| Εύρεση και χαρακτηρισμός ακροτάτων συναρτήσεων.: Τα δύο θέματα που μας ενδιαφέρουν σήμερα είναι περισσότερο τα μέγιστα και λάχιστα, πώς θα τα χειριστούμε, αλλά το ξέρετε το θέμα, έχετε δουλέψει, πιθανόντας τα προβλήματα να δυσκολευτούμε λιγάκι, και ο χειρισμός, οι απροσδιοριστίες και το κανόνα του τελοπιτάλ, που είναι δυο σημαντικές εφαρμογές, μερικές εφαρμογές των παραγών δηλαδή θα πούμε σήμερα, αλλά είναι γνωστές τις εφαρμογές. Εγώ ήθελα να βάλω ένα προβληματάκι τώρα όμως, πριν να ξεκινήσουμε οτιδήποτε άλλο, να σας πω ένα πρόβλημα. Σας έχω δώσει σαν εργαλείο, ή θα μπορούσα να το βάλω, αλλά θα πάμε πολύ χρόνο να σκέφτεστε, γιατί δεν είναι τόσο ολοφάνερο. Θέλω λοιπόν να στήσουμε ένα πείραμα, με αυτά που ξέρουμε, για να μετρήσουμε, ανοίγεται, σας δίνω σαν εργαλείο, που είναι διαφανές τα τυχόματά του, ένα κύλινδρο. Σας δίνω λοιπόν ένα κυλινδρικό δοχείο. Σας δίνω λοιπόν ένα κυλινδρικό δοχείο, με ανοιχτή την επάνω επιφάνεια. Αυτό είναι ένα κυλινδρικό δοχείο, ορθογώνιο, μία χαρά. Σας ζητάω, εδώ από πάνω υπάρχει μια βρύση, έτσι, υπάρχει μια βρύση. Και εδώ η βρύση έχει ένα διακόπτη, τον έχουμε ανοίξει. Και σας ζητάω να μετρήσετε το ρυθμό με τον οποίο, με τι ρυθμό πέφτει το νερό από την βρύση. Και σας ζητάω να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο ανά κυβικό εκατοστό, δηλαδή το άγνωστος που θέλω να μετρήσω είναι αυτή η βρύση, με τι ρυθμό σε κυβικά εκατοστά ένα δευτερόλεπτο ρίχνει μέσα στο δοχείο αυτό. Με τι ρυθμό α, η βρύση ρίχνει κυβικά εκατοστά ένα δευτερόλεπτο μέσα σε αυτό το δοχείο. Θέλω να μου πείτε πώς θα κάνετε ένα πείραμα και ποιες πράξεις θα κάνετε δίπλα για να βρείτε, να υπολογίσετε αυτή τη ροή, πόσο ο όγκο ανά κυβικό εκατοστό βγάζει βρύση από την επιφάνειά της. Βέβαια αν θέλατε και πολλά άλλα θα μπορούσατε να μετρήσετε, άμα ξέρετε αυτό μπορείτε να μετρήσετε και άλλα πράγματα από τον τρόπο που πέφτει το νερό από τη βρύση. Οπότε αν είχατε ένα θέμα παροχής, κάποιος ήθελε να μελετήσει με τι ρυθμό στέλνει το βρύση νερό μέσα σε αυτό το δοχείο. Θέλω να μου πείτε τι θα κάνετε στην διάταξη αυτή, αυτό το δοχείο σας το έχω δώσει εγώ, έχει όπως σας είπα τα τυχόματά του είναι από γυαλί, οπότε τα τυχόματά του είναι ανοιχτά, οπότε μπορούμε να παρακολουθούμε ότι θέλουμε σε αυτό το δοχείο. Παίστε μου λίγο και το όνομά σας όλο το μικρό. Γιάννης, μήπως απλά βρίσκεσαι με τον όγκο και το χρόνο στο οποίο γεμίζει ο δοχείος. Δηλαδή μετρούσες το χρόνο που το... Μετρούσα και τον όγκο του. Τον όγκο του το ξέρεις, αυτό που έχω δώσει στο δοχείο το έχεις στον όγκο του δοχείο. Και το χρόνο στο οποίο γεμίζει ο δοχείος. Αυτό όμως τι θα σου έδινε, άρα μέτρεσες το χρόνο, διαιρούσες με τον όγκο του δοχείο και έβρισκες το ρυθμό με τον οποίο είναι σταθερό. Μια χαρά είναι αυτή η επιλογή. Άλλοι, είχε σκεφτεί κανένας άλλος τίποτα άλλο. Εάν έπαιρνε... είναι το ίδιο πρόβλημα, αλλά εδώ μετράει με το ρυθμό με τον οποίο πέφτει. Εάν παρατηρούσε το ρυθμό με τον οποίο ανεβαίνει η στάθμη του δοχείου, θα μπορούσε και αυτό να βγάλει επίσης το ίδιο αποτέλεσμα. Θα μπορούσε έτσι. Άρα πώς θα το κάνατε με αυτό, δηλαδή είχε μια φωτογραφική. Αυτό που είπε είναι μια χαρά, εντάξει, πολύ καλό, αλλά ας πούμε και μια άλλη επιλογή θα ήταν να παρακολουθούσε σε δύο διαχρονικές στιγμές ή να παρακολουθούσε το ρυθμό με τον οποίο ανεβαίνει η στάθμη του νερού. Άρα με τον ανέβασμα της στάθμης θα μπορούσε να διστρέψω το πρόβλημα και να πω αν ανεβαίνει η στάθμη με κάποιο ρυθμό, το ύψος ανεβαίνει με κάποιο ρυθμό, πόσο με τι ρυθμό είναι η παροχή του νερού εκεί μέσα. Οπότε με αυτόν τον τρόπο θα το κάνατε, δηλαδή υπάρχουν δύο τρόποι να το δώσω, ότι ο ρυθμός τον οποίον μπορείτε να βρείτε είναι αν ξέρετε αν μετρήσετε το ρυθμό με τον οποίο ανεβαίνει η στάθμη του δοχείου. Λοιπόν, έτσι ήθελα να το υπολογιστεί, ο Γέννης είπε μια λύση που είναι καλή, αν ήθελα να πάω με αυτόν τον τρόπο, θα βρίσκαμε το ρυθμό που αλλάζει το ύψος με το χρόνο. Οπότε έχοντας αυτό μπορούμε να πάρουμε τον όγκο, να τον παραγωγίσουμε στο χρόνο και ουσιαστικά να υπολογίσουμε το ρυθμό με τον οποίον πέφτει που είναι το ίδιο ολοκληρωμένο. Τώρα να κάνουμε ένα λίγο πιο σύνθετο προβληματάκι σε αυτή τη φόρμα των προβλημάτων, το οποίο αν δεν το έχετε λύσει έχει μια εξυπνάδα μέσα του ότι τα υπόλοιπα δεν έχουν. Ένα πρόβλημα που αν δεν το έχετε ποτέ δουλέψει έχει κάποια δυσκολία είναι ο αντιστραμμένος κόνος. Λοιπόν έχουμε το εξής πρόβλημα που λέει, εδώ πάλι ρίχνουμε νερό από πάνω με τη βρύση, ας πούμε ότι είναι με 10 κυβικά εκατοστά ανά δευτερόλεπτο, αυτό σας το δείγνω. Εάν το ύψος αυτού του αντιστραμμένου κόνου είναι 8 εκατοστά, η βάση του εδώ πέρα έχει ακτίνα 4. Ας το πάρουμε πιο μεγάλο, πάρουμε 80 και 40, δεν έχει καμία σημασία. Με τι ρυθμό πέφτει το νερό, λέει ότι, το πρόβλημα λέει ότι χύνουμε νερό μέσα σε αυτόν τον αντιστραμμένο κόνο, ο οποίος έχει τις διαστάσεις που σας είπα, έχει η ακτίνα στη βάση του που είναι από πάνω είναι 40 εκατοστά, το ύψος του κόνου είναι 80 εκατοστά και ρωτάει με τι ρυθμό πέφτει το νερό όταν το ύψος του βρίσκεται σε 20 σαντιμέτρ. Λοιπόν, νερό είναι στα γλυκά, για αυτό το κοιτάζω περίεργο γιατί το μεταφράζω κιόλας έτσι, έχω κάποιες σημειώσεις οι οποίες το έχουν στα γλυκά. Νερό λοιπόν τρέχει από μια βρίση σε αυτό το τοχείο, τις οποίες οι διαστάσεις σας έχω δώσει, πόσο γρήγορα ανεβαίνει το ύψος του νερού, όταν βρισκόμαστε 20 εκατοστά, όταν στο σημείο που το h είναι 20 εκατοστά από το έδαφος, αυτή τη συγκεκριμένη δηλαδή στιγμή, πόσο γρήγορα ανεβαίνει η στάθμη του νερού. Άρα λοιπόν νερό τρέχει από πάνω, ο ρυθμός που τρέχει σας τον έχω πει νομίζω είναι αυτός εδώ, 10 ο ρυθμός που τρέχει το νερό είναι 10 κυβικά εκατοστά ένα δευτερόλεπτο, άρα σας δίνω αυτή την πληροφορία, σας δίνω την πληροφορία ότι οι διαστάσεις του είναι αυτές, σας δίνω επίσης την πληροφορία ότι όταν είμαστε στο ύψος 20 εκατοστά, πόσο γρήγορα ανεβαίνει η στάθμη του νερού, το λύσατε ήδη, το λύσατε, ωραία αλλά λύστο και στο δετράδιο και άσε λίγο χρόνο να το λύσουν και οι άλλοι που δεν το ξέρουν, γιατί όσοι το ξέρετε έχετε χάσει το παιχνίδι, δηλαδή απλώς θα κάνετε επίδειξη σε εμένα, εκείνο που έχει ενδιαφέρον που δεν έχει καμία σημασία τι θα κάνετε, εκείνο που έχει σημασία είναι κάποιος που δεν το έχει ξαναδεί, σ' αυτούς απευθύνομαι γιατί σ' αυτούς που το έχετε ξαναδεί ή το έχετε ακούσει ή το έχετε διαβάσει, εντάξει δεν είναι απλώς μας το προσφέρετε, οι υπόλοιποι τι θα κάνουμε, ας πούμε αν το βλέπετε αυτό για πρώτη φορά. Τα δεδομένα σας είπα πια είναι αυτός είναι ο ρυθμός που πέφτει το νερό μέσα στο δοχείο, το δοχείο έχει αυτές τις διαστάσεις και όταν βρισκόμαστε στο ύψος 20 εκατοστά θέλουμε να δούμε με τι ρυθμό ανεβαίνει η στάθμη του νερού. Το ρυθμό που τρέχεται από πάνω είναι 10 κυβικά έναν δευτερόλεπτο, αυτόν τον έχουμε, ναι. Βλέπω οι υπόλοιποι, δύο συμφυθές να έχουν σηκώσει το χέρι, οι υπόλοιποι, αφού σήκωσε πρώτος πες το αριγερυσή τι θα κάνουμε, τι σκέφτηκες, όσον έχουμε τις διαστάσεις του κόντ, θα βράσουμε να βρούμε τις συνάντησες, τις πητες που έχει το Ύκ , ο οποίος μας δίνει. Από αυτό κρατώντας στο ένα μέλλον το R και το H βλέπουμε ότι βρίσκονται από σταθερά πράγματα. Άρα η αναλογία μεταξύ τους παραμένει σταθερή. Άρα μπορούμε να γράψουμε το H στην αντίστορα, νομίζω είναι το 1 διπλάση από το άλλο. Ναι, αλλά αυτό πώς θα το βρεις όμως, δηλαδή όταν λες ακριβώς σταθερά, εδώ έχω δώσει εγώ το 40 και το 80 έτσι, το ύψος. Εννοείται ότι άμα αφήσουμε σ' ένα μέλλον το P και το R, απ' την άλλη αυτό που είναι είναι μοναχιμή. Όχι το P και το R, συμμετέχει στο R. Ναι. Άρα αυτό σημαίνει ότι είναι σταθερό που έχεις αυτό το αποτέλεσμα. Το R τετράγωνο είναι πι H είναι σταθερό, αλλά αυτό είναι για το νόγκο του νερό που είναι μέσα. Συνέχισε. Άρα αυτό λύνουμε προς το 1 από τα 2 τελώς πάντα, μπορούμε να το κάνουμε και έτσι. Με βάση ποιο? Ας πούμε ότι λύνουμε βάση το H, γιατί θέλουμε το H μέσα. Ωραία. Το λύνουμε και έχουμε H ίσον 3V δια P ρο τετράγωνο. Αλλη κατηστούμε το β μεγάλο για να βρούμε πως είναι γίνικα το R. Το β μεγάλο πως το ξέρουμε? Το βρίσκουμε. Από το νόγκο του όλου του κόνου. Ολόκληρου του κόνου. Ολόκληρου του κόνου. Ωραία, αυτό θα μας δώσει άμα δώσουμε το R και βάλουμε ολόκληρο το κόνο θα μας δώσει το ύψος του, το οποίο το ξέρουμε. Μάλλον εγώ δεν σε καταλαβαίνω. Δεν θέλω να κάνω αντικατάστασης τότε. Θέλω να έχω σχέση με τα αξία H και R και μετά να πάω να το αντικαταστήσω στο γενικό για να έχω μόνο H μέσα στη συνάδεση. Ναι, αλλά H και R από πού, θέλω να με καταδηγήσει βήμα προς βήμα γιατί πιθανόταν να μην καταλαβαίνω τι μου λες. Λοιπόν, έχουμε τον νόγκο, τον έχουμε. Έχουμε και αυτές τις πληροφορίες που έχουμε. Πάμε παρακάτω, ένα βήμα βήμα. Ωραία. Βρίσκουμε πώς το κάνει αυτός, αρχικά, αν μεταδόνουμε να το έχουμε. Ωραία, αυτό το βρήκαμε, λοιπόν. Άρα είναι Β-0, είναι με 1 τρίτον, που έχουμε το π, το ρ, είπαμε είναι 40 σαντιμέτρ και όλος το τετράγωνο, επί το 80 που είναι το ύψος. Αυτό λοιπόν βρήκαμε όλο τον νόγκο του κυλίνδρου που έχουμε στη διάθεσή μας. Ωραία. Και μετά αφήνουμε H και R τις μεταβολητές. Άρα, ναι. Ένα τρίτο π, ρ, τετράγωνο και H, στον νόγκο που βρήκαμε πριν. Μα δεν μπορεί, αυτός ο νόγκος, γυρί μου, δεν είναι ο νόγκος, είναι ο νόγκος όλου του κυλίνδρου. Δηλαδή τι θα βρούμε από αυτό. Άμα το αφήσουμε left, δεν μπορεί να το βάλουμε ίσον αυτό με κάτι που δεν είναι ο νόγκος του κυλίνδρου. Ωραία. Δεν πειράζει, δεν πειράζει, γι' αυτό κάνουμε αυτή τη δουλειά. Άμα ήταν να σας αφήσω μία ώρα, θα το γράφατε όλοι. Άμα ήθελαν να βρούμε, να κάνουμε τα ανάλογα θμήματα. Τα όμοια τρίγωνα. Ναι, αυτό θα είναι. Μπράβο, από αυτό είναι η λύση. Τώρα το ακούσατε όλοι. Τα όμοια τρίγωνα, λοιπόν, θα μας δώσουν τη σχέση, αυτό που ο Αργύρης προσπαθούσε τώρα να κάνει, είτε να βρει στη συγκεκριμένη στιγμή που έχουμε το H, να βρούμε το R. Δηλαδή με τα όμοια τρίγωνα, που δημιουργούνται απάνω σε αυτή την επιφάνεια, έχει ύψος 80 με 40 το αρχικό, το άλλο έχει ύψος 20, οπότε με τα όμοια τρίγωνα βρίσκεις αυτή την ακτίνα. Και έτσι και βρήκες αυτή την ακτίνα και την παραγωγίσεις και πήρες DVD-R, σε αυτή την αρχική σχέση, αν παραγωγίσουμε και βρούμε το DVD-T, μας το έχουν δώσει. Είναι ένα 10 cm κύβος ανά σεκόντ. Θα προκύψει όμως από αυτό, άμα το παραγωγίσουμε, το ύψος είναι αυτό που αλλάζει, αλλά αλλάζει και η ακτίνα. Οπότε θέλουμε, θα προκύψουν από αυτό, από τα όμοια τρίγωνα, θα βρούμε την ακτίνα τη στιγμή που το H είναι 20. Οπότε μέσα από εκεί βγήκε αμέσως. Το βλέπετε τώρα όλοι, ναι ή όχι. Θέλετε λοιπόν να το δείτε με την υπόδειξη ότι χρησιμοποιούμε τα όμοια τρίγωνα. Αυτός είναι ο τύπος του όγκου. Και τι έχουμε σαν πληροφορίες εμείς εδώ. Αυτό που ζητάμε είναι το DHDT, το ρυθμό δηλαδή που ανεβαίνει το ύψος. Ουσιαστικά έχουμε το DVD-T και επίσης από τα όμοια τρίγωνα, στη στιγμή που το H είναι 20, ξέρουμε πόσο είναι το R0 η ακτίνα του νερού, εκεί που βρίσκεται στη στάθμη, όταν η στάθμη βρίσκεται στο 20, ξέρουμε πόσο είναι η ακτίνα από τα όμοια τρίγωνα. Μα αυτές τις πληροφορίες μπορούμε τώρα να το βρούμε. Ναι, μπορούμε. Ναι, πέστε μου. Ε, ωραία, θα έπρεπε να παραδογήσει το... Έπρεπε να γνωρίζουμε πόσο το ύψος είναι το διπλάσιο της βάσης. Ωραία, άρα το ύψος, λοιπόν, είναι το διπλάσιο της ακτίνας, ναι. Νομίζω πως η ακτίνα, έτσι, είναι 10 εκατοστά. Αν το ύψος είναι αυτό το 20, η ακτίνα είναι 10 εκατοστά. Πολύ ωραία, τα ξέρουμε αυτά. Παραδογίζοντας το βήμα του ΒΟΚΟ που μας προσφέρει, ναι, ναι. Παραδογή του ΒΟΚΟ Όχι προς ΔΕΤΕ, είναι προς ΔΕΤΕ, γιατί ουσιαστικά αυτό που σας έχω δώσει είναι ο ρυθμός με τον οποίο γεμίζει. Άρα το ΔΕΒΕΤΕΤΕ σας έχω δώσει ότι είναι 1. Το ίδιο, το ίδιο πράγμα είναι. Ωραία, λοιπόν, συνεχίζουμε. Ένα τρίτο πήει επί δύο ρο. Το δύο ρο είναι η κατάσταση του χάπου. Μάλλον εγώ δεν σε παρακολουθώ. Το ρο τετράγωνο που έχει είναι δύο ρο. Το ρο τετράγωνο που είχε εδώ. Εδώ πέρα έχουμε και το H, έτσι δεν είναι, αυτός είναι ο λόγος. Οπότε όταν κάνεις την παραγώγηση ως προς το χρόνο τι θα κάνουμε εδώ πέρα. Α, και θα στήσουμε το H με δύο ρό. Μπράβο, μπράβο. Άρα λοιπόν αν αντικαταστήσουμε το, μάλλον το ρο από εδώ πέρα, το αντικαταστήσουμε με το H δεύτερα και βάλουμε και το H απ' έξω και όλος το τετράγωνο έχουμε αυτόν τον τύπο. Συμφωνείτε? Ναι ή όχι, μιλήστε. Ναι, να τελειώσουμε έτσι με αυτό πρώτα. Ναι, ναι, να τελειώσουμε αυτό και να μου πεις τι πήρες. Λοιπόν, επειδή υπάρχει λοιπόν μια συνεχή συσχέτηση του H με το R, εδώ πέρα, αυτή εδώ που είπες είναι απ' τα όμοια τρίγωνα, θα αντικαταστήσουμε το ρο με αυτό. Και τώρα βέβαια παραγωγίζουμε αυτή τη σχέση ως προς το χρόνο. Το DHDT είναι αυτό που ψάχνουμε. Το DVDT το ξέρουμε οπότε βγήκε. Το βλέπετε? Μιλήστε βρε παιδιά. Εσείς είπες κάτι άλλο, είχες πει. Θα μπορούμε να τελειώσουμε, αδερφέ. Αν το βάλουμε αυτό θα γίνει 1 τρίτον π, H στην τρίτη δια 4. Άρα θα είναι 1 δωδέκατο π, H τρίτης. Αν δεν έχω κάνει λάθος, έχουμε το π στον αριθμητή π, εδώ το 4, θα γίνει 3 4 12 π, H τρίτης. Οπότε το DVDT θα γίνει ίσον με 1 δωδέκατο π π, 3 H τετράγωνο. Και από εδώ DHDT. Από εδώ λοιπόν γλύλουμε ως προς το DHDT και έχουμε 12. Το DVDT το ξέρουμε. Και έχουμε το π στον αμπαρονομαστή. Και το 3 H τετράγωνο θα πάει στον 1 δια 3 H τετράγωνο. Οπότε το H το ξέρουμε είναι 10, είναι 20. Το DVDT είναι 1, 12 π, αυτό είναι το αποτελέσμα. Αυτός εδώ ο τύπος που λέει 12 διά π, εκτός που παρακολουθείτε καλύτερα σύσμηση έχω κάνει κανένα λάθος. Το DVDT είναι αυτό που λύνω, προς αυτό λύνω. Οπότε έχω 12 δια π, έχω το 3 H τετράγωνο, 1 δια 3 H τετράγωνο. Αυτό. Αυτό είναι το αποτελέσμα. Ναι, ρωτήστε, μήπως έχω κάνει λάθος. Δεν είναι ο τύπος του, ναι γιατί παραγωγίζουμε επειδή έχουμε ένα ρυθμό που πέφτει το νερό μέσα. Ο ρυθμός, ο όγκος πέφτει σε αυτό, με ότι βρήσει έτσι, με ένα ρυθμό που λέει είναι τόσος όγκος ένα σε ένα σε κόντ. Αυτή είναι η πληροφορία που μας έχουν δώσει, είναι 1. Ή πως έχουμε γράψει εγώ, 10. Αυτό λοιπόν είναι 10, αυτό εδώ πέρα το 10 που μας έχουν δώσει είναι το DVDT. Ωραία, παραγωγήσαμε λοιπόν τον τύπο αυτόν. Αυτό το V παραγωγίζουμε. Αν παραγωγήσουμε αυτό το V, αλλά από πριν πρέπει να έχουμε χρησιμοποιήσει αυτόν εδώ τον τύπο από τα όμια τρίγωνα, να διώξουμε το R. Γιατί το R και το H δεσμεύονται μεταξύ τους λόγω των στα όμια τρίγωνα. Οπότε πρώτα θα αντικαταστήσουμε το R με το H, να φτιάξουμε μια εξίσουση του V, η οποίος έχει μέσα μόνο το H. Ωραία, άρα λοιπόν θα έχουμε ένα τρίτο π, στη θέση του ρο τετράγωνο θα βάλουμε από εδώ, H δεύτερα στο τετράγωνο, επί το H που υπήρχε στον διπωτόγο. Όχι, όχι, να καταλάβουμε τι θέλει να πει η κοπελά. Το από εκεί δεν καταλαβαίνω, από αυτήν εδώ τη σχέση παραγωγίζουμε. Αυτήν. Τι εννοείται από εκεί και όχι από εδώ δηλαδή. Εννοώ ότι κάψαμε μια εξουσιακή δεύτερη θέση. Όχι, έπρεπε, έχετε δίκιο. Έχετε δίκιο. Η συνάδελφός σας λέει ότι παραγώγηση θα κάνουμε μετά την αντικατάσταση του R. Αυτό εννοείται. Τώρα το σας καταλάβαμε. Λοιπόν, εδώ είναι ο όγκος. Και αυτός εδώ πέρα θα κάνουμε την αντικατάσταση, θα φτιάξουμε αυτόν τον τύπο που έχει μέσα από τη μια μεριά τον όγκο και από την άλλη μόνο το H. Και μετά θα παραγωγήσουμε. Αυτό εννοούσατε. Ευχαριστώ πάρα πολύ. Θα μου πείτε έχετε κάτι άλλο. Όχι. Έχετε κάτι άλλο. Όχι, εντάξει. Τα αφήνουμε αυτά λοιπόν και προχωράμε στα ακρότατα τα οποία δεν σας είναι καινούργια. Και στον τελοπιτάλ. Πριν ξεκινήσουμε όμως να μιλήσουμε για ακροτατα να δούμε κάποιες πολύ ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις που έκαναν μερικοί μαθηματικοί πριν από αυτό. Θεώρησαν ότι εάν έχουμε μια συνάρτηση η οποία είναι ορισμένη συνεχής και παραγωγίσιμη μέσα σε ένα μεταξύ των σημείων α και β, έχουμε λοιπόν εδώ μια καμπύλη της οποίας δεν ξέρουμε τι γίνεται μέσα, ξέρουμε πληροφορίες μόνο στα άκρα. Ξέροντας λοιπόν πληροφορίες και ξέροντας ότι αυτή είναι μια συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση, μπορούμε να μάθουμε ορισμένα πράγματα, μπορούμε να πούμε ότι εάν αυτά τα σημεία είναι τα ίδια, αν δηλαδή είναι στο ίδιο ύψος, δηλαδή η τιμή της συνάρτησης στο α είναι ίση με την τιμή της συνάρτησης στο β, τότε αμέσως καταλαβαίνουμε ότι κάτι ενδιαφέρον συμβαίνει, ότι υπάρχουν σημεία μέσα στην καμπύλη, περισσότερα από ένα, τα οποία αν ενώσουμε τα άκρα αυτών των δύο σημείων, εάν είναι τα σημεία στο ίδιο ύψος, τότε υπάρχει οπωσδήποτε ένα σημείο μέσα ξ, το οποίο δεν το ξέρουμε, για το οποίο η παράγωγος της συνάρτησης θα δώσει μη 0. Λέω λοιπόν ότι ουσιαστικά φαίνεται καθαρά ότι η καμπύλη, η συγκεκριμένη ευθεία που ενώνει τα σημεία, την τιμή της συνάρτησης στο α και στο β, σε αυτά τα δύο σημεία, φαίνεται ότι είναι στο ίδιο ύψος, οπότε φαίνεται ότι δημιουργείται μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονο ομικρον χ, και σίγουρα μέσα εδώ υπάρχει ένα σημείο τουλάχιστον, πιθανόντα και περισσότερα, για τα οποία η παράγωγος σε αυτό το σημείο είναι ίσο με το μη 0. Άρα λοιπόν αυτό είναι το θεώρημα του Ρολ. Υπάρχει και το γενικότερο θεώρημα της μέσης τιμής, το οποίο λέει ότι εάν έχουμε πάλι το ίδιο θέμα με δύο σημεία α και β, και ενώσουμε αυτά τα δύο, δημιουργείται μια παράγωγος, η παράγωγος σε κάποιο τυχαίο σημείο, θα είναι ίση με τη μη της συνάντησης στο β, μίον το α, διά β, μίον α. Τι λέει αυτό, ότι η κλήση της ευθείας που ενώνει τα α και β, που είναι αυτή εδώ, θα υπάρχει οπωσδήποτε σημείο μέσα εδώ που θα είναι παράλληλη προς την παράγωγο κάποιου σημείου ξ, το οποίο βρίσκεται σε αυτό εδώ το σημείο. Άρα λοιπόν βρίσκουμε από το θεώρημα, αυτό είναι το θεώρημα της μέσης τιμής, ότι έχουμε μια καμπύλη, η οποία είναι συνεχής και παραγωγής μεταξύ δύο σημείων. Η διαφορά της τιμής σε αυτά τα σημεία που μας δίνει την κλήση διά του μη μιον α, δίνει μια κλήση συγκεκριμένη και οπωσδήποτε υπάρχει σε αυτή την καμπύλη ένα σημείο ξ, το οποίο μπορούμε να το βρούμε για το οποίο συμβαίνει αυτό το σημείο να είναι παράλληλο, η ειφαπτομένη αυτή εδώ που είναι η παράγωγος, αυτό το σημείο ξ να είναι παράλληλη προς την ευθεία α β. Λοιπόν, ένα επίσης ενδιαφέρον στοιχείο είναι ότι μπορούμε να ορίσουμε, αν σας πει κάποιος, σας δίνω μια συνάρτηση, μπορείτε να μου βρείτε το διαφορικό αυτής της συνάρτησης, τι είναι το διαφορικό μιας συνάρτησης, αυτή τη λέξη τη χρηστίνει, έχετε ακούσει πάλι στο Λύκειο, πώς ορίζουμε το διαφορικό μιας συνάρτησης. Το διαφορικό, ή μάλλον το πω αλλιώς, ότι αν έχουμε μια συνάρτηση στο σημείο χ και κάνω μια μετατόπιση ΔΧ σε αυτό το σημείο, αυτό θα ισούται, ίσον, με αυτά που έχουμε πει προηγουμένως, με το F του Χ συν F τόνους του Χ συν Ξ του Χ, το ΔΧ επί ΔΧ. Οπότε το διαφορικό μιας συνάρτησης, που είναι αυτή η διαφορά, που ορίζεται σαν το F του Χ συν ΔΧ μειον F του Χ, αυτό είναι το διαφορικό μιας συνάρτησης, πόσο αν μετατοπίσουμε το Χ κατά ΔΧ, αυτή είναι η διαφορά σε δύο διαφορετικά σημεία τα οποία παίχουν ΔΧ, με τι είναι σε αυτή η διαφορά, είναι ίση με την παράγωγο της συνάρτησης Χ συν Θ ΔΧ επί ΔΧ. Άρα λοιπόν βλέπουμε ότι αν τα δύο σημεία σε αυτό εδώ το θεώρημα πάνε πάρα πολύ κοντά, το ένα το Α είναι το Χ συν ΔΧ και το άλλο είναι το Χ, η διαφορά αυτή θα μας δώσει αυτόν εδώ το τύπο, που σημαίνει ότι σε κάποιο σημείο η παράγωγος θα είναι ίση με, αυτό είναι η εφαρμογή του θεωρήματος, αν το ΔΧ το φέρω από κάτω, είναι η εφαρμογή του θεωρήματος της μέσης τιμής. Τι λέει αυτό τώρα, λέει ότι αν έχω το Χ συν ΔΧ, το ΔΧ είναι μια μικρή μετατόπιση, εφαρμόζοντας εκείνο το θεώρημα ακριβώς, βλέπω ότι έχω μειον το F του Χ διερημένο με το ΔΧ, είναι ίσον με το F τόνους, όπως σε κάποιο σημείο Χ, επί θ ΔΧ, το θ θα είναι μια τιμή μεταξύ του 0 και του 1. Άρα, εάν κάποιος θα σε ζητήσει, πόσο θα μεταβληθεί η συνάρτηση F, εάν εγώ κάνω μια μικρή μετατόπιση στο Χ κατά ΔΧ, αυτό είναι το ερώτημά του, και αυτό θα το ονομάσω διαφορικό της συνάρτησης, το διαφορικό της συνάρτησης είναι αυτή εδώ η διαφορά, η τιμή της συνάρτησης το Χ συν ΔΧ μειον F του Χ, αυτό το ονομάζω διαφορικό της συνάρτησης. Και αν σας ζητήσει να το υπολογίσετε χοντρικά, μπορείτε να του πείτε ότι το διαφορικό της συνάρτησης, λέω πάλι άλλη μια φορά τι είναι το διαφορικό, είναι πόσο θα μεταβληθεί η συνάρτηση, η μεταβολή της συνάρτησης, αν κάνω μια μετατόπιση του Χ κατά ΔΧ. Έχει σημασία αυτό. Στη δική μας δουλειά σαν φυσικούς πέζει κανένα ρόλο αυτό, αυτό το διαφορικό. Εάν εγώ κάνω μια μέτρηση που εξαρτάται από το μήκος, από το σημείο Χ και στο σημείο που μετράω, την ποσότητα που μετράω, ας πούμε ότι έχω τη θερμοκρασία πάνω σε μία ράβδο και μου θέτουν λοιπόν το εξής ερώτημα, μου θέτουν το εξής ερώτημα, η συνάρτηση που συζητάω είναι η θερμοκρασία πάνω σε μία ράβδο, άρα είναι η θερμοκρασία σαν συνάρτηση του Χ και λέει, αν στη μέτρηση του όργανού σου, στη μέτρηση του Χ της θέσης, έχει κάνει ένα λάθος μικρό ΔΧ, δηλαδή η ακρίβεια του οργάνου σου στη μέτρηση της θέσης είναι ΔΧ, μικρή. Αυτή η ακρίβεια, αυτό το λάθος στη μέτρηση, πόσο λάθος έχει φέρει στη μέτρηση της συνάρτησης της θερμοκρασίας, παραλαμβάνω. Έχω λοιπόν μία συνάρτηση η οποία μου δίνει τη θερμοκρασία κατά μήκος μίας ράβδου και στη μέτρηση που έκανα για το Χ έχω πέσει έξω κατά ΔΧ. Αυτό το ΔΧ στη μέτρηση του Χ έχει μεταφέρει ένα λάθος στη μέτρηση της θερμοκρασίας και θέλω να του δώσω ποσοτική διάσταση αυτής της ανακρίβειας. Οπότε μπορώ να ρωτήσω το εξής, αν κάνω ένα λάθος 10% στη μέτρηση του Χ πόσο λάθος θα κάνω στη μέτρηση της θερμοκρασίας. Με ακούσατε τι είπα. Είναι πρακτικό πρόβλημα, δηλαδή τα λάθη που κάνουμε σε μία μέτρηση πώς μεταφέρονται στη συνάρτηση την οποία μετράμε, δηλαδή μετράμε τη θερμοκρασία. Πέστε μου πώς θα το υπολογίζαμε αυτό. Πώς θα υπολογίζαμε το λάθος που προκύπτει στη μέτρηση της θερμοκρασίας, την οποία τη γνωρίζουμε μέσα από μία συνάρτηση του Χ, όταν κάνουμε λάθος στο Χ κατά 10%, ένατα εκατό ας πάω. Άρα λοιπόν σας λέω ότι το λάθος, τι σημαίνει λάθος ένατα εκατό, σημαίνει το ΔΧΔΧ στο σημείο που είμαστε είναι περίπου ένατα εκατό. Αυτό το ξέρω, δηλαδή έχω κάνει ένα τέτοιο λάθος. Ξέρω επίσης και τη συνάρτηση ΤΧ και αυτή την ξέρω. Να λοιπόν δύο πράγματα που ξέρω. Ξέρω το ΔΧΔΧ, ότι είναι ένατα εκατό, τόσο ήταν το λάθος μου και θέλω να δω το ΔΤΔΤ πόσο λάθος έχει. Πώς θα το υπολογίσω αυτό. Εδώ είναι μπαίνει αυτό που σας είπα προηγουμένως. Δηλαδή γράφεται την τιμή της συνάρτησης ΣΔΧ μειών το FΧ. Αυτό είναι το ΤΧ λοιπόν του Χ συν το λάθος που έχει γίνει ΔΔΧ μειών την τιμή της θερμοκρασίας στο Χ. Αυτό θα το ονομάσω διαφορικό, μεταβολή δηλαδή του ΤΧ θα το ονομάσω όλο αυτό. Με βάση αυτά που έχουμε μάθει μέχρι τώρα, αυτή η διαφορά είναι περίπου ίση με την παράογο της συνάντησης θερμοκρασίας στο σημείο Χ επί ΔΔΧ. Οπότε αν διαιρέσω εγώ αυτά τα δύο αν διαιρέσω δηλαδή το ΔΔΧ με το ΤΧ και εδώ διαιρέσω αυτό με το ΤΧ θα έχω σε αυτήν εδώ τη σχέση διαιρέσω αυτό εδώ πέρα το ΔΔΧ με το Χ θα φτιάξω μια σχέση που λέει ΤΧ το τόνους δια ΤΧ του Χ επί Χ ΔΔΧ δια Χ. Το σημείο Χ στο οποίο είμαι το ξέρω, την παράογο την ξέρω, το ΔΔΧ είναι το λάθος μου το ξέρω και αυτό είναι το ποσοστό του λάθος. Άρα βρίσκω το ποσοστό του λάθος στη μέτρηση της θερμοκρασίας που είναι το ΔΔΤ δια ΤΕ το οποίο είναι παράογος του ΤΧ στο σημείο Χ επί ΔΔΧ του Χ, Χ επί ΔΔΧ δια Χ. Τα Χ τα ξέρω γιατί είναι το σημείο στο οποίο με ενδιαφέρει να υπολογίσω το λάθος. Άρα δίνοντας εδώ βλέπετε ότι μεταφέρει μέσα από την παράογο ΤΧ τόνους μεταφέρει το λάθος που έγινε στο Χ το μεταφέρει στο λάθος που έγινε στο ΔΔΤ δια ΤΕ. Με καταλάβατε ή όχι. Δεν είναι ντροπή να πείτε όχι. Ποιοι δεν κατάλαβαν τι είναι και θέλω να το επαναλάβω. Σηκώστε το χέρι να το πω. Λοιπόν θα ήθελα να το σκεφτείτε χωρίς να σας πω εγώ τίποτα από όλα αυτά. Θα θέλα να ρωτήσω το εξής. Εάν έχουμε μια συνάρτηση θερμοκρασίας. Δηλαδή η θερμοκρασία θερμοκρασίας είναι ΤΑΦ. Παραδείγματος χάρη ΤΑΦΧ. Να το κάνω συγκεκριμένο. Μας δίνουν λοιπόν ότι η θερμοκρασία σε αυτή τη ράβδο ακολουθεί αυτήν τη συνάρτηση. ΤΑΦΧΗ ίΣΩΝ 3ΧΤΕΤΡΑΓΩΝΟΝ ΣΙΝ 2ΧΗ. Αυτήν εδώ τη συνάρτηση. Αυτή είναι η έκφραση της θερμοκρασίας απάνω στη ράβδο. Οπότε αν ζωγραφίζετε θερμοκρασία με βάση το Χ, θα έχετε μια καμπύλη που είναι η καμπύλη αυτή εδώ. Συμφωνούμε σε αυτό μέχρι εδώ. Ωραία. Τώρα μας λένε κάτι άλλο. Ότι αυτή είναι η συνάρτηση θερμοκρασίας. Το Χ όμως έχει μια ανακρίβεια ΔΕΛΤΑΧΗ. Και αυτή η ανακρίβεια καθώς καταλαβαίνετε σε ένα σημείο στο σημείο Χ ίσον 2. Εκεί λοιπόν μετράω εγώ στο σημείο Χ ίσον 2. Σε αυτή τη θέση θέλω να βρω τη θερμοκρασία με βάση αυτή τη συνάρτηση. Όμως ξέρω ότι το όργανο μου έχει ένα μικρό λάθος, 0,01. Δηλαδή το Χ στη μέτρηση του οργάνου της θέσης είναι 2 συμπλήν γράφουμε 0,01. Ξέρετε ότι τα όργανα έχουν λάθος. Και αυτό το λάθος μας το δίνουν με το όργανο. Λέει το όργανο αυτό έχει λάθος 0,01. Δηλαδή εδώ πέρα λέει 1% αυτό το 0,01 είναι 1%. Και σε ρωτάνε εάν η μέτρηση του Χ έχει τόσο λάθος, πόσο λάθος έχω κάνει να βάλω και το error bar στο ΔΕΛΤΑΧΗ στη θέση 2. Με καταλάβατε τώρα ποιο είναι το πρόβλημά μου. Και ρωτάω μέσα από αυτά που ξέρουμε μέχρι τώρα, αν πάτε να κάνετε ένα πείραμα στο σεργαστήριο και λέει βρέστε για τη μέτρηση του ρεύματος, μετράτε το ρεύμα, μετράτε κάτι στα όργανα σας και έχει ο μετρητής σας που μετράει μέρος για να υπολογίσετε το ρεύμα, εσείς μετράτε αντίσταση πάνω να τους χάρετε. Έτσι και θέλετε να βρείτε την τάση και μέσα εκεί περνάει ρεύμα. Οπότε όλα αυτά μαζί θα προκαλέσουν μια αντίστοιχη περίπτωση που η μέτρηση του Χ θα έχει ένα λάθος 1% και το ερώτημα είναι από που θα βρω εγώ το λάθος που θα προκύψει στη θερμοκρασία. Αυτό που σας είπα είναι, φτιάχνω μια συνάρτηση που λέει ταφ του χ συν δελταχ, το λάθος, μειών το ταφ χωρίς λάθος, αυτό εδώ πέρα, αυτό το ονομάζω διαφορικό μεταβολή του ταφ, διαφορικό του ταφ, αυτό ονομάζω διαφορικό. Και σύμφωνα με αυτά που είπαμε σήμερα, αυτό το πράγμα ισούται με την παράγωγο του ταφ στο σημείο χ ίσον 2, επί δελταχ. Άρα το δελτα τε θα είναι η παράγωγος του χ που είναι η παράγωγος αυτής της συνάρτησης στο σημείο 2 και θα την πλωλαπλασιάσω με το 0,01. Το λάθος το χ, αυτό είναι το δελταχ. Το βλέπετε ή δεν το βλέπετε παιδιά η ηρεμία σας με συναρπάζει αλλά δεν με βοηθάει. Γιατί δεν ξέρω αν αυτό που είπα το έχετε καταλάβει ή θέλετε να το επαναλάβετε ή θέλετε να το πείτε με έναν άλλο τρόπο ή θέλετε να ρωτήσετε κάτι. Πέστε μου. Γιατί εγώ τη μέτρηση που έκανα την έκανα στο σημείο χ δηλαδή στο σημείο χ ίσον 2. Εδώ δηλαδή μετράω σε αυτό το σημείο χ ίσον 2 έχω κάνει ένα λάθος υπάρχει ένα λάθος μια ανακρίβεια στην μέτρηση του 2 η οποία είναι 0,01. Συμφωνούμε ότι αυτό είναι το πρόβλημά μου αλλά σε αυτό το σημείο είμαι. Στο σημείο χ ίσον 2. Δηλαδή πρέπει το διαφορικό μπορεί να έχει μια γενική έκφραση που είναι αυτό που λες εσύ. Δηλαδή μπορώ να φτιάξω ένα γενικό τύπο και να μην βάλω 2 να βάλω χ. Άρα μετά όμως η ακρίβεια του οργάνου μου ξέρω που μετράω. Με καταλαβαίνεις τι λέω. Δηλαδή ξέρω ότι είμαι στη θέση 2 και μετράω. Μπορώ να φτιάξω ένα γενικό τύπο για το διαφορικό που λέει το διαφορικό της τεύσης σε κάθε σημείο χ. Όχι στο 2 σε κάθε σημείο χ. Ένα γενικό τύπο είναι ταφ του χ του γενικού σιν δέλτα χ μειών ταφ του χ. Αυτό εδώ θα είναι ταφ τόνους του χ επί δέλτα χ. Αυτό το δέλτα χ αν θέλεις να πάω σε νούμερα τώρα, όχι γενικά να αφήσω ένα γενικό τύπο, αν θέλεις να πάω σε νούμερα θα πάω να υπολογίσω στο σημείο χ ίσον 2. Εκεί είμαι, εκεί κάνω μέτρηση και εκεί θέλω να βρω το λάθος του ταφ. Στην πραγματικότητα αυτό είναι το πρόβλημά μου. Με καταλαβαίνεις ή όχι. Αυτό δεν βγαίνει από το θεόριμα της μέσης τιμής. Βεβαίως βγαίνει από το θεόριμα της μέσης τιμής. Μα εφαρμογή της κάνω βρε παιδιά. Αλλά λέω το άλλο να σου πει κάποιος το θεόριμα της μέσης τιμής χαίρεται και άλλο να σου πει πάμε στο εργαστήριο έχουμε 90% λάθος και εδώ για να βρεις το λάθος το τε είναι το θεόριμα της μέσης τιμής. Έγινε σύνδεση αυτόματα στο μυαλό σας. Δεν νομίζω. Καταλάβατε τι συζητάμε τώρα. Δηλαδή η θεωρία του λάθους σε μία συνάρτηση πώς περνάει στη συνάρτηση ότι είναι εφαρμογή του θεωρήματος της μέσης τιμής. Το ξέρατε και από χθες. Ξέρατε το θεόριμα της μέσης τιμής period. Συμφωνείτε. Τώρα όμως θέλω με το θεόριμα της μέσης τιμής να υπολογίσω τη μεταβολή του τε όταν εγώ μετατοπίζω το χ κατά ΔΧ. Αυτό είναι το ερώτημα και αυτό βρίσκω εγώ στο εργαστήριο. Κατανοητό να πάμε για διάλειμμα. Πέστε μου. Η μεταβολή του τε θα είναι η ίδια για όλα τα σημεία. Όχι θα είναι διαφορετική για κάθε. Η μεταβολή του τε για κάθε σημείο, αυτό δεν με ρωτάτε, για κάθε σημείο χ θα είναι διαφορετική με το ίδιο λάθος. Εννοώ ότι είναι ίδια. Εγώ, παιδιά, κοιτάξτε. Εγώ μπορώ να βγάλω για όλα τα σημεία ένα γενικό τύπο. Προσέξτε τον. Αυτός ο γενικός τύπος δίνει διαφορετικό ΔΤ, διαφορετικό λάθος στη θερμοκρασία σε κάθε σημείο. Άρα ο συνάδελφος, αν τον κατάλαβα καλά, είπε ότι αν εγώ έχω το θεόριμα της μέσης σημείς για κάθε χ θα μπορώ να βρω και για το 2 και για το 3 και για το 4. Αλλά θα είναι διαφορετικό το ΔΤ σε κάθε σημείο χ. Αυτό συμφωνούμε? Διότι και η παράγωγος σε κάθε σημείο που είναι αυτός ο βασικός συντελεστής που παρουσιάζει θα είναι διαφορετικός. Άρα η παράγωγος τάφ σε κάθε σημείο χ που θα είμαι και θα κάνω τη μέτρηση θα μου δίνει άλλη τιμή εδώ. Άρα το λάθος θα είναι διαφορετικό απάντωντας εσάς. Λοιπόν, διάλειμμα. Ένα πολύ σημαντικό πράγμα που μέσα σε αυτό έμπαιναν και όλα αυτά που ξεκινήσαμε να λέμε είναι να βρεθεί η περιγραφή της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης που βασικά όπως είπαμε για να κάνετε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης χρειάζεται να εντοπίσετε σε κάποια σημεία που η συνάρτηση έχει ασυνέχειες. Αυτό το είπαμε με τα όρια και τη συνέχεια της συνάρτησης. Το άλλο όμως που μπορούμε να βρούμε για αυτή τη συνάρτηση είναι να μελετήσουμε ορισμένα σημεία που αυτή η συνάρτηση έχει ενδιαφέροντα. Ωραία, άρα λοιπόν είμαστε στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Πώς θα κάνουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Τι μας ενδιαφέρει για να βγάλουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Μας ενδιαφέρουν πολλά πράγματα. Μας ενδιαφέρει παραδείγματος κανένα πράγμα που μας ενδιαφέρει είναι το όριο της συνάρτησης. Πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση όταν το χει πηγαίνει στο άπειρο. Στο συν ή στο πλειν άπειρο. Άρα λοιπόν αυτό μπορούμε να το βρούμε και να δούμε πραγματικά τη συμπεριφορά της συνάρτησης στο άπειρο. Τη συμπεριφορά της συνάρτησης αν ξεκινούσαμε τώρα όλοι μαζί να ψάξουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης θα ψάχαμε σε ποια σημεία παρουσιάζει ασυνέχειες. Θα βρίσκαμε πώς συμπεριφέρεται στο άπειρο. Θα βρίσκαμε τις ασύμπτοτες. Και εδώ θέλω να συζητήσουμε λιγάκι. Πώς θα θυμάστε ή έχετε δουλέψει ή να μου πείτε αν θυμάστε τον τύπο. Αν θέλω να βρω αν μια συνάρτηση έχει μία ασύμπτοτη. Η οποία να σας θυμίσω τι ήταν η ασύμπτοτη. Είναι ότι αυτή η συνάρτηση πιθανότατα να έχει μία όπως πηγαίνουμε στο άπειρο. Να πηγαίνει ασυμπτοτικά σε μία συνάρτηση Ψ ίσον M του Χ συν Β. Αυτή λοιπόν θυμάστε από τον λύκειο ότι είναι η ασύμπτοτη. Η ερώτηση είναι θυμάστε πώς θα βρούμε την κλήση και τη σταθερά αυτής της ασύμπτοτης. Γνωρίζουμε ότι έχουμε μία συνάρτηση F του Χ. Και ψάχνουμε να βρούμε όπως το Χ πηγαίνει στο άπειρο μήπως η συνάρτηση προσεγγίζει μία ευθεία. Πόσοι από σας το θυμάστε πώς θα προσεγγίσει, θα βρούμε την κλήση και τη σταθερά της ευθείας που είναι η ασύμπτοτη. Μίον λαμβέ τυχή. Μίον M. Μίον M τυχή. Και αυτό θα είναι το βίβλιο. Λοιπόν, ο συνάδελφός σας λοιπόν έδωσε για τα στοιχεία της ασύμπτοτης αυτές εδώ τις σχέσεις. Αυτό το θυμάσαι ή ξέρεις και πώς βγαίνει. Απόδειξη δεν είχε στο βιβλίο. Απόδειξη λέει δεν είχε στο βιβλίο. Είναι δύσκολη η απόδειξη. Δηλαδή αυτή είναι η απάντηση. Υπάρχει κάποιος που όταν είδε αυτή την απάντηση υπήρχε απλώς ότι ήταν εκτός ύλησμα. Λοιπόν, θέλει κάποιος να μας πει αν εγώ έχω ξεχάσει πέρασε πολύ καιρός και στην επανάληψη που έκανα τα στοιχεία πώς βρίσκω σε μια συνάρτηση την ασύμπτοτη δεν υπήρχαν. Θέλει κάποιος να μας βοηθήσει πώς θα βρούμε, θα επαναφέρουμε στη μνήμη μας πώς βρίσκουμε αυτές τις πληροφορίες που είπε ο συνάδελφός σας για τα στοιχεία της ασύμπτοτης. Ξέρει κανένας πώς θα το κάνουμε. Δεν είναι καθόλου δύσκολο. Απλώς λέω αν έχετε προβληματιστεί ή έχετε κάποια ιδέα. Μ' ενδιαφέρει εδώ να κρατήσουμε γιατί τώρα κρατάμε τις αποδείξεις. Σας έχω επιδοποιήσει ότι σε πολλά πράγματα αντί να θυμάστε τύπους, αυτοί είναι δύο τύποι, οι οποίοι αν δεν συνδέονται με τίποτα δεν μας λένε τίποτα. Η ερώτηση είναι να τους συνδέσουμε με κάτι και σε περίπτωση που έχουμε ξεχάσει τον τύπο να ξέρουμε πώς τον βγάζουμε. Εάν ξέρουμε πώς τον βγάζουμε μπορούμε κανά πάσα στιγμή να παράγουμε τα στοιχεία της ασύμπτοτης. Αυτό σας ζητάω. Θέλει κάποιος να, είχε κάποιος προβληματιστεί όταν τα είδε αυτά σαν τύπους να ρίξει μια ματιά και στην αποδείξη ή τότε είχατε πολλή δουλειά και δεν το κοιτάξετε. Πέστε μου εσείς. Τη γνωρίζουμε. Α, τη γνωρίζεις, έλα, έλα στον πίνακα. Πάρα πολύ ωραία. Αυτός που μου στήσετε και κινεί να δείξω. Αυτός τους ναι, μάλιστα. Γιατί σήμερα είστε, επειδή δεν έρχονται λίγο έτσι, έχονται οι διακοπές, γιατί είστε λίγο έτσι σε διέγερμένη κατάσταση. Σας παρακαλώ, δώστε μου μισή ώρα και μετά πιέστε έξω και εκτονοθείτε κανονικά, εντάξει. Ποιος είναι ο γενικότερος τύπος. Αυτό ψάχνουμε, ναι. Μάλιστα, αυτό είναι. Πολύ ωραία. Καλησπέρα. Μετά άζουμε και να παραάγονται το χι από την παρέντηση μη χι και βήτα. Αυτό αφού με πέρα θα το σπάσουμε σε δύο λοι. Αν το χι πάει στο άπειρο, το πέδια χι είναι μη δέν, οπότε αυτό θα φύγει. Από κάτω λοιπόν γράψε λιμ. Μπορείς να το βγάλεις στο χι κοινό παράγοντα από έξω. Καλησπέρα. Καλησπέρα. Καλησπέρα. Τι θέλετε να το διακόψουμε και να δώσουμε το λόγο σε εσάς, δεν είναι λίγο αγενές. Ωραία, χάθηκε. Με αυτή τη δήλωση μπορούμε να σε βοηθήσουμε, με την προηγούμενη θα ήταν αγένεια. Για πες μας λοιπόν. Λίγο εσείς τον Μπίνακα. Ε, ναι, γιατί, έπρεπε να μας το πεις από την αρχή, κάτσε τότε πάλι κάτσε. Εγώ θεωρούσα απίστευτη αγένεια να σε διακόψουμε, αλλά είπες εσύ, αν θέλετε να με βοηθήσετε, βοηθήστε. Πάμε να σε βοηθήσουμε, λες να τελειώσω. Όχι, όχι, άμα θέλεις να συνεχίσεις όπως θέλεις, σβήσετε το σχήμα και εσύ ελεύθερος να τελειώσεις. Κανένας δεν θα σε διακόψει. Αυτό είναι το πραγματικά άνοιγμα μηδέν. Οπότε για να φέρει νούμερο χρειάζεται και ο αριθμητήριστος το λήντ είναι μηδέν. Οπότε γράφουμε χρειάζεται το λήντ του αριθμητήριστος το σημαντικό ευκαιρικό χ μηδέν συμφέχει να κάνει και αυτό μηδέν. Αυτό που σπάμισε σε δύο μήνες είχε τιμήσει στο συνάβηρο του ευκαιρικού πρωτοσχήμα, μήνες είχε τιμήσει στο συνάβηρο του μηδέν συμφέχει να κάνει και αυτό μηδέν συμφέχει να κάνει και αυτό μηδέν. Είναι ίσως το μήν ότι το πέπλο πρωτοσχήμα κάνει μηδέν το μήν είναι σταθερό όταν βγαίνει και μία σχέση. Αυτό το συμφωνήσατε, συμφωνείτε ότι είναι σωστό αυτό που είπε εδώ πέρα, μην κάνετε αντιγραφία πρώτα όως πρέπει. Αυτό που είπε εδώ πέρα ότι έφτιαξε μία σχέση αυτήν και ότι από αυτήν έβγαλε ότι το χ πρέπει να είναι μηδέν συμφωνείτε όλοι. Πάντως είναι κάτι το οποίο το δέχεστε. Λοιπόν τώρα εφόσον έχει βγάλει τη σχέση αυτή αφού το M το έχει βρει γυρίζει στην αρχική η οποία ήταν F του X μίον M του X από εκεί που ξεκίνησε συμπέ και επειδή ουσιαστικά γνωρίζει το M μπορούμε από εδώ αυτό για να είναι σωστό με το μηδέν. Το Μ λοιπόν θα είναι το βγάζω απέξω το Μ γιατί μπορώ να το σπάσω αυτά τα όρια. Άρα το Μ θα είναι ίσον με το όριο του F του X μίον M του X που είπε ο συνάδελφός σας ότι όλα αυτά τα Χ πάνε στον σύνπλην άπειρο ενάλογα από που ψάχνουμε. Το Χ πάει στον σύνπλην άπειρο. Άρα το πρώτο βήμα ήταν αυτό με τον τρόπο που έδειξε. Το δεύτερο βήμα είναι να φτιάξουμε αυτήν εδώ τη σχέση, να κρατήσουμε το F και το M του X μέσα. Το Μ ήταν μίον εδώ θα βγει απέξω, θα έρθει μπροστά, οπότε έτσι βγάλαμε και το δεύτερο τύπο. Οπότε αυτά τα δύο είναι οι λύσεις που ψάχνουμε. Εντάξει. Ευχαριστώ. Να ρωτήσεις ό,τι θέλεις. Είπε ο συνάδελφός σας ότι αυτό θα μπορούσαμε να το πάμε διαδοχικά, να έχει μια οποιαδήποτε τιμή. Άρα για να φτιάξω με μηδέν, αν αυτό ο μόνος τρόπος που μπορεί να είναι πρέπει να έχει μια οποιαδήποτε σταθερά. Και μπορώ να βάλω αυτή τη σταθερά να είναι μηδέν. Δηλαδή έχω μια σταθερά, αν έχω αυτή τη στιγμή, για να βγάλω μηδέν εδώ πέρα, έτσι όταν το χι πλησιάζει στο άπειρο, ο ευκολότερος τρόπος είναι να αυτό μηδέν. Αν αυτό είναι μηδέν και αυτό δεν είναι, δεν το πάω, εδώ είναι ασύμπτωτη, προσεγγίζω το άπειρο, αυτό έχει τιμές ακόμα πολύ μεγάλες. Άρα για να φτάνω να έχω πάντα μηδέν όταν αυτό είναι ένας πολύ μεγάλος αριθμός, αυτό πρέπει να είναι μηδέν. Η ασύμπτωτη δεν είναι ότι είμαι στο άπειρο, πάω προς το άπειρο, άρα μπορώ να πάω σε οποιοδήποτε σημείο γιατί προσεγγίζω την συνάρτηση. Οπότε να πάρω αυτόν τον όρο να είναι μια πολύ μεγάλη τιμή. Έτσι, οπότε για να πάω στο μηδέν θα πάω με τον αριθμητή να είναι μηδέν. Να προχωρήσουμε τώρα στην ασύμπτωτη, κρατάμε αυτούς τους τύπους για το πώς βρίσκουμε την ασύμπτωτη μιας συνάρτησης. Τώρα τι άλλο ξέρετε εσείς για το πώς θα βρούμε, το γνωρίζετε, πώς θα βρούμε τα ακρότατα δηλαδή στα σημεία στα οποία η συνάντηση παρουσιάζει είτε μέγιστο είτε ελάχιστο. Αυτό είναι πάρα πολύ γνωστό, είναι γνωστό σε εσάς ότι δίνοντας μια συνάντηση ευτουχή, παίρνοντας την παράγωνα είναι ίση με το μηδέν είτε από το θεόρημα που είπαμε προηγουμένως είτε από του ρόλ είτε από οποιοδήποτε τρόπο μπορούμε να βρούμε ότι βρίσκουμε τα σημεία, άρα από αυτή τη λύση βρίσκουμε πιθανόν περισσότερα από ένα σημεία, στα οποία η εφαπτωμένη της καμπύλης σε εκείνο το σημείο είναι μηδέν και για να έχει κλείσει μηδέν σημαίνει ότι είναι παράλληλη προς τον άξιον όμικρον χ. Αυτά τα ξέρετε, άρα λοιπόν λύνοντας την παράγογο του χ να είναι ίσο με το μηδέν βρίσκω τα ακρότατα. Και μετά έχοντας το καθένα πρέπει να εκτιμήσω σε αυτό τα σημεία που έχω βρει πώς συμπεριφέρεται η συνάντηση αν είναι αυτό το σημείο που βρήκα είναι μεγίστο ή είναι ελάχιστο. Και αυτό το ένας τρόπος που κάνατε είναι να βρείτε στη γειτονιά του σημείου χ πριν και μετά το ακρότατο να βρείτε την τιμή του εφ τόνους χ πώς συμπεριφέρεται όταν πλησιάζει το σημείο χ μηδέν το οποίο ψάχνω να δω αν είναι μεγίστο ή αν είναι ελάχιστο. Και φτιάχνετε αυτά τα γνωστά πινακάκια. Είχατε όμως σας είχε πει κανένας ή σας είχε πει κάποιος ότι υπάρχει κι άλλος ένας τρόπος χωρίς να κάνετε αυτούς τους μικρούς πίνακες για να βρείτε εάν το σημείο που βρήκαμε τα σημεία δηλαδή που έχουν προκύψει από τη λύση αυτή, τα σημεία χ1, χ2, χ3 στα οποία μηδενίζεται η πρώτη παράγωση να έχουμε λοιπόν τρία σημεία που η πρώτη παράγωση μηδενίστηκε. Αυτά τα σημεία μπορούμε ακόμα με έναν τρόπο εκτός από το γνωστό που έχετε δουλέψει να βρούμε αν είναι μεγίστα ή ελάχιστα. Υπάρχει ένα άλλο τεστ που μπορούμε να κάνουμε, το θυμάστε? Δεν μπορούμε να πάρουμε τιμές στα διαστήματα. Τιμές στα διαστήματα, δηλαδή τι να πάρουμε τιμές στη γειτονιά, τι εδώ, στα διαστήματα. Τιμές δίπλα, γύρω από το... Ναι, αυτός είναι ένας πρακτικός τρόπος, ναι, πες μου. Το πρόστιμο της δεύτερης παραγώγου. Αυτό. Το πρόστιμο λοιπόν της δεύτερης παραγώγου του χ, εάν είναι θετικό ή αρνητικό, εάν είναι μηδέν δεν μπορούμε να προχωρήσουμε, αυτό το τεστ δεν μας βοηθάει. Εάν όμως συμβαίνει να είναι θετικό ή αρνητικό, το τεστ της δεύτερης παραγώγου είναι θετικό, είναι ελάχιστο και αν είναι αρνητικό είναι μέγιστο. Αυτό λοιπόν μας δίνει το χαρακτηρισμό, λέγεται το τεστ της δεύτερης παραγώγου, το οποίο δίνει το χαρακτηρισμό για το τι συμβαίνει με τα σημεία τα οποία έχουμε εντοπίσει. Αυτό το σημείο της δεύτερης παραγώγου, το πρόστιμο της δεύτερης παραγώγου, δείχνει πως προς τα πού είναι στραμμένα τα κύλα. Είναι δηλαδή προς τα κάτω ή προς τα πάνω. Οπότε είναι ένας τρόπος, εάν σας ζητούσε να βρείτε τη διεύθυνση που έχουν στο σημείο, σε αυτή την ασύμπτωτη τα κύλα, θα μπορούσατε να βρείτε με τη δεύτερη παράγωγου, που ουσιαστικά αν στη γειτονιά ενός σημείου που είναι μηδέν, τα κύλα είναι στραμμένα προς τα πάνω, είναι ελάχιστο. Και αν είναι προς τα κάτω, είναι μέγιστο. Αν μελετήσουμε και τη μονοτομία της παραγωγού. Ναι, ναι, σαφώς, σαφώς, στο ίδιο πράγμα. Αυτά που είπατε ήταν σωστά. Δηλαδή, πάω να προσθέσω κάτι καινούριο, που νομίζω η πιο ψηφιαία δεν το είχε προσέξει. Η μονοτομία και να πάρω το σημείο αυτό και να κοιτάξω στη γειτονιά του, το πρόσημο της παραγωγού, αυτό που κάνετε στο λίκιο, φυσικά είναι σωστό. Και αυτό που είπε και ο Αργύρις, ότι αν θέλω, αν είχα αριθμητικά υπολογίσω στη γειτονιά αυτή, τα σημεία στα γειτονικά, βρω την τιμή της συνάρτησης, η τιμή της συνάντησης είναι κάτω από τη τιμή που παίρνει, αυτό μου νομίζω είπες, δηλαδή βρίσκει την τιμή της συνάντησης στο ακρότατο και είναι τρία. Πάει λίγο πιο πριν ή λίγο πιο μπροστά και βρίσκε χαμηλότερα σημεία, μικρότερα στη γειτονιά του. Δηλαδή παίρνει δύο σημεία, αριθμητικά το κάνει, καθαρά, και ψάχνει να δει τι γίνεται πολύ κοντά στο σημείο τρία. Και βρίσκει συνεχώς, συστηματικά, όποιο 3,1 ή 0,2,9, και τιμές χαμηλότερες από το τρία. Έχει καταλάβει ότι είναι μέγιστο ή ελάχιστο, αλλά αυτή είναι μια αριθμητική εφαρμογή που επίσης ισχύει μια χαρά. Λοιπόν, έχουμε βρει λοιπόν και τα ακρότατα και την τιμή της. Τώρα, το ερώτημα είναι, εάν έχουμε αυτές τις πληροφορίες, μια σειρά από πολύ ενδιαφέροντα προβλήματα μπαίνουν μπροστά μας και αυτά μας ενδιαφέρουν εμένα περισσότερο, να μπορούμε να λύσουμε προβλήματα που έχουν να κάνουν με τα ακρότατα. Δηλαδή, ποια προβλήματα θα μπορούσαμε να συζητήσουμε με βάση αυτά που έχουμε πει. Ας αρχίσουμε με ένα πολύ απλό πρόβλημα και θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε. Να σας βρω ένα πρόβλημα. Να σας διαβάσω ένα πρόβλημα και να το λύσουμε εδώ με βάση αυτά που είπαμε μέχρι τώρα. Δηλαδή, το πιο ενδιαφέρον για εμένα, σε εμάς εδώ, είναι τα προβλήματα που έχουν να κάνουν με την ελαχιστοποίηση ή μεγιστοποίηση μιας συνάρτησης. Αυτά με ενδιαφέρουν περισσότερο και σε αυτά θέλω να συζητήσουμε. Λοιπόν, ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει την κορυφή του, η κορυφή του ορίζεται από τα ίσα δύο σκελή στην αρχή των αξώνων. Να δεδράφω το σχήμα πως είναι. Θεωρώ λοιπόν πως έχω ένα ισοσκελές τρίγωνο. Το σχήμα που έχω είναι αυτό εδώ, ένα ισοσκελές τρίγωνο που έχει την κορυφή του. Είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο, έχω φτιάξει το σύστημα συντεταγμένων. Την κορυφή του ισοσκελούς τριγώνων την έχω βάλει στην αρχή των αξώνων. Τα δύο σημεία αυτά α και β, τα στιβάσεις δηλαδή του τριγώνου, οι δύο αυτές κορυφές βρίσκονται απάνω στην καμπύλη Ψ, ίσον 27 μχ τετράγωνο. Άρα λοιπόν έχω ένα ισοσκελές τρίγωνο, το έχω φτιάξει το σύστημα αυτό. Τα σημεία α και β, αν θεωρήσω α την κορυφή, και β και γ αυτά τα δύο, τα β και γ βρίσκονται απάνω στην καμπύλη ίσον 27 μχ τετράγωνο. Πώς θα είναι η καμπύλη ίσον 27 μχ τετράγωνο? Παίστε μου εσείς, σηκώστε το χέρι. Πολύ ωραία. Άρα λοιπόν είναι μια καμπύλη, η οποία επειδή έχει το χ τετράγωνο, είναι προς τα έχει το μοιον χ τετράγωνο, άρα είναι δηλαδή μια υπερβολή, η οποία έχει την κορυφή της στο 27 μχ τετράγωνο. Λοιπόν αυτό είναι το σχήμα μας, να βρεθεί το μέγιστο στο εμβαδόν του τριγόνου. Να βρεθεί το μέγιστο του εμβαδού του τριγόνου. Λοιπόν, έλα πες μου Λευτερή. Μπράβο, άρα ο Λευτερής λοιπόν λέει ότι αυτό εδώ πέρα το σημείο, του δίνω μία τιμή χ, αυτό είναι ο άγνωστος, αυτό είναι στα μέγιστα, και ελάχιστα το πρώτο πράγμα που έχετε να επιλέξετε, να δείτε ποιος είναι, ποιος θα είναι οι ελεύθεροι παράμετρος. Λοιπόν, για συνεχή σε Λευτερή, οπότε αυτό είναι χ, άρα τη βάση αυτή είναι δύο χ. Το Ψ, το οποίο είναι πόσο Λευτερή? Το Ψ είναι 27 μίον χ τετράγωνο. Άρα λοιπόν με βάση αυτή τη διαπίστωση, μόλις εντοπίζατε ότι η βάση είναι το χ, το εχ λοιπόν, σύμφωνα με αυτό που λέει ο Λευτερής, είναι το εν δεύτερον, δύο χ η βάση, επί 27 μίον χ τετράγωνο. Ε, τώρα το στήσαμε το πρόβλημα, από εδώ και πέρα είναι αστείο. Άμα άπαξε και πιάξεις τη συνάντηση που θες να πάρεις στα μέγιστα, και ελάχιστα τελειώσαμε, πες. Το ύψος, γιατί είναι 27 μίον χ τετράγωνο. Λευτερία, επάντησε. Το ύψος, λέει. Γιατί είναι 27 μίον χ τετράγωνο. Γιατί θα είναι... Δηλαδή... Όταν ακολουθώ αυτή την καμπύλη και πάρω ένα σημείο χ, δεν ξέρω πόσο είναι το ψήτου. Το ύψος χ χρειάζεται σε απόλυτη τιμή. Δεν μπορούμε να το ανοίξουμε. Πορίστε. Το ύψος χ χρειάζεται σε απόλυτη τιμή για το μήκος. Και το ύψος χ μπορεί να είναι αρνητικό. Απόλυτη τιμή, ναι εδώ πέρα. Προσέξτε, εδώ είναι ο φυσικός. Και σας έχω προειδοποιήσει ότι ο φυσικός δουλεύει αλλιώς από το μαθηματικό. Εάν δεν μιλούσαμε για σχήματα, αν δεν μιλούσαμε για εμβαδά, αν δεν μιλούσαμε για συγκεκριμένα πράγματα, και μιλούσαμε αφυρημένα και γενικώς, επειδή το χ παίρνει και αρθητικό, έπρεπε να το προφυλάξουμε. Εδώ πέρα το χ μας ενδιαφέρει να πάρει μία τιμή, την οποία να βρούμε αυτή εδώ τη βάση. Οπότε, ότι είναι 2x όλη αυτή η βάση και ότι αυτό θα βγει θετικό, δεν χρειάζεται να το προφυλάξουμε άλλο. Δεν μιλάμε εδώ για αρνητικά, δεν μπορούμε να μιλήσουμε εδώ για αρνητικά. Έτσι εδώ, το χ που καθορίζει είναι το χ στα θετικά, αυτό το χ καθορίζει. Και απλώς δουλέπουμε, αν θέλατε να δουλέψουμε αλλιώς, θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι το διπλάσιο αυτούνου του τριγόνου. Και θα μπορούσαμε να δουλέψετε για αυτό και μετά να το διπλασιάσετε. Και αυτό θα μπορούσε να γίνει. Έχει κάποια άλλη απάντηση ελευθερή. Λέει γιατί αυτό το χ παίρνει και αρνητικές θυμές, αν θα πρέπει να παίρναμε το απόλυτο. Ακριβώς. Ωραία. Λοιπόν, η πρώτη παράγωγος του χ, ίσο με 0, θα μας δώσει τα σημεία που μας ενδιαφέρουν. Και για να δούμε αν είναι μέγιστο ή ελάχιστο, θα υπολογίσουμε και τη δεύτερη παράγωγος σε αυτό το σημείο. Το τελείωσες, βέβαια. Βγαίνει λοιπόν ότι το εμβαδόν το μέγιστο είναι 54. Ωραία. Λοιπόν, ακριβώς έτσι. Γράψτε λοιπόν ότι η πρώτη παράγωγος βγαίνει το χ να είναι 3, από την πρώτη παράγωγος βγαίνει το χ να είναι 3. Η δεύτερη παράγωγος βγαίνει να είναι μίον 18, άρα είναι αρνητική. Άρα πράγματι είναι μέγιστο και αν κάνουμε αντικατάσταση βγαίνει ότι το ε στο χ ίσον 3 βγαίνει ίσον 54. Αυτή είναι η απάντηση. Λοιπόν, να δουλέψουμε και ένα ακόμα. Θα δουλέψουμε μόνο το στήσιμο, δεν θα κάνουμε τις πράξεις. Για μένα το στήσιμο του προβλήματος είναι το πιο ενδιαφέρον και όχι η ανάλυση. Προσέξτε τώρα, έχουμε ένα ενδιαφέρον πρόβλημα, το οποίο στη φυσική έχει αρκετές εφαρμογές. Θεωρούμε ότι εάν έχουμε μια επιφάνεια και εδώ έχουμε ένα σημείο στο οποίο έχουμε ένα σημείο, έχουμε μια επιφάνεια και εδώ έχουμε ένα σημείο στο οποίο ανακλάται μια δέσμη, μια ακτίνα έρχεται. Και ανακλάται, τη βάζουμε, θεωρούμε ότι η ακτίνα αυτή ξεκινάει, εδώ είναι ένα σύστημα στεταγμένων, εδώ είναι ένα άξινο στον χ. Θεωρήστε λοιπόν ότι μια ακτίνα έρχεται και ανακλάται σε αυτό το σημείο και μετά, λόγω της ανάκλασης, για να ακολουθήσει την ελάχιστη δυνατή πορεία, μετά από την ανάκλαση φτάνει σε αυτό το σημείο β. Άρα δηλαδή ξεκινάει από το σημείο α, ανακλάται στο σημείο γ και πάει στο σημείο β. Αυτή είναι η διαδρομή μιας ακτίνας, η οποία έφυγε από το πάνω μέσο, το ένα μέσο. Είναι δηλαδή η διάθλαση το κάνει αυτό. Η διάθλαση που θα τε μάθει στην οπτική στο λύκειο, λέει ότι αν ακολουθήσεις μια ακτίνα μέσα σε δύο υγρά τα οποία έχουν διαφορετική πυκνότητα, ακολουθεί μια τέτοια πορεία. Εκείνο που θέλω να βρούμε είναι αν αυτή η πορεία, πάρτε το αυτό και αν δεν ξέρω να θα το δουλέψετε και τις μέρες που είστε στο σπίτι, αλλά να το δουλέψετε μόνοι σας, μην ψάξετε να το βρείτε. Θέλουμε να βρούμε ποια θα είναι η σχέση των γωνιών αυτών, δηλαδή ξεκινάει και πέφτει με μια γωνία θ1, ποια θα είναι η θ2, ώστε η διαδρομή που θα ακολουθήσει η ακτίνα να είναι ελάχιστη. Δηλαδή πέστε ότι το φως για κάποιο λόγο προσπαθεί να πάει από το σημείο α στο β μετά την ανάκλαση που μπαίνει στο δεύτερο μέλος προσπαθώντας να ελαχιστοποιήσει το μήκος που θα διανύσει. Αυτό όχι δεν μας δίνει τίποτα, μας δίνει ότι θέλουμε αυτό το μήκος και αυτό το μήκος το άθροισμα δηλαδή το α γ στο τετράγωνο συν το γ β στο τετράγωνο να γίνει ελάχιστο. Άρα με τι συνθήκες στις γωνίες θ1, θ2, εδώ θα υπάρχουν θ1, θ2, η διαδρομή που ακολουθεί θέλουμε να είναι ελάχιστη. Ο δρόμος αυτός, το μήκος αυτό, συν αυτό το μήκος να είναι ελάχιστο. Τα θ1 και θ2 είναι ένας τρόπος να οργανώσετε το πρόβλημα, είναι αυτά που θα πιθανούνταν να μπουν μέσα στην άσκηση. Λοιπόν, θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την πορεία του φωτός από το σημείο α στο γ στο β. Θέλουμε δηλαδή το μήκος αυτής της διαδρομής που αποτελείται από το α γ και το α β είναι ελάχιστο. Φυσικά εδώ θα είναι το τε τετράγωνο, δηλαδή θα είναι το μήκος το τετράγωνο, οπότε αν ελαχιστοποιήσεις το υπόριζο θα βρίσκεται το ελάχιστο μήκος της διαδρομής. Η διαδρομή που θέλουμε να ακολουθήσει αυτό είναι το ερώτημα, αυτό είναι η υπόθεση που σας βάλω και θέλω να βρείτε πότε γίνεται ελάχιστη αυτή η διαδρομή. Θα ανακλαστεί σε ένα σημείο και θα φτάσει σε αυτό το σημείο β. Έστω λοιπόν α β γ η πορεία που ακολουθεί μια ακτίνα φωτός για να φτάσει από τη θέση α στη θέση γ, όπως το σχήμα. Εάν β1 και β2 είναι οι ταχύτες του φωτός στα δύο οπτικά μέσα, δηλαδή εδώ κινείται με β1 το φως και εδώ κινείται με β2, στα δύο μέσα το ένα είναι το γ και το άλλο είναι το γ. Αυτά είναι δύο διαφορετικά οπτικά μέσα στην οποία οι ταχύτες του φωτός είναι β1 και β2. Ότι η πορεία γίνεται ελάχιστη όταν το β1 δια β2 είναι ίσον με το ημύτωνο θ1 με το ημύτωνο θ2 και τα θ1 θ2 είναι αυτά που σας είχα γράψει εδώ. Γεβάζω πάλι την εκφώνηση. Στο α β γ η πορεία απολογολουθεί μια ακτίνα φωτός να φτάσει από τη θέση α στη θέση γ, όπως το σχήμα. Εάν β1 και β2 είναι οι ταχύτες του φωτός στα οπτικά μέσα 1 και 2, να δειχθεί ότι ο λόγος β1 δια β2 είναι ίσως με ημύτωνο θ1 δια θ2 και αυτός είναι ο νόμος διάθλασσης του φωτός. Αυτό για να το δείξουμε θα πρέπει να σας δώσω σαν ότι πρέπει να βρούμε αυτή τη διαδρομή που σ' άρχισα να σας δεράφω και να βρούμε πότε γίνεται ελάχιστη. Ο τρόπος για να βρείτε αυτόν τον νόμο της διάθλασσης είναι να ελαχιστοποιήσετε αυτή τη διαδρομή. Πώς θα το κάνουμε, πώς θα το στήσουμε το πρόβλημα και δεν θα το λύσουμε, θα το στήσουμε μόνο. Ποιος μίλησε. Να διαβάσω άλλη μια φορά την εκφώνηση. Λέω ότι έστω α β γ η πορεία που ακολουθεί μια ακτίνα φωτός για να φτάσει από τη θέση α στο γ. Αν β 1 συν β 2 είναι η ταχύτητας του φωτός στα οπτικά μέσα γ 1 και 2 να δείχθει ότι εάν ζητήσουμε σαν συνθήκη η πορεία που θα ακολουθήσει, δηλαδή η διαδρομή αυτή που θα ακολουθήσει έχει ελάχιστο μήκος, θα αποδείξετε εσείς ότι τότε θα ισχύει αυτή εδώ η σχέση. Αυτή εδώ η σχέση είναι το αποτέλεσμα της προσπάθειας να ελαχιστοποιήσετε το δρόμο. Με ακούτε. Οπότε πώς θα στήσουμε την συνάρτηση προηγουμένως, την στήσαμε για το εχ που πήραμε τα μέγιστα και λάχιστα. Αυτή τη διαδρομή μπορούμε να την οργανώσουμε με βάση. Να πάμε κατευθείαν με τη διαδρομή. Να δούμε λοιπόν ότι αυτές οι δύο πορείες, η διαδρομή δηλαδή που μας ενδιαφέρει, ποια θα είναι. Η α, ας πούμε η α, εάν βάλουμε ότι είναι 0α αυτό το σημείο, ξεκινάει αυτό το σημείο το ξέρουμε και φτάνει σε αυτό το σημείο. Αυτά τα δύο σημεία τα ξέρουμε. Εάν βάλουμε εδώ πέρα ένα x σαν άγνωστο, θα έχουμε ότι το αγ είναι τετραγωνική ρίζα του x τετράγωνο συν α τετράγωνο. Ενώ το βγ θα είναι τετραγωνική ρίζα του αβ και μετά το βγ. Το βγ θα είναι ίσον με το β-x τετράγωνο συν γ- τετράγωνο. Το γ που το έχουμε βάλει, το γ είναι ήδη συντεταγμένες αυτού του σημείου. Λοιπόν, σε αυτήν εδώ τη σχέση έχουμε αυτό το σημείο να είναι στο 0α, το ξέρουμε, αυτό το σημείο εδώ πέρα που φτάνει είναι το βγ, είναι συντεταγμένες του σημείου που φτάνει και αυτό είναι το β0. Αυτές τα σημεία τα δύο τα ξέραμε. Θέλουμε να πάμε από εδώ, εδώ. Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε, αυτές είναι οι δύο διαδρομές που μπορούμε να κάνουμε. Άρα το μήκος το συνολικό θα είναι, αν θέλετε να βρείτε το μήκος αυτό εδώ πέρα που βλέπαμε εδώ πέρα, θα είναι το άθεσμα αυτών των μήκων. Λοιπόν, αυτή λοιπόν είναι η διαδρομή που θα κάνουμε. Ωραία, μέχρι εδώ. Βλέπετε ότι μπήκε μέσα το χ, που είναι η άγνωστη παράμετρος, δηλαδή αυτό που θέλαμε να πετύχουμε σε αυτά τα προβλήματα είναι να συνδέσουμε αυτό που ζητάμε μέσα από μία άγνωστη παράμετρο χ. Ωραία, εκείνο που μπορούμε να υπολογίσουμε στη συνέχεια είναι, θα με συγχωρείστε γιατί μάλλον εγώ έχω μπερδέψει και θέλω τώρα πάλι να το αποθετήσω το πρόβλημα. Το αποτέλεσμα που βγάλαμε δεν ήταν με την ελάχιστη διαδρομή, είναι ο ελάχιστος χρόνος που κάνει, εντάξει τώρα το είπα, δεν έχουν νόημα οι ταχύτες, πολύ ωραία το είπατε. Άρα λοιπόν ο χρόνος που κάνει για να διανύσει το αβ για την ταχύτητα β1, συν το βγ με το β2 και αυτά είναι ίσα με το τετραγωνική ρίζα του χ τετράγωνο συν α, τετράγωνο δια β1. Ίσον συν το τετραγωνική ρίζα του β-χ τετράγωνο συν γ τετράγωνο δια β2. Τώρα αυτή είναι η συνάρτηση που θέλω να βράξουμε με τα μέγιστα και ελάχιστα και σαν αποτέλεσμα θέλω από αυτήν την συνάρτηση, έχει πολύ δουλειά από εδώ και κάτω, έχει πολύ δουλειά από εδώ και κάτω, το θέσιμο του προβλήματος λοιπόν είναι πανέρχομαι και διορθώνω και διορθώσετε και τις σημειώσεις, να διορθώσω αυτό που ήθελα να σας πω σαν πρόβλημα είναι ότι έχουμε μία ακτίνα φωτός, τώρα γράψτε. Έχουμε μία ακτίνα φωτός η οποία ταξιδεύει σε δύο διαφορετικά μέσα, η ταχύτητά της στο μέσον 1 είναι β1 και η ταχύτητά της στο μέσον 2 είναι β2. Τι ζητάμε, λέμε ότι αυτή η ακτίνα φωτή θα ξεκινήσει στο α θέλουμε να φτάσει στο γ, το οποίο έχεις τεταγμένες β και γ, αυτό το σημείο εκκίνησης και το σημείο του τέλους το ξέρουμε, έχει πολλούς τρόπους που μπορεί να φτάσει, μπορεί να πάει έτσι, μπορεί να πάει με πολλούς δρόμους, να ανακλαστήσει σε πολλά σημεία και να πάει σε αυτό το σημείο. Εμείς λοιπόν θέλουμε να βρούμε τον ελάχιστο χρόνο για να πάει από το α στο γ, να βρούμε ποια διαδρομή θα ακολουθήσει για να έχει τον ελάχιστο χρόνο να πάει από το α στο γ. Αν προσπαθείτε να ελαχιστοποιήσετε αυτόν τον χρόνο έτσι όπως τα γράψαμε θα βρείτε πίσω απίσω αυτή τη σχέση και θέλω να την βρείτε, αυτό δεν το έχουμε κάνει, είναι δουλειά που θα την κάνετε στο σπίτι. Άρα η διαδρομή που θα ακολουθήσει θα είναι αυτή εδώ, τα α και τα γ είναι σημεία συγκεκριμένα, τα β1 και τα β2 είναι γνωστά, οπότε θέλουμε να δείξετε ότι για να ελαχιστοποιηθεί ο χρόνος αυτός εδώ πρέπει να συμβαίνει αυτό και είναι ο νόμος των ημητών. Μέχρι εδώ είμαστε καλά, δεν έχουμε κάνει τις πράξεις να αποδείξουμε το τελευταίο, αυτό θα το κάνετε στο σπίτι. Δηλαδή θα πάρετε την παράγωγος προς χ του τ, του χρόνου, να ελαχιστοποιήσετε αυτή την παράγωγο και να βρείτε σε ποια σημεία έχει ελάχιστη, ή ο χρόνος γίνεται ελάχιστος. Εάν προσπαθείτε να ελαχιστοποιήσετε το χρόνο σε αυτή τη διαδρομή, να πάει δηλαδή από το α στο γ θα βρείτε πίσω πίσω το νόμο των ημητών στην οπτική. Αυτό είναι μια δουλειά την οποία θα την κάνετε και θα την τελειώσουμε την ερχόμενη Παρασκευή, αύριο δεν θα κάνουμε μάθημα, θα πάμε για την Παρασκευή και στην Παρασκευή να σας παρακαλέσω να μην το χάσετε το μάθημα, γιατί ενώ μέχρι εδώ μιλάμε για γνωστά σας πράγματα θα μπούμε στα πολυόνιμα Taylor και θα έχετε χρειάζει να είστε εδώ. |
