιμή του μας περιγράφει το δυναμικό σε κάθε σημείο του χώρου αυτής της συνάρτησης Αυτά λοιπόν να το ονομάσουμε όλα αριθμητικά πεδία. Μια μοναδική τους τιμή η πυκνότητα είναι ένα αριθμητικό πεδίο στο χώρο διότι έχει μια τιμή σε κάθε σημείο του χώρου ανάλογα ποια είναι η πυκνότητα σε εκείνο το μικρό κυβικό όγκο που θα διαλέξουμε στην περιοχή της Ωραία. Άρα λοιπόν αν υπάρχει κατανεμημένη μάζα ας πούμε σε ένα τρισδιάστατο χώρο και χωρίσουμε αυτό το χώρο σε μικρές μικρούς όγκους μπορούμε να γράψουμε να γράψουμε μια άλλη αριθμητική πυκνότητα που θα είναι η πυκνότητα Χ, Ψ και Ζ η οποία θα είναι ίση με την στοιχειώδη μάζα ανακυβικό εκατοστό δια τον στοιχειώδη όγκο. Ωραία λοιπόν αυτές είναι αριθμητικές. Ναι εδώ να μιλήσουμε ποια είναι λοιπόν τα διανισματικά πεδία τα διανισματικά πεδία έχουν διαφορετική ποιο είναι το διαφορετικό τους είναι ότι σε κάθε σημείο του χώρου δεν μας φτάνει το μέτρο του διανισματος πρέπει να ξέρουμε και τη διεύθυνση στην οποία θα πρέπει να τη φορά του διανισματικού πεδίου. Άρα λοιπόν ένα διανισματικό πεδίο στο χώρο αν δείτε έχετε δει τέτοια διαγράμματα που δείχνουν ας πούμε ξέρω εγώ τις ταχύτητες των ανέμων πάνω από μια συγκεκριμένη σε ένα συγκεκριμένο διάγραμμα αυτό δείχνει ότι σε κάθε σημείο εδώ πέρα βλέπουμε με τη μεταβαίνει εδώ πέρα πως δίνονται οι ταχύτητες έχει γίνει μια σύμβαση σε αυτές τους χάρτες. Η σύμβαση είναι πόσο πυκνές είναι οι γραμμές αν πάρουμε δηλαδή ένα τετραγωνικό πόσες γραμμές θα περάσουν από μέσα θα μας δώσει το μέτρο η δε φορά αυτών των διανισμάτων που είναι εδώ πέρα η φαπτομένη θα μας δώσει τη διεύθυνση του διανισμάτος. Αν σας δώσω ένα τέτοιο χάρτη αυτός περιέχει δύο πληροφορίες περιέχει με το διανισμάτα που βλέπετε εδώ πέρα τη διεύθυνση που κινείται ο άνεμος και με την πυκνότητα των γραμμών μας δίνει πληροφορία για το πόσο ισχυρός είναι ο άνεμος. Αν μπορούμε λοιπόν αυτά τα σχήματα αυτά έχουν αυτή την πληροφορία παραδείγματος χάρη αυτό που χρειαζόμαστε λοιπόν σε κάθε διανισματικό πεδίο χρειαζόμαστε στον τρισδιάστατο χώρο θα πρέπει να αν σας δώσω εγώ μια διανισματική συνάρτηση Β αν υπάρχει μια τέτοια διανισματική συνάρτηση στο Χ, Ψ και Ζ αυτή η συνάρτηση θα έχει τρεις συνειστώσες Β1, Χ, Ψ, Ζ, εχ συν Β2 πάλι τις τρεις συνειστώσες Υ, Ψ και συν Β3, Υ, Ζ τα Β1, Β2, Β3 είναι συναρτήσεις είναι οι συνειστώσες του διανείσματος οπότε εγώ αν βρίσκομαι σε αυτό το σημείο μπορώ σε αυτό το σημείο να δώσω τη μέση τα Χ, Ψ, Ζ οπότε αυτό να είναι σε εκείνο το σημείο αυτό το διανισμα Β να έχει τιμή εδώ πέρα 3Εχ συν 5ΕΨ συν 7ΕΨΖ οπότε πραγματικά από αυτήν βλέπω μπορώ να βρω και το μέτρο του διανείσματος που είναι η τετραγωνική ρίζα αυτών των τριών αριθμών αλλά και τι άλλο και τη φορά του διανείσματος στο χώρο οπότε το διανείσμα αυτό έχει ένα συγκεκριμένο μέτρο το οποίο αυτό το διανείσμα διαλέγω να έχει την τιμή έχω κάνει μια σύμβαση και ξέρω πόσο είναι το μήκος του ανάλογα με το μέτρο του διανείσματος και η διεύθυνση που κινείται θα μου δίνει το διανεισματικό πεδίο. Όταν όμως λέω για πεδία στο χώρο θα πρέπει να φτιάξω αυτήν την έκφραση ενός διανείσματος. Ένα διανείσμα λοιπόν έχει δύο συνιστώσεις αν είναι πάνω στο επίπεδο, έχει τρεις συνιστώσεις αν είναι πάνω στο χώρο ή περισσότερες συνιστώσεις αν είναι σε τετραδιάστατο χώρο ή πολυδιάστατο χώρο. Άρα λοιπόν αυτή είναι η μορφή ενός διανείσματος διανεισματικού πεδίου με δύο χαρακτηριστικά το μέτρο και τη διεύθυνση. Πρέπει λοιπόν να ξέρω ποια είναι η διεύθυνση του στο χώρο. Τα ιδέες συναρτήσεις που είναι οι συνιστώσεις του διανεισματοικού πεδίου είναι αριθμητικές συναρτήσεις. Ωραία. Αν θέλω να τα ζωγραφίσω και η μαθημάτικα έχει ειδικό πρόγραμμα για να ζωγραφίσετε πεδία διανεισματικά και βάζει όλα αυτά τα βελάκια, σε αυτή την περίπτωση παρακολουθώ, μπορώ να δω και αν σας ρωτήσω τι γίνεται εδώ σε αυτά τα δύο σχήματα, μπορείτε να καταλάβετε από το σχήμα τι συμβαίνει αν αυτός είναι άνεμος πάνω μαζί σας χάρη. Αν είναι ένας περιγράφωμα αυτός, την ταχύτητα ενός του ανέμου ή την ταχύτητα ενός ρευστού. Τι καταλαβαίνετε από αυτά τα σχήματα, τι πληροφορία παίρνετε αμέσως ότι το ένα κινείται προς μια διεύθυνση σαν αυτή εδώ πέρα, έχει μια σταθερή διεύθυνση και κινείται ομαλά, όλα είναι ίδια οπότε έχει την ίδια ταχύτητα προς αυτήν τη διεύθυνση, όλα τα διεύθυνσματα είναι τα ίδια, ενώ εδώ πέρα ουσιαστικά θα περιγράφει μια δίνη, μια περιστροφή γύρω από ένα σημείο, που ουσιαστικά όταν βλέπετε μια τέτοια έκφραση καταλαβαίνετε ότι εδώ έχουμε μια κυκλική κίνηση του ανέμου γύρω από ένα συγκεκριμένο σημείο. Άρα λοιπόν έχει μια πολύ ενδιαφέρουσα πληροφορία με την οποία πρέπει να ασχοληθούμε. Άρα θέλω σε αυτό το σημείο να σιγουρέψω ότι έχουμε ξεκαθαρίσει το αριθμητικό πεδίο και το διευθυνισματικό πεδίο. Και η λέξη πεδίο τι σημαίνει, σημαίνει ότι σε όλο το τριδιάστατο χώρο έχω μια τιμή και μια διεύθυνση στο διευθυνισματικό πεδίο, έχω μια αριθμητική τιμή στο αριθμητικό πεδίο. Και τη λέξη πεδίο είναι γιατί μπορώ σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου έχοντας γράψει τη συνάρτηση, έχοντας γράψει μια συνάρτηση F διανισματική X,C,Z, αυτή εδώ πέρα. Είναι μια περιγραφή η οποία μου δίνει, παίρνω τη διεύθυνση από αυτή τη συνάρτηση, αλλά παίρνω και το μέτρο της το οποίο συμβολίζω έτσι και το μέτρο είναι το μήκος αυτού του διανισματος. Και όλα αυτά τα ξεκινάω, έχει ένα σημείο από το οποίο ξεκινάει, ένα σημείο αναφοράς το X0,C0,Z0. Αυτό είναι το σημείο αναφοράς, εκεί έχω εφαρμόσει και το πεδίο αυτό, αυτό το πεδίο μου δίνει το μέτρο και τη διεύθυνση. Αυτό μπορώ να το κάνω σε οποιοδήποτε, αν έχω την περιγραφή αυτή, μπορώ σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου να ζωγραφίσω αυτές τις διανισματικές συναρτήσεις. Άρα αυτό το πεδίο έτσι, αυτά εδώ πέρα είναι στο επίπεδο, είναι διανισματικά πεδία. Έτσι, αυτό λοιπόν, όταν ακούτε αυτή τη λέξη, πεδίο, και στη φυσική τέτοια πεδία έχουμε πολλά. Έχουμε το ηλεκτικό πεδίο, το μαγετικό πεδίο, είναι όλα διανισματικά πεδία αυτά. Τα ρεύματα, οι ταχυτητές, τα περισσότερα από αυτά που ξέρουμε στη φυσική, είναι διανισματικά πεδία. Άρα πρέπει να μάθουμε πως αυτές τις διανισματικές συναρτήσεις θα μπορέσουμε να τις παραγωγήσουμε ή να υπολογίσουμε χωρισμένες πληροφορισμένες πράγματα που έχουν σχέση με αυτές τις συναρτήσεις. Αυτό λοιπόν είναι το θέμα αυτής της δουλειάς μας, να δούμε τις παραγωγήσεις, πως θα παραγωγήσω μια αριθμητική και μια διανισματική συναρτήση. Πριν όμως προχωρήσουμε σε αυτά εδώ που είναι πολύ σημαντικά, στην αρχή του μαθήματος είχα γράψει ότι τα τρία πράγματα που θέλω, οπωσδήποτε τέσσερα πράγματα θέλω μέχρι την πέμπτη να έχουμε ξεκαθαρίσει, τι σημαίνει παράγωγος κατά κατεύθυνση, τι σημαίνει κλήση αριθμητικής συναρτήσης, απόκλειση διανισματικής συναρτήσης και στροφή διανισματικής συναρτήσης. Το πρώτο σύμβολο που θέλω να εισάγω, το οποίο θα παίρνει μια αριθμητική συναρτήση και θα τη μετατρέπει σε μια διανισματική συναρτήση, είναι θα ορίσω αυτό που λέμε κλήση της αριθμητικής συναρτήσης. Θα δούμε παρακάτω γιατί τη χρησιμοποιούμε, αλλά προς το παρόν πάρτε το σαν ένα ορισμό. Θεωρείτε λοιπόν ότι μπορώ από μία αριθμητική συναρτήση x, c, z, στο χώρο, να δημιουργήσω μία διανισματική συναρτήση, παίρνοντας την κλήση αυτής της συναρτήσης, θα το γράφω έτσι. Τώρα αυτός ο τελεστής δεν χρειάζεται, θα το δείτε πολλές φορές και με το διανισμα από πάνω. Εγώ έχω μία ένσταση σε αυτό σαν συμβολισμό, δεν είναι τίποτα σημαντικό, ότι αυτός επειδή δεν υπάρχει χωρίς διανισμα, το διανισμα είναι υπερβολή. Δηλαδή δεν υπάρχει αυτός ο τελεστής, ορίζει μονοσύμματα αυτό το πράγμα. Μία παράογος ως προς το x, εx, συν μία παράογο ως προς το ψ, εx, και συν μία παράογο ως προς το z, εz. Αυτός είναι ο τελεστής μόνος του. Αυτό λοιπόν σημαίνει αυτός είναι ορισμός αυτού του τελεστή. Τι σημαίνει όμως τελεστής, σημαίνει ότι αν εφαρμός αυτός το τελεστή, απάνω σε μία αριθμητική συνάντηση, σημαίνει ότι εδώ θα βάλω αυτή την αριθμητική συνάντηση. Άλλος τρόπος να το δείτε είναι απ' έξω να βάζει κανένα στην αριθμητική συνάντηση. Ή αν θέλει να τη μεταφέρει μέσα και να βγάλει τις παρενθέσεις, θα βάλει την αριθμητική συνάντηση και στα τρία σημεία. Άρα λοιπόν, κάτι πολύ απλό, αυτή εδώ είναι η κλήση μιας αριθμητικής συνάντησης. Στο τέλος η κλήση μιας αριθμητικής συνάντησης μου δημιουργεί ένα διάνισμα. Αυτό είναι ένα διάνισμα. Γιατί είναι ένα διάνισμα, γιατί αν μου δώσετε εσείς μια οποιαδήποτε συνάντηση, ας πάρουμε μια πολύ απλή συνάντηση, ας πάρουμε αυτή. Και μου πείτε να υπολογίσω την κλήση αυτής της συνάντησης στο σημείο 1-1-1. Αυτό μου ζητάτε. Δεν έχω να κάνω, παρά να πάρω την παράγωγο ΦΦΧ αυτής της συνάντησης στο σημείο 1-1-1. Και αυτό θα μου δώσει δύο Χ. Οπότε δύο Χ ψ τετράγωνο. Οπότε το σημείο αυτό θα είναι μονάδα. Συγγνώμη, δύο. Συμφωνείτε? Η μερική παράγωγος της F ως προς Χ θα μου δώσει το δύο Χ εδώ ψ τετράγωνο και το Ζ. Αφού αυτά είναι μονάδα αυτό θα μου δώσει δύο. Με τον ίδιο τρόπο μπορείτε να υπολογίσετε τη μερική παράγωγο ως προς Ψ, η οποία θα είναι πάλι δύο Ψ Χ τετράγωνο, το οποίο πάλι είναι δύο. Η δε μερική παράγωγο της F ως προς Ζ θα είναι δύο Ζ, οπότε θα είναι πάλι και αυτό δύο. Αποτέλεσμα, η κλήση της αριθμητικής συνάρτησης F αυτής στο σημείο 1,1,1 θα είναι δύο Ψ Χ συν δύο Ψ Ψ συν δύο Ψ Ζ. Αυτό είναι όλο. Και πραγματικά εδώ πέρα έχω ένα διάνυσμα Α, το οποίο είναι η κλήση αυτής της συνάρτησης στο σημείο 1,1,1. Εάν δεν μιλούσα για το σημείο 1,1, αυτή οπωσδήποτε θα ήταν μια συνάρτηση καινούργια, αλλά διανυσματική συνάρτηση. Γιατί εδώ θα είχα βάλει το δύο Ψ Χ τετράγωνο, εδώ θα είχα βάλει το δύο Ψ Χ τετράγωνο και εδώ θα είχα βάλει το δύο Ζ. Οπότε αυτή θα ήταν μια διανυσματική συνάρτηση, στην περίπτωση που δεν είχα με ενδιέφερε να το υπολογίσω, θα ήταν μια διανυσματική συνάρτηση F κεφαλαίο, η οποία θα ήταν η κλήση της F και θα ήταν όλο αυτό το πράγμα. Και εδώ θα είχα, όπως είπαμε, δύο Ψ Χ τετράγωνο, δύο Ψ Χ τετράγωνο, δύο Ζ. Αυτή θα ήταν η συνάρτηση. Στο σημείο 1,1 δημιουργείται ένα διάνυσμα το οποίο είναι αυτό εδώ και το οποίο ξέρω το μέτρο του και ξέρω και τη διεύθυνση στην οποία κινείται. Αυτά είναι όλα αυτήν την κλήση. Την έχω ορίσει έτσι. Θα δούμε παρακάτω και τη γεωμετρική της σημασία που είναι πάρα πολύ ενδιαφέροντα αλλά θα τα αφήσουμε για παρακάτω. Όρισα λοιπόν, από μια αριθμητική συνάρτηση, έφτιαξα μια διανυσματική. Μια εφαρμογή τέτοια. Έχει πολύ μεγάλο ενδιαφέρον. Μια τέτοια εφαρμογή. Δεν ξέρω αν την έχετε δει. Δεν ξέρω πώς παρουσιάστηκε η μηχανική στο μάθημά σας. Αλλά νομίζω ότι μπορούμε να γράψουμε μερικές φορές αυτήν εδώ τη σχέση που λέει ότι η κλήση του δυναμικού θα μας δώσει τη δύναμη. Αυτή εδώ πέρα η έκφραση τη βλύσκουμε πάρα πολύ ταχτικά στις συναντήσεις και είναι δυνάμεις που προέρχονται από δυναμικό. Εδώ λέει ότι η δύναμη προέρχεται από δυναμικό και αυτό είναι πάρα πολύ σημαντικό και θα το αξιοποιήσουμε και εμείς σε λίγο. Αφού έχω ορίσει αυτό το σύμβολο θέλω να γενικεύσω τη μερική παράογο. Τι πάνω να πει αυτό να γενικεύσω τη μερική παράογο. Μέχρι τώρα εμείς ξέραμε τη μερική παράγο, μερική παράγο ως προς χ, μερική παράγο ως προς ψ και μερική παράγο ως προς ζ. Θα μπορούσαμε να ρωτήσουμε το εξής και τι ήταν αυτή η μερική παράγο ως προς το χ, προς το ψ, προς το ζ. Πήραμε το επίπεδο εμείς στο χώρο, αν θυμάστε τότε που τουσοορίζαμε και θέλαμε γεωμετρικά να μπούμε τι σημαίνει αυτή η μερική παράγο. Πήραμε και ένα επίπεδο το οποίο ήταν αυτό εδώ, αυτό δημιούργησε μια συγκεκριμένη καμπύλη στο χώρο και εμείς πήραμε την εφαπτωμένη σε αυτή την καμπύλη. Αυτό το επίπεδο όμως που βλέπετε το κόψαμε να είναι παράλληλο προς το χζ. Και έτσι βρήκαμε τη μερική παράγο, ποια μερική παράγο είναι αυτή που την έχω κόψει με ένα επίπεδο, δηλαδή έχω κρατήσει σταθερό το ψ και έχω πάρει την εφαπτωμένη. Αυτή εδώ πέρα ποια μερική παράγο είναι. Πες τε. Μερική παράγο της εφασίας του ψ. Το ψ το έχω, επειδή έχω πάρει αυτό το επίπεδο με σταθερό ψ, το ψ το έχω πάρει σταθερό. Άρα λοιπόν είσατε είχα τη συνάρτηση Χ ψ Ζ στο χώρο, αυτή είναι μια επιφάνεια σε και όταν πήρα τη μερική παράγο εδώ πέρα ποια μερική παράγο έχω για να βάλω τα υπόλοιπα να την πάρω αυτή να πάρω το ψ σταθερό. Η μερική παράγο ως προς. Πες τε, οι υπόλοιποι τι λέτε. Όταν σταματήσω, όταν κρατήσω το ψ σταθερό, το ψ σταθερό, ποια μερική παράγο, ποια παράγο είναι αυτή εδώ. Είναι ως προσχή παιδιά, γιατί έχω κρατήσει το ψ σταθερό. Συμφωνείτε, το βλέπετε. Λοιπόν, τώρα η ερώτησή μου είναι εάν μου δώσει κάποιος ένα άλλο πρόβλημα. Μου δώσει ένα διάνισμα τυχαίο στο χώρο, δηλαδή μου πει βρες τη μερική παράγο από ένα επίπεδο το οποίο θα είναι παράλληλο προς κάποιο διάνισμα. Δηλαδή εδώ βλέπετε πήρα ένα συγκεκριμένο επίπεδο και έκοψα την επιφάνεια, δημιουργήσε μια καμπύλη και εδώ πήρα την εφαπτομένη αυτής της καμπύλης. Μπορώ να το κάνω αυτό σε πιο γενικευμένη μορφή, δηλαδή, να σας δείξω ένα σχήμα μόνο. Όχι, δεν ήθελα να δώξω αυτό το σχήμα. Αυτό εδώ το σχήμα τι λέει, λέει ότι θέλω να υπολογίσω την παράγογο, θα την συμβολήσω έτσι και λέγεται παράγογο κατά κατεύθυνσης και κοιτάξτε πόσες πληροφορίες έχει αυτή η παράγογος. Έχει μέσα την πληροφορία που λέει ότι θέλω να διαλέξω ένα τυχαίο διάνισμα νημηδέν, να το, στον χώρο. Να φέρω ένα επίπεδο το οποίο θα δημιουργήσει μια τομή και αυτή θα είναι η καμπύλη της τομής αυτού του επίπεδου που σηκώνω προς τα πάνω, προς το ζ. Άρα λοιπόν, παίρνω ένα διάνισμα τον νημηδέν και θέλω να βρω την παράγογο ως προς αυτήν εδώ την διεύθυνση. Που σημαίνει αν τη διεύθυνση αυτή τη στρέψω προς το χ ή τη στρέψω προς το ψ, αυτή η παράγογος θα μετατραπεί σε ποια παράγογο. Αν τον νημηδέν το στρέψω προς το διάνισμα εχ, δηλαδή αυτό είναι το μοναδιέο διάνισμα προς τη διεύθυνση εχ ή το μοναδιέο διάνισμα εχ ψ, αυτή η παράγογος κατά κατεύθυνση θα γίνεται ήση με τι. Με τη μερικοίωση. Μπράβο. Την έννοια την καταλάβαμε. Τι θέλουμε να κάνουμε. Θέλουμε να διαλέξουμε να μπορούμε να πάρουμε την παράγογο, τη μερική παράγογο, την οποία θα ενωμαστούμε παράγογο κατά κατεύθυνση. Η μερική παράγογος προς χ και η μερική παράγογος προς ψ είναι και αυτή η παράγογος κατά κατεύθυνση αλλά είναι προς το εχ και στο ψ. Άρα αυτό είναι πολύ συγκεκριμένα γιατί είναι οι άξονες του τρεσογωνιού συστήματος. Αν θέλω να την γυρίσω προς μια τυχαία διεύθεση ν0 πρέπει να ξέρω με τι είναι ίσα αυτό το πράγμα. Άρα αυτό είναι το πρόβλημά μου. Να υπολογίσω αυτήν εδώ την παράγογο. Βλέπετε ότι έχω κάνει μετατόπιση από το σημείο χ, από αυτό το σημείο το συγκεκριμένο, έχω κάνει μια μετατόπιση προς το διάνυσμα ν0 παράλληλη προς το διάνυσμα ν0. Και αν όπως είπατε κι εσείς εδώ βάλω εχ αυτό θα είναι πράγματι χ συν τη μετατόπιση του εχ. Δηλαδή θα είναι προς τη διεύθυνση χ και θα είναι η μερική παράγογος προς χ. Γενικεύω τη μερική παράγογο προς οποιαδήποτε κατεύθυνση. Αυτό θέλω να κάνω και θέλω να δω με τι θα είναι ίση αυτή. Αν λοιπόν κάνω τις πράξεις, αυτή την παράγογο, επειδή θα το δείξω αυτό, δεν το έχω δείξει, θα σημαίνει τον κατεύθυνσης θέλω να σας θυμίσω τι είναι. Αν έχω ένα διάνυσμα τυχαίο στο χώρο, αυτό το διάνυσμα προς τους τρεις άξονες έχει τρεις γωνίες, αυτές είναι οι γωνίες και αυτές είναι η α, η β και η γ. Είπαμε αυτά στην αρχή στον συνυσαγωγή. Αυτά εδώ πέρα λέγονται, αυτό είναι ένα διάνυσμα τυχαίο ν, αυτοί είναι οι άξονες, είναι ν0, αυτοί είναι οι άξονες εχ, εψι, εζ, μοναδεία διανύσματα. Το εσωτερικό γινόμενο προς το κάθε ή μία άξονα αυτού του μοναδιέου διανύσματος θα είναι, μπορώ λοιπόν να αναλύσω αυτό το διάνυσμα ν0 στο συνυμήτωνο αεχ συνσυμήτωνο βεψι βεψι συνσυμήτωνο γεζ. Ανέλησα λοιπόν ένα τυχαίο μοναδιέο διάνυσμα σε τρία μοναδεία διανύσματα και αν πολλαπλασιάσω εσωτερικά τον ν0 με το εχ, όλα αυτά θα φύγουν και θα μου μείνει το συνυμήτωνο α, που είναι ουσιαστικά η γωνία μεταξύ αυτών των δύο μοναδιέων διανυσμάτων. Άρα κάθε διάνυσμα τυχαίο στον χώρο, μπορώ να τα αναλύσω με τρεις γωνίες στις κάτες, ανέσθετα αγμένες και αυτά τα τρία α, β και γ είναι οι γωνίες που σχηματίζει αυτό το διάνυσμα με το εχ, αυτό το διάνυσμα με το εψι, αυτό το διάνυσμα με το εζ. Και αυτά λέγονται συνυμήτωνα κατεύθυνσης. Γιατί? Γιατί αν μου δώσεις το α, β και γ ξέρω που θα στρέψω το διάνυσμα ν0. Άρα λέγονται διάνυσματα κατεύθυνσης. Ωραία, έτσι είναι λοιπόν το μοναδιέων διάνυσμα στον χώρο, έτσι θα το παραστήσουμε όταν είναι στην αρχή των αξώνων, το έχουμε συζητήσει αυτό. Και τώρα εγώ θέλω να προχωρήσω βήμα προς βήμα και να αναλύσω ξεκίνησα από πού ξεκίνησα, ξεκίνησα από τη σχέση του τι, συγγνώμη, ξεκίνησα από αυτήν εδώ τη σχέση, και έτσι έχω ορίσει την παράγο κατά κατεύθυνσης. Αυτό το ν0, εγώ τώρα θα το αναλύσω στις τρεις συνισθώσες, όπως έκανα εκεί και θα μου βγει το χ, η χ συνισθώσα, η ψ συνισθώσα και η ζ συνισθώσα. Αν λοιπόν το αναλύσω θα μου βγει αυτή εδώ η σχέση, θα μου δει αυτή εσύ η σχέση, το ανέλυσα, βλέπετε είναι αυτή εδώ η σχέση και θέλω να πάρω την παράγο με αυτό το διανύσματος, αυτής εδώ τη σχέση, ως προς το h. Το h είναι η μικρή μεταβολή που έχω γράψει. Αν λοιπόν αυτό θα θεωρήσω ότι αυτή η παράγοση είναι μια συνάρτηση σύνθετη και πάρω αυτά εδώ πέρα να είναι τα u, v και w, ξέρω πως θα κάνω παραγώγηση αυτής εδώ τη συνάρτηση, γιατί έχω μάθει πως παραγωγίζω σύνθετες συνάρτησης. Θα παραγωγήσω αυτή ως προς h και όλο αυτό θα το παραγωγήσω ως προς h, έτσι ορίζεται αυτή η παράγωση. Το κάναμε όταν χρησιμοποιούσαμε το χρόνο ή οτιδήποτε άλλο. Στο τέλος λοιπόν φτάνουμε σε μια τέτοια σχέση και αυτό εδώ πέρα αυτή η σχέση μου λέει ότι η παράγογα κατακατεύθυνσης θα είναι ίσο με αυτό το πράγμα. Εάν θέλετε να ορίσουμε την παράγογα κατακατεύθυνσης προς το διάνυσμα 0 αυτό θα είναι ίσο με το εχ, τότε η παράγογα κατακατεύθυνσης είναι αυτό που είπατε κι εσείς μόνοι σας, ότι η παράγογα κατακατεύθυνσης ως προς το εχ θα είναι η μερική παράγογα ως προς χ. Τότε όμως θα είναι για να ορίσω με βάση την γενικευμένη παράγογα κατακατεύθυνσης. Εάν θέλω να ορίσω τη γενικευμένη παράγογα κατακατεύθυνσης ως προς το εχ, τη συνάρτησης εφ, αυτή θα είναι θ'εφ θ'χ. Εάν σου ζητήσουν τη μερική παράγογα κατακατεύθυνσης ως προς εχ θα είναι θ'εφ θ'χ και τέλος γιατί να είναι ίσια. Αν δώσω μια συνάντηση εγώ εφ και σου ζητήσω τη μερική παράγογα ως προς εφ ως προς χ, αυτή θα είναι ίση με τη μερική παράγογα της εφ ως προς ψ, όχι δεν είναι ίσες, γιατί να είναι ίσες. Είναι διαφορετικές παράγωγες. Εκείνο που θέλω, θέλω να κρατήσουμε αυτήν εδώ τη σχέση εδώ και να δείξουμε κάτι. Άρα λοιπόν εγώ κατέληξα στο συμπέρασμα ότι η μερική παράγογα κατακατεύθυνσης ν0 είναι ίσο με αυτό εδώ το πράγμα. Αυτό εδώ μπορώ να το παραστήσω και σαν εσωτερικό γινόμενο. Ποιο πράγματος εσωτερικό γινόμενο? Αυτό εδώ μπορώ να το παραστήσω και σαν εσωτερικό γινόμενο. Μπορείτε να μου πείτε εάν σας δείξω αυτή τη σχέση. Σας δίνω δύο πράγματα. Σας έχω αποδείξει ότι η μερική παράγογα ως πρινκατεύθυνσης ν0 της F είναι ίση με τη μερική παράγογα του θ f ως προς χ επί το συνημίτωνο α, συν τη μερική παράγογα της θ f ως προς θ ψ, συνημίτωνο β, συν τη μερική παράγογα της f ως προς ζ, του συνημίτωνο γ. Σας δίνω δύο πληροφορίες. Το ν0 είναι ίσον του συνημίτωνο α εχ συν συνημίτωνο β ε ψ, συν συνημίτωνο γ ε ψ. Και μια δεύτερη πληροφορία ότι η κλίση της F είναι ίση με τη θ f θ x ε x συν θ f θ ψ ε ψ συν θ f θ z ε z. Σας δίνω αυτές τις δύο πληροφορίες και σας δίνω και αυτήν, αυτήν εδώ. Μπορείτε να μου βγάλετε έναν κομψό τύπο που να μου λέτε με τι θα ισούται η μερική παράγοσα κατακατεύθυνση ν0 με έναν απλό τύπο να μην είναι τόσο σύνθετος όπως αυτός. Σας δίνω το ν0 αναφτώ και τη κλίση είναι αναφτή. Αυτό ή το γράψω αλλιώς κλίση της F εσωτερικά ν0. Αυτόν εδώ τον τύπο θέλω να ξέρουμε και στο επόμενον ημερώρα θα τον παίξουμε λίγο να δούμε πως βγαίνει. Καταλήξαμε λοιπόν ότι το εσωτερικό παράγοσα κατακατεύθυνσης μιας αριθμητικής συνάδεσης εις ούτε με αυτό επειδή το ν0 είναι αυτό και η κλίση είναι αυτή μπορώ να την γράψω έτσι. Από όλη αυτή τη δουλειά θέλω να κρατήσατε αυτόν τον τύπο στο μυαλό σας για τον υπολογισμό της παραγγόγου κατακατεύθυνσης και θα σας πω στην επόμενη ώρα θα κάνουμε ένα διάλειμμα θα σας πω πως εγώ θα σας ζητήσω. Θα σας δώσω ένα διάλειμμα γενικώς και θα σας δώσω και μια συνάρτηση και θα σας ζητήσω με βάση αυτόν τον τύπο να μου υπολογίσετε την παράγοσα κατακατεύθυνση της συνάρτησης F την κατεύθυνση του α. Οι πληροφορίες που χρειάζεστε εσείς είναι ότι θέλετε να υπολογίσετε την κλίση το πόσο γρήγορα αλλάζει μία συνάρτηση δηλαδή σας δίνω μία συνάρτηση F-X-Κ-Ψ έτσι και Ζ να μια συνάρτηση και σας ζητάω να μου βρείτε τη μεταβολή τη κλίση της συνάρτησης αλλά προς ένα διδρυάνισμα νημιδέν του F και το σας δίνω ένα διδρυάνισμα νη που είναι το 3-3-3 θέλω λοιπόν να μου υπολογίσετε την παράγοσα κατακατεύθυνση στην κατεύθυνση αυτή αυτή στην συνάρτηση στην οποία την ας πάρουμε ότι είναι όπου αυτή που είχαμε πάρει και προηγουμένως συν Ζ τετράγωνο. Να λοιπόν μια συνάρτηση να ένα διδρυάνισμα και ζητάω να μου υπολογίσετε αυτήν εδώ την παράγοσα κατακατεύθυνση. Να το κάνουμε στην επόμενη ώρα που βγαίνεται πρώτα ένα διάλειμμα είμαι σε ένα βουνό απάνω και θέλω να βρω προς τα πού από όλες τις διευθύνσεις να μη αδιεύθυνσεις εδώ μία εδώ μία εδώ μία εδώ. Εγώ θέλω να βρω που έχει την πιο απότομη κατηφόρα. Πώς θα την βρω αυτή την πληροφορία. Κώστα. Θα βάλουμε ένα διάνεσμα με αρχή. Που είμαστε εμείς. Και κατεύθυνση προς τα οποία θέλουμε. Θα πάρουμε σε ένα επίπεδο αυτό διάνεσμα το οποίο θα τελειώνει όλο το δινό πάνω. Ναι το οποίο το κάνει ουσιαστικά αυτή εδώ. Άρα λοιπόν αυτή σε αυτή την περίπτωση και επειδή θέλω να πάω προς τη μέγιστη αν έχω δύο συναρτήσεις που είναι το εσωτερικό γινόμενο. Αυτή είναι η διεύθυνση που βρίσκω την πιο απότομη κατηφόρα. Και αυτή είναι η συναρτήσή μου. Αν όμως είχα εγώ αντίθετα. Σας είχα δώσει μια συναρτήση και σας είχα ρωτήσει προς τα οποία διεύθυνση έχει την πιο απότομη κλήση. Πώς θα το βρίσκατε από αυτή τη σχέση. Θα είχαμε το νημηδέν συναρτήση. Το νημηδέν θέλω να το βρω Κωνσταντό. Εδώ δηλαδή σου δίνω μια συναρτήση εγώ. Αυτή εδώ. Και σου λέω προς τα οποία διεύθυνση αυτή η συναρτήση έχει την πιο απότομη κλήση. Προς τα οποία διεύθυνση. Τη ζητάω τη διεύθυνση. Πώς θα τη βρεις εσύ. Το μέγιστο. Αυτό είπες. Το μέγιστο πώς είναι σε ένα εσωτερικό γινόμενο. Πότε αυτό το εσωτερικό γινόμενο γίνεται μέγιστο. Η γωνία είναι 0 ή 90 μήρες. 0 ή 90 μήρες. Μηδέν. Μηδέν. Όταν η γωνία είναι μηδέν. Άρα όταν η γωνία είναι μηδέν αυτά τα δύο είναι τι. Παράλληλα. Άρα ποια είναι η διεύθυνση νημηδέν η οποία μου δίνει την πιο απότομη κλήση. Η ίδια με αυτήν. Και αυτό το διανύσμα είναι αυτό διερημένο με το μέτρο αυτού του διανύσματος. Άρα αυτή εδώ είναι η πιο απότομη κλήση σε μια συνάντηση που μου την έχεις περιγράψει. Διάλειμμα. Από πλευράς αναλυτικής δουλειάς αυτό που ξεκαθαρίσαμε είναι ότι αν κάποιος μου δώσει μια συνάντηση. Μου δώσει ένα διανύσμα από το οποίο μπορώ να βγάλω το μοναδιέο διανύσμα με τον τρόπο που ξέρετε. Και μου ζητήσει να βρω την παράγωγο κατά κατεύθυνση στην κατεύθυνση του διανύσματος α' της συνάντησης ε. Έχω απλά να πάρω την κλήση της ε που είπαμε ποια είναι. Να βρω το μοναδιέο διανύσμα από το διανύσμα που μου έχει δώσει. Και να υπολογίσω αυτόν τον τύπο στο συγκεκριμένο σημείο στο οποίο μου το ζητάει. Αυτό λοιπόν πρέπει να μπορούμε να το κάνουμε είναι απλό δεν έχει καμία δυσκολία. Τώρα από πλευράς φυσικής. Πότε μπορεί κάποιος να μου πει μία έκφραση που πίσω πίσω μου ζητάει ακριβώς αυτό. Μπορεί να μου πει ότι αν σας δώσω τη συνάντηση της θερμοκρασίας απάνω σε μία επιφάνεια. Και σας ζητάει βρέστε μου την κατεύθυνση προς την οποία η θερμοκρασία αυξάνει με τον ταχύτερο ρυθμό. Τότε ουσιαστικά θέλει για να είναι ο ταχύτερος ρυθμός είπαμε ότι η κλήση αυτή πρέπει να είναι μηδέν. Οπότε το ν0 που σας ζητάει που λέει τη διεύθυνση κατά την οποία γίνεται ταχύτερο είναι παράλληλο προς αυτό το διανύσμα. Άρα εάν λοιπόν σας πει μια έκφραση κάποιος βρέστε θα σας δώσω μια θερμοκρασία βρέστε μου την κατεύθυνση προς την οποία αυξάνεται ταχύτερα η θερμοκρασία. Αν σας πει αυτό το αυξάνεται ταχύτερα σημαίνει κλήση ρυθμός. Άρα σας ζητάει την παράγωγο και στη ζητάει την παράγωγο προς εκείνη την κατεύθυνση. Και αυτή την κατεύθυνση την προσδιορίζει η κλήση είναι παράλληλα προς την κλήση. Όπως αν αυτά τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους αυτό θα δίγει αυτός είναι ο ταχύτερος ο πιο αργός ρυθμός θα βγαίνει από το αντίθετο από τα κάθετα μεταξύ τους. Άρα λοιπόν ο ρυθμός και η διεύθυνση έχουν αρχίσει να συνδέονται όταν πρόκειται προς μια ανομοιογενή συνάρτηση η οποία έχει απότομες κλήσης, έχει πλατό, έχει διάφορα και θέλω να πάρω την παράγωγο προς τις διάφορες κατευθύνσεις. Άλλη είναι η παράγωγος προς το πλατό είναι 0 και άλλη είναι η περίογος προς μια απότομη κλήση που είναι η μεγίστη. Και κάθε μία μπορώ να τη βρω μέσα από αυτό το σχήμα. Θα την πάρω 0 άμα είναι πλατό ή θα την πάρω να είναι απότομη πολύ και να μου δώσει την μεγίστη παράγωγο κατά κατεύθυνση. Και τα διανύσματα βρίσκονται από αυτόν εδώ τον τύπο να είναι είτε παράλληλα είτε κάθετα, τα παράλληλα και κάθετα μας δίνουν τις ακραίες τιμές. Το παράλληλο και το κάθετο, η κλήση δηλαδή να είναι παράλληλη, το ν0 να είναι παράλληλο ή κάθετο προς την κλήση, αυτά τα δύο θα μας δώσουν τις ακραίες τιμές. Έχουμε μία ερώτηση για να χρησιμοποιήσουμε αυτά όλα, να χρησιμοποιήσουμε και να καταλάβουμε τι σημαίνει η κλήση, θα σας δείξω κάτι ενδιαφέρον. Το αφήνουμε αυτό πίσω λοιπόν και λέμε πως ορίζεται μια επιφάνεια στο χώρο, ορίζεται έτσι με ένα σε, αυτή είναι μια επιφάνεια στο χώρο. Συμφωνείτε? Αν πάρω εγώ το ολικό διαφορικό αυτής της συνάρτησης, πάρω δηλαδή την ολική μεταβολή αυτής της συνάρτησης, το ΔΕΕΦ δηλαδή, θα είναι ίσον με το ΘΕΤΑΕΦ ΘΕΤΑΧΙ ΕΠΙΝΤΕΧΙ έτσι το έχουμε ονομάσει, ΘΕΤΑΕΦ ΘΕΤΑΨΙ ΕΠΙΝΤΕΨΙ ΣΙΝ ΘΕΤΑΕΦ ΘΕΤΑΖΙ ΔΕΖΕΝΤΕΝ. Και αυτό είναι ίσο με το μηδέν. Κοιτάξτε πως μπορώ να γράψω εγώ αυτά τα δύο. Αυτά τα δύο μπορώ να τα γράψω ως εξής, να γράψω εσωτερικό γινόμενο ΔΕΕΦ πολλαπλασιασμένο με το ΔΕΑΡ είναι ίσο με το μηδέν. Γιατί το ΔΕΑΡ, το ΆΡ είναι το διάνυσμα θέσεις που είναι ΧΕΧΙ ΣΙΝ ΨΙΕΨΙ ΣΙΝ ΖΕΕΨΙ ΣΙΝ ΖΕΕΨΙ και το ΔΕΑΡ θα είναι το διάνυσμα αυτό θα είναι ΔΕΧΙ ΣΙΝ ΔΕΧΙ ΣΙΝ ΔΕΧΙ ΣΙΝ ΔΕΧΙ ΣΙΝ ΔΕΧΙ ΣΙΝ ΔΕΧΙ ΣΙΝ ΔΕΧΙ ΣΙΝ ΔΕΧΙ ΣΙΝ ΔΕΧΙ ΣΙΝ ΔΕΧΙ ΣΙ Συμφωνείτε έτσι, συμφωνείτε. Πότε είναι, τι σημαίνει ότι αυτά τα δύο σε αυτή την επιφάνεια, η οποία τη ζωγραφίζω εγώ στο χώρο. Τι σημαίνει ότι αυτά τα δύο έχουν εσωτερικό γινόμενο μηδέν. Εάν ορίσω ότι αυτό εδώ πέρα το διάνυσμα και εδώ είναι ουσιαστικά έχω ένα σημείο, είμαι στο χώρο, αυτό είναι ένα σημείο ρο μηδέν και εδώ έχω πάρει ένα στοιχειώδες διάνυσμα δε Άρ, δε Άρ είναι αυτό, αυτό είναι το ρο μηδέν και αυτό είναι το Άρ το τυχαίο. Η διαφορά αυτών των δύο διάνυσματων είναι το δε Άρ, είναι πολύ μικρή αυτή η μεταβολή. Άρα βλέπετε λοιπόν ένα διάνυσμα που είναι στη βάση που έχει πει αυτό το επίπεδο και αυτό είναι το δε Άρ. Όταν το εσωτερικό γινόμενο αυτόν τον δύο είναι μηδέν αυτά τα δύο διάνυσματα τι είναι μεταξύ τους. Τι είναι, κάθετα. Τώρα το δε Άρ εγώ μπορώ να το διαλέξω προς οποιαδήποτε κατεύθυνση γιατί μπορώ να το πάρω προς τα δω, προς τα εκεί, προς τα εκεί. Άρα λοιπόν φανταστείτε ότι όλα αυτά τα εφαπτόμενα διανύσματα στο σημείο Ρο μηδέν σε αυτή την επιφάνεια είναι κάθετα προς αυτήν εδώ το διάνυσμα της κλήσης. Αυτά τα δύο λοιπόν είναι δύο διανύσματα που πρέπει να είναι πάντα κάθετα. Αυτό είναι εφαπτόμενο και όλα αυτά τα δε Άρ που είναι εφαπτόμενα σε εκείνο το σημείο, αυτά τα δε Άρ όλα μου δίνουν ένα επίπεδο. Άρα τι λέει αυτό για την γεωμετρική ερμηνία της κλήσης. Η γεωμετρική ερμηνία της κλήσης σε μία επιφάνεια είναι ένα διάνυσμα κάθετος στην επιφάνεια και στο εφαπτόμενο επίπεδο. Λέω ότι η κλήση είναι ένα διάνυσμα κάθετος στο εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο μη μη δεν της επιφάνειας που ορίζει η έφυσον σε. Άρα εάν μου δώσετε μία επιφάνεια, έφυσον σε και μου πείτε σε αυτή την επιφάνεια στο σημείο μη μη δεν με συντεταγμένες χ μη δεν ψ μη δεν ζ μη δεν βρέσε μου το κάθετο στην επιφάνεια αυτή, κάθετο στην εφαπτομένη της επιφάνειας στο σημείο μη μη δεν θα απαντήσω ότι αυτό είναι το κάθετο διάνυσμα. Αυτό λοιπόν είναι ένα πολύ συγκεκριμένο διάνυσμα σε αυτή την επιφάνεια, είναι κάθετο στο σημείο μη μη δεν αν αυτό είναι προσδελμένο στο μη μη δεν. Άρα λοιπόν έμαθα κάτι ενδιαφέρον γεωμετρικό και αν είναι έτσι τα πράγματα έμαθα και μια εφαρμογή ενδιαφέρος θα τη δούμε αργότερα αφού έχω ξεκαθαρίσει αυτό το θέμα έχω ξεκαθαρίσει ότι αν το dr δεν είναι ακριβώς εάν λοιπόν εγώ έχω αυτό το διάνυσμα είναι το κάθετο και το dr είναι στοιχειώδη μήκη απάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο αυτά εδώ πέρα θα μου δίνουν το εφαπτόμενο επίπεδο το οποίο δεν ξέρω αν το θυμάστε από το μάθημα που είχατε κάνει αν μου δίνετε μια επιφάνεια που ορίζετε από την F και μου ζητάτε το εφαπτόμενο επίπεδο το εφαπτόμενο επίπεδο ήταν αυτό εδώ αυτό είναι το εφαπτόμενο επίπεδο σε μία επιφάνεια στο σημείο μη 0, χ 0, ψ 0, ζ 0 αυτό λοιπόν είναι το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια F, Ι, Σ, Σ στο σημείο μη 0, χ 0, ψ 0, ζ 0 και βγαίνει από την ίδια εφαρμογή αυτής της σχέσης δύο πράγματα μάθαμε λοιπόν αμέσως τώρα πρώτον μάθαμε ότι εάν για κάποιο λόγο θέλω να ορίσω τα κάθετα διανύσματα σε μία επιφάνεια και θέλω να ορίσω τα κάθετα διανύσματα που τρέχουν προς την επιφάνεια αυτή σε κάθε σημείο αυτά μου τα δίνει η κλήση η κλήση μου περιγράφει κάθετα διανύσματα σε κάθε σημείο το κάθετο στο εφαπτόμενο αυτό το σημείο γιατί σε επιφάνεια καμπύλις το χώρο δεν ορίζεται το εφαπτόμενο το εφαπτόμενο ορίζεται σε ένα επίπεδο το κάθετο διανύσμα ήθελα να πω στο εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο μη 0, ψ 0, χ 0 άρα η κλήση είναι το κάθετο διανύσμα σε μία επιφάνεια έφυσον σε ένα σημείο αλλά το κάθετο διανύσμα σε τι το κάθετο διανύσμα στο εφαπτόμενο της επιφάνειας και αντιστρόφως εφόσον ισχύει αυτό για κάθε διανύσμα πάνω στο εφαπτόμενο θα ισχύει το εσωτερικό γινόμενο να είναι 0 αφού αυτό είναι κάθετο το αντιστρέφω αφού αυτό είναι κάθετο στην επιφάνεια αυτό το εσωτερικό γινόμενο πρέπει να είναι 0 άρα αυτό εδώ αν σας ζητήσει κάποιος σας δώσει μία επιφάνεια στο χώρο και σας πει βρέστε μου στο σημείο χ 0, ψ 0 το εφαπτόμενο επίπεδο να το και αυτό βέβαια το ξέρετε από το προηγούμενο μάθημα στο πρώτο εξάμινο έτσι δεν είναι δηλαδή ξέρετε πως να βρείτε το εφαπτόμενο επίπεδο σε μία επιφάνεια f στο σημείο χ 0, ψ 0 και είναι αυτό εδώ πέρα ερωτήσεις έχω μια επιφάνεια στο χώρο και λέω ότι σε αυτή την επιφάνεια το εφαπτόμενο επίπεδο είναι αυτό εδώ έτσι οπότε αυτό είναι το εφαπτόμενο επίπεδο οπότε τι κάνουμε σε αυτή την επιφάνεια σε αυτό το εφαπτόμενο επίπεδο για να το πάρουμε από την αρχή καταρχήν σε κάθε επιφάνεια το ολικό διαφορικό από εδώ ξεκίνησα είναι ίσο με 0 το οποίο μας έβγαλε τελικά για να μην ξανω πάλι τις πράξεις ότι το ολικό διαφορικό μπορώ να το γράψω έτσι ναι αλλά σε αυτή την επιφάνεια τα σημεία πάρτε αυτά τα dr αυτά είναι εφαπτόμενα δηλαδή αν πάρω μια επιφάνεια στο χώρο και πάρω ένα σημείο τυχαίο εδώ και μου πεις φέρε μου το εφαπτόμενο προς οποιαδήποτε διεύθυνση αυτό το εφαπτόμενο θα είναι ένα διάνυσμα αυτό είναι το εφαπτόμενο διάνυσμα σε αυτό το σημείο εκεί είναι το dr δηλαδή φτιάχνω μια καμπύλη και παίρνω το εφαπτόμενο επίπεδο το εφαπτόμενο διάνυσμα αν φτιάξω άλλη μία προς τα εκεί θα φτιάξω άλλο εφαπτόμενο διάνυσμα όλα αυτά τα τυχαία εφαπτόμενα διανύσματα ορίζουν το εφαπτόμενο επίπεδο και είναι αυτά τα dr τα στοιχειώδη έτσι αν λοιπόν τα dr είναι κάθετα προς αυτήν σημαίνει ότι το διάνυσμα αυτό για να είναι κάθετο προς τα εφαπτόμενα διανύσματα όλα ανεξαρτήτως διεύθυνσης είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο γενικός αυτής της επιφάνειας είναι κάθετο δηλαδή αυτό είναι το εφαπτόμενο επίπεδο και το διάνυσμα της είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο ρ μη ρ τι μπορώ να βγάλω από αυτό μου δίνεις μία επιφάνεια έφυσον σε και μου ζητάς στο σημείο 1 1 1 να βρω το κάθετο διάνυσμα παίρνω την κλήση και την υπολογίζω στο 1 1 1 και αυτό το διάνυσμα που βρήκα είναι το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια ή μάλλον στο εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας μου δίνεις μία επιφάνεια έφυσον σε μανέα μια επιφάνεια και μου ζητάς αυτή την επιφάνεια να βρω το εφαπτόμενο επίπεδο το γράφω αμέσως επειδή ξέρω ότι αυτό το πράγμα είναι μηδέν το εφαπτόμενο επίπεδο και αυτή είναι μεταξύ τους μηδέν άρα παίρνω το εφαπτόμενο επίπεδο θα είναι κλήση της f που είναι κάθετη επί το x-x0 που είναι συγγνώμη επί το Δ ρ ήθελα να γράψω επί το ρ μειών ρ μηδέν ίσο με το μηδέν αυτό είναι πάνω αυτά ορίζουν το εφαπτόμενο επίπεδο το ρ είναι ένα τυχαίο σημείο στο εφαπτόμενο επίπεδο άρα λοιπόν αυτό εδώ όλο επειδή αυτό είναι κάθετο και αυτό είναι στο εφαπτόμενο το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν άρα αυτά εδώ πέρα ορίζουν το εφαπτόμενο επίπεδο την εξίση του εφαπτομένου επίπεδου πώς θα υπολογίσουμε γενικά να κάνουμε παραδείγματα και τα λοιπά νομίζω ότι δεν αξίζει να φάμε πάρα πολύ χρόνο αν μας δώσουν παράδειγμα μία τυχαία διεύθυνση βρείτε την παράγωγο κατά μία τυχαία διεύθυνση αριθμητικού πεδίου σε τυχαίο σημείο του τόπου ορισμού αυτά αφήνουν όλα τυχαία θα ορίσω το μη μηδέν να είναι έτσι θα πάρω ένα τυχαίο σημείο μη μηδέν χη μηδέν θα πάρω τις κλήσεις να λοιπόν οι συνισθώσεις και θα κάνω τις πράξεις να βρω αυτήν εδώ την έκφραση αυτή είναι για αν μου δώσεις το χη μηδέν και μου δώσεις και τις συνισθώσεις του τυχαίου διανύσματος έχω υπολογίσει αριθμητικά ποιο είναι το σημείο το τυχαίο διανύσμα είναι το νι ένα νι δύο αυτές είναι οι συνισθώσεις του τυχαίου διανύσματος το τυχαίο σημείο είναι το χη μηδέν ψη μηδέν αν πάρω το εσωτερικό γινόμενο αυτών των πραγμάτων μου βγάζει αυτή την παράγωγο κατά κατεύθυνση στο σημείο νι μηδέν ωραία σε αυτό το παράδειγμα τι έχουμε έχουμε ένα αριθμητικό πεδίο βρείτε την παράγωγο του πεδίου ε στο σημείο τρία ένα και πώς όλα κατά την κατεύθυνση του διανύσματος που έχει ως αρχή την αρχή των αξώνων και ως πέρα στο σημείο έξι κόμμα πέντε εδώ είναι το μόνο δύσκολο μεσαγωγικά εάν σας δώσω ένα δύο σημεία στο χώρο πώς θα βρείτε το διανύσμα ε θα τα ξέρετε πώς θα βρείτε γιατί ουσιαστικά το ένα σημείο είναι η αρχή των αξώνων και το άλλο είναι το έξι κόμμα πέντε εάν λοιπόν ξέρω δύο σημεία στο χώρο και σας λέω από το α' στο β' από την αρχή σε αυτό το σημείο μπορείτε να βρείτε το διανύσμα μπορείτε να βρείτε μετά το μοναδιέο αυτού του διανύσματος που είναι αυτό εδώ βρείτε και την κλήση που είναι αυτή εδώ στο σημείο εκείνο που σας ζητάω και παίρνετε το εσωτερικό γινόμενο το οποίο ουσιαστικά στο τέλος θα δώσει 27.61 γιατί είναι το αυτό που ζήτησε επειδή σας όρισα το επίπεδο το διανύσμα κατά το οποίο θέλω να πάρω την παράγο κατά κατεύθυνση στην όρισα με δύο σημεία το 0 και το 6.5 θα έπρεπε να βρείτε το μοναδιέο διανύσμα πριν προχωρήσετε και το οποίο η παράγο κατά κατεύθυνση είναι αυτό το νούμερο ωραία τελειώσαμε αυτό ερχόμαστε τώρα σε μία καινούργια έννοια η καινούργια έννοια λέγεται απόκλυση η απόκλυση είναι πάλι ο τελεστής αυτός αυτός ο τελεστής που συζητήσαμε προηγουμένως εμείς συζητήσαμε έναν διανυσματικό τελεστή ο οποίος ήταν αυτός εδώ έτσι αυτός ο διανυσματικός τελεστής ήταν αυτός εδώ αυτός είναι ο διανυσματικός τελεστής τον λέω ανάδελτα αυτός είναι λοιπόν αν μου δώσεις και μία συνάρτηση F η οποία έχει συνειστώσεις την F1 εχ και την F2 εψι και την F3 εζ και πάρω το εσωτερικό γινόμενο ή μάλλον έτσι το συμβολίζω αυτό εδώ πέρα θα μου δημιουργήσει αυτό είναι ο εσωτερικό γινόμενο 2 διανυσμάτων και τι έχω κάνει τώρα από μία διανυσματική συνάρτηση θα δημιουργήσω μία αριθμητική συνάρτηση η οποία θα είναι η ίση με την παράογο της F1 ως προς Χ την παράογο της F2 ως προς Ψ και την παράογο της F3 ως προς Ζ αυτή εδώ πέρα πως βλέπετε είναι παράγωγη εάν σας αυτό είναι ένα διανύσμα αυτές τα F1, F2 είναι αριθμητικές συναρτήσεις μου δημιούργησε μία αριθμητική συνάρτηση Φ η οποία είναι η απόκλυση της διανυσματικής συνάρτησης τεχνικά δηλαδή αν μου δώσεις το ηλεκτικό πεδίο μπορώ να υπολογίσω την απόκλυση του ηλεκτικού πεδίου σε κάθε σημείο του χώρου γιατί θα πάρω την αναλυτική έκφραση του ηλεκτικού πεδίου θα πάρω τις τρεις συνισθώσεις που είναι η Λ1, Λ2, Λ3 θα πάρω την απόκλυση που είναι αυτό το πράγμα έτσι ορίζεται η απόκλυση και θα φτιάξω μία καινούργια συνάντηση ευκεφαλαίων Ωραία, εγώ σας έχω μάθει φαντάζομαι μέχρι τώρα ότι αυτά τα πράγματα ωραία και καλά, μια χαρά, εγώ ξέρω ότι είναι η απόκλυση και μόνο αν μου ζητήσει κάποιος και μου πει μπορώ να λύσω το πρόβλημα αν μου πει πάρε μία διανυσματική συνάντηση, μου τη γράψει και μου ζητήσει να βρω την απόκλυση θα κάνω αυτές τις πράγματα στην Ευρώπα, τελείωσε Εσείς όμως νομίζω ότι θέλετε να συνδέσετε όλα αυτά με κάποιες φυσικές διαδικασίες και γιατί να ορίσουμε αυτή την απόκλυση και τι σημαίνει σε ένα φυσικό πρόβλημα σε μια φυσική εφαρμογή, τι σημαίνει αυτό το σύμβολο τι σημαίνει αυτή η απόκλυση τι σημαίνει η απόκλυση του ηλεκτρικού πεδίου τι σημαίνει η απόκλυση του μαγνητικού πεδίου και μάλιστα στις εξώσεις του Maxwell που θα μάθετε παραπέρα είναι βασικές αυτές οι δύο πράξεις η απόκλυση του λεκτικού και η απόκλυση του μαγνητικού πεδίου σημαίνει το εξής ότι με την απόκλυση και θα το δείξουμε ότι είναι έτσι μαθαίνω κάτι πολύ ενδιαφέρον εάν θεωρήσετε ότι έχετε τις γραμμές του διανισματικού πεδίου εάν λοιπόν έχω περιγράψει ένα διανισματικό πεδίο με γραμμές έτσι που σημαίνει ότι το ηλεκτικό πεδίο ξεκινάει από ένα σημείο και συνεχίζει το μαγνητικό πεδίο οτιδήποτε εάν εγώ πάρω ένα στοιχειώδιο όγκο και όσες γραμμές μπαίνουν τόσες γραμμές βγαίνουν ακριβώς οι ίδιες τότε θα πρέπει να δείξουμε και θα το δείξουμε ότι η απόκλυση του διανισματικού πεδίου αυτό εδώ είναι το διανισματικό πεδίο είναι ίση με το μηδέν σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου βάλω έναν όγκο όσες γραμμές μπαίνουν από τη μια μεριά τόσες γραμμές βγαίνουν από την άλλη αν συμβαίνει αυτό αυτό το πεδίο έχει απόκλυση μηδέν αυτό δεν σας το έχω αποδείξει απλώς το είπα θα το αποδείξουμε που σημαίνει ότι αν ξεκινούσαν γραμμές από εδώ μέσα καινούργιες αυτό θα ήταν διάφορο του μηδενός για να ξεκινήσουν όμως γραμμές από εδώ πέρα τουλάχιστον στον ηλικρομαγνητισμό θα πρέπει να υπάρχουν φορτία μέσα στο κουτί δηλαδή οι γραμμές δεν ξεκινάνε από τα θετικά και αρνητικά φορτία οι γραμμές του πεδίου έτσι δεν είναι αν έχετε ένα πεδίο ας πούμε εδώ πέρα εσείς οι γραμμές του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου είναι αυτές ή του ηλεκτρικού πεδίου για το φορτίο Q θα είναι αυτές το δε μαγνητικό πεδίο αν έχετε ένα μαγνητικό πεδίο οι γραμμές υπάρχει δυνατότητα να έχω πηγές μαγνητικού πεδίου μέσα σε ένα κουτί και να ξεκινάνε γραμμές που να είναι εξέμπαρκες και να περνάνε πιο πολλές από εδώ από ό,τι θα περνάνε από εδώ υπάρχει δυνατότητα αυτό για το μαγνητικό πεδίο ναι ή όχι ναι λένε για το ηλεκτρικό πεδίο μπορεί θα υπάρχουν φορτία για το μαγνητικό πεδίο όμως για σκεφτείτε το λιγάκι κάτι κάτι δεν πάει καλά με το μαγνητικό πεδίο δηλαδή το μαγνητικό πεδίο δεν έχει πηγές από τις οποίες να ξεκινά ένα πεδίο και να μην έρχεται πίσω δεν υπάρχουν δηλαδή μονόπολα ενώ μπορώ να έχω εδώ πέρα πολύ περισσότερα ηλεκτρόνια από την πρωτόνια άρα δηλαδή να έχω περισσότερες γραμμές που να φεύγουν από αν όλα τα φορτία είναι εδώ τα πεδία που περνάνε από εδώ περνάνε χωρίς να δημιουργούνται καινούργια μέσα στο κουτί αν έχω εδώ καινούργια φορτία ηλεκτρικά εδώ μέσα θα ξεκινήσουν καινούργιες γραμμές άρα για το ηλεκτρικό πεδίο η κλήση του ηλεκτρικού πεδίου πρέπει να είναι ανάλογη της πυκνότητας του φορτίου ενώ η κλήση του μαγνητικού πεδίου είναι ίση με μηδέμ που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν γραμμές που να ξεκινάνε σε ένα κουτί που να μην γυρίζουν πίσω γιατί αν υπήρχαν θα υπήρχαν μονόπολα και αυτές είναι οι δύο πρώτες εξώσεις του Maxwell που σημαίνει ότι η κλήση του ηλεκτρικού πεδίου είναι ανάλογη των φορτίων που έχει μέσα και γενικά αν αναβλύζει αν είσαι μέσα σε ένα ποτάμι και δεν έχει πηγές στο ποτάμι είσαι δηλαδή στη ροή του πάλι η κλήση του πεδίου αυτούνου θα είναι μηδέμ ό,τι νερό μπαίνει από τη μια μεριά θα φεύγει από την άλλη εάν όμως υπάρχουν πηγές μέσα στο... ξεκινάει καινούριο νερό μέσα στο κουτί η κλήση λοιπόν σου δείχνει τη δυνατότητα οι γραμμές να δημιουργούνται ή να λάζουν οι γραμμές μέσα στο κουτί να μην περνάνε έτσι χωρίς να δημιουργούνται καινούριες ή να έχουν μια αλλαγή στο ρυθμό των γραμμών να μπαίνουν δηλαδή λιγότερες και να βγαίνουν περισσότερες διάφορο του μηδενός αν όσες μπαίνουν τόσες βγαίνουν λέγεται ασυμπίεστο το ρευστό ασυμπίεστο όταν αυτό εδώ πέρα είναι ίσο με το μηδέν αν μου δώσεις λοιπόν ένα διάνισμα και μου πεις ότι αυτό το διάνισμα είναι ασυμπίεστο θα γράψω αυτή τη σχέση για ένα διανισματικό πεδίο στο οποίο η κλήση είναι ίσο με το μηδέν αυτό θα το ονομάσω ασυμπίεστο πεδίο κάθε φορά λοιπόν που σας δίνει κάποιος ένα διάνισμα λέει αυτό το διάνισματικό πεδίο είναι ασυμπίεστο σημαίνει ότι η κλήση του είναι ίσο με μηδέν γιατί αν δεν ήταν ασυμπίεστο θα σημαίνει ότι είτε καινούργιες γραμμές βγαίνανε εδώ πέρα είτε και περισσότερες μπαίνανε ή και λιγότερες βγαίνανε πως μπορώ να το αποδείξω αυτό που σας είπα τώρα θα το αποδείξω σε εξής θα πάρω πραγματικά ένα τέτοιο κουτί και θα θεωρήσω ότι το ρευστό εδώ πέρα μπαίνει U1 και όταν βγαίνει από εδώ πέρα επειδή είναι πολύ μικρή η απόσταση είναι στοιχειώδης αυτός ο όγκος έχω μια μεταβολή δηλαδή τόσο είναι στο σημείο H Ψ και Ζ και αυτή είναι συγκινιστός H της ταχύτητας του πεδίου και από το άλλο άκρο βγαίνει περισσότερο που σημαίνει ότι τι σημαίνει στο άλλο άκρο γιατί ατυχώς διάλεξα σε αυτό λοιπόν το κουτί που έχετε εδώ πέρα η συγκινιστόσα του πεδίου H αυτή είναι αυτή που μπαίνει και σε μικρή απόσταση H συν ΔΧ έχω αυτό που βγαίνει λοιπόν αυτή είναι η συγκινιστόσα H και μιλάω μία προς συγκεκριμένη διεύθυνση αυτή ως προς το H δηλαδή οπότε θεωρώ ότι ό,τι μπαίνει από εδώ σε μία απόσταση H συν ΔΧ αυτό είναι αυτό που βγαίνει αυτά τα δύο διαφέρουν και άλλα μένουν σταθερά αν αυτό το αναπτύξω σε σειρά Taylor τότε και μάλιστα βγάλω το βάλω αντίθετα βάλω αυτό που βγαίνει μίον αυτό που μπαίνει τότε εδώ θα έχω θ Ux θx ΔΧ γιατί είναι αυτό γιατί έχω αναπτύξει αυτό σε σειρά Taylor αν αναπτύξεις αυτό σε σειρά Taylor θα σου βγει αυτός ο όρος επί ΔΧ αυτός είναι ο πρώτος όρος στο αναπτύγμα Taylor αυτός είναι ο δεύτερος αυτό πρέπει να το πάρω και προς τις τρεις διευθύνσεις ωραία έχω λοιπόν μία διεύθυνση είναι αυτή μία διεύθυνση είναι αυτή δεύτερη διεύθυνση είναι αυτή ωραία έχω λοιπόν μία διεύθυνση είναι αυτή μία διεύθυνση είναι αυτή άρα λοιπόν θεωρώ ότι υπάρχει ένας όγκος υπάρχει ένα διανισματικό πεδίο και το οποίο έχει προς τις τρεις διευθύνσεις έχει αυτήν εδώ την ροή που μπαίνει και αυτήν τη ροή που βγαίνει εάν λοιπόν θεωρήσω τη μεταβολή στον χρόνο αυτού εδώ του ρευστού που είναι το ΔΧ αυτό θα είναι αυτό που μπαίνει επί ΔΧ μίον αυτό που βγαίνει αυτό που βγαίνει μίον αυτό που μπαίνει το αναπτύσσω σε σειρά Taylor και βγάζω αυτό που σας έγραψα προηγουμένως και συνεχίζω και προς τις άλλες διευθύνσεις οπότε στο τέλος βγάζω αυτές τις τρεις αυτά τα τρία που σας είχα βάλει πολλαπλασιασμένα με το ΔΧ και αυτό εδώ πέρα το εσωτερικό θα το ονομάσω κλίση του διανίσματος Υ άρα λοιπόν η ολική μεταβολή του ρευστού που μπήκε στον χρόνο, που μπήκε στο κουτί θα ισούται με την κλίση της συνάντησης της ταχύτητας με τον στοιχειώδη όγκο αυτό λοιπόν μου λέει ότι αν εδώ αυτό είναι ίσο με το μηδέν σημαίνει ότι το ευγρό είναι ασυμπίεστο και όσο ευγρό μπήκε, τόσο ευγρό βγήκε από αυτό το κουτί άρα λοιπόν το αποτέλεσμα που θέλω να πω είναι ότι η απόκλυση μιας διανισματικής συνάντησης είναι μέτρο της αλλαγής της ροής της αλλαγής των διανισματικών γραμμών σε στοιχειώδες όγκο στο χώρο δηλαδή μετράει πόσες γραμμές μπαίνουν και πόσες γραμμές βγαίνουν αν αυτές οι γραμμές συμπικρώνονται για κάποιο λόγο ή αραιώνουν ή καινούριες δημιουργούνται τότε πρέπει να υπάρχει ένας λόγος, πρέπει να υπάρχει αυτή εδώ η απόκλυση να είναι διάφορη του μηδενός αν είναι ακριβώς μηδέν σημαίνει ότι το υγρό είναι ασυμπίεστο που σημαίνει ότι μπαίνει, βγαίνει και δεν συμπιέζεται δεν υπάρχει καινούργια παραγωγή εκεί μέσα αυτό λοιπόν σε σχέση με την απόκλυση υπάρχει και μία άλλη έννοια την οποία θα τη συζητήσουμε και θα δούμε και πολλά παραδείγματα υπάρχει και μία δεύτερη έννοια αυτό θα το δούμε, μάλλον θα το κοιτάξουμε αυτό κι ας μην πούμε τίποτα καινούριο προσέξτε μία έκφραση την οποία κάποιοι από εσάς σε μία άσκηση που είχα δώσει, που είχαμε δώσει, τη γράψετε έτσι προσέξτε αν σας δώσω την πυκνότητα σαν συνάντηση του χρόνου και εδώ είναι το ΧΤ, ΨΤ, ΖΤ και σας ζητήσω να μου βρείτε το ολικό διαφορικό την ολική μεταβολή ως προς το χρόνο σύμφωνα με αυτά που έχουμε μάσει θα γράψετε ΡΟΤΘΤΕ ΣΥΝ ΡΟΤΘΧΕΠΙΝΤΕΤΕ ΣΥΝ ΡΟΤΘΨΤΕΠΙΝΤΕΤΕ ΣΥΝ ΡΟΤΘΖΕΝΤΕΤΕ αυτό το πράγμα μπορώ να το γράψω Μερικοί παράγωτοι ρο ως προς το χρόνο Συν εσωτερικό γινόμενο της ταχύτητας που είναι αυτά εδώ πέρα τα συγκυστώσεις ταχύτητες Επί την κλήση της ΕΦ Οπότε δημιουργήσα αυτήν εδώ την ολική παράγωτοι μιας μεταβολής μπορώ να τη γράψω και έτσι αυτό είναι το εσωτερικό γινόμενο της ταχύτητες με την κλήση Άρα λοιπόν όταν μιλάμε για ολική μεταβολή πολλές φορές βλέπουμε αυτήν εδώ τη σχέση την οποία θέλω να την ξέρετε για όλα τα αριθμητικά πεδία ισχύει αυτή εδώ η σχέση όπου το U είναι η ταχύτητα Γιατί είναι αυτό το πράγμα ίσο με αυτό Γιατί αυτό είναι το εσωτερικό γινόμενο της ταχύτητας Νάτη Επί την κλήση που είναι αυτά τα τρία Άρα λοιπόν και αυτό εδώ θέλω να το ξέρετε και θα το δείτε πάρα πολλές φορές και λέγεται μεταφορική παράωγος Μεταφορική παράωγος γιατί ουσιαστικά η παράωγος αυτή μας δίνει δύο μεταβολές τη μεταβολή σε κάποιο σημείο και τη μεταβολή λόγω της κίνσης Αυτά τα έχουμε πει Τώρα ερχόμαστε σε ένα άλλο θέμα το οποίο ήταν εκεί που σταματήσαμε στο περασμένο μάθημα και είναι η λεγόμενη σε ένα διανισματικό πεδίο παίρνω αυτό που ονομάζουμε στροφή του διανισματικού πεδίου Πώς ορίζεται η στροφή καταρχήν, τι πράξη είναι αυτή αν μου δώσει μια διανισματική συνάρτηση η ορίζωσα αυτή που αναλύεται έτσι μου δίνει μια καινούργια συνάρτηση φτιάχνει μια νέα συνάρτηση διανισματική η στροφή μιας διανισματικής συνάρτησης δημιουργεί μια άλλη διανισματική συνάρτηση η οποία ουσιαστικά έχει γράφεται έτσι άρα από πλευράς πράξεων αυτό είναι όλο αν εγώ σας ζητήσω τη στροφή η οποία είπαμε στα αγγλικά γράφεται έτσι και είναι το αμισά από τη λέξη rotation έτσι, αν λοιπόν σας γράψει κανένας αυτήν εδώ τη συνάρτηση μια διανισματική συνάρτηση αυτό είναι το ισοδύναμο αυτό που είπαμε εδώ πέρα αυτό άρα αυτή είναι η αγγλική της έκφραση και υπολογίζεται με αυτόν εδώ τον τρόπο τώρα τι σημαίνει όμως και αυτό γιατί πότε ένα πεδίο θα έχει διάφοροι του μηδενός στροφή και πότε θα έχει ίση με το μηδέν στροφή ποια πεδία δηλαδή διανισματικά από αυτά τα λίγα που ξέρουμε εμείς έχουνε ροστροφή διάφοροι ή ίση με το μηδέν και είπαμε ότι θέλουμε να δείξουμε και θα το δείξουμε τώρα σε λίγο ότι στο μυαλό σας σαν εικόνα κρατήστε το εξής όταν ένα πεδίο κινείται ευθύγραμμα με χίλιους τρόπους μπορείτε να το αποδείξετε αυτό που θα σας πω τώρα αυτό το πεδίο η στροφή του είναι μη μη δέν αν δηλαδή έχω έναν διανισματικό πεδίο που οι γραμμές στο χώρο κινούνται έτσι η στροφή αυτού του πεδίου είναι μη δέν θέλετε πολύ απλά πάρτε ένα πεδίο πάρτε ένα πεδίο, οποιοδήποτε θέλετε και θεωρείστε ότι αυτό το πεδίο έχει διεύθυνση μόνος προς το ψ δηλαδή έχει μόνο εψιλον ψ εψιλον ψ δηλαδή το πεδίο αυτό όλες οι γραμμές κινούνται προς αυτή τη διεύθυνση αν πάρετε τη στροφή και κάνετε αυτές τις πράξεις σε αυτό το πεδίο θα δείξετε με πολύ ευκολία ότι είναι μη δέν πότε ένα πεδίο έχει στροφή διάφορη του μηδενός όταν οι γραμμές καμπυλώνονται αν υπάρχει μια καμπύλωση στις γραμμές στον χώρο το μέτρο της καμπυλότητας είναι η στροφή του μαγετικού πεδίου του οποιοδήποτε πεδίου μας ενδιαφέρει δηλαδή οι καμπύλες γραμμές, τα διαινισματικά παιδιά που έχουνε καμπύλωση και για αυτό βλέπουμε στροφή, να τη στροφή, αυτή τη στροφή εννοούμε δηλαδή το πεδίο δεν πηγαίνει κάποτε μία διεύθυνση αλλά έχει μια αλλαγή στη διεύθυνση του όπως κινείται στο χώρο αυτό το πεδίο βλέπετε έχει διεύθυνση εδώ έτσι και εδώ πέρα πάει έτσι και εδώ πέρα πάει έτσι αυτή λοιπόν η αλλαγή της διεύθυνσης με την οποία κινείται ένα πεδίο στο χώρο είναι η στροφή του και από εδώ θα παρατηρήσουμε το μέτρο της στροφής να το δούμε αυτό με ένα παράδειγμα εγώ θέλω στο μυαλό σας πάντως να ξέρετε και την πράξη να κάνετε και να καταλαβαίνετε ότι αυτό εδώ πέρα άρα αν αυτό είναι μηδέν για την απόκλειση είναι ότι αν ένα πεδίο είναι μηδέν αυτό θα το λέμε ασυμπιέστο για την περίπτωση της στροφής αν ένα πεδίο είναι μηδέν θα λέμε ότι αυτό το πεδίο έχει μηδενική στροφή και θα λέγεται αστρόβυλο η λέξη ότι αν κάποιος σας πει τη λέξη ότι αυτό το πεδίο δείξτε ότι αυτό το πεδίο είναι αστρόβυλο όλο που έχετε να κάνετε είναι να κάνετε τις πράξεις της στροφής και να αποδείξετε ότι στο τέλος βγαίνει να είναι ίσο με μηδέν αστρόβυλο πεδίο σημαίνει ότι η στροφή είναι μηδέν ασυμπιέστο πεδίο σημαίνει ότι αυτό είναι μηδέν αυτές τις δύο λέξεις θέλω να τις κρατήσετε δηλαδή να κρατήσετε ποια είναι η πράξη της απόκλεισης ποια είναι η πράξη της στροφής πώς υπολογίζω δηλαδή αν μου δώσει μια διανεισματική συνάντηση τη μία και την άλλη και το δεύτερο σημαντικό είναι να ξέρετε ότι οι δύο άλλες λέξεις που συνδέονται με αυτά είναι ότι στο πρώτο θα θεωρήσουμε ότι αυτό είναι το ασυμπιέστο και αυτό είναι το αστρόβυλο αν σας ζητήσουν να αποδείξει ότι ένα πεδίο είναι αστρόβυλο θα πρέπει να πάρετε αυτή την πράξη, να την πάτε μέχρι τέλος και να δείξετε ότι είναι μηδέν θα πάρουμε ένα συγκεκριμένο πεδίο ταχυτήτων το οποίο δημιουργείται από την περιστροφή ενός δίσκου γύρω από τον άξιωνα ομικρον Ζ φανταστείτε λοιπόν ότι έχουμε ένα δίσκο ο οποίος περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα Ω και κάθε σημείο, οποιοδήποτε σημείο αυτού του δίσκου έχουμε τρεις δύο γωνίες η μία γωνία είναι επειδή ο δίσκος περιστρέφεται η γωνία αυτή αλλάζει και είναι ΩΤ αυτή είναι η γωνία αυτή και έχουμε μια σταθερή γωνία η οποία μας δίνει το σημείο στο οποίο αυτός ο δίσκος βρίσκεται σε συγκεκριμένο ύψος, το Ζ και έχουμε τη γωνία ΩΤ η οποία αλλάζει που δείχνει την περιστροφή πάρω μια συγκεκριμένη ακτίνα Α μακριά από το κέντρο αυτού εδώ του κύκλου και το πεδίο ταχυτήτων για κάθε υλικό σημείο πάνω σε αυτό το δίσκο είναι οι ταχύτες οι οποίες είναι εφαπτόμενες σε αυτόν εδώ τον κύκλο άρα αν δείτε τον κύκλο και αν δείτε το περιστρεφόμενο δίσκο από πάνω θα δείτε σε κάθε σημείο και ριζογραφήσουμε τα πεδία ταχυτήτων θα δείτε την ταχύτητα Β η οποία πως θα υπολογιστεί η ταχύτητα Β εάν πάρουμε την παράγωγο αυτού του διανύσματος θα υπολογίσουμε το πεδίο ταχυτήτων θέλουμε να υπολογίσουμε λοιπόν παίρνετε λοιπόν την παράγωγο του Ρ σε αυτήν εδώ τη σχέση και υπολογίζετε την στροφή του πεδίου ταχυτήτων άρα λοιπόν θέλω να κάνετε εσείς αυτές τις πράξεις σας δίνω λοιπόν αυτό το διανύσμα θέσεις το διανύσμα που περιγράφει τις ταχύτητες στην ταχύτητα Β βγαίνει από την παράγωγο του διανύσματος θέσεις από κοινωκή το Ζ είναι σταθερό άρα θα υπολογίσετε το διανυσματικό πεδίο και μετά θα πάρετε τη στροφή των ταχυτήτων να μου βρείτε εσείς με τι θα είναι ίση αν θεωρήσετε ότι το διανύσμα θέσεις δίνεται από αυτήν εδώ τη σχέση άρα ζητάω τα εξής πάρτε την παράγωγο αυτού του διανυσματος να υπολογίσετε το διανυσματικό πεδίο των ταχυτήτων και πάρτε τη στροφή μετά αυτού του πεδίου τη στροφή αυτού του πεδίου να μου πείτε με τι θα είναι ίσον αυτό θέλω να κάνετε τώρα θα πράξει εσείς επαναλαμβάνω θεωρώ ότι έχω ένα διανύσμα που παρακολουθεί την περιστροφή αυτού του δίσκου στο χώρο αυτό είναι σταθερό γιατί είναι ο δίσκος είναι σε ένα συγκεκριμένο σημείο θέλω να πάρετε την παράγωγο αυτής της σχέσης για να βρείτε την ταχύτητα και μετά να πάρετε τη στροφή της ταχύτητας να δείτε με τι είναι ίση ένα πεδίο το οποίο ουσιαστικά δείχνει το ρυθμό με τον οποίο αυτός ο δίσκος αν το δίσκο αυτόν τον κοιτάξω από πάνω θα έχω κύκλους και σε αυτούς τους κύκλους θα έχω το πεδίο, το διανυσματικό πεδίο με τις ταχύτητες θέλω να δω το ρυθμό με τον οποίο γυρίζει αυτό το πράγμα να υπολογίσω δηλαδή το ρυθμό με τον οποίο το πεδίο ταχυτήτων περιστρέφεται ή οτιδήποτε κάνει απάνω σε αυτόν εδώ το συγκεκριμένο δίσκο τον οποίο έχω περιγράψει έτσι άρα θέλω να μου κάνετε τις πράξεις και να μου πείτε αυτό με τι είναι ίσον αυτό θέλω να το κάνετε εσείς τώρα το R είναι αυτό, το W θα υπολογιστεί από την παράγογό του στον χρόνο και μετά θα πάρετε τη στροφή αφού πάρετε αυτό το διανυσματικό πεδίο θα πάρετε τη στροφή να δείτε με τι είναι ίσον και θέλω να μου πείτε με τι είναι ίσον έχουμε μια ομαλή κυκλική κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα Ω το Ά και το Ω είναι σταθερά σε αυτό όταν θα πάρετε την παραγώγηση ως προς το χρόνο εδώ πέρα τα Χ, Ψ και Ζ είναι αυτά έτσι αφού είναι αυτό το διανύσμα θέσεις αυτό είναι το Χ, αυτό είναι το Ψ και αυτό είναι το Ζ σε κάθε χρονική στιγμή όταν θα πάρετε εδώ την παράγωγο θα μπορείτε να γυρίσετε πάλι στα Χ, Ψ και Ζ και στην παράγωγο απλώς θα αλλάξουν θέση λόγω της παραγώγησης για να μπορείτε να παραγωγήσετε αν δεν το κάνετε αυτό οπότε θα γράψετε την ταχύτητα με έναν άλλο ρυθμό για να έχει μέσα το Χ, το Ψ και το Ζ γιατί μετά πως θα πάρετε την παραγώγηση ως προς Χ, Ψ και Ζ καταλάβατε τι λέω άρα πρέπει να γυρίσετε πίσω αφού ξέρετε ότι τα Χ αν πάρω αυτή την παραγώγηση αυτό θα γίνει Χ παραγώγηση θα γίνει ημήτωνο με ένα ομέγα απ' έξω αλλά το ημήτωνο το α ημήτωνο ξέρω ότι είναι το Ψ οπότε εδώ θα υπάρξει το Ψ στο ίχ με καταλάβατε τι λέω τώρα την ταχύτητα μπορείτε να τη γράψετε σαν συναρτήσεις του Χ, Ψ και Ζ το θέλουμε έτσι γιατί όταν θα πάρετε τη στροφή η στροφή είναι παραγώγος προς την ταχύτητα προς το Χ, το Ψ και το Ζ αραγία πέστε μου εδώ πέρα πως θα γράψω σε Χ, Ψ και Ζ την ταχύτητα ποιος το έχει κάνει αυτό το βήμα πέστε μου θα είναι ποιο ομέγα α,γ,ψ,Ψ,ο,γ,Η,Σ,Ρ,Χ,Τ,Χ,Ι,Ι,Τ,Χ,Τ,Π,Τ,Χ,Τ,Χ,Π,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ,Τ,Χ εζ, εδώ θα βάλουμε την παράγωγω ως προς χ, την παράγωγω ως προς ψ και την παράγωγω ως προς ζ και εδώ θα βάλουμε το χ που είναι μίον ω ψ, εδώ θα βάλουμε το ωχ και εδώ θα βάλουμε το μηδέν στο τέλος τι θα βγει από αυτό, αυτό εψιλον ψ ή εζ, για να βρούμε το εζ θα γίνει αυτές οι δυο παραγωγήσεις, αυτό θα μου δώσει ω, αυτό θα μου δώσει μίον ω, οπότε δύο ω εζ συμφωνείτε, είναι αυτό το αποτέλεσμα ή όχι, ωραία, άρα λοιπόν, γιατί το κάνω, γιατί την κάναμε όλη αυτή την άσκηση, τι θέλαμε να δείξουμε, ότι η γωνιακή ταχύτητα, η στροφή ενός διανισματικού πεδίου, μας δίνει σαν αποτέλεσμα το ρυθμό με τον οποίο αυτό το πεδίο περιστρέφεται γύρω από ένα συγκεκριμένο άξονα Άρα δηλαδή βλέπετε ότι ο ρυθμός με τον οποίο οι γραμμές αυτές κινούνται, αλλάζουν, είναι ανάλογος του ω, εδώ που είναι ο σταθερός ρυθμός περιστροφής, άρα μας δείχνει την περιστροφή, γι' αυτό λέγεται στροφή, την περιστροφή αυτών των διανισματικών γραμμών γύρω από το συγκεκριμένο άξονα, άρα είναι μέτρο της γωνιακής ταχύτητας, άρα δηλαδή πάρω τη στροφή ενός διανισματικού πεδίου, μου δείχνει το ρυθμό με τον οποίο αυτό το πεδίο ουσιαστικά περιστρέφεται ή γυρίζουν οι γραμμές απάνω στο χώρο, ή στο χώρο οπουδήποτε μας ενδιαφέρει, εδώ ήταν στο επίπεδο. Κατανοητό ή όχι, ήθελα να αποδείξω, όπως έκαναμε με το στοιχειό διόγκο και το ρυθμό με τον οποίο περνάει το ρευστό μέσα από το στοιχειό διόγκο, ήθελα να καταλήξουμε επίσης ότι αυτό εδώ το διάνισμα μας δίνει το ρυθμό με τον οποίο αλλάζει η διεύθυνση και περιστρέφονται οι γραμμές στο χώρο του διανισματικού πεδίου. Λοιπόν, δεν με απασχόλησε πάρα πολύ διότι έχει να κάνει λίγο με τη φορά, οπότε αυτό έχει με τη φορά περιστροφής του ωμέγα και αν θα είναι προς τα πάνω ή προς τα κάτω το διανισματικό πεδίο που θα βγει από αυτή τη στροφή. Ένα άλλο που θέλω να συζητήσω τώρα εγώ, ήθελα να αποδείξουμε αυτό το πράγμα εδώ ότι όταν το διανισματικό πεδίο που έχει να κάνει η στροφή του πεδίου που έχει να κάνει με την βαρύτητα, έχουμε το πεδίο η δυνάμις ΓΜΑΖΑΜΑΡΤ, αυτό είναι έναν διανισματικό πεδίο στο χώρο, αν μας ζητήσει κάποιος να υπολογίσουμε τη στροφή αυτού του διανισματικού πεδίου θα μπορέσουμε να την υπολογίσουμε και με τι θα γίνει η ίση. Από πλευράς εποπτικά ξέρετε αυτά που έχουμε πει μέχρι τώρα, ξέρετε τι αποτέλεσμα πρέπει να βγάλετε ή δεν ξέρετε. Το πεδίο, η δυνάμις μεταξύ που οφείλονται σε μια μεγάλη μάζα, η στοιχειώδη μάζα, ας πούμε ότι είναι μοναδία μάζα. Θεωρώ λοιπόν ότι έχω εδώ μια μάζα M κεφαλαίο και εδώ πέρα είναι μια μικρή μάζα η οποία, η δύναμη η οποία την έλκει έχει αυτή τη διεύθυνση, είναι κεντρικές αυτές οι δυνάμεις, έτσι είναι το πεδίο βαρύτητας. Ωραία, η ερώτηση είναι πριν κάνουμε πράξεις, επειδή αυτό το πεδίο έχει αυτήν εδώ την ακτινική μου μορφή, εάν εσείς χωρίς να κάνετε πράξεις θα ξέρατε η στροφή αυτού του πεδίου με τι είναι ίση. Το ερώτημα είναι αν μπορούμε όμως και θα ήθελα να το κάνετε, αν θα το κάνουμε τώρα να το κάνετε στο σπίτι, να αποδείξετε αυτό που είπαμε τώρα, δηλαδή να αποδείξετε ότι σε αυτό το πεδίο η στροφή είναι μηδέν. Ένας εύκολος και ενδιαφέρον τρόπος είναι, που δεν θα το κάνουμε εδώ αλλά θα το συζητήσετε εσείς, είναι ότι αυτά τα διαινίσματα, αυτές οι σχέσεις, η στροφή και η κλήση και η απόκλυση, εγώ τις έγραψα προηγουμένως, τις γράψαμε σε μια μορφή που είναι σε καρτισιανές δεταγμένες. Έγραψα λοιπόν την κλήση, την απόκλυση και τη στροφή σε καρτισιανές δεταγμένες. Ένα ενδιαφέρον θέμα το οποίο πρέπει κάπου να το έχετε σαν τυπολόγιο και να ξέρετε να να τρέχετε συνέχεια, είναι να υπολογίσετε αυτές τις τρεις, την κλήση, την απόκλυση και τη στροφή σε πολικές δεταγμένες ή σφαιρικές δεταγμένες ή σε κυλινδρικές δεταγμένες. Άρα θα ήθελα να μπορείτε να βρείτε ή να τις κάνετε μόνοι σας ή να και να τις αποδείξετε πως μπορώ να μετατρέψω αυτές τις σχέσεις που τις είχαμε γράψει αναλυτικά, πρέπει να μπορώ να τις μετατρέψω και να δω πως θα μπορώ να τις γράψω σε άλλα συστήματα συντεταγμένων. Γιατί αυτό το πρόβλημα θα λυνόταν πάρα πολύ εύκολο, μπορεί να λυθεί με δύο τρόπους, αυτό μπορώ να το μετατρέψω εγώ σε καρτεσιανές δεταγμένες και να κάνω τις πράξεις σε καρτεσιανές δεταγμένες. Άρα αυτό θα πρέπει να κάνετε στην πρώτη υφουμορφή, να πάρετε αυτό να το γράψετε χ, ψ, ζ και ξέρετε πως θα το γράψετε έτσι, θα αναλύσετε αυτό το διανύσμα σε καρτεσιανές δεταγμένες, θα αναλύσετε αυτό σε καρτεσιανές δεταγμένες και θα πάρετε τη στροφή, είναι πολλές πράξεις. Αν θέλετε να πάρετε τη στροφή αυτού του διανύσματος έτσι όπως είναι και να αποδείξετε αυτό που διαισθητικά το είπατε προηγουμένως ότι αυτό είναι ίσο με το μηδέν, αν σας ζητήσω να το κάνετε θέλετε να κάνετε πράξεις. Υπάρχει άλλος ένας δρόμος που είναι πιο εύκολος, εάν ξέρατε πως εκφράζονται αυτές οι σχέσεις σε σφαιρικές δεταγμένες θα γινόταν πάρα πολύ εύκολα το πρόβλημα αυτό. Οπότε θα σας παρακαλέσω κάτι, δεν θα καθίσω εγώ να το κάνω εδώ πέρα, θέλω να μεταφέρετε αυτές τις πράξεις όχι μόνο σε καρτεσιανές αλλά και σε άλλα συστήματα συνδεταγμένων και κάπου να τα ξέρετε και αν είναι δυνατόν παραμονές των εξετάσεων να κάνετε μια επανάληψη στη γραφή αυτών των τανιστών σε σφαιρικές ή κυλινδρικές συνδεταγμένες. Θα κάνετε μια σημείωση ότι όχι μόνο πρέπει να τα δείτε τώρα πως είναι αλλά να τα κάνετε και επανάληψη όταν θα κάνετε τις εξετάσεις, όταν είστε εκτός εξετάσεων θα ξέρετε σε ποιο βιβλίο είναι αυτό το γενικό τυπολόγιο που είπαμε, σαν φυσική χρειάζεστε να συγκεντρώσετε ένα γενικό τυπολόγιο, το οποίο αυτό γενικό τυπολόγιο θα το έχετε κάπου σε πρώτη ζήτηση μέσα στο χώρο που δουλεύετε. Λοιπόν, ένα σημαντικό στοιχείο είπαμε στο περασμένο μάθημα που δείχνει τη στροβιλησμό των μαγνητικών γραμμών παραδείγματος χάρη είναι ότι το ρεύμα είναι αυτό που προκαλεί τις μαγνητικές γραμμές και ήθελα να σας δείξω εδώ ότι εάν έχω ένα κεντρικό πεδίο δυνάμεων μπορώ να αναλύσω αυτή τη σχέση, εδώ θα μπούμε να δουλέψουμε το πεδίο με κεντρικές δυνάμεις θα γράφεται έτσι και υπάρχουν τώρα αυτές που θέλαμε να συζητήσουμε τώρα είναι οι πράξεις με τις οποίες θέλω να κάνω, κυρίως θέλω να συζητήσω για τις ιδιότητες της τροφής ή τις ιδιότητες όλων των διανισμάτων, με ενδιαφέρει κυρίως να δω δύο ταυτότητες, αυτές εδώ που βλέπετε είναι ταυτότητες και θέλω να δω μία μία από αυτές αν μπορούμε εμείς να τις αποδείξουμε εδώ μέσα τώρα. Αυτή εδώ η ταυτότητα που λέει αν πάρεις τη στροφή μιας συνάντησης αριθμητικής που αυτό είναι η κλήση της, αυτό θα είναι ίσο με το μηδέν, πώς θα τα αποδείξουμε κάτι τέτοιο, πώς θα αποδείξουμε ότι η στροφή από την κλήση μιας συνάντησης είναι ίσο με το μηδέν, δεν είναι μια ταυτότητα αυτή. Ή το δεύτερο από κάτω που λέει η απόκλειση της στροφής μιας διανισματικής συνάντησης είναι και αυτή η μηδέν. Πώς θα τα αποδεικνύουμε αυτά, αν θέλετε αυτές εδώ τις σχέσεις να τις αποδείξετε όλες και αυτή εδώ που είναι πάρα πολύ χρήσιμη τελευταία, αλλά ας ξεκινήσουμε από την πρώτη και δούμε πώς μπορεί να το κάνετε αυτό ή τη δεύτερη, οποιαδήποτε θέλετε. Ας πάρουμε την πρώτη. Πέστε να μου πει κάποιος τεχνικά πώς θα το αποδείξουμε αυτό, πώς θα αποδείξουμε ότι συμβαίνει αυτό. Ακούω ιδέες, πώς θα το κάνουμε. Μην κάνετε πράξη, πέστε μου εμένα τι θα κάνουμε, πέστε μου. Θα γράφουμε πρώτα την απόκλειση της στροφής. Ωραία, αυτός λοιπόν ο τύπος είχαμε πει εμείς ότι είναι θ f θ x ε x συν θ f θ ψ ε ψ συν θ f θ z ε z. Και μετά... Θα παίρνουμε το αναζημό για τη στροφή. Ναι, ναι. Για αυτό θα κάνουμε τις πλάκες. Για κάντε τες. Αυτές εδώ και άλλες που θα δούμε τώρα στη συνέχεια, οι ιδιότητες της στροφής παρά να τους χαρεί, της απόκλεισης και της στροφής, αυτές εδώ οι σχέσεις, όταν δουλεύετε με αυτά τα παιδεία, θεωρούνται ότι είναι πάρα πολύ εύκολα, τις γνωρίζετε αρκετά καλά, δηλαδή ξέρετε πως βγαίνει αυτό το πράγμα, πως βγαίνει μια στροφή, η στροφή ότι αυτό το πράγμα είναι μηδέν. Στη βαρύτητα, γράψαμε ότι είναι g μ κ m μ 2 r τετράγωνο ε r. Αυτή εδώ η σχέση και γενικά η βαρύτητα, αν μπορεί να γραφτεί και το ξέρουμε ποιο είναι, η κλήση μιας άλλης συνάρτησης, το δυναμικό της βαρύτητας, είναι η κλήση μιας άλλης συνάρτησης που είναι πια. Η κλήση πιανού πράγματος είναι ίση με τη δύναμη της βαρύτητας. Πώς τη λέγαμε, την κλήση μιας αριθμητικής συνάρτησης η οποία θα παράγει μια διαενισματική συνάρτηση που είναι η βαρύτητα. Είναι το δυναμικό. Η κλήση του δυναμικού μας δίνει τη δύναμη της βαρύτητας. Άρα αν η δύναμη της βαρύτητας γράφεται σαν η κλήση του δυναμικού, η στροφή οποιοδήποτες συνάρτησης διαενισματικής που γράφεται έτσι, που είναι η κλήση μιας αριθμητικής συνάρτησης, όλες αυτές είναι ίσο με 0. Άρα όλες οι δυνάμεις που προέρχονται από δυναμικό έχουν στροφή 0. Όλες οι δυνάμεις που προέρχονται από δυναμικό έχουν στροφή 0. Άλλη μια πάρα πολύ χρήσιμη συνάρτηση είναι αυτή εδώ πέρα, αυτό είναι μακρινάρινα αποδειχτή, αλλά αξίζει να αποδειχτεί, που μας δίνει τη στροφή μιας διαενισματικής συνάρτησης. Και αυτό είναι ίσο με αυτή τη σχέση. Τώρα αυτό εδώ πέρα θα σας ορίσω ποιο είναι, θα σας πω αμέσως μετά. Αλλά αυτό αποδεικνύεται να είναι αυτές εδώ οι ταυτότητες, είναι πάρα πολύ χρήσιμες όταν δουλεύετε στον ηλεκτρομαγνητισμό ή σε άλλα μαθήματα στα οποία υπάρχουν διαενισματικές συναρτήσεις. Οπουδήποτε υπάρχουν διαενισματικές συναρτήσεις και έχετε μεταβολές και παραγώγους, αυτές εδώ οι ιδιότητες είναι πάρα πολύ χρήσιμες. Θα θυμάμαι εγώ όλες αυτές τις ιδιότητες απ' έξω, όχι βέβαια. Ανά πάσα στιγμή μπορείτε με τον τρόπο που είπαμε και προηγουμένως μπορείτε να τις αποδείξετε, αλλά αυτές όλες τις ιδιότητες των διαενισματικών συναρτήσεων θα έχετε ένα τυπολόγιο, όπως σας είπα εσείς κανονικά πρέπει να φτιάξετε και να έχετε τυπολόγια τώρα, τα οποία τυπολόγια θα μαζεύουν τους πιο χρήσιμους τύπους τους οποίους συναντάτε αρκετά ταχτικά. Αυτό εδώ πέρα τι είναι, αυτό είναι η γνωστή μας ο τελεστής αυτός, υπάρχει αυτός ο τελεστής, εκτός από τον τελεστή που είχαμε προηγουμένως, υπάρχει και αυτός, η οποία λέγεται τελεστής του Λαπλάς ή Λαπλασιανή, υπάρχει αυτή εδώ η έκφραση, η οποία όταν σας ζητήσω τη Λαπλασιανή μια συνάντηση, θα πρέπει να πάρετε αυτήν εδώ τη σχέση. Η Λαπλασιανή, ο τελεστής της Λαπλασιανής είναι αυτός. Έτσι, εκτός λοιπόν από τον απλό τελεστή που έχουμε, που είπαμε προηγουμένως, που τον ορίσαμε, έχουμε και τον τελεστή αυτόν εδώ, ο οποίος είναι η Λαπλασιανή. Γι' αυτό λοιπόν η προηγούμενη σχέση μας δίνει την Λαπλασιανή. Αυτές οι σχέσεις γιατί είναι χρήσιμες, γιατί αποδεικνύουν ορισμένα ωραία πράγματα, τα οποία δεν ξέρω αν αξίζει τον κόπο τώρα ή να τα δούμε σαν με τη μορφή ασκήσεων. Εάν πάρετε τις εξίσωσεις Maxwell και πάρετε να εφαρμόσετε αυτές τις πράξεις, μπορείτε να αποδείξετε ότι αυτές οι εξισώσεις στο κενό, θα σας τις γράψω χωρίς να χρειάζεται να τις ξέρετε εσείς. Θα γράψω λοιπόν τις εξίσωσεις Maxwell τις οποίες και χθες τις γράψαμε, οι οποίες ήταν αυτές εδώ. Λοιπόν αυτές είναι οι εξίσωσεις Maxwell, οι οποίες εάν τις εφαρμόσουμε στο κενό, θα πρέπει αυτός ο όρος να είναι 0 στο κενό, γιατί δεν υπάρχουν ρεύματα και αυτός ο όρος να είναι 0. Άρα αν βάλω μηδενικά εδώ σε αυτούς τους όρους, αυτές είναι οι εξίσωσεις Maxwell στο κενό. Αν βάλω 0 λοιπόν εδώ και 0 εδώ, αυτές είναι οι εξίσωσεις Maxwell στο κενό. Θα μπορούσα να σας ζητήσω σαν άσκηση σε αυτές τις εξισώσεις, αν πάρετε τη στροφή αυτής της σχέσης, για να δείτε γιατί αυτές οι σχέσεις έχουν μεγάλη σημασία. Αν πάρετε λοιπόν τη στροφή της τελευταίας, πάρουμε τη στροφή αυτής της σχέσης, τη στροφή της στροφής του μαγνητικού πεδίου. Θα είναι ίσον με τη στροφή του 1 διασέ μερική παράγος προς το χρόνο της ύψιλον. Ναι αλλά η παράγος αυτή μπορεί να βγει έξω από τη στροφή, η στροφή είναι αυτή, να βγει έξω από τη στροφή και αυτή η σχέση θα γραφτεί 1 διασέ μερική παράγος προς το χρόνο της στροφής του πεδίου εδώ. Κοιτάξτε τι έκανα, πήρα τη στροφή και στα δύο μέλη. Αν με ρωτήσετε γιατί τη στροφή την έβαλα μέσα στο ηλεκτικό πεδίο και έβγαλα την παράγος προς το χρόνο, αυτό φαίνεται πολύ εύκολα, διότι αν πάρετε αυτή τη σχέση και την αναλύσετε και γράψετε αυτές τις σχέσεις, επειδή εδώ η παραγώγηση είναι ως προς το χώρο και αυτή είναι ως προς το χρόνο δεν αναμυγνίονται. Άρα αυτή θα βγει απ' έξω και θα μου δώσει αυτή εδώ τη σχέση. Αυτή εδώ τη σχέση όμως την έχω και αν την αντικαταστήσω θα καταλήξω σε μια σχέση που λέει 1 διασέ τετράγωνο, δεύτερη παράγωγο του μαγνητικού πεδίου ως προς το χρόνο στο τετράγωνο. Και καταλήξαμε λοιπόν στο κενό να ισχύει η εξής σχέση. Αν αυτή την αναπτύξω με αυτόν εδώ τον τρόπο, το πρώτο μέλος το αναπτύξω, αναπτύσω λοιπόν το πρώτο μέλος το οποίο θα είναι και το δεύτερο μέλος είναι αυτό εδώ πέρα που είναι 1 διασέ τετράγωνο μερική παράγωγος του β ως προς το χρόνο. Τη στροφή της τροφής την ανέλησα έτσι όπως λέει εκείνος ο τύπος. Εδώ πέρα κατέληξα σε αυτήν εδώ τη σχέση. Αυτό είναι μηδέν όμως. Γιατί είναι μηδέν, γιατί η απόκλειση του μαγνητικού πεδίου είναι μηδέν. Αν αυτός ο όρος είναι μηδέν. Και τι βγάζει όλη αυτή η σχέση, βγάζει μία σχέση που λέει, η λαπλασιανή του μαγνητικού πεδίου είναι ίση με το 1 διασέ τετράγωνο της δεύτερας παραγώγου ως προς το χρόνο ίσο με το μηδέν. Αυτήν εδώ τη σχέση, ποιος την αναγνωρίζει τι είναι. Να την γράψουμε με ένα άλλο τρόπο. Αυτήν εδώ την αναγνωρίζετε τη σχέση. Αυτή λοιπόν είναι σε διαγνισματική μορφή αξίωση κύματος. Αυτή η αξίωση κύματος λοιπόν λέει ότι στο κενό τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, τα ηλεκτικά και μαγνητικά πεδία τα λαντούνται και διαδίδονται σαν κύμα με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα του φωτός. Αυτό είναι ένα πολύ μεγάλο και ενδιαφέρον συμπέρασμα, το οποίο πριν και επειδή μου είπε κάποιος ότι σας ρώτησε δεν ξέρατε τι είναι ο εθέρας. Και αν πάτε λίγο στην ιστορία της φυσικής. Όταν είχαν καταλάβει τη διάδοση των κυμάτων, των ηχητικών κυμάτων, για να διαδίδονται τα κύματα να αφαιρέσουν τον αέρα από εδώ μέσα. Και σας μιλάω εγώ θα μ' ακούει κανένας. Όχι, γιατί χρειαζόμαστε τον αέρα να μεταδώσει τις ταλαντώσεις και να έρθουν στα αυτιά σας να κάνουν τις αντίστοιχες ταλαντώσεις. Συμφωνείτε? Άρα πίστευαν ότι όλα τα κύματα θέλουν ένα μέσο να διαδοθούν. Μια από τις τρομερές ανακατατάξεις και γι' αυτό θεωρούσαν ότι και τα αλλακτρομαγητικά κύματα θέλουν ένα μέσο να διαδοθούν. Αν ήταν έτσι, αν ήταν πράγματι έτσι, ο κόσμος θα ήταν πάρα πολύ... εμείς θα μπορούσαμε να δούμε τίποτα έξω στο διάστημα. Δεν υπάρχει τίποτα ύλη να διαδοθούν και να έρθει το φως από τους μακρινούς γαλαξίες. Δηλαδή, το να διαδιοθεί το φως, το φως δεν χρειάζεται μέσο διάδοσης και αυτό πρώτος το απέδειξε ο Maxwell. Ο οποίος πώς το απέδειξε, πρώτα καταλάβανε πώς περιγράφεται ο ηλεκτρομαγητισμός, καταλάβανε αυτές τις σχέσεις που γράψαμε εδώ πέρα που έχουν το όνομά του και μετά κατάλαβε ο Maxwell ότι οι σχέσεις σαν αυτές και το βασική συνησφορά του Maxwell είναι να προσθέσει αυτόν εδώ τον όρο, να προσθέσει αυτούς τους όρους που δεν υπήρχαν στις κλασικές συζητήσεις για τον ηλεκτρισμό, αυτά τα έχετε πει τώρα πρέπει να τα κάνετε τώρα στον ηλεκτρομαγητισμό που κάνετε. Αυτές εδώ λοιπόν οι μεταβολές τις πρόσθεσε ο Maxwell αυτές τις δύο σχέσεις και με την πρόσθεση αυτών των σχέσεων κατέληξε σε αυτήν εδώ τη σχέση η οποία δείχνει ότι το ηλεκτρικό και το μαγετικό πεδίο ακριβώς το ίδιο κάνει και το ηλεκτρικό πεδίο διαδίδονται στον χώρο με την ταχύτητα ή στην ταχύτητα του φωτός. Άρα η χρήση αυτών των ταυτωτήτων για να καταλήξουμε σε αυτήν εδώ τη σχέση είναι πάρα πολύ σημαντική για να καταλήξουμε γρήγορα, αλλιώς θα θέλαμε πάρα πολλές πράξεις. Άρα σαν εργαλείο πράξεων αυτές τις ταυτότητες πρέπει να τις ξέρετε πάρα πολύ εύκολα να τις χρησιμοποιείτε. Εδώ λοιπόν κατέληξε ο Μάξιουελ ότι τα ηλεκτρομαγνητικά κείμενα δεν χρειάζονται αιθέρα όπως πιστεύανε μέχρι τότε, δηλαδή και να αφαιρέσεις τον αέρα και να έχεις διάδοση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος στο κενό. Επαναλαμβάνω, εάν χρειαζόμαστε μέσο για να διαδοθεί το ηλεκτρομαγνητικό κύμα τότε ο κόσμος θα ήταν πολύ φτωχός για μας γιατί δεν μπορούσαμε να δούμε τίποτα έξω από το δικό μας το χώρο. Ευτυχώς δεν χρειάζεται τίποτα και ψάχναμε να βρούνε ποιος είναι ο αιθέρας, ποιο είναι το μέσο στο οποίο θα διαδοθούν τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Μέχρι που ήρθε αυτή η εξίσουση και λέει ότι δεν χρειάζεται αιθέρας και στο κενό διαδίδονται τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα και διαδίδονται με την ταχύτητα του φωτός. Το δεύτερο σημαντικό είναι ότι αυτή η ταχύτητα εδώ πέρα που είχαν αποδείξει με τα πειράματα πώς γίνουν αυτές οι εξώσεις ήταν η ταχύτητα του φωτός οπότε τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται με την ταχύτητα του φωτός και στο κενό. Αυτή είναι η μεγάλη ανακάλυψη. Να σας πω λοιπόν στην απόδειξη που είχαμε προηγουμένως να κάνουμε είχαμε αυτήν εδώ την συνάρτηση να χρησιμοποιήσουμε. Την κεντρική τη δύναμη σε μάζα, σε μοναδιέα μάζα είναι η δύναμη της βαρύτητας. Αν το γράψω αυτό R εδώ είναι αρκίβος αλλά εδώ δεν είναι το ε R είναι το R είναι το διανύσμα θέσεις. Ωραία. Πώς θα μπορούσα εγώ και με άλλο τρόπο να το αποδείξω ότι σε αυτό εδώ πέρα η απόκλυση αυτού του διανύσματος είναι μηδέν, δηλαδή αυτό που θέλω να αποδείξω για το δικό μας το πεδίο είναι μηδέν. Κοιτάξτε τι μπορώ να κάνω. Μπορώ να γράψω αυτήν τη σχέση ότι είναι μία αριθμητική σχέση F που είναι το GMDR κύβος επί το R που είναι ένα διανύσμα. Εδώ υπάρχει αυτή η ταυτότητα. Αυτή είναι μία από άλλη ταυτότητα που θα μπορούσα να ξέρετε πως αποδεικνύεται ότι μπορείτε να αποδείξετε ότι αν σας δώσω να πάρετε την απόκλυση. Θέλω να αποδείξω αυτήν την ταυτότητα. Πώς θα την αποδείξω πάρα πολύ απλά. Θα πάρω την απόκλυση μιας αριθμητικής συνάρτησης η οποία πολλαπλασιάζεται με το R. Με μια διανυσματική συνάρτηση. Αυτή είναι η απόκλυση. Οπότε θα παραγωγήσω το θθx της FR συν θθc της FR συν θθz της FR. Αν κάνετε τις πράξεις εδώ θα καταλήξετε σε αυτό εδώ το δεύτερο μέλος. Αυτό σας αφήνω να το κάνετε εσείς. Και αν αυτή την ταυτότητα την ξέρετε. Στην απόκλυση του διανυσματικού πεδίου της βαρύτητας θα τη γράφατε έτσι. Αυτές οι δύο πράξεις μπορείτε να τις κάνετε. Αυτό θα βγει κοινός παράγοντας. Οπότε βγαίνει ότι αυτό είναι ίσιο με το μηδέν. Άρα λοιπόν θέλω να πω ότι η χρήση αυτών των ταυτοτήτων δηλαδή το να αναγνωρίζετε ότι μια σχέση τέτοια είναι ίση με αυτό εδώ πέρα είναι πάρα πολύ χρήσιμο στο μέλλον. Για μας τι είναι σημαντικό. Για μας είναι σημαντικό να μπορείτε να αποδεικνύετε αυτή την ταυτότητα. Και νομίζω ότι αυτό είναι μια άσκηση την οποία θα σας τη βάλω να αντιλήσετε και στις ασκήσεις που θα λήσετε σαν ασκήσεις στο μάθημα. Άρα λοιπόν για μένα αξίζει να πάτε να βρείτε τις ταυτότητες οι οποίες συνδέονται με αυτές εδώ τις διαγνεισματικές ή αριθμητικές συναρτήσεις. Ήθελα ένα πράγμα να κάνουμε και να κλείσουμε το μάθημα. Αν θέλαμε να κάνουμε εφαρμογές αυτά που είπαμε τώρα. Στις εφαρμογές αυτών των πραγμάτων που είπαμε μέχρι σήμερα υπάρχει μια εφαρμογή την είπαμε στο περασμένο μάθημα. Η εφαρμογή αυτή ήταν πως εγώ σε μια επιφάνεια στο χώρο θα βρω την εξίσουτη του εφαπτωμένου επιπέδου. Θυμάται κανένας πως βρήκαμε την εξίσουτη του εφαπτωμένου επιπέδου στο περασμένο μάθημα σε μια επιφάνεια στο ένα σημείο στο χώρο. Ρωτάω το εξής. Στο προηγούμενο μάθημα θεωρώντας ότι έχουμε μια επιφάνεια στο χώρο έχουμε ένα σημείο εδώ πέρα και θέλω να βρω το εφαπτώμενο επίπεδο σε αυτή την επιφάνεια. Στην επιφάνεια σας δίνω ποια είναι αυτή είναι εδώ. Να μια επιφάνεια. Αυτή είναι μια επιφάνεια και θέλω σε ένα σημείο μη μηδέν της επιφάνειας που είναι το χι μηδέν ψι μηδέν ζετ μηδέν να βρω το εφαπτώμενο επίπεδο. Θυμάστε πως το δουλέψαμε αυτό το πράγμα. Μπορούμε να πάρουμε ένα τυχαίο σημείο πάνω στο επίπεδο. Ναι το εφαπτώμενο. Να βρούμε το διανύσμα με το σημείο το εφαπτώμενο που εφάπτεται το επίπεδο και να πάρουμε το εσωτερικό γινόμενο με το ανάλογα. Μπράβο. Και αυτό εδώ πέρα είναι επειδή είναι μηδέν. Άρα λοιπόν εσωτερικό γινόμενο. Έτσι αυτά είναι κάθατα δύο διαγίνσματα. Άρα λοιπόν με αυτές τις πράξεις καταλήξαμε ότι το θ φ θχ συν ψ συν ψ-ψ0 θ φ θ ψ συν ζ-ζ0 θ φ θ ζ είναι ίσο με το μηδέν. Αυτό είναι η έκφραση. Άμα σας ζητήσει ο οποιοσδήποτε σε μια επιφάνεια που ξέρετε τη μορφή τη να βρείτε σε ένα σημείο το εφαπτώμενο επίπεδο μπορεί να η επιφάνεια αυτή να είναι μια σφαίρα. Μπορεί να είναι λιψοειδές μπορεί να είναι οποιαδήποτε σχήμα. Αν ζητήστε λοιπόν σε οποιαδήποτε σχήμα από τα γνωστά μας ή οποιαδήποτε επιφάνεια να βρείτε το εφαπτώμενο επίπεδο στο σημείο χ μι δε ψ μι δεν ζ μι δεν αυτός είναι ο τύπος. Στο προηγούμενο μάθη το αποδείξαμε γιατί αποδείξαμε ότι το ν α εσωτερικά με την κλήση αυτή είναι ίσο με το μηδέν γιατί αυτά τα δύο διανύσματα στο εφαπτώμενο επίπεδο αυτό είναι κάθετο το διανύσμα και αυτό είναι απάνω στο εφαπτώμενο αυτά τα δύο είναι κάθετα μεταξύ τους οπότε το εσωτερικό τους γινόμενο θα είναι μηδέν. Οποιοδήποτε δηλαδή διανύσμα στο χώρο αυτό εδώ πέρα το οποίο έχει μια διεύθυνση αυτά τα δύο διανύσματα είναι μηδέν το εσωτερικό τους γινόμενο. Θέλω να κάνω μια ερώτηση και θα μου πείτε πως αντιδουλέψετε χωρίς αντιδουλέψουμε τώρα γιατί δεν έχουμε χρόνο. Έχω λοιπόν μια επιφάνεια στο χώρο. Νάτη. Της οποία στην έκφραση αναλυτικά την ξέρω και έχω και ένα σημείο στην επιφάνεια αυτή που είναι το σημείο μη μη δεν. Θέλω να δω την εξίση της ευθείας η οποία θα έρχεται και θα προσγειώνεται στην επιφάνεια αυτή κάθετα δηλαδή θα είναι κάθετη στο εφαπτώμενο επίπεδο. Αυτή λοιπόν η ευθεία εδώ που έχει κάθε σημείο αυτής της ευθείας είναι ένα διανύσμα R αυτό είναι ένα διανύσμα R0 γιατί έχει να κάνει με το σημείο μη μη δεν. Θέλω να το R-R0 που είναι αυτό εδώ το διανύσμα αυτό πρέπει να είναι κάθετο απάνω στην επιφάνεια που με ενδιαφέρει. Θέλω λοιπόν την εξίσουση της ευθείας η οποία έρχεται και προσγειώνεται σε αυτή την επιφάνεια στο σημείο μη μη δεν κάθετα. Μπορείτε να μου πείτε από πού θα ξεκινήσετε για να βρείτε αυτή την ευθεία. Τι άλλο ξέρετε εσείς για αυτή την επιφάνεια. Τι άλλο είναι κάθετο σε αυτή την επιφάνεια. Τι είναι κάθετο σε αυτή την επιφάνεια. Η κλήση. Η κλήση. Άρα εάν η κλήση προσγειώνεται κάθετα σε αυτή την επιφάνεια και ένα σημείο που έρχεται και αυτό να προσγειωθεί κάθετα. Να το αυτό το διανύσμα. Αυτά τι πρέπει να είναι μεταξύ τους. Ο μωρός. Ο μωρός. Άρα τι θα κάνω εγώ σαν πράξη για να καταλήξω. Προηγουμένως χρησιμοποιήσαμε το εσωτερικό γινόμενο. Εδώ τι θα χρησιμοποιήσουμε για δύο παράλληλα διανύσματα. Τι έχουν μεταξύ τους. Εξωτερικό γινόμενο μη δεν. Εξωτερικό γινόμενο μη δεν. Αν αυτό το αναλύσετε θα βγάλετε στο τέλος μία σχέση που λέει χ-χ0. Μερική παράγωγος του εφος προς χ στο σημείο μη μη δεν θα πρέπει να είναι ίσον με το ψ-ψ0 θfθxθψ στο σημείο μη μη δεν. ίσον με το ζ-ζ0 θfθz στο σημείο μη μη δεν. Αυτό το διανύσμα. Αυτή είναι η αξίωση της ευθείας που σε αυτήν την επιφάνεια έρχεται και κάθετα απάνω της. Είναι δύο εφαρμογές της κλήσης με το γεγονός ότι ξέρουμε ότι σε μια επιφάνεια η κλήση σε ένα σημείο είναι κάθετη στο εφαπτώμενο επίπεδο. Άρα αφού είναι κάθετη κάθε σημείο απάνω στο εφαπτώμενο επίπεδο εσωτερικά θα είναι μη δεν. Άρα αυτό το εκμεταλλευόμαστε για να βγάλουμε το επίπεδο του εφαπτωμένου επίπεδου. Για να βγάλουμε την ευθεία που έρχεται και προσγειώνεται κάθετα σε μια επιφάνεια πρέπει το εξωτερικό γινόμενο της ενός στοιχειώδους μήκους απάνω στην ευθεία με το κάθετο διανύσμα να είναι παράλληλα αλλά αφού είναι παράλληλα συμβαίνει να είναι μη δεν. Αν τις πάτε πάτε πάτε αυτές τις πράξεις θα καταλήξετε σε αυτήν εδώ την έκφραση. Αυτό εδώ πρέπει να βγαίνει σαν αποτέλεσμα της εξής σχέσης. Και ένα άλλο αποτέλεσμα ήταν ότι το χ-χ0 θεύθυτα χ στο σημείο μη μη δεν συν ψ-ψ0 θεύθυτα ψ στο σημείο μη μη δεν συν ζ-ζ0 θεύθυτα ζ στο σημείο μη μη δεν είναι ίσο με μη δεν. Αυτές οι δύο σχέσεις η μία δίνει την ευθεία που είναι κάθετη σε μία επιφάνεια και αυτή είναι η εξίωση που δίνει το εφαπτόμενο επίπεδο σε μία επιφάνεια στο σημείο. Η επιφάνεια ορίζεται με αυτό το f και το σημείο χ-χ0 ζ-ζ0 το επειδή μας ενδιαφέρει. Μπορείς να πάρουμε το χ σημείο δηλαδή μόνο με την κλήση και το μη μη δεν δεν μπορούμε να βρούμε το τίποτα. Αυτά εδώ είναι νούμερα όμως. Αυτό το χρειαζόμαστε οπωσδήποτε. Αυτά θα βγουν συντελεστές, είναι αριθμοί. Το α, β και γ είναι οι τρεις σταθερές στεραγμένες του κάθιου διανύσματος, του μοναδίου κάθιου διανύσματος και μετά απλά βάζοντας το μη μη δεν θα βρισκόμαστε και το δελφα. Τώρα ποτέ χρειάζεται να πάρουμε το τυχαίο ρ0. Όταν έχουμε μια επιφάνεια, μιλάμε για αυτό το σημείο, για να πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο πρέπει να πάρω ένα τυχαίο σημείο ρ. Άρα λοιπόν αυτό εδώ που είναι πάνω στην επιφάνεια του διανύσματος είναι ρ0. Γι' αυτό το χρειαζόμουνα. Πιθανόντα δεν σε κατάλαβα την ερώτηση, θα το δούμε την επόμενη φορά. Καλές γιορτές! |
