| : [♪ Μουσική Γεια σου και πάλι! Χαίρομαι που τα ξαναλέμε. Είμαι ο Γιώργος Ανδρίκος, δάσκαλος της Πέμπτης και σήμερα θα συνεχίσουμε τα κλάσματά μας από εκεί που τα είχαμε αφήσει. Λοιπόν, είχαμε πει την προηγούμενη φορά, αν θυμάσαι, που θυμάσαι, θυμάσαι πάρα πολύ καλά, είχαμε μιλήσει για κλάσματα ίσα με την ακέραιη μονάδα, για κλάσματα τα οποία είναι ισοδύναμα, είχαμε μιλήσει για κλάσματα αγνήσια, για κλάσματα καταχρηστικά. Αυτό που δεν είχαμε πει όμως είναι με ποιον τρόπο μπορώ να γράψω, για παράδειγμα, έναν ακέραιο με τη μορφή κλάσματος. Για να δούμε. Ας πάρουμε τον ακέραιο 5. Λοιπόν, από σήμερα κάθε ακέραιο που θα έχεις και επιθυμείς να τον γράψεις με τη μορφή κλάσματος, το μόνο που έχεις να κάνεις είναι να του βάλεις παρονομαστή, τη μονάδα. Θα ξαναθυμίσουμε, θα το γράφω συνεχώς, το σύμβολο αυτό που μου δηλώνει τη διαίρεση. Πάμε ξανά, το είχαμε πει, είναι οι πέντε λέξεις που θα σου λύσουν τα χέρια, θυμίσου το. Κάθε κλάσμα συμβολίζει μια διαίρεση του αριθμητή, δια τον παρονομαστή, πέντε λοιπόν. Δια ένα, πέντε, το κρατάμε. Να δούμε τώρα πώς ακριβώς μπορώ να γράψω έναν δεκαδικό με τη μορφή κλάσματος. Για να δούμε, ας γράψουμε λοιπόν τον δεκαδικό 8,2. 8,2 σημαίνει ουσιαστικά 8 στο ακέραιο μέρος και δύο δέκατα. Στους δεκαδικούς θα θυμάσεις ότι το πρώτο δεκαδικό ψηφίο εκφράζει δέκατα. Έτσι λοιπόν, ο αριθμός αυτός μπορεί να γραφτεί ως μυκτός με αυτόν τον τρόπο. Ξαναθυμίζουμε, μυκτή είναι η αριθμή που αποτελούνται από ακέραιο και κλασματικό μέρος. Ή αν αποφασίσω να τον γράψω ως κλάσμα, ξαναθυμίζουμε πώς τους μετατρέπουμε, πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με το ακέραιο μέρος, και του προσθέτω τον αριθμητή 8 επί 10, 80 και 2, 82 δέκατα. Το θυμήθηκες λοιπόν και αυτό. Αυτό που θέλω να κρατήσεις για τη συνέχεια, γιατί θα μας χρειαστεί, στο μάθημα θα ασχοληθούμε με την αφαίρεση περισσότερων κλασμάτων, είναι ότι μπορείς να γράψεις έναν ακέραιο με τη μορφή μυκτού, χωρίς να χάσεις την αξία του. Είδαμε πριν από λίγο ότι αν διαιρέσω έναν αριθμητή με έναν παρονομαστή, το πηλίκο που θα πάρω, στην προκειμένη περίπτωση για παράδειγμα είναι το 5, και μου δηλώνει ότι κάθε ακέραιο μπορώ να τον γράψω με τη μορφή κλάσματος, αν διαιρέσω τον αριθμητή με τον παρονομαστή, ουσιαστικά δηλαδή να του βάλω παρονομαστή τη μονάδα, να μην κάνω κάτι άλλο, έτσι λοιπόν τον ακέραιο 5, μπορώ να τον γράψω σαν 5 πρώτα, τον ακέραιο 12 σαν 12 πρώτα. Να πάρουμε όμως τον ακέραιο 13, πώς σου φαίνεται? Αυτόν εδώ τον ακέραιο, μπορείς να μου τον γράψεις σαν μικτό, τι λες? Κοίταξε να δεις, πρόσεξέ με καλά τι ακριβώς θα κάνω. Θα του πάρω μία ακέραιη μονάδα, έτσι λοιπόν ο ακέραιος μου 13 θα γίνει τώρα πια 12. Αυτή την ακέραιη μονάδα, θα την πάρω και θα την κάνω κλάσμα. Και δεν μου λες γιατί διάλεξες, Γιώργο, το 7 έβδομα και όχι το 5 πέμπτα, όχι το 10 δέκατα. Τώρα το διάλεξα τυχαία, όμως θα διαλέξω το κλάσμα που με εξυπηρετεί, για να είναι ομώνυμο, να έχει δηλαδή τον ίδιο παρονομαστή με το κλάσμα που μου χρειάζεται εμένα. Οπότε το κρατάω κι αυτό. Κάνω εγώ τους συνδυασμούς που επιθυμώ. 12 και 1, πού το βρήκες το 1. 727, 1. Έχεις δίκιο, το κλάσμα είναι ίσο με την ακέραιη μονάδα. 12 και 1, 13. Δηλαδή μπορώ να το γράψω και έτσι, δηλαδή το 13 θα μπορούσε κάλλιστα να είναι 12 και 5 πέμπτα. Φυσικά, αν οι ανάγκες μου ήταν τέτοιες, να λοιπόν άλλη μια πληροφορία που την κρατάμε και μας είναι πάρα πάρα πολύ χρήσιμη. Η επόμενη πληροφορία έχει να κάνει με τους αριθμούς γενικότερα, θα μας επηρέασει όμως αρκετά έως και πολύ στα κλάσματα. Πάμε λίγο να θυμηθούμε ποιους ονομάζω πρωτους αριθμούς. Θα τα χρειαστούμε όλα αυτά σε λίγο. Πάμε λοιπόν να τα φρεσκάρουμε λίγο στο μυαλό μας. Μπορεί να τα έχουμε ξεχάσει, μπορεί και όχι. Πρώτος αριθμός λοιπόν ονομάζεται ο αριθμός που διαιρείται ακριβώς μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα. Πάμε να δούμε ένα τέτοιο αριθμό. Πρώτος αριθμός λοιπόν, ξαναλέμε, ο αριθμός που διαιρείται ακριβώς μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα. Παίρνουμε τον αριθμό 3, ο 3 είναι πρώτος αριθμός, ο αριθμός 5, ο 5 είναι 5 δια 5, 5 δια 1, έχεις δίκιο, είναι πρώτος. Ο αριθμός 6, λάθος, ο αριθμός 6 δεν είναι πρώτος αριθμός, ο αριθμός 6 έχει διαιρέτη το 2, έχει διαιρέτη το 3, έχει διαιρέτη το 6 και έχει και διαιρέτη το 1. Άστα να πάνε, τέσσερις διαιρέτες. Ο αριθμός 6 λοιπόν ονομάζεται σύνθετος. Λέγεται σύνθετος γιατί έχει προκύψει, κράτα το αυτό, θα σου χρειαστεί, απογινόμενο κάποιον πρώτον αριθμό. Ο αριθμός 6 είναι γινόμενο του πρώτου αριθμού 2, επί τον αριθμό 3. Κράτα επίσης την πληροφορία, και αυτή είναι χρήσιμη, ότι ο αριθμός 2 είναι ο πρώτος αριθμός που είναι ζυγός και ο μοναδικός. Πρώτος αριθμός που είναι ζυγός και μοναδικός. Λοιπόν, να λοιπόν που χωρίσαμε τους αριθμούς σε δυο πολύ μεγάλες κατηγορίες. Στους πρώτους, ο 3, ο 5, ο 7, ο 11 και άπειροι άλλοι αριθμοί και οι σύνθετοι. Πρώτοι λοιπόν οι αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς μόνο με τον εαυτό τους και τη μονάδα, και σύνθετοι αυτοί οι αριθμοί οι οποίοι έχουν περισσότερους από δύο διαιρέτες. Πρώτοι, σύνθετοι. Πάμε να δούμε λίγο τώρα τι ακριβώς γίνεται με τον τρόπο που διαιρούνται κάποια αριθμοί με μεγαλύτερη ευκολία. Θα θυμάσεις ότι όταν ασχολήθηκες με τα κλάσματα, έκανες εκεί να τα περιβάλλει τα κριτήρια διαιρετότητας. Πάμε να τα φρεσκάρουμε λίγο στο μυαλό μας. Για πάμε να τα δούμε. Θα σβήσω λίγο από εδώ γιατί θα χρειαστούμε χώρο. Για να θυμίσουμε ότι τελικά τα κριτήρια διαιρετότητας είναι οι ιδιαιτερότητες, οι ιδιότητες που έχει κάθε αριθμός, αντάλογα με τον τρόπο με τον οποίο διαιρείται. Δηλαδή, για να δούμε λίγο ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 2. Με το 2 διαιρούνται όλοι οι ζυγοί, όλοι οι άρτιοι αριθμοί. Ποιους αριθμούς ονομάσαμε άρτιους? Τους αριθμούς που τελειώνουν σε 0, 2, 4, 6 και 8. Όλοι αυτοί οι αριθμοί, ασχέτως του πόσα ψηφία μπορεί να έχουν, άπειρα ψηφία, όσα μπορείς να φανταστείς. Δεν έχει καμία σημασία. Αν λοιπόν τελειώνουν σε 0, 2, 4, 6 και 8, διαιρούνται με το 2. Πάμε με τη σειρά να δούμε ποιοι αριθμοί διαιρούνται δια του 3. Δια του 3 διαιρούνται οι αριθμοί που έχουν. Πρόσεξέ το λίγο αυτό. Τελικό μονοψήφιο άθροισμα 3, 6 ή 9. Με μπέρδεψες, με μπέρδεψες. Όχι δεν σε μπέρδεψα, τώρα θα δεις. Περίμενε, λοιπόν, πρόσεξέ. Πάμε να πάρουμε έναν αριθμό. Πάμε να πάρουμε ένα πολυψήφιο αριθμό. Πάρε ποιον θέλεις. 510. Πάρα πολύ ωραία. Ο αριθμός 510 τι τελικό μονοψήφιο άθροισμα έχει? 5 και 1 και 0. 5 και 1, 6 και 0, 6. Αν διαιρεί με το 3. Τι μου είπες, να έχει τελικό μονοψήφιο άθροισμα 3, 6, 9. Ναι, διαιρείται. Είσαι σίγουρος. Έλα να το δούμε 2 λεπτά, για κοίτα. Πεντακόσια, 10, 2, 6. Το 6 στο 5, δεν χωράει. Το 6 στο 51, πόσες φορές χωράει? Για κάτσε, 9, 9. 6, 9, 54. Άπαπα, για πες σε μία, 8. 6, 8, 48 από 51, 3. Κατεβάζω και το 0. Το 6 στο 30, 5. 5, 6, 30 από 30, 0. Χωράει ακριβώς είχες δίκιο. Σου είπα, αρκεί να έχει τελικό μονοψήφιο άθροισμα 3, 6 ή 9. Το κρατάμε λοιπόν. Μονοψήφιο άθροισμα, 3, 6, 9. Και εδώ είπαμε, να το θυμηθούμε έτσι, ζηγή ή αλλιώς άρτιοι. Πάμε να δούμε τώρα, να το σβήσουμε αυτό, γιατί θέλουμε και χώρο. Έχουμε να πούμε πολλά ακόμη. Λοιπόν, για πάμε να δούμε τώρα με το 4, αν τα πάρουμε με τη σειρά. Θυμάσαι ποια αριθμοί διαιρούνται? Όλα αυτά θα σου είναι πάρα πάρα πολύ χρήσιμα στην απλοποίηση των κλασμάτων. Και στον πολλαπλασιασμό και στη διέρεση που θα ακολουθήσουν. Οπότε ρίχνεις σε μια καλή ματιά, θα σε βοηθήσουν πραγματικά πολύ. Δια του 4 διαιρούνται οι αριθμοί που τα δύο τελευταία τους ψηφία είναι πολλαπλασιασμένοι του 4. Παραδείγματος χάρη, ο αριθμός 352.012. Διαιρείται με το 4, είναι φυσικά και διαιρείται. Ε, το λες με μεγάλη σιγουριά. Ε, τι να μην το πω. Κοίταξε εδώ, 12. Το 12 δεν είναι πολλαπλάσιασμένοι του 4. Ε, διαιρείται με το 4. Τέλος, δεν χρειάζεται να δω κάτι άλλο. Ναι, αλλά διαιρείται και με το 2. Δεν μου πες κάτι τέτοιο. Για το 4 με ρώτησες. Αυτό θα το δούμε στη συνέχεια. Για μη βιάζεσαι, μη βιάζεσαι. Άρα με το 4, τα δύο τελευταία ψηφία, να είναι πολλαπλάσια του 4. Πάρα πολύ ωραία. Με το 5, ας το. Αυτό το ξέρω φίλε. Ξέρεις τι κρυφτό έχω παίξει εγώ στη ζωή μου, ε. Θυμάσαι 5, 10, 15, 20, 25, έτσι μπράβο. Λοιπόν, κάθε φορά που θα παίζεις κρυφτό, θα θυμάσαι ότι όλοι αυτοί οι αριθμοί, του κρυφτού οι αριθμοί, είναι αριθμοί που διαιρείται με το 5. Άρα όποιος αριθμός τελειώνει σε 5 και 0, διαιρείται με το 5. Μετά το 5, να δούμε λίγο το 6. Πολύ ωραία. Δια 6, διαιρούνται οι αριθμοί που διαιρούνται ταυτόχρονα. Και με το 2 και με το 3. Δηλαδή, να είναι ζυγός και παράλληλα να έχει μονοψήφιο άλθερισμα 3, 6 ή 9. Άρα λοιπόν, δια 2 και δια 3. Τέλεια. Συνεχίζω να πάω στο 9. Δια 9, διαιρούνται οι αριθμοί που έχουν τελικό μονοψήφιο άλθερισμα μόνο 9. Μόνο 9. Άθρισμα λοιπόν, μόνο 9. Αμέσως μετά έχω δια 10, που είναι πολύ εύκολο να το θυμηθείς. Όλοι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0, διαιρούνται με το 10. Αντίστοιχα, αν τελειώνουν σε 0, 0, πηχεί 100, 200, 300, διαιρούνται με το 100. Αν τελειώνουν σε 0, 0, 0, διαιρούνται με το 1000. Αν τελειώνουν σε 0, 0, 0, μη συνεχίσουμε τώρα. Εντάξει, το κατάλαβες. Φύσαι πολύ έξυπνος και πολύ έξυπνος και τα φιάνεις αμέσως. Αμέσως μετά από εκεί όμως έχουμε... Άρα λοιπόν, τελειώνουν σε 0. Αμέσως μετά έχω το 25, που είναι πολύ χρήσιμο κριτήριο και αξίζει να το θυμάσαι. Και με αυτό θα κλείσουμε. Δια 25 διαιρούνται οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0, 0, π.χ., 200, 25, 50 και 75. Άρα λοιπόν οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0, 0, 25, 50 και 75 διαιρούνται ακριβώς με το 25. Αυτό είναι πολύ πολύ χρήσιμο κράτατο. Κάπου εδώ θα αφήσω τα κριτήρια διαιρετότητας. Και θα πάω λίγο να σου ξαναθυμίσω... Καταρχάς να ξέρεις ότι άμα έχεις κάποια απορία, ή ξαναβλέπεις την εκπομπή και τη λύνεις την απορία σου, αν είσαι σε ασχολικά σου βιβλία, το αναζητάς, το ψάχνεις, πίστεψέ με, σίγουρα θα βρεις απάντηση. Να είσαι σίγουρος. Θα αφήσω λοιπόν για λίγο τα κριτήρια διαιρετότητας και θα πάω δίπλα να ασχοληθώ λίγο, ξέρεις με τι, με τον τρόπο που βρίσκω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Λοιπόν, να ξαναθυμηθούμε λίγο σε παρακαλώ πολύ ποιοι αριθμοί λέγονται πρώτοι. Οι αριθμοί λοιπόν οι οποίοι διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και τη μονάδα. Το κρατάμε λοιπόν. Πηγαίνω λοιπόν να δω τον τρόπο με τον οποίο θα μπορέσω να βρω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Ξαναθυμίζουμε ότι χωρίς το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, δεν γίνεται να κάνω πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων. Μου είναι απαραίτητο για να μπορέσω να κάνω τα κλάσματά μου ομώνυμα. Για να δούμε λοιπόν τι ακριβώς μπορώ να κάνω εγώ γι' αυτό. Θέλεις να πάρουμε τρεις αριθμούς. Ας πάρουμε λοιπόν τον αριθμό 5, τον αριθμό 12 και τον αριθμό 20. Μου λέει λοιπόν, βρες μου σε παρακαλώ πολύ το ελάχιστο κοινό τους πολλαπλάσιο. Έχω δύο τρόπους. Σήμερα λοιπόν θα σου δείξω και τους δύο. Ο πρώτος είναι ο λίγο πιο γρήγορος. Πηγαίνω λοιπόν και λέω ποιος είναι ο πιο μεγάλος από τους τρεις. Ο αριθμός 20. Είναι και ο πιο απαιτητικός, ο πιο τρεχάτος. Αυτός που έχει το μεγαλύτερο βήμα. Αυτός που πηγαίνει πιο γρήγορα μπροστά από τους άλλους. Κι άλλοι τον κυνηγάνε από πίσω. Για να δούμε λοιπόν. Μία φορά το 20. Είναι πολλαπλάσιο του 5, δεν είναι όμως του 12. 2 x 20, 40. Πάλι είναι του 5. Και τα ατυχία πάλι. 3 x 20, 60. 5 x 12, 60. 12 x 5, 60 το βρήκα. Πάρα πολύ ωραία. Ήταν όμως αν δεν ήταν τόσο εύκολοι οι αριθμοί. Αν δεν ήταν μικροί. Θα έπρεπε να ακολουθήσεις αυτό που θα δείξουμε τώρα. Πηγαίνω. Και ψάχνω να βρω, πρόσεξέ με, ποιος είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός, που διαιρεί ακριβώς έστω και έναν από αυτούς. Ξαναλέμε. Ο μικρότερος πρώτος αριθμός, προ την αριθμή που διαιρούν ακριβώς μόνο τον εαυτό τους και τη μονάδα. Που διαιρεί ακριβώς έστω και έναν από αυτούς. Από τη στιγμή που έχω δύο άρτιους, είναι ο αριθμός 2. Αρχίζω λοιπόν. Να είσαι σίγουρος και σίγουρη, ότι δεν θα συμβεί τίποτε αν πάρεις έναν μεγαλύτερο πρώτο όμως αριθμό. Θα σου προκύψει αργότερα, θα σου βγει στο δρόμο σου ο άλλος αριθμός, όπως και να έχει. Και αρχίζω να διαιρώ. Το 2 στο 5 χωράει ακριβώς. Δεν χωράει. Το ξαναγράφω ακριβώς όπως είναι. Το 2 στο 12 χωράει, φυσικά τι χωράει. Πόσες φορές? 6. Το 2 στο 20, 10. Σαν να μην υπάρχει η επάνω γραμμή, ξαναρωτάω ακριβώς το ίδιο. Την κρύβω, ουσιαστικά. Ποιος είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός που διαιρεί ακριβώς έστω και έναν από αυτούς. Πάλι το 2. Δηλαδή μπορώ να το ξαναγράψω όσες φορές χρειαστεί. Το 2 στο 5, το είπαμε, δεν διαιρείται ακριβώς. Το 2 στο 6, 3. Και στο 2 στο 10, 5. Την ίδια ερώτηση. Σαν να μην υπάρχουν οι από πάνω γραμμές, ποιος είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός που διαιρεί ακριβώς έστω και έναν. Το 3. Πάρα πολύ ωραία. 5, 1. Αυτή η στήλη έκλυσε ουσιαστικά. Γιατί το 1 στον πολλαπλασιασμό είναι ουδέτερο στοιχείο, οπότε δεν έχω να το κάνω κάτι άλλο και στη διέρεση, δεν με απασχολεί. 5. Ξανά η ίδια ερώτηση. Ποιος είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός που διαιρεί ακριβώς έστω και έναν από αυτούς. Το 5, το 5 λοιπόν. Για να δούμε. 1 έκλυσε, 1 έκλυσε. Δηλαδή, για να δούμε τι ακριβώς συνέβη. 2 x 2, 4. 5, 20. 3 x 20, 60. Χρησιμοποίησα προσετεριστική ιδιότητα, για να κάνω λίγο πιο τεριαστό το γινόμενό μου. Άρα λοιπόν, 2 στη δευτέρα, ή αλλιώς 2 στο τετράγωνο, δηλαδή 2 x 2, 3 x 5, 60. Και αυτό είναι το μικρότερο από τα κοινά μου πολλαπλάσια. Κάπου εδώ θα σε αφήσω. Θα ήταν καλό να τα ξαναθυμηθείς. Να τους ξαναρήξεις μια καλή ματιά. Όλα αυτά θα μας χρειαστούν, για να προχωρήσουμε στην πρόσθεση και την αφαίρεση. Θα μας βοηθήσουν πολύ στην απλοποίηση, στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση, που δεν θέλουμε μεγάλους αριθμητές και παρονομαστές, και θέλουμε να τα κρατάμε όσο πιο μαζεμένα γίνεται. Έως τότε να περνάς υπέροχα. Γεια σου! |
