| : ΠΟΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ ΔΙΩ ΠΙΝΑΚΟΝ Θα ασχοληθούμε με τον πολλαπλασιασμό δύο πινάκων. Σε αντίθεση με τον πολλαπλασιασμό αριθμού πίνακα, θα πρέπει να είμαστε προσεκτικές στην περίπτωση τον πολλαπλασιασμό δύο πινάκων, διότι υπάρχει μια προϋπόθεση για να γίνεται ο πολλαπλασιασμός αυτός. Έστω λοιπόν ότι έχουμε τους δύο πίνακες α και β, τότε το γινόμενο τους το ονομάζουμε θα είναι ένας καινούργιος πίνακας σε, έστω σε, ο πολλαπλασιασμός αυτός των δύο πινάκων α και β θα γίνεται όταν ο αριθμός των στυλών του πίνακα α εισούνται με τον αριθμό των γραμμών του πίνακα π. Επαναλαμβάνω ότι ο πολλαπλασιασμός των δύο πινάκων α και β θα μπορεί να γίνει εάν ο αριθμός των στυλών του πίνακα α εισούνται με τον αριθμό των γραμμών του πίνακα β. Στη συνέχεια κάθε στοιχείο του πίνακα σε υπολογίζεται από αυτό το άθροισμα. Το στοιχείο δηλαδή σε με δίκτυ γιον τζέι, το γιον είπαμε ότι αναφέρεται στην γραμμή του πίνακα σε το τζέι στη στήλη του, θα εισούνται με το άθροισμα με ένα μετρηπτή κ που θα παίρνει τιμές από το ένα έως τον αριθμό ν ή π, τον κοινό την κοινή αυτή τη μη και το άθροισμα αυτό θα αποτελείται από γινόμενα των στοιχείων γραμμών του πίνακα α και στυλών του πίνακα β. Περισσότερα θα εξηγήσουμε στο κάτω παράδειγμα. Στο παράδειγμα που ακολουθεί θα εξηγήσουμε το πολλαπλασιασμό δυο πινάκων. Έχουμε τον πίνακα α και τον πίνακα β. Ο πίνακας α είναι ένας πίνακας με δύο γραμμές και τρεις στήλες. Ο πίνακας β είναι ένας πίνακας με τρεις γραμμές και δύο στήλες. Στην περίπτωση αυτή όπως είπαμε και προηγουμένως η προϋπόθεση είναι οι στήλες του πίνακα α, του πρώτου πίνακα να είναι ίσως με τις γραμμές του δεύτερο πίνακα. Η προϋπόθεση αυτή ισχύει για την περίπτωσή μας, άρα μπορούμε να συνεχίσουμε με τον πολλαπλασιασμό των δύο πινάκων. Ο πολλαπλασιασμός των στοιχείων των δύο πινάκων α και β γίνεται ως εξής. Χρησιμοποιούμε την πρώτη γραμμή του πρώτου πίνακα. Έχουμε τα στοιχεία δύο, μίον ένα και τριβιά. Παίρνουμε επίσης την πρώτη στήλη του δεύτερο πίνακα. Εδώ στην περίπτωσή μας έχουμε τα στοιχεία μηδέν, τρία και οχτώ. Πολλαπλασιάζουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης γραμμής με την πρώτη στήλη, δηλαδή τον αριθμό δύο με τον μηδέν. Τον αριθμό μίον ένα με το συν τρία, τον αριθμό τρία με το οχτώ και έχουμε το πρώτο στοιχείο της πρώτης γραμμής του γινωμένου των δύο πινάκων. Στη συνέχεια ας πάρουμε τη δεύτερη γράμμα του πίνακα α με στοιχεία πέντε, τρία και ένα να την πολλαπλασιάσουμε με την πρώτη στήλη του πίνακα β. Πολλαπλασιάζοντας τα αντίστοιχα στοιχεία θα έχουμε πέντε επί μηδέν, πέντε επί μηδέν, συν το δεύτερο στοιχείο που είναι τρία επί τρία, συν ένα επί οχτώ. Βλέπουμε εδώ γραμμένο πέντα επί μηδέν, συν τρία και τρία, συν ένα επί οχτώ. Ας πάμε τώρα στην δεύτερη στήλη του γινωμένου. Τα στοιχεία της στήλης αυτής τα δημιουργούμε ως αξίες. Παίρνουμε ξανά τις δύο γραμμές του πίνακα α αλλά τις πολλαπλασιάζουμε βλέπω, όχι με την πρώτη στήλη αλλά με τη δεύτερη στήλη του πίνακα β. Πολλαπλασιάζουμε δηλαδή για να πάρουμε το δεύτερο στοιχείο της πρώτης γραμμής, την πρώτη γραμμή του πίνακα α με τη δεύτερη στήλη του πίνακα β. Έχουμε λοιπόν δύο επί δύο, συν μίον ένα επί μίον ένα, συν τρία επί πέντε. Αυτό είναι το αποτέλεσμα αυτών των πολλαπλασιασμών και προσθέσεων. Τέλος πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη γραμμή του πίνακα α με τη δεύτερη στήλη του πίνακα β. Δηλαδή πέντε επί το δύο, πέντε επί δύο, συν τρία επί μίον ένα, τρία επί μίον ένα, συν ένα επί πέντε. Και έτσι έχουμε και το τελευταίο μας στοιχείο, το δεύτερο στοιχείο της δεύτερης γραμμής. Αυτό γίνεται ανεξάρτητα από τον αριθμό των γραμμών και στιλών των δύο πινάκων. Εδώ για παράδειγμα χρησιμοποιήσαμε δύο σχετικά μικρός πίνακες. Για να ανακεφαλαιώσουμε για τον πολλαπλασιασμό των πινάκων θα πρέπει, είπαμε, οι στήλες του πρώτου πίνακα να ισούνται με τις γραμμές του δεύτερου πίνακα. Στην περίπτωση αυτή οι δύο πίνακες ονομάζονται συμμορφοι. Όταν, λοιπόν, οι στήλες του πρώτου πίνακα είναι ίσως με τις γραμμές του δεύτερου πίνακα οι δύο αυτοί πίνακες ονομάζονται συμμορφοι. Θα μπορούσαμε εδώ να πούμε και ένα, κατά κάποιο τρόπο, τέχνασμα για τον λίγο ευκολότερο υπολογισμό αυτών των στοιχειών του γινωμένου. Εάν κάποιος θέλει θα μπορούσε να πάρει τα στοιχεία της πρώτης γραμμής με ένα μολύβι στην κόλλα του, στο καρτί του, ώστε να μπορεί να το σβήσει και να γράψει τα στοιχεία αυτά της πρώτης γραμμής πάνω από τα αντίστοιχα στοιχεία των δύο γραμμών. Το πρώτο στοιχείο το μηδέν, δηλαδή πάνω από το πρώτο στοιχείο της πρώτης γραμμής, το τρία πάνω από το μιον τρία και το οχτώ πάνω από το συμτρία. Οπότε στη συνέχεια οι πολλαπλασιασμοί είναι αρκετά πιο απλοί, πολλαπλασιάζουν το μηδέν με το δύο, το δύο με το μηδέν, στη συνέχεια το μιον ένα με το τρία, το μιον ένα με το τρία και τέλος το τρία με το οχτώ. Στην από κάτω γραμμή γίνεται το ίδιο, το πέντε πολλαπλασιάζεται με το μηδέν, το τρία επίσης με το συμτρία και το ένα με το οχτώ. Το ίδιο θα πρέπει να κάνουμε και με τα στοικία της δεύτερης γραμμής του πίνακα Φύτα, να πάρουμε με το μολύφι μας δηλαδή, αφού σφρήσουμε τα στοικία μηδέν τρία οχτώ, να γράψουμε τα στοικία δύο, μηον ένα και πέντε. Οπότε απλουστεύεται κατά κάποιο τρόπο ο πολλαπλασιασμός των δύο αυτών πινάκων, με αυτό το τέχνασμα, εάν κάποιος το θεωρεί, ότι με τον βασικό τύπο που έχουμε τον πολλαπλασιασμό των πινάκων, ότι είναι δύσκολη η διαδικασία. Αυτό το τέχνασμα μπορεί ίσως να τον βοηθήσει να κάνει ευκολότερο τον πολλαπλασιασμό. |
