| Διάλεξη 7: Παιδιά, καλησπέρα σε όλους. Σήμερα θα κάνουμε για χαρακτηριστικά τυχαίας μεταβλητής και αύριο θα συνεχίσουμε πάλι το μάθημα με ασκήσεις, παραδείγματα κτλ. Και την επόμενη εβδομάδα θα περάσουμε σε ένα άλλο κεφάλαιο στις χρήσιμες κατανομές. Έχουμε ακόμα δύο εβδομάδες που θα κάνουμε μαζί και μετά θα συνεχίσετε με τον κ. Κουιουμτσή στατιστική. Λοιπόν, έστω ότι έχουμε μια τυχαία μεταβλητή ηχή, τα βασικότερα χαρακτηριστικά της είναι η μέση τιμή, διακύμανση, διάμεσος, επικρατέστερη τιμή. Είναι και άλλα χαρακτηριστικά όπως συντελεστές λοξότητας κτλ. Εμείς θα πεκεντρωθούμε στα αυτά τα 4. Και ξεκινάμε με τη μέση τιμή ή μαθηματική ελπίδα, όπως αλλιώς λέγεται. Η μέση τιμή ή μέσος όρος ή αναμενόμενη τιμή expect value έχει αρκετές ονομασίες και ορισμούς. Κυρίως θεωρητικά ονομάζεται expect value, η αναμενόμενη τιμή της χ, είναι το ολοκλήρωμα της χ επί τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, ό να το ολοκληρώσουμε από μειονάπιρο μέχρι συνάπιρο. Αν είναι διακριτή η τυχαία μεταβλητή, τότε η αναμενόμενη τιμή θα είναι το άθροισμα των χΑ επί fΧΑ συνάρτησημάτως για όλα τα χΑ. Αυτός είναι ορισμός της μέση τιμής και μπορούμε να δώσουμε ένα παράδειγμα. Αν υποθέσουμε ότι μία τυχαία μεταβλητή χ παρουσιάζει τον χρόνο καλής λειτουργίας ενός συστήματος, είχαμε κάνει ένα παράδειγμα. Και αν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι εκδητικής μορφής, όπως το παράδειγμα λαμβά πιέει στη μειον λαμβά χ. Είχαμε δώσει ένα παράδειγμα όπου το χ παριστάνει τον χρόνο καλής λειτουργίας ενός ηλεκτρικού εξαρτήματος και μπορεί ασυντροντικά να πέφτει πάνω στον άξονα χ. Αυτή είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Η μέση τιμή, ο μέσος χρόνος λειτουργίας ενός τέτοιου συστήματος μπορεί να βρεθεί αυτοεκσπέκτη βάλγιο χ που παριστάνει τον χρόνο καλής λειτουργίας και σύμφωνα με τον ορισμό θα πρέπει να ολοκληρώσουμε το λαμβά επί ε στη μειον λαμβά χ, επί χ, επί τέ χ. Να το ολοκληρώσουμε βέβαια όχι από μειον άπειρον αλλά από μηδέν γιατί πριν από το μηδέν είναι μηδέν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας οπότε το προηγούμενο ολοκλήρωμα είναι μηδέν ολοκληρώνομαι από μηδέν μέχρι άπειρο. Και εδώ πέρα να ολοκληρώσουμε καταπαράγοντες αυτό εδώ πέρα το ολοκλήρωμα ισούδει τελικά με 1 προς λαμβά. Δηλαδή αυτή η παράμετρος η οποία εμφανίζεται εδώ πέρα το αντίστροφο αυτής της παραμέτρου είναι η μέση το αναμενόμενο χ είναι το μέσο χ και στην προκειμένη περίπτωση είναι ο μέσος χρόνος λειτουργίας του εξαρτήματος. Αυτό το λάμβα συγκεκριμένα επειδή σας είχα πει ότι ο χρόνος καλής λειτουργίας τέτοιων συστημάτων τα οποία δεν φθείρονται με την λειτουργία τους αλλά αυτό που προκαλεί βλάβη είναι τυχαία γεγονότα στον χρόνο. Τα οποία συμβαίνουν με κάποια συχνότητα λάμβα προκαλούν βλάβη στο σύστημα και στεματάει ο χρόνος λειτουργίας τους. Και λογικά μας σκεφτεί κανένας αν ένα γεγονός έχει μια συχνότητα εμφάνισης, μια συχνότητα λάμβα, η περίοδος επαναφοράς του είναι το αντίστροφο της συχνότητας όπως είχατε μάθει στο λύκειο. Γι' αυτό η περίοδος επαναφοράς τέτοιου γεγονότος που προκαλεί βλάβη στο σύστημα είναι ο μέσος χρόνος λειτουργίας. Γιατί από βλάβη σε βλάβη μετρά ο χρόνος λειτουργίας. Παθαίνει βλάβη, επισκευάται που τύθηκε αμέσως και λειτουργεί. Μετά παθαίνει βλάβη από τυχαία γεγονός, αμέσως επισκευάται και αμέσως λειτουργεί. Άρα ο χρόνος λειτουργίας μετρά από βλάβη σε βλάβη. Γιατί υποτίθεται αμέσως επισκευάται και λειτουργεί. Με βάση περιπτώση το αντίστροφο της συχνότητας εμφάνισης αυτών των γεγονότων που προκαλούν τη βλάβα που θα δούμε στην επόμενη εβδομάδα είναι ο μέσος χρόνος καλής λειτουργίας. Ας δώσουμε ένα άλλο παράδειγμα όπου η τυχαία μεταβολική χ παριστάνει τις ενδείξεις του ζαριού. Ρίχνουμε ένα ζάρι και μπορεί να έχουμε τα εξής αποτελέσματα. Φαίνεται έξι. Η συνάρτηση μας πιθανότητας ισούται με πιθανότητα χ ίσον με χΑ, για όλα τα χΑ ισούται με ένα έκτο. Ποιο είναι η αναμενόμενη ένδειξη του ζαριού, ποια είναι η αναμενόμενη ένδειξη. Εδώ πέρα ίδιος κανένας λίγο να παραξενηφθεί γιατί τι θα πει η αναμενόμενη ένδειξη του ζαριού. Του ζάριού άμα το ρίξεις θα φέρει 1, 2, 3, 4, 5, 6. Σύμφωνο όμως με τον ορισμό του expect value χ, το χ παίρνει τιμές 1, 2, 3, 4, 5 μέχρι 6, η αναμενόμενη τιμή του χ θα είναι άθρισμα όλων των τιμών i επί 1 έκτο, i ίσον από 1 μέχρι 6 και αυτό άμα το αθρίσουμε δίνει 3,5. Δηλαδή η αναμενόμενη τιμή της ένδειξης του ζαριού είναι το 3,5. Δεν ανήκει στο πεδίο τιμών της χ, αλλά είναι μια χρήσιμη πληροφορία. Παραδείγματος χάριν άμα ρίξω εχω το ζάρι χίλιες φορές και καθίσω να σκεφτώ να δω ποιο θα ήταν το αναμενόμενο άθρισμα των ενδείξεων. Αφού αναμένω στη μία φορά να το ρίξω θεωρητικά να έχω 3,5, αν το ρίξω χίλια θα έχω κάπου 3,5 χιλιάδες θα είναι το αναμενόμενο άθρισμα των ενδείξεων, αν ρίξω το ζάρι χίλιες φορές. Δηλαδή δίνει μία πληροφορία την οποία μπορεί να χρησιμοποιήσει ο μηχανικός στο πρόβλημά του, μπορεί να χρησιμοποιήσει τη μέση τιμή για να κάνει κάποιος υπολογισμός. Και να δούμε κάποιες βασικές ιδιότητες που έχει η μέση τιμή. Να πω ότι το expected value του χ είναι μία σταθερά. Το χ μπορεί να παίρνει διάφορες τιμές, όπως και εδώ πέρα ο χρόνος καλής λειτουργίας ενός εξαρθήματος, μπορεί να είναι μικρός, μεγαλύτερος και τα λοιπά με κάποια πιθανότητα. Το expected value όμως είναι μία σταθερά. Είναι το 1 προς λάμπα. Όπως και εδώ πέρα το expected value είναι μία σταθερά. Λοιπόν, βασικές ιδιότητες είναι οι σποδιότεροι. Είναι ότι η μέση τιμή μιας συνάτησης της τυχαίας μεταβλητής χ, αυτά εδώ πέρα, σύμφωνα με τον ορισμό, είναι αν θα ολοκληρώσουμε το αx στις β, πιευχή δx και αν κάνουμε την ολοκλήδωση εδώ πέρα θα έχουμε αx πιευχή δx. Το α μπορεί να βγει και απέξω. Συνελοκλήρωμα β, πιευχή δx μίαν άπειρον μέχρι συνάπειρον. Αυτό κάνει τη μονάδα. Συγγνώμη, το άλλο κάνει τη μονάδα πιο πέρα, αυτό κάνει τη μέση τιμή της χ. Αυτό είναι η μέση τιμή της χ σύμφωνα με τον ορισμό. Άρα έχουμε α επί μέση τιμή της χ, συν το β βγαίνει απέξω, αυτό μέσα κάνει η μονάδα, είναι ολοκλήρωμα ευχή δx, έχουμε συν β. Άρα, άμα πάρω τη μέση τιμή μια συνάρτηση στη χ, σαν για αυτήν εδώ πέρα τη συνάρτηση, θα έχω α επί μέση τιμή της χ συν β, το συμπέρασμα είναι ότι η β είναι σταθερά και παραμένει σταθερά εδώ πέρα. Η μέση τιμή της β είναι το ίδιο το β γιατί είναι πάνω τη σταθερά. Άρα λοιπόν η μέση τιμή μια συνάρτησης της αx συν β είναι το αx συν β. Υπάρχει και μια πορεία. Λοιπόν, για να το γενικεύσουμε όμως λίγο αυτό γιατί θα το χρειαστούμε παρακάτω. Γενικά η μέση τιμή, σαν συμπέρασμα, το συμπέρασμα ότι η μέση τιμή της γχ ή αν έχουμε μια συνάρτηση γενικά, αν έχουμε μια τυχαία μεταβλητή η οποία είναι συνάρτηση, δεν απλώς αx συν β αυτή η συγκεκριμένη συνάρτηση της χ, αν είναι γενικά μια συνάρτηση της χ και αν γνωρίζουμε τη συνάρτηση πυκνώντας πιθανότητας της χ, τότε η μέση τιμή της ψ ισούται με τη μέση τιμή της γχ που είναι ολοκλήρωμα γχ επί εφ χδ. Και ολοκληρώνω από μίων άπειων μέχρι συνάπηρων. Έτσι λοιπόν, επαναλαμβάνω, αν έχουμε μια τυχαία μεταβλητή η οποία είναι συνάρτηση γχ και έχουμε τη συνάρτηση πυκνώντας πιθανότητας της χ, μπορούμε να βρούμε τη μέση τιμή της ψ, γενικεύοντας εκείνη την ιδιότητα είναι το ολοκλήρωμα της γχ επί εφ χδ. Αυτή την ιδιότητα τη χρησιμοποιούμε πολλές φορές για να υπολογίσουμε τη μέση τιμή ας πούμε της ισχύος ενός κυκλώματος, όταν το οποίο εξαρτάται από την ένταση που η ένταση του ρέματος είναι τυχαία μεταβλητή με κάποια συνάρτηση πυκνώντας πιθανότητας. Και έτσι η ισχύση είναι μια συνάρτηση της αντίστασης του κυκλώματος και της έντασης του ρέματος. Αν θέλουμε να βρούμε τη μέση ισχύη του κυκλώματος θα εφαρμόσουμε αυτή την ιδιότητα όταν γνωρίζουμε τη συνάρτηση πυκνώντας πιθανότητας της έντασης του ρέματος. Είναι δηλαδή πολύ χρήσιμη αυτή η ιδιότητα και την εφαρμόζουμε πολλές φορές. Ας δούμε τώρα ένα μικρό παράδειγμα με την ομοιόμορφη κατανομή. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή, περί σταθερά τιμές μεταξύ 0 και 1, δηλαδή η συνάρτηση πυκνώντας πιθανότητας είναι από 0 μέχρι 1, είναι μια σταθερά η ευχή, η οποία είναι σταθερά Σ, η οποία ισούται με 1, γιατί πρέπει το ευαδόνα αυτό με τι να ισούται μέσα εδώ, με 1. Αν μια τυχαία μεταβλητή παίρνει ομοιόμορφατη μέσα από 0 μέχρι 1, τότε η συνάρτηση πυκνώντας πιθανότητας είναι μια σταθερά και για να ισούται το ευαδόνα αυτό μέσα 1, πρέπει και το ύψος εδώ πέρα, τη συνάρτηση να είναι 1. Επομένως γράφουμε Σ η σταθερά ίσου με 1, γιατί αν δεν ολοκληρώσουμε από 0 μέχρι 1, μου δίνει 1. Ποια είναι η μέση τιμή της Χ, εδώ, δηλαδή αν παίρνουμε τυχαία τιμές από το 0 μέχρι το 1, ο μέσος όρος ποιος αναμένατε ότι θα ήτανε. Το 1, το 0, το μισό, ο μέσος όρος. Άμα σου δίνω τιμές από το 0 μέχρι το 1, τυχαία, πολλές τιμές και πάρεις το μέσο όρο, ποιο σα περιμένεις να είναι. Το 1 δεν μπορεί να είναι το 1, γιατί το 1 θα ήταν αν όλες οι τιμές ήταν 1. Αν όλες οι τιμές ήταν 0, θα ήταν το 0 περίπου. Αν οι τιμές σκορπίζουν τους δημές ομοιόμορφα, ποια είναι η μέση τιμή. Το μισό. Άρα λοιπόν σύμφωνα είναι το μισό, για να δούμε αν θα βγει μισό, σύμφωνα με τον ορισμό. Θα ολοκληρώσουμε από 0 μέχρι 1, την ευχή, την χ ευχή, την χ ευχή, η ευχή είναι σταθερά, η οποία είναι το 1, επιτέχει. Και αυτό εδώ πέρα αν το ολοκληρώσεις, σου δίνει χ τετράγωνον δεύτερα από 0 μέχρι 1 και αυτό ισούται με 1 δεύτερο. Μετά αν θέλω να βρω τη συνάρτηση, έχουμε μια τυχαία μεταβολητική ψη, η οποία είναι στη συνάρτηση της ψη δηλαδή χ τετράγωνο. Ποια είναι η μέση τιμή της ψη, δηλαδή ποια είναι η μέση τιμή της χ τετράγωνο. Αν παίρνω τυχαία τη τιμή μεταξύ 0 και 1, τυχαία στη μέση μεταξύ 0 και 1, η μέση της τιμή είναι 1 δεύτερο. Αν όμως κάθε τιμή που παίρνω την υψώνω στο τετράγωνο, ποια θα είναι η μέση τιμή, επειδή της υψώνω στο τετράγωνο θα πρέπει η μέση τιμή τώρα να βγει λιγότερο παρά δεύτερο. Και σύμφωνα με την ιδιότητα αυτή, θα έχω ολοκλήρωμα την τύχη που είναι η χ τετράγωνο, επειδή την εύχη που είναι η 1 σταθερά δεχεί από 0 μέχρι 1. Αυτό εδώ άμα το ολοκληρώσω θα μου δώσει χ τρίτης από 0 μέχρι 1, μου δίνει δηλαδή 1 τρίτο, δηλαδή όπως περίμενα η μέση τιμή βγαίνει 1 τρίτο. Και περίμενα να βγει λιγότερο παρά δεύτερο, γιατί κάθε τιμή που παίρνω την υψώνω στο τετράγωνο και επειδή είναι μεταξύ 0 και 1, μικραίνουν αυτές οι ποσότητες, γι' αυτό η μέση τιμή είναι το 1 τρίτο. Αυτά περίπου για την μέση τιμή ή αναμενόμενη τιμή της χ, η οποία μπορεί και να μην ανήκει στο πεδίο τη μόνη της, αλλά είναι μια χρήσιμη πληροφορία. Αλλά δεν είναι η μοναδική πληροφορία που μπορούμε να πάρουμε από τις παραμέτρες, από τα χαρακτηριστικά της τυχαίας μεταβλητής. Γιατί για παράδειγμα, αν έχουμε μια τυχαία μεταβλητή χ, η οποία παίρνει ισοπίθανα τιμές από μίον 1 μέχρι 1 και μια άλλη ψή, η οποία παίρνει ισοπίθανα τιμές από μίον 1.000 μέχρι 1.000, τότε η μέση τιμή της χ, σύμφωνα με τον ορισμό, θα είναι 0. Η μέση τιμή της ψή, σύμφωνα με τον ορισμό που έδωσα, θα είναι 0. Αν δύο τυχαίες μεταβλητές παίρνουν ισοπίθανα τιμές μεταξύ μίον 1 και 1 και μίον 1.000 και 1.000 ψή, βλέπουμε ότι σύμφωνα με τον ορισμό, η μέση τιμή της χ είναι μίον 1 επί 1 δεύτερο, συν 1 επί 1 δεύτερο, είναι 0. Δηλαδή, βλέπουμε ότι έχουν τις ίδιες μέση τιμές. Αυτή η πληροφορία όμως δεν είναι αρκετή για να δούμε τι τιμές παίρνουν η χ και η ψή, να πάρουμε σημαία ιδέα, γιατί η μεν πρώτη παίρνει τιμές κοντά στη μέση τιμή, η άλλη παίρνει τιμές πολύ απομακρυσμένες. Άρα χρειαζόμαστε ένα άλλο χαρακτηριστικό, το οποίο να μετράει το πόσο απομακρύνονται οι τιμές, διασκορπίζονται γύρω από τη μέση τιμή. Θα μπορούσαμε για παράδειγμα να πάρουμε ένα δίχτυ ή ένα μέτρο που να μετράει την αναμενόμενη απόκλειση των τιμών που παίρνει η τυχαία μεταβολιτή από τη μέση τιμή μη. Ξεχάσαμε να πούμε ότι τη μέση τιμή την ονομάζουμε και μη, μη ελληνικό, είναι ο μέσος όρος το μη, το expect value δηλαδή του χ, το συμβολίζουμε και με μη ελληνικό. Λοιπόν, εάν θέλουμε να βρούμε ένα μέτρο που να βλέπουμε πόσο απομακρύνονται οι τιμές που παίρνει η τυχαία μεταβολιτή από τη μέση τιμή, ένα καλό μέτρο θα ήταν να πάρουμε το μέσο ώρα των αποκλείσεων της χ, των τιμών χ, από τη μέση της τιμή. Αυτό το μέτρο καλό είναι, αλλά πάνονται αυτό, αν πάμε να το υπολογίσουμε βγαίνει μηδέν, γιατί οι διαφορές εδώ πέρα, άλλες είναι θετικές, άλλες αρνητικές, εξοδετερώνονται. Ή, αν εφαρμόσουμε την ιδιότητα της μέσης τιμής που είχαμε πει, έχουμε μέση τιμή της χ μίον το μη σταθερά και βγαίνει μη μίον μη είναι μηδέν. Άρα, αυτή η προσπάθεια αποτυχάνει στο να βρούμε ένα μέτρο που να μετράμε την αποκλείση των τιμών που παίρνει τη χ μεταβολιτή από τη μέση τιμή, για να δούμε πόσο απομακρύνονται. Πιο λογικό είναι να πάρουμε την απόλυτη απόκλειση της χ για να μη βγαίνει μηδέν από το μη και αυτό είναι ένα καλό μέτρο που μας δείχνει πόσο απομακρύνονται κατά μέσο όρο οι τιμές της χ από το μη. Αλλά το πιο καλό όμως, το καλύτερο από όλα θεωρητικά, είναι η διακύμανση της χ και η διακύμανση της χ είναι η μέση τιμή, όχι της απόλυτης απόκλεισης, αλλά του χ μίον μη στο δετράγωνο. Δηλαδή, αν πάρεις τη μέση τιμή της απόκλεισης της χ από το μη στο δετράγωνο, αυτό είναι ένα καλό μέτρο θεωρητικά που μετράει τη διακύμανση των τιμών, τη διασπορά των τιμών της χ από τη μέση τιμή. Πόσο απομακρύνονται οι τιμές, διασκορπίζονται, εάν η διακύμανση είναι μικρή, τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της χ, εάν η διακύμανση είναι μικρή, η συνάρτηση είναι λεπτόκριτη. Αν είναι μεγαλύτερη διακύμανση, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι πιο πλατιά. Δηλαδή, αν έχει μικρή διακύμανση, οι τιμές συσσορεύονται περί τιμές τιμή, αν έχει μεγαλύτερη διακύμανση, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι πλατίκριτη. Επειδή όμως η διακύμανση είναι στο δετράγωνο, οι μονάδες μέτρησης είναι στο δετράγωνο. Δηλαδή, μπορεί να είναι ώρες στο δετράγωνο, κιλά στο δετράγωνο ή ενός οράλις μονάδες στο δετράγωνο που δεν έχουνε πρακτικό νόημα. Και αυτό ο μηχανικός χρησιμοποιεί πολλές φορές στην πράξη την τυπική απόκλυση. Και ποια είναι η τυπική απόκλυση? Είναι η τυτραγωνική ρίζα, συμβολίζεται έτσι, και είναι η τυτραγωνική ρίζα της σίγμα τετράγωνον χ. Το σίγμα τετράγωνο χ είναι όπως αλλιώς συμβολίζεται η διακύμανση. Η διακύμανση συμβολίζεται και σαν σίγμα τετράγωνο χ. Επειδή το σίγμα τετράγωνο χ το μετράμε σε μονάδες στο δετράγωνο, αυτό είναι χρήσιμο θεωρητικά. Στην πράξη ο μηχανικός παίρνει την τυπική απόκλυση. Που έχετε ακούσει την τυπική απόκλυση? Δηλαδή μια τυχαία μεταβλητή παίρνει τιμές κοντά στη μέση της μη, αλλά έχει μια τυπική απόκλυση που έτσι μετράμε ότι το πεδίο τιμών μπορεί να είναι μη, συμπλήν τέσσερες φορές την τυπική απόκλυση. Ή συμπλήν δύο φορές την τυπική απόκλυση. Μετράμε δηλαδή το έυρος του πεδίου τιμών της χ. Και αυτό βέβαια είναι σε φυσιολογικές μονάδες. Για να σας τυραννάμε. Υπάρχουν και άλλα μέτρα που μετράνε. Ας πούμε στις βιομηχανίες έχει πιο πρακτικά, μετράνε τη maximum και τη minimum τιμή. Στην ποιότητα των προϊόντων. Ξέρω εγώ τη maximum αντοχή με τη minimum αντοχή και σου λέω ποια είναι η maximum αντοχή του υλικού που κατασκευάζω ή του αυτού και ποια είναι η minimum. Είναι πιο πρακτικό αυτό. Ή αν είχατε ακούσει στο λύκειο στην πέντε κατανομή συγγνωτήτων που είχατε τη διάμιση, το πρώτο ταρτημόριο, το έυρος, το τρίτο ταρτημόριο και έπαιρνε από το πρώτο ταρτημόριο μέχρι το τρίτο και έλεγες εδώ μέσα κινείται το 75% των τιμών που παίρνει η τυχαία μεταβλητή. Υπάρχουν πολλά μέτρα που βλέπεις τη διασφορά, το έυρος των τιμών που παίρνει η τυχαία μεταβλητή. Ενώ η μέση τιμή σου δείχνει που επικυντρώνονται σε ποιό σημείο του άξου να βρίσκονται το πεδίο τιμών. Και η διακύμαση ή η τυπική απόκλυση ή τα άλλα μέτρα σου δείχνουν πόσα που μακρύνονται ποιό είναι το έυρος μέσα στο οποίο κινείται. Έτσι θα μπορούσε να πάρεις τη μάξιμο τιμή, πολύ απλά και τη μήνυμο και να πεις εδώ μέσα κινούνται οι τιμές που παίρνει η τυχαία μεταβλητή. Άλλο μέτρο θα μπορούσε να είναι η μέση απόλυτη απόκλυση που θέλεις. Και αυτό ένα καλό μέτρο. Αλλά θεωρητικά όμως η διακύμαση είναι το καλύτερο. Η διακύμαση έχει υποδειχθεί στις πιθανότητες και στις αδυστικίες ότι είναι το καλύτερο μέτρο που μετράει και σε όλες τις αναλύσεις χρησιμοποιούμε τη διακύμαση θεωρητικά. Αλλά πιο πρακτικά όμως μπορείς να πάρεις την τραγωνική ρίζα της διακύμασης, την τυπική απόκλυση. Και τα άλλα είναι καλά μέτρα που σου δίνουν μια πληροφορία. Λοιπόν, τώρα στο παράδειγμα που είχαμε πει εκεί πέρα με την συνάτηση πυκνότητες πιθανότητες που είναι A στις μήων λαμβα-Χ, που παριστάνει το χρόνο καλής λειτουργίας, κυρίως τα ηλεκτρικά συστήματα γι' αυτό το αναφέρος συνέχεια, τότε η μέση στις μή, όπως είχαμε πει, είναι το ένα προς λάμβα. Η διακύμανση της χ, που θα πρέπει να υπολογίσουμε, να αλοκληρώσουμε δηλαδή το χ-μ στο δετράγωνο, αφού η διακύμανση είναι η μέση στιμή του χ-μ στο δετράγωνο, είχαμε πει ότι η διακύμανση είναι η μέση στιμή του χ-μ στο δετράγωνο. Άρα λοιπόν, για να βρούμε τη διακύμανση, αφού είναι η μέση στιμή του χ-μ στο δετράγωνο, θα πρέπει να αλοκληρώσουμε αυτή τη Gx επί fx, που είναι το λαμβα, επί αίσθηση μήων λαμβα-χ δx. Θα πρέπει να το αλοκληρώσουμε από 0 μέχρι άπειρο. Αλλά αυτή η Gx, χ-μ στο δετράγωνο να το αλοκληρώσουμε είναι λίγο πιο σύνδετο, γι' αυτό έχουμε τις εξής ιδιότητες όπου μας διευκολύνωνε. Ας πούμε μια ιδιότητα βασική της variance G, είναι ότι η variance G εισούνται με τη μέση στιμή του χ-μ στο δετράγωνο, κι άμα επισώσεις το δετράγωνο αυτό εδώ πέρα, αυτό εισούνται με τη μέση στιμή του χ-τετράγωνο, μήων 2xμ στην μη τετράγωνο. Κι αν εφαρμόσεις εδώ πέρα την ιδιότητα της μέσης στιμής που είχαμε αναφέρει, οτι εισούνται με άλθα επί εχ στην βήτα, εδώ θα έχουμε εχ τετράγωνο και εδώ πέρα θα έχουμε μήων 2εχ που είναι μη, μήων 2μ στο τετράγωνο, σημείς στο τετράγωνο μου κάνει μήων μη στο τετράγωνο. Άρα λοιπόν από αυτήν την βασική ιδιότητα, οτι η διακύμανση είναι, μπορώ να την ορίσω και σαν εχ χ τετράγωνο μήων μη τετράγωνο, με διευκολία να κάνω εδώ πράξεις και να υπολογίσω την διακύμανση. Κάθε φορά που θέλω να υπολογίσω την διακύμανση, δεν θα το οκληρώνω το χ μη μη στο τετράγωνο, γιατί είναι σύνθετο, είναι πιο δύσκολο. Θα παίρνω λοιπόν το εχ χ τετράγωνο μήων μη στο τετράγωνο και θα ολοκληρώσω, είναι πιο εύκολο να ολοκληρώσω χ στο τετράγωνο, επί λαμπα πιέστη μήων λαμπα χ δε χ από μηδέν μέχρι άπειρο μήων ένα προς λάμπα στο τετράγωνο, γιατί μη στο τετράγωνο είναι ένα προς λάμπα στο τετράγωνο και είναι πιο εύκολο να ολοκληρώσεις το χ τετράγωνο παρά το χ μη μη στο τετράγωνο. Και η διακύμανση λοιπόν της χ σε αυτή την περίπτωση με έφυγε το λαμπα πιέστη μήων λαμπα χ είναι αυτό εδώ πέρα, εδώ αν κάνεις πράξεις τελικά αυτό οδηγεί στο ένα προς λάμπα ή στο τετράγωνο. Περισσότερες λεπτομέρειες για την ολοκλήρωση, γιατί είναι χαρακτηριστικό αυτό το ολοκλήρωμα της λαμπα χ χ και για τη διακύμανση υπάρχει μέσα στο βιβλίο. Είναι μέσα στη μη της χ. Λοιπόν και επί την ευκαιρία εδώ πέρα υπάρχει ακόμα μια δεύτερη ιδιότητα, αυτή η ιδιότητα μας βοηθάει να κάνουμε πράξεις να εκτιμήσουμε τη βάρενη της χ. Υπάρχει μια δεύτερη ιδιότητα ότι η διακύμανση της χ, η διακύμανση μάλλον μια συνάρτηση της αx συν β, ισούται αυτό εδώ πέρα είναι η μέση τη μη του αx συν β, μίον αμυ συν β, ισούται το ετράγωνο. Η βάρενη της χ είναι το εχ μίον μη ισούται το ετράγωνο. Η βάρενη της αx συν β είναι η μέση τη μη αυτής της ισυχίας μεταβηλητής της συνάρτησης μίον τη μέση τη μη της που είναι αμυ συν β όπως είχαμε πει. Άρα λοιπόν για να το υπολογίσουμε θα πάρουμε αυτό το τετράγωνο, μπορούμε να το υψώσουμε αν θέλουμε ή πριν το υψώσουμε να κάνουμε πράξεις εδώ πέρα. Αυτά φεύγουν και έχουμε αυτό ισούται με εα τετράγωνο χ. Εδώ έχουμε αx μίον μη ισούται το ετράγωνο και αυτό βγαίνει ότι είναι ατετράγωνο επί εχ μίον μη ισούται το ετράγωνο που είναι variance χ. Με πράξεις δηλαδή το variance αx συν β είναι σύμφωνα με τον ορισμό η μέση τη μη της ισυχίας μεταβηλητής αx συν β μίον τη μέση τη μη που είναι το αμυ συν β στο ετράγωνο. Και εδώ γίνεται απλοποίηση και μένει μέσα ατετράγωνο χ μίον μη στο ετράγωνο. Το ατετράγωνο σύμφωνα με την ιδιότητα της μέση τη μης βγαίνει απέξω, είναι σταθερά και μέσα μένει το expect χ μίον μη στο ετράγωνο που είναι το variance χ. Άρα η διακύμανση μιας συνάρτησης αx συν β είναι το ατετράγωνο επί variance χ, ενώ στη μέση τη μη ήταν το α επί εχ. Εδώ πέρα στη πρώτη ιδιότητα είναι το βάρινση χ χ μίον μη στο ετράγωνο. Αν το υψώσω με αυτό στο ετράγωνο είναι χ τετράγωνον μίον δύο χ μη στις μης του ετράγωνον να το υψώσω και εδώ είναι η ιδιότητα της μέσης τη μης που είχαμε πει. Εψιλον αx συν β δεν είναι α επί εξιλον χ συν β. Ναι εδώ πέρα θα πάρω τη μέση τη μη της τυχαίας μεταβλητής που υπάρχει εδώ μέσα, το χ δετράγωνο μη είναι τυχαία μεταβλητή, θα πάρω τη μέση στη μη την πήρα. Μετά το δύο είναι σταθερά και το μη είναι σταθερά. Όπως το α β και απ' έξω θα βγουν και αυτά απ' έξω δύο μη εχ. Και μετά το μη τετράγωνο είναι η σταθερά β που είχαμε εκεί πέρα θα μείνει όπως είναι. Παράει εδώ πέρα όμως γίνεται προποίηση είναι μίον δύο μη εχ που είναι το μη μίον δύο μη τετράγωνον είναι εδώ συν μη τετράγωνο μας κάνει μίον μη τετράγωνο. Δηλαδή αυτό εδώ είναι εφαρμογή της ιδιότητας της μέσης τιμής που αναφέραμε είχαμε πει η μέση τιμή του α χ συν β είναι το α επί εχ συν β. Αυτό εφαρμόζουμε εδώ το χ τετράγωνον είναι μία τυχαία μεταβλητή χ χ τετράγωνον είναι μία τυχαία μεταβλητή αυτή η ποσότητα είναι μία τυχαία μεταβλητή. Άρα θα πάρουμε τη μέση της τιμή μίον οι σταθερές βγαίνουν απέξω και το ε περνάει στο χ είναι η βασική ιδιότητα που είχαμε αναφέρει. Λοιπόν δέστε περισσότερες λεπτομέρειες και στο βιβλίο αν υπάρχει άλλη ερώτηση. Σε πάση περιπτώση πρέπει να κρατήσετε τουλάχιστον αυτές τις ιδιότητες οι αποδείξεις άμα τις ακολουθήσετε όπως είχαμε πει και στην αρχή δεν είναι υποχρετικό αλλά σας βοηθάει να δείτε πόσο καλά καταλάβατε αυτά που έχουμε αναφέρει. Και πριν περάσουμε στη διάμεσο θα αναφέρομαι για την τυποποίηση μιας τυχαίας μεταβλητής. Τι είναι η τυποποίηση. Πολλές φορές έχουμε να συγκρίνουμε σχετικά με ένα χαρακτηριστικό από άτομα που προέρχονται από διαφορετικούς πληθυσμούς. Δηλαδή πως θα συγκρίνουμε το εισόδημα ενός Έλληνα με το εισόδημα ενός Αμερικανού. Δεν μπορούμε να δούμε τι παίρνει ο ένας το μήνα, τι παίρνει ο άλλος και να συγκρίνουμε αμέσως στα νούμερα. Πρέπει αν χείρι τυχαία μεταβλητή που παριστάνει το εισόδημα, το εισόδημα του ενός να του κάνουμε την υποποίηση. Δηλαδή από το εισόδημά του να αφαιρέσουν τη μέση τιμή του εισοδήματος και να διαρρέσουν με την τυπική απόκλυση. Και το εισόδημα ενός που προέρχεται από την Αμερική να του κάνουμε την υποποίηση. Δηλαδή από το εισόδημά του αφαιρούμε τη μέση τιμή του εισοδήματος στη χώρα αυτή σε αυτό το πληθυσμό και διαρρέσουμε με την τυπική απόκλυση. Και έτσι μπορούμε να συγκρίνουμε δύο απόλυτα μεγέτη. Να πω ένα άλλο παράδειγμα, αν θέλεις να συγκρίνεις το βάρος ενός φοιτητή με το βάρος ενός παιδιού που πάει στο δημοτικό. Δεν μπορείς να πάρεις τα δύο βάρια και να τα συγκρίνεις αμέσως. Προέρχονται από δύο διαφορετικούς πληθυσμούς. Έτσι. Άρα θα πάρεις το βάρος του φοιτητή, θα αφαιρέσεις το μέσο βάρος του φοιτητών, θα διαιρέσεις με την τυπική απόκλυση και θα βγάλεις ένα απόλυτο νούμερο. Το ίδιο θα κάνεις και με το μικρό παιδί. Δηλαδή, θα πάρεις το βάρος του, θα αφαιρέσεις το μέσο βάρος των μικρών παιδιών, θα διαιρέσεις με την τυπική απόκλυση και θα συγκρίνεις μετά, ξέρω εγώ, τα δύο νούμερα, απόλυτα νούμερα, για να δεις ποιος είναι πιο βαρύς ή πιο ευστραφής ή τα λοιπά. Είναι συγκρίσιμα μετά τα μεγέθη. Εδώ πέρα, οι τυποποιημένες στοιχές με τα βλητές χ και ψ, δεν έχουν μονάδες μέτρησης. Δηλαδή, αν εδώ πέρα είχαμε το εισόδημα, είναι σε ευρώ, ο αριθμητής είναι σε ευρώ, ο παρομαστής είναι σε ευρώ, φεύγουν οι μονάδες μέτρησης. Είναι απόλυτα μεγέθη αυτά. Δηλαδή, μια τυποποιημένη τυχαία μεταβλητή που προέρχεται από αυτό τον ορισμό, δεν έχει μονάδα μέτρησης και η μέση τιμή της τυποποιημένης τυχαίας μεταβλητής, είναι 0. Μπορείτε να τα αποδείξετε σύμφωνα με την ιδιότητα της μέσης τιμής που ανέφερα πριν. Μπορείτε να τα αποδείξετε. Και επίσης να αποδείξετε ότι η διακύμανση σύμφωνα με την ιδιότητα ή της ιδιότητας που ανέφερα, η διακύμανση ισούται με 1. Άρα λοιπόν, όταν έχω εγώ μια τυχαία μεταβλητή και την κάνω τυποποιήσει, τότε η μέση τιμή της τυποποιημένης είναι 0 και η διακύμανση είναι 1. Στο εξής και στη σατσική, χρησιμοποιείται αυρέως την τυποποίηση σχεδόν όλων των τυχαίων μεταβλητών. Κάνετε την τυποποίηση, γιατί μπορείτε να δουλεύσετε και να συγκρίνετε πιο εύκολα με την τυποποίηση. Και να περάσουμε στην διάμεσο. Ή πριν πάμε στη διάμεσο, πρέπει να αναφέρουμε για το π, πόσο στη εο σημείο. Χπ. Αν έχω μια τυχαία μεταβλητή, η οποία έχει μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Ευχή. Αν έχει μια ευχή, ας πούμε αυτή η συμμορφή. Τότε ένα σημείο του πεδίου τιμών της χ, το ονομάζω π, πόσο στη εο και το συμβολίζομαι χπ, αν αυτό των βαδών είναι π, όλο των βαδών βέβαια είναι 1. Ή με άλλα λόγια, η πιθανότητα τυχαία μεταβλητή να πάρει τιμές μικρότερης θέσης από το π, πόσο στη εο σημείο, ή σούταν π. Αυτό είναι λοιπόν το π, πόσο στη εο σημείο. Το είχατε δει στο π, ήταν κατανομή συγχοροντήτων, σαν το πρώτο το ταρτημόριο, ήταν το χ0,25 εδώ. Το χ0,25 είναι το πρώτο το ταρτημόριο που είχατε γνωρίσει κάποτε. Το τρίτο το ταρτημόριο που ήταν το χ0,75 εδώ. Και ορίστε, τι δεν ήτανε. Εντέχατε. Δεν είναι και το πιο σπουδαίο δηλαδή. Το λέτε με ένα ύφος λες και δεν ξέρω τι ήτανε. Αυτά είναι πολύ χρήσιμα γιατί τα χρησιμοποιούν κυρίως στο να παίρνουν αποφάσεις. Ξέρω εγώ, άμα θέλουμε να δώσουμε μία αύξηση μισθών στους εργαζόμενους, αν θέλουμε να είναι, να πούμε μέχρι ποιο, η ηλικία είναι η τυχαία μεταβλητή, η ηλικία των εργαζομένων είναι η τυχαία μεταβλητή. Να πούμε ποιο σημείο της ηλικίας είναι το τρίτο δεταρτημόριο, δηλαδή το χ0,75 κάτω από το οποίο βρίσκεται το 25% του πληθυσμού των εργαζομένων και πάνω το 25. Για να ξέρουμε και τι χρήματα θα δώσουμε. Να πούμε δηλαδή ότι δίνουμε αύξηση σε αυτούς που είναι πάνω από το χ0,75 της ηλικίας. Από αυτό το αποστέω σημείο. Βλέπετε ότι τα αποφάσεις είναι χρήσιμα αυτά τα σημεία και εν πάση περιπτώσει ο ορισμός είναι αυτός εδώ πέρα, ο οποίος θα μας βοηθήσει να δώσουμε και τον ορισμό της διαμέσου. Η διάμισος είναι το χ0,5. Η διάμισος μη που είναι το 50% αποστέω σημείο συμβολίζεται με μη. Είναι διάμισος δηλαδή. Αριστερά είναι το 50% και δεξιά το άλλο 50%. Και πιο γενικά ο ορισμός της διαμέσου μετά από αυτό είναι ότι η διάμισος είναι μία τιμή της στοιχείας μεταβλητής χ έτσι ώστε η πιθανότητα του χ να είναι μικρότερη στο μη. Ισούτε με την πιθανότητα το χ να είναι μεγαλύτερο η ίσον του μη. Αυτός είναι ο ορισμός της διαμέσου. Είναι το χ0,5 αποστέω σημείο, το 50% αποστέω σημείο όπως λέμε ή η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει τη μέση μικρότερη στη ίσον του μη Ισούτε με την πιθανότητα το χ να πάρει τη μέση μεγαλύτερη στη ίσον του μη. Η διάμεσος χωρίζει το πεδίο τιμών τη σχή στη μέση. Δηλαδή αν το ύψ του φοιτητών είναι τυχαία μεταβλητή, η διάμεσος σημαίνει μπορεί να έχει μία τιμή ξέρω εγώ το 1,82 για παράδειγμα κάτω από το οποίο είναι οι μισοί φοιτητές και πάνω από το οποίο είναι οι άλλοι μισοί φοιτητές. Χωρίζει το πληθυσμό στη μέση. Η μέση τιμή είναι το κέντρο βάρος των τιμών, είναι ο μέσος όρος για το κέντρο βάρος των τιμών. Και με την ευκαιρία να αναφέρομαι και την επικρατέστερη τιμή, μία άλλη, ένα άλλο χαρακτηριστικό, το οποίο συμβολίζεται με τάφ, συνήθως, και ονομάζεται επικρατέστερη τιμή. Και η επικρατέστερη τιμή είναι μία τιμή της χ, όπου στο σημείο τάφ είναι μέγιστη η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Η επικρατέστερη τιμή συμβολίζεται με τάφ, μπορεί να έχει κι άλλο συμβολισμό και παρουστά την τιμή της ηχείας του ταβλητής όπου η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας παίρνει τη μέγιστη τιμή. Θα μπορούσα να δώσω μία απλή μορφή τέτοιας συνάρτησης που έχουμε δει σε ένα παράδειγμα που είχαμε κάνει. Όπου φαίνεται από το σχήμα ποια είναι επικρατέστερη τιμή. Αν δεν φαίνεται πρέπει να παραγωγίσουμε τη συνάρτηση και αν στρέφει τα κύλα προς τα πάνω να εξισώσουμε να λύσουμε και να βρούμε για ποιο σημείο μεγιστοποιείται. Εδώ πέρα σε αυτό το σχήμα κάπου εδώ είναι επικρατέστερη τιμή γιατί εδώ παίρνει τη μέγιστη τιμή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Αν ήταν όμως όπως ένα άλλο σχήμα που είχαμε κάνει εκεί πέρα με την κατασκευή του δρόμου όπως η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ήταν αυτής της μορφής δηλαδή η ζήτηση κίνησης στο δρόμο χι παίρνει τη μέση από το 0 μέχρι το 1000 με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας σαν και αυτοί του σχήματος τότε η επικρατέστερη τιμή είναι το 200 γιατί για χ200 για την τιμή αυτήν μεγιστοποιείται η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας περί την μέγιστη τιμή. Εδώ πέρα η διάμεσος νομίζω αυτό το είχαμε κάνει το παράδειγμα η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας έχει αυτή τη μορφή εσείς να βρείτε τη συνάρτηση ποια είναι να βρείτε την έκθεκη ποια είναι δηλαδή να βρείτε ποιο είναι το α ποιο είναι το β1 ποιο είναι το β2 μετά να βρείτε την αχρηστική της η αχρηστική για χ από 0 μέχρι 200 είναι το ολοκλήρωμα εδώ πέρα για χ από 200 μέχρι 500 θα πρέπει να πάρετε αυτό το ολοκλήρωμα και το προηγούμενο όλο και τέλος για χ πάνω από 500 είναι το ένα για την εξορισμού είχαμε μιλήσει για την αχρηστική και νομίζω κάναμε αυτό το παράδειγμα δεν το κάναμε εάν έχετε πορεία θα το κάνουμε αύριο που θα ξεκινήσουμε θα κάνουμε και παραδείγματα για να θυμηθούμε λίγο πως βρίσκουμε την αχρηστική τώρα για να βρούμε τη διάμεσο εδώ πέρα η διάμεσος είναι μία τιμή κάπου εδώ η επικρατέστηση είναι του 200 η διάμεσος που είναι εδώ θα πρέπει αυτό το να δω να είναι 0.50 και το άλλο 0.50 αλλά η διάμεσο όπως φαίνεται στο σχήμα πέφτει στην δεξιά μορφή του σχήματος άρα για να βρω τη διάμεσο θα πρέπει να ολοκληρώσω από 0 μέχρι 200 την πρώτη μορφή αχ δχ συν ολοκλήρωμα από 200 μέχρι μή το ευαδόν αυτόν που είναι β1x η δεύτερη μορφή συν β2 επιτέχει αφού έχω βρει τα α β1 και β2 έχω φτιάξει τρεις εξισώσεις με τις βασικές ιδιότητες της συναρτησης πυκνότητας αυτό εξίσουνται με 0.5 εδώ έχω μία άγνωστο όλα είναι γνωστά το α υποτίθεται το έχω βρει το β1 β2 το έχω βρει και είναι άγνωστες τη μή έχουν μία εξίσουσι με το μή και από εδώ βρίσκω το μή ποιο είναι αν θέλω να βρω τη μέση τη μή της χ θα πρέπει να ολοκληρώσω από 0 μέχρι 200 το χ επί αχ δχ συν από 200 μέχρι 500 το χ επί τη συνάρτηση που είναι το β1x με το β2x και να βρω και τη μέση τη μή που θα πέσει κάπου εδώ πάντοτε η διάμεσος είναι μεταξύ της επικρατέστερης μεταξύ της επικρατέστερης και της μέσης τη μή βρίσκετε τη διάμεσος αν γέρνει προς την άλλη πλευρά αν γέρνει σε αυτό το σχήμα σε αυτό το σχήμα εδώ πέρα και επικρατέστερη είναι εδώ η διάμεσος είναι κάπου εδώ και η μέση τη μή είναι εδώ αν το σχήμα όμως ήταν εκεί πάλι η διάμεσος θα ήταν στη μέση η επικρατέστερη από την άλλη πλευρά και από εδώ η μέση τη μή και τέλος να αναφέρομαι ότι πέρα από αυτές τις παραμέτρες υπάρχουν και οι παράμετρες ασημετρίας που μας δείχνουν αν η συνάρτηση επικρανότητας γέρνει από εδώ ή από εκεί ή αν είναι συμμετρική αλλά δεν θα μπορούμε σε λεπτομέρειες με τους δείκτες ασημετρίας απλώς παίρνουν τις διαχειμάσεις και βλέπουνε υπάρχει ένα κριτήριο που δείχνει αν είναι ασύμμετρη η συνάρτηση επικρανότητας τώρα να πούμε λίγα λόγια για την επικρατέστερη τιμή τη διάμεσο και το μή σχετικά με τις πληροφορίες που δίνουνε η μέση τη μή δίνει πάνω στον άξονα χ σε ποια περιοχή περίπου βρίσκονται οι τιμές το πεδίο τιμών της χ η διάμεσος είπαμε είναι μία τιμή της τυχείας μεταβλητής που σου λέει ότι οι μισές τιμές που παίρνει η τυχεία μεταβλητή βρίσκονται πριν από τη διάμεσο και άλλες μισές τιμές είναι πάνω από τη διάμεσο ή όπως λέμε είναι μία τιμή που χωρίζει τον πληθυσμό στα δύο όπως είχαμε πει και πριν τέλος η επικρατέστηρη είναι μία τιμή που τη συναντάμε τις πιο πολλές φορές μέσα στο πληθυσμό δηλαδή το ύψος είχαμε πει διάμεσος μπορεί να είναι το 1,82 δηλαδή κάτω από το 1,82 είναι ο μισός πληθυσμός των φοιτητών και πάνω από το 1,82 είναι το ύψος των άλλων μισών φοιτητών στην Ελλάδα λέμε τώρα για παράδειγμα η επικρατέστηρη τιμή είναι η επικρατέστηρη τιμή είναι το ύψος είναι ένα ύψος πιο ύψος που το έχουν οι περισσότεροι φοιτητές που το έχουν οι περισσότεροι φοιτητές και η επικρατέστηρη τιμή όπως καταλαβαίνετε είναι πιο αντιπροσωπευτική του δείγματος γιατί αν αναφερθώ για το ύψος των Κινέζων αμέσως το μυαλό σε πού πάει στο ύψος που έχουν οι περισσότεροι Κινέζοι δεν πάει ούτε στη μέση τιμή να τους μαζεύσουμε να τους αθρίσουμε και άλλο τη μέση τιμή πάει το μυαλό τους στην επικρατέστηρη τιμή δηλαδή στο ύψος που συναντάμε στους πιο πολλούς από αυτόν τον πληθυσμό που είναι χαμηλού ύψος όταν πάμε στην Ολλανδία όσο φαρά το ύψος η επικρατέστηρη τιμή είναι ότι είναι ψηλή ας το πούμε το μυαλό σου πάει στο μεγάλο ύψος διότι οι πιο περισσότεροι εκεί πέρα έχουν μεγάλο ύψος δηλαδή η επικρατέστηρη τιμή τάφ είναι πιο αντιπροσωπευτική του δείγματος έχει μέσα της αρκετή πληροφορία Εδώ πέρα θα κάνουμε τρεις εξισώσεις έχουμε τρεις αγνώσθους θα ολοκληρώσεις από εδώ μέχρι εδώ το ολοκλήρουμε αυτό είναι 1 Εντάξει για χ200 το α200 εδώ ισούται με το β1 200 στη β2 ισούται η δεύτερη εξίσωση και η τρίτη εξίσωση για χ500 το β1 500 στη β2 μη δεν είχετε δημιούργησα τρεις εξισώσεις έτσι δουλεύουμε συνήθως εδώ πέρα Τώρα να σας δώσω ένα απλό παράδειγμα και να το δουλέψετε εσείς στο σπίτι απόψε Δηλαδή έχουμε μια τυχαία μεταβλητική χ η οποία παίρνει τις τιμές 1, 2, 3 κτλ άπειρες είναι διακριτή η fx i ισούται με 1 προς 2x i Θα βρείτε εσείς την επικρατέστηρη τιμή την διάμεσο και τη μέση τιμή Μπορεί η διάμεσο ώστε να μην είναι το 1 ούτε το 2 είναι με κάθε τιμή μεταξύ 1 και 2 πληρεί τον ορισμό της διαμέσου Γιατί η πιθανότητα αν ήταν το 2 η πιθανότητα χ μεγαλύτερον ισούν του 2 είναι 1 δεύτερο Η πιθανότητα το χ να είναι μικρότερο η ισούν του 2 είναι παραπάνω από 1 δεύτερο είναι 1 δεύτερο που είναι το 1 και στις 1 τέταρτο είναι παραπάνω Αν ήταν το 1 η πιθανότητα χ μεγαλύτερο ισούν το 1 ισούν την πιθανότητα χ μικρότερο ισούν το 1 Η πιθανότητα χ μικρότερο ισούν του 1 είναι 1 δεύτερο άρα θα ψάξουμε να βρούμε σαν διάμεσο κάθε αριθμό μεταξύ 1 και 2 2 εις την χ Αυτό για να είναι συνάντηση πυκνών της πιθανότητας θα πρέπει το άθλησμά του για όλα τα χ να ισούνται με 1 άμα το κάνεις θα δεις ότι πράγματι ισούνται Παιδιά ακούστε λίγο την ερώτηση. Η μέση τιμή είναι ο μέσος όρος ενώ η διάμεσος η πιθανότητα η χ να πάρει την μέση πριν από τη διάμεσο είναι πριν 1% Χωρίζει το δείγμα στη μέση. Δηλαδή οι μισές στη μέση είναι πριν από τη διάμεσο και άλλες μισές είναι μετά τη διάμεσο. Αυτό δεν σημαίνει ότι η μέση τιμή είναι η διάμεσος Γιατί εάν οι τιμές από δεξιά ήταν απομακρυσμένες η μέση τιμή δεν θα είναι η διάμεσος θα είναι μετατοπισμένη. Και από τη ευκαιρία η μέση τιμή επηρεάζεται πολύ από τις ακραίες τιμές που παίρνει τη χ μεταβλητή. Αν έχω ένα πεδίο τιμών της χ και έχω κάποιες τιμές πολύ απομακρυσμένες η μέση τιμή τι κάνει αυξάνει ενώ η διάμεσος δεν αυξάνει εύκολα Μπορεί οι ακραίες τιμές να είναι πολύ απομακρυσμένες να έχουν μεγάλες τιμές στην άκρη η διάμεσος όμως δεν μετακινείται εύκολα. Αύριο πάλι θα συνεχίσουμε με πολλά παραδείγματα ασκήσεις και τα λοιπά. |
