| Διάλεξη 5: Καλησπέρα σε όλους. Σήμερα θα ξεκινήσουμε ένα κοινωνικό κεφάλαιο «Τυχαίες Μεταβλητές», οι οποίες συμβολίζουμε με κεφαλαία γράμματα Y, C, Z, W, όχι ελληνικά αλλά τελικά να είναι κεφαλαία. Τυχαίες Μεταβλητές έχετε ακούσει όταν κάνατε ενδεχομένως στο Λύκειο για τον πίνακα κατανομή συχνοτήτων. Εκεί πέρα μετρούσατε το χαρακτηριστικό μιας μονάδας του πληθυσμού. Δηλαδή, από έναν φιλετητή ξέρω εγώ μετρούσατε το βάρος, το ύψος, κάποιο χαρακτηριστικό, το οποίο μεταβαλόταν από μονάδα σε μονάδα. Κάτι παραιόμειο συμβαίνει και εδώ. Ας σε ένα πείραμα τύχης μετράμε, για παράδειγμα, το χρόνο καλής λειτουργίας μιας λιχνίας ή ενός εξαρτήματος. Όλα τα δενετάν ενδεχόμενα είναι η τιμή X, όπου X ανήκει στους πραγματικούς αριθμούς μιας τυχαίας μεταβλητής. Εδώ πέρα η μεταβλητή είναι ο χρόνος καλής λειτουργίας μιας λιχνίας. Από λιχνία σε λιχνία έχουμε διαφορετικό χρόνο. Το χαρακτηριστικό εδώ πέρα είναι ο χρόνος καλής λειτουργίας, τον οποίο συμβολίζουμε με X. Σε αυτό το πείραμα τύχης ο δειγματικός χώρος περιλαμβάνει όλα τα δειγματοσημεία, όλα τα δενετάν ενδεχόμενα X, όλες τις δυνατές τιμές οι οποίες αντιπροσωπεύουν το χρόνο καλής λειτουργίας. Και όλες αυτές τις τιμές που μπορεί να πάρει το χαρακτηριστικό χρόνο της καλής λειτουργίας παριστάν το πεδίο τιμών της μεταβλητής, που η μεταβλητή εδώ πέρα είναι ο χρόνος καλής λειτουργίας του ξαρτήματος. Το ονομάζουμε μεταβλητή, γιατί όπως είπαμε μεταβάλλεται από λιχνία σε λιχνία. Κάθε λιχνία έχει διαφορετικό χρόνο από την άλλη. Μπορεί να διαφέρει λίγο. Σε κάθε περίπτωση υπάρχει μια μεταβολή, γι' αυτό ονομάζεται και μεταβλητή. Έτσι το είχαμε δει πρακτικά, ότι η μεταβλητή είναι ένα καρακτηριστικό, το οποίο μεταβάζεται κάθε φορά που του παρατηρούμε από μονάδα σε μονάδα. Πολλές φορές όμως τα αποτελέσματα ενός πειράματος δεν είναι αρίθμη, όπως είναι ο χρόνος. Μπορεί να είναι, ξέρω εγώ, όταν ρίχνουμε ένα νόμισμα, όταν ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές, ο δειγματικός χώρος δεν εκφράζεται με αριθμούς. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές στο πείραμα και παρατηρώ την ένδειξη κεφαλή-γράμμα. Όλα τα δυνατά ενδεχόμενα ποιά είναι. Όλα τα δυνατά ενδεχόμενα είναι να έχω τρεις κεφαλές, δύο κεφαλές και ένα γράμμα, κεφαλή-γράμμα-κεφαλή, γράμμα-κεφαλή-κεφαλή, ή κεφαλή και δύο γράμματα με διαφορετική σειρά και τέλος μπορεί να έχω τρία γράμματα. Βλέπουμε δηλαδή σε ένα άλλο πείραμα τύχης όλα τα αποτελέσματα δεν είναι αριθμοί, είναι τρεις κεφαλές κλπ. Εδώ πέρα μπορούμε να ορίσουμε μια μεταβλητή. Εδώ βλέπουμε τώρα ότι τα αποτελέσματα δεν είναι αριθμοί, όπως εδώ. Σε αυτό το πείραμα τα αποτελέσματα ήταν αριθμοί, παρίτι ήταν χρόνο. Ο χρόνος έχει πραγματικές θυμές. Εδώ τα αποτελέσματα είναι ποιοτικά όπως λέμε, δεν είναι ποσοτικά. Σε αυτό μπορούμε να ορίσουμε εδώ πέρα μια τυχαία μεταβλητή ανάλογα με το πρόβλημα, ό,τι θέλουμε δηλαδή. Ορίζουμε σαν τυχαία μεταβλητή τον αριθμό των κεφαλών εδώ πέρα. Η τυχαία μεταβλητή δηλαδή παριστάνει όπως λέμε τον αριθμό των κεφαλών. Και σε αυτή την περίπτωση παίρνει δημήτρια στην άλλη δύο, στην άλλη ένα, στην άλλη μηδέν. Δηλαδή σε αυτό το πείραμα με τη ρήψη τον ομίλυμτος τρεις φορές όπου παρατηρούμε τον αριθμό των κεφαλών. Όχι με ποια σειρά έρχονται αλλά πόσες κεφαλές έχουμε στις τρεις ρήψεις. Εδώ έχουμε τρεις ρήψεις, εδώ έχουμε δύο κεφαλές, εδώ έχουμε μία κεφαλή και εδώ έχουμε μηδέν κεφαλές. Έτσι όταν σε ένα πείραμα τα αποτελέσματα δεν είναι αριθμοί μπορούμε με μία τυχαία μεταβλητή να τα αποικονίσουμε σε κάποιος αριθμός. Και έτσι ο νέος μας διδημοτοχώρος τώρα είναι αυτό εδώ πέρα το σύνολο το οποίο εκφράζεται και αυτό με αριθμός. Έτσι μπορούμε εάν το πείραμα έχει αποτελέσματα που δεν είναι αριθμοί με μία τυχαία μεταβλητή να τα αποικονίσουμε σε κάποιους αριθμούς ανάλογα βέβαια με την τυχαία μεταβλητή που θα ορίσουμε. Γιατί μπορεί σε ένα πείραμα να έχουμε και άλλη τυχαία μεταβλητή πέρα από τον αριθμό των κεφαλών. Να έχουμε ξέρω εγώ την θέση, να παριστάνει την θέση που έρχεται για πρώτη φορά το γράμμα. Να μην παριστάνει τον αριθμό των κεφαλών, να παριστάνει κάτι άλλο. Σε ένα πείραμα μπορώ να έχω με δύο ή και περισσότερες τυχαίες μεταβλητές. Πάντως σε αυτήν εδώ πέρα την τυχαία μεταβλητή όπως την έχω ορίσει παριστάνει τον αριθμό των κεφαλών και σε κάθε αποτέλεσμα αντιστοιχεί έναν αριθμό. Σε αυτήν την περίπτωση όταν σε κάθε αποτέλεσμα αντιστοιχεί μόνο έναν αριθμό τότε η τυχαία μεταβλητή ονομάζεται μόνο διάστατη. Υπάρχει όμως περίπτωση να έχουμε και διδιάστατη ή πολυδιάστατη αν σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί παραπάνω από ένα νούμερο. Και γενικά αν θέλαμε να δώσουμε τον ορισμό της τυχαίας μεταβλητής η τυχαία μεταβλητή όπως βλέπουμε γενικά είναι μία συνάρτηση η οποία επικονίζει τον δειγματικό χώρο S στο χώρο των πραγματικών αριθμών. Εδώ η τυχαία μεταβλητή H που παριστάνει το χρόνο ανήκει σε αυτήν την κατηγορία, σε αυτές τις συναρτήσεις όπου επικονίζει βέβαια, επικονίζεται στον εαυτό της και γι' αυτό είναι ταυτωτική συναρτήση εδώ πέρα. Γιατί ο δειγματικός χώρος συμπίπτει με το χώρο των πραγματικών αριθμών. Και μπορούμε να δώσουμε και μία άλλη έτσι γραφική παράσταση αν έχουμε εδώ πέρα το δειγματικό χώρο του πειράματος. Και εδώ έχουμε ένα γεγονός α, εδώ μπορούμε να πούμε ότι έχουμε το χώρο των πραγματικών αριθμών και κάθε δειγματοσυμείο S, η τυχαία μεταβλητή του δίνει μία τιμή, H μικρό. Εδώ έχουμε την τυχαία μεταβλητή, η οποία σε κάθε δειγματοσυμείο, κάθε αποτέλεσμα του πειράματος στίχης, του δίνει μία τιμή, H μικρό. Και μπορούμε επίσης να ορίσουμε και γεγονότα με την τυχαία μεταβλητή, μπορούμε να ορίσουμε και γεγονότα. Και τα γεγονότα που μας ενδιαφέρουν σε ένα πειραματίχης είναι οι τιμές που παίρνει η τυχαία μεταβλητή. Εκτελώνουμε το πειραματίχης, μπορούμε να ορίσουμε γεγονότα που αφορούν τις τιμές που παίρνει η τυχαία μεταβλητή. Θα μπορούσε η τυχαία μεταβλητή να πάρει μία τιμή, H μικρό. Το γεγονός αυτό, ότι η τυχαία μεταβλητή θα πάρει μία τιμή H μικρό, που βλέπουμε και στο παράδειγμα, δεν προέρχεται μόνο από ένα αποτέλεσμα του πειράματος, μπορεί να προέρχεται από περισσότερα αποτελέσματα. Άρα, το γεγονός ότι η τυχαία μεταβλητή σε ένα πείραμα θα πάρει μία τιμή, είναι ισοδύναμο με ένα γεγονός στο δειγματικό χώρο, ας το πούμε α, το οποίο περιλαμβάνει όλα εκείνα τα α, έτσι ώστε η αποικώνησή τους να δίδει τη τιμή H μικρό. Όπως εδώ πέρα, το γεγονός ότι η τυχαία μεταβλητή θα πάρει τη τιμή 2, που έρχεται, είναι ισοδύναμο με ένα γεγονός στο δειγματικό χώρο α, όπου το κάθε δειγματοσυμείο αποικωνίζεται στο 2. Όπως και εδώ, θα μπορούσαμε να πούμε στο σχήμα, αν κάθε ένα από αυτά τα δειγματοσυμεία δίνει μία τιμή H μικρό, τότε το γεγονός ότι η τυχαία μεταβλητή παίρνει τη τιμή H μικρό είναι ισοδύναμο με το γεγονός α, γιατί είναι ισοδύναμο. Όταν εκτελέσεις εγώ το πείραμα τύχης, εάν συμβεί το α, τότε η τυχαία μεταβλητή θα πάρει τη τιμή H μικρό. Έτσι είχαμε ορίσει και τα ισοδύναμα γεγονότα όταν ορίσαμε το δειγματικό χώρο και τα γεγονότα στο πρώτο μάθημα. Είπαμε ότι είναι ισοδύναμα. Πότε είναι ισοδύναμα, όταν εκτελώνω το πείραμα τύχης και συμβαίνει το ένα, γεγονός συμβαίνει και το άλλο, οπωσδήποτε. Και σε αυτή την περίπτωση, εάν έρθει κάποιο δειγματοσυμείο μέσα του α, τότε η τυχαία μεταβλητή παίρνει τη μύχη μικρό. Τότε και μόνο τότε. Άρα είναι ισοδύναμα αυτό το γεγονότα. Εάν θέλω εγώ να υπολογίσω τη πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή σε ένα πείραμα να πάρει τη μύχη μικρό, μπορώ να την υπολογίσω, αν ξέρω ποιο είναι το ισοδύναμο γεγονός στο δειγματικό χώρο. Εδώ πέρα, σε αυτό το πείραμα, ποια είναι η πιθανότητα, αν δείξω εγώ το ρόνι μου τρεις φορές, η τυχαία μεταβλητή να πάρει τη μύχη δύο, είναι η πιθανότητα να συμβεί αυτό το γεγονός α. Και ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός α. Τρία όγδα. Η πιθανότητα το χ να πάρει τη μύχη δύο, ισούτε με την πιθανότητα του ισοδύναμου γεγονότα στο δειγματικό χώρο α, το οποίο ισούτε με τρία όγδα. Παρόμοια μπορούμε να ορίσουμε κι άλλα γεγονότα, εδώ πέρα, όπως η τυχαία μεταβλητή να πάρει τη μη μικρότερη ισότητα του χ μικρό. Ισούτε με εκείνο το γεγονός α που περιλαμβάνει όλα τα α, έτσι ώστε η επικόνισή τους να παίρνει τη μη μικρότερη ισότητα του χ μικρό. Και μπορεί να έχουμε κι άλλα γεγονότα, ότι η τυχαία μεταβλητή να πάρει τη μη μικρότερη ισότητα μεταξύ χ1 και χ2. Αυτό είναι ισοδύναμο με ένα γεγονός α, το οποίο περιλαμβάνει όλα κοίτα τα α έτσι ώστε η επικόνισή τους να δίνει τιμές μεταξύ χ1 και χ2. Βέβαια αυτά τα γεγονότα μπορούμε να τα ορίσουμε εδώ πέρα στη γραφική παράσταση. Το α εδώ πέρα, αυτό το γεγονός μπορούμε να το ορίσουμε ότι όλες αυτές τις τιμές που έγινε εδώ μέσα είναι μικρότερες ή ίσεις από το χ μικρό και μπορούμε να το συμβολίσουμε και σαν β. Εδώ πέρα το α και το β είναι ισοδύναμα. Εδώ είναι όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει το χ μικρότερες από το χ μικρό και το β με το α είναι ισοδύναμα. Για παράδειγμα, εδώ με τη ρήψη του νομίσματος μπορούμε να πούμε ότι θέλουμε το γεγονός ότι τυχαία μεταβλητή θα πάρει τιμές μικρότερες ή ίσεις από το 1. Αυτό το γεγονός έχει πιθανότητα εις ούτε με την πιθανότητα του ισοδύναμου γεγονότος, αν εδώ είναι το 1, το γεγονός ότι το χ παίρνει τιμές μικρότερες του 1, είναι δηλαδή η 0 ή 1. Και εδώ πέρα το ισοδύναμο γεγονός είναι το α, γιατί όταν συμβαίνει το α, έρχεται ένα από αυτά τα δείγματος σημεία, τότε το χ παίρνει τη μέση μικρότερες ή ίσεις του 1. Αυτό είναι το α και αυτό είναι το β στον δειγματικό χώρο των πραγματικών αριθμών. Μετά από όλα αυτά μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε πείραμα τύχης μπορούμε να ορίσουμε μια τυχαία μεταβλητή όπως εμείς θέλουμε, η οποία απεικονίζει κάθε δείγματο σημείο στον χώρο των πραγματικών αριθμών. Η τυχαία μεταβλητή ορίζει και αυτή κάποια γεγονότα, να πάρει μια τιμή χ μικρό, να πάρει τιμές μικρότερες του χ μικρό, να πάρει τιμές μέσα στο χ1, χ2. Και τα γεγονότα αυτά της τυχαίας μεταβλητής είναι ισοδύναμα με κάποια γεγονότα στον δειγματικό χώρο όπου έχουμε μελετήσει. Τα γεγονότα αυτά είναι ισοδύναμα με γεγονότα στον δειγματικό χώρο που έχουμε μελετήσει. Και γι' αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε, να εκτιμήσουμε τις πιθανότητες που αφορούν τα γεγονότα της τυχαίας μεταβλητής. Γιατί έχουμε μάθει να εκτιμούμε την πιθανότητα των ισοδύναμων γεγονότων στον δειγματικό χώρο. Για παράδειγμα, αυτή η πιθανότητα με τι ισούται, ισούται με το ισοδύναμο γεγονός α, το οποίο είναι η πιθανότητα του α που είναι εκεί πέρα, τέσσερα όγδα. Γιατί το ισοδύναμο γεγονός α περιλαμβάνει τέσσερα δειγματοσημεία, άλλο η πιθανότητα είναι τέσσερα όγδα. Άρα λοιπόν, αφού καταλάβαμε τι σημαίνει, τι είναι τυχαία μεταβλητή, μετά αφού καταλάβαμε ότι έχουμε για η γεγονότα επίσης με την τυχαία μεταβλητή, που είναι τριώνυδων τα γεγονότα που εξηγήσαμε, μπορούμε να υπολογίσουμε και τις πιθανότητες η τυχαία μεταβλητή να πάρει κάποιες τιμές, ή μπορούμε να υπολογίσουμε και την πιθανότητα των γεγονότων που αφορούν την τυχαία μεταβλητή. Αυτές οι πιθανότητες είναι ίσης με τις πιθανότητες των ισοδύναμων γεγονότων στο δειγματικό χώρο. Και επειδή έχουμε μάθει να υπολογίζουμε την πιθανότητα για οδήποτε γεγονότο στο δειγματικό χώρο, γι' αυτό δεν έχουμε κανένα πρόβλημα να υπολογίζουμε την πιθανότητα της τυχαίας μεταβλητής να πάρει κάποιες τιμές. Προχωρήσουμε όμως πιο μεθοδοδικά τώρα στην πιθανότητα της τυχαίας μεταβλητής. Θα ορίσουμε συναρτήσεις, οι οποίες συναρτήσεις θα μας δίνουν την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει κάποιες τιμές. Αν δεν έχετε πορεία μπορούμε να συνεχίσουμε στον ορισμό της συναρτήσεις μας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής. Αυτές οι έννοιες που είπα είναι πάρα πολύ απλές. Αν υπάρχει κάποια σάθεια ή κάτι που δεν καταλαβαίνετε μπορούμε να το συζητήσουμε. Βασικά απλήχη στο πρόγραμμα του παράδειγμα, το ότι αντιστοιχούμε τρία αντιβιβολότατας τον επόμενο δύο δεν δημιουργεί κανένα πρόβλημα σχετικά με τα άλλα. Όχι. Είπαμε ότι η τιμή της τυχαίας μεταβλητής μπορεί να προέρχεται όχι μόνο από ένα αποτέλεσμα στο διδηματικό χώρο, αλλά από περισσότερα. Το αντίστροφο όμως δεν συμβαίνει, συμβαίνει στις πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Στις μονοδιάστατες τυχαίες μεταβλητής σε κάθε αποτέλεσμα του διδηματικού χώρου, σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος, αντιστοιχούμε μόνο έναν αριθμό. Στις μονοδιάστατες. Δηλαδή, αν ρίξω ένα νόμισμα επάνω στο τραπέζι, μπορεί να έχω να αντιστοιχήσω δύο αριθμούς. Δηλαδή, να αντιστοιχήσω τον αριθμό των κεφαλών και επίσης να μετρήσω και την απόσταση από την άκρη του τραπηζού που έψησε το νόμισμα. Και εκεί πέρα έχω, σε κάθε αποτέλεσμα, έχω τι έφερε ή πόσες κεφαλές έφερε ή που πέσανε επάνω στο τραπέζι. Δηλαδή, μετράκω τις αποστάσεις μεταξύ τους και μετράκω και άλλα πράγματα. Δηλαδή, σε κάθε αποτέλεσμα αντιστοιχού, αντιστοιχώ δύο ή τρεις και περισσότερος αριθμός. Εκεί είναι πολυδιάστατες τις τυχαίες μεταβλητές. Εδώ έχουμε μόνο διάστατε. Θα μπορούσα να πω ότι η τυχαία μεταβλητή που ορίσαμε πριν ήταν διακριτή. Διακριτή τυχαία μεταβλητή χ, όπως το πείραμα που κάναμε πριν. Ο αριθμός τιμών που παίρνει η τυχαία μεταβλητή, το πεδίο τιμών, είναι επεπερασμένο. Έβαινε στιγμές 0, 1, 2, 3. Εδώ είναι διακριτή, γιατί παίρνει επεπερασμένο αριθμό τιμών. Θα μπορούσε να παίρνει και 1 τιμές γενικά ή θα μπορούσε να παίρνει και άπερο αριθμό αλλά μετρήσιμο. Εξακολουθεί να είναι πάλι διακριτή. Σε άλλες περιπτώσεις όμως είναι συνεχής. Αν μετράμε την θερμοκρασία σε έναν τόπο, η θερμοκρασία μπορεί να ανεχεί και να παίρνει τιμές μεταξύ της ελάχιστης και της μέγευσης τιμής των θερμοκρασιών που παρατηρούνται στον τόπο αυτόν. Σε αυτό το πείραμα, το χ παριστάνει η τυχαία μεταβλητή που παριστάνει θερμοκρασία στον τόπο αυτόν, ας πούμε η αριά 12 το μεσημέρι. Θα μπορούσε όμως στο ίδιο πείραμα να ορίσουμε και άλλες μεταβλητές που θα παριστάνουν τη μέση θερμοκρασία της ημέρας στον τόπο αυτόν. Στο ίδιο πείραμα θα μπορούσαμε να ορίσουμε και τρίτη μεταβλητή που θα παριστάνει τη μέγιστη θερμοκρασία που παρατηρείται κατά τη διάρκεια της ημέρας. Ποιο το κατευθύσεις, ναι. Εδώ, εδώ δεν είναι διακριτή γιατί παίρνει πραγματικές τιμές αυτοεψηλών μέχρι το μη. Παίρνει άπειρες τιμές μη αριθμίσιμες. Οι συνεχείς? Είναι συνεχείς τη θερμοκρασία μεταβλητή γιατί παίρνει άπειρες τιμές μη αριθμίσιμες. Όπως είναι τα περισσότερα μεγέτη είναι συνεχεί. Το βάρος, το ύψος, η αντοχή, η θερμοκρασία, η άνταση του ρεύματος, οι ισχύεις, όλα αυτά είναι συνεχείς. Λοιπόν, θα ορίσουμε πιο μεθοδικά τώρα τις συναρτήσεις πιθανότητας. Γιατί το μηχανικό τον ενδιαφέρει η πιθανότητα με την οποία είναι η τυχαία μεταβλητή παίρνει κάποιες τιμές. Ποια είναι η πιθανότητα η άνταση του ρεύματος να είναι αυτή, να είναι μικρότερα από κάτι. Ή να ξεπεράσει μια ποσότητα, ξέρω εγώ. Ποια είναι η πιθανότητα ο χρόνος καλύτερη λειτουργίας να ξεπεράσει το εκατό. Ή ποια είναι η πιθανότητα να μην ξεπεράσει κάποια άλλη τιμή. Και ούτω κάτω εξής. Αυτές οι πιθανότητες, όταν πρόκειται για την διακριτή τυχαία μεταβλητή, όταν πρόκειται για την διακριτή τυχαία μεταβλητή, η συνάρτηση η οποία δείχνει την πιθανότητα με την οποία είναι η τυχαία μεταβλητή παίρνει τις τιμές, ονομάζεται συνάρτηση μάδας πιθανότητας. Έχουμε λοιπόν τη συνάρτηση μάδας πιθανότητας. Συμβολίζομαι με FxI και παρουσιάζει την πιθανότητα τυχαία μεταβλητή να πάρει την τιμή xI. Δεδομένου ότι η τυχαία μεταβλητή x, γενικά, έχει πεδίο τιμών το x1, x2, x1. Δηλαδή μία τυχαία μεταβλητή διακριθεί η οποία παίρνει n τιμές x1, x2, xn, το πεδίο τιμών της. Σαν συνάρτηση μάδας πιθανότητας ορίζουμε την FxI, FμxI, η οποία παρουσιάζει την πιθανότητα τυχαία μεταβλητή να πάρει την τιμή xI. Και θα μπορούσαμε να κάνουμε και την γραφική παράσταση. Ποια είναι η γραφική παράσταση? Στο παράδειγμα εδώ που έχουμε 0, 1, 2, 3 τιμές. Εδώ πέρα έχουμε 1, 8, η πιθανότητα το x να πάρει την τιμή είναι 1, 8, εδώ είναι 3, 8, εδώ είναι 1, 8. 1, 8 είναι η πιθανότητα να έρθει μόνο γ, γ, γ που ήταν 1 στα 8. Και αν η πιθανότητα έχει να πάρει την τιμή 1, είναι να έρθει μία κεφαλή και δύο γράμματα, είχαμε τρεις περιπτώσεις, 3 στα 8. Και εδώ είχαμε πάλι 3, 8 και εδώ είχαμε 1, 8. Άρα λοιπόν η συνάρτηση που δίνει τις πιθανότητες τυχαία μεταβλητή να πάρει κάθε τιμή από το παιδιοτιμό της ονομάζεται συνάρτηση μάδας πιθανότητας και αρκετές φορές θα την δίτησαν συνάρτηση μάδας πιθανότητας. Και αυτές είναι οι μπάρες στην γραφική παράταση που δείχνουν την μάζα πιθανότητας, έτσι το λέμε, που υπάρχει στα διακριτά σημεία 0, 1, 2, 3. Άρα λοιπόν η πιθανότητα το x να πάρει μια τιμή x i ονομάζεται και μάζα πιθανότητας στα διακριτά σημεία x i. Έτσι το ονομάζουμε. Και όλη η μάζα αυτή άμα τη συγκεντρώσει κανένας είναι 1 γι' αυτό έχουμε τις βασικές ιδιότητες πρώτον η συνάρτηση μάδας πιθανότητας αφού παριστάνει πιθανότητα είναι μεγαλύτερη ιστορική του 0. Και δεύτερον αν τη μαζέψουμε όλη τη μάζα είναι η πιθανότητα τη x μεταβλητή, αυτές οι μάζες, αυτές οι πιθανότητες παριστάνουν την πιθανότητα τη x μεταβλητή να πάρει μία από τις τιμές x i. Και αυτό είναι το σίγουρο γεγονός, γι' αυτό το άθλησμα των πιθανότητων, η πιθανότητα της Ένωσης δηλαδή το x να πάρει τη μη x 1, x 2, x 1, το άθλησμα των πιθανότητων είναι 1, γιατί είναι η πιθανότητα του σίγουρο γεγονότος. Δηλαδή έχουμε άθλησμα όλων των x i, έχει ίσο με x i δηλαδή, για κάθε x i ισούτε με 1. Αυτή είναι μια βασική ιδιότητα που έχει η συνάρτηση μάζας πιθανότητας. Γιατί παριστάνει την πιθανότητα αυτό η x μεταβλητή να πάρει μία από τις τιμές x 1, x 2, x 1 που είναι το σίγουρο γεγονός. Αν το αναλύσουμε θα δούμε ότι είναι 1. Αν πάρουμε την πιθανότητα της Ένωσης x 1, x 2, x 1 γεγονότον και αθλήσουμε τις σημάσεις της πιθανότητας, είναι η πιθανότητα του σίγουρο γεγονότος και βγαίνει ότι είναι 1. Μπορούμε αμέσως να δώσουμε ένα παράδειγμα. Σε ένα πείραμα τύχης, τι μετράμε, ελέγχουμε ένα ανταλλακτικό, αν είναι καλό ή ελαττωματικό. Αν είναι ελαττωματικό σταματάει το πείραμα. Σε μία παραγωγή ελέγχουμε το ανταλλακτικό που παράγεται σε μία βιομηχανία. Αν είναι ελαττωματικό σταματάμε. Αν δεν είναι και είναι καλό παίρνουμε και δεύτερο. Αν το δεύτερο είναι ελαττωματικό σταματάμε. Δηλαδή το πείραμα τι είναι. Παίρνουμε ανταλλακτικά και τα ελέγχουμε μέχρι που θα βρούμε ελαττωματικό. Όλα τα δυνατά ενδεχόμενα μπορούν να είναι αυτά που γράφω ή να έχουμε τρία καλά στη σειρά και τότε δεν θα το να είναι ελαττωματικό και σταματάμε. Ή μπορεί αυτό να συνεχιστεί μέχρι το άπερο θεωρητικά. Σε αυτό το πείραμα ορίζω σαν τυχαία μεταβλητήχη τον αριθμό των επιλογών των ανταλλακτικών που κάνω μέχρι που να βρεθεί για πρώτη φορά ελαττωματικό. Εδώ πέρα πόσες επιλογές έκανα με την πρώτη βρέθηκε ελαττωματικό. Εδώ επέλεξα δύο. Εδώ επέλεξα τρία, τέσσερα και ούτω καθεξής. Αυτό είναι το πεδίο τιμών της τυχαίας μεταβλητής σε αυτό το πείραμα όπως έχω ορίσει την τυχαία μεταβλητή. Παίρνει τιμές ένα, δύο, τρία, τέσσερα άπειρες τιμές, είναι αδυθυμίσιμες, γι' αυτό είναι και διακριτή. Και αν υποθέσουμε ότι όταν επιλέγω ένα ανταλλακτικό η πιθανότητα να είναι ελαττωματικό, ίσουτε με π μικρό, τότε μπορώ να ορίσω και τη συνάρτηση μας πιθανότητας της ευχής. Το ευχιά η συνάρτηση μας πιθανότητας αποτελέται με την πιθανότητα χ ίσου με 1, το οποίες ούτε με την πιθανότητα την πρώτη φορά να έχω ελαττωματικό που είναι π, μετά η πιθανότητα χ ίσου με 2. Η πιθανότητα χ ίσου με 2 είναι η πιθανότητα την πρώτη φορά να έχω καλό και στη δεύτερη επιλογή ελαττωματικό. Επειδή η παραγωγή δεν είναι ένα κυβώτιο που έχει μικρό αριθμό ανταλλακτικών, αλλά παράγει χιλιάδες, πάρα πολλά ανταλλακτικά, τώρα την πρώτη φορά επιλέξω ελαττωματικό δεν επηρεάζει τι θα γίνει τη δεύτερη φορά, θα είναι καλό ή ελαττωματικό. Γι' αυτό είναι ανεξάρτητες τα γεγονότα και το γινόμενο του πιθανότητα είναι 1-π επί π. Γενικά μπορώ να γράψω ότι π έχει ίσου με 1 ισούτε με π, π έχει ίσου με 2 ισούτε με 1-π επί π, π έχει ίσου με 3 ισούτε με 1-π, είναι η πιθανότητα τριών γεγονότων, τελικά η πιθανότητα γενικά πχ ίσου με χ μικρό ισούτε με 1-π, γενικά ας βάλουμε χα, με χα-1 επί π. Ποια είναι η συνάρτηση μάδας πιθανότητας που δίνει τις τιμές τυχαία μεταβλητή να πάρει τη μη 1, 2, 3 και γενικά χ είναι 1-π η στοιχή μη 1 επί π. Η πιθανότητα τυχαία μεταβλητή να πάρει τις τιμές, να πάρει τη μη 2, το βρίσκουμε την πιθανότητα την πρώτη φορά να έχουμε καλό και τη δεύτερη ελαττωματικό. Αν η πιθανότητα έναν ανταλλακτικό να είναι ελατωματικό είναι π, η πιθανότητα να είναι καλό είναι 1-π και η πιθανότητα της το μίστος είναι το γινόμενο π και 1-π. Γιατί είναι ανεξάρτητα η γεγονότητα, γιατί δεν είναι απλώς ένα κυβότιο που έχει 10 ή 15 υπεπερασμένο αριθμό ανταλλακτικών και η πιθανότητα τη δεύτερη φορά να πάρει καλό ή την τρίτη να εξαρτάται από τις προηγούμενες επιλογές αν ήταν ελατωματικό ή όχι όπως χάραμε όταν είχαμε ένα κυβότιο με ανταλλακτικά. Υπάρχει μια παραγωγή που αν το προηγούμενο ήταν ελατωματικό, όχι δεν επηρεάζεται η πιθανότητα το επόμενο να είναι καλό ή ελατωματικό. Γι' αυτό η πιθανότητα της τομήσης εδώ πέρα είναι το γεγονόμενο π και 1-π. Και γενικά βγαίνει η συνάτηση μας πιθανότητας και ότι με 1-π στην χα ή μειον 1ππ. Και το θέμα είναι ότι αν πληρεί τις ιδιότητες. Αυτά είναι μεγαλύτερα ίσως του 0 γιατί παριστάνουν πιθανότητα και το άθλισμα αυτό, δηλαδή το π συν 1-π. Επιπί. Συν... και τα λοιπά. Συν 1-π στην χα μειον 1ππ. Αυτό ισούται με τη μονάδα. Το άθλισμα αυτό ισούται με τη μονάδα. Γιατί πρέπει να ισούται με τη μονάδα διαφορετικά, δεν θα είναι συνάτηση μας πιθανότητας. Ποιος μπορεί να μας που δείξει ότι αυτό το άθλισμα είναι άθλισμα γεωμετρικής προόδου απείρων όρων αν ισούται με 1. Βγάζεις καινό παράδειγμα να το πει. Έχεις μια γεωμετρική σειρά με πρώτον όρο το 1. Άρα έχεις πει επί 1 προς 1 μειον ωμέγα που είναι ο λόγος που προσιάζεις κάθε φορά για να πάρεις το επόμενο όρο. Και αυτό οδηγεί στο ζητούμενο ότι ισούται με 1. Από εδώ βγάζουμε ένα συμπέρασμα όμως ότι παρόλο που το πεδίο της ημών έχει άπερες τιμές αλλά ρυθμίσιμες. Έχει τις τιμές 1, 2, 3, 4 μέχρι το άπερο αλλά ρυθμίσιμες. Οι αντίστοιχες πιθανότητες εδώ όσο προχωράμε γίνονται πολύ μικρές. Και το άθελισμά τους όμως παραμένει 1. Κάτω από αυτό το σκεπτικό να υπάρξει τυχαία μεταβλητή διακριτή με άπερος όρος αριθμίσιμος όπου η συνάρτηση η μάζα πιθανότητας να είναι η ίδια για όλα τα χιάρι. Η συνάρτηση εδώ πέρα όσο προχωράει, η συνάρτηση η μάζα πιθανότητας όσο προχωράει και γίνεται πολύ μικρή. Λέω ότι δεν μπορεί σε καμία περίπτωση να υπάρχει τυχαία μεταβλητή με άπερες τιμές που μπορεί να πάρει και αυτές οι πιθανότητες να είναι ίσες μεταξύ τους. Δηλαδή να έχουμε μία μικρή πιθανότητα εδώ πι, μικρή, και για το άλλο πι, και για το άλλο πι, και για το άλλο πι πολύ μικρή. Μπορεί να είναι ίσες. Μπορεί να είναι ίσες. Γιατί δεν μπορεί να είναι ίσες. Είναι άπειρες οι τιμές, αν πάρεις πολύ μικρές τιμές άπειρες και τις μαζέψεις θα ξεπεράσεις τη μονάδα. Ενώ προηγουμένως δεν ξεπερνούν σε τη μονάδα γιατί. Γιατί όσο προχωρούσαμε γεννόταν απειροηλάχιστη. Αν προχωρήσεις προς το άπειρο, αυτή η πιθανότητα θα γίνει, όσο προχωράς προς το άπειρο, γίνεται απειροηλάχιστη η πιθανότητα πι. Γι' αυτό όταν η τυχαία μεταβλητή ή διακριτή κυπέρνει άπειρες τιμές, δεν μπορεί αυτές οι πιθανότητες μεταξύ τους να είναι ίσες. Γιατί το άθελισμά τους θα ξεπερνούσε το άπειρο, τη μονάδα. Συγνώμη. Θα επανερθούμε πάλι με αρκετά παραδείγματα, προβλήματα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή. Και να πούμε λίγο για τη συνεχή τυχαία μεταβλητή, τι κάνουμε με τη συνάρτηση μας πιθανότητας. Πάμε στη συνεχή τυχαία μεταβλητή. Συνεχή τυχαία μεταβλητή χ. Στη συνεχή τυχαία μεταβλητή έχουμε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Αν μια τυχαία μεταβλητή, όπως είδαμε πριν, παίρνει τιμές στα σημεία χ1, χ2, χ3, χ4 για παράδειγμα. Αν έχουμε αυτή τη συνάρτηση μας πιθανότητας. Αν πρόκειται για διακριτή τυχαία μεταβλητή, μπορεί η μάζας πιθανότητας να είναι στα συγκεκριμένα σημεία π1, π2, π3, π4. Όταν πρόκειται για πεπερασμένο πλήθος τιμών που παίρνει η τυχαία μεταβλητή. Αν όμως πάρει παραπάνω τιμές ενδιάμεσα, τότε η μάζα αυτή, επειδή το άθλισμα είναι 1, αρχίζει και μοιράζεται σε περισσότερα σημεία. Και αν υποθέσουμε ότι η διακριτή παίρνει παραπάνω περισσότερες τιμές, η μάζα πιθανότητας μοιράζεται σε περισσότερα σημεία. Αν συνεχίσουμε δηλαδή να μοιράζουμε τη μάζα πιθανότητας 1, όχι σε, αλλά σε πολλά σημεία, τότε αυτή η μάζα, σε κάθε σημείο, η μάζα ελατώρεται. Η μάζα που αντιστοιχεί σε κάθε σημείο γίνεται πυροηλάχιστη. Και αν υποθέσουμε ότι τυχαία μεταβλητή, από την ελάχιστη μέχρι τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει, αν έχουμε άπειρες τιμές μη αριθμίσιμες, τότε η μάζα πιθανότητας 1 που είχαμε πριν, μοιράστηκε σε πόσα σημεία, σε άπειρα. Σε κάθε σημείο τώρα τι μάζα αντιστοιχεί, σε κάθε σημείο χ μικρό από πάνω αντιστοιχεί, μάζα πυροηλάχιστη, αφού την έχουμε μοιράσει μάζα, άρα την μοιράσαμε σε άπειρα σημεία, σε κάθε σημείο τώρα τιστοιχεί μάζα, η οποία ισούται με το μηδέν. Δηλαδή, η πιθανότητα τυχαία μεταβλητή να πάρει την τιμή χ μικρό, ισούται με μηδέν. Γιατί, εφαρνόντων τη στιχή μία μάζα, η οποία είναι απειροελάχιστη, γιατί μοιράστηκε σε άπειρα σημεία, γι' αυτό είναι μηδέν. Δηλαδή, στη συνεχή τυχαία μεταβλητή, εδώ πρόκειται για την τυχαία μεταβλητή που παίρνει άπειρες τιμές σε ένα κομμάτι των πραγματικών αριθμών, άπειρες μη αριθμίσιμες, η συνάρτηση μάζας πιθανότητας δεν έχει νόημα, η συνάρτηση μάζας πιθανότητας, όπως την είδαμε στη διακριτή περίπτωση, δεν έχει νόημα, γιατί η πιθανότητα τυχαία μεταβλητή, για οποιοδήποτε χ μικρό, ισούται με μηδέν. Ή το χ μικρό είναι εδώ ή εκεί, επάρα του, αντιστοιχεί απειροελάχιστη μάζα πιθανότητας. Για αυτή τη μάζα πιθανότητα σε ένα, τη μοιράσαμε όλο ένα σε περισσότερα σημεία και τελικά καταλήξαμε αυτά τα σημεία, αν είναι άπειρα μία αριθμίσιμα, τότε σε κάθε σημεία από πάνω, αντιστοιχεί μάζα μηδέν. Και αυτή η πιθανότητα δεν έχει νόημα στη συνεχή τυχαία μεταβλητή. Ποια είναι η πιθανότητα, το ύψος ενός πιθανότητας να είναι 1,85. Υπάρχει πιθανότητας με 1,85 ύψος? Ποιος είναι? Αν πάρουμε το μέτρο και συμμετρήσουμε, δεν θα είναι ακριβώς 1,85, το διαφέρει λιγάκι. 1,85 κατοστά, αλλά στα χιλιοστά ή στα 16 χιλιοστά μπορεί να διαφέρει. Άρα λοιπόν, η πιθανότητα τυχαία μεταβλητή να πάρει μια συγκεκριμένη τιμή είναι απεριοηλάχιστη, είναι μηδέν. Το γεγονός όμως, ότι η τυχαία μεταβλητή έχει, θα πάρει τη τιμή χιμικρό, το γεγονός αυτό το είχαμε συμβολίσει και σ' άλλο ένα γεγονός β, το οποίο είχε μέσα ένα δείγματο σημείο χιμικρό. Το γεγονός όμως αυτό, όπως το είχαμε πει και πριν στο χώρο των πραγματικών αριθμών, είναι ένα σύνολο με κάποια αποτελέσματα, με κάποια σημεία. Το γεγονός ότι η τυχαία μεταβλητή θα πάρει τη τιμή χιμικρό έχει ένα σημείο μέσα. Ποιο? Αυτό εδώ. Άρα το γεγονός β ή αυτό το γεγονός, το οποίο η πιθανότητα είναι μηδέν, είναι αδύνατο. Έχει ένα σημείο. Εμείς αδύνατο ονομάσαμε πια εκείνα που ήταν κενά. Αυτό το γεγονός όμως, αν το πούμε να δούμε σαν γεγονός του δειγματικού χώρου, είναι ένα σύνολο υποσύνολο του όλων των τιμών. Αλλά έχει μέσα του ένα δείγματο σημείο χιμικρό. Ποιο? Είναι αυτό εδώ πέρα. Το οποίο αντιστοιχεί πιθανότητα μηδέν. Εδώ βλέπουμε λοιπόν ότι όσα γεγονότα έχουν πιθανότητα μηδέν να συμβούν ή έχουν πιθανότητα περιλάχιστα να συμβούν, μπορεί να μην είναι αδύνατα, γιατί θεωρητικά έχουν ένα δείγματο σημείο μέσα τους, δεν είναι το κενό. Γιατί εμείς είχαμε μάθει ότι το κενό είναι το αδύνατο γεγονός. Δηλαδή μπορεί να συμβεί αυτό το γεγονός, αλλά με πάρα πολύ μικρή πιθανότητα. Ο φιλητής ο οποίος έχει ύψος 1,85 και είπαμε ότι δεν μπορεί να έχει 1,85, η πιθανότητα να έχει 1,85 ακριβώς είναι μηδέν, αλλά δεν είναι αδύνατο το γεγονός, γιατί κάθε, κάποια χρονική στιγμή καθώς μεγαλώνει, που είναι στο 1,84, ακόμα μεγαλώνεις, ποιος είναι, εσύ, ψηλώνεις ακόμα, κάποια στιγμή καθώς ψηλώνει, τα περάσεις από το 1,85. Δηλαδή μπορεί να συμβεί, κάποια στιγμή μπορεί να συμβεί αυτό. Καθώς ψηλώνει κάποια στιγμή, τα περάσεις από το 1,85. Δηλαδή αυτό το γεγονός, τώρα, η πιθανότητα αυτή τη στιγμή να έχει ύψος 1,85 ακριβώς, ακριβώς, είναι μηδενική. Αλλά δεν είναι αδύνατο το γεγονός, γιατί κάποια στιγμή μπορεί να συμβεί. Λοιπόν, έτσι δεν έχει νόημα αυτή η πιθανότητα, αλλά αυτή η γραμμή που προκύπτει, δείχνει πώς σκόρπισε η μάζα πιθανότητα σε 1 σε όλο το πεδίο τιμών. Εδώ έχει περισσότερη πιθανότητα να πάρει τιμές κοντά στην ελάχιστη και λιγότερες προς τη μέγιστη. Θα μπορούσα να σας πούμε, αν είχε αυτή τη μορφή, αν είχε αυτή τη μορφή, τότε αυτή η γραμμή δείχνει ότι η συνάρτηση μάζα σε 1 που σκόρπισε εδώ μέσα, εδώ έχει περισσότερο μάζα και λιγότερο εκεί πέρα. Ή ότι η πιθανότητα, η τυχαία μεταβλητή να πάρει τιμές στην αρχή είναι μεγαλύτερες από την πιθανότητα να πάρει τιμές προς τη μέγιστη τιμή. Και έτσι αυτή η γραμμή ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας-πιθανότητας. Συνάρτηση πυκνότητας. Και έχει τις εξής ιδιότητες, ότι το ευχή είναι μεγαλύτερη του 0. Είναι μια γραμμή μεγαλύτερη του 0, πρώτον. Δεύτερον, αν μαζέψουμε όλη τη μάζα, όχι με άθρισμα, αλλά με ολοκλήρωση, αν το μαζέψουμε με ολοκλήρωση, ίσου τρύπε 1. Και τρίτον, αν ζητάμε την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει τιμές μεταξύ χ1 και χ2, θα πρέπει να μαζέψουμε τη μάζα από χ1 μέχρι χ2, της ευχή δε χ. Δηλαδή, αν εδώ έχουμε το χ1 και εδώ το χ2, τότε η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει τιμές μεταξύ χ1 και χ2, είναι αυτό το ρημαδόν. Και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, η οποία συμβολίζεται με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και την ορίζουμε μόνο για συνεχή τυχαία μεταβλητή, δεν παριστάρει από μόνη την πιθανότητα. Πρέπει να την αναλογκληρώσουμε για να μας δώσει πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει τιμές μέσα σε κάποιο διάστημα. Θα συνεχίσουμε την άλλη ώρα, μετά τον διάλειμμα, με την αθροιστική και με κάποια προβλήματα. Η τυχαία μεταβλητή χ παριστάνει τον χρόνο καλής λειτουργίας ενός συστήματος. Ο χρόνος παίρνει τιμές, χρόνος λειτουργίας από μηδέν θεωρητικά μέχρι το άπειρο. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι αυτής της μορφής, μια εκτελική μορφή, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ασυμπτωτικά πάει στο μηδέν. Αν θέλω να βρω την πιθανότητα ο χρόνος καλής λειτουργίας να είναι μεταξύ χ1 και χ2, τότε θα πρέπει να ολοκληρώσω την γραμμή αυτή να βρω αυτό το ευαδόν, το οποίο μου δίνει την πιθανότητα. Βεδομένω ότι το ευαδόν κάτω από την γραμμή και πάνω από τον άξονα χ, όλο το ευαδόν είναι 1. Είναι η μαζα πιθανότητας 1 που σκόρπισε σε όλο αυτό το διάστημα. Εδώ όμως όταν έχω μια συναρτήση πυκνότητας πιθανότητας, υπάρχει μία παράμετρος α, την οποίαν σίγουρα πρέπει να υπολογίσω εάν θέλω να υπολογίζω τέτοιες πιθανότητες. Χρησιμοποιώ τη βασική ιδιότητα ότι το ολοκλήρωμα της fx, που είναι η α, έχει τη μίον 1 δεύτερον χ, δεχεί το ολοκλήρωμα αυτό από 0 μέχρι άπειρο, ίσουτε με 1. Και το ολοκλήρωμα αυτό εδώ είναι το μίον 2α, επί ε, η θημίον 1 δεύτερον χ. Θα πάρει τη μίος από 0 μέχρι άπειρο, και αυτό ισούτε με 1. Και τελικά, αν κάνουμε πράξεις εδώ πέρα, έχουμε 2α ίσον με 1. Συνεπάγεται λοιπόν ότι το α ίσουτε με 1 δεύτερο. Κάθε συνάρτηση πιθανότητας που έχω, εάν υπάρχει κάποια παράμετρος μέσα, πρέπει να την υπολογίσω. Και αν είναι μόνο μία παράμετρος, μπορώ να την υπολογίσω από την εξίσουση της βασικής ιδιότητας, ότι το ολοκλήρωμα της από μίον άπειρο μέχρι συνάπειρο είναι 1. Στην προκειμένη περίπτωση από μίον άπειρο μέχρι 0 δεν υπάρχει ολοκλήρωμα, είναι 0. Άρα, από 0 μέχρι άπειρο ισούτε με 1 και υπολογίζω με την παράμετρο α. Έτσι, η συνάρτηση πιθανότητας εδώ πέρα είναι το 1 δεύτερο να έχει τη μήνα 1 δεύτερον χ. Δηλαδή, ό,τι υπάρχει εδώ, υπάρχει και εδώ, επάνω. Και αυτή είναι η εκτετικής μορφή συνάρτηση πιθανότητας, τη χρησιμοποιούν ιδιαίτερα ηλεκτρολόγοι μηχανικοί σε πολλά εξαρτήματα, μηχανήματα που δουλεύουν με ελεκτρικό ρεύμα, το μηχάνημα δεν έχει φθορά, αλλά όπως θα δούμε αργότερα, τυχαία γεγονότα στο μέλλον το καταστρέφουν και παθαίνει βλάβη και η τυχαία μεταβλητή, η οποία παριστάει το χρόνο καλής λειτουργίας του, συνήθως ακολουθεί αυτή τη μορφή, την εκτετική μορφή. Και τέτοια μορφή για την τυχαία μεταβλητή, για το χρόνο καλής λειτουργίας, έχουν κυρίως περισσότερο από τα ηλεκτρικά συστήματα, επειδή δεν θύρονται από τη χρήση τους, αλλά από τυχαία γεγονότα που το καταστρέφουν στο μέλλον. Αυτά όμως θα τα πούμε αργότερα. Και τώρα να περάσουμε στην αθριστική συνάντηση. Αθριστική πιθανότητα ή κατανομή πιθανότητας. Αυτή η αθριστική συνάντηση πιθανότητας ή η κατανομή πιθανότητας, όπως αλλιώς λέγεται, συμβολίζεται με το αθριστικό ευκεφαλαίο, το οποίο παίρνει τιμή για κάποια συγκεκριμένη τιμή του πεδίο τιμών της χ στο χ μικρό, εξορισμού παριστάνει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή χ να πάρει τιμές μικρότερες ίσης του χ μικρό. Και αν πρόκειται για την διακριτή περίπτωση, τότε θα πρέπει να αθρίσουμε κάθε μάζα πιθανότητας για όλα τα χΑ που είναι μικρότερες του χ μικρό, να αθρίσουμε λοιπόν τις πιθανότητες τυχαίας μεταβλητής να πάρουν τιμή χΑ. Για όλα τα χΑ μικρότερες από το χ μικρό. Ή αυτό αισθούνται στη συνεχή περίπτωση, ολοκλήρωμα από μίον άπειρο μέχρι χ μικρό, τη συνάντηση σπικνότητας πιθανότητας Στην περίπτωση λοιπόν που είναι διακριτή αθρίζουμε όλες τις προηγούμενες μάζες πιθανότητας στο χΑ που είναι μικρότερες από το χ μικρό. Όταν πρόκειται για συνεχή ολοκληρώνομαι και βρίσκουμε το ευαδόν κάτω από την F πριν από το χ μικρό. Και παριστάνει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει τιμές μικρότερες ίσεις από το χ μικρό. Αυτός είναι ο ορισμός της αθριστικής. Μπορούμε να κάνουμε την γραφική παράσταση στο παράδειγμα που είχαμε με τη ρήψη του νομίζιματος τρεις φορές, που έπαιρνε τις τιμές μηδέν, ένα, δύο, τρία. Η αθριστική, εδώ πέρα μπορούμε να πούμε ότι η αθριστική στο μηδέν παριστάνει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει τιμές μικρότερες ίσεις από το μηδέν, που υψούνται με ένα όγδο. Αν θυμάστε στη ρήψη του νομίζιματος τρεις φορές ποια είναι η πιθανότητα να έρθουν λιγότερο ίσο από μηδέν κεφαλές, ήταν μόνο μια περίπτωση να έρθουν γράμμα, γράμμα, γράμμα που είχε πιθανότητα ένα όγδο. Βέβαια η αθριστική πριν από το μηδέν, στους αλλητικούς αριθμούς δεν παίρνει τη μη, γι' αυτό η αθριστική είναι στο μηδέν, πριν από το μηδέν. Ας το βάλουμε εδώ στο μηδέν, στο μηδέν παίρνει τη τιμή ένα όγδο. Άρα εδώ παίρνει τη τιμή ένα όγδο. Μετά στο σημείο για κάθε τιμή της χ πάνω απ' το μεταξύ μηδέν και ένα εξακολουθεί, δεν υπάρχει άλλη τιμή της διακριφής και η αθριστική είναι ένα όγδο. Στο σημείο ένα, η πιθανότητα χ μικρότο ρίστον του ένα είναι η περίπτωση που είχαμε υπολογίσει να έχουμε τέσσερα σημεία γ γ γ και όλες οι περιπτώσεις που είχαμε μόνο ένα γ ήταν τέσσερα συνολικά τα σημεία είναι τέσσερα όγδο. Άρα στο ένα κάνει ένα άλμα και πάει στο τέσσερα όγδο και μετά στο δύο κάνει ακόμα ένα άλμα πάει στο εφτά όγδο και μετά πάει στο οχτώ όγδο και παραμένει σταθερή. Αυτή είναι γραφική παράσταση της αθριστικής σε μία διακριτή τυχαία μεταβλητητή όπως το παράδειγμα που είχαμε κάνει με τη ρίψη του νομίζουμεντος τρεις φορές και παρατηρούσαμε τον αριθμό των κεφαλών όπου η τυχαία μεταβλητητή παρίστηκε τον αριθμό των κεφαλών. Είναι σκαλωτή για συνάρτηση, είναι βέβαια αύκουσα αλλά έχει σημεία συνέχειας. Εδώ πέρα ας πούμε το κάθε σημείο το άλμα ισούται αυτό εδώ το άλμα είναι ίσον με την πιθανότητα χ ίσον με δύο εδώ το οποίο ισούται με τρία όγδο. Και το κάθε άλμα που κάνεις στο σημείο χ ί είναι πιθανότητα χ ίσον με χ ί. Βέβαια η ατριστική εδώ ορίζεται όχι μόνο για το πεδίο τιμών της τυχαίας μεταβλητής 0,1,2,3 αλλά για κάθε τιμή από μία ανάπτυρο μέχρι συνάπτυρο. Π.χ. για αυτό το χ έχει την τιμή 0, για αυτό το χ έχει την τιμή 1,8. Παρόλο από αυτά τα σημεία δεν ανήκουν στο πεδίο τιμών της διακριτής τυχαίας μεταβλητής, υπάρχει η τιμή της ατριστικής. Και στα σημεία βέβαια που παίρνουν τιμές εκεί έχουμε τα άλματα της ατριστικής. Τώρα αν θέλουμε να κάνουμε την ατριστική στο παράδειγμα που είχαμε κάνει με το χρόνο καλής λειτουργίας του μηχανήματος που έχει εκτετικής μορφή συνάρτηση πιθανότητας, εκεί πέρα η ατριστική ξεκινάει από το 0 και είναι αυτής η συμμορφής. Η ατριστική σε εκείνο το παράδειγμα είναι αυτή η συμμορφή, είναι συνεχής και παριστάνει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή χ να πάρει τη μέση μικρότητα του χ μικρό, και αυτό ισούται αν ολοκληρώσουμε από 0 μέχρι χ την 1 δεύτερο A εις τη μειον 1 δεύτερο U δε U. Βάζω U για να μην μπερδέψουμε τα όρια ολοκλήρωσης και αυτό ισούται τελικά με 1 μειον A εις τη μειον 1 δεύτερο χ. Αυτή λοιπόν είναι η ατριστική συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής χ που παριστάνει τον χρόνο καλής λειτουργίας και είχε σαν συνάρτηση πικνότητας πιθανότητας την εκδητικής μορφής ευχή. Η ατριστική της σύμφωνα με τον ορισμό παριστάνει την πιθανότητα ο χρόνος καλής λειτουργίας να είναι μικρότερος ισούς του χ μικρό. Και αυτό αν ολοκληρώσουμε δηλαδή τη συνάρτηση πικνότητας πιθανότητας από 0 μέχρι χ μικρό θα βρούμε αυτή την πιθανότητα. Και αυτό βγαίνει ότι ισούται με 1 μειον A εις τη μειον 1 δεύτερο χ. Και βέβαια αν τη σκεδιάσεις εδώ πέρα αυτή τη συνάρτηση είναι αυτή η σωστή της μορφής. Από ένα σημείο και πέρα πλησιάζεις το 1 τείνει να συμπέσεις με το 1 ασυμπτωτικά δηλαδή έχεις ανώτερη τιμή το 1. Γιατί δεν μπορεί η πιθανότητα αυτή να είναι μεγαλύτερη από 1. Εδώ πάλι μετά από τη μάξιμου τιμή, στη διακριτή περίπτωση μετά από τη μάξιμου τιμή που μπορεί να πάρει τη χ μεταβλητή η αθροστική είναι 1. Άρα το συμπέρασμα εδώ είναι ότι η αθροστική για κάθε τιμή χ μικρό η οποία είναι μεγαλύτερη από τη μάξιμου τιμή που μπορεί να πάρει τη χ μεταβλητή εξορισμού είναι 1 γιατί παριστάνει το σίγουρο γεγονός. Σίγουρα η τυχαία μεταβλητή θα πάρει τιμές μικρότερες από τη μάξιμου τιμή του περίπτωσης. Σίγουρα είναι το σίγουρο γεγονός. Για αυτό η αθροστική για κάθε σημείο πέρα από τη μάξιμου τιμή εξορισμού είναι 1. Το ίδιο ισχύει για τη διακριτή ή για τη συνεχή περίπτωση. Γιατί μπορεί στη συνεχή περίπτωση να μην είναι εκκλητικής μορφής που πάει στο άπειρο. Το παιδιατιμόν εδώ πάει στο άπειρο όπως και εκεί πέρα στην αθροστική. Μπορεί σε μια συνεχή περίπτωση να είναι διαφορετική η συνάντηση πυκνότητας πιθανότητας όπως για παράδειγμα Εδώ πέρα που έχουμε μια τυχαία μεταβλητητή χ, που μπορεί να πάρει τιμές από το α μέχρι το β, ισοπίθανα. Αν πρόκειται για ισοπίθανα να πάρει τιμές μεταξύ α και β είναι συνεχής, αλλά η συνάντηση πυκνότητας πιθανότητας είναι μια σταθερά, γιατί ισοπίθανα παίρνει εδώ τιμές μια τυχαία μεταβλητή μεταξύ α και β. Μπορεί να παριστάνει ξέρω εγώ την ένταση του ρεύματος σε ένα σύστημα που παίρνει τιμές από το α μέχρι το β ισοπίθανα. Άρα η συνάντηση πυκνότητας πιθανότητας αυτής της τυχιάς μεταβλητής χ, που είναι συνεχής, δεν μπορεί να έχει άλλη μορφή, δηλαδή γυμάζονται πιθανότητες εδώ έχει σκορπήσει ομοιόμορφα και θα το εφαρμόνει 1. Και αν ολοκληρώσω το σί από α μέχρι β, αν το ολοκληρώσω αυτό μου δίνει 1. Συνεπάει ότι αυτή η συνάντηση ισούται με 1 προς β μειον άνθρωπο. Αυτό ισούται λοιπόν το σί ισούται με 1 προς β μειον άνθρωπο, το ύψος αυτό, γιατί το ολοκλήρωμα εκείνο πρέπει να δώσει 1. Σε αυτή την περίπτωση η ατριστική, για να ορίσουμε λίγο την ατριστική σε αυτή την περίπτωση, η ατριστική λοιπόν θα είναι πιθανότητα χ μικρό θεωρείται στο χ μικρό. Αν το χ μικρό είναι αυτό εδώ πέρα, η ατριστική στο χ μικρό είναι αυτό το ευαδόν. Το ύψο είναι ολοκλήρωμα λοιπόν από α μέχρι χ, τη σ, που είναι 1 προς β μειον άρθρο, δε χ, δε γιου όπως λέμε, και αυτό ισούται με χ μην άρθρα προς β μειον άρθρα. Αυτή είναι η ατριστική για μια τυχαία μεταβουλτή που έχει ομοιόμορφη συνάντηση, πυκνότητας, ισοειψής όπως λέμε. Η ατριστική που παρουσιάζει αυτήν την πιθανότητα είναι το ολοκλήρωμα της συνάντησης πυκνότητας αυτής της γραμμής που είναι σταθερή και έχει την τιμή χ μειον άρθρα προς β μειον άρθρα. Αλλά για τιμές του χ πάνω από το β, άμα βάλεις τιμές του χ πάνω από το β δεν θα σου δώσει 1, αλλά εξορισμού για τιμές πάνω από τη μέγιστο τιμή είναι 1. Δηλαδή η fx, αν εδώ πέρα είναι το χ του β στην μια ποσότητα ε, αυτό εξορισμού είναι 1, γιατί η πιθανότητα τυχαία μεταβουλτή να πάρει τιμές πριν από τη maximum είναι το σίγουρο γεγονός. Και όχι να αντικαταστήσω το β στην ε εδώ για να μου δώσει 1. Άρα λοιπόν συμπερένουμε ότι η αθρηστική πρώτα απ' όλα ορίζεται από το μειον άπειρο μέχρι το συνάπειρο, όπως είδαμε και δεύτερον η αθρηστική για τιμές της χ πάνω από τη maximum τιμή, εξορισμού είναι 1 γιατί παριστάνει το σίγουρο γεγονός. Υπάρχει καμία πορεία. Είπαμε απλές έννοιες σχετικά με την αθρηστική πιθανότητα της τυχαίας μεταβουλτής. Τώρα, να πούμε κάποιες βασικές ιδιότητες, οι οποίες θα μας διευκολύνουν πολύ, να υπολογίζουμε και πιθανότητες στα διάφορα προβλήματα που συναντάμε. Έχουμε 4 βασικές ιδιότητες της αθρηστικής, όπως είχαμε και για τη συνάρτηση πυκνότητας, και έτσι έχουμε και για την αθρηστική. Να αφήσουμε μόνο τα σχήματα που μπορεί να χρειαστούν, για να αποδείξουμε τις ιδιότητες της αθρηστικής ευχή. Θα πούμε τις βασικότερες. Πρώτα, η αθρηστική στο άπειρο μετίσσεται. Η αθρηστική κάθε τυχαίας μεταβουλτής χ, στο άπειρο μετίσσεται. Ποια πιθανότητα τυχαία μεταβουλτή να πάρει τη μέση πριν από το άπειρο? Ένα. Είναι το σίγουρο γεγονός ότι με ένα. Αντίστροφα η αθρηστική στο μειον άπειρο είναι το κενό. Δεν υπάρχει περίπτωση στο χ να πάρει τη μέση πριν από το άπειρο. Το άπειρο είναι το αντίο γεγονός. Στο μειον άπειρο είναι 0. Ποια πιθανότητα τυχαία μεταβουλτή να πάρει τη μέση πριν από το μειον άπειρο? Είναι το αδύνατο. Δεύτερον, εάν το χ1 είναι μικρότερο από το χ2, τότε η αθρηστική στο χ1, η τιμή της, αυτή είναι η μικρότερη ίση της αθρηστικής στο χ2. Βέβαια αυτό φαίνεται και σχηματικά. Εδώ πέρα σχηματικά κάποιος μπορεί να το καταλάβει, αλλά δεν πρέπει να το αποδείξει. Αν το χ1 είναι εδώ και το χ2 εκεί πέρα, το fχ1 είναι μικρότερο από το fχ2. Παρόμοια και για αυτήν την αθρηστική που αυτήν δεν τη σχεδιάσαμε. Θα μπορούσαμε να κάνουμε και αυτό το σχήμα εδώ. Μας ευκολύνει λίγο να κάνουμε την αθρηστική. Στη συνεχή περίπτωση όπου η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ήταν ομοιόμορφη από το α μέχρι το β, η αθρηστική λοιπόν είναι η κυνηχή η οποία έχει αυτήν την μορφή. Και μετά το β πάει στο 1. Σχηματικά φαίνεται αυτό, αλλά μπορούμε να το αποδείξουμε και με μαθηματικά. Δηλαδή το ότι εδώ είναι το χ2 και εδώ είναι το χ1. Το γεγονός ότι το χ παίρνει τη μέση πριν από το χ1 είναι αυτό εδώ πέρα α. Το γεγονός ότι το χ παίρνει τη μέση πριν από το χ2 είναι αυτό το γεγονός β. Το γεγονός α ότι το χ παίρνει τη μέση πριν από το χ2. Το γεγονός α ότι το χ παίρνει τη μέση πριν από το χ1. Η πιθανότητα του β διαφορά α με τη ίσοτε, μία είναι η πιθανότητα β τον ηα. Η πιθανότητα β διαφορά α, αν β είναι το γεγονός ότι το χ παίρνει τη μέση πριν από το χ2 και το γεγονός α είναι το γεγονός ότι... Ναι όχι, αυτή η απόδειξη είναι για το παρακάτω. Είναι για το παρακάτω. Είναι για την παρακάτω ιδιότητα. Εδώ να πούμε μόνο γιατί η μία πιθανότητα είναι μικρότερα από την άλλη. Εδώ βλέπουμε το γεγονός αυτό εδώ πέρα είναι περσύνολο του α και έχουμε πει ότι όταν το β είναι περσύνολο του α, είναι το προηγούμενο θεώρημα εδώ πέρα στο οποίο ξέρουμε ότι η πιθανότητα του β είναι μεγαλύτερη ήσυχη πιθανότητας του α γιατί το α περιέχεται στο β. Οι στιμές περιέχονται σε αυτό το σύνολο που έχει περισσότερες στιμές. Δηλαδή η πιθανότητα το χ να είναι μικρότερης του χ2 είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας το χ να είναι μικρότερης του χ1. Αλλά αυτό εξορισμού είναι το εχ2 είναι μεγαλύτερο ίσον του εχ1. Αυτό εξορισμού είναι το εχ1. Δηλαδή αυτή εδώ η απόδειξη ότι το εχ1 είναι μικρότερη στο εχ2 στηρίζεται στα προηγούμενα θεωρήματα που είπαμε. Και αυτά που αναφέραμε σήμερα ότι οι τιμές που παίρνει τυχαία μεταβιουλτή ορίζουν γεγονότα α και β σαν τα γεγονότα που μάθαμε τη μυθοδολογία της στο προηγούμενο μάθημα. Γι' αυτό η πιθανότητα του β είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας το α γιατί αυτό το σύνολο ανήκει σε ένα μεγαλύτερο σύνολο και είχαμε μάθει ότι η πιθανότητα του β είναι μεγαλύτερη της ίσης του πιθανότητα του α. Άλλη ιδιότητα, αυτές οι αποδείξεις είναι καλές να τις ακολουθεί κανένας γιατί καταλαβαίνει, δοκιμάζει την εαυτότητα να έχει καταλάβει τις προηγούμενες έννοιες που αναφέρω. Τρίτη ιδιότητα είναι ότι η ατριστική για διακριτή ή συνεχή τυχαία μεταβιουλτή στο χ ισούται με την ατριστική από τα δεξιά όπου η ατριστική από τα δεξιά είναι το όριο της fx συν ΔΕ καθώς το ΔΕ είναι στο μηδέν. Δηλαδή εδώ, αν πάρω την ατριστική σε αυτό το σημείο, η ατριστική είναι αυτή εδώ πέρα, έχει αυτή την τιμή. Αν πάω λίγο πιο επάνω, πάλι η ατριστική έχει την ίδια τιμή. Αν πάω στο 1, ακριβώς στο 1, η ατριστική έχει αυτή την τιμή. Αν πάω στο 1 και συγκάτει, πάλι έχει αυτή την τιμή. Τι είναι να έχει αυτή την τιμή, καθώς μικρή είναι αυτή η απόσταση. Αν έρθω στο μηδέν, η ατριστική έχει ένα 8. Αν πάω στο μηδέν και συγκάτει, πάλι ένα 8 έχει. Το ίδιο συμβαίνει και εδώ. Η ατριστική σε ένα σημείο χει μικρό είναι αυτή εδώ πέρα, λίγο πάνω από το χει μικρό είναι πάλι περίπου το ίδιο. Δεν συμβαίνει όμως αυτό από τα αριστερά, δηλαδή για τη διακριτή περίπτωση, η ατριστική στο χει και η ατριστική από τα αριστερά, δεν είναι το ίδιο. Παραδείγματος χάριν, μπαίνει το ίδιο σε όλα τα σημεία. Στο πεδίο τιμών, δείτε εδώ, στο 2, η ατριστική είναι 7, 4 όκβα. Στο σημείο 2, λίγο πριν το 2 είναι 4 όκβα. Στο σημείο 2 γίνεται 7 όκβα. Διαφέρει. Ενώ στη συνεχή τυχαία μεταβλητή, η ατριστική και από τα αριστερά του χει και από τα δεξιά συμπίπτουνε τη μέση. Δηλαδή, στη συνεχή τυχαία μεταβλητή, η ατριστική είναι συνεχής και από τα αριστερά και από τα δεξιά. Και έτσι θα δούμε σε προβλήματα όπου η τυχαία μεταβλητή είναι συνεχής, η ατριστική της θα είναι συνεχής. Σε προβλήματα όπου η τυχαία μεταβλητή είναι διακριτή, όπως εδώ πέρα, η ατριστική θα είναι συνεχής από τα δεξιά, αλλά από τα αριστερά δεν θα είναι. Με άλλα λόγια, δεν θα είναι συνεχής η ατριστική. Γιατί για να είναι μια συνάρτηση συνεχής, θα πρέπει να είναι συνεχής και από τα αριστερά και από τα δεξιά. Και έτσι θα καταλαβαίνουμε στα διάφορα προβλήματα πότε η τυχαία μεταβλητή είναι διακριτή, θα κοιτάζουμε την ατριστική της και θα βλέπουμε αν είναι συνεχής ή αν είναι μη συνεχής. Να καταλαβαίνουμε αν πρόκειται για διακριτή ή για συνεχή τυχαία μεταβλητή. Μετά άλλη, μια βασική ιδιότητα, η τέταρτη που σας είπα, η οποία μας διευκολύνει να κάνουμε πράξεις. Η τέταρτη ιδιότητα βασική που μας διευκολύνει στις πράξεις είναι ότι η πιθανότητα τυχαία μεταβλητή χ να πάρει τη μέση μεταξύ χ1 και χ2, ισούτε με fx2-fx1. Είναι αυτό που προσπάθησα να αποδείξω πριν, ότι η πιθανότητα του χ να πάρει τη μέση μεταξύ χ1 και χ2 είναι η πιθανότητα της διαφοράς β-α. Αυτό παρουσιάζει την πιθανότητα το χ να είναι μικρότερον του χ2 και όχι μικρότερον του χ1. Δηλαδή, ήταν η πιθανότητα του β-α. Και αυτό ισούτε με π-β, μία πιθανότητα β-μ-α και αυτό εδώ πέρα είναι αυτό το γεγονός γιατί εκεί πέρα β ήταν το χ να είναι μικρότερον του χ2, α είναι το χ να είναι μικρότερον του χ1. Το χ να είναι μεταξύ χ1 και χ2 είναι β διαφορά α. Να συμβαίνει δηλαδή το β και όχι το α. Και η πιθανότητα της διαφοράς σύμφωνα με το θεώρημα είναι η πιθανότητα β μία την πιθανότητα της τομής τους. Η πιθανότητα β είναι το fx2, η πιθανότητα το χ να είναι μικρότερον του χ2, γιατί β είναι το γεγονός το χ να είναι μικρότερον του χ2. Άρα είναι αυτή η πιθανότητα. Μίον, την πιθανότητα της τομής β-μ-α μου δίνει το χ μικρότερον του χ1, μου δίνει το χ το α. Που είναι η πιθανότητα πέχει η μικρότερον του χ1 που είναι η αθληστική στο χ1. Δηλαδή αυτή την απόδειξη, αν ορίσουμε τα γεγονότα β και α με αυτόν τον τρόπο, αποδεικνύουμε την τέταρτη ιδιότητα. Μπορείτε να το κάνετε και μόνοι σας για να δείτε αν από την αρχή μέχρι τώρα καταλάβατε αυτές τις έλληνες που είπα. Υπάρχουν οι μικρές αποδείξεις αυτές μέσα στο βιβλίο. Καλό είναι να τις ακολουθήσετε. Δεν είναι υποκριτικό, αλλά έτσι καταλαβαίνετε καλύτερα τις έννοιες και τους κανόνες στη μεθοδολογία που έχουμε αναπτύξει μέχρι τώρα. Τέλος, μπορούμε σύμφωνα με την πέμπτη ιδιότητα, θα υπάρχουν κι άλλες βέβαια, να υπολογίσουμε τη συνάρτηση πυκνότητας. Αφού η ευχή είναι ολοκλήρωμα της συνάρτησης πυκνότητας, αν την παραγωγίσουμε θα πάρουμε τη συνάρτηση πυκνότητας. Και αν πρόκειται για διακριτή ΦΧΑ, είναι η αθροιστική στο ΧΑ μίον την αθροιστική στο ΧΑ μίον 1. Αυτή την εξήγηση μπορείτε να αποδείξετε την επιθανότητα ΧΑ. Είχαμε πει ότι εκεί που κάνει άλμα η αθροιστική, το έχουμε σβήσει τώρα, εκεί που κάνει το άλμα, υπάρχει αυτή η πιθανότητα. Είναι η αθροιστική στο ΧΑ μίον την αθροιστική λίγο πριν και σου δίνει την πιθανότητα. Δηλαδή, με λίγα λόγια, όταν γνωρίζω τη συνάρτηση πυκνότητας, σημάζοντας μπορώ να βρω την αθροιστική, ή και αντίστροφα μπορώ να βρω τη συνάρτηση πυκνότητας από την αθροιστική. Και να κάνουμε ένα παράδειγμα, να δούμε αν έχουμε καταλάβει αυτά που είπαμε. Έστω μία τυχαία μεταβλητή, η οποία έχει μία συνάρτηση πυκνότητας πυθανότητας. Για τις ακριτές, ναι. Για τη συνεχή είχαμε πει, είναι η παραγωγή συστημη συνάρτηση, εφόσον είναι η συνεχή συστημη παραγωγή συστημη, για να το υπολογίσεις. Για να δούμε τώρα. Να κάνουμε ένα παράδειγμα στο χρονομένη. Α, πριν προχωρήσουμε όμως, να πούμε για μικτού τύπου. Υπάρχει περίπτωση όμως, μια τυχαία μεταβλητή χ, να είναι μικτού τύπου. Δηλαδή, σε κάποια σημεία χ1 και χ2, υπάρχει η μάζα πιθανότητας, υπάρχει η πιθανότητα π1 και πιθανότητα π2, και μπορεί να πάρει άπερες τιμές, είναι η συνεχή, σε ένα άλλο κομμάτι των πραγματικών αριθμών, εδώ μέσα. Εδώ βέβαια το ευαδόν είναι 1-π1-π2. Υπάρχουν περιπτώσεις, προβλήματα όπου τυχαία μεταβλητή, μπορεί να πάρει κάποιες συγκεκριμένες τιμές χ1, χ2 ή χ, με κάποια μάζα πιθανότητας ή με κάποιες πιθανότητες. Διάφορες του μηδέν, π1 και π2. Και σε μία άλλη περιοχή συμπεριφέρεται όσους συνεχείς. Παίρνει τιμές μεταξύ α και β, είναι συνεχείς, παίρνει τιμές εκεί πέρα. Βέβαια το ευαδόν εδώ πέρα είναι 1-π1-π2, γιατί όλη η μάζα πιθανότητας είναι 1. Και αυτό μπορούμε να συμβολίσουμε πάλι σαν ευχή και η αθροιστική της στο σημείο χ μικρό. Δηλαδή αν το χ μικρό είναι εδώ πέρα, θα πρέπει να μαζεύσουμε όλη τη μάζα πριν. Δηλαδή, να πάρουμε το άθροισμα των πιθανότητων χ, είσομαι χΑ, για όλα τα χΑ, τα οποία είναι η μικρότητας του χ μικρό, σύντον ολοκλήρωμα από μειών άπειρων μέχρι χ μικρό της ΦΥΥΥΥ. Δηλαδή θα πρέπει να ολοκληρώσουμε τη συνάρτηση αν υπάρχει μέχρι το χ μικρό, δηλαδή να πάρουμε αυτό το κομμάτι και να προσθέσουμε και τις προηγούμενες μάζες. Θα προσθέσουμε τη μάζα αυτήν, αυτήν, αυτήν, συν τη μάζα που μαζεύουμε εδώ μέσα, για να μας δώσει τη διαφρυστική στο χ μικρό. Πότε έχουμε τυχαίες μητρολυτές μικτού τύπου. Για παράδειγμα, έχω ένα σύστημα, όπου όταν πατήσεις το κουμπί για να ξεκινήσει, μπορεί να γίνει ένα βραχικύκλωμα και να μην ξεκινήσει καθόλου. Με πιθανότητα, ξέρω εγώ, 40%. Αν έχει παριστάνει το χρόνο καλύτερη λειτουργίας αυτού του συστήματος, που έχει αυτήν την ιδιευθερότητα, τότε μπορεί ο χρόνος να πάρει την τιμή 0, με πιθανότητα 40% για παράδειγμα. Αν όμως ξεκινήσει και δεν πάρει βραχικύκλωμα, τότε μπορεί να δουλέψει με μία εκδητική συμμορφή, ας πούμε, με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μέχρι το άπειρο ή μέχρι κάποιο διάστημα. Δηλαδή, εδώ βλέπουμε ότι υπάρχουν προβλήματα, όπου η τυχαία μεταβλητή μπορεί να πάρει μία συγκεκριμένη τιμή με κάποια πιθανότητα διάφορο του 0, 23% ή οτιδήποτε είναι αυτό, και μετά, αφού ξεκινήσει, μπορεί να δουλέψει πάνω από το 0 μέχρι κάποιο διάστημα, με κάποια άλλη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Συνήθως βάζουμε από μίον άπειρο μέχρι χ, πριν από το άλφα το ολοκλήρουμε βέβαια είναι 0, τη συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας. Αυτή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αφορά μόνο αυτό το κομμάτι, αυτό αφορά αυτό εδώ πέρα, ενώ αυτό το ευχή είναι γενικά για τη τυχαία μεταβλητή, που συμπεριλαμβάνει και στις περιπτώσεις όπου το χ, μπορεί να υπάρχουν και άλλες περιοχές, δηλαδή μπορεί να υπάρχει και εδώ μία περιοχή, μπορεί να υπάρχει και εδώ μία περιοχή από μία άλλη, διστόνος, μπορεί να υπάρχει και άλλη περιοχή όπου είναι συνεχής κτλ. Ναι, δηλαδή το προηγούμενο ολοκλήρωμα είναι 0. Πριν από το α, πριν από το α, άμα ολοκληρώσεις από μίαν άπειρον αυτή τη γραμμή, είναι στο 0 και ολοκληρώσεις αυτή τη γραμμή πριν από το α μέχρι το α είναι 0. Μετά ολοκληρώνεις από εδώ μέχρι εδώ. Εντάξει, αλλά θεωρητικά όμως μαζεύεις από το μίαν άπειρο μέχρι το χ, γιατί μπορεί να υπάρχει και άλλη περιοχή, να υπάρξουν και άλλες περιοχές, όπου συμπεριφέρονται ως συνεχής. Και ας δούμε τώρα, αφού τα καταλάβαμε αυτά, έστω μία τυχαία μεταβλητική χ, έχει την εξής αθροιστική 0 για χ μικρότερον του μειον 2. 0.25 για χ από μειον 2 μέχρι 2. Μετά έχει 0.125 χ, καθώς παίρνει τιμές από 2 μέχρι 4. Και μετά έχει τιμές από 4 μέχρι 6. Η τιμή που παίρνει είναι 0.5, έχει μία σταθερή τιμή 0.5 από 4 μέχρι 6. Και έχει τη τιμή 1 για χ μεγαλύτερων ίσων του 6. Έστω ότι μία τυχαία μεταβλητική έχει αυτή την αθροιστική, την οποία την έχω ορίσει από μειον άπειρο μέχρι συνάπειρο, τι τιμές μπορεί να πάρει η αθροιστική. Να βρούμε τη συνάρτηση πυκνότητας-πιθανότητας ή μάζας-πιθανότητας, γιατί όταν υπάρχει αυτή η αθροιστική, πώς θα καταλάβω αν η τυχαία μεταβλητική είναι συνεχής, ή διακριτή ή μικτουτύπου. Θα με βοηθήσει πολύ αν κάνω τη γραφική παράσταση της αθροιστικής. Εδώ είναι το 0, εδώ είναι το μειον 2, εδώ είναι το 2, εδώ είναι το 4, εδώ είναι το 6 κλπ. Η αθροιστική λοιπόν που έχει αυτή την μαθηματική έκφραση, πριν από το μειον 2 είναι 0. Στο μειον 2 κάνει ένα άλμα, το οποίο τον διατηρεί μέχρι το 2. Από το 2 μετά δεν κάνει άλμα, αλλά συνεχίζει, παίρνει μία κοιμή μέχρι εδώ, και μετά συνεχίζει μέχρι το 6, σου εψείς, και μετά κάνει ένα άλμα, εδώ, εδώ συνεχίζει. Άρα άλμα τα κάνει στο σημείο μειον 2 και αυτό είναι 0,25. Άρα η συνάρτηση μάζας πιθανότητας, η πυκνότητας, υπάρχει η πιθανότητα χ ίσον με μειον 2, το οποίο ιστούται με 0,25. Για χ ίσον μειον 2. Άρα χ ίσον 6, υπάρχει η πιθανότητα χ ίσον με 6 και ισούται με 0,5. Γιατί ισούται με 0,5 εδώ, είχε την τιμή, πριν από το 6, είχε μια σταθερή τιμή, 0,5. Στο 6 ακριβώς πάει στο 1. Το άλμα αυτό εδώ δίνει την πιθανότητα χ ίσον με 6, όπως εξηγήσαμε πριν. Άρα στα σημεία μειον 2 και 6, η τυχαία μεταβλητή είναι διακριτή. Γιατί υπάρχει συγκεντρωμένη μάζας πιθανότητας, 0,25 και 0,5, όπως δείξαμε πριν. Άρα για χ από μειον 2 μέχρι 2, θα παραγωγήσω, είναι συνεχής η αθληστική, είναι συνεχής σε όλο αυτό το διάστημα, αλλά ξεχωρίζω διάφορες μορφές. Δεν είναι μιας μορφής η συνάντηση πυκνότητας, γιατί η αθληστική είναι συνεχής, αλλά πρέπει να ξεχωρίσω τα διαστήματα μειον 2 με 2, 2 με 4, 4 με 6 και να παραγωγήσω την αθληστική. Αν την παραγωγήσω εδώ πέρα, τι μου δίνει? Εδώ θα την παραγωγήσω την αθληστική, μου δίνει 0. Αν την παραγωγήσω για χ από 2 μέχρι 4, αν την παραγωγήσω είναι μειον 125 χ, μου δίνει 0.125 η παραγώγηση. Αν την παραγωγήσω μετά από 4 μέχρι 6, μου δίνει 0 μέχρι το 6 και μετά είναι 1 για χ μεγαλύτερον του 6. Έτσι λοιπόν όπου είναι συνεχή η αθληστική την παραγώγησα και το έκανα τρεις φορές, γιατί έχει τρεις διαφορετικές μορφές. Είναι 0 και 0 στα δύο διαστήματα από μειον 2 μέχρι 2 και από 4 μέχρι 6 είναι 0 η συνάρτηση πυκνότητας, γιατί η αθληστική είναι ισοεψής, δεν αλλάζει, δεν αλλάζει η αθληστική από το μειον 2 μέχρι το 2, γιατί δεν παίρνει τη μέση τυχαία μεταβλητή από μειον 2 μέχρι 2. Δεν αλλάζει από το 4 μέχρι το 6, γιατί δεν παίρνει τιμές από το 4 μέχρι το 6. Και αν κάνω το σχήμα εδώ πέρα, θα είναι στο μειον 2 έχω μία τιμή, στο 6 έχω πάλι μάζα πιθανότητας 0,5, εδώ έχω 0,25, αυτή είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Και από το 2 μέχρι το 4 είναι ομοιόμορφοι. Από το 2 μέχρι το 4 είναι ομοιόμορφοι, γιατί έχει μία σταθερή τιμή 0,125. Αν μαζέψω λοιπόν αυτή τη μάζα εδώ πέρα, αυτό έχει ύψος 0,125, κι αν προσθέσω το 0,25 και το 0,5, όλο αυτό μου δίνει τη μονάδα. Αυτό λοιπόν είναι ένα καλό παράδειγμα, υπάρχει και μέσα στο βιβλίο όπου δίνεται η αθληστική. Θα κάνεις το σχήμα της αθληστικής και θα δεις ποια είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Εσείς τώρα για εξάσκηση. Έστω ότι η ένταση ρεύματος σε ένα σύστημα έχει αυτήν τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Η ένταση του ρεύματος. Ξεκινάει από μειών 3, πάει εδώ πέρα. Αυτή είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της έντασης του ρεύματος σε ένα σύστημα. Να βρείτε την αθληστική της. Να βρείτε την αθληστική της για χ πριν από το μειών 3, για χ από μειών 3 μέχρι 0 γιατί αλλάζει η μορφή, και για χ από 0 μέχρι 6 να βρείτε την αθληστική της. Να βρείτε την αθληστική της για χ πάνω από 6. Προφανώς το τελευταίο είναι μονάδες. Υπάρχουν στο βιβλίο και άλλα παραδείγματα που θα κάνουμε αύριο, ασκησούλες παραδείγματα, για να μην έχουμε διάφορες ασάφιες και απορίες από την τυχαία μεταβλητή. |
