| Ακολουθίες και σειρές. Κριτήρια σύγκλισης, υπολογισμός ακτίνας σύγκλισης.: Λοιπόν, να ξεκινήσουμε με πράγματα που τα ξέρετε και να πούμε ότι μια ακολουθία είναι μια σειρά από αριθμούς, όπως είπαμε, η οποία μπορεί να είναι εδώ πέρα μια πολύ απλή ακολουθία έτσι για να ξεκινήσουμε και τελικά εμφανίζεται και ο νιωστός όρος, ο οποίος νιωστός όρος μας δίνει το στίγμα το πώς εξελίσσεται αυτή η ακολουθία. Άρα δηλαδή, αυτός ο νιωστός όρος βλέπετε από εδώ πέρα, τον γράφουμε χωριστά, το νιωστό όρο και είναι το 1 διανείς. Αυτός λοιπόν ορίζει τη μορφή της ακολουθίας. Τώρα, ή σας δίνει κάποιος... Μπορώ να έχω την προσοχή σας. Λοιπόν, ή σας δίνει κάποιος τον νιωστό όρο και λέει ότι το ν εξελίσσεται από το 1 μέχρι το άπειρο, ή σας δίνει την ακολουθία, δηλαδή τη σειρά των αριθμών και εσείς βγάζετε αμέσως συμπέρασμα, όχι αμέσως, ή αν είναι δύσκολο προσπαθείτε να δείτε ποιος είναι ο νιωστός όρος, πώς εξελίσατε αυτή η ακολουθία ώστε να βγάλετε τον νιωστό όρο. Με λίγα λόγια, για να έχουμε εμείς μια ακολουθία θα ορίζεται λοιπόν από τον νιωστό όρο, την αγγύλη, τον νιωστό όρο, το ν αγγύλη, ν ίσον 1 μέχρι ν ίσον άπειρο. Οπότε αυτός είναι ορισμός της ακολουθίας, την οποία την ξέρετε και ας την επαναλάβουμε, να δεν χάνουμε τίποτα. Τώρα, αυτές οι ακολουθίες, τι μας ζητάνε μαζί αυτές τις ακολουθίες, μας ζητάνε σε κάθε μία από αυτές, εάν η ακολουθία, το πρώτο που μας ενδιαφέρει, εάν η ακολουθία αυτή έχει όριο και αν συγκλίνει. Αυτό είναι το πρώτο πράγμα που θα ζητήσουμε και στα σχήματα σας έχουμε βάλει, αυτό πρέπει να επεξεργαστείτε εσείς. Οπότε το πρώτο που μας ενδιαφέρει λοιπόν είναι να δούμε πώς εξελίσεται αυτή η ακολουθία. Παραδείγματος χάρη, η ακολουθία που είναι 1, 1 συν ν, η οποία είναι από ν ίσον 1, από ν ίσον 1 μέχρι το ν ίσον άπειρο, αυτή η ακολουθία πραγματικά μας δίνει ένα σένταπο αριθμούς, η οποία η ακολουθία αυτή θα είναι 1 via 1 συν 1, μετά θα ο δεύτερος όρος θα είναι 1 via 2 συν 1 κτλ κτλ κτλ κτλ και θα φτάνει στο 1 ν συν 1. Λοιπόν αυτή η ακολουθία επειδή το ν πάει προς το άπειρο, βλέπετε ότι συνεχώς οι όροι μικραίνουν και προσεγγίζουν κάποιον αριθμό, το οποίο το βλέπουμε ποιος είναι είχαμε πει ότι διαιρώντας το ν, αριθμητή και παρονομαστή με το ν σε αυτήν εδώ την ακολουθία η οποία είναι αυτή εδώ θα μας δώσει το όριο του α ν το οποίο είναι η μονάδα και πως βγαίνει διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με το ν ή χρησιμοποιώντας τον κανόνα τον τελοπιτάλ υπάρχουν ακολουθίες οι οποίες όμως δεν μπορεί να συγκλίνουν και αυτές οι ακολουθίες πραγματικά, η ακολουθία πλειν ένα εις την ν είναι μια ακολουθία η οποία δεν συγκλίνει πουθενά έτσι, η πλειν ένα εις την ν δεν συγκλίνει πουθενά άρα λοιπόν έχουμε και ακολουθίες οι οποίες αποκλίνουν έτσι, converts και diverts είναι οι αγγλικοί όροι γι' αυτές τις σχέσεις τώρα, υπάρχουν και ακολουθίες οι οποίες για παραδείγμα να σας γράψω μία να μου πείτε εσείς τι πιστεύετε ότι θα είναι, είναι μια ακολουθία που ο νιωστός της όρος είναι πλειν ένα εις την ν μειον ένα και έχει ν ένα διανεί τετράγωνο αυτή η ακολουθία κατά τη γνώμη σας πέστε μου αν αυτή η ακολουθία από ν ίσον ένα μέχρι ν ίσον άπειρο την επαναλαμβάνω ο νιωστός της όρος είναι παρένθεση παρένθεση πλειν ένα εις την ν μειον ένα ένα διανεί τετράγωνο αυτή η ακολουθία τι νομίζετε ότι κάνει και πως νομίζετε ότι θα συγκλίνει πως τη βλέπετε να εξελίσετε αυτή η ακολουθία ακούω τι γνώμη σας συγκλίνει, τι πες αργήδη ο νιωστός της όρος είναι παρένθεση πλειν ένα εις την ν μειον ένα ένα διανεί τετράγωνο ακούω κομμάτι σήκωσε το χέρι και πες λογικά θα συγκλίνει πως ν μειον ένα αν εξελίσει έναν άρχιος υπηρετός θα δίνει αντίστοιχα και στην μέσο μάξα συμφωνείτε με αυτό μάει διαφωνείτε αργήδη τι λες εσύ εγώ νομίζω πως θα συγκλίνει στο μηδέν αφού έχει έναν διανεί τετράγωνο και όταν τον τυμστάπερε το αυτό θα γίνεται μηδέν ναι μεν θα εάν ήταν έναν διανείθωμα ή ήταν έναν διανεί συν ένα επειδή αυτό θα είχε μονάδα ας πούμε ξέρω εγώ άλλες αλλακτικές αν είχαμε το πλειν ένα αν είχαμε το πλειν ένα εις την ν μειον ένα επει ν διανεί συν ένα αυτό που λέγαμε προηγουμένως αυτός είναι ο νιωστός όρος το ν διανεί συν ένα πηγαίνει βλέπεις ότι πηγαίνει στο στη μονάδα οπότε θα είχαμε μία θα είχαμε εδώ είναι το μηδέν στο μέσον θα είχαμε μία φορά θα ήταν στο ένα μία φορά θα ήταν στο πλειν ένα και θα είχαμε μία μεταπίδηση από το ένα στο άλλο οπότε αυτό δεν συγκλίνει σίγουρα όπως λέει ο Αργύρης αν το ν το ένα διανεί τετράγωνο ν αυτός ο όρος εκεί ο νιωστός μικραίνει συνεχώς μπορεί να κάνει αυτό το dancing που έλεγες και συ να πηδάει από μια μεριά στην άλλη με το πλειν αλλά συνεχώς πλησιάζει στο μηδέν άρα είναι μηδέν με κάτι που αλλάζει μεν πρόσημο αλλά συγκλίνει συμφωνείτε τώρα κοιτάξτε να μου πείτε και κάποιο άλλο ήθελα να εφαρμόσετε σε αυτό να δείτε αν μπορείτε να εφαρμόσετε να σας δώσω ξεκινήσαμε αλλά θα το διακόψουμε μια στιγμή να βρω λοιπόν μέχρι εδώ έχουμε καμιά απορία όχι για να δούμε μια ακολουθία και να σας πω ότι το κριτήριο που έχουμε χρησιμοποιήσει στα όρια του σάντουιτς δεν ξέρω τι άλλο όνομα θέλετε να βρείτε εάν μπορείτε να το εφαρμόσετε σε αυτήν εδώ την ακολουθία την οποία σας την λέω φωναχτά είναι η ακολουθία που έχει νη παραγοντικό στον αριθμητή νη στην νη που το νη να είναι από ένα μέχρι το άπειρο αυτό εδώ πέρα μπορείτε να το οργανώσετε έτσι ώστε να χρησιμοποιήσετε το κριτήριο το κριτήριο που χρησιμοποιήσαμε στις συναντήσεις ότι έχεις μια συναντήση ευτυχή και την κλίνεις από τα πάνω και από τα κάτω με την τζ του χ και την αρ του χ και βρίσκεις ότι αυτές μπορεί να συγκλίνουν στο μηδέν οπότε θα αναγκάσουν και τη μεσαία να συγκλίνει σε κάποιον αριθμό το θυμάστε αυτό το κριτήριο έτσι πως το λέγαμε πως παρομβολής μπορείτε να το εφαρμόσετε εδώ μπορείτε να το εφαρμόσετε σε αυτήν εδώ τη σχέση να βρείτε δηλαδή έναν τρόπο εγώ σας λέω ποιο κριτήριο πρέπει να χρησιμοποιήσετε αλλά θέλω να μου το δείξετε εσείς έχω λοιπόν λέει ο ενιωστός άνθρωπος λέει αγγείλη νη παραγωτικό στον αριθμητή νη εις την νη στον παρονομαστή η αγγείλη κλείνει από νη εις τον ένα μέχρι νη εις τον άπειρο αυτό με το κριτήριο που της παρεμβολής πως θα το κάνουμε μπορείτε λοιπόν να βοηθήσω εγώ λοιπόν για να μην χάσουμε άπειρο χρόνο αυτό εδώ πέρα αυτό μπορούμε να το γράψουμε στον αριθμητή λοιπόν θα είναι ένα επί δύο επί τρία επί επί νη και ο παρονομαστής θα έχει νη επί νη επί νη εντάξει οπότε σίγουρα είπαμε το μηδέν είναι από κάτω μπορώ να το γράψω λοιπόν ένα διανύ και ένα διανύ και μέσα σε μια παρένθεση να γράψω το δύο διανύ το τρία διανύ και στο τέλος θα έχω το ν διανύ οπότε αυτό εγώ λέω ότι είναι μικρότερο το ένα διανύ δηλαδή οτιδήποτε είναι μέσα στην παρένθεση είναι ουσιαστικά μεγαλύτερο γιατί βλέπετε αυτό το ν είναι μεγάλος αριθμός οπότε αυτό εδώ πέρα έχω βγάλει το ένα διανύ από έξω και έχω αφήσει μέσα το δύο διανύ το τρία διανύ και τα λοιπά και το ν διανύ αυτό εδώ πέρα το αφαιρέσω αυτό θα το γράψω λοιπόν ότι το ζητούμενο το δικό μου το ένα επί δύο επί τρία επί νη διανύ νη φορές γράφοντάς το έτσι αυτό εδώ πέρα όλο είναι μικρότερο από το ένα διανύ το βλέπετε γιατί το ένα διανύ είναι μικρός αριθμός μικρότερος της μονάδος όλα αυτά είναι μικρότερα της μονάδος οπότε πολλαπλασιάζω το ένα διανύ με κάτι μικρότερο της μονάδος αν αφαιρέσω αυτό το μικρότερο της μονάδος θα μου βγει το ένα διανύ βλέποντας ότι από τη μία μηδέν και από την άλλη το ένα διανύ και έχω φράξει αυτή στη μέση αυτό πάει στο μηδέν αυτό πάει στο μηδέν άρα το όριο αυτής της ακολουθίας που σας ζήτησα είναι το μηδέν το βλέπετε ή δεν το βλέπετε οριστέ πέστε μου πάλι λέω ότι αν το γράψω αναλυτικά αυτό που μου ζητούσε θα έχεις τον αριθμητή μη φορές το ένα επί δύο επί τρία επί νη σωστά και μη επί νη επί νη επί νη στον παρανομαστή το σπάζω αυτό και το φτιάχνω μη κλάσματα ωραία και έχω ένα διανύ το πρώτο κλάσμα το δεύτερο κλάσμα είναι δύο διανύ τρία διανύ τρία νη διανύ και κλείνει η παρένθεση τώρα το ένα διανύ είναι μπροστά αυτά όμως που έχω όλα μέσα στην παρένθεση που είναι το δύο διανύ το τρία διανύ όλα αυτά δεν είναι μικρότερα της μονάδος διότι το νη είναι μεγαλύτερο του δύο άρα πολλαπλασιάζεται από κάτι αυτό που είναι μέσα στην αγγείλη είναι μικρότερο της μονάδος μπορώ να το διώξω αυτό που έχω στην παρένθεση εδώ που είναι μικρότερο της μονάδος και να βάλω μεγαλύτερο το ένα διανύ γιατί έδιωξα κάτι που το πολλαπλασιάζεται να το κάνει μικρότερο οραία άρα το μηδέν το έχω φράξει επειδή είναι θετικά από κάτω έχω το μηδέν μεγαλύτερο από αυτό που ζητάω μικρότερο από το ένα διανύ το ένα διανύ πάει στο μηδέν το μηδέν είναι από την άλλη μεριά άρα το όριο είναι το μηδέν το ίσον από εδώ γιατί πότε μπορεί να είναι ίσον εγώ νομίζω ότι είναι μόνο έχω την εντύπωση ναι είναι και ίσον έχεις δίκιο ναι ναι έχεις δίκιο μπορεί να είναι και ίσον έχεις δίκιο ναι πες μου όταν το ν πάει στο άπειρο αυτή είναι η συνθήκη στις ακολουθίες αυτό έχουμε δηλαδή το ν πάει από το μηδέν από το ένα μέχρι το άπειρο έτσι ορίζονται οι ακολουθίες άρα το όριο μιας ακολουθίας το όριο που ψάχνουμε να βρούμε είναι ότι το ΑΝ θεωρώντας ότι το ν θα πάει στο άπειρο θα είναι συγκεκριμένο θα είναι κάποιο L που είναι το όριο της ακολουθίας μια ακολουθία που έχει τέτοια όριο δηλαδή προσεγγίζει όσο το ν γίνεται μεγαλύτερο προσεγγίζει ένα συγκεκριμένο αριθμό λέμε ότι το έχει όριο η ακολουθία και αυτό είναι το L συγκλίνει στο L η άλλη έκφραση δηλαδή για το όριο είναι συγκλίνει στο L η ακολουθία Λοιπόν έχουμε μια ομάδα ακολουθιών που είναι αρκετά πιο ενδιαφέρουσα και εύκολη και αν θέλουμε να αποφασίσουμε μαζί μια ακολουθία και θέλουμε να αποφασίσουμε ότι αυτή η ακολουθία έχει ένα από τα εξής χαρακτηριστικά Μια ακολουθία μπορούμε να λέμε ότι είναι μονότονη όταν η ακολουθία είναι η οποία μπορεί να έχει να αυξάνει συνεχώς δηλαδή να μην είναι ακολουθία όπως είπαμε αΝ αΝ το ν να είναι από ί1 μέχρι το ν να πηγαίνει στο άπειρο Να λοιπόν μια ακολουθία και μας ζητάνε μας να δούμε πως συμπεριφέρονται οι όροι αυτής της ακολουθίας μια περίπτωση θα είναι ο α1 ο πρώτος όρος να είναι μικρότερος από τον α2 να είναι μικρότερος από τον α3 και τα λοιπά μικρότερος από τον αΝ δηλαδή όσο πηγαίνουμε η ακολουθία να μεγαλώνουν οι όροι οπότε είναι μονότονα αυξάνουν οι όροι της ακολουθίας αλλά συστηματικά δηλαδή βλέπετε ότι κανένας όρος δεν σταματάει ή δεν είναι ίση μερική ή δεν αλλάζει διεύθυνση η άλλη περίπτωση είναι απλώς να αν βάλουμε και το ίσον στις ανισότητες μεγαλύτερο ίσον το α2 μεγαλύτερο ίσον το α3 είναι και αυτή μια με τα ίσον δηλαδή σε αυτή την περίπτωση δεν είναι μονότονα αυξάνει αλλά είναι μια απλώς αυξάνει η ακολουθία αυξάνουν οι αριθμοί αλλά επιτρέπεται μερικοί από αυτούς να είναι και ίση μεταξύ τους το αντίστροφο θα ήταν να πει πάμε ότι ο α1 είναι μικρότερος ο α1 είναι μικρότερος ο α2 είναι μικρότερος από τον α1 και μικρότερος ο α3 δηλαδή όσο προχωράμε οι όροι της ακολουθίας γίνονται όλο και πιο μικροί άρα έχουμε μια αυστηρά μια ακολουθία που αυστηρά μικραίνουν οι όροι είναι πραγματικά μικροί δεν υπάρχει το ίσον γιατί απλώς αν βάλουμε και το ίσον θα είναι μικραίνει αλλά δεν είναι αυστηρά να μικραίνουν δηλαδή να έχουν μια αυστηρή συσχέτηση αυτοί λοιπόν είναι μονότοινες ακολουθίες που είτε οι όροι τους όσο πάμε προς τα πάνω προς τους μεγαλύτερα ν μεγαλώνουν συστηματικά είμαι ίσον άρα είναι μια ακολουθία η οποία έχει αυστηρά οι όροι της μεγαλώνουν όσο μεγαλώνει το ν και η άλλη είναι μια ακολουθία η οποία οι όροι μικραίνουν όσο μεγαλώνει το ν έτσι μικραίνουν ή είναι ίσιας ανάλογα αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε τη λέξη αν είναι αυστηρά μονότονοι ή είναι απλώς μονότονοι αύξηση ή ελάττωση εντάξει αυτές είναι λοιπόν οι μονότονες ακολουθίες μονότονοι οπότε για να δούμε τώρα εμείς πολλές φορές το βλέπεις με το μάτι ότι η ακολουθία είναι μονότονη προς τη μία διεύθυνση προς την άλλη αλλά χρειαζόμαστε και πολλές φορές μερικά κριτήρια γιατί δεν είναι τόσο εύκολο να αποφασίσεις προς τα που πάει μια ακολουθία ποια είναι αυτά τα κριτήρια που χρησιμοποιούμε για να αποφασίσουμε αν η ακολουθία είναι μονότονη και αν είναι μονότονη που αυξάνει ή είναι μονότονη που ελαττώνεται έτσι για να αποφασίσουμε τη μονότονια της αργή ρε ίση ρώτηση λογικά δεν μπορούμε να συγκρίνουμε έναν τυχαίο όρο αλφανή με έναν... ναι αυτό αυτό θα κάνουμε αυτό είναι κριτήριο που το είπες τώρα δηλαδή ένα κριτήριο θα είναι να συγκρίνουμε τη διαφορά του αλφανή συν ένα μειον αλφανή να βγάλουμε αυτή τη διαφορά τι είναι και να αποφασίσουμε με βάση αυτό και να κάνετε ένα παράδειγμα για να το δείξετε και εσείς πάρτε μια ακολουθία την αλφανή η οποία η αλφανή έχει όρο το γνωστό μας το νοι συν ένα για να είναι απλό και να το εξηλίξουμε και χρησιμοποιήστε αυτό το κριτήριο της σύγκρισης αλφανή συν ένα μειον αλφανή να πείτε αν αυτή η ακολουθία με βάση αυτό το κριτήριο είναι ποιας μορφής είναι δηλαδή είναι αυστηρά μεγαλώνουν ή μικραίνουν οι όροι ανάλογα τι κάνουν οπότε συγκρίνουμε όπως είπατε προηγουμένως συγκρίνουμε αυτούς τους δύο όρους αυτό είναι ένα κριτήριο και για να έχουμε μια άσκηση απάνω σε αυτό σε κάτι πολύ απλό ας το δοκιμάσουμε στο αλφανή νοι συν ένα δηλαδή τι θα κάνετε εφαρμόστε σε αυτή την ακολουθία που λέει νοι δια νοι συν ένα εφαρμόστε αυτό το κριτήριο να κάνετε τις πράξεις μέχρι τέλους να δείτε εάν βγαίνει αυτό τι βγαίνει εδώ θετικό θετικό ίσον αργητικό δηλαδή τι πρόσημο βγάζει αυτή η διαφορά ανάλογα με το πρόσημο που θα βγάλουν δύο τυχαίοι όροι θα αποφασίσουμε ότι η σειρά είναι μονότονα μεγαλώνει ή μονότονα μικραίνει ή απλώς αυστηρά μικραίνει ή αυστηρά μεγαλώνει κτλ. το αυστηρά είναι ότι έχει ανισότητα μόνο και δεν επιτρέπεται την ισότητα αυτό είναι το κριτήριο λοιπόν για εφαρμόστε το σε κάτι απλό να δούμε αυτή η διαφορά ΑΝΣΝΑ-ΑΝΙ την ακολουθία που είναι ΑΝΙΙΝΑΝΙΝΑΝΙΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝΑΝ μου αρέσε. 40 4 4,2 40 4,2 4, il 저 ποιό είναι 4 ποιό, Το άλλο κριτήριο που θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε, αν αυτό δεν μας στάνει ιδιαίτερα βολικό για τη μονοτονία πάλι, το δεύτερο κριτήριο θα ήταν να πάρουμε το λόγο δύο συνεχόμενων όρων. Δηλαδή να υπολογίσουμε το ανή συν ένα δυά ανή. Και να δούμε αυτό πώς κινείται και για να μπορούμε να δούμε το λόγο δύο συνεχόμενων όρων. Και να δούμε αυτό πώς κινείται και για να μπορούμε να κάνουμε ένα παράδειγμα μιας ακολουθίας τέτοιας. Είναι το ν δια τρία ν συν δύο. Να μια ακολουθία που θέλουμε να πάρουμε το λόγο δύο συνεχόμενων όρων, για να δούμε τι πρόσημο θα βγάλουν αυτά οι όροι. Οπότε πάρτε λοιπόν μια ακολουθία που είναι για να εφαρμόσετε αυτό με το λόγο, το κριτήριο του λόγου δηλαδή έτσι λέγεται. Για να βρούμε τη μονοτονία μιας ακολουθίας. Χρησιμοποιήστε την ακολουθία που λέει ν στον αριθμητή διά τρία ν συν δύο. Το ν πηγαίνει από το ένα μέχρι το άπειρο. Για λοιπόν δοκιμάστε αυτό το κριτήριο του λόγου, όχι της διαφοράς που είχαμε προηγουμένους. Αυτό εδώ πέρα και με αυτό το παράδειγμα να δούμε πραγματικά αυτή η σειρά τι κάνει με βάση το κριτήριο. Διαλέγουμε επίκειδες απλές, για να μην φάμε πολύ χρόνο, διαλέγουμε απλές εκφράσεις. Και θέλω να δούμε αν αυτό θα το βγάλετε μεγαλύτερο ή ίσον του ένα, ή μικρότερο ίσον του ένα, για να αποφασίσουμε αν η σειρά είναι μονότονη και πώς εξελίσσεται. Λοιπόν για πέστε μου λοιπόν πού καταλήξατε, πώς βγάλατε το τελικό μη μου λέτε της πράξης, το αΝΣΕΝΑΝ, με τι το βγάλατε στο τέλος ίσον. Ένας από τους δύο, πέστε μου εσείς. Τρίανι τετράγωνο. Τρίανι τετράγωνο. Σιν πέντε νι, συν δύο. Σιν πέντε νι, συν δύο. Τρίανι τετράγωνο, συν πέντε νι. Οπότε είναι φανερό ότι είναι μεγαλύτερο της μονάδος και αυτό είναι όλο. Ευχαριστώ πάρα πολύ. Προχωράμε τώρα σε ένα τρίτο και τελευταίο κριτήριο που είναι να υπολογίσουμε την παράογο. Την παράογο του αΝΗ. Δηλαδή και να δούμε πραγματικά αν είναι με την παράογο να δούμε αν είναι μονότονα αυξάνι, μονότονα μικραίνι, τι κάνει μια συγκεκριμένη ακολουθία. Άρα λοιπόν παίρνουμε την παράογο να δώσω μια ακολουθία συγκεκριμένη. Είναι τρία νι διά δύο νι συν ένα. Και έχουμε από ν ισον ένα μέχρι ν ισον άπειρο. Είναι τρία νι στον αριθμητή δύο νι συν ένα και αυτή μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο της παραγόγου. Έτσι η ακολουθία είναι τρία νι διά δύο νι συν ένα και θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο της παραγόγου. Εύκολο είναι και αυτό, οπότε δεν θα σας ζητήσω να σηκώσετε το πίνακα, αλλά μην το κάνουμε αυτό συνήθεια, γιατί θα αναγκάζομαι εγώ να γράφω αυτά που έχετε κάνει εσείς και μερικές φορές είναι δύσκολο. Λοιπόν έχουμε λοιπόν την ακολουθία είναι τρία νι διά δύο νι συν ένα, είναι μια εύκολη ακολουθία. Παίρνουμε την παράγοβο για να δούμε εάν είναι θετική ή αρνητική για να βρούμε τη μονατονία. Ποιος την έχει κάνει, θα μου την πεις. Λοιπόν τι βγάζει το αποτέλεσμα της παραγόγου, άρα παίρνουμε λοιπόν το τρία νι διά δύο νι συν ένα και το παραγογίζουμε όλο αυτό. Και αυτό βγάζει σαν αποτέλεσμα τρία διά δύο νι συν ένα και όλο το λετράγωνο. Βγάζει τρία ή τρια νι? Τρία. Τρία, ok. Άρα λοιπόν αυτό είναι θετικό σίγουρα, οπότε βλέπουμε πραγματικά ότι αυτή είναι μια αύξηση ακολουθίας. Ναι Αργύρη. Κατά πόσο μας έχουμε αρχίσει και να παραγωγίσουμε σε μια ακολουθία, δηλαδή ουσιαστικά αυτή δεν παίρνει τιμές ας πούμε στο νι για μόνο, για κέντρες αίθμου. Άρα ουσιαστικά είναι μόνο μια τιμή. Πώς πάμε στο τέλος μας με τένι. Κοίταξε αυτό που συνδέει, που συμβαίνει είναι ότι ό,τι θα συμβεί αν έχω αυτά τα νι σημεία σε αυτή την ακολουθία και θα σκεφτείτε ότι έχω από εδώ τις τιμές της ακολουθίας, το α νι δηλαδή και εδώ το νι. Φτιάξτε λοιπόν μία δύο άξονες, στο μεγάλο άξονα να έχω το νι, στον άξονα χ να έχω τα νι που είναι ένα, δύο, τρία και τα λοιπά και στον άλλο άξονα είναι οι τιμές της ακολουθίας. Συμφωνούμε? Τότε αυτά θα είναι σημεία. Έτσι οπότε φανταστείτε αυτά τα σημεία δεν μου απαγορεύει κανένας να τα ενώσω εγώ με μία ομαλή καμπύλη. Καταλάβατε τι λέω, δηλαδή ουσιαστικά η συμπεριφορά τους είναι σαν να συμμετέχουν, σαν σημεία, αυτό θα χρησιμοποιήσουμε και αργότερα σήμερα για τη σύγκληση. Άρα λοιπόν όταν έχω μια ακολουθία και τη ζωγραφήσω στον πίναγα, ακολουθεί τη διακριτή συμπεριφορά μιας συνάτης. Δηλαδή παρόλο ότι έχω τις τιμές 1, 2, 3 και τα λοιπά, αν λοιπόν πάρω τις τιμές της ακολουθίας το α1 ας πούμε βρίσκω την τιμή, ο άξονας ψ είναι το α1. Άρα στο 1 λοιπόν είναι η τιμή της ακολουθίας. Το 1 έχω την τιμή α1. Νάτη ένα σημείο. Στους κατεσιανές δενταγμένες με χ ίσον 1 το α1 μου δίνει ένα σημείο. Το α2 μου δίνει ένα δεύτερο σημείο. Νάτη. Το α3 ένα άλλο σημείο και το α4 ένα άλλο σημείο. Άρα λοιπόν αν εγώ η συμπεριφορά της ακολουθίας 1 διανύει τετράγωνο είναι αντίστοιχη της 1 διαχύ τετράγωνο. Άρα λοιπόν μπορώ να ενώσω αυτά τα σημεία και να θεωρήσω ότι ακολουθούν το 1 διαχύ. Άρα μπορώ να πάρω παραγώγους για να δω πραγματικά τη συμπεριφορά τους. Λέω φυσικά μπορώ να κάνω ό,τι θέλω αλλά για να διαφυγοληθώ στην μορφή, στον τρόπο με τον οποίο εξελίσσονται. Δηλαδή, το να ενώσω με ευθείας είναι σαν να θέλω να οδηγήσω τον εαυτό μου στον τείχο και να μην κάνω τίποτα. Κοιτάξτε, μια διευκόλυνση είναι για να δούμε το ρυθμό με τον οποίο κινούνται οι τιμές. Οι τιμές είναι αυθαίρετο με την έννοια ότι δεν παραβιάζει την συμπεριφορά τους. Με διευκολύνει εμένα να τα ενώσω αυτά τα σημεία και να δω τον τρόπο με τον οποίο είναι και ένας τρόπος για να παρακολουθήσω πώς εξελίσσονται είναι να τα ενώσω με μία καμπύλη ομαλή και αυτή η συμπεριφορά αυτής της καμπύλης, διότι δεν είπαμε προηγουμένως για να βρούμε το όριο της ακολουθίας και να χρησιμοποιούμε τον καμπυλοπιτάλ. Τι νόημα έχει ο καμπυλοπιτάλ σε ακέραιους αριθμούς. Αυτό που κάνουμε είναι ότι πολλές φορές μπορούμε να μεταφέρουμε το τι συμβαίνει στην ακολουθία συμβαίνει κάτι παρόμοιο και στη συνάρτηση. Άρα λοιπόν μαθαίνοντας κάτι για τη συνάρτηση μαθαίνουμε κάτι για την ακολουθία. Αυτό θα το χρησιμοποιήσουμε κατά κόρων. Δική μας αυθερεσία για να διαυκολυνθούμε. Αυτή την αυθερεσία σας την είχα πει με χίλιους τρόπους και σας έχω προσπαθήσει να σας βάλω σε αυτό το κλίμα. Ότι αυτή η λεγόμενη αυθερεσία που φαίνεται ότι θα μπορούσε δηλαδή να μην βγάλω αποτέλεσμα αν τα ένωνα με ευθείας όπως είπες. Αυτό δεν θα ήταν κακή αυθερεσία διότι δεν μου έδινε καμία πληροφορία. Αυτή που κάνω εγώ όμως με διευκολία είναι να βγάλω ένα αποτέλεσμα και είναι μια καλή προσέγγιση της κατάστασης η οποία δεν παραβιάζει και τίποτα. Καταλάβατε. Άρα δεν ξέρω αν σας απάντησα αλλά θέλω να πω ότι είναι συνηθισμένο να πάρω μια συνάντηση ευτουχή και η συμπεριφορά μια συμπεριφορά. Τουλάχιστον όταν είναι ομαλή συνάντηση μοιάζει πάρα πολύ με μια ακολουθία σημείων που ακολουθεί την ίδια συναρτησιακή συμπεριφορά. Δηλαδή το 1 δια ν τετράγωνο με το 1 δια χ τετράγωνο έχουν την ίδια συμπεριφορά και τα δύο αυξάνονται όπως αλλάζει το σημείο. Έχουμε μια διαφορά στην ν τετράγωνο. Συμφωνήστε με αυτό ήθελα να γράψω. Το α ν ν τετράγωνο έχει την αντίστοιχη συμπεριφορά της συνάντησης ευτουχή ίσον χ τετράγωνο. Αυτά τα δύο συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο. Άρα αυτό το βλέπω συνεχώς ότι οι συναρτήσεις και οι διακριτές τιμές στην αρτησιακά έχουν την ίδια συμπεριφορά. Άρα μπορώ να τις χρησιμοποιήσω να βάλω παράγωγο, μπορώ να πάρω τον κανόνα του τυλοπιτάλ για τα όρια. Οτιδήποτε θέλω κάνοντας ένα μετασχηματισμό της σειράς της ακολουθίας σε συνάντηση. Αυτό ελεύθερα κάνω χωρίς κανένα πρόβλημα. Λοιπόν για να κλείσουμε αυτή την ώρα θα θέλα να σας δείξω μια σειρά που έχει ενδιαφέρον το οποίο αν βέβαια σας πάρει χρόνο θα βγούμε διάλειμμα και θα συνεχίσουμε μετά. Κοιτάξτε μια ακολουθία η οποία έχει ενδιαφέροντα συμπεριφορά. Η ακολουθία έχει 10 στη νη παραγωτικό και το νη πηγαίνει από το 1 μέχρι το άπειρο. Σε αυτή τη σειρά παρατηρούμε κάτι ενδιαφέρον. Αν πάρετε τους πρώτους όρους μέχρι τον 8ο όρο αυτή η σειρά πηγαίνει αυξάνοντας. Είναι αυξάνοντας οι όροι δηλαδή αν πάρετε το λόγο του α'Ν αν θέλετε κάντε το αυτό προσπαθήστε σε αυτή τη σειρά να βρείτε το λόγο του α'Ν συν 1 διά α'Ν και βγάλτε τα συμπεράσματα να δούμε τι θα συμβεί. Τι συμπεριφορά έχει αυτός ο λόγος για αυτή την ακολουθία. Η ακολουθία μου είναι 10 στη νη δια νη παραγωτικό από νη 1 έως άπειρο. Αυτή είναι η ακολουθία. Δοκιμάστε λοιπόν το λόγο για αυτή την ακολουθία να δούμε τι συμπεράσματα βγάζουμε για αυτήν. Θομά πες μας εσύ βάζουμε. Πες μας. Ναι και τι έβγαλες. Άρα ο λόγος βγάζει 10 προσινεί συν 1 και αυτό τι συμπεράσμα σας λέει. Γιατί με αριθμούς μικρότερους του 9 η ακολουθία αυξάνει. Μέχρι το 9 η ακολουθία αυξάνει. Μετά στο 9 γίνεται μονάδα. Έτσι όταν το 9 γίνει μονάδα και μετά μικραίνει. Άρα αν θέλετε να πείτε κάτι χωρίς να σας το πω εγώ πες το μου εσείς τι αισθάνεστε. Ή αν θέλετε να πείτε τι κάνει μια ακολουθία που σε ένα αρχικό κομμάτι της συμπεριφέρεται με αύξερον τρόπο. Μετά σταματάει και αρχίζει να πηγαίνει ευθύμουσα. Ποιος χαρακτηρίζει τη συμπερεφορά αυτής της ακολουθίας. Οι πρώτοι αρχικοί όροι που είναι αύξοντες ή οι τελευταίοι. Κατά τη γνώμη σας ποιο είναι να χτυπούν. Οι μεγάλοι όροι ή οι μικροί όροι θα χαρακτηρίσουν για να απαντήσετε αν η σειρά είναι αύξουσα η ακολουθία είναι αύξουσα ή θύμουσα. Τι λέτε. Πες το μου. Η ακολουθία χαρακτηρίζεται από τους πολύ μεγάλους όρους. Αυτοί θα χαρακτηρίσουν τη συμπεριφορά τους. Δηλαδή οι μικροί όροι δεν θα παίξουν σημαντικό ρόλο. Άρα λοιπόν αν μας δώσουν μια ακολουθία η οποία έχει μια μεταβατική φάση στην αρχή αυτή δεν θα χαρακτηρίσει την ακολουθία. Οι μεγάλοι όροι θα είναι αυτοί που θα χαρακτηρίσουν γιατί ούτε να είναι θα είναι λίγοι αυτοί οι όροι οι οποίοι θα δώσουν ένα συγκεκριμένο νούμερο έτσι κι αλλιώς είναι πεπερασμένοι. Και ένα θρύσο πεπερασμένους όρος ή αν κάνουν οτιδήποτε με τους όρος της ακολουθίας δεν θα χαρακτηρίσουν το τελικό μας αποτέλεσμα. Συμπέρασμα. Αν ψάχνετε να δείτε τι κάνει μια ακολουθία ενευθύνουσα ή αύξουσα θα κοιτάξετε τους μεγάλους όρος πως συμπεριφέρονται, τους γενικούς μεγάλους όρος και όχι τους μικρούς. Εντάξει λοιπόν ένα διάλειμμα γυρίζουμε στις σειρές και λέω ότι όπως τις έχετε όλα αυτά που νομίζω τα περισσότερα από τα που λέμε τα έχετε δουλέψει. Οι σειρές θα είναι ένα άθροισμα αν μπορούμε να τις ονομάσουμε και αυτές με την S0 ο πρώτος όρος της σειράς μπορεί να είναι παραγωγή το 1. Ο δεύτερος όρος της σειράς ο S1 μπορεί να είναι το 1 συν εν δεύτερο. Ο τρίτος όρος της σειράς να έχει τους τρεις όρους από μια ακολουθία αλλά να τους αθρίζει. 1 συν εν δεύτερο συν εν τέταρτο και τελικά μπορούμε να φτιάξουμε μια σειρά η οποία σιγά σιγά ο νιωστός όρος της σειράς να είναι 1 συν εν δεύτερο συν εν τέταρτο συν κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ κτλ��요 ΟΚ, λοιπόν, μας ζητάνε λοιπόν να βρούμε αν αυτό ένα από τα θέματα που θέλουμε να συζητήσουμε σήμερα είναι αν αυτή η σειρά προσεγγίζει, όταν το ν πηγαίνει στο άπειρο, ένα συγκεκριμένο αριθμό. Όταν αθληστούν όλοι αυτοί οι άπειροι όροι, καταλήγουμε σε έναν αριθμό. Παραδομάτως, χάρη, για αυτήν που ξεκινήσαμε μπορούμε να τη γράψουμε ες του ν, ίσον όπως είχαμε γράψει ένα, ένα συν εν δεύτερο, συν εν δεύτερο στο τετράγωνο, συν κτλ, συν εν δεύτερο στη ν. Άρα λοιπόν αυτός είναι ο όρος εσ ν. Αν πολλαπλασιάσουμε αυτόν τον όρο με το εν δεύτερο, δηλαδή το εσ ν, τον πολλαπλασιάσουμε με το εν δεύτερο, έχουμε λοιπόν τον όρο εσ ν, τον πολλαπλασιάζουμε με τον εν δεύτερο και θα έχουμε ποιον, τον εν δεύτερο, συν εν τέταρτο, συν κτλ, συν ένα δυα δύο εις τη ν, συν ένα. Πήρα λοιπόν από τη σειρά που άρχισα να δουλεύω, τη σειρά που έχει το εν δεύτερο εις τη ν, το άθεσμα του εν δεύτερου εις τη ν και πήρα τον όρο εσ ν, νατος, τον πολλαπλασιάσα με το εν δεύτερο και μετά αυτούς τους όρους τους αφαιρώ. Και φτιάχνω το εσ ν μειον εν δεύτερο εσ ν. Τι θα μου βγάλει αυτό το πράγμα, θα μου βγάλει ένα μειον εν δεύτερο εις τη ν, συν ένα. Οπότε, αυτός εδώ, από αυτήν εδώ τη σχέση, αυτό διέγνει να είναι το εν δεύτερο εσ ν, ίσον ένα μειον εν δεύτερο ν συν ένα. Άρα, επαναλαμβάνω τι έκανα, πήρα τον όρο εσ ν, τον πολλαπλασιάσα με το εν δεύτερο. Αφαίρεσα κατά μέλη αυτούς τους δυο όρους και έφτιαξα εσ ν μειον εν δεύτερο εσ ν ίσον με ένα. Όλοι οι άλλοι θα απολυφούν και θα μου μείνει ο πρώτος και ο τελευταίος, ο ένα και ο εν δεύτερον και αυτός εδώ. Όλοι οι άλλοι θα διαγραφούν. Οπότε, κάνοντας πράξεις, εγκαταλήγω σε αυτόν και στο τέλος καταλήγω σε έναν όρο, από αυτήν εδώ τη σχέση, ο οποίος λέει εσ ν είναι ίσως με τον όρο που είναι δύο μειον ένα δια δύο εις τη ν. Άρα, αν πάρετε αυτόν εδώ τον όρο και εφαρμόσετε αυτό το κριτήριο, δηλαδή πάρετε το όριο του εσ ν του ν θα πηγαίνει στο άπειρο, βρίσκεται ότι αυτό εδώ πέρα είναι δύο. Άρα, αν κάνετε λοιπόν μια τέτοια διαδικασία, καταλήγεται ότι ο εσ ν, αν πάρετε το όριο, επειδή τον κατέφερα να είναι δύο μειον εν δεύτερον εις τη ν, αν το ν πηγαίνει στο άπειρο, το εν δεύτερον δυά δύο εις τη ν, αυτό θα πηγαίνει στο μηδέν, άρα θα μας δώσει όριο το δύο. Έτσι, άρα λοιπόν, να μια ένα παράδειγμα μιας σειράς, αυτή η συγκεκριμένη, η οποία αυτή η σειρά απέδειξα με έναν απλό τρόπο, ότι συγκλίνει αυτή η σειρά και έχει το όριο το δύο. Τώρα, τι απέδειξα τελικά, ότι το άθρισμα του ένα δεύτερο εις την κ, το κ να πηγαίνει, το ν να πηγαίνει από το ένα έως το άπειρο, αυτό θα μας δώσει το όριο ότι στάνει δύο. Άρα λοιπόν, βρήκαμε ποιο είναι το άθρισμα αυτής της σειράς, από το μηδέν έως το άπειρο. Λοιπόν, αυτό αποδείξαμε, ότι το άθρισμα του εν δεύτερο εις την ν, το ν από το μηδέν έως το άπειρο, είναι ίσως με το δύο. Ναι, Αργύλη. Δεν κατάλαβα αυτό το μαγικό που κάνεις για να ξαφανίσεις το πισώρο. Δεν έκανα κανένα μαγικό. Πες μου. Ξεκίνησα με τον όρο ΕΣΝΙ. Εντάξει, να δούμε, δεν ξέρω γιατί το όνομα σου είναι μαγικό. Λοιπόν, το ΕΣΝΙ είναι ένα, στα μαθηματικά, οι πολύ έξυπνες κινήσεις είναι μαγικές. Αμ' αυτή την έννοια το δέχουμε. Λοιπόν, το ΕΣΝΙ λοιπόν είναι αυτό. Εντάξει, το παρακολουθούμε όμως σαν πράξη. Σας ευχαριστούμε, έχετε χάσει κάπου. Πολλαπλασιάζω το ΕΣΝΙ με το εν δεύτερο και αφαιρώ καταμέλη. Εντάξει, πέστε μου που έχετε απορία. Το ΕΣΝΙ και μετά από κάτω πολλαπλασιάζω το ΕΣΝΙ. Το ΕΣΝΙ έχει τους εξής όρους, ένα, συν εν δεύτερο, συν εν δεύτερο εις την ν, αυτό είναι το ΕΣΝΙ. Πολλαπλασιάζω το ΕΣΝΙ με το εν δεύτερο, οι όροι θα βγουν, θα βγει ο εν δεύτερον μπροστά, δηλαδή εκεί που ήταν το ένα θα εμφανιστεί το εν δεύτερο. Συν εν τέταρτο, συν συν, συν εν δεύτερο εις την ν συν ένα. Αν αφαιρέσω καταμέλη, το εν δεύτερο που ήταν δεύτερος όρος εδώ στην πρώτη σειρά, τώρα είναι πρώτος όρος. Οπότε αυτοί θα διαγραφούν έτσι διχιαστή και θα μου μείνει από το ένα μέλος ΕΣΝΙ μίον εν δεύτερον επί ΕΣΝΙ, ίσον το ένα ο πρώτος όρος ο οποίος δεν διαγράφεται με κανέναν και ο τελευταίος. Όλοι εν διάμεση θα φύγουν, γιατί πολλαπλασιάζω με το εν δεύτερο με τακόμησα τη σειρά, ένα δήμα μπροστά. Οπότε στην πρώτη ο πρώτος όρος, ο δεύτερος όρος ήταν εν δεύτερο, στην άλλη ο πρώτος όρος είναι εν δεύτερο. Και αφαιρώντας τους φύγανε όλα εκτός από το πρώτο πρώτο του ΕΣΝΙ και το τελευταίο του ΕΣΝΙΣΙΝΑ, του εν δεύτερον επί ΕΣΝΙ. Και βγήκε λοιπόν μετά τη διαφορά από εδώ εν δεύτερον ΕΣΝΙ και έκανα αυτές τις πράξεις, τις οποίες τις βλέπετε όλοι. Έχετε κάποια διαφορά? Όχι, λοιπόν, ωραία. Άρα λοιπόν εγώ χρειάζομαι τέτοιες τεχνικές, οι οποίες σας προειδοποιώ ότι γενικότερα δεν είναι εύκολες τεχνικές, για να μπορώ να βρω το άθρισμα εάν αυτή η σειρά ή μια άπειρη σειρά συγκλίνει σε ένα συγκεκριμένο, το άθρισμά της δηλαδή μας δίνει ένα συγκεκριμένο αριθμό, το 2 παραδειγματις χάρη. Αυτή η σειρά που σας είπα, το εν δεύτερον εις την ΕΣΝΙ, το αθρίζοντας από το 0 έως το άπειρο, ήσον 2. Έβγαλε 2 αυτή η σειρά. Τώρα, τέτοιες σειρές όπως είπατε κι εσείς και στο Λύκειο είχατε μάθει μερικές. Για να δούμε ποια είναι εύκολες. Δηλαδή έχουμε αποδείξει ότι αν βλέπω μια τέτοια σειρά ξέρω ότι θα την κάνω. Έτσι, μία από αυτές όπως θυμάστε από το Λύκειο είναι η λεγόμενη γεωμετρική. Ωραία, η γεωμετρική σειρά λοιπόν, είναι μια σειρά η οποία έχει το άθρισμα, να τη γράψω τη γεωμετρική σειρά. Έχω το άθρισμα από ν ίσο 0 έως άπειρο, του R εις την Ι. Όταν το R είναι μεταξύ του 1 και του πλήν 1, αυτή η σειρά συγκλίνει και αποδεικνύεται ότι είναι 1 στον αριθμητή 1-R. Αυτή λέγεται γεωμετρική σειρά, θα τη θυμόμαστε, θα τη ξέρουμε και θα δείξουμε τώρα και πώς αποδεικνύεται με μαγικά που λέγει ο Αργύρης. Βγάζει λοιπόν ότι το άθρισμα αυτής της συγκεκριμένης σειράς, όταν το R είναι R εις την Ι, το άθρισμα από ν ίσο 0 έως άπειρο, το R εις την Ι και το R να είναι αριθμός από πλήν 1 έως 1, όταν είναι μεγαλύτερο το 1 το R αυτή η σειρά αποκλίνει και δεν ορίζεται όταν είναι το R μικρότερο από πλήν 1. Κύριε Πρό, πώς το ρίξετε, θα ήθελα και να σας παίρνω τώρα αυτή η αθροί, μη μάλλον τα οποία αθροί, η Ι και να ξεκινήσουμε από το ν ίσο 0 έως 1 και να κατεβούν προ προς τα κάτω. Τι εννοείς προς τα κάτω? 1-1-2-3 ίσο μόνο προ προς τα κάτω. Το ν θα πηγαίνει 1-2-3-4-5-6 άπειρο. Είναι και μεγάλο, απλώς όποτε να το ορισούν και να πάει προς τα κάτω. Όχι, ή δεν σε καταλαβαίνω, ή δεν ξεκαταλαβαίνω. Θα είναι αρνητικά να πηγαίνει το ν. Το ν να πηγαίνει αρνητικά όχι. Σ' όλες αυτές τις σειρές το ν θεωρείται ότι έχει από το 1 μέχρι το άπειρο συνήθως, εκτός και έχει οριστεί να συμπεριλάβει και το 0. Όχι όλες τις σειρές ή όλες οι ακολουθίες συμπεριλαμβάνουν ο πρώτος όρος να είναι το 0. Δεν πάμε ποτέ στα αρνητικά στο ν. Αυτό με ρωτούσατε. Το ν θεωρείται για τις ακολουθίες και τις σειρές, το ν θεωρείται ότι είναι αριθμή από 1 έως άπειρο, εκτός από ή αλλάζουμε τον εκθέτη ώστε να βάλουμε από 1 έως άπειρο, θα μπορούσα να το κάνω και εδώ αυτό, ή από 0 έως άπειρο. Ποτέ όμως αρνητικές στιγμές στο ν. Έχουμε θέση και σε ποιο γενικό πλαίσιο, όχι εκτός που χρειαζόμαστε και να κατεβεί ο πρώτος να κάνουν, θα έχουμε γράψει από το ν ή θα είμαστε μέσα στο κμήνο άπειρο πάνω. Όχι, δεν ορίζονται έτσι οι σειρές. Δηλαδή μη μπούμε σε μια κατηγορία την οποία δεν είναι μέσα στο πλαίσιο της ανάλυσης που κάνουμε εδώ πέρα. Ή αν χρειάζεται πρέπει να βρεις έναν τρόπο να τη μετατρέψεις σε μια τέτοια για να αρχίσεις να μπαίνεις στα κριτήρια που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Εντάξει. Έχεις κάτι άλλο στο μυαλό σου, πες. Η απάντηση είναι όχι στα αυτές που συζητάμε εδώ πέρα τώρα. Ή αν υπάρχει μια ειδική κατηγορία, υπάρχει κάποιος τελείως ιδιαίτερος λόγος, αυτό θα είναι μια πολύ διαφορετική μελέτη που δεν είναι του παρόντος. Έτσι, ό,τι έχετε μέσα στο βιβλίο σας και ό,τι έχετε για αυτή τη συζήτηση που κάνουμε είναι αυτά που σας λέω. Το ερώτημα είναι λοιπόν αυτή εδώ η σειρά, η οποία μπαίνει, κοιτάξτε αυτή που δουλέψαμε προηγουμένως, είναι μια εφαρμογή αυτής της σειράς. Η σειρά που βγάλαψαμε εδώ, η σειρά του αθρίσματος στο 1 δεύτερο είναι στη ν, είναι μια εφαρμογή της. Γιατί βλέπετε ότι το ρ εδώ πέρα, το ρ αν το βάλω 1 δεύτερο, θα μου βγάλει πράγματι το 2. Το βλέπετε? Λοιπόν, για να κάνουμε μερικές εφαρμογές, αν η σειρά αυτή έχει και ένα α εδώ πέρα, πιο γενικά δηλαδή, έχω το άθρισμα από ν0 έως άπειρο του α επί ρ στη ν, αυτή είναι η σειρά που με ενδιαφέρει. Μα ακούτε πάλι, έχω τη σειρά που λέει, μια γενική ευστηρική σειρά, που λέει από ν0 έως άπειρο του α ρ στη ν, αυτή η απάντηση του αθρίσματος αυτούνου θα είναι α1μρ. Έτσι βγήκε. Πάλι πάντα, πάντα. Λοιπόν, καταρχήν ας κάνουμε μια προσπάθεια να δούμε αυτές οι σειρές, να τις νιώσουμε, να τις εφαρμόσουμε. Άρα λοιπόν, αν είμαστε τυχεροί, που στο πρόβλημα που μελετάμε, η σειρά που μας έχουν δώσει μπαίνει στην κατηγορία της γεωμετρικής σειράς, έλειξε. Δεν χρειάζεται να κάνουμε πολλά, την απάντηση την έχουμε. Η ερώτηση είναι ότι μερικές φορές, πολλές φορές, η γεωμετρική σειρά δεν φαίνεται, να δούμε μερικά παραδείγματα. Παραδείγματος χάρη, αν έχω εγώ το άθροισμα, μου δώσουν το άθροισμα, του τρία εις την κάπα, επί πέντε, εις την ένα μειον κάπα. Το κάπα να πηγαίνει από το μηδέν, έως το άπειρο. Μου ζητάνε να δω αν αυτή η σειρά που σας έγραψα τώρα, τρία εις την κάπα, επί πέντε, εις την ένα μειον κάπα, μπορεί να αναλυθεί και ποιο είναι το άθεσμα της. Αν μπορούμε δηλαδή να βρούμε το άθεσμα αυτής της σειράς. Για δουλεύσετε λοιπόν κι εσείς, να δούμε αν το άθεσμα της σειράς τρία εις την κάπα, επί πέντε, εις την ένα μειον κάπα, το κάπα από μηδέν, έως άπειρο, έχει άθεσμα και ποιο είναι αυτό το άθεσμα της. Πέστε μου τι θα κάνουμε. Το είδατε, για πέστε μου. Είχα βρει το άθεσμα εδώ. Για πες μου. Είχα δει και εδώ πέρα. Πες μου πώς θα το κάνουμε. Πώς θα γράψουν πέντε, πέντε προς κάπα. Ωραία, οπότε θα έχουμε λοιπόν από το κάπα από μηδέν, έως άπειρο, γράφουμε το τρία εις την κάπα, αλλά το πέντε το γράφουμε πέντε, επί πέντε, εις την μειον κάπα. Ωραία, προχωράμε. Και μετά του τρία έδειξα αυτό. Αυτό ήτανε. Πολύ ωραίο. Λοιπόν, ωραία, αυτό ήτανε. Λέει ότι αθρίζει, βγάζει το πέντε μπροστά, το βγάζει και έξω κιόλας από το άθεσμα, το κάπα έως μηδέν, έως το άπειρο, και εδώ έχει το τρία πέμπτα εις την κάπα, το τρία πέμπτα είναι το R, το R είναι ένας μικρός αριθμός, είναι στα όρια από εδώ μέχρι εδώ, χρησιμοποιεί αυτό το κριτήριο, οπότε θα έχει, το αποτέλεσμα θα βγαίνει να είναι 25 δεύτερα. Έτσι, αυτό είναι το πέμπτα. Το βλέπετε όλοι. Έχαμε βρει μάλλον 2 λεπτά, αυτό συγκλίνει τη σειραφή. Αυτό δε λέμε. Αυτό εδώ πέρα είναι το R και χρησιμοποιώντας τον τύπο ότι το R εδώ πέρα είναι το 1 μίον τρία πέμπτα, αυτό θα μας δώσει, πολλαπλασιάζοντάς το και με το πέντε που είναι απέξω, θα μας δώσει πέντε διά ένα τρία πέμπτα, θα βγει το 25 στον αριθμητή και το 1 μίον τρία θα δώσει το 2. Το βλέπετε όλοι. Αυτό ήταν το κολλουπάκι. Ένα ακόμα, αυτό είναι πιο εύκολο μάλλον, δεν αξίζει νομίζω τον κόπο, αλλά τέλος πάντων να το δούμε και σε ένα πιο απλό. Το άθεσμα του πέντε δια τέσσερα στην κάπα είναι πάρα πολύ πιο απλό, εφαρμόζεται από κάπα ίσο μη μη δεν έως άπειρο, είναι πολύ απλή η εφαρμογή της συγκεκριμένης σειράς, η οποία λέγεται, όπως είπαμε, αυτή η σειρά είναι ένα παραδείγμα πολύ συγκεκριμένο, λέγεται γεωμετρική σειρά. Ωραία, αυτό φαίνεται αμέσως ποιο είναι το αποτέλεσμα, το 1 τέταρτον άρατο είναι εφαρμογή αυτού εδώ του τύπου κατά γράμμα. Το R είναι το 1 τέτατον, οπότε αυτό θα γραφεί άθεσμα του πέντε, 1 τέταρτο ή στην κάπα, το κάπα να είναι από μη δεν έως άπειρο, οπότε χρησιμοποιώνται στο νόμο το συγκεκριμένο βγάζουμε ποιο είναι το άθεσμα τέτοιων σειρών. Αν είμαστε λοιπόν τυχεροί, αυτό είναι το 5 τρίτα έτσι, αυτό το αποτέλεσμα είναι το 5 τρίτα. Λοιπόν, αν είμαστε τυχεροί λοιπόν και η σειρά που μας έχει προκύψει στην ανάλυση του προβλήματος που δουλεύουμε είναι αυτή, τελειώσαμε. Τώρα θα άξιζε να σας πω δυο λόγια πως βγαίνει αυτό το άθεσμα και η απάντηση βγαίνει ως εξής, βγαίνει από έναν τύπο που το ξέρετε εσείς. Αν τη γράψω αυτή τη σειρά, μπορώ να τη γράψω τη σειρά που τη γεωμετρική σειρά τη γράφω αναλυτικά. Η γεωμετρική σειρά αν τη γράψετε αναλυτικά, βλέπετε κοιτάζοντας και τους διάφορους όρους ότι προκύπτει ένα ενδιαφέρον πράγμα, θα σας το δείξω αμέσως. Λοιπόν, αυτή η σειρά πως θα είναι, η S0 της γεωμετρικής σειράς θα έχει ρ στη μηδενική, θα είναι η μονάδα. Το S1 της γεωμετρικής σειράς θα είναι το ρ στη μηδενική, συν ρ στην 1, συν ρ τετράγωνο. Αυτός είναι ο πρώτος όρος, συγγνώμη, συν ρ στην 1. Άρα λοιπόν είναι 1 συν ρ. Ο δεύτερος όρος της γεωμετρικής σειράς θα είναι 1 συν ρ, συν ρ τετράγωνο. Και ο νιωστός όρος θα είναι 1 συν ρ, συν ρ τετράγωνο, συν και τα λοιπά, συν ρ στη μη. Συμφωνείτε ότι έτσι είναι οι όροι της γεωμετρικής σειράς. Τον τελευταίο εγώ μπορώ να τον γράψω με βάση κάτι που ξέρουμε από τις ταυτότητες από το Λύκειο. Μπορώ να τον γράψω 1 μίον ρ στη μη συν 1, δια 1 μίον ρ. Λέω, αυτά τα δύο είναι ταυτόσιμα. Κοιτάξτε τι έχω γράψει. Ο νιωστός όρος που είναι το 1 συν ρ, συν ρ τετράγωνο, συν ρ στη μη, είναι ίσως με το 1 μίον ρ στη μη συν 1, δια 1 μίον ρ. Μπορείτε να μου πείτε γιατί. Το χ στην τρίτη, συν ψ στην τρίτη, μίον ψ στην τρίτη, με τι είναι ίσως. Αν πάρετε, θυμαθήθητε την ταυτότητα που έλεγε α' στην τρίτη, μίον β' στην τρίτη, με τι ήταν ίσως αυτό. Παίστε μου. Συν β. Το α μίον β λέω, το α' στην τρίτη, μίον β' στην τρίτη. Αυτό με τι ήταν ίσως. Α' μίον β, συν α τετράγωνο, συν α β, συν β τετράγωνο. Αν αυτό, με αυτήν εδώ τη σχέση, σας βγάζει τούτη. Δηλαδή, χρησιμοποιώντας αυτήν την ταυτότητα. Γράφω λοιπόν, 1 μίον ρ στη μη συν 1, δια 1 μίον ρ. Αν αυτό το πράγμα το αναπτύξετε, θα σας βγάλει αυτό. Θα θα βγάλει, ναι ή όχι, με βάση την ταυτότητα αυτή. Το παραλαμβάνω. Λέω, το 1 μίον ρ στη μη συν 1, δια 1 μίον ρ, είναι ίσον με το 1 συν ρ, συν ρ στην τετράγωνο, συν συν, συν ρ στην μη. Συμφωνείτε ναι ή όχι. Όχι. Όχι. Για πες αργήρι γιατί όχι. Από πού έγινε αυτό, δεν έχω ιδέα. Δηλαδή, συγνώμη, το 1 στην... και κατεβαίνουμε σιγά σιγά. Ναι. Εάν πάρετε το 1 μίον ρ στην τρίτη. Δια 1 μίον ρ. Με τι θα είναι ίσον το 1 μίον ρ στην τρίτη. Το 1 μίον ρ στην τρίτη, βάση την ταυτότητα που μας είπε ο συναδελφός σας. Τι θα είναι ίσον, επί... Μπράβο. Συγχαρητήρ, Ιάννα. Το καταλάβα με αργήρι. Ναι, συμφωνείς. Μπράβο, μπράβο. Λοιπόν... Και όταν είναι για νιωστό... Και όταν είναι για νιωστό, ανεβαίνουμε, ανεβαίνουμε, στο νιωστό θα βγάλει αυτό. Άμα δεν ήταν 1 όπως στον οικονομικό, ήταν 1 αριθμός, θα έπρεπε να το βεβαιώνει εκτέλους. Ναι, βεβαίως, αλλά είναι... έτσι το φτιάξαμε, για να είναι... Αυτό είναι... έτσι είναι ο... δοσμένη γεωμετρική σειρά. Στη γεωμετρική σειρά, αν αλλάξεις οτιδήποτε, πρέπει να το φέρεις σε αυτή τη μορφή, για να ισχύει η γεωμετρική σειρά. Καταλάβατε? Στη γεωμετρική σειρά, να σας δώσει κάποιος μια γεωμετρική σειρά, που δεν ξεκινάει να έχει ακριβώς αυτή την πατέντα, λόγω αυτού του οριουτή, θα αποδείξεις, δεν ισχύει. Λοιπόν, γι' αυτό λοιπόν... Αυτό το βλέπετε τώρα, αν το νι πηγαίνει στο άπειρο, αυτός εδώ ο όρος, έτσι όπως είναι, επειδή είναι μικρότερος μεταξύ του 0 και 1 θα μηδενιστεί και το αποτέλεσμα είναι για να πηγαίνει το νι στο άπειρο, το όριο αυτής εδώ της σειράς θα μας δώσει το 1 δια 1 μίον ρο. Το είδατε? Έτσι βγαίνει η γεωμετρική σειρά. Λοιπόν, θα σας αναφέρω μία ακόμα σειρά που δεν ξέρω αν τη συζητήσατε στο Λύκειο. Λέγεται τηλεσκοπική. Η τηλεσκοπική σειρά επίσης είναι πολύ συγκεκριμένη. Είναι συγκεκριμένη η γεωμετρική και η τηλεσκοπική σειρά. Αυτή πώς είναι? Προσέξτε, σε μερικές περιπτώσεις, εύκολες και όμορφες λύσεις υπάρχουν μόνο σε συγκεκριμένες σειρές. Σε άθεσμα οριμμένων σειρών. Οι γενικότερες σειρές δεν έχουν εύκολη απάντηση να βρείτε όριο. Δεν είναι τόσο απλά τα πράγματα. Πρέπει να δουλέψετε αρκετά. Η σειρά τηλεσκοπική λέει, είναι ως εξής η μορφή της. Άθρυσμα από k ίσον 1 έως άπειρο του 1 δια k μίον 1 δια k συν 1. Αυτή εδώ πάλι δουλεύει ως εξής. Εάν την αναπτύξουμε αυτή έναν έναν τους όρους, αυτή είναι η τηλεσκοπική, την επαναλαμβάνω. Άθρυσμα από k ίσον 1 έως άπειρο, μέσα σε παρένθεση, ο πρώτος όρος είναι 1 μίον k μίον 1 δια k συν 1. Κλείνει η παρένθεση. Αν καταφέρετε την σειρά σας και τη μεταφέρετε σε αυτό το πλαίσιο, έχετε αμέσως δώσει λύση, έχετε βρει το όριό της, γιατί θα δείξουμε αμέσως πόσο είναι το όριο μιας τέτοιας σειράς. Αν γράψω έναν έναν τους όρους της, ο S1 παραδείγματος χάρης, αυτή θα είναι 1 δια 1 μίον 1 δεύτερο. Ο πρώτος όρος λοιπόν θα είναι αυτός. Ναι, ο δεύτερος όρος ο S2 θα είναι 1 δια 1 μίον 1 δεύτερο συν 1 δεύτερο μίον 1 τρίτο. Ο S2 έχει δύο όρους, τον 1 αυτόν που έχει από πάνω και έναν ακόμα, τον 1 δεύτερο μίον 1 τρίτο. Πάμε στον S3, τι θα έχει, θα έχει τον 1 δια 1 μίον 1 δεύτερο θα έχει συν τον 1 δεύτερο μίον 1 τρίτο συν ένα καινούργιο όρο, ο 1 τρίτο μίον 1 τέταρτο. Λοιπόν και συνεχίζουμε και φτάνουμε στον μειωστό όρο, ο οποίος έχει 1 δια 1 μίον 1 δεύτερο συν 1 δεύτερο μίον 1 τρίτο συν κτλ κτλ συν στο τέλος 1 δια 1 μίον 1 δια 1 συν 1. Απλώς έγραψα λοιπόν όλους αυτούς τους όρους το ένα κάτω από τον άλλο. Εάν τους αθρήσω όλους τώρα, εάν τους αθρήσω αυτούς τους όρους, βλέπετε ότι, συγγνώμη, αν αυτούς τους όπως τους έχω τώρα τους αθρήσω, αυτό που θα συμβεί είναι το εξής, ότι στο τέλος ο es ni μπορεί να γραφτεί σαν... Ο τελευταίος λοιπόν είναι ίσως με... για ένα στιγμή να δω τι έχω κάνει. Ωραία. Λοιπόν, αφού έχω βγάλει αυτούς, ο τελευταίος δηλαδή ο όρος ο es ni είναι 1. Λοιπόν, οι όροι όπως είναι αυτοί εδώ, προσέξτε τι συμβαίνει, συμβαίνει ότι οι όροι, οι διαδοχικοί, αυτός εδώ ο όρος, διαγράφονται οι όροι μεταξύ τους, γιατί ένας είναι με μίον εν δεύτερον και ο εν δεύτερος είναι μπροστά εδώ πέρα. Προσέξτε τους όρους, έχω ένα και οι άλλοι μεταξύ τους, όπως είναι μέσα στην παρένθεση, ο δεύτερος από την παρένθεση με τον πρώτο, αυτοί διαγράφονται. Το βλέπετε? Άρα στο τέλος θα μου βγει για τον es ni, ο όρος es ni λόγω της διαγραφής του δεύτερου με τον τρίτο, του τρίτο με τον τέταρτο, μεταξύ τους δηλαδή όλοι διαγράφονται. Βγαίνει ένα μίον ένα διανύ συν ένα. Αυτό το πράγμα βλέπετε ότι αν το ν πηγαίνει στο άπειρο, γιατί το είχαμε συζητήσει, αν το ν πηγαίνει στο άπειρο, αυτός ο όρος θα πηγαίνει στο μηδέν. Άρα το όριο του es ni, του ν πηγαίνοντας στο άπειρο, για αυτή τη συγκεκριμένη σειρά είναι η μονάδα. Εάν λοιπόν καταφέρετε και βάλετε μία σχέση σας, μία σειρά, τη μετατρέψετε σε αυτή τη μορφή, το όριό της είναι η μονάδα. Οι τηλεσκοπικές σειρές του ν πηγαίνοντας στο άπειρο έχουν όριο τη μονάδα. Υπάρχει απορία, το βλέπετε όλοι? Ωραία, τώρα δεν ξέρω αν έχουμε χρόνο. Υπάρχει, νομίζω ότι μπορούμε να συνεχίσουμε για κάποιες παραδείγματα και να δούμε και τι άλλες σειρές και πώς θα συζητήσουμε. Έχουμε ακόμα δουλίτσα για τις σειρές, τις οποίες θα την ολοκληρώσουμε την άλλη παρασκευή. Εδώ λοιπόν θέλουμε να κάνουμε μυρικά παραδείγματα εφαρμογής των τηλεσκοπικών σειρών και μετά να ψάξουμε για γενικότερα κριτήρια σύγκλισης σειράς χωρίς να σημαίνει ότι μπορούμε να βρούμε το άθρυσμα. Σε αυτές τις δύο μπορώ να βρω το άθρυσμα της σειράς, που είναι 1 και το 1 διά 1 μιονάρ. Πέστε μου. Το νήτινη στο άπειρο. Το άπειρο ήθελα να γράψω. Λοιπόν, πέστε μου, αν την καταφέρουμε εκεί μια χαρά, αλλιώς θα κάνουμε κάτι άλλο, το οποίο είναι το μάθημα της επόμενης παρασκευής. |
